Get documents about "Trao-Doi-Ve-Cach-tinh-1-Lop-TPhan-Dacbiet
Document Sample
TRAO ð I V CÁCH TÍNH ð I V I M T L P TÍCH PHÂN ð C BI T
Nguy n H u Thanh – THPT Thu n Thành s I – B c Ninh
Trên THTT s 5/2010 tác gi Tr n Xuân ðư ng ñã trao ñ i v cách tính ñ i v i m t l p tích
β
∫x (a + bx n ) p dx . Trong ñó tác gi có chia làm 3 trư ng h p ñ tính b ng
m
phân ñ c bi t d ng
α
phương pháp ñ t n ph . Tuy nhiên như v y theo tôi chưa rèn ñư c tư duy và k năng cho h c sinh
mà h c sinh l i ph i nh các trư ng h p. Trên th c t khi p h u t t c là t n t i tích phân ch a căn.
Mà trong các kì thi tuy n sinh vào ñ i h c – cao ñ ng thì ñây là m t n i dung r t hay ñư c khai
thác. V y ta nên hình thành cho h c sinh m t “l i tư duy” hay “cách nghĩ” ñ gi i bài toán ñó. C
th là:
β
∫x (a + bx n ) p dx v i m,n, p là các s h u t ; a, b là các s th c ta suy nghĩ theo
m
N u g p d ng
α
2 hư ng sau:
- Hư ng 1: ð t t=(a+bxn) ho c t=(a+bxn)p . Cách ñ t ñư c tho mãn n u có th vi t ñư c
x m (a + bx n ) p dx qua f(t)dt.
m +1 s
- Hư ng 2: ( N u hư ng 1 không thành công) . Ki m tra n u + p ∈ ¢ ; p= thì ta ñ t
n r
a + bx n
tr = .
xn
Ta phân tích ví d c th sau:
4
dx
Thí d 1: Tính tích phân I = ∫ (ðH An Ninh A1999 - 2000)
7 x x2 + 9
xdx = tdt
L i gi i: ð t t = x + 9 ⇒ x = t − 9 ⇒ x = 7 : t = 4
2 2 2
x = 4 : t = 5
4 5 5
xdx tdt dt 1 t −3 5 1 7
I= ∫ =∫ =∫ 2 = ln = ln
t (t 2 − 9) 4 t − 9 6 t + 3 4 6 4
7 x2 x2 + 9 4
2 3
dx
Tương t ta tính ñư c I = ∫ x x2 + 4
. ( ðH Kh i A 2003)
5
7
x3dx
Thí d 2: Tính tích phân I = ∫ 3
0 x2 + 1
3
xdx = t 2 dt
2
3 2
L i gi i: ð t t = x + 1 ⇒ x = t − 1 ⇒ x = 0 : t = 1
2 3
x = 7 : t = 2
7 2 2 3
x .xdx 3 (t − 1).t dt 3 4
2 2
3 t 5 t 2 2 93
I= ∫ = ∫ = ∫ (t − t ) dt = − =
0 x +1 2 1
3 2 t 21 2 5 2 1 10
http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
2 x4 1
x 3 dx
Tương t : I = ∫ dx (Cð KTKT I 2004) ; I = ∫ 2 ( D b 2002)
0 x5 + 1 0 x +1
1
Thí d 3: Tính tích phân I = x ∫ 1 − x 2 dx ( D b ñ i h c Kh i A 2003 – ðH Ngo i Thương
3
0
1996)
xdx = −tdt
L i gi i: ð t t = 1 − x ⇒ x = 1 − t ⇒ x = 0 : t = 1
2 2 2
x = 1: t = 0
1 0 1
t3 t5 1 2
I = ∫ x . 1 − x .xdx = − ∫ (1 − t ).t.tdt = ∫ (t − t )dt = − =
2 2 2 2 4
0 1 0 3 5 0 15
1
Tương t : I = ∫ x5 1 − x 2 dx (Cð GTVT 2005);
0
3
I= ∫x 1 + x 2 dx (ðH SP Hà N i B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002)
3
0
9
I = ∫ x 3 1 − xdx (Cao ñ ng Kh i T –M ð i h c Hùng Vương 2004)
1
2
dx
Thí d 4: Tính tích phân I = ∫x
−1
4
1 + x2
L i gi i:
dx
- N u ñ t t = 1 + x 2 thì vi c bi u di n qua t và dt g p khó khăn. T c là hư ng 1
x 4
1 + x2
không làm ñư c.
x2 + 1 2
- Ta ki m tra: m=2; n=2; p=1/2 nên ñ t = t ( Xem l i gi i THTT s 5/2010)
x2
3
dx
Thí d 5:Tính tích phân I = ∫ (1 + x 2 )3
3
2
x2 + 1 2
L i gi i: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta ñ t =t
x2
−tdt
xdx = (t 2 − 1)2
1
3
Khi ñó : 2 = x2 ⇒ x = :t = 3
t −1 2
2 3
x = 3 : t =
3
3 3 3 3
xdx tdt dt 1 1
và I = ∫ (1 + x 2 ) 1 + x 2
= ∫ 1
= ∫ t2 t=− 2 3 =
2 3
3 4
x. . 2 3 (t 2 − 1) 2 . .t 2 .t 2 3
2
x2 x 3 (t − 1)2
2
3 3
http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
Như v y qua thí d 1,2,3 ta ñã hình thành ñư c m t “l i tư duy” cho h c sinh khi g p bài
toán tích phân có ch a căn th c. Phát huy ñi u ñó ta có th gi i ñư c m t s bài toán khác sau:
π/2
sin 2x + sin x
Thí d 6:Tính tích phân I = ∫ dx ( ð thi ðH kh i A – 2005)
0 1 + 3cos x
2tdt
− sin xdx = 3
t2 −1
L i gi i: ð t t = 1 + 3cos x ⇒ cos x = ⇒ x = 0 : t = 2
3 π
x = : t = 1
2
t −1
2
π/ 2 2 t(2. + 1)
sinx(2co s x + 1) 2 2t 3 2 34
2
2 3 2
I= ∫ dx = ∫ dt = ∫ (2t 2 + 1)dt = . + t =
0 1 + 3cos x 31 t 91 9 3 1 27
β β
a.sin 2 x + b sin x a.sin 2 x + bcosx
T ng quát : ∫ dx ho c ∫ dx ta ñ t c + d cos x =t .
α c + d cos x α c + d s inx
2
xdx
Thí d 7: Tính tích phân I = ∫ ( ðH Kh i A 2004)
1 1+ x −1
dx = 2tdt
L i gi i: ð t t = x − 1 ⇒ x = t + 1 ⇒ x = 1: t = 0
2
x = 2 : t = 1
1
t (t 2 + 1)
1
2 t3 t2 1 11
I = 2∫ dt = 2 ∫ t 2 − t + 2 − dt = 2 − + 2t − 2 ln t + 1 = − 4 ln 2
0
1+ t 0
t +1 3 2 0 3
b
p ( x)
T ng quát: ∫
a ax + b + c
dx v i p(x) là m t ña th c ch a x ta ñ t t = ax + b + c ho c t = ax + b
1 + 3ln x ln x
e
Thí d 8: Tính tích phân I = ∫ dx. (ð i h c KB 2004)
1 x
dx 2tdt
x = 3
t −1
2
L i gi i: ð t t = 1 + 3ln x ⇒ ln x = ⇒ x = 1: t = 1
3 x = e : t = 2
t − 1 2t 2 t t 2 116
2 2 2 5 3
2
I = ∫ t. . dt = ∫ (t 4 − t 2 )dt = − =
1
3 3 91 9 5 3 1 135
http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
K t thúc bài vi t m i các b n làm các bài t p sau:
1 16 1 1
dx
( ) dx
5
I1 = ∫ x3 (1 − x 2 )20 dx I2 = ∫ I 3 = ∫ x 2 2 + x 3 dx I4 = ∫ 2 x 1+ 4 x
0 1 x 1+ 4 x( ) 0 0
2 3 7 2 2
dx x3 dx dx
I5 = ∫ x x2 + 4
I6 = ∫
0
3
1 + x2
I7 = ∫
1 x 1 + x3
I 8 = ∫ x 2 4 − 3 x 2 dx
1
5
1 + x 2 dx
2 2 3 3
(1 − x2 ) dx
3
I9 = ∫
1
I10 = ∫ x 2 1 − x 2 dx
1
I11 = ∫ x 2 − 1dx I12 = ∫
1
x2
2
π
3
x5 + 2 x3 3 tan x
I13 = ∫ dx (CðSP KA 04) I14 = ∫ dx (CðSP B c Ninh 2004)
0 x2 +1 π cos x 1 + cos 2 x
4
3 2
e ln x e
dx
I15 = ∫ dx I16 = ∫ (Cð SP Vĩnh Phúc 2005)
1 x ln x + 1 1 x 1 − ln 2 x
http://ebook.here.vn – Thư vi n ð thi tr c nghi m, Bài gi ng, Giáo trình
Related docs
