Trao-Doi-Ve-Cach-tinh-1-Lop-TPhan-Dacbiet by lovecomputer

VIEWS: 24 PAGES: 4

									          TRAO ð I V                 CÁCH TÍNH ð I V I M T L P TÍCH PHÂN ð C BI T
                                            Nguy n H u Thanh – THPT Thu n Thành s I – B c Ninh

         Trên THTT s 5/2010 tác gi Tr n Xuân ðư ng ñã trao ñ i v cách tính ñ i v i m t l p tích
                       β

                       ∫x          (a + bx n ) p dx . Trong ñó tác gi có chia làm 3 trư ng h p ñ tính b ng
                               m
phân ñ c bi t d ng
                       α
phương pháp ñ t n ph . Tuy nhiên như v y theo tôi chưa rèn ñư c tư duy và k năng cho h c sinh
mà h c sinh l i ph i nh các trư ng h p. Trên th c t khi p h u t t c là t n t i tích phân ch a căn.
Mà trong các kì thi tuy n sinh vào ñ i h c – cao ñ ng thì ñây là m t n i dung r t hay ñư c khai
thác. V y ta nên hình thành cho h c sinh m t “l i tư duy” hay “cách nghĩ” ñ gi i bài toán ñó. C
th là:
                   β

                   ∫x          (a + bx n ) p dx v i m,n, p là các s h u t ; a, b là các s th c ta suy nghĩ theo
                           m
   N u g p d ng
                   α
2 hư ng sau:
   - Hư ng 1: ð t t=(a+bxn) ho c t=(a+bxn)p . Cách ñ t ñư c tho mãn n u có th vi t ñư c
       x m (a + bx n ) p dx qua f(t)dt.
                                                              m +1             s
   - Hư ng 2: ( N u hư ng 1 không thành công) . Ki m tra n u       + p ∈ ¢ ; p= thì ta ñ t
                                                               n               r
             a + bx n
       tr =             .
                xn
   Ta phân tích ví d c th sau:
                                            4
                                                      dx
Thí d 1: Tính tích phân I =                 ∫                 (ðH An Ninh A1999 - 2000)
                                             7   x x2 + 9
                                       xdx = tdt
                                      
L i gi i: ð t t = x + 9 ⇒ x = t − 9 ⇒  x = 7 : t = 4
                   2       2   2

                                      x = 4 : t = 5
                                      
     4                         5             5
            xdx                       tdt        dt  1 t −3 5 1 7
I=   ∫                 =∫                   =∫ 2    = ln      = ln
                                 t (t 2 − 9) 4 t − 9 6 t + 3 4 6 4
     7   x2 x2 + 9             4
                                     2 3
                                                dx
Tương t ta tính ñư c I =              ∫    x x2 + 4
                                                       . ( ðH Kh i A 2003)
                                      5

                                             7
                                                     x3dx
Thí d 2: Tính tích phân I =                 ∫    3
                                            0        x2 + 1
                                               3
                                       xdx = t 2 dt
                                                2
                 3 2                  
L i gi i: ð t t = x + 1 ⇒ x = t − 1 ⇒  x = 0 : t = 1
                           2   3

                                      
                                      x = 7 : t = 2
                                      
      7 2          2 3
         x .xdx 3 (t − 1).t dt 3 4
                            2      2
                                                  3  t 5 t 2  2 93
I= ∫             = ∫           = ∫ (t − t ) dt =  −  =
     0    x +1 2 1
        3 2              t       21               2  5 2  1 10



                           http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
              2 x4                               1
                                                   x 3 dx
Tương t : I = ∫        dx (Cð KTKT I 2004) ; I = ∫ 2      ( D b 2002)
              0 x5 + 1                           0 x +1

                                                       1
Thí d 3: Tính tích phân I = x                          ∫            1 − x 2 dx ( D b ñ i h c Kh i A 2003 – ðH Ngo i Thương
                                                               3

                                                       0
1996)
                                       xdx = −tdt
                                      
L i gi i: ð t t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒  x = 0 : t = 1
                                          2                2             2

                                       x = 1: t = 0
                                      
        1                                     0                                  1
                                                            t3 t5  1 2
I = ∫ x . 1 − x .xdx = − ∫ (1 − t ).t.tdt = ∫ (t − t )dt =  −  =
                2               2                              2                         2        4

    0                     1                 0               3 5  0 15
              1
Tương t : I = ∫ x5 1 − x 2 dx (Cð GTVT 2005);
              0
            3
I=      ∫x                1 + x 2 dx (ðH SP Hà N i B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002)
                    3

        0
    9
I = ∫ x 3 1 − xdx (Cao ñ ng Kh i T –M ð i h c Hùng Vương 2004)
    1
                                                  2
                                                               dx
Thí d 4: Tính tích phân I =                       ∫x
                                                  −1
                                                       4
                                                               1 + x2
L i gi i:
                                                                                             dx
   -            N u ñ t t = 1 + x 2 thì vi c bi u di n                                                    qua t và dt g p khó khăn. T c là hư ng 1
                                                                                     x   4
                                                                                             1 + x2
                không làm ñư c.
                                                                                     x2 + 1 2
   -            Ta ki m tra: m=2; n=2; p=1/2 nên ñ t                                       = t ( Xem l i gi i THTT s 5/2010)
                                                                                      x2
                                                   3
                                                               dx
Thí d 5:Tính tích phân I =                        ∫        (1 + x 2 )3
                                                   3
                                                  2

                                                                                     x2 + 1 2
L i gi i: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta ñ t                                              =t
                                                                                      x2
                               −tdt
                      xdx = (t 2 − 1)2
                     
           1         
                           3
Khi ñó : 2    = x2 ⇒ x =      :t = 3
         t −1             2
                                    2 3
                     x = 3 : t =
                     
                                     3

                3                                          3                                               3         3
                                xdx                                            tdt                            dt   1       1
và I =          ∫          (1 + x 2 ) 1 + x 2
                                                  =    ∫                          1
                                                                                                      =    ∫ t2 t=− 2 3 =
                                                                                                                          2 3
                 3       4
                        x.           .                 2 3     (t 2 − 1) 2 .            .t 2 .t           2 3
                2
                              x2        x               3                      (t − 1)2
                                                                                 2
                                                                                                           3         3


                                      http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
        Như v y qua thí d 1,2,3 ta ñã hình thành ñư c m t “l i tư duy” cho h c sinh khi g p bài
toán tích phân có ch a căn th c. Phát huy ñi u ñó ta có th gi i ñư c m t s bài toán khác sau:
                             π/2
                                 sin 2x + sin x
Thí d 6:Tính tích phân I = ∫                    dx ( ð thi ðH kh i A – 2005)
                              0    1 + 3cos x
                                                                    2tdt
                                                       − sin xdx = 3
                                             t2 −1 
L i gi i: ð t t = 1 + 3cos x ⇒ cos x =              ⇒ x = 0 : t = 2
                                               3            π
                                                       x = : t = 1
                                                            2
                                        t −1
                                         2
    π/ 2                         2 t(2.       + 1)
         sinx(2co s x + 1)                                               2  2t 3     2 34
                                                          2
                               2           3            2
I= ∫                       dx = ∫                  dt = ∫ (2t 2 + 1)dt = .       + t =
     0       1 + 3cos x        31          t            91               9  3        1 27
             β                              β
              a.sin 2 x + b sin x               a.sin 2 x + bcosx
T ng quát : ∫                     dx ho c   ∫                     dx ta ñ t   c + d cos x =t .
            α     c + d cos x               α       c + d s inx
                                2
                                  xdx
Thí d 7: Tính tích phân I = ∫            ( ðH Kh i A 2004)
                             1 1+   x −1
                                       dx = 2tdt
                                       
L i gi i: ð t t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ⇒  x = 1: t = 0
                               2

                                       x = 2 : t = 1
                                       
      1
        t (t 2 + 1)
                           1
                                              2         t3 t2                1 11
I = 2∫              dt = 2 ∫  t 2 − t + 2 −     dt = 2  − + 2t − 2 ln t + 1  = − 4 ln 2
      0
           1+ t            0
                                             t +1       3 2                  0 3
              b
                    p ( x)
T ng quát:    ∫
              a   ax + b + c
                             dx v i p(x) là m t ña th c ch a x ta ñ t t = ax + b + c ho c t = ax + b

                                    1 + 3ln x ln x
                                e
Thí d 8: Tính tích phân I = ∫                      dx. (ð i h c KB 2004)
                                1        x
                                                  dx 2tdt
                                                 x = 3
                                        t −1 
                                         2
L i gi i: ð t t = 1 + 3ln x ⇒ ln x =          ⇒  x = 1: t = 1
                                           3     x = e : t = 2
                                                 
                                                 
         t − 1 2t                      2  t t  2 116
    2     2           2                     5  3
                    2
I = ∫ t.      . dt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  =
    1
            3 3     91                 9  5 3  1 135




                        http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
               K t thúc bài vi t m i các b n làm các bài t p sau:


       1                                         16                                          1                          1
                                                                  dx
                                                                                                                                   (        ) dx
                                                                                                                                                5
I1 = ∫ x3 (1 − x 2 )20 dx                 I2 = ∫                                     I 3 = ∫ x 2 2 + x 3 dx        I4 = ∫ 2 x 1+ 4 x
       0                                         1    x 1+ 4 x(        )                     0                          0

       2 3                                        7                                          2                             2
                      dx                                      x3 dx                                    dx
I5 =       ∫       x x2 + 4
                                          I6 =   ∫
                                                 0
                                                          3
                                                              1 + x2
                                                                                     I7 = ∫
                                                                                             1       x 1 + x3
                                                                                                                   I 8 = ∫ x 2 4 − 3 x 2 dx
                                                                                                                           1
           5

                                                                                                                                   1 + x 2 dx
       2                                              2                                          3                             3

                   (1 − x2 ) dx
                               3
I9 = ∫
       1
                                           I10 = ∫ x 2 1 − x 2 dx
                                                      1
                                                                                     I11 =       ∫     x 2 − 1dx   I12 =       ∫
                                                                                                                               1
                                                                                                                                      x2
                                                                                                 2
                                                                            π
           3
                   x5 + 2 x3                                                 3     tan x
I13 = ∫                      dx    (CðSP KA 04)                        I14 = ∫                  dx (CðSP B c Ninh 2004)
           0         x2 +1                                                  π cos x 1 + cos 2 x
                                                                             4
               3           2
           e         ln x                                                        e
                                                                                         dx
I15 = ∫                       dx                                       I16 = ∫                    (Cð SP Vĩnh Phúc 2005)
           1       x ln x + 1                                                1       x 1 − ln 2 x




                                   http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình

								
To top