BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cụm Chu Văn An
KỲ THI TỐT NGHIÊP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009 Môn Thi: Toán – Trung học phổ thông ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
NỘI DUNG PHÂN CHUNG CHO CAC THÍ SINH: ̀ ́ Câu I.1) Tập xác định D = \ 1
ĐIỂM 2đ
2 < 0, Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. ( x 1) 2 Tiêm cận: Tiệm cận đứng: x = -1 (vì lim y , lim y )
y‘=
x 1 x 1
Tiệm cần ngang: y = 1 ( vì lim y 1, lim y 1 )
x x
Bảng biến thiên : x - y’ y 1
-1 || +
+ -
|| - Giao điểm của (C) với Ox và Oy : (-3 ;0), (0 ;3) Đồ thị :
1
Câu I.2) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3 2x m (*) ( x -1) x 1 x + 3 = (2x + m)(x + 1) 2x2 + (m + 1)x + m – 3 = 0 (**) (C) và (d) có 2 giao điểm phân biệt phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt khác -1 m2 6m 25 0 m m 2 (m 1) m 3 0 2 0 Vậy với mọi giá trị của m thì (C) luôn cắt đường thẳng (d): y = 2x + m tại 2 điểm phân biệt Câu I.3) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y – y0 = k(x – x0) Điểm A(-3;0) là tiếp điểm. k = y’(-3) = -1/2 1 Do đó phương trình tiếp tuyến tại A là: y ( x 3) 2
0,75đ
0,75đ
NỘI DUNG Câu II.1) Điều kiện: x > 0 (*) Ta có: 32log3 x 81x 2 log 3 x log 3 81x 2 log3 x 4 log 3 x log3x = -1 x= (thỏa điều kiện (*)) Vậy nghiệm của phương trình là x = Câu II.2) Đặt t = sinx ( t [-1;1]) Ta có : y = 2t2 + 2t -1 Ta cần tìm GTLN, GTNN của hàm số này trên [-1 ;1] y' = 4t + 2 y’ = 0 t = -1/2 Tính : y(-1) = -1 , y(-1/2) = -3/2, y(1) = 3 Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi x = 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là - khi x = Câu III : Gọi M là trung điểm của BC. Dựng đường thẳng d vuông góc mp(ABC) tại M Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O. Ta có : OS = OA = OB = OC O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Và bán kính là R2 = OA2 = OM2 + AM2 1 a 1 1 2 2 b c MÀ OM = SA = và AM = BC = 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c R= 2 Vậy: Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = (a2 + b2 + c2) 4 ( a 2 b 2 c 2 )3 Thể tích khối cầu: V = R3 = 3 6 PHÂN RIÊNG ̀ 1. Theo chương trình chuẩn: Câu IV.a.1) : Đường thẳng (d) qua M(-3 ;1 ;2) vuông góc với mp(P) nên có VTCP a (2;3;1) x 3 2t phương trình của (d) : y 1 3t z 2 t Do H (d) H(-3+2t ;1+3t ;2+t) thay tọa độ của H vào phương trình của mp(P), ta có : 2(-3 + 2t) + 3(1 + 3t) + 2 + t – 13 = 0 t = 1 H(-1;4;3) Câu IV.a.2) Phương trình mặt cầu tâm M(-3 ;1 ;2), bán kính R = 4 là : (x + 3)2 ( y – 1)2 (z – 2)2 = 16
ĐIỂM 1,5đ
1,5đ
1đ
1đ
1đ
NỘI DUNG Khoảng cách từ M đến mp(P) là: 2(3) 3 2 13 h= 14 22 32 12 Do h = 14 < R = 4 nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là 1 đường tròn Câu V.a: Phương trì nh hoanh đô giao điêm cua (P) và (d): ̀ ̣ ̉ ̉ 2 2 4 – x = -x + 2 x – x – 2= 0 x = - 1 hay x = 2 Diên tí ch hì nh phăng cân tính là: ̣ ̉ ̀
ĐIỂM
1đ
x3 x 2 9 S = (4 x ) ( x 2) dx = ( x x 2)dx 2 x (đơn vị diên tí ch) ̣ 3 2 1 2 1 1
2
2
2
2
2
2. Theo chương trình nâng cao: Câu IV.b.1) Phương trì nh măt câu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ̣ ̀ Do (S) đi qua A(-2;1;2), B(0;4;1), C(5;1;-5), D(-2;8;-5), ta co hệ phương trình: ́ 4a 2b 4c d 9 a 2 8b 2c d 17 b 1 10a 2b 10c d 51 c 5 4a 16b 10c d 93 d 19 Vây phương trì nh măt câu (S) là: ̣ ̣ ̀ x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0 Câu IV.b.2) (1) x 5 3t Phương trì nh tham sô cua (d): y 11 5t (2) ́ ̉ z 9 4t (3) Thay (1)(2)(3) vào phương trình của (S) và rút gọn ta được: t2 – 5t + 6 = 0 t = 2 hay t = 3 khi t = 2 giao điêm thư nhât M(1;-1;1) ̉ ́ ́ khi t = 3 giao điêm thư nhât N(4;4;-3) ̉ ́ ́ Câu IV.b.3) Tâm măt câu I(-2;1;-5) ̣ ̀ Măt phăng tiêp xuc vơi măt câu (S) tại M(1;-1;1) có VTPT n IM (3; 2; 6) có phương ̣ ̉ ́ ́ ́ ̣ ̀ trình là: 3(x – 1) - 2(y + 1) + 6(z – 1 ) = 0 3x – 2y + 6z – 11 = 0 Măt phăng tiêp xuc vơi măt câu (S) tại N(4;4;-3) có VTPT n ' IN (6;3; 2) có phương ̣ ̉ ́ ́ ́ ̣ ̀ trình là: 6(x – 4) + 3 (y – 4) + 2(z + 3) = 0 6x + 3y + 2z – 30 = 0 Câu V.b: Phương trình tiếp tuyến (d)của (P) tại M(2;5) là: y = 4x – 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 + 1 = 4x – 3 x = 2 x2 + 1 4x – 3 trên [0;2] Do đó diện tích cần tính: S=
2 2 x 1 4x 3 dx x 4x 4 dx 0 0
2
1đ
0,5đ
0,5đ
1đ
2
2
1 = x3 2x 2 4x = 3 0
-8+8=
(đơn vị diện tích)