Docstoc

Makalah Vektor

Document Sample
Makalah Vektor Powered By Docstoc
					                     MAKALAH
                  LISTRIK MAGNET
                “ANALISIS VEKTOR”




                    Di susun Oleh:
                 Kelompok I, kelas V.A
        1. M. Haiz < iesgagah@yahoo.com >
        2. Suliana < suliana.manizz@yahoo.com>
        3. Raodah < R4od4h@gmail.com >
        4. Wahidatul jannah < wahidatuljannah@ymail.com >
        5. Ru’atul aini < ruatulaini@yahoo.com >
        6. Ahmad mujayyani <




          PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
 JURUSAN MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM (MIPA)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN & ILMU PENDIDIKAN
             (STKIP) HAMZANWADI SELONG
                       T.A 2010 – 2011
                                  KATA PENGANTAR


       Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor,
Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para
fisikawan dan rekayasawan untuk membantumenyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu
mahasiswa perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini,
       Makalah yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa
dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah yang
dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik.
       Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan dapat dengan
mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan,
penyusun berusaha memberikan beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa
sebagai latihan. Yang diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi yang ingin mempelajari
lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam.
       Makalah ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat
mengharapkan saran dan kritik yang membangun darimakalah                ini untuk lebih
menyempurnakan penyajian selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar makalah ini
dapat benar-benar bermanfaat.
                                                                Selong, 20 desember 2010




                                                                               Penyusun
                                      DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
PEMBAHASAN
     1. Definisi Vektor,
     2. Aljabar Vektor
        2.4 Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor
        2.3 Pengurangan vektor
        2.2 Penggandaan vektor dengan skalar
        2.1 Penjumlahan vektor

     3. Gradien, divergensi, Curl
        3.1 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl
     4. Integral Vektor
         4.1 Integral Garis
        4.2 Teorema Green
        4.3 Medan Gaya Konservatif
     5. Operator Diferensial Vektor
         3.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor
         3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor
     Soal
                                    PEMBAHASAN
A. ANALISIS VEKTOR


  1. Definisi Vektor


            Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan
     arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang
     bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet
     suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut
     dengan vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude)
     saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi
     vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk
     menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua =
     R2) maupun ruang (dimensi tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa
     digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :
                       B


                                    A = titik pangkal (initial point)
    A                               B = titik ujung (terminal point)


   Panjang vektor                       : menyatakan besarnya vektor atau panjangnya

   vektor v dan tanda panah dalam      menyatakan arah vektor.


   Ada 3 jenis vektor :
     1. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinyadengan
         panjang dan arah tetap.
     2. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjanggaris
         kerjanya, misalnya gaya yangbekerja sepanjang garis lurus.
     3. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat yang
         menunjukkan posisi tertentu.Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau
         posisi, pada umumnyaorang bekerja dengan vektor bebas.
2. Aljabar Vektor
   Vektor nol (null vector)
        Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak tentu (karena
        ujung dan pangkalnya berimpit)
   Kesamaan 2 vektor
        Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yangsama.
   Kesejajaran 2 vektor
        Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa
        sama atau berlawanan. Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang
        paralel.
   2.1 Penjumlahan vektor
        Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau
        aturan segi banyak (poligon) Misalnya:


   a.



                                             atau




   b.                                




   c.
 Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup
 selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.


 2.2 Penggandaan vektor dengan skalar
  Jika m = besaran skalar dan      = vektor yang panjangnya |     |
  maka :
       = vektor yang panjangnya m kali panjangnya          dan arahnya sama dengan vektor
            jika m positif, atau berlawanan dengan arah vektor A jika m negatif
 2.3 Pengurangan vektor
 Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang
 mengurangi



                 Jadi




                               =                       =




2.4 Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor
    Jika          adalah vektor dan m, n adalah skalar maka
       1.                                    (komutatif terhadap jumlahan)
       2.                                    (asosiatif terhadap jumlahan)
       3. Terdapat vektor     sehingga:                       (ada elemen netral)
       4. Terdapat vektor       sehingga:                     (ada elemen invers)
       5.                    (asosiatif terhadap perkalian)
       6.                           (distributif terhadap perkalian)
       7. (m + n) A = mA + nA                              (distributif terhadap perkalian)
       8. 1 ( ) =       (ada invers dalam perkalian)
3. Gradien, Divergensi, Curl
   Didefinisikan suatu operator vektor  (dibaca del atau nabla) sebagai berikut:




   Jika  = (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan
   A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k adalah fungsi vektor yang
   mempunyai turunan pertama yang kontinu di suatu daerah.
   Maka:
   a. Gradien dari (x,y,z) di definisikan dengan

      Grad  =       =


                       =


                       =
   b. Divergensi dari A(x,y,z) :



      div A =  ○ A     =


                        =
   c. Curl atau Rotasi dari A(x,y,z) :

      Curl A =



              =




               =
              =                    i-


  Rumus-Rumus :

 Jika A,B fungsi vector

 U,V fungsi skalar , maka

   1.             =

   2.     ○                     ○ A+ ○B atau div                            B

   3. x                    xA XB atau curl

   4. ○                        ○A+U ( ○A)

   5. x(UA)=( U)xA+U( xA)

   6. ○(AxB)=Bx( ○A)-A( ○B)

   7. x(AxB)=(B○ )A-B( ○A)-(A○B)B+A( ○B)

   8. ○(A○B)=(B○ )A+(A○ )B+Bx( xA)+Ax( xB)


   9. ○( U) =             U=            +     disebut laplace daari U dan   =   +   +

   disebut operator laplace
   10. x( U) = 0           curl dari gradien
   11. ○( xA) = 0              dipergensi dari curl A = 0
   12. x(         ) = ( ○A) -


Contoh Soal
Misalkan              y                     fungsi skalar
  A = xzi -        +2      yk      fungsi vektor

a. Grad                    I+

          = 2xy I +             j+3     y
b. Div A = ○A = (                     +      ○(xzi-      j+2    y k

           = z - 2y + 0 = z - 2y


c. Curl A = xA =


           = i( 2     - 0 ) – j (4xy – x) + k (0 – 0)\
           =2       i – (4xy – x)j
d. Div (               ○(

                       =                            ○    y


                       =        y                        )j +


                        =3    y i-3            j+6              k

e.curl (                                  y (xzi -       j+2        k))



                =



              =( 4                        )I – (8

3.1 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl
 Derivatif berarah (directional derivatve)
           Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan adalah
   T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam ruang tersebut.
   sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkinakan berbeda dengan temperatur
   di titik lainnya. Karena adanyaperbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan
   besarnya rata-rata perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik
   lainnya persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperature sesaat di
   suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke titik mana yang akan dituju.
   Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut dengan derivatif berarah (directional
   derivative). Cara menentukan derivatif berarah: Diberikan suatu medan skalar yang
   dinyatakan fungsi _(x,y,z). Besarnya laju perubahan dari fungsi _(x,y,z) di titik (x0,
y0, z0) persatuan jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah
satuannya u = ai + bj + ck, bisa ditentukan sebagai berikut,


                                   


             = konstan
                                                              u


                                                d/ds dalam arah u
Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u
= ai + bj + ck, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter


        X = x0 + as
         Y = y0 + bs
        Z = z0 + cs


Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari satu variabel
s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z), maka φ akan
merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di atas φ merupakan fungsi
dari satu variabel s, sehingga ds/dφ bisa
dihitung.

          u     =         +                 =                      c


                                        =


Jadi,

                              ○u=grad ○u
Definisi perkalian skalar, diperoleh:

             ○u=                 adalah sudut antara     dan vector u

θ adalah sudut antara φ dan vektor u
Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi

    =              nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°,

yaitu jika u searah dengan φ.

Harga maksimum dari


CONTOH:
1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam
arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini
akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.


a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1)j + (-1-1)k = i +
2j – 2k.

Vektor arah satuan = u =

                         k=


    = 2yi + 2xj – 2zk


     = (2yi+2xj-2zk)○

     =                2,-1,1


     = (-1+8+4)= =3,33

b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan                f, dan
besarnya nilai maksimum =


        =
        =2
 Penggunaan lain dari Gradien
   Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletak pada titik tetap Po(xo,
   yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas dengan massa m yang berada pada posisi
   P(x,y,z) dalam suatu ruang, maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A.
   menurut hukum Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan
   besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po. Sehingga,



   G = 6,67 = konstan
   dan
   Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.
   Jika vektor jarak dari P ke Po,
   r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k ; | r | = r
   dan

                      vektor satuan arah dari p, (tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)

   maka

   vektor



   ———> fungsi vektor yang menyatakan gaya tarik menarik antara dua partikel.
   Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/r ; r ≥ 0
   merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa
   dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:

   grad
Selain itu bisa di buktikan :




Jika dijumlahkan menjadi:




Sehingga, karena f = c/r maka

                                f=0

Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan merupakan fungsi
vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi skalar f (potensial dari medan gravitasi)
dan f memenuhi sifat          f = 0 Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua
partikel bermuatan Q1 dan Q2 adalah



 (Hukum Couloumb)
dengan:

                        konstanta elektrik

Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan
  f=0
CONTOH:
Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah
V(x,y) = 110 + 30 ln(     +     volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5)=grad V
Vektor gaya elektrostatik p = grad V



                   Arah gayanya searah dengan arah vektor p
 Penggunaan Divergensi
          1. Dalam aliran fluida:
  Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-steady state) dari fluida termampatkan
  (compressible fluid), misalnya gas atau uap, dalam suatu ruangan. Karena
  termampatkan, maka besarnya _ (densitas massa = massa persatuan volume) akan
  tergantung pada koordinat x, y, dan z.Dan karena alirannya tak tunak maka _ juga
  tergantung pada t (berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi _ = _(x,y,z,t). Misalkan
  v(x,y,z) = V1i + V2j +V3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu
  titik (x, y, z) Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil dari
  ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut. Karena terdapat
  aliran fluida yang compressible dalam ruangan tersebut, maka dalam volume W juga
  akan terjadi perubahan massa fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida
  dalam volume W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida
  sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu. Jika, massa fluida yang
  melewati salah satu sisi dari W Selama Δt ≈ [komponen vektor kecepatan yang 
  dengan masing-masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [Δt) = fluks
  massa fluida pada masing-masing sisi W. Maka, untuk menghitung besarnya perubahan
  massa fluida yang melalui W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa
  yang keluar dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi
  W.
  " Fluks massa yang masuk selama Δt melalui:
  – sisi kiri = ρv2 Δx Δz Δt
  – sisi belakang = ρv1 Δy Δz Δt
  – sisi bawah = ρv3 Δx Δy Δt
  " Fluks massa yang keluar selama t melalui:
  – sisi kanan = (ρv2 + ρv2) Δx Δz Δt
  – sisi depan = (ρv1 + ρv1) Δy Δz Δt
  – sisi atas = (ρv3 + ρv3) Δx Δy Δt
  Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan
  Volume = (Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu

  =
      ρ       ρ      ρ
  =
Karena volume W diambil sangat kecil, maka Δx → 0
Δy → 0
Δz → 0
Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan
volume dalam ruangan =


                  ρ
                             =


=                     ○(     I+       j+

=    ○
= div (


Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu
persatuan volume akan sama dengan laju perubahan (penurunan) densitas massa
persatuan waktu, atau =



Jadi, div

Atau


 Div


    merupakan persamaan kontinuitas dari aliran non-steady state dari fluida
termampatkan Jika alirannya tunak (steady state), yang berarti bahwa densitas
massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu),
maka:

            div

∂ρ —→ div ρv = 0 ——→ merupakan kontinuitas untuk aliran steadystate dari fluida
termampatkan (compressible). Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan
(in compressiblefluid), berarti _ nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,
div ρv = div v = 0 (ρ ≠ 0)
div v = 0 ——→ persamaan koninuitas dari aliran steady-state
  dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid).
 Penggunaan Curl
  Dalam gerak rotasi
  Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut –(konstan)
  mengelilingi sumbu ℓ.




    GAMBAR .            P
                                v      Ω
             R          r


    ℓ



  Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω_yang panjangnya _, sejajar sumbu ℓ dengan
  arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan terhadap gerakan benda. Jika R adalah
  vektor dari titik 0 di ℓ ke sembarang titik P pada benda,
  maka
  " radius putar titik P:
  r = | R | | sin θ |
  sehingga,
  " kecepatan linier titik P
  | v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |
  Vektor v ini mempunyai arah ┴ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R sehingga Ω, R, dan
  v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil dari perkalian Ω × R, selain
  memberikan besarnya nilai v juga akan menentukan arah dari v. Jika titik 0 diambil
  sebagai titik asal koordinat, maka:
  R = xi + yj + zk dan
  Ω = Ω1i + Ω2 j + Ω_k
  sehingga, v = Ω × R bisa ditulis
  v = (Ω2z + Ω3 y)i – (Ω1z - Ω2x)j + (Ω1y - Ω1x) k
  dan
       curl v =     ×v=


       =2 i       +2       j+2       k=2Ω
       Jadi,
       Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform = ½ curl dari kecepatan
       lintas sembarang titik.



4.    integral Vektor


     4.1 Integral Garis (Line Integrals)
                  Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari konsep integral
        tertentu

                  Dalam integral tertentu                 , fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang sumbu
        x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada setiap titik
        pada sumbu x antara sampai b.
                  Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C
        dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi pada setiap titik
        di C. Kurva C, oleh sebab itu disebut sebagai ‘lintasan integrasi’. Lintasan integrasi C
        merupakan kurva licin (smooth curve) yang bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi
        vektor:
                  r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b
        dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,




        yang tidak nol
        Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:
        A : r(a) = titik awal dari C
        B : r(b)= t akhir dari C
        Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam gambar, arah ini
        ditunjukkan dengan tanda panah.
   Jika A = B C disebut kurva tertutup.               A=r(a)

                                       B=r(b)          B=r(b)

                   C: r(t)                                            C

A= r(a)




 Definisi Integral Garis
 Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang terdefinisikan pada a
 ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:


               =              (t)dt
 Jika
 r(t)          =x(t)i+y(t)j+z(t)k



   dr = dx(t)i+dy(t)j+dz(t)k
 F(r) = F1 i+F2j+F3k
 Maka:




                                       =                         dt

                                 =
 Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan

 dengan

 contoh soal :

 1.Tentukan                    .jika
 F(r)= z i + j + y k
 C : r(t) = cos t i + sin t j + 3t k
 ⇒
 x(t)= cos t
 y(t)= sin t
 z(t)= 3t
                F[r(t)] = 3t i + cos t j + sin t k
            r'(t) = –sin t i + cos t j + 3 k

             dr =

=

=3[tcost-                  +

= 3tcost-3sint+                                       dari integral garis

            dr

Jika F=FIi                      dr=        dx

F=F2j                  =F(r) dr=∫_c ○〖F_2 dy〗

F=F3k                         dr=

Bentuk :
C: r(t) :

Merupakan bentuk khusus dari                          dr, jika

                      =              ,sehingga

F=F1

Jadi,

             dr=

Contoh

Tentukan
C : r(t)= costi+sintj+3tk;0 ≤t≤2

F=(                       )2
r(t)=costi+sintj+3tk
x(t)=cos t
y(t)=sin t
z(t)= 3t
4.2 Teorema Green
  Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis
          Integral rangkap dua yang meliputi suatu daerah dalam bidang XOY bisa
  ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari daerah tersebut atau
  sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan dengan teorema Green pada bidang.
  Transformasi dengan teorema Green ini penting karena bisa digunakan untuk
  membantu mengevaluasi perhitungan integral dengan lebih mudah.
          Teorema Green : Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang
  XOY yang batas C nya erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) yang
  berhingga, misalkan F1(x,y) dan F2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu dan
  mempunyai derivatif parsial              dalam domain yang memuat R, maka :




  Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R.C

      y


            C
                R
                                 x
  Apabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi :




  =
  4.3 Medan Gaya Konservatif.

      Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasan
      Dalam bidang (R2) :
      Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j
      r=xi+yj
      dr = dx i + dy j
      Teorema :

      Syarat perlu dan cukup untuk          dr=        dx+ dy tidak
      tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua
      titik pada daerah R dalam bidang R2 adalah :




      atau jika bisa ditemukan suatu fungsi       (x,y) sedemikian hingga :




5. Operator diferensial vector



SOAL :


  1. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)= t2 i – 2tj +
     (t2 + 2t)k, t waktu.
     a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,-4,8).
     b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi titik (4,-4,8).

      c.  Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan partikel tersebut, dan
          bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)
  2. Tentukan besarnya usaha dalam gerakan partikel yang menjalani lintasan satu putaran
     elips C dibuang dibidang XOY, jika elips tersebut berpusat di titik 0 dengan sumbu
     panjang 4 dan sumbu pendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh:
     F = (3x – 4y + 2z)i + (4x + 2y – 3z2)j + (2xz – 4y2 + z3) k
  3. …….
  4. …….
  5. ……..

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:5996
posted:1/26/2011
language:Indonesian
pages:21