# 18. Soal-soal Notasi Sigma_ Barisan_ Deret dan Induksi Mat_Pembahasan

Document Sample

```					                                                                                                 25              25
18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA,                                                 2 . 21 =     ∑ pk            ∑ pk   = 42
BARISAN, DERET DAN INDUKSI                                                               k =5            k =5
MATEMATIKA
Catatan :
UN2004
21

∑ (5n − 6) = ….
25
1.Nilai
n=2
∑2
k =5
14 +244
= 2 + 242 + ... + 2 = 2 . 21 = 42
3
n kali

A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060
n = 25 – (5-1) = 21 kali
Jawab:
EBTANAS2000
21                                                                                3. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika
∑ (5n − 6) = (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6)
n=2
berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut
= 4 + 9 + 14+ . . .+ 99
A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113
a=4
b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5
n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20                                      Jawab:

n             n                                                        U 4 = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1)
Sn =        (a + U n ) = (2a +(n-1) b)
2             2                                                        U 7 = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2)
20
=      (2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95)                                      Dari (1) dan (2)
2
= 10 . 103 = 1030                                                          a + 3b = 17
a + 6b = 29 -
-3b = -12
EBTANAS2000                                                                                 b=4
25                                       25
2. Diketahui         ∑ (2 − pk ) = 0, maka nilai ∑ pk = ...
k =5                                      k =5
a + 3b = 17
a = 17 – 3b
= 17 – 3.4
A. 20        B. 28          C. 30       D. 42          E. 112                     = 17 – 12 = 5
Jawab:                                                           U 25 = a + (25 – 1)b
25

∑ (2 − pk ) = 0
k =5
= 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101

25                     25        25

∑ (2 − pk ) = ∑ 2 - ∑ pk = 0
k =5                    k =5      k =5
EBTANAS1990
4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang
25            25
pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku
∑2 =
k =5
∑ pk
k =5
yang ke 15 = ….

25                           A. 11       B. 25       C. 31      D. 33   E. 59
2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) =              ∑ pk
k =5
25
2 (25 – (5-1) ) =          ∑ pk
k =5

www.matematika-sma.com - 1
Jawab:                                                       EBTANAS1993
n               5                                       6. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah
S 5 = (2a +(n-1) b) = (2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1)                 1
2               2                                        Sn =    n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu
4                                             2
S4 =                    (2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2)       adalah….
2

dari (1) dan (2)                                             A. -3       B. -2    C. 3        D. 2   E. 4

jawab:
5a+10b = 35 | x 4 | ⇒ 20a + 40b = 140
4a + 6b = 24 | x 5 | ⇒ 20a + 30b = 120            -          jumlah n suku pertama:
10b = 20                        1
b=2                      Sn =   n (3n – 1 )
2
5a + 10b = 35                                  1
S1 =   1 (3 – 1 ) = 1
5a = 35 – 10b                                  2
5a = 35 – 20                                   1
S2 =   2 (6 – 1 ) = 5
a = 15/5 = 3                                 2

U 15 = a + (15 – 1)b                                         Beda = U n - U n −1 = U 2 - U 1
= 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31
U1 = S1 = 1
U n = S n - S n −1
UAN2007                                                      U 2 = S 2 - S1 = 5 – 1 = 4
5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36,     Beda = U 2 - U 1 = 4 – 1 = 3
jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku

A. 840    B. 660       C. 640 D. 630    E. 315               UAN2003
7. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya
jawab:                                                       pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia
U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1)                          12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut
U 5 + U 7 = a + 4 b + a + 6b = 144                           adalah ........
= 2a + 10b = 144                                  A . 48,5 tahun       C . 49,5 tahun E . 50,5 tahun
= a + 5b = 72 ….(2)                               B . 49,0 tahun       D . 50,0 tahun
Dari (1) dan (2)                                             Jawab:
a + 2b = 36
U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1)
a + 5b = 72        -
-3b = -36                                                U 5 = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2)
b = 12
Dari (1) dan (2)
a + 2b = 36                                                  a + 2b = 7
a = 36 – 2b                                               a + 4 b = 12 -
= 36 – 24 = 12                                                                    5
- 2 b = -5   b=
2
10                                                             a+2b=7
S 10 =     (2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108)
2                                                              a = 7 – 2b
= 5 . 132 = 660                                                                    5
=7–2.        =2
2

www.matematika-sma.com - 2
jumlah n suku pertama:                                       Jawab:

n                                                    bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8
Sn =      (2a +(n-1) b)                                      456, 464, 472, …, 1000
2

maka jumlah usia enam anak tersebut adalah:                  ditanya banyak bilangan (n) = ?

6             5                                      U n = a + (n-1) b
S6 =      (2.2 +(6-1). )
2             2
U n = 1000
25     33  99      1                         a = 456
= 3. ( 4 +      )=3( )=    = 49   tahun                   b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8
2      2    2      2

UMPTN1998                                                    1000 = 456 + (n-1 ) . 8
= 456 + 8.n – 8
8. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,…
= 448 + 8n
disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan
8n = 1000 – 448
aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan        = 552
n=       = 69
A. 78      B. 81    C. 84      D. 87   E. 91                        8

Jawab:
SPMB2003
dari barisan 3, 18, 33,…
10. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7
tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…
diketahui a = 3
b = 15
A. 168       B. 567    C. 651   D. 667   E. 735
k=4

beda barisan yang baru:                                    jawab:
b
b'=                                                  1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7
k +1
15                                               7, 14, 21, …, 98
=       =3
4 +1
a=7;b=7
Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk :
U n = a + (n-1) b
n'                                                98 = 7 + (n-1). 7
S n ' = { (2a + (n ' -1) b ' }
2                                                 98 = 7 + 7n – 7
98 = 7n
7                 7                                 n = 98/7 = 14
S7 =      {2.3+(7-1).3} =   (6+18) = 84
2                 2
n
Sn =       (2a +(n-1) b)

UAN2002                                                             14
S 14 =    (2 . 7 + 13. 7)
9. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8           2
adalah…                                                          = 7 (105) = 735

A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183

www.matematika-sma.com - 3
2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan juga                     4 5 4
habis dibagi 4 :                                            U 6 = ar 5 =      . 3 = . 243 = 108
9      9
28, 56, 84                                                    Jawabannya adalah A
karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja =           UN2006
S 3 = 28 + 56 + 84 = 168                                       12. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui
Kalau dengan rumus seperti berikut:                             jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali
suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….
a = 28 ; b = 28 ; n = ?
A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476                E. 5675
U n = a + (n-1) b
84 = 28 + (n – 1).28                                            jawab :
84 = 28 + 28n – 28
84 = 28n                                                        Diketahui :
n = 84/28 = 3
r=2
n
Sn =   (2a +(n-1) b)                                                     a (r n − 1)
2                                                          Sn =                   karena r > 1
3                                                                      r −1
S3 =   (2.28 + 2 . 28)
2
3                                                                    a(210 − 1)
=   ( 112) = 168 ( hasilnya sama)                            S 10 =               = 3069
2                                                                       2 −1
a.1023
⇒                = 3069
1
Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi                  3069.
tidak habis dibagi 4 adalah :                                     ⇒       a=         = 3
1023
hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567
U 4 = ar 3 = 3 . 2 3 = 3 . 8 = 24
jawabannya adalah B                                             U 6 = ar 5 = 3 . 2 5 = 3 .32 = 96

EBTANAS1999
4     U 4 . U 6 = 24 . 96 = 2304
11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah
3

A. 108     B.120    C.128   D. 240   E. 256                     UAN2007
13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap
Jawab:                                                                                       3
tahun nilai jualnya menjadi    dari harga sebelumnya. Berapa
4
U n = ar n −1                                                   nilai jual setelah 3 tahun ?
4
U2 = a r =                                                      A. Rp. 20.000.000,-         D. Rp. 35.000.000,-
3
4                                                       B. Rp. 25.312.000,-         E. Rp. 45.000.000,-
U 5 = ar = 36
C. Rp. 33.750.000,-
U5   ar 4    36
=      =
U2    ar     4/3                                                Jawab:
3
r 3 = 36 .   = 27                                          Diketahui harga awal = a = 80.000.000
4
r = 3 27 = 3                                                   3
r=
4
4      4/3 4
a. r =       ⇒a =    =                                     Nilai jual setelah 3 tahun = suku ke 3 = U 3
3       3   9

www.matematika-sma.com - 4
3 2                                              a             8           8
U 3 = ar n −1 = 80.000.000 . ( )                                   S∞ =              =             =     = 24
4                                               1− r               2       1
1−
9                                                                 3       3
= 80.000.000
16

x −1 1        1
15. Agar deret bilangan      , ,           ,...
EBTANAS1997                                                                                  x x x( x − 1)
14. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan                 jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi…
oleh rumus S n = 2 n + 2 - 4 . Rasio dari deret tersebut adalah…
A. x > 0       C. 0<x< 1 atau x >1       E. 0<x< 1 atau x >2
1        1                               B. x < 1       D. x >2
A. 8        B. 4   C. 2   D.         E.
2        4
Jawab:
Jawab:
x −1 1    1
Deret bilangan         , ,         ,...
x x x( x − 1)
Jumlah n suku pertama = S n = 2 n + 2 - 4
S1 = 2 3 - 4                                                                             1
=4                                                                                       1   x      1
Mempunyai r = x = .      =
x −1 x x −1   x −1
S1 = U1 = a = 4
x

S 2 = U 1 + U 2 = 2 2+ 2 - 4                                         Mempunyai limit (konvergen)
4 + U2 = 24 - 4
U 2 = 16 – 4 – 4                                              jika |r| < 1 atau -1 <r < 1
=8
U 2 = a. r
1
U       8                                                      -1 <        <1
r= 2 = =2                                                                 x −1
a      4
1
Jawabannya adalah C                                                (1 )            > -1
x −1
1 > -x +1
UAN2005
x -1 + 1 > 0
15. Jumlah deret geometri tak hingga dari
x >0
16 32
8+        +   +...                                                      1
3   9                                                 (2)          <1
x −1
A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9
1<x-1
x–1>1
Jawab:
x>2
16                                                          gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2
r=       3= 2       |r| < 1 , maka   S∞ =
a
8   3                                 1− r
mempunyai nilai (konvergen)
catatan:
x > 2 memenuhi x > 0
x > 0 tidak memenuhi x > 2

www.matematika-sma.com - 5
UAN2005
16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m
4
dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi
5
sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus
hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah..

A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m

Jawab:

Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola
pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa
gambarnya sbb:

25 m

20 20 16 16

terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya
4
terdiri dari dua kejadian: pantulan dari tinggi sebelumnya
5
naik ke atas dan dengan jarak yang sama turunnya.

4
r=
5

deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas.

a           20    20
S∞ =           =        =    = 100
1− r           4   1
1−
5   5

Jumlah seluruh lintasan = 25m + S ∞ naik + S ∞ turun
= 25m + 100m + 100m
= 225m