Des programmes à la classe une étude de la by wxr16887

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Des programmes à la classe :
une étude de la transposition
     didactique interne
   L’exemple de l’arithmétique en
Terminale S spécialité mathématiques


          Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03      1
                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
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                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
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                                                                  Introduction
Questionnement initial

  Pour comprendre ce qui se joue en classe il est nécessaire de
  s’interroger sur ce qui se passe en amont de ce moment
  particulier :

    Comment un contenu mathématique « arrive » dans le
   programme d’enseignement ?

    Comment se fait le passage du programme à la classe ?

    A quelles « adaptations » ce passage donne-t-il lieu ?

    Quels sont les acteurs du système d’enseignement qui
   opèrent ces modifications ? Sous quelles contraintes ?

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                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
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                                                                     Transposition interne

La transposition didactique :
  « Processus qui fait que les objets du savoir mathématique savant
  sont transformés en savoirs à enseigner, inscrits dans le projet
  d’enseignement, puis en savoir d’enseignement »
                                                                          (Conne, 1992)


           Savoir savant                                                • Nulle part écrit
                                                                        • Explicitement :
                                                                        programme
         Savoir à enseigner         « Texte du savoir »                 • Implicitement :
                                                                        tradition,
                                                                        habitude
                                                                        interprétation
          Savoir enseigné                                               (Arsac 89, Chev. 91)

(Arsac, 1989)
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              La transposition interne
« C’est la noosphère […] qui va procéder à la sélection des
éléments du savoir savant qui, désignés par là comme “savoir à
enseigner”, seront alors soumis au travail de transposition »


  « C’est elle qui va assumer la partie visible de ce travail, ce
 qu’on peut appeler le travail externe de la transposition, par
 opposition au travail interne, qui se poursuit, à l’intérieur même
 du système d’enseignement, bien après l’introduction officielle
 des éléments nouveaux dans le savoir enseigné »
                                                                  (Chevallard, 1991)



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(Arsac, 1989)                                                             Transposition interne
          Savoir savant
                            Transposition
                               interne
       Savoir à enseigner
                                                             Savoir savant
                                                                                  Transposition
                                                                                     interne
        Savoir enseigné
                                                         Savoir à enseigner


                                                                Savoir           « Apprêt » du
                                                              « apprêté »        texte du savoir
      Apprêtage                                              (Projet cours)

  didactique du savoir
                                                           Savoir enseigné
(Rôle de P, auteurs manuels, formateurs
dans la transposition interne)

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  Hypothèse de travail

Pour rendre visible ce processus « transparent » :
   Analyser une perturbation du système d’enseignement
   (changement de programme)



L’arithmétique permet d’étudier ces transformations car :
     Perturbation - Changement de programme (1998)
     Réintroduction après 20 ans d’absence
     Îlot dans le programme de TS spé maths

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           Savoir arithmétique                                   Transposition interne
                 savant

                                                                       Analyse
                                                                    institutionnell
 Programmes                                                                e
d’arithmétique :                            Manuels,
  1886 à 2002                            publications Irem
                                               etc.



          Projet cours d’arithmétique :
             questionnaire et deux
                  enseignantes                                        Analyse des
                                                                       pratiques

             Arithmétique enseignée
               dans deux classes


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                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
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                                                           Analyse institutionnelle
Théorie anthropologique du didactique

 Approche écologique : « exploration de la clôture
 institutionnelle de l’univers du savoir enseigné »
                                                      (Chevallard, 1989)
     Choix de transposition de la noosphère ?
     Quelles niches pour l’arithmétique dans le programme ?


 Approche anthropologique : description des rapports
 institutionnels R(I,O) à l’arithmétique ; système de
 contraintes pour les sujets de I
     Distance savoir à enseigner et savoir « apprêté » ?
     Quel système de contraintes institutionnelles pèsent sur les
    auteurs de manuel et les enseignants ? Quelles libertés ?

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Comparaison écologique programmes (1886 à 2002)

 Période classique             Maths modernes                          Contre-réforme
    1886-1971                    1971-1983                               1973-1998

   N ‘Calcul num’           N ‘C num’ en baisse                         Arithmétique
N ‘Théorie nombres’           N ‘structurelle’                         absente du prog.



  Contemporaine              Ajustement contenu                       Dernier programme
    1998-2002                  (congruences)                                 2002


 N ‘algorithmique’      Insistance algorithmique :                    N ‘algorithmique’
   N ‘culturelle’       • exemples mise en oeuvre                     N ‘raisonnement’
                        • lien avec le raisonnement

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                        Espace de liberté et investissement
                            des marges de manœuvre
Manuels : analyse écologique et praxéologique ; questionnaire 43 enseignants (prog 98)

                         Démonstrations          - peu proposées par les manuels
       Algorithmique



                          constructives          - plus souvent choisies par les enseignants

                                                 - programmes écrits donnés aux élèves
                         Programmation
                                                 - exercices « Avec ordinateur » : présents
                          informatique
                                                   dans Déclic mais pas donnés en classe
                                                 - jamais objet d’étude
                        Algorithme : objet
                                                 - technique algorithmique « stéréotypée »
                        d’étude/technique
                                                   (au + bv = c)



                       Niche raisonnement : fort investissement

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 Contraintes didactiques et conceptions idéologiques
 pesant sur l’apprêtage didactique de l’arithmétique


        Contraintes                                 Où trouver des références
  institutionnelles fortes                                 d’exercices
  (temps, bac, moyens infos…)                         de programmation ?



  Formation des profs et                              Représentations des
   niveaux des élèves en                            enseignants sur les maths
programmation hétérogènes                          (raisonnement > algorithmique)



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                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
         Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                16
                                                                 Analyse pratiques
             Savoir « apprêté » :
     choix mathématiques de l’enseignant

Le problème de P :
                                                Mettre en place une certaine
enseigner la division
                                                   OM = [ T /  /  /  ]
euclidienne

       OM locale
                      Le théorème de la division euclidienne
                      occupe la place de la technologie 
    OM régionales
                      Le théorème de la division euclidienne
                      occupe la place de la théorie 
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                                                                  Analyse pratiques
                 Savoir « apprêté » :
          choix didactiques de l’enseignant

Le problème de P :
                                               Mettre en place une certaine
enseigner la division
                                                  OM = [ T /  /  /  ]
euclidienne


Pour résoudre de prob :
                                                Praxéologie didactique de P
P « prévoit » la mise en
                                                  OD = [ T /  /  /  ]
œuvre en classe du projet




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          Savoir enseigné dans la classe :
       analyse des pratiques de l’enseignant
Différents outils théoriques pour analyser un même protocole

Confrontation OM              Analyse actions de                      Analyse places
  projet et OM                 P : moments et                       respectives de P et
    observée                    d’OD locales                        des élèves : topos




   Analyse du discours de P                       Analyse des interactions :
 suivant 3 axes : objet, teneur,               contrat did, effets Topaze, milieu
     fonction (Hache, 1999)                      (Brousseau 1986 et 1988, Sensevy 2002)



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                  Méthodologie
   Observations naturalistes de 2 enseignantes (P1 et P2) sur une
                    année entière en 2000/01

                          • Enregistrements audio de l’intégralité
                          des séances d’arithmétique
Données recueillies       • Entretien en fin d’année avec les 2
                          enseignantes
                          • Copies de tous les D.S. corrigés
                          d’arithmétique des 2 classes

             Dans cet exposé : exemple de l’analyse du cours de P2
             sur la division euclidienne
                      Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                 20
                                                                 Analyse pratiques
             Savoir « apprêté » :
      choix mathématiques globaux de P2
Théorème de la division euclidienne : central dans projet de P2


       OM1 autour des
                                                      OM2 autour des
     changements de base
                                                       congruences
        de numération


  • Ces 2 OM sont dans le cours ; Programme : OM1 en TP
  et OM2 peut être présentée, aucune connaissance exigée
  • Évaluation de tâches sur changement de base en D.S.

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                                                                      Analyse pratiques
                 Savoir « apprêté » :
          choix mathématiques locaux de P2
            Soit aZ et bN*, il existe un unique couple
            d’entiers (q,r) tel que a=bq+r avec 0rb

Dém en 2 étapes            Emblématique des mathématiques du supérieur

 Existence :                          • Encadrement : axiomatique ou « bon sens » ?
 • qba<b(q+1) admis                  • Pré-requis : partie entière ; a0 et a<0
 • q=E(a/b)                           • E(a/b) : lien avec les calculatrices ?

 Unicité :                            • E(a/b) permettrait une dém en 1 étape
 • raisonnement absurde               • Raisonnement absurde: emblématique des
 • r-r’=b(q’-q) multiple de b         maths du supérieur
 • -b<r-r’<b d’où r-r’=0              • Technique spécifique arithmétique

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                                                                   Analyse pratiques
             Savoir « apprêté » :
    choix maths et didactiques locaux de P2
Ex 1 : quotient et reste de la division euclidienne de 343 par
       15, de 234 765 par 311, de –2 345 par 29

T : Calculer le quotient et le reste d’une division euclidienne.
 : Instrumentée par calculatrice
                                                        -2 345/29  -80, 862
      Vdid1 signes des nombres
                                          Difficulté : E(a/b) = -80 ou –81 ?

                                                Définition de la partie entière

        Moyen de validation                           Inégalité sur le reste :
                                          -2 345= -8029+(-25) 0(-25)<29
                                          -2 345= -8129+4     04<29
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                                                              Analyse pratiques
Savoir enseigné dans la classe de P2
Quatrième séance d’arithmétique ; séance de 2H
     Effectif : 11 élèves (effectif habituel)

Déroulement de la séance                          Moments
                                        Travail de la technique
     11 minutes                        (Correction d’exercices séance
                                                précédente)
                                       Institutionnalisation
     20 minutes                       (Cours magistral, démonstration
                                       théo de la division euclidienne)
                                        Travail de la technique
     26 minutes                        (Recherche et correction de 2
                                    exercices sur la division euclidienne)
                                                 Évaluation
        1 heure                        (1er D.S. d’arithmétique sur
                                      divisibilité et nombres premiers)

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                                                                             Analyse pratiques
             Savoir enseigné dans la classe de P2
     T1did : Mettre en scène le théorème de la division euclidienne
     T3did : Introduire la démonstration du théorème de la division

                     P1                                                     P2
1did Situer / connaissances anciennes               Situer / connaissances anciennes  did
                                                                                       1

 P1: […] sur les nombres positifs il s’agit de       P2: […] Division euclidienne. Sous un nom
 faire la théorie de la division de l’école          savant, c’est la première division que vous
 primaire, d’expliquer que je sais pas que 12        avez apprise à l’école primaire, cad la
 c’est divisé par 5, 2 fois 5 plus 2.                division avec reste et sans virgule.

2did Faire « tourner » sur un exemple               Énoncer la structure de la dém           2did
 P1: […] si vous prenez 3 fois 3 c’est encore        P2: […] Alors démonstration. On va la faire
 plus petit que 10 mais quand vous prenez 4          en 2 temps, on va d’abord s’intéresser à
 fois 3 qui fait 12, ça dépasse. Et la               l’existence et on établira ensuite l’unicité.
 démonstration elle va être basée sur cette
 idée là.
                              Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                        25
                                       qa/b<q+1                          Analyse pratiques
P2 : qu’est-ce que ça caractérise ça ?
Els : …
                                              did2
P2 : Quelqu’un a une idée ?                                                              did1
Els : …
P2 : q et q+1 sont des entiers consécutifs. Donc vous connaissez la définition, ça doit vous
      rappeler quelque chose.
El : c’est divisible par b
                                                Effet de contrat ; symboles a/b et a|b
P2 : non
El : c’est un encadrement                               Changement cadre
P2 : oui, c’est un encadrement, mais encore ? (rires)

          Tdid : Raviver une connaissance non mobilisable chez les élèves

                 did1 : Faire appel à la mémoire de l’élève
                 did2 : Baisser le niveau des exigences attendues
                 did3 :Obtenir des réponses en complétant par mot la phrase de P


                            Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                      26
Cadre fonction                                                              Analyse pratiques
                                         qa/b<q+1
P2 : on l’utilise assez fréquemment cette fonction car c’est la seule qui marche par comme
      les autres […] Elle est pas continue, elle est pas toujours dérivable […]
Els : …
P2 : non, vous connaissez pas de fonctions un petit peu bizarres ?             did2 baisse exigence
El : la fonction inverse ?
P2 : oui […] Elle rentre dans la grande famille des fonctions classiques
Els : …
P2 : non ?
Els : …
                                                                                did2 baisse exigence
P2 : on en a parlé pourtant.           did1 mémoire
Els : …
P2 : En d’autres termes, q c’est le plus grand entier inférieur ou égal à a/b. Oui, non ?
El : oui
P2 : Ben vous connaissez, ça s’appelle comment ?                did1 mémoire
Els : …                                                                             Définition
El : la fonction entière non ? […]
P2 : presque
El : f(x)
P2 : la …
El : … la part entière de…                           P2 ignore la réponse
                              Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                        27
Cadre numérique                                                                   Analyse pratiques
                                         qa/b<q+1
P2 : quel est le plus grand entier inférieur ou égal à 3,5 ?
El : 4
P2 : Inférieur ?
                                                                             did2 baisse exigence
El : euh 3                                                                   did3 réponse: un mot
P2 : a 2,7 ?
El : 2
P2 : Alors qu’est-ce que c’est que 2 pour 2,7 ? Qu’est-ce que c’est que 3 pour 3,5 ?
El1 : approximation
El2 : la part entière de…           P2 ignore la réponse
P2 : oui, c’est une valeur approchée… par défaut… à une unité prés. Mais encore ?
Els : la partie entière
P2 : C’est la partie entière. Donc q c’est ce qu’on appelle la partie entière de a/b. Est-ce
     que vous connaissez la notation ? E de a/b.                     did1 mémoire
P2 : alors dans ces conditions là, a va s’écrire comment ?
                                                                            P2 ne fait pas de bilan
                              Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03   sur l’existence de q      28
                                                                          Analyse pratiques
       Ex1 : Quotient et reste de –2 345 divisé par 29


                                                       Définition de la partie entière

            Moyen de validation                              Inégalité sur le reste :
                                                 -2 345= -8029+(-25) 0(-25)<29
                                                 -2 345= -8129+4     04<29


Début du temps de recherche des élèves :
          • Anticipation difficulté
          • Méthode pour éviter les erreurs

 P2 : Alors une bonne habitude à prendre c’est à chaque fois qu’on vous parle de
 division euclidienne, prenez la peine d’écrire l’égalité qui définit la division
 euclidienne et la condition portant sur le reste. Ca vous permettra d’écrire bien … bien
 des bêtises. Parce que la contrainte sur le reste, vous l’oubliez et l’égalité que vous
 proposez, ce n’est pas une égalité de de division euclidienne. Donc attention

                           Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                      29
                                                                          Analyse pratiques
        Ex1 : Quotient et reste de –2 345 divisé par 29
P2 : Alors cette partie entière ?
El : moins 80, moins 81…                     Pas de moyen de validation
P2 : J’ai pas entendu
El : euh c’est moins 80 (Silence)
P2 : C’est ça ?
El : 81
P2 : Tout le monde est d’accord ?
P2 : Le problème se pose parce que vous ne savez pas s’il faut prendre
El : 80 ou 81
P2 : 80 ou 81. Si on revient à la démonstration, c’est la partie entière de –2 345 divisé par 29.
      Quel est le résultat affiché par votre machine ?
                                                                               did1 mémoire
Els : moins 80,8
P2 : moins 80,8 et quelque chose derrière. Donc la partie entière c’est le plus grand entier
      relatif inférieur ou égal. Donc est-ce que c’est –80 ?
El : non
P2 : donc si on a fait le travail comme il faut, on a pris -81        Pas de lien avec le reste

                            Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                       30
                                                               Analyse pratiques
              Conclusion analyse de P2
                         Forte cohérence des choix
   Savoir               mathématiques
« apprêté »              Niche raisonnement fortement
                        investie

                         P2 « s’interdit » de donner la
                        réponse à ses questions sur E(a/b) ;
                        attitude cohérente pendant la séance
  Savoir                 Panoplie de techniques didactiques
 enseigné               restreintes pour gérer l’absence ou les
                        mauvaises réponses ; jeu de devinette
                         Aménage coûte que coûte une place
                        à l’élève
                 Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                 31
                                                       Plan de l’exposé

1. Introduction

2. La transposition didactique interne
3. Étude des contraintes et libertés
   institutionnelles
4. Étude des pratiques en classe
5. Conclusion
         Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                32
                                                                          Conclusion
         Transposition didactique interne

  Savoir savant                                              Outil pour décrire et
                      Transposition                          analyser le travail en
                         interne                             amont des classes
Savoir à enseigner
                                                             Distinguer différents
                                                             niveaux : manuels,
     Savoir          « Apprêt » du
                                                             projets globaux et
   « apprêté »       texte du savoir                         projets locaux de P
  (Projet cours)
                                                            Comparaison des 
                                                            apprêts : identification
 Savoir enseigné                                            des choix
                                                            Comment avoir accès
                                                            au projet de P ?
                     Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03                     33
                                                                 Conclusion
    Analyse des pratiques de l’enseignant

            Problèmes méthodologiques



Difficultés à coordonner                          Difficulté réelle à
  les différents cadres                         prendre en compte la
       théoriques                               dimension temporelle



       Écart : cohérence projet et déroulement effectif
            Effets sur l’apprentissage des élèves ?

                Laetitia Ravel, Séminaire Didatech 14/03/03             34

								
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