Docstoc

Soal dan Pembahasan Analisis Real

Document Sample
Soal dan Pembahasan Analisis Real Powered By Docstoc
					                         SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN
                                    ANALISA RIIL

1. Tunjukkan bahwa jika o  a  b dan 0  c  d maka 0 < ac < bd
   Penyelesaian:
   Dimiliki bahwa:
    - 0 < a < b ; sesuai definisi a < b maka (b - a)  P , 0 < a maka a  P dan 0 < b maka
   bP
   - 0 < c < d , sesuai definisi c < d maka (d – c)  P , 0 < c maka c  P dan 0 <d maka
   dP
   Akan ditunjukkan bahwa berlaku 0 < ac < bd atau akan ditunjukkan bahwa berlaku:
    (ac)  P dan (bd – ac)  P
   Perhatikan sekarang :
   (b - a)  d  P (teorema) sehingga (bd – ad)  P ……..i)
   (d – c)  a  P (teorema) sehingga (ad – ac)  P ...........ii)
   Dari data (i) dan (ii) diperoleh:
   (bd – ad) + (ad - ac)  P (teorema) sehingga bd – ac  P maka ac < bd
   a  P dan c  P maka ac  P dengan demikian 0 < ac
   Dengan demikian maka berlaku bahwa 0 < ac < bd                          (Terbukti)
                                               1
2. Buktikan bahwa 0  a  b, maka ab             a + b 
                                               2
   Penyelesaian:
    Diketehui bahwa 0 < a < b

               
                    2
        a - b           0

   a  2 a b b  0
    a+b2 a b
         1
     ab   a + b  . Terbukti
         2
3. Buktikan bahwa 0  a  b , maka         a b.
   Penyelesaian:
   Andaikan             a b
                           
       a b  b b kedua ruas dikalikan b             
       ab > b .......(i)
                           
       a a  b a kedua ruas dikalikan a             
     a  ab........(ii)
     berdasarkan data (i) dan (ii):
       ab > b dan a  ab maka a > b (sifat trsansitif)

     Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa a < b, jadi haruslah     a b.
     (Terbukti)


4. Tunjukkan bahwa jika 0 < a < 1 maka 0 < a2 < a < 1
     Penyelesaian:
     a. Dik: 0 < a dan a < 1
     Sesuai definisi:
     0 < a maka a P dan a < 1 maka (1- a ) P

     a  1-a P (Berdasarkan teorema)

     a - a2 P atau a2 < a..........(#)
     Berdasarkan yang di ketahui 0 < a , a < 1 dan dari (#) atau a2 < a, maka jelas berlaku:
     0 < a2 < a < 1
5.    Tunjukkan bahwa jika 0  a  b maka a  ab  b !
     Penyelesaian :
     karena a > 0, b > 0 dan b > a maka berlaku         a > 0, b > 0 dan b > a
      b. b > a . b                       ( b >0)
     b        >     ab
      ab < b...............................#)
            b> a
      b. a > a. a                    ( a > 0)
      ab > a
     a< ab...................................##)
     Dari #) dan ##) terbukti bahwa a< ab <b


6. Show that, if a > 1 that 1 < a < a2
     Penyelesaian:
    a > 1 maka berdasarkan definisi (a -1) P .
    a  (a -1 ) P = a2 – a P atau a2 > a.
    karena 1 < a dan a < a2 maka jelas berlaku: 1 < a < a2
                                     2
              1          1
7. Prove that   a+ b     a 2 + b2  , for all a, b  R
              2          2
    Answer:

    a + b
              2
                  = a 2 + b 2 - 2ab
    a 2 + b 2 - 2ab  a 2 + b 2  a 2 + b 2
    a + b        2  a 2 + b2 
              2




       a+ b    a 2 + b2 
    1         2 2
    4           4
                      2
    1         1 2 2
     a + b   a + b 
    2         2
                                                                                    (Terbukti)
8. Misalkan x, y, z                   R dan x . buktikan bahwa x < y < z jika dan hanya jika

     x  y  y z  x z

    Penyelesaian:
    Proof:
    Adb:              (i) x < y < z  x  y  y  z  x  z

                      (ii) x  y  y  z  x  z  ) x < y < z.

        ( i ) x < y  (x - y) < 0 berlaku untuk y  x    x  y   x  y  x  y

                  maka jelas bahwa y  x  x  y   x  y  .......1)

              x < z  (x – z ) < 0 berlaku bahwa z  x    x  z   x  z  x  z .

        (teorema)
                                                                                    (Terbukti)
9. Misalkan a < x < b dan a < y < b . Tunjukkan x  y  b - a

    Penyelesaian:
     a < x < b atau –b < -x < -a ..........*)
     a < y < b atau –b < -y < -a ..........**)
     dari a < x < b dan –b < -y < -a diperoleh
     a – b < x – y < b – a atau –(b – a) < x – y < (b – a)
     Berdasarkan teorema kemutlakan jelas bahwa:
    –(b – a) < x – y < (b – a)  x - y = b-a
10. Buktikan bahwa jika x  2  1 maka x 2  4  6 .

   Penyelesaian :

    x2  4                x  2  x  2 
                x  2 . x  4  4
                x2. x24
                1.  x  2  4 
                1. 1  4   5
               6
                                                                                     (Terbukti)
11. Buktikan bahwa jika a  b, b  c, maka a  c .
   Penyelesaian :
   Berdasarkan definisi :
    a b  ba 0
    b  c  cb  0
   Menurut aksioma,
                          b  a   c  b   P
                       acP
                       caP
                       ca
                       ac
   (Terbukti)
12. apakah A ( 1, 3) =
13. Jika Ai terbuka pada R, i  1,2,3,... Buktikan bahwa    A     i   terbuka pada R .
                                                             i 1

   Penyelesaian:
   Misalkan p   Ai
                       i 1


   Dicari  0  ... ? supaya N  0  p    Ai
                                               i 1


    p   Ai  p  Ai untuk suatu i  1,2,3,...
        i 1


   Karena Ai terbuka pada R , maka  0  0,  N  0  p   Ai

   Padahal Ai   Ai , jadi N  0  p    Ai
                       i 1                         i 1
   Pilih    0

                 Jelas bahwa N  0  p    Ai
                                                      i 1


   Ini berarti   A
                 i 1
                          i       terbuka pada R .

                                                                                                (Terbukti)
14. Jika Fi tertutup pada R . Buktikan bahwa                     F
                                                                 i 1
                                                                        i   tertutup pada R .

   Penyelesaian:
                                           C
                          
   Akan ditunjukkan   Fi  terbuka.
                          
                     i 1 
            C
          
      Fi    Fi terbuka (Karena Fi tertutup).
                    C
          
     i 1    i 1

                                                                 C
                                          
   Berdasarkan teorema keterbukaan,   Fi    Fi
                                                    C
                                          
                                     i 1    i 1

   Akibatnya :

                 Fi 1
                              i   tertutup pada R .

                                                                                                (Terbukti)
15. Buktikan A  1,5  x 1  x  5 himpunan terbuka pada R .

   Penyelesaian:

   Misalkan x  A dicari N   x 

                 Sehingga N   x   A

      0 diberikann sebarang.
   Pilih   min 5  x , x  1

                 Cek apakah N   x   A

                 Misalkan P  N   x   A
                 Akan ditunjukkan P  A

                                                             
                                           N x   z z  x                 
   Karena P  N   x  , maka :
                                          px 
                                    x   P  x 
   Pilih   x  1  5  x
   Sehingga
                       x   P  x 
                 x  x  1  P  x  5  x 
                             1 P 5

                Jadi, P  A atau N   x   A

   Dengan demikian  x  A  N   x  sedemikian sehingga N   x   A
   Ini berarti A himpunan terbuka pada R .
                                                                                   (Terbukti)

16. Diketahui   xn   1, 1 , 1 , 1 ,... 
                                             barisan bilangan riil. Buktikan bahwa barisan
                         2 3 4           
   tersebut konvergen ke x0  R .

   Penyelesaian:
     0 diberikann sebarang.
   Dicari N supaya n  N  xn  0  

                   1     1 1
        xn  0      0  
                   n     n n
                             1 1
   Karena n  N , maka         
                             n N
                                                1          1
                                   Sehingga         N 
                                                N          
                   1
       Pilih N 
                   
                                         1
       Jadi, n  N  xn  0 =              0
                                         n

                                         1
                                     =
                                         n
                                         1 1  1
                                     =        
                                         n N 1
                                                     
       Sehingga xn  0  
                               1 1 1 
        Ini berarti  x n   1, , , ,...  konvergen ke x0  R .
                               2 3 4 
                                                                                           (Terbukti)

17. Tunjukkan bahwa  x n  , xn 
                                              2n
                                                    terbatas.
                                             3n  3
    Penyelesaian:
             2n
    xn 
            3n  3
    Dicari M  0, sedemikian sehingga xn  M , n.

                             2n     2n     2n 2
                     xn                   
                            3n  3 3n  3 3n 3
                     2                    2
    Pilih M           , jelas bahwa x n  , n.
                     3                    3

    Ini berarti  x n  , xn 
                                  2n
                                        terbatas.
                                 3n  3
18. Jika    xn     konvergen ke x 0 dan k konstanta, tunjukkan bahwa kxn  konvergen ke

    kx0 .

    Penyelesaian:
    Akan ditunjukkan N aseli, sedemikian sehingga n  N  xn  x0   .

    Dicari L aseli sedemikian sehingga n  N  kxn  kx0   .

                                                    
                     kxn kx0  k . x n  x0  k .        
                                                     k

    Pilih L  N
                                                                         
                     Jadi, n  L  kLn  kL0  k . Ln  L0  k .             
                                                                         k

    Ini berarti kxn  konvergen ke kx0 .

19. Jika     xn    konvergen ke x 0 dan Jika             yn    konvergen ke y 0 , tunjukkan bahwa

    xn y n  konvergen ke        x0 y 0 .

    Penyelesaian:

           Naseli sedemikian sehingga n  N  xn  x0    
                                                                                  2 y0

           Kaseli sedemikian sehingga n  K  y n  y 0     2M
    Dicari L aseli sedemikian sehingga n  L  xn yn  x0 y0  

         xn yn  x0 y0      = xn yn  x0 y0  xn y0  xn y0

                            = xn yn  xn y0  xn y0  x0 y0

                             xn yn  xn y0  xn y0  x0 y0  xn . yn  y0  y0 . xn  x0

                                                                     
                            < xn .           y0 .                        
                                       2M            2 y0       2       2

    Ini berarti x n y n  konvergen ke x0 y 0 .

20. Misalkan  x n  barisan bilangan riil.  x n  , x n 
                                                                        1
                                                                          monoton naik, buktikan !!!.
                                                                        n
    Penyelesaian:
            1
     xn 
            n
                  1
     xn1 
                n 1
                        1   1
    Sehingga xn               xn1
                        n n 1
    Dengan demikian x n  x n 1

                         1
    Ini berarti x n       monoton naik.
                         n
                                                                                                   (Terbukti)
             x 
21. Misalkan  n   0 ,
             y 
              n
                    y n  terbatas.
    Buktikan  x n   0 .

    Penyelesaian:
             x        
    Misalkan  n
             y          0,
                       
              n       
                    y n  terbatas.
      0 diberikann sebarang.
                                xn
    N aseli,  n  N             0 
                                yn
    M  0,  y0  M , n.

   Dicari L aseli sedemikian n  N  xn  0  

                                                   xn         x        
                     xn  0  xn                     . y n  n . y n  .M  
                                                   yn         yn       M

   Pilih L  N

                                                                         xn        
                 Jika n  L,  xn  0  xn                                 . y n  .M  
                                                                         yn        M

   Ini berarti  x n   0 .
                                                                                                            (Terbukti)
                                                     n
22. Tunjukkan bahwa  x n , x n  
                                                           1
                                                              terbatas.
                                                    i 1   2i
   Penyelesaian:
                 n
    xn , xn   1i            
                                    1 1 1        1
                                        ...  n
                  2
                i 1                2 4 8       2
                        n
    xn1 , xn1   1i            
                                        1 1 1        1    1
                                            ...  n  n 1
                       i 1     2       2 4 8       2   2
   Sehingga
                  1 1 1        1    1   1 1 1        1
                      ...  n  n1     ...  n
                  2 4 8       2   2     2 4 8       2
                 Maka x n  x n 1 , n.

                 Ini berarti  x n  monoton naik.
   Dicari M aseli supaya xn  M , n.
                 n                       n
                       1                       1
        xn     2          i
                                    =   2
                                        i 1
                                               i
                i 1

                                        1 1                 
                                                           n
                                         1                 
                                        2 2
                                         
                                                               
                                                               
                                    =
                                                    1
                                               1
                                                    2
                                                    n
                                          1
                                   = 1     1, n.
                                          2
   Ini berarti  x n           terbatas.

23. Buktikan bahwa jika  x n  dan                             yn    dua barisan Cauchy, maka barisan  x n  y n 
   barisan Cauchy.
    Penyelesaian:
    Misalkan :
          0 diberikann sebarang.
     N aseli , sedemikiansehingga n, m  N dan n, m  K , berlaku
                                                     
             xn  xm        dan        yn  ym 
                         2                                2
    Pilih M  MaksN , K  , maka berlaku :

                                   xn  y n   xm  y m   xn  xm    y n  y m 
                                                                    xn  xm  y n  ym
                                                                              
                                                                                 
                                                                       2       2
        Ini berarti  x n  y n  barisan Cauchy.
                                                                                            (Terbukti)
24. Jika  x n  konvergen, Selidiki apakah  x n  barisan Cauchy?

    Penyelesaian:
    Misalkan  x n  konvergen ke x 0

                                                                       
     N aseli sedemikiansehingga n  N  x n  x0 
                                                                       2
                                                                       
     N aseli sedemikiansehingga m  N  x m  x0 
                                                                       2
        Dicari K aseli sedemikian sehingga n, m  L  xn  xm  

                         x n  x m  x n  x0  x0  x m
                                    x n  x0  x m  x0

    Pilih L  N
                 Jadi, n, m  L  xn  xm  xn  x0  xm  x0

                                                         
                                                            
                                                  2       2
                                 Ini berarti  x n  barisan Cauchy.




                                            **********

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:24135
posted:7/19/2010
language:Indonesian
pages:11