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relojes razonamiento

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					                 ATRASOS - ADELANTOS
              Cuando existe adelanto.
                                  HR = HM ADELANTO
              Y cuando existen atraso:
                                   HR = HM + ATRASO
              HR: HORA REAL (HORA CORRECTA)
             HM: HORA MARCADA (INCORRECTA)


1.- Un reloj se adelanta dos minutos cada 3 horas ¿Qué hora será en realidad cuando marque las
10:15 a.m. si hace 30 horas lleva adelantandose?


ADELANTA                   CADA( EN )               HR = ?
     2min                            3hr            HM = 10:15
  Adelanta                           30 hr

   Adelanta =          = 20 min = 0: 20             HR = 10:15   0:20 = 9:75 0:20 = 9:55



2.- Hace 12 horas y media se descompuso el reloj sufriendo un atraso de 8 minutos cada 4
horas. Si en ese instante marca 8 horas 57 minutos ¿Cuál es la hora correcta?


ATRASA                    CADA EN              HM = 8:57
 8min                          4hr             HR = ?
 Atrasa                        12.5hr

 Atraso =           = 25 min = 0:24             HR = 8:57 + 0: 25 = 8:82 = 9:22

3.- Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará
cuando la hora correcta sea 9 p.m. del mismo día?


Adelanta                   cada            HR = 21:00
   5min                     1hr            HM = ?
Adelanta                    13hr           de 8am a 9pm hay
                                           21 8 = 13 hrs.

Adelanta =        = 65min = 1:05 hr.       HR = HM adelanta


      HM = HR + adelanta = 21:00 + 1:05 = 10:05 = 22:05

                                                                                            35
4.- Un reloj se descompuso a las 6 a.m. del primero de marzo, sufriendo un atraso de 4 minutos
cada 24 horas. ¿Qué hora marcara al medio día del 6 de marzo?


Atrasa                    cada           HM = ?
4min                      24hr           HR = 12
Atrasa                   5 x 24 + 6
                                                  6hr    24hr     24hr
                                                 6am     12m     12m     12m     12m     12m 12m
                                                           0         0    0       0
                                                          1 marz 2       3       4       50    60

Atrasa =               = 21min = 0:21


HM = HR       ATRASO = 12:00      0:21 = 11:60     0:21 = 11:39


5.- Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos. Si marca las 4 horas 10 minutos y hace ya 6
horas que se atrasa ¿Cuál es la hora correcta?


Atrasa                   cada                    HR= ?
5min                     45min                   HM = 4:10
Atraso                   6 x 60min = 6hr

Atraso =            = 40min = 0:40                HR= 4:10 + 0:40 = 4:50



6.- Un reloj marca la hora exacta un día a las 2 p.m. si se adelanta5 minutos cada 10 horas a
partir de esa hora ¿A qué hora empezó a adelantarse, si a las 23:10 horas marca 23:18 horas?


 Adelanta                        cada      Para que vuelva a marcar la hora correcta por
       5min                      10hrs     primera vez (puede existir por 2a vez etc)
12 x 60min                       xhrs      debe adelantarse 12hrs = 12 x 60min

X=                = 1440 hrs Al dividir entre 24 se tiene:     X = 60 días < > 2 meses




                                                                                               36
7.- Un reloj digital se adelanta 4 minutos cada 7 horas. ¿A que hora empezó a adelantarse, si a
las 23:10 horas marca 23:18 horas?


 Adelanta                         cada       HR = 23:10
    4min                          7 hr       HM = 23:18
    8min                          x hr       HR = HM        adelanto
                                             Adelanta = HM      HR

  X=          = 14hrs                                = 23:18     23:10 = 0:8= 8 min

                                                      Luego : 23:10      14:00 = 9:10
8.- Un reloj se atrasa 2 minutos cada 45 minutos, si se puso a la hora a las 7:45 p.m. ¿Qué hora
marcara cuando realmente sean las 8:30 a.m.del día siguiente?


Atrasa                  cada         HR = 8:30
2min                    45min        de 7:45pm a 12:00 de la noche hay: 4:15
Atraso                  765min      y de 12 de la noche a 8.30am. Hay 8:30.
                                       luego han transcurrido 12:45 horas = 765min.
           765
Atraso =       min = 34min               HM = HR - ATRASO = 8:30             0:34 = 7:90   0:34 =
            45
7:56am
9.- Supongamos que los dos tercios del tiempo transcurrido del día de hoy es la mitad de los 4/5
de lo que falta por transcurrir ¿Qué hora es?


                                             24   x hrs.
                                   X
                               Transcurrio                     falta transcurrir
                  0hr                             xhrs                                     24hr
                                         2    1 4
                                           x=     (24 x)               x = 9am
                                         3    2 5
10.- Un reloj se adelanta un minuto cada 900 segundos. Si ahora marca las 4:20 y hace 8 horas
que se adelanta ¿Cuál es la hora correcta?


Adelanta                       cada                   HM = 4.20
1min                            900seg                HR = ? = HM - adelanto
Adelanta                         8 x 60 x 60seg       HR = 4:20      0:32

                                                           = 3:80    0:32 = 3:48

                                                                                                    37
11.- Un reloj que sae atrasa 5 minutos en cada hora, es sincronizado hoy al mediodía ¿Qué
tiempo, como mínimo deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta?




   Atrasa                        cada     Para que vuelva a marcar la hora correcta por
    5min                         1 hr    primera vez (puede existir por 2a vez etc)
12 x 60min                       xhrs     debe retrasarse 12hrs = 12 x 60min
     12(60)1                                      144hrs
X=           = 144 hrs                                   x 1dia = 6dias
        5                                          24hrs
12.- Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m.; uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuarto de
hora y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8.==
p.m. lo sminuteros de los dos relojes?




De 8am a 8pm.                              De 8am a 8pm
Transcurren 12hr                          transcurren 12hr
   Adelanta                   cada           Atrasa                        cada
                                1
     15seg                        hrs            45seg                      1hr
                                4
   Adelanta                   12hr               atrasa                    12hr
             15(12)
Adelanta =          = 720 seg                    atraso =          = 540 seg
               1
                 4
                   = 12 min                                     = 9min.
HM = 20:00 + 0:12 = 20:12                HM = 20:00         0:09 = 19:51

Luego distande las 8 ambos relojes:      20:12     19:51 = 19:72 19:51 = 0:21




                                                                                              38
                               MANECILLAS
Propiedad Fundamental.- Se aplica para hallar el ángulo convexo entre el horario y el minutero.
Se divide en dos casos:
a) Cuando el horario adelanta al minutero después de la 12 en sentido horario, se tiene:


                                             0       11
                                                 =      M + 30 H
                                                      2




b) Cuando el minutero adelanta al horario después de las doce


                                                          0       11
                                                              =      M 30H
                                                                   2




M= Número de minutos
                          0
H= La hora que sucede
 0
  = ángulo entre H y M en grados sexagesimales


1.- ¿Qué hora es cuando el horario y el minutero están sobrepuestas entre las 3 y las 4?
Sobrepuesta, entonces
                                      Un santiámen atrás el horario adelantaba al minutero
                                      entonces H adelanta a M.
                                                     11
                                          0o=
                                                      2
                                          Como se dice entre las 3 y las 4, entonces H = 3
                                          Si dijese entre las 4 y 5, entonces H seria igual a 4.
                                                          180                            180
                                       (1)           M=       min       Respuesta: 3hr       min
                                                           11                             11
                                4                 240
                   3hr 16min      min = 3hr 16min     seg.                   ; 1min < > 60 seg.
                               11                 11


                                                                                                   39
2.- ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 3:35?


H = 3 ; M = 35
M adelanta a H

  o       11
      =      (35) 30(3) = 102.5
           2


      = 102o 0.5o = 102o




3.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por
primera vez?

            0
                = 900
                                                Por primera vez
                                                (antes de que le alcance el minutero al horario)
                                                H adelantada a M
                                                        11                60
                                               90 = -      M + 30(4); M =    min = 5min
                                                         2                11
 5
   min
11
                                                                 5                    300
                                                    4hr 5min       (60seg) = 4hr 5min     seg.
                                                                11                     11


4.- ¿A qué hora exactamente entre las 4 y las 5 el horario y el minutero forman ángulo recto por
segunda vez?
            0
                = 900 por segunda vez
(luego de que el min. Pase al horario)
                                               M adelanta a H
                                                   11
                                            90 =      M - 30(4);
                                                    2
                                                   420              2
                                             M=        min = 38min    (60seg)
                                                   11              11
                                                                 2
                                                   4hr 38min       (60seg)
                                                                11


                                                                                                 40
5.- ¿A que hora entre las 2.00y 2:15 horas, el ángulo formado por el horario y el minutero es
igual al que ellas forman 15 minutos después?


- todo ángulo en minutos (una vuelta de 60 min)
                                                                   x
- por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza           min
                                                                  12
Estas dos proposiciones hay que aplicar:


                                                                            Del gráfico:
                                                                                15
                                                  1
                                                                                12
                                                                                          M
                                                                                      -
                                                                                          12
         M'                                                  2
                                M                                          Resolviendo el sistema se
         12                                                  1
tiene:

                                                                  15                            75
                                                                                           M=
         15 '                                                                                   22
         12                                                  3
                                                                                           75
                                                                                     2hr      min
                                                                                           22

                                                         4




6.- Faltan para las 9 horas la mitad del tiempo (en minutos) que paso desde las 7 horas ¿Qué
hora marca el reloj?


                   xhrs
                                                 9 (7+x)
           PASO                              FALTAN
7hr                                  7 + x hrs                   9h
                                                             x                     4      1
                                             9 (7 + x) =                      x=     = 1hr hr
                                                             2                     3      3
                                     1                                      1     1
                7 + x = 7 + (1hr +     hr) = 8hr 20min                        hr = (60min) = 20min
                                     3                                      3     3

                                                                                                       41
7.- ¿Cuál es el menor ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 9 horas 10 minutos?


                                                   H=9 ;               M = 10
                                                           H adelanta a M

                                                           0           11
                                                               =          (10) + 30(9)
                                                                        2
                                                           0
                                                               = 2150
                                                               menor ángulo será : 3600 - 2150

                                                               = 1450




8.- A que hora entre las 7 y las 8 las agujas de un reloj está superpuestas?
                                                                   0
                                                                       = 00
                                               H adelanta a                M ( instantes atrás )

                                                       0           11
                                                           =          M + 30(7)
                                                                    2
                                                               420              2
                                                   M=              min = 38min    min
                                                               11              11
                                                                   120
                                                M = 38min              seg                      7hr 38min
                                                                    11
120
    seg
 11




9.- Hallar el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 3 horas con 38 minutos



                                                                                                         0
                                                                                                             =?
                                                                              H adelanta a M
                                                   3
                                                                              0       11
                                   0                                              =      (20)   30(3) = 1190
                                                                                       2
                                               4
                      7
                               6



                                                                                                               42
10.- ¿Qué ángulo forman entre si las agujas de un reloj a las 11 horas 20 minutos?
                             12
                                                                                         0
               11                                                                            =?
                                                    H adelanta a         M
          10
                                                     0         11
                                                         =        (20) + 30(11) =
                                                                2
          9              0                   3
                                                     0
                                                         = 2200          ó    360    220 = 1400




11.- ¿Qué hora indica el reloj?
- Todo ángulo en minutos
                                                                x
- Por cada x min que avanza el minutero, el horario avanza        min.
                                                               12




                                                                lo que avanza el minutero
                                                                                                   25
                                                                                =5
                                                                                                   13
                                                                        25              12
                                                             3h (35 +      )min = 3hr 36 min
                                                                        13              13



12.- ¿A qué hora después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta
a la marca de las 12 ¿
                                                                                    M
                                                              Del gráfico                    (1)
                                                                                    12

                             1
                                  2
                                                 M min
                         M
                         12
                         12           3

                                  4       Resolviendo el sistema:       M = 24min

                                                                              2hr 24min
                              5

                                                                                                        43

				
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