soal

							                                        ‫تاطًّ تؼانی‬

‫يثارسِ ػهًی تزای خٕاَاٌ سَذِ کزدٌ رٔذ خظتدٕ ٔ کؼف ٔالؼیت ْا اطت‬
‫«اياو خًیُی (رِ)»‬



       ‫تیظت ٔ ْفتًیٍ انًپیاد ریاضی کؼٕر‬
              ‫آسيٌٕ آسيایؼی يززهّ أل (ایُتزَتی ٔ رایگاٌ)‬
           ‫<7 دی <=87 (طاػت 99?> تا 99?87)‬
                                                        ‫مدت آزمون : 4 ساعت‬




                                                                              ‫تذکرات:‬
‫ضًٍ آرسٔی يٕفمیت تزای ػًا دأعهة گزايی خٕاْؼًُذ اطت تّ َکات سیز تٕخّ فزياییذ‬

  ‫ًْاَُذ آسيٌٕ اصهی اطتفادِ اس ياػیٍ زظاب ٔ کايپیٕتز تزای يساطثّ يداس َیظت.‬       ‫-‬
      ‫تؼذاد طٕال ْا 98 ػذد تٕدِ ٔ 9 طاػت ٔلت تزای پاطخ دادٌ تّ آٌ ْا داریذ.‬       ‫-‬
             ‫ػزایظ ػزکت در يظاتمّ ٔ ارطال پاطخ ْا در ٔتالگ َٕػتّ ػذِ اطت.‬         ‫-‬
              ‫تا یک طاػت پض اس آسيٌٕ يی تٕاَیذ پاطخُايّ ْایتاٌ را ارطال کُیذ.‬     ‫-‬
                                          ‫طاػت 97 کهیذ آسيٌٕ را آپهٕد يی کُیى.‬    ‫-‬
‫در ٔتالگ سياٌ دلیك اػالو َتایح را يی آٔریى. تا آٌ سياٌ ػًا يی تٕاَیذ تّ طٕال ْا‬   ‫-‬
                        ‫اػتزاض کُیذ (اگز يؼکهی داػت) ٔ یا کهیذ را تصسیر کُیذ.‬


                   ‫تا آرسٔی يٕفمیت‬
  ‫يظٕٔنیٍ ٔتالگ يیُی انًپیاد‬




                                      ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                  ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
    ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬
   ‫7- در داطتاٌ ْا آيذِ يختزع تاسی ػغزَح تّ اسای خایشِ اس پادػاِ سياَّ 1-462 ػذد داَّ گُذو عهة‬
                                                                                                ‫کزد.‬
                                                       ‫تؼذاد داَّ ْای گُذو تّ کذاو ػذد َشدیک تز اطت؟‬
                        ‫91‬                 ‫91‬
               ‫01*2.2‬        ‫ِ)‬   ‫01*1.2‬        ‫د)‬     ‫ج) 9101*2‬     ‫انف) 9101*6.1 ب) 9101*8.1‬




‫7- طّ ياػیٍ داریى کّ ٔرٔدی ٔ خزٔخی ِ آٌ ْا دَثانّ ْظتُذ. ْز ياػیٍ کار ْای سیز را اَداو يی دْذ?‬




      ‫زال اگز اتتذا یک ‪ A‬در دطت ِ يا تاػذ، چُذ تا اس دَثانّ ْای سیز را يی تٕاٌ تا ياػیٍ تاال طاخت؟‬
‫‪AABABAABABB‬‬                                          ‫‪ABBABBABBAB‬‬
‫‪AABABBABABB‬‬                                          ‫‪BAAABAAABB‬‬
‫‪ABABBABBBAA‬‬                                          ‫‪ABABAAABBA‬‬
                        ‫ِ) :‬               ‫د) 9‬              ‫ج) 8‬            ‫ب) 7‬            ‫انف) 7‬


                                                                      ‫8- اعالػات سیز در دطت اطت?‬
‫‪AE = 30 km‬‬              ‫‪DC = 90 km‬‬
‫‪BD = 60 km‬‬              ‫‪EB = 40 km‬‬
                                                                              ‫‪ AC‬چُذ کیهٕيتز اطت؟‬
                     ‫ِ) 987‬             ‫د) 9:‬               ‫ج) 98‬         ‫ب) 997‬           ‫انف) 9<‬


  ‫9- یک تاص را تّ چُذ عزیك يی تٕاٌ تا 8 رَگ، رَگ آيیشی کزد کّ ْز خاَّ ی آٌ یک رَگ داػتّ‬
                                                     ‫تاػذ ٔ ْز 7 خاَّ ی يدأر ِ ضهؼی ْى رَگ َثاػذ؟‬
                        ‫ِ) ;‬               ‫د) 8‬              ‫ج) 7‬            ‫ب) 7‬     ‫انف) ًَی ػٕد‬


                                                              ‫:- دطتگاِ يماتم چُذ خٕاب زمیمی دارد؟‬




                     ‫ِ) َذارد‬           ‫د) <7‬                ‫ج) ;‬            ‫ب) 8‬            ‫انف) 7‬

                                      ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                  ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
    ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬
            ‫;- در دَثانّ ی 1-!‪ Sn = n!n‬کّ اس 0=‪ n‬ػزٔع يی ػٕد چُذ خًهّ تز : تخغ پذیز اطت؟‬
                 ‫ِ) تی َٓایت‬              ‫د) 9‬          ‫ج) 8‬             ‫ب) 7‬           ‫انف) 7‬




‫<- در یک چٓار ٔخٓی يُتظى يزکش ٔخِٕ را تّ ْى ٔصم يی کُیى تا چٓار ٔخٓی خذیذ درٌٔ چٓار ٔخٓی‬
                                                                                  ‫اصهی پذیذ آیذ.‬
                                ‫زدى چٓار ٔخٓی کٕچک تز چُذ تزاتز زدى چٓار ٔخٓی تشرگ تز اطت؟‬
                     ‫ِ) 1-73‬           ‫د) 1-72‬       ‫ج) 1-21‬           ‫ب) 1-9‬          ‫انف) 1-3‬




  ‫=- خشیزِ ای دایزِ ای ػکم تّ ػؼاع ‪ 15 km‬داریى. يی خٕاْیى در آٌ تزخک تظاسیى تّ ػزعی کّ تا‬
             ‫ػؼاع : کیهٕيتزی ْز تزخک آب َثاػذ ٔ تا ػؼاع 97 کیهٕيتزی اع تزخک دیگزی َثاػذ.‬
                                            ‫زذاکثز تؼذاد تزخکی کّ در آٌ يی تٕاٌ طاخت چُذ اطت؟‬
                        ‫ِ) <‬              ‫د) ;‬          ‫ج) :‬             ‫ب) 9‬           ‫انف) 8‬




‫>- فزض کُیذ ‪ c ٔ b ،a‬ریؼّ ْای چُذ خًهّ ای 0 = 5 + ‪ x3 – 3x‬تاػُذ، 3‪ a3 + b3 + c‬چُذ اطت؟‬
                      ‫ِ) 12‬             ‫د) 51‬           ‫ج) 9-‬            ‫ب) >‬         ‫انف) 51-‬




 ‫97- ‪ 6n‬طکّ يٕخٕد اطت کّ دلیماً 7 تا اس آٌ ْا تمهثی اطت. طکّ ْای طانى ْى ٔسٌ ْظتُذ ٔ ٔسٌ دٔ‬
‫طکّ ی تمهثی تا یکذیگز تزاتز ٔ يتفأت تا ٔسٌ طکّ ْای طانى اطت. کًتزیٍ تؼذاد ززکات السو تزای ایٍ‬
    ‫کّ يؼخص ػٕد طکّ ْای تمهثی طُگیٍ تزَذ یا طثک تز چُذ تاطت؟ (یک ززکت یک تار اطتفادِ اس‬
     ‫تزاسٔی دٔ کفّ ای اطت کّ زك اطتفادِ اس ٔسَّ ٔخٕد َذارد ٔ تُٓا يی تٕاٌ دٔ دطتّ طکّ را تا ْى‬
                                                                                   ‫يمایظّ کزد.)‬
          ‫ِ) تظتگی تّ ‪ n‬دارد‬              ‫د) ;‬          ‫ج) 9‬             ‫ب) 8‬           ‫انف) 7‬




                               ‫77- تؼذاد خٕاب ْای 9≡ ‪ )mod 35( 2n‬تزای 001≤‪ 0≤n‬چُذ تاطت؟‬
                      ‫ِ) 97‬               ‫د) =‬          ‫ج) :‬             ‫ب) 8‬           ‫انف) 9‬




                                       ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                   ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
     ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬
                      ‫77- ‪ 5x+6y = n‬تزای چُذ ‪ n‬کّ 03≤‪ 0≤n‬در اػذاد صسیر َايُفی خٕاب دارد؟‬
                        ‫ِ) 77‬           ‫د) 77‬           ‫ج) >7‬           ‫ب) <7‬          ‫انف) ;7‬




                                         ‫87- يؼادنّ 1 = 3‪ 3x – y‬در اػذاد صسیر چُذ خٕاب دارد؟‬
                         ‫ِ) 9‬            ‫د) 8‬            ‫ج) 7‬             ‫ب) 7‬           ‫انف) 9‬




   ‫97- در يثهث ‪ ABC‬سأیّ ی ‪ 89 C‬درخّ اطت ٔ سأیّ ی ‪ 7: B‬درخّ. اگز 3√ = ‪ AC‬تاػذ ٔ ‪D‬‬
          ‫رٔی ‪ BC‬عٕری اَتخاب ػٕد کّ ‪ AD‬تز ‪ AB‬ػًٕد تاػذ، در ایٍ صٕرت ‪ BD‬تزاتز اطت تا?‬
                      ‫ِ) 6√2‬          ‫د) 01√‬          ‫ج) 3√2‬      ‫ب) 3√ + 2√‬           ‫انف) 6√‬




‫:7- 97 َٕاسَذِ تؼذ اس اخزای يٕطیمی خٕد اس طٕی > دأر يٕرد ارسیاتی لزار گزفتُذ. ْز دأر آٌ ْا را‬
‫تّ تزتیة يماو، در یک نیظت 97 َفزِ اس أل تا تیظتى لزار يی دُْذ. اختالف يماو ْایی کّ دأراٌ يختهف‬
   ‫تزای ْز ُْزيُذ تؼییٍ کزدِ اَذ تیغ تز اس 8 َیظت. يماو ْای ْز ُْزيُذ را خًغ کزدِ اَذ ٔ ػذد ْای‬
‫زاصم را تّ تزتیة صؼٕدی َٕػتّ اَذ. تزتیة 02‪ a1≤a2≤a3≤…≤a‬تّ دطت آيذ. دأراٌ رٔی ْى تّ َفز‬
                                                                    ‫أل زذاکثز چّ ػذدی دادِ اَذ؟‬
                        ‫ِ) :7‬           ‫د) 97‬           ‫ج) 77‬          ‫ب) 9=7‬            ‫انف) >‬




  ‫;7- تا ارلاو 7، 7، 8، ... ٔ = چُذ ػذد ْؼت رلًی يضزب 77 يی تٕاٌ َٕػت؟ (ًّْ ی ارلاو 7، 7،‬
                                                                         ‫8، ... ٔ = ظاْز ػَٕذ.)‬
            ‫ِ) ;9=9‬                 ‫د) =9;9‬          ‫ج) ;:98‬         ‫ب) 9987‬        ‫انف) 7:77‬




      ‫<7- اػذاد 7 تا 9; را در یک خذٔل =*= َٕػتّ ایى تّ عٕری کّ ْز دٔ ػذد يتٕانی در دٔ خاَّ ی‬
       ‫يدأر اس خذٔل لزار دارَذ. کًتزیٍ يدًٕع يمادیز تز رٔی یک لغز اس يزتغ =*= را زظاب کُیذ.‬
                      ‫ِ) ;:7‬            ‫د) >=‬           ‫ج) ==‬           ‫ب) 9;‬          ‫انف) ;8‬


       ‫=7- فزض کُیذ ‪ f: N  N‬تاتؼی تاػذ کّ ‪ f(f(n)) = 2n‬اگز 3 = )1(‪ f‬آَگاِ )42(‪ f‬چُذ اطت؟‬
                        ‫ِ) 78‬           ‫د) 77‬           ‫ج) =7‬           ‫ب) ;7‬          ‫انف) 97‬



                                       ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                   ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
     ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬
  ‫>7- رٔی یک صفسّ یک ‪ m‬ضهؼی ٔ یک ‪ n‬ضهؼی يسذب دادِ ػذِ اطت (‪ .)m>n‬ایٍ دٔ چُذ ضهؼی‬
                                                    ‫صفسّ را زذاکثز تّ چُذ َازیّ تمظیى يی کُُذ؟‬
                 ‫ِ) ْیچ کذاو‬    ‫د) )‪2(m+n‬‬        ‫ج) )1+‪2(n‬‬            ‫ب) ‪2n‬‬        ‫انف) ‪m+n‬‬




 ‫97- زذاکثز چُذ سیز يدًٕػّ اس }02 ,… ,2 ,1{ = ‪ A‬يی تٕاٌ اَتخاب کزد تّ عٕری کّ تزای ْز دٔ‬
                                 ‫سیز يدًٕػّ ی اَتخاتی ياَُذ ‪ Y ٔ X‬داػتّ تاػیى ? ‪X U Y = A‬‬
                      ‫ِ) ;7‬           ‫د) 77‬           ‫ج) 77‬           ‫ب) 97‬           ‫انف) >7‬




                                        ‫77- 2‪ 2p + 3p = y‬چُذ خٕاب دارد؟ (‪ p‬أل ٔ ‪ y‬صسیر)‬
                       ‫ِ) 9‬            ‫د) 8‬            ‫ج) 7‬             ‫ب) 7‬        ‫انف) صفز‬




‫77- چُذ خفت 05 ≤ ‪ْ a, b‬ظت کّ ‪ a‬تز ‪ًْ ٔ b‬چُیٍ 1+‪ a‬تز 1+‪ b‬تخغ پذیز تاػذ؟ (‪ b ٔ a‬عثیؼی)‬
                      ‫ِ) 7>‬           ‫د) ==‬           ‫ج) >=‬           ‫ب) 7>‬           ‫انف) 9>‬




‫87- در يثهث ‪ ABC‬اس َمغّ ی دنخٕاِ ‪ M‬تز رٔی ضهغ ‪ BC‬تّ ‪ AE ٔ A‬را رٔی ضهغ ‪ AB‬يظأی تا‬
      ‫‪ AM‬خذا يی کُیى. اگز سأیّ ی 54 = ‪ MAC‬درخّ تاػذ آَگاِ سأیّ ی ‪ BME‬چُذ درخّ اطت؟‬
                      ‫ِ) <8‬           ‫د) 98‬           ‫ج) ;8‬         ‫ب) :.77‬           ‫انف) :9‬


 ‫97- فزض کُیذ ‪ ABC‬يثهث زادِ انشأیّ تا َیًظاس ْای ‪ BL ٔ CM‬تاػذ. َمغّ ی ‪ K‬رٔی ضهغ ‪BC‬‬
             ‫تّ گَّٕ ای لزار دارد کّ يثهث ‪ KLM‬يتظأی االضالع اطت. سأیّ ی ‪ A‬چُذ درخّ اطت؟‬
  ‫ِ) تّ عٕر یکتا يؼهٕو َیظت‬         ‫د) 9:7‬          ‫ج) 977‬            ‫ب) 9>‬           ‫انف) 9;‬




  ‫:7- َیًظاس ْای داخهی يثهث ‪ ABC‬دایزِ ی يسیغی آٌ را در َماط '‪ A', B', C‬لغغ يی کُُذ. اگز '‪I‬‬
               ‫يزکش دایزِ ی يساعی '‪ A'B'C‬تاػذ، اَذاسِ ی سأیّ ی '‪ B'I'C‬تزاتز کذاو گشیُّ اطت؟‬
‫ِ) 2/)‪(A-B‬‬           ‫د) ‪2A‬‬     ‫ج) ‪2A+B-C‬‬        ‫ب) 2/)‪180 – (B+C‬‬         ‫انف) 2/)‪90 + (B+C‬‬




                                      ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                  ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
    ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬
  ‫;7- ضزایة چُذ خًهّ ای ‪ P‬صسیر اطت. تست کذاو یک اس ػزایظ ‪ًَ P‬ی تٕاَذ ریؼّ ی صسیر داػتّ‬
                                                                                            ‫تاػذ؟‬
‫د) 5=)6(‪P(5)=6, P‬‬      ‫ج) 6=)6(‪P(5)=6, P‬‬         ‫انف) 6=)6(‪ P(5)=5, P‬ب) 5=)6(‪P(5)=5, P‬‬
                                                                                ‫ِ) تا ًّْ يی تٕاَذ‬




  ‫<7- تّ چُذ عزیك ييتٕاٌ يثهثْایي تا سٔایاي داخهي ‪ c ٔ b ،a‬اَتخاب كزد كّ اَذاسِي سٔایاي يًكٍ‬
            ‫آٌْا 7، 7، 8، ...، =<7 (ًْگي تززظة «درخّ») تاػذ ٔ يثهثْاي ْىارس تّٔخٕد َیایذ؟‬
           ‫ِ) :<<7‬             ‫د)99<7‬               ‫ج) 9=>7‬           ‫ب) :<97‬          ‫انف) :<;‬




   ‫=7- چٓارو تیز طال 9987، تاریخ را ایُگَّٕ يی َٕیظیى ? 4/4/44 – در یک لزٌ چُذ يزتثّ يًکٍ‬
‫اطت ایٍ اتفاق تیافتذ کّ تا یک رلى تتٕاٌ تاریخ را َؼاٌ داد؟! (در خٕاب دادٌ دلت کُیذ! در ضًٍ :987‬
                                                                ‫را :9 يی گیزیى َّ : ِ خانی ٔ انخ!)‬
                      ‫ِ) >7‬              ‫د) <7‬          ‫ج):7‬             ‫ب) 87‬           ‫انف) 77‬


 ‫>7- یک تٕدِ ی طُگزیشِ داریى. دٔ َفز تاسی يی کُُذ، ْز کض يی تٕاَذ 7، 7 ٔ یا 8 طُگزیشِ تزدارد.‬
     ‫در چُذ تا اس زانت ْای سیز َفز أل تزَذِ اطت؟ (يُظٕر اس ْز زانت تؼذاد طُگزیشِ ی أنیّ اطت!)‬
‫0991 ,0002 ,8002 ,7831 ,8631 ,3‬
                        ‫ِ) ;‬              ‫د) :‬           ‫ج) 9‬              ‫ب) 8‬            ‫انف) 7‬


                                                                ‫98- دطتگاِ يؼادالت سیز را تثیُیذ?‬




                                                                       ‫ػثارت سیز يؼادل چُذ اطت؟‬




                     ‫ِ) >7<‬             ‫د) <;:‬       ‫ج) 799‬             ‫ب) 897‬           ‫انف) 7=‬



                                       ‫وبگاي میىی المپیاد‬
                                   ‫‪http://imo.blogfa.com‬‬
     ‫ٌرگووً حقوق مادی ایه اثر برای برگسار کىىدگان آزمون محفوظ است ولی پیگرد قاوووی ودارد!‬