Geometrische Modellierung durch B-Spline-Flächen

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Geometrische Modellierung durch B-Spline-Flächen Powered By Docstoc
					                Caroline LU – Maxime HOUVIN




Geometrische Modellierung
von Propellerflügen
durch B-Spline-Flächen
Warum B-Spline Flächen ?


   Viskose Berechnungen erfordern eine
    Diskretisierung der Fläche

   Jeder Punkt auf der Fläche wird leicht
    und eindeutig adressiert
Geometrische Modellierung
durch B-Spline-Flächen

   Festlegung der Flügelgeometrie

   Erzeugung von Zylinderschnitten nach
    Formparameterkurven

   Berechnung einer die Zylinderschnitten
    interpolierenden Fläche
Festlegung der Flügelgeometrie
Détermination de la géométrie de l’aile
                                 Formparameterkurven



       = Steigung
           (degré de pente)
   c/R = Profillänge
           (longueur de corde)
   f/c = Profilwölbung
           (courbure)
   t/c = Profildicke
           (épaisseur)
   ZR/R = Hangs
           (pente)
   rS/(Rcos) = Rücklage
                  (obliquité)
                            Festlegung der Flügelgeometrie

                               Wahl ein vorherbestimmt Profiltyp (NACA)

                               Abhängigkeit des Profils von der maximalen
                                Profildicke und der maximalen Wölbung (zbs)


   t/c   = Profildicke         Diese Daten werden aus die
            (épaisseur)
                                Formparameterkurven gezogen
   f/c   = Profilwölbung
            (courbure)
                                Diskrete Beschreibung der Profilgeometrie
Erzeugung von Zylinderschnitten
nach Formparameterkurven
Production de coupes cylindriques à partir des courbes de
paramètres de forme
Erzeugung von Zylinderschnitten
nach Formparameterkurven

An ausgewählten Radien:
 Transformation (2d-3d) der Punkte auf

   Zylinderschnitte
Erzeugung von Zylinderschnitten
nach Formparameterkurven

                Profilpunkt : PP = ( xP/c , yP/c)

                Transformationsbeziehungen (2D3D) :

                   a = ( xP/c – ½ )
                   b = yP/c
                   r  = rS + acos + bsin
                   ZT = ZR + rStan
                   z = ZT + asin - bcos
                   x = rcos
                   y = rsin

                 q folgenden Zylinderschnitten
                  p Profilpunkten
Berechnung einer die Zylinderschnitten
interpolierenden Fläche
Calcul des surfaces par interpolation des coupes cylindriques
Berechnung einer die
Zylinderschnitten interpolierenden
Fläche

   Interpolation der Punkte
    auf den Zylinderschnitten
    durch B-Spline-Kurven



   Interpolation der Kurven
    durch eine B-Spline-Fläche
                             Kubische B-Spline-Kurven

                                m>3N
                                Knotenvektor der die Schnittstellen der Segmente
                                 définiert (ti = Parametrisierung):
                                     T = ( t0 =…= t3 , tn+1 ,…, tm , tm+1 =…= tm+4 )
                                Kontroll-Punkte :
                                     d0 , …, dm  R3


    B-Spline Kurven sind
                                B-Spline-Kurve vom Grade 3 :
    stückweise polynomiale
    Funktionen
                                     q(u) =   i=0..m   Ni3 (u) . di

                                     Ni3 Basisfunktionen (Rekursive Definition)
                                     Ni3 (u)=0    u [ ti , ti+4 ]
                                  Der Algorithmus von de Boor
   Der algorithmus von de
    Boor erlaubt die Kurve
    punkt für punkt zu
    erzeugen durch eine
                                     tk    u < tk+1
    Rekursion

   Das Dreiecksschema gibt
                                       q(u) =   i=0..m     Ni3 (u) . di            = dk-33 (u)
    einen Punkt von die
    B-Spline Kurve
                                                    dk-30           dk-20       dk-10               dk0
   Auswertung für:
    T=(0,0,0,0,1,2,4,5,6,6,6,6)
    u=3
                                                            dk-31           dk-21           dk-11


                                                                    dk-32           dk-22

                                                                            dk-33
                                Interpolation der Punkte auf den
                                Zylinderschnitten durch B-Spline-
                                Kurven
                                q folgenden Zylinderschnitten
                                p Profilpunkten

                                   Kurve h (=1..q)             g=1..p                   u[0,1]
   In einem
    Vorbereitungsschritt wird
    eine Schar von q offenen
                                   qh(ug) =   i=0..m     Ni3 (ug) . dhi = PPhg
    B-spline Kurven gebildet
    mit h als Laufindex der
    Zylinderschnitte
                                                                       p Profilpunkten
   Eine Querkurve wird
    berechnet, dass sie die p
    zueinander gehörenden
    Punkte Pp eines jeden
    Zylinderschnitts an ihren
    Knoten interpoliert
                                                                               Zylinderschnitte
   Querkurve = courbe
                                                           Kontrollpolygon
                transversale
                                   Interpolation der Kurven durch eine
                                   B-Spline-Fläche

                                   q folgenden Zylinderschnitten  q Gleichungen

                                      Kurve h (=1..q)                       u,v[0,1]
                                      F(u,vh) = i=0..m j=0..n Ni3 (u) Nj3 (vh) . ij = qh(u)

   Längsrichtung = direction                                                 Kontrollpunkte
                longitudinale

   Querrichtung = direction
                 transversale
                                                                               Längsrichtung

                                Querrichtung
                                 Interpolation der Kurven durch eine
                                 B-Spline-Fläche

                                 Anzahl der unbekannten Stützpolygonpunkte >
   Nombre d’inconnues            Anzahl der zur Verfügung stehenden Gleichungen
    (points de contrôle) >
    nombre d’équations
                                  zur Lösung der Interpolationsprobleme
                                 Tangentenrichtungsbedingung
    conditions sur les
    tangentes
Schrifttum

   S. Harries, BL. Käther, Rechnererzeugte Propellergeometrien,
    1997
   www.gris.uni-tuebingen.de/projects/grdev/doc/html

   G. Demengel, JP. Pouget, Modèles de Bézier, des B-Splines et
    des NURBS, ellipses
   G. Farin, Curves and surfaces for CAGD, Morgan Kaufmann

   P. Slusallek, Computergraphik – Splinekurven II