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Matemática - Download as PDF

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									Matemática
Módulo online para estudo escolar.

Sistemas de numeração Sistema de numeração indo-arábico
O sistema de numeração indo-arábico ou sistema de numeração decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda. Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1. Assim: No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu valor representativo. Assim: 1; 01; 001 ou 0001 representam a mesma grandeza, neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). Alguns historiadores supõem que o sistema foi adotado pelo homem primitivo por compatibilidade com o número de dedos das mãos, artifício usado no princípio para contar as coisas do mundo, como seus bens, rebanho e dinheiro. O sistema base 10 competiu, para se tornar o sistema

padrão, durante uma fase longa da história da humanidade com o sistema de numeração base 60, cujos resquícios ainda são vistos no sistema de divisão do tempo, 1 minuto de sessenta segundos e 1 hora de sessenta minutos, e na trigonometria, onde o círculo é dividido em 360 graus (6 60). O sistema baseado em 60 (sistema sexagesimal)é interessante porque 60 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30, enquanto que 10 é divisível somente por 2 e 5. O maior número de divisores torna o sistema em base 60 muito mais prático para a divisão de grandezas (pesos, medidas, etc). Nesta figura podemos ver o formato e seqüência corretas da grafia manuscrita medieval dos números ou algarismos arábicos do sistema decimal que aparecem na página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549. No início dos anos 1600, ocorreu uma importante modificação no formato da grafia do décimo número ou do zero, que inicialmente tinha o formato pequeno e circular « o ». Posteriormente, evoluiu para o formato oval atual « 0 » desta forma foi possível a sua distinção quanto a grafia da letra « o » minúscula, ou da letra « O » maiúscula.

Números Números por extenso decimais/indo-arábicos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 um dois três Quatro Cinco seis Sete Oito nove dez

Sistema de

numeração romano
O sistema de numeração romana (ou números romanos) desenvolveu-se na Roma Antiga e utilizou-se em todo o seu Império. Neste sistema as cifras escrevem-se com determinadas letras, que representam os números. As letras são sempre maiúsculas, já que no alfabeto romano não existem as minúsculas, as letras são I, V, X, L, C, D e M.

As equivalências dos numerais romanos com o sistema decimal são as seguintes: No sistema de numeração romano as letras devem situar-se da ordem de maior valor para a de menor valor. Não se deve escrever mais de três I, ou três X, ou três C em qualquer número. Se estas letras se situam atrás de um V, um L, ou um D, ( Exemplo: IX, XC ou XL, que significam, 9, 90, 40 respectivamente), subtrai-se o seu valor à cifra das ditas letras. Os romanos desconheciam o zero, introduzido posteriormente pelos árabes, de forma que não existia nenhuma forma de representação deste valor. Para cifras elevadas os romanos utilizavam um travessão colocado por cima da letra correspondente. O travessão multiplicava o valor da letra por 1.000. Por exemplo, um C correspondia ao valor 100.000 (100 x 1.000), e um M correspondia ao valor 1.000.000 (1.000 x 1.000). Apresentam-se vários exemplos de números romanos, com as suas equivalências decimais: Número romano Número indo-arábico I V X L C 1 5 10 50 100

D M

500 1.000

Conjuntos
Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos

separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: {1, 2, 3} {1, 2, 2, 1, 3, 2} {x : x é um número inteiro tal que 0<x<4} Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto. É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell). Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro. Conceitos essenciais  Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letras maiúsculas;  Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;  Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto; Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever

. Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos. A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos e . A união de N conjuntos éo conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos . A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e . A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos

os elementos de que não pertencem a . Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n. Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0), . Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | . O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A). O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção. Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto {0,1}A, é usual representar-se P(A) por 2A. O Teorema de Cantor estabelece que | A | < | P(A) | . O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados: A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o

conjunto . Os conjuntos são representados de diversas formas: A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({}); As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;  Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas. Exemplos de conjuntos compostos por números 1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. 2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números). 3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente). 4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. 5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. 6. Números imaginários aparecem como soluções de

equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto. 7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto. xPP


								
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