Docstoc

kalkulus_interval dan pertidaksamaan

Document Sample
kalkulus_interval dan pertidaksamaan Powered By Docstoc
					              MAKALAH
Interval dan Pertidaksamaan




            Oleh:Kelompok III
1. Trianto Latif           (090321100010)
2. Helmi Saifur Rahman     (090321100011)
3. Ridawi                  (090321100012)
4. Sugiarto                (090321100013)
5. Ana Fitriyah            (090321100014)
6. Era Damai Yanti         (090321100015)
7. Siti Sumaiyah           (090321100016)
8. Arifin                  (090321100017)




     JURUSAN AGRIBISNIS
     FAKULTAS PERTANIAN
  UNIVERSITAS TRUNOJOYO
                   2010
1. Interval
       Interval (adalah set dari bilangan real dengan sifat bahwa setiap nomor
yang terletak di antara dua angka di set ini juga termasuk dalam set.   Sebagai

contoh, himpunan semua bilangan x memuaskan                      adalah interval
yang berisi 0 dan 1, serta semua nomor di antara mereka.        Contoh lain dari
interval adalah himpunan semua bilangan real      , Himpunan semua bilangan real
negatif, dan himpunan kosong .
       Bahkan, interval yang bermakna dalam (total atau parsial) memerintahkan
set , tidak hanya dalam real, maka seseorang dapat memiliki interval bilangan
rasional , bilangan bulat , komputer -representable angka floating point , atau
himpunan bagian dari satu set (disusun menurut inklusi) , misalnya.
       Interval Real memainkan peran penting dalam teori integrasi , karena
mereka adalah set sederhana yang "ukuran" atau "ukuran atau" panjang "mudah
untuk didefinisikan. Konsep ukuran kemudian dapat diperpanjang untuk set yang
lebih rumit dari bilangan real, mengarah ke Borel mengukur dan akhirnya ke
ukuran Lebesgue .
Interval adalah pusat untuk aritmatika interval , seorang jenderal komputasi
numerik teknik yang secara otomatis memberikan jaminan lampiran untuk rumus
sewenang-wenang, bahkan di hadapan ketidakpastian, perkiraan matematika,
dan aritmatika roundoff .
       Angka interval antara a dan b, termasuk a dan b, sering dinotasikan [a,
b]. Kedua nomor tersebut disebut titik akhir dari interval.


Tidak termasuk titik akhir
       Untuk menunjukkan bahwa salah satu titik akhir yang akan dikeluarkan
dari mengatur, banyak penulis pengganti untuk bracket kurung persegi yang
sesuai. Dengan demikian, dalam notasi set builder ,




       Perhatikan bahwa (a, a), [a, a), dan (a, a] menyatakan himpunan
kosong, sedangkan [a, a] menunjukkan set (a). Ketika a, b>, keempat notasi
biasanya diasumsikan merupakan himpunan kosong.
Notasi ISO
       Standar internasional ISO 31-11 juga mendefinisikan notasi lain untuk
interval, yang tampaknya lebih umum diajarkan di dan Amerika Selatan.                     Ini
menggunakan menunjuk ke dalam bracket untuk menunjukkan masuknya
endpoint, dan keluar-menunjuk braket untuk pengecualian:




       Kedua notasi mungkin tumpang tindih dengan penggunaan lain dari
kurung dan kurung dalam matematika. Misalnya, notasi (a, b) sering digunakan
untuk menunjukkan suatu pasangan terurut dalam teori set, koordinat suatu titik
atau vektor dalam geometri analitik dan aljabar linear , atau (kadang-kadang)
sebuah bilangan kompleks dalam aljabar . notasi ini [a, b] juga kadang-kadang
digunakan untuk pasangan terurut, terutama dalam ilmu komputer .
       Beberapa penulis menggunakan a], [b untuk menunjukkan melengkapi
interval (a, b), yaitu himpunan semua bilangan real yang baik kurang dari atau
sama dengan, atau lebih besar dari atau sama dengan b. Di negara-negara di
mana angka ditulis dengan koma desimal , sebuah koma dapat digunakan
sebagai sekat, untuk menghindari ambiguitas.


Endpoint Infinite
       Dalam kedua gaya notasi, orang dapat menggunakan tak terbatas titik
akhir untuk menunjukkan bahwa tidak ada terikat ke arah itu.          Secara khusus,

satu dapat menggunakan                   atau             (Atau keduanya). Sebagai

contoh,                   adalah   himpunan     semua   bilangan   real    positif,       dan

                   adalah himpunan bilangan real.

          Notasi             ,           ,           , Dan                yang ambigu.
Untuk penulis yang menentukan interval sebagai subset dari bilangan real, notasi
orang yang baik tidak berarti, atau setara dengan variasi terbuka. Dalam kasus
terakhir, interval terdiri dari semua bilangan real adalah baik terbuka dan

tertutup,                                                                             .
Interval Integer

       Bila a dan b adalah bilangan bulat , notasi           ,             , Atau hanya
          kadang-kadang digunakan untuk menunjukkan semua bilangan bulat
interval antara a dan b, termasuk keduanya.             Notasi ini digunakan dalam
beberapa bahasa pemrograman , dalam Pascal , misalnya, digunakan untuk
mendefinisikan set valid indeks dari vektor .
        Interval integer yang memiliki titik akhir hingga lebih rendah atau atas
selalu meliputi endpoint tersebut.      Oleh karena itu, pengecualian dari endpoint

dapat dinyatakan secara eksplisit dengan menulis                    ,             , Atau

                 .   Alternatif-bracket notasi seperti             atau           jarang
digunakan untuk interval integer.


Terminologi
       Sebuah interval terbuka tidak termasuk titik ujungnya, dan ditandai
dengan tanda kurung. Sebagai contoh (0,1) berarti lebih besar dari 0 dan kurang
dari 1. Sebaliknya, interval tertutup mencakup titik ujungnya, dan dilambangkan
dengan tanda kurung siku.         Sebagai contoh [0,1] berarti lebih besar dari atau
sama dengan 0 dan kurang dari atau sama dengan 1.
       Sebuah degenerat interval adalah setiap set terdiri dari satu bilangan real
. Beberapa penulis termasuk himpunan kosong dalam definisi ini. Interval yang
tidak kosong atau merosot dikatakan tepat, dan memiliki banyak elemen tak
terhingga.
Sebuah interval dikatakan kiri atau kanan dibatasi dibatasi jika ada beberapa
bilangan real yang masing-masing, lebih kecil dari atau lebih besar dari seluruh
elemen perusahaan. Sebuah interval dikatakan dibatasi jika baik kiri dan kanan
dibatasi, dan dikatakan tak terbatas sebaliknya.         Interval yang dibatasi hanya
pada satu akhir dikatakan setengah-dibatasi.          Himpunan kosong dibatasi, dan
himpunan semua interval real adalah hanya yang terbatas pada kedua ujungnya.
interval Terbatas juga dikenal sebagai interval terbatas.
       Terbatas interval yang dibatasi set , dalam arti bahwa mereka diameter
(yang sama dengan absolut perbedaan antara endpoint) adalah terbatas.
Diameter dapat disebut panjang, lebar, ukuran, atau ukuran interval.             Ukuran
interval terbatas biasanya didefinisikan sebagai                , Dan ukuran interval
kosong dapat didefinisikan sebagai 0 atau kiri terdefinisi.
       Pusat interval berbatasan dengan endpoint a dan b adalah (a + b) / 2, dan

jari-jarinya adalah setengah panjang                     .     Konsep-konsep ini tidak
terdefinisi untuk interval kosong atau tak terbatas.
Sebuah interval dikatakan kiri terbuka jika dan hanya jika tidak memiliki minimal
(suatu unsur yang lebih kecil dari semua unsur lainnya); kanan terbuka jika tidak
memiliki     maksimum   ,   dan    terbuka   jika   memiliki   kedua    sifat.   Interval

                              , Misalnya, kiri-kanan tertutup dan terbuka.           Set
kosong dan himpunan semua interval real yang terbuka, sedangkan set real non-
negatif, misalnya, adalah sebuah interval kanan terbuka, tapi tidak kiri terbuka.
Interval terbuka bertepatan dengan set terbuka dari garis nyata dalam standar
topologi .
       Sebuah interval dikatakan kiri ditutup jika memiliki elemen minimum,
benar-ditutup    jika    memiliki   maksimum,   dan   hanya   ditutup   jika   memiliki
keduanya. Definisi ini biasanya diperluas untuk mencakup kosong mengatur dan
ke (kiri atau kanan-) interval tak terbatas, sehingga interval tertutup bertepatan
dengan set tertutup dalam topologi itu.
Bagian dalam interval I adalah interval terbuka terbesar yang terdapat dalam
Aku, melainkan juga merupakan set poin dalam I yang tidak titik akhir dari saya.
Penutupan I adalah interval tertutup terkecil yang berisi I; yang juga set saya
ditambah dengan titik akhir yang terbatas.
       Untuk setiap himpunan X bilangan real, kandang span interval atau
interval X adalah interval unik yang berisi X dan tidak benar mengandung interval
lain yang juga mengandung X.
Klasifikasi interval
        The interval rumbers nyata dapat dikelompokkan menjadi berbagai jenis
sebelas, tercantum di bawah ini, dimana a dan b adalah bilangan real, dengan a
<b:

        kosong:
        berdegenerasi: [a,] a = (a)
        yang tepat dan terbatas:

        terbuka:

        ditutup:

        kiri tertutup, kanan terbuka:

        kiri terbuka, benar-tertutup:
        kiri kanan dibatasi dan terbatas:

        kiri terbuka:

        kiri-tertutup:
        kiri-kanan tak terbatas dan terbatas:

        kanan terbuka:

        benar-tertutup:

        terbatas pada kedua ujungnya:
Interval dari garis riil diperpanjang
        Dalam beberapa konteks, interval dapat didefinisikan sebagai subset dari
bilangan real diperpanjang , himpunan semua bilangan real ditambah dengan
       dan           .

Dalam interpretasi ini, notasi                               ,           ,           , Dan

semua bermakna dan berbeda.                          Secara khusus,                     menunjukkan

himpunan semua bilangan real biasa, sedangkan                                         melambangkan
real diperpanjang.
Pilihan ini mempengaruhi beberapa definisi di atas dan terminologi.                           Sebagai

contoh, interval                                         ditutup dalam dunia real biasa, tapi tidak di
dunia dari real diperpanjang.


Sifat interval
Interval yang tepat terhubung himpunan bagian dari                            . Ini mengikuti bahwa
citra interval oleh terus menerus juga fungsi interval.                        Ini adalah salah satu
perumusan teorema nilai antara .
Interval juga merupakan himpunan bagian cembung dari                              . Kandang interval

sebuah subset                   juga merupakan convex hull X.
Perpotongan dari setiap koleksi interval selalu interval. Penyatuan dua interval
adalah interval jika dan hanya jika mereka memiliki persimpangan yang tidak
kosong atau titik akhir terbuka satu interval adalah titik akhir-tertutup dari

misalnya (yang lain,                                             ).
Jika         dipandang sebagai sebuah ruang metrik , perusahaan bola terbuka
adalah set dibatasi terbuka (a, b), dan yang menutup bola adalah set dibatasi
tertutup [a, b].
Setiap elemen x interval yang saya mendefinisikan partisi dari I menjadi tiga
interval menguraikan I          1,   I   2,   aku   3:   masing-masing, unsur-unsur dari saya yang
kurang dari x, tunggal x, x] = (x), dan elemen-elemen yang lebih besar dari x.
Bagian I   1   dan   3   sama-sama non-kosong (dan non-kosong interior) jika dan hanya
jika x adalah di bagian dalam aku. Ini adalah versi interval dari prinsip trikotomi.
Interval diad


Sebuah interval diad adalah interval nyata yang dibatasi titik akhir adalah                       dan


        , Dimana j dan n adalah bilangan bulat.                        Tergantung pada konteksnya,
endpoint baik mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam interval.
interval diad memiliki beberapa sifat baik, seperti berikut:
          Panjang interval diad selalu daya integer dua.
          Setiap interval diad terkandung dalam tepat satu interval "" induk diad
           dari dua kali panjang.
          Setiap interval diad yang membentang oleh dua "anak" diad interval
           setengah panjangnya.
          Jika dua interval diad tumpang tindih, maka salah satu dari mereka harus
           menjadi bagian dari yang lain.
Interval diad demikian memiliki struktur yang sangat mirip dengan tak terbatas
pohon biner .
interval diad relevan ke beberapa wilayah analisis numerik, termasuk perbaikan
mesh adaptif , metode Multigrid , dan analisis wavelet .
           Multi-dimensi interval
Dalam banyak konteks, sebuah interval n-dimensi didefinisikan sebagai bagian

dari        yang merupakan produk Cartesian interval n,
, Satu pada masing-masing koordinat sumbu.
For n = 2 , this generally defines a rectangle whose sides are parallel to the
coordinate axes; for n = 3 , it defines an axis-aligned rectangular box. Untuk n =
2, ini umumnya mendefinisikan sebuah persegi panjang yang sisi sejajar dengan
sumbu koordinat; untuk n = 3, menetapkan sumbu-blok kotak persegi panjang.


2.Pertidaksamaan
 A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)

 Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung
 bentuk linier dalam x.

 Penyelesaian:
 Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.

 Contoh :

 2x - 3 > 5  2x > 5 + 3
 ijgeiirjirijrigir j 2x > 8
 gehghhejehh2x > 2

  B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

 Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.

 Penyelesaian:

           Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
       (Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas
       kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas
       kanan atau sebaliknya).

      Kuadratkan kedua ruasnya.
       (tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan
       positif).

      Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
       syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (0)...(2)
              (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)

      Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.

Contoh:

1. (x-2) < 2                         2.(-x + 3) - (2x + 1) > 0
           kuadratkan
             x-2<4                    seimbangkan
               x<6                    
           syarat :                  (-x+3) > (2x+1)
             x-20                    
             x2                       kuadratkan
                                         -x + 3 > 2x + 1
                                         3x < 2
                                         x < 2/3

                                       syarat :
                                        -x + 3  0  x  3
              2x<6
                                        dan
                                      2x + 1  0 x  -1/2




                                                      -1/2  x < 2/3

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a    0.
Penyelesaian:

      Jadikan ruas kanan = 0
      Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
      Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
      Tetapkan nilai-nilai nolnya
      Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
      Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada
       garis bilangan
       (bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
       bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).

contoh:

                                  x² + x - 2 > 0
                               (x + 2) (x - 1) > 0
                                x < -2 atau x > 1

D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.

Penyelesaian:

      Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
       (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda
       pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
      Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
      Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
       Syarat: penyebut pecahan  0

contoh :
-8  x <1
(2x + 7)/(x - 1)  1
(2x + 7)/(x - 1) - 1  0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1)  0  (x + 8)/(x - 1)  0
syarat : penyebut (x-1)  0
                       x1

E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat > 3)

Penyelesaian:

      Terlebih dahulu usahakan disederhanakan. Bila ada bentuk kuadrat
       yang definit (selalu) bernilai positif ( D < 0 ; a > 0) langsung dapat
       dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
       Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif ( D < 0 ; a < 0) dapat
       dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

      Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
       Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika
       melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap
       jika melewati harga nol yang rangkap genap.

contoh:

   1. (x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
       (x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
       x < 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4

   2. (3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
      Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
      D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
      D < 0 dan a > 0
      Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

      (+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0
      X < -6 atau X > 2

F. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Yaitu pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Batasan : |x| = x jika x > 0
               0 jika x = 0
              -x jika x < 0        keterangan : |x|  0

masalah : menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:

                                 Untuk a > 0


  xa  -a < x < a    x   > a  x < -a atau x > a    xa  x =   a


secara umum:

menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas atau

|x| < a  x² < a²  x² - a² < 0  (x-a)(x+a) < 0  -a < x < a

|x| > a  x² > a²  x² - a² > 0  (x-a)(x+a) > 0  x<-a atau x>a

keterangan:

|x| < -a TM
|x| > -a x

|a/b| < c |a| < c|b|

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:978
posted:12/5/2010
language:Malay
pages:10