Modele szeregów czasowych z tendencjÄ… rozwojowÄ… by spq13998

VIEWS: 51 PAGES: 30

									Modele szeregów czasowych
  z tendencją rozwojową
      Modele analityczne
Modele tendencji rozwojowej stosujemy do
prognozowania na podstawie szeregów czasowych, w
których występują tendencja rozwojowa oraz wahania
przypadkowe.
Rolę zmiennej objaśniającej odgrywa zmienna
czasowa. Nie jest ona bezpośrednią przyczyną zmian
zachodzących w wartościach zmiennej prognozowanej,
ale syntetyzuje wpływ bliżej nie znanych czynników,
stwarza możliwość opisu tych zmian w sposób
ilościowy.
     Zapis modelu zatem będzie następujący:

         yt = f(t) + t,          t = 1,........,n (1)
                            lub
                   yt = f(t) t, (2)
Gdzie:
f(t) - funkcja czasu, charakteryzująca tendencję rozwojową
szeregu, nazywana funkcją trendu,
t - zmienna losowa, charakteryzująca efekty oddziaływania
wahań przypadkowych na zmienną prognozowaną, o wartości
oczekiwanej równej 0 dla (1) lub 1 dla modelu (2) i skończonej
wariancji.
     Model zapisany równaniem pierwszym
odpowiada sytuacji, gdy szereg czasowy stanowi
  sumę trendu i wahań przypadkowych (model
addytywny), a model drugi – sytuacji, gdy szereg
     czasowy jest iloczynem trendu i wahań
   przypadkowych (model multiplikatywny) .
Modele analityczne

Określenie funkcji trendu metodą analityczną
polega na znalezieniu funkcji f(t), optymalnie, w
świetle przyjętych kryteriów oceny, pasującej do
wyrazów      szeregu      czasowego      zmiennej
prognozowanej. Do oceny dopasowania modelu
do danych empirycznych używa się na ogół
współczynnika determinacji R2.
Najczęściej spotykaną postacią
funkcji trendu jest funkcja liniowa

              yt    t             (3)

Reprezentuje ona stały kierunek rozwoju danego
zjawiska, wyznaczony przez współczynnik
kierunkowy prostej  . Parametr ten jest
współczynnikiem stałego przyrostu wartości
zmiennej prognozowanej w ciągu jednostki
czasu.
W wielu przypadkach stosowanie liniowych funkcji trendu jest
nieuzasadnione.
Są sytuacje, w których należy zastosować funkcje o rosnących
przyrostach:
a) funkcja wykładnicza:       ~         ~
                  yt  e    t
                                      ,  0            (4)

   lub
                   yt   ,   1t
                                                        (5)


     Której właściwością są stałe stopy wzrostu wynoszące:
 ~
      dla modelu (4) lub ln  dla modelu (5)
b) wielomian stopnia drugiego (parabola):

        yt   0  1t   2t 2 ,     2  0

którego zaletą jest duża elastyczność, wynikająca z posiadania
trzech parametrów, dzięki czemu może on lepiej
odzwierciedlać różne nieliniowe tendencje rozwojowe;

 c) funkcja potęgowa:

                  yt  t ,   1
                            




która jest odpowiednia do opisu tendencji rozwojowych,
które w układzie współrzędnych logarytmicznych wykazują
przebieg liniowy.
W sytuacjach, w których wzrost wartości zmiennej
prognozowanej przebiega coraz wolniej i zdąża do
pewnego poziomu, zastosowanie mogą znaleźć funkcje
o malejących przyrostach:
 a) logarytmiczna:

                 yt     ln t ,     0
  b) potęgowa:
                 yt  t , 0    1
                          



  c) wielomian stopnia drugiego (parabola)

        yt   0  1t   2t 2 ,     2  0
    Najczęściej spotykana metoda estymacji parametrów
    wymienionych funkcji to metoda najmniejszych
    kwadratów. W celu oszacowania nie znanych ocen
    wartości parametrów modeli liniowych używamy
    wzorów:
               n

               t  t y     t   a  y  bt
         b   t 1
                 n

               t  t 
                          2

               t 1                      n
                                      1
                                   t  t
gdzie:                n
            1
         y   yt                     n t 1
            n t 1
Po wyborze postaci funkcji trendu oraz wyznaczeniu
ocen jej parametrów dokonuje się oceny jakości
otrzymanego modelu.

Żeby użyć modelu do budowy prognoz trzeba założyć:
a) stabilność relacji strukturalnych w czasie,oznaczającą,
że zarówno postać analityczna modelu, jak i wartość ocen
jego parametrów nie ulegną zmianie w przedziale czasu,
dla którego wyznacza się prognozę,
b) stabilność rozkładu składnika losowego, umożliwiającą
ocenę błędu ex ante prognozy.
Przyszłą wartość zmiennej uzyskuje się przez ekstrapolację
funkcji trendu, tj. przez podstawienie do modelu w miejsce
zmiennej czasowej numeru momentu lub okresu - T, na
który wyznacza się prognozę:

            y  f T , T  n
              *
              T

 Jest to prognoza punktowa. Do oceny jej jakości używa się
 błędu prognozy ex ante, który w przypadku liniowej funkcji
 trendu jest dany wzorem:
                                         0,5
                                    
                    (T  t ) 2  1 
              vT   n            1         s
                    (t  t ) 2 n 
                   
                    t 1            
                                     
gdzie s - odchylenie standardowe reszt dane wzorem:
                                            0,5
                 1          n
                                     2
         s             ( yt  yt ) 
            n  m  1 t 1
                                 ˆ
                                      

gdzie:
yt - rzeczywista wartość zmiennej Y w momencie lub okresie t;
y t - teoretyczna wartość zmiennej Y wynikająca z modelu w
ˆ
momencie lub okresie t;
y   - średnia wartość zmiennej Y w szeregu czasowym o
długości n;
n - liczba obserwacji
m - liczba zmiennych objaśniających
 Do oceny dopasowania modelu do wartości
 rzeczywistych zmiennej prognozowanej można się
 posłużyć:
 a) współczynnik determinacji


                      yt  y 2
                     n
                     ˆ
              R 
                2   t 1
                                    R 2  0,1
                      yt  y 
                      n         2

                    t 1
b) standardowy błąd oceny modelu
                                      0,5
             1            n
                                 2
     s             ( yt  yt ) 
        n  m  1 t 1
                             ˆ
                                  
Często oprócz wyznaczenia prognozy punktowej konstruuje
się przedział prognozy (prognozę przedziałową), tj.
przedział liczbowy, do którego ze z góry zadanym
prawdopodobieństwem (p), zwanym wiarygodnością
prognozy, należeć będzie przyszła wartość prognozowanej
zmiennej.

         Py  uvT  yT  y  uvT  p
            *
            T
                                *
                                T


Gdzie:
u - współczynnik związany z wiarygodnością prognozy,
rozkładem zmiennej prognozowanej oraz długością
szeregu czasowego (u>0),
p - wiarygodność prognozy.
Jeżeli w procesie weryfikacji hipoteza o normalnym
rozkładzie reszt modelu nie została odrzucona, to wartość
współczynnika u odczytuje się z tablic rozkładu
normalnego (dla n>30) lub z tablic rozkładu t-Studenta dla
n-2 stopni swobody i prawdopodobieństwa 1-p.
Jeżeli hipoteza ta została odrzucona lub nie była
weryfikowana, to wartość współczynnika u może być
wyznaczona z nierówności Czebyszewa:


              PY  E (Y )  u  1  2
                                       1            1
                                                u
                                      u            1 p
 Gdzie:
  E(Y )   - wartość oczekiwana zmiennej prognozowanej Y,
         - odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej Y.
  Przykład 1
Wielkość sprzedaży wędzisk spinningowych (w szt.) u jedynego
przedstawiciela firmy Shimano na Podlasie w poszczególnych
półroczach lat 2000-2005 w województwie podlaskim kształtowała
się następująco:
     105 115 118 129 128 130 139 141 146 156 160 164
Przyjmując, że w latach 2006-2007 czynniki i ich oddziaływanie
kształtujące wielkość sprzedaży nie ulegną zmianie, należy
wyznaczyć prognozy punktowe i przedziałowe sprzedaży wędzisk na
trzy kolejne półrocza. Przedstawiciel firmy Shimano postawił
warunki:
- prognoza może być obarczona błędem względnym co najwyżej 4%
- wiarygodność prognozy przedziałowej ma wynosić 95%.
 Oszacowana funkcja trendu ma postać:

               yt  102,9  5,1t
               ˆ
    R  0,98
      2
                          s  2,8[sztuki]

W latach 2000-2005 sprzedaż wędzisk spiningowych wzrastała
przeciętnie z półrocza na półrocze o 5,1 sztuk.
Dopasowanie linii trendu do danych empirycznych było bardzo
dobre, oszacowany model w 98%          wyjaśniał zmienność
wielkości sprzedaży.
Przeciętne odchylenie wartości empirycznych od linii trendu
wynosiło 2,8 sztuk.
      Konstrukcja prognozy punktowej:
y13  102,9  5,1 13  169[ sztuki]
 *



y14  102,9  5,1 14  174[ sztuki]
 *



 y15  102,9  5,1 15  179[ sztuki]
  *




Błędy ex ante obliczonych prognoz wynoszą:

v13  2,8
            13  6,5
                     2
                        1
                        1  3,28[ sztuki]
             143       12
v14  2,8
          14  6,52  1  1  3,39[ sztuki]
             143       12

v15  2,8
            15  6,52     1
                                1  3,53[ sztuki]
               143          12
  Względne błędy ex ante wynoszą:

             v13       3,28
        13  * 100        100  1,94%
             y13       169
             v14        3,39
        14  *  100        100  1,95%
             y14        174
             v15       3,53
        15  * 100        100  1,97%
             y15       179
Wszystkie otrzymane błędy względne są mniejsze od z góry
zakładanego (4%), tak więc wszystkie prognozy są
dopuszczalne i w świetle postawionych warunków powinny
zostać zaakceptowane przez zleceniodawcę.
 Prognoza przedziałowa:

       Py  uvT  yT  y  uvT  p
              *
              T
                                 *
                                 T

 Sytuacja A
 Hipoteza o normalnym rozkładzie reszt nie była weryfikowana
 lub hipoteza ta została odrzucona, wówczas wartość
 współczynnika u obliczamy ze wzoru:
                          1
                      u
                         1 p
W naszym przykładzie wiarygodność prognozy została ustalona
na p=0,95, zatem
                          1
                   u           4,47
                      1  0,95
Prognoza przedziałowa dla T=13 ma postać:

    169  4,47  3,28;169  4,47  3,28
                   154;184
Oznacza to, że z prawdopodobieństwem 95% liczba
sprzedanych wędzisk Shimano w województwie podlaskim w
I półroczu 2001 roku będzie zawierać się w przedziale od 154
do 184 sztuk.
Odbiorca stwierdził, ze podany przedział jest za szeroki,
a więc mało precyzyjnie określa przyszłą sprzedaż. W
związku z tym przetestowano hipotezę o normalności
rozkładu reszt modelu i nie było podstaw do jej
odrzucenia.
 Sytuacja B
 Rozkład reszt jest normalny. Wartość współczynnika u
 odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta dla n-2 stopni
 swobody i  1  p . W naszym przypadku mamy:
 n  2  12  2  10   stopni swobody oraz

   1  p  1  0,95  0,05       a więc    u  t0, 05;10  2,228
Prognoza przedziałowa dla T=13 ma postać:

      169  2,228  3,28;169  2,228  3,28
                  162;176
Odbiorca     uznał   prognozę, że w   13  okresie  z
prawdopodobieństwem 0,95 sprzeda od 162 do 176 sztuk
wędzisk, za przydatną.
W analogiczny sposób obliczono prognozy przedziałowe dla
T=14 oraz T=15. Wartość współczynnika u nie zmienia się.
Wartość bezwzględnego błędu ex ante z okresu na okres jest
wyższa:

T=14    174  2,228  3,39;174  2,228  3,39
                     166;182
T=15   179  2,228  3,53;179  2,228  3,53
                       171;187
 Przykład 2
W styczniu 2006 roku pojawił się nowy dystrybutor
sprzętu firmy Shimano w Białymstoku. Czy można
wykorzystać model z przykładu 1 do budowy prognozy
na następny okres, tj. na II półrocze 2007 r.
Zebrano informacje o wartościach rzeczywistych
zmiennej z przykładu 1 w obu półroczach roku 2006 i I
półroczu roku 2007. Wynosiły one odpowiednio: 142,
145 i 151 sztuk.
Pojawienie się nowego konkurenta powoduje, że nie
można wykorzystać modelu do konstrukcji prognozy na
następny okres, a przynajmniej nie można tego uczynić
bezpośrednio, tzn. stosując prognozy nieobciążonej.
Prognozy wyznaczone na okresy 13, 14 i 15 były
nietrafne,    mimo      iż   spełniały     wymagania
dopuszczalności. Przy konstrukcji prognoz przyjęto
niezmienność charakteru zmian prognozowanej
zmiennej. Pojawienie się nowego konkurenta stanowiło
zmianę jakościową, która naruszyła ten dotychczasowy
charakter zmian.
Względne błędy prognoz ex post wyniosły:

                      142  169
              13                100  19,0%
                        142
                      145  174
              13                100  20,0%
                        145
                      151  179
              13                100  18,5%
                        151

Średni względny błąd tych prognoz wyniósł:

                 13  14  15   19,2%
                  1
                  3
Zakładając,    że    przyczyny   powodujące
odchylenia ostatnich danych rzeczywistych od
prognoz utrzymają się (konkurent utrzyma się
na rynku), a wpływ pozostałych czynników
pozostanie niezmienny, do budowy prognozy
na II półrocze 2007 r. można wykorzystać
model oszacowany w przykładzie 1, ale
otrzymaną prognozę należy potraktować
jedynie jako wstępną i skorygować o pewną
wartość - poprawkę. Należy zatem skorzystać z
reguły podstawowej z poprawką.
   Wyznaczone w przykładzie 1 prognozy były wyższe niż
   zaobserwowane wartości rzeczywiste i różniły się od nich
   w okresach 13,14 i 15 odpowiednio o: 27, 29 i 28 sztuk.
   Poprawkę p szacujemy w następujący sposób:

                                      yt  yt* 
                                   T
                         1
                   p            1
                      T  n  1 t n
  W naszym przykładzie:

               1
            p  (27  29  28)  28[sztuki
                                           ]
               3
Otrzymana poprawka informuje o tym, że pojawienie się
konkurenta na rynku spowodowało odchylenie się wartości
zmiennej prognozowanej od dotychczasowej tendencji w badanym
okresie średnio o 28 sztuk.
Konstrukcja prognozy

Prognoza wstępna - wyznaczana z ekstrapolacji funkcji trendu:

          y16w)  102,9  5,1 16  184[ sztuki]
           *(




  Prognoza ostateczna - po uwzględnieniu poprawki:


    y y
     *
     16
              *(w )
              16       p  184  28  156[ sztuki]

								
To top