1 by lovecomputer

VIEWS: 27 PAGES: 5

									        Bộ Giáo Dục và Đào tạo                                     ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
            ĐỀ THAM KHẢO                                                        Môn thi : TOÁN - khối A.
      Email: phukhanh@moet.edu.vn                                            Ngày thi : 28.02.2010 (Chủ Nhật )
                                                                     ĐỀ 01
 I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm )
                                        x +3
 Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y =
                                        x −1
                                             , có đồ thị là C        ( ).
                                             ( )
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số .

                      (        ) ( )                         ( )
 2. Cho điểm M 0 x 0 ; y 0 ∈ C . Tiếp tuyến của C tại M 0 cắt các đường tiệm cận của C                     ( ) tại các điểm A, B . Chứng minh
 M 0 là trung điểm của đoạn AB .
 Câu II: ( 2 điểm )
                                                        6x − 4                                       sin 3 x .sin 3x + cos3 x cos 3x    1
1. Giải phương trình :        2x + 4 − 2 2 − x =                         2. Giải phương trình :                                      =−
                                                        x2 + 4                                                    π          π      8
                                                                                                      ta n  x −  ta n  x + 
                                                                                                                  6          3
                                               3 −1
                                                          dx
 Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân I =            ∫
                                                   0   x + 2x + 2
                                                        2


 Câu IV: ( 1 điểm ) Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O ,OB = a,                               OC =     3,   (a > 0 ) . và đường
 cao OA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,OM .
                                                                         1               1       1        1
 Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn                            +       +       =         . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
                                                                             x           y       z       xyz
            2 x   2 y z −1
 thức P =       +    +
            1+x 1+y z +1
 II. PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
 1. Theo chương trình Chuẩn :
 Câu VI.a ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

                    (         ) (        ) (                ) (          )
 1. Cho 4 điểm A 1; 0; 0 , B 0; −1; 0 ,C 0; 0;2 , D 2; −1;1 . Tìm vectơ A ' B ' là hình chiếu của vectơ AB lên CD .
                         x y −2 z
 2. Cho đường thẳng : d :
                         1
                            = ()
                               2
                                                                    ( )
                                 = và mặt phẳng P : x − y + z − 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng
                                  2
 ()            (          )            ( )
  t đi qua A 3; −1;1 nằm trong P và hợp với d một góc 450 .  ()
 Câu VII.a( 1 điểm ) Một giỏ đựng 20 quả cầu. Trong đó có 15 quả màu xanh và 5 quả màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu
 trong giỏ.Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu ?
 2. Theo chương trình Nâng cao :
 Câu VI.b ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
                                                                     x −1 y +2 z − 3
 1. Cho 3 điểm A ( 0;1; 0 ) , B ( 2;2; 2 ) và đường thẳng (d ) :         =    =      . Tìm điểm M ∈ d để diện tích()
                                                                       2   −1    2
 tam giác ABM nhỏ nhất.
                             x +1 y −1 z −2              x −2 y +2
 2. Cho hai đường thẳng (d ) :
                               −2
                                  =
                                      3
                                         =
                                            2
                                                và d ' :
                                                           1
                                                             =
                                                                2
                                                                   ( )
                                                                   =
                                                                     z
                                                                     −2
                                                                        . Chứng minh d vuông góc với d ' , viết   ()                  ( )
                                               ( )
 phương trình đường vuông góc chung của d và d ' .           ( )
                                                                                 8
                                            3 x −1    − log ( 3x − 1 +1 ) 
                                                        1
 Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển  2 log2 9 + 7 + 2 5 2                 . Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai
                                                                          
                                                                          
 triển này là 224 .
 ............…………………………….Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ………………………………………...............
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
                                      x +3
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số : y =
                                      x −1
                                           , có đồ thị là C . ( )
                                        ( )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số .                                      4
                                                                                               y


                     (     ) ( )
2. Cho điểm M 0 x 0 ; y 0 ∈ C . Tiếp tuyến của C tại      ( )
                                      ( )
                                                                                           2
M 0 cắt các đường tiệm cận của C            tại các điểm A, B .               A
                                                                                                               x
Chứng minh M 0 là trung điểm của đoạn AB .
                                                                         -4       -2                   2   4
                                                                                       M

                                                                                       -2

                                                                                                   B

                                                                                       -4




Câu II: ( 2 điểm )
                                                 6x − 4
1. Giải phương trình :    2x + 4 − 2 2 − x =
                                                 x2 + 4
Điều kiện : −2 ≤ x ≤ 2
                         6x − 4             6x − 4              6x − 4
  2x + 4 − 2 2 − x =              ⇔                       =
                         x2 + 4    2x + 4 + 2 2 − x        x2 + 4
                      1                1     
     (
⇔ 2 3x − 2  )
             2x + 4 + 2 2 − x
                                 −            =0
                                              
                                    x2 + 4 
      2                                   2
  x =                                x =
⇔     3                          ⇔        3
   2x + 4 + 2 2 − x = x + 4          4 2(2 + x )(2 − x ) + (2 − x )(x + 4) = 0
                             2
                                     
      2                                             2
⇔x =                                       ⇔  x =
       3                                              3
                                                
   2 − x (4 2(2 + x ) + (x + 4) 2 − x ) = 0    x =2
                                               
                         sin 3 x .sin 3x + cos3 x cos 3x    1
2. Giải phương trình :                                   =−
                                      π          π      8
                          ta n  x −  ta n  x + 
                                      6          3
                       π         π         π        π
Điều kiện : sin  x −  sin  x +  cos  x −  cos  x +  ≠ 0
                       6          3        6        3
                    π           π            π  π       
Ta có : t a n  x −  t a n  x +  = t a n  x −  cot  − x  = −1
                    6           3            6    6     
                   sin x .sin 3x + cos x cos 3x
                      3               3
                                                    1                                   1
Phương trình :                                  = − ⇔ sin 3 x .sin 3x + cos3 x cos 3x =
                              π         π       8                                   8
                    ta n  x −  ta n  x + 
                               6         3
  1 − cos 2x cos 2x − cos 4x 1 + cos 2x cos 2x + cos 4x 1
⇔            ⋅                +          ⋅             =
       2             2            2            2         8
                              1            1           1
⇔ 2(cos 2x + cos 2x cos 4x ) = ⇔ cos3 2x = ⇔ cos 2x =
                              2            8           2
     π
 x = + kπ (không thoa)                                             π
⇔    6                 . Vậy phương trình cho có họ nghiệm là x = − + k π
        π
 x = − + kπ                                                        6
 
       6
                                                       3 −1
                                                                   dx
Câu III: ( 1 điểm ) Tính tích phân I =                 ∫
                                                       0      x 2 + 2x + 2
          3 −1                   3 −1
                    dx                       dx
I =       ∫
          0      x + 2x + 2
                  2
                            =    ∫
                                 0      1 + (x + 1)2
                          π π
Đặt x + 1 = t a n t, t ∈  − ;  ⇒ dx = (t a n x + 1)dt
                                              2

                          2 2
                                π                              π
Đổi cận : x = 0 ⇒ t =                , x =    3 −1⇒t =             .
                                4                              3
      π                     π

      t a n2 t + 1
      3                 3
                              π π  π
I = ∫              dt = ∫ dt = − =   .
    π 1 + ta n t
                2
                        π     3 4 12
      4                     4

Câu IV: ( 1 điểm )              Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB = a,OC =                                           3,    (a > 0 ) . và
đường cao OA = a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB,OM .
                                Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),
                                                                                              a a 3                 
                                                  A(0; 0; a 3), B (a; 0; 0), C (0; a 3; 0), M  ;
                                                                                              2
                                                                                                     ;              0 ,
                                                                                                                     
                                                                                                 2                  
                                                                                                 a 3 a 3
                                                  gọi N là trung điểm của AC ⇒ N  0;
                                                                                                    ;   .
                                                                                                         
                                                                                                  2   2 
                                                  MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN
                                                          ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
                                                          d(B;(OMN)).
                                                       a a 3                       a 3 a 3
                                                  OM =  ;
                                                       2     ;          0  , ON =  0;
                                                                                         ;   
                                                                                               
                                                          2                           2   2 
                                                                   3a2 a2 3 a 2 3  a 2 3                                  a2 3
                                                  [OM ; ON ] = 
                                                                   4
                                                                       ;
                                                                          4
                                                                            ;
                                                                                4 
                                                                                   =
                                                                                       4
                                                                                                      (    3; 1; 1 =)         4
                                                                                                                                 n , với
                                                                  
                                                  n = ( 3; 1; 1) .
                                                  Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến
                                                  n : 3x + y + z = 0
                                                                                                3.a + 0 + 0         a 3          a 15
                                                  Ta    có:              d ( B; (OMN )) =                       =            =        .    Vậy,
                                                                                                 3 +1+1                 5          5
                                                                       a 15
                                                  d ( AB; OM ) =            .
                                                                         5
                                                                                1           1         1                 1
Câu V: ( 1 điểm ) Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn                             +           +          =                    . Tìm giá trị lớn nhất của
                                                                                 x          y          z                xyz
                      2 x   2 y z −1
biểu thức P =             +    +
                      1+x 1+y z +1
              1               1                     1                  1
Ta có :                   +                +                =                          ⇔                x. y +                    y. z +             z . x = 1 . Điều này gợi ý ta đưa đến hướng
                  x           y                       z                xyz
                                A            B            C
giải lượng giác . Đặt             , y = tan , z = tan
                                               x = tan
                                2             2            2
                                              A     B         B    C     C     A
Nếu A, B,C ∈ (0; π ), A + B + C = π thì t a n t a n + t a n t a n + t a n t a n = 1.
                                              2     2          2    2    2     2
                                          C      A−B            C
Khi đó P = sin A + sin B − cosC = 2 cos cos            − 2 cos2 + 1
                                           2      2              2
            C 1         A−B 2        1       A−B 3
P = −2(cos − cos              ) + 1 + cos2        ≤
             2 2          2          2         2     2
                           2π                     π     2− 3
               3      C =
                                     x = y = tan2     =
Vậy max P = khi             3     ⇔               12 2 + 3
               2      A = B = π      z = 3
                      
                               6     
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1. Theo chương trình nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A ( 0;1; 0 ) , B ( 2;2; 2 ) ,C ( −2; 3;1) và đường thẳng

     x = 1 + 2t
     
( )                                                             ( )
 d : y = −2 − t . Tìm điểm M ∈ d để diện tích tam giác ABN nhỏ nhất.
     z = 3 + 2t
     
M ∈ (d ) ⇒ M (1 + 2t; − 2 − t ; 3 + 2t ).

AB = (2; 1; 2), AC = (−2; 2;1) ⇒ [AB; AC ] = (−3; − 6; 6) = −3(1; 2; − 2) = −3.n, n = (1; 2; − 2)
Mặt phẳng (ABC ) qua A ( 0;1; 0 ) và có vecto pháp tuyến n = (1; 2; − 2) nên có phương trình x + 2y − 2z − 2 = 0

          1             1                     9                      1 + 2t + 2(−2 − t ) − 2(3 + 2t ) − 2   −4t − 11
S ABC =     [AB; AC ] =   (−3)2 + (−6)2 + 62 = , MH = d (M (ABC )) =                                      =
          2             2                     2                                  1+ 4 + 4                      3

                    1 9 4t + 11                                5       17
VMABC = 3 ⇔ V =      . .         = 3 ⇔ 4t + 11 = 6 ⇔ t = − hay t = − .
                    3 2    3                                   4        4
         3     3 1           15 9 11 
Vậy M  − ; − ;  hay M  − ; ;             là tọa độ cần tìm.
         2     4 2           2 4 2
                               x +1 y −1 z −2                x −2 y +2
2. Cho hai đường thẳngờ d :
                                −2
                                    =
                                       3
                                          =
                                               2
                                                      ( )
                                                    và d ' :
                                                               1
                                                                 =
                                                                    2
                                                                       =
                                                                          z
                                                                         −2
                                                                            . Chứng minh d vuông góc với d ' ,       ( )                                                                    ( )         ( )
viết phương trình đường vuông góc chung của d và d ' .                                                  ( )          ( )
                                                                                                                                       8
                                                                                      3
                                                                                           9x − 1 + 7
                                                                                                               1
                                                                                                                      (
                                                                                                              − log 2 3x − 1 +1   )  . Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho khai triển  2 log                                        2
                                                                                                        +2     5
                                                                                                                                    
                                                                                                                                  
                                                                                                                                  
trong khai triển này là 224 .
                              k =8                                                                                                     1                  1
                                                                                                                                                                (      )                            1

                                                                                                                 (                 )                                        (               )
                                                                                                                                                         − log2 3x −1 +1
          (               ) = ∑C a
                          8                                                                                                                                                                     −
                                                                                       log2 9x −1 + 7
                                                                                              3
                                                     8 −k k                                                          x −1                                                       x −1
Ta có : a + b                                  k
                                               8
                                                          b với a = 2                                     = 9               +7         3
                                                                                                                                                ; b =2    5
                                                                                                                                                                           = 3         +1           5

                                  k =0
+ Theo thứ tự trong khai triển trên , số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của khai triển là
                                               3                               5
                                      1
                                                                         1
                                                                               
                      (            )                 (             )                           (                 )(                    )
                                                                       −                                                                   −1
  T6 = C  9x −1 + 7
              5                        3
                                                  .  3x −1 + 1           5           x −1    x −1
                                                                                = 56 9 + 7 . 3 + 1
             8                                                              
                                                                            
                                                                    9x −1 + 7
                             (           )(         )
                                                        −1
+ Theo giả thiết ta có : 56 9x −1 + 7 . 3x −1 + 1            = 224 ⇔            = 4 ⇔ 9x −1 + 7 = 4(3x −1 + 1)
                                                                    3x −1 + 1
                                                              3x −1 = 1        x = 1
                             ( )
                                    2
                          ⇔ 3x −1       − 4(3x −1 ) + 3 = 0 ⇔  x −1       ⇔    
                                                              3 = 3
                                                                               x = 2
                                                                                

								
To top