Get documents about "integral - PDF
W
Description
ini adalh trim menguasai integral dari dosen saya, menggunakan metode pendekatan anlaogi
Document Sample
Persepsi Integral
• ∆x₁ +∆x₂ +…..+ ∆xn= x |₀
Y x • ∑ ∆xk = x
X • dengan syarat dihitung dari
∆x₁ ∆x₂ ∆xn titik pusat sumbu. (0,0)
• dx +dx + ...+ dx= x |₀
Bab G 7 Integral Y x • ∫dx = x |₀
• Jadi ∫ adalah Σ bedanya ∫
a b X untuk perhitungan kontinues
dx dx sedangkanΣ untuk perhitungan
Gideon diskrit
∫ dx= x ; int dy= y ; ∫ dz = z • ∫ dx = x a∫b dx = x a|b = b – a
∫ dL = L • Hitung dulu dari 0 → ke b
kurang dari 0 → a
Perhitungan integral Carilah integral dari :
• Jika y = x² + c → dy = 2x dx ∫ kiri kanan • ∫ x²dx maka anti integral dapat dilakukan dengan cara
Maka ∫ dy = ∫ 2x dx → y = ∫2x dx = x² + c berikut :
• Y = 4x² + 3x + c → dy = (8 x + 3) dx ∫ ki – ka • Difrensial biasa menurunkan pangkat, maka ketika
∫ dy = ∫ (8 x + 3) dx → y =∫(8x+3 )=4x²+3x+c dikembalikan ke fungsi awal maka pangkatnya akan naik.
• Jika y = sin x + c → dy = cos x dx ∫ ki – ka • ∫x² dx= p x³ differensialkan kembali 3p x² dx
∫ dy = ∫ cos x dx → y = ∫ cos x dx = sin x • Dan 3p = 1 → p = ⅓
• ∫ sin x dx =? • Jadi ∫x²dx = ⅓ x³ + c ( coba periksa kembali dengan
penurunan apakah kembali ke expresi yang di integral ?)
• apakah kesimpulan anda tentang cara perhitungan • Carilah :
integral ?
• Ternyata : cara menyelesaikan integral adalah dengan
melakukan anti differensial. Tetapi integral bukanlah anti • ∫ axⁿ dx = ∫sin x dx = ∫ cos x dx ∫ dx =
differensial tetapi penjumlahan elemen – elemen suatu x
variable ( dL, dy dst. )
Nalarkan expresi integral dibawah ini.
• ∫axn dx = coba lakukan differensial di sebelah kanan. Hitung : ∫ f(x) dx = F(X)
• Y = cos x + c dy= - sin x dx → y =∫ - sin dx = cos x + C 1. f ( x) = 3x 2 + 10 x + 5 6. (2
∫ x −4 )3 2 x d x
• Y = sin x +c dy = cos x dx → y = ∫cos x dx = sin x + C 2. f ( x) = x 2 (20 x 7 − 7 x 5 + 6) 7.
2
(
∫ x − 3x + 2 ) 2 ( 2 x − 3) d x
• Y=sec x + c dy = sec x tgx dx → y = ∫ sec x tg x dx = sec x + C
1 6 2
∫ 3x 3x + 7 d x
• Y= csc x +c dy= - csc x cot dx → y =∫- cscx cot x dx = csc x + C 3. f (x ) = 3 + 7 8.
• Y= tg x + c dy= sec² x dx → y =∫ sec²x dx = tan x + c
x x
3 2
9. (2
∫ 5x + 1 ) 5x 3 + 3x − 2 d x
2 x − 3x + 1
• Y=- cotg x +x dy = csc² x dx → y =∫ csc²x dx = - cotg x + c 4. f ( x ) = 3y
2 10. ∫ 2
dy
x 2y +5
• Y= 1/x dy = ln x dx → y =∫ln x dx = 1/x
−3
• Menyelesaikan integral dengan melakukan anti differensial. 5. f (x ) = x 4 ( )
11. ∫ c o s 4 2 x ( − 2 sin 2 x ) d x
Tetapi ingat sekali lagi bahwa integral bukanlah anti
differensial, melainan penjumlah elemen – elemen suatu
variable. Dan ∫ (penjumlahan ) selalu dihitung dari 0 s/d x.
dx
• y=f(x) dL=f(x) dx I y I
y=f(x)
f(x) dL = f(x)dx
• Luas dari a - b
• a dx b a dx b III c
• hitung luas dari 0-b = 0∫b f(x) dx = F(b)
• Hitung luas dari 0-a = 0∫a f(x) dx = F(a) LI pos krn f(x) positip dan dx positip (selalu)
LIII neg krn f(x) neg dan dx positip
• Maka luas dari a – b = F(b) – F(a)
Maka Luas total = LI – LIII = a∫b f(x) dx - b∫c f(x) dx
a b c L= 4(0 ∫π sin x dx - π∫2π sin x dx )=
bagaimana menghitung luas dari a ke c ? = 4 (- cos x 0|π + cos x π|2π
•₁∫³ (x² + 1)² dx =₀ ∫³ (x⁴ +2x² + 1) dx = ⅕x⁵ + ⅔ x³ +x +c ₁|³ = y =f(x)= 4 sin x =4(-cos π +cos 0)+4(cos 2π) – cos (π)
0 2π = 4[-(-1)+1 +4(1-(-1)] = 16
•
(⅕ 3⁵ + ⅔. 3³ + 3 + c) - (⅕ 1⁵ +⅔ 1⁵ +1 + c) = … hitung
Sifat – sifat integral tentu Trik mengintegral
Asumsi f(x) dan g(x) tersambung sempurna pada selang [a,b) • ₀∫x
sin (2x+1) dx → perhatikan apakah bentuk differensial 2x+1
b b b ada bentuk yang berhubungan dengan bentuk di sekitar dx. Mis
1 ∫ [ p f ( x ) + q g ( x ) ] dx = p ∫ f ( x ) dx + q ∫ g ( x ) dx u= 2x+ 1 → du= 2 dx → dx= ½ du maka bentuk inegral menjadi :
a a a a b ½ ₀∫x sin u du = - ½ cos u + c ₀|x
c b c • ₀∫x (x+1)² dx → ₀∫x x² + 2x + 1 dx = ⅓x³ + x² + x +c
2 ∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx
a a b • ₀∫x (x+1)√(x²+2x – 1) dx → mis u = x² + 2x -1 → du= 2(x+1)dx
a a b c ½ ₀∫x √u du = ½. ⅔ u¹.⁵ + C = ⅓ (x² + 2x -1 )¹.⁵ + C ₀|x
b a
3 ∫ f ( x ) dx = 0 ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
a b
• ₀∫x(2x+cos 2x)dx=₀∫x2xdx+cos 2x (½ d2x) = x² + ½ sin 2x + c ₀|x
a
a NB.dengan perkataan lain mis u= 2x
4 Bila f(x) ganjil ∫ f ( x)dx = 0
−a
-a 0 a • ₀∫¹ dx = mis x=tg u→ dx=sec²u du→x= 0 → u=0 x=1 → u=π/4
(x²+1)
a a
5 Bila f(x) genap ₀∫π/4 sec²u du = u ₀|π/4 = π/4
∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
−a 0 -a 0 a sec² u
5 y= -(x-2)
x + 2 , 0 ≤ x < 2 0
x − 2, x ≥ 2
1. f (x ) = 5. ∫ 3x
2 3
x + 1 dx ∫ | x − 2 | dx f ( x ) =| x − 2 |=
6 − x , 2 ≤ x ≤ 5 −1 1 − ( x − 2 ) , x < 2 1 2 5
3 5 2 5 y=x-2
x , 0≤ x<1 ∫ | x − 2 | dx = ∫ − (x − 2)dx + ∫ ( x − 2)dx
2
6. ∫ 8t 7 + 2 t dt
−3
2. f ( x ) = 1 , 1≤ x ≤ 3 1 1
2
2
5
x − 4 , 3 < x ≤ 5 3 x2 + 1 = −1 x 2 + 2 x + 1 x 2 − 2 x
2 2 1 2
7. ∫ 3
dx
1 x + 3x = ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )
3. f(x) = |x -1|
4 1 π /2 Menghitung luas dengan melihat elemen luas
8. 2
∫ sin 3x cos 3x dx
4. f ( x) = x − 2 x
3 3
0 dL= (f₁(x) – f₂(x) ) dx
L = ∫ [f₂ (y) – f₁(y)]dy
L= ∫(f₁(x) – f₂(x)) dx
2π x=f₂ (y)
8 9. ∫ sin x dx y=f₁(x)
10 2 x=f₁ (y)
∫ x − 6 x + 8 dx 0
0 dL
y=f₂(x) dy dL
a dx b
=
Cari volume lonceng
dy x dy dV= π x² dy (jika y= 4-x² )
y=f(x)
dy x V= 0∫4 π x² . dx =
untuk menghitung luas bidang yang = 0∫ ⁴ x ² dx u=x²
dibatasi oleh f₁(x), f₂(x) maka dilakukan 0 = ⅓ x³ +c 0|4= 21⅓
f₁(x)
₁ a
dx II perhitungan sbb.
f₂(x)
₂ Daerah I : a∫b [f₂(x) – f₁(x)] dx
I Daerah II: b∫c [f₁(x) –f₂(x) ] dx
a b c Dan total luas = luas daerah I + II B y=f(x)
Jika diputar maka
dx
•Carilah luas lonceng yang terjadi jika kurva f(x) diputar sekitar sb y. volume elemennya =
0 x y a a dV = πy²dx→
x ds x ds
y=f(x)
dy x dy ds V= ₀∫aπ y²dx
dx Lanjutkan
dy x
ds= = dx
0
a
dL = 2πx dS → L = 2π ∫x √(1+y’²)dx
Cari volume lonceng
Ada sebuah kawat ,panjang 5 m, dengan muatan listrik a
coulomb /m. berapakah kuat medan listrik di titik P pada f₁(x)
• carilah volum dari putaran yang diarsir
gambar dibawah ini?
terhadap sb. X . bentuknya cincin.
dEt Sin α = 5/r cos α = x/r f₂(x)
dEx saling meniadakan • Maka volum cincin dV= π[f₁(x)²- f₂(x)²] dx
dE dE = k. dq/r²
• a. Tentukan perhitungannya, jika diputar
=k. dq/(x²+25) sehingga Etotal hanya dari
vertikal. sekitar sumbu y
P
r 5 r=√(x²+25) dEt = 2 ∫ k. a dx/(x²+25). sin α • b. Tentukan perhitungannya, jika diputar
= 2ka ₀∫⁵5 dx/(x²+25)¹.⁵ sekitar sumbu x dx
dq= a dx α Mis : x = tan θ maka X=0
-5 dx -x x dx 5 dx=sec²θ dθ Hitung panjang busur s dari x=a ke
x= b
= 10ka ∫ sec²θ /sec³θ dθ dy ds y=f(x) S= ∫ ds = ∫ √(1+y’)² dx
= 10ka ₀∫π/4 cos θ dθ = dx Lanjutkan.
10 ka sin θ ₀|π/4 =
Hitunglah keliling lingkaran dengan
10 ka ½√2= 5ka√2
jari jari R
Koordinat polar. Jarak titik ke pusat r dan sdt thd 1 grs
• Gambarkan tempat kedudukan fungsi
• TP(r,θ) maka panjang busur ds = r.dq
luas bid → dθ kecil sekali anggap bid berbentuk
polar dengan persamaan r = 4π – ½ θ
Q Δ luasnya → dL= ½ rdθ . R= ½ r²dθ dengan θ dari 0 sampai 4π. Berapakah
dθ P(r,θ) gambar: r = 10 + 2 sin 4θ dengan θ dari 0 → 2π
r
panjang garis kurva tersebut. ?
dan hitunglah kelilingnya.
θ
Maka s= ∫rdθ = 0∫2π (10+ 2 sin 4θ )dθ
• Jika putaran hanya terjadi dari θ = ½
a= 10 θ – 4 x 2/4 cos 4θ ₀|π/2 radian sampai 2 radian, berapa luas
= 20π - 4. ½ (0-1) = 20π + 2 juring yang terjadi ?
• Persamaan lingkaran : r = 10
keliling lingkaran = s=0∫2π 10 dθ= 10 θ +C 0|2π
= 20π
Luas seluruh bidang yang terjadi adalah :
dL = ½ r² dθ → L= 0∫2π ½ (10+2 sin 4θ )² dθ
∫ (50 + 20 sin 4θ + 2 sin²4θ ) dθ
Lanjutkan.
Fungsi parameter • Contoh : berapakah panjang busur yang ditentukan oleh y= t³
• Fungsi parameter adalah fungsi dimana x dan y tidak , x=t² untuk 0≤ t ≤ 4
berhubungan langsung, tetapi melalui suatu variable ( jawab: ds = √ (dx² + dy² ) bentuk ini boleh dirubah menjadi
parameter lain, mis t)
ds = √ [(dx/dt)² + (dy/dt)² ] dt
• Jadi y= f(t) dan x = f(t) contoh : y = t – 1 dan x = 2t
s = 0∫4 √(4t²+9t⁴)dt =√(1+³(/₂t)²) 2t dt = teruskan
sebenarnya t dapat dihilangkan dan persamaan kembali
kewujud semula. Yaitu → t= ½ x → y = ½x -1 • Atau boleh juga dikembalikan kebentuk semula
• Untuk mencari panjang busur, luas dan sebagainya kita tetap y= t³ x=t² t=³√y= √x → y² = x³ y=x³/₂ dy/dx = ³/₂ x⁻⅓
berhubungan dengan y = f(x) maka S = ₀ ∫¹⁶ √ (1+⁹/₄x ⁻⅔ ) dx kemudian teruskan . Manakah
yang lebih mudah?
4
y=x² y=6 - x
X=√(1-y) Carilah volume benda putar yang
1 1-√(1-y) dibatasi oleh y = 1-x² atau x =
dx 2 dx 6 Y² = x+1 diputar sekeliling y= -2 √(1-y) , sumbu x, sumbu y dan
cari luasnya dengan dx hitung volum putaran. diputar pada garis x = 1 Maka
dan juga dengan cara dy. volume menjadi :
Jawab:
dV = π (1² - [1-√(1-y)]² dy →
Y= ± √ (x+1) V = π ₀∫¹ 2√(1-y) – (1-y) dy
√(x+1) R=1-√(1-y)
maka jari – jari terluar potongan Mis u= 1-y → maka du= -dy
Y²= (x+1) r=1) 1
sebesar 2 + √(x+1) Tebal=dy jika y=0 → u= 1 jika y=1 → u=0
2+√(x+1) V =-π ₁∫⁰ 2√u – u du →
-√(x+1) Jari – jari terdalam potongan
V=- π ( ₁|⁰=
Y = -2 sebesar 2 - √ (x+1)
Maka volum putaran silinder =
2-√(x+1) dV=
π {[2+√(x+a)]² -[2-√(x+1)² ]} dx
dx dx
Lanjutkan untuk x= -1 to 0
Hitung g’(x) dari
x
x dg ( x )
g ( x ) = ∫ f (t ) dt = F (t ) | = F ( x ) − F ( a ) → = f (t )
a
a dx
u( x)
u ( x) dg ( x )
g ( x) = ∫ f (t ) dt = F (t ) | = F [u ( x )] − F ( a ) → = f (u ( x ))u ' ( x )
1
a dx
X=√(1-y) 1-x Carilah volume benda putar yang
u(x)
u ( x) dg ( x )
g ( x) = ∫ f (t ) dt = F (t ) | = F [u ( x )] − F ( a ) → = f (u ( x ))u ' ( x )
1 a dx
dibatasi oleh y = 1-x² , sumbu x, a
u( x)
u ( x) dg ( x )
sumbu y dan diputar pada garis x = 1 g ( x) = ∫ f (t ) dt = F (t ) | = F [u ( x )] − F [v ( x )] → = f (u ( x ))u ' ( x ) − f (v ( x )) v ' ( x )
y dx v( x) dx
Maka volume menjadi : v( x)
Yang dihitung volum kulit tabung v( x)
x 1 dV = π [(1-x)+dx]² -(1-x)² ] y g ' ( x) = Dx ∫ f (t )dt = f (v( x))v ' ( x) − f (u ( x))u ' ( x)
‘r luar = (1-x)+dx = π [2(1-x)dx + dx²] y u ( x)
V= 0∫¹ π [2(1-x)dx] y=
‘ r dlm = (1-x)
= 2π 0∫¹ [(1-x²)(1-x)dx = Hitunglah g’(x)
x
x2
= 2 π 0∫¹ (1 – x² -x +x³) dx G ( x) = 1 + t 3 dt
= 2 π (x - ⅓ x³ - ½ x² +¼ x⁴ +C) 0|¹
∫
1
G ( x) = ∫ 1 + t 3 dt
x
carilah..G ' ( x ) x
1+ t
x
16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika f ( x) = ∫ dt
1 1+ t2
11. G ( x ) = ∫ 2 dt x2
0
1 t +1 17. Jika f (x) kontinu pd[0, ∞] dan
∫ f (t )dt = x(cosπx − 1)
0
tentukan f (4).
2
x 1 x2
12. G ( x ) = ∫ dt 18. Jika f (x) kontinu pada [4, ∞] dan x2 f ' ( 2)
x t +1
2 ∫1+
4 3 + t2
dt , tentukan
2
x +1 1
x
t2
3 ∫ 4
13. G ( x ) = ∫ 2 + sin t dt 19. Hitung lim dt
2
x →0 6 x
0
t +1 .
x
14. G ( x) = tan(s 2 )ds
∫
π
x3
1
15. G ( x) = ∫ dt
0 1 + t3
Soal – soal latihan
• y = 2x 3 / 2 antara x =⅓ dan 7 hitung s C. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y.
Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
• Hitung luas daerah yang dibatasi (1) sumbu x (4) sumbu y
y = x 2 dan y = x + 2 y = x 3 , y = 0, dan x = 2 (2) garis x = -1 (5) garis y = -2
(3) garis y = 4 (6) garis x = 4
y = x 3 , y = − x, dan y = 8 y = 9 − x 2 dan y = 0
D. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4 x − x dan garis x+ y = 4.
2
y = x , y = 4x , y = -x +2 y = x dan y = 4 x
2
Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/4
/4 (1) sumbu x (3) sumbu y
(2) garis x = 6 (4) garis y = -1
y = x dan y = x, di kuadran 1
3
E. Hitung panjang kurva berikut
1. x = 4 sin t , y = 4 cos t − 5; 0 ≤ t ≤ π
2. x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 − 1 / 2; 1 ≤ t ≤ 4
1
3. y = ( x 2 + 2) 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1
3
x 2 ln x
4. y= − , 2≤ x≤4
2 4
5. y = ln(1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 / 2
1
6. x= y ( y − 3), 0 ≤ y ≤ 9
3
