BAHAN MATERI MATEMATIKA TERAPAN I _SAHNOHILHAMI_

Document Sample
BAHAN MATERI MATEMATIKA TERAPAN  I _SAHNOHILHAMI_ Powered By Docstoc
					                       KONTRAK PERKULIAHAN
Mata Kuliah                 : MATEMATIKA TERAPAN 1
Kode / Bobot                : SIP 001 / 2 Sks
Hari Pertemuan              : Senin
Jam                         : 07.00 – 08.40 WIB
Dosen                       : Drs. Rijal Abdullah, MT.
                              Yoszi Mingsi Anaperta, ST.MT
Ruangan                     : EH…

1. Manfaat Mata Kuliah
        Mata kuliah Matematika Terapan 1 ini sebagai prasyarat (pre
   requisite) untuk Mata Kuliah Matematika Terapan 2 sangat penting
   sebagai penunjang berbagai Mata Kuliah Keteknikan, baik dalam
   Program Studi Teknik Sipil ataupun dalam Program Studi Teknik
   Pertambangan.
2. Deskripsi Mata Kuliah
   a. Status
      Merupakan matakuliah wajib dan pre requisite Matematika Terapan 2
   b. Sinopsis
            Kuliah ini memuat materi tentang Aljabar Linear dan Kalkulus
      Dasar,
       Materi Aljabar Linear adalah: Sistem Persamaan Linear dan Matrik,
      Solusi SPL dengan Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, Solusi SPL
      dengan Invers Matrik, Solusi SPL dengan Determinan (Kaedah
      Cramer).
       Materi Kalkulus Dasar adalah: Sistem Bilangan Ril, Persamaan dan
      Ketaksamaan, Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Lingkaran,
      Persamaan Garis Lurus, Grafik Persamaan, Fungsi dan Grafik Fungsi,
      Fungsi Trigonometri, Limit., Turunan, Aturan Mencari Turunan,
      Turunan Sinus Kosinus, Aturan Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, dan
      Arti Fisik Turunan.
3.        Kompetensi Utama (KU)
          Mengetahui dasar-dasar aljabar linear dan kalkulus (tentang turunan
     fungsi), penggunaan dalam bidang keteknikan.


4.        Sub Kompetensi
     a. Mengetahui dasar-dasar pemecahan Sistem Persamaan Linear (SPL)
        dan penerapannya dalam bidang teknik pertambangan dan teknik
        sipil, yang meliputi:
        1) Sistem Persamaan Linear dan Matrik.
        2) Solusi SPL dengan Eliminasi Gauss, dan Eliminasi Gauss-Jordan.
        3) Solusi SPL dengan Invers Matrik.
        4) Solusi SPL dengan Determinan Matrik (Aturan Cramer).
     b. Mengetahui Konsep Dasar Kalukulus dan penerapannya dalam
        bidang teknik pertambangan dan teknik sipil, yang terdiri dari:
        1) Sistem Bilangan Ril.
        2) Solusi Persamaan dan Ketaksamaan.


Matematika Teknik I                                                       44
          3) Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Lingkaran.
          4) Persamaan Garis Lurus
          5) Grafik Persamaan
          6) Fungsi dan Grafik Fungsi
          7) Fungsi Trigonometri.
          8) Limit.
          9) Turunan.
          10) Aturan Mencari Turunan.
          11) Turunan Sinus Kosinus.
          12) Aturan Rantai.
          13) Turunan Tingkat Tinggi.
          14) Arti Fisik dari Turunan


5. Organisasi Materi

  Turunan Tingkat Tinggi dan Arti Fisik dari Turunan               (Pertemuan ke-16)



  Aturan Rantai dalam Mencari Turunan.                             (Pertemuan ke 15)



  Aturan Mencari Turunan dan Turunan Sinus Kosinus.          (Pertemuan ke-13-14)




  Limit dan Turunan                                                (Pertemuan ke-12)




  Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri.           (Pertemuan ke-10 sd 11)



  Ujian MID Semester                                               (Pertemuan ke-09)



  Persamaan Garis Lurus dan Grafik Persamaan                       (Pertemuan ke-8)




  Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Lingkaran                (Pertemuan ke-7)

Matematika Teknik I                                                         45
  Solusi Persamaan dan Ketaksamaan                                 (Pertemuan ke-6)



  Sistem Bilangan Ril                                              (Pertemuan ke-05)



  Solusi SPL dengan Determinan (Aturan Cramer)                     (Pertemuan ke-4)



  Solusi SPL dengan Invers Matrik                                (Pertemuan ke-03)



  Sistem Persamaan Linear dan Matrik, Solusi SPL dengan Eliminasi Gauss dan Gauss-
  Jordan                                                       (Pertemuan ke-01 - 02)




6. Strategi Perkuliahan
        Kuliah dilaksanakan dengan urutan langkah:
   a. Pendahuluan (mengingatkan sepintas materi yang sudah dijelaskan
      sebelumnya lalu menjelaskan kompetensi yang dikehendaki pada
      materi saat ini, sedangkan mahasiswa memperhatikan).
   b. Dosen menerangkan konsep dasar materi, memberikan contoh
      penyelesaian perhitungan, sedangkan mahasiswa memperhatikan
      dan melengkapi catatan.
   c. Dosen memberikan tugas kelas dan mahasiswa mengerjakan tugas
      kelas.
   d. Dosen memberikan memberikan PR dan mengumpulkan tugas kelas
      serta PR sebelumnya.
   e. Dosen menyimpulkan materi ajar.




7. Bahan Bacaan Perkuliahan
   a. E.J Purcell (1984) Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 1. Penerbit
      Erlangga. Jakarta.
   b. Wirodikromo, Sartono, Drs. (2005). Matematika Berdasar Kurikulum
      Berbasis Kompetensi. Penerbit Erlangga. Jakarta.



Matematika Teknik I                                                         46
     c. Anton, Howard. (1995) Aljabar Linear Elementer. Edisi Kelima.
        Penerbit Erlangga. Jakarta. Indonesia.
     d. Buku-buku sejenis dan relevan.


8. Tugas-tugas
        Tugas kelas diberikan setiap kali kuliah dan dikumpul pada akhir
   perkuliah yang bersangkutan (tidak dibawa pulang). Sedangkan tugas
   rumah (PR) harus dikumpul juga pada akhir perkuliahan berikutnya.

9. Kriteria Penilaian

    Nilai Angka              Nilai Mutu         Angka Mutu           Sebutan Mutu
     81 – 100                     A                 4                  Amat Baik
      66 – 80                     B                 3                    Baik
      56 – 65                     C                 2                   Cukup
      41 – 55                     D                 1                   Kurang
       0 – 40                     E                 0                   Gagal

Untuk menentukan nilai akhir digunakan pembobotan sebagai berikut:
1. Tugas-tugas           = 25 %
2. Ujian Mid Semester    = 25 %
3. Ujian Akhir           = 25 %
4. Kehadiran             = 25 %
   J u m l a h           = 100 %

Catatan Penting:

                               Nilai Mid  Nilai UAS  Nilai Tugas  Absen
1. Rumus Nilai Akhir: . NA 
                                                    4
 2. Hadir < 80% nilai langsung E.
3. Mahasiswa terlambat lebih dari 15 menit, tercatat sebagai tidak hadir
    (absen), tetapi tetap dibolehkan mengikuti kuliah.


10. Jadwal Perkuliahan
PERTEMUAN                            POKOK BAHASAN                           DAFTAR
     KE-                                                                     BACAAN
      1                                        2                                3
        1-2           Sistem Persamaan Linear dan Matrik, Solusi SPL C. hal 1-39.
                      dengan Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan

         3            Solusi SPL dengan Invers Matrik                      C. hal. 40-58.

         4            Solusi SPL dengan Determinan (Aturan Cramer)         C. hal. 59-89.

         5            Sistem Bilangan Ril                                  A. hal. 2-10.

         6            Solusi Persamaan dan Ketaksamaan                     A. hal. 11-21.

         7            Sistem Koordinat Kartesius dan Persamaan Lingkaran   A. hal. 22-26.


Matematika Teknik I                                                               47
         8            Persamaan Garis Lurus dan Grafik Persamaan           A. hal. 27-42.

         9            Mid Semester

     10 - 11          Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri.       A. hal. 44-56

        12            Limit dan Turunan                                    A. hal. 66-73.

     13 - 14          Aturan Mencari Turunan dan Turunan Sinus Kosinus.    A. hal. 98-129.

        15            Aturan Rantai dalam Mencari Turunan.                 A. hal. 129-141.

        16            Turunan Tingkat Tinggi dan Arti Fisik dari Turunan   A. hal. 141-148.



                                                       Padang, September 2009
Perwakilan Mhs,                                        Dosen yang bersangkutan,



…………………                                                Yoszi Mingsi Anaperta
NIM……………                                               NIP. 19790304 200801 2 010




Matematika Teknik I                                                               48
                                                BAB II
                       SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK


               Dalam bagian ini akan dijelaskan bagaimana kita dapat menyelesaikan
     atau memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan metoda matrik.
               Diharapkan mahasiswa mampu menyelesaikan atau memecahkan soal-
     soal sistem persamaan linier (SPL) dengan metoda matrik tersebut.
               Semesta pembicaraan tentang persamaan linier dan matrik meliputi
     sistem persamaan linier, matrik, eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan,
     operasi hitung matrik, matrik transpos dan matrik invers, determinan, serta
     ekspansi kofaktor dan aturan Cramer.


A. Sistem Persamaan Linear
          Dalam ilmu matematika kita mengenal berbagai jenis persamaan. Bentuk
  persamaan:
          Y = 2 X3 + 4 X2 + 2 X -- Y = f (X)
   disebut dengan persamaan pangkat tiga. Pemecahannya dapat menggunakan limit
   atau differensial.
          Bentuk persamaan
          X2 - 4X + 4 = 0
    disebut dengan persamaan kuadrat. Pemecahannya dapat                 menggunakan
pemfaktoran atau dengan rumus ABC.
           Secara aljabar, sebuah garis yang berada pada bidang xy dapat dinyatakan
     dalam bentuk
                      a1x + a2y = b
     Persamaan seperti ini dinamakan persamaan linier dengan variabel (peubah) x
     dan y.
             Selanjutnya secara umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel,
     (x1, x2, .......xn ) seperti
                      a1x1 + a2x2 + ...........+anxn = b
     dimana a1, a2 .......an dan b adalah konstanta-konstanta ril




Matematika Teknik I                                                                   49
     Contoh 1
     Beberapa persamaan linier:
          x + 3y = 7                    x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7
          y = ½ x + 3z + 1              x1 + x2 + ........+ xn = 1
              Dapat kita lihat bahwa persamaan linier tidak melibatkan hasil kali atau
     akar variable, tidak juga melibatkan variabel fungsi trigonometrik, fungsi
     logaritma, atau fungsi eksponensial
              Beberapa persamaan berikut bukanlah persamaan linier
              X + 3y2 = 9               3x – 2y + z + xy = 8
              X + sin x = 0             √x1 + 2x2 + x3 = 7


      Bentuk persamaan-persamaan berikut:
      2X + 3Y + 7Z = 48
      3X - Y + 5 Z = 28
      3X + 2Y + 5Z = 37
      disebut dengan sistem persamaan linear simultan . Penyelesaian persamaan jenis
ini dapat dilakukan dengan metode substitusi, eliminasi, determinan, dan matriks.
Setiap metode itu akan memberikan hasil yang sama untuk setiap variabel. Pada bab
ini pembahasan difokuskan pada penyelesaian persamaan simultan dengan metode
matriks dan determinan


B. Matrik
               Matrik adalah sederetan bilangan berbentuk segi empat yang dibatasi
     oleh sepasang kurung, yang biasanya merupakan ungkapan koefisien dari satu
     atau beberapa persamaan linear atau sistem persamaan linier (SPL).
     Matrik diungkapkan dengan huruf kapital, seperti [A].
                Sistem Persamaan Linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik
     sebagai berikut:
          2     3     7       X            48
          3 -1        5       Y    =       28
          3     2     5       Z            37


          [A]               [V]         [H]



Matematika Teknik I                                                                50
     [A] adalah matrik koefisien variable atau disebut juga matrik yang diperbesar
     dari variable peubah SPL, [V] adalah matrik variable dan [H] matrik hasil SPL.

     Angka-angka yang ada dalam matrik tersebut dinamakan entri atau elemen.

              Ukuran suatu matrik selalu diucapkan dalam bentuk m x n, dimana m
     adalah jumlah baris dan n adalah banyaknya kolom. Jika m = n maka berarti
     matrik itu adalah matrik bujur sangkar (n x n).
              Matrik digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan penerapan operasi
     baris elementer (OBE) atau eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan. Tetapi
     jika SPL yang ada hanya terdiri dari dua baris persamaan linier, seperti:
     Contoh 2. Tentukan pemecahan dari SPL berikut.
      2X + 3Y = 13
      3X - Y          = 3
     maka pemecahan yang paling sederhana adalah dengan eliminasi dan subtitusi.
               Untuk eliminasi sederhana ini, dilakukan dengan mengalikan salah satu
     persamaan dengan suatu angka tertentu, sehingga salah satu variabelnya dapat
     saling menghilangkan dan selanjutnya dilakukan subtitusi secara bergantian.
     Untuk jelasnya perhatikan sebagai berikut.
      2X + 3Y = 13           x3         6X + 9Y = 39
      3X - Y          = 3    x2         6X – 2Y = 6     (-)
                                            11Y= 33
     Berarti Y = 3
     Dengan mensubtitusikan nilai Y = 3 ke sembarang persamaan di atas, misalnya
     2X + 3Y = 13  2X + 3 . 3 = 13  2X = 4 atau didapat harga X = 2.


C. Eliminasi Gauss
              Eliminasi Gauss adalah OBE untuk mendapatkan suatu matrik eselon
     terreduksi (MER), dimana elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan bawah
     bernilai 1 (satu) dan pivot bawah (elemen segitiga bawah) bernilai 0 (nol).
     Setelah didapatkan MER tersebut dilakukan penyulihan dari belakang.

     Contoh 3

                Tentukanlah harga X1, X2, dan X3 dari SPL berikut dengan cara eliminasi
     Gauss!



Matematika Teknik I                                                                  51
                   X1 + X2 + 2X3 = 9
                  2X1 + 4X2 - 3X3 = 1
                  3X1 + 6X2 - 5X3 = 0
      Penyelesaian:
      1. Buat matrik lengkap dari SPL tersebut.
                                    1   1    2    9
                                    2   4 -3      1
                                    3   6 -5      0


      2. Lakukan OBE untuk mendapatkan MER.
               1      1     2   9       s.ulang b1    1   1       2 9       s.ulang b1
               2      4 -3       1      b2 – 2b1      0   2 -7 -17          b2 x 
               3      6 -5       0      b3 – 3b1      0   3 -11 -27         s.ulang b3


         1     1       2        9        s.ulang b1           1   1     2    9       s.ulang b1
         0     1 -7/2 -17/2              s.ulang b2        0 1 -7/2 -17/2            s.ulang b2
         0     3      -11       -27         b3-3b2        0 0 -1/2 -3/2              b3 x (-2)


        1     1        2        9           (*)
        0     1 -7/2 -17/2
        0     0        1        3


   Dari keadaan (matrik*) di atas sudah dapat ditentukan harga masing-masing
   variable (anu), yang mana pada keadaan ini dilakukan penyulihan dari belakang.

    Dari baris ketiga didapatkan harga X3 = 3
    Dari baris kedua dapat dibuat persamaan: X2 – 7/2 X3 = -17/2, dengan
    memasukkan harga X3 = 3 diperoleh harga X2 = 2.
    Dari baris kesatu dibuat persamaan: X1 + X2 + 2X3 = 9, dengan memasukkan
    harga X2 = 2 dan harga X3 = 3 didapatkan harga X1 = 1.
               Jadi hasil eliminasi Gauss menunjukkan bahwa harga X1 = 1, harga,
     X2 = 2, dan harga X3 = 3.




Matematika Teknik I                                                                               52
D. Eliminasi Gauss Jordan
                Jika terhadap matrik* di atas dilakukan lagi operasi baris elementer
     (OBE), sehingga didapat MER dengan bentuk entri diagonal kiri atas ke kanan
     bawah bernilai 1 (satu) dan pivot atas bernilai 0 (nol), maka metoda ini
     dinamakan eliminasi Gauss Jordan. Pemecahan SPL sudah langsung dapat
     diperoleh dari MER tersebut.


     Contoh 4


          1         1     2     9        b1-2b3             1 1     0   3       b1-b2
          0         1 -7/2 -17/2         b2 +7/2b3           0 1    0   2       s.ulang b2
          0         0     1     3        s.ulang b3          0 0    1       3   s.ulang b3


           1        0      0   1        (**)
           0        1      0   2
           0        0      1   3


        Dari keadaan (matrik**) di atas langsung dapat diperoleh nilai variable:
         X1 = 1                X2 = 2             X3 = 3.


       Soal-soal
        1. Pecahkanlah sistem persamaan linier (SPL) berikut dengan methoda
              Eliminasi Gauss!
              a.        - X – 2Y + 3Z = 1                   b. X1 + 2X2 + 3X3 = 5

                         X + Y + 2Z = 8                       2X1 + 5X2 + 3X3 = 3

                        3X - 7Y + 2Z = 6                       X1       + 8X3 = 17


               c.        P + Q + 2R = 8
                        3P – 7Q + 2R = 6
                         P – 2Q + 3R = 7


           2. Pecahkan sistem persamaan linier (SPL) pada soal 1 di atas dengan
                metoda eliminasi Gauss Jordan!


Matematika Teknik I                                                                          53
E. Operasi Hitung Matrik
    1. Macam-macam matrik
       a. Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan
            pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan
            duplikat dari matrik yang lainnya.


            Contoh 5
                               1    2   3                            1   2    3
                          A=    2   4   6                   B=       2   4     6
                               3    4   7                            3   4    7
            dikatakan bahwa A = B.
       b. Matrik Nol adalah matrik yang semua entrinya nol.
       c. Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri
            atas ke kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.
            Contoh 6

                                             1       0       0               Pivot atas

                      1    0                 0          1    0               Diagonal

                      0    1                    0       0        1

                                                    Pivot bawah

             Catatan:

             Perkalian sembarang matrik dengan matrik I dalam pangkat yang sama

             adalah = perkalian dengan angka 1 atau menghasilkan matrik itu juga.

       d. Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi
             diagonalnya ≠ 1
                                        2   0       0

             Contoh 7. Matrik B =       0   3       0        adalah matrik skalar.

                                        0   0       4




Matematika Teknik I                                                                       54
     2. Operasi-operasi hitung dalam matrik

               Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah pertambahan,
       perkurangan, dan perkalian.



        a. Pertambahan dan Perkurangan

                      Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B
             atau A + B = jumlah elemen-elemen yang seletak.



                                   1 2 3                 2   3   0

             Contoh 8       A=     0 2 4          B=    -1 2     5



                                        3 5 3

                            A+B=        -1 4 9



             Catatan:

             Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat
             dijumlahkan atau dikurangkan.



             Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana A – B akan
     sama dengan A + (-B).

                                   1 2 3                 2   3   0

             Contoh 9       A=     0 2 4          B=    -1 2     5



                                        -1 -1 3

                            A-B=         1 0 -1




Matematika Teknik I                                                                        55
               Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu
     matrik dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.

     Contoh 10

     k=3

              -1 -2                                       -1 -2                     -3 -6

     A=        2       3            k.A = 3.A = 3        2        3            =   6 9



     Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.

     Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:

     1) Komutatif                    A+B=B+A

     2) Assosiatif                   A + (B + C) = (A + B) + C

     3) Perkalian skalar              k (A + B) = k A + k B = (A + B) k

     Soal-soal

     1. Jika diketahui matrik

                   1       2   -1    0               3    -4       1        2

          A= 4 0               2     1        B=      1    5       0 3

                      2 -5     1      2               2   -2           3 -1

           Tentukan:

            a. A + B

            b. A – B

            c. Jika k = -2 hitung kB

            d. Buktikan hukum komutatif                        1       4 -2         3

             e. Buktikan hukum assosiatif jika C =             4        0       2   2

                                                               4        6       3   3




Matematika Teknik I                                                                         56
     b. Perkalian matrik
         Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)
                                                1
          Contoh 11         2    3    4         -1      =        7
                                                2
                                1x3             3x1      =       1x1


          Contoh 12
                                2 3 4           2            5
                                5 6 7           -5      =    8
                                                4


                                2x3             3x1      =       2x1


          Pola dasar perkalian matrik adalah sebagai berikut:
                a11 a12 a13                          b11 b12 b13
        A = a21 a22 a23                    B=        b21 b22 b23
                a31 a32 a33                          b31 b32 b33




                a11b11 + a12b21 + a13b31   a11b12 + a12b22 + a13b32    a11b13 + a12b23 + a13 b33
     AB =       a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32      a21b13 + a22b23 + a23 b33
                a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32      a31b13 + a32b23 + a33 b33


               Dari contoh 11 dan 12 di atas dapat terlihat bahwa dua matrik yang dapat
     diperkalikan adalah jika jumlah kolom matrik yang dikalikan sama dengan
     jumlah baris matrik pengali dan tidak harus jumlah baris matrik yang dikali sama
     dengan jumlah kolom matrik pengali. Secara lebih tegas dikatakan bahwa A x B
     terdefinisi bila banyak kolom A = banyak baris B, tetapi B tidak perlu
     bersesuaian dengan A.


     c. Hukum perkalian
     1. Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC


Matematika Teknik I                                                                           57
     2. Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC
     3. Assosiatif                -- A ( BC ) = ( AB ) C
          Tetapi AB  BA (secara umum)
          AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0
          AB = AC tidak perlu B = C
          IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).
     4. Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran atau
          komutatif.
                                        a b                    c d
          Contoh 13               A=    b    a        B=       d c    Disini AB = BA (buktikanlah!)


     Soal-soal
     Hitung perkalian matrik berikut!
                                        1 2
     1.         1      2      1          4 7
                                         6 3


                 1        2    1         3 -4
     2          4      0      2          1   5
                                        -2 2


                2 4           7          4   6    9
     3.         3 5           8          3   5    8
                4      6      9          2   4    7




     4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta hukum
          assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ?


                      1       2 3                4    3    2              1   6 3
          A=          4       0 3       B=       1    7    2         C=   7   3 3
                      2       1 4                4    3    6              4   4 3




Matematika Teknik I                                                                              58
     5. Pecahkanlah persamaan matrik berikut untuk a, b, c, dan d
               a-b    b+c                8   1
             3d + c   2a – 4d    =       7   6




F. Matrik Transpose
               Matrik transpose (lambangnya AT) adalah suatu matrik yang diperoleh
     dari pertukaran baris dengan kolomnya.


                            1    2   3                        1     4   2
     Contoh 14        A= 4      0    3            AT =       2     0   1
                            2    1   4                        3     3   4


     Sifat-sifat Transpose: 1. ( AT )T = A
                            2. ( k A )T = k AT
                            3. ( A + B )T = AT + BT
                            4. ( AB )T = BT AT


     Pembuktian dari sifat-sifat matrik transpos di atas diharapkan sebagai tugas
     latihan saudara, yakni: Tentukan dua matrik sembarangan dan satu
     skalar, lalu uji keempat sifat transpose di atas!.


G. Matrik Invers
     Jika A dan B masing-masing adalah matrik bujur sangkar sedemikian rupa,
     sehingga AB = BA = I, maka B disebut balikan A dan A balikan B (ditulis B =
     A-1 atau A = B-1).


                                1 2 3                     6 -2 -3
       Contoh 15      A=        1 3 3            B=       -1 1 0
                                1 2 4                     -1 0 1


                                             1    0   0
                      AB = BA = I =          0 1      0


Matematika Teknik I                                                                 59
                                                         0 0     1


        Sifat Invers: A.A-1 = I               A-1.A = I
                           A-n = A-1. A-1. A-1…… A-1 (Factor n).


       1. Invers matrik 2 x 2
                      a b                            1           d -b
          A=          c d        A-1 = ad – bc                  -c        a


          Catatan: ad – bc dinamakan determinan.

                                    1    2
          Contoh 16 A =             3    4           determinan A = | A | = 1.4 – 3.2 = -2




                                               4 -2                   -2       1
                            A-1 = 1/-2         -3 1          = 3/2 -1/2




        2. Invers matrik 3 x 3
                       Matrik invers dari suatu matrik yang diberikan dapat ditentukan
             dengan jalan menggandengkan matrik yang akan dicari inversnya dengan
             matrik I dalam ukuran yang sama, lalu lakukan OBE, sehingga didapatkan
             matrik I berada di sebelah kiri. Matrik yang berada di sebelah kanan
             otomatis sebagai matrik invers dari matrik tersebut.
             Contoh 17. Carilah invers dari
                                                         1   2       3
                                         A=           2      5   3
                                                         1   0       8
            Penyelesaian:


             1 2       3    1   0   0        t.ulang b1          1       2     3 1 0 0   t.ulang b1
             2 5       3    0   1   0        b2-2b1              0 1 -3 -2 1 0           t.ulang b2
             1 0       8    0   0   1        b3-b1               0 -2 5 -1 0 1           b3+2b2



Matematika Teknik I                                                                                   60
             1    2    3       1    0    0 t.ulang b1         1 2 3     1 0 0        b1-3b3
             0    1 -3      -2 1        0        t.ulang b2   0 1 -3 -2 1 0          b2-3b3
             0    0 -1 -5 2              1        b3x (-1)    0 0 1 5 -2 -1          t.ulang b3


             1 2       0 -14           6 3 b1–2b2             1 0 0 -40 16 9 (***)
             0 1       0    13 -5 -3 t.ulang b2               0 1   0   13 -5 -3
             0 0       1       5    -2 -1 t.ulang b3          0 0 1      5   -2 -1


            Dari matrik (***) di atas terlihat bahwa invers dari A atau


                           -40 16        9
             A-1 =         13      -5 -3
                           5       2    -1


             Catatan:

                      Jika dalam OBE didapatkan baris yang bernilai 0 0 0, maka tidak ada
             invers.


                                             1      6   4
             Contoh 18             A=        2      4   -1     Tentukanlah A-1
                                             -1     2   5




     1. Pemakaian Invers untuk Memecahkan SPL
                      Jika A adalah matrik n x n dapat dibalik, maka untuk setiap matrik B
          dengan n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan, yakni
          X = A-1 . B.




Matematika Teknik I                                                                               61
          Contoh 19. Pecahkan SPL berikut dengan menerapkan rumus:
                            X = A-1 . B
                            X1 + 2X2 + 3X3 = 5

                        2X1 + 5X2 + 3X3 = 3

                            X1       + 8X3 = 17


         Penyelesaian:


                  1     2    3                  X1                         5
         A=        2    5    3            X = X2                  B=       3
                  1     0    8                  X3                         17


         Karena matrik A = matrik yang terdapat pada contoh 17 di atas, maka berarti:


                       -40 16 9
           -1
         A =           13 -5 -3
                       5     -2 -1


                                          -40 16 9           5             1
         Rumus: X = A-1 x B =             13 -5 -3           3      = -1
                                           5   -2 -1         17            2


         Jadi diperoleh:         X1 = 1        X2 = -1            X3 = 2


         Rumus: X = A-1 x B dapat dilakukan untuk sederet SPL yang mempunyai A
         sebagai matrik koefisiennya.


         Soal-soal
         Pecahkan SPL-SPL berikut dengan penerapan rumus: X = A-1 x B
          a. X1 + 2X2 + 3X3 = 4                      b. X1 + 2X2 + 3X3 = 1

                2X1 + 5X2 + 3X3 = 5                    2X1 + 5X2 + 3X3 = 6

                 X1         + 8X3 = 9                   X1         + 8X3 = -6

Matematika Teknik I                                                                62
          c. X + Y + 2Z = 9                      d. P + 2Q + 2R = -1
             2X + 4Y - 3Z = 1                        P + 3Q + R = 4
             3X + 6Y - 5Z = 0                        P + 3Q + 2R = 3


H. Determinan Matrik
             Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu
     matrik. Determinan A ditulis det (A) atau |A|
             Penentuan determinan suatu matrik dapat dilakukan dengan cara Sarrus dan
     Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris atau Kolom.


     1. Cara Sarrus
        Untuk Matrik 2 x 2
                                    a11 a12
                                    a21 a22


         Determinan matrik 2 x 2 di atas adalah (a11.a22) – (a21.a12)
         Untuk Matrik 3 x 3
                                    a11 a12     a13 a11 a12
                                    a21   a22 a23 a21 a22
                                    a31   a32 a33 a31 a32


          Determinan matrik 3 x 3 di atas adalah:
          (a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32) – (a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)


          Contoh 20. Hitunglah determinan matrik berikut!
                                                              1    2   3
                        A=     3    1                B=      -4 5      6
                               4    -2                        7 -8     9




Matematika Teknik I                                                                       63
          Penyelesaian:
              3       1                     1   2   3    1   2
              4       -2               B=   -4 5    6 -4 5
                                            7 -8    9    7 -8
           |A| = {3 . (-2)} – {4 . 1} = - 6 – 4 = -10


            |B| = {1 . 5 . 9 + 2 . 6 . 7+ 3 . (-4) . –8} – {3 . 5 . 7 + 1 . 6 .(-8) + 2 . (-4) . 9}
            |B| = {45 + 84 + 96} – {105 – 48 – 72}
            |B| = 225 + 15
            |B| = 240.


     2. Cara Ekspansi Baris atau Kolom
                  Ekspansi baris dalam menentukan determinan adalah menjumlahkan
          hasil kali elemen baris atau kolom yang dipilih dengan masing-masing
          minornya (elemen yang tidak termasuk dalam baris dan kolomnya).

                  Dalam penerapan cara ekspansi baris atau kolom ini harus diperhatikan
          tanda posisi elemen tersebut. Dalam perjanjian tanda yang ada secara
          internasional posisi tanda elemen tersebut adalah sebagai berikut:


                           + - +
                           - + -
                           + -   +


           Contoh 21. Tentukanlah determinan matrik berikut!

                             1     2   3
                             -4 5      6
                             7 -8      9




Matematika Teknik I                                                                             64
   Penyelesaian: Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris pertama,


                          5 6                  -4    6           -4   5
          |B| = 1         -8       9      -2    7    9        +3 7    -8


          |B| = 1 {5.9-(-8).6} - 2{(-4).9-7.6} + 3{(-4).(-8)-7.5}
          |B| = 1 { 45 + 48 } – 2{ -36 – 42 } + 3 { 32 –35 }
          |B| = 1 . 93 – 2 . (-78) + 3 . (-3)
          |B| = 93 + 156 – 9
          |B| = 249 – 9
          |B| = 240 (cocokkan dengan cara Sarrus)


         Jika ekspansi dilakukan dengan mengambil kolom pertama, hasilnya adalah:
                      5        6               2 3             2 3
          |B| = 1     -8 9             - (-4) -8 9       +7    5 6


          |B| = 1 {5.9-(-8).6} + 4{2.9-(-8).3} + 7{2.6-5.3}
          |B| = 1 { 45 + 48 } + 4 { 18 + 24} + 7 {12 – 15}
          |B| = 1 . 93 + 4 . 42 + 7 . (-3)
          |B| = 93 + 168 – 21
          |B| = 261 – 21
          |B| = 240 (cocok dengan cara ekspansi sepanjang baris pertama)
                  Demikian selanjutnya bahwa untuk mencari determinan dapat
          dilakukan ekspansi sepanjang kolom atau baris mana saja dan akan
          memberikan hasil yang sama. Buktikan sendiri!



      3. Sifat-sifat Determinan

                  Jika A adalah sembarang matrik kuadrat, determinan A = determinan
          AT. Karena hasil ini, maka hampir setiap determinan yang mengandung
          perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila kata kolom


Matematika Teknik I                                                                   65
          disubtitusikan untuk baris. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita
          hanya perlu mentranspos (memindahkan) matrik yang ditinjau.



          Contoh 22. Buktikan det A = det AT

                         1    2   3

                  A=     4    5   6

                         7    8   9



          Jawab:

                         1    4   7

                  AT = 2      5   8

                         3    6   9



                  Det A = 1 (45 - 48) – 2 (36 - 42) + 3 (32 - 35)

                  Det A = - 3 + 12 – 9

                  Det A = 0




                  Det AT = 1 (45 – 48) – 4 (18 – 24) + 7 (12 – 15)

                  Det AT = - 3 + 24 – 21

                  Det AT = 0 (Terbukti).

                  Determinan dapat dihitung dengan menggunakan OBE untuk
          mereduksi A pada eselon baris. Sebaliknya kita dapat menaruh A pada
          bentuk pivot bawah dalam beberapa langkah reduksi.

         Contoh 23. Tentukan determinan matrik A berikut dengan reduksi.

                              1   0   0   3

                              2   7   0   6


Matematika Teknik I                                                              66
                           0    6       3       0

                           7    3       1 -5



          Jawab:      Dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat,
                      kita dapatkan matrik:

                           1    0       0       0

                           2    7       0       6

                           0    6       3 0

                           7    3       1 -26

                      Selanjutnya nilai determinannya adalah perkalian angka-angka
                      yang terdapat sepanjang diagonal utama, yakni:

                      Det A = (1) (7) (3) (-26) = -546.

          Contoh 23 di atas memperlihatkan bahwa adalah merupakan hal yang paling

          tepat untuk selalu jeli memperhatikan operasi kolom dimana memungkinkan

          guna meringkas perhitungan.



         Jika A adalah matrik n x n dan k adalah skalar, maka det (kA) = kn det A.

         Untuk membuktikan hal ini perhatikan contoh berikut.

             Contoh 24. Hitunglah determinan matrik 5A, jika:

                                        3       1

                          A=            2       2



             Jawab:    kA = 5       3       1       = 15   5

                                    2       2         10 10



                       Det A = 6 – 2 = 4

                       Det kA = kn det A


Matematika Teknik I                                                                  67
                       150 – 50 = 52 . 5

                       100               = 100 (terbukti)



              Jika A, A’, dan A” adalah matrik n x n yang hanya berbeda dalam baris
   tunggal, misalnya baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A” dapat
   diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari
   A dan dalam baris ke r dari A”, Maka det (A”) = det (A) + det (A’)

             Contoh 25. Hitunglah det (A”), jika

                                 1             7         5

                      A” =       2             0         3

                              1+0          4+1         7+(-1)



       Jawab: det (A”) = det (A) + det (A’)

                      1          7                 5            1   7   5               1    7   5

             det      2          0             3        = det 2     0   3       + det   2    0   3

                      1+0        4+1       7+(-1)               1   4   7               0    1   -1



                             1       7     5                    1   7   5               1    7   5

              det            2       0     3           = det 2      0   3       + det   2    0   3

                             1       5     6                    1   4   7               0    1   -1




              1(-15) – 7(9) + 5(10) = 1(-12) – 7(11) + 5(8)                 + 1(-3) – 7(-2) + 5(2)

              -15 – 63 + 50                 = -12 – 77 + 40                 + -3 + 14 + 10

                             - 28          =           - 49                 +           21

                             - 28          = - 28 (terbukti).




Matematika Teknik I                                                                                   68
               Sebuah matrik yang mempunyai determinan = 0, tidak mempunyai
       invers.



        Soal-soal
        1. Tentukan |A|, |B|, dan |C| dari matrik berikut!


                                   2   7    8             4 8 12                  0 1   5
                          A=       3   2    4    B=       0       1       4   C = 3 -6 9
                                   2   7    8             1       2       1       2 6   1


       2. Buktikan bahwa det (AB) = det (A) det (B) bila:
                      2   1 0                             1 -1            3
           A = 3          4    0                B=        7       1       2
                      0   0    2                          5       0       1




       3. Buktikanlah bahwa det (A) = det (AT) untuk


                      1 2 7                           1 -1            3
           A = -1 0 6                           B= 7          1       2
                      3   2 8                         5       0       1




I. Ekspansi Kofaktor
                Jika A adalah suatu matrik kuadrat, maka minor entri aij didefinisikan
     menjadi determinan submatrik yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j
     dicoret dari A.
                Bilangan (-1)I+j .Mij dinyatakan dengan Cij dan dinamakan kofaktor
     entri aij.
                                   3 1 -4
     Contoh 26.           A=       2 5 6
                                   1 4 8




Matematika Teknik I                                                                         69
Minor entri a11 adalah           M11 = 5        6       = 16
                                            4    8


Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1.M11 = M11 = 16


                                            3    -4
Demikian juga minor entri         a32 =     2    6        = 26




Kofaktor a32 adalah C32 = = (-1)3+2.M32 = -M11 = -26


Definisi: Jika A adalah sembarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
matrik :
               C11 C12 …. C1n
               C21 C22 …. C2n


               Cn1 Cn2 …. Cnn




dinamakan matrik kofaktor A. Transpos matrik ini dinamakan
adjoin A dinyatakan dengan adj(A).

                       3 2 -1
Contoh 27 A =         1 6 3
                      2 -4 0


Kofaktor A adalah: C11 = 12               C12 = 6                C13 = -16
                       C21 = 4            C22 = 2                C23 = 16
                       C31 = 12           C32 = -10              C33 = 16
Sehingga matrik kofaktornya adalah:

   12      6 -16                            12       4     12
    4      2    16       dan Adj (A) = 6             2    -10
  12 -10        16                         -16 16         16


Matematika Teknik I                                                          70
Selanjutnya matrik Adj(A) di atas dapat kita gunakan untuk menentukan invers A


Jika A adalah matrik yang dapat dibalik maka A-1 = 1/|A| x Adj(A)


                                                  3 2 -1
Contoh 28: Tentukanlah A-1 dari A = 1                   6   3
                                                  2 -4      0




Jawab:      |A| = 3 (12) – 2 (-6) –1 (-16) = 36 + 12 + 16 = 64


                                         12   4   12
  -1
A = 1/|A| x Adj(A) = 1/64                6    2   -10
                                         -16 16   16

          12/64   4/64 12/64


A-1 =      6/64       2/64   -10/64

         -16/64   16/64 16/64




J. Aturan Cramer


Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n bilangan tak
diketahui, sehingga det A  0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang
unik sebagai berikut:
X1 = |A1|/|A|,          X2 = |A2|/|A|,    Xn = |An|/|A| dimana A1, A2, ..An adalah matrik yang
kita dapatkan dengan mengganti entri-entri kolomnya dengan entri hasil sistem
persamaan linearnya.


Contoh 29. Pecahkanlah SPL berikut dengan Aturan Cramer!
  X1 +            + 2X3 = 6
-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30



Matematika Teknik I                                                                        71
- X1 – 2X2 + 3X3 = 8




                              1    0    2
Penyelesaian: A =             -3 4      6           |A| = 44
                              -1 -2    3


                              6    0    2
                      A1= 30 4         6            |A1| = -40
                              8 -2     3


                              1    6    2
                  A2 = -3 30 6                      |A2| = 72
                              -1 8     3


                              1    0    6
                 A3 = -3 4             30           |A3| = 152
                              -1 -2    8


Maka dengan demikian diperoleh:
X1 = -40/44 = - 10/11
                                       X2 = 72/44 = 18/11
                                                                  X3 = 152/44 = 38/11
Soal - soal
1. Dengan menerapkan Adjoin matrik tentukanlah invers dari matrik berikut:


                      0   1    2                    1   0    1
          A=          2   4   3             B=     -1 3     0
                      3   7    6                   1    0   2


Matematika Teknik I                                                                     72
2. Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer
     a. 4X + 5Y                =2              b. P - 3Q + R = 4
          11X + Y + 2Z = 3                       2P –       Q          =-2
            X + 5Y + 2Z = 1                      4P             - 3R = 0


     c. 2A – B + C = 8                         d. 2X1 – X2 + X3 – 4X4 = -32
          4A + 3B + C = 7                       7X1 + 2X2 + 9X3 – X4 = 14
          6A + 2B + 2C = 15                     3X1 – X2 + X3 + X4 = 11
                                                 X1 + X2 – 4X3 – 2X4 = -4


Soal-soal Rangkuman
1. Carilah matrik diperbesar dari SPL berikut.
     a.    X – 2Y          =0                          b. X1           + X3 = 1
           3X + 4Y         = -1                         -X1 + 2X2 - X3 = 3
           2X - Y          = 3


     c. A                 +C              =1           d. X1            =1
               2B         -C          +E=2                         X2 = 2
                          2C + D          =3


2. Carilah persamaan linier atau sistem persamaan linier yang bersesuaian dengan
     masing-masing matrik diperbesar berikut.


                      1    0      0                     1      0   0
               a.     0    1      0               b.    0      1   0
                      0 -1        2                     1 -1       1




                      1    2   3      4   5             1      0   0    0    1
               c.     5    4   3      2   1       d.    0      1   0    0    2
                                                        0      0   1    0    3
                                                        0      0   0    1    4



Matematika Teknik I                                                               73
3. Pecahkanlah SPL berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
     a.      X1 + 3X2 - 2X3                + 2X5           = 0
             2X1 + 6X2 - 5X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6 = -1
                            5X3 + 10X4              + 15X6 = 5
             2X1 + 6X2               + 8X4 + 4X5 + 18X6 = 6


        b.       - X – 2Y + 3Z = 1             c.    X1 + 2X2 + 3X3 = 5

                 2X + 2Y + 4Z = 16                  2X1 + 5X2 + 3X3 = 3

                  3X - 7Y + 2Z = 6                    X1         + 8X3 = 17


4. Carilah invers dari matrik-matrik berikut


   a.        3    4    -1      b.      3   1   5           c. 1    0     1
             1    0    3               2   4   1             0     1     1
             2     5 -4                -4 2 -9               1     1     0




   d.        2     6   6       e.     1    0   1             f. 1/5      1/5        1/5
             2     7   6              -1   1   1                  1/5    1/5        -4/5
             2     7   7               0   1   0                  -2/5       2/10    1/10




5. Dengan menggunakan rumus X = A-1 B pecahkan SPL berikut.
   a. X1 + 2X2 = 7                                  b. 3X1 - 6X2 = 8
        2X1 + 5X2 = -3                                2X1 + 5X2 = 1


   c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1                           d. 2X1 + X2 + X3 = 7
          X1 + 3X2 + X3 = 4                           3X1 + 2X2 + X3 = -3
          X1 + 3X2 + 2X3 = 3                                      X2 + X3 = 5


6. Gunakan aturan Cramer untuk penyelesaian SPL berikut.
   a. X1 + 2X2 = 7                                  b. 3X1 - 6X2 = 8


Matematika Teknik I                                                                         74
      2X1 + 5X2 = -3                          2X1 + 5X2 = 1


   c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1                  d. 2X1 + X2 + X3 = 7
        X1 + 3X2 + X3 = 4                    3X1 + 2X2 + X3 = -3
        X1 + 3X2 + 2X3 = 3                           X2 + X3 = 5


   f. 4X + Y          +   Z +   W   = 6
      3X      + 7Y    -   Z +   W   = 1
      7X      + 3Y - 5Z + 8W        = -3
        X     + Y +       Z + 2W    = 3


REFERENSI
1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi
        Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.


2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia
        Pustaka Utama. Jakarta. 1993.




Matematika Teknik I                                                        75
Fakultas Teknik UNP                      Jurusan       : Teknik Sipil
Mata Kuliah : Matematika Teknik 1        Kode / Sks   : U137 / 2 Sks
Dosen       :                            Hand Out No. : 01.01.01.A

A. KOMPETENSI
     Kemampuan menyelesaikan system persamaan linier secara
     konvensional dan secara matrik (Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss
     Jordan).



B. MATERI

                       SISTEM PERSAMAAN LINIER, MATRIK,
                      ELIMINASI GAUSS DAN GAUSS JORDAN

I. Sistem Persamaan Linear dan Matrik


Macam-macam persamaan


     1. Y = 2 X3 + 4 X2 + 2 X -- Y = f (X)
     Pemecahannya dapat menggunakan limit atau differensial.


     2. X2 - 4X + 4 = 0
     Persamaan kuadrat, pemecahannya dapat menggunakan pemfaktoran
     atau dengan rumus ABC.


   3. 2X + 3Y + 7Z = 28           sistem persamaan linear (SPL)….
   3X - Y + 5 Z = 16           Pemecahan dengan eliminasi atau
                               dengan matrik.
Sistem persamaan linier (SPL), pemecahan dengan eliminasi atau dengan
`matrik.




Matematika Teknik I                                                        76
HANDOUT NO.: 01.01.01.A

     Matrik adalah sederetan bilangan berbentuk segi empat yang dibatasi
     oleh sepasang kurung, yang biasanya merupakan ungkapan koefisien
     dari satu atau beberapa persamaan linear (SPL).
     Matrik diungkapkan dengan huruf kapital, seperti [A].


     SPL 3 di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik sebagai berikut:


          2    3      7         X         28
          3 -1        5         Y   =         16
                                Z
              [A]         [V]           [H]


     [A] disebut matrik koefisien variable (disebut juga matrik yang diperbesar
     dari variable peubah SPL). [V] disebut matrik variable dan [H] matrik hasil
     SPL.


     Angka-angka yang ada dalam matrik tersebut dinamakan entri atau
     elemen.


     Ukuran suatu matrik selalu diucapkan dalam bentuk m x n, dimana m
     adalah jumlah baris dan n adalah banyaknya kolom. Jika m = n maka
     berarti matrik itu adalah matrik bujur sangkar.
     Matrik digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan penerapan operasi
     baris elementer (OBE) atau eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan.




Matematika Teknik I                                                           77
HANDOUT NO.: 01.01.01.A

II. Eliminasi Gauss
     Eliminasi Gauss adalah OBE untuk mendapatkan suatu matrik eselon
     terreduksi (MER), dimana elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan
     bawah bernilai 1 (satu) dan pivot bawah (elemen segitiga bawah) bernilai
     0 (nol). Setelah didapatkan MER tersebut dilakukan penyulihan dari
     belakang.


     Contoh soal: Tentukanlah harga X1, X2, dan X3 dari SPL berikut dengan
     cara eliminasi Gauss!
                      X1 + X2 + 2X3 = 9
                  2X1 + 4X2 - 3X3 = 1
                  3X1 + 6X2 - 5X3 = 0
Penyelesaian:
1. Buat matrik lengkap dari SPL tersebut.
                                  1     1    2   9
                                  2     4 -3     1
                                  3     6 -5     0


2. Lakukan OBE untuk mendapatkan MER.
         1    1       2       9    s.ulang b1        1   1   2   9   s.ulang b1
         2    4 -3            1       b2 – 2b1       0   2 -7 -17 b2 x 
         3    6 -5            0       b3 – 3b1       0   3 -11 -27 s.ulang b3


        1     1           2       9         s.ulang b1   1   1   2   9      s.ulang b1
        0     1 -7/2 -17/2 s.ulang b2                    0 1 -7/2 -17/2     s.ulang b2
        0     3       -11         -27       b3-3b2       0 0 -1/2 -3/2      b3 x (-2)




HANDOUT NO.: 01.01.01.A


Matematika Teknik I                                                                      78
     1      1         2   9   (*)
     0      1 -7/2 -17/2
     0      0         1   3


   Dari keadaan di atas sudah dapat ditentukan harga masing-masing

   variable (anu) yang mana pada keadaan ini dilakukan penyulihan dari

   belakang.

    Dari baris ketiga didapatkan harga X3 = 3
     Dari baris kedua dapat dibuat persamaan: X2 – 7/2 X3 = -17/2, dengan
     memasukkan harga X3 = 3 diperoleh harga X2 = 2.
     Dari baris kesatu dibuat persamaan: X1 + X2 + 2X3 = 9, dengan
     memasukkan harga X2 = 2 dan harga X3 = 3 didapatkan harga X1 = 1.
     Jadi hasil eliminasi Gauss menunjukkan bahwa harga X1 = 1, harga,
     X2 = 2, dan harga X3 = 3.


III. Eliminasi Gauss Jordan
Jika matrik (*) di atas di OBE kan lagi, sehingga didapat MER dengan bentuk
entri diagonal kiri atas ke kanan bawah bernilai 1 (satu) dan pivot atas
bernilai 0 (nol), maka metoda ini dinamakan eliminasi Gauss Jordan.


Contoh:


     1      1         2   9   b1-2b3       1   1   0   3   b1-b2
     0      1 -7/2 -17/2      b2 +7/2b3    0   1   0   2   s.ulang b2
     0      0         1   3   s.ulang b3   0   0   1   3   s.ulang b3




Matematika Teknik I                                                      79
HANDOUT NO.: 01.01.01.A

     1      0         0        1   (**)
     0      1         0        2
     0      0         1        3


Dari matrik (**) di atas langsung dapat diperoleh nilai variable:
X1 = 1                X2 = 2          X3 = 3.


Tugas Kelas
     1. Pecahkanlah SPL berikut dengan methoda Eliminasi Gauss Jordan!
    a.       - X – 2Y + 3Z = 1                  b. X1 + 2X2 + 3X3 = 5
                 X + Y + 2Z = 8                    2X1 + 5X2 + 3X3 = 3
             3X - 7Y + 2Z = 6                      X1      + 8X3 = 17


    c.          P + Q + 2R = 8
             3P – 7Q + 2R = 6
                P – 2Q + 3R = 7

A. REFERENSI

1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi
      Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.

2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia
      Pustaka Utama. Jakarta. 1993.




Matematika Teknik I                                                        80
Fakultas Teknik UNP                                Jurusan       : Teknik Sipil
Mata Kuliah : Matematika Teknik 1                  Kode / Sks   : U137 / 2 Sks
Dosen       :                                      Hand Out No. : 01.01.02.A

B. KOMPETENSI
      Kemampuan menyelesaikan sistem persamaan linier secara konvensional
      dan secara matrik (Operasi Hitung Matrik dan Invers Matrik).



C. MATERI

                          OPERASI HITUNG MATRIK DAN INVERS MATRIK


I. Macam-macam Matrik
1.        Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan
      pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan
      duplikat dari matrik yang lainnya.
2.        Matrik Nol, jika semua entrinya nol.
3.        Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri atas
      ke kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.
                                    1   0    0     Pivot atas
                  1        0        0 1      0      Diagonal
     Contoh:          0    1         0 0     1
                                            Pivot bawah
     Catatan:
     Perkalian matrik dengan matrik I = perkalian dengan 1.
4.        Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi
      diagonalnya tidak = 1




HANDOUT NO.: 01.01.02.A


Matematika Teknik I                                                                81
                  2        0   0
Contoh:               0    3   0
                  0        0   4


II. Operasi-operasi Hitung dalam Matrik
    Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah
    Penambahan, pengurangan, dan perkalian.


a. Penambahan dan Pengurangan
     Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B atau A +
     B = jumlah elemen-elemen yang seletak.


                          1 2 3        2   3    0
Contoh: A =               0 2 4     B = -1 2        5


           3 5 3
A + B = -1 4 9


     Catatan:
     Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat
     dijumlahkan.


     Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana A – B akan
     sama dengan A + (-B).


     Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu matrik
     dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.




HANDOUT NO.: 01.01.02.A

     Contoh: k = 3
         -1 -2                     -1 -2       -3 -6


Matematika Teknik I                                                           82
    A= 2        3     k.A = 3.A = 3     2        3   =   6 9


     Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.
     Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:
     1. Komutatif                 -- A + B = B + A
     2. Assosiatif                 -- A + (B + C) = (A + B) + C
     3. Perkalian skalar          -- k (A + B) = k A + k B = (A + B) k


Tugas Kelas                  1 2       -1       0                3        -4          1       2
Jika diketahui: A =           4 0       2        1        B= 1                5           0 3
                           2 -5    1        2                2       -2        3 -1
Tentukan: a. A + B
               b. A – B
               c. Jika k = -2 hitung kB
               d. Buktikan hukum komutatif                                        1       4 -2        3
               e. Buktikan hukum assosiatif jika                          C= 4                0   2       2
                                                                 4        6    3          3
b. Perkalian Matrik
Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)


                                            1
Contoh: 1.             2    3     4         -1       =   7
                                            2


                        1x3                 3x1 =        1x1




HANDOUT NO.: 01.01.02.A



                        2 3 4               2             5
               2.       5 6 7           -5           =    8



Matematika Teknik I                                                                                           83
                                      4
                         2x3         3x1     =    2x1


     Pola dasarnya adalah sebagai berikut:
         a11      a12   a13                         b11     b12     b13
 A = a21          a22   a23                B=       b21     b22     b23
         a31     a32    a33                        b31     b32     b33
          a11b11 + a12b21 + a13b31   a11b12 + a12b22 + a13b32     a11b13 + a12b23 + a13 b33
AB =      a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32       a21b13 + a22b23 + a23 b33
          a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32       a31b13 + a32b23 + a33 b33


     Hasil kali A x B terdefinisi bila banyak kolom A = banyak baris B, tetapi B
     tidak perlu bersesuaian dengan A.


c. Hukum Perkalian
5.        Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC
6.        Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC
7.        Assosiatif      -- A ( BC ) = ( AB ) C
     Tetapi AB  BA (secara umum)
     AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0
     AB = AC tidak perlu B = C
     IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).




HANDOUT NO.: 01.01.02.A

8.        Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran atau
     komutatif.
                         a    b               c d
     Contoh: A =         b     a      B=      d c         Disini AB = BA (buktikanlah!)


Matematika Teknik I                                                                           84
Tugas Kelas: Hitung perkalian matrik berikut!
                              1 2
1.             1      2   1   4 7
                              6 3
               1      2   1   3 -4
2              4      0   2   1    5
                              -2 2


                2 4       7   4     6   9
3.              3 5       8   3     5   8
               4      6   9   2     4   7
4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta
hukum assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ?
               1      2 3               4   3   2         1    6 3
     A=         4     0 3         B=    1   7   2   C=     7   3 3
                2     1 4               4   3   6          4   4 3


C. REFERENSI
1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi
      Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.

2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia
      Pustaka Utama. Jakarta. 1993.




Matematika Teknik I                                                        85
Fakultas Teknik UNP                          Jurusan       : Teknik Sipil
Mata Kuliah : Matematika Teknik 1            Kode / Sks   : U137 / 2 Sks
Dosen       :                                Hand Out No. : 01.01.03.A

A. KOMPETENSI
     Kemampuan menyelesaikan sistem persamaan linier secara
     konvensional dan secara matrik (Matrik Teranspos dan Invers Matrik).



B. MATERI

                      MATRIK TRANSPOS DAN MATRIK INVERS


d. Matrik Transpose

     Matrik transpose (lambangnya AT) adalah suatu matrik yang diperoleh
     dari pertukaran baris dengan kolomnya.


                      1   2   3                    1    4   2
Contoh: A =           4   0   3       -- AT =     2    0   1
                      2   1   4                    3    3   4


Sifat-sifat Transpose: 1. ( AT )T = A
                              2. ( k A )T = k AT
                              3. ( A + B )T = AT + BT
                              4. ( AB )T = BT AT


Tugas Kelas
Tentukan dua matrik sembarangan, lalu uji keempat sifat transpose di atas!.




HANDOUT NO.: 01.01.03.A


Matematika Teknik I                                                         86
e. Matrik Invers


     Jika A dan B masing-masing adalah matrik bujur sangkar sedemikian
     rupa, sehingga AB = BA = I, maka B disebut balikan A dan A balikan B
     (ditulis B = A-1 atau A = B-1).


                          1 2 3                          6 -2 -3
Contoh: A =               1 3 3                 B=       -1 1 0
                          1 2 4                          -1 0 1
                          1       0    0
AB = BA = I =             0 1         0
                          0 0          1
Sifat Invers: A.A-1 = I               A-1.A = I           A-n = A-1. A-1. A-1…… A-1
                                                               Factor n.


1)        Invers matrik 2 x 2



          a b                                   1         d -b
A=        c d         -- A-1 =            ad – bc        -c    a


Catatan: ad – bc dinamakan determinan.
                      1       2
Contoh: A =           3       4            determinan A = | A | = 1.4 – 3.2 = -2
                      4 -2                 -2        1
A-1 = 1/-2            -3 1            = 3/2 -1/2


Ujilah!




HANDOUT NO.: 01.01.03.A



Matematika Teknik I                                                                   87
     2) Invers matrik 3 x 3

     2. Gandengkan matrik yang akan dicari inversnya dengan matrik I dalam
          ukuran yang sama.
     3. Lakukan OBE, sehingga didapatkan matrik I berada di sebelah kiri,
          sedangkan matrik yang sebelah kanan adalah invers dari matrik
          tersebut.
                                                1       2   3
Contoh: Carilah invers dari A =                 2       5   3
                                                1       0   8
Penyelesaian:


   1 2 3 1 0 0 t.ulang b1                   1       2       3 1 0 0         t.ulang b1
    2 5 3 0 1 0 b2-2b1                      0 1 -3              -2 1     0 t.ulang b2
    1 0 8 0 0 1 b3-b1                       0 -2            5 -1 0 1        b3+2b2


    1     2      3    1   0   0 t.ulang b1          1 2 3           1 0 0        b1-3b3
     0     1 -3       -2 1    0 t.ulang b2          0 1 -3 -2 1 0                b2-3b3
     0     0 -1 -5 2 1           b3x (-1)           0 0 1           5 -2 -1 t.ulang b3




    1 2         0 -14     6 3 b1–2b2                1 0         0 -40 16 9 (***)
    0 1         0     13 -5 -3 t.ulang b2           0 1         0    13 -5 -3
    0 0         1     5   -2 -1 t.ulang b3          0 0         1    5   -2 -1




Matematika Teknik I                                                                       88
HANDOUT NO.: 01.01.03.A

     Dari matrik (***) di atas terlihat bahwa invers dari A atau


               -40 16      9
 A-1 =         13     -5 -3
                 5    2 -1


     Catatan: Jika dalam OBE didapatkan baris yang bernilai 0 0 0, maka tidak
     ada invers.


                      1    6   4
Contoh: A =           2    4   -1   -- Tentukanlah A-1
                      -1   2   5


3)         Pemakaian Invers untuk Memecahkan SPL

     Jika A adalah matrik n x n dapat dibalik, maka untuk setiap matrik B
     dengan n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan,
     yakni X = A-1 . B.
     Contoh: Pecahkan SPL berikut dengan menerapkan rumus:
     X = A-1 . B
b. X1 + 2X2 + 3X3 = 5
     2X1 + 5X2 + 3X3 = 3
      X1          + 8X3 = 17
Penyelesaian:


           1     2    3                       X1                    5
A=         2     5    3               X=      X2               B=   3
           1     0    8                       X3                    17




Matematika Teknik I                                                        89
HANDOUT NO.: 01.01.03.A

Dari contoh di atas dapat diperoleh:


            -40 16 9
A-1 =         13 -5 -3
               5      -2 -1
                                  -40 16 9           5          1
Rumus: X = A-1 x B =              13 -5 -3           3     =   -1
                                  5    -2 -1         17         2


Jadi diperoleh: X1 = 1            X2 = -1      X3 = 2


Rumus: X = A-1 x B dapat dilakukan untuk sederet SPL yang mempunyai A
sebagai matrik koefisiennya.


Tugas Kelas: Pecahkan SPL-SPL berikut dengan penerapan rumus: X = A-1
xB
a. X1 + 2X2 + 3X3 = 4                 b. X1 + 2X2 + 3X3 = 1
   2X1 + 5X2 + 3X3 = 5                  2X1 + 5X2 + 3X3 = 6
      X1              + 8X3 = 9                 X1        + 8X3 = -6


c. X + Y + 2Z = 9                           d. P + 2Q + 2R = -1
    2X + 4Y - 3Z = 1                            P + 3Q + R = 4
    3X + 6Y - 5Z = 0                            P + 3Q + 2R = 3


C. REFERENSI
1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi
      Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.

2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia
      Pustaka Utama. Jakarta. 1993.




Matematika Teknik I                                                        90
Fakultas Teknik UNP                      Jurusan       : Teknik Sipil
Mata Kuliah : Matematika Teknik 1        Kode / Sks   : U137 / 2 Sks
Dosen       :                            Hand Out No. : 01.01.04.A

D. KOMPETENSI
     Kemampuan menyelesaikan sistem persamaan linier secara
     konvensional dan secara matrik (Determinan Matrik).

E. MATERI

                                 DETERMINAN
I. Determinan Matrik
Definisi: Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari
suatu matrik.
Determinan A ditulis det (A) atau |A|


Untuk menentukan determinan dapat dilakukan dengan cara Sarrus dan
Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris atau Kolom.


a. Cara Sarrus
Untuk Matrik 2 x 2
 a11     a12
 a21     a22


Determinan matrik 2 x 2 di atas adalah (a11.a22) – (a21.a12)
Untuk Matrik 3 x 3
 a11 a12         a13 a11 a12
 a21     a22     a23 a21   a22
 a31     a32     a33 a31   a32




Matematika Teknik I                                                     91
HANDOUT NO.: 01.01.04.A

Determinan matrik 3 x 3 di atas adalah:
8(a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32) – (a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)


Contoh: Hitunglah determinan matrik berikut!
                                   1   2      3
A=          3    1           B=    -4 5       6
         4      -2                 7 -8       9
Penyelesaian:
            3        1                    1       2   3   1   2
            4    -2               B=    -4 5          6 -4 5
                                          7 -8        9   7 -8
 |A| = {3 . (-2)} – {4 . 1} = - 6 – 4 = -10


|B| = {1 . 5 . 9 + 2 . 6 . 7+ 3 . (-4) . –8} – {3 . 5 . 7 + 1 . 6 .(-8) + 2 . (-4)
. 9}
        = {45 + 84 + 96} – {105 – 48 – 72}
        =       225 + 15
|B| = 240.


b. Cara Ekspansi Baris atau Kolom

       Ekspansi baris dalam menentukan determinan adalah menjumlahkan
       hasil kali elemen baris atau kolom yang dipilih dengan masing-masing
       minornya (elemen yang tidak termasuk dalam baris dan kolomnya.
       Dalam penerapan cara ekspansi baris atau kolom ini harus diperhatikan
       tanda posisi elemen tersebut. Dalam perjanjian tanda internasional
       adalah sebagai berikut:




Matematika Teknik I                                                              92
HANDOUT NO.: 01.01.04.A

                           +       - +
                           -       +        -
                           +       -        +
Contoh: Tentukanlah determinan matrik berikut!
                  1    2       3
                 -4 5          6
                  7 -8         9


Penyelesaian: Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris pertama,
                 5 6                   -4       6      -4   5
|B| = 1 -8 9                   -2 7             9 + 3 7 -8
|B| = 1 {5.9-(-8).6} - 2{(-4).9-7.6} + 3{(-4).(-8)-7.5}
|B| = 1 { 45 + 48 } – 2{ -36 – 42 } + 3 { 32 –35 }
|B| = 1 . 93 – 2 . (-78) + 3 . (-3)
|B| = 93 + 156 – 9
|B| = 249 – 9
|B| = 240 (cocokkan dengan cara Sarrus)
Jika ekspansi dilakukan dengan mengambil kolom pertama hasilnya adalah:
                 5    6                         2 3         2 3
|B| = 1          -8 9          - (-4) -8 9            +7 5 6
|B| = 1 {5.9-(-8).6} + 4{2.9-(-8).3} + 7{2.6-5.3}
|B| = 1 { 45 + 48 } + 4 { 18 + 24} + 7 {12 – 15}
|B| = 1 . 93 + 4 . 42 + 7 . (-3)
|B| = 93 + 168 – 21
|B| = 261 – 21
|B| = 240




HANDOUT NO.: 01.01.04.A


Matematika Teknik I                                                  93
   Demikian selanjutnya bahwa untuk mencari determinan dapat dilakukan
   ekspansi sepanjang kolom atau baris dan akan memberikan hasil yang
   sama. Buktikan sendiri!


Tugas Kelas: Tentukan |A|, |B|, dan |C| dari matrik berikut!


          2      7    8        4 8 12                    0 1   5
A=        3      2    4   B=   0   1   4         C=     3 -6 9
          2      7    8        1   2   1                 2 6   1



C. REFERENSI
1. Anton. Howard. By. Pantur Silaban. Aljabar Linear Elementer. Edisi
      Kelima. Penerbit Erlangga. Jakarta. 1995.

2. Kreyszig. Matematika Teknik Lanjutan. Edisi VI. Penerbit PT. Gramedia
      Pustaka Utama. Jakarta. 1993.




Matematika Teknik I                                                        94
Matematika Teknik I   95

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1627
posted:10/7/2010
language:Indonesian
pages:52