Ch 5 Fonctions associées aux fonctions exp et ln

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					Ch 5 Fonctions associées aux fonctions exp et ln

    Correction du sujet d’Amérique du Sud – Novembre 2008

Exercice 3 (3 points) Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche
proposée, deux résultats de cours.
On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +  [, positive sur
[1 ; +  [, et vérifie :
ln 1  0
 Pour _ tous _ réels _ strictement _ positifs _ x _ et _ y, ln( xy )  ln x  ln y


                                                           1
 Pour _ tou _ réel _ strictement _ positif _ x, ln' ( x)  x

ln( 2)  0,69 _ à _ 10  2 _ près

    1) On considère la fonction f définie sur]0 ; +  [ par f(x) = x – ln x.
            a) Etudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur
                ]0 ; +  [
f est dérivable sur ]0 ; +  [ car c’est la somme de deux fonctions : x  x et
x  – ln x dérivables sur ]0 ; +  [.
                                    1      1     x 2
Pour tout x > 0, on a : f ’(x) =        –     =
                                  2 x x          2x
f ’(x) = 0 lorsque x = 2 ou bien lorsque x = 4.
f ’(x) < 0 lorsque x < 4 d’où f est décroissante sur ] –  ; 4[
f ’(x) > 0 lorsque x > 4 d’où f est croissante sur ]4 ; +  [
On en déduit que f admet un minimum pour x = 4 ; ce minimum vaut f(4) = 4 – ln 4
                                                                                  = 2 – 2ln 2
                                                                                   2 – 1,38
                                                                                    0,62
                                                                            ln x        x
            b) En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0 <            <       .
                                                                              x        x
Comme la valeur du minimum de f est positive, pour tout x > 0, on a : f(x) > 0
                                                x    ln x                 ln x       x
Donc pour tout x > 1, x – ln x > 0 d’où :         –        > 0 ou bien          <       .
                                               x       x                    x       x
                                                    ln x
D’autre part, pour tout x > 1, on a : ln x > 0 d’où        > 0.
                                                      x
                                                          ln x      x
Finalement, pour tout x > 1, on a l’encadrement : 0 <          <      .
                                                            x      x
                                    ln x
            c) En déduire que lim         =0
                                      x
                                x+ 
                    x     1                                  x        1
Pour tout x > 0,      =      et lim x = +  d’où lim           = lim      =0
                   x       x                                x           x
                               x+                 x+ x+
D’après le résultat de la question précédente et le théorème « des gendarmes » on en
                 ln x
déduit que : lim      =0
                   x
             x+ 
   2) Soit n un entier naturel non nul.
                                                                          ln x
       On considère la fonction fn définie sur ]0 ; +  [ par : fn(x) =     1
                                                                                 .
                                                                            n
                                                                          x
       En utilisant la question 1), déterminer, si elle existe, la limite en +  de la
       fonction fn.
                                                                     ln x
Pour tout entier naturel n non nul, on a, pour tout x > 0 : fn(x) = 1 .
                                                                    xn
                1                                       n
                                                  ln( X ) n ln X
On pose X = x d’où x = Xn et fn(x) = fn(Xn) =
                n
                                                          =        .
                                                     X        X
D’après l’ègalité : x = Xn, lorsque x tend vers +  , X tend aussi vers +  .
                       n ln X
Donc lim fn(x) = lim           = 0 d’après le résultat du 1).
                          X
     x+  X+ 