Einsatz von neuen Medien

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					Studienseminar Darmstadt für das Lehramt an Gymnasien


                                                            Seminarleiterin:     Frau Kreinsen
                                                            Modulleiter:         Herr Insam
                                                                                 Herr Röhner




     Modul 10: Medien und Methoden

     Einsatz von neuen Medien
     Euklid DynaGeo im Mathematikunterricht




                          Dies Arbeit wurde vorgelegt von
                          Dr. Alexander Best (Max-Planck-Schule, Groß Umstadt)
                          Ute Gantenberg (Alfred-Delp-Schule und Goetheschule, Dieburg)
                          Marianne Hohenner (Eleonorenschule, Darmstadt)
                          Klaus Petri (Berthold-Brecht-Schule und Bernhard-Adelung-Schule, Darmstadt)
Inhalt:

    1. Einleitung ................................................................................................................................................................. 2

    2. Didaktisch-methodische Überlegungen............................................................... 3
      2.1 Einsatz des PCs im Unterricht........................................................................................................... 3
      2.2 Einsatz von PC und Geodreieck in der Unterrichtssequenz............................ 5
            2.2.1 Einführung in das Programm DynaGeo................................................................................ 5
            2.2.2 Wiederholung und Vertiefung der Achsensymmetrie............................................... 6
            2.2.3 Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung......................................................... 7
            2.2.4 Eigenschaften und Konstruktion einer Achsenspiegelung.................................. 8
            2.2.5 Konstruktion einer Spiegelachse................................................................................................. 10

    3. Unterrichtssequenz................................................................................................................................. 11
       3.1 Tabellarische Aufstellung....................................................................................................................... 11
       3.2 Reflexion................................................................................................................................................................... 18
             3.2.1 Einführung in das Programm DynaGeo.............................................................................. 18
             3.2.2 Wiederholung und Vertiefung der Achsensymmetrie............................................. 18
             3.2.3 Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung....................................................... 19
             3.2.4 Eigenschaften und Konstruktion einer Achsenspiegelung................................. 20
             3.2.5 Konstruktion einer Spiegelachse............................................................................................... 21
             3.2.6 Zusammenfassende Reflexion des Computereinsatzes..................................... 22

 4. Einsatz von Euklid DynaGeo in anderen Jahrgangsstufen 24
      4.2 Flächeninhalt des symmetrischen Trapez (Klasse 8)............................................. 24
      4.2 Satz des Pythagoras (Klasse 9)...................................................................................................... 25


    Literatur.............................................................................................................................................................................. 27
    Anhang ............................................................................................................................................................................... 28




1
1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit gliedert sich mit dieser Einleitung in vier Teile. Den Anfang bilden
unsere im Seminar begonnenen didaktisch-methodischen Überlegungen, die zur Kon-
struktion der Unterrichtsreihe geführt haben. Aus Platzgründen konnten nicht alle von der
Arbeitsgruppe erwogenen Alternativen dargestellt werden. Wir haben uns im wesentlichen
auf die tatsächlich gewählten Umsetzungen beschränkt. Vereinzelt erschien es uns jedoch
unerlässlich, den Abwägungsprozess genauer darzustellen, um dem Leser eine Vorstel-
lung unserer Arbeit im Seminar zu ermöglichen. (So z.B. die auf S. 9 skizzierte Entschei-
dung, in welcher Reihenfolge die Schüler mechanische und digitale Achsenspiegelung
kennenlernen sollen.)


Für den Praktiker ist sicherlich der dritte Teil am interessantesten. Hier wird die entstande-
ne Unterrichtsreihe in konkreter Abfolge der einzelnen Sequenzen dargestellt. Für jeden
Teil der Reihe werden Lehrziele, Materialien und Zeitaufwand angegeben und der geplan-
te Stundenablauf geteilt in Einstiegs-, Erarbeitungs- und Sicherungsphase skizziert. Wir
haben eine tabellarische Darstellung gewählt, um größtmögliche Übersichtlichkeit zu ge-
währleisten.
Die tatsächlichen Stundenverläufe werden dann im Abschnitt 3.2 thematisiert. Die im zwei-
ten Abschnitt getroffene Wahl von Medien und Methoden bleibt so kein abstraktes Kon-
strukt, sondern kann an ihrer Wirkung beurteilt werden.


Den Abschluss unserer Arbeit bilden zwei Abschnitte mit Überlegungen zum Einsatz von
Euklid DynaGeo in den Jahrgangsstufen acht und neun.




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2. Didaktisch-methodische Überlegungen

2.1 Einsatz des PCs im Unterricht

Der Computer und multimediale Bildungsmaterialien gewinnen immer mehr an Bedeutung,
so dass fast kein Lehrer oder Schüler an ihnen vorbeigehen kann. Es stellt sich jedoch die
Frage, welche Vor- aber auch Nachteile der Einsatz des PC im Unterricht bringt.
Es ist nicht weiter schwer, mögliche Gründe oder Erklärungen zu finden, weshalb der Ein-
satz des PC im Unterricht schwierig oder auch unmöglich ist:

    •   kein Interesse
    •   fehlende Ausbildung
    •   hoher Zeitaufwand (Einarbeiten in die Software, ...)
    •   hoher organisatorischer Aufwand (Raum- oder Stundentausch)
    •   schlechte Ausstattung an der Schule (zu kleiner Raum, zu alte PCs, ungünstige
        Anordnung der PCs)
    •   keine finanzielle Unterstützung vom Dienstgeber
    •   nicht jedem Schüler steht zu Hause ein PC zur Verfügung
    •   Rechenfertigkeit und Motorik der Schüler sinken
    •   unterstützt oberflächliches Arbeiten
    •   theoretischer Hintergrund der Mathematik geht verloren
    •   „blindes“ Vertrauen in den PC wird geschaffen

Dennoch bringt der PC-Einsatz insbesondere im Bereich der Geometrie unserer
Einschätzung nach nicht nur die genannten Nachteile, sondern auch folgende Vorteile:

    •   wichtig für späteren Berufseinstieg
    •   gehört zu einem zeitgemäßen Unterricht
    •   bessere Visualisierungsmöglichkeiten
    •   effizientes Arbeiten und Üben wird möglich
    •   mathematisches Experimentieren wird möglich
    •   Theorie und mathematisches Verständnis gewinnt an Wichtigkeit
    •   Interpretation von mathematischen Problemstellungen gewinnt an Wichtigkeit
    •   bessere Modellbildung
    •   Selbständigkeit der Schüler steigt


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    •   Selbstkontrolle der Schüler möglich
    •   der Lehrplan sieht es vor
    •   Schüler erwarten den PC-Einsatz
    •   Motivation der Schüler steigt
    •   bringt Zeitersparnis
    •   lockert den Unterricht auf
    •   Teamfähigkeit der Schüler steigt
    •   macht auch dem Lehrer selbst Spaß

Es ist auffällig, dass die Argumente auf Seite der potentiellen Nachteile bzw. Schwierigkei-
ten teilweise im Gegensatz zu den zu erwartenden Vorteilen stehen. Dies ist darauf zu-
rückzuführen, dass die Vor- und Nachteile selbstverständlich in einem gewissen Kontext
stehen. Beispielsweise erfordern die Einführung von Software und das Erlernen des Um-
gangs mit dieser Zeit. Haben die Schüler (und auch die Lehrer) jedoch die notwendigen
Fertigkeiten erlernt, kann die Nutzung des PCs eine enorme Zeitersparnis etwa durch das
Ausführen von Rechenoperationen oder die dynamische Darstellung geometrischer Kon-
struktionen (Strahlensätze, Spiegelung, …) darstellen.


Da der PC als Medium nicht nur zeitgemäß ist, sondern auch eine immer größere Bedeu-
tung im privaten und beruflichen Leben einnimmt, steht es für uns außer Frage, den PC
auch im Mathematikunterricht einzusetzen. Gleichzeitig steht es ebenso außer Frage,
auch manuelle Zeichentechniken im Unterricht einzuführen und zu vertiefen. Diese stellen
nicht nur historisch bedeutsame Methoden dar, sondern haben auch in der heutigen Zeit
immer noch ihre Berechtigung in verschiedenen Berufen, bei denen es unverzichtbar ist,
spontane, aber exakte Zeichnungen anzufertigen (Geodät, Architekt, Geograf, …). Weiter-
hin bietet die Verwendung verschiedener Medien und Methoden und ihre Kombination
stets die Möglichkeit zur Transferleistung und Überprüfung des Gelernten (s. u.). Darüber
hinaus fördern traditionelle Zeichentechniken die motorischen Fähigkeiten der Schüler und
geben diesen die Möglichkeit, mathematische Operationen körperlich zu verankern.

Es bleibt jedoch in jeder konkreten Situation die Frage, ob der Einsatz des PC oder des
Geodreiecks vorzuziehen ist. Unser Ziel ist demnach nicht, die generellen Vorzüge des PC
aufzuzeigen, sondern in einer konkreten Unterrichtsreihe, den Einsatz der verschiedenen
Medien abzuwägen. In allen von uns konstruierten Stunden wurde versucht, einen Wech-


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sel zwischen Einzel- bzw. Gruppenarbeitsphasen und Plenumsphasen zu verwirklichen.
Damit wollten wir nicht nur der mitunter recht kurzen Aufmerksamkeitsspanne der Sechst-
klässler gerecht werden und Abwechslung in den Unterricht bringen, sondern auch eine
möglichst große Handlungsorientierung und Selbstständigkeit der Schüler erreichen.


2.2 Einsatz von PC und Geodreieck in der Unterrichtssequenz

2.2.1 Einführung in das Programm DynaGeo

Für einen erfolgreichen Computereinsatz benötigen die Schüler einerseits eine Einführung
in die Benutzung des Computers im Allgemeinen – soweit das nicht in einem eigenen Kurs
bereits erfolgt ist – aber auch in Euklid im Speziellen (vgl. Lehrziele).


Bei Sechstklässlern konnten wir davon ausgehen, dass sie bisher nur am Computer ge-
sessen haben, um zu spielen, vereinzelt mit Lernprogrammen zu arbeiten, kürzere Texte
zu schreiben oder auch zum Chatten. Mit einer dynamischen Geometriesofware haben die
Schüler in der Regel noch nicht gearbeitet. Viele Teilnehmer waren vermutlich auch mit
anderen Kollegen noch nicht im Computerraum, wenn dieser Punkt nicht eindeutig im
Schulprogramm steht (so gibt es z.B. in der Goetheschule für alle Fünfklässler einen
Computerkurs). Deswegen ist eine längere Einführungsphase besonders wichtig, um die
Schüler an das neue Medium heranzuführen. Basiswissen wie Computer starten und
Programme aufrufen ist je nach Schule und Klasse bereits vorhanden oder noch zu
erlernen.

Zur Einführung in die Geometriesoftware haben wir uns für die Methode des angeleiteten
Entdeckens entschieden, da wir es altersgemäß finden, den Schülern ein spielerisches,
aber zielgerichtetes Entdecken des Programms zu ermöglichen. Die Teilnehmer arbeiten
dabei in Kleingruppen, so dass sie einander helfen können und sich kein Schüler alleine
mit dem unbekannten Medium auseinandersetzen muss. Unser erstes Arbeitsblatt
(AB001) bietet den Schülern die Möglichkeit, die Funktionen des Programms selbständig
herauszufinden, zu beschreiben und gezielt anzuwenden. Nach diesen anfänglichen
Übungen ist es wichtig, dass die Schüler konkrete dynamische Objekte angeleitet konstru-
ieren. Dynamische Konstruktion bedeutet insbesondere, dass Schüler z.B. Schnittpunkte
als Schnittpunkte festlegen und nicht einfach nur mit einem Punkt markieren, wie sie es
beim Zeichnen auf dem Papier gewöhnt sind. Unserer Erfahrung nach sollte der Lehrer die


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Schüler in der Einführungsphase häufig zur Überprüfung ihrer Konstruktionen ermutigen.
Die meisten Fehler können problemlos selbständig durch Bewegen der Figuren gefunden
werden. Besondere altersgemäße Motivation bietet in dieser Phase der zu erlangende
DynaGeo-Führerschein. Die Kinder erhalten eine Urkunde, die sie mit nach Hause neh-
men und ihren Eltern zeigen können, welche die erreichten Kompetenzen im Umgang mit
dem Programm dokumentiert.


Für die zu konstruierenden Figuren haben wir für diese und die folgenden Stunden lebens-
weltliche und keine allzu mathematisch-abstrakten Motive gewählt, um den spielerischen
Ansatz weiter zu verfolgen. Da den Schülern die Konstruktion vergleichbarer Figuren
(Strichmännchen, Dreieck, Quadrat) mit Zirkel und Lineal bereits bekannt ist, findet ein
methodischer Transfer statt, indem die Schüler ihr Wissen über Konstruktionen am neuen
Medium Computer umsetzen. Dabei bietet der Computer eine gute Möglichkeit zur Über-
prüfung: Am PC ist es nicht möglich, zur Konstruktion etwa eines Quadrats zum Geodrei-
eck zu greifen und eine Senkrechte zu ziehen. Die Schüler stellen bei der Umsetzung am
PC somit unter Beweis, dass sie die Vorgehensweise zur Konstruktion verinnerlicht haben
und festigen ihr Wissen weiter.

Die abschließende Präsentation der Konstruktionen soll die Schüler ebenfalls motivieren.
Die eigenen Ergebnisse der ganzen Klasse vorstellen zu dürfen, ist für viele Kinder dieses
Alters ein Anreiz, da sie das Bedürfnis haben, sich mit ihren Klassenkameraden zu mes-
sen.


2.2.2 Wiederholung und Vertiefung der Achsensymmetrie

Da die Achsensymmetrie und die zugehörigen Begriffe den Schülern bereits bekannt sind,
findet eine zusammenfassende Wiederholung im Plenum statt. Anschließend halten wir es
für sinnvoll, Übungen anzuschließen, die vermutlich teilweise über eine Wiederholung
hinausgehen: das Überprüfen auf Spiegelsymmetrie, das Auffinden von Spiegelachsen,
das Ergänzen zu spiegelsymmetrischen Figuren.
Auch hier wird ein Zugang über das reale Phänomen der Spiegelsymmetrie gewählt, in-
dem der mathematische Begriff auf die Lebenswelt (Libelle, Schriftzeichen, Schmetterlin-
ge, Gesichter, Menschen, Gebäude etc.) der Schüler angewendet wird.

Einen Einstieg über den PC statt über das reale Phänomen zu wählen, wäre nicht nur um-


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ständlich sondern auch wenig motivierend. Damit ist nicht die Präsentation der Bilder über
Laptop und Beamer gemeint, da damit lediglich der Medienträger verändert wird, die Be-
gegnung mit dem originären Phänomen jedoch erhalten bleibt. Hingegen sprechen wir uns
aus obigen Gründen gegen einen Einstieg über die Konstruktion am PC (oder auch mit
Zirkel und Lineal) und eine nachfolgende Betrachtung bzw. Anwendung auf das reale Phä-
nomen aus.


In dieser Abfolge der Schülertätigkeiten wird das didaktische Prinzip „Vom Konkreten zum
Abstrakten“ deutlich sichtbar. Die Schüler beginnen mit einem realen Phänomen, das sie
„handwerklich“ und praktisch untersuchen, indem sie einen Spiegel entlang der Spiegel-
achse halten bzw. die Figur entlang der Spiegelachse falten. Durch dieses Vorgehen kön-
nen die Schüler den mathematischen Begriff der Spiegelachse – im wahrsten Sinne des
Wortes – begreifen. Die Spiegelachse selbst ist ein abstraktes Konstrukt, das bei wirkli-
chen Figuren wie Häusern oder Tieren nicht eingezeichnet oder sichtbar ist. Durch das
spielerische Vorgehen und die praktische Tätigkeit können die Schüler es jedoch erfahren
und eine konkrete Vorstellung davon gewinnen. Zudem können ihnen so bereits Details
beim Auffinden der Spiegelachse auffallen, die bei der Konstruktion von Spiegelachsen
oder der Herstellung spiegelsymmetrischer Figuren leicht zu Schwierigkeiten werden kön-
nen (konstante Abstände, exakte Lage der Spiegelachse).


2.2.3 Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung

Im Zentrum dieser Stunde steht der Übergang von der lebensweltlich dreidimensional und
spielerisch erlebten Spiegelung hin zum mathematischen Begriff der Achsenspiegelung,
der zunächst zweidimensional dargestellt wird. Dieser Übergang ist unserer Einschätzung
nach relativ schwierig. Die Überlegungen beginnen wieder am Phänomen
des Spiegels: Zwei Schüler stellen Original und Spiegelbild dar. An dieser      Position 1
spielerischen Vorführung sollen die anderen Schüler die Spiegelachse zei-         ├    ┤
                 gen – also diejenige Stelle, an der der Spiegel stehen
    Position 2   müsste. In dieser Form erarbeiten sie die Eigenschaften          Klasse

                 der Achsenspiegelung.
      ┬ ┬
                 Der besondere Werte dieser Darstellung liegt in der im zweiten Schritt fol-
      Klasse
                 genden Drehung um 90°. Das spiegelnde Paar wendet sich zu seinem Pu-
                 blikum und ermöglicht diesem den Übergang von der räumlichen Vorstel-


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lung zur zweidimensionalen Darstellung der Spiegelung. Die Spiegelachse befindet sich
nun nicht mehr vor dem Original. Sie steht aber weiterhin zwischen Original und Bild und
beide besitzen denselben Abstand von ihr. Die Schüler sehen Bild und Spiegelbild nun
quasi-zweidimensional: Das Paar steht nebeneinander in einer Ebene und zwischen den
beiden ist die Spiegelachse.


Dies ist dann auch das Motiv, das die Schüler anschließend am PC in einer DynaGeo-Da-
tei bearbeiten („Petrimännchen“). Der Übergang vollzieht sich somit sowohl inhaltlich als
auch methodisch vom Konkreten zum Abstrakten, sowie vom Dreidimensionalen zum
Zweidimensionalen. Die manipulierbare Darstellung des PCs bietet an dieser Stelle die
größtmögliche Ähnlichkeit zur Lebenswelt. Besonders durch die Dynamik der Software
können die Schüler hier noch einmal die zuvor thematisierten Aspekte wiederholt sehen:
Welchen Fuß bewegt das Bild, wenn das Original den rechten Fuß bewegt? Weiterhin bie-
tet die Übung den Schüler einen Erlebnisraum, in dem sie wichtigen Begriffe wie Urbild,
Bild und Spiegelachse kennen lernen und anwenden können. Solch eine bewegliche, le-
bensnahe Darstellung ist unmöglich mit einem Arbeitsblatt zu erreichen, so dass wir dem
PC an dieser Stelle klar den Vorzug gegeben haben.


2.2.4 Eigenschaften und Konstruktion einer Achsenspiegelung

Nachdem die dynamische Geometriesoftware in der vorangegangenen Stunde zur vertie-
fenden Übung eingesetzt wurde, wird sie nun zum entdeckenden Lernen verwendet. Dazu
wurde eine Euklid-Datei vorbereitet, so dass die Schüler unter Anleitung die Eigenschaften
einer Achsenspiegelung formulieren können. Auf den damit verbundenen Erkenntnisge-
winn wirkt sich erneut die Dynamik des Programms vorteilhaft aus. Es ist möglich, eine
große Vielzahl an Beispielen bereitzustellen, ohne dass jedes davon mühsam per Hand
konstruiert werden muss. Die Schüler können so verallgemeinernde Sätze wie „für alle ...
gilt ...“ bzw. „Bei einer Achsenspiegelung gilt immer …“ entdecken und formulieren. In die-
sem Zusammenhang ist es wichtig darauf hinzuweisen, dass Beispiele – egal wie viele –
niemals einen Beweis darstellen. Dem Lehrer bietet sich hier eine gute Gelegenheit, ma-
thematisches Vorgehen und typische Arbeitsweisen zu thematisieren.

Ein weiterer Grund, sich an dieser Stelle für eine Arbeit mit Euklid zu entscheiden, ist die
leichte Überprüfbarkeit der Aussagen. Mit Hilfe der Software-Funktionen „Messen und
Rechnen“ können sich die Schüler ihre Vermutungen selbst bestätigen.


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Mit den gewonnenen Erkenntnissen ist es möglich, eine Achsenspiegelung zu konstruie-
ren. An dieser Stelle stellt sich die methodische Frage, ob die Schüler die Spiegelung zu-
nächst „per Hand“, d.h. mit Zirkel und Lineal durchführen, oder sie ohne Wechsel des
Mediums am Computer lernen sollen.

Für eine Konstruktion am PC spricht die Vermeidung eines unnötigen Medien- und Ar-
beitsformwechsels, der für zusätzliche Unruhe sorgen würde. Neben diesem rein pragma-
tischen Grund bietet Euklid die Möglichkeit, „wirklich“ mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
Die Abstände könnten zwar auch wie mit dem Geodreieck gemessen und abgetragen wer-
den, die Konstruktion wäre dann aber nicht mehr dynamisch bzw. sogar falsch. Der Ab-
stand des Originals von der Spiegelachse bliebe dann immer noch variabel, die Bildfigur
hätte hingegen einen konstanten Abstand. Die Konstruktion mit der dynamischen Geome-
triesoftware zwingt die Schüler somit zur korrekten mathematischen Konstruktion mit Krei-
sen und macht deren Notwendigkeit für die Schüler einsichtig.
Der dritte Vorteil, den Euklid bietet, besteht hier darin, dass die Schüler ihre Konstruktion
wieder selbst kontrollieren können. Das Programm verfügt über eine automatische Spie-
gelfunktion. Stimmt die Schülerkonstruktion mit dem so erhaltenen Spiegelbild überein, ist
sie richtig.


Trotzdem haben wir in der konkreten Unterrichtsreihe mit der klassischen Konstruktion
einer Achsenspiegelung begonnen. In der gegebenen Unterrichtssituation erschien es uns
zunächst wichtiger, den Schülern mit möglichst hoher Chance ein Erfolgserlebnis zu er-
möglichen. Die Vorteile der genaueren dynamischen Konstruktion erhöhen zugleich den
Schwierigkeitsgrad und den Zeitaufwand. Weiterhin ist es für Sechstklässler wichtig,
ordentlich zeichnen zu lernen.1 Um die Vorteile beider Methoden zu kombinieren, haben
wir die Schüler zunächst eine Achsenspiegelung mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen
(Aufgabe 2 auf dem Arbeitsblatt AB006), um an diesem Beispiel die Konstruktionsvor-
schriften für alle verständlich erläutern und sichern zu können. Anschließend wurde das


1 Auch an dieser Stelle haben wir im Seminar lange über den Sinn der zu vermittelnden Fähigkei-
ten diskutiert. Mit der Maus des Computers erlernen die Schüler nicht die notwendige Feinmotorik,
die sie beim traditionellen Zeichnen auf dem Papier erhalten. Diese Form der Präzision ist aber
nicht allein eine wichtige motorische Entwicklungsaufgabe, sondern zugleich auch mit einem Ge-
spür für die Genauigkeit der Konstruktion an sich verbunden und somit durchaus ein mathemati-
scher Inhalt.

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erworbene Wissen als Vertiefung am PC erprobt. Im konkreten Fall erwies sich diese An-
ordnung als sehr gelungen, wie in der Reflexion der Unterrichtsreihe (vgl. 3.2.4) näher er-
läutert wird, die zugleich die Abwägung 'Papier gegen PC' am gegebenen Beispiel vertieft.


2.2.5 Konstruktion einer Spiegelachse

Inhaltlich greift diese Stunde das oben erwähnte Problem auf, dass es sich bei einer Spie-
gelachse um ein abstraktes Konstrukt handelt, welches jedoch hilfreich und notwendig ist,
um Spiegelungen und spiegelsymmetrische Figuren zu erkennen. Darüber hinaus stellt
diese Umkehrung der bisherigen Aufgaben, bei gegebener Spiegelachse das Spiegelbild
zu konstruieren, einen Transfer dar.2 Die neue Konstruktionsaufgabe ist mit dem erworbe-
nen Wissen über die Eigenschaften der Spiegelung zu lösen, so dass sie auch Rückmel-
dung über den Wissensstand der Schüler gibt.
Die Konstruktion erfolgt mit Zirkel und Lineal, da nur so die Feedbackfunktion der Aufgabe
gewährleistet werden kann. Bei einer Euklid-Datei wäre es möglich, einfach die verborge-
ne Spiegelachse ohne Konstruktion wieder sichtbar zu machen. Bei der Konstruktion mit
Zirkel und Lineal ist es notwendig, das bisher erworbene Wissen über die Eigenschaften
der Achsenspiegelung anzuwenden. Anschließend wird die Spiegelachse auch mit Dyna-
Geo konstruiert. Der PC wird somit zum vertiefenden Üben eingesetzt und die
Unterrichtssequenz wird methodisch und medial abgerundet.




2 Welche Details bei der Vorbereitung der DynaGeo-Dateien beachtet werden müssen zeigte die
Füllung der Figuren: Die von DynaGeo standardmäßig verwendete Straffur kann dazu führen, dass
die Schüler die Kongruenz zweier Figuren nicht erkennen können, wenn sie unterschiedliche
staffierte Füllung haben. Man kann als Lehrer diesen Aspekt der Füllung auch bewusst einsetzen,
um verständlich zu machen, dass die Füllung keine Eigenschaft ist, die ein Dreieck charakterisiert.
Wir haben uns aber dafür entschieden, eine weitere Problematisierung an dieser Stelle zu
vermeiden.

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3. Unterrichtssequenz
Die Unterrichtsreihe besteht aus fünf Teilen, für die insgesamt acht bis zehn Schul-
stunden benötigt werden. Von dieser Zeit entfällt fast die Hälfte (vier Schulstunden)
auf die Einführung in das Programm, ein Aufwand, dessen Relevanz für die mathe-
matischen Aktivitäten innerhalb der gesamten Schullaufbahn bereits im zweiten Kapi-
tel begründet wurde. Danach folgt eine Wiederholung und Vertiefung der Achsen-
symmetrie und die Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung. Diese beiden
Teile können gegebenen falls so modifiziert werden, dass sie im Klassenraum statt-
finden können, falls Laptop und tragbarer Beamer zu Verfügung stehen, für die restli-
chen Stunden ist die Belegung eines Computerraumes unverzichtbar. In den letzten
zwei bis drei Schulstunden der Reihe werden dann Eigenschaften und Konstruktion
einer Achsenspiegelung sowie die Konstruktion einer Spiegelachse besprochen.


3.1 Tabellarische Aufstellung

 I. Einführung in das Programm DynaGeo

 Beschreibung     Das Ziel dieser Unterrichtssequenz ist die systematische Einführung in das Pro-
                  gramm DynaGeo. Dabei werden die Schüler zunächst in einer Konstruktionsan-
                  leitung mit den wichtigen Programmfunktionen vertraut gemacht. In einem an-
                  schließenden Teil wenden die Schüler die gelernten Programmfunktionen in ei-
                  ner geometrischen Konstruktion in Partnerarbeit an.

 Lehrziele:       Die Schüler sollen …
                  •   den allgemeinen Umgang mit dem Computer üben (Dateien öffnen,
                      speichern, …).
                  •   die Grundlagen zur Bedienung von DynaGeo kennen lernen.
                  •   einfache dynamische Konstruktionen mit der Software eigentätig
                      durchführen können.

 Benötigte        AB001 - Einführung in DynaGeo
 Materialien      AB002 - DynaGeo für Fortgeschrittene
                  DynaGeo

 Zeitaufwand      180 Minuten

 Ablauf der Stunde

 Einstieg         Lehrer gibt eine kurze Anweisung zur Benutzung der Computer und teilt
                  Arbeitsblätter aus.



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Erarbeitung      Bearbeitung der Aufgabenblätter in Gruppenarbeit.

Auswertung/      Konstruktionen werden am Lehrercomputer durch die Schüler vorgestellt und
Sicherung        ggf. von anderen Schülern auf ihrem Computer ergänzt.
                 Die Schüler erhalten einen DynaGeo-Führerschein für Amateure oder Profis.




 II. Wiederholung und Vertiefung der Achsensymmetrie

 Beschreibung    Das Thema Achsensymmetrien wurde bereits in der 5. Klasse im Unterricht
                 thematisiert. Das Ziel dieser Unterrichtsstunde ist daher eine Wiederholung und
                 Vertiefung des Begriffs der Achsensymmetrie. Die Schüler sollen dabei in
                 Einzelarbeit Achsensymmetrien erkennen, benennen und achsensymmetrische
                 Figuren ergänzen.

 Lehrziele:      Die Schüler sollen …
                 •   achsensymmetrische Figuren erkennen können.
                 •   Abweichungen von Symmetrieeigenschaften erkennen und beschreiben
                     können.
                 •   Figuren derart ergänzen können, dass sie die achsensymmetrisch sind.
                 •   Begriffe wie Spiegelachse und Achsensymmetrie kennen und erklären
                     können.

 Benötigte       Arbeitsblätter AB003 und AB004
 Materialien     Folien F001 und F002
                 Libelle (auf Pappe ausgedruckt und ausgeschnitten)
                 Handspiegel
                 DynaGeo
                 Dateien „Fahne.geo“ und „Haus_Nikolaus.geo“

 Zeitaufwand     60 – 90 Minuten

 Ablauf der Stunde

 Einstieg        Lehrer zeigt achsensymmetrische Gegenstände auf einer Folie.
                 Frage: „Was fällt Euch bei diesen Bildern auf?“
                 Schüler benennen die Spiegelsymmetrie.
                 Lehrer schreibt das Thema Spiegelsymmetrie an die Tafel.

 Erarbeitung     Lehrer hält eine Libelle (auf Pappe ausgedruckt und ausgeschnitten) in die
                 Höhe und stellt die Frage: „Wie können wir herausfinden, ob es sich hierbei um
                 eine achsensymmetrische Figur handelt oder nicht?“.
                 Schüler äußern die Möglichkeiten, die Libelle an der Spiegelachse zu knicken

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                      oder einen Spiegel auf die Spiegelachse zu halten.
                      Lehrer lässt die Vermutung durch Falten der Libelle durch einen Schüler
                      überprüfen.

                      Lehrer teilt das Arbeitsblatt AB003/AB004 aus und lässt die Schüler die
                      Symmetrie der Libelle auf dem Arbeitsblatt mithilfe eines Handspiegels
                      überprüfen.
                      Lehrer erteilt den Auftrag, AB003 zu bearbeiten.

    Auswertung /      Schüler präsentieren ihre Ergebnisse am OHP3 und zeichnen die
    Sicherung         Spiegelachsen ein.
                      Sicherung an der Tafel.

    Vertiefung        Schüler bearbeiten Aufgabe 5 und 6 des Aufgabenblattes AB004.
                      Besprechung der Aufgaben anhand Folie002 am OHP.

    Tafelbild         Achsen- oder Spiegelsymmetrie

                      Achsensymmetrische Figuren bestehen aus zwei Hälften. Dabei entspricht
                      die eine Hälfte dem Spiegelbild der anderen. Man spricht auch von einer
                      Spiegel- oder Achsensymmetrie, weil das gleiche Bild entsteht, wenn man
                      einen Spiegel auf die Spiegelachse stellt.

                      Beispiel: Skizze der halben Libelle (so wie sie von den Schülern
                      ausgeschnitten ins Heft geklebt werden soll.)




    III. Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung

    Beschreibung      Die Schüler sollen in dieser Stunde mit dem Begriff der Achsenspiegelung kon-
                      frontiert werden. Dabei erschließen sich die Schüler den Begriff sich Grundlage
                      der Alltagserfahrung (Blick in den Spiegel). Die hierbei gewonnenen Erkenntnis-
                      se sollen dann auf eine achsengespiegelte Figur im Programm DynaGeo über-
                      tragen und weitere Eigenschaften herausgefunden werden.

    Lehrziele:        Die Schüler sollen …
                      •   den Begriff der Achsenspiegelung kennen lernen und mit ihrer
                          Alltagserfahrung verknüpfen können.
                      •   Begriffe wie Spiegelachse, Original, Bildfigur, Punkt und Bildpunkt
                          benennen und erklären können.
                      •   Eigenschaften einer Achsenspiegelung benennen können.

    Benötigte         Glasscheibe

3     OHP als Abkürzung für Overheadprojektor

13
                DynaGeo-Datei „Petrimännchen.geo“
Materialien
                Computer und Programm DynaGeo 2.7.

Zeitaufwand     30 – 45 Minuten

Ablauf der Stunde

Einstieg        Lehrer verabredet unter Ausschluss der Klasse mit zwei Schülern Original und
                Spiegelbild darzustellen. Dabei soll ein Schüler das Spiegelbild des anderen
                spielen.
                Lehrer fordert Schüler auf, zu beschreiben, was dargestellt wird.
                Schüler benennen Spiegelung.

Erarbeitung 1   Lehrer fragt, wer das Original und wer das Spiegelbild ist.
                Schüler benennen Original und Spiegelbild.
                Schüler sollen dem Original Anweisungen geben, das Spiegelbild beobachten
                und ggf. falsche Bewegungen des Spiegelbildes korrigieren.
                Lehrer fragt Schüler, an welcher Stelle die Glasscheibe (als Spiegel) stehen
                müsste. Schüler benennen die Mitte zwischen Original und Bildfigur als Position
                des Spiegels.
                Original und Spiegelbild drehen sich beide um 90° und Schüler geben weitere
                Anweisungen für Bewegungen des Originals und kontrollieren die Korrektheit
                der Ausführung durch die Bildfigur.

Erarbeitung 2   Lehrer gibt Arbeitsblatt AB005 aus und Schüler bearbeiten dieses.

Auswertung /    Lehrer zeigt Datei „Spiegelmann.geo“ auf der Projektionsfläche.
Sicherung       Schüler benennen die Begriffe Spiegelachse, Punkte, Bildpunkt, Original,
                Bildfigur und bezeichnen die Punkte/Spiegelpunkte mit A, A’, B, B’, …
                Schüler übernehmen die Bezeichnungen auf ihrem Arbeitsblatt.




IV. Eigenschaften und Konstruktion einer Achsenspiegelung

Beschreibung    Die Schüler sollen in dieser Stunde die Eigenschaften einer Achsenspiegelung
                eigenständig am Computer entdecken und in Form einer Konstruktion mit Zirkel
                und Lineal durchführen. Darüber hinaus sollen sie die Konstruktion auch
                mithilfe der dynamischen Geometriesoftware am Computer durchführen.

Lehrziele:      Die Schüler sollen …
                •   die Eigenschaften einer Achsenspiegelung kennen lernen und benennen
                    können.
                •   Eine Achsenspiegelung mithilfe von Zirkel und Lineal durchführen können.


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                 •   Eine Achsenspiegelung mit der dynamischen Geometriesoftware
                     konstruieren können.
                 •   Den Vorgang einer Spiegelung beschreiben können.

Benötigte        Arbeitsblatt AB006
Materialien      DynaGeo-Dateien „Wiederholung_Dreieck.geo“, „Dreieck.geo“ und „Trikot.geo“
                 Zirkel und Lineal
                 Computer und Programm DynaGeo 2.7.

Zeitaufwand      60 – 90 Minuten

Ablauf der Stunde

Wiederholung /   Lehrer zeigt die Datei „Wiederholung_Dreieck.geo“ auf der Projektionsfläche
Einstieg         und fordert Schüler auf, die Abbildung zu beschreiben bzw. fehlende Angaben
                 zu ergänzen.
                 Schüler erkennen eine Achsenspiegelung der Figur, benennen Punkte/Bild-
                 punkte und Spiegelachse als Spiegel. Lehrer ergänzt Schüleraussagen in der
                 Achsenspiegelung.
                 Lehrer teilt AB006 an die Schüler aus und erklärt die erste Aufgabe.

Erarbeitung      Schüler bearbeiten die Aufgabe auf dem Arbeitsblatt AB006
                 Schüler notieren ihre Beobachtungen und Vermutungen auf dem Arbeitsblatt (z.
                 B. gestrichelte Linie schneidet Spiegelachse im rechten Winkel, Punkt und Bild-
                 punkt sind gleich weit von der Spiegelachse entfernt, …).
                 Schüler überprüfen ihre Vermutung, indem sie die Winkel und die entsprechen-
                 den Längen messen.

Auswertung /     Lehrer fordert Schüler auf, ihre Ergebnisse zu formulieren.
Sicherung        Schüler beschreiben ihre Beobachtungen und formulieren eine Hypothese

                 (z. B. AA ' ⊥ a und AM a = M a A ' ).

                 Lehrer notiert die Ergebnisse auf Overheadfolie.
                 Lehrer und Schüler überprüfen die Hypothese an der Projektionsfläche.
                 Schüler übertragen Ergebnisse in ihr Arbeitsblatt.

Erarbeitung      Lehrer fordert Schüler dazu auf, die Spiegelung des Dreiecks (Aufgabe 2) unter
                 Berücksichtigung der Ergebnisse mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.
                 Schüler bearbeiten Aufgabe 2.

Auswertung       Lehrer fordert Schüler auf, ihre Konstruktion an der Tafel vorzuführen und zu
                 erklären.
                 Schüler führt seine Konstruktion an der Tafel vor und erklärt seine
                 Vorgehensweise.

Sicherung        Lehrer fordert Schüler dazu auf, eine Konstruktionsvorschrift für eine


15
                Achsenspieglung zu formulieren.
                Lehrer notiert Konstruktionsvorschrift an der Tafel. Schüler übertragen diese in
                ihr Heft.

Vertiefung      Schüler bearbeiten die Aufgabe 3 (AB006) und führen eine Achsenspieglung
                am Computer durch.
                Schüler präsentieren die Achsenspiegelung am Lehrercomputer.
                Schüler öffnen Datei „Trikot.geo“ und bearbeiten eine Anwendungsaufgabe
                (Aufgabe 4, AB006).
                Die Durchführung der Spiegelung wird am Lehrercomputer demonstriert und
                besprochen.

Tafelbild       Achsenspiegelung

                1) Konstruiere eine Gerade durch den Punkt A, die die Spiegelgerade g im
                    rechten Winkel im Punkt M schneidet.
                2) Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt M, der die Gerade im Punkt A und
                    in einem zweiten Punkt schneidet. Benenne den zweiten Schnittpunkt mit A’.
                3) Wiederhole die Schritte für alle Punkte der Bildfigur und verbinde diese wie
                    im Original.




V. Konstruktion einer Spiegelachse

Beschreibung    Ziel dieser Stunde ist die Vertiefung der Achsenspiegelung anhand einer
                Umkehraufgabe. Hierbei sollen die Schüler einen Perspektivwechsel erfahren,
                indem sie anhand achsengespiegelter Objekte die Spiegelachse konstruieren.
                Die Konstruktionen sollen sowohl mittels dynamischer Geometriesoftware als
                auch mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden.



16
Lehrziele:      Die Schüler sollen …
                    •     die Spiegelachse einer Achsenspiegelung mit Zirkel und Lineal
                          konstruieren können.
                    •     die Spiegelachse einer Achsenspiegelung mittels dynamischer
                          Geometriesoftware konstruieren können.
                    •     die Konstruktionsvorschrift für die Konstruktion der Spiegelachse
                          kennen.

Benötigte       Arbeitsblatt AB007
Materialien     DynaGeo-Dateien „Spiegelachse.geo“ und „Libelle.geo“
                Zirkel und Lineal
                Computer und Programm DynaGeo 2.7.

Zeitaufwand     30 - 45 Minuten

Ablauf der Stunde

Erarbeitung     Lehrer gibt AB007 aus und fordert Schüler zur Bearbeitung der Aufgabe 1 a) bis
                c) auf.
                Schüler entwickeln in Partnerarbeit eine Konstruktionsvorschrift für die
                Rekonstruktion der Spiegelachse und führen diese mit Zirkel und Lineal aus.
                Schüler überlegen sich eine Alternative und führen diese ebenfalls auf ihrem
                Arbeitsblatt mit Zirkel und Lineal durch.

Auswertung /    Schüler demonstrieren die beiden möglichen Vorgehensweisen (über
Sicherung       Mittelsenkrechte oder Verbindung der Streckenmittelpunkte zwischen Punkten
                und Bildpunkten) an der Tafel und diskutieren Alternativen im Schüler-Schüler-
                Gespräch.
                Schüler übernehmen die Konstruktionen in ihr Heft.

Erarbeitung     Lehrer fordert Schüler auf, Aufgabe 1 d) zu bearbeiten.

Auswertung      Lösungen werden am Lehrercomputer durch einen Schüler demonstriert und
                durch die Schüler ergänzt.

Vertiefung      Schüler bearbeiten Aufgabe 2 des Arbeitsblattes.
                Aufgabe 2 wird projiziert und durch einen Schüler am Lehrercomputer
                vorgeführt.




17
3.2 Reflexion der Unterrichtssequenz

3.2.1 Einführung in das Programm DynaGeo

Die Unterrichtssequenz wurde in 9 Unterrichtsstunden in einer 6. Klasse erprobt. Als Ein-
führung in das Programm konstruierten die Schüler zunächst nach Vorgaben ein Strich-
männchen und lernten damit alle wichtigen Funktionen des Programms kennen. Darauf
aufbauend wurden eigenständige Konstruktionen mit dem Programm durchgeführt. Die
Einführung endete mit der Ausgabe von DynaGeo-Führerscheinen für Amateure oder
Profis, an denen die Schüler reges Interesse zeigten.

Die Einführung in DynaGeo lief gut. Positive Aspekte dieses Teils waren die große Motiva-
tion, die die Schüler in Hinblick auf den Einsatz neuer Medien im Unterricht aufwiesen und
die daraus resultierende, intensive Auseinandersetzung mit den Inhalten. Einige Schüler
waren derart begeistert von der Arbeit mit dem Programm, dass sie dieses zu Hause auf
ihrem Computer installiert haben und die Aufgaben freiwillig bearbeiteten. Relativ wenige
Schüler zeigten eine Abneigungen oder Scheu vor der Auseinandersetzung mit dem Com-
puter.
In Bezug auf das Arbeitstempo konnte ich feststellen, dass dieses sehr heterogen inner-
halb der Lerngruppe war. Daher haben sich Zusatzaufgaben im Sinne einer Binnendiffe-
renzierung als unverzichtbar herausgestellt. Damit wurde verhindert, dass Leerlauf für ein-
zelne Schüler entstand.


Ein Nachteil an dieser insgesamt 4-stündigen Einführung in die Software bestand in der
Klassengröße von 33 Schülern und dem damit verbundenen hohen Betreuungsaufwand.
Es zeigte sich vor allem, dass sehr viel Betreuungszeit für die Lösung hardware- und soft-
waretechnischer Probleme aufgewendet werden musste und somit die Auseinanderset-
zung mit fachlichen Problemen zeitweise in den Hintergrund getreten ist. Darüber hinaus
war die Anzahl der zur Verfügung stehenden Rechner kaum ausreichend, da bis zu drei
Schüler an einem Computer saßen und somit nicht alle Schüler im gewünschten Maße
zum Zuge kamen.


3.2.2 Wiederholung und Vertiefung der Achsensymmetrie

Bei der Wiederholung des Begriffs der Achsensymmetrie zeigte sich, dass viele Schüler
diesen bereits aus der 5. Klasse kannten, Achsensymmetrien problemlos identifizieren und

18
Symmetrieachsen einzeichnen konnten. In diesem Teil war die große Fülle des Aufgaben-
materials nicht notwendig. Eine etwa 15-minütige Wiederholungsphase zur Identifizierung
von Achsensymmetrien scheint hierbei ausreichend zu sein.

Größere Probleme zeigten einige Schüler dagegen bei der Ergänzung von Figuren mit un-
vollständiger Achsensymmetrie. Dabei schienen gerade komplexere Figuren wie das
Fachwerkhaus (Arbeitsblatt AB004) Schwierigkeiten zu bereiten. Sehr positiv wurden in
diesem Teil der Unterrichtssequenz die Übungen am Computer aufgenommen. Die Schü-
ler mussten dabei ein Haus und zwei Fahnen am Computer ergänzen. In Anlehnung an
die Geobretter wurden die Arbeitsblätter derart am Computer gestaltet, dass ein grobes
Raster den Schülern die Ergänzung der jeweiligen Figuren erleichterte. Die Praxis zeigte,
dass den Schülern diese Übung relativ leicht von der Hand ging und sie zusätzlich die An-
wendung des Programms DynaGeo noch weiter üben konnten.


3.2.3 Einführung in den Begriff der Achsenspiegelung

In dieser Unterrichtsstunde sollten die Schüler den Begriff der Achsenspiegelung aus ihrer
Alltagserfahrung ableiten. Die Einführung des Begriffs, in der zwei Schüler Original und
Spiegelbild spielten, erwies sich als gelungen und die Unterrichtsatmosphäre wurde durch
dieses Rollenspiel aufgelockert. Ein wichtiger Punkt bei diesem Rollenspiel war die Dre-
hung der Schüler um 90°. So wurde der Übergang von der Alltagserfahrung hin zur ab-
strakten Darstellung einer Achsenspiegelung für die Schüler deutlich erleichtert. So hatten
die Schüler erheblich weniger Schwierigkeiten bei der Zuordnung der verschiedenen Be-
grifflichkeiten (wie etwa Spiegelachse, Original, Bildfigur, …), die sich aus dem Rollenspiel
fast zwangsläufig im Unterrichtsgespräch ergaben.

Die Verknüpfung der Alltagserfahrung mit der Achsenspieglung wurde auch dadurch er-
leichtert, dass die Schüler ein bereits gespiegeltes Strichmännchen in DynaGeo verändern
sollten. Die Dynamik des Programms ermöglichte den Schülern, Eigenschaften der Ach-
senspiegelung zu entdecken, ohne irgendetwas über die zugrunde liegende Konstruktion
zu wissen. Darüber hinaus konnten die Schüler mithilfe des Programms beobachten, wie
sich die Lageveränderung von Punkten des Urbildes auf die jeweiligen Bildpunkte der Bild-
figur auswirken. Dieser Aspekt wäre bei einer ausschließlichen Verwendung von Zirkel
und Lineal nicht möglich gewesen.




19
Für die Einführung des Begriffs der Achsenspiegelung wurde eine gesamte Schulstunde
aufgewendet. Dieser Zeitaufwand lässt sich jedoch rechtfertigen, da die Schüler an ver-
schiedenen Stellen Alltagsbezüge herstellen konnten und ein grundlegendes Verständnis
der Achsenspiegelung ermöglicht wurde.


3.2.4 Eigenschaften und Konstruktion einer Achsenspiegelung
(Unterrichtsbesuch)

Die Durchführung dieses Teils der Unterrichtssequenz erwies sich als besonders erfolg-
reich. Die Wiederholung erfolgte unter Anwendung der dynamischen Geometriesoftware.
So konnten Veränderungen am Original und die Auswirkungen an der Bildfigur direkt von
den Schülern mitverfolgt und beschrieben werden. Für die Benennung der Bestandteile ei-
ner Achsenspieglungen (Spiegelachse, Punkt, Bildpunkt, A, B, C, A’, B’, C’) konnten Be-
griffe interaktiv auf dem Arbeitsblatt verschoben und direkt zugeordnet werden.

Ein besonderer Vorteil der dynamischen Geometriesoftware wurde dann in der Erarbei-
tungsphase sichtbar: Ein Großteil der Schüler befand sich in der Lage, die Eigenschaften
einer Achsenspiegelung selbstständig zu erkennen und zu formulieren. Die Software er-
möglichte den Schülern, scheinbar unendlich viele unterschiedliche Varianten4 zu untersu-
chen und die Hypothesen eigenständig mithilfe der Messoptionen (Länge und Winkel mes-
sen) zu überprüfen. So fanden fast alle Schüler heraus, dass die Hilfslinien zwischen den
Punkten und den Bildpunkten durch die Spiegelachse halbiert werden und diese im rech-
ten Winkel schneiden. Die dynamische Geometriesoftware ermöglichte ein entdeckendes
Lernen ohne die zugrunde liegenden Eigenschaften einer Achsenspiegelung kennen zu
müssen.
Ein weiterer positiver Aspekt waren Entdeckungen, die ohne die Dynamik der Software
schlichtweg nicht möglich gewesen wären: So beobachte ein Schüler, dass bei einer Ver-
änderung der Lage der Spiegelachse lediglich die Bildfigur, nicht aber das Original, seine
Lage veränderte. Der Einsatz dieser Software in der Mathematik bietet die Möglichkeit,
Schülerexperimente (ähnlich wie in den Experimentalwissenschaften) durchführen und be-
obachten zu lassen. Als positiver Nebeneffekt wird dabei das Beobachtungsvermögen der
Schüler geschärft.


Nach der Phase der Computerarbeit sollten die Schüler die gewonnenen Erkenntnisse auf

4 Die Anzahl wird durch die Anzahl der Pixel des Bildschirms nach oben hin beschränkt.

20
eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal übertragen. Auf eine Konstruktion einer Achsen-
spiegelung am Computer wurde in dieser Phase verzichtet, da vermieden werden sollte,
die Schüler mit zusätzlichen Schwierigkeiten zu konfrontieren. So zeigte sich in den voran-
gegangenen Stunden, dass in einigen Fällen für die Konstruktion am Computer eine voll-
kommen andere Vorgehensweise erforderlich ist als beim Konstruieren mit Zirkel und
Lineal. Diese Einschätzung bestätigte sich dahingehend, dass ein großer Teil der Schüler
die Konstruktion mit Zirkel und Lineal erfolgreich durchführten, während beim Einsatz mit
dem Computer häufig Probleme auftauchten.
Nach der Demonstration der Konstruktion an der Tafel und der Sicherung der Konstruk-
tionsvorschrift sollten die Schüler eine Achsenspiegelung am Computer konstruieren. Hier-
bei zeigte sich, dass deutlich mehr Schüler Probleme mit der Konstruktion hatten als bei
der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Der Grund für diese Probleme lag in der programm-
immanenten, für die Konstruktion notwendigen Logik. So können Schnittpunkte nicht direkt
für die weitere Konstruktion genutzt werden, sondern müssen erst durch das Schneiden
zweier Linien erzeugt werden. Ein immer wieder auftauchendes Problem bestand darin,
dass Strecken bestimmter Länge nicht durch die Funktion „Messen“ (wie bei der Anwen-
dung des Geodreiecks) abgetragen werden können, sondern hierfür immer die Anwen-
dung eines Kreises notwendig ist. Des weiteren traten oft Ungenauigkeiten bei der Aus-
wahl von Punkten auf, so dass weitere Punkte in direkter Nachbarschaft entstanden.

Als Vertiefung in die Thematik sollten die Schüler ein Trikot der deutschen Nationalmann-
schaft mithilfe einer Achsenspiegelung konstruieren (AB006, Aufgabe 4). Hierbei konnte
beobachtet werden, dass diese Aufgabe die Schüler sehr motivierte und sie spielerisch die
Konstruktionsvorschrift einübten. Auch in diesem Fall zeigte sich, dass die Dynamik des
Programms die Erstellung neuer, lebensnaher Aufgaben ermöglicht, die die Schüler zu ei-
ner intensiven Auseinandersetzung mit der Materie anregte.


3.2.5 Konstruktion einer Spiegelachse

Im letzten Teil der Unterrichtssequenz sollten die Schüler einen Perspektivenwechsel er-
fahren, indem sie eine Umkehraufgabe lösen sollten. Den Schülern wurde ein bereits ge-
spiegeltes Objekt vorgegeben und sie sollten die fehlende Spiegelachse rekonstruieren.
Die erfolgreiche Bearbeitung dieser Aufgabe erfordert ein grundlegendes Verständnis für
die Eigenschaften einer Achsenspiegelung. Mit dieser Aufgabe sollte untersucht werden,
in welchem Maße die Eigenschaften einer Achsenspiegelung verstanden wurden. Die


21
Konstruktion der Spiegelachse sollte zunächst mit Zirkel und Lineal erfolgen und der Com-
puter erst im zweiten Schritt eingesetzt werden.
Die Lösung der Umkehraufgabe wurde von den meisten Schülern mit Zirkel und Lineal auf
Anhieb geschafft. Auch bei der Konstruktion am Computer bestanden keine größeren Pro-
bleme. Hierbei zeigte sich, dass die kontinuierliche Arbeit am Computer und der perma-
nente Wechsel zwischen der klassischen und der computergestützten Konstruktion eine
Beherrschung beider Methoden zur Folge hat. Die hohe Erfolgsquote bestätigt letztend-
lich, dass die Schüler die wesentlichen Eigenschaften der Achsenspiegelung verstanden
hatten.


3.2.6 Zusammenfassende Reflexion des Computereinsatzes

In der Rückschau erwies sich der parallele Einsatz des Computers und der klassischen
Konstruktionsmethoden als sehr erfolgreich. Die Schüler zeigten eine hohe Lernmotivation
und setzten sich handlungsorientiert mit den Fachinhalten auseinander. Bei vielen Schü-
lern konnten intensive Arbeitsphasen beobachtet werden, die auf die abwechslungsreiche
Gestaltung der Unterrichtsequenz durch mehrere Phasen- und Methodenwechsel zurück-
zuführen ist. Der Einsatz der dynamischen Geometriesoftware ermöglichte zudem ein
handlungsorientiertes und entdeckendes Lernen der Schüler und einen experimentellen
Einstieg in die Thematik.
Während der Wiederholungsphasen zeigte sich außerdem, dass die Lehrinhalte in hohem
Maße durch die meisten Schüler verinnerlicht wurden und die Anwendung keinerlei
Probleme bereitete. Auch die anfänglichen Schwierigkeiten mit der Bedienung des
Programms konnten durch den kontinuierlichen Einsatz der Software am Ende der
Unterrichtsequenz minimiert werden.

Neben den vielen Vorteilen, die der Einsatz der dynamischen Geometriesoftware im Un-
terricht bietet, zeigten sich jedoch auch einige Nachteile. So war der zeitliche Aufwand für
diese Unterrichtssequenz deutlich höher als bei einer klassischen Vorgehensweise. Der
Grund hierfür ist die Notwendigkeit einer gründlichen Einführung in das Programm und die
zahlreichen technischen Probleme, die im Unterricht behoben werden müssen. Während
der Unterrichtsgespräche konnte auch beobachtet werden, dass der Computer zusätzliche
Möglichkeiten für eine Ablenkung vom Unterrichtsgeschehen bietet. Ein weiteres Problem
besteht darin, dass die Abfolge der Schritte bei der Anwendung der dynamischen Geome-
triesoftware von den klassischen Konstruktionsschritten abweichen. Diese Unterschiede


22
führten teilweise zu einer Verwirrung der Schüler und erschwerten in diesen Phasen den
Zugang zu den Fachinhalten. Neben den didaktischen Problemen führt der Einsatz von
Computern aber auch zu neuen Rahmenbedingungen, die die Durchführung des Unter-
richts erschweren. So traten immer wieder technische Probleme auf, die den Fortgang des
Unterrichts verzögerten und die Betreuungszeit für fachliche Probleme einschränkte.


Die Durchführung der Unterrichtssequenz zeigte, dass Computer die Vermittlung von Leh-
rinhalten sehr effizient unterstützen können. Um jedoch den großen Zeitaufwand für die
Einführung in die Software zu minimieren, ist es sinnvoll, ein Programm an der Schule zu
etablieren, das in allen Jahrgangsstufen kontinuierlich angewendet wird. Somit kann ge-
währleistet werden, dass den Schülern die grundlegenden Funktionen des Programms be-
kannt sind. Eine weitere wichtige Konsequenz ist die Beachtung eines ausgewogenen
Verhältnisses von computergestützten und klassischen Konstruktionen mit Zirkel und
Lineal. So kann erreicht werden, dass visuelle und haptische Lerntypen in gleichem Maße
unterstützt werden.




23
4. Einsatz von Euklid DynaGeo in anderen Jahrgangsstufen
4.1 Flächeninhalt des symmetrischen Trapez (Klasse 8)

Der Inhalt der Unterrichtssequenz waren Flächeninhalte von Dreieck, Parallelogramm und
Trapez zu berechnen. Die Stunde für den Unterrichtsbesuch war die Formel für das sym-
metrische Trapez zu entdecken. Dabei hatten die Schüler vorher die Möglichkeit gehabt,
sich die Formel für den Flächeninhalt von Dreieck und Parallelogramm mit dem Programm
Euklid selbständig zu erarbeiten. Dabei wurden die Schüler mit dem Umgang des Pro-
gramms angeleitet.
Die Schüler brauchen viel Zeit, um so ein Programm wirklich gut zu beherrschen. Dazu
reichen 3 Unterrichtsstunden nicht aus. Dies hat sich auch in der Stunde des Unterrichts-
besuchs gezeigt. Die Schüler hatten immer noch Probleme mit dem Umgang des Pro-
gramms. Somit kam es auch immer wieder zu Fragen, wie sie z.B. eine Verschiebung defi-
nieren. Einige Schüler haben zu Hause keinen Computer zur Verfügung. Gerade diese
Schüler hatten Probleme, weil sie nicht so genau wussten, wo man genaue Hilfen findet,
obwohl diese vorher gezeigt worden sind. Darin sieht man auch die Wichtigkeit während
des Unterrichts in den Computerraum zu gehen, damit auch solche Schüler Erfahrungen
im Umgang mit dem Computer sammeln können.
Andere Schüler waren bereits so schnell mit der Aufgabe fertig, dass sie sich dann an-
schließend selbst beschäftigt haben. Da in der Goetheschule die Computer frontal zur
Tafel ausgerichtet sind, kann es passieren, dass man als Lehrer nicht mitbekommt, dass
bereits Schüler mit ihrer Aufgabe fertig sind.


Vorteilhaft in der Goetheschule ist die Anzahl der Computer. Es stehen im Computerraum
16 Computer zu Verfügung, so dass in einer kleinen Klasse (die Klasse G7a hat 24 Schü-
ler) sogar einige Schüler einzeln sitzen können. Dies macht auch den Lernerfolg für den
einzelnen Schüler größer, wenn er auch mal alleine an einem Computer arbeiten kann.
Der Computer mit einer dynamischen Geometriesoftware hat den Vorteil, dass man in der
Geometrie exakter arbeiten kann. Die Schüler sehen viele verschiedene Möglichkeiten ei-
ner Figur und können somit auf eine allgemeine Regel schließen, wenn sie entsprechend
dynamisch konstruiert haben.
Schülern fällt es in der Regel schwer, exakt zu zeichnen. Dieses Problem löst der Compu-
ter von alleine. Die Schüler erhalten exakte Werte und können sich auch die Werte anzei-
gen lassen. Es gibt keine Rechenungenauigkeiten. Ein weiterer Vorteil ist, dass die dyna-

24
mische Geometriesoftware den Schülern die Möglichkeit, den Flächeninhalt von beliebigen
Flächen zu berechnen. Gerade dieses Instrument wurde in dieser Unterrichtssequenz
stark ausgenutzt.

Die Schüler konnten sich ihre Vermutung mit Hilfe des Zugmodus des Programms bestäti-
gen lassen. Es ist also eine direkte Selbstkontrolle möglich, so dass die Schüler auch
einen Erfolg in ihrem Arbeiten sehen können. Die direkte Rückmeldung, ob ihre durchge-
führte Aktion nun richtig war oder nicht, ist sehr vorteilhaft. Die Schüler, die sonst immer
eine Rückmeldung durch den Lehrer benötigen, können an dieser Stelle eine Rückmel-
dung durch den Computer erhalten. Die Schüler können auch Fehler machen. Das Pro-
gramm erlaubt ihnen diese Fehler zu erkennen und wieder rückgängig zu machen. Wenn
die Schüler diese Fehler mit einem Blatt Papier machen, dann haben sie nicht mehr die
Möglichkeit, diesen Fehler rückgängig zu machen, sondern müssen von vorne beginnen.


Es gibt natürlich Schüler, die Probleme mit der Visualisierung haben und kein gutes Vor-
stellungsvermögen haben. Für diese Schüler ist der Ansatz nicht so gut geeignet. Diese
Schüler benötigen einen eher haptischen Zugang zu dem Thema.
Diesen haptischen Ansatz habe ich versucht, den Schülern zu Beginn der Stunde anzubie-
ten. Ich hatte ein Dreieck und ein Parallelogramm mit den entsprechend abzutrennenden
Dreiecken vorbereitet. Die Schüler sollten dann anhand dieser Figuren erklären, wie sie in
den vorhergegangenen Stunden die Problemstellung gelöst haben. Dies hat auch funktio-
niert. Das Parallelogramm war einfacher darzustellen als das Dreieck. Aber die Schüler
haben es dennoch geschafft, es adäquat darzustellen.


4.2 Satz des Pythagoras (Klasse 9)

Schwerpunkt der Unterrichtsstunde war der Einsatz von Euklid DynaGeo. Die dynamische
Geometriesoftware hat sich in der Unterrichtsstunde als hilfreich erwiesen. Die Schülerin-
nen und Schüler haben durch eine dynamische Geometrische-Software-Datei angeleitet
den Satz des Pythagoras selbst entdecken und formulieren können, indem sie die Flä-
cheninhalte der Quadrate über den Seiten in einer Tabelle festgehalten haben.

Nach anfänglicher Unsicherheit haben alle Schülerinnen und Schüler die Daten mit
Enthusiasmus erhoben. Etliche Schülerinnen und Schüler haben auch mehr als die gefor-
derten fünf Tripel in der Tabelle festgehalten. Einige Schülerinnen und Schüler haben we-


25
niger Tripel notiert, da ihnen der Umgang mit der Messfunktion noch schwerer gefallen ist.
Aber auch sie konnten aus ihren Daten eine Gesetzmäßigkeit – den Satz des Pythagoras
– ableiten.


Besonders erfreulich war die Formulierung des Satzes: Die Schüler haben den Satz als
geometrischen Zusammenhang und nicht als Formel ausgedrückt. Auch wenn sie dabei
eine stark operationalisierte Formulierung verwendet haben, zeigt dies doch, dass sie den
Inhalt des Satzes erkannt und verstanden haben. Somit wurde dieses Lernziel erreicht.
Der Einsatz des PC und insbesondere der dynamischer Geometriesoftware hat sich zur
Einführung des Satzes des Pythagoras für das entdeckende Lernen unter Anleitung als
sehr zweckdienlich erwiesen. Durch dieses Medium und diese Methode wird die Eigentä-
tigkeit stark gefördert, wodurch die Schülerinnen und Schüler die Inhalte besser verinnerli-
chen. Die Schüler haben durch die Dynamik der Software bereits sehr viele Variationen
von Dreiecken bezüglich Lage, Größe und Seitenverhältnissen gesehen, so dass es ihnen
leicht fällt, die Figur des Satzes wieder zu erkennen. Das haben auch die nachfolgenden
Stunden gezeigt, in denen der Satz bewiesen (in der Stunde wurde nur eine Vermutung
entwickelt!), aber auch Anwendungsaufgaben zeichnerisch und rechnerisch gelöst wur-
den.

Für eine solche Vielzahl an Visualisierungen, wie Euklid sie hier liefert, wären unter Ver-
wendung von Tafel oder Overheadprojektor mehrere Stunden nötig gewesen. In dieser
Beziehung stellt Euklid eine extreme Zeitersparnis dar. Darüber hinaus fällt es den
Schülern leichter, Aussagen wie „für alle … gilt …“ zu formulieren, da durch die Dynamik
der Software beliebig viele Beispiele bereit gestellt werden.
Nachteilig ist jedoch, dass die Software im Unterricht eingeführt werden muss. Auch wenn
die Schülerinnen und Schüler zu keinem Zeitpunkt Ablehnung gegen das Medium Compu-
ter gezeigt haben, ist es notwendig, sie mit diesem vertraut zu machen. Auch wollen die
Schülerinnen und Schüler die Funktionen und Möglichkeiten des Programms entdecken
und ausprobieren. Der wirklichen Arbeitsphase mit dem Programm muss also eine spiele-
rische und sehr zeitintensive Entdeckung der Software vorausgehen.


An der Eleonorenschule kommt erschwerend hinzu, dass der PC-Pool nur für die halbe
Klassenstärke ausgelegt ist, die Klasse also immer geteilt werden muss. Für die andere
Hälfte müssen eine Aufgabe und eine Aufsicht gefunden werden, was wiederum mit orga-


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nisatorischem Aufwand verbunden ist. Die Vorbereitung der Entdeckung des Satzes hat
für die neunte Klasse drei Unterrichtsstunden je Klassenhälfte benötigt, was mit Bespre-
chung der jeweils gewonnenen Ergebnisse eine Vorbereitungszeit von fast zwei Wochen
bedeutet. Es wäre daher hilfreich, wenn der Umgang mit PC und Geometriesoftware be-
reits in jüngeren Klassen eingeführt und geübt werden würde. Dann könnte die dynami-
sche Geometriesoftware auch bei anderen Themen zur Visualisierung oder für das
entdeckende Lernen verwendet werden.




Literatur:

Donicht, Jörg (2003): Medien im Unterricht. in: Bovet, Gislinde und Volker Huvendiek
     (Hrsg.) (2004): Leitfaden Schulpraxis. Pädagogik und Psychologie für den Lehrberuf. 4.
     überarbeitete Auflage. S. 150 -177. Berlin.

Lehrer-Online (Hrsg.) (2006): Digitale Werkzeuge für den Unterricht. http://www.lehrer-
     online.de/dyn/9.asp?url=493913.htm . Internet.

NRW Learnline (Hrsg.) (2006): Neue Medien im Mathematikunterricht. http://www.learn-
     line.nrw.de/angebote/medienmathe/ . Internet.

Roth, Jürgen (2006): EUKLID DynaGeo-Seiten von Dr. Jürgen Roth. http://www.juergen-
     roth.de/dynageo_roth.html . Internet.

ZUM-Wiki (Hrsg.) (2006): Software Mathematik.
     http://www.zum.de/wiki/index.php/Software_(Mathematik) . Internet.




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