Kelas XI_SMA IPA_Matematika_BAB_7_Limit_Fungsi

Document Sample
Kelas XI_SMA IPA_Matematika_BAB_7_Limit_Fungsi Powered By Docstoc
					                                                                       7


                                Limit Fungsi
                    Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga
      Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu
                            Fungsi Aljabar dan Trigonometri



    Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat
dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus,
pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-
rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 = 5,8 dan dikatakan
                                                                  5
hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-
kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering
dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar
dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu
akan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.



                                                               Limit Fungsi      197
                                            Limit Fungsi




                                                      Menggunakan sifat limit fungsi untuk
       Menjelaskan secara intuitif arti limit
                                                       menghitung bentuk tak tentu fungsi
       fungsi di suatu titik dan di tak hingga
                                                           aljabar dan trigonometri




  Arti limit fungsi di satu     Arti limit fungsi    Menghitung limit       Menghitung limit
 titik melalui perhitungan                                                 fungsi trigonometri
                                 diditak hingga       fungsi aljabar
 nilai-nilai di sekitar titik
            tersebut




   ·    limit fungsi
   ·    limit fungsi tak hingga
   ·    limit fungsi berhingga
   ·    limit fungsi aljabar
   ·    limit fungsi trigonometri




198       Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
 A         Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak
           Hingga

1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di
    Sekitar Titik Tersebut

          Diketahui fungsi f : RR yang ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Jika variabel x
     diganti dengan 3, maka f(3) = 2 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f(x) jika
     variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.

           x        1,5     1,75    2,5          2,75   2,85          2,95     2,97        2,98    2,99       ….
        f(x)         2      2,5      4           4,5       4,7        4,9      4,94        5,96    4,98       …..


        Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f(x)
     mendekati 5. Apakah nilai f(x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk
     menjawabnya kita lihat tabel berikut ini.

            x        …..     3,01         3,10      3,25         3,50        3,50         3,75    4,25        ….
           f(x)      …..     5,02         5,20      5,50         6,00        6,50         6,50    7,50    …..

          Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x                                     Y
     mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai
     f(x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa                                       5
                                                                                      4
     fungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk x
                                                                                      3
     mendekati 3 dan ditulis “jika f(x) = 2x – 1, maka                                2
     lim 2x1 5 ”. Grafiknya dapat kamu amati
     x3
                                                                                      1
                                                                                     0                    X
     pada gambar di samping.                                                        –1
                                                                                            123
                                                                                    –2
           Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat
     menentukan nilai dari lim     .  x
                                  x2Nilai 6
                                    xx2
                                      2

     f(x) =  x2untuk x mendekati 2 dapat
                  x6
                x2
     disajikan dengan tabel sebagai berikut.

       x        1,7 5 1,8 5 1,95 1,97 1,9 9 1,999 …              2      … 2,001 2,0 1 2,1 2, 2 2, 9 3,1
     f(x) 3,7 5 4,8 5 4,95 4,97 4,9 9 4,999 …                     0
                                                                  0
                                                                        … 5,001 5,0 1 5,1 5, 2 5, 9 6,1


          Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f(2) = 00 yaitu suatu bentuk tak
     tentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x) mendekati 5. Demikian juga
     jika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f(x) mendekati 5.

                                                                                           Limit Fungsi        199
      Oleh karena itu dapat ditulis:

           lim x2 x6 =5
            x2   x2
      Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.

                  lim f ( x) L artinya jika x mendekati a (tetapi x a ) maka
                  xa

                  f(x) mendekati nilai L.


2. Sifat-Sifat Limit Fungsi

          Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limit
      untuk xa, aR maka berlaku:
      a. lim k = k
            xa

      b.    lim f (x) f (a)
            xa

      c.    lim k f (x) k lim f (x)
            xa          xa

      d.                       x)} lim f ( x) lim g ( x)
            lim { f ( x) g (x
            xa        xa      a

      e.    lim
            xa
                   f ( x) g (x) lim
                                      xa
                                                    f ( x) lim g ( x)
                                                            xa

                                    lim f ( x)
                  f ( x)
                  g (x) lim tuk ( x) 0
                           xa , unglim g(x) xa
      f.    lim
            xa
                                   xa


                                          
                                                      n

                   f ( x)
                               n
      g.    lim                     lim f ( x)
                                      xa
            xa

      Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.
      Contoh soal
      Diketahui f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x2 + 4x . Tentukan:
      1. lim3 f ( x) lim g ( x)
           x     x3


      2. lim3 { f ( x) g ( x)}
           x

      Penyelesaian
                                                                          2
      1.    lim f (x lim g ( x) 3= lim (2x5) lim (3x 4x)
                    x) x
            x3      3     3   x

                                                = 2 3 – 5 + 3 32 + 4 3
                                                = 6 – 5 + 3 9 + 12
                                                = 1 + 27 + 12 = 40




200        Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                                                                          2
   2.       lim { f ( x) g ( x)} = lim3 {(2x5) (3x 4x)}
                                       x
            x3
                                                            2
                                         = lim3 (3x 6x5)
                                             x

                                         = 3 32 + 6 3 – 5
                                         = 3 9 + 18 – 5
                                         = 27 + 18 – 5 = 40

3. Limit Fungsi di Tak Berhingga

   Diketahui f(x) = 2x . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.

        x        1           2       3        4             ….       10       …. 100            ….      200       …
                                     2        1                      1                1                  1
    f(x)         2           1                              ….                ….                ….                …
                                     3        2                      5                50               1.000

            Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin kecil. Apabila x
                                                           
   besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x , maka nilai 2x akan
   mendekati nol, dikatakan limit dari 2x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan
   ditulis:
            lim 2 = 0
            xx
   Sekarang perhatikan contoh berikut ini.

   Hitunglah lim  2x
                      .
            x x 1
              

   Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.

        x         1          2           3     ….               10       ….     100        ….     1.000       …
     2x           1              4       3     ….               20       ….     200        ….        2.000    …
    x 1                        3       2                      11              101                  1.001

      Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai 2x akan mendekati 2. Dikatakan
                                                   x 1
                   2x = 2.
   bahwa L = lim
                
              x x 1
                                                   f ( x)
   Limit fungsi yang berbentuk lim                              dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian
                                               
                                             x   g ( x)
   pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x)
   atau g(x) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:
                         a
                 lim         0
                   
                 x    xn



                                                                                                Limit Fungsi          201
      Dari contoh itu dapat ditulis:
            2x               2x
      lim          = lim      x                    (pembilang, penyebut dibagi x)
      x x 1
                        
                       x  x1
                                   x
                                   2
                        = lim                        lim 1 0
                              
                            x
                                  1 1x             xx

                        =     2 = 2 =2
                            1 0 1
      Contoh soal
      Hitunglah limit dari:
                     3x1                                         4x2 2x 1
      1.   lim      2
                                                   3.       lim
              
            x    x 5x3                                  
                                                            x       5x4
                   2x 2x 5
      2.    lim
              
            x    x 23x 2
      Penyelesaian
                                                 3x1
      1. lim         3x1                        x2              (pembilang dan penyebut dibagi x2)
                   2              = lim        2
             
           x    x 5x3              
                                       x    x 5x3
                                                  x2
                                                  3x1                      31
                                      lim         x2                            x2
                                  = x 2
                                        x                          = lim 
                                                     53             x
                                                                                  1 532
                                                                                         x
                                             x2     x x
                                          00 0
                                  =                       =0
                                        1 00 1

                                             2x2x 5
      2. lim      2x2x 5      = lim          x2     (pembilang dan penyebut dibagi x2)
             
           x    x23x 2             
                                       x   x23x 2
                                                 x2
                                                        x
                                              2 x2 5
                                  = lim        x2 x2 x2
                                                      3x
                                         
                                       x
                                                    
                                               x2 2
                                               x2 x2 x2
                                             21 5
                                                x x2
                                  = lim
                                         
                                       x   13 2
                                                xx


                                       20 0 2
                                  =                     =2
                                       10 0 1



202        Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                                           4x2 2x 1
     lim   4x2 2x 1      = lim                x2
3.                                                        (pembilang dan penyebut dibagi x2)
       
     x      5x4               
                                x           5x4
                                                  x2
                                                   2x
                                           4x2 1              4 22 1
                                            x2 x x2
                                                2                        xx
                             = lim                         = lim 
                                                              x
                                                                          4
                                                                       5x2
                                x
                                               5x4
                                               x2 x2

                                         4
                             = 4 0 0         =
                                 00 0

             4                                 4
     Bentuk 0 adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 0 bukan
angka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekali
hasilnya besar sekali atau.
                                                                                        f ( x)
     Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari lim                           adalah
                                                                                    
                                                                                  x   g ( x)
sebagai berikut.
1. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka
                   f ( x)
     nilai lim
              x g ( x)
                 
                          =.
2. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai
            f ( x)
      lim            = real.
         g
      x ( x)

3. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka
               f ( x)
   nilai lim g ( x) = 0.
          x


     Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh berikut.
Contoh soal
Hitunglah limit berikut.
             3x 2x
1.   lim    
       
     x
          x1 x
2.   lim
       
     x      x2 2xx24x
                      1           
Penyelesaian

             3x                           3x( x 1)2x( x1)
1.   lim     2x
                                      
                              = lim ( x1)( x 1)
       
     x
           x1 x              x
                     1                 3x2 3x2x2 2x
                                   1
                                  lim
                              = x                    x2
                                                              


                                                                         Limit Fungsi             203
                                                           x2 5x
                                             = lim
                                                       
                                                     x    x21
                                                            x2 5x
                                             = lim             x2   (pembilang dan penyebut dibagi x2)
                                                       
                                                     x     x21
                                                               x2
                                                            x22 5x                     1 5x
                                                             2     x
                                             = limxx21                        = lim
                                                                                    
                                                                x2
                                                            x 2
                                                 x                               x
                                                                                        112
                                                                                           x

                                                     1 0
                                             =             1
                                                     10


      2.   lim
             
           x       x2 2xx24x                      
                                                                              x 2 2x x 24x    
                 = lim                2
                                       x 2xx
                                                            2
                                                                 4x
                                                                                                4x
                        
                      x
                                                                                x 2 2x x 2


                            ( x2 2x )2( x24x )2
                 = lim
                        
                      x
                                            x 2 2x x 24x

                                 x 2 2x(x 24x )
                 = lim
                    x
                                      x 2 2x x 24x

                 = lim                  x2 2xx2 4x
                        
                      x
                                      x 2 (1x2 ) x 2x(1 )
                                                             4


                                                 6x
                 = lim
                        
                      x
                            x         1 x  1
                                            2     x 4              
                                                 6
                 = lim
                        
                      x
                                 1 x  1
                                     2     x 4

                            6
                 =
                       1 0 10

                         6                    6
                 =                      =       =3
                       1 1                  2



204        Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                               7.1
  Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.
  1. a. Gambarlah grafik f(x) = 3x – 5.
      b. Lengkapilah tabel berikut.

                           x      0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 … 0,99 1 1,001 … 1,01 1,2 1,3
              f(x) = 3x – 5

      c. Carilah nilai lim f ( x) 3x5.
                                 x1

  2. Lengkapilah tabel berikut.

               x   1,0 1,1 … 1,9 1,999 2 2,001 2,002 … 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
                   2       .                         .
       f(x) = x4
              x 2

  3. Carilah limit-limit berikut.
                                                       x22x 1
      a. lim 2x 5                          c. lim
           xx1                                 
                                                 x      x 3
                 x 2
      b. lim 2
           xx x1
  4. Carilah limit-limit berikut.
                                                         5x22
                       x

      a. lim 3x1                b. lim
           x3 5                  x                  x
  5. Carilah limit-limit berikut.

      a. lim x2 4xx                      b. lim x2 6x( x4)
               
             x                                   
                                                 x




       Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak
 B
       Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri

1. Menghitung Limit Fungsi Aljabar

   Perhatikan fungsi f(x) = 2x pada tabel di bawah ini.

         x                 0   1,5 1,7   2     2,5     2,6   2,75 2,85 2,95 2,98   2,999   ….   3
     f(x) = 2x 1 3 3,5 4 5 5,2 5,5 5,70 5,90                                5,96 5,998 … 6



                                                                              Limit Fungsi      205
          Dari tabel terlihat jika nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f(x) men-
      dekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2x untuk x mendekati 3 adalah 6 ditulis:

           lim 2x 6
           x3

          Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan
      untuk menyelesaikan lim f (x) , maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepat
                                      xa

      dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
      1. Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = f(a) = C
                                                   xa


      2. Jika f(a) = C , maka nilai lim f ( x) = C =
                            0         xa     0

      3. Jika f(a) = C , maka nilai0 f (x) = C = 0
                      0     xa   lim

      4. Jika f(a) = 0 , maka nilai lim f ( x) , maka sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu
                                                   xa
          bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2), atau (3).
      Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.
      Contoh soal
      1. Hitunglah nilai limit-limit berikut ini.

          a.     lim (5x 7)                             d.   lim x22x
                 x
                   2                                            x3 x3
                                                                     x5
          b.     lim (2x23)                             e.   lim
                  x1
                                                               x5   2x 1

                  x2 5                                             x28x 15
          c.     lim                                      f.   lim
                1
              x  x2 1                                      x3      x3
          Penyelesaian

          a.     lim (5x 7) = 5 (–2) + 7 = –10 + 7 = –3
                   2
                 x



          b.     lim ( 2x23)               = 2 12 – 3 = 2 – 3             = –1
                    x1



                                        ( 2 5
                 lim x2 5
                                          1)      1 5 6
          c.                      =            2               =3
                 x x2 1
                   1                       1)
                                         ( 1     1 1 2


          d.     lim x 22x = 322 
                                       3 96 3 
                  x3  x3      33 0 0
                           x5     55 0 0
          e.     lim             =           =0
                 x5     2x 1   2 5 1 10 1 11

206      Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
    f.   lim x28x 15 = 328 3 15 924 15 0
                                           
          x3    x3              33     0 0
                              0
         Karena nilai limit =   , maka perlu diubah lebih dahulu dengan jalan difaktorkan.
                              0
                x28x 15         ( x5)( x3)
          lim               = lim 3                = lim x5 = 3 – 5 = –2
          x3       x3        x      ( x3)       x3



2. Hitunglah limit-limit berikut.
                x1                                      1x 1
    a. lim                                  c. lim
         x1    x1                            x0         x2x
                x 22
    b. lim
         x0        x
    Penyelesaian

                         11 11 0
    a.    lim x1 =           
           x1  x1      11 11 0
         Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
                                        ( x1) ( x 1)
          lim x1         = lim                
           x1
               x1            x1     ( x1) ( x 1)

                                        ( x1)( x 1)
                           = lim 1
                                x        ( x )212

                                        ( x1)( x 1)
                           = lim
                               x1           x1
                           = lim
                               x1
                                           x 1 =          1 +1 = 1+1=2

                 x 22                   0 22 22 0
    b.    lim                  =                      
          x0        x                          0    0 0
         Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.

                                              ( x 22) ( x 2 2)
          lim x 22         = lim                         
          x0     x                   x0            x        ( x 2 2)

                                              ( x 2)2( 2)2
                               = lim
                                       x0      x( x 2 2)
                                                      x 22
                               = lim
                                       x0    x( x 2 2)


                                                                              Limit Fungsi   207
                                                 x                                1
                               = lim                              = lim 0
                                   x0
                                         x( x 2 2)                x      x 2 2
                                          1                        1     1  2
                               =                        =                 
                                       0 2 2                 2 2 2 2 2

                                     2 1
                               =               2
                                   2 2 4


          c.   lim 1x 1 = 10 1 11 11 0
                                          
                x0  x2x         020        0 0 0
               Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.

                                                (1x 1) (1 x 1)
               lim 1x 1         = lim                   
                x0  x2x                x0     ( x2x) (1 x 1)

                                                   12( x 1)2
                                    = lim
                                          x0   ( x2x)(1 x 1)

                                                       1( x 1)
                                    = lim          2
                                          x0
                                                ( xx)(1 x 1)

                                                     1x1
                                    = lim
                                          x0   x( x1)(1 x 1)
                                                            x
                                    = lim
                                          x0   x( x1)(1 x 1)
                                                            1                       1
                                    = lim                                 =
                                          x0   ( x1)(1 x 1)            (01)(1 0 1)
                                              1        1
                                                        1
                                    =                 =   
                                          (1)(1 1)   2
                                                        2

                         f ( x h)f (x)
      3. Carilah lim                       , jika diketahui fungsi f(x) di bawah ini.
                   h0            h
          a.   f(x) = 2x + 3
          b. f(x) = 3x2 – x
          Penyelesaian
          a.   f(x) = 2x + 3
               f(x + h) = 2 (x + h) + 3
                         = 2x + 2h + 3


208      Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                  f ( x h)f (x)             2x 2h 3(2x 3)
            lim                     = lim
            h0           h             h0               h
                                             2x 2h 32x3
                                     = lim
                                          h0         h
                                             2h
                                     = lim
                                         h0  h
                                     = lim 2 = 2
                                          h0

     b.    f(x) = 3x – x
                      2


           f(x + h) = 3(x + h)2 – (x + h)
                     = 3(x2 + 2xh + h2) – x – h
                     = 3x2 + 6xh + 3h2 – x – h
                  f ( x h)f (x)             3x 2 6 xh 3h2xh(3x 2x)
            lim                     = lim
            h0           h             h0                       h
                                                3x2 6xh 3h2xh3x2 x
                                     = lim
                                          h0                   h
                                                          2

                                     = lim      6xh 3hh
                                          h0         h
                                              6xh 3h h
                                                              2

                                                          
                                     = lim0 
                                           
                                              h h h
                                         h


                                     = lim 0(6x 3h1)
                                         h

                                     = 6x + 3 0 – 1 = 6x – 1




Buatlah kelasmu menjadi beberapa
                                                                                     Ingat!!
kelompok, lalu kerjakan soal-soal berikut
secara berkelompok.
                                                              Sn = 12 n {2a + (n – 1)b}
             3 1 2                                      di mana:
1. lim                             
           x2 2x2x3 x x
                            2
     x2
                                                              Sn = jumlah n suku
         1 2 3 .... x                                 a = suku pertama
2. lim                                                        b = beda (selisih suku-suku
     x   x2
Cocokkan dengan kelompok lain adakan                                yang berurutan)
diskusi kelas.                                                n = banyaknya suku




                                                                         Limit Fungsi          209
                             7.2
      Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
      1. Tentukan nilai limit berikut.
                                                                                      2x3
          a. lim (2x 7)                  b. lim ( x2 4x9)        c. lim
              x
                2                               x1                          x5   x24x 1

      2. Diketahui f(x) = x2, untuk x 4
                             2
                              x x7, untuk x 4
          Hitunglah nilai limit berikut.
          a. lim f ( x)                    b. lim f ( x)
              x1                              x5


      3. Hitunglah nilai limit berikut ini.
                         2
                                                      2x25x 2                   x2x26x
          a. lim x9                      b. lim                      c. lim
               x x 3
                 3                              x2       x2              x3         x3


                        f ( x h)f (x)
      4. Carilah lim                        , jika diketahui fungsi di bawah ini.
                    h0          h
          a. f(x) = 3x + 2        b. f(x) = x2 + 3x – 1
      5. Tentukan nilai limit berikut ini.

          a. lim 2   5x                            x x
                                           b. lim
              x1     x1                     x0       x
      6. Jika diketahui f(x) = 3x – 2 dan g(x) = x2 + x – 3, tentukan:
                                                                                    g ( x)
          a. lim{ f (x)g (x)}            b. lim { f ( x)}2           c.   lim
               x2
                                               x1                           x0    f ( x)


2. Menghitung Limit Fungsi Trigonometri
                                       D            Perhatikan gambar di samping. Dari gambar
                              B
                                               di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,
                     r                         besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak

              x                                lurus OA untuk 0 < x < 12
      O
                     r         C   A
                                                       BC
                                                          = sin x BC = OB sin x
                                                       OB
                                                                      BC = r sin x


210     Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
AD
OA = tan x AD = OA tan x
                  = r tan x
     LOBC               < L juring OAB <             L OAD
 1 OC BC
 2                            < 1 x r2 <             1 OA AD
                                                      2
                               2
1
2OC r sin x           <    1 x r2
                              2
                                                      
                                                      2
                                                                               :r
                            1                       
1 OC r sin
2                             2   x r               2
x   1 r2
               <
                                  2r2
                                  1
                                  2                           1 r2

     2                                x
    OC sin x             <                        < OA tan x
     r
    cos x sin x          <            x           < r tan x
    cos x sin x          <            x           < tan x                                         r
                                                                                            Ox            B
                                                  < cos x            : sin x
                                    x                  1
               cos x     <        sin x
                              lim                                                                     A
     lim cos x                      x < lim0 1                                                           2
                                                                                                          r
                         <                                                                           x
      x0                    x sin x
                               0              cos x
                                           x 1
                            lim                                                     Luas juring =
                                   x       cos 0                                                    2 
               cos 0     <             <                                                                x r2
                            x sin x
                              0              1                                                      1
                            lim                                                                   =
                                   x         1                                                      2
                  1      <             <
                            x sin x
                              0
                            lim
                                   x
                  1      <             <1
                            x sin x
                              0
                         = 1 atau lim sin x = 1
                   x
Maka lim
         x0     sin x                      x0   x
Dari persamaan:
      cos x sin x <      x < tan x
                                                  : tan x
       cos x sin x      x      tan x
          tan x      tan x tan x
       cos x sin x  1
                        x
          sin x      tan x
          cos x
        cos x sin x 1
 cos x        x
 sin x       tan x
                                 x
                   cos2x <                <1
                              tan x




                                                                                        Limit Fungsi          211
                                                   x
          lim cos2 x lim                                1
           x0         x0                      tan x
                                                    x
                                 1 < lim                  1
                                          x0   tan x
                            x                                   tan x
      Maka lim                      = 1 atau lim                              =1
                 x0     tan x                            x0      x

      Dengan cara yang sama didapat rumus:

                                     x                                           ax
                       lim               1                  lim                 1
                       x0        sin x                          x0          sin ax
                                  sin x                                       sin ax
                       lim               1                  lim                 1
                       x0           x                           x0             ax
                                     x                                           ax
                       lim                  1                 lim                 1
                       x0        tan x                           x0         tan ax
                                  tan x                                       tan ax
                       lim                  1                 lim                 1
                       x0           x                            x0            ax


      Untuk lebih memahami tentang limit fungsi trigonometri, perhatikan contoh berikut.
      Contoh soal
      1. Carilah nilai limit berikut.
                  sin 2x                                                           4 tan 5x
          a.           lim                                      c. lim
              x0   3x                                                  x0           3x
                      5x                                                             2x
          b. lim                                                d. lim
              x0  3sin 3x                                              x0        tan 4x
          Penyelesaian
                                 sin 2x                         sin 2x 2x
          a.           lim
                                   3x
                                                = lim
                                                                  3x 2x
                       x0                              x0

                                                                sin 2x 2x
                                                = lim
                                                                  2x 3x
                                                        x0


                                                = 1 2 = 2
                                                          3 3
                                   5x                                5x              3x
          b.           lim                                lim                        
                       x0       3sin 3x =                x0     3 sin 3x           3x
                                                               3x 5x
                                                   = lim 3 sin 3x 3x
                                                          x
                                                           0

                                                             1 3x 5x
                                                               
                                                   = lim0 3 sin 3x 3x
                                                       x

                                                                    5 5
                                                   = 13 1 3 = 9

212      Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                   4 tan 5x           4 tan 5x 5x
    c.    lim                 = lim            
          x0          3x         x0    3x 5x
                                              5x
                              = lim 4 tan 5x 
                                  x0  5x 3x
                              = 4 1 5 3 203= 6 2
                                      3 =
                       2x                      2x 4x                           4x 2x
    d.    lim                 = lim                             = lim             
          x0        tan 4x       x0        tan 4x 4x               x0     tan 4x 4x

                              = 1 24 = 12

2. Carilah limit berikut.
                    2sin 5x
    a.    lim                                        c.     lim 2x cot x
          x0        tan 2x                                 x0



    b. lim 3tan 4x
         x sin 6x
           0

    Penyelesaian
                                              2sin 5x 2x 5x
    a.    lim 2sin 5x =             lim                
          x0  tan 2x                  x0     tan 2x 2x 5x
                                                       
                                              2sin 5x     2x 5x
                               = lim
                                                 5x    
                                                        tan 2x 2x
                                       x0


                               = 2 1 1 5 = 5
                                                     2
                   3tan 4x                   3tan 4x 4x 6x
    b. lim                    = lim                   
                                              sin 6x 4x 6x
         x0        sin 6x        x0
                                                      
                                             3tan 4x
                              = lim                   
                                                         6x 4x
                                  x0

                                                4x
                                                       sin 6x 6x

                              = 3 1 1 46 = 2
           0x
         x 0
                             2x
    c. lim 2x cot x = lim                                                                         Ingat!!
                            tan x
                                 x0
                                               x                                         tan x cot x = 1
                              = lim 2
                                             tan x        = 2 1 = 2

3. Carilah limit berikut.
                   22cos 2x                                     sin( x h)sin x
    a. lim                                           c.     lim
         x0          x2                                    h0           h
           
         x 
                   cos 2x
    b. lim
               4      
                   x 4



                                                                                         Limit Fungsi      213
          Penyelesaian
                        22cos 2x                   2(1cos 2 x)                        2{1(12sin 2 x)}
          a.   lim                 = lim                                      = lim
               x0          x2        x0                        x2             x0              x2
                                               2(11 2sin 2 x)
                                     = lim
                                           x0          x2
                                                                                                                   Ingat!!
                                               2(2sin 2 x)
                                     = xlim
                                           0       x2                                                 cot 2x = 1 – 2 sin2x
                                               4sin 2 x
                                     = lim
                                         x  0   x2
                                                                      2
                                               sin x
                                     = 4 lim0
                                          x  x
                                            
                                            2
                                     = 4 1 = 4

                                  cos 2x
          b.   lim                                                                                                         Ingat!!
                            4
                           x4      
                                 x 
                                                                               cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
               misal y = x – 4                                                   cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
                                                     
                         x=y+4
                                     
               untuk x4 , maka y = 0
                     cos 2( y )
                                 4                                             cos (2 y )
                                                                                           2
                lim
                            y                                                         y
                = lim
                 y0
                 y0
                                                                                      2               2
                                                                                  
                                                                  (cos 2 y cos sin 2 y sin)
                                                 =     lim
                                                          y0                            y
                                                                 (cos 2 y 0sin 2 y1)
                                                 =     lim
                                                          y0             y
                                                            (0sin 2 y)
                                                 =     lim
                                                       y0      y
                                                                    
                                                            sin 2 y 2 y
                                                 =    lim
                                                       y0    y 2y
                                                                    
                                                            sin 2 y 2 y
                                                 =    lim
                                                       y0    2y y
                                                 =    –1 2 = –2
                                                                          2                   2
                                                                  2 cos 1 {( x h) x} sin 1 {( x h)x}
      c. lim sin ( x h)sin x                 =     lim
         h0          h                                   h0                                     h
                                                                               2    2
                                                                  2 cos ( x 1 h) sin 1 h
                                                 =     lim
                                                          h0                   h



214      Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
                          2cos ( x 12h) sin h
                                           21                                                  Ingat!!
                = lim
                    h0
                                  2 12 h                                                    1
                                                                     sin A + sin B = 2 sin      (A + B)
                                                                                              2
                                      sin 12 h
                   lim
                = h cos ( x 12 h)
                    0        1h
                                                                     sin A – sin B = 2 cos
                                                                                              1
                                                                                                (A + B)
                                             2                                                2
                = cos (x + 12 0) 1                                                       1 (A – B)
                                                                                       sin
                = cos x                                                                      2



                        7.3

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Carilah limit berikut.
               sin 3x                                     6 tan x
    a. lim                             c.        lim
        x0      5x                              x0        4x
                4x                                          7x
    b. lim                             d. lim
        x0    2sin x                            x0      5sin 5x

2. Carilah limit berikut.
               2sin 5x                                     tan 8x
    a. lim                             c.        lim
        x0    3sin 2x                           x0      4sin 4x
               4sin 2x                                    3tan 2x
    b. lim                             d. lim
        x0     tan 4x                           x0      2 tan 3x

3. Tentukan nilai dari:

               x sin 3x                                   sin 43 x
    a. lim                             b. lim
        x0     tan 2 x                          x0        3x

4. Hitunglah nilai dari:
                                                           tan x1
    a. lim 1 cos 2x                  b.        lim
            1
           
         x 2  cos x                               1
                                                   
                                                 x 4
                                                            cos 2x

5. Hitunglah nilai dari:
              1cos 2x                                  tan 3x sin x
    a. lim                             b. lim
        x0      x2                              x0          x2




                                                                                  Limit Fungsi           215
      1. Pengertian limit
         Limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.
      2. Limit tak berhingga
                                                                            f ( x)
          Untuk mengerjakan limit menuju tak berhingga berbentuk lim               berlaku
                                                                      x  g ( x)
          sebagai berikut.
          a. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x),
                              f ( x)
             maka nilai lim
                         x ( x)
                            g        adalah.
          b. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka
                         f ( x)
               nilai lim        adalah real.
                     x g ( x)
                       

          c.   Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x),
                                       f ( x)
               maka nilai lim                   adalah 0.
                                   
                                 x   g ( x)
      3. Limit berhingga
          Untuk mengerjakan limit menuju berhingga berbentuk lim f ( x) berlaku sebagai
                                                                  xa

          berikut.
          a.   Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = C.
                                                    xa
                         C
          b. Jika f(a) =
                            0 , maka nilai lim f ( x) =.
                                            xa


          c. Jika f(a) =  0
                              , maka nilai lim f ( x) = 0.
                         C                  xa

         d. Jika f(a) = 0 0 , maka nilai lim f ( x) harus diubah lebih dahulu supaya
                                xa

              berbentuk a, b, atau c.
      4. Sifat-sifat limit
          Apabila k suatu konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit
          untuk x mendekati a, maka berlaku:
          a.   lim f (x) f (a)
               xa


          b.   lim k = k
               xa


          c.   lim k f ( x) k lim f ( x)
               xa         xa

          d.                      x)} lim f ( x) lim g ( x)
               lim { f ( x) g (x
               xa        xa      a




216      Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
            e.          lim
                        xa
                                f ( x) g (x) lim
                                                   xa
                                                                   f ( x) lim g ( x)
                                                                             xa


                                        lim f ( x)
                               f ( x)
            f.          lim            x
                               g ( x) lim ag ( x)
                                                   , lim g ( x) 0
                                                       xa
                        xa
                                                xa




                                                                      
                                                                         n

                                f ( x)
                                            n
            g.          lim                      lim f ( x)
                        xa                                xa




I.   Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1.   Nilai lim x29 adalah ….
                 x5

     a. 2                                                        d. 5
     b. 3                                                        e. 6
     c. 4
2.   Nilai lim          x4     adalah .…
                 x2    3x
     a. 3                                                        d. 1
                                                                    3
     b. 1                                                        e. – 13
     c. 0

3.                      2x22 = ….
     Nilai lim
                 x1     x1
     a. 0                                                        d. 4
     b. 1                                                        e. 6
     c. 2
                        2x1
4.   Nilai lim                adalah ….
                   
                 x    3x
     a. –2                                                       d. 23
     b. –1                                                       e. 2
     c. 0

5.   Nilai lim 64x4 adalah ….
            x2 x4
     a. –6                      d. 4
     b. –4                      e. 6
     c. 3


                                                                                         Limit Fungsi   217
6.    Nilai lim x2 2xx2 x adalah ….
                 
               x

      a. – 3                                  d. 1
             2
      b. –   1                                e. 3
             2                                       2
      c.   1
           2
7. Nilai lim x29 adalah ….
          x x 3
            3
   a. 6                                       d. –2
     b. 4                                     e. –6
     c. –4

8. Nilai lim           x2x6 adalah ….
               x
                 2        x 2
      a. –5                  d. 5
      b. –2                   e. 2
      c. –1

9. Nilai lim 2 x 3 adalah ….
               x x 2 1
     a. 2                                     d. 0
     b. 1                                     e. –3
     c. –1
                       x8 adalah ….
10. Nilai lim 3
               x8      x2
      a. 12                                   d. 8
      b. 10                                   e. 4
      c. 6
11. Jika         lim f ( x) 3 ,     lim g ( x) , dan
                                                    5        lim h( x)   =   1 , maka nilai dari
                 x0                  x0                    x0             2
      lim (2 f ( x) g ( x))2       adalah ….
       x0         h( x)

      a. 12                                   d. 4
      b. 2                                    e. 16
      c. 8
                 x28 x2 
12. Nilai lim = ….
            x2
                
                    x
                2x 2 2x4
    a. 3                 d. 8
      b. 5                   e.
      c. 9


218        Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
13. Nilai lim            4x2      = ….
                x2
                       3x2 5
     a. 3                                  d. 6
     b. 4                                  e. 7
     c. 5
14. Nilai lim                 4x      = ….
                x0     1 2x12x
     a. 2                               d. –1
     b. 1                               e. –2
     c. 0
                         x2x1
15. Nilai lim                     = ….
                 x1       x1
     a. 1                                  d. –1
     b.     1                              e. 0
            2
     c. – 12
16. Nilai lim          3 sin 5x   = ….
                x0     sin 3x
     a.   5                                d. 3
          3
     b. 5                                  e. 5
          2
     c. 4
17. Nilai lim          1cos x = ….
                x0     x sin x
     a.     2
            3                              d. 13
     b. 1                                  e. –1
          2
     c. 0
                       1cos 2x
18. Nilai lim                    = ….
                x0      x2
     a. 14                                 d. 1

     b. 12                                 e. 2

     c. 32
19. Nilai lim          tan xsin x = ….
                x0          x3
     a. 12                                 d. 2
     b. 1                                  e. 6
     c. 4


                                                   Limit Fungsi   219
20. Nilai lim             1sin x = ….
                           x21 
                      1
                     
                   x 
                      2

      a. –2                                    d. 0
      b. –1                                    e. 2
      c. 1
II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Hitunglah nilai limit berikut ini.
                      2                                            x

      a. lim x2 x 3                               c. lim 2 x 5
             
           x  x5                                                            23
                                                                              x


      b. lim x2 3xx
             
           x

2. Hitunglah nilai limit berikut ini.
                                                                      2
                     x3
      a. lim                                          c. lim x2 x5
           x3      x2 9                                                    x
                                                                                1   xx 4
      b. lim 3x 2
           x x 2
             2


3. Hitunglah nilai limit berikut ini.
                                                                  2
      a. lim x4                                     c. lim xx
                                                           x 2x
                                                             0
           x4
                x2
                       x24
      b. lim
           x2      x23x 2

                                    f ( x h)f (x)
4. Hitunglah limit lim                                untuk f(x) berikut ini.
                              h0            h
      a. f(x) = 3x
      b. f(x) = x2
      c. f(x) = 2x2 – 3
5. Hitunglah nilai limit berikut ini.
                     2 tan 3 y                                    1cos y
      a. lim                                          d. lim
            y0      sin 2 y                              y0      y2
                       cos 2x                                             1
      b.    lim                                       e.   lim x sin
           x45      cos xsin x                            
                                                           x            x

      c.              1 cos 2x
            lim
              1
             
           x 2
                        cos x




220        Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags: geometry
Stats:
views:2185
posted:1/2/2011
language:Indonesian
pages:25