Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

FEM !D problem

VIEWS: 798 PAGES: 8

									                Деформационен метод. Пример 4.2 Центричен опън (натиск)
          В пример 4.2 трябваше да се оразмери колона с два участъка и да се определи преместването
на средната точка и температурните напрежения, фиг.1 .

                   Ax
        A
                        1

                    t           4a


  х     C                2

                   3P                              Ще приемем, че колоната е оразмерена и ще
                                3a                 използваме площите на сеченията получени
                                                   при традиционното решение.
        B

                    Bx
                                                   Ще определим преместването на т.С
            Фиг.1 Колона.Пример 4.2                използвайки деформационния метод.


      1. Разделяме колоната на елементи.
Елемент (1) –(„ АС” горен участък от колоната)       Елемент (2) –(„СВ” долен участък от колоната)
дължина                           L1=4.a=5.6m        дължина                        L1=3.a=4.2m
материал (модул на еластичност) Е=200 000 МРа        материал (модул на еластичност) Е=200 000 МРа
площ на напречното сечение         F1=14.5*10-4m     площ на напречното сечение         F2=23.2*10-4m
Възли- начален 1(т.А) краен 2(т.С)                   Възли- начален 2(т.С) краен 3(т.В)

Изчисленията са направени с продукта MathCad тъй като този продукт дава възможност за по-
добро визуализиране на матриците и уравненията. Всички използвани величини са в следните мерни
еденици – сили – N; дължини- m; напрежения – Pa


                             *Съставяме коравинните матрици на елементите:

За елемент (1) - начален възел 1 , краен възел -2 / За елемент (2) – начален възел 2, краен възел 3




                                                     1
                            *Съставяне на глобалната матрица на коравина:
         Моделът има три възела с по една степен на свобода следва, че глобалната матрица на коравина
(К) е с размерност 3х3.
В MathCad може да сглобим глобалната матрица като разширим елементните коравинни матрици до
размерността на глобалната (като поставим нули на допълнителните места) и да ги съберем.




Разширените матрици -



Глобалната матрица на коравина -




                               *Определяне вектора на възловите сили

При определяне на възловите сили трябва да се има впредвид, че елемент (1) е натоварен с разпределен
осов товар.
   Елемент (1) е натоварен с разпеределн осов товар с интензивност t. Не се изпълнява приетото
   условие натоварването да е само във възлите. По тази причина, ако интензивността на
   разпределения товар е константа (t=const) той се заменя с две допълнителни сили във възлите
   равни на половината от равнодействащата f1x=f2x=R/2     R=t.L   f1x= f2x=t.L/2, както е показано
   на фигурата.




   След определяне на преместванията при определяне на напрежението и вътрешното усилие трябва
   да се извадят тези допълнителни сили и да се използват традиционните методи на съпротивление
   на материалите (напрежението и вътрешното усилие не са постоянни по цялата дължина на
   елемента)

Възел 1(елемент (1) начален) - опорната реакция Ах и допълнителната сила от разпределения
товар f1x=t.L1/2.
                         Възел 2(общ за елемент (1)и (2)) - допълнителната сила от
                         разпределения товар f2х=t.L1/2 и външната сила 3Р.
                         Възел 3(елемент (2) краен) - опорната реакция Вх
          1 Ах + f1x

       (1)
   x         2 f2x - 3Р
       (2)
             3 Вx

                                                   2
                             *Съставяне на системата линейни уравнения К*U=F




   *Налагане на граничните условия (за възлите в който конструкцията е закрепена) и получаване на
                                    нейзвестните премествания

В случая колоната е запъната от двете страни                 u1=0 ; u3=0




 Знакът „–„ означава че посоката на преместването е обратна на избраната положителна посока на оста
   „х”, т.е възела се премества нагоре. Същата стойност получихме и при стандартното решение

                                      *Определяне на опорните реакции

След като познаваме преместванията от матричното уравнение можем да определим и всички възлови
сили
  MathCad означава символно елементите от матриците като започва от нула ”0”. Глобалната коравинна матрица К е
  показана със символи. Размерността и е 3х3 съответно редовете и стълбовете са номерирани 0,1,2. При изписване на
                            индексите на елементите първо се изписва реда, а после стълба.




Пресмятането на опорните реакции става по правилото за умножение на матрици (ред по стълб).

За да намерим първият елемент от вектора на силите (Ах + f1x) е необходимо да умножим почленно
елементите от първия (0) ред на коравинната матрица и вектора на преместванията.

За да намерим третият елемент от вектора на силите (Вх) е необходимо да умножим почленно
елементите от третия (2) ред на коравинната матрица и вектора на преместванията.




За да се напишат индекците на елемент от матрица в MathCad трябва да се използва клавиша „ [ ”.
Пример: ако искаме да използваме в уравнение средният елемент от матрицата К (3х3) натискаме последователно: shift+k
[ 1,1

                                                         3
Проверка условието за равновесие                                 вярно

                     *Определяне напреженията и вътрешните усулия в елементите



Елемент (1)-                                                                                               натиск



Елемент (2)-                                                                                               опън

       Докато за елемент (2) определеното напрежение и вътрешно усилие са вярни, то в елемент (1)
поради наличието на разпределен товар напрежението и вътрешнито усилие не са постоянни по
дължината на елемента. Т.е ние сме получили „средно” напрежение за елемента, а трябва да получим
стойностите на вътрешното усилие и напрежението в началния (Ni) и крайния (Nj) възел за елемента.
Вижда се, че е достатъчно към намереното вътрешно усилие (Nx1) да извадим като стойност добавката от
разпределения товар (fx1=R/2)




         Вътрешното усилие (Nx1) е отрицателно затва прибавяме и изваждаме (fx1) с отрицателна стойност.


Използваме класическия метод на сечението за намиране на вътрешни (разрезни) усилия                               от
съпротивление на материалите за да проверим намерените по-горе стойности.
                           От пример „задача 4.2”




Вижда се, че напрежението е натисково и се изменя от около 80 до около 160 МРа по дължината на
елемента. Намереното по матричния метод напрежение в елемент (1) - натисково около 120МРа е точно
средно аритметично.




                                                       4
       Лесно може да се съобрази, че конструкцията на колоната не е оптимална. Горната част е
недостатъчно натоварена      е излишно дебела (преразход на материал). Оптималната конструкция е
показана на фигурата с пунктирана линия (напречното сечение се намалява с цел да се изравнят
напреженията в цялата колона). Тъй като оптималната форма е трудна за изработка обикновено такива
конструкции се правят стъпаловидни. На фигурата е показана горната част на колоната изработена от две
стъпала.              σх ,МРа                    σх ,МРа                          σх ,МРа
             Ax
       A                -80 МРа                          -160                        -103
                                                     2
                                        F1=7.4 cm
                                                                        F1=11 cm2 -160
              t
                                                                                   -140
                                                     2                  F1=14.5 cm2
       C                               F1=14.5 cm
                   -160 МРа                                                           -160
             3P

       B
                                  160 МРа                       160                                 160
              Bx




      Ако искаме да определим напреженията изцяло чрез матричният метод, очевидно ще
трябва да разделим участъка с разпределения товар на няколко елемента. Ще получим
приблизително решение. Разбира се, че при увеличаване броя на елементите решението ще
клони към точното.

Да разделим горният участък от колоната на четири елемента. Конструкцията има общо 5 елемента, и 6
възела фиг,
                                            Ax
                   Ax
       A                                    1
                                                                 елемент     нач. възел   краен възел
                                                 L1=a=1.4m
                                            2
                                                                             i            j
                   t              4a        3 L2=a=1.4m
                                                                      (1)        1            2
                                                 L3=a=1.4m
                                            4
                                                                      (2)        2            3
   х   C                2                   5 L4=a=1.4m
                                                                      (3)        3            4
                   3P                                                 (4)        4            5
                                  3a             L5=3*a=4.2m
                                                                      (5)        5            6
       B                                 6

                   Bx                       Bx



                                                         5
                           *Съставяме коравинните матрици на елементите

Записвам коравинните матрици на елементите разщирени до размерността на глобалната матрица (6х6)




                           *Съставяне на глобалната матрица на коравина:




                               *Определяне вектора на възловите сили

При определяне на възловите сили трябва да се има впредвид, че елементи от (1) до (4) са натоварени с
разпределен осов товар.



                                                        Виждаме, че отново към опорната реакция
                                                        Ах и външната сила 3Р се прибавя сила от
                                                        разпределения товар, но в случая тя е 4 пъти
                                                        по-малка




                                                  6
         *Съставяне на системата линейни уравнения К*U=F и налагане на граничните условия




Получаваме редуцираната система уравнения Кr*Ur=Fr




Решаваме системата по класическия метод с намиране на обратната матрица Кr-1 и получаваме
преместванията на възлите




Преместването u5= -3.353mm е преместването на т.С. Стойността е същата като определената по
класическия метод „зад.4.2” и при решение с два елемента.
                                         *Определяне на опорните реакции

Използваме системата уравнения:




                        <0>
            Записът К         в MathCad означава, че е изваден само съответният ред (стълб) от матрицата.




                                                            7
*Определяне напреженията в елементите




                                   σх ,МРа             σх ,МРа
                           Ax
                     A             -80 МРа
                                                       -90
                           t                           -110
                                                       -130
                                                       -149
                     C          -160 МРа
                           3P

                     B
                                             160 МРа     160
                           Bx




                 8

								
To top