Docstoc

integral - PDF

Document Sample
integral - PDF Powered By Docstoc
					                                                                                                              Persepsi Integral
                                                                                                                               • ∆x₁ +∆x₂ +…..+ ∆xn= x |₀
                                                                       Y                   x                                   • ∑ ∆xk = x
                                                                                                                         X     • dengan syarat dihitung dari
                                                                           ∆x₁ ∆x₂                            ∆xn                titik pusat sumbu. (0,0)
                                                                                                                               • dx +dx + ...+ dx= x |₀
                   Bab G 7 Integral                                    Y                   x                                   • ∫dx = x |₀
                                                                                                                               • Jadi ∫ adalah Σ bedanya ∫
                                                                                       a             b                   X       untuk perhitungan kontinues
                                                                                 dx                          dx                  sedangkanΣ untuk perhitungan
                             Gideon                                                                                              diskrit
                                                                           ∫ dx= x ; int dy= y ; ∫ dz = z                      • ∫ dx = x a∫b dx = x a|b = b – a
                                                                           ∫ dL = L                                            • Hitung dulu dari 0 → ke b
                                                                                                                                 kurang dari 0 → a




                    Perhitungan integral                                                         Carilah integral dari :
• Jika y = x² + c → dy = 2x dx ∫ kiri kanan                                 • ∫ x²dx maka anti integral dapat dilakukan dengan cara
  Maka ∫ dy = ∫ 2x dx → y = ∫2x dx = x² + c                                   berikut :
• Y = 4x² + 3x + c → dy = (8 x + 3) dx ∫ ki – ka                            • Difrensial biasa menurunkan pangkat, maka ketika
   ∫ dy = ∫ (8 x + 3) dx → y =∫(8x+3 )=4x²+3x+c                               dikembalikan ke fungsi awal maka pangkatnya akan naik.
• Jika y = sin x + c → dy = cos x dx ∫ ki – ka                              • ∫x² dx= p x³ differensialkan kembali 3p x² dx
  ∫ dy = ∫ cos x dx → y = ∫ cos x dx = sin x                                • Dan 3p = 1 → p = ⅓
• ∫ sin x dx =?                                                             • Jadi ∫x²dx = ⅓ x³ + c ( coba periksa kembali dengan
                                                                              penurunan apakah kembali ke expresi yang di integral ?)
• apakah kesimpulan anda tentang cara perhitungan                           • Carilah :
  integral ?
• Ternyata : cara menyelesaikan integral adalah dengan
  melakukan anti differensial. Tetapi integral bukanlah anti                • ∫ axⁿ dx =                              ∫sin x dx =        ∫ cos x dx                    ∫ dx =
  differensial tetapi penjumlahan elemen – elemen suatu                                                                                                                  x
  variable ( dL, dy dst. )




          Nalarkan expresi integral dibawah ini.
•   ∫axn dx = coba lakukan differensial di sebelah kanan.                     Hitung : ∫ f(x) dx = F(X)

•   Y = cos x + c dy= - sin x dx → y =∫ - sin dx = cos x + C                      1.   f ( x) = 3x 2 + 10 x + 5                     6.      (2
                                                                                                                                          ∫ x −4              )3 2 x d x
•   Y = sin x +c dy = cos x dx → y = ∫cos x dx = sin x + C                        2.   f ( x) = x 2 (20 x 7 − 7 x 5 + 6)            7.
                                                                                                                                             2
                                                                                                                                                (
                                                                                                                                          ∫ x − 3x + 2                 ) 2 ( 2 x − 3) d x
•   Y=sec x + c dy = sec x tgx dx → y = ∫ sec x tg x dx = sec x + C
                                                                                                1   6                                            2
                                                                                                                                          ∫ 3x 3x + 7 d x
•   Y= csc x +c dy= - csc x cot dx → y =∫- cscx cot x dx = csc x + C              3.   f (x ) = 3 + 7                               8.

•   Y= tg x + c    dy= sec² x dx → y =∫ sec²x dx = tan x + c
                                                                                               x   x
                                                                                                    3             2
                                                                                                                                    9.      (2
                                                                                                                                         ∫ 5x + 1             )   5x 3 + 3x − 2 d x
                                                                                                 2 x − 3x + 1
•   Y=- cotg x +x dy = csc² x dx → y =∫ csc²x dx = - cotg x + c                   4. f ( x ) =                                                       3y
                                                                                                              2                     10. ∫                2
                                                                                                                                                                  dy
                                                                                                          x                                         2y       +5
•   Y= 1/x         dy = ln x dx   → y =∫ln x dx = 1/x
                                                                                                    −3
•   Menyelesaikan integral dengan melakukan anti differensial.                    5.   f (x ) = x        4                                  (                 )
                                                                                                                                    11. ∫ c o s 4 2 x ( − 2 sin 2 x ) d x
    Tetapi ingat sekali lagi bahwa integral bukanlah anti
    differensial, melainan penjumlah elemen – elemen suatu
    variable. Dan ∫ (penjumlahan ) selalu dihitung dari 0 s/d x.
                                                                                                                                            dx
     •                    y=f(x)                                                        dL=f(x) dx                              I y            I
                                                                                                                                                                                    y=f(x)
                                                                                                                                          f(x)            dL = f(x)dx
     •                                                                                  Luas dari a - b
     •      a           dx                  b                                                                                       a                  dx          b               III       c
     • hitung luas dari 0-b = 0∫b f(x) dx = F(b)
     • Hitung luas dari 0-a = 0∫a f(x) dx = F(a)                                                                              LI pos krn f(x) positip dan dx positip (selalu)
                                                                                                                              LIII neg krn f(x) neg dan dx positip
     • Maka luas dari a – b = F(b) – F(a)
                                                                                                                              Maka Luas total = LI – LIII = a∫b f(x) dx - b∫c f(x) dx


          a          b                    c                                                                                                                          L= 4(0 ∫π sin x dx - π∫2π sin x dx )=
          bagaimana menghitung luas dari a ke c ?                                                                                                                      = 4 (- cos x 0|π + cos x π|2π
    •₁∫³ (x² + 1)² dx =₀ ∫³ (x⁴ +2x² + 1) dx = ⅕x⁵ + ⅔ x³ +x +c ₁|³ =                                                                              y =f(x)= 4 sin x    =4(-cos π +cos 0)+4(cos 2π) – cos (π)
                                                                                                                         0                                        2π  = 4[-(-1)+1 +4(1-(-1)] = 16
    •
    (⅕ 3⁵ + ⅔. 3³ + 3 + c) - (⅕ 1⁵ +⅔ 1⁵ +1 + c) = … hitung




                                  Sifat – sifat integral tentu                                                                                                  Trik mengintegral
    Asumsi f(x) dan g(x) tersambung sempurna pada selang [a,b)                                                           •    ₀∫x
                                                                                                                                sin (2x+1) dx → perhatikan apakah bentuk differensial 2x+1
          b                                     b                        b                                                   ada bentuk yang berhubungan dengan bentuk di sekitar dx. Mis
1         ∫ [ p f ( x ) + q g ( x ) ] dx = p ∫      f ( x ) dx + q ∫ g ( x ) dx                                              u= 2x+ 1 → du= 2 dx → dx= ½ du maka bentuk inegral menjadi :
          a                                     a                        a                 a                     b           ½ ₀∫x sin u du = - ½ cos u + c ₀|x
          c                  b              c                                                                            • ₀∫x (x+1)² dx → ₀∫x x² + 2x + 1 dx = ⅓x³ + x² + x +c
2         ∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx
          a                  a              b                                                                            • ₀∫x (x+1)√(x²+2x – 1) dx → mis u = x² + 2x -1 → du= 2(x+1)dx
          a                                                                               a         b            c          ½ ₀∫x √u du = ½. ⅔ u¹.⁵ + C = ⅓ (x² + 2x -1 )¹.⁵ + C ₀|x
                                                    b                a
3         ∫ f ( x ) dx = 0                          ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
                                                    a                b
                                                                                                                         • ₀∫x(2x+cos 2x)dx=₀∫x2xdx+cos 2x (½ d2x) = x² + ½ sin 2x + c ₀|x
          a
                                       a                                                                                       NB.dengan perkataan lain mis u= 2x
4             Bila f(x) ganjil         ∫ f ( x)dx = 0
                                       −a
                                                                                          -a            0            a   • ₀∫¹ dx = mis x=tg u→ dx=sec²u du→x= 0 → u=0 x=1 → u=π/4
                                                                                                                               (x²+1)
                                        a                   a
5             Bila f(x) genap                                                                                             ₀∫π/4 sec²u du = u ₀|π/4 = π/4
                                        ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
                                       −a                   0                             -a        0                a              sec² u




                                                                                                                         5                                                                                              y= -(x-2)
                       x + 2 , 0 ≤ x < 2                                           0
                                                                                                                                                                            x − 2, x ≥ 2
     1.       f (x ) =                                                      5.     ∫ 3x
                                                                                           2    3
                                                                                               x + 1 dx                  ∫ | x − 2 | dx                f ( x ) =| x − 2 |= 
                       6 − x , 2 ≤ x ≤ 5                                           −1                                   1                                                 − ( x − 2 ) , x < 2                         1 2         5
                                                                                    3                                    5                         2                           5                                         y=x-2
                        x     , 0≤ x<1                                                                                  ∫ | x − 2 | dx = ∫ − (x − 2)dx + ∫ ( x − 2)dx
                                                                                                    2
                                                                             6.     ∫ 8t 7 + 2 t            dt
                                                                                 −3
     2.       f ( x ) = 1      , 1≤ x ≤ 3                                                                               1                         1
                                                                                                                                                                       2
                                                                                                                                                                               2
                                                                                                                                                                                             5
                        x − 4 , 3 < x ≤ 5                                          3 x2 + 1                                                  = −1 x 2 + 2 x + 1 x 2 − 2 x
                                                                                                                                               2              2       1                     2
                                                                             7.     ∫      3
                                                                                                    dx
                                                                                    1     x + 3x                                              = ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
     3. f(x) = |x -1|
                         4         1                                              π /2                                       Menghitung luas dengan melihat elemen luas
                                                                             8.          2
                                                                                    ∫ sin 3x cos 3x dx
     4.       f ( x) = x − 2 x
                         3         3
                                                                                    0                                                  dL= (f₁(x) – f₂(x) ) dx
                                                                                                                                                                                             L = ∫ [f₂ (y) – f₁(y)]dy
                                                                                                                                       L= ∫(f₁(x) – f₂(x)) dx
                                                                                2π                                                                                                                          x=f₂ (y)
               8                                                             9. ∫ sin x dx                                            y=f₁(x)
     10           2                                                                                                                                                                              x=f₁ (y)
               ∫ x − 6 x + 8 dx                                                  0
               0                                                                                                                                              dL
                                                                                                                                          y=f₂(x)                                                     dy      dL


                                                                                                                                      a                        dx          b
=

                                                                                                                                                Cari volume lonceng
                                                                                                                               dy    x   dy     dV= π x² dy (jika y= 4-x² )
                                                                                                             y=f(x)
                                                                                                          dy x                                  V= 0∫4 π x² . dx =
                                                     untuk menghitung luas bidang yang                                                           = 0∫ ⁴ x ² dx     u=x²
                                                     dibatasi oleh f₁(x), f₂(x) maka dilakukan             0                                     = ⅓ x³ +c 0|4= 21⅓
       f₁(x)
        ₁                                                                                           a
                       dx              II            perhitungan sbb.
     f₂(x)
      ₂                                              Daerah I : a∫b [f₂(x) – f₁(x)] dx
                   I                                 Daerah II: b∫c [f₁(x) –f₂(x) ] dx
             a                    b          c       Dan total luas = luas daerah I + II                B y=f(x)
                                                                                                                      Jika diputar maka
                                                                                                               dx
     •Carilah luas lonceng yang terjadi jika kurva f(x) diputar sekitar sb y.                                         volume elemennya =
                                                                                                        0 x    y    a a     dV = πy²dx→
                                                                          x   ds       x      ds
                            y=f(x)
                                             dy       x    dy    ds                                                         V= ₀∫aπ y²dx
                                                                dx                                                          Lanjutkan
                       dy    x
                                              ds=                =              dx
                       0
         a
                                             dL = 2πx dS → L = 2π ∫x √(1+y’²)dx
                                             Cari volume lonceng



             Ada sebuah kawat ,panjang 5 m, dengan muatan listrik a
             coulomb /m. berapakah kuat medan listrik di titik P pada                                                                                                    f₁(x)
                                                                                                    • carilah volum dari putaran yang diarsir
                              gambar dibawah ini?
                                                                                                      terhadap sb. X . bentuknya cincin.
                      dEt                   Sin α = 5/r cos α = x/r                                                                                                     f₂(x)
                                            dEx saling meniadakan                                   • Maka volum cincin dV= π[f₁(x)²- f₂(x)²] dx
                  dE      dE = k. dq/r²
                                                                                                    • a. Tentukan perhitungannya, jika diputar
                             =k. dq/(x²+25) sehingga Etotal hanya dari
                                            vertikal.                                                 sekitar sumbu y
                        P
                   r          5             r=√(x²+25)           dEt = 2 ∫ k. a dx/(x²+25). sin α   • b. Tentukan perhitungannya, jika diputar
                                                                      = 2ka ₀∫⁵5 dx/(x²+25)¹.⁵        sekitar sumbu x                                                          dx
    dq= a dx                                     α               Mis : x = tan θ maka X=0
     -5 dx   -x                         x            dx    5     dx=sec²θ dθ                                                             Hitung panjang busur s dari x=a ke
                                                                                                                                         x= b
                                                                  = 10ka ∫ sec²θ /sec³θ dθ                    dy         ds y=f(x)       S= ∫ ds = ∫ √(1+y’)² dx
                                                                 = 10ka ₀∫π/4 cos θ dθ =                            dx                   Lanjutkan.
                                                                   10 ka sin θ ₀|π/4 =
                                                                                                                                         Hitunglah keliling lingkaran dengan
                                                                   10 ka ½√2= 5ka√2
                                                                                                                                         jari jari R




       Koordinat polar. Jarak titik ke pusat r dan sdt thd 1 grs
                                                                                                    • Gambarkan tempat kedudukan fungsi
                                            • TP(r,θ) maka panjang busur ds = r.dq
                                                 luas bid → dθ kecil sekali anggap bid berbentuk
                                                                                                      polar dengan persamaan r = 4π – ½ θ
                             Q                  Δ luasnya → dL= ½ rdθ . R= ½ r²dθ                     dengan θ dari 0 sampai 4π. Berapakah
             dθ               P(r,θ)        gambar: r = 10 + 2 sin 4θ dengan θ dari 0 → 2π
                        r
                                                                                                      panjang garis kurva tersebut. ?
                                                dan hitunglah kelilingnya.
               θ
                                              Maka s= ∫rdθ = 0∫2π (10+ 2 sin 4θ )dθ
                                                                                                    • Jika putaran hanya terjadi dari θ = ½
                                              a= 10 θ – 4 x 2/4 cos 4θ ₀|π/2                          radian sampai 2 radian, berapa luas
                                               = 20π - 4. ½ (0-1) = 20π + 2                           juring yang terjadi ?
                                            • Persamaan lingkaran : r = 10
                                            keliling lingkaran = s=0∫2π 10 dθ= 10 θ +C 0|2π
                                                                             = 20π
                                            Luas seluruh bidang yang terjadi adalah :
                                            dL = ½ r² dθ → L= 0∫2π ½ (10+2 sin 4θ )² dθ
                                                ∫ (50 + 20 sin 4θ + 2 sin²4θ ) dθ
                                            Lanjutkan.
                              Fungsi parameter                                     • Contoh : berapakah panjang busur yang ditentukan oleh y= t³
   • Fungsi parameter adalah fungsi dimana x dan y tidak                             , x=t² untuk 0≤ t ≤ 4
     berhubungan langsung, tetapi melalui suatu variable (                           jawab: ds = √ (dx² + dy² ) bentuk ini boleh dirubah menjadi
     parameter lain, mis t)
                                                                                             ds = √ [(dx/dt)² + (dy/dt)² ] dt
   • Jadi y= f(t) dan x = f(t) contoh : y = t – 1 dan x = 2t
                                                                                               s = 0∫4 √(4t²+9t⁴)dt =√(1+³(/₂t)²) 2t dt = teruskan
     sebenarnya t dapat dihilangkan dan persamaan kembali
     kewujud semula. Yaitu → t= ½ x → y = ½x -1                                    • Atau boleh juga dikembalikan kebentuk semula
   • Untuk mencari panjang busur, luas dan sebagainya kita tetap                     y= t³ x=t² t=³√y= √x → y² = x³ y=x³/₂ dy/dx = ³/₂ x⁻⅓
     berhubungan dengan y = f(x)                                                     maka S = ₀ ∫¹⁶ √ (1+⁹/₄x ⁻⅔ ) dx kemudian teruskan . Manakah
                                                                                     yang lebih mudah?




    4
            y=x²            y=6 - x
                                                                                        X=√(1-y)                                                                           Carilah volume benda putar yang
                                                                                        1                       1-√(1-y)                                                   dibatasi oleh y = 1-x² atau x =
         dx 2 dx      6                       Y² = x+1 diputar sekeliling y= -2                                                                                            √(1-y) , sumbu x, sumbu y dan
       cari luasnya dengan dx                 hitung volum putaran.                                                                                                        diputar pada garis x = 1 Maka
    dan juga dengan cara dy.                                                                                                                                               volume menjadi :
                                              Jawab:
                                                                                                                                                                               dV = π (1² - [1-√(1-y)]² dy →
                                              Y= ± √ (x+1)                                                                                                                     V = π ₀∫¹ 2√(1-y) – (1-y) dy
                              √(x+1)                                                                                    R=1-√(1-y)
                                               maka jari – jari terluar potongan                                                                                                Mis u= 1-y → maka du= -dy
   Y²= (x+1)                                                                           r=1)                    1
                                              sebesar 2 + √(x+1)                                                               Tebal=dy                                    jika y=0 → u= 1 jika y=1 → u=0
                             2+√(x+1)                                                                                                                                          V =-π ₁∫⁰ 2√u – u du →
     -√(x+1)                                  Jari – jari terdalam potongan
                                                                                                                                                                           V=- π ( ₁|⁰=
       Y = -2                                 sebesar 2 - √ (x+1)
                                              Maka volum putaran silinder =
2-√(x+1)                                      dV=
                                              π {[2+√(x+a)]² -[2-√(x+1)² ]} dx
                       dx               dx
                                              Lanjutkan untuk x= -1 to 0



                                                                                   Hitung g’(x) dari
                                                                                             x
                                                                                                                   x                      dg ( x )
                                                                                   g ( x ) = ∫ f (t ) dt = F (t ) | = F ( x ) − F ( a ) →          = f (t )
                                                                                             a
                                                                                                                   a                       dx
                                                                                               u( x)
                                                                                                                            u ( x)                           dg ( x )
                                                                                   g ( x) =     ∫      f (t ) dt = F (t ) |        = F [u ( x )] − F ( a ) →          = f (u ( x ))u ' ( x )
                                                                                                1
                                                                                                                               a                               dx
        X=√(1-y)   1-x                  Carilah volume benda putar yang
                                                                                              u(x)
                                                                                                                            u ( x)                           dg ( x )
                                                                                   g ( x) =    ∫       f (t ) dt = F (t ) |        = F [u ( x )] − F ( a ) →          = f (u ( x ))u ' ( x )
        1                                                                                                                     a                               dx
                                        dibatasi oleh y = 1-x² , sumbu x,                      a
                                                                                              u( x)
                                                                                                                              u ( x)                                   dg ( x )
                                        sumbu y dan diputar pada garis x = 1       g ( x) =    ∫       f (t ) dt = F (t ) |            = F [u ( x )] − F [v ( x )] →            = f (u ( x ))u ' ( x ) − f (v ( x )) v ' ( x )
            y dx                                                                                                              v( x)                                     dx
                                        Maka volume menjadi :                                 v( x)


                                        Yang dihitung volum kulit tabung                            v( x)      
            x      1                    dV = π [(1-x)+dx]² -(1-x)² ] y               g ' ( x) = Dx  ∫ f (t )dt  = f (v( x))v ' ( x) − f (u ( x))u ' ( x)
                                                                                                               
     ‘r luar = (1-x)+dx                     = π [2(1-x)dx + dx²] y                                  u ( x)     
                                        V= 0∫¹ π [2(1-x)dx] y=
     ‘ r dlm = (1-x)
                                          = 2π 0∫¹ [(1-x²)(1-x)dx =                  Hitunglah g’(x)
                                                                                           x
                                                                                                                                                                                     x2
                                          = 2 π 0∫¹ (1 – x² -x +x³) dx                G ( x) =                 1 + t 3 dt
                                          = 2 π (x - ⅓ x³ - ½ x² +¼ x⁴ +C) 0|¹
                                                                                                         ∫
                                                                                                         1
                                                                                                                                                                       G ( x) =       ∫    1 + t 3 dt
                                                                                                                                                                                      x
           carilah..G ' ( x )                                                                                                                                 x
                                                                                                                                                               1+ t
                          x
                                                                                      16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika                     f ( x) = ∫      dt
                                    1                                                                                                                          1+ t2
          11. G ( x ) =   ∫ 2               dt                                                                                   x2
                                                                                                                                                             0

                          1 t +1                                                       17. Jika f (x) kontinu pd[0, ∞] dan
                                                                                                                                 ∫ f (t )dt = x(cosπx − 1)
                                                                                                                                 0
                                                                                                                                                                  tentukan f (4).
                              2
                          x             1                                                                                             x2
          12. G ( x ) =     ∫               dt                                        18. Jika f (x) kontinu pada [4, ∞] dan                x2                           f ' ( 2)
                            x t +1
                                    2                                                                                                 ∫1+
                                                                                                                                      4     3 + t2
                                                                                                                                                     dt , tentukan

                            2
                          x +1                                                                            1
                                                                                                              x
                                                                                                                   t2
                                                                                                             3 ∫ 4
          13. G ( x ) =       ∫ 2 + sin t dt                                           19. Hitung   lim               dt
                              2
                                                                                                    x →0 6 x
                                                                                                               0
                                                                                                                 t +1        .

                      x
          14. G ( x) = tan(s 2 )ds
                       ∫
                          π
                              x3
                                        1
          15.    G ( x) =       ∫                dt
                                0   1 + t3




                          Soal – soal latihan
  • y = 2x 3 / 2 antara x =⅓ dan 7 hitung s                                           C. Daerah D dibatasi oleh kurva      dan garis x = 2y.
                                                                                         Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
  • Hitung luas daerah yang dibatasi                                                         (1) sumbu x                                     (4) sumbu y
y = x 2 dan y = x + 2                                 y = x 3 , y = 0, dan x = 2             (2) garis x = -1                                (5) garis y = -2
                                                                                             (3) garis y = 4                                   (6) garis x = 4
y = x 3 , y = − x, dan y = 8                          y = 9 − x 2 dan y = 0
                                                                                      D. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4 x − x dan garis x+ y = 4.
                                                                                                                                                       2


y = x , y = 4x , y = -x +2                            y = x dan y = 4 x
                                                               2
                                                                                        Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/4
                                                                         /4                  (1) sumbu x                                    (3) sumbu y
                                                                                             (2) garis x = 6                                (4) garis y = -1
                                                      y = x dan y = x, di kuadran 1
                                                           3




        E. Hitung panjang kurva berikut
            1.    x = 4 sin t , y = 4 cos t − 5; 0 ≤ t ≤ π
            2.    x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 − 1 / 2; 1 ≤ t ≤ 4
                     1
            3.    y = ( x 2 + 2) 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1
                     3
                     x 2 ln x
            4.    y=    −      , 2≤ x≤4
                      2     4

            5.    y = ln(1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 / 2
                       1
            6.    x=     y ( y − 3), 0 ≤ y ≤ 9
                       3

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:897
posted:1/5/2011
language:Indonesian
pages:5
Description: ini adalh trim menguasai integral dari dosen saya, menggunakan metode pendekatan anlaogi