Universit ePierreet Marie Curie{Paris 6 Examend'Analyse Fonctionnelle

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Universit´ Pierre et Marie Curie – Paris 6                                            Examen d’Analyse Fonctionnelle
         e
M1 Math´matiques                                                                       e                     a
                                                                                   21 d´cembre 2007, de 9h00 ` 12h00

                  e           e                 e          e e
             On pr´cisera et v´rifiera les hypoth`ses des th´or`mes sur lesquels on s’appuie.

     o
Contrˆle de connaisances

                e e               e               a
I. Enoncer le Th´or`me de compacit´ d’Ascoli-Arzel`.

                 e e           e
II. Enoncer le Th´or`me de repr´sentation de Riesz.

     e
Probl`me 1

Soit C le domaine carr´ ferm´ du plan R2 d´limit´ par les sommets de coordonn´es respectives (1, 1),
                       e      e                e     e                               e
(−1, 1), (−1, −1) et (1, −1). On d´signe par Ω l’int´rieur de C, et par C0 (Ω, R) l’espace vectoriel r´el
                                    e                  e                                                e
des fonctions continues sur C s’annulant sur la fronti`re de C. L’espace C0 (Ω, R) muni de la norme
                                                          e
        e                                    e         e
du supr´mum est un espace de Banach r´el. On d´signe par Lip0 (Ω, R) le sous-espace vectoriel de
C0 (Ω, R) constitu´ par les fonctions lipschitziennes sur C, c’est-`-dire les fonction u de C0 (Ω, R) pour
                  e                                                a
lesquelles 1
                                                     |u(x) − u(y)|
                                Λ(u) :=      sup                   < +∞.
                                          x,y∈C, x=y    |x − y|
  1. Montrer que Lip0 (Ω, R) n’est pas ferm´ dans C0 (Ω, R).
                                           e
  2. Montrer que pour tout K > 0, l’ensemble

                                     BK := {u ∈ Lip0 (Ω, R) telles que Λ(u) ≤ K}

        est ferm´ dans C0 (Ω, R).
                e
  3. Montrer que pour toute fonction u ∈ Lip0 (Ω, R) on a l’in´galit´
                                                              e     e

                                                       sup |u(x)| ≤ Λ(u).
                                                       x∈C

         e
  4. En d´duire que Λ est une norme sur Lip0 (Ω, R).
  5. En utilisant les informations ci-dessus ainsi que la compl´tude de C0 (Ω, R), montrer que Lip0 (Ω, R)
                                                               e
     muni de Λ est un espace de Banach.
  6. Montrer que l’injection de Lip0 (Ω, R) dans C0 (Ω, R) est compacte, ou, ce qui revient au mˆme,
                                                                                                e
     que BK est compacte dans C0 (Ω, R).
Soient 0 < a, b < 1 . On d´signe par σ + et σ − les segments orient´s de R2 reliant respectivement
                   2        e                                         e
(−a, −b) ` (a, −b) et (a, b) ` (−a, b). On repr´sente par Ia,b l’int´gration le long de ces segments,
         a                    a                e                    e
autrement dit2
                                              a                        −a
                Ia,b (u) :=              u≡        u(s, −b) ds +            u(s, b) ds,    ∀u ∈ C0 (Ω, R).
                              σ − ∪σ +        −a                   a

  7. Montrer que Ia,b est un ´l´ment du dual de C0 (Ω, R), ·
                              ee                                                 ∞           a
                                                                                     , c’est-`-dire une mesure de Radon
     finie, et en calculer la norme.
  8. Montrer que la restriction de Ia,b ` Lip0 (Ω, R) est un ´l´ment du dual de Lip0 (Ω, R), Λ , et
                                        a                    ee
     en calculer la norme.
  9. La suite (Ia,bn ) converge-t-elle (fortement et/ou faiblement) vers 0 lorsque (bn ) tend vers 0, a > 0
     restant fix´ ? On distinguera la situation dans C0 (Ω, R), · ∞ de celle dans Lip0 (Ω, R), Λ .
                e
  1
      Ici, | · | d´signe la norme euclidienne dans R2 . R
                  e                            Ry
  2                                                       x
      On adopte la convention qui veut que x = − y lorsque x > y.
     e
Probl`me 2

Soit u : R → C une fonction appartenant ` l’espace L1 (R, C). Pour chaque j ∈ Z, on d´signe par τj u
                                         a                                           e
                    e
la fonction translat´e
                                 τj u(x) := u(x − j)     ∀x ∈ R,
                                 a
et par uj la restriction de τj u ` l’intervalle I := [−1/2, 1/2].

   1. Montrer que la s´rie j∈Z uj converge dans l’espace L1 (I, C). On note v la somme de cette
                         e
      s´rie, et on identifie v ` un ´l´ment de L1 (T, C), T d´signe le tore plat de longueur unit´.
       e                      a    ee                       e                                   e
   2. Pour chaque k ∈ Z, calculer le coefficient de Fourier v (k) de v. On exprimera le r´sultat en
                                                          ˆ                            e
                            ˆ
      termes de la fonction u.

                                   ıt,                              e         e     e
On suppose maintenant que de surcroˆ la fonction u est continue et v´rifie l’in´galit´
                                                                   c
                                      ∃c > 0 t.q. |u(x)| ≤                    ∀x ∈ R,
                                                                1 + x2
                  e                                      a
et pour r > 0 on d´signe par uj,r la restriction de τj u ` l’intervalle Ir := [−r/2, r/2].
   3. Montrer que pour chaque r > 0 fix´, la s´rie
                                         e   e                     j∈Z uj,r   converge uniform´ment dans C(Ir , C).
                                                                                              e
                                    e
      On note vr la somme de cette s´rie.
                                                                              a
   4. Montrer que si r, r > 0 sont tels que r > r, alors la restriction de vr ` Ir coincide avec vr . En
      d´duire qu’il existe v∞ ∈ C(R, C) telle que la restriction de v∞ ` Ir coincide avec vr quel que
       e                                                                 a
      soit r > 0.
       e
   5. D´montrer que
                                              v∞ (x) = v∞ (x + 1)         ∀x ∈ R.
        En d´duire que v∞ s’identifie ` une fonction de C(T, C), et que pour chaque k ∈ Z le coefficient
            e                         a
                   ˆ                              ˆ                   ˆ
        de Fourier v∞ (k) coincide avec la valeur u(k) de la fonction u au point k.
                  e                 a e                                              ˆ e
En plus des hypoth`ses faites jusqu’` pr´sent, on suppose maintenant que la fonction u v´rifie
    e     e
l’in´galit´
                                                     c
                             ∃c > 0 t.q. |ˆ(y)| ≤
                                          u               ∀y ∈ R.
                                                  1 + y2
   6. Montrer que          k∈Z   ˆ
                                 v∞ (k) < +∞.
   7. Ecrire et justifier la formule d’inversion de Fourier pour v∞ .
                          e                                                                    e
   8. Traduire cette derni`re relation uniquement en termes de la fonction u et de sa transform´e de
              ˆ
      Fourier u.
   9. En d´duire que si u ∈ S(R, C) (l’espace de Schwartz), alors on a la formule sommatoire de
           e
      Poisson :
                                             u(k) =    ˆ
                                                      u(k).
                                                    k∈Z            k∈Z

Pour chaque k ∈ Z, on d´signe par δk la distribution temp´r´e de S (R, C) d´finie par
                       e                                 ee                e

                                           δk , ϕ = ϕ(k)         ∀ϕ ∈ S(R, C).

 10. Montrer que la s´rie
                     e              k∈Z δk   converge dans S (R, C). On note T la somme de cette s´rie3 .
                                                                                                  e
 11. Calculer la transform´e de Fourier de δk et l’identifier ` une fonction de L∞ (R, C).
                          e                                  a
      e                 e e                                                           e
 12. D´duire du point pr´c´dent et de la formule sommatoire de Poisson que T est laiss´e invariante
     par transformation de Fourier.
  3
      Il est d’usage de lui donner le nom de peigne de Dirac.

				
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posted:7/18/2010
language:French
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