Docstoc

analis_vektor

Document Sample
analis_vektor Powered By Docstoc
					KATA PENGANTAR
        Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi
Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang
sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu
menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu
mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian
dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.
        Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu
mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses
belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih
baik.
        Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan
dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa.
Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan
beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai
latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk
membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan
pemahaman yang lebih mendalam.
        Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu
penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari
pemakai     Buku   Ajar   ini   untuk   lebih   menyempurnakan   penyajian
selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-
benar bermanfaat.




                                                      Malang, Agustus 2003




                                                           Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR                 i
DAFTAR ISI        ii
BAB I : VEKTOR KONSTAN                    1
      1.1   Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor                      1
      1.2   Aljabar Vektor     2
      1.3   Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang               4
      1.4   Perkalian Antar Vektor        10
      1.5   Penggunaan Vektor Dalam Geometri                  20

BAB II : FUNGSI VEKTOR                   28
      2.1   Fungsi Vektor     28
      2.2   Kurva Vektor      29

BAB III : DIFERENSIAL VEKTOR                        34
      3.1   Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor              34
      3.2   Interpretasi Dari Derivatif Vektor           35
      3.3   Gradien, Difergensi dan Curl            38
      3.4   Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl                     41

BAB IV : INTEGRAL VEKTOR                      56
      4.1   Integral Garis    56
      4.2   Teorema Green          69
      4.3   Medan Gaya Konservatif             76
      4.4   Integral Luasan        84
      4.5   Teorema Divergensi Gauss            100
      4.6   Teorema Stokes         106

DAFTAR PUSTAKA               111
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


BAB I

VEKTOR KONSTAN
            POKOK BAHASAN :
            ! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor
            ! Aljabar vektor
            ! Vektor posisi dalam bidang dan ruang
            ! Perkalian antar vektor
            ! Penggunaan vektor dalam geometri


1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
                Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar
(magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan
kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu
benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain
sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan
vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar
(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan
skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan
analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan
aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi
tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai
segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

                      B
        v                     v     =       AB = AB = AB
                              A     =       titik pangkal (initial point)
                              B     =       titik ujung (terminal point)
  A



Panjang vektor v =        v   = AB      :   menyatakan besarnya vektor atau
                                            panjangnya vektor v
dan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.



Program Semi Que                                                            1
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Ada 3 jenis vektor :
a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya
                                 dengan panjang dan arah tetap.
b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang
                                       garis kerjanya, misalnya gaya yang
                                       bekerja sepanjang garis lurus.
c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat
                                   yang menunjukkan posisi tertentu.
Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya
orang bekerja dengan vektor bebas.

1.2. Aljabar Vektor

Vektor nol (null vector)

      Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak
      tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)
Kesamaan 2 vektor
       Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang
      sama.
Kesejajaran 2 vektor
       Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,
      arahnya bisa sama atau berlawanan.
       Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.
Penjumlahan vektor
      Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran
      genjang atau aturan segi banyak (poligon)
      Misalnya:
a.
               A                                A
                                                            B
                           A+B=C
                   B                     atau         C
                                                A
                                                       C

                                                  B
Program Semi Que                                                           2
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




             A                                         C
                         B                      B
b.                                   ⇒                            E = A + B+ C + D
                 C                          A
                             D
                                                              D
                                                E



           A             B



c.                            C       A + B+ C + D + E = 0
         E
                     D



Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak
tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Penggandaan vektor dengan skalar
       Jika m = besaran skalar

       dan A = vektor yang panjangnya | A |
       maka :

       m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya

                 sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan

                 dengan arah vektor A jika m negatif
Pengurangan vektor
       Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari
vektor yang mengurangi




Program Semi Que                                                                 3
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


        Jadi:   A − B = A + (− B)
                            A
    A
                                    ⇒
                                                                       −B
         B      ⇒           −B
                       C = A−B


                                                                  A


        Jika A = B maka A − B = 0


Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor

Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar maka

1. A + B = B + A                    (komutatif terhadap jumlahan)

2. A + (B + C) = (A + B) + C        (asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor 0 sehingga: A + 0 = 0 + A = A         (ada elemen netral)

4. Terdapat vektor − A sehingga: A + (− A ) = 0          (ada elemen invers)

5. (mn) A = n (m A )                (asosiatif terhadap perkalian)

6. m(A + B) = m A + m B             (distributif terhadap perkalian)

7. (m + n) A = m A + n A            (distributif terhadap perkalian)

8. 1 (A ) = A                       (ada invers dalam perkalian)


2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang
Teorema Dasar Dalam Vektor :

Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai

kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan
vektor nol.
Atau:

   C = m A + n B dengan m, n adalah skalar yang tunggal




Program Semi Que                                                               4
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Bukti :

          P1
                                   P

                                                C = OP = OP1 + OP 2
                   C
     A

     O                            P2
                   B
OP1 paralel dengan A sehingga OP1 = m A

                                                            C = mA + n B
OP 2 paralel dengan B sehingga OP 2 = m B


Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal

maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :

     C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B
               (m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0

Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,
                      → m1 = m2
          m1 - m2 = 0 

                      → n1 = n2
          n1 - n2 = 0 
Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),

sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :

          D = m1 A + m2 B + m3 C
dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor
nol dan tidak sebidang.

Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent

linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0
Kejadian ini akan terjadi jika :

1. A dan B merupakan vektor nol atau

2. A dan B paralel (sejajar)



Program Semi Que                                                           5
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Contoh :
Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah
segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan
1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.

                                  M titik tengah AC
              C
                                  N titik tengah CB

      M               N           AB = AC + CB

                                  MN = MC + CN = 1 AC + 1 CB = 1 (AC + CB)
                                                 2      2      2

 A                            B
                                      = 1 AB
                                        2


sehingga MN // AB dan panjang MN = ½ panjang AB


Vektor satuan (unit vector)
       Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

          A
     a=     = vektor satuan dari A
          A

     dan A = A a

Vektor basis satuan
   Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i
  dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan
  sumbu x dan         y positif dan berpangkal di O.
                          y




                      j


                              O      i            x
  maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2
  Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z
  dinyatakan dengan vektor k.


Program Semi Que                                                             6
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                         z




                                         k
                                 i           j                 y
            x


Vektor posisi
a. Vektor Posisi dalam R2

     Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang

masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan
berpangkal di titik 0 dalam R2.

     Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY

selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j .

                         y


       ry j = y j                                     P(X,Y)
                                     r
                     j
                    O        i                   rx i = x i    x


 Sehingga : r = rx i + ry j = x i + y j

 rx i = x i      ;       ry j = y j disebut vektor-vektor komponen

 rx = x         → komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)
                
 ry = y         → komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu
                
X)

 Vektor r = x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena komponen-
 komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.

 Panjang dari r = | r | =                    x2 + y2



Program Semi Que                                                              7
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
    DIKTAT ANALISIS VEKTOR
    Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


    b. Vektor Posisi dalam R3 :
       Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang
       masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z
       positif dan berpangkal di titik 0.
                                   .
                                   z
                                                        P(x,y,z)


                                          r
                                   k
                                          j                        y
                                   i O
                 x



      r =xi+yj+zk                  merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

                 x = proyeksi OP ke sumbu X

                 y = proyeksi OP ke sumbu Y

                 z = proyeksi OP ke sumbu Z

     Panjang dari r = | r | =             x2 + y2 + z2

     Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az k dalam R3 ,
     berlaku :

                       z
                                                                               2       2       2
                                                          Panjang A = A = A x + A y + A z
                A zk

            i                                                                          A
                           γ                              Vektor satuan a =
                                                                                   2       2       2
                                                                              Ax + A y + Az
                               β
                                                    y
                           α                  Ayj
     A xi



x




    Program Semi Que                                                                                   8
    Fakultas Teknik Jurusan Mesin
    Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Dengan :

" Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor A

" Sudut-sudut α ; β ; γ yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif

           disebut arah vektor A
" Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah.
    dengan:
                          Ax                    Ax
       cos α =                              =
                      2        2        2
                 Ax + Ay + Az                   A

                          Ay                    Ay
       cos β =                              =                      cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
                      2
                 Ax + Ay + Az
                               2        2       A

                          Az                    Az
       cos γ =                              =
                      2
                 Ax + Ay + Az
                               2        2       A

Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak
                 z                                                 OP1 = x1i + y1j +z1k

                                                       OP 2 = x2i + y2j + z2k
                          P1 (x1 , y1 , z1 )

                                                     P2 (x 2 , y 2 , z 2 )


                                                        y
                  O



x      P1P2 = OP1 − OP 2
            = (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k)
            = (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

       Sembarang vektor P1P2 dalam sistem koordinat bisa dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-
komponennya adalah komponen vektor                                 posisi    titik ujung dikurangi
komponen vektor titik pangkalnya.



Program Semi Que                                                                                     9
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


    P1P2 = (x 2 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) + (z 2 − z1 ) = panjang vektor P1P2



SOAL-SOAL
1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari
   vektor-vektor

       r1 = 2i + 4j – 5k

       r2 = i + 2j + 3k
2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

       A       =               3i + 2j + k

       B       =               i + 3j + 5k

       C       =               2i + j – 4k
       akan membentuk sebuah segitiga
3. Ambil sembarang segi 4 ABCD
   Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA
   Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.

   (Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS )

                                                 C
                                         Q
                           B
                                     "       "
                                                 ∠
                       -
                   P                                 R

                       -                         ∠


                   O             !
                                             !
                                         S
                                                 D


1.4. Perkalian Antar Vektor
a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)



   Ditulis: A ! B = A B cos θ                        ; θ = sudut antara vektor A dan B


Program Semi Que                                                                         10
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




          A                                                       B
          θ                                                      θ
                 B                                                               A

         A cos θ                                                 B cos θ

        Proyeksi A pada B                                Proyeksi B pada A


• Sifat Hasil Kali Skalar :

     1. A ! B = B ! A
                         2           2
     2. A ! A = A cos 0 = A

     3. A ! (B + C) = A ! B + A ! C

     4. (A + B) ! C = A ! C + B ! C

          Dalam R3 :
                 z
                                                         i ! i = j! j = k ! k = 1    (krn //)

                                                         i ! j = j! k = k ! i = 0    (krn ⊥)

                                                    Karena :
             k
                                               y         i ! i = i i cos 0 = 1
                     j
             i                                           i ! j = i j cos 90° = 0

 x
     Jika:           A       =       Axi + Ay j + Azk
                     B       =       Bxi + By j + Bzk
     A ! B = (A x i + A y j + A z k ) ! (B x i + B y j + Bz k)

     A ! B = A x B x + A y B y + A z Bz

        • Sudut Antar 2 Vektor :
      Karena A ! B = A B cos θ




Program Semi Que                                                                                11
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                        A!B                                A! B
    cos θ      =            ==>              θ = arc cos
                        AB                                 AB


    Contoh :
    A=         3i + 6j + 9k
                                      A ! B = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21
    B =        -2i + 3j + k

     A = 32 + 6 2 + 9 2 = 3 14
     B = 22 + 32 + 12 = 14
              A!B    21      21 1
    cos θ =       =        =   =
              A B 3 14 . 14 42 2

• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel
  □ Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> A ! B atau A ⊥ B
    Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0
  □ Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

               Ax Ay Az
      jika :      =   =
               B x B y Bz

• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha
    Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan
    Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar

                                                           W = F cos θ.d
                          F
                                                              = F! d
                         θ
                                             d

                        F cos θ             d= d
    Contoh :
    Diketahui :

       F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang
      bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

      Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F


Program Semi Que                                                            12
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


      Jawab:

          W = F! d
          d           =       (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k
          W           =       (2i + 2j – 4k) ! (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha
b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product

   Ditulis: A × B = C hasilnya berupa vektor

   Dengan A × B = A B sin θ                                                A×B
                                                   A
      C                                                θ                       A
                                                   B
                                                                                  B
              B
              θ
                                              C
                      A
                                                                           B× A
   Arah dari A × B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau
   sekrup putar kanan.
   Sifat hasil kali vektor:
   "      A×B≠B×A
          A × B = –(B × A)                   anti komutatif
   "      (kA) × B = k(A × B) = A (kB)
   "      A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
          (A + B) × C = (A × C) + (B × C)
      Dalam R3
                  z

                                                           i × i = i i sin θ

                                                           dengan cara yang sama
              k                                            i×i=j×j=k×k=0
                                               y
                          j                                i × j = i j sin 90° = 1
              i

  x



Program Semi Que                                                                            13
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


     sehingga:         i×j=k             ;        j × k = i;       k×i=j
                       j × i = -k        ;        k × j = -i       ;       i × k = -j

     Jika :     A     =        Ax i + Ay j + Az k

                B     =        Bx i + By j + Bz k

                A×B =          (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)
                      =        (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k
     atau:

                                     i        j     k
                A×B =               Ax       Ay     Az
                                    Bx       By     Bz

     dan

           A × B = A B sin θ =      (A ! A )(B ! B)− (A ! B)   2




    Contoh :

    A = 2i – j + k
    B = i – 3j + 4k
    A ! A = 22 + 32 + 42 = 6
    B! B = 2 + 3 + 4 = 9
            i j k = i (−4 + 3) − j(8 − 1) + k (−6 + 1)
    A × B = 2 - 1 1 = i − 7 j − 5k
            1 -3 4

    A × B = 12 + 7 2 + 5 2 = 1 + 49 + 25 = 75
Aplikasi dari Hasil Kali Vektor
"   Menghitung Torsi/Momen

    Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan
     sebagai:




Program Semi Que                                                                        14
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


        m = Fd                                                              F

        dengan
        d           =           jarak (dalam arah ⊥)

                                antara titik Q ke garis gaya F              d
    Q
                                                               L
                            r
                                            F                                   Q
            d                   θ           θ



        Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik

                            sembarang pada garis gaya F

        Maka d = r sin θ                    ; θ = sudut antara r dengan F

        dan

                    m = F r sin θ = F × r

        Jika m = M , maka

         M = F× r = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q


       Contoh :
                    y

                                                         Tentukan vektor momen dari gaya F
                                                         terhadap titik O
                        r           (2,1)

                        '       '                                  x
                                      '         '
                0                                    F

                                                    (4,-2)

   Jawab:

   F =              (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k

   r    =           (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k



Program Semi Que                                                                        15
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


        i j k
    M = 2 - 3 0 = i(0) − j(0) + k(2 + 6) = 8k
        2 1 0

    M = 64 = 8

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)
   Jika:

    A =       Ax i + Ay j + Az k

    B =       Bx i + By j + Bz k

    C =       Cx i + Cy j + Cz k

    A ×C = Ay    Az i − Ax            Az j + Ax   Ay k
           By    Bz     Bx            Bz     Bx   By



    A × B! C = Ay       Az Cx − A x       Az Cy + Ax     A y Cz
               By       Bz      Bx        Bz      Bx     By

               Ax       Ay       Az
             = Bx       By       Bz
               Cx       Cy       Cz

   → disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.
   Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:

                    (        )        (
   1. A × B ! C = B × C ! A = C × A ! B    )
       sehingga:

       (A × B)! C = A ! (B × C)
       Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya
       letak tanda × dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya.
       Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.
       Sehingga:

           A × B ! C = −B × A ! C = −B ! A × C
   2. Hasil kali skalar tripel: A × B ! C = 0 bila dan hanya bila A, B dan C

       sebidang.

Program Semi Que                                                           16
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


      Bukti:

      a. A × B ! C = 0 ⇒ A, B dan C sebidang

           Jika A × B ! C = 0 maka A × B ⊥ C atau

           salah satu dari A, B atau C vektor nol

           Berarti:

           i. Apabila salah satu dari A, B atau C vektor nol, maka pasti

               A, B dan C sebidang
           ii. Apabila A × B ⊥ C maka C bisa diletakkan sebidang dengan

               A dan B sehingga A, B dan C sebidang
      b. Jika A, B dan C sebidang ⇒ A × B ! C = 0

          Jika A, B dan C sebidang, maka A × B ⊥ C sehingga A × B ! C = 0

 • Arti Geometris Dari A × B ! C

   Diberikan vektor A, B dan C

   A = OA
   B = OB
   C = OC




      C

                        B



  O                      A


   P = A×B

   A×B         =      luas jajaran genjang OADB

   A × B ! C = P ! C = P C cos θ


Program Semi Que                                                            17
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


     C cos θ = tinggi C di atas bidang OADB

     Jadi A × B ! C = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG

                         yang disusun oleh A, B dan C


Catatan:
                  A'                        Luas jajaran genjang OABC =
                                   B
 0      θ)                                  OB AA' = OB OA sin θ

                                                            = OB × OA
                                            C
                  A
        Contoh :

                               (       )(   )(
        Buktikan bahwa A + B ! A + C × A + B = 0   )
        Bukti:

        Misalkan          A+B=u
                          A+C = v
        Maka : u ! v × u = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u
        Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga

        vektor tersebut sebidang sehingga : u ! v × u = 0
d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)
        Hasil kali vektor tripel adalah :

        (A × B)× C
        A × (B × C )
        Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak
        kurangnya ditukar.
     Misalkan :
        (i × i) × j = 0 × j = 0
        i × (i × j) = i × k = –j




Program Semi Que                                                              18
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


        Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

            ( ) ( )
   1. A × B × C ≠ A × B × C

   2.   A × (B × C ) = (A ! C )B – (A ! B)C

        (A × B)× C = (A ! C)B − (B ! C)A
   Contoh :

   1. Jika:    A =       2i + 2j – k

               B =       i+j+k

                 C =     3i + j – 2k

                 (       )
        Hitung : A × B × C        ;              (
                                             A × B× C     )
        Jawab:

                  i           j       k   = i (2 − 1) − j (2 + 1) + k (−2 − 2)
        a. A xB = 2          2        2
                  1          −1       1    = i − 3 j − 4k

                          i        j        k        = i (6 + 4) − j (−2 + 12) + k (1 + 9)
            ( A xB ) xC = 1       −3        −4
                          3       1         −2       = 10i − 10 j + 10k


                   i          j       k
                                         = i (2 − 1) − j (−2 − 3) + k (1 + 3)
        b. B × C = 1         −1       1
                                                    = i + 5 j + 4k
                   3         1        −2

                             i    j       k
                                             = i (8 + 5) − j (8 + 1) + k (10 − 2)
            A! B×C =         2    2       −1
                                                       = 13i − 9 j + 8k
                             1    5       4



   2. Buktikan : A × [A × (A × B)] = (A ! A )(B × A )

        Bukti : Misalkan A × B = C

                     (
        Maka A × B × C       )              =          (A ! C)A − (A ! A )C
                                            =          (A ! C × B)A − (A ! A )(A × B)

Program Semi Que                                                                             19
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                    =       ( ) ( )( )
                                                           0 A − A ! A A×B

                                                    =      − (A ! A )(A × B)

                                                    =      (A ! A )(B × A )

1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri
a. Persamaan Garis
   Dalam R3:
   Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan

   sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan

   semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga P1P sejajar dengan v
                                    "


                                   P ( x, y , z )


                                                             V = Ai + Bj + Ck

              P ( x1 , y1 , z1 )


   Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila P1P = t v

   dengan t adalah suatu skalar.
   Atau:
   (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k              =      t (Ai + Bj + Ck)
                                                    =       t Ai + tBj + tCk
   Ini berarti :
        x − x1 = tA                                x = x1 + tA
                    
        y − y1 = tB                                y = y1 + tB
        z − z1 = tC 
                                                   z = z1 + tC


   Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel

   dengan vektor v .



Program Semi Que                                                                20
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   Atau:


             x − x1   x − x2   x − x3       Persamaan standard garis yang
        t=          =        =
               A        B        C          melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel
                                            dengan v = Ai + Bj + Ck

   Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C
   merupakan bilangan arah garis.


   Jika salah satu dari A, B dan C nol
   Mis. A = 0 maka x – x1 = 0
                      x = x1
                                        y − y1 z − z1
   Persamaan standardnya ditulis :            =       ; dan    x = x1
                                          B      C
   Contoh :
   Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)
   ⇒

   Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k
   Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu
   yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka
   Persamaan standard garis:
   x − 5 y − 4 z −1
        =     =
    −2    −3     5
   Atau:
   x −5 y−4
       =    ⇒ 3x – 2y – 7 = 0                      ∴Persamaan standard garis:
    −2   −3
   y − 4 z −1                                          3x − 2 y − 7 = 0
        =     ⇒ 5y – 3z – 17 = 0
    −3     5                                           5 y − 3 z − 17 = 0
   Persamaan parameter garis:

       x = 5 − 2t
       y = 4 − 3t
       z = 1 + 5t


Program Semi Que                                                                     21
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Dalam R2 :
   Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka
   vektor arah garis :               l = i + mj


b. Persamaan Bidang
               N                                  Vektor N ⊥ bidang W sehingga N
                                                  disebut Vektor Normal dari bidang w

                                                  Jika N = Ai + Bj + Ck
                          Q ( x, y , z )



      W    )    P ( x1 , y1 , z1 )

   PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k         → PQ terletak pada bidang W

   Sehingga PQ ⊥ N ⇒ N ! PQ = 0

   Atau:
                       A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0


   → Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N =
      Ai + Bj + Ck
   Contoh :
   1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;
      R(2,4,3).

       PQ = i − j + 4k    
                          
  ⇒                        vektor PQ dan PR terletak pada bidang
       PR = −i + 2 j + 2k 
                          
                      i j k
       N = PQ × PR = 1 − 1 4 = −10i + 6 j + k
                     −1 2 2

      ∴            Persamaan bidang:
               A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
               –10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0
               –10x – 6y + z + 41 = 0



Program Semi Que                                                                        22
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   "   Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:

                 Ax + By + Cz + D = 0


       dengan N = Ai + Bj + Ck
   2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);

       tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan

       tegak lurus pada bidang v = x – y + 3z = 0

  ⇒    u = 2x + 3y + z = 8      →     N U = 2i + 3 j + k
       v = x – y + 3z = 0       →     N V = i – j + 3k
       Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti N w ⊥ N u dan N V
       Atau

                        i  j k
       N w = N u × Nv = 2 3 1 = 10i + 5 j + 5k
                        1 −1 3

       Persamaan bidang w:
       10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0
       10x – 5y – 5z – 45 = 0
       2x – y – z = 9
c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
  Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan
  V = Ax + By + Cz + D = 0

  → Normal bidang N v = Ai + Bj + Ck

                              D      
       Jika A ≠ 0 ⇒ Titik Q −   ;0,0  terletak pada bidang tersebut.
                              A      
                    D
       k = QP =  r + i + sj + tk
                    A




Program Semi Que                                                           23
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                P(r,s,t)


                                N θ
                                           k
                                d

                                               Q(-D/A,0,0)


      θ = sudut antara N dan k

      sehingga d = k cos θ

                                           N !k
       N ! k = N k cos θ = N d ⇒ d =
                                               N

      sehingga:

                  D
                A r +  + Bs + Ct
                       A
              d= 
                    A + B2 + C 2
                      2


      atau
                                                   Jarak     titik   P(r,s,t)   ke   bidang
                 Ar + Bs + Ct + D
         d=                                        Ax + By + Cz + D = 0
                   A +B +C
                     2    2       2




   Contoh :
   Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2)
                                                      B = (6,4,3)
                                                      C = (0,5,1)

⇒ AC = -2i + j + k

   AB = 4i + k
   Normal bidang N = AB × AC

   = i  j k = −1 + 2 j + 4k
     4 0 1
    − 2 1 −1

   ∴ Persamaan bidang ABC

Program Semi Que                                                                         24
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       –(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0
       –x + 2y + 4z – 14 = 0
   Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0
            − 1(5) + 2(5) + 4(4) − 14       − 5 + 10+!6 − 14       7
   d= d =                               =                      =
                    1 + 4 + 16                     21              21
d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

   Diberikan bidang v dengan normal N v

   Diberikan bidang w dengan normal N w



                                                  (w


                        v)       Nv

                                                          "

                                        Nw




   Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah

   garis tersebut akan ⊥ dengan N v maupun N w

   Sehingga jika vektor arah garis tersebut " maka " = N v × N w

   Contoh :
   Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang
   2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
   ⇒
   v = 2x + y – 2z =5                   → Nv = 2i + j – k
   w = 3x + 6y – 2z =5                  → Nw = 3i + 6j – 2k
   Vektor arah garis:

   L = Nv × Nw = i  j k = −14i − 2 j − 15k
                 2 1 −2
                 3 −6 −2


Program Semi Que                                                        25
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.
   (i) 2x + y + 2z = 5
   (ii) 3x – 6y – 2z =7
        –––––––––––– –
        –x + 7y = –2
   Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2
                                          x =2
   (i).    2(2) + 0 – 2z = 5                             Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis
                                                         potong 2 bidang.
                       –2z = 5 – 4
                         z=–½
   Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
   x − 2 y − 0 z − 12
        =     =
   − 14   −z    − 15
e. Sudut Antara Garis dan Bidang
   Jika:

   " = ai + bj + ck → vektor arah garis "

   N = Ai + Bj + Ck → normal bidang v = Ax + By + Ck + D = 0

                                                                 "


                                                N


                           v)                        θ
                                                         φ




             N!"                Aa + Bb + Cc
   cos θ =         =
             N"         (A 2 + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )

   sin φ       = sin (90 – θ)


Program Semi Que                                                                               26
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                     Aa + Bb + Cc
             = cos θ =
                          (A + B 2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )
                                2



   Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah " = ai + bj + ck dengan

   bidang v dengan normal bidang N v = Ai + Bj + Ck adalah

                                    Aa + Bb + Cc
           φ = arcsin
                         (A + B2 + C 2 )(a 2 + b 2 + c 2 )
                            2




Program Semi Que                                                        27
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


BAB II

FUNGSI VEKTOR
         POKOK BAHASAN :
         ! Fungsi Vektor
         ! Kurva Vektor


2.1 Fungsi Vektor
   Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A
bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor
yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,

           A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j


Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,

         A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k
   Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut:

           A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu
partikel dalam ruang.
   Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,
maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor,
misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu
ruangan.
   Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi
skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu
vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu
ruang atau batang besi, pada suatu saat.



Program Semi Que                                                           28
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


2.2 Kurva Vektor
    Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
         r(t)    =          [x(t), y(t), z(t)]
                 =          x(t)i + y(t)j + z(t)k
    Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang
posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan
z(to).
Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian
parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam
mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan
detik.


CONTOH:         – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor
a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus
    Dengan persamaan parameter garis lurus
    Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa
    disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
    "    r(t)    =          x(t)i + y(t)j + z(t)k   ; untuk t = 0 → t = t

                x ( t ) = a1 + tb1
         dan y( t ) = a 2 + tb 2
                y( t ) = a 3 + tb 3

         dengan
         a = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3)
                                        yang terletak pada garis l.
         b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l
         Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang
         melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai
         dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka
         komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah
         l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l
         terhadap titik A.

Program Semi Que                                                            29
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


      Contoh:
      1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang
          melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,
          ⇒
          a = 3i + 2j
          b = i + j (garidien 1)
          sehingga:               x(t)   =       3+t
                                  y(t)   =       2 + t dan
          r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j
          Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:
          Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1
           adalah :
          y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1
          Jika,        x(t) = t
                       untuk t = 2 → t = t
                       y(t) = t – 1
          Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j
      2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik
          B(3,-4,1)
          ⇒
          Titik awal (1,0,3) ––→         a       =          i + 0j + 2j
          Vektor arah garis              b       =          (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k
                                                 =          2i – 4j – k
          x(t)    =        1 + 2t
          y(t)    =        0 – 4t                      r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k
          z(t)    =        z–t                         t =0→ t=1
b. Parabola
   (1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2




Program Semi Que                                                                            30
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                                           y

                                                             y = x2




                     -2                                  2        x




       x(t)   =t         (x = t)
       y(t)   = t2       (karena y = x2)
    Sehingga :
       r(t) = ti + t2j , dengan t      = -2 → t = 2


    (2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3
                                                 x(t)        =    t ;t=0→ t=2
                     z
               2
                                                 y(t)        =    t2
                                                 z(t)        =    2
                                                 r(t) = ti + t2j + 2k




c. Ellips/Lingkaran
   Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:
    x 2 y2
       +   = 1, z = c di R3
    a 2 b2




Program Semi Que                                                            31
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                            z




                                             1   y
                      1


      x

   dibawa ke bentuk parameter, dengan :
          x (t) = a cos t
          y (t) = b sin t
          z (t) = c
   sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:
           r(t) = a cos t i + b sin j + c k
   Jika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:
            x2 y2
              2
                + 2 = 1 atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3
            r    r
   dan persamaan fungsi vektornya :
           r(t) = r cos t i + r sin t j + c k


d. Helix Putar
      Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang
   terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada
   silinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:
           r(t) = cos i + a sin t j + ct k              (c ≠0)
   Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan
   Jika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri
   Misalnya:
      Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari
   helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarak
   vertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar


Program Semi Que                                                       32
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan
   kelipatan 2π.


                   Z                                       Z




                                 Y                                            Y



       X                                     X




       a.   Helix putar kanan                    b.   Helix putar kiri




Program Semi Que                                                         33
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Bab III

DIFERENSIAL VEKTOR
          POKOK BAHASAN :
          ! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor
          ! Interpretasi dari derifatif vektor
          ! Gradien, divergendi dan curl
          ! Penggunaan gradien, divergendi dan curl

3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor
    Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:
             lim   A(t + Δt) − A(t) d
          Δt → 0                   = = A' (t)               ada
                         Δt         dt
Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)
Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,
Maka
             dA1       dA 2       dA 3
    A' (t) =       i+        j+        k
              dt        dt         dt
           = A'1 (t)i + A'2 (t) j + A'3 (t)k
Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:
          (cA)' = cA'                (c = konstanta atau skalar )
          (A + B)' = A'+ B'
          (A ! B)' = A'!B + A ! B'
          (A × B)' = A'×B + A × B'
          (A B C)' = (A' B C) + (A B' C) + (A B C' )
Derivatif Parsial Fungsi Vektor
Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua
variabel atau lebih, misalnya:
          A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k
maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z
sebagai berikut:
          ∂A ∂A1     ∂A 2    ∂A 3
             =    i+      j+      k
          ∂x   ∂x     ∂x      ∂x
          ∂A ∂A1     ∂A 2    ∂A 3
             =    i+      j+      k
          ∂y   ∂y     ∂y      ∂y

Program Semi Que                                                                 34
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       ∂A ∂A1     ∂A 2    ∂A 3
          =    i+      j+      k
       ∂z   ∂z     ∂z      ∂z
CONTOH:
   Diberikan fungsi vektor:
   φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k
       ∂φ
   ⇒               =   a sin x i + a cos x j
       ∂x
       ∂φ
                   =    k
       ∂y
   •   Jika φ =         fungsi skalar
             A, B           =      fungsi vektor ; maka:
              d            dA dφ
        a.       (φ A) = φ   + A                         (A dan φ merupakan fungsi t)
              dt           dt dt
              ∂                ∂B ∂A
        b.       (A ! B) = A !   +   !B                  (A dan B merupakan fungsi x,
              ∂t               ∂x ∂x
                                                         y dan z)
               ∂               ∂B ∂A
        c.       (A × B) = A ×   +   ×B                  (A dan B merupakan fungsi x,
              ∂x               ∂x ∂x
                                                         y, dan z)
3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor
a. Interpretasi geometris
   Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor
   r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:
   1. Derivatif dari kurva C di P, atau
                   d r(t) d x(t)    d y(t)    d z(t)
       r' (t) =          =       i=        j+        k
                    dt      dt        dt        dt
       merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P.
              r'   …………………..→
   2. u =                         vektor singgung satuan (unit tangent)
              r'




Program Semi Que                                                                   35
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                                                          r' (t0 )
                                                                                C : r (t )


                               P
                                            t = t0



                 b
   3. i =    ∫
             a
                         r'!r' dt                  →           panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a

      curve)
                         t
   4. s(t) =         ∫
                     a
                              r'!r' dt             →           panjang busur a ≤ t (arc length of a

      curve)
   CONTOH:
   Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai
   berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:
                                                                     π
   a) vektor singgung dari kurva di t =                                adalah
                                                                     2
                                                                 π
             r' (t) = -2 sin t i + 2 cos t j t =
                                                                 2
                             = -2i
                 - 2i - 2i
   b) u =             =    = −i
                 − 2i   2

   c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):
        2π                         2π

       ∫
       o
             r'!r'dt =            ∫
                                  o
                                           sin 2 t + 4cost dt

                                      2π           2π
                              =    ∫
                                   o
                                           4dt =   ∫
                                                   o
                                                        4 dt




Program Semi Que                                                                                 36
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                      = 2t    2π
                              o    = 4π

b. Interpretasi dalam mekanika
   Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk
   fungsi vektor
   maka:
                  dr (t )
   "   v = r' =                               →       merupakan vektor kecepatan di suatu
                   dt
       titik t.
                         ds
   "    v = r'!r' =                           →       laju (speed) atau besarnya kecepatan
                         dt
       di sautu titik t.
   "   a(t) = v'(t) = r''(t)                  →       vektor percepatan
   CONTOH :
   1. Gerak Rotasi
       Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j
       ⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar
       berlawanan dengan arah jarum jam.
   •   Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut.
                  v(t)       = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j
   •   Kecepatan sudut (kecepatan angular)
                  v                                          Rω
                    = R 2 ω 2sin 2 ωt + R 2 ω 2 cos 2 ωt + =    =ω
                  R                                          R
   •   Vektor percepatan
                  =          a                = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j
                  =          -     2   r(t)
       Jadi,
       | a | = | -ω r(t)| = ω2 R →                    percepatan centripetal (dengan arah
       menuju pusat lingkaran)
   2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan
   vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan
   vektor kecepatan awalnya v(0) = j


Program Semi Que                                                                         37
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       ⇒

       v(t ) = ∫ 2dt i + ∫ 0dt j + ∫ − 2dt k = (2t + c1 )i + c 2 j + (−2t + c 3 )k

       r (t ) = ∫ (2t + c1 )dt i + ∫ c 2 dt j + ∫ (−2 + c 3 )dt k

            = (t 2 + c1 t + c 4 )i + (c 2 t + c 5 ) j + (−t 2 + c 3 t + c 6 )k
       Kecepatan awal :
           v(0) = (0 + c1 )i + c 2 j + (0 + c 3 )k = j → c1 = 0, c 2 = 1, c 3 = 0
       ∴ v(t ) = 2t i + j − 2t k
       Posisi awal : r (0) = −i + j + 2k

            r (0) = (0 2 + c1 .0 + c 4 )i + (c 2 .0 + c 5 ) j + (−0 2 + c 3 .0 + c 6 )k

                 = c 4 .i + c 5 . j + c 6 .k = −i + j + 2k → c 4 = −1, c 5 = 1, c 6 = 2

       ∴ r (t ) = (t 2 − 1)i + (t + 1) j + (−t 2 + 2)k


3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl
   Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai
berikut:
                               ∂    ∂   ∂   ∂    ∂   ∂
                       ∇=i       + j +k   =   i+   j+ k
                              ∂x    ∂y  ∂z ∂x ∂y     ∂z
Jika       φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan
           A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k
                 adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang
                  kontinu di suatu daerah.
Maka :
1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan

                                          ∂   ∂   ∂ 
   grad φ = φ∇                =          i + j + k 
                                          ∂x
                                              ∂y  ∂z 
                                                      
                                             ∂φ( x, y, z )     ∂φ( x, y, z )    ∂φ( x, y, z )
                              =          i                 + j               +k
                                                 ∂x                ∂y               ∂z
                                         ∂φ( x, y, z ) ∂φ( x, y, z )    ∂φ( x, y, z )
                              =                       i+             j+               k
                                             ∂x            ∂y               ∂z


Program Semi Que                                                                                38
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


2. DIVERGENSI dari A(x,y,z):
                                    ∂     ∂   ∂
   div A = ∇ ! A      =        i      + j +k
                                   ∂x    ∂y  ∂z
                               ∂A1 ( x, y, z) ∂A 2 ( x, y, z) ∂A 3 ( x, y, z)
                      =                      +               +
                                    ∂x             ∂y              ∂z
3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z):

                           ∂      ∂   ∂
   Curl A = ∇ × A     = i
                              + j + k  × (A1i + A 2 j + A 3k )
                           ∂x    ∂y  ∂z 
                                         

                         i      j     k
                         ∂      ∂      ∂
                      =
                        ∂x     ∂y     ∂z
                        A1     A2     A3

                       =i ∂         ∂ −j ∂     ∂ −k ∂         ∂
                          ∂x       ∂z    ∂x   ∂z    ∂x       ∂y
                         A2        A3    A1   A3    A1       A2

                           ∂A 3 ∂A 2   ∂A 3 ∂A1   ∂A 2 ∂A1 
                      = 
                               −     i −   −     j −  −    k
                           ∂y    ∂z   ∂y
                                              ∂z   ∂x
                                                           ∂y 
                                                                
4. Operator Laplace (LAPLACIAN) ∇2 dari φ
   ∇2 φ        =      div (∇φ) = div (grad φ)

                        ∂    ∂   ∂   ∂φ  ∂φ    ∂φ 
               =                      ∂x ∂y j + ∂z k 
                       i + j + k  !  i +
                        ∂x                            
                            ∂y  ∂z                  
                       ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ  ∂2  ∂2   ∂2 
               =           +    +    =  2 + 2 + 2 φ
                       ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  ∂x ∂y
                                               ∂z 




Rumus-Rumus :
Jika   A, B fungsi vektor
       U,V fungsi skalar, maka
1. ∇ (U + V) = ∇U + ∇V atau grad (U + V) = grad U + grad V
2. ∇ ! (A + B) = ∇ ! A + ∇ ! B atau div (A + B) = div A + div B



Program Semi Que                                                                39
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


3. ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B atau curl (A + B) = curl A + curl B

4. ∇ ! (UA) = (∇U) ! A + U (∇ ! A )

5. ∇ × (UA) = (∇U) × A + U (∇ × A )

6. ∇ ! (A × B) = B × (∇ ! A) − A (∇ ! B)

7. ∇ × (A × B) = (B ! ∇)A − B(∇ ! A ) − (A ! B)B + A(∇ ! B)

8. ∇ ! (A ! B) = (B ! ∇)A + (A ! ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B)

                        ∂2U ∂2U ∂2U
9. ∇ ! (∇U ) = ∇2 U =       +    +     disebut Laplace dari U
                        ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

                 ∂2  ∂2  ∂2
     dan ∇2 =       + 2 + 2 disebut Operator Laplace
                ∂x 2 ∂y  ∂z
10. ∇ × (∇U) = 0        → curl dari gradien U = 0
11. ∇ ! (∇ × A ) = 0 → divergensi dari curl A = 0

12. ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ! A ) − ∇A 2


CONTOH:
Misalkan        φ       =      x2 yz3                   fungsi skalar
                A       =      xz i – y2 j + 2x2 y k    fungsi vektor
                                ∂φ ∂φ      ∂φ
a.      grad φ = ∇φ     =          i+    j+ k
                                ∂x    ∂y   ∂z
                        =      2xyz3 i + x2 z3 j + 3x3 yz2 k

                                 ∂  ∂     ∂ 
b.      div A = ∇ ! A =          i+
                                 ∂x    j + k  ! ( xzi − y 2 j + 2 x 2 yk )
                                    ∂y    ∂z 
                                              
                        =      z – 2y + 0 = z – 2y

                                 i        j     k
                                 ∂       ∂      ∂
c.      curl A = ∇ × A =
                                ∂x       ∂y     ∂z
                                xz      − y2   2x 2 y

                        =      i (2x2 – 0) – j (4xy – x) + k (0 – 0)
                        =      2x2 i – (4xy – x) j




Program Semi Que                                                               40
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


d.      div (φA)         =         ∇ ! (φA)

                                    ∂  ∂     ∂ 
                         =          i+
                                    ∂x    j + k  ! x 2 yz3 ( xz i - y 2 j + 2x 2 yk )
                                       ∂y    ∂z 
                                                 
                                    ∂ 3 4       ∂                    ∂
                         =            (x yz )i − ( x 2 y 3 z 3 ) j + ( x 4 y 2 z 3 )k
                                   ∂x           ∂y                  ∂x
                         =        3x2yz4 i – 3x2y2z3 j + 6x4 y2z2 k

e.                                     (
        curl (φA) = ∇ × (φA) = ∇ × x 2 yz 2 ( xz i − y 2 j + 2 x 2 k )   )
                   =      i       j            k
                          ∂       ∂            ∂
                        ∂x       ∂y           ∂z
                        3
                       x yz3     2 3 2
                               -x y z         4 2 3
                                            2x y z

                   = (4x4yz3 + 3x2 y3 z2) i – (8x3 y2 z3 – 4x3 yz3) j + (–2xy3z3 – x3z4) k


3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl
a. Derivatif berarah (directional derivatve)
        Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan
     adalah T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam
     ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin
     akan berbeda dengan temperatur di titik lainnya. Karena adanya
     perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarnya rata-rata
     perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainnya
     persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperatur
     sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke
     titik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut
     dengan derivatif berarah (directional derivative)
     Cara menentukan derivatif berarah:
     Diberikan suatu medan skalar yang dinyatakan fungsi                                (x,y,z).
     Besarnya laju perubahan dari fungsi              (x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuan
     jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah
     satuannya u = ai + bj + ck, bisa ditentukan sebagai berikut,




Program Semi Que                                                                            41
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                           ∇φ



           φ = kons tan


                                            θ)
                                                                                    u




                                                                    dφ
                                                                       dalam arah u
                                                                    ds
                                                                    atau Duφ
   Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u
   = ai + bj + ck, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter
                                            x = x o + as
                                            y = y o + bs
                                           z = z o + cs

   Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari
   satu variabel s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z),
   maka φ akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di
                                                                         dφ
   atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehingga                   bisa
                                                                         ds
   dihitung.
       dφ                     ∂φ dx ∂φ dy ∂φ dz ∂φ   ∂φ ∂φ
            = Duφ    =             +     +     =   a+ b+ c
       ds u                   ∂x ds ∂y ds ∂z ds ∂x   ∂y ∂z

                               ∂φ ∂φ     ∂φ 
                      =                               + bj + ck )
                               ∂x ∂y j + ∂z k  = (ai"$"#
                               i+             
                               "" $"""  %
                              %    "         #           u
                                    ∇φ
   Jadi,
                          dφ
                               = D u φ = ∇φ ! u = grad φ ! u
                          ds u




Program Semi Que                                                               42
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


    Definisi perkalian skalar, diperoleh:
         dφ
              = ∇φ ! u = ∇φ u cos θ ; θ adalah sudut antara ∇φ dan vektor u
         ds u
    Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi
           dφ
                = ∇φ cos θ nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°,
           ds u
              yaitu jika u searah dengan ∇φ.
                                              dφ
    Harga maksimum dari                            adalah ∇φ
                                              ds u
CONTOH:
1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam
   arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini
   akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.
   ⇒
   a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1)j + (-1-1)k = i +
       2j – 2k.
                                                      i + 2 j − 2 k i + 2 j − 2k
       Vektor arah satuan = u =                                    =
                                                        1+ 4 + 4          3
                ∂    ∂   ∂    i+2j+k
       ∇f =       i+   j+ k =
               ∂x ∂y     ∂z      3
                  = 2y i + 2x j – 2z k

       Du f   (2,-1,1)   = ∇f      (2,-1,1)


                                                                  i + 2 j − 2k
                         = (2 y i + 2 x j − 2z k ) !
                                                                        3
                         =   1
                             3   (2 y + 4 x + 4) ( 2, −1, 1)

                         =   1
                             3   (−2 + 8 + 4) = 10 = 3,33
                                                 3

   b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan
       ∇f, dan besarnya nilai maksimum =

                                                   = 4 + 16 + 4 = 2 6
              ∇f = 4y 2 + 4x 2 + 4z 2
                                                   ( 2 , −1, 1)




Program Semi Que                                                                   43
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


2. Jika       (x,y,z) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju
   pertumbuhan temperatur sesaat di titik (2,-1,-1) jika bergerak ke arah
   titik (3,1,3)
   ⇒
                                            i + 2 j + 2k 1
   Vektor arah satuan = u =                             = (i + 2 j + 2k )
                                               1+ 4 + 4 3
   Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =
                                                 1
   Du f   (2,-1, 1)   =         ∇( xy 2 + yz3 ) ! (i + 2 j + 2k )
                                                 3
                                                                     1
                      =         [ y 2i + (2 xy + z 2 ) j + 3yz 2 k )! [i + 2 j + 2k ]
                                                                     3
                                 1                   11
                      =            (1 − 8 + 2 − 6) =
                                 3                    3
   Tanda negatif menunjukkan perubahan yang menurun artinya terjadi
   penurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3).


b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan
   Misalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S dalam ruang (R3) dan
   fungsi vektor r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k adalah persamaan kurva yang
   terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(x,y,z) = C, maka
   berlaku
               F[x(t), y(t), z(t)] = C
   dan
                ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂C
                     +     +     =   =0
                ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t

                ∂f ∂f    ∂f   dx dy dz 
                i+
                ∂x    j + k! +     + =0
                   ∂y    ∂z   dt dt dt 
                             
                          d r(t)             d r(t)
               ∇f !              = 0 → ∇f ⊥[        = t' (t)]
                           dt                 dt




Program Semi Que                                                                        44
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                                ∇f

                                                                  r' (t )
                          P

                      r (t )




   Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) =
   dr
      merupakan singgung kurva r(t), yang berarti vektor singgung
   dt
   luasan S di titik tertentu. Jadi, ∇f ⊥ vektor luasan ——> berarti ∇f
   merupakan vektor normal luasan S di suatu titik.
              ∇f
   Dan n =       = vektor normal satuan.
              ∇f


   CONTOH:
   Tentukan vektor normal dari kerucut putaran:
   z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1,0,2).
   ⇒
   Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalah
   f(x,y,z) = 4(x2 + y2) – z = 0

   ∇f = ∇(4(x 2 + y 2 ) − z 2 ) = 8x i + 8 y j + 8z k   (1,0,2)


        = 8i – 4k
         ∇f   8i − 4k    8i − 4k 2i − k
   n=       =          =        =
         ∇f    64 + 16      80      5



Program Semi Que                                                            45
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


c. Penggunaan lain dari Gradien
       Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletak
   pada titik tetap Po(xo, yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas
   dengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang,
   maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A. menurut hukum
   Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan
   besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po.
   Sehingga,
         c
   p=             c = GMm
         r2
                  G = 6,67 = konstan

   dan r = (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2                ;     r≥0

   Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.
   Jika vektor jarak dari P ke Po,
              r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k ; | r | = r
               r    r
   dan −         = − = vektor satuan arah dari p
               r    r

                           (tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)
   maka
                        r                   r
   vektor p = −           p = − (c / r 2 ) = = (c / r 3 ) r
                        r                   r
                          x − xo    y−y      z−z
                  = −c        3
                                 i−c 3 o j −c 3 o k
                            r        r        r
                  ———>              fungsi       vektor   yang       menyatakan   gaya   tarik
                                    menarik antara dua partikel.
   Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/r                       ;r≥0
   merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa
   dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:
                   ∂       ∂          ∂                        c
             ∂x i + ∂y j + ∂y k 
   grad f =                     
                                 (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2
                                - 2(x − x o )
              =                                                     c i+
                  2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2
                                2



Program Semi Que                                                                          46
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                             - 2(y − y o )
                                                                 c j+
               2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2
                            2



                              - 2(z − z o )
                                                                 c k+
               2[(x − x o ) + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2 ]3 / 2
                            2



                   x − xo      y − yo     z−z
          =    −       3
                          c i−     3
                                      c j− 3 o c k
                     r           r         r
          =   p
   Selain itu bisa dibuktikan bahwa:

    ∂ 2  1  1 3(x − x o ) 2
         = +
   ∂x 2  r  r 3   r5

   ∂ 2  1  1 3(y − y o ) 2
         = +
   ∂y 2  r  r 3  r5

   ∂ 2  1  1 3(z − z o ) 2
         = +
   ∂z 2  r  r 3  r5
   Jika dijumlahkan menjadi:

    ∂2  1  ∂2  1  ∂2  1 
         =        +        =
   ∂x 2  r  ∂y 2  r  ∂z 2  r 

          3     (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 + (z − z o ) 2
      =      +3
          r3                      r5
          3    r2
      =      +3 5 = 0
          r3   r
   Sehingga, karena f = c/r maka

   ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
       +    +     = 0 atau ∇ 2f = 0
   ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
   Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan
   merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi
   skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat ∇2f = 0
   Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatan
   Q1 dan Q2 adalah
                    k
               p=      r                              (Hukum Couloumb)
                    r3



Program Semi Que                                                            47
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                      Q1Q 2
    dengan: k =                    ;        ε = konstanta elektrik
                      4πε
    Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan
    ∇2f = 0
    CONTOH:
    Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah
    V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).
    ⇒
    Vektor gaya elektrostatik p = grad V
                2x            2y               60
     p = 30          i + 30 2      j ( 2, 5) =    = (2i + 5 j )
              x +y22
                           x +y  2
                                               29
    ∴ Arah gayanya searah dengan arah vektor p




Penggunaan Difergensi
Dalam aliran fluida:
         Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-steady state) dari fluida
termampatkan (compressible fluid), misalnya gas atau uap, dalam suatu
ruangan. Karena termampatkan, maka besarnya                           (densitas massa =
massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z.
Dan karena alirannya tak tunak maka                           juga tergantung pada t
(berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi                  =   (x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =
v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu
titik (x, y, z)
         Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil
dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut.




Program Semi Que                                                                         48
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                                         ρv 3 + ∆ ρv 3

                          z                                             ρ v1

                                                                  ∆z
                                      W)

                   ρv 2                                   ∆x   ρv 2 + ∆ ρv 2
                                      ∆y
                              ρ v1 + ∆ ρ v 1
                                                 ρv 3                     y


      x


          Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan
tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa
fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volume
W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida
sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu.
Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari W
Selama ∆t ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masing-
                   masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [∆t)
              = fluks massa fluida pada masing-masing sisi W.
Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui
W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar
dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi
W.
"    Fluks massa yang masuk selama ∆t melalui:
          –   sisi kiri           =        ρv2 ∆x ∆z ∆t
          –   sisi belakang       =        ρv1 ∆y ∆z ∆t
          –   sisi bawah          =        ρv3 ∆x ∆y ∆t
"    Fluks massa yang keluar selama            t melalui:

Program Semi Que                                                                49
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


          –     sisi kanan         =      (ρv2 + ρv2) ∆x ∆z ∆t
          –     sisi depan         =      (ρv1 + ρv1) ∆y ∆z ∆t
          –     sisi atas          =      (ρv3 + ρv3) ∆x ∆y ∆t
Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan
Volume              =        (Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu
                             ∇ρv1∆y∆z ∆t + ∇ρv 2 ∆x∆z ∆t + ∇ρv 3 ∆x∆y ∆t
                    =
                                           ∆x∆y∆z (∆t )
                             ∇ρv1 ∇ρv 2 ∇ρv 3
                    =            +     +
                              ∆x   ∆y    ∆z
Karena volume W diambil sangat kecil, maka ∆x → 0
                                                         ∆y → 0
                                                         ∆z → 0




Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan
volume dalam ruangan =

          ∇ρv 1 ∇ρv 2 ∇ρv 3        ∇ρv 1 ∇ρv 2 ∇ρv 3
lim 
    
    
∆x → 0      ∆x
                +
                  ∆y
                      +
                        ∆z
                                   =
                                   
                                     ∂x
                                          +
                                            ∂y
                                                +
                                                  ∂z
∆y → 0
∆z → 0


               ∂    ∂    ∂ 
          = 
                 i+   j + k  ! (∇ρv1i + ∇ρv 2 j + ∇ρv3 k )
               ∂x ∂y     ∂z 
                             
          = ∇ ! ρv

          = div (ρv)

          Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa
fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju
                                                                           ∂ρ
perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau =
                                                                           ∂t
                    ∂ρ
Jadi, div ρv =
                    ∂t
Atau



Program Semi Que                                                                50
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                               ∂ρ
                    div ρv +      =0
                               ∂t
                  ———→           merupakan persamaan kontinuitas dari aliran
                                 non-steady state dari fluida termampatkan
        Jika alirannya tunak (steady state), yang berarti bahwa densitas
massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu),
maka:
∂ρ
   = 0 —→          div ρv = 0 ——→ merupakan kontinuitas untuk aliran steady
∂t
                  state dari fluida termampatkan (compressible).
Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan (in compressible
fluid), berarti    nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,
div ρv = div v = 0               (ρ ≠ 0)
             div v = 0 ——→ persamaan koninuitas dari aliran steady-state
            dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid).
Penggunaan Curl
Dalam gerak rotasi
Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut –
(konstan) mengelilingi sumbu & .




Program Semi Que                                                             51
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                                               P                        Ω
                                                              v
                                                 r

                    R


                θ
  & O




Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω yang panjangnya                      , sejajar
sumbu & dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan
terhadap gerakan benda.
Jika R adalah vektor dari titik 0 di & ke sembarang titik P pada benda,
maka
       "    radius putar titik P:
            r = | R | | sin θ |
sehingga,
       "    kecepatan linier titik P
            | v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |
Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R,
sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil
dari perkalian Ω × R, selain memberikan besarnya nilai v juga akan
menentukan arah dari v.


Program Semi Que                                                                  52
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Jika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka:
        R       =      xi + yj + zk dan
        Ω       =      Ω1i + Ω2 j + Ω k
sehingga, v = Ω × R bisa ditulis
        v       =      (Ω2z + Ω3 y)i – (Ω1z - Ω2x)j + (Ω1y - Ω1x) k
dan

                               i            j             k
                               ∂            ∂             ∂
        curl v = ∇ × v =
                              ∂x           ∂y            ∂z
                         (Ω 2 − Ω 3 y) (Ω1 − Ω 3 x ) (Ω1 − Ω 2 x )

                       = 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3 k = 2 Ω
Jadi,
Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform =
                       ½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik.


SOAL-SOAL LATIHAN
1. Misalkan f = x2 + 9y2 + 4z2
                g = xy3 z2
                v = xz i + (y – z)2 j + 2xyz k
                w = 2y i + 4z j + x2z2 k
   Tentukan
   a. grad f di titik (3, -1, 0) Jawab           :       6i – 18j
   b. ∇2f                         Jawab          :       28
   c. ∇f !∇g                      Jawab          :       72 xy3 z2

        ∂2 g
   d.                             Jawab          :       3 y2 z2
        ∂x∂y
   e. ∇f ! v                      Jawab          :       2x2 z + 18y (y – z)2+ 16 xyz2

   f.   div w                     Jawab          :       2 x2 z
   g. div v (curl v)              Jawab          :       –11
   h. div (v × k)                 Jawab          :       0
   i.   curl (v × k)              Jawab          :       –xi – 2(y – z)j – (2y – z)k


Program Semi Que                                                                       53
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   j.   Dwf di (1, 1, 1)            Jawab         :        18 5
   k. Dwg di (3, 0, –2)             Jawab         :       0
   l.   div (v + w)                 Jawab         :       2y – z + 2xy + 2x2z


2. Jika r(t) menyatakan persamaan kurva lintasan, dengan t = waktu.
   Tentukan vektor kecepatan, besarnya laju (speed) dan vektor
   percepatan di P[x(t); z(t)], jika
   a. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j

        Jawab: v = i + 12 j + k ; | v | =     145 ; a = 6 j
   b. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j + tk, di titik P (4,12,4)

        Jawab: v = i + 3j + k ; | v | =     11 ; a = 0


3. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)
   = t2i – 2tj + (t2 + 2t)k, t waktu.
   a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,-
        4,8). Jawab: t = 2
   b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi
        titik (4,-4,8).
        Jawab: v = 4i – 2j + 6k; | v | = 2 14
   c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan
        partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)
        Jawab:             (x – 4)/4 =    (y + 4)/(-2) = (z – 8)/6
                2x – y + 3z = 36


4. Jika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi φ = x2 –
   y2 + 2xy akan menurun dengan cepat (menurun secara
   maksimum).
   Jawab        =          –i




Program Semi Que                                                                54
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



5. Jika diberikan medan skalar r =     x 2 + y 2 dan

   R=    x 2 + y 2 + z 2 , tentukan

   a. Laplace ∇2 dari ln r                     Jawab        : 0
   b. Laplace ∇2 dari R                        Jawab        : 2/R


6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 +
   30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titik
   P (2,5).
   Catatan: garis ekipotensial adalah garis yang tegak lurus
              dengan garis gaya elektrotatis.




Program Semi Que                                                       55
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


BAB IV

INTEGRAL VEKTOR
             POKOK BAHASAN :
             ! Integral garis
             ! Teorema Green
             ! Medan Gaya Konservatif
             ! Integral luasan
             ! Teorema divergensi Gauss
             ! Teorema Stokes

4.1 Integral Garis (Line Integrals)
         Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari
                                   a
konsep integral tertentu          ∫ f ( x)dx .
                                   b

                                        a
Dalam integral tertentu                ∫ f ( x)dx ,
                                       b
                                                      fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang

sumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi
pada setiap titik pada sumbu x antara sampai b.
Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C
dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi
                                                                lintasan
pada setiap titik di C. Kurva C, oleh sebab itu disebut sebagai ‘
integrasi’. Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (smooth curve) yang
bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor:
   r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b
dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,
                     dr dx ( t )    dy(t) dz(t)
    r' (t)    =         =        i+      j      k
                     dt   dt         dt    dt
              =   x' (t) i + y'(t) j + z'(t) k
yang tidak nol
Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:
   A :        r(a)      =   titik awal dari C
   B     :    r(b)= t akhir dari C
Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam
gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.


Program Semi Que                                                                       56
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw

                                                                                                         A = r (a )
Jika A = B                     C disebut kurva tertutup.
                                                          B = r (b )                                     B = r (b )



                               C : r( t )


  A = r(a )                                                                                                           C
Definisi Integral Garis
Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang
terdefinisikan pada a ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:


                                                                                     b
                                                                                                       dr
                                                ∫ C F(r ) ! dr         =         ∫a
                                                                                         F[r ( t ) !
                                                                                                       dt
                                                                                                          dt

                                                                           b
                                                                 =     ∫
                                                                       a
                                                                               F[r ( t ) ! r ' ( t )dt

Jika,
   r (t)          =    x(t) i + y(t) j + z(t) k
                                     dr dx ( t ) dy( t )    dz( t )
                        r' (t) =        =       i+       j+         k
                                     dt   dt       dt        dt
   dr             =    dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k
   F(r)       =   F1 i + F2 j + F3 k
   maka:
              ∫ C F(r ) ! dr         =           ∫ C [F1dx ( t ) + F2 dy ( t ) + F3dz( t )]
                                            b
                                                 dx       dy     dz 
                               =
                                      a
                                       ∫ F
                                         
                                                 1
                                                   dt
                                                      + F2
                                                           dt
                                                              + F3  dt
                                                                  dt 


                                       ∫ [F x ' ( t) + F y' ( t ) + F z' ( t)]dt
                                            b
                               =                  1              2                3
                                      a


   "      Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan

          dengan      ∫ F(r ) ! dr
                       C




Contoh

Program Semi Que                                                                                                          57
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


1. Tentukan integral garis                    ∫ F(r ) ! dr , jika
                                               C


   F(r) = – y i + xy j
   C :         adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik A
               ke titik B.




   ⇒
                                                                                   C : r(t) =      cost i + sint j
             B(0, 1)                                                             Sehingga,
                                 C                                                        x(t) =   cost t
                                                                                          y(t) =   sin t
                                                                                                       π
                                        A(1, 0)                                               0≤t≤
                                                                                                       2
     0
   dan F[r(t)]=         – sin t i + sin t cos t j
               f'   =   – sin t i + cos t j
                                 b
   ∴   ∫ C
             F(r ) ! dr =    ∫   a
                                      F[r ( t )] ! r ' ( t )dt
                                 π/ 2
                        =    ∫   a
                                        [sin 2 t + sin t cos 2 t ]dt
                                     π/ 2                        π/ 2
                                            1 − cos 2t
                        =
                             0
                                 ∫               2
                                                       dt − ∫
                                                           0
                                                                        cos 2 t d cos t

                                                                        π/2
                             1    1         1
                        =      t − sin 2 t − cos 3 t
                             2    4         3        o


                             π        1 π 1
                        =      t −0−0+ = +
                             4        3 4 3
2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jika
   C : garis lurus yang menghubungkan A dan B




   ⇒

          B(0, 1 Que
Program Semi )                                                                                                   58
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
                        C
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                                           C : r(t) =   (1 – t) i + t j
                                                                                        x(t)=    1–t
                                                                                             =   t
                                                                                     0≤t≤1




   F[r(t)] =        –t i + t(1 – t) j
   r'(t)        =   –i + j
                                 1                              1
   ∴   ∫
       C
           F(r ) ! dr =         ∫ [t + t (1 − t )]dt =∫ [2t − t ]dt
                                0                               0

                                              1
                                    1       1 2
                         =      t2 − t3 = 1− =
                                    3 0     3 3
   "   Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain
       tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada
       lintasannya.

3. Tentukan         ∫ F(r ) ! dr , jika
                     c

       F(r)=        zi+j+yk
       C :          r(t) = cos t i + sin t j + 3t k,                  0≤t≤2
       ⇒
       x(t)=        cos t
       y(t)=        sin t
       z(t) =       3t
                         F[r(t)] =           3t i + cos t j + sin t k
                              r'(t) =        –sin t i + cos t j + 3 k


                                ∫ [− 3t sin t + cos                           ]
                                 π/ 2
   ∴       ∫   F(r ) ! dr =                                         t + 3 sin t dt
                                                                2
           C                    0

                                     π/2                 π/2                        π/2
                                                               1 + t cos 2 t
                         =      3∫         t cos t + ∫                       dt + 3∫ sin t dt
                                     0               0               2              0


                                                          1   1
                         =      3[ t cos t − ∫ cos tdt ] + t + sin 2 t − 3 cos t
                                                          2   4




Program Semi Que                                                                                          59
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                                                2π
                                                       1   1
                               =   3t cos t − 3 sin t + t + sin 2 t − 3 cos t
                                                       2   4                  0




   Interpretasi Integral Garis
   Dalam MEKANIKA
   Usaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjang
   vektor lurus d adalah W = F ! d
   Jika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak
   sepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan oleh
   gaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah
   usaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika C
   dibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmen
   mendekati garis lurus.


                                                                                     b = tn
                      t2           t3
            t1                                           C


   a = t0                                                    tm         t m+1
   Untuk sembarang m; 1 ≤ m ≤ n, maka
   ∆Wm = F[r ( t m )]![r ( t m ) − r ( t m )]
   Sementara,
                    lim r ( t ) − r ( t )
   r ' ( t m ) = ∆t m → 0              m

                               ∆t m
    tm           = tm + 1 – tm
   Jadi,
         ∆Wm ≅ F[r ( t m )] ! r ' ( t m )∆t m ] ! r ' ( t m )∆t m
       karena n → ∞ , maka:
                           n                    n
         W = lim ∑ ∆Wm = lim ∑ F[r ( t m )] ! r ' ( t m )∆t m
                  n →∞                  n →∞
                         m =1                  m =1




Program Semi Que                                                                        60
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                     b
                                        =
                                                a
                                                    ∫ F[r( t )] ! r' (t ) dt
                   ∴ Usaha W = ∫ F(r ) ! dr
                                                      C


                       dr
   "    Karena            = v( t ) = vektor kecepatan
                       dt
                                                              b
        maka: W =            ∫   C
                                     F(r ) ! dr = ∫ F[(r )] ! v( t ) dt
                                                          a

   "    Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t)
        Sehingga,
                                                                                       '
                                                                   v!v
                             ∫       m v' ( t ) ! v( t ) dt = ∫ m 
                                 b                             b
           W =                                                          dt
                         a                                  a
                                                                   2 

                                        [ ]
                                                                              b
                                 b   m 2'    m 2
                   =
                         a   ∫       2
                                       v dt = v
                                             2   a



                   =
                         m
                         2
                                 [
                           v(b) − v(a ) 2
                               2
                                                                  ]
                       m 2
        dengan           v = energi kinetik
                       2


   Bentuk-bentuk lain Integral Garis
   Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis

   ∫ F(r ) ! dr ,
    C


   Jika    F       =    F1 i                                                  ∫ F(r ) ! dr = ∫ F dx
                                                                                  C                C
                                                                                                       1


           F       =    F2 j                                                  ∫ F(r ) ! dr = ∫ F dy
                                                                                  C                C
                                                                                                       2


           F       =    F3 k                                          ∫ F(r ) ! dr = ∫ F dz
                                                                      C                    C
                                                                                               3


                                            b
   Bentuk :    ∫
               C
                    f (r ) ! dt = ∫ f [r ( t )]dt
                                        a


   C : r(t); a ≤ t ≤ b

   Merupakan bentuk khusus dari                                        ∫ F(r ) ! dr , jika
                                                                          C




Program Semi Que                                                                                           61
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                   f [r ( t )]
   F   =    F1 i dan F1 =                      , sehingga
                                   dx / dt
                                                                              dx
                                                                 f = F1          = F1x ' ( t )
                                                                              dt




   Jadi,
                                                                              f [r ( t )]
                 ∫ F(r ) ! dr = ∫ F ! dx
                  C                         C
                                                    1           =       ∫ C   dx / dt
                                                                                          dx

                                                b
                                   =
                                        a
                                            ∫ f [r( t ) dt

   Contoh

   Tentukan      ∫ (x       + y 2 + z 2 ) 2 dt jika
                        2
                  C

   C :      r (t) = cos t i + sin t j 3t k ; 0 ≤ t ≤ 2
   ⇒
   f   =    (x2 + y2 + z2)2
   r(t) =   cos t i + sin t j + 3t k
            x(t)=     cos t
            y(t)=     sin t
            z(t) =    3t
   f[r(t)] =     [cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t2)2
                                            2π
   ∴ ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 dt =       ∫           (1 + 9 t 2 ) 2 dt
       C                                    0

                                            2π
                                   =    ∫   0
                                                    [1 + 18t 2 + 81t 4 ]dt
                                                                     2π
                                                                81
                                   =    t2      +       6t3   +    t
                                                                5 0
                                                                    2592 5
                                   =    2π + 48π3 +                     π
                                                                     25




Program Semi Que                                                                                 62
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   Sifat-sifat

   a.   ∫ k F(r) ! dr = k ∫ (r) ! dr
          C                       C
                                                                    ;   konstanta

   b.   ∫ [F(r) + G(r) ! dr ] = ∫ F(r) ! dr + ∫ G (r) ! dr
          C                                   C                         C


   c.   ∫ F(r) ! dr = ∫
          C              C1
                              F(r ) ! dr + ∫ F(r ) ! dr ; jika lintasan C dibagi menjadi
                                                        C2


        dua busur, yaitu C1, dan C2 dengan arah yang sama dengan arah
        C.


Contoh Soal

1. Tentukan       ∫ F(r) ! dr ; jika
                   C

   a. F       =   y2 i – x4 j
        C : r(t) = t i + t–1 j ; 1 ≤ t ≤ 3
   b. F       =   y2 i
        C : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1)
   c. F       =   3y i + x j
        C : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2½ )
   ⇒
        x(t) = t                                       F = t −2 i − t 4 j
   a.                         
        y( t ) = t −1                                  r ' ( t ) = i − t −2 j



                                      ∫ [t                      ]
                                                                                 3
                                          3                          1
        ∴ ∫ F(r) ! dr      =                      −2
                                                       + t dt = − t + t 3
                                                            2               −1
              C                           1                          3 1

                                       1 27             1  28
                           =          − 3 = 3  −  − 1 + 3  = 3
                                                          
   b.   ∫ F(r) ! dr = ∫ y dx                            ;           2≤x≤0
                                      2
          C                     C




        C:        x2 + 4y2            =           4
                   4y2     =          4 – x2

                                      4 − x2
                    y2     =
                                         4

Program Semi Que                                                                     63
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                                           0
                                           4 − x2     1    1 
                                       0

           ∫ F(r) ! dr
           C
                               =       ∫
                                       2      4
                                                  dx = 4x − x 3 
                                                      4    3 2

                                       1         8       4
                               =        0 − (8 − 3 ) = − 3
                                       4            
   c. y
                                                                               Persamaan         segmen
                                                                               garis dari (0, 0) ke (2, ½),

     1                                                   (2, 1 )
                                                             2
                                                                               adalah:
     2
                                                                                       1
                                                                   x           y   =     ,0≤x≤2
                                                                                       4
  (0, 0)                                             2


                x(t) = t             
                                                  1
                      1               r(t) = t i + t j
                y( t ) t                          4
                      4              
                           3
         F[r(t)] =           ti–tj
                           4
                               1
               r'(t) =    i+     j
                               4

                                                                       2
                     2 3  1         21     1
    ∴ ∫ F(r) ! dr = ∫  t − t  dt = ∫ t dt = t 2 = 1
       C           0   4  4       0  2     4 0
   2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh harga F = xi – zj + 2yk yang
         bergerak sepanjang C : z = y4, x = 1;
         dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 1)
         ⇒

                x =1               
                                   
                y=t                       r(t) = i + tj + t4k ;           0≤t≤1
                                   
                z=t   4
                                   
                F[r(t)] =      i – t4j + 2t k
                  r'(t) =              j + 4t3k




Program Semi Que                                                                                        64
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                                                ∫[                      ]
                                                                                                   1
                                                1                           7    1
        ∴ W = ∫ F ! dr =                            − t + 8t dt = ∫ 4 t dt = t 5
                                                         4          4                4
                      C                         0                  0        5                      0


                                    7
                          =
                                    5
   3. Tentukan            ∫ (x          + y 2 ) ds , jika
                                    2
                              C

        C : lintasan y = 2x dari (0, 0) ke (1, 2)
        ⇒

             ds =                 dx 2 + dy 2
                 y =      2x                                 dy = 2dx

             ds =                 dx 2 + (2dx ) 2 = dx 5                             ;       0≤x≤1
                                                      1                                        1
        ∴ ∫ (x 2 + y 2 ) ds                 =        ∫    (x 2 + 4x 2 ) 5 dx = 5 5 ∫ x 2 dx
             C                                       0                                         0


                                                     5 5 31 5 5
                                            =           x =
                                                      3   0  3
4. Tentukan       ∫ y dx + x dy ;                            jika
                          2                 2
                      C

   C : Lintasan trapezium seperti dalam gambar berikut
             y

                                                                             (2,2)
                                  C3
                                                                            C2
    (0, 1)
        C4
                                                                                         x
    (0, 0)                              C1                          (0, 2)

   ⇒

   ∫ y dx + x dy = ∫                        ( y 2dx + x 2 dy) + ∫ ( y 2dx + x 2 dy) +
        2         2
    C                                  C1                                   C2



                                    ∫  C3
                                            ( y 2dx + x 2 dy) + ∫ ( y 2dx + x 2 dy)
                                                                            C4




   "    Lintasan C1:

Program Semi Que                                                                                       65
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



           x=t           →
                  .......... dx = dt          ∫   C1
                                                       ( y 2dx + x 2 dy) =
           y=0           →
                   .......... dy = 0
                                                  2                       2
                 0≤t≤2
                                              ∫   0
                                                      (0 dt + t 2 0) = ∫ 0 dt = 0
                                                                         0




   "   Lintasan C2:

           x=t           →
                  .......... dx = dt                                              2
                                              ∫        ( y 2dx + x 2 dy) = ∫ ( t 2 0 + 4dt )
           y=0           →
                   .......... dy = 0              C1                          0
                                                  2

                                              ∫        4dt = 4t 0 = 8
                                                                   2
                 0≤t≤2                            0


   "   Lintasan C3:
                                                                                 0 1                     1
       x=t                 → dx = dt                    ∫C3 ( y 2dx + x 2 dy) = ∫ ( t + 1) 2 dt ) + t 2 . dt
                                                                               2   2                     2
          1                            1                 0 3                  3 3 1 2
       y = +1              → dy =                       ∫ ( 4 t + t + 1) = 12 t + 2 t + t =
                                                                 2
                                         dt
          2                            2               2

       2≤t≤0                                                   8 4
                                                        0 − ( + + 2) = −6
                                                               4 2


   "   Lintasan C4:

       x =0            →
                 .......... dx = 0
                                                  ∫    ( y 2dx + x 2 dy) =
                                                  C4
       y=t            →
                .......... dy = dt                0

                                                  ∫ (t       + 0 + 0 2 dt ) = 0
                                                         2
       1≤ t ≤ 0                               1


   ∴ ∫ y 2 dx + x 2 dy = 0 + 8 − 6 + 0 = 2
       C

   5. Tentukan besarnya usaha dalam gerakan partikel yang menjalani
       lintasan satu putaran elips C dibuang dibidang XOY, jika elips
       tersebut berpusat di titik 0 dengan sumbu panjang 4 dan sumbu
       pendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh:
       F = (3x – 4y + 2z)i + (4x + 2y – 3z2)j + (2xz – 4y2 + z3) k
       Persamaan ellips :

                           x 2 y2
                              +   =1
                           32 4 2



Program Semi Que                                                                                          66
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                  x 2 y2
                                     +   =1          ;   z=0
                                  9 16
                                          z




                                                                          4
                                                                                           y
                3

            x
       Misalkan

       x = 3 cos t 
                    r ( t ) = 3 cos t i + 4 sin t j
       y = 4 sin t 
       z=0          0 ≤ t ≤ 2π
                   
       F[r(t)] =         [9 cost – 16 sint] i + [12 cost + 8 sint] j + [–16 sint] k
        r'(t)   =        –3 sint i + 4 cost j
                             2π
       ∴W       =        ∫
                         0
                                  − 3 sin t (9 cos t − 16 sin t ) + 4 cos t (12 cos t + 8 sin t )dt

                             2π
                =        ∫
                         0
                                  (−27 sin t cos t + 48 sin 2 t + 48 cos 2 t + 32 sin t cos t )dt

                             2π
                =        ∫
                         0
                                  (48 + 5 sin t + cos t )dt

                             2π                 2π
                =        ∫
                         0
                                  (48dt + 5∫ sin t d ( sin t )
                                            0

                                  2π   5 2 2π
                =        48t 0           si n t = 96π + 0 = 96π
                                       2       0


Soal-Soal

1. Hitunglah    ∫ F[r ] dr jika:
                 C

   F[r] =   [x + y] i + [y – x] j
   a. C :       Parabola y2 = x dari [1, 1] sampai [4, 2]
   b. C :       Garis lurus dari [1, 1] sampai [4, 2]
   c. C :       Garis lurus dari [1, 1] ke [1, 2] dan dilanjutkan ke [4, 2]

2. Hutunglah        ∫ F[r ] . dr jika
                     C


Program Semi Que                                                                                      67
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   F[r] =   [2x – y + 4] i + [5y + 3x – 6] j
   a. C :       Sekeliling segitiga di bidang xoy dengan titik-titik sudut [0,0]
                [3,0], [3,2] yang dijalani berlawanan arah jaru jam.
   b. C :       Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [0, 0]

3. Hitunglah    ∫ [x       + y 2 ] ds jika
                       2
                 C

   a. C :       Sepanjang busur lingkaran x2 + y2 = 4 dari [2, 0] sampai [0,2]
   b. C :       Sepanjang sumbu x dari [0, 0] ke [1, 0] kemudian dilanjutkan
                ke [1, 1]


Jawab
        34
1. a.      ;    b. 11            ;    c. 0
         3
2. a. 12 ;      b. 64
                     5
3. a. 4     ;   b.
                     3




Program Semi Que                                                              68
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


4.2. Teorema Green
    Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis
      Integral rangkap dua yang meliputi suatu daerah dalam bidang
XOY bisa ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari
daerah tersebut atau sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan dengan
teorema Green pada bidang. Transformasi dengan teorema Green ini
penting    karena           bisa   digunakan           untuk   membantu    mengevaluasi
perhitungan integral dengan lebih mudah.
Teorema Green :
      Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOY
yang batas C nya             erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) yang
berhingga, misalkan F1(x,y) dan                F2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu
                                               ∂F1     ∂F2
dan mempunyai derivatif parsial                    dan             dalam   domain yang
                                               ∂y       ∂x
memuat R, maka :



                ∂F2       ∂F1 
          ∫∫  ∂x
           R
             
                       −
                           ∂y 
                                 dx dy =   ∫ [ F dx + F dy ] = ∫ F ! dr
                                           C
                                               1        2
                                                               C




Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R.

                       y


                                   C

                                       R

                                                   x


Apabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi :



               ∫∫ [CurlF ] ! k
                 R
                                               dxdy



Program Semi Que                                                                    69
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                        ∫
                   = F ! dr
                        C




F = F1(x,y) i + F2(x,y)

CONTOH :

Misalkan : F = (y2 - 7y) i + (2xy + 2x) j
           F1 = y2 - 7y
           F2 = 2xy + 2x

C : lingkaran x2 + y2 = 1

                                          y

                                          1

                            -1                       1        x


                                          -1
Ruas Kiri :

            ∂F2        ∂F1 
     ∫∫  ∂x
       R
        
                   −
                        ∂y 
                              dx dy =          ∫∫ [(2 y + 2) − (2 y − 7)] dxdy
                                                R




                                         =9     ∫∫  R
                                                         dxdy = 9 x luas lingkaran x2 + y2 = 1


                                         = 9π

Ruas Kanan :

r(t) = cos t i + sin t j ; 0≤t≤2π

x(t) = cos t
y(t) = sin t

F1[r(t)] = sin2 t - 7 sin t
F2[r(t)] = 2 cos t sin t + 2 cos t

r'(t) = - sin t i + cos t j

                   2π

∫ F ! dr =         ∫ [(sin       t − 7 sin t )(− sin t ) + (2 cos t sin t + 2 cost )(cos t )]dt
                             2
 C
                   0



Program Semi Que                                                                                  70
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                2π
            =       ∫ [− sin          t + 7 sin 2 t + 2 cos 2 t sin t + 2 cos 2 t ]dt
                                  3

                    0
                        2π                                                         2π                                2π
            =           ∫ [(1 − cos t )d cos t                     +                   ∫ [1 − cost ]dt         -      ∫
                                                                                                                    2 cos 2 td cos t        +
                                   2                                           7
                                                                               2
                        0                                                              0                              0
2π

∫ (1 + cos 2t )dt
0
                                                                                                                     2π
            = cos t -            1
                                 3    cos 3 t + 7 t − 7 sin 2t − 2 cos 3 t + t + 1 sin 2t Ι
                                                2     4          3               2                                   0

            =   7
                2
                    ⋅ 2π + 2π = 9π


Bukti Teorema Green :

        y                                                                                          y
                         C**                                                               d
                                                                                                          p(y)
            v(x)
                                                                                                                          q(y)
                                      C*                                                       c
                        u(x)                      x                                                                              x
            a                                 b

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh lengkung                                                                      C = C* ∪ C**
seperti dalam gambar, maka :

     a ≤ x ≤ b ; u(x) ≤ y ≤ v(x)
     c ≤ y ≤ d ; p(y) ≤ x ≤ q(y)

    ∂F                                           ∂F1
                             b            v( x)                                    b

                             ∫[ ∫                              ] dx = ∫ F1 ( x, y)                     y =v ( x )
∫∫R ∂y1 dx dy =              a            u ( x)
                                                 ∂y
                                                     dy
                                                                                   a
                                                                                                       y =u ( x )

                             b
                        =    ∫ [F [ x, v( x)] − F [ x, u( x)]] dx
                             a
                                      1                   1


                             b                                 b
                        =    ∫ F1[ x, v( x)]dx -
                             a
                                                               ∫ F [ x, u ( x)]dx
                                                               a
                                                                       1


                                 a                                 b
                        = -      ∫ F [ x, v( x)]dx - ∫ F [ x, u ( x)]dx
                                 b
                                          1
                                                                   a
                                                                           1




                        = -       ∫ F [ x, y ]dx - ∫ F [ x, y ]dx
                                          1                            1
                                 C **                         C*




Program Semi Que                                                                                                                       71
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                       = -       ∫ C
                                         F1 ( x, y ) dx


Secara sama :
   ∂F2                                             ∂F2
                           d                 q( y)                                         d

                           ∫[ ∫                                    ] dy                                    x=q( y )
∫∫R ∂x dx dy =             c
                                                    ∂x
                                                       dx                              =   ∫ F ( x, y )
                                                                                           c
                                                                                                   2       x= p( y)
                                             p( y)
                           d
                       =   ∫ [F [q( y), y ] − F [ p( y), y ]] dy
                           c
                                     2                         2


                           d                                       d
                       =   ∫ F [q( y), y ]dy - ∫ F [ p( y), y]dy
                           c
                                   2
                                                                   c
                                                                               2


                             d                                         c
                       =     ∫ F2 [q( y), y ]dy +
                             c
                                                                       ∫ F [ p( y), y]dy
                                                                       d
                                                                                   2




                       =   ∫ F [ x, y ]dy + ∫ F [ x, y]dy
                                     2                             2
                           C*                              C **

                       =     ∫ C
                                   F2 ( x, y ) dy

          ∂F2                                ∂F2
∴   ∫∫R    ∂x
              dx dy -              ∫∫    R    ∂x
                                                 dx dy =                       ∫   C
                                                                                       F2 ( x, y ) dy +     ∫C
                                                                                                                 F1 ( x, y ) dx


atau :
                    ∂F2         ∂F1 
            ∫∫  ∂x
               
               R
                           −
                                 ∂y 
                                       dx dy =                 ∫ [ F dx + F dy ] = ∫ F ! dr
                                                               C
                                                                           1                   2
                                                                                                       C



Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan Tertutup

Jika F1 = 0
     F2 = x            , maka                    ∫∫ dxdy
                                                     R
                                                               =               ∫   C
                                                                                       xdy
dan
jika F2 = y

      F1 = 0           , maka                        ∫∫ dxdy
                                                      R
                                                                   = -         ∫   C
                                                                                       ydx
sehingga,
           ∫∫ dxdy
             R
                             =         1
                                       2       ∫ ( xdy − ydx)
                                                C



Karena         ∫∫ dxdy
                   R
                                   = A = luas daerah yang dibatasi oleh bidang R
maka,



Program Semi Que                                                                                                                  72
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



                                    A=      ∫∫ dxdy
                                                R
                                                                =   1
                                                                    2       ∫ ( xdy − ydx)
                                                                            C



Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar.

Misalkan :
                         x = r cos θ                             dx = cosθ dr - r sinθ dθ
                         y = r sin θ                            dy = sinθ dr + r cosθ dθ

A=       ∫∫ dxdy = ∫ ( xdy − ydx)
             R
                                1
                                2   C

     =   1
         2 ∫ [r cosθ (sin θdr + r cosθdθ ) − r sin θ (cosθdr − r sin θdθ )]
                 C

     =     ∫ [r cosθ sin θdr + r cos θdθ − r sin θ cosθdr − r sin θdθ ]
         1                                      2           2                                2   2
         2       C

     =     ∫ [r cos θ dθ + r sin θdθ ] = ∫ r dθ
         1           2      2               2           2                   1       2
         2       C                                                          2   C



                             A=         1
                                        2   ∫
                                            C
                                                    r 2 dθ


CONTOH :
1. Dengan                  menggunakan                           teorema            Green    tentukan    ∫C
                                                                                                              F (r ) ! dr
sepanjang lintasan C, jika F = 3x2 i - 4xy j
   C : sekeliling segi 4 dengan batas 0 ≤ x ≤ 4 ; 0 ≤ y ≤ 1                                             dengan arah
berlawanan                 dengan arah jarum jam.
Penyelesaian :
     y



 (0,1)                                                           (4,1)

                                                                        x
 (0,0)                                                      (4,0)

F = 3x2 i - 4xy j

                                ∂F1
F1 = 3x2             →                  = 0
                             ∂y
                           ∂F2
F2 = 4xy                 →      = -4y
                            ∂y
∫C
     F (r ) ! dr =          ∫ [ F dx + F dy ]
                                C
                                    1               2




Program Semi Que                                                                                                    73
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Teorema Green :
                                           ∂F2         ∂F1 
∫ [ F dx + F dy] = ∫∫  ∂x
 C
         1            2
                                     R
                                                    −
                                                        ∂y 
                                                              dx dy


                                  4           1                                     4             1
                           =      ∫
                                  0
                                          ∫ (−4 y − 0) dy dx =
                                              0
                                                                                    ∫
                                                                                    0
                                                                                         -2y dx
                                                                                                  0
                                  4                              1
                           =      ∫
                                  0
                                          -2 dx = -2x
                                                                 0
                                                                         = -8

                                                                                          x2 y2
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi ellips                                                +   =1
                                                                                          a2 b2
Penyelesaian :
            y

                          b
                                                                                         x = a cosθ → dx = - a sinθ dθ
 -a                                                a                     x               y = b sinθ → dy = b cosθ dθ

                                                            2π
A=           1
             2   ∫
                 C
                      ( xdy − ydx) =               1
                                                   2        ∫ [a cos θb cosθdθ ) − b sin θ (−a sin θdθ )]
                                                            0


                 2π                                                                 2π                       2π
     =           ∫ [ab cos θ + ab sin θ ]dθ                               =         ∫ abdθ =          ab θ        = π ab
             1                2                         2                       1                 1
             2                                                                  2                 2
                 0                                                                  0                        0



3. Tentukan luas Kardioida r = a(1 - cos θ)                                               ;   0 ≤ θ ≤ 2π

Penyelesaian :

                                  y

                                      a

2a                                                                       x


                                  -a


Luas Kardioida =                      1
                                      2 C ∫       r2 dθ
                                      2π
                           =              ∫ [a(1 − cos θ )]              dθ
                                  1                                  2
                                  2
                                          0




Program Semi Que                                                                                                           74
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                         2π
                 =       ∫ [a       (1 − 2 cos θ + cos 2 θ )] dθ
                     1          2
                     2
                         0

                     a   2
                                            2π
                                                1 + cos 2θ    
                 =            θ − 2 sin θ + ∫             dθ 
                      2                      0      2        
                   a2                                  2π
                 =     [θ − 2 sin θ + 12θ + 14 sin 2θ ]
                    2                                   0

                   a  3θ 1
                     2
                                           2π
                 =
                    2   2 − 4 sin 2θ ] 0
                     2
                                     3π a 2
                 =
                   a
                       [3π − 0] =
                    2                    2

SOAL-SOAL :

1. Dengan teorema Green tentukan                      ∫ [( x       − xy 2 )dx + ( y 2 − 2 xy )dy ]
                                                               2
                                                         C
  dengan C : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,0); (2,0);
     (2,2); (0,2)
  Jawab : 8

2. Dengan teorema Green tentukan                     ∫ [( x        − x 2 y )dx + xy 2 dy ]
                                                              3
                                                      C
  dengan C : daerah yang dibatasi lingkaran x2 + y2 = 4                                 dan x2 + y2 =
     16
  Jawab : 120π

3. Dengan teorema Green tentukan                     ∫C
                                                          F (r ) ! dr , jika
  F = xy2 i - x2y j
  C : batas daerah yang dibatasi oleh x ≥ 0 ; 0 ≤ y ≤ 1-x2
  Jawab : -1/3

4. Tentukan luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = x dan y = x3
   Jawab : 1/4

5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh hiposikloida x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3
   Persamaan parameternya adalah : x = a cos3t
                                 y = a sin3t ;      0 ≤ t ≤ 2π
                a2
  Jawab : 3π
                8




Program Semi Que                                                                                     75
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


4.3. Medan Gaya Konservatif.
      Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasan
Dalam bidang (R2) :

Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j
          r = xi+yj
         dr = dx i + dy j


Teorema :
     Syarat perlu dan cukup untuk       ∫
                                        C
                                            F ! dr = ∫ F1 dx + F2 dy tidak
                                                     C
tergantung pada           bentuk lintasan C yang menghubungkan dua
titik pada daerah R dalam bidang R2     adalah :

                           ∂F1 ∂F2
                              =
                           ∂y   ∂x

     atau jika bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y) sedemikian hingga :
           ∂φ
              = F1
           ∂x
           ∂φ
              = F2
           ∂y
                                                          ∂F1 ∂F2
      Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan           =        maka
                                                          ∂y   ∂x
∫C
     F ! dr = 0

BUKTI :

     F ! dr = F1(x,y) dx + F2(x,y) dy

           ∂F1 ∂F2
Karena        =    , maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y)
           ∂y   ∂x
          sedemikian hingga :

      ∂φ          
         = F1     
      ∂x                                   ∂F1   ∂ 2φ         ∂F2   ∂ 2φ
                      ,   sebab                =         =        =
      ∂φ                                   ∂y ∂y∂x             ∂x   ∂x∂y
         = F2
      ∂y          
                  




Program Semi Que                                                             76
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                         ∂φ      ∂φ
Jadi : F◦dr =               dx +    dy = d φ
                         ∂x      ∂y

Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1) ke titik (x2, y2), maka

                                 ( x2 , y 2 )               ( x2 , y 2 )

         ∫C
               F◦dr =                ∫ dφ = φ
                                 ( x1 , y1 )                ( x1 , y1 )
                                                                           = φ (x2, y2) - φ (x1, y1)


Terbukti         bahwa               nilai            integralnya                hanya            tergantung    pada    batas
integrasinya (batas C)                              dan tidak tergantung pada bentuk lintasannya.
Jika C lintasan tertutup, maka                                                 x1 = x2            dan    y1 = y2    sehingga

∫C
      F◦dr = 0

CONTOH :
                                                ( 2 ,1)

1. a. Buktikan bahwa                                ∫ [(2 xy − y           + 3)dx + ( x 2 − 4 xy 3 )dy ] tidak tergantung
                                                                    4

                                                (1, 0 )


             pada lintasan yang menghubungkan (1,0) dan (2,1).
     b. hitung nilai integral garisnya.

     Penyelesaian :

                                                      ∂F1
a. F1 = 2xy - y4 + 3                      →               = 2x − 4 y 3
                                                       ∂y
                                                      ∂F2
     F2 = x2 - 4xy3                     →                 = 2 x - 4y3
                                                       ∂x
                      ∂F1 ∂F2
     Karena              =    , jadi integral garis tersebut tidak tergantung pada
                      ∂y   ∂x
bentuk                                  lintasan.

                     ∂φ
b. Dari                 = F1          maka                φ =              ∫ (2 xy − y          + 3)dx = x2y - xy4 + 3x + g(y)
                                                                                            4

                     ∂x                                                    x

..............(i)
                     ∂φ
     Dari               = F2 maka                             φ =                ∫ (x       − 4 xy 3 )dy = x2y - xy4 + h(x)
                                                                                        2

                     ∂y                                                          y

..............(ii)

     Fungsi φ =         ∫ F dx = ∫ F dy
                         x
                             1
                                                y
                                                     2

              (i) = (ii) → x2y - xy4 + 3x + g(y) = x2y - xy4 + h(x)

Program Semi Que                                                                                                          77
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                               g(y) = 0
                                                               h(x) = 3x
            ∴ φ = x2y - xy4 + 3x

                  ( 2 ,1)                                                            ( 2 ,1)                              ( 2 ,1)
        ∴           ∫ [(2 xy − y + 3)dx + ( x − 4 xy )dy] = φ                                  =   x2y   -   xy4   + 3x
                                     4                 2              3

                  (1, 0 )                                                            (1, 0 )                              (1, 0 )

                                                                                 = (22.1 - 2.14 + 3.2) - (12.0 - 1.0
                                                                                    + 3.1)
                                                                                 = 8-3=5

2. Hitung           ∫ C
                            F◦dr , jika :

   F = (2xy3 - y2 cos x) i + (1 - 2y sin x + 3x2y2) j
                                                                                      π
   C : sepanjang parabola 2x = πy2 dari (0,0) ke (                                      , 1)
                                                                                      2
    Penyelesaian :
                                                                                   ∂F1
        F1 = 2xy3 - y2 cos x                          -----------------                 = 6 xy 2 − 2 y cos x
                                                                                    ∂y
                                                                                  ∂F2
        F2 = 1 - 2y sin x + 3x2y2                   --------------------------         = −2 y cos x + 6 xy 2
                                                                                   ∂x
                             ∂F1 ∂F2
        Karena                  =    ,              jadi integral garis tersebut tidak tergantung
                             ∂y   ∂x
pada bentuk                                                   lintasan.
        Mencari fungsi φ :
                  ∂φ
        Dari         = F1 maka φ = ∫ (2 xy 3 − y 2 cos x)dx = x2y3 - y2sinx + g(y)
                  ∂x               x

............(i)
                  ∂φ
        Dari         = F2 maka φ = ∫ (1 − 2 y sin x + 3x 2 y 2 )dy = y- y2sinx + x2y3 + h(x)
                  ∂y               y

..........(ii)

        Fungsi φ =              ∫ F dx = ∫ F dy
                                 x
                                     1
                                            y
                                                2

        (i) = (ii) → x2y3 - y2sinx + g(y) = y - y2sinx + x2y3 + h(x)
                                       g(y) = y
                                       h(x) = 0
        ∴ φ = x2y3 - y2sinx + y




Program Semi Que                                                                                                            78
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                            ( π ,1)                                     ( π ,1)
                              2                                           2
                                                                                      π2 3 2        π
     ∴   ∫C
              F◦dr = φ
                            ( 0, 0 )
                                       =   x2y3   -   y2sin   x+y
                                                                        ( 0, 0 )
                                                                                   =(
                                                                                      4
                                                                                        .1 − 1 . sin + 1 ) - (0
                                                                                                    2
                         - 0 + 0)
                          π2        π2
                     =       −1+1 =
                           4         4
3. Hitung     ∫
              C
                  F◦dr , jika

   F = (x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex) i + (x2 sinx - 2y ex) j
   C : keliling hiposikloida                x2/3 + y2/3 = a2/3


  Penyelesaian :
                                                                         ∂F1
         F1 = x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex                     -------        = x 2 cos x + 2 x sin x − 2 ye x
                                                                         ∂y
                                                                        ∂F2
         F2 = x2 sinx - 2y ex                                 ------        = 2 x sin x + x 2 cos x − 2 ye x
                                                                         ∂x
                  ∂F1 ∂F2
      Karena         =    ,                 jadi integral garis tersebut tidak tergantung
                  ∂y   ∂x
pada bentuk                lintasan.

      Dan karena C lintasan tertutup maka                                  ∫ C
                                                                                   F◦dr = 0

Dalam Ruang (R3) :
Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j + F3(x,y) k
          r = xi+yj+zk
         dr = dx i + dy j + dz k
Teorema :
      Syarat perlu dan cukup untuk            F ! dr =  ∫C                   ∫ C
                                                                                   F1 dx + F2 dy + F3 dz tidak
      tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua titik
      pada daerah R dalam ruan R3 adalah :




Program Semi Que                                                                                             79
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                   ∂F1 ∂F2
                       =                          Atau :
                   ∂y    ∂x
                   ∂F1   ∂F3
                       =                                               Curl F = ∇ x F = 0
                    ∂z    ∂x
                   ∂F2   ∂F                                                                                atau jika
                        = 3                      bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y)
                    ∂z    ∂y
                                                 sedemikian hingga :
                                                               ∂φ                        ∂φ
                                                                  = F1           ;          = F2             ;
                                                               ∂x                        ∂y
∂φ
   = F3
∂z
BUKTI :

     F ! dr = F1(x,y,z) dx + F2(x,y,z) dy + F3(x,y,z) dz

               ∂F1 ∂F2   ∂F1  ∂F                                           ∂F2  ∂F
     Karena       =    ;     = 3                                       ;       = 3
               ∂y   ∂x   ∂z    ∂x                                           ∂z   ∂y

     , maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y,z) sedemikian hingga :

          ∂φ                                                      ∂F1   ∂ 2φ              ∂F2   ∂ 2φ
             = F1                                                     =              =        =
          ∂x                                                      ∂y    ∂y∂x               ∂x   ∂x∂y
          ∂φ                                                      ∂F1   ∂ 2φ              ∂F3 ∂ 2αφ
             = F2 ,                      sebab                        =       =               =
          ∂y                                                      ∂z    ∂x∂z               ∂x   ∂z∂x
          ∂φ                                                      ∂F2    ∂ 2φ             ∂F3   ∂ 2φ
             = F3                                                     =       =               =
          ∂z                                                       ∂z   ∂y∂z               ∂y   ∂z∂y

                              ∂φ      ∂φ      ∂φ
     Jadi : F ◦ dr =             dx +    dy +    dz = d φ
                              ∂x      ∂y      ∂z

     Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1, z1) ke titik (x2, y2, z2), maka

                    ( x2 , y 2 , z 2 )            ( x2 , y 2 , z 2 )

      ∫
      C
          F◦dr =           ∫     dφ = φ
                    ( x1 , y1 , z1 )              ( x1 , y1 , z1 )
                                                                       = φ (x2, y2, z2) - φ (x1, y1, z1)


     Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas
     integrasinya        (batas             C)      dan                tidak    tergantung       pada       bentuk
     lintasannya.



Program Semi Que                                                                                                 80
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan Curl F = 0 maka
       ∫C
            F ! dr = 0
       Jika F adalah medan gaya yang bekerja pada suatu obyek yang
bergerak sepanjang                 lintasan C, maka medan gaya F disebut
medan gaya konservatif apabila usaha yang dilakukan                              oleh    gaya        F
untuk menggerakkan obyek sepanjang lintasan C tadi tidak tergantung
pada bentuk lintasannya, tetapi hanya tergantung pada titik awal dan
       titik akhirnya saja.
CONTOH :
1.a. Buktikan bahwa F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 - y2) k
      adalah medan gaya konservatif.
  b. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk menggerakkan
benda dari titik                           P(1,-1,1) ke titik Q(2,1,-1)
 Penyelesaian :
 a. F medan gaya konservatif jika ∇ x F = 0 atau Curl F = 0


                     i            j                k
                     ∂           ∂                  ∂
   Curl F =                                                      = (-2y + 2y)i-(6xz2 -6xz2)j+(6-6)k
                     ∂x          ∂y                ∂z
                2 xz 3 + 6 y   6 x − 2 yx       3x 2 z 2 − y 2
                 =0
       Karena curl F = 0 , maka F merupakan medan gaya konservatif.
      ∂φ
 b.
      ∂x
         = 2 xz 3 + 6 y → φ =      ∫  x
                                           (2xz3 + 6y) dx = x2z3 + 6xy + g(y,z) ........... (i)

      ∂φ
      ∂y
         = 6 x − 2 yz     → φ =       ∫y
                                            (6x - 2yz) dy = 6xy - y2z + h(x,z) . .......... (ii)

      ∂φ
      ∂z
         = 3x 2 z 2 − y 2 → φ =       ∫z
                                            (3x2z2 - y2) dz = x2z3 - y2z + k(x,y ........... (iii)

      (i) = (ii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = 6xy - y2z + h(x,z)
                                      g(y,z) = - y2z
                                      h(x,z) = x2z3
   (i) = (iii) → x2z3 + 6xy + g(y,z) = x2z3 - y2z + k(x,y)


Program Semi Que                                                                               81
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                       g(y,z) = - y2z
                                                       k(x,y) = 6xy
              φ = x2z3 + 6xy - y2z
                                             Q                             ( 4 ,1, −1)
              ∴W =    ∫ F !dr = φ
                         C                   P
                                                 = x2z3 + 6xy - y2z
                                                                           (1, −1,1)


                 = [ 42.(-1)3 + 6.(4).1 - 12.(-1)] - [ 12.(-1)3 + 6.1.(-1) - (-1)2. 1] = 15
2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = y i + (x+y) j + z5 k                                      yang
bekerja                                              sepanjang lintasan C : x2 + y2 = 1 dan z = y ,
dari titik (0,1,1) sampai titik (1,0,0)
    Penyelesaian :

                      i          j       k
                     ∂          ∂       ∂
    Curl F =                               = (0 - 0)i - (0 - 0) j + (1-1)k = 0
                     ∂x         ∂y      ∂z
                     y        x+ y      z5

     Karena curl F = 0 , maka F medan gaya konservatif → W =                               ∫C
                                                                                                F ! dr = φ
(1, 0 , 0 )


( 0 ,1,1)


     Mencari fungsi φ :

              ∂φ
              ∂x
                 =y              → φ =           ∫
                                                 x
                                                      y dx = xy + g(y,z)                  ............... (i)

              ∂φ                                                           1 2
              ∂y
                 = x+ y          → φ =           ∫
                                                 y
                                                       (x + y) dy = xy +
                                                                           2
                                                                             y + h(x,z)   ............... (ii)

              ∂φ                                                1 6
              ∂z
                 = z5            → φ =           ∫
                                                 z
                                                      z5 dz =
                                                                6
                                                                  z + k(x,y)              ............... (iii)

                                                        1 2
    (i) = (ii) → xy + g(y,z) = xy +                       y + h(x,z)
                                                        2
                                        1 2
                             g(y,z) =     y + h(x,z)
                                        2
                                                     1 6
     (i) = (iii) → xy + g(y,z) =                       z + k(x,y)
                                                     6



Program Semi Que                                                                                         82
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                                       1 6        1 2            1 6
                        k(x,y) = xy + g(y,z) -           z = xy +   y + h(x,z) -   z
                                                       6          2              6
                          1 2            1 6
  (ii) = (iii) → xy +       y + h(x,z) =   z + k(x,y)
                          2              6
                                              1 2
                      k(x,y) = xy +             y
                                              2
                                        1 6
                      h(x,z) =            z
                                        6
                  1 2 1 6
   φ = xy +         y +   z
                  2     6
                          (1, 0 , 0 )                          (1, 0 , 0 )
                                                  1 2 1 6                                           1   1
  W=   ∫C
             F ! dr = φ
                          ( 0 ,1,1)
                                        = (xy +
                                                  2
                                                    y +
                                                        6
                                                          z)
                                                               ( 0 ,1,1)
                                                                             = (0 + 0 + 0) - (0 +
                                                                                                    2
                                                                                                      +
                                                                                                        6
                                                                                                          )


             2
       = -
             3




SOAL-SOAL :
1. Tentukan besarnya usaha W yang dilakukan oleh gaya F = yz i + xz j +
xy k untuk                  menggerakkan suatu partikel sepanjang garis lurus
dari P(1; 1,1; 1) ke Q(3; 3; 2).
  Jawab : 17

2. Hitung     ∫
              C
                   F ! dr , jika

  F = 2xy i + (x2 + z) j + y k
 C : lintasan x2 + y2 = 1 ; z = x dari (1,0,1) ke (0,1,0)
 Jawab = 0

3. Hitung     ∫ F !dr
              C
                        , jika

  F = 3x2 e3y i + 3x3 e3y j - 3e-3z k
 C : keliling ellips 25x2 + y2 = 25 ; z = 0 berlawanan arah dengan jarum
jam.
 Jawab = 0




Program Semi Que                                                                                        83
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


4.4. Integral Luasan / Integral Permukaan ( Surface Integrals)
A. Penyajian Persamaan Luasan / Permukaan
a. Penyajian Dalam Koordinat Kartesius
        z = f(x,y)       atau          g(x,y,z) =
        0
  Misalnya :

  z=    x2 + y2 + z2       atau         x2 + y2 + z2 - a2 = 0

                                        x2 + y2 + z2 = a2
  merupakan luasan dari bola dengan jari-jari a dan berpusat di titik
O(0,0,0).
                               z
                                   a


                                          a         y
                           a
            x




b. Penyajian dalam bentuk fungsi vektor
   r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k , (u,v) ∈ R
CONTOH :
1. Luasan berupa bidang segi empat 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; z = c
                            z

                     c                                           x(u,v) = u ; 0 ≤ u ≤ a
                                                                 y(u,v) = v ; 0 ≤ v ≤ b
                                                                 z(u,v) = c
                                         b     y            r(u,v) = u i + v j + c k
            a
2. Luasan berupa bidang 0 ≤ z ≤ (a-x) ; 0 ≤ x ≤ a ; y = c




Program Semi Que                                                                    84
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


               z
                   a
                                                           x(u,v) = u    ; 0≤u≤a
      a-x                                                  y(u,v) = c
                                              y            z(u,v) = v    ; 0 ≤ v ≤ (a-u)
  a                                       c              r(u,v) = u i + c j + v k
                                          x y z
3. Luasan berupa bidang                    + + = 1 di oktan I
                                          a b c
                          z


                                  c

                                      b                x(u,v) = u           ; 0≤u≤a
                                                  y         y(u,v) = v            ; 0≤ v ≤
b(1 − u / a)
               a                                       z(u,v) = c(1 - u/a - v/b)
                                                       r(u,v) = u i + v j + c(1-u/a-v/b) k

4. Luasan berupa bidang y2 ≤ z ≤ c2 ;                     0≤y≤c ; x=a

                              z
                   c
                                                                 x(u,v) = a
                                                                 y(u,v) = u ;         0≤u≤c
                                                                 z(u,v) = v ;        u 2 ≤ v ≤ c2
                       z = c2                                    r(u,v) = a i + u j + v k


                                      c       y

       a
5. Luasan berupa bidang lingkaran                     y2 + z2 = a2    di x = c ;

                          z
                                                         x(u,v) = c
                                                         y(u,v) = u cos v      ;    0≤u≤a
               c                          y              z(u,v) = u sin v      ;    0 ≤ u ≤ 2π
                                                         r(u,v) = c i + u cosv j + u sinv k
       x



Program Semi Que                                                                              85
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


6. Luasan berupa silinder putar : x2 + y2 = a2                     ;   -c ≤ z ≤ c


              x(u,v) = a cos u
              y(u,v) = a sin u                ; 0 ≤ u ≤ 2π
              z(u,v) = v                      ; -c ≤ v ≤ c

         r(u,v) = a cos u i + a sin u j + v k

                                         z
                                          c



                                                    a          y
                       a

                x                        -c

7. Kerucut Putar : z =                    x2 + y2

                             z2 = x2 + y2           ;   0≤z≤c

                         z
                        c                                      x(u,v) = u cos v
                                                               y(u,v) = u sin v      ;   0≤u≤c
                                                               z(u,v) = u            ;   0 ≤ v ≤ 2π
              -c                 c             y            r(u,v) = u cos v i + u sin v j + u k
     x


8.       Luasan Bola : x2 + y2 + z2 = a2 ; di oktan I dan II
         a.
                     z


                                     P


                        u v
                                                        y
          x                    P'
                    x(u,v) = a cos v cos u              ;0≤u≤π


Program Semi Que                                                                                   86
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                 y(u,v) = a cos v sin u              ; 0 ≤ v ≤ π/2
                 z(u,v) = a sin v
         r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k
    b.            z


                             P
                      v

                  u                                  y

   x
                                      x(u,v) = a cos u cos v          ;0≤u≤π
                                      y(u,v) = a sin u sin v         ; 0 ≤ v ≤ π/2
                                      z(u,v) = a cos u
                          r(u,v) = a cos u cos v i + a sin u sin v j + a cos u k
B. Bidang Singgung Dan Normal Luasan

Untuk menghitug Integral Garis digunakan vektor singgung dari lintasan C,
yaitu r'(t), sehingga integral garis bisa didefinisikan sebagai :
                                      b

                  ∫C
                       F (r ) ! dr = ∫ F (r ) ! r ' (t )dt
                                      a

Secara sama , dalam menghitung Integral Luasan akan digunakan vektor
normal luasan, yang akan ditentukan dari bidang singgungnya. Bidang
singgung suatu luasan S di titik P di S yang dinotasikan dengan T(P),
adalah bidang yang memuat garis singgung di titik P dari semua kurva di
S yang melalui P.
Untuk menentukan bidang singgung T(P) dari suatu luasan S yang
dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(u,v), bisa diturunkan dari
kenyataan bahwa suatu kurva di S bisa dinyatakan dalam bentuk
pasangan fungsi-fungsi kontinu sebagai berikut :
    ║ u = u(t)         dan
    ║ v = v(t)




Program Semi Que                                                                     87
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Fungsi-fungsi u(t) dan v(t) tersebut menyatakan kurva atau lintasan yang
terletak pada luasan S, sehingga u(t) dan v(t) akan memenuhi
persamaan r(u,v), yaitu :
         ~ (t) = r[u(t),v(t)]
         r                      → persamaan kurva yang terletak pada luasan
S : r(u,v)
Misalnya :
Karena Helix putar ~ (t) = a cos t i + a sin t j + ct k
                   r                                       terletak pada luasan
S yang berbentuk silinder dengan persamaan r(u,v) = a cos u i + a sin u j
+vk.
maka kurva atau lintasan yang berbentuk helix putar               tersebut bisa
dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi kontinu :
                                    ║u= t
                                    ║ v = ct
yang memenuhi persamaan r(u,v) dari silinder di atas.
Selanjutnya vektor singgung dari kurva ~ (t) = r[u(t),v(t)] bisa ditentukan
                                       r
dengan dalil rantai :
                            ~       ~
             ~ '(t) = dr = ∂r du + ∂r dv = ru u' + rv v'
             r
                      dt ∂u dt ∂v dt
Dengan mengambil satu titik P pada luasan S, perhatikan semua kurva
pada S yang melalui P, yang masing-masing kurva tersebut bisa
dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi-fungsi kontinu u(t) dan v(t).
Selanjutnya dari semua kurva yang melalui P tersebut bisa ditentukan
vektor singgung atau            ~ '(t) nya. Vektor-vektor singgung ini akan
                                r
membentuk satu bidang, yaitu bidang singgung T(P), asal ru dan rv ada
dan keduanya tidak tergantung secara linier (tidak segaris), sehingga :
                                  N = ru x rv ≠ 0
yang berarti bahwa N ⊥ pada bidang singgung T(P), oleh karena itu N
merupakan Vektor Normal dari luasan / permukaan S di titik P.




Program Semi Que                                                           88
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                                           n




                                               ru
                           T(P)       rv
                                                        S




                                                       N   r xr
∴ Vektor Normal satuan dari luasan S = n =               = u v
                                                       N   ru xrv

                                                                          grad .g
Jika S disajikan dalam persamaan g(x,y,z) = 0 maka              :   n =
                                                                          grad .g

CONTOH :
1. Tentukan vektor normal satuan dari luasan r(u,v) = (u+v) i + (u-v) j
  Penyelesaian :
         ∂r
  ru =      =i+j
         ∂u
         ∂r
  rv =      =i-j
         ∂v
                       i   j      k
    N = r u x rv =     1 1        0    = i (0) - j (0) + k(-2) = -2 k
                       1 −1       0
         − 2k
∴n=             = −k
           4
2. Tentukan vektor normal satuan dari ellipsoida putar
   r(u,v) = cos v cos u i + cos v sin u j + 2 sin v k       ; di sembarang titik.
  Penyelesaian :
         ∂r
  ru =      = - cos v sin u i + cos v cos u j
         ∂u
         ∂r
  rv =      = - sin v cos u i - sin v sin u j + 2 cos v k
         ∂u

Program Semi Que                                                                    89
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


               i             j                     k
   N =     − cos v sin u cos v cos u                0
           − sin v cos u − sin v sin u             2 cos v

      = i (2cos2v cosu - 0) - j (-2cos2 v sinu - 0) + k (cosv sinv sin2u + cosv
sinv cos2u)
      = 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k

  | N| =        4 cos 4 v cos 2 u + 4 cos 4 v sin 2 u + cos 2 v sin 2 v

      =       4 cos 4 v(cos 2 u + sin 2 u ) + cos 2 v sin 2 v

      =    4 cos 4 v + cos 2 v sin 2 v

      = cosv         4 cos 2 v + sin 2 v
  ∴ n      = ( 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k) /                          cosv

 4 cos 2 v + sin 2 v

       = (2cosv cosu i + 2cosv sinu j + sinv k) /                4 cos 2 v + sin 2 v


3. Tentukan vektor normal satuan dari bola : x2 + y2 + z2 - a2 = 0
  di titik P(x,y,z) sembarang.
  Penyelesaian :
  g = x2 + y2 + z2 - a2 = 0         →
                    ∂     ∂     ∂
  grad g = (           i+    j + k ) (x2 + y2 + z2 - a2) = 2x i + 2y j + 2z k
                    ∂x    ∂y    ∂z

  | grad g | =          4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 2a

              2 xi + 2 yj + 2 zk   1
  ∴n =                           =   (x i + y j + z k)
                      2a           a
4. Tentukan vektor normal satuan dari kerucut putar :

  f(x,y,z) = -z +        x2 + y2 = 0




Program Semi Que                                                                       90
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   Penyelesaian :
                          x                       y
   grad f =                        i +                    j - k
                   x +y
                      2        2
                                             x + y2
                                              2



                                 x2      y2                       x2 + y2
   | grad f | =                      +        +1 =                        + 1 = √2
                              x2 + y2 x2 + y2                     x2 + y2

              1      x                               y           
   ∴n =                  i+                                 j − k
               2  x + y2
                 
                    2
                                                  x2 + y2         
                                                                  
C. Integral Luasan / Integral Permukaan
Diberikan persamaan luasan S :
         r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k                      ;   (u,v) ∈ R
dengan vektor normal luasan : N = ru x rv
                                                            N
dan vektor normal satuan                      : n =
                                                            N


Integral Luasan dari suatu fungsi vektor F = F(x,y,z) meliputi luasan S (over
S) didefinisikan sebagai berikut :


                  ∫∫ F ! n dA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v) dudv
                  S                      R




                                                                                     N
Dengan :      N(u,v) du dv = n |N| du dv                          ; karena n =
                                                                                     N


           |N| = | ru x rv | = luas jajaran genjang (segi empat) yang
dibentuk oleh ru dan rv

                                             ( dengan sisi ru dan rv )

Sehingga    |N| du dv = elemen luas dA dari S

Jadi : n dA di S = n |N| du dv di R atau N dudv                              di R.




Program Semi Que                                                                         91
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


CONTOH :

1. Tentukan integral luasan dari F = y i + 2 j + 2z k , meliputi luasan S yang
berbentuk      silinder parabolis y = x2            ;       0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ z ≤ 3.

   Penyelesaian :                       z

                                    3

                                                        4    y

                                   2

                       x

   Persamaan S dalam bentuk fungsi vektor :                       x(u,v) = u

                                                              y(u,v) = u2         ; 0≤u≤2

                                                            z(u,v) = v          ; 0≤v≤3

   S : r(u,v) = u i + u2 j + v k

          ru = i + 2u j

          rv = k


                           i    j       k
    N = ru x rv =          1   2u       0   = 2u i - j
                           0   0        1

    F[r(u,v)] = u2 i + 2 j + 2v k
    F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 2 j + 2v k ) ! (2u i - j) = 2u3 - 2
                                                            3 2

     ∫∫ F ! ndA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v)dudv =          ∫ ∫ (2u       − 2)dudv
                                                                      3

     S                 R                                    0 0

                       3            2        3
                           2 4                                              3
                   =   ∫ ( 4u − 2u) 0 dv = ∫ (8 − 4 − 0)dv = 4v
                       0                   0                                0
                                                                                = 4.3 - 0 = 12



2. Tentukan integral luasan dari F = x2 i + 3y2 k ; meliputi luasan S yang
merupakan bidang dengan persamaan x = y + z = 1 pada oktan I.


Program Semi Que                                                                                 92
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


    Penyelesaian :                                                                            z
    Persamaan fungsi vektor :                                                                     1

           x(u,v) = u               ;       0≤u≤1

           y(u,v) = v               ;       0 ≤ v ≤ 1-u                                               1   y

           z(u,v) = 1-u-v                                                  x      1

    r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k

    ru = i - k

    rv = j - k

                                i       j      k
    N = ru x rv = 1                     0    −1 = i + j + k
                                0       1    −1

     F[r(u,v)] = u2 i + 3v2 j

     F[r(u,v)] ! N(u,v) = (u2 i + 3v2 j ) ! ( i + j + k) = u2 + 3v2
                                                                  1 1− u

     ∫∫ F ! ndA = ∫∫ F [r (u, v)] ! N (u, v)dudv              =   ∫ ∫ (u       + 3v 2 )dvdu
                                                                           2

      S                    R                                      0 0

                       =
1              1−u          1                                 1

∫ (u v + v )         du = ∫ [u 2 (1 − u ) + (1 − u ) 3 ]du = ∫ [u 2 − u 3 + (1 − u ) 3 ]du
    2     3

0                0          0                                 0

                                                          1
                           1 3 1 4 1                              1 1 1 1
                       =     u − u − (1 − u ) 4               =    − − =
                           3    4   4                     0       3 4 4 3
Nilai dari integral luasan ini akan tergantung dari pemilihan vektor normal
satuan luasan integrasinya ( ingat, untuk vektor normal satuan, selain n
bisa juga dipilih -n). Sehingga integral luasan atau integral suatu fungsi
terhadap / meliputi luasan S yang berarah, bisa dilakukan dengan
memilih salah satu kemungkinan dari dari arah vektor normal satuannya.
                        ru xrv
Arah dari n =                           dikatakan arah positif, sebaliknya -n disebut arah
                        ru xrv

negatif.



Program Semi Que                                                                                          93
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


Jika kita mengubah arah dari S, yang berarti merubah n menjadi -n ,
maka setiap komponen dari n dikalikan dengan -1, sehingga hasil
integralnya juga akan berubah menjadi -1 kali integral semula.\
Integral luasan ini biasanya muncul dalam masalah-masalah aliran fluida
(flow problem).
Jika F(x,y,z) = ρ(x,y,z) v(x,y,z) = ρv
dengan : ρ = densitas massa fluida
              v = vektor kecepatan aliran fluida
karena F ! n adalah komponen F dalam arah normalnya, maka :

      ∫∫ F ! n dA =
      S
                      fluks massa fluida yang melintasi luasan S.


                     = besarnya massa fluida persatuan waktu yang melintasi
                      luasan S.
CONTOH :
Hitung besarnya fluks massa dari air yang mengalir melintasi silinder
parabolis S : z = x2 , 0 ≤ x ≤ 2 ; 3 ≤ y ≤ 5. Jika vektor kecepatan aliran air
tesebut adalah v = -xyz i - 3z2j - k ; besarnya laju (speed) dihitung dalam
meter perdetik dan densitas massa air ρ = 1 kg/liter.

Penyelesaian :

Persamaan fungsi vektor dari S : x(u,v) = u             ; 0≤u≤2

                                        y(u,v) = v      ; 3≤v≤5

                                        z(u,v) = u2

    r(u,v) = u i + v j + u2 k       →   ru = i + 2u k      ;     rv = j

                       i        j       k
     N = ru x rv =     1        0       2u = (0-2u) - j (0) + k (1-0) = -2u i + k
                       0        1       0

    F(x,y,z) = ρ v = 1 (-xyz i - 3z2j - k) = -xyz i - 3z2j - k

    F[r(u,v)] = -u3v i - 3u4 j - k



Program Semi Que                                                                    94
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       F[r(u,v)] ! N(u,v) = (-u3v i - 3u4 j - k ) ! (-2u i + k) = 2u4v -1
                                                                         2    5

           ∫∫ F ! ndA = ∫∫ F[r (u, v)] ! N (u, v) dudv =                 ∫ ∫ (2u        v − 1)dvdu
                                                                                    4

           S                     R                                      u =0 v =3

                             =
2                                 2                                          2
           v − v) du = ∫ { u (25) − 5] − [u (9) − 3]}du = ∫ [16u 4 − 2]du
                         5

∫ (u
       4       2                           4               4
                          [
0                        3        0                                          0

                                                 2
                                      16 5          512
                             = (         u − 2u ) =     − 4 = 98,4
                                       5         0   5
           v dalam meter/detik
           ρ dalam kg/liter = 1000 kg/m3
           A dalam m2
           Jadi besarnya fluks massa air di atas = (98,4 m/dt)(1000 kg/m3)(m2)
                                                                  = 98.400 kg/detik.

D. Integral Meliputi Luasan Tak Berarah

a. Jika                 Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi
       merupakan Fungsi Vektor.
       Bentuk Integral Luasan :


                   ∫∫ G (r )dA = ∫∫ G[r (u, v)] N (u, v) dudv
                   S                   R



       G(r) = fungsi skalar
       dA              = |N| dudv = | ru x rv| dudv                 ;   yaitu elemen luas dari luasan S
yang dinyatakan                            dalam persamaan r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k
dengan arah tidak diperhatikan.
       Jika G(r) = 1 ; diperoleh :


                       A(S) =    ∫∫ dA = ∫∫
                                 A             R
                                                   ru x rv dudv



       yang merupakan luas permukaan dari luasan S.


Program Semi Que                                                                                     95
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


b. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi S
    merupakan                Fungsi Skalar z = f(x,y).
   Sehingga : x = u
                     y=v
                     z = f(u,v)
   r(u,v) = u i + v j + f(u,v) k = [ u, v, f(u,v)]
   ru = [1, 0, fu]
   rv = [0, 1, fv]
   N = [1, 0, fu] x [0, 1, fv] = [ - fu ; -fv ; 1]

   |N| = | [ - fu ; -fv ; 1] | =            1 + fu + fv
                                                 2           2



                                  ∂f
   Karena :       f u = fx =
                                  ∂x
                                  ∂f
                 fv = fy =                   , maka :
                                  ∂y

                                                                      2
                                          ∂f   ∂f 
                                                         2

∫∫ G(r )dA = ∫∫ G[ x, y, f ( x, y )] 1 +  ∂x  +  ∂y 
                                              
                                                      
                                                       
                                                                          dxdy          Dengan : R* =
 S           R*
                                                                                     proyeksi   S    ke
                                                                                     bidang XOY
                Dan arah vektor normal N di S adalah arah positif.
    Jika G(r) = 1 , maka :

                                                                     2
                                                 ∂f   ∂f 
                                                         2

              A( S ) = ∫∫ dA = ∫∫           1 +   +   dxdy
                                                        
                         S             R*        ∂x   ∂y 

              S = proyeksi luasan S di bidang XOY
CONTOH :

1. Tentukan     ∫∫ G (r )dA ;
                 S
                                   jika      G(r) = x + 1



   S : r(u,v) = cos u i + sin u j + v k              ;           0 ≤ u ≤ 2π      ;   0≤v≤3




Program Semi Que                                                                                    96
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


  Penyelesaian :

  x(u,v) = cos u ;                   y(u,v) = sin u ;               z(u,v) = v
  G[r(u,v)] = cos u + 1
      ru = -sin u i + cos u j
      rv = k
                                 i           j           k
      N = ru x rv =         − sin u         cos u        0 = i (cos u) - j (-sin u) + k (0) = cos u i +
                                0           0            1

                           sin u j

      |N| =          cos 2 u + sin 2 u = 1
                           3    2π                                  3            2π         3              3
  ∴ ∫∫ G (r )dA =          ∫ ∫         (cos u + 1) dudv = ∫ (sin u + u )              dv = ∫ 2π dv = 2πv       = 6π
        S                 v =0 u = 0                                0            0          0              0


2. Tentukan          ∫∫ G (r )dA ;
                     S
                                           jika      G (r) = 1


  S : persamaan bola dengan jari-jari a sebagai berikut
  r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k                                ; 0 ≤ u ≤ 2π ;
      π     π
  -     ≤v≤
      2     2
      Penyelesaian :
      ru = -a cos v sin u i + a cos v cos u j
      rv = -a sin v cos u i - a sin v sin u j + a cos v k
      N(u,v) = ru x rv = a2 cos2v cos u i + a2cos2v sin u j + a2 cos v sin v k

      |N| = a2           cos 4 v cos 2 u + cos 4 v sin 2 u + cos 2 v sin 2 v

            = a2     cos 4 v + cos 2 v sin 2 v = a2                     cos 2 v = a2 cos v

      Karena G(r) = 1,                 maka          ∫∫ G (r )dA =
                                                     S
                                                                          A(S)

                     π / 2 2π                                π /2           2π           π /2
      ∴ A(S) =        ∫    ∫ a cos vdudv = a                  ∫     u cos v dv = a 2      ∫ 2π cos vdv
                              2              2

                     −π / 2 0                             −π / 2            0           −π / 2

                                            π /2
                   = 2πa2 sin v                      = 2πa2 (1+1) = 4πa2
                                            −π / 2




Program Semi Que                                                                                                97
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


3. Tentukan momen inersia I dari lapisan bola yang homogen dengan
persamaan :
  S : x2 + y2 + z2 = a2 ;            massanya M, sepanjang sumbu z.
  Penyelesaian :
  Jika μ = densitas massa luasan bola (massa persatuan luas)

  maka :      I =       ∫∫ µD
                                2
                                    dA
                         S

  D = D(x,y,z) = jarak titik P(x,y,z) dipermukaan bola ke sumbu z.
  Jadi D2 = x2 + y2
                                                                             M   M
  Luas permukaan bola A = 4πa2                                  →       μ=     =
                                                                             A 4πa 2
  r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k
           x = a cos v cos u
           y = a cos v sin u
           z = a sin v
  D2 = x2 + y2 = a2 cos2v cos2u + a2 cos2v sin2u = a2 cos2v
  dA = |N| du dv = | ru x rv| dudv = a2 cos v du dv
                                     π / 2 2π                                  π /2           2π
                    M                                          M
  ∴ I = ∫∫ µD dA =
                 2
                                         ∫    ∫ a cos v dudv = 4π
                                                 4          3
                                                                                  ∫    cos v ∫ dudv
                                                                                          3

         S         4πa 2             −π / 2   0                               −π / 2          0

                 π /2                                π /2
        M                          M                                         2Ma 2
      =          ∫/ 22π cos v dv = 2                   ∫      cos 3 v dv =
                                3

        4π     −π                                    −π / 2                    3

4. Tentukan      ∫∫ G (r )dA ;
                 S
                                     jika       G (r) = x2 + y2


  S : Kerucut putar z =                  x2 + y2 ;                  x2 + y2 ≤ 4

  Penyelesaian :
  z2 = x2 + y2
  z2 ≤ 4      →         -2 ≤ z ≤ 2
  Untuk z = 2 → x2 + y2 = 4
  Jadi proyeksi luasan S di bidang XOY berupa lingkaran : x2 + y2 = 4
  Batas Integrasi :
        -2 ≤ x ≤ 2              ;


Program Semi Que                                                                                      98
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



             0 ≤ y ≤               4 − x2
  Jika : x = u                                          ; -2 ≤ u ≤ 2

             y=v                                        ; 0 ≤ v ≤          4 − u2

             z=        u2 + v2

  r(u,v) = u i + v j +                      u2 + v2 k
                       u
  ru = i +                             k
                  u + v2
                   2


                       v
  rv = j +                             k
                  u2 + v2
                  u                                 v
  N =-                             i+                       j+k
              u 2 + v2                            u2 + v2

                 u2       v2
  |N| =               + 2     +1 =                                2
               u2 + v2 u + v2
  G[r(u,v)] = u2 + v2
                               2       4 −u 2                                  2               4 −u 2
                                                                                   1
  ∴ ∫∫ G (r )dA =              ∫ ∫                (u 2 + v 2 ) 2dvdu = 2 ∫ (u 2 v + v 3 )               du
     S                     u = −2 v = 0                                 −2
                                                                                   3               0


                                       2
                                                     1
                                   2 ∫ [u 2 4 − u 2 + (4 − u 2 ) 2 ]du
                                                                 3
                       =
                                    −2               3
   Misalkan :
   u = 2 sin t                                                         ;           u = -2 → t = -π/2
   du = 2 cos t dt                                                         ;        u=2    → t = π/2
                                       π /2
                                                                  1
      ∫∫ G (r )dA =
         S
                                   2    ∫
                                       −π / 2
                                              [4 sin 2 t.2 cos t + (4 cos 2 t ) 3 / 2 ]2 cos tdt
                                                                  3
                                           π /2
                                                                       1
                           =           2     ∫
                                           −π / 2
                                                  [16 sin 2 t cos 2 t + .16 cos 4 t ]dt
                                                                       3
                                           π /2
                                                            8               1 1
                           =       2        ∫
                                        −π / 2
                                               [4 sin 2 2t + (1 + 2 cos 2t + + cos 4t )]dt
                                                            3               2 2




Program Semi Que                                                                                             99
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                      π /2
                                                              8
                         =        2    ∫
                                      −π / 2
                                             [4(1 − cos 2t ) + (3 + 4 cos 2t + cos 4t )]dt
                                                              6
                                                                                π /2
                                         1          8                1
                         =        2[4(t − sin 2t ) + (3t + 2 sin 2t + sin 4t )]
                                         2          6                4          −π / 2


                                                π       8 π             π            π
                                  2[{4(           − 0) + (3. + 0)}− {4(− − 0) + (3. − − 0)}]
                                                                               8
                         =
                                                2       6   2           2      6     2
                                           4π           4π
                         =         2[         + 2π − (−    − 2π )] = 8π 2
                                            2            2
5. Contoh 4 di atas bisa juga dikerjakan dengan cara lain yaitu :

   z=    x2 + y2                               ; G = x2 + y2

   Sehingga ,
                                                                        2
                                             ∂f   ∂f 
                                                                2

   ∫∫ G (r )dA = ∫∫ G[ x, y, f ( x, y)] 1 +  ∂x  +  ∂y  dxdy
                                               
                                                      
    S            R*




                x
  fx =
           x + y2
            2



             y
  fy =
          x2 + y2

    1+ fx + f y =              2

                                                                    2
                                  ∂f   ∂f 
                                                          2

   ∫∫ G(r )dA = ∫∫ ( x + y ) 1 +  ∂x  +  ∂y  dxdy
                              2            2
                                           
    S           R*                  
                          2       4− x 2
                    =    ∫ ∫ (x                 + y 2 ) 2dxdy
                                            2

                        x = −2 y = 0


   dan seterusnya.
4.5. Teorema Divergensi Gauss
   Misalkan T adalah daerah yang terbatas dan tertutup dalam suatu
ruang yang dibatasi                               oleh luasan S yang berarah. Dan misalkan
F(x,y,z) adalah suatu fungsi vektor yang kontinu dan mempunyai derivatif
parsial pertama yang kontinu dalam domain yang                                   memuat T, maka :


Program Semi Que                                                                               100
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw




                        ∫∫∫ divF ( x, y, z )dV = ∫∫ F ! dA
                         T                                   S




     n = vektor normal satuan dari luasan S dengan arah positif.
     Jika F(x,y,z) = F1(x,y,z) i + F2(x,y,z) j + F3(x,y,z) k
          n = cos α i + cos β j + cos γ k
     maka,

                                                  ∂F1       ∂F2 ∂F3 
     ∫∫∫ div F ( x, y, z ) dV = ∫∫∫  ∂x
      T                                 T
                                                         +
                                                              ∂y
                                                                 +
                                                                   ∂z 
                                                                      
                                                                        dxdydz

                                   =         ∫∫ [F cos α + F
                                             S
                                                   1                     2   cos β + F3 cos γ ] dA


                                   =         ∫∫ [F dydz + F dxdz + F dxdy]
                                             S
                                                   1                 2              3



CONTOH :

1.   Tentukan            ∫∫ F ! ndA
                             S
                                                 dengan menggunakan teorema divergensi


Gauss, jika
     F = 7x i + - z k            dan
     S : x2 + y2 + z2 = 4              →          bola berjari-jari 2
     Penyelesaian :

     ∫∫ F ! ndA
      S
                  =      ∫∫∫ divF ( x, y, z)dV = ∫∫∫ (7 − 1)dxdydz
                             T                                   T
                                                                                          = 6   ∫∫∫ dxdydz
                                                                                                T


                                                                                         3
                  = 6 x volume bola berjari-jari 2 = 6 x                                   π (2) 3 = 36 π
                                                                                         4
2. Tentukan       ∫∫ F ! ndA
                  S
                                       , jika F = xy2 i + y3j + 4x2z k


     S : silinder x2 + y2 ≤ 4           ;        0≤z≤5
     Penyelesaian :

               ∂     ∂     ∂ 
     div F = 
                  i+    j+   k  ! xy2 i + y3j + 4x2z k = y2+ 3y2+ 4x2 = 4x2+ 4y2
               ∂x    ∂y    ∂z 
           = 4(x2+ y2)


Program Semi Que                                                                                             101
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw



      ∫∫ F ! n dA
       S
                               =


                 4− x 2
                                                                                       
  5        2                                              5 2
                                                                      1
  ∫ ∫ ∫
 z = 0 x = −2    y =0
                          4( x 2 + y 2 )dydxdz = 4 ∫ ∫  x 2 4 − x 2 + (4 − x 2 ) 3 / 2  dxdz
                                                   0 −2 
                                                                      3                 
      Misalkan :
               x = 2 sin t                   ; x = -2 → t = -π/2
               dx = 2 cos t dt                   ; x= 2         → t = π/2
                                    5 π /2
                                                                 1
      ∫∫ F ! ndA
       S
                              = 4   ∫ ∫
                                    0 −π / 2
                                             (4 sin 2 t.2 cos t + .8 cos 3 t )2 cos tdtdz
                                                                 3
                                    5 π /2
                                                                16
                              = 4   ∫ ∫
                                    0 −π / 2
                                               (4 sin 2 2t +
                                                                 3
                                                                   cos 4 t )dtdz

                                    5     π /2

                                    ∫[ ∫       [4(1 − cos 2t ) + (1 + 2 cos 2t + + cos 4t )d t ]dz
                                                                8               1 1
                              = 4
                                    0   −π / 2                  3               2 2
                                    5                       5
                              = 4   ∫ 8πdz = 32π z
                                    0                       0
                                                                 = 160 π


3. Hitung                 ∫∫ F ! n dA
                          S
                                          ; jika F = 2xy2 i + x cos z j - yz k


      dan S : luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi oleh
luasan z = 1-x ;                                                      0≤y≤2 ; di oktan I seperti dalam
gambar berikut :
                                                  z
                                                      1
                                        1-x
                                                                          2    y
                                          1
      Penyelesaian :

                         ∂     ∂     ∂ 
      div F = 
                            i+    j+   k  ! 2xy i + x cos z j - yz k = 2y + 0 -y = y
                         ∂x    ∂y    ∂z 
      Batas Volume T : x = 0 → x = 1
                                        y=0→y=2


Program Semi Que                                                                                     102
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                   z = 0 → z = 1-x

     ∫∫ F ! n dA =
     S

 1   2 1− x                  1 2                                1            2           1
                                                               1
 ∫0 y∫0 z∫0 y dzdydx = ∫ ∫ y (1 − x) dydx = ∫ (1 − x) y 0 dx = 2 ∫ (1 − x)(4 )dx
                                                                     1   2
                                                                     2
x= = =                 0 0                  0                    0



                         (                      )
                                                    1
                                                            1
                  =2 x−                1
                                       2
                                           x2           =
                                                    0       2
4. Model Aliran Panas (Flow Problem)
     Aliran panas yang terjadi pada suatu benda akan mengalir ke arah
menurunnya temperatur/suhu (dari temperatur tinggi menuju temperatur
rendah ).dari percobaan fisika ditunjukkan bahwa laju aliran panas akan
proporsional dengan gradien dari                                    temperaturnya.             Hal   ini   berarti
bahwa kecepatan aliran panas V dalam suatu benda atau penghantar
bisa dinyatakan dalam persamaan :
                  V = - Κ grad U(x,y,z,t)
     dengan :
                     U(x,y,z,t) = temperatur
                     t                          = waktu
                     Κ                          = konstanta konduktivitas thermal dari benda /
penghantar
     Berdasarkan informasi ini akan diturunkan model matematis untuk
aliran panas, yang disebut dengan persamaan panas (heat equation).
     Penyelesaian :
     Misalkan T adalah suatu daerah dalam penghantar / benda tersebut.
     S adalah batas luasan dari daerah T
     (i). Banyaknya panas yang melalui atau meninggalkan T persatuan

waktu adalah :                                                                   ∫∫V ! n dA
                                                                                 S

         dengan V◦n = komponen dari V dalam arah positif dari n.

          ∫∫V ! n dA = ∫∫∫ − Κ div( gradU ) dxdydz                       = -Κ        ∫∫∫ ∇ U
                                                                                         2
                                                                                               dxdydz
              S                    T                                                 T




Program Semi Que                                                                                             103
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


      dengan ∇ 2U = U xx + U yy + U zz



   (ii). Total panas dalam T :

                         H=        ∫∫∫αρU
                                    T
                                             dxdydz

      dengan :          α = konstanta panas spesifik dari material pembentuk
benda /                                                                     penghantar
tersebut.
                    ρ     =         densitas massa (massa persatuan volume) dari
material.
      Laju penurunan panas dari H :
                                ∂H            ∂U
                           -        = − ∫∫∫αρ     dxdydz
                                 ∂t      T
                                               ∂t


   Besarnya      laju    penurunan            panas        =   banyaknya   panas   yang
meninggalkan T persatuan waktu
   Sehingga,
                                        ∂U
                              ∫∫∫αρ
                               T
                                         ∂t
                                            dxdydz = −Κ ∫∫∫ ∇ 2U dxdydz
                                                         T

                                          ∂U
                    →          ∫∫∫ (α ρ
                                T
                                           ∂t
                                              − Κ∇ 2 U ) dxdydz = 0

   Karena persamaan ini harus dipenuhi untuk sembarang daerah T,
maka integrand dari bentuk terakhir tersebut harus = 0.
   Jadi,
                 ∂U
            αρ       − Κ∇ 2U = 0
                  ∂t
                 ∂U
            αρ       = Κ∇ 2U
                  ∂t
              ∂U   Κ 2                    ∂U
                 =   ∇U                       = c 2 ∇ 2U       ≈
               ∂t αρ                       ∂t

                                                                   Κ
                                               dengan : c2 =
                                                                   αρ

Program Semi Que                                                                    104
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


     Jika aliran panas tersebut tidak tergantung pada t ( aliran steady state
                            ∂U
), maka :                       =0
                             ∂t
     sehingga persamaan panas menjadi :

                                                        ∇ 2U = 0

     → disebut persamaan Laplace

SOAL-SOAL :

1. Hitung      ∫∫ F ! ndA ; jika F = x i + 2y
               S
                                              2   j - xz k

     S : Luasan yang membatasi volume tertutup yang berupa 1/4 bagian
silinder y2 + z2 = 4 ; 0 ≤ z ≤ 3 sebagai berikut ,




2. Hitung      ∫∫ F ! ndA ; jika F = xy i - y j + 2z k
               S

     S : Luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi luasan z =
     1-x2 ;
         0 ≤ z ≤ 3 sebagai berikut ,




3.    Hitung   ∫∫ F ! ndA ; jika F = xz i - sin y j + sin 2y k
                   S
                                                  2




Program Semi Que                                                         105
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


       S : Luasan yang membatasi volume tertutup berupa 1/4 bola di
oktan I

4.6. Teorema Stokes
     Transformasi antara Integral Luasan dengan Integral Garis

    Misalkan S adalah luasan berarah dalam ruang dan batas-batas dari S
adalah kurva C            yang tertutup, dan misalkan F = F(x,y,z) adalah fungsi
vektor kontinu yang mempu-                 nyai derivatif parsial pertama yang
kontinu dalam domain yang memuat S, maka :



                          ∫ F ! r ' ( s) dS = ∫∫ [CurlF ]! n dA
                          C                 S


    dengan :
    ▪ n = vektor normal satuan dari S
      Arah dari kurva C mengikuti arah dari n, sebagai berikut :
                    n


                                                             C
                    C                                    n


      n positif → arah C berlawanan arah dengan jarum jam
      n negatif → arah C searah dengan arah jarum jam.
             dr
    ▪ r' =      = vektor singgung satuan dari lintasan C
             ds
      s = panjang busur C

    ▪ Dari     ∫∫ F ! n dA = ∫∫ F ! N dudv
               S              R
                                                  ; jika F digantikan dengan Curl F


dan
      N = N1 i + N2 j + N3 k = ru x rv
maka,

                          ∂F3 ∂F2         ∂F ∂F         ∂F ∂F  
∫∫ CurlF ! n dA = ∫∫ 
S                    
                     R
                           ∂y
                               −     N 1 +  1 − 3  N 2 +  2 − 1  N 3  dudv
                                    
                                 ∂z         ∂z  ∂x        ∂x
                                                                ∂y  
                                                                    



Program Semi Que                                                                 106
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


                                    =    ∫ [F dx + F dy + F dz ]
                                              1       2             3
                                        C


        R adalah proyeksi luasan S di bidang XOY yang dibatasi oleh kurva C .


        Catatan :
        Teorema Green dalam bidang (R2) merupakan kasus khusus dari
Teorema Stokes,                         jika F = F1 i + F2 j
                                                   ∂F2 ∂F1
        Curl F ◦ n = Curl F ◦ k =                      −
                                                    ∂x   ∂y

                                                                             ∂F2       ∂F1 
        Sehingga teorema Stokes menjadi :                               ∫∫  ∂x     −         dA = ∫ [F1dx + F2 dy ]
                                                                        S              ∂y 

=   ∫ F ! dr
    C

CONTOH :

1. Tentukan             ∫ F ! dr
                        C
                                         , jika F = y i + xz3 j - xy3 k


    C : lingkaran x2 + y2 = 4                      di bidang z = -3
        Penyelesaian :
        Karena kurva C yang membatasi S terletak pada bidang z = -3 ,
berarti sejajar dengan bidang XOY, maka n = k
        Sehingga ,

                             i                j           k
                            ∂                ∂             ∂
         Curl F =                                                  =    i (-3zy2 -3xz2) - j(0) + k(z3 -1)
                            ∂x               ∂y           ∂z
                                y           xz 3     − zy 3


        Curl F ◦n = Curl F ◦ k = z3 - 1                            = -27 - 1 = -28
                                                          z = −3



         ∫ F ! dr
         C
                    =       ∫∫ − 28 dxdy =
                            S
                                                    -28   ∫∫ dxdy
                                                           S
                                                                        = -28 x luas lingkaran x2 + y2 = 4


                    = -28 x π 22 = -112 π



Program Semi Que                                                                                                107
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = 2xy3 sin z i + 3x2y2 sinz j +
x2y3cosz k
   dalam perpindahannya seputar kurva perpotongan antara
paraboloida z = x2 + y2 dan                           silinder (x-1)2 + y2 = 1.
   Penyelesaian :

   Usaha =       ∫ F ! dr = ∫ F ! r ' (s)dS = ∫∫ [CurlF ]! ndA
                 C                  C                     S




                                    i                j                 k
                                   ∂                ∂                 ∂
    Curl F        =
                                   ∂x               ∂y                ∂z
                              2 x 2 y 2 cos z 3 x 2 y 2 sin z      x 2 y 2 cos z

                  = i(3x2y2cosz - 3x2y2cosz) - j(2xy3cosz - 2xy3cosz) + k(6xy2sinz -
                                        6xy2sinz)
                  = 0


   ∴W =      ∫∫ 0 ! n
             S
                          dA = 0


3. Tentukan          ∫ F ! dr
                     C
                                   , jika F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 + y2) k


  C : Lintasan yang membatasi bidang x + y + z = 1 di oktan I.

   Penyelesaian :

                         i                  j                 k
                         ∂                 ∂                   ∂
    Curl F =                                                               = i(2y+2y) - j(6xz2-6xz2) +
                         ∂x                ∂y                 ∂z
                     2 xz 3 + 6 y        6 x − 2 yz      3x 2 z 2 + y 2
                 k(6-6)

                  = 4y i

   Persamaan fungsi vektor luasan x + y + z = 1 ,

       x(u,v) = u              ;         0≤u≤1

       y(u,v) = v              ;         0 ≤ v ≤ 1-u

Program Semi Que                                                                                    108
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


               z(u,v) = 1-u-v

     r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k

     ru = i - k

     rv = j - k

                                  i           j   k
      N = ru x rv =               1       0       −1           =       i+j+k
                                  0       1       −1

      Curl F[r(u,v)] = 4v i

      F[r(u,v)] ! N(u,v) = 4v
                                                                                 1 1− u

      ∫∫ CurlF ! n dA = ∫∫ Curl F [r (u, v)] ! N (u, v) dudv = ∫ ∫ (4v)dvdu
          S                           R                                          0 0


                                  =
1             1− u            1                       1                             1
                                                                             1
∫ (2v )              du = 2∫ (1 − u ) du = 2∫ [1 − 2u + u 2 ]du = 2[u − u 2 + u 3 ]
      2                               2

0              0           0                0                                3      0


                                                         1       2
                                  = 21 − 1 +  =
                                                         3       3
SOAL-SOAL :

1.   Hitung              ∫C
                              F ! dr ; jika           F = 2x i + z j - y k

     C : lintasan tertutup yang terdiri dari garis lurus dari (4,0,0) ke (4,2,0)
     dilanjutkan kurva z = 4 - y2 dari (4,2,0) ke (4,0,4) dilanjutkan ke garis
     lurus dari (4,0,4) ke (4,0,0) seperti yang digambarkan sebagai berikut ,
                                          z
                                          4




                                                  2                      y
                        4
2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = x i - z j + 2y k                                  dalam
     perpindahannya se-                           pan          jang lintasan yang terdiri dari segmen-

Program Semi Que                                                                                  109
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DIKTAT ANALISIS VEKTOR
Oleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw


   segmen lintasan lurus dari titik (0,0,0) ke         titik (0,1,0) dilanjutkan ke
   lintasan x2 + y2 = 1 dari (0,1,0) ke (1,0,0) dilanjutkan dengan         lintasan
   lurus ke titik (0,0,0)


3. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = xy i + y j + 2z k                yang
   bekerja sepanjang            lintasan tertutup     dari titik   A(0,0,0) ke titik
   B(0,0,1) dilanjutkan ke titik        C(1,0,1)       kemudian ke titik D(1,0,0)
   kembali ke titik A(0,0,0).



4. Hitung   ∫C
                 F ! dr     ; jika F = y i + (x+z) j + y k

   dan C : adalah lintasan tertutup berupa lingkaran x2 + z2 = 4 di y = 3




Program Semi Que                                                                110
Fakultas Teknik Jurusan Mesin
Universitas Brawijaya
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR                 i
DAFTAR ISI        ii
BAB I : VEKTOR KONSTAN                    1
      1.1   Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor                      1
      1.2   Aljabar Vektor     2
      1.3   Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang               4
      1.4   Perkalian Antar Vektor        10
      1.5   Penggunaan Vektor Dalam Geometri                  20

BAB II : FUNGSI VEKTOR                   28
      2.1   Fungsi Vektor     28
      2.2   Kurva Vektor      29

BAB III : DIFERENSIAL VEKTOR                        34
      3.1   Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor              34
      3.2   Interpretasi Dari Derivatif Vektor           35
      3.3   Gradien, Difergensi dan Curl            38
      3.4   Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl                     41

BAB IV : INTEGRAL VEKTOR                      56
      4.1   Integral Garis    56
      4.2   Teorema Green          69
      4.3   Medan Gaya Konservatif             76
      4.4   Integral Luasan        84
      4.5   Teorema Divergensi Gauss            100
      4.6   Teorema Stokes         106

DAFTAR PUSTAKA               111

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:4261
posted:10/5/2010
language:Indonesian
pages:113
Description: analis_vektor