Università degli Studi di Foggia - Facoltà di Economia Programma di by vwm20081

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									                Università degli Studi di Foggia - Facoltà di Economia
                                    Programma di
                  Matematica generale (Classe 17 M-Z e Classe 28)
                             A.A. 2007-2008 (I Semestre)
                                      Luca Grilli


I MODULO (2 CFU)
0. Prerequisiti minimi.
  Calcolo letterale. Espressioni letterali e semplificazioni.
1. Insiemi, funzioni, insiemi numerici, elementi di geometria analitica.
   Elementi di Teoria degli Insiemi. Definizioni principali. Inclusione tra insiemi: proprietà.
   L’insieme delle parti. Unione e intersezione tra insiemi: proprietà. Il complementare di un
   insieme. Differenza tra due insiemi. Partizione di un insieme. Prodotto cartesiano.
   Insiemi numerici: N, Z, Q, R. Rappresentazione geometrica di R.
   Funzioni, dominio e codominio. Funzioni iniettiva, suriettiva e biettiva. Funzione inversa.
   Funzione composta. Funzione restrizione.
   Valore assoluto. Intervalli. Insiemi limitati di R. Maggiorante, minorante, massimo e minimo.
   Estremo superiore e estremo inferiore, proprietà caratteristiche. Insiemi illimitati.
   Funzioni limitate. Massimo e minimo di una funzione. Estremo superiore e estremo inferiore di
   una funzione, proprietà caratteristiche. Funzioni illimitate.
   Principio di induzione ed esempi.
   Riferimento cartesiano sul piano. Grafico di una funzione. Funzione lineare. Equazione della
   retta passante per un punto di coefficiente angolare assegnato. Equazione della retta passante per
   due punti. Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità. Intersezioni tra due rette.
   Distanza tra due punti. Equazione di una circonferenza.
   Funzioni monotone e strettamente monotone e loro proprietà. Funzioni monotone e funzioni
   inverse. Funzione concave e convesse e proprietà. Funzioni pari, dispari e periodiche. Funzione
   potenza con esponente n, -n 1/n. Funzione esponenziale, logaritmo. Proprietà della funzione
   logaritmo ed esponenziale. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente.
   Proprietà delle funzioni trigonometriche. Funzioni trigonometriche inverse.
   Operazioni tra funzioni.
   Disequazioni irrazionali, disequazioni con il valore assoluto. Equazioni e disequazioni
   logaritmiche ed esponenziali.

II MODULO (2 CFU)

2. Elementi di algebra lineare.
  Matrici: quadrate, triangolari, diagonali, identità, nulla, simmetrica, trasposta. Somma tra
  matrici e proprietà. Moltiplicazione di un numero reale per una matrice. Prodotto scalare tra
  vettori. Prodotto righe per colonne. Traccia. Matrice inversa. Determinante di una matrice
  quadrata: definizione per ricorrenza (Laplace). Proprietà del determinante. Calcolo della matrice
  inversa. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Rango e vettori linearmente indipendenti.
  Matrici dipendenti da un parametro. Sistemi lineari. Intersezione tra due rette nel piano
  (parallele, secanti e coincidenti). Sistemi di n equazioni in n incognite. Regola di Cramer.
  Sistemi di m equazioni in n incognite. Teorema di Rouchè-Capelli. Sistemi lineari dipendenti da
  un parametro.


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3. Limiti di funzioni.
   Distanza tra due punti. Intorno di un punto. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Punti interni, esterni
   e di frontiera. Punti di accumulazione. R ampliato, intorno di ±∞. Definizione di limite. Esame
   dei diversi casi e definizioni. Teorema sull’unicità del limite. I e II Teorema di confronto.
   Teorema della permanenza del segno. Teorema della convergenza obbligata. Teorema sulla
   regolarità per confronto. Teorema sul limite della restrizione. Teorema sul limite delle funzioni
   composte. Teorema sul limite del modulo di una funzione. Teorema sulla locale limitatezza.
   Operazioni sui limiti. Limite della somma. Limite del prodotto. Limite del quoziente. Forme
   indeterminate. Limite da destra e da sinistra.
   I Teorema sul limite delle funzioni monotone (I caso). II Teorema sul limite delle funzioni
   monotone. Limiti notevoli.

III MODULO (2 CFU)

4. Funzioni Continue
   Continuità in un punto. Proprietà delle funzioni continue. Classificazione delle discontinuità.
   Teorema di Weierstrass (usando controesempi grafici mostrare che le ipotesi del teorema sono
   necessarie). Teorema di Bolzano. Teorema degli zeri, metodo delle bisezioni (cenni della
   dimostrazione con esempio grafico); ricerca di un’approssimazione della soluzione. Teorema
   del punto fisso.


5. Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile.
   Derivata. Funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata. Derivabilità e continuità.
   Derivata destra e sinistra. Regole di derivazione. Punti angolosi. Punti cuspidali. Punti di flesso
   a tangente verticale. Derivate di ordine successivo. Differenziale, significato geometrico.
   Funzioni monotone in un punto. Monotonia in un punto e segno del rapporto incrementale in
   quel punto. Condizione necessaria per la monotonia in un punto. Condizione sufficiente per la
   stretta monotonia in un punto. Minimi e massimi relativi. Condizione sufficiente per minimi e
   massimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rollé. Teorema di Cauchy. Teorema di
   Lagrange e conseguenze. Condizione necessaria e sufficiente per la stretta monotonia in X.
   Teoremi di De L’Hopital. Formula di Taylor e definizione di “o-piccolo”. Funzioni convesse
   derivabili due volte, convessità e punti di flesso. Studio del grafico di una funzione.

IV MODULO (2 CFU)
6. Successioni e Serie numeriche.
   Definifizione di successione. Esempi. Successioni monotone. Successione estratta. Limiti di
   successioni. Teorema fondamentale sul calcolo dei limiti. Esercizi.
   Serie, definizione ed esempi. Serie convergenti, divergenti o irregolari e somma di una serie.
   Regolarità delle serie a termini non negativi. Condizione necessaria per la convergenza. Serie
   armonica. Serie armonica generalizzata. Serie e ordine di infinitesimo. Serie geometrica (a
   partire dalla progressione geometrica di ragione r), somma di una serie geometrica. Criterio
   della radice e criterio del rapporto sotto forma di limite. Criterio di Leibnitz.

7. Calcolo integrale.
   Integrale indefinito. Caratterizzazione delle primitive. Integrali immediati e “quasi immediati”.
   Integrazione per parti.




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   Integrale definito (interpretazione geometrica), caso di una funzione continua e non negativa;
   caso generale. Funzione integrale. Teorema di esistenza delle primitive. Teorema fondamentale
   del calcolo integrale.

Nota: E’ richiesta la dimostrazione degli argomenti sottolineati




Testi consigliati:
Appunti delle lezioni http://www.dsems.unifg.it/newsmat/
L. Albano, Lezioni di Matematica Generale, Cacucci Editore, Bari, 1998.
G.C. Barozzi e C. Corradi, Matematica Generale per le Scienze Economiche, Il Mulino, Bologna,
1999.
G.C. Barozzi e C. Corradi, Esercizi per il corso di Matematica Generale per le Scienze
Economiche, Il Mulino, Bologna, 1999.
L. De Cesare e L. Maddalena, Esercizi di Matematica Generale, Cacucci Editore, Bari, 1997.
L. De Cesare e L. Maddalena, Prove Scritte di Matematica Generale, Grenzi Editore, Foggia,
2000.
E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, Torino, 2002.




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