Integrales Triples by profealex21

VIEWS: 30,753 PAGES: 8

									FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                            ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                              2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE




          PROBLEMAS resueltos DE INTEGRALES MÚLTIPLES




1. Calcular el valor de la integral:
                                                                      I=     ∫∫∫ zdxdydz
                                                                              V
dónde V es el recinto acotado del semiespacio z ≥ 0 interceptado por la esfera x + y + z = 1y
                                                                                                                                     2            2   2


el cono x + y = z .
              2          2       2


                                                                             SOLUCIÓN: Haciendo el cambio a coordenadas
                                                                                                               x = ρ Senϕ Cosθ 
                                                                                                                               
                                                                             esféricas:                        y = ρ Senϕ Senθ             la       integral
                                                                                                              z = ρ Cosϕ       
                                                                                                                               
                                                                             queda
                                                                                                π                                    π
                                                                                   2π               4     1                              4
                                                                                                                             2π
                                                                             I=    ∫ ∫ ∫
                                                                                   0
                                                                                        dθ
                                                                                                0
                                                                                                        dϕ ρ 3 SenϕCosϕ dρ =
                                                                                                          0
                                                                                                                              4      ∫ SenϕCosϕdϕ =
                                                                                                                                      0
                                                                                        π
                                                                                            4                                  π
                                                                                   π                              π
                                                                               =        ∫       Sen2ϕ dϕ =          [− Cos 2ϕ ]04 = π .
                                                                                   4                              8                 8
                                                                                        0




2.            Calcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por la superficie de ecuación
z=xe
          (
         - x2 + y2   )   y por el plano z = 0 .

SOLUCIÓN: Del enunciado se deduce que el sólido se puede expresar como

                                                                 -( x 2 + y 2 ) 
                   S = ( x , y , z ): x ≥ 0 , y ≥ 0 ,0 ≤ z ≤ x e                .
                                                                                
Por lo tanto su volumen se obtiene de la siguiente forma

                                           ∞∞
                                                      (
                                                      - x2 + y2   ) dydx ,
                             Vol ( S ) =   ∫∫    xe
                                           0 0
                            x = ρCosθ
Con el cambio a polares                J = ρ ,la integral queda
                            y = ρSenθ
                              π                         π 2     ∞
                                2∞                                         
                                   ρ Cosθ e dρ dθ = Cosθ dθ   ρ 2 e − ρ dρ ,
                                           ∫∫
                                            −ρ
                                                                                            ∫                      ∫
                                               2                          2
                 Vol ( S ) =        2
                                                        0        0        
                               0 0                                        
y como




                                                                                                                                                            1
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                                 ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                                   2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



                                 π
                                                                                   ∞                                         ∞
                                                                                                                                                      Γ( 1 2 )
                                                                                                           {           } ∫x
                                     2
                                                                                                                                 1                                   π
                                 ∫                                                 ∫
                                                                                         2 −ρ2                           1           2 e − x dx
                                       Cosθ dθ = 1                                      ρ e       dρ = x = ρ       2
                                                                                                                       =                          =              =     ,
                                                                                                                         2                               4           4
                                   0                                                0                                        0

                                                                                                       π
resulta que el volumen pedido vale                                                 Vol ( S ) =           .
                                                                                                      4
Cabe observar que al obtener el volumen como resultado de una integral doble impropia (límites de
integración infinitos), éste se puede plantear como el límite de la sucesión de integrales dobles siguiente:

                                                                      (
                                                                   - x 2 + y2       ) dxdy
                                                n→∞ ∫∫
                                 Vol ( S ) = lím       xe
                                                           Bn

donde                                       {
                                     Bn = ( x , y ): x 2 + y 2 ≤ n 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 ,                   }                   pues,                      evidentemente
 lím Bn = {( x , y ): x ≥ 0 , y ≥ 0} ="primer cuadrante". El lector comprobará que se obtiene el mismo
n→∞
resultado.




3. Calcular, con un cambio de variable adecuado la integral triple:

                                                         ∫∫∫ x
                                                                 n −1 n −1 n −1
                                                                          y         z         1 − x n − y n − z n dxdydz
                                                         Vn


donde Vn =          {( x , y , z): x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , x                  n
                                                                                                     }
                                                                                  + y n + z n ≤ 1 , siendo         n cualquier número natural sin
concretar y mayor que uno.


                                                                  {
SOLUCIÓN: El cambio de variable u = x n , v = y n , w = z n , de Jacobiano                                     }
              3 n − 1 n −1 n − 1
J xyz = n x            y       z          = 1 Juvw , transforma el sólido de integración en
V *n = {( u, v , w): u ≥ 0 , v ≥ 0 , w ≥ 0 , u + v + w ≤ 1} .
Por lo tanto, aplicando dicho cambio, la integral
planteada queda como


     ∫∫∫ x
              n −1 n −1 n −1
                   y         z            1 − x n − y n − z n dxdydz =
     Vn


                         ∫∫∫
                   1
              =                        1 − u − v − wdudvdw =
                  n3     Vn*
          1       1− u      1− u − v

          ∫ ∫                    ∫
     1                                                                      8
=             du       dv                1 − u − v − wdw =                       .
     n3                                                                   105 n3
          0        0             0




4.            Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie de ecuación:

                                                (x                        )                   ( a > 0) .
                                                                          2
                                                     2
                                                         + y2 + z2                = a 3x
SOLUCIÓN:




                                                                                                                                                                           2
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                         ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                           2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



Comprobando que dicho sólido se encuentra en el semiespacio x ≥ 0 y que es simétrico respecto de los
planos y=0 y z=0, obtenemos que el volumen total es cuatro veces el
del sólido en el primer octante. Para calcular éste, a la vista de la  x = ρ Cos θ Senϕ
ecuación de la superficie parece adecuado un cambio a coordenadas     
                                                                      
                                                                       y = ρ Sen θ Senϕ J = ρ Senϕ
                                                                                              2
esféricas:.                                                           
La ecuación de la superficie tras el cambio realizado queda:           z = ρ Cos ϕ
                                                                      
ρ3 = a 3 Cos θ Sen ϕ , transformándose el sólido en el primer octante
en S * =            {( ρ, θ , ϕ ): 0 ≤ ρ ≤ a       3
                                                                                                              }
                                                       Cos θ Sen ϕ ,0 ≤ θ ≤ π 2 ,0 ≤ ϕ ≤ π 2 . Así, el volumen pedido es:
                                                              π 2          π 2              a 3 Cos θ Sen ϕ              π 2       π 2
                                                                                                                  4a 3
Vol = 4         ∫∫∫      ρ 2Sen ϕ dρ dθ dϕ = 4 dθ              ∫           ∫    Sen ϕ dϕ           ∫   ρ dρ =            ∫    dθ   ∫ Cos θ Sen ϕ dϕ =
                                                                                                        2                                          2
                                                                                                                   3
                    S*                                         0            0                      0                      0         0

         3 π 2                     π 2                             3
                                                                         1 3  πa           3

           ∫ Cos θ dθ ∫ Sen ϕ dϕ
4a                                                            4a
                                             2
                                                        =              β ,  =    .
 3                                                             6         2 2   3
            0                       0



5. Dada la función f ( x , y ) definida en el rectángulo
                                                                1
                                                                y2  , si 0 < x < y < 1
                                                               
                          {                                        }
[0,1] × [0,1] = ( x, y):0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 ,como f ( x, y ) = − 12 , si 0 < y < x < 1
                                                               
                                                                x
                                                                0   ,    resto del rectangulo
                                                               
                                                               
                                             1 1                           1 1
se pide demostrar que:                       ∫ ∫ f ( x, y)dxdy ≠ ∫ ∫ f ( x, y)dydx
                                             0 0                           0 0


SOLUCIÓN:
Calculamos
                    1 1                    1 y                        1       
                    ∫∫                             ∫∫                  ∫
                                                1                          1 
primero:                  f ( x , y )dxdy =  2 dx −                         dx dy =
                                              y                           x2 
                    0 0                    0 0                        y       
     1
  1     1
     ∫
=  + 1 −  dy = 1 . La segunda de las integrales es:
  y
     0
         y
1 1                    x 1      1
                                   1 
                                   1           1
                                                  1     1
∫∫  f ( x , y )dydx =  − 2 dy +
                       x          ∫ ∫
                                   y 2
                                       dy dx =  − − 1 +  dx = −1 .
                                                 x     ∫
                                                         x                       ∫
0 0                  0 0        x            0
Queda, por lo tanto, comprobado lo demandado en el enunciado del problema.

6.        Calcular            el        volumen         del    sólido            limitado        por    el    plano      z =0            y   las   superficies
x + y = az , x + y = 2ax , a > 0 , utilizando:
     2          2             2          2
                                                                                       a)Integral doble.                      b)Integral curvilínea.
SOLUCIÓN:


                    a)Descripción del sólido: x 2 + y 2 = az es un paraboloide de sección circular con vértice en el
origen y se encuentra en el semiespacio z ≥ 0 , x 2 + y 2 = 2ax es un cilindro vertical de sección circular.

                                  a.1. Cálculo en coordenadas cartesianas.




                                                                                                                                                            3
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                             ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                               2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



                                       y² + x²
                  Vol(V)=     ∫∫          a
                                               dx dy ,
                                  D


donde D={(x,y): ( x − a) 2 + y 2 ≤ a 2 }, luego

                                  2a       a ² − ( x − a )²

                                  ∫             ∫ (x² + y²) dy dx =
                           2
                  Vol(V) =
                           a
                                  0             0



                              2                                       
                                (2a) 4 β ( 7 , 3 ) + (2a) β ( 5 , 5 )  = 3πa .
                                                          4                    3
                          =
                              a
                                           2 2         3      2 2         2

          a.2. Cálculo en coordenadas polares.

Con el cambio de variable

                  x = a+aρCosθ,

                  y = aρSenθ,

resulta

                                  1 2π
                                                                                     3πa 3
                                  ∫∫
                              1
                  Vol(V) =                  a² ρ (a² ρ ² + a² + 2a² ρCosθ )dθ dρ =         .
                              a                                                        2
                                  0    0


          b)Cálculo usando integral curvilínea:

        Usamos el Teorema de Riemann y, para ello, hemos de encontrar P(x,y) y Q(x,y) continuas, con
derivadas parciales acotadas e integrables en D y tales que

                    y² + x²     dQ   dP 
                             =     -     , ∀(x,y) ∈ D,
                    a           dx   dy 

                                                                                 y² + x²
pues, entonces, podemos afirmar que                             Vol(V) =   ∫∫       a
                                                                                         dx dy =   ∫ Pdx + Qdy ,
                                                                             D                     γ


donde γ es la circunferencia de centro (a,0) y radio a. Obligamos a que

                     y² + x²     dQ   dP                   dQ   dP 
                              =     -     , ∀(x, y) ∈ D =     -     , ∀(x,y) ∈ D,
                     a           dx   dy                   dx   dy 

de donde resulta que, por ejemplo,

                  P(x,y)= -y3/3a, Q(x,y)= x3/3a.

Será, entonces,




                                                                                                                   4
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                             ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                               2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



                                           −1
                    Vol(V) =
                                           3a   ∫
                                              (-y 3 dx + x 3 dy) =
                                                g


                                  2π
                             a3                                                                                            πa 3
                    =
                             3    ∫0
                                       (Sen 4 t + Cos 4 t + 3Cos 3 t + 3Cos 2 t + Cost)dt = 3
                                                                                                                            2
                                                                                                                                .


7. Dados el paraboloide x 2 + y 2 = 2z y la esfera x 2 + y 2 + ( z − 11) 2 = 25 , calcular, usando integrales
múltiples, el volumen que es interior simultáneamente a ambas superficies.
SOLUCIÓN:

La proyección en el plano z = 0 del volumen es el recinto
limitado por la circunferencia x 2 + y 2 = 24 . Sin embargo,
advertimos que hay dos partes diferenciadas en el sólido cuyo
volumen se quiere calcular. Por los puntos tales que
 x 2 + y 2 ≤ 16 la vertical entra en el sólido por la esfera y
sale también por la esfera. Pero por los puntos tales que
16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 24 la vertical entra en el sólido el
paraboloide y sale por la esfera.
Entonces,
         Vol= V1 + V2 ,
donde
                                                     (
                                         11+ 25 − x 2 + y 2           )
         V1 =       ∫∫            dxdy              ∫ dz
                x 2 + y 2 ≤16
                                                     (
                                         11− 25 − x 2 + y 2           )
                                                              (
                                              11+ 25 − x 2 + y 2              )
         V2 =          ∫∫              dxdy                  ∫ dz                 .
                16 ≤ x + y ≤ 24
                       2      2
                                                    (x   2
                                                             +y   2
                                                                      )
                                                             2
Para calcular el primer volumen hacemos una traslación de la esfera al origen , aplicamos simetrías y un
cambio a cilíndricas, quedando
                               25 −( x 2 + y 2 )  x = ρCosθ            π    25 − ρ 2
                                                 
                                                                
                                                                 
                                                                      4    2
         V1 = 8       ∫∫  dxdy
                                                 
                                                    ∫
                                        dz =  y = ρSenθ , J = ρ  = 8 dρ dϑ
                                                                 
                                                                                   ρ dz =                           ∫ ∫             ∫
                x + y ≤16
                  2     2
                                    0                                 0   0     0
                x , y ≥0                         z = z
                                                                
                                                                 
                                  4                                                                             4
                        π                                2
                                                                                      (            )       2       392π
                                                                                                       3
                     =8           ∫    ρ 25 − ρ dρ = −2π  25 − ρ 2                                          =
                                                    2
                                                         3
                        2                                                                                  
                                                                                                            0        3
                                  0
Para calcular el segundo volumen aplicamos simetrías con respecto a x e y, y un cambio a polares,
quedando
                                                  x2 + y2                                   (            )
         V2 = 4            ∫∫
                               
                                11 + 25 − x + y −
                               
                                            2   2
                                                       2
                                                            
                                                                  (
                                                             dxdy =
                                                            
                                                                                      )
                16 ≤ x + y ≤24 
                      2   2
                                                            
                  x , y ≥0
                                                                          π
                      x = ρCosθ
                                        
                                         
                                               2  2 6
                                                                                                
                                                                                                                ρ2 
                                                                                                                         76 π
                    =
                      y = ρSenθ
                     
                                 , J = ρ  = 4 dϑ
                                         
                                         
                                                                          ∫               ∫   ρ 11 + 25 − ρ 2 −
                                                                                                
                                                                                                                2 
                                                                                                                    dρ =
                                                                                                                          3
                                                                                                                               .
                                              0    4




                                                                                                                                        5
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                                     ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                                       2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



Entonces:
                                                  392π 76 π
                Vol= V1 + V2 =                        +     =156π
                                                    3   3




8. A)           Dado un sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono                                                                     z = x2 + y2 y
superiormente por la superficie x 2 + y 2 + z 2 = 1 , calcular la integral triple
          (x +y              )
                                 3
                      + z2
∫∫∫
            2     2                  2
      e                                  dxdydz
 T
B)              Basándose en el apartado anterior calcular ahora la integral
          ( x +4 y               )
                                     3
                          + z2
∫∫∫
            2         2                  2
      e                                      dxdydz
 T

SOBRE el sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono                                                                                   z = x 2 + 4y2 y
superiormente por la superficie x 2 + 4 y 2 + z 2 = 1 .
SOLUCIÓN:

                                                                                                 A)        Haciendo el cambio a coordenadas esféricas:
                                                                                                                    x = ρ Senϕ Cosθ 
                                                                                                                                    
                                                                                                                    y = ρ Senϕ Senθ  la integral
                                                                                                                   z = ρ Cosϕ       
                                                                                                                                    
                                                                                                           queda
                                                                                                                   π            π                                                   π
                                                                                                                       2            4     1                        1                    4
                                                                                                                                                              4π
                                                                                                                    ∫           ∫ ∫                                ∫                ∫ Senϕdϕ =
                                                                                                                                              2 ρ3                      2 ρ3
                                                                                                            I =4           dθ           dϕ ρ e       Senϕdρ =          ρ e     dρ
                                                                                                                                                               2
                                                                                                                    0           0         0                        0                0

                                                                                                                  2π                 2
                                                                                                                =    . ( e − 1) 1 −
                                                                                                                                      
                                                                                                                   3                2 
                                                                                                                                       
                B)       Ahora podemos actuar de dos maneras para llegar a lo anterior. La primera es
                comenzar haciendo el cambio de variables:
                         x = u
                         
                             v              1
                          y =  J( u,v , w ) = ,
                             2               2
                         z = w
                               
                que transforma las superficies que acotan al sólido en las de ecuaciones:
                                  w = u2 + v 2                                                             u 2 + v 2 + w2 = 1
                y la integral queda
                                                                              (u + v + w )                                       2
                                                                                             3
                                                                                                                π
                                                               ∫∫∫
                                                                                2   2   2        2
                                                           1
                                                      I=                  e                          dudvdw =     . (e − 1) 1 −
                                                                                                                                  .
                                                           2                                                    3               2 
                                                                                                                                   
                                                               Tu*,v ,w
                La segunda forma de enfocar el problema es haciendo el cambio a esféricas:
                                 x = ρ Senϕ Cosθ 
                                                     
                                 y = 1 2 ρ Senϕ Senθ  J = 1 2 ρ Senϕ
                                                                 2

                                                     
                                z = ρ Cosϕ           



                                                                                                                                                                             6
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                  ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                    2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



                                                              π            π                                                 π
                                                                  2            4     1                      1                    4
                                                                                                       2π
                                                              ∫            ∫ ∫     dϕ ρ 2 e ρ Senϕdρ =      ∫   ρ 2 e ρ dρ   ∫ Senϕdϕ =
                                                                                            3                        3
                                                     I =2             dθ
                                                                                                        2
con el que la integral queda                                  0            0         0                      0                0

                                                          π               2
                                                         = . (e − 1) 1 −
                                                                           
                                                          3              2 
                                                                            


9. a)           Calcular el volumen del sólido acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por la
                superficie 9 x 2 + 9 y 2 + 16 z 2 = 4 2 3 2 y lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 − 4 y = 0 .
                b)       Lo mismo para el sólido inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie
b 2 x 2 + b 2 y 2 + a 2 z 2 = a 2 b 2 y lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 − ay = 0 .

SOLUCIÓN:
                a) La proyección sobre el suelo del sólido coincide con la sección recta del cilindro, esto es, la
circunferencia de ecuación x 2 + ( y − 2 ) 2 ≤ 4 .La superficie que lo limita superiormente es el elipsoide
                                                x2       y2       z2
del enunciado, de ecuación                    = 1 . Por lo tanto y gracias a la simetría con respecto a la
                                                     +        +
                              42 42 32
variable x del sólido, se puede expresar el volumen como:
Vol                                         =
                                 x2 y2 
6           ∫∫               1−        
                                 2 + 2  dxdy =
                                4   4 
     x 2 + ( y − 2 )2 ≤ 4
    
    
    
             x ≥0

 x = 4 ρ Cosθ 
              ( J = 16 ρ )                             =
 y = 4ρ Senθ 
                                         4
= 96           ∫∫ ρ 1 − ρ 2 dθdρ = 16 π −  .
                                         3
        
           0 ≤θ ≤π2
        
        0 ≤ ρ ≤ Senθ
        



b) El sólido del que se habla es una
generalización del del anterior apartado.
Ahora los semiejes del elipsoide, uno de
los cuales coincide con el diámetro de la
circunferencia-proyección     son      las
constantes de valor no concreto a y b. Así
las cosas el volumen lo calculamos
integrando:

                                                    x2 y2          x = aρ Cosθ 
                             ∫∫                 1−        
                                                    2 + 2  dxdy =  y = aρ Senθ ( J = a ρ ) =
                                                                                          2
Vol = 2b
                                                   a   a                       
                                    ( )
                  x 2 + ( y − a )2 ≤ a     2
                                2      2
                 
                 
                              x ≥0

                                                  a 2b    4
= 2a 2 b           ∫∫    ρ 1 − ρ 2 dθdρ =
                                                   3 
                                                       π −  .
                                                           3
              0 ≤θ ≤π
                       2
             
             0 ≤ ρ ≤ Senθ
             




                                                                                                                                          7
FACULTAD DE INFORMÁTICA                                                                                ANÁLISIS MATEMÁTICO
DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA                                                                  2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE



10.                          Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies

                                                       x2 + y 2 + z 2 = b2 − 1 y z = b x 2 + y 2 (               )
siendo b un número mayor que uno y supuestamente conocido (parámetro del problema).


SOLUCIÓN:

        El sólido en cuestión está acotado inf. Por el semicono y superiormente por la esfera dados en el
enunciado (es como un helado de cucurucho).

               Por lo tanto el volumen lo calculamos con la siguiente integral:

                                                                                                                      (
                                                                                                            b 2 −1 − x 2 + y 2    )
                                                                           VOL=
                                                                                       ∫∫            dxdy             ∫ dz
                                                                                  x 2 + y 2 ≤ b −1                (
                                                                                                                 b x2 + y 2   )

                                                                           : Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas y
                                                                                                 x = ρ Cosθ 
                                                                                                            
                                                                           aplicando simetrías:  y = ρ Senθ  la integral queda:
                                                                                                z = z       
                                                                                                            



           π                              2
                                              −1− ρ      2
               2         b −1         b                             b −1

VOL= 4 dθ      ∫         ∫      ρdρ           ∫ dz           = 2π   ∫ ρ    b 2 −1− ρ            − bρ            dρ =
                                                                                             2               2
                                                                                                                
                                                                                                                
               0         0                    bρ   2                0


=
    2π
    3
      (b   2
                     )          {
                   −1 b −1 b +1 − b                     }




                                                                                                                                      8

								
To top