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Programación Dinámica _Exposición_ Investigación Documental

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Programación Dinámica _Exposición_ Investigación Documental Powered By Docstoc
					        INGENIERIA INDUSTRIAL
                       MATERIA:
          INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
                  NOMBRE DEL DOCENTE:
                 Ing. Ricardo Gomes Ku


                      TEMA:
CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
                     DINÁMICA
                                     EQUIPO: 1
                 NOMBRE DEL ALUMNO:
               JUAN SEBASTIAN POOT ORTIZ
                            CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




La programación dinámica es una técnica
que se utiliza para resolver diversos
problemas de optimización. Esta técnica
llega a la solución trabajando hacia atrás
partiendo del final del problema hacia el
principio, por lo que un problema enorme e
inimaginable se convierte en una serie de
problemas mas pequeños y manejables.

La idea de trabajar hacia atrás se introduce
mediante la resolución de acertijos, luego
se muestra cómo la programación
dinámica es útil para solucionar redes,
inventarios y problemas de asignación de
recursos.
                              CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




A continuación se mostrara como trabajar hacia atrás para hacer
de un problema aparentemente difícil uno casi trivial.

Ejemplo: (acertijo de las cerillas)

Supongamos que hay 30 cerillas sobre una mesa. Yo empiezo
eligiendo 1,2 ò 3 cerillas. Luego mi contrincante debe tomar 1, 2 ò
3. Así continuamos hasta que alguno de los jugadores toma la
ultima cerilla. Este jugador pierde. ¿Cómo puedo yo (el primer
jugador) estar seguro de ganar el juego?
                               CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




Solución:
Si puedo tener la certeza que le tocará el turno a mi oponente cuando
quede una cerilla, claro que ganaré. Al regresar un paso hacia atrás, si
yo puedo tener la seguridad de que le tocara su turno a mi contrario
cuando queden 5 cerillas, yo puedo estar seguro de que cuando le
toque el siguiente turno solo le quedara una cerilla. Por ejemplo,
suponga que el turno de mi contrincante es cuando quedan 5 cerillas.
Si mi contrario toma 2 cerillas, yo elegiré 2 y le dejare una cerilla, con
lo que aseguro mi victoria. De manera similar, si soy capaz de obligar
a mi contrincante a jugar cuando quedan 5, 9, 13, 17, 21, 25, ò 29
cerillas, tengo la victoria asegurada. Por lo tanto, no puedo perder si
tomo 30- 29 = 1 la primera vez que me toque jugar. Luego simplemente
me aseguro que mi contrario siempre se quede con 29, 25, 21, 17, 13,
9, ò 5 cerillas cuando le toque jugar.

Obsérvese que hemos resuelto este acertijo al ir hacia atrás desde el
final hacia el principio del problema.
                                CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA


 Otro ejemplo: (tazas de leche)

 Tengo una taza de 9 onzas y otra de 4 onzas. Mi
 madre me pidió traer a casa exactamente 6 onzas
 de leche. ¿Cómo puedo cumplir lo pedido?
                                                 MOVIMIENTOS EN EL PROBLEMA DE LAS TAZAS Y LA
                                                                    LECHE
Solución:
                                                ______________________________________________
Al empezar cerca del final del problema,
                                                      Onzas en la taza          onzas en la taza
me doy cuenta sagazmente de que el
                                                       De 9 onzas                  de 4 onzas
problema se puede resolver si soy capaz
                                                ______________________________________________
de poner de alguna manera una onza de             9                                       0
leche en la taza de 4 onzas. Luego lleno la       6                                        4
taza de 9 onzas y vierto 3 onzas de la            9                                        1
leche de la taza de 9 onzas en la taza            0                                        1
parcialmente llena de 4 onzas. En este            1                                        0
momento me quedo con 6 onzas de leche.            1                                        4
La solución del problema se podría                5                                        0
describir como en la tabla anterior (la           5                                        4
situación inicial se escribe al último, y la      9                                        0
final se escribe primero).                        0                                        0
                     CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




               UN PROBLEMA DE REDES
Muchas aplicaciones de programación dinámica se
reducen a determinar el camino más corto (ò más largo)
que une dos puntos en una red dada.
Mediante el ejemplo siguiente se ilustra como la
programación dinámica ( trabajando hacia atrás ) se
puede utilizar con el objeto de encontrar la trayectoria
mas corta en una red.
                             CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




                           (El viaje de Joe)
Joe Cougar vive en Nueva York, pero proyecta viajar en su automóvil
hasta los Ángeles en busca de fama y fortuna. Los fondos de Joe son
limitados, así que decide pasar cada noche de su viaje en la casa de
un amigo. Joe tiene amigos en Columbus, Nashville, Louisville,
Kansas City, Dallas, San Antonio y Denver. Joe sabe que después de
manejar un día puede llegar a Columbus, Nashville o Louisville.
Después de manejar dos días puede llegar a Kansas City, Omaha o
Dalla. Después de tres días de viaje puede llegar a San Antonio o
Denver. Luego de cuatro días de manejar puede llegar finalmente a
Los Ángeles. Para minimizar la cantidad de millas recorridas, ¿Dónde
debe Joe pasar cada noche del viaje? Las millas reales por carretera
entre las ciudades se dan en la fig. Sig.
CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA
                             CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA


Solución:
Joe necesita saber cual es el camino mas corto entre Nueva York y
Los Ángeles. La determinaremos yendo hacia atrás. Clasificamos
todas las ciudades en las que Joe puede estar al principio de n-esimo
día de su viaje como ciudades de la etapa n. por ejemplo, puesto que
Joe solo puede estar en San Antonio o Denver al inicio del cuarto día
(el día 1empieza cuando Joe sale de Nueva York), entonces
clasificamos San Antonio y Denver como ciudades de la etapa 4. La
razón de clasificar las ciudades de acuerdo con etapas será
evidentemente mas adelante.



       La idea de trabajar hacia atrás implica que debemos
       empezar por resolver un problema fácil que con el
       tiempo nos ayudara a resolver un problema complejo.
                             CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA



Por lo tanto, empezamos por determinar la trayectoria mas corta a Los
Ángeles desde cada ciudad de donde hay solo un día de viaje en
automóvil (ciudades de la etapa 4). Luego usamos esta información
para encontrar el camino mas corto hasta Los Ángeles desde cada
ciudad de donde solo quedan 2 días de manejo (ciudades de la etapa
3). Con esta información ya somos capaces de hallar el camino mas
corto a Los Ángeles desde cada ciudad que esté a 3 días de viaje
(ciudades de la etapa 2). Encontramos, por ultimo, la trayectoria mas
corta a Los Ángeles desde cada ciudad (hay solo 1: Nueva York) que
esta a 4 días de viaje.



     Con el fin de simplificar la exposición usamos los números
     1, 2,……., 10 dados en la figura anterior para nombrar las 10
     ciudades. Definimos también cij como las millas entre la
     ciudad i y la ciudad. Por ejemplo, c35 = 580 son las millas
     entre Nashville y Kansas City.
                         CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA



                  Cálculos de la etapa 4.

 Primero determinamos el camino mas corto a los Ángeles
 desde cada ciudad de la etapa 4. Como hay solo un
 camino desde cada ciudad de la etapa 4 hasta los
 Ángeles, observamos de inmediato que
                                              f 8  1030
                                                 4

  y La trayectoria mas corta desde Denver hasta los
  Ángeles es sencillamente el único camino desde
  Denver a los Ángeles. De manera similar
                                                 f 9  1390
                                                     4
que es el camino más corto (y el único) de san Antonio hasta los
Ángeles.
                          CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




                       Cálculos de la etapa 3.
Ahora vamos hacia atrás una etapa (hasta las ciudades de la etapa
3) y encontramos el camino mas corto a los Ángeles desde cada
ciudad de la etapa 3. Por ejemplo, para determinar

                                                    f 5
                                                        3
observamos que el camino mas corto desde la ciudad 5 a los
Ángeles debe ser uno de los siguientes:


 Camino1: Ir desde la ciudad 5 a la ciudad 8 y, luego, tomar el
 camino mas corto desde la ciudad 8 hasta la ciudad 10.

 Camino 2: Ir de la ciudad 5 a la ciudad 9 y, luego, tomar el
 camino mas corto desde la ciudad 9 hasta la ciudad 10.
                             CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




La distancia del camino 1 se puede escribir como

                                   C  f 8,
                                      58     4

                y la distancia del camino 2 se podría expresar
                como
                                  C  f 9.
                                     59     4

 De aquí que la distancia mas corta desde la ciudad 5 hasta la
 ciudad 10 se podría escribir como

                      C 58  f 4 8  610  1030  1640 *
        f 3 5  min  C  f 9  790  1390  2180
                       59 4
                                CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




El * indica la elección del arco que alcanza a

                                                 f 5
                                                    3

Por lo tanto, hemos demostrado que el camino mas corto desde l ciudad
5 hasta la ciudad 10 es el camino 5-8-10. Obsérvese que para obtenerse
este resultado nos apoyamos en lo que sabíamos de

                          f 8
                            4
                                       y       f 9 
                                                4

  De igual modo, para encontrar
                                      f 6 
                                           3

 observamos que el camino mas corto a los Ángeles desde la ciudad 6
tiene que empezar por ir a la ciudad 8 o a la 9. Esto da lugar a la
ecuación siguiente:
                            C 68  f 4 8  540  1030  1570 *
              f 3 6  min  C  f 9  940  1390  2330
                             69       4
                                              CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA


f 7   1660 ,
 3




                  Por lo tanto   f 6  1570 ,
                                     3

     y el camino mas corto desde la ciudad 6 hasta la 10 es el camino 6-8-10.


         Para determinar
                                 f 7,
                                     3
                                          observamos que:
                                                          C 78  f 4 8  790  1030  1820
                                           f 3 7  min C  f 9  270  1390  1660 *
                                                          79      4



            Por lo tanto
                            f 7   1660 ,
                                 3

        y el camino mas corto desde la ciudad 7 a la 10 es la trayectoria 7-9-10.
                             CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA




              Cálculos de la etapa 2.
      Dado que conocemos
                                 f 5, f 6y f 7 
                                  3        3       3


 es fácil ahora ir hacia atrás una etapa mas y calcular

                     f 2, f 3, y f 4y,
                       2     2         2

por lo tanto, el camino mas corto a los Ángeles desde la ciudad 2,
ciudad 3 y ciudad 4. Para ilustrar como se hace este proceso,
encontramos el camino más corto (y su distancia) desde la ciudad 2
hasta la ciudad 10. El camino mas corto entre estas ciudades debe
empezar por ir de la ciudad 2 a la ciudad 5, ciudad 6 o ciudad 7. Una
vez que este camino mas corto lleva a la ciudad 5, ciudad 6 o ciudad
7, entonces se debe seguir el camino mas corto desde esa ciudad a
los Ángeles. Este razonamiento muestra que el camino más corto
desde la ciudad 2 a la ciudad 10 debe ser uno de los siguientes:
Camino 1: Ir desde l ciudad 2 hasta la ciudad 5. Luego seguir el
camino mas corto desde la ciudad 5 a la ciudad 10. Una trayectoria

                            C  f 5.
de este tipo tiene una distancia total de
                               25   3

Camino 2 Ir desde la ciudad 2 a la ciudad 6. Luego seguir el camino
más corto desde la ciudad 6 hasta la ciudad 10. Una trayectoria de
este tipo tiene una distancia total de   C26 + f3 (6).
Camino 3 Ir desde la ciudad 2 a la ciudad 7. Luego seguir del
camino más corto desde la ciudad 7 hasta la ciudad 10. Esta
trayectoria tiene una distancia total de c27 + f3 (7). Se podría
concluir que
Por lo tanto, f2 (2) = 2320; y el camino más corto desde la ciudad 2
hasta la ciudad 10 es ir desde la ciudad 2 a la ciudad 5 y luego
seguir el camino más corto desde la ciudad 5 a la ciudad 10 (5-8-10).

 De igual modo,



  Por lo tanto, f2 (3) = 2220, y el camino más corto desde la
  ciudad 3 hasta la ciudad 10 consiste en el arco 3-5 y el camino
  más corto desde la ciudad 5 hasta la ciudad 10 (5-8-10).




Por lo tanto, f2 (4) = 2150; el camino más corto desde la ciudad 4
hasta la 10 consiste en el arco 4-5 y el camino más corto desde la
ciudad 5 a la ciudad 10 (5-8-10).
                        Cálculos de la etapa 1.
Como ahora que ya conocemos ƒ2 (2), ƒ2(3) y ƒ2(4), podemos ir hacia
atrás una etapa más para determinar ƒ1(1) y el camino más corto
desde la ciudad 1 a la ciudad 10. Obsérvese que el camino más
corto desde la ciudad 1 hasta la ciudad 10 debe empezar por ir a la
ciudad 2, 3 o a la 4. Esto significa que el camino más corto desde la
ciudad 1 hasta la ciudad 10 tiene que ser uno de los siguientes:
Camino 1 Ir desde la ciudad 1 a al ciudad 2, luego seguir el
camino más corto desde la ciudad 2 hasta la ciudad 10. La
distancia de tal camino es C12 + ƒ2 (2).
Camino 2 Ir desde la ciudad 1 a la ciudad 3 y, luego, seguir el
camino más corto desde la ciudad 3 hasta la ciudad 10. La
distancia total de dicho camino es C13 + ƒ2 (3).
Camino 3 Ir desde la ciudad 1 a la ciudad 4 y, luego, seguir el
camino más corto desde la ciudad 4 hasta la ciudad 10. La
distancia de tal camino es C14 + ƒ2 (4). Entonces, se infiere que
          DETERMINACIÓN DE LA TRAYECTORIA OPTIMA.


Por lo tanto ƒ1 (1) = 2870, y el camino más corto desde la ciudad 1
hasta la ciudad 10 va desde la ciudad 1 hasta la ciudad 2 y luego sigue
el camino más corto desde la ciudad 2 hasta la ciudad 10. Si
verificamos los cálculos de ƒ2 (2) vemos que la trayectoria más corta
desde la ciudad 2 hasta la ciudad 10 es 2 ---– 5 – 8 – 10. Al trasladar las
etiquetas numéricas
A las ciudades reales, vemos que el camino más corto desde Nueva
York a Los Ángeles pasa por Nueva York, Columbus, Kansas City,
Denver y Los Ángeles. Este camino tiene una nueva distancia de f1
(1) = 2870 millas.
   CARACTERÍSTICAS DE LAS APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Característica 1:
Es posible dividir el problema en etapas, y se requiere una decisión
en cada etapa.
Característica 2:
Cada etapa se relaciona con una cierta cantidad de etapas.
Característica 3:
La decisión tomada en cualquier etapa describe el modo en que el
estado en la etapa actual se transforma en el estado en la etapa
siguiente.
Característica 4:
Dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas
restantes no tiene que depender de v los estados ya alcanzados o de
las decisiones tomadas previamente.
Característica 5:
Si los estados del problema se clasifican dentro de uno de T etapas,
debe haber una RECURSIÓN que relacione el costo o la recompensa
ganada durante las etapas t, t +1,…..T con el costo o la recompensa
ganada a partir de las etapas t, +1, t +2,…….,T. La RECURSIÓN
formaliza, en esencia, el procedimiento de ir hacia atrás.

				
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