Gamme de Zarlino

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					  Gamme de Zarlino



Construction de la gamme
                      Gamme de Zarlino : les tierces majeure et mineure

La gamme de Pythagore est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F et 4F induisant les
intervalles :
          [F;2F] = octave (coef multiplicateur 2)
          [2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2).
          [3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3).

La gamme de Zarlino est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F, 4F, 5F et 6F induisant les
intervalles :
          [F;2F] = octave (coef multiplicateur 2)
          [2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2)
          [3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3)
          [4F;5F] = tierce majeure (coef multiplicateur 5/4)
          [5F;6F] = tierce mineure (coef multiplicateur 6/5)

                                         octave
                               quinte                              quarte

           tierce majeure               tierce mineure
    F                          5/4F                       3/2F                     2F      Hertz
                 x 5/4                        x 6/5


                              X 3/2                                x 4/3
                             Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait

                    3 notes séparées d’une tierce majeure puis d’une tierce mineure
                               forme un Accord Parfait Majeur (APM)

               N1      + 1 tierce majeure      N2
                                                     + 1 tierce mineure       N3
                F                             5/4F                           3/2F
                              x 5/4                            x 6/5

Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,5/4,3/2) ou (4,5,6)
La note N2 est la moyenne arithmétique des notes N1 et N3: (1+(3/2))/2 = 5/4

La gamme diatonique de Zarlino va être définie grâce à l’accord parfait majeur.
Les fréquences des notes obtenues ne seront pas toujours les mêmes que chez Pythagore.

L’accord parfait majeur « sonne » particulièrement bien (N2 enrichi l’accord N1-N3 de 2 harmoniques):
La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,…
La note N2 engendre les sons de fréquences 1.25F, 2.5F, 3.75F, 5F, 6.25F, 7.5F …
La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F …

Le même accord dans la gamme de Pythagore sonne moins bien (N2 ne « rappelle » aucune harmonique):
La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,…
La note N2 engendre les sons de fréquences 1.27F, 2.53F, 3.79F, 5.06F, 6.33F, 7.59F…
La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F …
            Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait et moyenne harmonique

De l’antiquité à la renaissance, musique, mathématiques et astronomie n’étaient qu’une seule
« discipline» (cf « Harmonia Mundi » de Képler).
Les nombres rationnels, rapports d’entiers, étaient représentés par 2 segments (Thalès en fait).
Les notes d’une gamme étaient représentées par des segments.
Les fréquences sont inversement proportionnelles aux longueurs de cordes.


La fréquence de N2 est la moyenne arithmétique
des fréquences N1 et N3.
Mais si on raisonne sur les longueurs comme autrefois:
N1,N2,N3 sont en accord parfait majeur si les longueurs
sont proportionnelles à (1,4/5,5/6) ou (30,24,25).
L2 n’est plus la moyenne arithmétique de L1 et L3.
Mais (1/L2) est la moyenne arithmétique de 1/L1 et 1/L3:
C’est la moyenne harmonique:
L2 est la moyenne harmonique de L1 et L3




                               N1    + 1 tierce majeure     N2
                                                                   + 1 tierce mineure   N3
                                L                          4/5 L                        2/3L
                                             x 4/5                         x 5/6
                  Gamme de Zarlino : Représentation circulaire de la gamme

On veut représenter la gamme sur un cercle représentant l’octave:
Le problème est de savoir quelle longueur donner aux arcs de cercle correspondant aux 2 tierces
sachant que la circonférence totale fait 2p et correspond au coefficient multiplicateur 2 (octave).

La somme des longueurs des deux
arcs correspondant à 6/5 et 5/4 doit être
égale à un arc correspondant à 6/5*5/4.

La relation arc(6/5)+arc(5/4) = arc(6/5*5/4)
suggère de prendre un logarithme:
Arc(6/5)=k*LN(6/5)
Arc(5/4)=k*LN(5/4)
Arc(2)=k*LN(2) = 2p donc k=2p/Ln(2)


Il en résulte que :
Arc(6/5) = LN(6/5)*2p/Ln(2)  1,65
Arc(5/4) = LN(5/4)*2p/Ln(2)  2,02
Arc(4/3) = LN(4/3)*2p/Ln(2)

Et on a bien la somme des 3 arcs
égale à 2p.
                     Gamme de Zarlino : Construction des notes DO, MI, SOL

DO est un point arbitraire du cercle correspondant à la fréquence 1.F, qu’on notera 1.

Par définition les notes MI et SOL sont telles que (DO, MI, SOL) soit un accord parfait majeur.

Les fréquences de MI et SOL sont donc:

MI : 1*5/4 = 5/4 = 1,25

SOL: 5/4*6/5 = 3/2

Chez Pythagore:
DO: 1    MI: 81/64 1,2656       SOL: 3/2

Le MI de Zarlino diffère du MI Pythagore:
L’écart entre les 2 MI est 81/80

81/80 est le coefficient multiplicateur du
comma de Zarlino (ou comma syntonique).


                                 DO  1
                                 MI  5/4
                                 SOL 3/2
                       Gamme de Zarlino : Construction des notes SI, RE

Par définition les notes SI et RE sont telles que (SOL, SI, RE) soit un accord parfait majeur.


Les fréquences de MI et SOL sont donc:

SI : 3/2*5/4 = 15/8 = 1,875

RE: 15/8*6/5 = 9/4 = 2,25
Qu’on ramène à l’octave en divisant par 2:
RE: 9/8 = 1,125

Chez Pythagore:
RE: 9/8 SI: 243/128 1,898

Le SI de Zarlino diffère du SI Pythagore:
L’écart entre les 2 SI est 81/80
(comma de Zarlino).

                                 DO  1
                                 RE  9/8
                                 MI  5/4
                                 SOL 3/2
                                 SI  15/8
                      Gamme de Zarlino : Construction des notes FA, LA

Par définition les notes FA et LA sont telles que (FA, LA, DO) soit un accord parfait majeur.

Les fréquences de FA et LA sont donc:

LA : 1/(6/5) = 5/6  0,875
Qu’on ramène à l’octave en multipliant par 2:
LA: 5/3  1,67

FA : (5/3)/(5/4) = 4/3  1,33

Chez Pythagore:
FA: 4/3 LA: 27/16 = 1,6875

Le LA de Zarlino diffère du LA Pythagore:
L’écart entre les 2 LA est 81/80
(comma de Zarlino).
                                 DO  1
                                 RE  9/8
                                 MI  5/4
                                 FA  4/3
                                 SOL 3/2
                                 LA  5/3
                                 SI  15/8
                    Gamme de Zarlino : La gamme diatonique de Zarlino              DO  1
                                                                                   RE  9/8
On obtient donc La gamme diatonique de Zarlino et 3 nouveaux petits intervalles:
                                                                                   MI  5/4
[DO;RE] = [FA;SOL] = [LA;SI] = TON MAJEUR                                          FA  4/3
RE/DO = SOL/FA = SI/LA = 9/8                                                       SOL 3/2
                                                                                   LA  5/3
[RE;MI] = [SOL;LA] = TON MINEUR
                                                                                   SI  15/8
MI/RE = LA/SOL = 10/9
[MI;FA] = [SI;DO] = DEMI TON MAJEUR
FA/MI = DO/SI = 16/15
INTERVALLES et leurs « inverses »:
OCTAVE ([DO;DO])  2
QUINTE ([DO;SOL])  3/2
QUARTE ([SOL;DO])  4/3
TIERCE MAJEURE ([DO;MI])  5/4
SIXTE MINEURE ([MI;DO])  8/5
TIERCE MINEUR ([MI;SOL])  6/5
SIXTE MAJEURE ([SOL;MI])  5/3
TON MAJEUR ([DO;RE])  9/8
Septième majeure faible ([RE;DO])  16/9
TON MINEUR ([RE;MI])  10/9
Septième mineure ([MI;RE])  9/5
DEMI TON MAJEUR ([MI;FA])  16/15
Septième majeure ([FA;MI])  15/8
                     Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SOL# et DO#

Par définition la note SOL# est telle que
(MI, SOL# , SI) soit un accord parfait majeur.
                                                 DO  1
La fréquence de SOL# est donc:                   RE  9/8
                                                 MI  5/4
SOL# = (5/4)*(5/4) = 25/16  1,56                FA  4/3
                                                 SOL 3/2
Chez Pythagore, SOL# = 6561/4096  1,60          SOL# 25/16
                                                 LA  5/3
                                                 SI  15/8

Par définition la note DO# est telle que
(LA, DO# , MI) soit un accord parfait majeur.

La fréquence de DOL# est donc:               DO  1
                                             DO# 25/24
DO# = (5/3)*(5/4)/2 = 25/24  1,04           RE  9/8
                                             MI  5/4
Chez Pythagore, DO# = 2187/2048  1,07       FA  4/3
                                             SOL 3/2
                                             SOL# 25/16
                                             LA  5/3
                                             SI  15/8
                       Gamme de Zarlino : De nouvelles notes RE # et FA#

Par définition les notes RE# et FA# sont telles que
(SI, RE# , FA #) soit un accord parfait majeur.
Les fréquences de RE# et FA# sont donc:
RE# = (15/8)*(5/4)/2 = 75/64  1,17
FA# = (75/64)*(6/5) = 45/32  1,41

Chez Pythagore:
RE# = 19683/16384  1,20
FA# = 729/512  1,42

        DO  1
        DO# 25/24
        RE  9/8
        RE# 75/64
        MI  5/4
        FA  4/3
        FA# 45/32
        SOL 3/2
        SOL# 25/16
        LA  5/3
        SI  15/8
                       Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LA+ et MI#
Par définition la note LA+ est telle que
(RE, FA# , LA+) soit un accord parfait majeur.
La fréquence de LA+ est donc:
LA+ = (9/8)*(3/2) = 27/16  1,69

Chez Pythagore: LA = 27/16  1,69
LA+ de Zarlino = LA de Pythagore

Par définition la note MI# est telle que
(DO#, MI# , SOL#) soit un accord parfait majeur.
                                              DO  1
La fréquence de MI   # est donc:
                                                   25/24
                                              DO#  1
   # = (25/24)*(5/4) = 125/96  1,30
MI                                            RE #  9/8
                                              DO 25/24
                                              RE# 75/64
                                                    9/8
Chez Pythagore: MI   #  1,35
                                              RE  5/4
                                              MI# 75/64
                                              MI# 125/96
                                                    5/4
                                              FA  4/3
                                              FA# 45/32
                                                 #

                                              SOL 3/2
                                              SOL# 25/16
                                              LA  5/3
                                              LA+  27/16
                                              SI  15/8
                            Gamme de Zarlino : Une nouvelle note SI#
Par définition la note SI# est telle que
(SOL#, SI# , RE#) soit un accord parfait majeur.
La fréquence de SI# est donc:
SI# = (25/16)*(5/4) = 125/64  1,95

Chez Pythagore: SI#  2,02 (DO+ 1 comma P.)


En résumé les accords              DO  1
parfaits majeurs sont:             DO# 25/24
                                   RE  9/8
( DO, MI , SOL )                   RE# 75/64
( DO#, MI# , SOL# )                MI  5/4
( RE, FA# , LA+ )                  MI# 125/96
( MI, SOL# , SI )                  FA  4/3
( FA, LA , DO )                    FA# 45/32
( SOL, SI , RE )                   SOL 3/2
( SOL#, SI# , RE# )                SOL# 25/16
( LA, DO# , MI )                   LA  5/3
( SI, RE # , FA# )                 LA+  27/16
                                   SI  15/8
                                   SI# 125/96
                           Gamme de Zarlino : l’accord parfait mineur

                  3 notes séparées d’une tierce mineure puis d’une tierce majeure
                                forme un Accord Parfait Mineur

             N1      + 1 tierce mineure   N2
                                                 + 1 tierce majeure   N3
             F                            6/5F                        3/2F
                            x 6/5                        x 5/4


Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,6/5,3/2) ou (10,12,15)
Comme par exemple (MI, SOL, SI) , (LA, DO, MI), (SI, RE, FA#)
                      Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LAb et MIb
Par définition la note MIb est telle que         Par définition la note LAb est telle que
(DO, MIb , SOL) soit un accord parfait mineur.   (FA, LAb , DO) soit un accord parfait mineur.
La fréquence de MIb est donc:                      La fréquence de LAb est donc:
MIb = 1*(6/5) = 6/5 = 1,2                          LAb = (4/3)*(6/5) = 8/5 = 1,6

Chez Pythagore: MIb = 32/27  1,18                 Chez Pythagore: LAb =128/81  1,58

                                        DO  1
                                        DO# 25/24
                                            #
                                        RE  9/8
                                        RE# 75/64
                                           #

                                        MIb  6/5
                                               5/4
                                        FA  5/4
                                        MI  4/3
                                               4/3
                                        FA# 45/32
                                        FA# 45/32
                                        SOL 3/2
                                        SOL#3/2
                                              25/16
                                        SOL# 25/16
                                        LA  5/3
                                        LAb  27/16
                                           +
                                                8/5
                                        SI  5/3
                                        LA  15/8
                                        SI#  27/16
                                        LA+125/96
                                        SI  15/8
                                        SI# 125/96
                       Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SIb et SOLb
Par définition la note SIb est telle que         Par définition la note SOLb est telle que
(SOL, SIb , RE) soit un accord parfait mineur.   (MIb, SOLb , SIb) soit un accord parfait mineur.
La fréquence de SIb est donc:                      La fréquence de SOLb est donc:
SIb = (3/2)*(6/5) = 9/5 = 1,8                      SOLb = (6/5)*(6/5) = 36/25 = 1,44
Chez Pythagore: SIb = 16/9  1,78                  Chez Pythagore: SOLb =1024/729  1,40

                                          DO  1
                                          DO# 25/24
                                          DO  1
                                          RE     9/8
                                          RE# 25/24
                                          DO#75/64
                                          RE b  6/5
                                          MI     9/8
                                          RE# 75/64
                                          MI  5/4
                                          MIb  4/3
                                          FA     6/5
                                          FA  5/4
                                          MI# 45/32
                                          SOL  4/3
                                          FA b  36/25
                                          FA# 45/32
                                          SOL 3/2
                                          SOL#3/2
                                               25/16
                                          LAb 25/16
                                          SOL# 8/5
                                          MIb  6/5
                                          LA     5/3
                                          LA+  5/3
                                                 27/16
                                          LA+  27/16
                                          SIb    9/5
                                          SI  15/8
                                          SI# 125/96
                           Gamme de Zarlino : une nouvelle note FA+
Par définition la note FA+ est telle que
(RE, FA+ , LA+) soit un accord parfait mineur.
La fréquence de FA+ est donc:
FA+ = (9/8)*(6/5) = 27/20 = 1,8
Chez Pythagore: SIb = 16/9  1,78
                                                  DO  1
                                                  DO#  1
                                                       25/24
                                                  DO#  9/8
                                                  RE 25/24
                                                        9/8
                                                  RE# 75/64
                                                  RE# 75/64
                                                  MIb  6/5
                                                  MIb  6/5
                                                        5/4
                                                  FA  5/4
                                                  MI  4/3
                                                  FA+  4/3
                                                         27/20
                                                  FA# 45/32
                                                  SOLb  36/25
                                                  SOL 3/2
                                                  SOL# 25/16
                                                  LA b  8/5
                                                  MIb  6/5
                                                  LA  5/3
                                                  LA+  27/16
                                                  SIb  9/5
                                                  SI  15/8
                                                  SI# 125/96
                             Gamme de Zarlino : nouvelle note LA#


Par définition la note LA# est telle que
(RE#, FA# , LA#) soit un accord parfait mineur.                     DO  1
 LA# = (45/32)*(5/4) = 225/128 = 1,76                               DO# 25/24
                                                                    DO  1
                                                                    RE       9/8
Chez Pythagore: LA#  1,80                                          DO#75/64
                                                                    RE# 25/24
                                                                    RE b  6/5
                                                                    MI       9/8
                                                                    RE# 75/64
                                                                    MI  5/4
                                                                    MIb  6/5
                                                                        # 125/96

                                                                    MI  4/3
                                                                    FA  5/4
                                                                    FA #  27/20
                                                                    MI+ 125/96
                                                                           4/3
                                                                    FA# 45/32
                                                                    SOL  27/20
                                                                    FA+ b  36/25
                                                                    FA# 45/32
                                                                    SOL 3/2
                                                                    SOLb 25/16
                                                                          #  36/25

                                                                    LAb  8/5
                                                                    SOL 3/2
                                                                    SOL# 25/16
                                                                    LA  5/3
                                                                    LAb  27/16
                                                                       +     8/5
                                                                           5/3
                                                                    LA# 225/128
                                                                    LA+  27/16
                                                                    SIb      9/5
                                                                    SIb  15/8
                                                                            9/5
                                                                    SI#  15/8
                                                                        125/96
                                                                    SI# 125/96
                           Gamme de Zarlino : Deux Reb !: Reb et Reb+

Pour des raisons de symétries (et obtenir 3 sortes d’arcs sur le cercle de   DO  1
Zarlino) on est amené à définir deux Reb (on a déjà 2 FA et 2 LA):           DO# 25/24
REb = DO + 1 Demi ton majeur : REb = 1*16/15 = 16/15                         DO  16/15
                                                                             REb  1
REb + = REb + 1 comma Zarlino : REb + = (16/15)*(81/80) = 27/25              REb  27/25
                                                                             DO#+25/24
                                                                             RE  9/8
                                                                             RE# 75/64
                                                                             MIb  6/5
                                                                             MI  5/4
                                                                             MI# 125/96
                                                                             FA  4/3
                                                                             FA+  27/20
                                                                             FA# 45/32
                                                                             SOLb  36/25
                                                                             SOL 3/2
                                                                             SOL# 25/16
                                                                             LAb  8/5
                                                                             LA  5/3
                                                                             LA+  27/16
                                                                             LA# 225/128
                                                                             SIb  9/5
                                                                             SI  15/8
                                                                             SI# 125/96
                            Gamme de Zarlino : Gamme chromatique

Arc rouge = DEMI TON MINEUR                                        DO  1
Arc rouge + arc bleu = DEMI TON MAJEUR                             DO# 25/24
Arc vert = COMMA ZARLINO                                           REb  16/15
                                                                   REb +  27/25
                                                                   RE  9/8
 Diéser une note revient                                           RE# 75/64
       à augmenter                                                 MIb  6/5
  d’un demi ton mineur                                             MI  5/4
(attention pour FA et LA,                                          MI# 125/96
on prend les notes +)                                              FA  4/3
                                                                   FA+  27/20
   Bémoliser une note                                              FA# 45/32
    revient à diminuer                                             SOLb  36/25
  d’un demi ton mineur                                             SOL 3/2
(attention aux notes LA                                            SOL# 25/16
et RE)                                                             LAb  8/5
                                                                   LA  5/3
                                                                   LA+  27/16
                                                                   LA# 225/128
                                                                   SIb  9/5
                                                                   SI  15/8
                                                                   SI# 125/96
                     Gamme de Zarlino : Les accords parfaits majeurs et mineurs

Accords parfaits majeurs                    Accords parfaits mineurs

( DO, MI , SOL )                            ( DO, MI b , SOL )
( DO#, MI# , SOL# )                         ( DO#, MI , SOL# )
( RE, FA# , LA+ )                           ( RE, FA + , LA+ )
( MI b, SOL , SI b )                        ( RE#, FA# , LA# )
( MI, SOL# , SI )                           ( MI b, SOL b , SI b )
( FA, LA , DO )                             ( MI, SOL, SI )
( SOL b, SI b , RE b+ )                     ( MI#, SOL#, SI# )
( SOL, SI , RE )                            ( FA, LA b , DO )
( SOL #, SI # , RE # )                      ( SOL, SI b , RE )
( LA b, DO , MI b )                         ( SOL#, SI , RE# )
( LA, DO# , MI )                            ( LA , DO , MI )
( SI b, RE , FA +)                          ( SI b, RE b+ , FA +)
( SI, RE # , FA# )                          ( SI, RE , FA# )

				
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