Docstoc

SISTEM BILANGAN REAL

Document Sample
SISTEM BILANGAN REAL Powered By Docstoc
					Sistem Bilangan Real                                                                   1




A. PENDAHULUAN

Standar Kompetensi Sistem bilangan real terdiri dari lima kegiatan belajar dan setiap
kegiatan belajar memuat tujuan, uraian materi, rangkuman, tes formatif dan tugas.
Kegiatan belajar dalam modul ini adalah Operasi pada bilangan real; Perbandingan,
skala dan persen; Operasi pada bilangan berpangkat; Operasi pada Bilangan
Irasional dan Konsep Logaritma. Modul ini digunakan sebagai kompetensi dasar
untuk mempelajari modul-modul yang lain. Sebelum mempelajari modul ini ingatkan
kembali memori tentang penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, penjumlahan dan
pengurangan pecahan, desimal dan persen.

Pada setiap akhir kegiatan belajar tercantum test formatif dan tugas. Tes formatif
digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap modul ini secara mandiri, artinya
setelah mempelajari kegiatan belajar secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai
fasilisator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal tes formatif ,
tanpa terlebih dahulu melihat kunci jawaban yang sudah tersedia. Untuk mengukur
kemampuan anda apakah anda layak melanjutkan atau tidak kepada kegiatan belajar
selanjutnya gunakan rumus “ Tingkat Penguasaan “ yang tertera pada pendahuluan.

Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal dalam
kegiatan belajar ini, kerjakan soal Tugas yang tertera pada modul tersebut di rumah. Jadi
soal-soal yang tertera di Tugas berguna untuk mengasah kemampuan anda supaya lebih
lancar dalam mengerjakan soal

Setelah anda sudah yakin bahwa Tingkat Penguasaan anda pada setiap kegiatan belajar
sudah mencapai 65% ke atas, dan anda sudah mengasah kemampuan anda dengan
mengerjakan soal-soal tugasnya. Maka diakhir semua kegiatan belajar ini, guru akan
memberikan evaluasi dari sebagian soal-soal evaluasi pada modul ini untuk mengukur
apakah anda layak atau belum layak mempelajari modul berikutnya. Anda dinyatakan
layak jika anda dapat mengerjakan soal 65% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan
diberikan guru.
2                                                                                 Modul Matematika X Non Teknik


B. KEGIATAN BELAJAR (KB)
KB.1. Operasi Pada Bilangan Real
a. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda dapat :
        1.     Membuat skema bilangan Real
        2.     Mengoperasikan dua atau lebih bilangan Bulat
        3.     Mengoperasikan dua atau lebih bilangan Pecahan
        4.     Mengkonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya
        5.     Mengkonversikan pecahan ke decimal atau sebaliknya
        6.     Mengkonversikan persen ke decimal atau sebaliknya
        7.     Mengoprasikan bilangan pecahan dengan bilangan bulat

b. Uraian materi
b.1. Skema Bilangan
                                   Bilangan Kompleks


    Bilangan Imajiner (akar B. Negatip)                 Bilangan Real


                                   Bilangan Rasional                              Bilangan Irasional


                                                       Bilangan Pecahan                                 Contoh: Bentuk akar , nilai log. dll


                                                                                   Pecahan persen


                                                                                   Pecahan desimal


                                                                              Pecahan Biasa/campuran


                                                        Bilangan Bulat


                                                                                     Bil. Bulat Positip
                                                                          (Bil. Cacah jika digabung dengan nol)


                                                                                                                  Bilangan prima


                                                                                                             Bilangan Komposit dan 1


                                                                                          Nol


                                                                                   Bil. Bulat Negatip


Keterangan diagram:
  Contoh Bilangan Imajiner √-1 = I , √-2 dst
  Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dibentuk menjadi a/b dengan b ≠ 0
  Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk menjadi a/b atau
   bilangan yang banyaknya desimal tidak terhingga.
  Contoh : √2 = 1,4… ; log 3 = 0, 477… ; π = 3,14…. dll
 Ada bilangan yang memiliki banyaknya desimal tak terhingga, namun merupakan
   bilangan rasional yaitu bilangan desimal berulang.
Desimal berulang dinotasikan dengan tanda garis (bar) di atas angka yang berulang

Contoh 1
0,666…              = 0, 6
Sistem Bilangan Real                                                               3


2, 363636… = 2, 36
5,125252525… = 5,125

Untuk mengubah desimal berulang menjadi pecahan, gunakanlah triks di bawah ini :
           berulang 1 penyebutnya 9, berulang 2 penyebutnya 99 dan seterusnya

Contoh 2
          1                    18 2                    1
0,333…. =        0,181818…=              2,111… = 2
          3                    99 11                   9
           7                    2    1                     549 61
0, 777… =         0,02222… =              0,549549..=         
           9                    90 45                      999 111
 Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor
 Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki faktor lebih dari dua


b.2. Operasi pada bilangan Real
b.2.1. Operasi penjumlahan dan pengurangan
Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan yaitu :
             * Komutatif        a+b=b+a                         ; a, b € R
                 Contoh 3:        3+5=5+3
                                      8= 8
                            10 + (-3) = -3 + 10
                                   7   = 7
             * Assosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c )      ; a, b, c € R
                 Contoh 4: ( 2 + 7) + 5 = 2 + ( 7 + 5 )
                                     9 + 5 = 2 + 12
                                        14 = 14
             * Memiliki elemen netral penjumlahan yaitu 0
             * Memiliki invers penjumlahan. Invers penjumlahan dari a adalah – a
               Contoh: invers penjumlahan dari 2 adalah -2,
                        invers penjumlahan dari – 5 adalah 5


Untuk penjumlahan pecahan maka berlaku :
             a b ab            a b ab
                                
             c c  c             c c  c
             a c ad  bc        a c ad  bc
                                
             b d   bd           b d   bd


Contoh 5
       2 3 23 5
           
       8 8  8   8
        2 3 2.5  3.3 10  9 19
                        
        3 5    3.5     15     15
        1 2 1.5  2.7 5  14     9
                         
        7 5    7.5      35      35
           1   3 11 10 77  50 27
      2     1            
           5   7 5   7   35     35
4                                                             Modul Matematika X Non Teknik

b.2.2 Operasi perkalian dan pembagian
Pada perkalian dan pembagian bilangan bulat, rasional dan real berlaku:
            a x b = ab       a x (- b) = - (ab)       ( -a) x b = - (ab)   (-a) x (-b) = ab
                      a                    a                        a                      a
            a:b=             a : (-b) = - ( )         (-a) : b = - ( )     (-a) : (-b) =
                      b                    b                        b                      b

Contoh 6
   2 x 5 = 10
   -4 x -3 = 12
   60 : -5 = - 12
   -12 : -6 = 2

Sifat –sifat pada operasi perkalian dan pembagian:
        Komutatif dan Assosiatif berlaku juga pada operasi perkalian, yakni :
        o Komutatif : a x b = b x c
        o Assosiatif : ( a x b ) x c = a x ( b x c )         ; a, b, c € R
        Memiliki unsur identitas/ Elemen netral yaitu 1
        Memiliki invers perkalian

Contoh 7
                         1                        2      3
                           , Invers perkalian dari adalah , Invers perkalian dari
Invers perkalian dari 2 adalah
                         2                        3      2
 3         5                            1       3
– adalah –   dan Invers perkalian dari 2 adalah .
 5         3                            3       7

Perkalian dan pembagian pecahan:
             a c ac          a c ad
              x              : 
             b d bd          b d bc

Contoh 8
Hukum komutatif:
         1) 7 x 4 = 4 x 7
             28 = 28
         2) 10 x -5 = -5 x 10
                 -50 = -50

Hukum Asosiatif :
         3)     ( 5 x 7 ) x -2 = 5 x ( 7 x ( -2 ) )
                      35 x -2 = 5 x -14
                        -70    = -70
Perkalian dan pembagian Pecahan :
                     3 2 3.2    6    3
            4)         x        
                     4 5 4.5 20 10
                      5 2 5 3 15 5
            5)          :   x        
                     12 3 12 2 24 8
                      1   3 11 10 110 22
            6)       2 x1     x        
                      5   7 5 7       35   7
Sistem Bilangan Real                                                                    5

b.2.3 Sifat disributif perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan
           A x ( B + C) = (A x B) + (A x C)
          A x ( B - C) = (A x B) - (A x C)


Contoh 9
2 x ( 5 + 8) = (2 x 5) + ( 2 x 8) = 10 + 16 = 26
6 x ( 10 – 4)= (6 x 10) – (6 x 4) = 60 – 24 = 36

Catatan : Hirarki operasi bilangan real, selesaikan dahulu: Operasi dalam kurung, pangkat,
kali atau bagi, jumlah atau kurang

Contoh 10.
2 + 3 x 5 = 2 + 15 = 17 bukan 5 x 5 = 25
10 - 4 : 2 x 5 = 10 – 2x5 = 0 bukan 6 : 10 atau 10 – 4: 10 = 10 : 0,4


b.3. Mengkonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya
              a a                              p
                x100 %          P%=
              b b                             100

Contoh 11
                             1                1                   7
Konversikan ke persen : a.               b.                  c.
                             2                40                  8
Jawab:
    1       1
a.       =     x 100 % = 50 %
    2       2
     1    1
b.     =     x 100 % = 2,5 %
    40    40
   7     7
c.    =     x 100 % = 87,5 %
    8     8

Contoh 12
Konversikan ke Pecahan : a. 1,5 %              b. 25%

Jawab:
          1,5    15   3
a. 1,5 % =         
          100 1.000 200
           25   1
b. 25 % =     
          100 4

b.4 . Mengkonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya
               a
                 dihitung dengan a dibagi b
               b


Contoh 13
                             1           2                   1
Konversikan ke decimal a.           b.                  c.
                             8           5                   40
Jawab:
   1                                                              2
a.                           b. dengan cara yang sama               = 0,4
   8                                                              5
6                                                       Modul Matematika X Non Teknik


      8 10  0 ,125
         8
           
        20
                                   1
        16                    c.      = 0,025
                                  40
        40
        40
           
        0

Contoh 14
Konversikan ke Pecahan : a. 0,45        b. 0,0025   c. 0,272727….
Jawab:
           45   9
a. 0,45 =     
          100 20
              25      1
b. 0,0025 =        
            10.000 400
                27 3
c. 0,272727… =     
                99 11

b.5 Contoh-contoh soal aplikasi

Contoh 15
Dita membeli barang seharga Rp250.000,. kemudian ia menjualnya seharga Rp300.000,.
Berapa persen keuntungan yang diperoleh Dita?

Jawab:
     Untung = Harga jual – Harga beli
            = Rp300.000 – Rp250.000
            = Rp50.000

                  untung
     % Untung =           x 100 %
                   H.Beli
                     50.000
                  =         x100%
                    250.000
                  = 20 %


Contoh 16
Tentukan nilainya:
a. 12 % dari Rp. 400.000
    2
b.    dari Rp. 140.000
    7
c. 0,7777… dari Rp.81.000.000

Jawab:
                           12              4.800.000
a. 12% dari Rp.400.000 =       x 400.000 =           = Rp.48.000
                           100                100
    2                   2
b.    dari Rp. 140.000 = x 140.000 = Rp.40.000
    7                   7
                                7
c. 0,7777… dari Rp.81.000.000 = x 81.000.000 = Rp.63.000.000
                                9
Sistem Bilangan Real                                                                  7

Contoh 17
Harga barang setelah diskon 25% adalah Rp.337.500. Tentukanlah harga barang sebelum
diskon

Jawab:
Harga barang setelah diskon 25 % menjadi 75%, sehingga diperoleh skema sebagai
berikut:
                     Harga barang               persentase
  Sebelum diskon :      x                        100%
  Sesudah diskon :   Rp.337.500                  75%

                                 x      100
                                      
                              337.500 75
                                         337.500x100
                                   x =                 Rp.450.000
                                              75
Jadi harga barang sebelum diskon adalah Rp.450.000 ( akan di bahas pada K.B ke 2)

Contoh 18

Pak Abdullah akan menjual berasnya sebanyak 50 karung dengan berat perkarung 50 kg
Ia akan menjualnya melalui seorang komisioner bernama Yassin dengan kesepakatan
tarra 2% , rafaksi 10 % dan komisi 20%. Jika beras dijual Rp3.000 per kg. tentukan:
      a. Hasil komisi yang diterima Pak Yassin
      b. Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah

Jawab:
a. Glosarium:   % tarra = % berat pembungkus
                  Rafaksi = penyusutan
                 Bruto = berat kotor
                            Netto = berat bersih
Berat Bruto = 50 karung x 50 kg      = 2.500 kg
   Tarra          = 2% x 2.500 kg        =     50 kg _
   Netto                                = 2.450 kg
   Rafaksi     = 10% x 2.450 kg         =    245 kg _
   Berat bersih setelah rafaksi         = 2.205 kg
   Hasil penjualan sebelum komisi = 2.205 kg x Rp.3.000 = Rp.6.615.000
   Komisi yang diperoleh Yassin = 20 % x Rp.6.615.000 = Rp1.323.000


b. Hasil penjualan yang diterima Pak Abdullah = Rp.6.615.000 – Rp. 1.323.000
                                                 = Rp.5.292.000
Contoh 19
Seorang sales akan mendapatkan bonus mingguan 7,5 % jika omset penjualannya
antara Rp.5.000.000 sampai Rp.10.000.000; akan mendapat bonus 10 % jika omsetnya
di atas Rp.10.000.000 sampai Rp.20.000.000; dan akan mendapat bonus 15 % jika
omsetnya di atas Rp.20.000.000. Jika gaji tetapnya tiap bulan Rp. 1.750.000 dan hasil
penjualannya pada bulan mei 2005 sebagai berikut:
Minggu pertama omsetnya Rp.7.500.000
Minggu kedua omsetnya Rp.28.000.000
Minggu ketiga omsetnya Rp. Rp.3.000.000
Dan Minggu keempat omsetnya Rp.17.000.000
Tentukan Gaji dan bonusnya yang akan diterima karyawan tersebut pada awal Juni
2005
8                                                         Modul Matematika X Non Teknik

Jawab :
Bonus minggu pertama = 7,5 % x Rp. 7.500.000 = Rp. 562.500
Bonus minggu Kedua       = 15 % x Rp. 28.000.000 = Rp.4.200.000
Bonus minggu ketiga     = 0 % x Rp. 3.000.000    = Rp.          0
Bonus minggu keempat = 10 % x Rp. 17.000.000 = Rp.1.700.000 +
Bonus total yang diterima sales                  = Rp. 6.462.500
Jadi Total gaji dan bonusnya pada awal Juni 2005 = Rp.6.462.500 + Rp.1.750.000
                                                 = Rp. 8.212.500

Contoh 20
Seorang milyader meninggal dunia dan akan mewariskan hartanya kepada ketiga anaknya
dengan pembagian sebagai berikut: Anak pertama mendapatkan jatah 30%, anak kedua
dengan jatah 0,2222…. dan anak ketiga dengan jatah 1/5 dan sisanya disumbangkan
kepada beberapa yayasan social . Jika harta yang ditinggalkan sebesar Rp.18 miliar.
Tentukan jatah masing-masing anak dan berapa yang disumbangkan kepada yayasan
social tersebut.

Jawab:
Jatah anak pertama = 30% x Rp18 miliar     = Rp5,4 miliar
                                              2
Jatah anak kedua = 0,222… x Rp18 miliar =        x Rp18 miliar = 4 miliar
                                              9
                     1
Jatah anak ketiga =    x Rp18 miliar      = Rp3,6 miliar
                     5
Disumbangkan ke yayasan = Rp18 miliar – ( Rp5,4 miliar + Rp4 miliar + Rp3,6 miliar)
                         = Rp5 miliar atau
                                                     1
    Disumbangkan keyayasan = (1 – 30% – 0,222… – ) x Rp18 miliar
                                                     5
                                     3   2 1
                            = (1 –     – – ) x Rp18 Miliar
                                    10 9 5
                               90  27  20  18
                            =(                   ) x Rp18 miliar
                                       90
                              25
                            =     x Rp18 miliar
                              90
                            = Rp5 miliar


c. Rangkuman

1. Sifat-sifat Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan real:
     Komutatif
     Asosiatif
     Memiliki unsur identitas penjumlahan( 0)
     Memiliki unsur identitas perkalian (1)
     Memiliki invers perkalian dan penjumlahan

2. Untuk penjumlahan pecahan maka berlaku :
          a c ad  bc      a c ad  bc
                           
          b d   bd         b d   bd
       a b ab             a b ab
                           
       c c  c              c c  c
Sistem Bilangan Real                                                                 9

3. Perkalian dan pembagian pecahan :
       a c ac          a c ad
        x              : 
       b d bd          b d bc
4. Mengkonversikan pecahan ke persen atau sebaliknya
      a a                       p
         x100 % P % =
      b b                      100
5. Mengkonversikan pecahan ke desimal atau sebaliknya
       a
         dihitung dengan a dibagi b
       b
6. Pada perkalian dan pembagian bilangan bulat, rasional dan real berlaku:
      a x b = ab       a x (- b) = - (ab)   ( -a) x b = - (ab)   (-a) x (-b) = ab
                 a                   a                    a                      a
      a:b=             a : (-b) = - ( )     (-a) : b = - ( )     (-a) : (-b) =
                 b                   b                    b                      b


7. Sifat disributif perkalian dengan penjumlahan atau pengurangan:
       A x ( B + C) = (A x B) + (A x C)
      A x ( B - C) = (A x B) - (A x C)




1. Ubahlah menjadi % dan pecahan
   a. 0,45                                    b. 0,025

2. Ubahlah menjadi % dan decimal:
       3                                           9
   a.                                         b.
      16                                           4

3. Ubahlah menjadi pecahan :
   a. 0,888…                                                 c. 0,0272727…
   b. 1,363636…                                              d. 1,02222…

4. Selesaikan:
   a. 128 +(-39)                                             c. -138 + (-80) + 50
   b. 57 – 25                                                d. 57 – ( -24 ) – 21

5. Selesaikan:
             1    1                                    1    1
         a. 2  3                                  e. 5  1
             5    2                                    3    2
             5 3                                       1    1
         b. 1                                     f. 3  1
             8 4                                       2    6
            5 2                                       1 5 2
         c.  x                                     g.   
            8 9                                       2 6 3
             1 1                                       1    1
         d. 3 x2                                   h. 4  2
             3 2                                       3    2
10                                                      Modul Matematika X Non Teknik

6. Badru meninggal dunia dan hartanya sebesar Rp. 120.000.000 akan diwariskan kepada
                                                                1 1      1
   4 anaknya. Ketiga anaknya masing-masing akan mendapatkan , dan dari harta
                                                                3 4      5
   warisannya. Sedang sisanya diberikan kepada anaknya yang ke empat. Berapakah
   warisan yang diperoleh mereka masing-masing?

7. Neni akan menjual berasnya sebanyak 75 karung dengan @ 60 kg. melalui seorang
   komisioner bernama Bahlul dengan ketentuan sebagai berikut: tarra 1%, rafaksi 5%
   dan komisi 10% jika harga beras Rp.4.000 tiap kg tentukan :
   a . Komisi yang diterima Bahlul
   b. Hasil penjualan yang diterima Neni.

8.   Harga barang setelah diskon 7% adalah Rp.60.450, tentukanlah harganya
     sebelum diskon.




1. Tentukan nilainya :
       a.   8 + (-7)                         i. 5 – 4 + 8 + (-3)
       b.   -6–9                             j. 4 – 3 x 2
       c.   -12 x 5                          k. 8 : 2 x 5 + 3
       d.   28 : -4                               1     3
                                             l. 3  2
             3 5                                  6     7
       e.      
             4 6                                  2     3
                                             m. 4  3
             5 4                                  5     8
       f.      
             6 7                                  1    4
                                             n. 1 x3
              2 3                                 3 7
       g.    x
              5 7                                  1 3
                                             o. 2 : 1
            4 5                                    5 7
       h.     :
            6 8

2. Konversikan pecahan berikut ke persen dan desimal.
        5                                  6
    a.                                 d.
       16                                  50
        3                                   3
    b.                                  e.
       20                                  80
       7
    c.
       8

3. Ubahlah ke Pecahan:
   a. 0,28                 f. 0,121212….
   b. 0,025               g. 0,630630…
   c. 0,0015              h. 2,121212…
   d. 2,12                i. 0,05555….
   e. 0,222…..            j. 0,0363636…

4. Usman mengikuti suatu multi level marketing dengan ketentuan sebagai berikut:
     Akan menerima bonus 3% jika omset < Rp5.000.000
     Bonus 5% jika Rp5.000.000 < omset < Rp50.000.000
     Bonus 10% jika omset Rp50.000.000 lebih
     Bonus kerajinan 6% dari omset
Sistem Bilangan Real                                                               11

     Jika pada bulan Januari, Februari dan Maret omset Usman          berturut-turut
     Rp3.500.000; Rp18.000.000 dan Rp50.000.000, tentukan total bonus yang diterima
     Usman selama tiga bulan tersebut.

5. Seorang pedagang mangga membeli mangga 1,5 kwintal dengan harga total
   Rp500.000, Jika pedagang tersebut berhasil menjual mangganya 50 kg dengan harga
   Rp5.000 per kg, 80 kg dengan harga Rp.3.500 per kg dan sisanya dijual dengan
   harga Rp2.000 per kg. Untung atau rugikah pedagang tersebut dan berapa untung
   atau ruginya.

6. Pak Pohan membeli baju di swalayan “Maju Bersama” dan mendapatkan diskon 15%.
   jika pak Pohan harus membayar ke Kasir sebesar Rp306.000. Berapa harga baju
   tersebut sebelum diskon?

7. Badu, Tono dan Deni akan membuka bengkel las bersama dengan nama “ Sejahtera
   Las” dengan modal masing-masing : Rp6.000.000; Rp9.000.000 dan Rp5.000.000 .
   Pada akhir tahun pertama Sejahtera Las mendapatkan Sisa Hasil Usaha (SHU)
   sebesar Rp30.000.000 dan pembagian SHU berdasarkan persentase modalnya dengan
   ketentuan 20% dari SHU nya digunakan untuk penambahan modal usaha.Tentukan
   SHU yang diterima Badu, Tono dan Deni pada akhir tahun pertama?

8. Seorang pedagang berhasil menjual dagangannya Sebesar Rp280.000. Jika pedagang
   tersebut untung 12 %, tentukanlah harga beli barang tersebut.

9.    Karena kerajinannya seorang karyawan mendapat bonus sebesar 12,5 % dari gajinya.
     Jika gaji karyawan semula Rp800.000, berapa gaji karyawan setelah mendapat bonus.

10. Badu menabung di Bank sebesar Rp2.500.000,. Jika Bank memberikan bunga 6 ½ %
    setahun, tentukan uang Badu setelah satu tahun.




KB 2 : Perbandingan , Skala dan Persen
a. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda dapat :
1. Menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan senilai.
2. Menyelesaikan soal yang mengandung perbandingan berbalik nilai
3. Menyatakan ukuran yang sebenarnya jika ukuran pada gambar dan skalanya
   diketahui
4. Menyatakan ukuran pada gambar jika ukuran sebenarnya dan skalanya diketahui
5. Menyatakan perbandingan ke dalam bentuk persen


b. Uraian Materi
b.1. Perbandingan
Ada dua jenis perbandingan yaitu :

b.1.1. Perbandingan senilai:
Perbandingan disebut sebagai perbandingan senilai jika dua
                                a a1
perbandingan harganya sama :           atau a x b1 = a1 x b
                                b b1
12                                                     Modul Matematika X Non Teknik

Contoh 21
5 liter minyak mempunyai massa 4 Kg dan 10 liter minyak mempunyai massa 8 Kg.
Perbandingan antara kuantitas minyak dan massanya dituliskan sebagai 5 : 10 = 4 : 8
atau 1 : 2 = 1 : 2

b.1.2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan disebut perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan harganya saling
             a b1
berbalikan :       atau a x a1 = b x b1
             b a1
Contoh 22
Suatu mobil berjalan sejauh (S) 120 km dalam waktu (t) 4 jam pada kecepatan (v) 30
km/jam. Bila kecepatannya 60 km/jam, maka jarak tersebut ditempuh dalam waktu 2 jam
artinya jika kecepatan mobil dilipatkan dengan suatu bilangan maka waktu yang
diperlukan untuk menempuh jarak yang sama dibagi sesuai dengan bilangan kelipatannya.

Contoh 23
Perbandingan panjang dan lebar suatu bangunan adalah 3:2. Jika lebarnya 8 m, tentukan
panjang dari bangunan tersebut

Jawab:
 p 3         p 3          3x8
                 p        p = 12
  2         8 2           2
Jadi panjang bangunan 12 m



Contoh 24
Suatu pekerjaan dapat di selesaikan oleh 3 pekerja selama 15 hari. Tentukan banyak
pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu 5 hari.

Jawab:
Pekerja             Waktu     ( perbandingan berbalik nilai )
3 orang             15 hari
   x                 5 hari
 3 5            3 x 15
        x             x=9
 x 15             5
Jadi pekerja yang perlu ditambahkan ( 9 – 3 ) = 6 orang

Contoh 25
Harga jual suatu barang Rp.862.500, Jika harga tersebut untung 15%, tentukan harga
belinya.
Jawab:
         Harga jual setelah untung 15 % menjadi 115%, sehingga diperoleh skema sbb:
                         Harga barang                persentase
         Harga jual :      Rp.862.500                  115%
         Harga beli :          x                       100%
 862.500 115              862.500 x 100
                 x                     x = 750.000
    x      100                 115
         Jadi harga beli adalah Rp.750.000

Contoh 26
Harga barang setelah diskon 17,5 % adalah Rp701.250, tentukanlah besarnya diskon
Jawab :
Sistem Bilangan Real                                                                      13

Harga barang setelah diskon 17,5% menjadi 82,5%, sehingga diperoleh skema sbb:
                         Harga barang                persentase
                 Diskon :    x                         17,5%
        Sesudah diskon :     Rp.701.250                82,5%
             x      17,5           701.250 x 17,5
                           x                    x =148.750
          701.250 82,5                  82,5
         Jadi besarnya diskon adalah Rp148.750

Contoh 27
Karena malas seorang karyawan dipotong gajinya sebesar 14%, ternyata gajinya
setelah dipotong menjadi Rp.1.032.000, berapa gaji mula-mula sebelum dipotong.
Jawab:
Gaji setelah dipotong 14 % menjadi 86%, sehingga diperoleh skema sbb:
                                    Gaji                 persentase
          Sebelum dipotong :         x                      100%
          Sesudah dipotong :     Rp.1.032.000                 86%
                x        100          1.032.000 x 100
                              x                      x = 1.200.000
           1.032.000 86                      86
           Jadi gaji sebelum dipotong adalah Rp1.200.000

Contoh 28
Suatu gedung akan dibangun dengan 500 pekerja selama 18 bulan. Setelah berjalan 6
bulan pembangunan dihentikan selama 2 bulan. Supaya pembangunan selesai pada
waktu yang telah direncanakan, tentukan jumlah pekerja yang harus ditambah.

Jawab:
Setelah berjalan 6 bulan, waktu yang tersisa hanya 12 bulan, namun istirahat selama 2
bulan, sehingga waktu yang tersisa untuk menyelesaikan bangunan sesuai rencana hanya
10 bulan, sehingga harus menambah pekerja. Untuk menyelesaikannya lihat skema sbb:
                                Pekerja                      Waktu
         Rencana semula :         500                      12 bulan
         Waktu tersisa    :        x                       10 bulan
           x    12           12 x 500
                     x                x = 600
         500 10                 10
         Jadi pekerja yang harus ditambah ( 600 – 500) pekerja = 100 pekerja

b.2. Skala
Skala ialah bentuk perbandingan senilai dari ukuran suatu besaran nyata.
Simbol untuk menyatakan skala adalah : “ : “
Misalnya skala pada peta tertulis 1 : 1.000.000 artinya jika pada peta 1 cm, maka jarak
sebenarnya 1.000.000 cm atau 10 Km

Contoh 29
Jarak 2 kota pada peta 7,5 cm. Jika skala pada peta 1 : 150.000, berapakah jarak
sesungguhnya ?

Jawab:
jarak sesungguhnya = 7,5 cm x 150.000
                 = 1.125.000 cm = 11,25 Km

Contoh 30
Panjang sebenarnya suatu pintu 2,2 m, jika dilukis oleh arsitek dengan sekala 1: 55.
Tentukanlah panjang pintu dalam lukisan?
14                                                    Modul Matematika X Non Teknik

Jawab:
Panjang dalam lukisan = 2,2 m : 55 = 220 cm : 55 = 4 cm

Contoh 31
Jarak Jakarta-Surabaya   800 km. Jika di dalam peta digambar sepanjang 20 cm,
tentukanlah skalanya.

Jawab:
Skala = 20 cm : 800 km
20 cm : 80.000.000 cm = 1 : 4.000.000

Contoh 32
Jarak Jakarta – Cirebon 280 km digambar dalam peta 14 cm. Berapakah jarak sebenarnya
Jakarta – Subang yang didalam peta berjarak 8 cm?

Jawab:
               Jarak sebenarnya 1 =    jarak dalam peta 1
               Jarak sebenarnya 2      Jarak dalam peta 2
          280 km 14 cm             8
                           x      x 280 km  x = 160 km
            x       8 cm          14

b.3. Persen
Persen adalah bentuk lain pecahan yang penyebutnya seratus. Simbol yang digunakan
untuk menyatakan pecahan adalah “ % “. Misalnya 2 % artinya  2
                                                            100
* Mengubah persen menjadi pecahan biasa dengan jalan membagi dengan 100 %

Contoh 33
25 % = 25%  1
       100% 4

* Mengubah perbandingan menjadi persen dengan mengalikan dengan 100 %.

Contoh 34
Berapa persenkah 20 terhadap 40 ?
Jawab:
20 x 100% = 50 %
40

c. Rangkuman

 Perbandingan senilai : a = a1
                         b      b1
 Perbandingan berbalik nilai : a = b1
                                 b  a1
 Skala :
  o Jarak pada gambar = Jarak sebenarnya : skala
  o Jarak sebenarnya = Jarak pada gambar x skala

 Mengubah persen menjadi pecahan biasa dengan jalan membagi dengan 100 %
 Mengubah pecahan biasa menjadi persen dengan jalan mengalikan dengan 100 %
Sistem Bilangan Real                                                                15




1. Seorang tukang menghabiskan 2 sak semen untuk membangun 10 m2 dinding. Jika dia
   akan membangun dinding seluas 15 m2, berapa sak semen yang dia perlukan ?

2. Suatu gedung rencana akan dibangun selama 60 minggu dengan 500 pekerja. Jika
   rencana pembangunan gedung dipercepat menjadi 50 minggu, berapa pekerja yang
   harus ditambahkan ?

3.    Panjang As sebuah rotor digambar dengan panjang radiusnya 5 cm. Jika skala ukuran
     itu 1 : 20, berapakah ukuran radius sesungguhnya ?

4. Panjang sebuah mobil jenis sedan adalah 3,5 m. Berapakah panjang sedan pada layar
   TV jika skalanya 1 : 50 ?

5. Sebatang perunggu terbuat dari 100 Kg tembaga, 20 Kg timah hitam dan 30 Kg timah
   putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?

6. Jika jarak Solo-Surabaya sebenarnya 500 km ternyata digambar dalam peta hanya 25
   cm. tentukan skalanya?

7. Dalam peta jarak kota A-B digambar 13 cm dan jarak kota C –D digambar 18 cm. Jika
   jarak sebenarnya kota A-B adalah 390 km, berapakah jarak sebenarnya kota C – D?

8. Ujang jalan-jalan bersama temannya ke Bandung dengan kecepatan rata-ratanya 50
   km/jam diperkirakan sampai di Bandung dengan waktu 4 jam. Si badru akan
   menyusul dengan menggunakan mobil kecepatan tinggi karena terlambat 1,5 jam dari
   ujang dengan teman-temannya. Jika badru menghendaki sampai di Bandung bersama-
   sama dengan Ujang, dengan kecepatan rata-rata berapa Badru mengendarai
   mobilnya?

9. Sederhanakan perbandingan di bawah ini:
   a. 5: 125             b. 1 ½ : 3               c. 2 ½ : 1 ¼         d. 25 cm : 1 m

10. Perbandingan Panjang : lebar : Tinggi suatu balok adalah 7 : 3 : 2 Jika lebarnya 12
    cm, tentukanlah:
    a. Panjang dan tingginya
    b. Jumlah panjang rusuknya

11. Karena prestasinya baik seorang karyawan mendapatkan bonus 23% dan ia menerima
    gaji dengan bonusnya sebesar Rp.1.722.000,. tentukan gaji karyawan tersebut
    sebelum ditambah bonus.

12. Seorang pedagang mendapatkan kerugian 34% jika dijual barangnya dengan harga
    Rp.165.000, tentukanlah ruginya.




1. Seorang tukang akan membuat pintu dengan bentuk persegi panjang pada gambar 4
   cm dan lebarnya 2 cm. Jika panjang pintu 2,5 m, berapakah lebar daun pintu itu?

2.    Seorang pemborong bangunan harus mengeluarkan uang Rp. 30.000 ,- per orang
     setiap harinya untuk menyelesaikan suatu pekerjaan, jika 5 orang dapat
16                                                      Modul Matematika X Non Teknik

     menyelesaikan pekerjaan itu selama 10 hari, maka untuk menyelesaikan pekerjaan itu
     selama 5 hari berapakah :
     a. Jumlah pekerja yang diperlukan pemborong itu ?
     b. Jumlah uang yang dikeluarkannya ?

3.    Sebuah lukisan berukuran 20 cm x 25 cm. Jika skalanya 1 : 200, berapakah ukuran
     luas lukisan itu sesungguhnya ?

4. Jumlah siswa SMK 1 sebanyak 600 orang, terdiri atas 40 % memilih jurusan tehnik
   mesin, 25 % memilih jurusan tehnik elektro dan sisanya memilih jurusan tehnik
   bangunan.
   Berapakah jumlah siswa masing-masing jurusan tersebut ?

5. Berapa persenkah :      a) 16 banding128
                           b) 17,5 banding 75
                           c) 11 banding 176

6. Jumlah uang Neni , Marliana dan Devi besarnya Rp. 390.000. Jika perbandingan
   uang Neni : Marliana : Devi adalah 5 : 2 :6 tentukan uang mereka masing-masing?

7. Denah rumah dibuat dengan skala 1: 100
   a. Jika luas pada denah 1 cm2, berapakah luas sebenarnya?
   b. Jika luas pada denah 18 cm2, berapakah luas sebenarnya?

8. Suatu gedung direncanakan akan dibangun dengan 200 pekerja selama 75 minggu,
   setelah berjalan 15 minggu pembangunan dihentikan sementara selama 20 minggu.
   Jika pembangunan ingin selesai sesuai dengan rencana semula berapakah pekerja
   yang harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut?

9. Skala denah suatu gedung 1: 400. Jika luas tanah yang akan dibangun berukuran 80
   cm x 50 cm, tentukan
    a. Ukuran sebenarnya ukuran tanah tersebut?
    b. Luas tanah sebenarnya?

10. Sederhanakan perbandingan di dawah ini:
    a. 12 : 80
    b. 3 ½ : 10 ½
    c. 2 1/3 : 3 2/5
    d. 2,5 m : 50 cm
    e. 20 % : 0,75
    f. 250 g : 1,25 Kg
    g. 350 juta : 1,4 miliar
    h. 1/3 : ¼ : 2/5

11. Harga barang setelah diskon 17,5 % adalah Rp.123.750,. tentukanlah harga barang
    tersebut sebelum diskon

12. Karena kurang laku seorang pedagang mengobral harga barangnya sehingga hanya
   memperoleh hasil penjualan Rp.1.424.000,. tenyata setelah dihitung pedagang
   tersebut rugi 11%, Tentukan harga beli nya.
Sistem Bilangan Real                                                   17

K.B.3. Bilangan berpangkat

a. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda dapat:
1. Mengalikan dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama.
2. Membagi dua bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama.
3. Memangkatkan bilangan berpangkat
4. Memangkatkan dari perkalian dua bilangan
5. Memangkatkan dari pembagian dua bilangan
6. Mengubah pangkat negative ke pangkat positip
7. Mengubah pangkat pecahan ke bentuk akar pangkat

b. Uraian Materi
b.1 Pengertian bilangan berpangkat

Definisi:
an = a x a x a x a x…..x a              sebanyak n unsur

Contoh 35 :
a. 23   =2x2x2=8
b. 54   = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
    1 5   1 1 1 1 1           1
c. ( ) = x x x x =
    3     3 3 3 3 3 243
      3
d. 10   = 10 x 10 x 10 = 1000

b.2. Aturan dasar pengoperasian bilangan berpangkat

b.2.1. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama
                                  ap x aq = a        p+q

Contoh 36
a.   23 x 25 = 2   3+5
                          = 28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
      1      1      1                   1      1
b.   ( )2 x ( )3 = ( )          2+3
                                      =( )5 =
      3      3      3                   3     243
c.    35 x 3 = 3    5+1
                          = 36
d.   10 x 106 = 10       1+6
                               = 107
e.   53 x 5-1 = 5   3 +(-1)
                               = 52


b.2.2. Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama
                                   ap : aq = a       p–q

Contoh 37
a.   38 : 35 = 3   8-5
                         = 33 = 27
      1       1      1         1     1
b.   ( ) 4 : ( )2 = ( ) 4  2 ( )2 =
      5       5      5         5     25
c.    35 : 3 = 3   5-1
                         = 34
d.   10 : 106 = 10       1-6
                               = 10-5
e.   53 : 5-1 = 5   3 -(-1)
                               = 54
18                                                                                                                  Modul Matematika X Non Teknik

b.2.3. Pemangkatan bilangan berpangkat

                                                                           ( ap ) q = a        pxq

Contoh 38
                                                                                                               3                3              3
                                                                                                                                          5x
                                                                                                                            5
     a. ( 2 )         2       5
                                      =2       2x5
                                                     =2   10
                                                                   = 1024                          d.       32 5    = (2 )      5
                                                                                                                                    2         5
                                                                                                                                                    23  8
                      1                   1                                                                        2                          2
                                            x4
                                                                                                                                           7 7
                                                                                                                                                     10 2  100
                          4
     b. ( 5 ) = 5     4                   4
                                                 =5                                                e.   10.000.000 7                   (10 )
                      3                    3              3
                                                     4x
     c.       81 4 = (34 ) 4  3                          4
                                                                   33  27
b.2.4. Pemangkatan dari perkalian dua bilangan
                                                                          (a x b) p        =ap xbp
Contoh 39
a. ( 3 x 5 )2 = 3 2 x 5 2 = 9 x 25 = 225
b. 2 4 x 5 4 = ( 2x 5 )4 = 10 4 = 10.000
c. 25 5 x 4 5 = ( 25 x 4 )5 = 100                                    5


b.2.5. Pemangkatan dari pembagian dua bilangan

                                                                         (a : b)p     =ap :bp
Contoh 40
a. ( 12 : 4 )5                        = 12       5
                                                     :4       5
                                                                  = 248832 : 1024 = 243
                  4               4
b. 100                : 50                = ( 100 : 50 )4 = 2 4 = 16

                                                                                          p     1
b.2.6. Bilangan berpangkat negatif:                                                   a         p
                                                                                                a
Contoh 41

    3                    1           1                                                                                                1
a. 2                                                                      d. 10 : 106 = 10 1 - 6 =10-5 =                                   0,00001
                          3           8                                                                                             100.000
                      2
                                                                                       3                    3           3
                      1                                                             1 4              4 x     1
b. 5 1 
                                                                                             4            3
                                                                            e. (       )  (3 ) 4  3 4  3 
                      5                                                             81                        27
                                    8    1
c. 0,008                      =             5 3
                                  1.000 125
                                                                                               p
                                                                                               q        q       p
b.2.7. Pemangkatan bilangan pecahan:                                                        a  a

Contoh 42
          2                                                                                         1
                  3       2
a. 5 3  5                           3
                                          25                                           d. 10 2  10
                        8
                                                                                                1
     4        8
b.        5          5 4      5 2  25                                               e.      a2    a
          1

c.   8 2  2 81  8
Sistem Bilangan Real                                                                                                                          19

c. Rangkuman
1. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama: ap x aq = a p + q
2. Pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama: ap : aq = a p – q
3. Pemangkatan bilangan berpangkat: ( ap) q = a p x q
4. Pemangkatan dari perkalian dua bilangan: (a x b) p                                                    =ap xbp
5. Pemangkatan dari pembagian dua bilangan: (a : b)p                                                     =ap :bp
                                                           p     1
6. Bilangan berpangkat negatif: a                                p
                                                                 a
                                                                 p
                                                                      q
7. Pemangkatan bilangan pecahan: a  ap                          q




Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana:
                                                                                                1
                                                                                            
1. 73 x 75 x 7                -2
                                                                          11. 0,25              2
                                                                                                     x 5- 1
                                                                                            2                                             3
    1       1         1                                                                                  1                            
2. ( ) 2 x ( ) - 4 x ( )                                                  12. 216           3
                                                                                                     x (    )             -4
                                                                                                                               x 81       4
    5       5         5                                                                                  49
3. 35 x 3 : 3 2                                                           13. 104 : 106 x 10 : 1010
                                                                                                          3
                                                                                    1
4. 10 x 10 x 10      6                -4
                                               : 10    7
                                                                          14. (         )4
                                                                                10 .000
                                                                                    2                2        2

5. 53 x 5-1 : 5                5
                                      x 5          2
                                                                          15. 5 3 x 25 3 x 8 3

6. 38 : 3 - 2                                                             16.   4
                                                                                    813
    1       1 2                                                                 5
7. ( )4 : (   )                                                           17.       323 x 3 1252
    8       4
    1
8. ( )5 : 9                                                               18.       813 x 4 16
    3
                                                                                            2             3
                         -2                                                                 3             4
9. 10 : 100                                                               19. 343 x 81
                                                                                                                      2
         1
     3
10. 5 x ( )-1 : 5                     2
                                                                          20. (1.000 x 343)                           3
         25




Ubahlah soal-soal di bawah ini menjadi bentuk pangkat yang paling sederhana :
                                                                                            3                 4
                                                                                        
1. ( 2 4 )       5
                         x2   3
                                                                          11. 32    : (2 5 ) 5
                                                                                            5

         1                                                                             1
             6                4
2. ( 5 2 )               :5                                               12. 52 x ( 125 )-1 : 25                               2


         1                        3                                             1
                     2                                                                          -5
3. 81 4          x (9 ) 4                                                 13. ( 9 )                      :3
         4               3
                     5
         5
4. 32 : (2 )             5
                                                                          14. 33 x 3-1 : 3                        5
                                                                                                                          x 3   2

                     3                         2                                            1        1
                                           
                  3
5. 100.000 5 x (10 )                           3
                                                                          15. 500 3 x 2 3 x ( 125 x 3 )0
20                                                                                            Modul Matematika X Non Teknik

                         1                                                    1
                                                                                      9                    -3
6.   (27 x125) 3                                                      16. ( 5 3 )              :5
                                  4

7. 2   -3
            x (32x 243)           5
                                                                      17.    1213 x 4 10.000
            2       2                                                             2
                                                                                                   
                                                                                                       3        1
            3       3                       0                                     3                    4                    -4
8. 125 x 8 x ( 25 x 4 )                                               18. 512 x 81                         x ( 256 )
            2       2                                                                     1
                                                                                      
9.   54 3 : 2 3                                                       19. 0,125           3
                                                                                              x 5- 2
                                                                                                  3                     2
                                                                                                                   
        -4              -3                                                                        5             3       3
10. 3           :3                                                    20. 100.000                     x (0,1 )




KB.4. Operasi Pada Bilangan Irasional

a. Tujuan
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, anda dapat:
1. Membedakan bentuk akar dan bukan bentuk akar
2. Mengoperasikan bentuk akar
3. Menyederhanakan bentuk akar
4. Merasionalkan penyebut dari bentuk akar

b. Uraian Materi

b.1. Definisi Bentuk akar
Seperti yang sudah dibahas pada kegiatan belajar sebelumnya, bahwa a1/2 = √ a
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan irasional.

Contoh 43
Bentuk akar:                 3,       5 ,       8 ,    15 ,    50 dan lain-lain
Bukan bentuk akar :                     1        sebab        1 = 1 ( bukan bilangan irasional)
                                        4        sebab        4 =2
                                            64 sebab          64 = 8 dan lain-lain.

b.2. Menyederhanakan bentuk akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar
tersebut   menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu dapat diakarkan sedang
bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.

Contoh 44
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini :
a. 32        b. 18             c. 24                                           d.             80                            e.   147

Jawab:
a.     32 =             16.2 boleh              32 =    8.4 tapi menyederhanakannya dua kali
                =        16 . 2 = 4 2
b.     18 =             9.2 =         9. 2=3 2
c.     24 =             4 .6 = 2 6
d.     80 =             16.5 = 4 5
e.     147 =             49.3 = 7 3
Sistem Bilangan Real                                                                         21

b.3. Mengoperasikan bentuk akar
b.3.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis

Contoh 44
Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
a.   3 +2 3                            d.                5 + 2 3 – 4 5 +5 3
b. 3 6 +           6 +4 6 – 5 6                   e.     32 +   8 + 50 –       98
c.    2 +        3 +      7                       f.    20 +    28 –    125 + 63 –      80

Jawab:
a.  3 + 2 3 = (1 + 2 )            3=3 3
b. 3 6 +           6 + 4 6 – 5 6 = ( 3 + 1 + 4 – 5)             6=3 6
c.    2 +        3 +      7 tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan
d.    5 + 2 3 – 4 5 +5 3 = ( 1 – 4)                5 + (2+5)     3 = -3 5 + 7 3
e.    32 +       8 + 50 –        98 =   16.2 +     4.2 +    25.2 –      49.2
                                   =4 2 +2 2 +5 2 – 7 2 =4 2
f.        20 +     28 –       125 + 63 –   80 = 2 5 + 2 7 – 5 5 + 3 7 – 4 5
                                                 = -7 5 + 5 7
b.3.2. Perkalian bentuk akar
a. Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar
                         a x b c =ab c
Contoh 45
Selesaikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
a. 4 x 3 2          d. 3 x (6 2 + 18 )
b. 5 x      50             e. 6 x( 27 – 108 )
c. 10 x 4 20

Jawab:
a. 4 x 3 2 = 12 2
b. 5 x 50 = 5 50 = 5 25.2 = 5.5 2 =25 2
c. 10 x 4 20 = 40 20 =40.2 5 =80 5
d. 3 x (6 2 + 18 )= 3.6 2 + 3 18 = 18 2 + 3.3 2 = 18 2 + 9 2 = 27 2
e. 6 x( 27 – 108 )= 6 27 – 6 108 =6.3 3 – 6.6 3 =18 3 – 36 3 = -18 3
b. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar

                   a x    b = axb       a c x b d = axb cxd                    a x   a =a


Contoh 46
Kalikan dan sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
    a.    3 x 2                      e. 2 6 x ( 7 2 + 4 5 )
     b. 5 6 x        3                       f.        ( 2 + 5 )(    6 + 4)
     c. 2 5 x 3 6                            g. (3 2 - 2 7 )(2 2 + 6 )
     d.     20 x     27                      h. ( 12 + 5 )(            12 –    5)
22                                                                                  Modul Matematika X Non Teknik

Jawab:
   a.  3 x          2 =    2.3 = 6
      b. 5 6 x       3 = 5 3.6 = 5 18 = 5.3 2 = 15 2
      c. 2 5 x 3 6 = (2 x 3)           5.6 = 6 30
      d.    20 x     27 = 2 5 x 3 3 = 6 15
      e. 2 6 x ( 7 2 + 4 5 ) = (2 6 x 7 2 ) +(2 6 x 4 5 ) = 14 12 + 8 30
                                   = 14.2 3 + 8 30 = 28 3 + 8 30
      f.   ( 2 + 5 )(     6 + 4) =       2x 6+4 2+                         5 x 6 +4 5
                                   = 12 + 4 2 +                     30 +4 5 = 2 3 + 4 2 + 30 +4 5
      g. (3 2 - 2 7 )(2 2 + 6 ) = 6 4 + 3 12 – 4 14 – 2 42
                                         = 12 + 6 3 – 4 14 – 2 42
      h. ( 12 + 5 )(       12 –    5 ) = 12 –                 60 +         60 – 5 = 12 – 5 = 7

Dari contoh terakhir dapat disimpulkan :
               ( a +      b )( a –        b)=a– b

Contoh 47
a. ( 5 + 2 ) ( 5 –               2)=5–2=3
b. ( 15 –          12 ) ( 15 +    12 ) = 15 – 12 = 3
c. (3 2 + 2 3 ) (3 2 – 2 3 ) = ( 18 +                               12 ) ( 18 –           12 )= 18 – 12 = 6

b.3.3. Pembagian bentuk akar

Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan istilah “ merasionalkan
penyebut “ bentuk pecahan.
Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini :
                                             a            a        b       a b
                                                             x        
                                             b            b        b        b
                                   k             k                a b         k (a  b )
                                                             x            
                                 a b        a b                 a b           a2  b
                            k                k                    a b         k( a  b )
                                                     x                    
                           a b          a b                     a b            ab

Contoh 48
Rasionalkan penyebut dari pecahan di bawah ini:
     8                                        8
 a.                                   d.
      2                                   5  17
       10                                                         3 2
 b.                                                  e.
      2 5                                                         3 2
         15                                                        2 5
 c.                                                  f.
           7 2                                                     10

Jawab:
      8    8    2 8 2
a.           x      4 2
       2    2   2   2
Sistem Bilangan Real                                                                                                              23


      10         10               5       10 5
b.                       x                     5
     2 5         2 5              5        2 x5
        15                    15                  7 2                15( 7  2 )
c.                                           x                                  3 7 3 2
       7 2               7 2                    7 2                   72
        8                     8               5  17              8(5  17 )
d.                                    x                                 2
                                                                                            5  17
     5  17           5  17                  5  17                  5  17
        3 2                  3 2                3 2                    ( 3  2 )2 3  2 6  2
e.                                           x                                                52 6
        3 2                  3 2                3 2                       32          1
      2 5        2 5              10          2 50 2.5 2
f.                       x                             2
       10         10              10           10    10

c. Rangkuman

1. Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya merupakan bilangan
   irasional
2. Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar
   tersebut menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu dapat diakarkan sedang
   bilangan yang lain tidak dapat diakarkan
3. Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis
4. Perkalian bilangan bulat dengan bentuk akar
                   a x b√c =ab√c
5. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akar

                      √a x √b = axb                                    a√c x b√d = axb cxd                          √a x √a = a


6. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, lihatlah rumus di bawah ini :
                                                              a               a        b       a b
                                                                                 x        
                                                              b               b        b        b
                                                  k                   k               a b         k (a  b )
                                                                                 x            
                                              a b            a b                    a b             a2  b
                                              k                   k                    a b            k( a  b )
                                                                                 x                
                                          a b                a b                     a b               ab




Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
 1. √200 + √18 + √800 – √72                                                                Rasionalkan penyebutnya:
 2. √12 + √27 + √75                                                                             5
                                                                                           16.
 3. √125 + √28 – √80 + √700                                                                      5
 4.   4 x (3√5 +√50)
 5.   3√6 x(√18 – √54)                                                                                 100
 6. 2√3 x ( 2√40 + √12)                                                                     17.
 7. (√2 +√3)( √2 + √3)                                                                              4 10
 8. (3√5 – 2√3)(2√4 +√6)
 9. (√6 +√5)( √6 – √5)                                                                                   10
                                                                                            18.
 10. (√28 – √12 ) (2√7 + 2√3)                                                                          13  8
 11. 2√6 x √6 +√9
24                                                         Modul Matematika X Non Teknik

 12.   √5 x √30
 13.    4√7 x 3√28                                         4
                                                  19.
 14.   √200 x 5√2                                        4  14
 15.   2√5 x ( 7√2 – 4√20)
                                                         5 6
                                                  20.
                                                         5 6




Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
 1. √600 + √24 + √216 – √54                      Rasionalkan penyebutnya :
 2. 3√44 + √110 – √99                                     20
                                                   16.
 3. 4√150 – 3√54 – √294 + 2√486                           10
 4. 5√5 x (3√2 +√200)
 5. 3√24 x(√6 – √54)                                      2 8
                                                   17.
 6. 4√3 x ( 2√20 + 5√12)                                  5 2
 7. (√5 +√6)( √5 + √6)                                      24
                                                   18.
 8. (2√5 – 3√3)(2√5 +3√3)                                  13  7
 9. (6 +√5)( 6 – √5)
                                                            6
 10. (2√27– √15) (6√3 + √15 )                      19.
 11. 2√5 x √5 +√7 (2√7 – √3)                              42 3
 12. √50 x √20                                              8 5
 13. (4√7)2 + (2√3)2                               20.
                                                            8 5
 14. √300 x √27
 15. 2√11 x ( 6√11 - √2)


KB.5 Logaritma

a. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda dapat :
1. Menyelesaikan soal-soal Logaritma dengan menggunakan sifat Logaritma.
2. Menentukan nilai Logaritma dari suatu bilangan (dengan bilangan pokok 10)
    menggunakan daftar Logaritma.
3. Menentukan anti Logaritma, jika nilai Logaritma suatu bilangan diketahui.
4. Menyelesaikan operasi perkalian dengan Logaritma.
5. Menyelesaikan operasi pembagian dengan Logaritma.
6. Menyelesaikan operasi pangkat dengan Logaritma.
7. Menyelesaikan operasi akar dengan Logaritma.

b. Uraian Materi

b.1. Logaritma Biasa (Briggs).
                       c         a
Secara umum ditulis :a = b  log b = c
        a disebut bilangan pokok Logaritma atau Basis
        b disebut yang dilogaritmakan
        c disebut hasil Logaritma
        a > 0, a  1, b > 0
        Jika bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis.

b.2. Sifat-sifat Logaritma :

a. p log (a x b) = p log a + p log b dengan a, b > 0 dan p  1 dan p > 0
Sistem Bilangan Real                                                                         25

            a
b. p log      = p log a – p log b
            b
c. p log a n = n. p log a
                      p
     a                     logb
d.       log b =       p
                   log a
     a            b
e. log b x log c = a log c
      1
f. a        b log a
     log b
        catatan : a. p log 1 = 0
                     b. p log p = 1

Contoh 49
                                                                         3
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari                      log 9
Jawab : 3 log 9 = 3 log 32 = 2 . 3Log 3 = 2 . 1 = 2

Contoh 50
                                                                         2
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari                      log 32
Jawab : 2 log 32 = 2 log 25 = 5.2 log 2 = 5

Contoh 51
                                                                         4
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari                      log 8
                                 3
                  log 8    log 2      3. log 2 3
Jawab : 4 log 8 =       =           =         
                  log 4    log 2 2
                                      2. log 2 2

Contoh 52
                                                                         1
                                                                         25
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari                          log 125
             1                                     3
             25                   log125     log 5      3. log 5     3
Jawab :           log 125 =               =          =            
                                       1    log 5 2
                                                        2. log 5    2
                                   log
                                       25
Contoh 53
                                                                             6          1
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari                          log
                                                                                       216
                           1
                      log
             6 1          216    log 6
                                       3
                                               3. log 6       3
Jawab : log 216 = log 6 =                   =                    6
                                 log 6 0 ,5
                                              0,5. log 6      0,5
Contoh 54
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2
                                                9x18 3
Jawab : 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log            log 81  3 log 3 4  4
                                                 2
Contoh 55
Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai dari log 8 + log 400 – log 32
                                               8x 400
Jawab : log 8 + log 400 – log 32 = log                    log 100  2
                                                 32

Contoh 56
Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan:
a. log 6                                    d. log 15
b. log 9                                    e. log 72
        1
c. log 4
26                                                                           Modul Matematika X Non Teknik

Jawab:
a. log 6 = log (2 x 3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
b. log 9 = log 32 = 2 log 3 = 2 . 0,4771 = 0,9542
       1
c. log 4 = log 2-2 = -2 .log 2 = -2 . 0,3010 = - 0,6020

                                               10
d. log 15 = log 3 + log 5 = log 3 + log
                                                2
                  = log 3+ log 10 – log 2 = 0,4771 + 1 – 0,3010 = 1,1761

e. log 72 = log (23.32) = 3. log 2 + 2.log 3 = 3. 0,3010 + 2. 0,4771 = 1,8573

Contoh 56
Tentukan nilainya :
a. 3 log 6 . 6 log 81
b. 4 log 9 x 3 log 125 x               25
                                            log 16
         1              1
         2              3             49
c.            log 9 x       log 7 x        log 32

Jawab:
         3                     log 6     log 81
a.           log 6 . 6log 81=         x
                               log 3      log 6
                                 og 6 4. log 3
                             =       x           4
                                log 3 log 3
              4                                  log 9      log 125   log 16
b.              log 9 x 3 log 125 x 25 log 16 =          x          x
                                                 log 4        log 3   log 25
                                                  2.og 3 3. log 5 4. log 2 2.3.4
                                               =           x        x           6
                                                  2. log 2 log 3 2. log 5 2.1.2
     1              1
     2              3             49               log 9      log 7    log 32
c.       log 9 x        log 7 x        log 32 =             x        x
                                                        1         1    log 49
                                                   log        log
                                                        2         3
                                                      2.og 3       log 7     5. log 2   2.5
                                                 =              x          x                  5
                                                      1. log 2  1. log 3 2. log 7  1.  1.2

b.3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Tabel / Daftar Logaritma.

Logaritma yang mempunyai bilangan pokok 10 dinamakan Logaritma biasa. Salah satu
cara untuk menentukan nilai Logaritma biasa suatu bilangan adalah dengan menggunakan
bantuan Daftar Logaritma. Pada daftar Logaritma ini hanya ditulis mantise (bilangan
decimal dari hasil pengambilan Logaritma) saja, sehingga bilangan indeks atau
karakteristik (yaitu bilangan bulat dari hasil pengambilan Logaritma) harus ditentukan
sendiri terlebih dahulu.

1. Mencari Hasil Logaritma dari Bilangan antara 1 s/d 10.
Karena log 1 = 0 dan log 10 = 1 maka logaritma berbasis 10 dari bilangan-bilangan antara
1 dan 10 akan terletak antara 0 dan 1. Jadi Indeks atau karakteristiknya 0.

Contoh 57
log 2,345 = 0, ……
Dimana Indeks / karakteristiknya 0. Bilangan dibelakang koma yaitu mantise dapat
diperoleh dari daftar yaitu pada baris 234 kolom 5 terdapat bilangan 3701.
Jadi log 2,345 = 0,3701
Sistem Bilangan Real                                                                        27

     N         0       1       2       3        4       5       6       7       8       9
    000
    001
     .
     .
     .
    234                                             3701
     .
     .
     .
     .
     .
     .
   1000

Mencari hasil logaritma dari bilangan antara 10 dan 1000.

Contoh 58
log 19,69 =…
Indeks logaritma dari hasil bilangan antara 10 dan 1000 adalah 1 dan mantisenya
diperoleh dari daftar pada baris 196 kolom 9 dan terdapat bilangan 2942. Jadi log 19,69 =
1,2942. Dengan cara yang sama diperoleh logaritma bilangan-bilangan >100, misalkan
:log 123,4 =2, 0193 ;
 log 666,9 = 2,8239 dan seterusnya.

3. Mencari logaritma dari bilangan yang kurang dari 1.

Contoh 59
Tentukan nilai logaritma di bawah ini dengan tabel:
a. log 0,9272 = …….
Indeksnya adalah -1 sedangkan mantisenya dicari pada baris ke 927 kolom 2 terdapat
9672.Jadi log 0,9272 = 0,9672 – 1 atau dapat ditulis -0,0328
b. log 0,0039 = ………
Indeksnya adalah -3 sedangkan mantisenya dicari dari kolom N baris ke 39 kolom 0 dan
diperoleh 5911. Maka log 0,0039 = 0,5911 – 3 = -2,4089.

b.4. Anti Logaritma.
Anti logaritma merupakan proses kebalikan daripada menghitung harga logaritma. Anti
logaritma dapat ditentukan dengan daftar Anti logaritma.

Contoh 60
log x = 1,3786 berapakah harga x ?
Jawab :
Bilangan 1 pada 1,3786 adalah merupakan indeksnya sedangkan 379 adalah mantisenya.
Angka-angka yang termuat pada daftar anti logaritma pada baris .37 (dua angka
pertama) dan kolom 8 (angka ketiga) perhatikan tabel berikut
   X       0       1       2       3        4       5       6       7       8       9
  .00
    .
    .
  .37                                                                       239




Jadi jika log x = 1,378 diperoleh x = 239
28                                                             Modul Matematika X Non Teknik

b.5. Operasi Pada Logaritma
a. Operasi Perkalian.
log (a x b) = log a + log b

Contoh 61
 Hitunglah 6,28 x 2,536
Jawab :
Misalkan p = 6,28 x 2,536
maka log p = log (6,28 x 2,536)
         log p = log 6,28 + log 2,536 = 1,2021
        Jadi p = 15,926

b. Operasi Pembagian
      a
log     = log a – log b
      b
Contoh 62
 Hitunglah 325,6 : 48,5
Jawab :
Misalkan p = 325,6 : 48,5
maka log p = log (325,6 : 48,5)
      log p = log 325,6 – log 48,5
            = 2,5127 – 1,6857 = 0,8270
      Jadi p = 6,7

c. Operasi Akar dan Pangkat
          - log an = n. log a
                    n
            - log       a   =
                                1
                                  .log a
                                n
Contoh 63
                        47,32
Hitunglah 58 dan
                        18,6
Jawab :
Misalkan p = 58
 maka log p = log 58
             = 8 Log 5 = 8 x 0,6990 = 5,592
      Jadi p = 390800
                47,32                     47,32
Misalkan p =          Maka    log p = log
                18,6                       18,6
                                             1
                                           =   (Log 47,32 – Log 18,6)
                                             2
                                             1                      1
                                           =   (1,6750 – 1,1643) =    (0,5107) = 0,2553
                                             2                      2
                                    Jadi p = 1,8001
Contoh 64
Dengan menggunakan kalkulator , tentukan nilai dari :
a. 5log 9                        b. 7log 12

Jawab:
             log 9     0,9542
a. 5 log 9 =         =         = 1,3651
             log 5     0,6990
              log 12    1,0792
b. 7 log 12 =         =         = 1,2770
               log 7     0,8451
Sistem Bilangan Real                                                                               29

c. Rangkuman
1. Pengertian Logaritma : a log b = c  a c = b
            a : bilangan pokok logaritma atau Basis
            b : yang dilogaritmakan
            c : hasil logaritma

2. Sifat-sifat logaritma.
    a. p log (a x b) = plog a + plog b
                    a
   b. p log           = p log a – p log b
                    b
   c. . p og a n = n . p log a
   d. a log b x b log c = a log c
                          p
        a                     log b
   e.           log b =   p
                              log a
                1     b
   f.   a
                     = log a
        log b
        p
   g. log 1 = 0
   h. p log p = 1

3. Mencari nilai Logaritma dan Anti Logaritma dapat menggunakan tabel untuk
   menentukan mantisenya. Sedangkan indeks atau karakteristik ditentukan dengan :
    bilangan satuan, indeksnya 0,…….
    bilangan puluhan, indeksnya 1,…….
    bilangan ratusan, indeksnya 2,…….dst




1. Tentukan nilainya.
    a. 2 log 8                                             d.       36
                                                                         log 216
                                                                    1
            4                                                       5
   b.           log 64                                     e.           log 625
            5
   c.           log 125                                    f.        log 0,001

2. Selesaikanlah:
                                                                                           1

    a. 3log 5 x 5 log 9                                  d.   25
                                                                   log 27 x 9 log 49 x 7 log 625
                                                                                       1
            2             2           2                       4            36          5
    b. log 20 + log 8 – log 5                            e. log 5 x             log 8 x log 6
    c. 5log 2 x 2 log 125

3. Jika diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan :
   a. Log 24                       c. Log 1,5             e. log 90
   b. log 18                      d. log 30
4. Jika diketahui     log 2 = p dan log 3 = q, tentukan dalam p dan q :
                                                                   24
   a. log 54                       c. log 72                e. log
                                                                    9
   b. log 60                       d. log 80

5. Dengan menggunakan                 tabel , tentukan nilai dari :
   a. log 2,36                         e. log 0,00345
   b. log 34,5                         f. log 8,796
   c. log 56000                        g. log 321,8
   d. log 0,1245                       h. log 0,0567
30                                                                        Modul Matematika X Non Teknik

6. Dengan tabel logaritma, tentukan nilai x dari :
    a. log x = 0,6590           d. log x = 0,9605 - 1                                        g. log x = - 0,8928
    b. log x = 1, 8597          e. log x = 0,6590 – 2                                        h. log x = 3, 5105
    c. log x = 2,9159           f. log x = - 1,1238




1. Sederhanakan :
     a. 3log 27 – 3log 81                              b. 2log 8 + 2log 8

2. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator :
    a. log 2 + log 200 – log 6 + log 5 – log 3 + log 18 – log 2
                                                 1                                            1
                                                 3                         49                 6
     b. log 5 + log 4 – log 2 + log 10     g.        log 216 x                  log 27 x          log 7
                                                                      1
              1/8                                2
     c.             log 16                 h.        log 25 x         6
                                                                          log 64 x5 log 36
                                                                      1
              125       1                        8                    5
     d.             log                     f.       log 25 .             log 16
                        5
               1
              216
     e.              log 36

3. Dengan menggunakan kalkulator , tentukan nilainya dari soal di bawah ini:
    a. 8log 60                                     f. 13log 75
          1                                                       1
          5                                                       4
     b. log 625                                          g.           log 32
                                                                  1                1
          8 1                                                     2                9
     c. log                                                  h.       log 8 x log 27
            64
                                                                                       1
          √2        1                                             3   1                4
     d.         log                                      i.       log   x                  log 256
                    64                                                9
                                                              1
                       1
     e. 625log                                          j.    6
                                                                  log 216
                       5

4. Selesaikanlah soal di bawah ini dengan tabel logaritma :
      23,5 x 543,7                   234,1 x 309,4
   a.                           b.
          45,6                          465,1

5. Jika log 7 = p dan log 5 = q , tentukan nilai log di bawah ini dalam bentuk p dan q :
   a. log 175       b. log 245           c. log 700            d. log 50        e. log 3,5



C. EVALUASI

C.1. Pilihan Ganda
Pilihlah jawaban yang benar

1. Harga beli satu lusin adalah Rp.50.000 dan dijual dengan harga Rp.5000 untungnya
   adalah …
   a. 10%                    c. 15 %                     e. 20 %
   b. 12 %                   d. 16,67 %
Sistem Bilangan Real                                                                  31

2. Sebuah koperasi sekolah membeli 5 lusin buku seharga Rp. 150.000,00. Jika harga jual
   sebuah buku Rp. 2.800,00 maka persentase keuntungan yang diperoleh koperasi
   tersebut adalah ….
   a. 4 %                  c. 10%                       e. 15%
   b. 6%                   d. 12 %
3.    Toko A memberikan potongan harga 20% pada setiap penjualan barang, untuk
     pembelian sepasang sepatu, Marliana membayar kepada kasir sebesar Rp.40.000.,
     harga sepatu tersebut sebelum mendapat potongan adalah…
     a. Rp72.000              c. Rp48.000              e. Rp8.000
     b. Rp50.000             d. Rp32.000
4. Toko buku sedang memberikan potongan harga 10% pada setiap penjualan barang,
   untuk pembelian buku matematika ,Fulan         membayar kepada kasir sebesar
   Rp.31.500., harga buku tersebut sebelum mendapat potongan adalah…
   a. Rp38.000              c. Rp35.000               e. Rp3.500
   b. Rp36.100              d. Rp32.000
5.    Harga sebuah TV adalah Rp. 586.000., Jika terhadap pembelian TV dikenai pajak
     penjualan sebesar 11%, besar uang yang harus dibayar dari pembelian TV tersebut
     adalah…
     a. Rp592.446           c. Rp651.460               e. Rp741.290
     b. Rp650.460           d. Rp719.920
6.   Harga dua buku dan dua pensil Rp.8.800., Jika harga sebuah buku Rp.600., lebih
     murah dari harga pensil, maka harga sebuah buku adalah…
     a. Rp1.400               c. Rp1.900                 e. Rp2.500
     b. Rp1.600               d. Rp2.000
7. Sebuah koperasi menjual baju seharga Rp. 864.000 ,00. setiap lusinnya. Jika hasil
   penjualan ternyata untung 20 % dari harga belinya , maka harga beli sebuah baju
   adalah …
   a. Rp14.400             c. Rp74.400                e. Rp1.080.000
   b. Rp60.000             d. Rp720.000
8.    Seorang pedagang buah membeli 5 kotak jeruk yang tiap kotaknya berisi 15 kg
     seharga Rp. 600.000,00 Jika kemudian jeruk tersebut dijual seharga Rp. 9.000,00 tiap
     kgnya, maka persentase keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah ….
     a. 5 %                  c. 8%                        e. 12,5%
     b. 7,5%                 d. 10%

9. Pak Heri membeli sepasang sepatu , setelah harganya di potong 20% ia membayar
   sepasang sepatu itu sebesar Rp 48.000,00. Harga sepatu sebelum di potong harganya
   adalah…
   a. Rp57.600,.            c. Rp72.000,.               e. Rp96.000,.
   b. Rp60.000,.            d. Rp86.000,.

10. Nilai dari 11 – (-7) – (-9) adalah…
    a. –27                     c. –5                      e. 27
    b. –12                     d. 12

11. Nilai x yang memenuhi 3 5x-1 = 27     x+3
                                                adalah…
    a. 1                   c. 3                           e. 5
    b. 2                   d. 4

12. Hasil dari -9 x (-3) x (-4) : 6 adalah…
    a. 108                      c. 18                     e. -27
    b. 27                      d. -18
32                                                             Modul Matematika X Non Teknik

13. Diskon harga barang 10 %. Jika harga barang Rp 128.000,00. Maka harga barang
   setelah diskon adalah ( bulatkan ke puluhan ribu terdekat )
    a. Rp 115.200           c. Rp 110.000                e. Rp140.000
    b. Rp 115.000           d. Rp 140.800

14. Pernyataan berikut benar, kecuali…
    a. ap. aq = ap+q         c. a . a = a                    e. (ap)q = ap.q
        m     n   mn
    b. a : a = a             d. a .b = a.b

15. Hasil dari (23)4 x (23)-5 = …
                                    1
     a. 16                       c.                            e. 32
                                    8
                                     1
     b. 8                        d.
                                    16
16. Nilai x yang memenuhi 53x-2 = 252x + 1 adalah…
    a. - 2                  c. - 4                             e. 4
    b. - 3                  d. 3

17. Nilai x dari 3 log 9 = x adalah…
    a. 3                        c. 1                           e.-2
    b. 2                        d. -1

18. Jika log 2 = x; log 3 = y dan log 5 = z, maka nilai dari log 30 adalah…
     a. x – y – z             c. x.y.z                      e. x-y+z
     b. x+ y + z              d. x+y – z
                             5
19. Bentuk sederhana dari        log 10 + 5 log 50 – 5 log 4 adalah…
    a. 3                          c. 8                          e. 25
    b. 5                          d. 15

20. Karakteristik dari log 123,0002 adalah…
    a. 2                       c. 123                          e. 123,0
    b. 0002                    d. 123,2

21. Dengan menggunakan tabel nilai dari log 520,8 adalah…
    a. 0,7167            c. 2,7167                      e. 4,7167
    b. 1,7167            d. 3, 7167

22. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka log 150 adalah…
     a. 2,7781                c. 1,8289                  e. 0,1761
     b. 2,1761                d. 0,7781
23. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 dan log 7 = 0.8451 maka log 105 adalah…
     a. 2,0162               c. 2,2162                   e. 2,9255
     b. 2,0212               d. 2,3162
24. Dengan menggunakan tabel, nilai dari log 0,3987 adalah…
    a. 0,6006            c. 0,6006 – 2                   e. 0,6006 – 4
    b. 0,6006 – 1        d. 0,6006 – 3
25. Bentuk pecahan dari 2,0666… adalah….
       31                        2                                    6
    a.                      c. 2                               e. 2
       15                        3                                    9
        15                     32
    b.                      d.
        31                     15
Sistem Bilangan Real                                                                  33

                               2
26. Invers penjumlahan dari       adalah….
                               5
        5                           2
   a.                          c. –                            e. 2,5
        2                           5
            5
   b. –                        d. 5,2
            2
     2 3      7
27. ( +   ):    =….
     5 10    10
                                  49                                 35
   a. 1                        c.                              e.
                                  10                                100
         49                       20
   b.                          d.
        100                       14

28. Harga barang Rp.70.000 diskon 15% maka harga setelah diskon adalah….
    a. Rp85.000            c. Rp80.500                e. Rp59.500
    b. Rp55.900            d. Rp10.500

29. 0,5 % setara dengan…
        1                        1                          5
     a.                    c.                         e.
        2                     200                        10.000
        1
     b.                    d. 0,05
        20
30. Setelah mendapat bonus 10% seorang karyawan gajinya Rp.12.100.000 maka gaji
    sebelum bonus adalah . . . .
    a. Rp13.310.000        c. Rp10.850.000            e. Rp1.210.000
    b. Rp11.000.000        d. Rp10.500.000

                1    3
31. Hasil dari 2 : 4   = ....
                5    7
        77                           26                              77
    a.                         c. 9                            e.
       155                           35                             156
       155                         156
    b.                         d.
        77                          77
32. bentuk pecahan dari 3.005555…. adalah . . . .
        1                           1                               541
    a.                        c. 3                             e.
       18                          18                               190
         1                         31
    b.                        d.
       180                        180
33. Di bawah ini contoh dari bilangan rasional, kecuali . . . .
                                  25
    a. 16                     c.                               e.   3,14
                                  11
    b. log2                  d. 30 %

34. Invers perkalian dari 2,1 adalah . . . .
                                  21                                  10
    a. –2,1                    c.                              e. –
                                  10                                  21
                                  10
    b. 1,2                     d.
                                   21
35. 0,002 % dari 10 miliar adalah . . . .
     a. Rp. 20.000             c. Rp. 20.000.000               e. Rp. 2.000.000.000
     b. Rp. 200.000            d. Rp. 200.000.000
34                                                     Modul Matematika X Non Teknik

                              1
36. Invers perkalian dari 2     adalah . . . .
                              3
        7                                1                       3
     a.                             c.-2                 e. –
        3                                3                       7
        3                            7
     b.                         d. –
        7                            3
37. Bentuk pecahan dari 1,02222….. adalah . . . .
        45                      47                          11
    a.                      c.                         e.
        46                      45                           9
       46                        2
    b.                      d. 1
       45                        9
                 2    2 1
38. Nilai dari     x (  ) adalah . . . .
                 5    3 6
        45                         2                        2
     a.                       c.                       e.
         2                        45                        3
        1                         1
     b.                       d.
        6                         3
39. 62,5 % setara dengan . . . .
      625                     5                             8
   a.                     c.                           e.
      100                     8                             5
   b. 6,25               d. 0,0625
40. Harga beli Rp. 50.000 untungnya 15% ,harga jualnya adalah ….
   a. Rp7.500               c. Rp17. 500               e. Rp65.000
   b. Rp75.000              d. Rp57.500
                   3 1 5
41. Hasil dari 2    : x   =....
                   4 4 11
                                      9                          1
     a. 5                       d. 5                   e. 24
                                     11                          5
             5                        7
     b. 5                       c. 5
            11                       11
42. Bentuk pecahan dari 2, 636363….. adalah . . . .
         11                     29                        25
    a. 2                     c.                        e.
          7                      7                        11
         29                      25
    b.                       d.
        11                       7
43. Sebuah ruangan berbentuk persegi panjang digambar menggunakan sekala 1 : 200
    dengan panjang 2 cm dan lebar 3 cm, luas ruangan sebenarnya adalah …
    a. 24 m2                 c. 12 cm2                 e. 6 cm2
            2                        2
    b. 24 cm                 d. 10 cm
44. Suatu gedung akan dibangun oleh 100 pekerja selama 60 minggu. Jika rencana
    penyeleseian dipercepat menjadi 50 minggu, maka banyaknya pekerja yang harus
    ditambah adalah…
    a. 120 orang            c. 80 orang              e.20 orang
    b. 100 orang            d. 40 orang

45. Suatu gambar gedung berskala 1 : 500, jika tanah tempat gedung tersebut berukuran
    20 cm x 15 cm, maka luas tanah sebenarnya adalah…
    a. 75.000 m2            c. 750 m2                   e. 7.500 cm2
                2                   2
     b. 7.500 m             d. 75 m
Sistem Bilangan Real                                                                  35

46.Jarak kota A dengan kota B sebenarnya 120 km dan dilukis dengan jarak 12 cm, maka
    jarak kota A dan kota C yang sebenarnya jika dalam lukisan berjarak 15 cm adalah …
     a. 150 km               c. 100 km                   e. 80 km
     b. 130 km               d. 90 km

47. Suatu peta berskala 1 : 2.500.000. Jika Jarak Surabaya – Yogyakarta 350 km, maka
    dalam peta berjarak…
    a. 12 cm                 c. 15 cm                    e. 21 cm
    b. 14 cm                 d. 18 cm

48. Suatu mobil berukuran 4 m x 2m dilukis berukuran 10 cm x 5 cm, maka skala lukisan
    tersebut adalah…
     a. 1 : 400             c. 1 : 200                 e. 1 : 20
     b. 1 : 300             d. 1 : 40

49. Pak Heri membeli sepasang sepatu , setelah harganya di potong 20% ia membayar
    sepasang sepatu itu sebesar Rp 48.000,00. Harga sepatu sebelum di potong
    harganya adalah…
    a. Rp 57.600,00         c. Rp 72.000,00              e. Rp 96.000,00
    b. Rp 60.000,00         d. Rp 86.000,00

50. Diketahui log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r, Harga log 1500 jika dinyatakan dalam p,
    q dan r adalah…
    a. p+q+r                  c. 2p+q+r                    e. 3p+q+2r
    b. p+2q+3r                d. 2p+q+3r


C2. Essay

1. Pak Burhan akan menjual berasnya sebanyak 60 karung dengan berat perkarung 70
   kg. Ia akan menjualnya melalui seorang komisioner bernama Ali Sastro dengan
   kesepakatan tarra 3% , rafaksi 10 % dan komisi 15%. Jika beras dijual Rp.4.000 per
   kg. tentukan:
    a. Hasil komisi yang diterima Pak Ali
    b. Hasil penjualan yang diterima Pak Burhan

2. Suatu gedung direncanakan dibangun dengan 400 pekerja selama 120 minggu, setelah
   berjalan 30 minggu pembangunan dihentikan sementara selama 25 minggu. Jika
   pembangunan ingin selesai sesuai dengan rencana semula berapakah pekerja yang
   harus ditambahkan dalam pembangunan tersebut?

3. Sederhanakanlah bentuk akar di bawah ini :
   a. 3√6x (3√5 +√80)
   b. 3√28 x(√3 - 2√7)
   c. 2√5 x ( 2√120 + 5√24)

4. Tanpa mengunakan kalkulator atau tabel , tentukan nilainya:
              1
   a. √3 log
             243
     1           1
     2           36       625
  b. log 125 x log 8 x        log 6
  c. log 8 + log 125 – log 4 – log 25 + Log 12,5 + Log 0,8

5. Jika log 3 = 0,4771 dan log 5 = 0,6990. Tentukan nilai dari:
        a. log 75                    b. log 135                   c. log 6
36                                                    Modul Matematika X Non Teknik

                                  D. PENUTUP

Sebagai tindak lanjut dari seluruh kegiatan belajar dalam Modul Kompetensi Sistem
Bilangan Real ini, apabila hasil evaluasi terhadap penguasaan Kompetensi mencapai 65
% atau lebih, maka anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Tentu saja setelah
memperoleh rekomendasi dari guru / pembimbing mata Diklat Matematika.

Namun apabila anda masih belum mencapai penguasaan Kompetensi 65 % atau anda
dianggap belum Kompeten, maka anda harus mengulang evaluasi tersebut. Tidak
tertutup kemungkinan perlu diadakan penelusuran terhadap penguasaan kompetensi
dengan mengulang kembali tahap-tahap kegiatan belajar yang belum dikuasai.
37   Modul Matematika tahun 1

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:3957
posted:2/17/2011
language:Indonesian
pages:37