Programación Lineal Programación Entera by tpf49254

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									Programación Lineal

Programación Entera
Universidad del CEMA
      LDE 700
Teoría de la Decisión



Alejandro Bustamante
   Ariadna Berger
       Programación Lineal
La PL es un método matemático de
  resolución de problemas donde el
  objetivo es optimizar (maximizar o
  minimizar) un resultado a partir de
  seleccionar los valores de un
  conjunto de variables de decisión,
  respetando restricciones
  correspondientes a disponibilidad de
  recursos, especificaciones técnicas,
  u otras condicionantes que limiten la
  libertad de elección.
En PL un sistema de producción se representa
  mediante un modelo o matriz en el que se
  incluyen:

   costos e ingresos generados por unidad de
    actividad (función objetivo).
   aportes y requerimientos de insumos y
    productos por unidad de cada actividad
    considerada (coeficientes insumo/producto).
   disponibilidad de recursos, especificaciones
    técnicas y empresariales a respetar (RHS).
        Representación matemática de un
                problema de PL
   Función objetivo
    Z = c1X1 + c2X2 + ... + cnXn

   Relaciones entre Requerimientos y
    Disponibilidad de Recursos
    a11X1 + a12X2 + ..... + a1nXn                 <= b1
    ............................................. <= ..
    am1X1 + am2X2 + ..... + amnXn <= bm
    Xj = variables de decisión
    cj = costos o ingresos por unidad
    aij = coeficientes insumo producto
    bi = disponibilidad de recursos
                   Supuestos
Proporcionalidad
   Las actividades se pueden representar
    mediante funciones de producción lineales.
    Esto implica asumir retornos constantes a
    escala. Por consiguiente:
   el uso de recursos por parte de una actividad
    es proporcional al nivel de la actividad.
               Supuestos (cont.)
Aditividad
   El uso total de recursos es la suma de los
    recursos empleados por las actividades
    individuales.
   El valor de la función objetivo es la suma de
    las contribuciones de las actividades
    individuales.
   La contribución de una variable de decisión a
    la función objetivo o al uso de recursos es
    independiente de los valores que se asignen
    a otras variables de decisión.
               Supuestos (cont.)

Divisibilidad
 Es posible que las variables tomen
  valores no enteros.

Certeza
   Se asume que no hay aleatoreidad en los
    coeficientes que definen a las variables de
    decisión del problema.
            Campo de Factibilidad

   Es el conjunto de posibilidades de producción
    que cumple con la condición de respetar
    todas las restricciones de un problema de
    decisión.
   De todas las alternativas técnicamente
    factibles, hay una sola que es óptima desde
    el punto de vista de la función a optimizar.
   Hay una serie de soluciones subóptimas que
    vale la pena explorar.
    Tasa Marginal de Sustitución Técnica

   Es la relación técnica que define el
    reemplazo de dos actividades entre sí
    manteniendo constante el uso de un
    determinado recurso.
               Ingreso Marginal

   Es el incremento en el resultado provocado
    por el ingreso en la solución de una unidad
    adicional de una actividad.
    Costo de Oportunidad (Precio Sombra)
   Cuando el objetivo es maximizar el resultado,
    el Costo de Oportunidad es el beneficio que
    se deja de percibir por no contar con una
    unidad adicional de un recurso.
   El Costo de Oportunidad de un recurso se
    determina en base al mejor uso alternativo.
    En términos económicos, es equivalente al
    Valor del Producto Marginal del recurso.
   Los recursos escasos se asignan a aquellas
    actividades en las que el valor del producto
    marginal de cada recurso sea mayor.
        Costo de Oportunidad (cont.)
   El valor de los recursos obtenido de acuerdo
    al criterio de VPMg es “interno”, propio de
    cada situación evaluada en función de las
    alternativas consideradas tanto en sus
    aspectos de mercado (costos y precios)
    como técnicos (funciones de producción
    asociadas a cada alternativa), y de la
    abundancia o escasez relativa de los
    recursos disponibles.
   Por consiguiente, el Costo de Oportunidad
    Interno de un recurso puede diferir de su
    valor de mercado.
                Costo Marginal

   En un problema de maximización, el Costo
    Marginal es el incremento en el costo total
    resultante de agregar una unidad de
    actividad en la solución.
   En PL, el Costo Marginal de una actividad se
    calcula valuando los recursos consumidos
    por cada actividad según el Costo de
    Oportunidad Interno de los recursos.
    Principio de Optimización (Simplex)
   En un problema de maximización, conviene
    incrementar la participación de una actividad en el
    plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor que el
    Costo Marginal que se incurra.
   Se llega a una solución óptima siguiendo un
    mecanismo iterativo, en la que cada solución mejora
    sobre la previa a partir de incluír actividades que
    aportan más que lo que “cuestan”.
   Se llega a una solución óptima cuando no hay
    sustituciones factibles que permitan lograr un
    resultado mayor. Para todas las actividades incluídas
    en el óptimo se cumple el principio:
            Ingreso Marginal = Costo Marginal
    Costo de Sustitución (Costo Reducido)
   Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal
    y el Costo Marginal para cada actividad.
   En una solución óptima, las actividades
    incluídas en el plan cumplen con la condición
    Ingreso Marginal = Costo Marginal, por lo que
    el Costo de Sustitución de las mismas es
    igual a 0.
   Las actividades no incluídas en el plan tienen
    un Costo Marginal mayor que su Ingreso
    Marginal. El Costo de Sustitución indica la
    magnitud de esta diferencia.
                Solución óptima

   Una solución es óptima para una situación
    determinada en relación a precios relativos,
    funciones de producción, disponibilidad de
    recursos y restricciones empresariales
    especificadas.
   Cualquier alteración en los supuestos
    empleados va a tener un impacto cierto en el
    resultado obtenido y eventualmente en el
    nivel o composición de las actividades
    incluídas en la solución.
             Información obtenida
   Resultado (óptimo)
   Dimensión de cada actividad en la solución
   Costo de Sustitución de las actividades
   Uso de cada recurso
   Costo de Oportunidad de cada recurso
   Rango de precios dentro del cual no se
    modifica la dimensión de las actividades en la
    solución (ceteris paribus)
   Rango dentro del cual se mantiene el Costo
    de Oportunidad de cada recurso (ceteris
    paribus)
           Soluciones degeneradas

   Cuando en la solución hay menos variables
    con valores positivos que cantidad de
    restricciones, la solución es degenerada.
   En general la degeneración no es un
    problema, pero a veces puede ocurrir que
    haya soluciones óptimas alternativas que no
    son fáciles de identificar.
   Costos de sustitución igual a 0 o costos de
    oportunidad igual a 0 son indicadores de
    soluciones degeneradas.
             Soluciones fallidas
Solución no factible
 Posibles causas: error en la formulación (p.ej.
  una desigualdad con signo equivocado), o
  problema con restricciones incompatibles.
Solución no limitada
 El modelo fue formulado de tal modo que la
  función objetivo puede aumentar (en un
  problema de maximización) o disminuír (en
  un problema de minimización) sin límites.
 Posibles causas: falta incluír alguna
  restricción esencial o se introdujo algún
  coeficiente con signo equivocado.
           Problemas de Transporte
   Hay un conjunto de m puntos de origen
    desde los que se envía una mercadería.
   Cada punto de origen i tiene una capacidad
    máxima de abastecimiento.
   Hay un conjunto de n puntos de demanda
    hacia los que se destina mercadería.
   Cada punto de demanda j debe ser
    abastecido con un mínimo de mercadería.
   Cada unidad producida en un punto de
    origen i y enviada a un punto de demanda j
    incurre en un costo cij
    Balanceo de un problema de transporte
   Si la oferta excede a la demanda, se puede
    balancear el problema creando un punto de
    demanda ficticia que absorba el exceso de
    oferta.
   Si la demanda excede a la oferta, para que el
    problema se vuelva factible se puede permitir
    no satisfacer parte de la demanda pagando
    una penalidad por unidad de demanda
    insatisfecha. Se agrega un punto de
    abastecimiento ficticio con una capacidad
    igual a la demanda insatisfecha, y una
    penalidad asociada a cada punto demanda.
   Problemas de Asignación: son problemas
    balanceados de transporte en los cuales
    todas las ofertas y todas las demandas son
    iguales a 1.

   Problemas de Transbordo: son problemas
    de transporte en los que se agregan puntos
    de transbordo. Los puntos de transbordo son
    puntos que pueden tanto recibir mercadería
    de otros puntos como enviar mercadería a
    otros puntos.
        Programación Entera / Mixta

   Los problemas de programación con enteros
    se formulan de la misma manera que los
    problemas de programación lineal, pero
    agregando la condición de que al menos
    alguna de las variables de decisión debe
    tomar valores enteros.
   Una variable de decisión binaria sólo puede
    tomar valores 0 o 1. Una variable entera
    puede tomar cualquier valor, en tanto éste
    sea entero.
Factores a considerar al incluír variables
  de decisión enteras en un problema.
   El procedimiento de resolución es bastante
    más trabajoso que el método Simplex.
   Se pierde la posibilidad de contar con
    información sobre el costo de oportunidad de
    los recursos y el costo de sustitución de las
    actividades.
Resolución de problemas enteros por el
    método de Ramificar y Podar
   En un problema con enteros existe un
    número finito de soluciones posibles (no
    todas son factibles) que pueden
    representarse mediante un diagrama de
    árbol.
   No hace falta enumerar todas las soluciones
    posibles si se pueden eliminar “ramas
    dominadas”.
   Una rama puede eliminarse si puede
    demostrarse que no contiene una solución
    factible que sea mejor que una ya obtenida.
Pasos en el método de Ramificar y Podar
   1. Comenzar: resolver el problema como si
    fuera un problema ordinario de PL (relajación
    de enteros). La solución obtenida se toma
    como cota máxima y base para el
    procedimiento de búsqueda de una solución
    factible.
   2. Ramificar: a partir de la solución de PL
    designar una variable como entera y
    seleccionar, a partir de los posibles valores
    enteros que pueda tomar, una rama para
    investigarla.
           Ramificar y Podar (cont.)

   3. Limitar: encontrar un límite para el
    problema definido por la rama seleccionada.
    El límite está dado por el valor de la mejor
    solución factible de enteros encontrada hasta
    el momento, y domina a todos los otros
    posibles resultados de una rama.
           Ramificar y Podar (cont.)
   4. Comparar: comparar la solución obtenida
    en la rama con el límite de referencia vigente.
    – Si el valor de la solución es menor que el límite
      vigente, se elimina de consideración toda la nueva
      rama. Se continúa con las ramas que no hayan
      sido evaluadas aún.
    – Si el valor de la solución es mejor que el límite
      vigente y si la solución es entera (factible),
      entonces se convierte en el nuevo límite de
      referencia. Se examinan las ramas que aún no se
      han considerado en relación al nuevo límite.
    – Si el valor de la solución es mayor que el límite
      vigente, pero la solución no es entera (factible)
      deben explorarse las ramificaciones de nivel
          Ramificar y Podar (cont.)

   5. Terminar: quedarse con la mejor solución
    factible obtenida una vez examinadas todas
    las ramificaciones.
      Problemas con Variables Binarias
   Estibaje: son problemas con una sola restricción de
    capacidad.

   Cargo Fijo: hay un costo asociado con desarrollar
    una actividad que no depende del nivel de la
    actividad.

   Cobertura: cada elemento de un conjunto debe ser
    “cubierto” por un elemento aceptable de otro
    conjunto. El objetivo del problema es minimizar el
    número de elementos del segundo conjunto
    requerido para cubrir todos los elementos del primer
    conjunto.

   Escala mínima de operación

								
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