Fundamentos de los Sistemas Borrosos by bjb17276

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       Fundamentos de los Sistemas Borrosos
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Definiciones básicas

         En la teoría clásica de conjuntos, un subconjunto A de un conjunto X puede ser
definido como una función característica A que representa una aplicación de los elementos de
X a los elementos del conjunto {0,1}:

A:X             {0,1}                                                          (1)

        Esta aplicación se representa por un conjunto de pares ordenados, con un par por cada
elemento de X. El primer elemento del par ordenado es un elemento del conjunto X, y el
segundo elemento pertenece al conjunto {0,1}. El valor cero en este último se usa para
representar la ausencia de pertenencia y el valor uno representa la pertenencia. La veracidad o
falsedad de la expresión

“ x pertenece a A”                                                              (2)

depende de los valores del par ordenado x,  A ( x )  . La sentencia es cierta si el segundo
elemento del par ordenado es 1, y es falsa si es 0.

        De forma similar, un conjunto borroso A de un conjunto X puede definirse como un
conjunto de pares ordenados, con el primer elemento que pertenezca a X y el segundo
elemento perteneciente al intervalo [0,1], con un par ordenado por cada elemento de X. Ello
define una aplicación, , entre elementos del conjunto X y los valores del intervalo [0,1]. El
valor cero se utiliza para representar la no-pertenencia y el valor uno representa la completa
pertenencia. Los valores intermedios representan un grado de pertenencia parcial. Al conjunto
X se le denomina universo de discurso para el conjunto borroso A. El grado de certeza de la
afirmación (2) depende de la definición del par ordenado x,  A ( x)  , específicamente del
segundo elemento del par ordenado (  A (x) ); de forma tal que mientras más próximo a uno
este sea, mayor será el grado de veracidad de la afirmación.

        Definición 1 .- Sea X un conjunto no vacío. Un conjunto borroso A está caracterizado
por una función de pertenencia

: X[0,1]                                                                    (3)

donde la función de pertenencia (x) representa un determinado grado de pertenencia del
elemento x en el conjunto borroso A para cada x X.

         El conjunto borroso A está completamente definido por el conjunto de pares:

A={ x,  A ( x )  |x X }                                                    (4)
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         A la familia de todos los conjuntos borrosos definidos en X se denota por (X).

        Si X={x1, x2, ... , xn} es un conjunto finito y A es un conjunto borroso en X, para
representar a esta última se utiliza la notación:

A = /x1+/x2+ . . . +n/xn                                                  (5)

donde el término i/xi para i=1,. . .,n significa que i es el grado de pertenencia de xi en A. El
signo + representa la unión entre los pares ordenados.

       Ejemplo 1- Supóngase que se desea definir el conjunto de números naturales
“próximos a 1”. Ello puede ser expresado por:

A=0.0/-2 + 0.3/-1 + 0.6/0 + 1.0/1 + 0.6/2 + 0.3/3 +0.0/4                          (6)

        Y su representación gráfica se muestra en la figura 1.




Figura 1.- Representación de una función de pertenencia discreta para la sentencia “x es
próximo a 1”.

        Ejemplo 2- Un conjunto borroso, definido a través de una función que represente la
sentencia “cercano a 1”, puede ser definida como:

A( x)  exp(   ( x  1) 2 )                                                     (7)




                                                2
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donde  es un número real positivo (ver figura 2).

       Nótese que la expresión (7) representa un conjunto borroso de forma continua,
mientras que la forma (5) representa un conjunto borroso de forma discreta.

         Definición 2.- Soporte de un conjunto borroso: Sea A un conjunto borroso definido
en X; el soporte de A, que se denota por sop(A), es el subconjunto de X cuyos elementos tienen
un grado de pertenencia desigual a cero en A, ello es:

sop( A)  {x  X     |   A( x)  0}                                             (8)

        Por ejemplo, el soporte del conjunto borroso definido por (6) y que se representa en la
figura 1 es:

sop( A)  1, 0, 1, 2, 3                                                        (9)

         Definición 3.- Conjunto borroso normal: Sea A un conjunto borroso definido en X;
se dice que A es normal si existe un x  X tal que A( x )  1 . De otra forma A es no-normal.




Figura 2.- Representación de un conjunto borroso continuo para la sentencia “x es
próximo a 1”.

En la figura 3 se muestra la diferencia entre un conjunto borroso normal y uno no-normal.




                                               3
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       Figura 3.- Conjunto borroso normal (izquierda) y conjunto borroso no-normal.

          Definición 4.- Corte : Un conjunto borroso A definido en X con corte  se denota
por A y responde a:
        


        x  X | A( x)    si   0
A                                                                          (10)
        sop(A)               si   0

donde sop(A) representa el soporte de A. La figura 4 representa un conjunto borroso con un
corte =0.5.

       Ejemplo 3.-Si se considera que el universo de discurso X={-2,-1,0,1,2,3,4} y
A=0.0/-2 + 0.3/-1 + 0.6/0 + 1.0/1 + 0.6/2 + 0.3/3 + 0.0/4. En este caso:

          1, 0, 1, 2, 3si 0    0.3
         
A
        0, 1, 2        si 0.3    0.6
         {1}              si 0.6    1
         

          Definición 5.- Conjunto borroso convexo. Un conjunto borroso A definido en X se
llama convexo si A es un subconjunto convexo en X   0, 1 .
          También se puede definir como: Si para cualquier x1 , x2  X y cualquier   0,1 se
cumple:




                                               4
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    A (x1  (1   ) x2 )  min(  A ( x1 ),  A ( x2 ))             (11)




     Figura 4.- Representación de un conjunto borroso con un corte =0.5.




           Figura 5.- Conjunto borroso convexo para un corte =0.63.




                                                5
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Note que la expresión (11) no es estrictamente la definición matemática de una función
convexa, que cumple:

f (x1  (1   ) x2 )  f ( x1 )  (1   ) f ( x2 )                          (12)

En la figura 5 se muestra un conjunto borroso convexo para un =0.63. Nótese como para un
corte  inferior el conjunto borroso es no convexo.

        En muchas situaciones las personas son sólo capaces de caracterizar la información
numérica de forma imprecisa. Por ejemplo, se usan términos tales como: “próximo a 5000”,
“próximo a cero” o “esencialmente superior a 5000”. Estos son ejemplos a los que se les llama
números borrosos, en la medida en que aproximan o clasifican números ( x   ) alrededor de
un número real. Usando la teoría de subconjuntos borrosos se puede representar los números
borrosos como conjuntos borrosos definidos sobre un conjunto de números reales, más
exactamente:

        Definición 6.- Número borroso. Un número borroso A es un conjunto borroso
perteneciente al eje real que es normal, convexo, con función de pertenencia continua y cuyo
soporte es limitado. La familia de números borrosos se denota por 
        
        Los números borrosos son un tipo de conjunto borroso que poseen un claro significado
cuantitativo, en la medida en que clasifican un concepto alrededor de un número o intervalo de
números.

        Definición 7.- Número cuasi-borroso. Un número cuasi-borroso A es un conjunto
borroso perteneciente al eje real que es normal, convexo, con función de pertenencia continua
y que satisface la condición de límite:

lim A( x)  0                                                                    (13)
x 


El número cuasi-borroso juega un papel importante en la teoría de la lógica borrosa,
fundamentalmente en aquellas aplicaciones donde se obtienen los parámetros de una función
que permita representar al número borroso a través de técnicas de identificación de sistemas.
La figura 2 muestra el ejemplo de un número cuasi-borroso.

Como se expone más adelante, un número borroso (o cuasi-borroso) puede ser representado a
través de una función de pertenencia.

2.- Funciones de pertenencia. Tipos básicos.

         Un conjunto borroso está completamente caracterizado por su función de pertenencia,
en la medida que usa un universo de discurso X definido en el eje real. Utilizar la notación (5)
no es práctico dado que se necesitarían muchos pares de datos para definir un conjunto borroso
en un intervalo de números reales (que es infinito, dependiendo de la precisión que se desee en
la clasificación del universo de discurso). Por lo anterior, una forma práctica de representar un
conjunto borroso es a través de una expresión matemática, a la que se le denomina función de
pertenencia.

        Definición 8.- Función de pertenencia triangular. Un conjunto borroso A se llama
número borroso triangular con un centro a, un ancho a la izquierda y un ancho a la
derecha si su función de pertenencia tiene la forma siguiente:




                                                          6
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            1  (a  x) /          si       a   x  a
            
    A( x)  1  ( x  a) /         si      a xa                                 (14)
            0
                                             en otro caso

            Se usará la notación A=(a,). El soporte de A es (a – , a + 

            La representación de la función A=(0.2, 0.8, 0.5) se muestra en la Figura 6.




       Figura 6.- Representación de la función de pertenencia triangular A=(0.2, 0.8, 0.5).

       Definición 9.- Función de pertenencia trapezoidal. Un conjunto borroso A se llama
número borroso trapezoidal con intervalo de tolerancia [a, b], ancho izquierdo  y ancho
derecho  si su función de pertenencia tiene la siguiente forma:

            1  (a  x) /     si        a   x  a
            1                               a xb
                               si
    A( x)                                                                           (15)
            1  ( x  b) /    si           b x b
            0
                                          en otro caso

            Se usará la notación A=(a, b, ). El soporte de A es (a-, b+).

            La representación de la función A=(-0.3, 0.4, 0.60.4) se muestra en la Figura 7.




                                                     7
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Figura 7.- Representación de la función de pertenencia trapezoidal A=(-0.3, 0.4, 0.60.4).

       Definición 10.- Función de pertenencia ID (Izquierda-Derecha). Se define como un
conjunto borroso A de la forma:

         L((a  x) /  ) si x  a   , a 
        1                 si x  a, b
        
A( x)                                                                          (16)
         R(( x  b) /  ) si x  b, b   
        0
                            en otro caso

donde al intervalo [a, b] se le denomina núcleo de A. Las funciones L : 0, 1  0, 1 y
R : 0, 1  0, 1 deben cumplir:

(a) Deben ser funciones continuas.

(b) Deben ser funciones decrecientes.

(c) L(0)= R(0)= 1 y R(1)= L(1)= 0.

Cuando las anteriores especificaciones se cumplen, a L y R se le denominan intervalo borroso
de tipo ID, el cual define una función de pertenencia de la forma:

A  (a, b, ,  ) ID                                                             (17)




                                                8
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El soporte de A es (a - , b + ). Como se puede apreciar, de las expresiones (15-16), la
función de pertenencia trapezoidal pertenece a las funciones del tipo ID.
La aplicación del concepto de número cuasi-borroso permite definir una versión de (16) de la
forma:

         L((a  x) /  ) si      xa
        
A( x)  1                 si     x  a, b                                          (18)
         R(( x  b) /  ) si     xb
        

donde las funciones L : [0, )  0, 1 y R : [0, )  0, 1 deben cumplir:

(a) Deben ser funciones continuas.

(b) Deben ser funciones decrecientes.

(c) lim L( x)  0 y lim R( x)  0 .
   x                x 


Si se considera a=b, entonces (17) se representa por:

A  (a, ,  ) ID                                                                     (19)

Ejemplo 4.- Una función que responde a la forma:

        exp(-(-0.3 - x) /0.2)          si     x  0.3
        
        
A( x)  1                              si     x   0.3,0.01
        
            
         exp - 0.01 - x
        
                         3 3
                                      si     x  0.01

          Es una función de pertenencia del tipo ID y se representa en la Figura 8.

          Definición 11.- Singleton o punto borroso. Sea A una función de pertenencia, si
                                                                            
sop(A)={x0} entonces A es llamado un singleton y se usa la notación A  x 0 .

        A la función de pertenencia singleton se le denomina conjunto borroso escalar (ver la
Figura 9). Este tipo de función de pertenencia es fundamental cuando se desea obtener
modelos borrosos a partir de datos de entrada-salida, donde la expresión matemática
equivalente debe ser derivable.

3.- Operaciones sobre conjuntos borrosos.

      Las operaciones básicas sobre conjuntos ordinarios (o clásicos): unión, intersección y
complemento se pueden extender a los conjuntos borrosos.

          Sean A y B dos conjuntos borrosos de un conjunto no vacío X.

          Definición 12.- Intersección. La intersección de A y B se define como




                                                   9
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 A  Bx  minAx, Bx  Ax  Bx , x  X                       (20)




             Figura 8.- Representación de una función de pertenencia ID.




                                                                  
                  Figura 9.- Representación de un singleton ( A= 0 ).



                                          10
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        Definición 13.- Unión. La unión de A y B se define como:

 A  Bx  maxAx, Bx  Ax  Bx , x  X                         (21)

Las operaciones de intersección y unión se muestran en la figura 10.

        Definición 14.- Complemento. El complemento de un conjunto borroso A se define
como:

A( x)  1  A( x)                                                           (22)




Figura 10.- Operaciones de unión „+‟ e intersección „o‟ entre dos conjuntos borrosos.

Aunque las operaciones de unión, intersección y complemento no son las únicas definidas en
la teoría clásica de conjuntos que pueden generalizarse a los conjuntos borrosos, la ley del
medio excluido y el principio de no contradicción no se satisfacen en la lógica borrosa.

Lo anterior se puede demostrar considerando:

a) Ley del medio excluido:

A  A  X

b) Principio de no-contradicción.

A  A  




                                               11
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Se puede verificar que 1X   y   1X , sin embargo:

       Lema 1.- La ley del medio excluido no es válida en el contexto de la lógica borrosa.
Sea A( x)  1 / 2, x  R , se puede verificar que:

(A  A)( x)  max{ A( x), A( x)}  max{1  1 / 2,1 / 2}  1 / 2  1

       Lema 2.- La ley de no contradicción no es válida en el contexto de la lógica borrosa.
Sea A( x)  1 / 2, x  R , se puede verificar que

(A  A)( x)  min{A( x), A( x)}  min{1  1 / 2,1 / 2}  1 / 2  

        Sin embargo, la lógica borrosa satisface las leyes de De Morgan.

( A  B)  A  B, ( A  B)  A  B

3.1.- Las normas triangulares.

        En la teoría de conjuntos borrosos las normas triangulares se usan para modelar la
lógica de conexión y.

          Definición 15.- Norma triangular (Norma-T). Una proyección de la forma
T : 0,1  0,1  0,1 es una norma triangular si esta es simétrica, asociativa, no decreciente en
cada argumento y T(a,1) = a, para toda a  0,1 . En otras palabras, cualquier norma-T
satisface las siguientes propiedades:

T(x, y)=T(y, x)                                            (simetricidad)

T(x, T(y ,z))=T(T(x, y), z)                                (asociatividad)

T ( x, y )  T ( x' , y' ) si x  x' y también y  y'      (monotonicidad)

T ( x,1)  x, x  0,1                                   (identidad unitaria)

       Todas las normas-T pueden ser extendidas (basado en la propiedad de asociatividad) a
más de dos argumentos. La norma-T MIN tiene una extensión directa, así como las normas-T
PANDA y LANDA (ver tabla 1) que se definen como:

PANDA(a1 ,..., an )  a1a2 ...an                           (producto)
                               n
LANDA(a1 ,...,an )  max{  ai  n  1, 0 }
                              i 1

        En la figura 11 se muestra el resultado de aplicar las normas-T MIN, LAND y PANDA
sobre dos conjuntos borrosos. Como puede apreciarse, existen diferentes grados resultantes de
la proyección para cada norma. Los intervalos extremos entre ellas se definen a continuación.

      Lema 3.- Sea T una norma-T, entonces se cumple:
WEAK ( x, y )  T ( x, y )  min{x, y}, x, y  0,1                                (23)




                                                    12
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Prueba: De las propiedades de monotonicidad, simetricidad y la condición extrema, se tiene

T ( x, y )  T ( x,1)  x, T ( x, y )  T ( y, x)  T ( y,1)  y
Ello significa que T ( x, y )  min{x, y}




        Figura 11.- Aplicación de las norma-T. „+‟ PANDA, „o‟ MIN y „x‟ LANDA.

Mínimo                              MIN(a, b) = min{a, b}

Lukasiewicz                         LANDA(a, b) = max{a+b-1, 0}

Probabilística                      PANDA(a, b) = ab

Weak                                              min{a, b} si max{a, b}  1
                                    WEAK (a, b)  
                                                  0         de otra forma
Hamacher                                                         ab
                                    HANDA (a, b)                              ,  0
                                                     (  (1   )(a  b  ab))

Dubois y Prade                                              ab
                                     DAND (a, b)                   ,   (0,1)
                                                        max{a, b, }
Yager
                                                                   
                                    YAND p (a, b)  1  min{1, (1  a ) p  (1  b) p   
                                                                                        1/ p
                                                                                               }, p  0

                                    Tabla 1 Normas-T básicas.




                                                   13
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El resultado de aplicar las normas-T WEAK y MIN entre las que quedan definidas las
restantes normas se muestra en la figura 12.




   Figura 12.- Extremos en los que están definidos las normas-T. „o‟ MIN y „+‟ WEAK.

3.2.- Las co-normas triangulares.

Las co-normas triangulares se usan para modelar la lógica de conexión o.

          Definición 16.- Co-norma triangular (Co-norma T). Una proyección de la forma
S : 0,1  0,1  0,1 es una co-norma triangular si ésta es simétrica, asociativa, no decreciente
en cada argumento y S(a,0) = a, para toda a  0,1 . En otras palabras, cualquier co-norma T S
satisface las propiedades:

S(x, y)=S(y, x)                                           (simetricidad)

S(x, S(y ,z))=S(S(x, y), z)                              (asociatividad)

S ( x, y )  S ( x' , y' ) si x  x' y también y  y'    (monotonicidad)

S ( x,0)  x, x  0,1                                 (identidad cero)

         Si T es una norma T entonces la igualdad S(a, b) := 1 - T(1-a, 1-b) define una co-
norma T y se puede decir que S se obtiene a partir de T. La tabla 2 muestra las co-normas T
básicas.




                                                    14
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        En la figura 13 se muestra el resultado de aplicar las co-normas T MAX, LOR y POR
sobre dos conjuntos borrosos.

Máximo                          MAX(a, b) = max{a, b}

Lukasiewicz                     LOR(a, b) = min{a+b, 1}

Probabilística                  POR(a, b) = a+b - ab

Strong                                            max{a, b} si min{a, b}  0
                                 STRONG(a, b)  
                                                  1         de otra forma
Hamacher                                       a  b  (2   )ab
                                 HOR (a, b)                     ,  0
                                                (1  (1   )ab)

Yager                                                 p
                                 YOR p (a, b)  min{1, a p  b p }, p  0


                               Tabla 2 Co-normas T básicas.




         Figura 13.- Aplicación de las Co-norma T. „+‟ LOR, „o‟ MAX y „x‟ POR.

Las co-normas T entre las que están definidas las restantes co-normas son:

Lema 4.- Sea S una Co-norma T, entonces se cumple:




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max{x, y}  S ( x, y )  STRONG( x, y ), x, y  0,1                        (24)

Prueba: De las propiedades de monotonicidad, simetricidad y condición extrema se tiene

S ( x, y )  S ( x,0)  x, S ( x, y )  S ( y, x)  S ( y,0)  y

         Ello significa que S ( x, y )  max{x, y} .El resultado de aplicar las co-normas T
STRONG y MAX entre las que quedan definidas las restantes co-normas se muestra en la figura
14. Nótese como la primera toma el valor uno en el universo de discurso debido a que existe
un conjunto borroso definido por un número cuasi-borroso (alcanza el valor cero en el
infinito).




Figura 14.- Extremos en los que están definidos las co-normas T. „o‟ MAX y „+‟ STRONG.

        Lema 5. – Se cumple que T(a, a) = a sólo cuando se aplica la norma mínima para
cualquier a  0,1 .

        Prueba: Si T(a, b)=MIN(a, b) entonces se cumple de manera obvia que T(a, a)=a.
Supóngase que T(a, a)=a para cualquier a  0,1 , y a  b  1 . Podemos obtener la siguiente
expresión usando la monotonicidad de T .

a  T (a, a)  T (a, b)  min{a, b}

De la conmutatividad de T se cumple

a  T (a, a)  T (b, a)  min{b, a}




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Las anteriores ecuaciones muestran que T(a, b)=min{a, b} para cualquier a, b  0,1 .

        Definición 17.- Intersección basada en normas T. Sea T una norma-T. La
intersección T de A y B está definida por

 A  B( x)  T  A( x), B( x), x  X                                         (25)

De lo anterior se deduce que la intersección de los conjuntos borrosos queda definida a través
de las normas triangulares.

        Definición. 18.- Unión basada en co-normas T. Sea S una co-norma T. La unión S
entre A y B está definida por

 A  B( x)  S  A( x), B( x), x  X                                         (26)

De lo anterior se deduce que la unión de los conjuntos borrosos queda definida a través de las
co-normas triangulares.

        En general, como ha sido expuesto previamente, la ley del medio excluído y el
principio de no contradicción no son satisfechas por la normas T o co-normas T cuando estas
definen las operaciones de unión e intersección.La única excepción son las normas T y las co-
normas T de Lukasiewicz.

        Lema 6.- Si T(x, y)= LAND(x, y)= max{x+y-1, 0} entonces la ley de no contradicción
es válida.

        Prueba: Sea A un conjunto borroso en X; entonces, de la definición de una norma T
basada en la intersección se tiene

 A  A( x)  LAND A( x),1  A( x)   A( x)  1  A( x)  1  0  0, x  X
        Lema 7.- Si S(x, y)= LOR(x, y)= min{1, x+y} entonces es válida la ley del medio
excluído.

        Prueba: Sea A un conjunto borroso en X; entonces, de la definición de una co-norma T
basada en la unión se tiene

 A  A( x)  LOR A( x),1  A( x)   A( x)  1  A( x)  1  1, x  X
4.- Variables lingüísticas.

        Las técnicas convencionales para el análisis de sistema no son apropiadas para resolver
problemas estrechamente relacionados a las percepciones, emociones y juicios humanos. Lo
anterior en una manifestación del principio de incompatibilidad, que establece: “Cuando la
complejidad de un sistema se incrementa, la capacidad para caracterizar y precisar su conducta
disminuye hasta un umbral a partir del cual la precisión y el significado se convierten en
características mutuamente exclusivas”. Las variables lingüísticas constituyen una alternativa
para modelar el pensamiento humano.




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         Definición. 19.- Variable lingüística. Por una variable lingüística se entiende una
variable cuyos valores son palabras o sentencias pertenecientes al lenguaje natural o artificial,
la cual está caracterizada por el siguiente cuádruple:

{ X, T(X), U, G }                                                                 (27)

donde:

        X es el nombre de la variable lingüística.
        T(X) representa al conjunto de términos (valores lingüísticos) definidos en X.
        U es el dominio físico real sobre el que están definidos los valores que se aplican a la
         variable lingüística.
        G representa una función semántica que da un “significado” (interpretación) a una
         variable lingüística en función de los elementos a los que x representa.

La variable lingüística constituye el núcleo central a partir del cual el experto define el
conjunto de reglas de un sistema borroso.

        Ejemplo 5.- Una variable lingüística que defina la percepción de la velocidad por un
experto puede estar definida por { V, T(V), U, G }, donde los parámetros que la representan
son:

        V= Velocidad.

        T(V)= {Baja, Moderada, Alta}

        U=[0, 150] km/h.

        G puede ser definida por un experto a través:

            2v  0
           1 -                      para          0  v  75
    Baja      150
           0                                  v  0 ; v  75
                                   para
                2 v  75
               1 -                         para           0  v  150
    Moderada      150
               0                                        v  0 ; v  150
                                           para
            2 v  150
           1 -                        para             75  v  150
    Alta      150
           0                                       v  75 ; v  150
                                      para


   La variable lingüística velocidad queda definida por las funciones de pertenencia que se
muestran en la Figura 15.

Los términos lingüísticos T(X) pueden ser primarios o modificados. Los términos lingüísticos
modificados se obtienen de aplicar un concentrador, dilatador o la negación a un término
lingüístico primario.




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       Definición 20.- Concentración y dilatación de términos lingüísticos. Sea A un
término lingüístico definido a través de una función de pertenencia  A (x) , entonces una
concentración o dilatación se aplica sobre A en una representación continua cuando:

        A k    A ( x) / x
                         k
                                                                                 (28)
              X


aplicándose la dilatación cuando k=0.5 y la concentración cuando k=2.

La dilatación o concentración de los términos lingüísticos se realiza como consecuencia de
utilizar un modificador o adjetivo: muy, algo, etc.




Figura 15.- Definición de la variable lingüística velocidad para el ejemplo 5.

Ejemplo 6.- Desarrolle el ejemplo 5 con términos lingüísticos modificados.

        Se puede utilizar el modificador mas para extender la definición de la función de
pertenencia en el universo de discurso; alternativamente, el modificador menos reduce la
influencia del término lingüístico en el universo de discurso.

        Un conjunto de términos lingüísticos modificados se puede representar por:

       T(V)= {Mas Baja, Menos Moderada, No Alta}

    Nótese como el término lingüístico No Alta representa el complemento del término Alta.

La función semántica G queda definida según:



                                             19
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            2 v  0  0.5
            1-                                       0  v  75
Mas Baja                            para
               150 
           
           0                          para         v  0 ; v  75
                  2 v  75  2
                  1-                                           0  v  150
Menos Moderada                               para
                     150 
                 
                 0                                 para       v  0 ; v  150
            2 v  150 
          1 - 1 -                      para             75  v  150
No Alta          150 
          
          1                             para         v  75 ; v  150

     La variable lingüística velocidad con términos lingüísticos modificados queda definida por
las funciones de pertenencia que se muestran en la Figura 16.




Figura 16.- Definición de la variable velocidad con términos lingüísticos modificados. „o‟
Mas Baja, „+‟ Menos Moderada y „x‟ No Alta.

5.- Razonamiento borroso a partir de un conjunto de reglas.

        Un sistema borroso es un sistema inteligente que, a partir de un conjunto de funciones
de pertenencia definidas en determinado universo de discurso y determinadas reglas definidas
por un experto realiza una inferencia a partir de un conjunto de datos.




                                               20
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        Una regla en un sistema borroso puede estar definida por:

Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO                                 (29)

        La regla tiene dos partes fundamentales:

Si premisa Entonces conclusión                                                    (30)

Ejemplos de reglas del tipo Si-Entonces que son ampliamente usadas en la vida cotidiana son:

       Si autopista está mojada Entonces velocidad es lenta
       Si trabajo es fuerte Entonces estrés es alto                              (31)
       Si estación es invierno Entonces gripe es frecuente
       Si precio es alto y demanda es baja Entonces ventas es pequeña

La premisa y la conclusión pueden ser una sentencia simple (31) o compuesta. Si la sentencia
es compuesta, entonces una regla se representa:

Si antecedente_1 y antecedente_2 y ... antecedente_n
                               Entonces consecuente_1 y ... consecuente_m         (32)

siendo y un operador lógico borroso (definido a través de alguna de las normas).

         En la regla (29), A y B son las variables de entrada, C(A,B) es la variable de salida,
cuya dependencia de la variables de entrada será una función no lineal definida por el
diseñador del sistema borroso, basado en la experiencia de un experto. BAJA es un término
lingüístico (ver figura 17) que se representa a través de una función de pertenencia o conjunto
borroso definido en determinado soporte del universo de discurso de A, ALTA es una función
de pertenencia definida en B, y MEDIO es una función de pertenencia definida en C(A,B). La
premisa de la regla describe en que grado la regla es aplicable (de acuerdo al grado de
veracidad definido por cada antecedente), mientras que la conclusión (la consecuencia de la
regla) asigna una función de pertenencia a cada variable de salida a través de cada
consecuente. La mayoría de las herramientas para trabajar con sistemas borrosos permiten más
de una conclusión por regla. El conjunto de reglas en un sistema borroso es conocido como
base de reglas o base de conocimiento.

        El proceso de generación del conocimiento asociado a una base de reglas borrosas
consta de los siguientes pasos:

1.-Borrosificador: Convierte los valores de las variables de entrada definidas en la premisa de
las reglas (a través de los términos lingüísticos definidos por las funciones de pertenencia) a un
determinado grado de pertenencia, realizando un cambio en el dominio de definición de cada
variable del universo de discurso a una entidad borrosa definida en el intervalo [0, 1]. El
cambio de dominio se realiza en cada antecedente por separado. Si la premisa es una sentencia
compuesta, entonces se aplica el operador lógico que relaciona a la entidad borrosa que
representa cada antecedente, el cual ha sido definido por el experto. El resultado de aplicar el
operador borroso entre los antecedentes de la regla devuelve un valor que define el grado de
veracidad de la regla, el cual cambia en función de los valores que tomen las variables de
entrada.

2.-Implicación: Una vez que se determina el grado de veracidad de cada regla, este se aplica a
la conclusión. Es posible que varias reglas tengan un mismo consecuente, en tal caso, el




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consecuente queda definido en función del máximo grado de veracidad entre todas las reglas
que cumplan tal condición. Generalmente, el mínimo o el producto (dentro de la norma T) son
usados como operadores de implicación. En la implicación por mínimo (MIN), la función de
pertenencia de salida que identifica el consecuente es recortada a la altura definida por el grado
de veracidad de la regla. En la implicación por producto (PROD), la salida es “escalada” por el
grado de veracidad de la regla.

En la regla (29) para un valor a0  sop(BAJA) y un b0  sop(ALTA) la implicación MIN
(también denominada implicación Mamdani) resulta:

MIN  min{ BAJA (a0 )   ALTA (b0 ); MEDIO}                                     (33)

donde  BAJA (a0 ) y  ALTA (b0 ) representan los grados de pertenencia que resulta de aplicar los
valores de entrada a0 y b0 sobre las funciones de pertenencia que representan los términos
lingüísticos BAJA y ALTA respectivamente.

De forma similar, la implicación PROD (también denominada implicación Larsen) resulta:

PROD   BAJA (a0 )   ALTA (b0 ). MEDIO                                         (34)

3.-Composición: En este paso, todos los conjuntos borrosos asignados a cada variable de
salida (después de aplicada la limitación definida por el grado de veracidad) son combinados
para formar un sólo conjunto borroso. Usualmente se utilizan operadores de máximo (MAX) o
suma limitada (SUM_L). En la composición por máximo, el subconjunto de salida borroso se
obtiene tomando los valores máximos en cada punto de todos los conjuntos borrosos asignados
a la variable de salida por las reglas que se activan. En la composición por suma limitada, el
conjunto borroso de salida será el mínimo entre uno y la suma en cada punto de todos los
conjuntos borrosos asignados a la variable de salida por las reglas que se activan.
                                              Función de
                                              Pertenencia                   Término
                                                                            lingüístico
                                            BAJA   MEDIO      ALTA
                     Grado de Pertenencia




                                                   Soporte


                                               Universo de Discurso

       Figura 17.- Conceptos básicos asociados a la definición de una regla borrosa.




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A las posibles combinaciones que resultan de la implicación y composición se les denomina
mecanismos o métodos de inferencia. Dado que existen dos métodos de implicación y dos de
composición, de ello resultan cuatro mecanismos de inferencia resultantes de su combinación:

1.- MIN-MAX.

2.- MIN-SUM_L.

3.- PROD-MAX.

4.- PROD-SUM_L.

El método de inferencia más utilizado se le denomina evaluación de reglas min-max ( o solo
MIN-MAX) debido a la combinación de la inferencia por mínimo y la composición por
máximo (en la literatura se puede encontrar los términos invertidos, MAX-MIN, pero la
interpretación es la misma) y fue propuesta por Mamdani en la primera aplicación de la lógica
borrosa al control de procesos (automatización del metro de Sendai, en Japón).

4.-Desborrosificador: Se utiliza cuando se desea convertir el conjunto de salida borroso a un
número representativo de tal conjunto dentro del universo de discurso donde este queda
definido. Existen más de 30 métodos para implementar un desborrosificador, pero los más
utilizados son el Centro-de-Área ó Centroide, Centro-del-Máximo y Media-del-Máximo.

Los diferentes métodos de desborrosificación se tratan con más profundidad en el ejemplo 7 y
la sección 6.

Ejemplo 7:

        Un experto ha definido el siguiente conjunto de reglas, cada una de las cuales posee
dos antecedentes y un consecuente:

regla 1:Si Temperatura es FRIA y Presión es DEBIL Entonces Acción sobre la válvula es PL
regla 2:Si Temperatura es FRIA y Presión es BAJA Entonces Acción sobre la válvula es PM. (35)
regla 3:Si Temperatura es FRIA y Presión es CORRECTA Entonces Acción sobre la válvula es ZR.
regla 4:Si Temperatura es FRIA y Presión es ALTA Entonces Acción sobre la válvula es NM.
regla 5:Si Temperatura es FRIA y Presión es CORRECTA Entonces Acción sobre la válvula es PM.

donde las variables Temperatura, Presión y Acción sobre la válvula están definidas en un
universo de discurso que se muestran en las figuras 18 y 19.

         Supóngase que en el instante t0 se obtienen a través de sensores los valores de
Temperatura T(t0) y Presión P(t0). Nótese en la figura 18(a) que para el valor de temperatura
T(t0), existe un grado de pertenencia definido por una función de pertenencia identificada por
el término lingüístico FRIA. Para el valor de presión P(t 0) en la figura 18(b), existirán dos
funciones de pertenencia definidos por los términos lingüísticos BAJA y CORRECTA.

Borrosificación

        Como la relación entre los antecedentes es el operador borroso y, si este operador
lógico es definido como mínimo ( dentro de la norma-T), entonces deben ser diferentes de cero
los grados de pertenencia de ambos antecedentes que constituyen la premisa (Presión y
Temperatura) para que exista un grado de veracidad en la regla (en la aplicación del mínimo
basta que un grado de pertenencia de la parte precedente sea cero para que el grado de




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veracidad de la regla también lo sea). Por lo anterior, las reglas que se activarán serán las que
posean como primer antecedente Temperatura es FRIA y como segundo antecedente Presión
es BAJA o PRESION es CORRECTA ( reglas 2 ,3 y 5 de (35)).

        El grado de veracidad para cada regla será el mínimo entre los grados de pertenencia
de cada antecedente, tal y como muestra la tabla 3.

        De acuerdo a la tabla 3, el grado de veracidad de la regla 2 será el mínimo entre los
valores 0.49 (FRIA) y 0.56 (BAJA), que es 0.49. De forma similar, el grado de veracidad de la
regla 3 será el mínimo entre los valores 0.49 (FRIA) y 0.3 (CORRECTA) y el de la regla 5
será 0.3.

    Regla       Antecedente 1 (A_1)      Antecedente 2 (A_2)       Grado de veracidad (A_1A_2)
   Regla 2             0.49                     0.56                            0.49
   Regla 3             0.49                      0.3                            0.3
   Regla 5             0.49                      0.3                            0.3

       Tabla 3.- Grado de veracidad para las reglas que se activan en el Ejemplo 1.

        El hecho de aplicar el mínimo entre los grados de pertenencia de ambos antecedentes
queda definido por la lógica de conectividad y. No obstante, como se describe en la sección
3.1, cualquier norma-T puede ser utilizada para esta lógica de conexión (tabla 1).

       Una alternativa para representar el conjunto de reglas (35) es utilizar la lógica de
conexión o, en tal caso el conjunto de reglas quedaría definida:

regla 1:Si Temperatura es FRIA o Presión es DEBIL Entonces Acción sobre la válvula es PL
regla 2:Si Temperatura es FRIA o Presión es BAJA Entonces Acción sobre la válvula es PM.  (36)
regla 3:Si Temperatura es FRIA o Presión es CORRECTA Entonces Acción sobre la válvula es ZR.
regla 4:Si Temperatura es FRIA o Presión es ALTA Entonces Acción sobre la válvula es NM.
regla 5:Si Temperatura es FRIA o Presión es CORRECTA Entonces Acción sobre la válvula es PM.

Como lógica de conexión o puede utilizarse cualquier co-norma T de las que se representa en
la tabla 2. Si se utiliza max entonces se escogerá el máximo entre los grados de pertenencia de
cada antecedente, tal y como se muestra en la tabla 4.

  Regla    Antecedente 1 (A_1)    Antecedente 2 (A_2)        Grado de veracidad (A_1A_2)
 Regla 2           0.49                   0.56                             0.56
 Regla 3           0.49                    0.3                             0.49
 Regla 5           0.49                    0.3                             0.49
Tabla 4- Grado de veracidad para las reglas cuando se utiliza la lógica de conectividad o.

        De acuerdo a la tabla 4, el grado de veracidad de la regla 2 será el máximo entre los
valores 0.49 (FRIA) y 0.56 (BAJA), que es 0.56. De forma similar, el grado de veracidad de la
regla 3 será el máximo entre los valores 0.49 (FRIA) y 0.3 (CORRECTA) y el de la regla 5
será 0.49.

Implicación

         Como próximo paso, el grado de veracidad de cada regla será aplicado al consecuente
de la regla, pero existen dos reglas en (35) con el mismo consecuente (reglas 2 y 5).




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        Utilizando el método de evaluación de reglas max-min, se selecciona para limitar el
consecuente el máximo grado de veracidad entre las reglas que posean el mismo consecuente,
por tanto la regla 2 será seleccionada para definir el consecuente Acción sobre la válvula es
PM (no debe confundirse el método de evaluación de reglas max-min con el método de
inferencia del mismo tipo). El grado de veracidad de la regla escalará el conjunto borroso
definido en el consecuente (o lo que es lo mismo, la veracidad del precedente determina la
validez del consecuente) de acuerdo al método de implicación utilizado.

        En el método de implicación MIN, el consecuente de la regla será limitado al grado de
veracidad de la regla (0.49 para el consecuente Acción sobre la válvula es PM y 0.3 para el
consecuente Acción sobre la válvula es ZR, como se muestra en la figura 19(a)), lo cual resulta
de:

IMP _ MIN _ PM  min{0.49; PM }                                y                       (37)

IMP _ MIN _ ZR  min{0.3; ZR}                                                          (38)

                                  MUY FRIA        FRIA NORMAL CALOR M_ CALOR
                           1
    Grado de Pertenencia




                           0.49



                           0


                                  100     T(t0)         200                300
                                                    Temperatura (0C)             (a)

                                  DEBIL      BAJA     CORRECTA ALTA     MUY ALTA
                           1
    Grado de Pertenencia




                           0.56

                           0.3

                           0


                                  100               P(t0) 1200             2300
                                                                                  (b)
                                                         Presión (Pa)
Figura 18- Definición de las variables lingüísticas del antecedente de reglas para el
Ejemplo 1.




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        En el método de implicación PROD, el consecuente de la regla será escalado (a través
del producto) utilizando grado de veracidad de la regla, tal y como se muestra en la figura
19(b)). Lo anterior resulta de:

IMP _ PROD _ PM  0.49.PM                                                              (39)

y

IMP _ PROD _ ZR  0.3.ZR                                                               (40)


                                         NL   NM   NR        ZR   PS   PM       PL
                               1
        Grado de Pertenencia




                               0.49

                               0.3

                               0


                                      -600                0                      600
                                               Acción sobre la válvula (mm/s)                 (a)


                                         NL   NM   NR        ZR   PS   PM       PL
                               1
        Grado de Pertenencia




                               0.49

                               0.3

                               0


                                      -600                0                      600
                                               Acción sobre la válvula (mm/s)                 (b)

Figura 19.- Proceso de implicación. (a) MIN, (b) PROD.

Composición

        En el paso de composición, si se utiliza la composición MAX, el mayor valor que
resulta de la unión de los subconjuntos borrosos PM y ZR (ya limitados), constituirá el
subconjunto borroso de salida del conjunto de reglas para los valores T(t0) y P(t0) ( línea en
negro resaltada de la figura 20(a), para un método de implicación MIN), lo cual se expresa por:




                                                        26
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COMP _ MAX _ MIN  max{ IMP _ MIN _ PM ; IMP _ MIN _ ZR}                                 (41)

        Si la composición es por suma limitada, entonces se obtiene un conjunto borroso de
salida que resulta del mínimo entre uno y la suma de las funciones de pertenencia que se
activan en el universo de discurso de salida (figura 20(b)), lo cual resulta de:

COMP _ SUM _ L _ MIN  min{1; IMP _ MIN _ PM  IMP _ MIN _ ZR} (42)

        Nótese como la suma limitada limita el conjunto borroso resultante de la composición
a un valor máximo de uno ( lo cual es un requisito para crear un conjunto borroso).


                                                               ZR        PM
                                 1
         Grado de Pertenencia




                                 0.49

                                0.3

                                 0


                                        -600                   0                   600
                                                                     a*
                                                                                                (a)
                                                 Acción sobre la válvula (mm/s)


                                           NL   NM   NR        ZR   PS   PM       PL
                                1
       Grado de Pertenencia




                                0.49

                                0.3

                                0


                                        -600                0                      600
                                                                                            (b)
                                                 Acción sobre la válvula (mm/s)

Figura 20.- Conjunto borroso resultante del mecanismo de inferencia (a) MIN-MAX, (b)
MIN-SUM_L. El valor a* se obtiene cuando se aplica un desborrosificador centro-
promedio.
       De forma similar se puede aplicar la composición sobre el mecanismo de inferencia
producto, de lo que resulta:




                                                          27
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COMP _ MAX _ PROD  max{ IMP _ PROD _ PM ; IMP _ PROD _ ZR}                                (43)

y

COMP _ SUM _ L _ PROD  min{1; IMP _ PROD _ PM  IMP _ PROD _ ZR} (44)

el resultado de aplicar (43) y (44) se muestra en la figura 21.


                                             NL   NM   NR     ZR      PS   PM       PL
                                   1
            Grado de Pertenencia




                                   0.49

                                   0.3

                                   0


                                          -600                0                      600
                                                   Acción sobre la válvula (mm/s)          (a)


                                             NL   NM   NR     ZR      PS   PM       PL
                                   1
            Grado de Pertenencia




                                   0.49

                                   0.3

                                   0


                                          -600                0                      600
                                                   Acción sobre la válvula (mm/s)          (b)


Figura 21.- Conjunto borroso resultante del mecanismo de inferencia (a) PROD-MAX, (b)
PROD-SUM_L.




                                                         28
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      ___________________________________________________________________

Desborrosificador

        Por último de realiza el proceso de desborrosificación ( en caso que se requiera que el
sistema borroso devuelva un valor escalar). El desborrosificador más comúnmente utilizado es
el denominado Centro de área o Centro promedio, el cual responde a:

         l

       a          i       A   (ai )
a 
  *     i 1
            l
                                                                                      (45)
         
          i 1
                        A   (ai )

donde a* representa el valor escalar de salida resultante de la desborrosificación, {a1,.., ai,...,al}
es el conjunto finito que constituye el soporte del conjunto borroso resultante en la variable de
salida Acción sobre la válvula y A(ai) representa el grado de pertenencia sobre el resultado de
la composición. La aplicación de (45) sobre la composición mostrada en la figura 20(a) resulta:

      200 * 0.2  100 * 0.3  0 * 0.3  100 * 0.3  200 * 0.3  300 * 0.49  400 * 0.45
a* 
                          0.2  0.3  0.3  0.3  0.3  0.49  0.45
   347
        148.29                                                               (46)
   2.34

         El método de desborrosificación por Centro de área puede ser también aplicado a una
base de reglas donde el consecuente sea una función de pertenencia de tipo singleton ( este se
representa por un punto en el universo de discurso de la variable consecuente, como se muestra
en la figura 22). En tal caso la expresión (45) responde a:

         J

       a 
        j 1
                    j       A   (a j )
a 
  *
  s          J
                                                                                      (47)
           j 1
                        A   (a j )


donde aj representa el valor en el universo de discurso de salida donde está definida la función
de pertenencia singleton. Como resultado de aplicar (47) sobre los consecuentes definidos en
la figura 22, resulta:

       0 * 0.3  350 * 0.49 171.5
as 
 *
                                  217                                               (48)
            0.3  0.49       0.79

        La ventaja de utilizar los consecuentes singleton en una base de reglas radica en que
reduce de forma notable el algoritmo de inferencia de un sistema borroso; adicionalmente,
permite obtener una función no lineal que representa la base de reglas, lo cual es útil para
algoritmos que permiten la adaptación de parámetros para la obtención de modelos y la
aplicación de algoritmos para el control adaptativo. Por su parte, los consecuentes no singleton
generan una base más consistente para analizar la superficie del control de la base de reglas.

        Cuando se aplica el centro de área sobre un consecuente no singleton, el cálculo de
(45) tiene una carga computacional elevada (dependiente del período de integración), es por
ello que existen otros métodos de desborrosificación que simplifican el cálculo del valor




                                                 29
                              Fundamentos de los Sistemas Borrosos
    ___________________________________________________________________

discreto que caracteriza al conjunto borroso de salida. Un ejemplo de lo anterior es el método
denominado Centro de máximos.


                                             NL        NM     NR        ZR   PS   PM       PL
                                   1
            Grado de Pertenencia




                                   0.49

                                   0.3

                                   0


                                          -600                       0             350      600
                                                          Acción sobre la válvula (mm/s)

Figura 22.- Representación del consecuente Acción sobre la válvula a través de funciones
de pertenencia singleton.

Cuando se aplica el método de desborrosificación por centro de máximo, sólo se utilizan los
valores del universo de discurso de salida donde cada variable lingüística alcanza su máximo
valor, realizándose una media ponderada de los términos máximos escalado por el resultado de
la inferencia. El método centro de máximo es equivalente a una desborrosificación por centro
de área cuando las funciones de pertenencia de salida son de tipo singleton ( i en (45) se
sustituye por j de (47)).

Otro método de desborrosificación es la media del máximo, el cual calcula la media entre los
valores pertenecientes al universo de discurso de salida donde el conjunto borroso resultante de
la composición alcanza su máximo valor. Si los conjuntos borrosos definidos en la variable de
salida son de tipo singleton, sólo se selecciona cual de ellos posee el máximo grado de
pertenencia después de aplicar el método de inferencia. Cuando los consecuentes no son
singleton, si el máximo grado de pertenencia del conjunto borroso resultante de la composición
es:

h (ai )  max{  (ai )}                        para 1  i  l                                (49)

entonces se cumple:

       min sop(h (ai ) )   max sop(h (ai ) ) 
a*                                                                                             (50)
                               2

que representa la media entre los valores de soporte para el cual el conjunto borroso de salida
alcanza el máximo valor.

Una comparación entre los diferentes métodos de desborrosoficación se presenta en la próxima
sección.




                                                                   30
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6.- Metodología para el diseño de un sistema borroso.

Se presentan aquí cinco principios fundamentales para construir un sistema borroso
basado en reglas.

Paso 1.- Analizar y seccionar el sistema a modelar o controlar.

(a).- Identificar las entradas y salidas: En cualquier proceso de diseño se debe comenzar por
describir el sistema general, tanto las partes que sean borrosas como las que no lo sean. Se
debe hacer especial análisis en cuales variables serán entradas y cuales salidas, considerando
la disponibilidad para la medición, etc.

(b).- Analizar y simplificar el problema: Una vez que se hayan definido las entradas y salidas,
se debe realizar un proceso iterativo de forma que se analicen las posibles alternativas que
puedan simplificar el planteamiento del sistema a diseñar.

Se debe realizar una descomposición funcional del sistema en su conjunto en subsistemas (sus
correspondientes entradas y salidas) que se puedan modelar fácilmente de forma
independiente. Si un subsistema no es fácilmente modelable, se descompondrá en sucesivos
subsistemas.

(c).- Identificar los subsistemas borrosos: Una vez que el sistema ha sido funcionalmente
descompuesto, se deben identificar aquellos subsistemas que se puedan modelar utilizando la
lógica borrosa. Un buen candidato para un subsistema borroso es aquel en que el flujo de la
información sea impreciso, ruidoso o pueda ser descrito lingüísticamente.

Paso 2.- Definir las superficies de entrada y salida.

(a).- Definir el universo de discurso: De forma general, el universo de discurso se define en el
rango de interés de la variable característica del sistema a ser diseñado. Se debe tener especial
cuidado en que el rango no sea muy pequeño, puesto que entonces pueden procesarse datos
fuera de escala que deteriorarían el comportamiento general del sistema.

Si por el contrario, si el intervalo del universo de discurso se selecciona muy grande, entonces
puede ocurrir que la respuesta del sistema sea plana ( lo cual significa que para cambios a la
entrada no existirá un cambio significativo a la salida). Lo anterior ocurre fundamentalmente
en los extremos del intervalo definido, donde la función de pertenencia no captura la dinámica
del sistema (figura 23).

El universo de discurso de la variable de salida debe ser cuidadosamente seleccionado, debido
a que una desproporción en la definición de la función de pertenencia (especialmente en los
extremos del universo de discurso) puede sobrecargar la masa del conjunto borroso de salida
sobre el cual se aplicará el proceso de desborrosificación (figura 24).

(b).- Escalar o normalizar el universo de discurso: El escaldo o normalización del universo de
discurso es deseable fundamentalmente en aquellas aplicaciones donde se diseñe un sistema
electrónico sobre el que se implemente el sistema borroso. Por ejemplo, si una de las variables
de entrada es la temperatura ( que ha sido definida entre 0 y 50 oC), un sensor debe entregar un
nivel de voltaje proporcional a la temperatura de entrada; como el nivel de voltaje debe ser
convertido a un código digital equivalente, entonces puede ser deseable definir el código
digital como el universo de discurso, tal y como se muestra en la figura 25.




                                               31
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        Grado de pertenencia




                                                             Zona de
                                                            Respuesta
                                                              plana



                                 Universo de discurso
Figura 23.- Ejemplo de una función de pertenencia con una excesiva extensión que puede
generar una respuesta plana. Aunque puede ser útil en la definición de sistemas
saturados, puede no representar la dinámica deseada en sus extremos.
        Grado de pertenencia




                         Universo de discurso
                                      Centro de Área
Figura 24.- Ejemplo de una función de pertenencia con una excesiva extensión que puede
generar un centro de masa excesivo en un extremo.

(c).- Determinar el número y distribución de las funciones de pertenencia: De forma general,
la mayoría de las aplicaciones utilizan un número impar de términos linguisticos ( de 3 a 7); el
hecho de utilizar un mínimo de tres radica en que el lenguaje humano considera al hacer un
juicio dos extremos y un medio entre ellos, no se utiliza más de siete debido a que el hombre
posee una memoria corta ( puede procesar hasta siete símbolos a la vez) cuando debe
interpretar una figura técnica a través de un término descriptor y el hecho de representar un
número impar se debe a que la mayoría de los términos lingüísticos se definen de forma
simétrica con un medio entre los extremos.

Para escoger entre tres, cinco o siete términos lingüísticos, se puede realizar:

1.- Formular un conjunto de reglas básicas que pueden dar una idea de cuales términos (y
cuantos) se necesitan para definir un conjunto de reglas.




                                                32
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                           2.- Si realizar el anterior paso es difícil, se puede definir tres funciones de pertenencia para
                           cada variable de entrada y cinco para las variables de salida, los cuales constituyen el mínimo
                           número de términos lingüísticos para las variables borrosas en la mayoría de las aplicaciones.
                           Posteriormente se podrán adicionar nuevos términos en los sucesivos pasos del diseño.
Grado de pertenencia




                                                                          Grado de pertenencia
                                    Temperatura (oC)                                                 Código hexadecimal
                       0                                         50                              0                            FFH

                           Figura 25.- Escalado del universo de discurso temperatura en el código de conversión
                           para un conversor unipolar de 8 bits en un rango de 0-5V. El cambio de una unidad
                           hexadecimal representa 0.0195V=0.195oC si el sensor es lineal.

                           Con respecto a la distribución de las funciones de pertenencia se debe tener en cuenta que
                           cuando se desea una alta sensibilidad a las variaciones en cierta región de la variable de
                           entrada, debe incrementarse la densidad de las funciones de pertenencia en tal región ( por
                           ejemplo, cuando se requiere una mayor acción de control como se muestra en la figura 26).
                                         Grado de pertenencia




                                                                 Universo de discurso

                           Figura 26.- Concentración de funciones de pertenencia para una mayor sensibilidad a las
                           variaciones en la zona central del universo de discurso.

                           Se deben tener en cuenta las siguientes propiedades en la definición de las funciones de
                           pertenencia para una determinada variable: entereza, consistencia, indefinición y normalidad.
                           Los anteriores términos se describen a continuación.

                           Definición 21.-Entereza. Un conjunto de términos lingüísticos que caracterizan a una variable
                           está completo si para cualquier valor del universo de discurso al menos uno de los términos
                           lingüísticos alcanza un grado de pertenencia desigual a cero.



                                                                         33
                                           Fundamentos de los Sistemas Borrosos
                 ___________________________________________________________________


Si todas las variables del sistema cumplen la propiedad de entereza y existe una regla para
cada combinación de adjetivos, entonces el sistema borroso siempre producirá una respuesta.

Definición 22.- Consistencia. Si para cualquier entrada en la cual el término lingüístico
alcanza su máximo grado de pertenencia, los restantes términos alcanzan un grado de
pertenencia cero, se puede decir que los términos lingüísticos son consistentes.

Si la anterior definición no se cumple, no se puede asegurar que la definición de términos
lingüísticos sea inconsistente (figura 27).
  Grado de pertenencia




                                                        Grado de pertenencia




                            Universo de discurso                               Universo de discurso

Figura 27.- Diferencia entre la definición de un conjunto de términos lingüísticos
consistentes (izquierda) y no-consistentes.

Definición 23.- Indefinición. Un sistema borroso será indefinido si existe un punto en su
dominio en el cual todas las reglas tienen un grado de activación cero en ese punto. La
respuesta matemática de tal sistema será indefinida.

Definición 24.- Normalidad. Un término lingüístico será normal si la función de pertenencia
que lo representa cumple la definición 3. Todos los términos lingüísticos pueden ser
normalizados a través de un factor de escala.

Considerando lo anterior, de forma general es deseable que los términos lingüísticos sean
representados a través de funciones de pertenencia que sean enteros, consistentes, no
indefinidos y normales.

Para cumplir algunas de las anteriores propiedades se pueden seguir los siguientes pasos:

1.- Para cada término lingüístico, definir un valor dentro del universo de discurso que mejor lo
represente y fijar un grado de pertenencia uno en ese punto.

2.- Definir un grado de pertenencia cero en los valores del universo de discurso donde los
restantes términos lingüísticos tienen un grado de pertenencia uno.

3.- No definir un grado de pertenencia uno para dos términos lingüísticos en un mismo
universo de discurso.

La figura 27 (izquierda) es un ejemplo de definición de términos lingüísticos que cumplen los
anteriores pasos.



                                                   34
                                                 Fundamentos de los Sistemas Borrosos
                       ___________________________________________________________________


Para seleccionar el tipo de funciones de pertenencia se debe tener presente si el conjunto de
reglas representan la intuición humana o forman parte de una estructura matemática que
pretende modelar un sistema a partir de datos de entrada salida.

Para representar determinado conocimiento a través de un conjunto de reglas, las funciones de
pertenencia más utilizadas son las singleton, triangulares y trapezoidales (siendo las funciones
de pertenencia tipo S y Z versiones de esta última, como se muestra en la figura 28).
Grado de pertenencia




                                                        Grado de pertenencia




                                      Universo de discurso                          Universo de discurso

Figura 28.- Versiones de las funciones de pertenencia trapezoidales. Tipo Z (izquierda) y
tipo S.

Paso 3.- Creación de la base de reglas.

(a).- Escribir las reglas obvias: Para un sistema con dos entradas y una salida se puede
preparar una matriz a la que se le denomina Memoria Asociativa Borrosa (MAB). Para
implementar una MAB, se colocan en la columna una de las variables de entrada y en la fila la
otra variable de entrada (figura 29). Las celdas de la matriz creada se llena con los términos
lingüísticos de la variable de salida y cada celda representará una regla borrosa.

La MAB puede utilizarse para crear un conjunto de reglas con más de dos entradas y una
salida, para ello se crea una matriz con dos entradas-una salida, manteniendo las restantes
entradas y salidas constantes. Por ejemplo, si al conjunto de reglas (35) se le incorporase otra
variable de entrada con tres términos lingüísticos, entonces deberían crearse tres matrices
como la que se muestra en la figura 29, una para cada término lingüístico de la nueva variable.

No obstante a lo expuesto anteriormente, la utilización de la MAB puede ser poco práctica en
aquellas aplicaciones que posean muchas entradas y salidas debido a que se requerirían
muchas matrices asociativas borrosas que describan todas las posibles combinaciones de
entradas y salidas (un sistema con cinco entradas y tres términos lingüísticos para cada entrada
con tres salidas tendría un número de reglas igual 35*3=729 reglas).

Cuando el sistema es muy complejo, se deben realizar los siguientes pasos:

1.- Describir las reglas que sean obvias.

2.- Describir las reglas que sean vagas, pero intuitivamente correctas.




                                                                               35
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                                               Temperatura

                        Muy Fria       Fria         Normal         Calor      M_Calor



              Debil                     PL



               Baja                     PM
Presión




             Correcta                ZR, PM



               Alta                    NM



            Muy Alta


Figura 29.- Ejemplo de creación de una memoria asociativa borrosa para las cinco reglas
del ejemplo 7.

Lo anterior se justifica debido a que el diseño de un sistema borroso por lo común se realiza a
través de un conjunto de reglas mucho menores que el conjunto de reglas posibles.

(b).- Escribir las reglas menos obvias: Una vez que han escrito las reglas obvias, el próximo
paso es identificar las reglas que sean más vagas, para ello un buen auxilio puede ser el
considerar en la MAB que no debe haber transiciones bruscas entre celdas. Por lo anterior se
entiende que si por ejemplo en la celda de la figura 29 que representa la presión baja y la
temperatura fría existe una acción sobre la válvula PM, entonces en las celdas adyacentes
pudiera ser PL o PS (ver figura 19), que son las funciones de pertenencia más próximas a PM.

Un caso especial dentro de las reglas menos obvias es la incorporación de una aserción. Por
una aserción se entiende como una regla con antecedente sin consecuente, debido a lo cual esta
siempre tiende a activarse e influir en el espacio de salida truncado resultante de aplicar un
método de inferencia.

Por ejemplo, supóngase que al conjunto de reglas definido por (35) se le incorpora la siguiente
regla:

regla 6: Si Acción sobre la válvula es Menor

Siendo el término lingüístico Menor definido en la figura 30(a). La figura 30(b) muestra la
influencia de la incorporación de la regla 6 sobre el conjunto resultante de la aplicación del
método de inferencia MIN-MAX.




                                               36
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     Grado de Pertenencia             1


                                                                              Menor




                                      0


                                                  -600                      0                      600
                                                                Acción sobre la válvula (mm/s)           (a)

                                            1
                     Grado de Pertenencia




                                            0.49

                                            0.3

                                            0


                                                   -600   Centro desplazado    0      Centro original 600

                                                                 Acción sobre la válvula (mm/s)             (b)

Figura 30.- (a) Definición del término lingüístico Menor. (b) Truncamiento en el conjunto
borroso resultante que desplaza el centro de área.

La aserción influye sobre el funcionamiento total del sistema, limitando el espacio de salida
que define la respuesta del sistema.

Paso 4.- Ajustar el conjunto de reglas.

Es el paso más complejo en el diseño del sistema borroso y se basa en observar la salida del
modelo implementado, este paso puede incluir:

(a).- Ajuste de las reglas y funciones de pertenencia para cada variable del sistema borroso:
Aquí se puede considerar:

1.- Incorporación de cortes : Aunque funciones de pertenencia que posean un soporte elevado
(ver definición 2) son convenientes para lograr una adecuada entereza (definición 21), un
grado de pertenencia pequeño en determinado rango del soporte de la función de pertenencia
puede provocar que la salida sea “ruidosa” en áreas en las que se desea que la respuesta sea



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plana, lo anterior puede provocarlo un pequeño valor en el grado de activación de la regla. Una
solución puede ser la incorporación de un corte  a la función de pertenencia.

Por ejemplo, puede que en las reglas definidas en (35) no deseemos que la regla 3 se active
para los valores P(t0) y T(t0), pues esta genera un grado de activación de 0.3 (ver tabla 3) que
es pequeño. Para que lo anterior suceda debemos incorporar un corte  ( >0.3 ) al término
lingüístico CORRECTA correspondiente a la Presión (ver figura (18)). La figura 31 muestra el
resultado de aplicar un corte alfa de 0.4.


                                       DEBIL   BAJA   CORRECTA ALTA    MUY ALTA
                                1
         Grado de Pertenencia




                                0.56

                                0.3

                                0


                                       100        P(t0) 1200                 2300
                                                       Presión (Pa)

Figura 31.- Resultado de aplicar un corte =0.4 a la función de pertenencia que
representa al término lingüístico CORRECTA.

Al aplicar el corte , para el valor P(t0) existe un grado de pertenencia cero para el término
lingüístico CORRECTA, por lo que la regla 3 no se activará, dejando de influir en la respuesta
del sistema el pequeño valor del grado de pertenencia que esta regla incorporaba.

2.- Limitar la contribución de las reglas: Pueden existir reglas en el sistema borroso diseñado
que no se deseen tengan la misma contribución que las restantes (pueden tratar una condición
muy especial). Para ello se puede limitar su incidencia en el sistema general.

Limitar la contribución de reglas es un medio que permite priorizar reglas a través de la
adición de un término multiplicativo (normalmente en el intervalo [0, 1]), ajustando la
contribución de la regla al modelo final. Cuando no existe término multiplicativo, se considera
que este posee un valor implícito de uno. El término multiplicativo que se le incorpora a la
regla se multiplica por el grado de activación de la regla antes de realizar el proceso de
inferencia.

Por ejemplo, si se desea limitar la contribución de la regla 2 definida en (35), esta puede
redefinirse:

(0.9) Si Temperatura es FRIA y Presión es BAJA Entonces Acción sobre la válvula es PM.

Lo cual provoca que el grado de activación de la regla sea 0.9*0.49 = 0.441 (ver tabla 3). El
área devuelta por el conjunto borroso resultante será, evidentemente, menor para los valores
P(t0) y T(t0) que se toman como referencia para el desarrollo del ejemplo 7.




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3.- Aplicar modificadores lingüísticos: Es una forma de alterar la representación de las
funciones de pertenencia en el universo de discurso, debido a que concentra y dilata los
mismos (ver ejemplo 6), puede utilizarse para aumentar el grado de pertenencia que devuelven
algunas reglas y modificar el área resultante de la composición.

(b).- La reevaluación del mecanismo de implicación y composición (método de inferencia):
Constituye un factor a través del cual podemos controlar el área del conjunto borroso de salida.

Como puede apreciarse en las figuras 20 y 21, cuando se utiliza el método de inferencia
MIN_MAX y MIN_SUM_L, el área resultante de la composición es superior a los
mecanismos PROD-MAX y PROD-SUM_L, y la utilización de la composición SUM_L
genera la mayor de las áreas entre ellas. De lo anterior se deduce que, mientras mayor área,
mayor importancia tendrá la adecuada distribución de las funciones de pertenencia en el
universo de discurso de la variable de salida, teniendo el solape entre las funciones de
pertenencia una mayor incidencia cuando la composición es del tipo SUM_L.

La adecuada selección del mecanismo de inferencia depende de la aplicación y la experiencia
del diseñador del sistema borroso.

(c).- La reevaluación del método de desborrosificación: La desborrosificación determina el
valor escalar que representa al conjunto borroso de salida. Constituye un factor de vital
importancia a la hora de ajustar el modelo.

Un elemento que puede utilizarse para ajustar el mecanismo de desborrosificación (útil para
todas las fases de ajuste del modelo) es comparar la salida del modelo con respecto a valores
que este debe entregar, de acuerdo a los criterios del experto. Tomando algunos valores de
salida como referencia podemos seleccionar el método de desborrosificación que más se
aproxime a los mismos. La figura 32 muestra el valor devuelto por los diferentes métodos de
desborrosificación sobre un conjunto borroso de salida.

                                                    ZR           PM
                           1
    Grado de Pertenencia




                           0.49

                           0.3

                           0


                                  -600              a*       b*           600
                                                                     c*
                                         Acción sobre la válvula (mm/s)
Figura 32.- Comparación entre los mecanismos de desborrosificación. a* centro del
máximo, b* centro de área y c* media del máximo.

Un elemento importante a tener en cuenta para seleccionar el método de desborrosificación es
la continuidad.




                                                      39
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Definición 25.- Continuidad en la desborrosificación. Un método de desborrosificación es
continuo si al existir pequeños cambios en las variables de entrada, en la variable de salida no
existen cambios bruscos.

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede afirmar que los métodos centro de máximo y centro
de área son continuos y el método media de máximo no lo es. Para ilustrar lo anterior se puede
observar que cuando se aplican los dos primeros, el resultado es un valor intermedio para
consecuentes singleton (ver figura 33), sin embargo la media del máximo es un valor en el que
sólo influye el máximo grado de pertenencia, sin considerar el aporte de el resto del área que
existe en el conjunto borroso de salida. Por lo anterior la media del máximo puede devolver
valores a la salida con cambios significativos en respuesta a pequeños cambios a la entrada.


                                                NL       NM     NR     ZR   PS   PM     PL
                                      1
               Grado de Pertenencia




                                      0.49

                                      0.3

                                      0


                                             -600                       0                600
                                                Acción sobre la válvula     a* 350 b*
                                                (mm/s)
Figura 33.- Mecanismos de desborrosificación aplicados sobre consecuentes singleton. a*
centro de máximo y centro de área. b* media de máximo.

Con respecto al tiempo de cómputo (importante cuando la plataforma destino es un
microcomputador), el orden de mayor a menor tiempo de cómputo es: centro de área, centro de
máximo y media de máximo.

Paso 5.- Examinar la conducta del modelo y la superficie de salida.

En este paso se trata de identificar los comportamientos indeseables en el modelo ante
diferentes combinaciones de variables de entrada. Se debe prestar particular atención a las
siguientes áreas de las variables de entrada:

(a).- Regiones terminales del universo de discurso.

(b).- Valores extremos del soporte de las funciones de pertenencia.

(c).- Zona de solape entre funciones de pertenencia.

(d).- Valores en los antecedentes para los que se active el mayor número de reglas posibles.

La figura 34 muestra algunos ejemplos de lo expuesto anteriormente.




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   Grado de pertenencia




                                                                           Universo de discurso

                          (a)         (c)                            (a)
                                                     (b)

Figura 34.- Áreas importantes del universo de discurso de las variables de entrada para
encontrar comportamientos inapropiados a la salida del modelo.

Cuando esté disponible un representación gráfica de la variable de salida con respecto a las
entradas (algunos sistemas del mercado lo incorporan) se debe evitar discontinuidades en tal
representación, la curva de salida debe ser lo más “suave” posible. Recuérdese, en la transición
continua de la variable que el experto representa está el fundamento de la representación del
conocimiento que se pretende modelar (la multiplicidad del conocimiento está en las diferentes
tonalidades de grises, no en la discontinuidad entre el blanco y el negro).




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