Docstoc

Principal moments of area

Document Sample
Principal moments of area Powered By Docstoc
					                                                                                                  Jovaneli.blog.bg


                                                   Пример 3.3
      Да се определят главните централни инерционни оси и съответните им главни
       централни инерционни моменти на даденото съставно напречно сечениe.




                                                                       Размерите са дадени в “cm”

                                                       Построяваме помощна координатна система с начало
                                                        левия долен ъгъл на фигурата (т.O) и оси „y’ ” и „z’ ”

                                                    Разделяме сечението на прости фигури :

                                                           (1) Правоъгълник 6х2 F1 =12cm2       c1(3,2)
                                                                                          2
                                                           (2) Правоъгълник 4х6 F2=24cm         c2(2,5)
                                                                                              2
                                                           (3) Триъгълник (изрязан) 3х4 F3=6cm c3(1.33,7)




Определяме собствените инерционни моменти на простите фигури (спрямо координатни системи
            с оси успоредни на помощната и начало в техните центрове на тежест)




Центробежният момент на триъгилника е отрицателен тъй като по-голяма част от площа му попада във втори
                                       и четвърти крвадрант

             За прегледност на изчисленията е удобно те да се представят в табличен вид

         Fi      zi     yi     Syi=zi*Fi       Szi=yi*Fi         Iyi    zi2*Fi     Izi   yi2*Fi   Iyizi   yi*zi*Fi
№
        cm2     cm     cm        cm3             cm3            cm4      cm4      cm4     cm4     cm4       cm4
 1       2       3      4          5               6             7        8        9      10       11        12
 (1)     12       1        3         12           36           4      12       36        108       0         36
 (2)     24       5        2        120           48          72      600      32        96        0        240
(3)*      -6      7      1.33       -42          -7.98        -3     -294 -5.333 -10.61            -2     -55.86
  ∑     F=30                      Sy’=90      Sz’=76.02      Iy’=391 cm4      Iz’=256.05cm4 Iy’z’=218.14cm4
    *-триъгълникътът (3) е изрязан от сечението затова записваме площа и инерционните му моменти в таблицата със
                                           обратен знак (в всички случая с „-„)

                                                            1
                                                                                                         Jovaneli.blog.bg


      1. Определяне координатите на центъра на тежестта на съставното сечение –
         отправна координатна система – Oy ' z '

Координатите на центъра на тежест ( yc; zc) се изчисляват като се разделят сумите от статичните
моменти (колони 5 и 6) на общата площ (колона 1):




 Проверка: Ако се работи правилно, центърът на тежестта на съставното сечение лежи на линията, образувана от
свързването на центровете на тежестта на отделните елементи. Ако елементите са 3, общият център на тежест лежи в
триъгълника, образуван при свързване центровете им на тежест.

Начертава се централна координатна система с начало центърът на тежест и оси y и z, успоредни
на осите y’ и z’.

            2. Осови и центробежен инерционни моменти – отправна координатна система – Oy ' z '

Собствените инерционни моменти на простите фигури не могат да се сумират директно, тъй като
са спрямо различни оси. За да получим общи инерционни моменти на съставното сечение трябва
да използваме теоремите на Щайнер т.е да сумираме собствените инерционни моменти (колони
7,9,11) и т.нар. „добавки на Щайнер” (колони 8,10,12)

       3. Осови и центробежен ЦЕНТРАЛНИ инерционни моменти – отправна координатна
система – Cyz

Отново се използват теоремите на Щайнер.
             I y ' = I y + ( zc ) 2 .F   I z ' = I z + ( yc ) 2 .F    I y 'z ' = I yz + zc . yc .F , където
I y ' ; I z ' ; I y 'z ' – инерционни моменти спрямо помощните оси y’ z’
I y ; I z ; I yz   – инерционни моменти спрямо централните оси y z

z   c ;   y 'c –координати на центъра на тежестта (разстояния между осите на координатните системи)
                         Следователно за централните инерционни моменти получаваме:




                                            Iyz ≠ 0        Iy, Iz – не са главни

Знакът на центробежния момент се определя от разположението на площта на сечението спрямо съответните
                                            централни оси.


                                                                 2
                                                                                                             Jovaneli.blog.bg


                            Ако по-голяма част от площта попада в първи и трети квадрант        ⇒ I yz >0
                         Ако по-голяма част от площта попада във втори и четвърти квадрант         ⇒ I yz <0
                        В случая по-голяма част от площта попада в втори и четвърти квадрант        ⇒ I yz <0

      4. Главни централни инерционни оси и
         моменти

Главни инерционни оси са тези, спрямо които
центробежният инерционен момент е равен на
нула, а осовите имат екстремални стойности.
Главните инерционни оси и съответните им
инерционни моменти се означават с гръцките
                    (    )
символи η (ета) и ξ (цета):
η − оста на max инерционен момент ξ− оста                                                  z
на min инерционен момент Главната                                                                                   y
координатна система (C η ξ) е завъртяна на
ъгъл α спрямо (Cyz)
Положителната посока на изменение на ъгъла
α  е обратна на часовниковата стрелка
Определяне на главните централни
инерционни моменти:




              Iy + Iz      I −I 
                                         2
                                                                                   I max = Iη = 122,66cm 4
I   max
    min   =              ±  y z  + I yz
                            2 
                                       2
                                                    I   max
                                                        min   = 92,21 ± 30,45
                 2                                                               I min = I ξ = 61,75cm 4

Определяне на ъглите, които главните оси сключват с хоризонталната ос (y):

              I y − I max       121 − 122,66
tgα1 =                      =                = 0,167           ⇒    α1 = 9,5o         Ъгъл между оста y и оста η
                 I yz              − 9,92
              I y − I min       121 − 61,75
tgα 2 =                     =               = −5,972           ⇒    α 2 = −80,5o      Ъгъл между оста y и оста ξ
                  I yz            − 9,92
              Проверки:
α 1 + α 2 = 90 o ⇒               9,5o + − 80,5o = 90o I min + I max = I y + I z ⇒ 122,66 + 61,75 = 121,0 + 63,415
              I min .I max = I y .I z − I yz ⇒ 61,75.122,66 = 121,0.63,415 − 9,92
                                          2                                            2




                                                                    3

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:1147
posted:11/18/2010
language:Serbian
pages:3