Docstoc

Soal Pembahasan_OLIMPIADE SMP 2

Document Sample
Soal Pembahasan_OLIMPIADE SMP 2 Powered By Docstoc
					SOAL SOAL FINAL SMP 2 APRIL 2006
(1) Suatu papan catur dibuat dari 8 x 8 persegi . Tentukan banyaknya persegi panjang yang ada dalam papan catur? Solusi : Perhatikan baris pertama papan catur. A    B C D E F G H

Banyaknya persegi panjang yang disusun dari satu persegi kecil ada 8 buah, yakni A, B, C, D, E, F, G, dan H. Banyaknya persegi panjang yang disusun dari dua persegi kecil ada 7 buah, yakni AB, BC, CD, DE, EF, FG, dan GH. Banyaknya persegi panjang yang disusun dari tiga persegi kecil ada 6 buah, yakni ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, dan FGH. Demikian seterusnya, sehingga terdapat 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 buah

persegi panjang dalam satu baris. Hal ini berakibat, ada 8 x 36 = 288 persegi panjang yang disusun oleh satu baris dalam papan catur. Secara analog, diperoleh hasil-hasil berikut :  terdapat 7 x 36 persegi panjang yang disusun oleh dua baris berimpit dalam papan catur.  terdapat 6 x 36 persegi panjang yang disusun oleh tiga baris berimpit dalam papan catur  terdapat 5 x 36 persegi panjang yang disusun oleh empat baris berimpit dalam papan catur.  terdapat 4 x 36 persegi panjang yang disusun oleh lima baris berimpit dalam papan catur.  terdapat 3 x 36 persegi panjang yang disusun oleh enam baris berimpit dalam papan catur.  terdapat 2 x 36 persegi panjang yang disusun oleh tujuh baris berimpit dalam papan catur.  terdapat 1 x 36 persegi panjang yang disusun oleh delapan baris berimpit dalam papan catur.

Secara keseluruhan, terdapat [8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1] x 36 = 36 x 36 = 1296 persegi panjang yang ada dalam papan catur 8 x 8. Jawaban : 1296 buah persegi panjang

(2) Diberikan gambar berikut :

Buktikan bahwa AE.BD  AC.BC  EC.CD Solusi : Buat garis bantu yang tegak lurus dengan EC,

Segitiga BDF dan segitiga ACE sebangun, maka

DF BD  DF. EC = BD. AE.  AE EC
Segitiga BCF dan segitiga ACE sebangun, maka

FC BC  FC. EC = BC. AC  AC EC
Dari uraian di atas, diperoleh BD. AE + BC. AC = DF. EC + FC. EC = (DF+ FC). EC = CD. EC. Terbukti. (3) Misalkan F = 171819202122…979899. Tentukan bilangan bulat terbesar m sehingga 3m habis membagi F ?

Solusi : Konsep dasar : Setiap bilangan bulat positif dengan jumlah digit-digit pembentuknya habis dibagi 3, maka bilangan tersebut habis dibagi 3. Perhatikan bentuk F = 171819 202122 ... 909192.. .  ...29    99 Karena 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 maka jumlah digit-digit F adalah = (1+7+1+8+1+9) + (2.10 + 45) + (3.10 + 45) + … + (9.10 + 45) = 27 + 65 + 75 + … + 135 = 27 + 800 = 827. Oleh karena 827 = 3.275 + 2 maka F tidak habis dibagi 3. Hal ini berarti 3m tidak habis membagi F, untuk m = 1, 2, 3, … . Jawaban : m = 0. (4) Diberikan segitiga ABC, titik – titik Z, X, dan Y berturut-turut berada pada sisi AB, BC, dan AC.

Buktikan bahwa Penyelesaian

BX CY AZ . . 1 CX AY ZB

Perhatikan segitiga AXC dan ABX, dengan CX dan BX berturut-turut sebagai alasnya. Kedua segitiga mempunyai tinggi yang sama, maka

( ABX ) BX  ( ACX ) CX
Segitiga PBX dan CPX mempunyai alas yang sama, maka

(21.1)

( PBX ) BX  ( PCX ) CX
Dari persamaan (21. 1) dan (22. 2), diperoleh

(21.2)

BX BX ( ACX )  ( PCX ) ( ABP ) ( ABX )  ( BPX ) CX BX CX    ( APC ) ( ACX )  ( PCX ) ( ACX )  ( PCX ) CX

Segitiga BCY dan ABY mempunyai tinggi yang sama, maka

( BCY ) CY . Segitiga PCY dan APY mempunyai tinggi yang sama, maka  ( ABY ) AY ( PCY ) CY .  ( APY ) AY
CY CY ( ABY )  ( APY ) (CBP) ( BCY )  ( PCY ) AY CY AY Dengan demikian, .    ( ABP) ( ABY )  ( APY ) ( ABY )  ( APY ) AY
Dengan cara yang analog, diperoleh

( APC ) AZ .  (CBP) BZ

Oleh karena itu,

BX CY AZ ( ABP) (CBP ) ( APC )  1 . .  CX AY ZB ( APC ) ( ABP ) (CBP)


				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:3201
posted:5/23/2009
language:Indonesian
pages:4