Sistema contínuo by jwc11471

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									SISTEMAS DISCRETOS DE PRIMER ORDEN


                        x(t)                                    y(t)
                                     Sistema contínuo
         x(t)


                                                                                 t


         y(t)


                                                                                 t

                        Régimen                    Régimen estacionario:
                       transitorio         salida acotada en un pequeño margen
                         (t→ 0)                           (t→ ∞)

                      Régimen transitorio – régimen estacionario




         x(t)                                           x(t)


                                       t                                             t

         y(t)                                           y(t)


                                       t                                             t

                     Estable                                       Estable


         x(t)                                           x(t)


                                       t                                             t

         y(t)                                           y(t)


                                       t                                             t


                Críticamente estable                              Inestable

                       Grados de estabilidad: estabilidad relativa


                                                                                         1
SISTEMAS DISCRETOS DE PRIMER ORDEN



         x(t)

                                                                        t


         y(t)
                       Sobreoscilación
                                              Respuesta B
                                                                        1,05K
          K
                                                                        0,95K
                                                             Error de
                                Respuesta A                  posición

                                                                        t

                       Tiempo de establecimiento         Régimen
                          Régimen transitorio          estacionario


                                   B es más estable que A


                  Especificaciones de funcionamiento para la salida




                       Im(s)                                            Im(z)




                                                                   1
                                Re(s)                                   |z|           Re(z)


                               Zona donde deben estar los
                                   polos de la función
                               transferencia de un sistema
                                  para que sea estable
      s = α ± β·j ∈C                                                          z = a ± b·j ∈C




           Estabilidad en el plano z (transformada Z para sistemas discretos)
     en relación con el plano s (transformada de Laplace para sistemas continuos)




                                                                                               2
SISTEMAS DISCRETOS DE PRIMER ORDEN




    x(k)                                   y(k)            X(z)                      b· z                Y(z)
                yk = a·yk-1 + b·xk                                         G( z) =
                                                                                     z−a

                                     Sistema de primer orden




                                                  g(k)
                                                                                                         a2
                  Im(z)
                                                      b
                                                                                                         a1
                   a1         a2   Re(z)                   0   1   2   3   4   5     6   7      8        k
                          1
                                                  y(k)
                                                                                                         a1
                                                  b
                                              1 − a

                                                  b
                                                           0   1   2   3   4   5     6   7      8        k

                          Polos y respuestas del sistema cuando a>0



                                                  g(k)

                  Im(z)                               b                                             a3        k

                                                      -b
    a4     a3                      Re(z)                                                                 a4
                          1                                0   1   2   3   4   5     6      7   8

                                                 g(k)
                                                                                                         a3
                                                    b
                                              b/(1-a)
                                                                                                              k
                                                           0   1   2   3   4   5     6   7      8


                          Polos y respuestas del sistema cuando a<0



                                                                                                                  3
SISTEMAS CONTINUOS DE SEGUNDO ORDEN


                                                               K ·ωn
                                                                   2
                                                                                                K ·ωn
                                                                                                    2
                                          G( s) =                               =
                                                        s 2 + 2·ζ ·ωn ·s + ωn
                                                                            2
                                                                                    ( s + σ − ωd j )( s + σ + ωd j )
  x(t)                       y(t)
                 G(s)                       s 2 + 2·ζ ·ωn ·s + ωn = 0 → s1,2 = −ζ ·ωn ± ωn · 1 − ζ 2 j
                                                                2
  X(s)                       Y(s)
                                                              σ = ζ ·ωn     ⎫
                                                                            ⎪
                                                                            ⎬ → s1,2 = −σ ± ωd j
                                                          ω d = ωn · 1 − ζ ⎪
                                                                          2
                                                                            ⎭

                               Sistema continúo de segundo orden



                                                            Im(s)

                                                             ωd j
                                     s1            ωn
                                               α
                                                                                Re(s)
                                          -σ
                                                                                cos α =ζ
                                                             -ωd j
                                     s2


          Polos complejos conjugados de un sistema continúo de segundo orden



   y(t)
                                                                                                          π −α
    yp                   Mp                                                                     tr =
                                                                                                            ωd
                                                                              1,05K
     K                                                                                                       π
                                                                              0,95K               tp =
  0,9K                                                                                                        ωd
                                                                                                              π
                                                                                                   ts ≈
                                                                                                                σ
                                                                                                   yp − K
                                                                                           Mp =                     ·100 =
  0,1K                                                                    t                               K
                                                                                                         σ ·π
                                                                                                     −
           tr                                                                                            ωd
                                                                                                =e              ·100
                tp
                        ts

          Respuesta temporal a un escalón del sistema continúo de segundo orden




                                                                                                                             4
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN



                                                                       yk + a· yk −1 + b· yk − 2 = c· xk
          x(k)                                    y(k)
                              G(s)                                                        c· z 2
          X(z)                                    Y(z)                      G( z) =
                                                                                      z 2 + a·z + b
                                         Sistema discreto de segundo orden


           Im(z)
                                                                              Polo de G(z) en notación polar:
                                p1
          Im(p1)                                                                 p1 = e −σ⎫         −σ θ j
                                         /p1-1/                                           ⎬ → p1 = e ·e
                                                                                             θj
                       /p1/                                                   ∠p1 = θ = e ⎭
                               θ                      γ
                              Re(p1)              1            Re(z)

                                        p2



          Polos complejos conjugados de un sistema discreto de segundo orden

            ⎧           A                    A
            ⎪                       +                  e− k ·σ sen(k ·θ − γ ) k ≥ 1
   y (k ) = ⎨1 − 2e −σ cos θ + e−2σ   p1 − 1 e−σ sen θ
            ⎪
            ⎩                             0                                   k≤0



                 y(k)

                                                          Mp
                                                                                                       1,05K
                  ys
                                                                                                       0,95K




                                                                                                   k
                                   kr        kp                        ks




  Respuesta temporal a una secuencia escalón del sistema discreto de segundo orden




                                                                                                                5
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN



                             Im(s)                                    Im(z)
                                                                                       p1
                             ωd j                                     Im(p1)
          s1            ωn                                                      /p1/
                    α
  cos α =ζ                             Re(s)                                           θ                 Re(z)
               -σ                                                                  Re(p1)
                                                  Z = eT·s
          s2                 -ωd j                                                           p2

                                                         z1,2 = eT ·s = e (
                                                                         T −σ ±ωd j )
                                                                                      = e −Tσ e±T ·ωd j
 s1,2 = −ζ ·ωn ± ωn · 1 − ζ 2 j = −σ ± ωd j
                                                              z1 = e −Tσ = Re( z1 ) + Im( z1 )
                                                                                       2             2


                                                                                              Im( z1 )
                                                              ∠z1 = θ = T ·ωd = arctg
                                                                                              Re( z1 )


   Relación entre los polos de un sistema continúo de segundo orden y uno discreto



                              Im(s)                                     Im(z)



                                                Estabilidad
                                      Re(s)                                        1                     Re(z)




                              Im(s)                                     Im(z)

                               ωd1
                                               Valores de ωd                   ωd1·T
                               ωd2              constantes
                                      Re(s)                                                ωd2·T         Re(z)

                               ωd3                                                         ωd3·T




    Correspondencia entre un sistema continúo de segundo orden y uno discreto (I)



                                                                                                                 6
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN




                              Im(s)                                  Im(z)

                                                 Valores de σ    e σ2·T
                                                  constantes                      1
                                         Re(s)                                                 Re(z)
                  σ1             σ2
                                                                                      e σ1·T




                                 Im(s)                               Im(z)
                  ζ1

       ζ2          α1                            Valores de ζ
            α2                                    constantes          ζ1
                                         Re(s)                               ζ2                Re(z)
                                                                                         1
      cos αi =ζ i
       ζ2 > ζ1




                        Im(s)                                        Im(z)

            ωn1                                  Valores de ωn                        ωn2
                                                                    ωn1
                        ωn2                       constantes
                                         Re(s)                                                 Re(z)




    Correspondencia entre un sistema continúo de segundo orden y uno discreto (II)




                                                                                                       7
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN




   Correspondencia entre un sistema continúo de segundo orden y uno discreto (III)




                                                                                     8
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN




     r(k)         e(k)                   u(k)                      u(t)                         y(t)
     R(z)         E(z)
                             Gc(z)       U(z)
                                                      H(s)         U(s)
                                                                                       G(s)     Y(s)

                           Controlador             Bloqueador                          Planta
                                                      (D/A)
                  y(k)
                  Y(z)                                                       T

                                                                             A/D                   Ge(z)


                                                       Ge ( z ) = Ζ      {L      −1
                                                                                      {H (s)·G(s)}}

                            Sistema de control digital directo




                    r(k)             e(k)                                             y(k)
                    R(z)             E(z)
                                                 G(z)=Gc(z)·Ge(z)                     Y(z)

                                                 F.T. de bucle abierto




      Sistema de control digital directo simplificado (con realimentación unitaria)


                                                      1
                                      E( z) =                   R( z )
                                                 1 + G( z)

                                                     z →1
                                                            (
                             e∞ = lim e(k ) = lim 1 − z −1 E ( z )
                                     k →∞
                                                                         )
                                             (
                              e∞ = lim 1 − z −1
                                      z →1
                                                       ) 1 + G ( z ) R( z )
                                                             1


                     ⎧                                         1         z
                     ⎪Secuencia escalón Z ⎡{1,1,1,1,...}⎤ =
                                          ⎣             ⎦           =
                     ⎪                                       1-z −1 z − 1
            R( z ) = ⎨
                                                                      T ·z
                     ⎪ Secuencia rampa Z ⎡{0, T , 2T ,3T ,...}⎤ =
                                          ⎣                   ⎦
                     ⎪
                     ⎩                                             ( z − 1)2
        Cálculo del error en régimen estacionario con el teorema del valor final




                                                                                                           9
SISTEMAS DISCRETOS DE SEGUNDO ORDEN




                                                      y(k)
                    1
 e∞ = e p =
               1+ Kp
                                                                                        ep
 K p = lim G( z )
        z →1
                                                             r(k)


                                                                                   kT


          Error cuando la entrada es la secuencia escalón o “error de posición”
                                en un sistema de tipo 10




               T                                                         ev
 e∞ = ev =
               Kv
                                               r(k)
 Kv = lim ( z − 1) G( z )
           z →1
                                                             y(k)


                                                                              kT


           Error cuando la entrada es la secuencia rampa o “error de velocidad”
                                 en un sistema de tipo 1




                                  Tipo           ep                 ev
                                                 1
                                    0                               ∞
                                               1+ Kp
                                                                    T
                                    1             0
                                                                    Kv
                                    2             0                 0
                                    3             0                 0
                                    …             0                 0

                        Tabla resumen de los errores para cada tipo de sistema



                                                                                             10

								
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