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Formulas para Numeros Primos

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Formulas para Numeros Primos Powered By Docstoc
					eric campos bastos guedes

Fórmulas para

Números Primos

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Fórmulas para Números Primos

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Ficha catalográfica G 924 Guedes, Eric Campos Bastos Fórmulas para números primos: / Eric Campos Bastos 89p. ISBN: _____________________ 1. Números primos. 2 Teoria dos números. Guedes. – Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2008.

3 Matemática-fórmulas. I. Título CDD: 512.72

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Em memória de meu pai

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Agradeço ao professor Jorge Petrúcio Viana pelo apoio e incentivo.

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Prefácio
Uma fórmula para primos é uma função cuja imagem é um conjunto de números primos. Certa vez, mostrei a um grupo heterogêneo de estudantes e professores de Matemática um exemplo de função que produzia todos os primos, e somente primos. A primeira reação foi o espanto de quem sempre ouviu falar que não existiam tais fórmulas. Em seguida, os mais experientes esclareceram que existem infinitas fórmulas para primos. Havendo infinitas, quais serão especialmente elegantes? Breves? Engenhosas? Quais suscitarão questões de interesse? Que conjecturas surgirão de modo natural? Como caracterizar os números primos de modo não trivial? Como construir uma fórmula para primos usando essa caracterização? Essas questões vão sendo respondidas ao longo deste livro, através de exemplos acompanhados de demonstrações. O bom leitor terá a oportunidade de responder a questões que o desenvolvimento das idéias do texto proporciona. Niterói, maio de 2006. Eric Campos Bastos Guedes

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Sumário
Os Números Primos e seus Desafios........................................................................ 13 Uma Função de Variável Matricial que Produz Números Primos ......................... 25 Funções que Geram Números Primos ...................................................................... 32 Quatro Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos ........................ 39 Outras Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos ........................ 43 Uma Aplicação da Análise à Teoria dos Números ................................................. 46 Relacionando Números Primos e Binomiais ............................................................ 52 Uma Função que Produz Infinitos Números Primos ............................................... 58 Uma Função para o enésimo Número Primo ........................................................... 64 Números Primos e Séries Formais ............................................................................ 67 Caracterizando Intervalos de Números Primos através de Polinômios ............... 72 Produzindo Números Primos por Iteração................................................................ 78 Uma Constante para os Números Primos ................................................................ 81 Primalidade e Número de Divisores .......................................................................... 84 Outras Fórmulas e Conjecturas.................................................................................. 86 Tábua de Números Primos ......................................................................................... 89 Referências Bibliográficas ........................................................................................... 94

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Os Números Primos e seus Desafios
Divisibilidade Seria difícil falar em números primos sem mencionar o conceito de divisibilidade. Se a e b são inteiros quaisquer, então dizemos que b é divisível por a sempre que existir um número inteiro q satisfazendo b=aq. Dizer que b é divisível por a é o mesmo que dizer: “b é múltiplo de a”, “a é divisor de b”, “a divide b”, ou, em símbolos a|b. Escreve-se a|b para significar que b deixa resto zero na divisão por a, isto é, a divisão de b por a é exata. Quando não o for escreveremos a / b (lê-se “a não |

| divide b”). Exemplos: 2|6, 6|60, 5 / 6 .
Estando claro o conceito de divisibilidade, podemos falar no conjunto de divisores positivos de um inteiro. Por exemplo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12; os de 8 são 1, 2, 4 e 8. Os divisores comuns a 12 e 8 são 1, 2 e 4. O maior deles é o 4, e por isto é chamado de máximo divisor comum de 8 e 12, o que em símbolos se escreve mdc(8,12)=4 ou (8,12)=4, quando não houver ambigüidade. Tem-se m = mdc(a, b) sempre que cumprirem-se as propriedades seguintes: (i) (ii) m|a e m|b se d|a e d|b então d|m

(iii) m > 0 A propriedade (i) diz que o mdc de dois números é um divisor comum desses números; (ii) nos diz que todo divisor comum de a e b também divide seu mdc; se m satisfaz (i) e (ii), então -m também satisfaz (i) e (ii), de modo que, para evitar ambigüidade, (iii) nos diz para tomarmos sempre o valor positivo. Essas questões são fundamentais e precisamos delas para prosseguir. Este é o motivo pelo qual as menciono aqui. Qualquer livro de introdução a Teoria dos Números traz logo no início essas informações.

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Inteiros coprimos Dois números inteiros são ditos coprimos, ou relativamente primos ou ainda primos entre si sempre que seu máximo divisor comum for igual a 1. Assim, 27 e 80 são coprimos, porque mdc(27, 80)=1. Entretanto 48 e 33 não são relativamente primos, uma vez que mdc(48, 33)=3≠1.

Definindo números primos Os números primos são os números naturais que têm exatamente dois divisores positivos. Esta não é uma definição citada com freqüência, mas é a que me parece, aqui, a mais adequada. Existem outras definições equivalentes. A mais popular diz que número primo é um inteiro maior que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Assim, 7 é primo, pois seus únicos divisores são 1 e 7; mas 9 não é primo pois tem três divisores: 1, 3 e 9. Ainda há uma definição importante de número primo. Ela diz que um inteiro p>1 é primo quando p|a ou p|b, para quaisquer inteiros a e b tais que p|ab. Logo, quando um primo divide um produto, necessariamente divide algum dos fatores.

A seqüência dos primos Os dez primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Esta lista pode ser estendida indefinidamente, conforme mostraremos ainda neste capítulo. Então, existe uma sucessão ou seqüência de números primos. Faz sentido, portanto, falar num primeiro número primo, que é o 2; num segundo primo (o 3) e mais geralmente num n-ésimo número primo, que ocupa a posição n na sucessão e é denotado por pn . Assim, por exemplo, p10 = 29 , ou seja, o décimo primo é 29.

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Algumas notações O conceito de número primo está fortemente ligado ao de divisibilidade. Dado um inteiro positivo n, seu número de divisores positivos é representado por d ( n ) . Assim, um número natural p é primo quando d ( p ) = 2 . Por exemplo, os divisores de 127 são 1 e 127; então d (127 ) = 2 e portanto 127 é primo. Por outro lado, os divisores de 128 são 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 em número de 8; logo d (128 ) = 8 ≠ 2 e portanto 128 não é primo. Vimos duas notações: pn designa o n-ésimo primo e d ( n ) a quantidade de divisores de n. Usaremos essas designações em todo livro. Elas são empregadas com bastante freqüência pelos matemáticos e se consagraram pela tradição. Uma outra função comum em Teoria dos Números é a σ k . Representa-se por σ k ( n ) a soma das k-ésimas potências dos divisores positivos de n. Note o leitor que para qualquer inteiro n, tem-se σ 0 ( n ) = d ( n ) . Além disso, denotando por s ( n ) a soma dos divisores de n, vale σ 1 ( n ) = s ( n ) . Então, pode-se usar uma ou outra notação conforme for conveniente.

Uma primeira fórmula Já se pode, com o que vimos até aqui, escrever uma fórmula para primos. Basta notar que: (i) (ii) Dado n>1, a sucessão σ −1 ( n ) , σ −2 ( n ) , σ −3 ( n ) ,… converge para 1; A sucessão
−1

σ −1 (n ) − 1, − 2 σ −2 (n ) − 1, −3 σ −3 (n ) − 1, … converge para o menor

divisor maior que 1 de n; (iii) De modo mais geral lim α σ α ( n ) − 1 é o menor divisor maior que 1 de n;
α →−∞

(iv) Dado qualquer inteiro n>1, seu menor divisor maior que 1 é primo; (v) Logo, f (n ) = lim α σ α (n ) − 1 produz todos os primos, e somente primos sendo,
α →−∞

portanto, uma fórmula para primos.

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Alguns leitores podem ficar um pouco desapontados com este primeiro exemplo. Para calcular o valor de f(n) é necessário conhecer os divisores n. Mais que isto: é preciso que conheçamos a soma das α-ésimas potências dos divisores de n (quando α tende a −∞ (!)). É muito complicado usar esta fórmula para calcular primos. Não obstante, ela é bonita! É concisa, não trivial e faz exatamente o que dela se pede: produz (todos os) primos e somente primos, embora de modo computacionalmente ineficaz. Neste livro não nos prenderemos meramente a questão estética das fórmulas. Também serão levantadas questões teóricas, conjecturas sugeridas explicita ou implicitamente. Não é nosso objetivo aqui medir a rapidez das fórmulas ou sua complexidade computacional, embora esta questão interesse a muitos matemáticos de renome.

O crivo de Eratóstenes Se estivéssemos interessados em determinar rapidamente todos os primos menores que um número dado, seria insensato usar a fórmula que vimos. Em vez disso, usaríamos o crivo. Ele consiste num algoritmo devido ao matemático grego Eratóstenes (276 a.C–194 a.C), o mesmo que fez a primeira estimativa para a circunferência da Terra. O crivo consiste em, dado um inteiro n>3, determinar todos os números primos menores que n mediante as seguintes etapas: Etapa 1: Escrevemos os números ímpares do intervalo aberto ]2, n[ em ordem crescente numa tabela; Etapa 2: Circulamos o menor número não circulado e não cortado (este número é primo); Etapa 3: Chamamos de c o maior número circulado. Se n>c2 passamos para a etapa 4. Caso contrário encerramos o algoritmo e os números primos menores que n são exatamente aqueles que não foram cortados (os circulados também são primos) e também o inteiro 2. Etapa 4: Iniciando por c2, vamos cortando os números da tabela de c em c, isto é, cortamos c2, c2+c, c2+2c etc. (cortamos estes números pois eles não são primos, por serem múltiplos de c; não precisamos cortar nenhum múltiplo de c

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menor que c2 pois eles já foram cortados antes). Nesta etapa é como se estivéssemos peneirando nossa tabela de números, por isso o nome crivo. Neste momento retorna-se à etapa 2. O crivo é um meio rápido de decidir quais números menores que um inteiro dado são primos, e quais não são. Os que não são primos se escrevem como produto de primos (com exceção de 1) e por isto chamam-se compostos. O número 1 não é considerado nem primo nem composto. É interessante notar que para os gregos antigos 1 não era nem sequer um número (veja p.1 de [15]).

As funções π , teto, chão e parte fracionária Voltemos ao crivo. Como ele nos mostra todos os primos menores que um inteiro n, é natural nos perguntarmos quantos primos há até n. Representa-se por π ( n ) a quantidade de números primos menores ou iguais a n. Assim, π (1) = 0 pois não há primos no intervalo [1,1] = {1} ; π (11) = 5 , porque no intervalo [1,11] existem 5 números primos, a saber, 2, 3, 5, 7 e 11. Sabemos que primalidade está relacionada com divisibilidade. E quando nos questionamos a respeito de divisibilidade, estamos procurando informações a respeito de alguma divisão. Por outro lado, números primos são sempre inteiros, mas muitos valores de funções não são números inteiros. Então precisamos, algumas vezes, “converter” números reais em inteiros. Por isso, duas funções que aparecem com freqüência quando se buscam fórmulas para primos são a chão e a teto. O chão de x é denotado por  x  e é o maior inteiro ≤x. O teto de x é denotado por  x  e é o menor     inteiro ≥x. Os números

 x  

e

 x  

são os únicos inteiros que satisfazem

x − 1 <  x  ≤ x ≤  x  < x + 1 . Note que chamar  x  de o chão de x e  x  de o teto de x        
está em conformidade com o que é sugerido graficamente por estes símbolos. Assim, por exemplo, 7,8 = 7 e  20, 2 = 21 . Com números negativos tem-se    

 −7, 42 = −8 =  −8,17  . Quando x é inteiro, tanto o chão quanto o teto de x igualam-se    
a x.

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Cabe notar que quando n e d são inteiros positivos, o quociente da divisão do primeiro pelo segundo é  n d  .   Uma outra função que ocorre com alguma freqüência é a parte fracionária. Ela é denotada e definida por { x} = x −  x  . Para números inteiros esta função se anula; para   reais positivos ela é muito fácil de calcular: {13,147} = 0,147 = {666,147} etc.

Uma fórmula de Willans Já podemos examinar uma segunda fórmula para primos, devida a Willans. É ela:   n pn = 1 + ∑  n  m =1  1 + π ( m )   
2n

É uma fórmula elegante, sem dúvida. Escreve-se com simplicidade e oculta a magia de sua verdade. Além disso, não dá somente infinitos primos ou todos os primos. Ela faz mais: calcula o n-ésimo número primo. Ainda assim, é uma idéia muito má calcular primos usando essa fórmula. Para se ter uma idéia do que acontece, basta fazer n=10 e espiar a expressão que obtemos.
1024  10  p10 = 1 + ∑ 10  m =1  1 + π ( m )   

O cálculo desta expressão pressupõem o conhecimento de todos os valores de

π ( m ) para m entre 1 e 1024=210. Em particular, precisaríamos conhecer o valor de π (1024 ) , que já é muito mais difícil de calcular que o próprio p10 = 29 .
Examinemos a fórmula de Willans. Como ela funciona? A idéia não é difícil de entender. Cada parcela do somatório é igual a 1 quando m < pn e é igual a 0 se m ≥ pn . Assim, no somatório para m de 1 a 1024 há pn − 1 parcelas iguais a 1, sendo nulas as demais. Com a unidade que é adicionada no início da fórmula, o valor da expressão passa a ser exatamente pn .

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Fórmulas correlatas Aproveitando a idéia da fórmula de Willans, pode-se escrever:   n pn +1 = 2 + ∑   m = 2  max ( n, π ( m ) )   
2 + n2

  n pn = 1 + ∑   m =1  max ( n,1 + π ( m ) )   
n2

 p1 = 2   1+ n 2  pn +1 = pn + ∑ m = pn  n π ( m )    

 n − π ( m)  pn = 1 + ∑   m =1  max ( n, π ( m ) )   
n2

onde, lembro,  x  denota o menor inteiro maior ou igual a x, chamado teto de x.  

O postulado de Bertrand e uma cota superior para pn
Ainda há um ponto não explicado na fórmula de Willans. Porque ele somou para m de 1 a 2n? A razão para isso é que como cada parcela do somatório não excede 1, devem haver pelo menos pn − 1 delas, pois caso contrário a fórmula daria um número menor que pn . Se somássemos, por exemplo, para m de 1 a 2n, fazendo n=10 já não teríamos o resultado correto p10 = 29 ; o somatório seria para m de 1 a 20=2×10=2n e a fórmula produziria 1+20=21<29. Em outras palavras, precisamos ter no somatório um número de parcelas que seja maior ou igual a pn − 1 . Para isso é mais que suficiente que tenhamos 2 n ≥ pn parcelas no somatório.
Há um bom argumento para mostrar que pn ≤ 2 n . Basta aplicar o postulado de Bertrand, que apesar do nome não é um postulado, mas sim uma conjectura provada por Chebyshev em 1852. Este teorema afirma que se n>1, então existe algum número primo no intervalo aberto ]n, 2n[ . Logo, existe pelo menos um primo em cada um dos n-1 intervalos disjuntos ]2, 4[ , ]4,8[ , ]8,16[ ,…  2 n −1 , 2n  , e portanto há um mínimo de n-1  

primos no intervalo  2, 2 n  . Como 2 é primo, existem pelo menos n números primos no   intervalo  2, 2 n  , isto é, pn ≤ 2 n .  

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O teorema de Wilson: congruências e fatorial
O matemático inglês Wilson, no século XVIII, provou um resultado que
caracteriza os números primos. Dá um critério, ainda que pouco prático, para

determinar se um número >1 é primo ou composto. Para enunciar este teorema, é útil conhecer a noção de congruência. Sejam a, b, c números inteiros. Dizemos que a é congruente b módulo c, e simbolizamos isto por a ≡ b mod c quando a e b tiverem o mesmo resto na divisão por
c. Ou, de modo equivalente, escrevemos a ≡ b mod c para significar que c divide
a − b . Um exemplo: 21 ≡ 9 mod 4 pois 4|(21-9), isto é, 4|12.

O fatorial de um inteiro n>1 é o produto de todos os inteiros positivos até n inclusive. Ele é denotado por n ! e definido por n ! = 1× 2 × 3 ×
3! = 1× 2 × 3 = 6 . Define-se também 0!=1!=1. × n . Assim,

Wilson demonstrou que um inteiro n > 1 é primo se, e somente se,

( n − 1) ! ≡ −1

mod n . Fazendo, por exemplo, n=5 tem-se ( 5 − 1) ! = 4! = 24 ≡ −1 mod 5 ,

logo, conforme o teorema de Wilson, 5 é primo.

Duas fórmulas para primos que utilizam o teorema de Wilson

A primeira é f ( x, y ) =

y −1  2 2   a − 1 − a − 1  + 2 , onde x e y são inteiros 2

(

)

positivos e a = x ( y + 1) − ( y !+ 1) . Tem-se:

f (1,1) = 2 ,

f (1, 2 ) = 3 ,

f ( 5, 4 ) = 5 ,

f (103, 6 ) = 7 , f ( 329891,10 ) = 11 , f ( 36846277,12 ) = 13 e de modo geral para cada

 ( p − 1) !+ 1  , p − 1 = p , donde a fórmula produz todos os primos. primo p tem-se f  p  
Usando o teorema de Wilson prova-se que essa fórmula gera somente primos. De fato, se a 2 ≥ 1 então f ( x, y ) = 2 é primo. Se por outro lado a=0 então x ( y + 1) = ( y !+ 1) donde ( y + 1) | ( y !+ 1) , isto é, y ! ≡ −1 mod ( y + 1) , e daí, tomando n=y+1 no teorema de Wilson tem-se que y+1 é primo. Ora, este é exatamente o valor de f ( x, y ) quando a=0.

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Logo, os valores de f ( x, y ) são sempre números primos, para cada par x, y de inteiros positivos. Não se trata de uma fórmula prática, entretanto. Ela tem uma “predileção muito grande pelo número primo 2”, como nos observa R. Watanabe em [2]. Além disso, mesmo para produzir primos pequenos, começamos a ter problemas com a magnitude dos números envolvidos. Um exemplo é o cômputo de p10 = 29 , que nos remete ao cálculo de 28!, um número de trinta algarismos. A segunda fórmula é f ( n ) = 2 + ( ( 2n !) mod ( n + 1) ) onde se escreve a mod b para denotar o resto da divisão de a por b. Assim, 10 mod 3 = 1 e 23 mod 4 = 3. Notar que 2n! é o dobro do fatorial de n, e não o fatorial de 2n. Deixo como exercício para o leitor verificar que se n+1 é composto então ele divide 2n!. Neste caso

( 2n!) mod ( n + 1) = 0

e

portanto

f ( n ) = 2 + ( ( 2n !) mod ( n + 1) ) = 2 + 0 = 2 é primo. Por outro lado, se n+1 é um número primo então segundo o teorema de Wilson,

n ! ≡ −1 mod ( n + 1) .

Multiplicando

por

2

e

desenvolvendo

tem-se

2n ! ≡ −2 ≡ −2 + ( n + 1) ≡ n − 1 mod ( n + 1) . Portanto n-1 é o resto da divisão de 2n! por
n+1. Assim, f ( n ) = 2 + ( ( 2n !) mod ( n + 1) ) = 2 + ( n − 1) = n + 1 é primo. Seja n+1 primo ou composto, f(n) é um número primo. Essa fórmula produz primos para todo inteiro não negativo n.

Uma fórmula de Minác para π(n)
É ela:

π ( n) = ∑ 

 ( i − 1) !+ 1  ( i − 1) !  −  i i=2   i   
n

O somatório é para i de 2 até n. Cada vez que i for primo, a respectiva parcela será igual a 1. Caso contrário será igual a zero. Então o valor do somatório será precisamente π ( n ) . Deve-se provar, portanto, que

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( *)

 ( i − 1) !+ 1  ( i − 1) !  1 se i é primo −   =  i   i   0 se i é composto  

Se i é primo então pelo teorema de Wilson

( i − 1) ! ≡ −1

mod i , isto é,

i | ( i − 1) !+ 1 , ou seja, existe q inteiro satisfazendo ( i − 1) !+ 1 = qi . Logo, se i é primo,  ( i − 1) !+ 1  ( i − 1) !   qi  qi − 1     1   −   =  −       =  q −  q − i   =  q − ( q − 1)  = 1 = 1 i    i   i  i     
Por outro lado, se i > 5 é composto então • • ou bem i = ab com 1 < a < b < i e i |1× 2 × ou bem i = p2 é o quadrado

×a×
de

×b×

× ( i − 1) ;
ímpar e

um

primo

i |1× 2 ×

× p×

×2p×

× ( i − 1) .

Em qualquer caso i | ( i − 1)! , isto é, existe um inteiro q satisfazendo ( i − 1) ! = qi donde:

 qi + 1  qi    1  1   i −  i   = q + i − q  =  i  = 0       
O caso i=4 é tratado separadamente e não oferece problema:

 3!+ 1  3!   4 −  4  = 0   
Fica assim provada a relação (*) e também a fórmula de Minác.

Os números de Fermat
O matemático amador francês Pierre de Fermat (1601-1665) acreditava que todos os números da forma Fn = 22 + 1 fossem primos, para todo inteiro não negativo n. Os números que têm essa forma são conhecidos hoje em dia como números de Fermat.
n

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Se todo número de Fermat fosse primo teríamos uma fórmula bastante sucinta e elegante que nos retornaria uma infinidade de primos. É claro que isto tiraria a maior parte do interesse no tema deste livro. Felizmente, ou infelizmente, nem todo número de Fermat é primo. De fato:
0

F0 = 22 + 1 = 3 é primo F1 = 22 + 1 = 5 é primo F2 = 22 + 1 = 17 é primo F3 = 22 + 1 = 257 é primo F4 = 22 + 1 = 65537 é primo, porém... F5 = 22 + 1 = 4.294.967.297 = 641× 6.700.417 é composto Note que F5 é suficientemente grande para inibir a verificação de sua primalidade pelas técnicas disponíveis naquele tempo. Não obstante, Leonhard Euler (1707-1783) fatorou F5 no ano de 1732, confirmando sua incrível habilidade para cálculos. Se Fn é primo ele é chamado de primo de Fermat. São conhecidos apenas cinco primos de Fermat e atualmente sabe-se que Fn é composto para n = 5, 6, 7, ..., 16 além de
outros valores. Isto refutou completamente a conjectura de Fermat e fez com que os matemáticos se perguntassem se existe apenas um número finito de primos de Fermat, ou mesmo apenas cinco.
5 4 3 2 1

Custa-nos supor que um matemático do porte de Fermat tenha feito uma conjectura baseando-se tão somente no exame de apenas cinco casos. O fato dos primeiros cinco números que levam seu nome serem primos é um indício muito fraco para se afirmar que todos os outros também são. Ele pode ter tido uma razão mais forte para fazer sua conjectura. Antes de tentar explicar isso, algumas propriedades interessantes dos números de Fermat devem ser mencionadas: (i) (ii) (iii)

F0 F1 F2

Fn = Fn +1 − 2

Se n ≠ m então mdc ( Fn , Fm ) = 1

Fn | 2 n − 2

F

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Alguns comentários: o item (i) prova-se por indução; (ii) pode ser provado a partir de (i); para provar (iii) um bom caminho é usar congruências. Note que (ii) acarreta a existência de uma infinidade de números primos. De fato, sendo os números de Fermat dois a dois coprimos, em cada um deles comparece algum fator primo que não está em nenhum dos demais. Voltemos à razão de Fermat para fazer sua conjectura. Havia uma hipótese chinesa que dizia que o inteiro n > 1 é primo se, e só se, n divide 2n-2. Sabe-se hoje em dia que isto é falso, pois Sarrus mostrou que 341 divide 2341-2, entretanto 341=31×11 não é primo. Mas naquela época Fermat não conseguiu um contra-exemplo para a hipótese chinesa. Se admitirmos que ele provou a propriedade (iii), o que é bem possível, e juntarmos a isto a hipótese chinesa, a conseqüência imediata é a primalidade de Fn. Esta explicação para a motivação de Fermat foi sugerida pelo astrônomo polonês Banachiewicz. Vale a pena mencionar que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) relacionou os números de Fermat ao problema da ciclotomia, isto é, a divisão da circunferência em partes iguais, realizada com régua e compasso. Gauss mostrou que a divisão é possível se, e só se, o número n de partes for uma potência de 2 ou o produto de uma potência de 2 por distintos primos de Fermat. Finalmente, o leitor deve notar que com sua conjectura Fermat estava, essencialmente, propondo uma fórmula para primos. Ora, se o grande matemático que foi Fermat propôs uma fórmula para primos, isto é suficiente para validar o interesse no tema. Por outro lado, tendo ele falhado em sua fórmula, isto nos mostra a dificuldade do assunto.

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Uma Função de Variável Matricial que Produz Números Primos
Introdução
Os números primos desafiam há muito tempo a engenhosidade e a imaginação do ser humano. Muitas questões interessantes podem ser levantadas, no que diz respeito à distribuição, reconhecimento e geração de números primos. Não são poucos os professores e estudantes de Matemática que desconhecem a existência de funções que geram números primos. Por outro lado, existem muitos resultados nesse sentido. A idéia central do presente trabalho não é nova. Trata-se de uma generalização dos argumentos que Euclides (séc. III a.C.), Stieltjes (1856-1894), e Métrod (em 1917) usaram em suas demonstrações de que o conjunto dos números primos é infinito (veja [4]). Basicamente essas demonstrações partem de um conjunto C de números primos para construir um número P > 1 que é relativamente primo com cada número em C. Então P admite algum fator primo que não está em C. Sob certas condições pode-se afirmar que P é primo.

Produzindo primos: uma receita
Dado um inteiro t > 1, sejam q1, q2,..., qn inteiros positivos satisfazendo: (i) (ii) mdc(qi, qj) = 1 sempre que i ≠ j; q1q2 ... qn é divisível por cada número primo menor que t.

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Sejam m inteiros positivos b1, b2,..., bm tais que (iii) cada bi pode ser escrito como o produto de potências dos números q1, q2,..., qn com expoentes inteiros não negativos; (iv) para cada j = 1, 2, ..., n, exatamente um entre os bi’s não é divisível por qj; Seja ainda si ∈ {1, −1}, i = 1, 2, ..., m. Não é difícil ver que Σsibi é relativamente primo com q1q2

qn . De fato, se p é primo e p | q1q2

qn , então pela condição (i) p

divide exatamente um entre os qi’s, digamos, q1; mas pela condição (iv), Σsibi é uma soma em que exceto uma, todas as parcelas são divisíveis por q1, e também por p. Logo Σsibi não é divisível por p nem por nenhum primo menor que t. Seja M um múltiplo de todos os primos menores que t e P = |M + Σsibi|. Como P é o módulo da soma de um número que é divisível por cada primo menor que t, com um número que não é divisível por nenhum primo menor que t, então P não é divisível por nenhum primo menor que t. Se P é composto, certamente ele não é menor que t2, pois todo natural composto menor que t2, admite algum fator primo menor que t, o que não é o caso de P. Portanto, se 1<P<t2 então P será um número primo. Se quisermos uma fórmula para primos consideramos a função h que terá valor P, caso P seja maior que 1 e menor que t2, e valor 2 caso contrário. A imagem de h é um conjunto de números primos. Por outro lado, seja qual for o valor de P várias questões podem ser levantadas a seu respeito.

Dois modos de escolher os qi 's
Pode-se escolher n-uplas q satisfazendo as condições (i) e (ii) de muitos modos. Mostrarei dois.

Primeiro modo
Sejam q1, q2,..., qn-1 primos distintos e t > 1 um número natural.

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Lema. Seja p primo, m inteiro positivo e pk ≤ m < pk+1. O expoente da maior potência
de p que divide m! é:
m  m   m   p  +  p 2  +  p3  +        m  1< p ≤ m  m  + k = ∑  c  p  c natural  p 
c

onde  x  é o maior inteiro menor ou igual a x. Em [4] e em [6] encontramos uma   justificativa para o lema. Aplicando-o teremos o expoente inteiro da maior potência do primo qj que divide

( t − 1) ! ,

e também o produto Q dessas potências, donde

qn = ( t − 1) ! Q é um possível valor para o n-ésimo termo de uma n-upla q satisfazendo
as condições (i) e (ii). De fato, qn é relativamente primo com q1, q2, ..., qn-1 e no produto q1q2...qn comparecem todos os fatores primos de (t−1)!. Portanto, as condições (i) e (ii) são satisfeitas.

Segundo modo

Faça qn =

( 2n ) ! . Não é difícil verificar que mdc ( ( 2n ) !, ( 2n − 2 ) !3 )
se n = 1 2  qn = 2n − 1 se 2n − 1 é primo 1 nos outros casos 

donde as condições (i) e (ii) ficam satisfeitas. Note que a função g ( n ) = max ( 2, qn ) já é, por si mesma, uma fórmula para primos.

Definindo matrizes adequadas: calculo dos bi ´s
Direi que uma matriz A ∈ M m×n ( » ) com termos não negativos é adequada quando cada uma de suas colunas tiver exatamente um termo nulo. Seja A = (aij) uma m por n matriz adequada e s = (s1, s2,..., sm) onde si ∈ {−1, 1} para i = 1, 2, 3,..., m. É fácil ver que se

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bi = ∏ q j ij para i = 1, 2, ... , m
a j =1

n

então os inteiros bi’s acima definidos cumprem as condições (iii) e (iv).

A matriz euclidiana
Dado um inteiro w qualquer e uma n-upla q, chamar-se-à de matriz euclidiana a matriz em blocos:

w s  1 E =  s2    sm 

q1 a11 a21

q2 a12 a22

am1 am 2

… qn  … a1n   … a2 n    … amn  

onde A=(aij) é matriz adequada; si ∈ {1, −1} ; w ∈ » ; os qi’s são dois a dois relativamente primos. A função f que nos interessa é dada por

f ( E ) = w∏q j + ∑ si ∏q j ij
a j =1 i =1 j =1

n

m

n

onde E é matriz euclidiana. Outra função que apresenta interesse é dada por

 g ( E ) = min  » ∩ ∪ n∈»∗ 
Duas fórmulas para primos

{

n

 f (E)  

}

Se 1 < P = f ( E ) < t 2 (respectivamente 1 < P = g ( E ) < t 2 ) então certamente P é primo. Caso contrário, P pode ou não ser primo. Se 1 < P < t 2 (t é um inteiro tal que em

Πqi comparecem todos os fatores primos menores que t) tome h ( E ) = f ( E )

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(respectivamente h ( E ) = g ( E ) ); se P = 1 ou P ≥ t 2 faça h ( E ) = 2 . Deste modo h ( E ) é sempre um número primo. Eis aí dois exemplos de fórmulas para primos.

Exemplos
O conjunto das matrizes euclidianas é o domínio onde está definida nossa função f. Por exemplo: 0 2 3 5 7   f  1 3 2 0 0  = 107 1 0 0 1 1   uma vez que 0×2×3×5×7+23×32×50×70+20×30×51×71=107. Note que t=11 já que escolhemos q1 = 2, q2 = 3, q3 = 5, q4 = 10! ( 283452 ) = 7 , conforme o primeiro modo. Isto significa que no produto q1q2q3q4 comparecem todos os fatores primos menores que t = 11. Como 107 < 112, tem-se que 107 é primo. Outro exemplo é o seguinte  87  1 f  −1   −1 2 3 5 77   7 0 3 0 = 61 2 2 0 2  0 2 1 1

onde q1 = 2, q2 = 3, q3 = 5, q4 = 11! ( 283452 ) = 77 foram escolhidos do primeiro modo.

A infinitude dos primos e as matrizes euclidianas
Suponha por absurdo que exista apenas um número finito de primos, sejam eles, p1, p2, ..., pr. Euclides chegou a uma contradição considerando o número PE = p1 p2

pr + 1 . De fato, algum primo pi divide PE, pois todo inteiro é pi pr ⇒ pi |1 , absurdo. Isto equivale

divisível por algum primo, logo pi | PE − p1 p2 a considerar a matriz euclidiana

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0  E = 1 1 

p1 1 0

p2 1 0

pr  1 p1  1  ou E =  1 0  0 

p2 … 0 …

pr   0 

e concluir que existe um primo diferente de p1, p2, ..., pr, a saber, qualquer fator primo de f(E). Stieltjes usou uma idéia similar. Ele considerou o número PS=m+n onde m,n são inteiros satisfazendo mn = p1 p2

pr . Note que mdc(m, n)=1, logo mdc(mn, m+n) = 1.

Portanto existe algum primo diferente de p1, p2, ..., pr, a saber, qualquer fator primo de m+n. Eis o absurdo, pois por hipótese não havia outros primos senão p1, p2, ..., pr. Isto equivale a considerar a matriz euclidiana  0 p1  S =  1 m1 1 n 1  p2 … pr   m2 … mr  n2 … nr  

onde para cada i = 1, 2, ..., r, ou mi = 1 e ni = 0, ou mi = 0 e ni = 1, isto é, os elementos da matriz adequada correspondente são zeros e uns. Nenhum fator primo de f(S) está na lista p1, p2, ..., pr, e aí reside o absurdo. A demonstração de Métrod para a infinitude dos primos considera matrizes euclidianas com mais de três linhas. Seja N = p1 p2

pr , Qi = N pi e PM = ∑ i =1 Qi .
r

Como pi divide Qj (para i ≠ j) e pi não divide Qi, então pi não divide PM. Logo nenhum dos primos p1, p2, ..., pr divide PM: absurdo. Isso equivale a considerar a matriz euclidiana

0  1 1 M = 1   1 

p1 0 1 1 1

p2 1 0 1 1

p3 … 1 … 1 0 1 … … …

pr   1 1  1   0 

em que a diagonal principal é formada por zeros somente e os outros elementos da matriz adequada correspondente são iguais a 1.

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Indícios empíricos e conjecturas

Sejam

N = p1 p2

′ pr , Qi = N pi , si ∈ {1, −1} e PM = ∑ i =1 si Qi . Pode ser
r

verificado com um sistema de computação algébrica que para cada r=2,3,4,...,149,

′ existe alguma r-upla ( s1 , s2 ,… , sr ) ∈ {1, −1} tal que PM é um número primo. É lícito
r

conjecturar, portanto:

 0 p1   ±1 0  ±1 1 f  ±1 1    ±1 1 

p2 1 0 1 1

p3 … 1 … 1 0 1 … … …

pr   1 1  1   0 

é um número primo para cada r > 1 e alguma escolha conveniente entre +1 e -1 na primeira coluna da matriz euclidiana. Ainda com um sistema de computação algébrica pode-se verificar que para r=2,3,4,...,144, é suficiente tomar todas, exceto no máximo duas parcelas do somatório

′ ′ PM = ∑ i =1 si Qi negativas para que PM seja um primo. Estes indícios experimentais nos
r

levam a uma conjectura mais forte que a anterior: se N é o produto dos n primeiros números primos e Qi = N pi então ou a soma trocarmos o sinal de algum Qi, a soma

∑Q

i

é um número primo, ou se

∑Q

i

passa a ser um número primo (isso não

funciona para n=44, 53, 67, 93, 96, 98, 120, 128, 132, 141,...) ou trocando o sinal de dois Qi’s, a soma será um número primo. Por exemplo, para n=2, 2+3=5 é primo; para n = 3, 2×3+2×5+3×5=31 é primo; para n=4, 2×3×5+2×3×7+2×5×7-3×5×7=37 também primo. Para n=44, 53, 67 etc precisamos trocar o sinal de dois Qi’s para obter um primo. As evidências experimentais (verificou-se para 4<n≤15) indicam que cada número primo p satisfazendo
2 pn +1 ≤ p < pn +1 é fator de alguma f(Bq), onde

q=(p1, p2,..., pn), n > 4 e Bq é uma matriz euclidiana com matriz adequada correspondente formada só por zeros e uns.

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Funções que Geram Números Primos
Introdução
Os números primos fascinam muitos dos que estudam Matemática. Um dos motivos é que o conceito de número primo surge cedo na vida do estudante e, sendo muito fácil definir o que são números primos, é difícil encontrar funções que os gerem. Por outro lado algumas funções que produzem números primos tem sido obtidas por matemáticos como Willans, Ernvall, Sierpinski, Gandhi entre outros. O problema de obter funções que geram números primos já despertou, portanto, o interesse de vários matemáticos. No presente trabalho estudamos funções zm ( n ) que satisfazem

n é primo ⇔ n não divide zm ( n )
A partir daí deduzimos fórmulas para primos e para π ( n ) .

Caracterizando Números Primos
Fixado um certo inteiro positivo m, seja

N m = { n ∈ » | n ⊥ m !}
onde a notação a ⊥ b significa que mdc(a, b) = 1. Seja ainda (ni) a sucessão crescente formada pelos elementos de Nm. Note que n1 = 1 e n2 é o menor número primo maior que m. Será útil definir o mmc de um único inteiro positivo como ele próprio, isto é, mmc(n) = n. Considere a função zm : N m → » tal que

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zm ( n j ) = mmc { ni ∈ N m | i ≤ j e ni não é primo} Gostaríamos de provar que nj é primo se e somente se nj não divide zm(nj). Fazendo isso teremos uma caracterização dos números primos que pertencem a Nm. Se nj não é primo é claro que n j ∈ {ni ∈ N m | i ≤ j e ni não é primo} , e portanto nj divide zm(nj). Logo se nj não divide zm(nj) então nj é primo. Mostraremos agora que se nj é primo então nj não divide zm(nj). Suponha que nj é primo. Nesse caso nj não divide nenhum produto de inteiros positivos menores que nj. Como zm(nj) pode ser escrito como um produto de inteiros positivos menores que nj, então nj não divide zm(nj). Logo, se nj é primo então nj não divide zm(nj). Ficou provado que nj é primo se e só se nj não divide zm(nj), e isto caracteriza os números primos que pertencem a Nm. Portanto, se N pode ser fatorado como produto de inteiros menores que nj, então nj é primo se e somente se nj não divide Nzm(nj). Note que i≤j acarreta zm(ni)|zm(nj) pois enquanto zm(ni) é o mmc de um conjunto de números C, zm(nj) é o mmc de um conjunto de inteiros que contém o conjunto C.

O Cálculo de zm(nj) e a caracterização dos primos em Nm
Seja

S = S ( n, m ) = { s ∈ » |1 ≤ s ≤ n e s ⊥ m ! e s não é primo} ,
n = nj e q = n2 o menor número primo maior que m.

z = zm ( n ) = mmc { s | s ∈ S} ,

Mostrarei que nenhum primo p satisfazendo pq>n ou p<q divide z. Se p<q então p ≤ m e portanto p não divide nenhum elemento de S, donde p não divide z. Suponha que p ≥ q . Como pq é o menor número composto em Nm ⊃ S que é divisível por p, se n < pq não há nenhum elemento em S = S ( n, m ) divisível por p e portanto p não divide z. Ficou provado que se p é primo satisfazendo n < pq ou p < q então p não divide z. Logo, se p divide z então q 2 ≤ pq ≤ n . Suponha q 2 ≤ pq ≤ n . Como nenhum elemento de S é maior que n, se n < p2 então todo elemento de S é menor que p2 e p2 não divide nenhum s ∈ S . Por outro lado, p divide pq ∈ S , logo p1 é a maior potência de p que divide z. Se p 2 ≤ p b ≤ n < p b +1 , com b inteiro positivo, pb+1 não divide nenhum s ∈ S , pois todo elemento de S é menor

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ou igual a n < p b +1 . Mas pb divide pb ∈ S , logo pb é a maior potência de p que divide z. De qualquer modo o expoente inteiro da maior potência de p que divide z é log p n  .   Isto é, a maior potência de p que divide z é a maior potência de p menor ou igual a n. Portanto

zm ( n ) = ∏ p primo p 
onde adotamos a convenção

q 2 ≤ pq ≤ n

log p n  

∏

q∈∅

q = 1 (produto vazio). Chegamos ao seguinte

Teorema 1. Sejam m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! , q o menor número
primo maior que m, e N um produto qualquer de inteiros positivos menores que n. São equivalentes: (i) (ii)

n é um número primo n não divide N ∏ p primo p 
q 2 ≤ pq ≤ n log p n  

onde p 

 log p n  

é a maior potência inteira de p menor ou igual a n e Πq∈∅ q = 1.

Corolário 1.1. Sejam l, m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! e n ≤ l < nq , onde q
é o menor número primo maior que m e N um produto qualquer de inteiros positivos menores que n. São equivalentes: (i) (ii)

n é um número primo n não divide N ∏ p primo p 
q 2 ≤ pq ≤l log p l  

De fato, como n ≤ l , zm(n) divide zm(l). Portanto, se n não é um número primo então n divide zm(l). Por outro lado, se n é primo e se n ≤ l < nq então zm(l) é um produto de primos menores que n, donde n não divide zm(l).

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Corolário 1.2. Sejam l, m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! e n ≤ l < nq , onde q
é o menor número primo maior que m. Sejam ainda M um produto qualquer de inteiros positivos menores que n e T um teste de primalidade, um algoritmo que tenha por entrada um inteiro b≥q e diga algo sobre a primalidade de b. Direi que T(b) = 0 se o algoritmo T provar que b é, com certeza, um número composto; e direi que T(b) = 1 nos outros casos. São equivalentes: (i) (ii) n é primo
  n não divide M ∏ b = q bT ( b ) logb l  l q

A demonstração segue de uma escolha adequada de N no corolário 1.1. Na tabela abaixo vemos que para cada m = 1, 2, 3, 5 e cada i=1,2,...,25, ni é primo se e só se ni não divide zm(ni). Isso exemplifica o Teorema 1 para N = 1.

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m=1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 z1(ni) 1 1 1 4 4 12 12 24 72 360 360 360 360 2520 2520 5040 5040 5040 5040 5040 5040 55440 55440 55440 277200 ni 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

m=2 z2(ni) 1 1 1 1 9 9 9 45 45 45 315 315 1575 4725 4725 4725 51975 51975 51975 675675 675675 675675 675675 675675 4729725 ni 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73

m=3 z3(ni) 1 1 1 1 1 1 1 1 25 25 25 175 175 175 175 175 1225 1225 13475 13475 13475 175175 175175 175175 175175 ni 1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91

m=5 z5(ni) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49 49 49 49 49 49 49 539 539 539 539 7007

Duas fórmulas

Sejam  x  e  x  o chão e o teto de x, definidos como os únicos inteiros tais     que x − 1 <  x  ≤ x ≤  x  < x + 1 . Tomando m=N=1 no teorema 1 tem-se o    

corolário 1.3. Seja n um inteiro positivo. Então n é primo se, e só se, n não divide

R1 = ∏ p≤ n 2 p 
Portanto

p primo

log p n  

.

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[ A]

 R1   R1  1,  n  −  n  = 0,     

se n é primo caso contrário

Por outro lado, tomando l=n e m=M=T(b)=1 no corolário 1.2, tem-se o

Corolário 1.4. Seja n um inteiro positivo. Então n é primo se e só se n não divide
 R2 = ∏ b = 2 b 

n2

logb n  

.

Portanto

[ B]

 R2   R2  1,  n  −  n  = 0,     

se n é primo caso contrário

Donde, conforme [A] e [B], para i=1,2 as funções

R  R  fi ( n ) = 2 + ( n − 2 )   i  −  i    n   n 
produzem todos os primos e apenas primos. De fato se n não é primo, f(n)=2; mas se n é primo, então f(n)=n.

Um teorema correlato
Temos investigado funções z tais que dado n no domínio de z, n é primo se e só se não divide z(n). Examinaremos agora outros exemplos de funções que satisfazem a esta propriedade e as fórmulas correspondentes para π(n) e pn.

Proposição 1. Um inteiro n ≥ 10 é primo se e somente se n não divide  n 2 ! .  

Prova. Se n é primo é claro que n não divide  n 2 ! . Suponha que n é composto. Se n  
pode ser escrito como produto de inteiros distintos maiores que 1 acabou, pois cada um

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desses fatores distintos é menor ou igual a  n 2 , donde n divide  n 2 ! . Se n não     pode ser escrito como produto de inteiros distintos maiores que 1 então n = p2 para algum número primo p. Daí e como n ≥ 10 por hipótese, vale 4 < p , donde 2 p < p 2 2 , isto é, 2 p < n 2 , portanto p < 2 p ≤  n 2  e n = p2 divide  n 2 ! .    

Proposição 2. Um inteiro positivo n é primo se e somente se n não divide

 n 2 ! + 2δ n 4 + 3δ n 9  

Prova. O caso n ≥ 10 é a proposição 1. Para n < 10 a proposição 2 pode ser verificada
caso a caso. Portanto para qualquer inteiro positivo j vale:

 R3   R3  1,  j  −  j  = 0,     
n  R  R  logo π ( n ) = ∑   3  −  3   j =1   j   j 

se j é primo caso contrário

Três funções para o n-ésimo primo
Seja f(i,n) = max(sgn(n–π(i)), 0). É fácil ver que f(i,n) = 1 se i < pn e f(i,n) = 0 se

i ≥ pn . Se α é uma função que satisfaz α ( n ) ≥ pn para todo inteiro positivo n, por
exemplo, α(n)=2+2nlog n, então pn = 1 + ∑i =(1 ) f ( i, n ) , isto é:
α n
 2 + 2 n log n   

pn = 1 +

∑
i =1

i   R  i R   max  sgn  n − ∑  t  + ∑  t   , 0    j =1  j  j =1  j     

onde Rt, com t=1,2,3, é dado como anteriormente; pn é o n-ésimo número primo; max(u,v) = (u + v + |u – v|) / 2 é o máximo entre os números u e v.

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4
Quatro Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos
Idéias iniciais

Sejam  x  e  x  o chão e o teto de x respectivamente. Os números  x  e  x          são os únicos inteiros que satisfazem x − 1 <  x  ≤ x ≤  x  < x + 1 . As igualdades    

 x  = x =  x  somente ocorrem se x é inteiro. Caso contrário,  x  −  x  = 1 . Logo          k   k  0 se n divide k  n  −  n  = 1 se n não divide k     
Também é fácil mostrar que −  x  =  − x     

O produto vazio
O produtório

∏ (…)
m=a

b

para b < a e qualquer expressão entre parênteses é chamado de

produto vazio, uma vez que nele não comparecem fatores. Tem-se

∏ (…) = 1
m =a

b

pois o

produto de “número nenhum” tem o hábito de ser =0, como em x0 = 1 ou em 0! = 1. Um bom argumento neste sentido é a série de Taylor para exp(0):

xn 00 01 02 exp ( x ) = ∑ logo, 1 = exp ( 0 ) = + + + … = 00 0! 1! 2! n =0 n !
∞

Daí, valem as igualdades

∏ (…) = ∏ (…) = ∏ (…) = 1 sempre que b < a .
m=a m m∈∅

b

a ≤ m ≤b

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Fórmula 1. Seja f a função dada por:
2n  1 f ( n ) = − log 2 ∑ k k = n +1 2 

∏   m  −  m      
m =2

n

  k   k   

então f(n) é o menor número primo maior que n. Além disso,
2n  1 f ( n ) = log1 2 ∑ k k = n +1 2 

∏   m  −  m      
m =2

n

  k   k   

Prova. Se n = 1 então

∏ (…) = 1 , portanto
m= 2

n

2  1 f (1) = − log 2 ∑ k k =2 2 

∏   m  −  m   = − log     
m= 2

1

  k   k   



2

1 =2 22  

Assim, para n = 1 a função f retorna o menor primo maior que n, sendo a proposição verdadeira neste caso. Suponha n ≥ 2 . Seja k um inteiro no intervalo

( n, 2n ] . Se k é composto ele tem um divisor
k  k   d  −  d  = 0 e assim    

d ∈ [ 2, n] , donde

∏ m  − m   = 0    
m =2

n

 k   k 

Se k é primo, então para todo inteiro m ∈ [ 2, n ] vale:

k  k   m  −  m  = 1 e portanto    

∏ m  − m   =1    
m= 2

n

 k   k 

Ficou provado que se 2 ≤ n < k ≤ 2n então:
n   k   k   1 se k é primo g ( k, n) = ∏    −    =   m   0 caso contrário m =2   m 

Em 1845 o matemático francês Bertrand conjecturou que para todo inteiro n > 3, existe algum primo p tal que n < p < 2n − 2 . Esta afirmação ficou conhecida como

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postulado de Bertrand, apesar de não ser um postulado, mas sim um teorema demonstrado por Chebyshev em 1852. Uma proposição mais fraca, porém esteticamente mais interessante, e que as vezes também é chamada de postulado de Bertrand, nos afirma que para todo inteiro n>1, existe algum primo no intervalo ( n, 2n ) . Por maior motivo sempre existe algum número primo no intervalo ( n, 2n ] , qualquer que seja o inteiro positivo n. Seja p o menor primo no intervalo ( n, 2n ] . Então p é o menor primo maior que n. Mostrarei que f(n) = p. Primeiro note:
2n 1 1 1 1 = p g ( p, n ) ≤ ∑ k g ( k , n ) = parcelas … + p g ( p, n ) + … parcelas p 2 2 2 k = n +1 2

por outro lado, pela minimalidade de p tem-se:
2n ∞ 1 1 1 2 g ( k, n) = ∑ k g ( k, n) < ∑ k = p ∑+1 2k 2 k =n k= p 2 k=p 2 = 0 se k não é primo 2n

logo
2n 1 1 2 ≤ ∑ k g ( k, n) < p p 2 2 k = n +1 2

tomando o logaritmo na base 2 ter-se-á

− p ≤ log 2

1 ∑+1 2k k =n

2n

∏  m  −  m   < 1− p    
m= 2 g ( k ,n)

n

 k   k 

assim
2n  1 − p = log 2 ∑ k k = n +1 2 

∏   m  −  m      
m =2

n

  k   k   

donde
2n  1 f ( n ) = − log 2 ∑ k k = n +1 2 

∏   m  −  m   = p    
m =2

n

  k   k   

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Portanto f(n) = p é o menor primo maior que n. De forma equivalente, aproveitando que − log 2 x  =  − log 2 x  = log1 2 x  , tem-se também      
2n  1 f ( n ) = log1 2 ∑ k k = n +1 2 

∏   m  −  m   = p    
m =2

n

  k   k   

Fórmula 2. Seja g a função dada por
n 2n    k   k   g ( n ) =  log 2 ∑ 2k ∏    −      m   k = n +1 m =2   m  

então g(n) é o maior primo menor ou igual a 2n. A prova da fórmula 2 é inteiramente similar à da fórmula 1.

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5
Outras Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos
A função de µ Mobius
Ela é definida por

µ (1) = 1
e
0 se existe p primo tal que p 2 divide n  µ (n) =  k ( −1) caso n seja o produto de k primos distintos 

Fórmula 1. Seja n um inteiro positivo qualquer e n# o produto de todos os números
primos no intervalo [1,n]. Então o menor primo maior que n é dado por

 f ( n ) = log1 2 
ou, o que é o mesmo,

 1 µ jn #  j j = n +1 2 

∑

2n

( )

 f ( n ) = −  log 2 
Prova. Para n = 1 tem-se

 1 µ jn #  j j = n +1 2 

∑

2n

( )

 f (1) = log1 2 

j =1+1

∑2

2×1

1
j

µ ( j1# )  = log1 2




 

1 1   µ ( 2 )  = log1 2 2  = 2 2 2 2   

Isto confirma a fórmula neste caso. Note que 1# = 1, pois 1# = Π x∈∅ x é produto vazio que, como se sabe, é igual a 1. Suponha n > 1 e seja p o menor primo maior que n. Seja ainda

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S=

1 µ ( jn # ) j j = n +1 2

∑

2n

O postulado de Bertrand afirma que existe pelo menos um primo no intervalo

( n, 2n − 2 ) , para todo inteiro n > 3. Esta afirmação é verdadeira de fato e nos garante
que p < 2n. Pela minimalidade de p, se n < j < p então j é composto. Como j < p e p < 2n então j < 2n donde j, sendo composto, tem um fator primo q no intervalo [ 2, n ] . Então q | j e q | n # e daí q 2 | jn # , donde µ ( jn # ) = 0 para todo inteiro j ∈ ( n, p ) . Assim
1 <S= 2p 1 1  alguns inversos de  2 µ jn # = 0 + … + 0 + p +  < j 2  potências de 2  2 p j = n +1 2 n< j < p

∑

2n

( )

µ jn # = 0

( )

∴

1 1 < S < p −1 p 2 2

aplicando o logaritmo na base ½ tem-se p − 1 < log1 2 S < p logo log1 2 S  = p   isto é

 f ( n ) = log1 2 
Como queríamos demonstrar.

 1 µ jn #  j j = n +1 2 

∑

2n

( )

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Fórmula 2. Seja n um inteiro positivo qualquer e n# o produto de todos os números
primos no intervalo [1,n]. Então o maior primo menor ou igual a 2n é dado por

 g ( n ) = log 2 

j = n +1

∑ 2 µ ( jn ) 
j
#

2n

 

A prova da fórmula 2 é inteiramente análoga à da fórmula 1.

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6
Uma Aplicação da Análise à Teoria dos Números
Introdução.
Neste trabalho pressuponho que o leitor esteja familiarizado com certos conceitos da Análise, como sucessões, séries e convergência. Alguns teoremas da Análise Real são enunciados à medida que se tornam necessários para a compreensão do texto. Usando definições e teoremas da Análise, caracterizarei os números primos. Com essa caracterização construirei uma função que, dado n, fornece o valor de π(n), isto é, a quantidade de números primos menores ou iguais a n. Também construirei uma função cuja imagem é o conjunto dos números primos. Ora, esses resultados são de interesse da Teoria dos Números. Eles são estudados aqui utilizando-se teoremas e definições da Análise Real. Portanto, este artigo é um exemplo de como dois ramos distintos da Matemática podem relacionar-se.

Seqüências duplas
A seguinte definição será muito importante para o desenvolvimento deste trabalho.

Definição 1. De acordo com LIMA (1976, p. 304) “Uma seqüência dupla (xnk) é uma
função x : » × » → » que associa a cada par (n, k) de números naturais um número real xnk.” Podemos imaginar os números xnk dispostos numa tabela que se estende infinitamente para a direita e para baixo. Assim, os índices n e k em xnk indicam que esse número real ocupa a n-ésima linha e a k-ésima coluna da tabela.

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Observação
Considere a seqüência dupla (xnk) definida por

1 − 1 2n se n = k  xnk = −1 + 1 2n se n + 1 = k 0 nos outros casos 
A representação em tabela de (xnk) é a seguinte:
1 2 0 0 0 0 0 ↓ 1 2 − 1 2 3 4 0 0 0 0 ↓ 1 4 0 − 3 4 7 8 0 0 0 ↓ 1 8 0 0 − 7 8 15 16 0 0 ↓ 1 16 0 0 0 − 0 0 0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 0

15 0 16 31 31 − 32 32 63 0 64 ↓ 1 32 ↓ 1 64

A soma de cada linha é 0 logo Σ n ( Σ k xnk ) = Σ n 0 = 0 . Por outro lado, a soma dos elementos da k-ésima coluna é 1/2k, logo Σ k ( Σ n xnk ) = Σ k 1 2 k = 1 . Assim, dada uma seqüência dupla (xnk), mesmo que as séries Σ n ( Σ k xnk ) e Σ k ( Σ n xnk ) convirjam, não é necessariamente verdadeiro que Σ n ( Σ k xnk ) = Σ k ( Σ n xnk ) .

Uma certa seqüência dupla
Examinemos a seqüência dupla (ynk) definida por:

 x k se n divide k e n ≠ 1 ynk =  0 caso contrário

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Representarei alguns termos dessa seqüência dupla na tabela que se segue: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 2 0 x2 0 0 0 0 0 0 0 ... 3 0 0 x3 0 0 0 0 0 0 ... 4 0 x4 0 x4 0 0 0 0 0 ... 5 0 0 0 0 x5 0 0 0 0 ... 6 0 x6 x6 0 0 x6 0 0 0 ... 7 0 0 0 0 0 0 x7 0 0 ... 8 0 x8 0 x8 0 0 0 x8 0 ... 9 0 0 x9 0 0 0 0 0 x9 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

k n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

A primeira linha (n = 1) é só de zeros, logo n-ésima linha, com n > 1, vale:

∑

k

y1k = 0 . É fácil ver que para a

∑y
k

nk

= x n + x 2 n + x 3n + x 4 n + … =

xn 1− xn

sempre que x ∈ ( −1,1) . Definirei a função L : ( −1,1) → » como a soma dos termos da seqüência dupla (ynk) linha por linha, isto é:

  ∞ xn L( x ) = ∑  ∑ y nk  = ∑ n n  k  n=2 1 − x
precisamos verificar se a função L está bem definida, ou seja, se a série do lado direito da igualdade converge. Mas antes lembro uma definição: uma série ∑ an é absolutamente convergente quando a série formada pelo valor absoluto de seus termos converge, isto é, a série ∑ an é absolutamente convergente quando ∑ an converge. Lembro também que toda série que converge absolutamente é convergente.

Proposição 1: Se lim n a n < 1 então a série ∑ an converge (absolutamente).
n→∞

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Podemos agora mostrar que a série L(x ) = 0 + converge (absolutamente). De fato x xn = = x <1 n 1− x lim n 1 − x n
n→∞

x2 x3 x4 + + + 1 − x2 1 − x3 1 − x4

lim n
n→∞

portanto a função L : ( −1,1) → » está bem definida. Definirei agora a função C : ( −1,1) → » como a soma dos termos da seqüência dupla (ynk) coluna por coluna, isto é, C ( x ) = ∑ k ( ∑ n ynk ) . Pela observação feita neste artigo, não é evidente que C(x) = L(x). É aí que entra a

Proposição 2. Conforme LIMA (1976, p. 305), “Dada a seqüência dupla (xnk),
suponhamos que cada linha determine uma série absolutamente convergente, isto é,

∑ k xnk = an

para

cada

n.

Admitamos

ainda

que

∑ n an < +∞ .

Então

∑ n ( ∑ k xnk ) = ∑ k ( ∑ n xnk ) .”

Utilizando a proposição 2, vamos provar que C(x) = L(x). A primeira linha da seqüência dupla (ynk) é só de zeros, logo a série determinada por ela converge absolutamente (para zero). Para todo x ∈ ( −1,1) e para cada n = 2, 3, 4, ... é fácil ver que xn 1− xn

∑y
k

nk

= x + x
n

2n

+ x

3n

+ x

4n

+

=

portanto, toda linha da seqüência dupla (ynk) determina uma série absolutamente convergente sempre que |x| < 1. Para que as condições da proposição 2 sejam satisfeitas, resta mostrar que ∑ n ∑ k ynk < +∞ . De fato:

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∑∑ y
n k

nk

=∑ x + x
n n= 2

∞

(

2n

+ x

3n

+ x

4n

+

)= ∑
∞

xn 1 − xn

= L( x ) < +∞

n=2

∴ ∑ ∑ y nk < +∞
n k

Assim, de acordo com a proposição 2, podemos afirmar que C(x) = L(x). Por outro lado não é difícil ver que C ( x ) = ∑ k ∑ n ynk = Σ ∞=1 ( d ( k ) − 1) x k , onde d(k) é o k número de divisores positivos de k. Como C(x) = L(x), a expansão em série de Taylor de
L(x) em torno de x = 0 é Σ ∞=1 ( d ( k ) − 1) x k . Assim, pela unicidade da série de Taylor, se k

a sucessão (cn) satisfaz

L( x ) = ∑

xn = c 0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 + … + c k x k + n n=2 1 − x

∞

para todo x ∈ ( −1,1) , então c0 = 0 e ck = d(k) – 1 para k > 0.

Lema. Se a função g : ( −1,1) → » é consistentemente definida por g ( x ) = ∑ an x n ,
então para cada número natural n a n-ésima derivada de g é obtida pela sucessiva derivação termo a termo da série ∑ an x n .

É fácil ver que L(0) = c0. Aplicando o lema acima, podemos derivar L sucessivamente e obter L’(0) = c1, L’’(0) = 2c2, L’’’(0) = 6c3, L(4)(0) = 24c4, ...,
L(k)(0) = k!ck, ..., portanto

L( x ) = L(0) + L ′(0 )x +

1 1 L ′′(0 )x 2 + L ′′′(0)x 3 + 2! 3!

+

1 (k ) L (0)x k + k!

Assim, os valores de c1, c2, c3, ... ficam determinados a partir dos valores das derivadas sucessivas da função L no ponto 0. Especificamente tem-se que

ck = L( k ) ( 0 ) k ! .

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Caracterizando números primos
Sabemos que um número natural k é primo se e só se d(k) = 2; sabemos também que ck = d(k) – 1 e que ck = L( somente se ck = 1, isto é, se L(
k) k)

( 0)

k ! . Logo, um inteiro positivo k é primo se e L( k ) ( 0 ) > k ! .

( 0 ) = k ! . Se k for composto então ck > 1 e

Portanto, sendo u  o único número inteiro satisfazendo u  ≤ u < u  + 1 , vale:      
 1  n  k!    = ∑  (k ) ( 0)  k = 2  ck  k =2  L  
n

π (n) = ∑ 

onde π(n) é o número de primos p tais que 2 ≤ p ≤ n . Além disso o conjunto dos números primos é a imagem da função f definida para os inteiros maiores que 1 e dada por
 n!  1 f ( n ) = 2 + ( n − 2 )   = 2 + ( n − 2 )  ( n)   L ( 0)   cn   

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7
Relacionando Números Primos e Binomiais
Introdução
Neste artigo o estudo da função g ( n ) = mdc ( Cn ,1 , Cn ,2 ,… Cn ,n −1 ) nos conduzirá à uma fórmula que produz todos os números primos e apenas primos. Provar-se-á que

g ( n ) = 1 se n tiver pelo menos dois fatores primos distintos e g ( n ) = p se n = p m para
algum primo p e algum inteiro positivo m. Portanto, o conjunto dos números primos é igual à imagem da função f ( n ) = max ( 2, g ( n ) ) . Aproveitando que Cn ,r = Cn ,n − r mostra-se que o conjunto dos primos coincide, também, com a imagem da função

   2 n + 1   2 n + 1   2n + 1    f ( n ) = max  2, mdc   ,  ,…      1   2   n  
A função Λ Von Mangoldt é importante em Teoria dos Números. Ela é definida por

log p, se n é potência do primo p Λ ( n) =  0, caso contrário
Uma conseqüência imediata do teorema demonstrado no presente trabalho é que

Λ ( n ) = log g ( n ) .

Uma função útil
Todo número racional pode ser escrito como produto de potências de números primos com expoentes inteiros. Assim,

21 160 = 2−5315−171110130170

e

1 77 9 = 203−2507111130170190

As provas das proposições 1 e 2 que se seguem serão

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facilitadas pelo uso da funções ν p : » → » . O inteiro ν p ( b ) é o expoente do primo p na representação do racional b como produto de potências de números primos. O leitor deve se convencer de que, fixado um primo p qualquer, a função ν p satisfaz as seguintes propriedades para todos os racionais x, y, z, ..., w, todos os inteiros
a, b, c,..., n.

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x)

ν p ( xyz

w ) = ν p ( x ) +ν p ( y ) +ν p ( z ) + … +ν p ( w )

ν p ( pn ) = n

ν p ( n ) = 0 se e só se p não divide n ν p ( x y ) = ν p ( x ) −ν p ( y )
ν p ( mdc ( a, b, c,… , n ) ) = min (ν p ( a ) ,ν p ( b ) ,ν p ( c ) ,…ν p ( n ) )
Se ν p ( a ) ≠ ν p ( b ) então ν p ( a ± b ) = min (ν p ( a ) ,ν p ( b ) )

ν p ( −a ) = ν p ( a ) ν p (a) ≥ 0
Se 1 ≤ a < p n então ν p ( a ) < n

ν p ( a !) = ∑ t > 0  a p t   

onde nesta última igualdade  x  é o maior inteiro menor ou igual a x.   No que se segue usar-se-á g ( n ) = mdc ( Cn ,1 , Cn ,2 ,… Cn ,n −1 ) .

Três lemas Lema 1. Seja n um inteiro positivo. Se n tem pelo menos dois fatores primos distintos
então g ( n ) = 1 .

Prova. Como g ( n ) divide n = Cn ,1 , todo fator primo de g ( n ) é também fator de n.
Para provar que g ( n ) = 1 basta mostrar que g ( n ) não é divisível por nenhum fator

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primo de n. Farei isso tomando um fator primo p genérico de n e mostrando que

ν p ( g ( n ) ) = 0 . Suponhamos que ν p ( n ) = v :

0 ≤ ν p ( g ( n ) ) = min ν p ( Cn,1 ) ,ν p ( Cn,2 ) ,… ,ν p ( Cn, n −1 ) ≤  p −1 n − u   n ≤ν p  v  =ν p  ∏ v =  u =0 p − u   p   
v

(

)

p v −1 u =0

∑ν

p

 n−u   v =  p −u 

=

∑ (ν ( n − u ) −ν ( p
p p u =0

p −1

v

v

−u

)) =
v p

= ν p ( n ) −ν p p
p v −1 u =1

(

( ) ) + ∑ (ν ( n − u ) −ν ( p
v p u =1

p v −1

−u

)) =

= ( v − v ) + ∑ min (ν p ( n ) ,ν p ( u ) ) − min ν p p v ,ν p ( u ) =
p v −1

(

( ( )

))

=

∑ (ν ( u ) −ν ( u ) ) = ∑ 0 = 0
p p u =1 u =1

p v −1

∴0 ≤ν p ( g ( n)) ≤ 0 ∴ν p ( g ( n ) ) = 0 para cada fator primo p de n. Logo g(n) = 1.

Lema 2. Suponha que n = pv, p primo e v inteiro positivo. Então p divide g(n).
então g(n) = ps com s inteiro e 0 ≤ s ≤ v. Seja

Prova. Como

Cn ,1 = n = p v

r ∈ {1, 2, 3, ..., n – 1}, r = kpt onde p não divide k ∈ » e t < v.

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νp

   pv  pv ! = =ν p  v   p − r !r !   r   

(

)

= ν p pv ! − ν p

( )

( ( ( p − r ) !) +ν
v

p

( r !) ) =

v  pv   v  pv − r  v  r   = ∑ t  −∑ t  + ∑ t  >  p  t =1  p   t =1  p   t =1  

>∑
t =1

v

=∑
t =1

v

pv  v pv − r v r  −∑ +∑ t  = p t  t =1 pt t =1 p  pv v pv −∑ =0 p t t =1 p t

Ficou provado que para cada r = 1, 2, 3, ..., n – 1 vale ν p ( Cn ,r ) ≥ 1 , isto é, p divide Cn ,r . Portanto p divide g(n).

Lema 3. Suponha que n = pv, p primo e v inteiro positivo. Então p2 não divide g(n). Prova.

ν p ( g ( n ) ) = min (ν p ( Cn ,1 ) ,ν p ( Cn ,2 ) ,… ,ν p ( Cn , n −1 ) ) ≤
 pv −1 −1 p v − u   n  = ≤ ν p  v −1  = ν p  ∏ v −1  u =0 p − u  p   
p v −1 −1 pv −1 −1 u =0

∑ν

 pv − u  = p v −1  p −u 

=

∑
u =0

(ν ( p
p

v

− u −ν p p v −1 − u

)

(

)) =
v

= ν p p v −ν p p v −1 + = v − ( v − 1) +
pv −1 −1 pv −1 −1

( )

(

) ∑ (ν ( p
p u =1 v p

p v −1 −1

− u −ν p p v −1 − u

)

(

)) =
v −1 p

∑
u =1

( min (ν
p

( p ) ,ν ( u ) ) − min (ν ( p ) ,ν ( u ) ) ) =
p p p v −1 −1

= 1+

∑ (ν ( u ) −ν ( u ) ) = 1 + ∑
p u =1 u =1

0 = 1+ 0 = 1

∴ν p ( g ( n ) ) ≤ 1 .

Logo p2 não divide g(n).

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Observação 1. Dos lemas 2 e 3 concluímos que g(n) = p sempre que n é potência do
primo p.

Proposição. Se n é um inteiro positivo, vale:
 n n n  n   p mdc    ,   ,   ,… ,   =   n − 1   1  1  2  3 se p é primo e n = p v , v ∈ »* caso contrário

A demonstração segue diretamente do lema 1 e da observação anterior.

Observação 2. Seja m o maior inteiro menor ou igual à metade de n. Desde que dois
números binomiais complementares são iguais, isto é

 x  x  =  y  x −   
tem-se

  y 

 n  n  n  n   n  n  n  n  mdc  ,  ,  , …    = mdc  ,  ,  , … ,   1  2  3  n − 1    1   2  3  m                  
Uma fórmula para os números primos
De acordo com a proposição e a observação 2, uma fórmula que produz todos os números primos e apenas primos é:
f ( n ) = max ( 2, g ( 2n + 1) )

isto é

   2n + 1  2n + 1  2n + 1  2n + 1    ,  ,  , … ,  f (n ) = max 2, mdc   n    1   2   3         
onde a função f está definida no conjunto dos inteiros positivos e assumimos que mdc(a) = a para todo inteiro positivo a. É fácil ver que o conjunto dos números primos

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é a imagem da função f dada acima. De fato, quando 2n+1 admite dois ou mais fatores primos distintos, f(n) = 2; quando 2n+1 é potência de um primo p, f(n) = p.

A função de Von Mangoldt
Ela é denotada é definida por:

log p se n = p v , para algum primo p e algum inteiro v ≥ 1 Λ ( n) =  caso contrário 0
onde log é a função logaritmo natural. Conforme a proposição demonstrada, fica claro que:

n  n n  n  Λ (n ) = log mdc  ,  ,  , … ,   n − 1   1  2  3        
A função de Von Mangoldt tem propriedades interessantes que as relacionam com outras funções importantes da Teoria dos Números, como a função zeta de Riemann e a função de Chebyshev.

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8
Uma Função que Produz Infinitos Números Primos
Introdução
Mostrar-se-á no presente artigo que existe b real entre 5 e 5 + ¾, tal que todos os termos da sucessão
b bb b  , b  , b  ,… são números primos, onde  x  é o maior          

inteiro menor ou igual a x. Resultados similares foram obtidos por Mills em 1947 e por Wright em 1951.
n Mills mostrou que existe θ real tal que θ 3  é um número primo para todo inteiro    

positivo n. Wright provou que existe um real ω tal que todos os números
ω  2ω  2ω  ,  22  ,  2 2       

  ,… são primos. 

A importância deste tipo de resultado está na demonstração da existência de certas constantes e não na obtenção de primos através de fórmulas. De fato, nem as funções de Mills e Wright, nem a função examinada neste artigo provam a primalidade de um número. Pelo contrário, para a determinação das respectivas constantes (θ, ω e b) com precisão suficiente para que qualquer dessas funções retorne um primo p, é necessário constatar a primalidade de p por outros processos. A idéia básica da qual este trabalho se originou é a seguinte: escolhamos um primo x1. É claro que  x1  é primo. Agora escolhamos um real x2 um pouquinho maior  
x x de modo que  x2  =  x1  e x2 2 sejam primos. Então  x2  e  x2 2  são primos.        

Escolhamos um real x3 ainda um pouco maior, mas de modo que  x3  =  x2  =  x1  ,      
x  x3x3  =  x2 2  e x3x3    
x3

sejam primos, e assim por diante. Se b = lim xn então

b bb b  , b  , b  ,… são todos números primos. Os detalhes da demonstração e o        

resultado principal estão a seguir.

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Uma função que produz infinitos primos
Definindo indutivamente z ∗1 = z; z ∗ ( m + 1) = z z ∗m e sendo  z  o maior inteiro   menor ou igual a z será demonstrada a existência de um real b tal que para todo inteiro positivo n, b ∗ n  é um número primo. Se f é a função definida no conjunto dos inteiros   positivos, dada por f ( n ) = b ∗ n  , ela produzirá infinitos números primos.  

Lema 1. Para todo inteiro positivo m e todos números reais u, v com u > v ≥ 3, vale

u ∗ ( m + 1) − v ∗ ( m + 1) >3 u ∗m − v∗m
Prova. Seja g(x) = vx com x > 1 e v ≥ 3. Então g’(c) = vc⋅ln(v) > 3 sempre que c > 1.

v a − vb g ( a ) − g ( b ) = = g′ (c) > 3 a −b a −b
Como g é contínua, pelo Teorema do valor médio tem-se que para todos a,b>1, vale: para algum c ∈ ( a, b ) . Tomando a = u*m e b = v*m, tem-se que a,b>1 e

v u ∗m − v v∗m >3 u ∗m − v∗m
Como u > v, então

u u ∗m − v v∗m >3 u ∗m − v∗m
Isto é

u ∗ ( m + 1) − v ∗ ( m + 1) >3 u ∗m − v∗m
Como queríamos provar.

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Lema 2. Dado um intervalo I = [r, s], se s/r ≥ 2 e s ≥ 1 então existe um número primo
em I.

Prova. Se s/r ≥ 2 e r ≥ 1 então I contém um real maior ou igual a 1 e seu dobro. Porém,
conforme o postulado de Bertrand, sempre existe um primo entre esses dois números, de modo que I sempre contém um número primo.

Lema 3. Para todo inteiro positivo n e todo real v ≥ 5, existe u ≥ v satisfazendo:

(i) (ii)

u∗n −v∗n ≤

1 2

u ∗ ( n + 1) é primo

Prova. Seja v + ∆ o maior valor que podemos atribuir a u de modo que se cumpra a
condição (i) acima, isto é, ∆ satisfaz: (v + ∆)*n – v*n = ½ Então
u*(n + 1)

pode

assumir

qualquer

valor

no

intervalo

I = [v*(n + 1), (v + ∆)*(n + 1)]. Considere o quociente:

µ=

( v + ∆ ) ∗ ( n + 1) v ∗ ( n + 1)

Conforme o lema 2, se µ ≥ 2 então existirá algum primo no intervalo I e portanto poder-se-á escolher u satisfazendo (i) e (ii). Resta mostrar que µ ≥ 2. Tem-se:

(v + ∆) ∗ n − v ∗ n =

1 1 ( v +∆ )∗n ( v∗n ) +1 2 ⇔ (v + ∆) ∗ n = (v ∗ n) + ⇔ (v + ∆) = (v + ∆) ⇔ 2 2
( v∗n ) +1 2

⇔ ( v + ∆ ) ∗ ( n + 1) = ( v + ∆ )

( v + ∆ ) ∗ ( n + 1) = ( v + ∆ )( ) ⇔ v ∗ ( n + 1) v ∗ ( n + 1)
= v1 2 ⇔ µ ≥ v ≥ 5 > 2

v∗n +1 2

⇔

( v + ∆ )( ⇔µ=
v ∴µ ≥ 2

v∗n ) +1 2

v ∗n

⇒µ≥

v(

v∗n ) +1 2

v

v∗n

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e fica provado o lema 3.

Lema 4. Seja (xn) uma sucessão não decrescente de números não menores que 3. Se
xn+1*n – xn*n ≤ ½, então xn+1*j – xn*j ≤ 2-13j-n, para j = 1, 2, 3, ..., n.

Prova. O caso xn = xn+1 é trivial. Suponha que 0 < xn+1*n – xn*n ≤ ½. Fazendo, no
lema 1, u = xn+1 e v = xn, tem-se

xn +1 ∗ ( m + 1) − xn ∗ ( m + 1) >3 xn +1 ∗ m − xn ∗ m
Donde xn +1 ∗ n − xn ∗ n n −1 xn +1 ∗ ( k + 1) − xn ∗ ( k + 1) n −1 =∏ > ∏ 3 = 3n − j xn +1 ∗ j − xn ∗ j k = j xn +1 ∗ k − xn ∗ k k= j Para j = 1, 2, 3, ..., n – 1. Logo:

xn +1 ∗ n − xn ∗ n x ∗ j − xn ∗ j 3 j −n > 3n− j ⇒ n +1 < 3 j − n ⇒ xn+1 ∗ j − xn ∗ j < xn +1 ∗ j − xn ∗ j xn +1 ∗ n − xn ∗ n 2
Como queríamos.

Lema 5. Seja (xn) uma sucessão não decrescente de números não menores que 3. Se
xn+1*n – xn*n ≤ ½, então para todos inteiros positivos j, n com j ≤ n vale xj*j ≤ xn*j < ¾ + xj*j.

Prova. O caso j = n é trivial. Suponha j < n. Conforme o lema 4 tem-se as seguintes
desigualdades:

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0 ≤ xj+1*j – xj*j ≤ 2-130 0 ≤ xj+2*j – xj+1*j ≤ 2-13-1 0 ≤ xj+3*j – xj+2*j ≤ 2-13-2 ............................................... 0 ≤ xn*j – xn-1*j ≤ 2-13j-n+1 Somando estas desigualdades tem-se: 0 ≤ xn*j – xj*j ≤ 2-130 + 2-13-1 + 2-13-2 + ... + 2-13j-n+1 < ¾ isto é 0≤ xn*j – xj*j < ¾, ou seja xj*j ≤ xn*j ≤ ¾ + xj*j. Fica assim provado o lema 5.

Proposição. Seja (xn) uma sucessão não decrescente com x1 = 5 satisfazendo, para todo
inteiro positivo n, as duas condições seguintes: (i) (ii) xn+1*n – xn*n ≤ ½ xn+1*(n + 1) é primo

Se b = lim xn então b ∗ n  é um número primo para todo inteiro positivo n.  

Prova. O lema 3 garante a existência da sucessão (xn). De fato, como x1 = 5, o lema 3
garante a existência de x2 satisfazendo x2*1 – x1*1 ≤ ½ e x2*2 primo. Assim, dado x1, construímos x2 satisfazendo (i) e (ii) (para n = 1) . Supondo que já construímos x1, x2, ..., xn, o lema 3 garante a existência de xn+1 satisfazendo (i) e (ii). Portanto existe uma sucessão (xn) satisfazendo (i) e (ii) para todo inteiro positivo n. Afirmo que (xn) tem limite. Com efeito, conforme o lema 5, para todo j ≤ n, vale xj*j ≤ xn*j < ¾ + xj*j. Em particular, para j=1 tem-se 5 = x1 = x1*1 ≤ xn = xn*1 < ¾ + x1*1 = ¾ + 5 para todo n inteiro positivo, isto é, xn ≤ 5 + ¾. Como xn é uma sucessão não decrescente limitada superiormente (por 5 + ¾) então existe b = lim xn. Conforme o lema 5, para todos inteiros n, j com j ≤ n, vale xj*j ≤ xn*j ≤ ¾ + xj*j. Fazendo n tender a infinito tem-se xj*j ≤ b*j ≤ ¾ + xj*j para todo inteiro positivo j.

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Porém xj*j é primo por hipótese, donde b ∗ j  = x j ∗ j é primo para todo inteiro   positivo j. Com isso fica provado que existe um número real b, entre 5 e 5+3/4, tal que a
b sucessão b  , bb  , bb  ,… é formada apenas por números primos. Então uma função        

que produz infinitos números primos, e apenas primos, é dada por:

b b b  f ( n) =    
ˆ n bes

Perspectivas
A prova da proposição acima pode ser modificada para demonstrar a existência de outras funções que produzem infinitos números primos. Portanto, o resultado obtido pode ser estendido para todo um conjunto de funções que satisfizerem determinados critérios. Isto significa que outros problemas semelhantes podem ser resolvidos através da técnica utilizada neste trabalho.

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Uma Função para o enésimo Número Primo
Introdução
Será apresentada uma função f definida recursivamente tal que  f ( n )  = pn ,   onde  x  é o maior inteiro menor ou igual a x e pn é o n-ésimo número primo.  

Frações contínuas
Uma fração contínua finita em n variáveis a1, a2, a3, ..., an é denotada e definida por:

[ a1 , a2 , a3 ,… , an ] = a1 +

1 a2 + 1 a3 + 1 1 an

Se os números a2, a3, ..., an são inteiros positivos, a fração contínua acima é dita simples.

Observação
O teorema 165 de [8] garante que para toda sucessão (an) de inteiros positivos existe o limite de [a1,a2,a3,...,an], quando n tende a infinito. Designamos esse limite por [a1,a2,a3,...], que é uma fração contínua simples infinita.

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O teorema 168 da mesma referência garante que se x=[a1,a2,a3,...] é uma fração contínua simples infinita então  x  = a1 . Então, se escrevermos ãn para denotar   [an,an+1,an+2,...] ter-se-á  an  = an .  

Proposição. Seja (an) uma sucessão de inteiros positivos. Definindo recursivamente

 f (1) = [ a1 , a2 , a3 ,…]  1   f ( n + 1) = { f ( n )} para n = 1, 2,3, … 
onde {f(n)} é a parte fracionária de f(n), definida por que  f ( n )  = an .  

{ f ( n )} = f ( n ) −  f ( n ) , tem-se  

Prova. Afirmo que f(n) = ãn = [an,an+1,...]. A prova será por indução. Para n = 1 tem-se
f(1) = [a1,a2,a3,...] = ã1. Logo, a afirmação vale para n = 1. Suponha que vale para n = k, isto é, suponha que f(k) = ãk. Mostrarei que f(k+1) = ãk+1.

1 1 1 1 = ~ = = { f (k )} {a k } {[a k , a k +1 , …]}   1 a k + [a k +1 , a k + 2 , …]   1 1 ~ ~ = = ~ = a k +1 ∴ f (k + 1) = a k +1 1 a k +1  1  a k + ~  a k +1   Logo, se a afirmação vale para n=k, também vale para n=k+1. Ficou provado que f (k + 1) =
f(n)=ãn para todo inteiro positivo n. Conforme a observação anterior, vale  an  = an .   Portanto, para todo inteiro positivo n,  f ( n )  = an .  

Uma função para o n-ésimo número primo
Em particular, definindo recursivamente a função f por

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 f (1) = [2, 3, 5, 7, 11, … , p n , …] = 2,3130367364335829064 …  1   f (n + 1) = { f (n )} para n = 1, 2, 3, …  Vale  f ( n )  = pn .  

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10
Números Primos e Séries Formais
Introdução
Este trabalho aborda as séries formais, mostrando um modo de caracterizar números primos através delas. Também será apresentada uma fórmula para primos cuja base é essa caracterização.

Séries Formais
Uma série formal na indeterminada x é uma expressão que pode ser escrita como

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 +…
Todo polinômio pode ser interpretado como uma série formal. Por exemplo:

1 + 3x + 4 x 2 = 1 + 3 x + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 + …
A soma e o produto de séries formais decorrem de modo natural da soma e produto de polinômios. Somamos e multiplicamos séries formais como se estivéssemos trabalhando com polinômios. Assim, se

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 +…

e

q ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 +… , então p ( x ) + q ( x ) = ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) x + ( a2 + b2 ) x 2 + ( a3 + b3 ) x3 +… p ( x ) q ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 +…
onde

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c0 = a0b0 c1 = a1b0 + a0b1 c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2 c3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 etc.
Séries formais podem ter mais de uma indeterminada:

Q ( x, y ) =

∑ ijx y
i i , j =1

∞

j

= xy + 2 x 2 y + 2 xy 2 + 3x 3 y + 3xy 3 + 4 x 2 y 2 + …

R ( x, y, z ) = ∑ x i y 2i +1 z 3i + 2 = xy 3 z 5 + x 2 y 5 z 8 + x 3 y 7 z11 + …
i =1

∞

Além disso, observando que

(1 + 2 x + 4 x

2

+ 8 x 3 + …) (1 − 2 x ) =

= 1 + 2 x − 2 x + 4 x2 − 4 x2 + 8x3 − 8x3 + … = 1 ∴ (1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + …) (1 − 2 x ) = 1
e dividindo a última igualdade por 1 − 2 x tem-se que

1 = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x3 + … 1 − 2x
donde o quociente entre dois polinômios pode ser escrito como uma série formal.

Partições não ordenadas
Uma partição de um inteiro positivo n é a decomposição deste inteiro como soma de parcelas inteiras e positivas. Assim, 1+1+3 é uma partição do inteiro 5. Uma partição é não ordenada quando a ordem das parcelas é indiferente, isto é, 1+1+3, 1+3+1 e 3+1+1 representam a mesma partição não ordenada de 5. Note que a partição 1+1+3 tem três parcelas mas apenas dois termos distintos (1 e 3). Do mesmo modo a partição (de 14) 4+4+2+2+2 tem cinco parcelas, mas apenas duas parcelas distintas (4 e 2). A partição 2+2+2 (de 6) tem 3 parcelas, mas apenas um termo (somente o 2).

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Número de partições não ordenadas
Denota-se por [xn]p(x) o coeficiente de xn na série formal p(x); por [xnym]p(x, y) o coeficiente de xnym na série formal p(x, y) etc. Seja

p j ( x, y ) = 1 + x j y + x j + j y + x j + j + j y + … = = 1 + x j y + x 2 j y + x3 j y + … = 1 + y = 1 + x j ( y − 1) 1− x j xj = 1− x j

Afirmo que o número de partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos é:

 x n y k  ∏ p j ( x, y )  
j ≥1

Sejam Q ( x, y ) = ∏ p j ( x, y ) e
j ≥1

a1 + a2 + … + aα = n b1 + b2 + … + bβ = n l1 + l2 + … lγ = n todas as partições de n com exatamente k termos distintos. Considere A=[xnyk]Q(x, y) o coeficiente de xnyk em Q(x, y). Digamos que a partição de n com k termos distintos

c1 + c2 + … + cδ = n tenha S1 termos iguais a R1; S2 termos iguais a R2; ... Sk termos
iguais Rk. Então a partição c1 + c2 + … + cδ = n corresponde, pela propriedade distributiva, ao termo xnyk obtido ao multiplicarmos

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x R1 + R1 +…+ R1 y = x S1R1 y (termo de pR1 ( x, y ) ) x R2 + R2 +…+ R2 y = x S2 R2 y (termo de pR2 ( x, y ) ) .................................................................. x Rk + Rk +…+ Rk y = x Sk Rk y (termo de pRk ( x, y ) ) 1 = 1 (termo de pT ( x, y ) , T ≠ R1 , R2 ,… Rk ) obtendo x S1R1 + S2 R2 +…Sk Rk y k = x c1 + c2 +…cδ y k = x n y k Portanto, ao desenvolver-se o produto p1 ( x, y ) p2 ( x, y ) p3 ( x, y )… obtém-se, após aplicada a propriedade distributiva, tantos termos xnyk quantas forem as partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos. Logo, o coeficiente de xnyk em Q(x,y) é o número de partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos.

Um caso especial
Quando k=1 as partições de n são somas de parcelas iguais. Por exemplo, para n=6 e k=1 temos as seguintes partições: 6 = 1+1+1+1+1+1 6 = 2+2+2 6 = 3+3 6=6 Logo [x6y]Q(x, y) = 4 (4 partições de 6 como soma de parcelas iguais). De modo mais geral,

 x n y  Q ( x, y ) = d ( n )  
onde d(n) é o número de divisores de n. Daí, como

 xj  Q ( x, y ) = ∏  1 + y  1− x j  j ≥1 
tem-se a seguinte

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Proposição. Se

 xj  f ( n ) =  x n y  ∏ 1 + y  então f(n) é igual ao número de   1− x j  j ≥1 

divisores positivos de n. Em particular n é primo se e só se f(n)=2. Desta proposição decorrem

Duas fórmulas

Será usada, aqui, a notação  r  para designar o maior número real menor ou   igual a r.

 xj  Se Q ( x, y ) = ∏ 1 + y  e g é uma função definida no conjunto dos 1− x j  j ≥1 
  2  , então a imagem de g inteiros positivos e dada por g ( n ) = 2 + ( n − 1)  n +1   x y  Q ( x, y )    
é o conjunto de todos os números primos. Além disso,

π ( n ) = −2 + ∑ 

 2  i i =1   x y  Q ( x, y )    
n



onde π ( n ) é a quantidade de números primos no intervalo [1, n]

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11
Caracterizando Intervalos de Números Primos através de Polinômios
Introdução
Sabemos que não existe nenhum polinômio não constante P(x), com coeficientes inteiros, tal que P(n) seja primo para todo inteiro positivo n (veja [13], ou a página 18 da referência [8]). Este resultado, embora negativo, mostra o interesse de se relacionar os números primos aos valores assumidos por um polinômio. Outro resultado neste sentido, porém muito mais surpreendente, diz que o conjunto dos números primos coincide com o dos valores positivos assumidos por um certo polinômio de grau 25, em 26 variáveis, quando estas percorrem o conjunto dos inteiros não negativos (veja capítulo 3.III da referência [4]). Os matemáticos têm-se interessado, portanto, em estabelecer relações entre números primos e polinômios. É neste contexto que se insere o presente trabalho. Seja pn o n-ésimo número primo. Provaremos nesta nota, um teorema que mostra como construir um polinômio Pn, de grau pn − 1 , que caracterizará todos os primos
2 2 entre pn e pn +1 . Se o inteiro m, satisfazendo pn < m < pn +1 , satisfizer a condição

adicional de que p1 p2 será.

pn divide Pn ( m ) , então m será primo. Caso contrário, não o

Definições preliminares
Dois números inteiros são congruentes módulo m quando deixam o mesmo resto na divisão por m. Caso contrário são ditos incongruentes módulo m. Se a e b são congruentes módulo m, denotarei isso escrevendo a ≡ b mod m . Caso contrário, se a e b forem incongruentes mod m, denotarei isto por a ≡ b mod m . Note que tem-se /

a ≡ b mod m se e só se m divide a – b.

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Chama-se sistema completo de restos módulo m (SCR mod m) todo conjunto
S ⊂ » com m elementos incongruentes módulo m. De outro modo: um sistema

completo de restos módulo m é um conjunto de m números inteiros cujos restos na divisão por m são dois a dois diferentes. Tem-se que S é um SCR módulo m se, e só se, todo número inteiro é congruente módulo m a exatamente um elemento de S. A função ϕ de Euler, definida para todo inteiro positivo n, retorna o número de inteiros positivos ≤ n que são relativamente primos com n. Isto é, ϕ ( n ) é o número de elementos do conjunto { x ∈ » :1 ≤ x ≤ n e mdc ( x, n ) = 1} . Um sistema reduzido de restos módulo m (SRR mod m) é um conjunto de ϕ ( m ) inteiros incongruentes módulo m. Seja S um subconjunto qualquer de » . Então S é um SRR mod m se, e somente se, todo inteiro relativamente primo com m é congruente a exatamente um elemento de S. Se p é primo então um exemplo de SRR mod p é {1, 2,3,… , p − 1} .

O Resultado principal Teorema 1. Seja m um inteiro e Pn ( x ) = ∏ i =n1
inteiras satisfazendo (i) (ii) Nenhum ai , i = 1, 2,… , pn − 1 , é divisível por nenhum primo p ≤ pn . Para cada primo p ≤ pn , o conjunto a1 , a2 ,… a p de restos módulo p. (iii)
2 pn < m < pn +1 .

p −1

( x − ai )

um polinômio com raízes

{

n −1

} contém um sistema reduzido

Então o produto p1 p2 número primo.

pn divide Pn ( m ) = ∏ i =n1 ( m − ai ) se, e somente se, m é um

p −1

Prova. Denotaremos por c # o produto p1 p2

pi , sempre que pi ≤ c < pi +1 .

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# 2 Suponha que pn divide Pn ( m ) . Vamos provar que m é primo. Ora, se m < pn +1

fosse composto, admitiria um fator primo menor ou igual a pn. Basta, portanto, mostrar que nenhum primo p ≤ pn divide m. Seja p um primo tal que p ≤ pn . Como p é fator de p1 p2
# pn | Pn ( m ) , então p | ( m − a1 )( m − a2 )
pn −1 # pn = pn e

( m − a ) . Logo, para algum i = 1, 2,…, p

n

−1

tem-se p | m − ai . Se fosse p | m , teríamos p | ai , o que contradiz (i). Assim, nenhum
2 primo p ≤ pn divide m < pn +1 e portanto m é primo. # Suponha, agora, que m>pn é primo. Vamos provar que pn divide Pn ( m ) . Para

isto, provaremos que cada primo p, satisfazendo p ≤ pn divide Pn ( m ) . Seja p um primo genérico tal que p ≤ pn . Como p e m são relativamente primos, e

{ a , a ,… a }
1 2 pn −1

contém um SRR mod p conforme (ii), tem-se que existe ai , 1 ≤ i ≤ pn − 1 , tal que

m ≡ ai mod p . Daí p | m − ai e assim p | Pn ( m ) . Portanto, todo primo p ≤ pn divide Pn ( m ) , isto é, p1 p2 pn divide Pn ( m ) sempre que m>pn for primo.

A questão da existência
O leitor atento deve ter notado que o teorema faz afirmações envolvendo certos inteiros ai 's , mas nada afirma sobre a existência destes ai 's , muito menos mostra como calculá-los. Tudo o que dissemos até agora teria pouco valor se esta questão não fosse resolvida. Felizmente, esse não é um problema difícil. Seja pn o n-ésimo número primo e tome a1 = 1 . Assim, nenhum dos primos p1 , p2 ,… pn divide a1 e {a1} é um SRR mod 2. Agora, para cada inteiro i, 1 < i < pn , faça

ci = mmc ( p1 p2 … pn , i ) , bi =

ci , ai = i + bi i

Seja p ≤ pn primo. Queremos provar que a condição (ii) do teorema se verifica. Para isto, é suficiente mostrar que {a1 , a2 ,… a p −1} é um SRR mod p. Com este propósito

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mostraremos que ai ≡ i mod p , sempre que 1 ≤ i < p . Para i=1 já vimos que

ai ≡ i mod p . Para i = 2,3,… , p − 1 tem-se p | ci e p / i donde p | |

ci , isto é, p | bi . i

Como ai = i + bi , tem-se ai ≡ i mod p e, portanto, a condição (ii) do teorema é satisfeita. Mostraremos, agora, que a condição (i) do teorema se verifica. Seja p ≤ pn um número primo. Se p | i , então a maior potência de p que divide i é a mesma que divide

| ci e portanto p / bi . Logo, p não divide ai = i + bi , pois p divide i mas não divide bi. Se

p / i então, como p | ci , tem-se que p | bi . Portanto, p não divide ai = i + bi , pois p |
divide bi mas não divide i. Em ambos os casos p não divide ai. Então, nenhum dos primos p1 , p2 ,… , pn divide qualquer ai. Isto é, a condição (i) do teorema também é verificada.

Exemplos
Fazendo a1=1 e utilizando as fórmulas

ci = mmc ( p1 p2 … pn , i ) , bi =

ci , ai = i + bi para 1 < i < pn , tem-se i

P2 ( x ) = ( x − 1)( x − 5) ≡ x 2 − 1 mod 3#
Se 3 < x < 52 então x é primo se e só se 3# = 6 divide P2(x)

P3 ( x ) = ( x − 1)( x − 17 )( x − 13)( x − 19 ) ≡ x 4 + 10 x3 − 10 x − 1 mod 5#
Se 5 < x < 72 então x é primo se e só se 5# = 30 divide P3(x)

P4 ( x ) = ( x − 1)( x − 107 )( x − 73)( x − 109 )( x − 47 )( x − 41) ≡ ≡ x 6 + 42 x 5 − 63 x 4 − 21x 2 − 42 x + 83 mod 7 # Se 7 < x < 112 então x é primo se e só se 7# = 210 divide P4(x)

Teorema 2. Seja (bij) uma matriz tal que
(a) (b) pj não divide nenhum elemento da j-ésima coluna O conjunto dos termos da j-ésima coluna contem um SRR módulo pj

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Se para i = 1, 2,3,… pn − 1 valer

ai ≡ bi1 mod p1  a ≡ b mod p2 [∗]  i i 2   ai ≡ bin mod pn 
Então as condições (i) e (ii) do Teorema 1 são satisfeitas, isto é, (i) (ii) Nenhum ai , i = 1, 2,… , pn − 1 , é divisível por nenhum primo p ≤ pn . Para cada primo p ≤ pn , o conjunto a1 , a2 ,… a p de restos módulo p.

{

n −1

} contém um sistema reduzido

Prova. Seja p = p j ≤ pn . Como ai ≡ bij mod p (de [*]) e p / bij (de (a)) então |
ai ≡ bij ≡ 0 mod p donde ai ≡ 0 mod p , isto é, p / aij para todo primo p ≤ pn e todo | / /

i = 1, 2,3,… pn − 1 . Logo a condição (i) do teorema 1 é satisfeita.
Seja p = p j ≤ pn . Conforme (b) existe um SRR mod p contido em bij Aproveitando que bij ≡ ai mod p e tomando os elementos de bij

{ }

1≤ i < pn

.

{ }

1≤ i < pn

módulo p, tem-

se que existe um SRR mod p contido em {ai }1≤i < p . Portanto a condição (ii) também é
n

satisfeita e o teorema 2 está demonstrado. Note que conforme o Teorema Chinês do Resto o sistema [*] tem, para cada i, uma única solução módulo p1 p2

pn na incógnita ai. O método de resolução desse

sistema pode ser encontrado em livros de Teoria dos Números.

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Um exemplo
A matriz

1 1 1 1 2 2 bij ) =  (  −1 −2 −2      − 1 − 1 − 1
satisfaz as condições do teorema 2. Resolvendo os supracitados sistemas [*] correspondentes, tem-se a1 = 1, a2 = 17, a3 = −17, a4 = −1 donde o polinômio procurado é P ( x ) = ( x − 1)( x − 17 )( x + 17 )( x + 1) = x 2 − 1 x 2 − 289 ≡ ≡ x 2 − 1 x 2 − 19 ≡ x 4 + 10 x 2 + 19 mod 30 Assim, se 5 < x < 72 então x é primo se e só se 5# = 30 divide

(

)(

)

(

)(

)

x 4 + 10 x 2 + 19 ≡ P ( x ) mod 30

Conclusão
Os números primos suscitam várias questões interessantes. Ao contrário do que alguns matemáticos pensam, existe uma fértil diversidade de fórmulas que produzem ou caracterizam primos.

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12
Produzindo Números Primos por Iteração
Introdução
Conforme o Dicionário Aurélio, Iteração é o “Processo de resolução (de uma equação, de um problema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede”. O objetivo desta nota é apresentar fórmulas iteradas, ou de caráter iterado, que produzem todos os números primos, e somente primos. Certamente π ( n ) é uma das mais importantes funções da Teoria dos Números. O valor de π ( n ) é, simplesmente, a quantidade de números primos no intervalo [1, n ] . É possível escrever fórmulas elementares para π ( n ) . Mostraremos um meio elegante de fazer isto.

Um aviso
Apesar da existência de fórmulas elementares para π ( n ) , os algoritmos conhecidos, incluindo o que será apresentado, são bastante lentos para calcular o valor dessa função. Entende-se por lento um algoritmo que calcula o valor de f(n) num tempo que, para n suficientemente grande, é maior que qualquer potência de log n . Note que

log n é, proporcionalmente, uma aproximação do número de algarismos de n. Por isso o
logaritmo surge de modo natural: um cálculo tende a ser tanto mais trabalhoso quantos forem os algarismos dos números envolvidos.

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Fórmulas
Em Teoria dos Números é comum representar por n# o produto dos primos que não excedem n. Assim, 2# = 2; 3# = 4# = 6; 5# = 6# = 30; etc. O número n# chama-se o primorial de n, numa alusão ao fatorial. A idéia central é que há uma sucessão ( an ) de inteiros, definida iteradamente, de modo elementar e intuitivo, satisfazendo a1 = a2 = 1 e an +1 = n # , para n > 1 . Basta definir a sucessão ( an ) por

a1 = 1  onde  x  representa o maior inteiro que não excede x.  1 mdc ( a , n )    n  , para n ≥ 1 an +1 = an n  
É fácil ver que a2 = 1 e que para n=2, an +1 = n # . Mostrarei que esta igualdade também vale para n>2. Suponha, por indução, que an = ( n − 1) para algum inteiro
n > 2 . Se n é primo,
# #

mdc ( an , n ) = 1 , donde

1 mdc ( an , n )  = 1  

e portanto donde

an +1 = an n1 = ( n − 1) n = n # . Se n não é primo, então
#

mdc ( an , n ) > 1

1 mdc ( an , n )  = 0 , e portanto an +1 = an n 0 = an = ( n − 1) = n # . Em qualquer caso tem 
se an +1 = n # , sempre que an = ( n − 1) . Assim, fica provado por indução que an +1 = n # , para todo inteiro n>1. Logo, as seguintes funções f, g produzem todos os números primos, e somente primos:
#

 a  n, se n é primo f ( n ) = max  2, n +1  , de modo que f ( n ) =  2, caso contrário  an 
 g (1) = 2    g ( n ) = max ( g ( n − 1) , an +1 an ) , para n > 1 

menor primo maior ou igual a n, se n ≤ 2 sendo g ( n ) =  . maior primo menor ou igual a n, se n > 2

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Além disso, tem-se

1 i , se i é primo ai = , logo ai +1 1, caso contrário

n  ai  0 se i é primo  a  = , daí π ( n ) = n − ∑  i  .   i =1  ai +1   ai +1  1 caso contrário

Não é razoável calcular números primos nem os valores de π ( n ) usando as fórmulas apresentadas. Há meios mais rápidos de fazer isto. Entretanto, este fato não as desmerece, pois elas têm interesse teórico. São apreciadas pelas relações matemáticas que evidenciam e por sua elegância.

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13
Uma Constante para os Números Primos
Um meio de construir fórmulas para primos é escrevê-los de modo codificado sob a forma de números reais. Estes números, muitas vezes, são definidos como limites de sucessões ou como somas infinitas, construídas a partir dos números primos que codificam. Um exemplo disso, longe de ser o único, é o número real η = 0,01101010001010..., onde o n-ésimo dígito a direita da vírgula é 1 se n for primo, e é 0 caso contrário. Como os únicos dígitos de η são 0 e 1, é natural considerá-lo escrito na base 2, de modo que, sendo pn o n-ésimo número primo, tem-se:

η=∑
n =1

∞

1 2
pn

Na base 10 escreve-se η = 0,41468250985111166...

Uma observação
Seja  x  o único inteiro tal que x − 1 <  x  ≤ x . Considerando o modo como η é     construído, não é difícil ver que:

( ∗)

1 se n é primo  2nη  − 2  2n −1η  =      0 caso contrário

Isso porque a expressão acima produz o n-ésimo algarismo à direita da vírgula de η, quando escrito na base 2. É de fácil verificação que, de modo mais geral, dado um inteiro b>1, e um real positivo r, tem-se:

b n r  − b b n −1r  = rn    
onde rn é o n-ésimo dígito à direita da vírgula de r quando o escrevemos na base b.

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A função π
Os matemáticos denotam a quantidade de números primos menores ou iguais a x, por π(x). A função π (que não deve ser confundida com a célebre constante 3,14159...) é conhecida em língua inglesa como prime counting function, e tem um papel importante em Teoria dos Números. Conforme a igualdade (∗), para todo inteiro positivo n, vale

π ( n ) = ∑  2iη  − 2  2i −1η     
i =1

n

(

)

Expandindo a soma e simplificando ter-se-á

π ( n ) = 2  2 nη  − ∑  2i η     
i =1

n

Servimo-nos, portanto, do real η para exprimir os valores da função π.

Uma função para os números primos
Ainda aproveitando a igualdade (∗), é fácil ver que a seguinte função f, definida para os inteiros positivos, produz todos os números primos, e apenas primos:
f ( n ) = 2 + ( n − 2 )  2 nη  − 2  2 n −1η     

(

)

De fato, se n é primo, então f(n) = n, e portanto, f(n) também é primo (logo f gera todos os primos). Por outro lado, se n não é primo, f(n) = 2. Em qualquer caso, f(n) é primo.

Uma função para o n-ésimo número primo
Sebastian Martin Ruiz e Jonathan Sondow observaram que uma conseqüência imediata das desigualdades demonstradas por Rosser e Schoenfeld em 1962 é que

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pn ≤ 2 + 2n log n < p2 n
portanto, como

 π ( i )  1 se i < pn 1−  =  n  0 se pn ≤ i < p2 n
tem-se
p2 n −1

pn = 1 +

∑
i =1

 2 + 2 n log n      π (i)   π (i )   1−  = 1 + ∑ 1 −         i =1   n    n   2 + 2 n log n   

pn = 3 +  2n log n  −  

∑
i =1

π (i )     n 

Vimos que π ( n ) = 2  2nη  − ∑  2iη  , então, por simples substituição    
i =1

n

 2 + 2 n log n   

pn = 3 +  2n log n  −  

∑
i =1

i 1   2  2i η  − ∑  2 j η          j =1 n    

Outros reais que codificam primos
Uma questão é saber se existe alguma seqüência crescente (qn) de números primos tal que η q = ∑
i =1
∞

1 2i
q

seja algébrico.

Em caso positivo haveria um modo rápido de produzir primos arbitrariamente grandes, desde que se conhecesse o número algébrico ηq . É uma possibilidade razoável já que existem “muitas” escolhas possíveis para ηq . De fato, para cada sucessão crescente (qn) de números primos, existe um real ηq distinto, e como existe uma quantidade não enumerável de tais sucessões, há também uma infinidade não enumerável de reais ηq . Note que é trivial mostrar que cada ηq é irracional. Basta observar que sua representação binária não é periódica.

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14
Primalidade e Número de Divisores
Introdução
Seja n um inteiro positivo e d ( n ) o número de inteiros positivos que o dividem. É claro que n é primo se e só se d ( n ) = 2 . Existe, entretanto, um modo menos trivial de estabelecermos a primalidade de n usando d ( n ) . Um inteiro p é primo se, e somente se,
1 d ( n ) −1) pudermos escrevê-lo como p = n ( , para algum inteiro n. Isto é, todo número 1 d ( n ) −1) natural da forma n ( é primo, e todo número primo pode ser escrito deste modo. O

objetivo desta nota é provar isso e apresentar uma fórmula para números primos amparada nessa proposição. Também será apresentada uma fórmula para a função Λ de Von Mangoldt, que é definida por Λ ( n ) = log p se n é potência do primo p e Λ ( n ) = 0 nos outros casos. Seguem-se as

Fórmulas
(i)
1 d ( n ) −1) Λ ( n ) = log max » ∩ 1, n (

( {

})

(ii)

1 d ( n ) −1) f ( n ) = max » ∩ 2, n (

( {

}) = número primo

O leitor deve notar que ambas fundamentam-se na seguinte
1 d n −1 Proposição. Seja n ∈ » , n>1. Se g ( n ) = n ( ( ) ) ∈ » então g(n) é um número primo.

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Prova. Suponha que n é potência de um número primo p, digamos, n = p k . Então
1 ( ( k +1) −1) 1 d ( n ) −1) d ( n) = k +1 e g ( n) = n ( = pk = pk

( )

( )

1k

= p , donde g ( n ) = p é primo.

Portanto, se n é potência de um número primo p então g ( n ) = p é primo e neste caso a proposição é verdadeira. Mostraremos agora que se n não é potência de primo, então g(n) não é inteiro. Isto é o mesmo que mostrar que se g(n) é inteiro, então n é potência de primo. Assim, ter-se-á g ( n ) ∈ » ⇒ n é potência de primo ⇒ g ( n ) é primo , e a proposição estará provada. Suponha por absurdo que exista n ∈ » , n>1 tal que g(n) é inteiro e n não é potência de primo. Então existem primos distintos p, q tais que q|n e p|n e portanto p|g(n). Seja p k a maior potência de p que divide n. Como d é função multiplicativa, isto é, d(uv)=d(u)d(v) sempre que u e v forem relativamente primos, então d ( n ) ≥ d p k d ( q ) = ( k + 1)( 2 ) = 2k + 2 ⇒ d ( n ) ≥ 2k + 2 ⇒

( )

⇒ d ( n ) − 1 > 2k ⇒ g ( n ) | g ( n )
2k

2k

d ( n ) −1

⇒ g (n) | n

2k

Como p | g ( n ) e g ( n ) | n então p 2 k | n . Eis o absurdo, pois por hipótese p k é a maior potência de p que divide n. Fica, assim, provada a proposição e as fórmulas (i) e (ii) seguem-se trivialmente.

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15
Outras Fórmulas e Conjecturas
Não poderia deixar de incluir aqui as duas últimas fórmulas nas quais tenho trabalhado. Com uma ponta de pesar, confesso não tê-las, ainda, lustrado com o devido rigor da demonstração, como convém aos bons trabalhos em Matemática. Não obstante, acredito não estar longe da verdade pois os testes que empreendi com software de computação algébrica (Maple) só fizeram reforçar minha crença. Além disso, se as proposições abaixo enunciadas não são verdadeiras, são pelo menos muitos elegantes e indicam alternativas de pesquisa neste ramo da Matemática.

Uma fórmula otimista Conjectura 1. Existe um número real c > 0 tal que f ( n ) = cn !2  é primo para todo  
inteiro positivo n, onde n !2 é o quadrado do fatorial de n e  x  é o maior inteiro menor   ou igual a x.

Conjectura 2. O menor valor para c que torna a conjectura 1 verdadeira, com 600
algarismos a direita da vírgula, é dado por

c = 2, 811321611523770671312307434400821284264831865562431597127652 046416586423901874748464636222288303235789636697829126440086 848189987904285365047365511634550507895672134720433189832279 689750341055421752958090071609528340588245795276296334013701 648925202734400332662922789939943496564366989682290158979946 718294005449788129649056197463450850352723871460613578585385 986235704571979829149774929603747524163815289710467466667265 998128649483150791182219091215560675438465310257069900405819 866847487633698061095801325578681442858027459630222036432419 164796718341024210817985139058200061754042971659377005529956

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Para este valor de c, os primeiros 20 números primos produzidos pela fórmula f ( n ) = cn !2  da conjectura 1 são:  

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 101 1619 40483

f ( n ) = cn !2   

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f ( n ) = cn !2    4479421882434643 645036751070588593 109011210930929472311 21366197342462176573007 4807394402053989728926577 1230692966925821370605203741 355670267441562376104903881179 115237166651066209857988857502039 41600617161034901758733977558236253 16640246864413960703493591023294501227

1457389 71412067 4570372291 370200155573 37020015557311

Com o valor de c dado pela conjectura 2 pode-se calcular com precisão os primeiros 165 números primos f (1) , f ( 2 ) , f ( 3) ,… , f (165 ) da fórmula supracitada, sendo que

f (165) tem 592 algarismos.
Chamo a fórmula f ( n ) = cn !2  de otimista porque precisamos ser realmente   bastante otimistas para supor que ela produza infinitos primos. De fato, a demonstração desta fórmula está condicionada a existência de números primos em intervalos bastante estreitos.

Uma fórmula fatorial
É fácil mostrar que se j, k, n, p são inteiros positivos satisfazendo p = kn !+ 1 < ( n + 1) então p é necessariamente um número primo. Por outro lado, uma
j

2

tarefa menos trivial é provar a seguinte

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Conjectura 3. Todo número primo p < ( n + 1) pode ser escrito como p = kn !+ 1 para
j

2

certos j, k, n inteiros positivos. Alguns exemplos que satisfazem a conjectura 3 são os seguintes:

1

1×1!+ 1 = 2 < 22 8 × 5!+ 1 = 31 < 62
4

1× 5!+ 1 = 11 < 62 2603 × 6!+ 1 = 37 < 7 2
6

7 × 5!+ 1 = 29 < 62 6597367 × 6!+ 1 = 41 < 7 2

Munido de uma calculadora de bolso é bastante fácil escrever todos os primos

p < 40 no formato p = kn !+ 1 < ( n + 1) , conforme a conjectura 3. Também é fácil
j

2

construir uma fórmula para primos utilizando a conjectura 3, caso ela seja verdadeira.

Eric Campos Bastos Guedes

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Tábua de Números Primos
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

pn
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

n
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

pn
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

n
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

pn
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

n
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

pn
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941

n
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

pn
947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223

n
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240

pn
1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511

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pn
1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811

n
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320

pn
1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129

n
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360

pn
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n
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

pn
2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741

n
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440

pn
2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079

n
441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480

pn
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Eric Campos Bastos Guedes

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481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520

pn
3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727

n
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pn
3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057

n
561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600

pn
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n
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pn
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n
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pn
4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087

n
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pn
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Referências Bibliográficas
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Description: Colecao de resultados sobre formulas para numeros primos. Livro de autoria de Eric Campos Bastos Guedes, matematico brasileiro que estuda o tema desde 1997. Neste trabalho ha diversas formulas que produzem numeros primos, embora de modo computacionalmente ineficaz. A maioria dos resultados eh inedita e nao consta em nenhum outro livro, artigo ou paper. As principais questoes concernentes ao tema sao introduzidas logo no primeiro capitulo. Trata-se de um texto acessivel a estudantes universitarios e que vem preencher uma lacuna na literatura sobre este tema.