趣味数学_9_

							          数学中的悖论
  “悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较
丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，
那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而
非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛
盾。
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没
有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”
当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数
学世界之中。正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学
手段。
  悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，
这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏
色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧
拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木
条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中
的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机
游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整
整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论一览
1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人
都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
试问：理发师给不给自己理发？
如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不
给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，
理发师陷入了两难的境地。
2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的
无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出
让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头
1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，
当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑
了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永
远追不上乌龟。
3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁
门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎
话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了
一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话
都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊
壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每
一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。”同
4． 跟无限相关的悖论：
{1，2，3，4，5，…}是自然数集：
{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一
样多的元素吗？

5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往
顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，
因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？

6． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； ……


如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；
7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到
周五间的某一天被绞死。 法官并且声明说： 绞刑的具体日
期将是完全出人意料的。 这个囚犯非常聪明 (也许以前是
逻辑学教授)， 他由此推断出他根本不会被绞死，为什么？

他由此推断出绞刑一定不会安排在周五， 因为否则的话，
前四天一过他就知道绞刑的具体日期了， 但法官说过具体
日期会是完全出人意料的。 法官是不会撒谎的， 因此绞刑
不可能在周五。 排除了周五， 就只剩下四天了。 但是依
据同样的推理， 周四也可以被排除掉，...， 以此类推，
最终每一天都可以排除掉。 于是他得出令人欣慰的结论：
他根本不会被绞死。 可是到了周二法官却突然宣布执行绞
刑， 大大出乎了他的意料！ 而这， 恰恰证明法官的确没
有撒谎。”
1、小丁和小明、小红三个小朋友并排
在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。
小明一步下2阶，小红一步下3阶，小丁
一步下4阶，如果楼顶和楼底均有所有
三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的
楼梯最少有几级？
2、偶数的难题
在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公
主选女婿，一时应者如云。国王于是想出了比武
招亲的办法。经过文试、武试，三个英俊的小伙
子成为最后的人选。要从这三个难分高下的小伙
子中选出一个女婿来，可真难为了国王。他绞尽
脑汁想出了一个方法。国王命人拿出一个4*4的方
格，将16枚棋子依次放在16个方格中。国王对三
个小伙子说：“现在你们从这１６枚棋子中随便
拿去６个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶
数枚棋子。这三个小伙子犯难了，最后，其中一
个小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公主。请
问这个小伙子是怎样解开这道难题的？