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					 GUÍA DIDÁCTICA PARA EL PROFESOR




MATEMÁTICA
        E   D U C A C I Ó N            B   Á S I C A



        JAVIERA SETZ MENA
        LICENCIADA EN MATEMÁTICA,
        LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
        PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
        PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

        ROSSANA HERRERA CONCHA
        PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
        PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
        MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA,
        PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO

        FRANCISCO ROJAS SATELER
        PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
        PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
El material didáctico Guía para el Profesor
Educación Matemática, para Octavo Año
de Educación Básica, es una obra colectiva,
creada y diseñada por el Departamento
de Investigaciones Educativas
de Editorial Santillana, bajo la dirección de
      MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación del Proyecto:
     EUGENIA ÁGUILA GARAY

Coordinación Área Matemática:
     VIVIANA LÓPEZ FUSTER

Edición:
      JAVIERA SETZ MENA
      ÁNGELA BAEZA PEÑA
      MARCIA VILLENA RAMÍREZ

Autores:
     JAVIERA SETZ MENA
     ROSSANA HERRERA CONCHA
     FRANCISCO ROJAS SATELER

Corrección de estilo:
      ISABEL SPOERER VARELA

Documentación:
    PAULINA NOVOA VENTURINO
    MARÍA PAZ CONTRERAS FUENTES

La realización gráfica ha sido efectuada
bajo la dirección de
      VERÓNICA ROJAS LUNA

con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación gráfica:
     CARLOTA GODOY BUSTOS

Coordinación gráfica Licitación:
     XENIA VENEGAS ZEBALLOS

Diagramación:
     ALFREDO GALDAMES CID
     XIMENA MONCADA LOMEÑA
     FERNANDA PARDO LAGOS
     LORETO FIGUEROA LIZANA
                                                                       Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del
                                                                      "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o
Cubierta:                                                                  parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
     XENIA VENEGAS ZEVALLOS                                             reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
                                                                                                                  mediante alquiler o préstamo público.

Producción:                                                            © 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones
     GERMÁN URRUTIA GARÍN                                             Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
                                                                                                        PRINTED IN CHILE
         www.santillana.cl                                                     Impreso en Chile por World Color Chile S.A.
   areaciencias@santillana.cl                                                                     ISBN: 956 - 15 - 1264 - 5
                                                                                                     Inscripción N° 159.848

         Referencias del Texto Matemática 8, Educación Básica, Proyecto Futuro, de los autores: Cristián Vergara Bize,
                             Jaime Ávila Hidalgo, Lorna Jiménez Martínez, Ana Rojas Fernández.
                                Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2003.
         Índice

                  Fundamentación                                                    4

                  Ejes del proyecto                                                 4


                  Marco curricular                                                  6

                  Objetivos Fundamentales Verticales para NB6                       6

                  Contenidos Mínimos Obligatorios NB6                               6

                  Objetivos Fundamentales Transversales
                  para la Educación Básica                                          8
                  Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)    10


                  Presentación                                                     14

                  Organización del texto para el estudiante                        14

                  Estructura de la guía para el profesor                           16


                  Orientaciones didácticas                                         18

                  Unidad 1                                                         18
                  Unidad 2                                                         30
                  Unidad 3                                                         40
                  Unidad 4                                                         50
                  Unidad 5                                                         64
                  Unidad 6                                                         72
                  Unidad 7                                                         84
                  Unidad 8                                                        100
                  Unidad 9                                                        110


                  Solucionario                                                    124


                  Bibliografía                                                    126




Índice                                                                                  3
    Fundamentación

Ejes del proyecto
                     Esta serie de textos ha sido elaborada sobre la base de los siguientes ejes:

                    Contexto educacional actual



          1          El año 2007 el Ministerio de Educación hizo una revisión del currículum, para responder a
                     diversos requerimientos sociales y para mantener su vigencia y relevancia. En este
                     contexto, el Ministerio ha elaborado un Ajuste Curricular que tiene como propósito:
                     mejorar la definición curricular nacional para responder a problemas detectados, así como
                     a diversos requerimientos sociales y a los cambios en el mundo productivo y tecnológico.
                     No se trata de una nueva Reforma Curricular, ya que el currículum sigue manteniendo su
                     enfoque y está orientado hacia el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes
                     que son relevantes para el desenvolvimiento personal, social y laboral de los sujetos en la
                     sociedad actual.

                     Este Ajuste considera que el aprendizaje de la Matemática debe buscar, consolidar,
                     sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas
                     poseen. Busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que
                     posibiliten a los y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así
                     profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de su confianza en las propias
                     capacidades para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la
                     Matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas
                     que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y
                     seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

                     La presente propuesta didáctica para Matemática 8 aborda el conjunto de Objetivos
                     Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del subsector y nivel establecidos en el
                     Ajuste Curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación (CSE) el año 2009, e
                     integra y articula el tratamiento de Objetivos Fundamentales Transversales con los
                     contenidos y actividades centrales, dando énfasis especialmente a los siguientes:
                     aceptación y valoración de la diversidad etaria, cultural, socioeconómica, de género,
                     condición física, opinión u otras; respeto a la vida, conciencia de la dignidad humana y de
                     los derechos y deberes de todas las personas; preservación de la naturaleza y cuidado del
                     medioambiente; desarrollo de habilidades de pensamiento.

                     Tanto el texto para el estudiante Matemática 8 como la Guía para el profesor se
                     organizan a partir de los cuatro ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos y
                     Azar, considerando como eje transversal el de razonamiento que incluye tanto la
                     resolución de problemas, exploración de caminos alternativos y modelamiento de
                     situaciones o fenómenos, como el desarrollo del pensamiento creativo, analógico y crítico
                     para la formulación de conjeturas, búsqueda de regularidades y patrones y, discusión de
                     la validez de las conclusiones.
                     Si desea saber más sobre el Ajuste Curricular visite:
                     www.curriculum–mineduc.cl/ayuda/ajuste–curricular/




4                                                                                                   Fundamentación
     2
                 Trabajo con los conocimientos previos de los alumnos
                   Los textos consideran como punto de partida para el desarrollo de los contenidos, los
                   conocimientos previos y la experiencia de los estudiantes, a partir de los cuales van a adquirir
                   nuevos conocimientos y experiencias que serán la base de los aprendizajes que seguirán
                   construyendo en el transcurso de toda su vida escolar.




     3
                 Metodología
                   Este es uno de los ejes fundamentales de esta nueva propuesta, que pone énfasis en la
                   explicitación de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; en la
                   formalización de los mismos; y en la ampliación y profundización de estos, cuando sea
                   pertinente.
                   Los contenidos se desarrollan de una manera secuencial, desde los conceptos generales a los
                   particulares, apelando en primer lugar a la experiencia (cotidianidad) de los niños y niñas, y
                   luego al análisis y desarrollo de los contenidos.




     4
                 Trabajo con la transversalidad
                   En los textos de esta serie se promueve el trabajo sistemático e intencionado de algunos de
                   los Objetivos Fundamentales Transversales planteados para la Educación Básica, mediante el
                   trabajo y la generación de distintas situaciones de aprendizaje, que favorecen la formación
                   ética de los estudiantes, su autoconocimiento, desarrollo personal, y la capacidad para
                   relacionarse con los demás y con su entorno, de una manera apropiada.




     5
                 Evaluación permanente
                   Para obtener información respecto de cómo evoluciona el aprendizaje de los estudiantes,
                   resulta fundamental evaluar durante todo el proceso. Por esta razón, en los textos se
                   presentan actividades que pueden convertirse en instancias de evaluación antes, durante y
                   después del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto permite mantener informados tanto al
                   docente como al estudiante, de sus respectivos progresos y debilidades, permitiendo así
                   tomar a tiempo las decisiones que sean pertinentes.




      6
                 Variedad de recursos

                   Esta propuesta ofrece materiales prácticos y útiles de apoyo al proceso de enseñanza-
                   aprendizaje. Estos recursos entregan tanto al profesor(a) como al alumno(a), una mayor
                   potencialidad para trabajar con el texto.




Fundamentación                                                                                                   5
 Marco curricular

Objetivos Fundamentales Verticales para NB6 (8º año básico)


 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.
 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural,
    determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y
    exponente natural.
 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a
    través de ellas.
 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas
    en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
 5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de
    sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas
    transformaciones.
 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de
    una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos
    rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar
    este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes.
 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central,
    ampliando al caso de datos agrupados en intervalos.
 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de
    inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de
    datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan.
10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con
    resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.
11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casos
    particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y
    significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para
    fundamentar opiniones y tomar decisiones.

Contenidos Mínimos Obligatorios NB6 (8º año básico)

                                       Números
                                        1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número
                                           natural por un número entero negativo y extensión de dichos
                                           procedimientos a la multiplicación de números enteros.
                                        2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la
                                           división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho
                                           algoritmo.
                                        3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el
                                           uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación
                                           y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de
                                           potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a
                                           potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente
                                           natural.




6                                                                                                   Marco curricular
                    4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que
                       involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros,
                       potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y
                       exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los
                       procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

                   Álgebra:
                    5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos
                       variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis
                       del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y
                       gráficos.
                    6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre
                       variables dependientes e independientes en ellas e identificación de
                       sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e
                       interpretación de la notación de funciones.
                    7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones
                       de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en
                       contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en
                       forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con
                       el caso proporcional.
                    8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes
                       proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de
                       software gráfico.
                    9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso
                       de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.

                   Geometría:
                   10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras
                       geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y
                       empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las
                       invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.
                   11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y
                       argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas
                       en dichas teselaciones.
                   12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares
                       geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e
                       identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.
                   13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud
                       de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y
                       estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares
                       inscritos en la circunferencia.
                   14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen
                       del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y
                       cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un
                       procesador geométrico.
                   15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran
                       el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la
                       superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.

Marco curricular                                                                                7
 Marco curricular

                                        Datos y Azar:
                                        16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar
                                            información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en
                                            intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante
                                            experimentos o encuestas.
                                        17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en
                                            intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas,
                                            a partir de diversos contextos y determinación de la media
                                            aritmética y moda en estos casos.
                                        18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en
                                            algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características
                                            de poblaciones, ejemplificación de casos.
                                        19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos
                                            contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación
                                            acerca de la información que ellas entregan.
                                        20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son
                                            equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios
                                            mediante el uso de herramientas tecnológicas.
                                        21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en
                                            experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos
                                            o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio
                                            multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de
                                            los sucesos o eventos.
                                        22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un
                                            evento en un experimento aleatorio, con un número finito de
                                            resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.


Objetivos Fundamentales Transversales para la Educación Básica

En relación a la formación ética:

• Ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal y actuar habitualmente
  con generosidad y solidaridad, en el marco del reconocimiento y respeto por la justicia, la verdad,
  los derechos humanos y el bien común.
• Respetar y valorar las ideas y creencias distintas de las propias y reconocer el diálogo como fuente
  permanente de humanización, de superación de diferencias y de aproximación a la verdad.
• Reconocer, respetar y defender la igualdad de derechos esenciales de todas las personas, sin distinción de
  sexo, edad, condición física, etnia, religión o situación económica.

En relación con el crecimiento y autoafirmación personal:

• Promover y ejercitar el desarrollo físico personal en un contexto de respeto y valoración por la vida y el
  cuerpo humano; desarrollar hábitos de higiene personal y social y de cumplimiento de normas de seguridad.
• Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y el sentido de crítica y autocrítica.
• Promover el interés y la capacidad de conocer la realidad, utilizar el conocimiento y seleccionar información
  relevante.



8                                                                                                  Marco curricular
• Ejercitar la habilidad de expresar y comunicar las opiniones, ideas, sentimientos y convicciones propias, con
  claridad y eficacia.
• Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.
• Promover una adecuada autoestima, la confianza en sí mismo y un sentido positivo ante la vida.



En relación con la persona y su entorno:

• Participar responsablemente en las actividades de la comunidad y prepararse para ejercer en plenitud los
  derechos y cumplir los deberes personales que reconoce y demanda la vida social de carácter democrático.
• Comprender y apreciar la importancia que tienen las dimensiones afectivas y espirituales y los principios y
  normas éticas y sociales para un sano y equilibrado desarrollo sexual personal.
• Apreciar la importancia social, afectiva y espiritual de la familia y de la institucionalidad matrimonial.
• Proteger el entorno natural y promover sus recursos como contexto de desarrollo humano.
• Reconocer y valorar las bases de la identidad nacional en un mundo cada vez más globalizado e
  interdependiente.
• Desarrollar la iniciativa personal, el trabajo en equipo y el espíritu emprendedor, y reconocer la
  importancia del trabajo como forma de contribución al bien común, al desarrollo social y al crecimiento
  personal, en el contexto de los procesos de producción, circulación y consumo de bienes y servicios.




Marco curricular                                                                                                  9
     Marco Curricular

Información sobre los Mapas de Progreso del Aprendizaje (MPA)

A partir del año 2007, el Ministerio de Educación ha puesto gradualmente a disposición del sistema escolar los
Mapas de Progreso del Aprendizaje, que son un instrumento de apoyo al docente para monitorear el progreso
en el aprendizaje de sus alumnos(as), identificando distintos niveles de logro.
Los niveles de logro son descripciones de los aprendizajes que demuestran los alumnos(as), y le ayudarán a
saber cuántos de sus estudiantes han alcanzado aprendizajes que les permitirán abordar bien los aprendizajes
del nivel siguiente, cuántos se encuentran progresando hacia esos aprendizajes y cuántos están recién iniciando
ese proceso.
Ya sabemos que todos somos distintos y por lo mismo no todos aprendemos de la misma manera o al mismo
ritmo, por esto, el conocer el nivel en el que se encuentra cada uno de sus alumnos(as)le servirá para atender la
diversidad de estudiantes que se presenta en su aula, sus distintas maneras de aprender y orientarlos a avanzar.
De acuerdo a lo anterior, en la elaboración y organización de nuestra propuesta fueron considerados los niveles
de logro de los Mapas de Progreso del Aprendizaje, a partir de los cuales se diseñan actividades que promuevan
el logro de los aprendizajes en forma gradual, y se proponen evaluaciones en las distintas etapas del proceso de
aprendizaje, para conocer los avances de los estudiantes respecto de los contenidos y habilidades esperados en
el nivel.
En este sentido, en nuestra propuesta las evaluaciones diagnósticas están ideadas para observar si los
estudiantes tienen las competencias descritas en el nivel 3, de modo que el docente puedan complementar sus
destrezas, previo al desarrollo de cada unidad. De igual forma, los contenidos y actividades están diseñados
para que todos los alumnos(as) cumplan satisfactoriamente los aprendizajes descritos en el nivel 4, y también
para que ellos alcancen algunas o todas las competencias descritas en el nivel 5.

A continuación, se presentan los niveles 3, 4 y 5, (correspondientes a los niveles de 5º y 6º Básico, 7º y 8º Básico,
y 1º y 2º Medio, respectivamente) de los Mapas de Progreso del Aprendizaje publicados hasta el momento por
la Unidad de Currículum y Evaluación del Ministerio de Educación, de los ejes: Números y Operaciones, Álgebra
y Datos y Azar.




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Mapa de Progreso de Números y Operaciones

Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Números y Operaciones, progresan considerando tres
dimensiones que se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso de los números.
• Comprensión y uso de las operaciones.
• Razonamiento Matemático.



     Nivel                                                     Descripción

                   Reconoce a los números racionales como un conjunto numérico en el que es posible
                   resolver problemas que no admiten solución en los enteros, a los irracionales como un
    Nivel 5        conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no admiten solución
                   en los racionales, y a los reales como la unión entre racionales e irracionales. Interpreta
                   potencias de base racional y exponente racional, raíces enésimas y logaritmos,
                   establece relaciones entre ellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realiza
                   operatoria con números reales, calcula potencias, raíces y logaritmos y los aplica en
                   diversos contextos. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican
                   descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas.
                   Argumenta sus estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para
                   verificar la validez o falsedad de conjeturas.


                   Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden
                   resolver problemas que no admiten solución en los números naturales, reconoce sus
    Nivel 4        propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y cuantificar magnitudes. Establece
                   proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional.
                   Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Utiliza raíces
                   cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva,
                   decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos.
                   Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben
                   establecer relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas
                   formuladas y los resultados obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y
                   relaciones matemáticas.


                   Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores.
                   Comprende el significado de potencias de base y exponente natural, y las aplica en
    Nivel 3        situaciones diversas. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para
                   ordenar, comparar, estimar, medir y calcular. Comprende el significado de porcentaje y
                   establece equivalencias entre estos y fracciones o números decimales, para calcular
                   porcentajes. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números positivos escritos
                   tanto en forma decimal como fracción y en forma mental y escrita. Resuelve
                   problemas y formula conjeturas en diversos contextos, que requieren reorganizar la
                   información disponible. Argumenta sobre la validez de un procedimiento, estrategia o
                   conjetura planteada.



Marco curricular                                                                                              11
     Marco Curricular

Mapa de Progreso de Álgebra
Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Álgebra progresan considerando tres dimensiones que
se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso del lenguaje algebraico.
• Comprensión y uso de relaciones algebraicas.
• Razonamiento Matemático.



     Nivel                                                   Descripción

                 Reconoce el tipo de situaciones que modelan las funciones lineal, afín, exponencial,
                 logarítmica y raíz cuadrada, y las representa a través de tablas, gráficos y
     Nivel 5     algebraicamente. Transforma expresiones algebraicas de forma entera y fraccionaria
                 haciendo uso de convenciones del álgebra. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales en
                 forma algebraica y gráfica. Resuelve problemas que involucran composición de
                 funciones, modelos lineales y afines o sistemas de ecuaciones lineales. Justifica la
                 pertinencia del modelo aplicado y de las soluciones obtenidas.


                 Traduce expresiones desde el lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.
                 Reduce expresiones algebraicas por medio de la aplicación de propiedades de las
                 operaciones. Resuelve problemas en diferentes contextos que involucran ecuaciones de
                 primer grado con la incógnita en ambos lados de la igualdad, utilizando propiedades y
                 convenciones del álgebra. Reconoce funciones en contextos cotidianos y sus elementos
                 constituyentes, distinguiendo entre variables independientes y dependientes. Resuelve
     Nivel 4
                 problemas que involucran aplicar el modelo de variación proporcional, explicando la
                 relación entre las variables. Justifica la pertinencia de los procedimientos aplicados
                 aludiendo a la situación que modela.


                 Comprende que en las expresiones algebraicas las letras pueden representar distintos
                 valores de acuerdo al contexto. Reconoce las expresiones algebraicas que representan
                 las propiedades de las operaciones e interpreta expresiones algebraicas que
                 representan la generalización de una operación matemática. Comprende que una
     Nivel 3
                 misma expresión tiene distintas representaciones algebraicas equivalentes. Resuelve
                 ecuaciones de primer grado donde la incógnita se encuentra a un solo lado de la
                 igualdad, utilizando estrategias informales. Justifica sus soluciones explicitando las
                 estrategias utilizadas.




12                                                                                             Marco curricular
Mapa de Progreso de Datos y Azar
Los aprendizajes descritos en el Mapa de Progreso de Datos y Azar se desarrollan considerando cuatro
dimensiones que se interrelacionan:
• Procesamiento de datos.
• Interpretación de información.
• Comprensión del azar.
• Razonamiento matemático.

     Nivel                                                               Descripción

                   Organiza información a través de histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de
                   frecuencia acumulada. Extrae e interpreta información haciendo uso de medidas de
    Nivel 5        dispersión y de posición. Compara dos o más conjuntos de datos usando medidas de
                   dispersión y posición. Comprende que al tomar mayor cantidad de muestras de igual
                   tamaño, desde una población finita, el promedio de las medias aritméticas muestrales
                   se aproxima a la media de la población. Asigna probabilidades mediante el modelo de
                   Laplace o bien las frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del
                   experimento. Resuelve problemas acerca del cálculo de probabilidades, usando
                   diagramas de árbol, técnicas combinatorias y aplicando propiedades de la suma y
                   producto de las probabilidades.


                   Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y
                   desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde
    Nivel 4
                   tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de
                   representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e
                   inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo
                   de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento
                   simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de
                   probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también
                   las frecuencias relativas.


                   Reconoce aquellas variables que aportan información relevante para resolver un
    Nivel 3
                   problema y organiza datos en gráficos de línea, circulares y barras múltiples. Extrae
                   información respecto de situaciones o fenómenos presentados en los gráficos
                   anteriores y calcula medidas de tendencia central. Comprende los conceptos de
                   población y muestra y la conveniencia de seleccionar muestras al realizar estudios para
                   caracterizar poblaciones. Evalúa la posibilidad de ocurrencia de un evento en
                   contextos cotidianos como posible, imposible, probable o seguro, a partir de su
                   experiencia y la observación de regularidades en experimentos aleatorios simples.
                   Conjetura acerca de las tendencias que se desprenden desde un gráfico, desde la
                   lectura de medidas de tendencia central o de los resultados de un experimento
                   aleatorio simple, justificando en base a la información disponible.


                   Extraído de: Mapas de progreso del aprendizaje. Ministerio de Educación. Marzo de 2009. www.mineduc.cl/biblio.
                                           Para tener mayor información y ejemplos de tareas por nivel le sugerimos que ingrese a:
                                                           www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/matematica/

Marco curricular                                                                                                              13
 Presentación

Organización del texto para el estudiante
El texto Matemática 8 se organiza en 9 unidades, dos talleres de evaluación y actividades de ejercitación.
A continuación se describen los tipos de páginas y secciones de las unidades.

                                          1. Páginas de inicio de unidad. Su función es motivar. Considera los
                                             conocimientos previos y los que aprenderán en la unidad.


                                                         Título de la unidad
                                                         Necesitas recordar
                                                         Se proponen actividades para repasar y recordar aspectos importantes
                                                         relacionados con los contenidos, antes de iniciar el trabajo de la unidad.
                                                         Actividades iniciales
                                                         ¿Qué aprenderás?
                                                         Se señalan los principales objetivos de la unidad.
                                                         Conexión con los objetivos fundamentales transversales (OFT)
                                                         Trabaja con los OFT pertinentes al tema de la unidad.


                                                                             Sección que invita a los estudiantes a ingresar
                                                         al hipertexto donde encontraran recursos y actividades interactivas
                                                         que complementan el aprendizaje.



                                          2. Páginas de desarrollo de contenidos. En estas páginas se desarrollan
                                             los contenidos y se presentan situaciones problemáticas resueltas.
                                             Incluyen tres grandes secciones: Explora, Practica y En equipo.



                                                         Explora
                                                         Se presenta la situación problema resuelta y se resaltan los
                                                         procedimientos fundamentales involucrados, al igual que los
                                                         conceptos.

                                                         Practica
                                                         Actividades para adquirir, reforzar, razonar y consolidar los contenidos
                                                         de la sección anterior.

                                                         En equipo
                                                         Se invita a los alumnos a trabajar en equipo para el desarrollo de
                                                         actividades relacionadas con los contenidos revisados, y así enriquecer
                                                         mediante la discusión el trabajo cooperativo y colaborativo.


  3. Más problemas. Presenta un problema resuelto
     paso a paso; la compresión del problema, la
     planificación, la resolución y su revisión.
     Se deja en evidencia la estrategia utilizada y se
     dan actividades para ejercitar la estrategia
     presentada.




14                                                                                                                       Presentación
                           4. Cálculo mental. Se entregan distintas estrategias para
                              realizar cálculos de una manera más rápida y ágil.

                           5. Uso de la calculadora. Se pone a disposición de los
                              estudiantes la utilización de la calculadora como una
                              herramienta tecnológica que podrán incorporar a su
                              vida diaria.

                           6. Síntesis. Este es un espacio donde los alumnos
                              encontrarán un resumen de los conceptos y definiciones
                              tratados en la unidad. Además se les propone la
                              creación de su propio mapa conceptual.

               7. Uso del computador. Oportunidad para conocer diversos programas y
                  conectar los contenidos trabajados en la unidad con una herramienta
                  tecnológica.




                           8. Evaluación. Páginas con preguntas de alternativa y de
                              desarrollo orientadas a evaluar el aprendizaje de los
                              contenidos trabajados en la unidad. Al finalizar se
                              encuentra la sección ¿Cómo trabajé? para que los
                              alumnos(as) puedan autoevaluarse.


                              ¿Cómo trabajé?




                             9. Solucionario. Se dan las respuestas a las principales
                                actividades formuladas en el texto.




Presentación                                                                            15
 Presentación

Estructura de la guía para el profesor
La Guía para el profesor del texto Matemática 8, es un material creado como apoyo al proceso de enseñanza-
aprendizaje para el subsector de Educación Matemática. Esta propuesta de guía incorpora material concreto
de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de sus páginas.

En cada unidad se distinguen los diversos elementos, que se especifican a continuación:


                                    1. Cuadro sinóptico. Este cuadro resume el marco curricular de la unidad
                                       para cada momento pedagógico, que corresponden a diferentes tipos
                                       de páginas del texto del alumno(a): inicio de unidad, desarrollo de
                                       contenidos, resolución de problemas, cálculo mental, uso de la
                                       calculadora, uso de la tecnología, juegos. Para cada uno de estos
                                       momentos se detallan los contenidos de la unidad, los Contenidos
                                       Mínimos Obligatorios (CMO), los aprendizajes esperados y los Objetivos
                                       Fundamentales Transversales (OFT). Estos últimos se indican solo cuando
                                       el objetivo es trabajado explícitamente en la unidad, no obstante,
                                       debido a su carácter transversal, estos objetivos pueden ser trabajados,
                                       si el docente lo estima, en otras instancias dentro de la unidad.

                                    •                : Icono que indica cuales son las páginas, del texto del
                                         alumno, en donde se trabaja con el hipertexto.




                                    2. Propósito de la unidad. Luego
                                       de ser presentado el cuadro
                                       sinóptico, se entrega el
                                       propósito de la unidad, siendo
                                       esta una instancia de
                                       introducción de los temas a
                                       tratar. Para enriquecer la visión
                                       del docente en los contenidos
                                       de esta unidad, esta sección
                                       consta de un esquema que
                                       relaciona los conceptos clave
                                       de la unidad.


16                                                                                                     Presentación
               3. Orientaciones didácticas. Una vez contextualizada la unidad en el
                  marco curricular, se entregan orientaciones didácticas para cada
                  momento pedagógico. Las páginas de desarrollo de contenidos se
                  trabajan por contenido, considerando las siguientes secciones:
               • Actividades previas. Se proponen actividades de motivación para introducir
                 y/o aproximar a los(as) alumnos(as) al contenido que se va a trabajar.
               • Actividades complementarias. Se plantean variadas actividades cuyo
                 propósito es ejercitar, reforzar, ampliar y/o profundizar los contenidos
                 trabajados.
               • Información para el docente. Esta sección está destinada al profesor,
                 cuyo objetivo es entregar información anexa que profundiza y
                 complementa la entregada en el texto. En algunos casos, se sugieren
                 direcciones de Internet, datos curiosos relacionados con el contenido,
                 o sugerencias para erradicar los preconceptos más comunes en los
                 estudiantes.
               • Tarea. Se sugieren actividades para trabajar en la casa, que permiten
                 reforzar y/o ampliar el contenido tratado, o bien enlazarlo con el
                 tema siguiente.




               4. Evaluación. En estas páginas se presenta un material complementario
                  de evaluación de los contenidos de la unidad, para que el docente
                  utilice según los requerimientos del grupo curso.
                  Para cada evaluación del texto del alumno se presentan los objetivos
                  evaluados y criterios de logro.




Presentación                                                                          17
     UNIDAD



       1Números positivos y negativos
Cuadro sinóptico

              CMO                      Estructura de la unidad                      Contenidos de la unidad
• Empleo de procedimientos de    • Páginas de inicio. (Págs. 8 y 9)
  cálculo para multiplicar un
  número natural por un número
  entero negativo y extensión de • Páginas de desarrollo de             – Adiciones y sustracciones combinadas de números
  dichos procedimientos a la       contenidos. (Págs. 10 - 19)            positivos y negativos. (Págs. 10 y 11)
  multiplicación de números
  enteros.                                                              – Multiplicación de números positivos y negativos.
                                                                          (Págs. 12 y 13)
• Extensión del algoritmo de la
  división de los números                                               – División de números positivos y negativos.
  naturales a la división de                                              (Págs. 14 y 15)
  números enteros. Discusión y
  aplicación de dicho algoritmo.                                        – Multiplicaciones y divisiones combinadas de
                                                                          números positivos y negativos. (Pág. 16 y 17)
• Resolución de problemas en
  contextos diversos y                                                  – Operatorias combinadas. (Págs. 18 y 19)
  significativos que involucran las
  4 operaciones aritméticas con
  números enteros, […]              • Más problemas.                    • Operaciones combinadas de números positivos y
  enfatizando en el análisis crítico (Págs. 20 y 21)                      negativos.
  de los procedimientos de
  resolución y de los resultados
  obtenidos.                        • Cálculo mental. (Pág. 22)         • Multiplicación de números positivos y negativos.

                                   • Uso de la calculadora. (Pág. 22)   • Operaciones combinadas de números positivos y
                                                                          negativos.

                                   • Síntesis. (Pág. 23)


                                   • Evaluación. (Págs. 24 y 25)




18                                                                                                                     Unidad 1
                          Aprendizajes esperados                                                 OFT
                                                                              • Participar responsablemente en las
                                                                                actividades de la comunidad.

• Resuelven adiciones y sustracciones de números positivos y negativos.


• Resuelven multiplicaciones de números positivos y negativos.



• Resuelven divisiones de números positivos y negativos.


• Resuelven multiplicaciones y divisiones de números positivos y negativos.


• Operan con números positivos y negativos en cualquier contexto y de
  cualquier orden de magnitud interpretando adecuadamente los resultados.


• Interpretan situaciones en las que se involucran números positivos y        • Desarrollar la capacidad de resolver
  negativos, y realizan operaciones con ellos.                                  problemas, la creatividad y las
                                                                                capacidades de autoaprendizaje.




• Usan números positivos y negativos en la vida diaria.                       • Desarrollar el pensamiento crítico y
• Comparan números positivos y negativos.                                       reflexivo y el sentido de crítica y
• Resuelven operatorias con números positivos y negativos.                      autocrítica.




Números positivos y negativos                                                                                          19
  Propósito de la unidad

En esta unidad se profundiza el estudio de los números negativos, realizado en años anteriores, mediante
las propiedades y operatoria de la multiplicación y división, de esta manera se incorporan elementos que
permitirán al alumno resolver y comprender nuevos problemas. Desde esta perspectiva, se presentan
situaciones en contextos cercanos a los alumnos, que representan un desafío para las habilidades
cognitivas de los estudiantes pues trascienden a la simple memorización y reproducción de ciertas reglas,
especialmente en lo referido a la operatoria con números positivos y negativos.




 Mapa conceptual

                                      Números positivos y negativos




                                                 Operatoria




                         Adición        Sustracción     Multiplicación       División




                                           Operatoria combinada



                                                Aplicaciones




 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 8 y 9)

Actividades complementarias        • Presentar la siguiente información, luego responden las preguntas.
                                   – La fosa submarina más profunda del mundo es la fosa de las Marianas,
                                     cercana a Guam, en el noroeste del océano Pacífico, que alcanza una
                                     profundidad de 11 033 m. En cambio, la cumbre más alta del mundo es
                                     el monte Everest, en la cordillera del Himalaya, con una altura de 8848
                                     metros sobre el nivel del mar.
                                     ¿Qué distancia hay entre la cima del monte Everest y el fondo de la fosa
                                     de las Marianas?
                                   • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen otras preguntas y las respondan.


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Información para el docente     • Visitar http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm en donde
                                  aparece información sobre la historia de los números negativos. Podrá
                                  encontrar además aspectos sobre su utilización, los obstáculos para la
                                  comprensión, y un apartado especial que trata del problema específico
                                  de la regla de los signos para el producto. Esto le servirá como
                                  complemento a su quehacer docente y le ayudará en el desarrollo e
                                  implementación de sus prácticas pedagógicas.
                                  No olvidar que las páginas o su contenido pueden cambiar.




Adiciones y sustracciones combinadas (páginas 10 y 11)


Actividades previas             • Analizar con los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones:
                                  Al sumar dos números positivos el resultado de ellos es siempre mayor
                                  que cada una de las partes, ya sean estas naturales o racionales.
                                  ¿Ocurrirá esto cuando se suman números positivos con negativos?
                                  ¿O números negativos con negativos?
                                  Explorar las posibles respuestas que ellos puedan dar sobre estas
                                  observaciones, para luego, al final de la sección, comparar los resultados.



Actividades complementarias     • Completar las cadenas siguiendo las operaciones en el sentido que indica
                                  la flecha.
                                               –2,3          +6,7             –(–8)             –34
                                    –47
                                                                                                          +22,9

                                                +(–13)         +(–1,9)           –41              (7,8)

                                       –78,5

                                               –23          +(–9,9)           +7,8             –35,4
                                                                                                              ¿?



Información para el docente     • Es muy importante para el desarrollo del pensamiento matemático del
                                  alumno(a), trabajar no solo con números enteros, sino también con
                                  decimales positivos y negativos. Este tipo de trabajo aumenta la capacidad de
                                  abstracción, facilita la rapidez de cálculo y la interpretación de soluciones.
                                • Es conveniente discutir con los(as) alumnos(as) las propiedades de los
                                  números enteros, aunque no de una forma explícita. Trabajar con ellos
                                  las propiedades de clausura, asociatividad y conmutatividad de forma
                                  aritmética (nunca algebraica) esto permite una mayor comprensión de
                                  cómo y para qué se usan estos números, y poco a poco irán entendiendo
                                  su estructura.




Números positivos y negativos                                                                                     21
 Orientaciones didácticas

Multiplicación de números positivos y negativos (páginas 12 y 13)

Actividades previas           • Plantear las secuencias siguientes y responder las preguntas que se
                                plantean.

                               3   •   2,5; 3   •   1,25; 3       •    0,625                  ¿Qué ocurre con el último producto
                                                                                              respecto del factor 3?

                               0,7     •   2,2; 0,7   •   1,4; 0,7       •   0,6              ¿Qué ocurre con el último producto
                                                                                              respecto de los otros dos factores?

                               ¿Puedes describir qué va pasando a medida que se desarrollan las secuencias?

                               Agregar otras secuencias semejantes para complementar, y además
                               preguntar: ¿Qué ocurriría si uno de los factores pasa a ser negativo?


Actividades complementarias   • Completar la siguiente tabla de regularidades.

                                   Factores               5   •   6          5   •       4   5   •       2    5   •   0       5   •   –2          5   •   –4
                                   Productos
                                   Factores           4,8     •   16         2,8     •   8   0,8     •   4   –1,2     •   2   –3,2        •   0 –5,2      •   –2
                                   Productos
                                   Factores           10      •   –4         4   •   –4      0   •   –4      –4   •   –4      –10     •       –4 –16      •   –4
                                   Productos



Información para el docente   • Es muy importante aclarar que los números negativos no “existen” en el
                                mundo real y que solo sirven como representación de fenómenos
                                concretos. Es conveniente para ello hacer un paralelo entre el “mundo
                                real” y el “mundo matemático” en donde en el primero, por ejemplo
                                5 °C bajo cero, puede ser expresado como –5 en el segundo, y por lo
                                tanto, hablar de “menos cinco” solo tiene sentido en la matemática
                                y no en la realidad.
                                También es importante señalar que los números los usamos como
                                medidas, que son siempre positivas, por lo que –5 metros no tiene
                                ningún sentido, si no se ocupa como representación y ligado a un
                                referente, como por ejemplo, el nivel del mar.



Posibles dificultades         • Es interesante observar cómo los(as) alumnos(as) están acostumbrados a
                                asumir que el producto es mayor que cada uno de los factores, esto
                                debido al trabajo con números enteros positivos. El dilema se les produce
                                cuando se incorporan los números decimales, pues el producto de dos
                                números entre cero y uno es menor que cada factor. Por este motivo se
                                plantea la secuencia de las actividades previas, para superar la idea
                                encasillada de que el producto es siempre mayor que los factores, pues
                                esto tampoco ocurre al multiplicar números positivos y negativos entre sí,
                                o números negativos entre sí.



22                                                                                                                                                Unidad 1
División de números positivos y negativos (páginas 14 y 15)

Actividades complementarias     • Completar la siguiente tabla de regularidades.

                                    División        6:5     4:5        2:5       0:5        –2 : 5     –4 : 5
                                    Cociente
                                    División   4,8 : 16    2,4 : 8    0,8 : 4   –1,2 : 2   –3,2 : 0   –5,2 : –2
                                    Cociente
                                    División    10 : –4    4 : –4     0 : –4    –4 : –4    –10 : –4   –16 : –4
                                    Cociente




Información para el docente     • Es muy importante trabajar con los(as) alumnos(as) diversos métodos de
                                  regularidades, pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan
                                  a su pensamiento aún concreto. El descubrir este tipo de propiedades tan
                                  importantes por sus propios medios les ayuda a construir ese concepto en
                                  forma más significativa.




Multiplicaciones y divisiones combinadas (páginas 16 y 17)

Actividades previas             • Basándose en el trabajo con multiplicaciones y divisiones, discutir cuáles
                                  son las diferencias entre ellas en cuanto a la operatoria, los resultados y
                                  los signos.



Actividades complementarias     • Completar.

                                                                       : –5
                                                •   7

                                     –5                                                       +3
                                                                                  +15
                                                10

                                     7                     :2                                 +2
                                                                       •   –1
                                                –5

                                                                       •   4




Números positivos y negativos                                                                               23
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Lo más importante de la operatoria combinada entre multiplicaciones y
                                divisiones es que los(as) alumnos(as) comprendan y apliquen el concepto
                                de inverso multiplicativo, y que al fin de cuentas, el multiplicar (o dividir)
                                por un cierto numero, es equivalente a dividir (o multiplicar) por el
                                inverso. Lo importante es desarrollar la reversibilidad de los
                                procedimientos, lo cual contribuye a desarrollar la habilidad de revertir
                                procesos, que influye directamente en los procesos cognitivos y lógicos
                                de los estudiantes.



Operatorias combinadas (páginas 18 y 19)

Actividades previas           • Discutir las relaciones que hay entre la adición y la multiplicación, y la
                                sustracción y la división. Lograr que los(as) alumnos(as) generen sus
                                propias conclusiones y solo después de eso formalizar el contenido.



Actividades complementarias   • Señalar los pares de secuencias de operaciones que son equivalentes.

                               a.   –37 + 48 : 4 – 56 + 51 • 2
                               b.   124 + 57 • (2 – 34) : 16
                               c.   (1348 : 4 – 37) : 100 • 7
                               d.   (378 – (–24) – 2) : 4




Actividades complementarias   • Los(as) alumnos(as) resuelven la siguiente situación:
                                Un grupo de 7 amigos está jugando cartas y anotan sus puntajes en cada
                                jugada.
                                 Jugadas     Juan    Ignacia     Pedro   Claudio   Carolina Francisco    Ruth

                                    1ª       –3         1         0        5         –5        –2         –8
                                    2ª        2         1         –6       –4         6         9          2
                                    3ª       –3         0         –1       0         –3        –9         –4
                                    4ª        7        –2         –4       0          6         2          8
                                    5ª        5         5         5        –6        –2         1          2



                              • Decidieron que el ganador o ganadora sería el que obtuviera el máximo
                                puntaje realizando las siguientes operaciones sobre los puntajes
                                obtenidos en cada jugada:
                                (1ª jugada) • (2ª jugada) + (3ª jugada) – ((4ª jugada – (5ª jugada))
                                ¿Quién obtuvo el primer lugar?, ¿quién obtuvo el último lugar?




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Información para el docente     • El manejo aritmético con números positivos y negativos, decimales o no,
                                  es decir, con los números racionales, es un objetivo importante al
                                  finalizar octavo año, pues este es un curso terminal del ciclo básico, pero
                                  a la vez es preparatorio para el ciclo medio. Empezar con este tema nos
                                  da el tiempo suficiente para aproximarnos al nivel de comprensión y
                                  aplicación que los(as) alumnos(as) lograrán de este tema, lo cual permite
                                  guiar mejor las prácticas pedagógicas y apoyar de mejor forma a los(as)
                                  alumnos(as) en procesos de aprendizaje.



Resolución de problemas (páginas 20 y 21)

 Actividades previas            • Conversar con los(as) alumnos(as) sobre las estrategias que usan a la hora
                                  de enfrentarse a un problema y tratar de resolverlo. Luego describir un
                                  listado con las destrezas necesarias para llegar a “buen puerto” en la
                                  resolución de un determinado problema.



Actividades complementarias     • Resolver el siguiente problema.
                                – Matías, al ir de la escuela a su casa, siempre inventa un juego, pues se va
                                  caminando.
                                  Esta vez decidió que por cada 7 baldosas de la vereda por la que camina,
                                  iba a retroceder 3, a lo cual llamó una jugada. Si cada baldosa es
                                  cuadrada y mide 13 cm de lado, ¿cuánto avanza si lleva 5 jugadas? ¿Cuál
                                  es la distancia entre su escuela y su casa, si para llegar de una a otra
                                  debe realizar 150 jugadas?



Información para el docente     • Es muy importante trabajar con los estudiantes la resolución de
                                  problemas, pues desarrolla en ellos habilidades cognitivas que les serán
                                  útiles en cualquier aspecto de su vida. Un autor que se dedicó a
                                  investigar la resolución de problemas fue George Polya, quien desarrolló
                                  un método heurístico de resolución de problemas. Podrá encontrar más
                                  información al respecto en
                                  http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/polya.htm .
                                  No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.



Tarea                           • Pedir a los(as) alumnos(as) que inventen un problema que pueda ser
                                  resuelto mediante la siguiente secuencia de operaciones:
                                                              [(44 – 22) : 11] • 3




Números positivos y negativos                                                                             25
 Orientaciones didácticas

Cálculo mental (página 22)

Actividades previas           • Comentar con los(as) alumnos(as) los cálculos mentales que se hacen en
                                diversas situaciones de la vida cotidiana, como por ejemplo, al ir de
                                compras, al calcular promedios de notas, etc.
                                Comentar las estrategias que surjan de la conversación y sistematizarlas
                                en la pizarra, para lograr una mayor conciencia de ellas por parte de
                                los(as) alumnos(as).



Actividades complementarias   • Resolver los siguientes ejercicios calculando mentalmente.

                               a.   53 + 11 + (–10) – 3 + 10 + (–1) – (–63) + 1
                               b.   25 • –4 : 100 • –2 • –25 + (–50) – 2
                               c.   41 • 6 : –41 • –2 • –3 + 82 – 3
                               d.   5 • –7 • –8 : –5 : –8 : 7 + 50 • 2
                               e.   6 • 59 : –3 • (–50) • 6 • 50 : –6 • 9



Información para el docente   • Algunos aspectos por los cuales el cálculo mental puede ser muy valioso
                                para los(as) alumnos(as):

                              – Contribuye a la comprensión y sentido del número, al hacer uso de la
                                forma en que está constituido.
                              – Puede ser un dominio para contrastar las concepciones de los estudiantes
                                sobre los procedimientos de cálculo y su disponibilidad, ya que hace
                                emerger procesos cognitivos.
                              – Contribuye a enriquecer y flexibilizar la experiencia y comprensión
                                algorítmica.
                              – Estimula la búsqueda de soluciones por caminos alternativos.
                              – Es una ayuda para el cálculo estimado predictivo y un estilo de
                                comprobación de determinados resultados.
                              – Interviene en el desarrollo de las capacidades cognitivas.
                              – Estimula el análisis de situaciones numéricas.
                              – Da una visión participativa de las matemáticas.
                              – Puede ser lúdico, rehabilitador del cálculo y motivador.




26                                                                                                Unidad 1
Uso de la calculadora (página 22)

Actividades complementarias          • Escribir en la calculadora las siguientes secuencias de teclas y observar la
                                       diferencia entre los resultados, a pesar de que están presentes los
                                       mismos números y las mismas operaciones. Explicar por qué sucede esto.


                                         12         +         (       24          :        2         )         =

                                           (       12         +       24          )        :         2         =

                                           (       12         +       24          :        2         )         =


Información para el docente          • La calculadora y el computador no solo son instrumentos para la
                                       realización de cálculos, sino que se convierten en potentes recursos
                                       didácticos que permiten trabajar con los números de una forma más
                                       cómoda, ágil y autónoma (por ejemplo, las fracciones). Realizar
                                       estimaciones, cálculos aproximados y reconocimiento de regularidades en
                                       conjuntos numéricos, permite al alumno(a) enfocarse más en el concepto
                                       tratado que en la operatoria. Esto no implica necesariamente finalizar
                                       con el uso de la calculadora, también se puede empezar con ella, para
                                       luego comprobar conjeturas realizadas con el cálculo operatorio
                                       habitual.



Evaluación (páginas 24 y 25)

Objetivos evaluados
• Usar números positivos y negativos en la vida diaria. (Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25)
• Comparar números positivos y negativos. (Preguntas 2 y 7; pág. 24)
• Resolver operatorias con números positivos y negativos. (Pregunta 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2; pág. 25)

Criterios de logro
• Preguntas 1, 3, 5, 6 y 8; pág. 24; y pregunta 3, pág. 25: responden correctamente al menos cuatro de las seis
  preguntas planteadas.
• Preguntas 2 y 7; pág. 24: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.
• Preguntas 4, pág. 24; y preguntas 1 y 2, pág. 25: responden correctamente al menos dos de las tres
  actividades planteadas.




Números positivos y negativos                                                                                   27
  Evaluación 1

Marca la alternativa correcta

1. ((500 – 3000) + 2000) – 500 es igual a:               6. x vale –5 e y es equivalente al valor de x
                                                            aumentado en 8. z es igual al producto de x por y
     A.   1000                                              dividido por 10. ¿Cuál es la relación correcta de
     B.   –100                                              x, y y z?
     C.   –1000
     D.   –2500                                             A.   x<z<y
                                                            B.   x<y<z
                                                            C.   z<y<x
2. Al calentar un compuesto, aumenta su                     D.   y<z<x
   temperatura en 0,5 ºC cada 2 minutos. Si a las 8
   de la mañana registró una temperatura de –12 ºC,
   ¿cuál será la temperatura a las 9:00 de la            7. 10   •   ((–1,5 + 3,5) : 4 + (5)   •   (–2)) es igual a:
   mañana?
                                                            A.   –105
     A.   48 ºC                                             B.   –95
     B.   15 ºC                                             C.   –80
     C.    3 ºC                                             D.   115
     D.   –6 ºC

                                                         8. ¿Cuál es el número que dividido por (–5) es igual
3. Dada la siguiente secuencia numérica: a, –7, –3, c,      a 10?
   5, 9, b, 17, determina el valor opuesto de
                                                            A.   50
   (a + b + c)
                                                            B.   2
     A.   3                                                 C.   –2
     B.   2                                                 D.   –50
     C.   –2
     D.   –3
                                                         9. Determina el valor de W para que el resultado en
                                                            la siguiente expresión sea cero. 10 – (10 + W – 50)
4. Se triplica el doble de un número resultando 42.
                                                            A.   50
   ¿Cuál es el número?
                                                            B.   20
     A.   –7                                                C.   0
     B.   7                                                 D.   –50
     C.   14
     D.   21



5. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de
   $10 000. ¿Cuánto se debe depositar para que el
   monto de la cuenta quede en la situación opuesta?

     A.   –$20 000
     B.   –$10 000
     C.   $10 000
     D.   $20 000


28                                                                                                                     Unidad 1
                                                                14. –15     (3)       7 + 3 es igual a:
                                                                          •       •
10. Cada vez que ingresa un número a una unidad
    procesadora que calcula en tres etapas, se obtiene                    (–9)
    un número de salida. ¿Qué número de salida se                   A.   –105
    obtiene si ingresa el número –10?                               B.   –32
                                                                    C.   38
    Entrada         D           T         M        Salida           D.   104

    D = Duplica
    T = Triplica y                                              15. Si a un número le añades 23, al resultado le
    M = Calcula el valor absoluto                                   quitas 41 y esta diferencia la multiplicas por 2
                                                                    obtienes 132. ¿Cuál es el número original?
    A.   10
                                                                    A.   96
    B.   20
                                                                    B.   79
    C.   30
                                                                    C.   84
    D.   60
                                                                    D.   282


11. Si a • (–6) = 30 y –10      •   b = –40 ¿Cuál es el valor
                                                                16. Si P = –4; Q = 8 y R = 10, entonces el valor
    de a + b?
                                                                    opuesto del resultado de R – P – Q es:
    A.   –9
                                                                    A.   –6
    B.   –1
                                                                    B.   –2
    C.   1
                                                                    C.   6
    D.   9
                                                                    D.   14


12. 9 + 3 • (7 – 8) – 4 : (–4) – (9 + 12) : (1 – 4) es
                                                                17. La temperatura en la mañana era 12ºC y ascendió
    igual a:
                                                                    2ºC por cada 30 minutos. Al cabo de 4 horas, ¿qué
    A.   20                                                         temperatura se registró?
    B.   14
    C.   18                                                         A.   28ºC
    D.   54                                                         B.   26ºC
                                                                    C.   20ºC
                                                                    D.   18ºC
13. –27 : (–81 : –9) es igual a:

    A.   3
                                                                18. El antecesor y sucesor de –5 son respectivamente:
    B.   1
    C.   –1
                                                                    A.   –4 y –6
    D.   –3
                                                                    B.   –4 y –3
                                                                    C.   –6 y –4
                                                                    D.   –6 y –7




Números positivos y negativos                                                                                          29
     UNIDAD



      2 Ecuaciones de primer grado
Cuadro sinóptico

              CMO                    Estructura de la unidad                       Contenidos de la unidad
• Planteamiento de ecuaciones • Páginas de inicio.
  que representan la relación    (Págs. 26 y 27)
  entre dos variables en
  situaciones o fenómenos de
  la vida cotidiana y análisis • Páginas de desarrollo de             – Igualdades y ecuaciones. (Págs. 28 y 29)
  del comportamiento de          contenidos. (Págs. 28 - 41)
  dichos fenómenos a través de                                        – Lenguaje algebraico. (Págs. 30 y 31)
  tablas y gráficos.


                                                                      – Ecuaciones con adiciones y sustracciones.
                                                                        (Págs. 32 y 33)

                                                                      – Ecuaciones con multiplicaciones. (Págs. 34 y 35)


                                                                      – Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.
                                                                        (Págs. 36 y 37)

                                                                      – Ecuaciones con la incógnita en ambos lados.
                                                                        (Págs. 38 y 39)


                                                                      – Estudio de las soluciones. (Págs. 40 y 41)

                                 • Más problemas.                     • Resolución de ecuaciones de primer grado.
                                   (Págs. 42 y 43)


                                 • Cálculo mental. (Pág. 44)          • Resolución de ecuaciones de primer grado.


                                 • Uso de la calculadora. (Pág. 44)

                                 • Síntesis. (Pág. 45)

                                 • Evaluación. (Págs. 46 y 47)




30                                                                                                                   Unidad 2
                          Aprendizajes esperados                                   OFT
                                                                • Ejercitar la habilidad de expresar y
                                                                  comunicar las opiniones, ideas y
                                                                  sentimientos y convicciones propias.

• Reconocen una ecuación como una igualdad.

• Traducen enunciados verbales al lenguaje algebraico.          • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                  metódico y el sentido de crítica y
                                                                  autocrítica.

• Resuelven ecuaciones con adiciones y sustracciones.


• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones.                    • Desarrollar la capacidad de resolver
                                                                  problemas.

• Resuelven ecuaciones con multiplicaciones y adiciones.


• Resuelven ecuaciones con incógnita en ambos lados.            • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                  metódico y el sentido de crítica y
                                                                  autocrítica.

• Estudian las soluciones de las ecuaciones.

• Resuelven problemas aplicando una estrategia de resolución.   • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                  metódico y el sentido de crítica y
                                                                  autocrítica.

                                                                • Promover una adecuada autoestima y la
                                                                  confianza en sí mismo.




• Traducen enunciados verbales al lenguaje matemático.          • Desarrollar la capacidad de resolver
• Plantean y resuelven ecuaciones.                                problemas.
• Resuelven problemas usando ecuaciones.




Ecuaciones de primer grado                                                                                 31
  Propósito de la unidad

La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la generalización de situaciones,
mediante la utilización del lenguaje algebraico, de esta manera el alumno podrá resolver problemas más
complejos, en los cuales la solución no se puede obtener de manera directa. Muchas de las situaciones
planteadas están relacionadas con contextos geométricos, de este modo el alumno descubrirá una gama
de aplicaciones del lenguaje algebraico, especialmente en la resolución de ecuaciones. Por otra parte, se
pretende desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas
especialmente a estudiar la pertinencia de las soluciones obtenidas e interpretar los resultados.




 Mapa conceptual

                              Ecuaciones de primer grado




Igualdades             Lenguaje                               Resolución de ecuaciones
                      algebraico



                                             Ecuaciones con adiciones               Ecuaciones con
                                                  y sustracciones                   multiplicaciones




                                                              Ecuaciones con incógnita
                                                                  en ambos lados



                                                              Estudio de las soluciones




 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 26 y 27)

Actividades previas                • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen numéricamente las siguientes
                                     expresiones y luego calculen.
                                   – El doble de veinte.
                                   – El cuádruple de seis.
                                   – El doble de ocho, aumentado en dos.
                                   – El triple de cuatro, disminuido en doce.
                                   – Un medio de dos, elevado a ocho.
                                   – Tres cuartos de veinte, aumentado en uno.




32                                                                                                     Unidad 2
Actividades complementarias   • Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
                                                                                                                             0
                                    1                                                                                    1
                               a.     +4      •   (–1) = 2   •   (–2) + 2–1    c. 20 : 2,5 + 4 = 7      •   (–1) –
                                    2                                                                                    5
                                           1                        3                                                    6
                               b. 0,3 –           •   10 = 2,7 +               d. –3   •   (–4) + = 2   •   6   •   1+
                                           2                        4                                                    8



Igualdad y ecuaciones (páginas 28 y 29)

Actividades previas           • Escribir en la pizarra:

                               3x + 4 = 16                   5      + 4 = 12        4y – 5 = 20                     ¥ – 6 = 21

                               Luego preguntar: ¿Cuál de estas expresiones es una ecuación? ¿Por qué?
                               Aclare que una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un
                               número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica
                               (se cumple) para determinado valor numérico de ella.
                               En conjunto verifican que las expresiones anteriores son todas
                               “ecuaciones”, porque cumplen con la definición.



Actividades complementarias   • Calcular el valor de las siguientes expresiones, para los siguientes valores.
                                                                              1
                                                  a = 4, b = 3, c = (–1), d =   y e = (–2)
                                                                              2

                               a. 3a + b – 2c =                                d. a2 + 3c – 4e =
                               b. 4b – c + 2e =                                e. 5e – a     •   b + d–1 =
                               c. 5a – 2b + c – 3e =                           f. 3c5 + 4d – e + b =



Información para el docente   • Ecuación significa “igualación”. Proviene del latín aequáre, que quiere
                                decir “igualar”, derivado del adjetivo aéquus, que es “igual”. De aquí la
                                relación que se hace de una ecuación y una balanza.



Lenguaje algebraico (páginas 30 y 31)

Actividades complementarias   • Escribir en lenguaje corriente las siguientes expresiones matemáticas.

                               a. 5x – 3          =

                                          1
                               b. 2y +            =
                                          2
                                  m
                               c.    –2 =
                                  3
                                       3
                               d. 5p + p =
                                       4



Ecuaciones de primer grado                                                                                                       33
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Al presentar ecuaciones a sus alumnos(as), no utilice siempre la misma
                                variable, por ejemplo “x”, ya que esto produce fijación. Además, al
                                momento de plantear ecuaciones léalas en voz alta, esto permite una
                                mayor comprensión del concepto de ecuación y plantear de manera
                                correcta las ecuaciones en lenguaje no matemático.




Ecuaciones con adiciones y sustracciones (páginas 32 y 33)

Actividades complementarias   • Resolver las siguientes ecuaciones.

                                a. 4x + x = 20                            d. 14 + 3 = 4z
                                b. 2b – 6 = 12                            e. 35 – 12 = 3a
                                c. 5y – 2y = 21                           f. 3 + 4 = 5m + 4




Información para el docente   • Acostumbre al alumno(a) a plantear y resolver ecuaciones con una
                                incógnita tanto en el costado derecho de la igualdad, como en el
                                costado izquierdo.
                                Por su nivel cognitivo, el alumno(a) resuelve correctamente y con mayor
                                facilidad ecuaciones que tienen incógnita en el costado izquierdo de la
                                igualdad; en el otro caso, tienen dificultades con los signos.




Ecuaciones con multiplicaciones (páginas 34 y 35)

Actividades previas           • Recordar a los(as) alumnos(as) lo que sucede cuando se tiene un
                                coeficiente a un costado de la igualdad y se desea despejar la incógnita.
                                Puede ejemplificarlo de la siguiente manera:
                                              •                       •                       •
                                              •                       •                       •



                                      5 x=3                  2,3 n = 14                     12 = 3 y
                                      •                       •                                   •




Actividades complementarias   • Resolver las siguientes ecuaciones. Luego comparan sus resultados.

                                a. 4 x = 20                           d. 140 = 4z
                                b. 12 b = 18                          e. 35 = 7a
                                                                         3
                                c. 2,5 y = 200                        f.    = 3m
                                                                         4




34                                                                                                     Unidad 2
Ecuaciones con multiplicaciones y adiciones (páginas 36 y 37)

Actividades complementarias    • Resolver las siguientes ecuaciones. Luego, comprobar los resultados.

                                a. 144x + 22x = 12,6                d. 6,3   •       2 + 3 = 4z
                                b. 210b + 6 = 12    •   4           e. 3,5   •       12 = 30a
                                c. 15y – 12y = 23   •   2           f. 315       •   4,0 = 1,5m

                               • Escogen 2 ecuaciones de las anteriores e inventan un problema que
                                 pueda ser resuelto utilizando las ecuaciones escogidas.




Ecuaciones con la incógnita en ambos lados (páginas 38 y 39)

Actividades complementarias    • Resolver las siguientes ecuaciones. Comparan sus respuestas con un
                                 compañero(a).

                                a. 1220 + 221x = 20x                e. 6,3   •       2n + 233 = 4054
                                b. 1320y – 680y = 18        •   4   f. 3,5   •       1,2 = 3068a
                                c. 1102 – 120z = 212        •   4   g. 31,5      •    1235 = 2b
                                d. 2350 + 3,5 m = 120               h. 2455k          •   0,4 = 21




Tarea                          • Leen y luego resuelven.
                               – El doble de un número, menos cuatro veces el mismo, es igual al número
                                 aumentado en doce unidades.




Estudio de las soluciones (páginas 40 y 41)

Actividades complementarias    • Escribir la ecuación correspondiente, luego resolver interpretando la
                                 solución.

                                a. Francisco es 3 años menor que Mónica, pero siete años mayor que
                                   Rosario. Si la suma de las edades es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
                                b. El triple de la cantidad de dinero que tiene Felipe, aumentado en
                                   $ 1200 es igual a la misma cantidad pero disminuida en $ 450.
                                   ¿Cuánto dinero tiene Felipe?
                                c. El largo de un rectángulo excede al ancho en 6 cm. Si cada medida se
                                   aumenta en 3 cm, el área aumentaría en 57 cm2. ¿Cuáles son las
                                   medidas de los lados del nuevo rectángulo?




Ecuaciones de primer grado                                                                               35
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Es importante aclarar que una ecuación es una función proposicional,
                                por lo cual tiene definido un dominio y un recorrido. Es importante
                                comprobar que la solución (conjunto solución) satisface la ecuación
                                original y que pertenece al domino de ella.
                                La comprensión de esto es básico para evitar dificultades en las
                                ecuaciones de segundo grado, como se muestra en el siguiente ejemplo:

                               X2 = 1

                               X = 1 , luego se dice x = + 1. Sin embargo, al graficar la ecuación
                                                          –
                               (mostrar su dominio), se observa solo una solución.



Más problemas (páginas 42 y 43)

Actividades complementarias   • Leer las siguientes situaciones y plantear una ecuación para resolverlas.

                              – A las 9 a.m. sale un auto de un punto A, con una velocidad de
                                80 km/h. Dos horas más tarde sale una camioneta del punto A, en
                                persecución del auto, con una velocidad de 120 km/h. ¿A qué
                                distancia del punto A lo alcanza?
                              – Entre dos bidones A y B de igual capacidad, se distribuyen en partes
                                                                                                      2
                                desiguales 10 litros de agua. El bidón A se llenará si se vierten los
                                                                                                      3
                                del agua contenida en el B, y este se llenaría si se le agrega la mitad
                                del agua contenida en A. ¿Cuánta agua contiene cada bidón y cuál es
                                su capacidad?

                               ¿Puedes resolver los problemas anteriores sin el planteamiento de una
                               ecuación? Explica tu estrategia de resolución.



Posibles dificultades         • En los problemas anteriores no será fácil para los(as) alumnos(as)
                                plantear una ecuación, de hecho, las estrategias de resolución a las
                                cuales acudirán serán principalmente de carácter gráfico. Por ello es
                                importante plantear variados tipos de problemas en los que no sea tan
                                evidente la formulación de una ecuación.



Cálculo mental (página 44)

Actividades complementarias   • Resolver mentalmente las siguientes ecuaciones.

                               a. 4x = 20                              d. 280 = 4q
                               b. 12y = 144                            e. 350 = 7r
                               c. 2,5z = 2000                          f. 1002 = 2m




36                                                                                                 Unidad 2
Uso de la calculadora (página 44)

Actividades previas                 • Pedirles que examinen sus calculadoras y se familiaricen con cada una de
                                      las teclas y funciones que realiza, haga notar que hay calculadoras en las
                                      que primero se introducen los datos y luego la operación.



Actividades complementarias         • Utilizando la calculadora, resuelven las siguientes ecuaciones:

                                      a. 4x = 12,45                           d. 134,5 – x = 245,67
                                      b. 3y = 3,01                            e. 3y – 3,45 = 85,9
                                      c. 6,3 + z = 21,4                       f. 342,5 + 89,7 = 3z



Información para el docente         • La siguiente página tiene excelentes enlaces, programas y calculadoras
                                      para descargar; recursos educativos clasificados según nivel, actividades,
                                      juegos matemáticos, etc. www.matematicas.net/paraiso/online.php .
                                      No olvidar que las direcciones o su contenido pueden variar.



Comentarios                         • www.edu.aytolacoruna.es . Web educativa del Ayuntamiento de La
                                      Coruña, España, que tiene acceso a un aula virtual, donde se tratan
                                      temas de diferentes áreas de estudio. En los recursos de matemática hay
                                      acceso a temas teóricos, enlaces de interés, juegos, anécdotas, etc.
                                      No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.
                                    • www.escolares.com.ar/ . Sitio argentino que presenta una sección de
                                      contenidos por área. En el área de Matemática se pueden encontrar
                                      contenidos de álgebra, geometría y estadística, además de juegos y
                                      problemas de ingenio.
                                      No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.




Evaluación (páginas 46 y 47)

Objetivos evaluados
• Traducir enunciados verbales al lenguaje matemático. (Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46)
• Plantear y resolver ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46)
• Resolver problemas usando ecuaciones. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47)

Criterios de logro
• Preguntas 5, 6 y 10; pág. 46: responde correctamente dos de los tres ejercicios formulados.
• Preguntas 1, 2, 3, 4, 7, 8 y 9; pág. 46: responde correctamente al menos cinco de las siete preguntas
  formuladas.
• Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; pág. 47: responde correctamente al menos tres de las seis preguntas formuladas.


Ecuaciones de primer grado                                                                                    37
  Evaluación 2

Marca la alternativa correcta
                                                                                                                   4
1. Un cuarto de veintiocho, disminuido en dos tercios                                       4. En la ecuación          •   k – (5 – k) = 1 – k, el valor de k
                                                                                                                   5
   de nueve, se puede representar por la expresión:                                             es de:
                                      2                                                              15
     A. 4     •   28 –                    •   9                                                 A.
                                      3                                                               2
          1        2                                                                                   4
     B.     – 28 –                            •   9                                             B.
          4        3                                                                                   5

          1                               2                                                          15
     C.           •   28 –                        •   9                                         C.
          4                               3                                                           7

          1        2                                                                                 25
     D.     – 28 –   +9                                                                         D.
          4        3                                                                                 14

                                                                                                                              2
                                                                                            5. En la ecuación 3h – 4(h – 4) =            •   (h – 10h), el
2. Siete veces dos quintos de la cuarta parte de m es                                                                         5
                                                                                               valor de h es:
   igual a la mitad de m disminuida en m. Expresado
   en lenguaje algebraico es igual a:                                                                13
                                                                                                A.
                                                                                                     80
                      2           m m
     A. 7     •               •     =   –m                                                               13
                      5           4   2                                                         B. –
                                                                                                         80
                      2 m m
     B. 7     •        :  =   –m                                                                     80
                      5 4   2                                                                   C.
                                                                                                     13
                      2           m     m
     C. 7     •               •     =m–                                                                  80
                      5           4     2                                                       D. –
                                                                                                         13
          1               2           m m
     D.           •               •     =   –m
          7               5           4   2
                                                                                            6. Si p = –1; q = 1 y r = 0, entonces, en la siguiente
                                                                                               ecuación el valor de m es igual a:

3. En la ecuación 4                               •   20 – 2y = 5 – 3y, el valor de y es:                  3p – q + 4r – 2m = m – r + 6p + 2q

     A.   75                                                                                    A.   2
     B.   15                                                                                    B.   p
     C.   –15                                                                                   C.   q
     D.   –75                                                                                   D.   r




38                                                                                                                                                  Unidad 2
7. Los siete tercios de las cuatro quintas partes de x,   10. Si dos tercios de la edad de mi tío Pancho
   disminuido en cuatro, es igual al opuesto de x,            disminuido en dos séptimos de 49 es igual a 20,
   aumentado en tres. Expresado en lenguaje                   ¿Qué edad tendrá mi tío en 9 años más?
   algebraico es igual a:
                                                             A.   60 años

    A.   71      •
                     x
                       – 4 = –x + 3
                                                             B.   30 años
             3       4                                       C.   40 años
                                                             D.   50 años
         7       4                1
    B.       •       •   x–4=–      +3
         3       5                x

         7       4                                        11. En la construcción de un muro se utilizaron
    C.       •       •   x – 4 = –x + 3                       ladrillos de 30 cm de largo, 7 cm de alto y 15 cm
         3       5
                                                              de ancho. Si el muro tiene 2,86 m de largo y
         7       4               1                            0,70 m de alto y una separación entre ladrillos
    D.       •       •   x–4=      +3
         3       5               x                            de 2 centímetros, ¿cuántos ladrillos se ocuparán
                                                              en el muro?
                5 •         3         9
8. La ecuación      m–2=      +3•       –m ,                 A.   73
                8           m         4
                                                             B.   72
    expresada en lenguaje natural es:
                                                             C.   71
    A. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es            D.   70
       igual a tres veces m, aumentado en tres veces
       nueve cuartos, disminuidos en m.
                                                          12. En hacer una tarea de 120 ejercicios de
    B. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es
                                                              ecuaciones, un alumno ha demorado 2 horas en
       igual a un tercio de m aumentado en tres
                                                              90 de ellos. Si quiere terminar en 15 minutos más
       veces nueve cuartos, disminuidos en m.
                                                              para ver un programa de televisión, ¿cuánto se
    C. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es             debería demorar, en promedio, por cada ejercicio
       igual a m dividida en tres, aumentado en tres          que le queda por resolver?
       veces nueve cuartos, disminuidos en m.
                                                             A.   30 segundos
    D. Cinco octavos de m, disminuidos en dos, es            B.   15 segundos
       igual a tres dividido en m, aumentado en tres         C.   2 segundos
       veces la diferencia entre nueve cuartos y m.          D.   0,8 segundos



9. En una carnicería existe una balanza que dispone
                                                          13. El doble de la suma de un número y 5, es igual a
   de pesos de 200, 300 y 500 gramos. Si una señora
                                                              24. ¿Cuál es el número?
   desea comprar 4,5 kilos de carne, el carnicero
   debe colocar en la balanza:                               A.   7
                                                             B.   5
    A.   5 pesos de 200 g, 7 de 300 g y 3 de 500 g
                                                             C.   9
    B.   4 pesos de 300 g, 4 de 200 g y 5 de 500 g
                                                             D.   12
    C.   3 pesos de 500 g, 7 de 200 g y 2 de 300 g
    D.   5 pesos de 300 g, 4 de 500 g y 3 de 200 g




Ecuaciones de primer grado                                                                                   39
     UNIDAD



       3Geometría
Cuadro sinóptico

              CMO                      Estructura de la unidad                  Contenidos de la unidad
• Caracterización de la            • Páginas de inicio.
  circunferencia y el círculo        (Págs. 48 y 49)
  como lugares geométricos y
  su representación mediante       • Páginas de desarrollo de      – Ángulos entre paralelas cortadas por una
  lenguaje conjuntista e             contenidos. (Págs. 50 - 59)     transversal. (Págs. 50 a 53)
  identificación de sus
  elementos: arco, cuerda,                                         – Ángulos en polígonos. (Págs. 54 y 55)
  secante y tangente.
                                                                   – La circunferencia y sus elementos.
• Definición del número pi                                           (Págs. 56 y 57)
  y su relación con el diámetro
  y la longitud de una
  circunferencia. Cálculo de la                                    – Poligonos regulares.
  longitud de una                                                    (Págs. 58 y 59)
  circunferencia y estimación
  del área del círculo por
                                   • Más problemas.                • Construcción y propiedades de paralelogramos.
  medio de polígonos
                                     (Págs. 60 y 61)
  regulares inscritos en la
  circunferencia.
                                   • Uso del computador.           • Paralelismo y propiedades de figuras geométricas.
• Resolución de problemas en
                                     (Pág. 62)
  situaciones significativas que
  involucran el cálculo de la
  longitud de la circunferencia,   • Síntesis. (Pág. 63)
  el área del círculo, […].
                                   • Evaluación. (Págs. 64 y 65)




40                                                                                                              Unidad 3
                          Aprendizajes esperados                                OFT




• Reconocen e identifican ángulos entre paralelas.


• Reconocen ángulos en polígonos.

• Reconocen y construyen circunferencias y sus elementos.   • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                              metódico y el sentido de crítica y
                                                              autocrítica.

• Construyen y calculan elementos de poligonos regulares.   • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                              metódico y el sentido de crítica y
                                                              autocrítica.

                                                            • Desarrollar la capacidad de resolver
                                                              problemas, la creatividad y las
                                                              capacidades de autoaprendizaje.




• Calculan ángulos entre rectas paralelas.                  • Desarrollar la capacidad de resolver
• Calculan ángulos en diversas figuras.                       problemas, la creatividad y las
• Resuelven problemas relativos a circunferencias.            capacidades de autoaprendizaje.




Geometría                                                                                              41
  Propósito de la unidad

La tercera unidad es la primera destinada al estudio de la geometría, en ella se tratan elementos tales
como ángulos entre paralelas, ángulos en polígonos, circunferencia y sus elementos y polígonos regulares.
Esta unidad es muy importante en el aprendizaje de la geometría, en tanto permite construir los
conceptos y relaciones básicas que los alumnos utilizarán para resolver situaciones más complejas.
En cuanto a la resolución de problemas, las estrategias se orientan hacia la búsqueda de regularidades
geométricas, por ejemplo, aquellas referidas a los ángulos interiores de polígonos regulares.



 Mapa conceptual
                                                           Geometría



              Ángulos                                      Polígonos                           Circunferencia y círculo



 Correspon-              Alternos            Ángulos en                 Polígonos             Sector            Segmento
  dientes                internos            polígonos                  regulares            circular            circular



              Alternos               Suma de                Suma de                                     Elementos
              externos               ángulos                ángulos
                                    interiores             exteriores

                                                                               Cuerda   Arco            Radio       Diámetro


                                                                                        Tangente
                                                                                                                       Rectas en la
                                                                                         Secante                      circunferencia

 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 48 y 49)

Actividades complementarias                      • Pedir a los(as) alumnos(as) que en la siguiente figura identifiquen
                                                   diferentes tipos de cuadriláteros y triángulos, siendo AMJF un rectángulo.

                                                       A                                                    D
                                                                           B             C                                      F


                                                                  G        H                                    E


                                                                                         I




                                                                           N



                                                       M                   L             K                                  J


42                                                                                                                                  Unidad 3
Información para el docente   • Es importante que los(as) alumnos(as) se familiaricen con una geometría
                                conceptual, más que en las formas y medidas concretas; ello favorece el
                                aprendizaje de los conceptos más fundamentales, y no tanto el cálculo,
                                que se puede dejar para la resolución de problemas, de manera de darle
                                sentido y contexto a las medidas que puedan aparecer en un
                                determinado ejercicio.



Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal (páginas 50 a 53)

Actividades previas           • Detectar en los(as) alumnos(as) las ideas previas que tienen sobre
                                paralelismo, para ello puede formular las siguientes preguntas:
                              – ¿Qué entienden por paralelo?
                              – ¿En qué situaciones han escuchado esa palabra?
                              – ¿Qué sería algo no paralelo?
                              – ¿Han escuchado lo que es perpendicular?
                              – ¿En qué situaciones podrían decir que existen elementos
                                perpendiculares?



Actividades complementarias   • Observando un plano del barrio del colegio, identificar las calles
                                paralelas, no paralelas, y si hay o no diagonales que las intercepten.
                                Analizar la correspondencia de ángulos entre las avenidas principales y
                                las calles secundarias. A partir de esto inventan una ruta alrededor del
                                colegio dando indicaciones que involucren seguir una trayectoria y
                                realizar rotaciones angulares en diferentes esquinas.

                              • Dada la figura, completar la tabla para los distintos valores dados.
                              L1
                                                   C                               B         G
                                                       A



                                                                                                               L1
                                                                                                                    // L2
                                                                     D

                                                           E             F                       C
                              L2


                                     A         B               C             D          E            F   G

                                                                             80º       50º

                                    30º                                                                  70º

                                    60º                        40º




Geometría                                                                                                             43
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Al hablar de ángulos y sumas de ángulos hay que establecer,
                                constantemente, la diferencia entre lo que es el ángulo y lo que es la
                                medida del ángulo. Los(as) alumnos(as), al ejercitar, lo que realmente
                                hacen es sumar las medidas de los ángulos, no los ángulos, por lo que es
                                muy relevante que ellos tengan presente esta diferencia.



La circunferencia y sus elementos (páginas 56 y 57)

Actividades previas           • Preguntar a los(as) alumnos(as):
                              – Si observamos nuestro entorno cotidiano, ¿dónde vemos circunferencias
                                y círculos?
                              – ¿Se observan realmente objetos con forma de circunferencia?
                              – ¿Es lo mismo la circunferencia que el círculo? Justifíca.



Actividades complementarias   • Dibujar una circunferencia de radio 4 cm e indicar un punto A en ella. A
                                continuación con un transportador, marcar puntos cada 10° alrededor de
                                la circunferencia empezando en el punto A. Cada uno de estos puntos es
                                el centro de otra circunferencia que pasa por A, como se muestra en la
                                figura.
                                ¿Puedes adivinar cuál será la forma de la figura resultante?




                                                                                       A




Información para el docente   • Es muy importante que los(as) alumnos(as) distingan los conceptos de
                                circunferencia y círculo, pero no de una forma abstracta, sino de manera
                                concreta con ejemplos en la realidad. Mostrar ejemplos de
                                circunferencias que no puedan ser confundidas con círculos, y viceversa.
                                Diferenciar en un mismo objeto, las circunferencias y círculos que están
                                presentes en él, esto permite comprender mejor el concepto.


44                                                                                               Unidad 3
Polígonos regulares (páginas 58 y 59)

Actividades complementarias   • Dibujar tres hexágonos regulares como los de la figura. Cortarlos por las
                                líneas punteadas de manera que con las trece piezas resultantes se forme
                                un hexágono regular más grande que los tres originales.




Información para el docente   • En el trabajo con polígonos, es muy conveniente aplicar un método
                                inductivo en lo que se refiere a: planteamiento de fórmulas relacionadas
                                con ángulos interiores, cantidad de diagonales y suma de ángulos
                                interiores. El establecimiento de patrones por medio de tablas le permite
                                al alumno deducir por sus propios medios estas fórmulas, dando así
                                mayor significado a su aprendizaje.



Más problemas (páginas 60 y 61)

Actividades complementarias   • Construir con regla y compás dos rectas paralelas, un triángulo
                                equilátero, un rombo y un hexágono regular.



Información para el docente   • Las construcciones con regla y compás son prácticas que refuerzan el
                                dominio de todas las propiedades de las figuras que se construyen. Por
                                ejemplo, para construir dos rectas paralelas, se debe saber que es
                                equivalente a construir la recta perpendicular a la perpendicular de la
                                recta inicial. El manejo de las propiedades se puede lograr haciendo
                                análisis de los objetos geométricos que se van a construir desde distintos
                                puntos de vista. Para indagar más sobre construcciones con regla y
                                compás puede visitar la página http://wims.unice.fr/wims/en_home.html
                                donde encontrará ejemplos y problemas de construcción. No olvidar que
                                las direcciones o su contenido pueden cambiar.



Uso del computador (páginas 62)

Actividades previas           • Dar a los(as) alumnos(as) algún tiempo en los computadores para
                                familiarizarse con los elementos geométricos que puede facilitar un
                                procesador de textos como Word (herramientas de dibujo, planillas,
                                tablas, etc.).


Geometría                                                                                              45
 Orientaciones didácticas

Actividades complementarias   • En la página www.santillana.cl/ebasica/mat8 aparecen dibujados varios
                                grupos de rectas paralelas cortadas por otros grupos de rectas paralelas
                                formando paralelogramos y triángulos. Si mueves los puntos P, Q, R o S
                                podrás estudiar y analizar las propiedades de estas figuras.




                                a. ¿Cómo son entre sí los ángulos de los triángulos grises?
                                b. ¿Cómo son entre sí los triángulos grises?
                                c. Si mides todos los ángulos posibles, ¿cuántas medidas distintas
                                   tendrías?
                                d. ¿Qué relación hay entre los triángulos grises y los triángulos blancos?
                                e. ¿Qué sucede si sigues trazando rectas paralelas? ¿Qué ocurre con
                                   el plano?

                              • Trabajando en el programa Cabri – géomètre II los(as) alumnos(as) deben
                                investigar cuáles son sus aplicaciones y luego construir algunas de las
                                figuras que se han aprendido en esta unidad, como por ejemplo, rectas
                                paralelas, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, circunferencias,
                                coronas circulares, etc.
                                A continuación deben exponer algunos de sus resultados, como se
                                muestra en la figura.




46                                                                                                 Unidad 3
Información para el docente          • Entre los programas para trabajar la geometría, Cabri es uno de los más
                                       accesibles para los(as) alumnos(as) del segundo ciclo básico. Es menos
                                       algebraico y agudiza la intuición. También existen programas más
                                       exploratorios, como lo es PolyPro, (que muestra los diferentes cuerpos
                                       geométricos), The Geometer’s Sketchpad, GrafEq, Graphmatica, Maple 6,
                                       entre otros.




Evaluación (páginas 64 y 65)
Objetivos evaluados
• Calcular ángulos entre rectas paralelas. (Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64)
• Calcular ángulos en diversas figuras. (Preguntas 5, 6; pág. 64)
• Resolver problemas relativos a circunferencias. (Preguntas 1, 2; pág. 65)


Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 3, 4; pág. 64: responden correctamente al menos tres de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 5, 6; pág. 64: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.
• Preguntas 1, 2; pág. 65: realizan correctamente al menos una de las 2 actividades planteadas.




Geometría                                                                                                    47
  Evaluación 3

Marca la alternativa correcta

1. ¿Cuánto vale x?                                              5. ¿Cuál es el número de lados que tiene un
                                                                   polígono, si la suma de los ángulos interiores
     A.   30º
                                                                   es 4140º?
     B.   60º
     C.   70º                                                      A.   22
     D.   80º                                                      B.   23
                       x
                                                                   C.   24
                                                                   D.   25
                  80º
                                                     20º

                                                                6. Determina la suma total de ángulos de giro que
                                                                   realiza un móvil desde A hasta B, sabiendo que
2. La figura muestra dos triángulos rectángulos                    los ángulos x corresponden a ángulos interiores
   congruentes con vértice común en C. ¿Cuánto                     de un hexágono regular.
   vale x?
                                                                   A.   840º
     A.   30º                                                      B.   700º
                                                                                                        x
     B.   60º                        B                             C.   600º
     C.   120º                                                     D.   564º
                                                                                                            x
     D.   150º
                           60º                   E                                   60º
                  A              C               x                                                     x
                                                                                              B


                                 D

                                                                               A
3. ¿Cuál es el valor de x?
                                                                7. Determina el valor del ángulo x, si la figura
     A.   60º              L1 // L3 y L2 // L4
                                                                   corresponde a dos hexágonos regulares.
     B.   80º
     C.   100º
                                                                   A.   50º
     D.   150º
                                                 L2                B.   60º
                                                                   C.   80º
                                                                   D.   100º
                                                     80º   L1
          L3                                                                                   x
                   x


                      L4


4. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un
   polígono convexo regular de 7 lados?

     A.   700º
     B.   900º
     C.   1260º
     D.   1800º

48                                                                                                              Unidad 3
8. La figura es un romboide. Determina el valor de         12. Determina la medida del ángulo AOB. Se sabe
   los ángulos 2x y x + 30 respectivamente.                    que el triángulo ABC es equilátero y O es centro
                                                               de la circunferencia.
    A.   30º y 30º
    B.   45º y 45º             2x               60º            A.   150º                             C
    C.   60º y 60º                                             B.   120º
    D.   120º y 120º                                           C.   60º
                                             x + 30            D.   30º                              O
                                                                                             A                   B

9. Determina el valor de x, si la figura es un
   pentágono regular.
                                                           13. Determina el valor de x e y, respectivamente.
    A.   18º               L1 // L2
    B.   25º                                                   A.   x = 90º, y = 90º
    C.   36º                                                   B.   x = 60º, y = 60º                 x
    D.   72º     L1
                                x                              C.   x = 90º, y = 60º
                                                               D.   x = 60º, y = 90º         A       O           C
                                                                                                         y
                                                                                                             B
                 L2

                                                           14. Si L1 // L2 determina el valor de x.
10. Determina el ángulo de vértice ABC, si el ángulo
    de centro AOC mide 105º.                                                                                     L1

    A.   37,5º
                           A
    B.   52,5º                                                                80º
                                                  C
    C.   75,º                            O
    D.   85,5º                                                                                   x

                                                                                                                      L2
                                         B

11. Determina el valor de x, si las rectas L1 y L2 pasan       A.   40º
                                                               B.   60º                60º
    por el centro de la circunferencia.
                                                               C.   80º
    A.   22º                                                   D.   140º
    B.   44º                        L1

    C.   56º
    D.   68º          L2                 40º
                                            x
                               108º




Geometría                                                                                                                  49
     UNIDAD



       4Medición
Cuadro sinóptico

              CMO                       Estructura de la unidad                   Contenidos de la unidad
• Formulación de conjeturas         • Páginas de inicio.
  relacionadas con el cálculo         (Págs. 66 y 67)
  del volumen del cilindro y
  cono; cálculo del área de la
  superficie del cilindro y cono,   • Páginas de desarrollo de      – Áreas y perímetros de polígonos compuestos.
  y verificación, en casos            contenidos. (Págs. 68 – 87)     (Págs. 68 y 69)
  particulares, mediante el uso
                                                                    – Áreas y perímetros de polígonos regulares.
  de un procesador
                                                                      (Págs. 70 y 71)
  geométrico.
                                                                    – Perímetro de la circunferencia. (Págs. 72 y 73)
• Resolución de problemas en
  situaciones significativas que
                                                                    – Área del círculo. (Págs. 74 y 75)
  involucran el cálculo de […]
  la superficie del cilindro,
                                                                    – Áreas y perímetros de figuras compuestas.
  cono y pirámides y el
                                                                      (Págs. 76 y 77)
  volumen del cilindro y cono.
                                                                    – Medición del volumen. (Págs. 78 y 79)

                                                                    – Área y volumen de pirámides. (Págs. 80 y 81)

                                                                    – El cilindro. (Págs. 82 y 83)

                                                                    – Red del cono recto. (Págs. 84)

                                                                    – Área del cono recto. (Págs. 85)


                                                                    – Volumen de cuerpos redondos. (Págs. 86 y 87)

                                    • Más problemas.                • Cálculo de volúmen de cuerpos redondos.
                                      (Págs. 88 y 89)

                                    • Uso del computador.           • Cálculo de áreas en un geoplano.
                                      (Pág. 90)

                                    • Síntesis. (Pág. 91)

                                    • Evaluación. (Págs. 92 y 93)




50                                                                                                                 Unidad 4
                           Aprendizajes esperados                                             OFT
                                                                         • Promover el interés y la capacidad de
                                                                           conocer la realidad, utilizar el conocimiento
                                                                           y seleccionar la información relevante.

• Calculan áreas y perímetros de polígonos compuestos.

• Calculan áreas y perímetros de polígonos regulares.

• Calculan el perímetro de una circunferencia.

• Calculan áreas de cilindros.

• Calculan áreas y perímetros de figuras compuestas.

• Miden volúmenes.                                                       • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                           metódico y el sentido de crítica y
                                                                           autocrítica.

• Calculan áreas y volúmenes de una pirámide.

• Reconocen el cilindro.                                                 • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                           metódico y el sentido de crítica y
                                                                           autocrítica.

• Construyen un cono.

• Calculan áreas de un cono recto.

• Calculan volúmenes de cuerpos redondos.

 • Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución.

                                                                         • Promover una adecuada autoestima y la
                                                                           confianza en sí mismo.



• Calculan el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia.   • Desarrollar la capacidad de resolver
• Calculan el área y el perímetro de figuras compuestas.                   problemas, la creatividad y las
• Calculan el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos.            capacidades de autoaprendizaje.




Medición                                                                                                             51
  Propósito de la unidad

En esta unidad se estudian y profundizan conceptos de geometría plana, tales como: polígonos
compuestos, circunferencia y círculo; y de geometría en el espacio, como: pirámides, cilindros y conos,
poniendo mayor énfasis en el cálculo de áreas y volúmenes. Respecto a la búsqueda de regularidades, el
estudiante podrá descubrir la representación geométrica del número Pi,
lo cual será de utilidad para la comprensión de las fórmulas correspondientes para el cálculo de perímetro
de la circunferencia y el área del círculo. En cuanto al desarrollo de habilidades, esta unidad pretende
motivar al estudiante a desarrollar el interés por descubrir y observar las formas y relaciones existentes
en el entorno en que vivimos, y por otra parte, reforzar estrategias de trabajo y de manejo conceptual,
especialmente aquellos relativos a áreas y volúmenes.




 Mapa conceptual

                                                      Medición




         Perímetro                             Área                                         Volumen




  Polígonos       Figuras            Círculo            Figuras         Polígonos   Cuerpos         Cuerpos
                compuestas                            compuestas                    poliedros      redondos




       Circunferencia                       Cuerpos                                 Pirámides
                                          geométricos



  Polígonos                      Cuerpos               Cuerpos
  regulares                      poliedros            redondos




                         Pirámides             Cono              Cilindro




 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 66 y 67)

Actividades complementarias          • Pedir a los(as) alumnos(as) que dibujen dos figuras que tengan el mismo
                                       perímetro y dos figuras que tengan igual área. Comparan sus respuestas
                                       con un compañero(a).

                                       Preguntar: ¿Pueden coincidir en un cuadrado la medida del área y la del
                                       perímetro? Explica.


52                                                                                                     Unidad 4
Información para el docente    • Seguramente en la pregunta anterior, los(as) alumnos(as) tratarán de
                                 buscar una relación numérica que les permita responder la pregunta;
                                 darán algunos valores y calcularan su área y su perímetro, sin embargo,
                                 no pensarán en la expresión global que significa calcular áreas
                                 (producto) y perímetros (suma). Para inducir a la relación correcta,
                                 plantee las expresiones en términos algebraicos, es decir:

                                            Área de un cuadrado de            Perímetro de un cuadrado de
                                            lado x      x2                    lado x       x + x + x + x = 4x

                                Preguntar: ¿Es posible que algún número entero satisfaga la siguiente
                                ecuación?
                                                               x2 = 4x

                                Esta ecuación tiene solución 0 y 4, luego la única posibilidad de
                                coincidencia se dará si el cuadrado tiene lado 4 unidades.



Tarea                          • ¿Pueden coincidir en un rectángulo la medida del área y la del perímetro?
                                 Explica.



Áreas y perímetros de polígonos compuestos (páginas 68 y 69)

Actividades previas            • Los(as) alumnos(as) calculan áreas y perímetros de triángulos y
                                 cuadriláteros.




                        3 cm               8m                          5 cm                         X cm



                                                                5 cm                      6,4 cm
                      2 cm          2m




Actividades complementarias    • Pedir a los(as) alumnos(as) que midan las siguientes figuras y luego
                                 calculen el área y el perímetro, por medio de descomposiciones.




Medición                                                                                                    53
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Durante años los(as) profesores(as) hemos reducido el estudio del
                                perímetro y el área a una serie de cálculos algorítmicos olvidando la
                                génesis de estos conceptos: la medición. En la práctica se acostumbra dar
                                ejercicios con medidas previamente establecidas (dadas), de modo que
                                los(as) alumnos(as) nunca tengan que medir.


Áreas y perímetro de polígonos regulares (páginas 70 y 71)

Actividades previas           Preguntar: ¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un polígono regular?
                              Presente en la pizarra un pentágono regular, luego pregunte a sus
                              estudiantes de qué forma se podría descomponer para calcular su área
                              y perímetro, y si es recomendable descomponerlo en rectángulos y
                              triángulos, tal como se vio en las páginas anteriores.


Actividades complementarias   • Determinar el área de la parte sombreada en cada figura.
                                1. a =12 cm                        2. a = 18 cm
                                   b =10 cm                           b = 21 cm
                                   ρ1 = 8 cm                          ρ1 = 15 cm
                                   ρ2 = 7 cm                          h = 17 cm

                                               a               a
                                                        b
                                                                    b h
                                                        ρ2
                                                                    ρ1
                                                   ρ1




Información para el docente   • Es posible que sus estudiantes interpreten ρ como la distancia entre el
                                centro del polígono regular y uno de sus vértices, lo que no es cierto.
                                Enfatice que se trata de la distancia entre dicho punto y uno de los lados
                                del polígono, que corresponde a la altura del triángulo central, formado
                                por dos vértices consecutivos del polígono y su centro.
                              • Enfatice que los alumnos y alumnas remplacen correctamente las
                                medidas en la ecuación correspondiente, especialmente en las
                                actividades donde se presentan dos polígonos distintos. Si tienen dudas,
                                sugiera que pueden observar las figuras para relacionar los datos, por
                                ejemplo, si un polígono está dentro de otro, necesariamente sus medidas
                                serán menores.

Perímetro de la circunferencia (páginas 72 y 73)

Actividades previas           • Medir usando un cordel la longitud de distintos objetos circulares, luego
                                completar la tabla.

                                      Longitud de la              Longitud                       lc
                                                                                         Razón
                                    circunferencia (lc)       del diámetro (ld)                  ld




54                                                                                                Unidad 4
                                Preguntar: ¿Cómo se llama la razón entre la longitud de una
                                circunferencia y la medida de su diámetro? (Explicar que corresponde al
                                valor numérico de π).




Actividades complementarias    • Calcular el perímetro de cada circunferencia dado el radio. Considerar
                                 π = 3,14.
                                                                               3
                                 a. r = 3 cm                            c. r =   m
                                                                               4
                                b. r = 2,4 cm                           d. r = 0,6 m

                               • Calcular el radio de cada circunferencia dado su perímetro. Considerar
                                 π = 3,14.

                                a. P = 7 cm                             c. P = 150,72 m
                                b. P = 62,8 cm                          d. P = 0,314 km




Información para el docente    • En la actividad 29 de la página 73 del texto del alumno(a), se pide
                                 calcular el perímetro de una corona circular. Haga notar al alumno(a)
                                 que debe calcular el perímetro y no el área (suma de los contornos), ya
                                 que esta figura, por ser utilizada generalmente para el cálculo de áreas,
                                 genera cierta fijación, al igual que cualquier figura achurada, y el
                                 alumno(a) simplemente aplica una fórmula sin darse cuenta de lo que se
                                 le está preguntando.




 Área del círculo (páginas 74 y 75)

  Actividades previas           • Presente en la pizarra las siguientes figuras, luego pregunte cuál de ellas
                                  son circunferencias y cuáles son círculos. Explican por qué.




                                  Plantee las siguientes proposiciones. Los(as) alumnos(as) determinarán si
                                  son verdaderas o falsas, de acuerdo a las respuestas dadas anteriormente.

                                  Podemos calcular:
                                  – El perímetro de una circunferencia.
                                  – El perímetro de un círculo.
                                  – El área de una circunferencia.
                                  – El área de un círculo.
                                  – El perímetro y el área de una circunferencia.
                                  – El perímetro y el área de un círculo.


Medición                                                                                                  55
Actividades complementarias     • Determinar el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de su
                                  área. Considerar π = 3,1.

                                 a. A = 12 cm                               c. A = 40 m
                                 b. A = 31,4 cm                             d. A = 0,3 km

                                • Calcular la medida de los siguientes sectores circulares.

            a.                   b.                         c.                        d.


                          60º
                                                                        O                     O
                      O                     O                     45º                          120º




Información para el docente     • La actividad previa le permitirá aclarar a sus alumnos(as) las propiedades
                                  que cumplen tanto la circunferencia (lugar geométrico de los puntos que
                                  equidistan a igual distancia de un centro, esa distancia es llamada radio)
                                  como el círculo (superficie plana definida por una circunferencia).




 Orientaciones didácticas

Áreas y perímetros de figuras compuestas (páginas 76 y 77)

Actividades previas             • Presentar a los(as) alumnos(as) formas geométricas como las siguientes,
                                  para que determinen las figuras que las componen.

                                 a.                                         c.




                                 b.                                         d.




56                                                                                                    Unidad 4
 Actividades complementarias            • Calcular el área achurada y el perímetro total de la figura, dada la
                                          siguiente información.

  a.                                      b.                                         c.




       Rectángulo de lado mayor 6 cm           Circunferencias congruentes                Circunferencias pequeñas
       y lado menor 4 cm.                      de radio 4 cm.                             congruentes de diámetro 1 cm.
       Circunferencias congruentes.                                                       Circunferencia mayor: radio 3 cm.




Tarea                                   • Calcular el área del sector circular generado por una taza y su platillo.



Medición del volumen (páginas 78 y 79)

Actividades previas                     • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:
                                                                           1
                                        – ¿Cuántos cm3 tiene un vaso de        de litro? Analizar las respuestas y las
                                                                           8
                                         estrategias utilizadas en la resolución del problema.



Actividades complementarias             • Es importante recordar las equivalencias entre distintas unidades de
                                          medida. Para ello, presentar las siguientes relaciones, luego completar.


        x 1000             x 1000              x 1000            x 1000              x 1000                x 1000

km3                hm3                 dam3               m3                 dm3                   cm3                mm3
        ÷1000              ÷1000               ÷1000             ÷1000               ÷1000                 ÷1000

                                                                                            V = 1 cm3
                   1 dm3 es el volumen de un cubo de arista 1 dm.

                   1 km3 es el volumen de un cubo de arista                    .

                   1 m3                                                        .

                   1 cm3                                                        .




Medición                                                                                                                57
 Orientaciones didácticas

Área y volumen de pirámides (páginas 80 y 81)

Actividades previas             • Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres; con una red
                                  construyen una pirámide y luego establezcan alguna relación que les
                                  permita calcular su área y su volumen. Comparan sus conjeturas con las
                                  de otro grupo.



Actividades complementarias     • Calcular el volumen de las siguientes pirámides.




                      2m                                3m                                 2m


                                   4m                                                              2m
               4m                                  2m            2m
                                                                                         2m



El cilindro (páginas 82 y 83)

Actividades previas             • Pedir a los(as) alumnos(as) que formen grupos de tres, armen el prisma y
                                  el cilindro y realicen la siguiente actividad. (Ambos deben tener la misma
                                  área basal e igual altura).

                                – Comprobar que el prisma y el cilindro tienen igual altura.




                                                                      h


                                                                                     r
                                                          B                   B



                                – Llenar con arena el prisma y luego vaciarlo en el cilindro. ¿Qué conclusión
                                  pueden obtener?




                                – Establecer algebraicamente la relación encontrada.


58                                                                                                   Unidad 4
Actividades complementarias      • Calcular el volumen de los siguientes cilindros dado el diámetro y la
                                   altura.




           Diámetro = 4 cm                Diámetro = 8 cm                       Diámetro = 12 cm
           Altura = 12 cm                 Altura = 8 cm                         Altura = 6 cm



Información para el docente      • En la actividad anterior haga notar a los alumnos(as), que los datos que
                                   se están entregando no son aplicables directamente a una fórmula.
                                   Deben darse cuenta de que primero hay que calcular el radio de cada
                                   cilindro, el cual está dado por el diámetro, para luego aplicar la fórmula
                                   que les permite determinar el volumen de un cilindro.



Tarea                            • Calcular el volumen real de un envase en forma de cilindro. Luego
                                   comparar la medida obtenida con el contenido que se indica en el envase.
                                   Tener en cuenta la unidad de volumen usada para poder comparar las
                                   mediciones.



Red del cono recto (página 84)

Actividades previas              • Pedir a los(as) alumnos(as) que se organicen en parejas y realicen la
                                   siguiente actividad. Luego responden las preguntas. (Para la actividad
                                   necesitan un palito de maqueta, papel lustre, tijeras y pegamento).
                                 – Toman un palito de maqueta y un triángulo rectángulo de papel lustre.
                                 – Pegan el triángulo al palito de maqueta por uno de sus catetos.
                                 – Luego lo hacen girar.

                                  ¿Qué cuerpo se observa al hacer girar el palito de maqueta, en el mismo
                                  sentido?
                                  ¿Podrían explicar cómo se genera un cono y qué figuras lo forman?




Medición                                                                                                   59
 Orientaciones didácticas

Actividades complementarias   • Lee y luego resuelve.

                                  a. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector circular de un cono de radio
                                     3 cm y generatriz 5 cm?
                                  b. ¿Cuánto debe medir la generatriz para construir un cono de radio
                                     7 cm y α = 90º?
                                  c. Construye un cono cuyo perímetro basal sea 8 π cm y generatriz 11 cm.




Información para el docente   • El cono circular recto es el cuerpo de revolución engendrado por un
                                triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.
                                La hipotenusa del triángulo es la generatriz g del cono. El cateto sobre el
                                cual se gira es la altura h. El otro cateto es el radio r, de la base.
                                El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector
                                                                      r • 360º
                                  circular de radio g y ángulo   α=            .
                                                                          g




Área del cono recto (página 85)

Actividades complementarias   • Calcular el área de un cono, dado su radio y su generatriz. Considera
                                π = 3,14.

                                  a. r = 2 cm, g = 6 cm                    d. r = 2,6 cm, g = 6,4 cm
                                  b. r = 4 cm, g = 8 cm                    e. r = 5 cm, g = 10,2 cm
                                  c. r = 3,5 cm, g = 10 cm                 f. r = 3,6 cm, g = 8 cm



Volumen de cuerpos redondos (páginas 86 y 87)

Actividades previas           • Escribir en la pizarra los nombres de diversos cuerpos geométricos,
                                poliedros y cuerpos redondos, luego preguntar cuáles son cuerpos
                                redondos y cómo calcular sus volúmenes.




60                                                                                                     Unidad 4
Actividades complementarias           • Calcular el volumen de los siguientes cuerpos redondos.

  1.                                     2.                                      3.
                      r



                  h                           h                 r
                                                                                              h


                                                                                                  r

           Radio = 2 cm                             Radio = 2 cm                        Radio = 2 cm
           Altura = 8 cm                            Altura = 6 cm                       Altura = 10 cm




Más problemas (páginas 88 y 89)

Información para el docente           • Motive a sus alumnos(as) para que siempre busquen al menos dos
                                        estrategias de resolución para un mismo problema (si es que las hay).
                                        Esto les permite desarrollar sus habilidades y observar que un mismo
                                        problema puede tener diversos caminos de solución.




Uso del computador (página 90)

Información para el docente           • En la siguiente dirección web encontrará un geoplano interactivo, que le
                                        permitirá realizar la actividad en concreto con sus alumnos(as), podrán
                                        de una manera más didáctica descubrir las regularidades presentes en la
                                        actividad.
                                        www.santillana.cl/ebasica/mat8 .




Evaluación (páginas 92 y 93)
Objetivos evaluados
• Calcular el área de un círculo y el perímetro de una circunferencia. (Preguntas 1, 2; pág. 92)
• Calcular el área y el perímetro de figuras compuestas. (Preguntas 3, 4, 8; pág. 92. Preguntas 1, 2, 3; pág. 93)
• Calcular el área y el volumen de algunos cuerpos geométricos. (Preguntas 5, 6, 7; pág. 92. Pregunta 4; pág. 93)

Criterios de logro
• Preguntas 1, 2; pág. 92: responden correctamente los ejercicios formulados.
• Preguntas 3, 4, 8; pág. 92 y preguntas 1, 2, 3; pág. 93: responden correctamente al menos cuatro de las
  seis preguntas formuladas.
• Preguntas 5, 6, 7; pág. 92 y pregunta 4, pág. 93: responden correctamente al menos tres de las cuatro
  preguntas planteadas.



Medición                                                                                                            61
  Evaluación 4

Marca la alternativa correcta
                                                          5. Un cuadrado de lado 32 m, tiene inscritas
             Para tus cálculos considera π = 3               4 circunferencias. Calcula el área pintada.

                                                             A.   64 m2
1. Calcula el área del siguiente polígono.
                                                             B.   220,16 m2
                                                             C.   768 m2
     A.   70 m2
                                                             D.   1024 m2
     B.   78 m2                                                                                         8
                                   7
     C.   86 m2                                                                                                  32 u
     D.   150 m2
                            4               4
                        4                        4
                    2                                 2
                        4                        4
                            4               4             6. Determina el volumen de la pirámide de base
                                                             cuadrada.
                                   7
                                                             A.   576 cm3
                                                             B.   480 cm3
2. Calcula el área pintada de la figura.                     C.   356 cm3
                                                             D.   278 cm3
     A.   37,5 m2
          64,3 m2




                                                                                                10 cm
     B.
     C.   225 m2
     D.   274,75 m2                O    10 m
                                                                                            12 cm
                                         45º
                                                          7. Calcula el perímetro de la figura pintada.

                                                             A.   6 + 9π cm
3. ¿Cuál de las siguientes corresponde al volumen            B.   54 - 9π cm2
   de la mitad de una esfera de radio 3 cm.                  C.   6 + 6π cm
                                                                              A             B           C               D
                                                             D.   18 + 9π cm
     A.   36 m3
     B.   27 m3
     C.   56,52 m3
                                                                              J                                         E
     D.   216 m3

4. ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyo
   lado mide 6 cm y cuyo apotema mide 5 cm?                                   I             H           G               F

                                                                                  CE, EG, HJ y JB son arcos de
     A. 105 cm2                                                                   circunferencia.
                2                                                                 El rectángulo ADFI mide 9 cm
     B. 90 cm
                                                                                  de largo y 6 de ancho.
     C. 60 cm2
     D. 45 cm2


                                                 6m




62                                                                                                           Unidad 4
8. Calcula el volumen de acero inoxidable que se      11. ¿Cuál es el área que se obtiene al armar una red
   necesita para elaborar una cañería cuyas               de una pirámide cuadrada cuyo lado de la base
   dimensiones son:                                       mide 4 cm y sus caras laterales corresponden a
                                                          triángulos equiláteros?
   diámetro externo ( de ) = 12 cm
   diámetro interno ( di ) = 10 cm                       A. 16 (1 + 3 ) cm2
   Largo ( L ) = 100 cm
                                     L
                3                                        B. 32    3 cm2
   A.   3454 cm                                              3                                 2 3
   B.   6000 cm3                                                      2
                                                         C. 16 2 cm
   C.   7500 cm3                         di
   D.   10 800 cm3
                                                         D. 32 2 cm2
                                                             3
                                         de



9. El área y el perímetro de una figura formada por
   un triángulo isósceles de altura 4 metros y una
                                                      12. Un tarro de pelotas de tenis tiene 4 pelotas
   semicircunferencia de diámetro 6 metros es:
                                                          perfectamente calzadas en su interior. Determina
                              d
                                                          el volumen del tarro cuya forma es cilíndrica,
                                                          sabiendo que el diámetro de cada pelota es
                                                          12 cm.

                                                         A.   1296 cm3
                                                         B.   5426 cm3
                                                         C.   3888 cm3
                                                         D.   15 552 cm3
                h

                                                      13. Un círculo ubicado en el vértice C de un triángulo
                                                          equilátero rueda por el lado CB. ¿Qué radio debe
                                                          tener el círculo para que justo de una vuelta,
   A.   área = 39 m2; perímetro 28 m                      desde el vértice C al vértice B, sabiendo que el
   B.   área = 26,13 m2; perímetro 19,42 m                lado del triángulo mide 6 cm?
   C.   área = 25,5 m2; perímetro 28 m
                                                         A.   3m
   D.   área = 39 m2; perímetro 19 m                                                       r
                                                         B.   2m
                                                         C.   1m
                                                         D.   0,5 m
10. Un automóvil se desplaza 1200 metros.                                              C
    Determina el radio de las ruedas, sabiendo que
    dieron 400 vueltas en el total del trayecto.

   A.   3m
   B.   2m
   C.   1m
   D.   0,5 m                                                                 A                       B



Medición                                                                                                  63
     UNIDAD



       5Funciones
Cuadro sinóptico

              CMO                      Estructura de la unidad                      Contenidos de la unidad
• Reconocimiento de funciones       • Páginas de inicio. (Págs. 94 y 95)
  en diversos contextos, distinción
  entre variables dependientes e
  independientes en ellas e
  identificación de sus elementos                                        – Noción de función. (Págs. 96 y 97)
  constituyentes: dominio,          • Páginas de desarrollo de
  recorrido, uso e interpretación     contenidos. (Págs. 96 a 107)
                                                                         – Variables dependientes e independientes. (Págs. 98
  de la notación de funciones.                                             a 101)


                                                                       – Representación de una función. (Págs. 102 y 103)


                                                                       – Imagen y preimagen. (Págs. 104 y 105)



                                                                       – Dominio de una función. (Pág. 106)


                                                                       – Recorrido de una función. (Pág. 107)


                                   • Más problemas.                    • Representación de una función
                                     (Págs. 108 y 109)


                                   • Uso de computador (Pág. 110)      • Representación de una función


                                   • Síntesis (Pág. 111)


                                   • Evaluación. (Págs. 112 y 113)




64                                                                                                                  Unidad 5
                         Aprendizajes esperados                                                 OFT
                                                                            • Reconocer la importancia del trabajo
                                                                              como forma de desarrollo personal,
                                                                              familiar y social.

• Determinan cuándo dos variables están relacionadas por una función.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran variables dependientes e   • Desarrollar las habilidades intelectuales
  independientes.                                                             relacionadas con la clarificación,
                                                                              evaluación y generación de ideas.

• Reconocen funciones en diversos contextos


• Calculan el valor de la imagen y de la preimagen de un número bajo una
  función.


• Determinan el dominio de una función.


• Determinan el recorrido de una función.

                                                                            • Desarrollar la capacidad de resolver
                                                                              problemas, la creatividad y las
                                                                              capacidades de autoaprendizaje.




• Representan algebraicamente una función.                                  • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
• Aplican el concepto de imagen y preimagen.                                  metódico y el sentido de crítica y
• Evalúan una función.                                                        autocrítica.
• Aplican la noción de función.
• Representan gráficamente una función.




Funciones                                                                                                              65
  Propósito de la unidad

La presente unidad entrega nuevas herramientas relacionadas con la representación de relaciones,
mediante la utilización del concepto y la notación de funciones, de esta manera el alumno podrá resolver
problemas más complejos, en los cuales necesita representar una relación entre dos variables, por
ejemplo, una relación proporcional. Muchas de las situaciones planteadas están relacionadas con
situaciones cotidianas, de este modo el alumno descubrirá una gama de aplicaciones de las funciones,
tanto mediante su representación algebraica como mediante su gráfica. Por otra parte, se pretende
desarrollar el razonamiento de los alumnos, para esto se incorporan páginas destinadas especialmente a
estudiar los conceptos involucrados en la noción de función.




  Mapa conceptual

                                                   Funciones




                       Noción                             Representación




           Variable              Variable              Gráfica                       Algebraica
         dependiente          independiente

                                                      Tabla de             Preimagen              Imagen
                                                       valores


                                                                           Dominio            Recorrido


                                                 Aplicaciones




 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 94 y 95)

Actividades complementarias         • Resuelve las siguientes ecuaciones

                                     a.   4x – 3 + 7 = 2x
                                     b.   7x + 2x – 5 = 20 – x
                                     c.   12x – 4 = 28 – 2x
                                     d.   9x – 18 = 3x – 30
                                     e.   3y – 14 + 7y = 4y – 1y + 16
                                     f.   –4x + 2x + 6 – 2 = 4x + 12




66                                                                                                         Unidad 5
                              • Determina si las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F).

                                a.   8 + 2 • (–2) = –8 : –2
                                b.   –16 • (–3) + 20 = –14 + 6 • 7
                                c.   –40 : 8 – 10 = – 3 • 8 + 9
                                d.   9 – 0,25 • 20 – 3,5 = 8 : 8 – 1
                                e.   32 : 4 – 7 = – 4,2 • 4 + 3,2
                                f.   24 • (–2) + 48 = (–6 + 8) • 7 – 14



Noción de función (páginas 96 y 97)

Actividades complementarias   • Determinar en cada caso si la relación entre las variables corresponde a
                                una función o no.

                               1.    Un número cualquiera y su inverso multiplicativo.
                               2.    La longitud del lado de un hexágono regular y su área.
                               3.    El número de pisos de un edificio y la cantidad de escaleras que tiene.
                               4.    La longitud del lado de un triángulo cualquiera y su perímetro.
                               5.    El número de teléfono y una persona.
                               6.    El tiempo de conexión a Internet y el valor.
                               7.    Un joven y sus primos.

Información para el docente   • Es fundamental que sus estudiantes distingan una función de alguna
                                otra relación entre dos variables, es necesario que para cada uno de los
                                valores posibles de x, le corresponda un único valor de y (y no dos
                                valores distintos). Enfatice la idea de que la unicidad se refiere al valor
                                de y que está relacionado con cada valor de x, de modo que no se
                                confunda con la idea de que todos los valores de y deben ser el mismo.


Variables dependientes e independientes (páginas 98 a 101)

Actividades complementarias   • Describe la relación entre las siguientes variables, en cada caso justifica.

                               a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de
                                  dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura
                                  o el tamaño de la pared?
                               b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la
                                  cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de
                                  agua o el precio de la cuenta?
                               c. Sueldo de una persona y horas de trabajo. ¿Cuál es la variable
                                  dependiente?
                               d. Dinero de la deuda total e intereses de una deuda. ¿Cuál es la
                                  variable independiente?


Información para el docente   • Es importante tener en cuenta que el concepto de dependencia e
                                independencia entre las variables es fundamental. Por este motivo, se
                                debe recalcar la idea que a cada valor de x le corresponde un único valor
                                de y.

Funciones                                                                                                 67
  Orientaciones didácticas

Representación de una función (páginas 102 y 103)

 Actividades complementarias    • Un acuario se puede llenar vaciando 12 bidones de 15 litros cada uno,
                                  por lo que con bidones de 5 litros se deben ocupar 36 bidones, para el
                                  mismo fin.
                                 a. ¿Cuál es la función que modela estos valores?
                                 b. Construye el gráfico correspondiente.
                                 c. Observando la gráfica anterior, ¿cuántos bidones de 30 L se necesitan
                                    para llenar el acuario? ¿Y bidones de 6 L?, ¿y de 20 L?


 Información para el docente    • Recuérdeles a sus alumnos(as) las características que debe tener el gráfico
                                  de una función: Asignar la variable independiente al eje X y la
                                  independiente al eje Y e identificarlas, establecer la escala necesaria para
                                  cada eje y escribir sus números. Enfatice el orden correcto de las variables
                                  en un par ordenado y la forma de ubicar los puntos en el gráfico.

Imagen y preimagen (páginas 104 y 105)

 Actividades complementarias    •Completa la siguiente tabla:

                                  Función         Imagen de 0 Imagen de 5 Preimagen de 65 Preimagen de 0

                                  f(x)= 3x – 5

                                  g(x)= 12x + 9
                                  h(x)= –3 – 7



Información para el docente    • Comprender el concepto de imagen y preimagen de uno o más valores
                                 bajo una función es el paso previo para comprender el dominio y
                                 recorrido de la función, por lo que compruebe que los alumnos(as)
                                 calculan correctamente la imagen y preimagen, y que pueden decidir
                                 cuándo no existen, en cada caso, antes de continuar con la unidad.

Dominio de una función (página 106)

 Actividades complementarias    • Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se
                                  presentan a continuación, y el dominio de la función en cada caso.
                                  a. Se dice que una coneja a partir del segundo año de vida, tiene 28
                                     hijos por año; Si x es la edad de la coneja, ¿qué función entrega la
                                     cantidad de hijos que ha tenido?
                                  b. Un automóvil rinde 12 km por cada litro de bencina cuando recorre la
                                     ciudad. ¿Qué función indica el gasto de bencina cuando se han
                                     recorrido x kilómetros?
                                  c. Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos; ¿Qué
                                     función nos da la cantidad de bacterias que hay después de x minutos
                                     si al comienzo había 7 bacterias?



68                                                                                                   Unidad 5
Recorrido de una función (página 107)

Actividades complementarias        • Determina una función f(x) para cada una de las situaciones que se
                                     presentan a continuación y el recorrido de la función en cada caso.
                                     a. Cantidad de pintura utilizada para pintar una pared, y el tamaño de
                                        dicha pared. ¿Cuál es la variable dependiente, la cantidad de pintura
                                        o el tamaño de la pared?
                                     b. Consumo de metros cúbicos de agua en una oficina, y el precio de la
                                        cuenta del agua. ¿Cuál es la variable independiente, el consumo de
                                        agua o el precio de la cuenta?

Más problemas (páginas 108 y 109)
Información para el docente        • Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un
                                     problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,
                                     discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe
                                     obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del
                                     contexto. Para ello les puede plantear las siguientes preguntas:
                                     - ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?
                                     - ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema?
                                     A continuación es recomendable generar un debate acerca de las
                                     diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos
                                     puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para
                                     resolver una misma situación.

Uso de computador (página 110)
Información para el docente        • Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de
                                     poder utilizar un software computacional, ya que este recurso
                                     tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las
                                     diferentes funciones estudiadas.
                                   • Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en esta página, es
                                     fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los
                                     conceptos trabajados en la unidad.

Evaluación (páginas 112 y 113)
Objetivos evaluados
• Representar algebraicamente una función. (Pregunta 1; pág. 112 y pregunta 3 de pág. 113)
• Evaluar afirmaciones que involucran conceptos tratados en la unidad (Preguntas 2 y 5; pág.112)
• Aplicar el concepto de imagen y preimagen. (Pregunta 3, 4 y 7; pág.112 y pregunta 2 de pág. 113)
• Evaluar una función. (Pregunta 6; pág. 112)
• Aplicar la noción de función. (Pregunta 8; pág.112)
• Representar gráficamente una función. (Pregunta 1; pág. 113)

Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 5 y 8; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 3, 4, 6 y 7; pág. 112: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 1 y 2; pág. 113: responden correctamente al menos una de las dos preguntas planteadas.

Funciones                                                                                                   69
  Evaluación 5

Marca la alternativa correcta                            6. Según la pregunta anterior, la variable
                                                            independiente, ¿a qué corresponde?
1. La imagen de 27 en la función f (x) = 2x + 7 es:
                                                            A.   A la cantidad de bombones en cada caja.
   A. 20
                                                            B.   A la cantidad de cajas.
   B. 47
                                                            C.   Al total de bombones.
   C. 54
                                                            D.   Ninguna de las anteriores.
   D. 61


                                                         7. ¿Cuál de las siguientes frases se relaciona con la
2. La preimagen de 33 en la función f (x) = 6x – 9
                                                            función f (x) = 30 – 12x?
   es:
   A. 5,5                                                   A.   La imagen de 3 es 6.
   B. 5                                                     B.   La preimagen de 42 es 1.
   C. 4                                                     C.   La imagen de 0 es 18.
   D. 7                                                     D.   La preimagen de 6 es 2.


3. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?           8. Matilde elaboró 240 alfajores y quiere envasarlos
                                                            en cajas que contengan la misma cantidad de
     A. El recorrido de una función es el conjunto de
                                                            unidades. En este contexto, ¿cuál de las siguientes
        todas sus preimágenes.
                                                            frases es falsa?
     B. La variable dependiente corresponde a la
        variable y.                                         A. La función que modela esta situación es
     C. El recorrido de la función y = 4x está                 y = 240
        compuesto por los números pares.                            x
     D. La preimagen de 13 bajo la función y = 2x – 1       B. La variable dependiente es la cantidad de
        es 6.                                                  alfajores que se envasan en cada caja.
                                                            C. 120 pertenece al recorrido de la función.
                                                            D. 60 pertenece al dominio de la función.
4. El valor de la función f (x) = 25 – 5x cuando x = 5
   es:
   A. 0                                                  9. Según la pregunta anterior, ¿cuál de las siguientes
   B. –50                                                   frases es verdadera?
   C. 20
   D. 30                                                    A. El dominio de la función son todos los
                                                               números naturales.
                                                            B. El dominio de la función es igual a su
5. En una confitería se envasan 24 bombones en cada            recorrido.
   caja. ¿Cuál es la función que modela el número           C. El recorrido de la función son todos los
   total de bombones envasados?                                números enteros entre 1 y 240.
                                                            D. Ninguna de las anteriores.
     A.   y = 24 – x
     B.   y = x + 24
     C.   y = 24x
     D.   x = 24y




70                                                                                                        Unidad 5
                                                        14. La única afirmación falsa con respecto a la
10. El valor de la función f (x) = 3x + 18 cuando                          x2 +
                                                            función f(x) = x – 1 es:
    x = 6 es:                                                                   1
                                                            A. f(–1) = –1
    A.   36
                                                            B. f(–3) = –5
                                                                        2
    B.   18
                                                                 –1     5
    C.   54                                                 C. f      =
                                                                  2     6
    D.   111
                                                            D. f(3) = 5


11. ¿Cuál de las siguientes frases es falsa?
                                                        15. Con respecto a la función g(x) = 2x – 1 se afirma
                                                                                             x – 6
    A. El dominio de una función es el conjunto de          que:
       todas sus preimágenes.
    B. La variable x corresponde a la variable              I. g(6) no existe.
       dependiente.                                         II. g(3) es un entero negativo.
    C. La preimagen de –15 bajo la función                         1
                                                            III. g     es negativo.
       y = 30 – 9x es 5.                                           2
    D. La imagen de 7 bajo la función                       De las afirmaciones son verdaderas:
       y = 4x – 5 es 23.
                                                            A.   Solo I
                                                            B.   Solo II
12. ¿Cuál de las siguientes relaciones no corresponde       C.   I y III
    a una función?                                          D.   II y III

    A. El área de una mesa rectangular y la longitud
                                                        16. ¿Cuál es la función que modela los valores de la
       de su ancho.
                                                            siguiente tabla?
    B. La longitud del radio de una circunferencia y
       su área.
                                                          x          1      2       3          4    5      6
    C. La edad de una persona y la cantidad de hijos
       e hijas que tiene.                                 y          2      6      11         18   27     38
    D. La longitud de un lado de un triángulo y su
       altura.                                              A.   y = 4x – 2
                                                            B.   y = x2 – 2
                                                            C.   y = 2x + 2
13. ¿Cuál es la función que modela los valores de la        D.   Ninguna de las anteriores.
    siguiente tabla?

   x        1       2       3         4    5        6

   y        17     14      11         8    5        2


    A.   y = 22 – 5x
    B.   y = 20 – 3x
    C.   y = 2x + 15
    D.   Ninguna de las anteriores.



Funciones                                                                                                   71
     UNIDAD



       6Relaciones proporcionales
Cuadro sinóptico

              CMO                        Estructura de la unidad                     Contenidos de la unidad
• Reconocimiento y                   • Páginas de inicio.
  representación como una              (Págs. 118 y 119)
  función de las relaciones de
  proporcionalidad directa e         • Páginas de desarrollo de         – Razones y proporciones. (Págs. 120 y 121)
  inversa entre dos variables, en      contenidos. (Págs. 118 - 141)
  contextos significativos.
  Comparación con variables
                                                                        – Variaciones proporcionales y no proporcionales.
  relacionadas en forma no
                                                                          (Págs. 122 y 123)
  proporcional y argumentación
  acerca de la diferencia con el
  caso proporcional.                                                    – Proporcionalidad directa. (Págs. 124 a 127)

• Análisis de diversas situaciones
  que representan tanto
  magnitudes proporcionales                                             – Proporcionalidad inversa. (Págs. 128 a 131)
  como no proporcionales,
  mediante el uso de software
  gráfico.
                                                                        – Semejanza y proporcionalidad. (Págs. 132 y 133)
• Resolución de problemas en
  diversos contextos que implican                                       – Escala. (Págs. 134 y 135)
  el uso de la relación de
  proporcionalidad como modelo                                          – Porcentajes. (Págs. 136 y 137)
  matemático.
                                                                        – Aplicaciones del porcentaje en el comercio.
                                                                          (Págs. 138 y 139)


                                                                        – El impuesto al valor agregado: IVA.
                                                                          (Págs. 140 y 141)


                                     • Más problemas.                   • Aplicación y cálculo de escalas.
                                       (Págs. 142 y 143)


                                     • Cálculo mental. (Pág. 144)       • Cálculo de porcentajes.

                                     • Uso de la calculadora. (Pág. 144) • Cálculo de porcentajes.

                                     • Síntesis. (Pág. 145)             • Cálculo de porcentajes.

                                     • Evaluación. (Págs. 146 y 147)    • IVA.




72                                                                                                                      Unidad 6
                            Aprendizajes esperados                                                OFT



• Reconocen razones y proporciones.                                           • Desarrollar las habilidades intelectuales
                                                                                relacionadas con la clarificación,
                                                                                evaluación y generación de ideas.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran variaciones proporcionales • Desarrollar las habilidades intelectuales
  y no proporcionales.                                                        relacionadas con la clarificación,
                                                                              evaluación y generación de ideas.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad directa.    • Desarrollar las habilidades intelectuales
                                                                                relacionadas con la clarificación,
                                                                                evaluación y generación de ideas.

• Reconocen y resuelven problemas que involucran proporcionalidad inversa.    • Desarrollar las habilidades intelectuales
                                                                                relacionadas con la clarificación,
                                                                                evaluación y generación de ideas.
• Resuelven problemas que involucran semejanza y proporcionalidad.

• Resuelven problemas que involucran cálculo de escalas.

• Calculan porcentajes en contextos concretos.

• Calculan porcentajes en contextos concretos.                                • Reconocer la importancia del trabajo
• Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un       como forma de desarrollo personal,
  porcentaje.                                                                   familiar y social.

• Resuelven problemas de cálculo de impuestos.                                • Reconocer la importancia del trabajo
• Encuentran el referente inicial a partir de una cantidad que incluye un       como forma de desarrollo personal,
  porcentaje.                                                                   familiar y social.

                                                                              • Desarrollar la capacidad de resolver
                                                                                problemas, la creatividad y las
                                                                                capacidades de autoaprendizaje.




• Resuelven problemas usando proporcionalidad directa.                        • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
• Resuelven problemas usando proporcionalidad inversa.                          metódico y el sentido de crítica y
• Aplican el concepto de razón.                                                 autocrítica.
• Aplican el concepto de escala.
• Resuelven problemas aplicando porcentajes.
• Resuelven situaciones relacionadas con el comercio.
• Aplican porcentaje correspondiente al IVA.




Relaciones proporcionales                                                                                                73
  Propósito de la unidad

El concepto de proporcionalidad no es desconocido para los alumnos, pues ha sido estudiado en Séptimo
Año Básico. Desde esta perspectiva, la unidad se ha estructurado dando importancia a la distinción entre
situaciones en las cuales se presente una variación proporcional, y otras en las que no se presente. Del
mismo modo, las actividades requieren de una reflexión respecto de la dinámica de las variaciones
proporcionales, ya que más que propiciar el entendimiento de la mecánica propia para resolver diversas
situaciones, lo que se busca es que visualicen la manera cómo se relacionan las variables. En cuanto a la
aplicación de la proporcionalidad se trabaja la semejanza de figuras planas, el diseño de dibujos a escala y
de manera muy especial porcentajes, utilizando para este último, ejemplos de contextos reales como el
comercio.



  Mapa conceptual

                                          Relaciones proporcionales




               Variaciones                                                  Semejanza y
                                                   Razón
           proporcionales y no                                            proporcionalidad
             proporcionales
                                                 Proporción
                                                                              Escala


                                      Directa                 Inversa


                                    Porcentaje             Aplicaciones




                                        IVA                Descuentos        Aumentos porcentuales



 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 116 y 117)

Actividades complementarias         • Discutir con los(as) alumnos(as) en cuáles de los siguientes problemas las
                                      magnitudes varían proporcionalmente.

                                     a. Al comprar 3 kilos de pan, Juan paga una cantidad de dinero que
                                        asciende a $750, y al comprar 5 kilos paga $1250.
                                     b. Pedro manda una cadena de e-mails a tres compañeros, y cada uno
                                        de ellos a su vez manda este e-mail a tres amigos más y así
                                        sucesivamente.
                                     c. Dos amigos se toman una bebida de 3 litros en una hora, en cambio,
                                        seis amigos se toman esta misma cantidad en media hora.


74                                                                                                      Unidad 6
Razones y proporciones (páginas 118 y 119)

Actividades previas                • Determinar si las siguientes relaciones representan una fracción o una
                                     razón.

                                    a.   Cantidad de alumnos(as) del 8° A y la cantidad de alumnos del colegio.
                                    b.   Cantidad de mujeres de Chile y la cantidad de hombres de Chile.
                                    c.   Cantidad de adultos mayores respecto de la población total del país.
                                    d.   Cantidad de basura que produce un hogar con respecto a la cantidad
                                         promedio de personas que viven en un hogar.



Actividades complementarias        • Determinar la constante de proporcionalidad en los siguientes
                                     problemas.

                                    a. Los ángulos interiores de un pentágono irregular están en la razón
                                       1 : 2 : 1,5 : 3 : 0,5.
                                    b. Una persona, viajando en automóvil, se percata de que por cada
                                       kilómetro que avanza, aumenta su velocidad en 0,5 km/h.



Información para el docente        • Es importante hacer ver a los(as) alumnos(as) las diferencias que se
                                     presentan entre fracción y razón. La primera de estas es una relación
                                     parte – todo, en cambio, la segunda es una relación parte – parte. Es
                                     relevante hacer notar que la razón puede comparar cantidades de la
                                     misma magnitud, y cantidades de magnitudes distintas.



Variaciones proporcionales y no proporcionales (páginas 120 y 121)

Actividades complementarias        • Mostrar a los alumnos y alumnas esquemas de figuras que sean
                                     proporcionales y no proporcionales. Luego, pedir que realicen las
                                     mediciones necesarias para determinar si las figuras dadas son o no
                                     proporcionales. Por ejemplo,




                              a.




                              b.




Relaciones proporcionales                                                                                     75
 Orientaciones didácticas

Proporcionalidad directa (páginas 122 a 125)

Actividades previas           • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas encuentran
                                magnitudes o variables que aumenten o disminuyan a la vez?


Actividades complementarias   • Construir una tabla de valores y el gráfico correspondiente para
                                encontrar la respuesta a la siguiente situación:
                              – Una impresora hace 60 copias por minuto. Si se necesita fotocopiar una
                                enciclopedia de 3600 páginas, ¿cuánto tiempo se demora la máquina en
                                hacerlas?

                              • Resuelve los siguientes problemas.
                                a. Doce metros de género cuestan $ 2400. ¿Cuánto cuestan 5 metros?
                                b. Diez obreros cavan, en cinco horas, una zanja de 60 m de longitud.
                                   ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros trabajando
                                   en las mismas condiciones?
                                c. Si una persona de 1,85 m de altura proyecta una sombra de 1,35 m de
                                   longitud, calcula la altura de un árbol que en el mismo instante
                                   proyecta una sombra de 20 metros.




Proporcionalidad inversa (páginas 126 a 129)

Actividades previas           • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿En qué situaciones cotidianas
                                encuentran magnitudes o variables donde si una aumenta, la otra
                                disminuye, y viceversa?


Actividades complementarias   • Construir una tabla y su gráfico correspondiente para dar respuesta a la
                                siguiente situación: Un automóvil debe recorrer una distancia de 360 km.
                                ¿Cuáles son los tiempos y las velocidades que puede alcanzar este auto,
                                de manera de recorrer la distancia indicada?

                              • Resuelve los siguientes problemas.
                                a. Con mi dinero puedo comprar 25 dulces a $ 30 cada uno. Si suben a
                                   $ 35, ¿cuánto podré comprar?
                                b. Si 50 telares producen cierta cantidad de tela en 240 horas. ¿Cuántas
                                   horas demoran 120 telares iguales en producir la misma cantidad de
                                   tela?
                                c. Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientes
                                   respectivamente. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la
                                   primera ha dado 144 vueltas?
                                d. Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. ¿Cuántos hombres se
                                   necesitarían si se quiere pintar en 80 días?
                                e. En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos en
                                   dar una vuelta a la pista a 250 km/h. Si el segundo auto demoró
                                   2,8 minutos, ¿a qué velocidad promedio dio la vuelta a la pista?



76                                                                                                 Unidad 6
Posibles dificultades         • Los alumnos tienden a pensar que si dos variables aumentan o
                                disminuyen a la vez se tiene una proporción directa, mientras que al
                                enfrentarse a dos variables en la cual una aumenta y la otra disminuye se
                                tiene una proporción inversa.
                                Se debe aclarar que el comportamiento de las variables en ambos casos
                                debe ser proporcional.



Actividades complementarias   Para alumnos más avanzados:
                               • Construir una tabla e identificar la proporcionalidad en cada uno de los
                                 siguientes problemas:

                                a. Si tres secretarias pueden digitar seis manuscritos en doce días,
                                   ¿cuántos días tomaría a dos de ellas digitar tres de esos documentos?
                                b. Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿Cuántas nueces come una
                                   ardilla en un día? Intuye la respuesta y luego compruébala.
                                c. Para llenar un estanque se necesitan dos llaves (A y B). Estando
                                   abierta la llave A, el estanque se llena en 2 horas, y estando abierta la
                                   llave B el estanque se llena en una hora y media. ¿Cuánto demora en
                                   llenarse estando abiertas las dos llaves?




Comentario                    • Lo más relevante del trabajo con proporcionalidad compuesta es la
                                identificación de cada uno de los tipos de proporcionalidad que están
                                involucrados en los problemas. Pero esta identificación se dificulta por el
                                poco contacto que tienen los alumnos con las magnitudes que se
                                relacionan de una u otra forma en la realidad; en su vida cotidiana
                                manejan muy pocas magnitudes como para que puedan determinar los
                                tipos de proporcionalidad en problemas de enunciados verbales. Es por
                                esto que el profesor debe ejercitar el manejo de magnitudes, y que los
                                alumnos(as) experimenten concretamente con ellas.


Semejanza y proporcionalidad (páginas 130 y 131)

Actividades previas           • Preguntar a los(as) alumnos(as):
                              – ¿Un cuadrado pequeño y uno grande, son iguales o parecidos?
                              – ¿Y dos circunferencias?
                              – ¿En qué se diferencia una circunferencia pequeña de una grande?



Actividades complementarias   Para alumnos más avanzados:
                               • Ingresar a la página www.descartes.cnice.mec.es y seleccionar Unidades
                                 Didácticas. Allí encontrarán una serie de temas, de los cuales eligen
                                 Semejanza y Homotecia. A partir de lo que ahí descubran y al realizar las
                                 actividades que se plantean, contestan las siguientes preguntas:



Relaciones proporcionales                                                                                77
 Orientaciones didácticas

                                 – ¿Qué es una homotecia?
                                 – ¿Qué se obtiene de ella al ser aplicada a un polígono?
                                 – ¿Qué es el centro de homotecia?
                                 – ¿Qué significa que la razón de homotecia k sea positiva mayor que 1?
                                   ¿Sea positiva menor que 1? ¿Sea negativa mayor que –1? ¿Sea negativa
                                   menor que –1? ¿Qué significa que sea cero?
                                   Si en la figura de la casa se hace variar el centro de homotecia “O”,
                                   ¿qué sucede con la figura?
                                   Si en la misma figura se hace variar solo la razón de homotecia k,
                                   ¿qué sucede con la figura?

                                  No olvidar que las páginas web o su contenido pueden variar.


Escala (páginas 132 y 133)

Información para el docente      • Para medir y cambiar escalas el instrumento más usado es el escalímetro. Es
                                   bueno que los(as) alumnos(as) se familiaricen con este tipo de instrumentos,
                                   pues observan en la realidad cómo aplicar los conocimientos que van
                                   aprendiendo de forma teórica. Otro instrumento interesante para mostrar y
                                   manipular es el pantógrafo, el cual permite construir polígonos semejantes a
                                   uno determinado, fijando previamente la razón de proporcionalidad.



Porcentaje (páginas 134 y 135)

Actividades previas              • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son las situaciones en que han
                                   escuchado hablar de porcentaje? ¿Qué representa un porcentaje? ¿Puede
                                   tener relación con las fracciones?



Actividades complementarias      • Asocia cada porcentaje con la fracción (o expresión) que le es equivalente.


                                      La mitad                                                  30%
                                                                 La cuarta parte

                                                33,333...%                                   Un tercio
                                                                    25%

                                                                                    3
                                            1                                                     1
                                                              50%                  10
                                            2                                                     3



Información para el docente      • El porcentaje, al ser una razón de consecuente cien, también está ligado
                                   al campo de las fracciones. Es importante que los(as) alumnos(as)
                                   comprendan la equivalencia de significado que existe entre porcentajes y
                                   fracciones, además de su equivalencia numérica. Por ejemplo, decir el
                                                                       1
                                   50% de un cierto número, o decir      del número, o decir “la mitad” del
                                                                       2

78                                                                                                       Unidad 6
                               número, son expresiones que no solo arrojan un valor numérico equivalente,
                               sino que su carga de significado también lo es, esto le permitirá comprender
                               mejor el campo de problemas que abarcan los porcentajes.



Aplicaciones de porcentajes en el comercio (páginas 136 y 137)

Actividades complementarias   • Determinar el porcentaje final de ganancia o pérdida en cada uno de los
                                siguientes problemas.

                              – Una persona compra un artículo en $80 000 y lo vende con un 10% de
                                ganancia. En seguida el artículo se vuelve a vender pero ahora con un
                                10% de pérdida. ¿El artículo queda en el precio original?
                              – Una librería vende los libros con un 20% de descuento si la venta es a
                                plazo; pero si es al contado hace además un 5% de descuento adicional
                                calculado sobre el precio de venta a plazo. Si un libro está marcado con
                                $n, ¿cuánto dinero se pagará por él, si el pago es al contado?

                               ¿Los cálculos confirman la intuición? ¿Por qué?



El impuesto al valor agregado: IVA (páginas 138 y 139)

Actividades complementarias   • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación.

                              – En el kiosco del colegio de Manuel se compran periódicamente los
                                productos que después se venden a los alumnos. Manuel le ayuda a don
                                José, el dueño del kiosco, a ordenar las facturas que le pasan los distintos
                                proveedores. Él observa que a lo que cuesta cada producto se le agrega
                                un valor más, siendo el total de esta cantidad lo que debe pagar don
                                José. Manuel mira una de las facturas y observa que el monto final es
                                $243 000 pero que el costo de los productos es $196 830.

                               Averiguar cuánto más pagó don José y a qué porcentaje corresponde del
                               costo inicial y a qué porcentaje corresponde del monto final. Comparar
                               estos porcentajes. ¿Qué pueden concluir?



Más problemas (páginas 140 y 141)

Actividades complementarias   • Realizar el siguiente desafío con un(a) compañero(a), anotando todos los
                                pasos que siguieron para llegar al resultado final. Comentar el
                                procedimiento seguido con tu profesor(a).

                              – Matías depositó en una cuenta de ahorros $100 000 con una tasa de
                                interés mensual de 3,5%. Después de algún tiempo, Matías quiso invertir
                                su dinero pero encontró que había más del que había depositado.
                                Construye una tabla para que Matías entienda cómo fue que aumentó su
                                capital inicial y por qué sucedió.


Relaciones proporcionales                                                                               79
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • En el proceso de resolución de problemas es muy importante la
                                validación de las respuestas en el contexto en que se circunscribe el
                                problema. Este punto va más allá de verificar si los cálculos están
                                correctos; va en el sentido de dar significado al problema y analizar si el
                                problema tenía sentido en sí mismo. Este tipo de análisis genera en el
                                alumno(a) la habilidad de cuestionar, que es estrictamente necesaria en
                                matemáticas y en la resolución de problemas en general.



Cálculo mental (página 142)

Actividades complementarias   • Calcular mentalmente las siguientes relaciones porcentuales.

                               a. el 50% de 40 es                      g. 8 es el 12% de
                               b. el 25 % de 70 es                     h. 33 es el 30% de
                               c. el 35% de 200 es                     i. 20 es el         % de 100
                               d. el 15% de 300 es                     j. 45 es el         % de 90
                               e. 5 es el 20% de                       k. 80 es el         % de 40
                               f. 23 es el 50% de                      l. 44 es el         % de 440




Información para el docente   • Es muy importante incentivar cálculo mental en situaciones o problemas
                                referidos a relaciones proporcionales, pues ya no es solo el cálculo el que
                                se está ejercitando, sino que además se está llevando a un plano superior
                                de comprensión las mismas relaciones que involucran a ciertas variables.
                                El cálculo mental aquí también cumple una de sus tareas fundamentales,
                                que es hacer trabajar a los(as) alumnos(as) las combinaciones aditivas y
                                multiplicativas básicas que le permiten encontrar con mayor rapidez una
                                respuesta.




Uso de la calculadora (página 142)

Actividad previa              • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Cuáles son los beneficios de usar la
                                calculadora en los procedimientos de resolución de problemas? ¿Qué
                                desventajas tiene este uso? ¿Siempre es conveniente usarla?




Actividades complementarias   • Utilizar la calculadora para determinar rápidamente los aumentos y los
                                descuentos en las siguientes situaciones que suelen presentarse en el
                                comercio.

                               a. ¡Oferta! Lleve tres y pague 2. ¿Cuál es el porcentaje de descuento por
                                  producto, si el pago total es $1650?



80                                                                                                   Unidad 6
                                     b. Un producto se vende sin IVA y cuesta $8 735. ¿Cuánto cuesta con el
                                        impuesto incorporado?
                                     c. Si se desea calcular el 13% de aumento en el precio de un producto
                                        que cuesta $467, ¿se puede multiplicar este precio por 1,13 para
                                        obtener la respuesta? Inténtalo.
                                     d. Si se desea calcular la disminución del 8% en el precio de un producto
                                        (que cuesta 800 pesos), ¿se puede multiplicar por 0,92 para obtener la
                                        disminución efectiva? Inténtalo.

                                    • Otra vía para aplicar el concepto de porcentaje es la utilización en el
                                      sueldo o salario al tener un contrato de trabajo.
                                      Para esto se puede trabajar con una planilla de sueldos, para lo cual es
                                      necesario saber los porcentajes de descuento. El sueldo bruto se
                                      descompone en sueldo líquido (80,1%), cotización de AFP (12,5%),
                                      cotización de salud (7%) y seguro de cesantía (0,4%).

                                     Utilizando la información anterior, completar la siguiente tabla:


                                            Sueldo         Sueldo         AFP              Salud     Seguro
                                             bruto         líquido                                 de cesantía

                                        $ 259 000      $              $                $            $

                                        $              $ 155 000      $                $            $

                                        $              $              $                $ 9550       $

                                        $              $              $                $            $ 3040



Evaluación (páginas 144 y 145)
Objetivos evaluados
• Resolver problemas usando proporcionalidad directa. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 146)
• Resolver problemas usando proporcionalidad inversa. (Pregunta 4; pág. 146)
• Resolver problemas usando proporcionalidad compuesta. (Pregunta 5; pág.146)
• Aplicar el concepto de razón. (Preguntas 6 y 7; pág.146)
• Aplicar el concepto de escala. (Pregunta 7; pág.146)
• Resolver problemas aplicando porcentajes. (Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág.146)
• Resolver situaciones relacionadas con el comercio. (Pregunta 1; pág.147)
• Aplicar porcentaje correspondiente al IVA. (Preguntas 2 y 3; pág.147)

Criterios de logro
• Preguntas 1, 2, 3 y 4; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las cuatro preguntas planteadas.
• Preguntas 5, 6 y 7; pág. 146: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
• Preguntas 8, 9, 10, 11 y 12; pág. 146: responden correctamente al menos tres de las cinco preguntas
  planteadas.
• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 147: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.


Relaciones proporcionales                                                                                    81
  Evaluación 6

Marca la alternativa correcta

1. ¿Cuál es el valor de x en la siguiente proporción?   5. Isabel midió la sala de clases, y esta tiene 15 metros
                                                           de largo y 5 de ancho. Si debe dibujar un plano
                            x   10
                              =                            de su sala usando una escala de 1 : 25, ¿cuáles son
                           12 15
                                                           las medidas en centímetros del plano de la sala?
     A.   x=8
     B.   x=5                                               A.   Largo 80 cm; ancho 40 cm
     C.   x=3                                               B.   Largo 60 cm; ancho 20 cm
     D.   x=2                                               C.   Largo 10 cm; ancho 50 cm
                                                            D.   Largo 10 cm; ancho 30 cm


2. En la figura hay dos rectángulos semejantes.
   Determina el largo del rectángulo mayor (x).         6. Diego e Isabel se reparten 36 dulces en
                                                           proporción a sus edades, que son 3 y 9 años
     A.   11 centímetros                                   respectivamente. ¿Cuántos dulces le corresponden
     B.   12 centímetros                7 cm               a cada uno?
     C.   14 centímetros    2 cm
     D.   21 centímetros                                    A.   8 y 28 dulces
                                                            B.   9 y 27 dulces
                                                            C.   10 y 26 dulces
                                     x cm                   D.   12 y 24 dulces


                    6 cm                                7. El sueldo de Carlos es de $250 000 y será
                                                           reajustado en un 25% pero como tiene una
                                                           deuda equivalente al 25% de su sueldo inicial con
                                                           la empresa, se la van a descontar el primer mes.
                                                           ¿cuánto recibe el primer y segundo mes?
3. Una secretaria escribe en promedio 1500 palabras
                                                            A.   1º mes = $250 000; 2º mes = $312 500
   en 15 minutos. ¿cuántas palabras escribe en 1
                                                            B.   1º mes = $150 000; 2º mes = $312 500
   hora?
                                                            C.   1º mes = $215 000; 2º mes = $230 000
     A.   3000                                              D.   1º mes = $200 000; 2º mes = $215 000
     B.   6000
     C.   9000
     D.   15 000                                        8. El 50% de un número es 29. ¿Cuál es el número?

                                                            A.   14
                                                            B.   25
4. Si debes leer un libro de 50 páginas y te demoras
                                                            C.   32
   5 páginas por hora. ¿Cuántos días demoras si solo
                                                            D.   58
   lees 2 horas diaramente?

     A.   1 día
     B.   5 días
     C.   10 días
     D.   15 días



82                                                                                                      Unidad 6
9. ¿Cuánto vale X, si A es directamente proporcional    13. Un colegio abrió sus puertas con 300 alumnos
   a B?                                                     inscritos. Al año siguiente las matrículas
                                                            aumentaron en un 30% y este año creció en un
                      A     9        X                      50% ¿cuántos alumnos hay en la actualidad?
                      B     3        15
                                                           A.   585
                                                           B.   540
    A.   45
                                                           C.   495
    B.   9
                                                           D.   740
    C.   15
    D.   5

                                                        14. Un campamento tiene provisiones para 24 niños
                                                            durante 16 días. Si los niños aumentan a 48
10. ¿Cuánto vale Y, si A es inversamente proporcional
                                                            ¿cuántos días durarán las provisiones?
    a B?
                                                           A.   10 días
                      A     9        Y
                                                           B.   8 días
                      B     15       3                     C.   16 días
                                                           D.   32 días
    A.   5
    B.   9
    C.   15                                             15. 12 alumnos pintan 3 cuadros en 4 días. ¿Cuántos
    D.   45                                                 cuadros pintan 24 alumnos en 20 días?

                                                           A.   35 cuadros
11. El precio con IVA de un producto es $35 000,           B.   18 cuadros
    ¿cuál es el precio sin IVA aproximadamente?            C.   30 cuadros
                                                           D.   9 cuadros
    A.   $41 300
    B.   $28 700
    C.   $29 412                                        16. Don Juan fabrica y vende volantines en
    D.   $17 000                                            septiembre. Este año estimó que vendería
                                                            350 unidades. Si el costo de fabricación es $21 000
                                                            y la ganancia la define como el equivalente al
12. Mauricio ha depositado $1.000.000 en el banco           60% del costo. ¿A qué precio debe vender cada
    durante 6 meses. Cada mes ganó 1% de interés.           volantín para obtener esa ganancia?
    ¿Qué monto tiene el cabo del 6º mes
    aproximadamente?                                       A.   $145 el volantín
                                                           B.   $115 el volantín
    A.   $1 600 000                                        C.   $84 el volantín
    B.   $1 060 000                                        D.   $96 el volantín
    C.   $1 061 520
    D.   $1 051 010




Relaciones proporcionales                                                                                  83
     UNIDAD



       7Potencias
Cuadro sinóptico

              CMO                      Estructura de la unidad                     Contenidos de la unidad
 • Utilización de estrategias de   • Páginas de inicio.
   cálculo mental y escrito que      (Págs. 148 y 149)
   implican el uso de potencias
   de base entera y exponente      • Páginas de desarrollo de         – Potencias de exponente natural. (Págs. 150 y 151)
   natural, determinación y          contenidos. (Págs. 150 – 167)
   aplicación de propiedades                                          – Multiplicación de potencias de igual base.
   relativas a la multiplicación y                                      (Págs. 152 y 153)
   división de potencias que
   tienen base entera y                                               – División de potencias de igual base.
   exponente natural, y                                                 (Págs. 154 y 155)
   extensión a potencias de base
   fraccionaria o decimal                                             – Potencias de exponente negativo. (Págs. 156 y 157)
   positiva y exponente natural.
                                                                      – Multiplicación y división de potencias de igual
 • Resolución de problemas en
                                                                        exponente. (Págs. 158 y 159)
   contextos diversos y
   significativos que involucran                                      – Crecimiento exponencial. (Págs. 160 – 162)
   […] potencias de base entera,
   fraccionaria o decimal
                                                                      – Decrecimiento exponencial. (Págs. 163 – 165)
   positiva y exponente natural,
   enfatizando en el análisis
   crítico de los procedimientos                                      – Potencias de base 10. (Págs. 166 y 167)
   de resolución y de los
   resultados obtenidos.

                                   • Más problemas.                   • Regularidades en el cálculo de potencias.
                                     (Págs. 168 y 169)


                                   • Cálculo mental. (Pág. 170)       • Cálculo de potencias.


                                   • Uso de la calculadora. (Pág. 170) • Cálculo de potencias.

                                   • Síntesis. (Pág. 171)


                                   • Evaluación. (Págs. 172 y 173)




84                                                                                                                   Unidad 7
                         Aprendizajes esperados                                                    OFT
                                                                              • Desarrollar la iniciativa personal y el
                                                                                trabajo en equipo.

• Interpretan y calculan problemas de potencias de exponente entero.

• Resuelven problemas de multiplicación de potencias de igual base.


• Resuelven problemas de división de potencias de igual base.

• Interpretan y resuelven problemas de potencias de exponente negativo.

• Resuelven multiplicaciones y divisiones de potencias de igual exponente.


• Interpretan y resuelven problemas que involucren crecimiento exponencial.

• Interpretan y resuelven problemas que involucren decrecimiento
  exponencial.

• Resuelven problemas de potencias de base 10.                                • Promover el interés y la capacidad de
                                                                                conocer la realidad, utilizar el
                                                                                conocimiento y seleccionar información
                                                                                relevante.

• Resuelven problemas utilizando una estrategia de resolución, la describen y • Desarrollar la capacidad de resolver
  la justifican de acuerdo al contexto del problema.                            problemas, la creatividad y las
                                                                                capacidades de autoaprendizaje.




• Desarrollan potencias de bases enteras y fraccionarias.                     • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
• Aplican propiedades de las potencias.                                         metódico y el sentido de crítica y
• Comprenden y calculan potencias.                                              autocrítica.
• Resuelven problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial.
• Calculan potencias de base 10.




Potencias                                                                                                                 85
  Propósito de la unidad

En Séptimo Año Básico, los alumnos aprendieron la notación de potencia y la utilizaron para expresar
grandes cantidades de manera reducida, en las cuales el exponente y la base correspondían a números
positivos. En esta unidad se generaliza el concepto de potencia a exponentes tanto positivos como
negativos. El énfasis de esta unidad está en la comprensión y deducción de las propiedades de las
potencias mediante regularidades y estudio de patrones, así como su aplicación en el estudio de
fenómenos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Por otra parte, se trabaja la resolución de
problemas a lo largo de toda la unidad dando especial importancia a la búsqueda de estrategias
apropiadas para diferentes tipos de situaciones.




 Mapa conceptual

                                                   Potencias




        Exponente natural                  Exponente negativo                              Base 10



                       Operatoria con potencias



          Multiplicación                            División



                                                  Aplicaciones



                       Crecimiento exponencial                 Decrecimiento exponencial




 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 146 y 147)

Actividades complementarias        • Una vez realizadas las actividades de estas páginas plantear a los(as)
                                     alumnos(as) las siguientes situaciones que serán resueltas por medio de
                                     la estrategia de resolución de problemas, llamada diagrama de árbol.
                                   – Francisca y Maximiliano juegan lanzando una moneda tres veces, si salen
                                     dos o más caras gana Maximiliano, si salen tres resultados iguales gana
                                     Francisca. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar?


86                                                                                                    Unidad 7
                                                                                           c                                     c




                                                                                cc                   cs               sc                   ss




                                                                          ccc        ccs       csc        css   scc        scs       ssc        sss

                                                          – Pablo y Karina juegan lanzado dos dados, si el producto de los números
                                                            es mayor que 12 gana Pablo, si no, gana Karina.
                                                            ¿Quién tiene más posibilidades de ganar?


                1                           2                         3                         4                          5                           6



   1 2 3 4 5 6                  1 2 3 4 5 6                 1 2 3 4 5 6               1 2 3 4 5 6               1 2 3 4 5 6                     1 2 3 4 5 6


   1   2    3       4   5   6   2   4   6       8 10 12      3   6   9 12 15 18        4   8 12 16 20 24        5 10 15 20 25 30                6 12 18 24 30 36




Posibles dificultades                                     • El diagrama de árbol es una estrategia de resolución de problemas que
                                                            permite comprender visualmente el proceso matemático que se está
                                                            desarrollando. Haga consciente al alumno de la importancia de un orden
                                                            correcto de la información, ya que la mayor dificultad se presenta
                                                            cuando los(as) alumnos(as) consideran más de una vez una misma
                                                            información. Un árbol genealógico, que considere, padres, abuelos,
                                                            bisabuelos y tatarabuelos, puede ser una buena manera de practicar esta
                                                            estrategia.




Potencias de exponente natural (páginas 148 y 149)

Actividades complementarias                               • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan la siguiente situación,
                                                            recomiende la utilización de un diagrama de árbol. Luego comparan sus
                                                            resultados.

                                                          – Felipe está interesado en participar en una cadena solidaria por e-mail.
                                                            Esta consiste en que cada vez que una persona reciba un e-mail, al día
                                                            siguiente lo reenvía a dos personas, y así sucesivamente, es decir, cada
                                                            día hay el doble de e-mails que el día anterior. Si Felipe comienza la
                                                            cadena enviando dos e-mails:


Potencias                                                                                                                                                      87
 Orientaciones didácticas

                               a. ¿Cuántas personas recibirán un e-mail al quinto día?
                               b. ¿Qué día se recibieron 1.024 e-mails?

                              • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen en forma de potencia las
                                siguientes operaciones:

                               a.   2•2•2•2•2•2•2
                               b.   4•4•4•4•4•4•4•4•4•4
                               c.   6•6•6•6•6
                               d.   7•7•7•7•7•7•7•7•7
                               e.   10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10
                               f.   13 • 13 • 13 • 13



Multiplicación de potencias de igual base (páginas 150 y 151)

Actividades previas           • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen como factor de potencias de
                                una misma base, los siguientes productos:

                               a. 32 = 2 • 4 • 4 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25

                               b. 81 =

                               c. 256 =

                               d. 125 =

                               e. 216 =

                               f. 10 000 =



Actividades complementarias   • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan las siguientes situaciones.
                                Luego comparan sus resultados y estrategias utilizadas.

                              – Florencia busca una tenida para la fiesta del fin de semana, aún no
                                decide si usar jeans, pantalón de tela, polera azul, negra, lila o verde.
                                ¿Cuántas posibles combinaciones puede realizar Florencia?

                              – Una gelatería ofrece una promoción especial en sus copas de helado:
                                tres sabores distintos más una salsa. ¿Cuántas distintas combinaciones
                                de copas de helado ofrece la gelatería si los sabores de helado y las
                                salsas son los siguientes?
                                            Sabor de helado                 Salsa
                                            - chocolate                     - chocolate
                                            - café                          - manjar
                                            - piña                          - frutilla
                                            - frutilla
                                            - vainilla
                                            - menta chips


88                                                                                                  Unidad 7
                               • Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban como una potencia y luego
                                 calculen el valor.
                                                                              1    6         1   1
                                a. 62 • 64 • 61 =                        d.            •             =
                                                                              2              2

                                b. 24 • 27 • 23 • 22 =                   e. (0,3)5 • (0,4)4 • (0,4)2 =

                                c. (–1)2 • (–1)4 • (–1)6 • (–1)3 =       f. (2,3)4 • (2,3)4 • (2,3)4 =



División de potencias de igual base (páginas 152 y 153)

 Actividades complementarias   • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios:

                                a. 64 : 62 =                             d. (–4)6 : (–4)2 =

                                     1   6       1   4                        1    10
                                b.           :           =               e.                : (0,25)6 =
                                     2           2                            4

                                                                               2   7
                                c. (–5)9 : (–5)7 =                       f.            : (0,2)3 =
                                                                              10

                               • Pedir a los(as) alumno(as) que en parejas formulen un problema que sea
                                 necesario resolver por medio de la división de potencias de igual base,
                                 este debe cumplir los siguientes requisitos:
                               – Debe estar escrito en lenguaje natural. (Juan quiere pintar una sala, si el
                                 largo mide ...)
                               – Deben formular el problema en lenguaje matemático. (Sea x el largo ...)
                               – Deben especificar la estrategia utilizada. (Hacer un diagrama).



Información para el docente    • Plantear a los(as) alumnos(as) que la mecánica utilizada para resolver
                                 problemas que involucren división de potencias de igual base, no es
                                 necesario saberla de memoria. Recuérdeles que ellos poseen otras
                                 herramientas que pueden utilizar al momento de enfrentar estos
                                 problemas, por ejemplo, la simplificación.

                                Este tipo de actividades le permitirá ver el grado de conocimiento de sus
                                alumnos(as); si son capaces de formular y resolver un problema de
                                manera correcta, quiere decir que existe una apropiación del contenido.
                                En este caso, tome en cuenta que el problema no necesariamente debe
                                ser formulado en forma de potencia, lo importante es que en la
                                resolución del problema se utilice la división de potencias. Puede tomar
                                como ejemplo la situación problemática planteada al inicio de la página
                                154 del texto del alumno(a).




Potencias                                                                                                 89
 Orientaciones didácticas

Actividades complementarias   • Pedir a los(as) alumnos(as) que resuelvan los siguientes ejercicios. Luego
                                formular las siguientes preguntas:

                               a. 104 : 103 =                          d. (–1)3 : (–1)2 =


                                      1       6         1   6                  1     10
                               b. –               : –           =      e.                 : (0,5)10 =
                                      5                 5                      2

                                                                                 8   9          6   8
                               c. (0,6)8 : (0,6)7 =                    f. –               : –           =
                                                                                 4              3

                              – ¿Observas alguna regularidad en los valores que encontraste?
                              – ¿Cómo son los exponentes de las potencias que obtuviste como
                                resultado?
                              – ¿Cómo expresas una potencia elevada a uno?, ¿qué quiere decir?
                              – ¿Cómo expresas una potencia elevada a cero?, ¿qué quiere decir?



Actividades complementarias   • Pedir a los(as) alumnos(as) que unan las expresiones equivalentes.

                                                                             2
                               a. (4)7 : (4)7                           –
                                                                            10

                                    1     8         1   7
                               b.             :                         0,5
                                    3               3

                               c. (0,2)6 : (0,2)5                      46 : 46

                                    10    2
                               d.                 : (2)2               1
                                     5

                                    1     9                                1
                               e.             : (0,5)8
                                    2                                      3


Potencias de exponente negativo (páginas 154 y 155)

Variante metodológica         • Para introducir este contenido utilice las regularidades, escriba en la
                                pizarra las siguientes potencias y guíe a sus alumnos(as), por medio de
                                una conversación, a que ellos mismos se den cuenta de lo que sucede
                                cuando un exponente de una potencia tiene valor negativo.

                               25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

                               24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

                               23 = 2 • 2 • 2 = 8

                               22 = 2 • 2 = 4

                               21 = 2 = 2


90                                                                                                          Unidad 7
                               20 = 1 = 1
                                                           1
                               2–1 =     ?   =                 =
                                                           2
                               2–2 =     ?   =                 =
                                                 1         3       1
                               2–3 =     ?   =                 =
                                                 8                 8

                               Se espera que los(as) alumnos(as) se den cuenta de que los valores de las
                               potencias se van dividiendo por dos, y que cuando el exponente es
                               negativo este se convierte a fracción.
                               Repita el mismo procedimiento para potencias de base 5 y 10.

                               Una vez que sus alumnos(as) logren comprender esto, introduzca la
                               mecánica.



Actividades complementarias   • Resuelve lo siguiente.

                               a. 32 =                                 d. (1,1)–3 =

                               b. 2–1 =                                e. (0,4)–5 =

                                                                              1   –6
                               c. (–1)–4 =                             f. –            =
                                                                              3


Información para el docente   • Es de suma importancia trabajar regularidades con los(as) alumnos(as),
                                pues las demostraciones algebraicas o abstractas escapan a su
                                pensamiento aún concreto. Estas deben ser expuestas del tal forma que
                                sea el alumno(a) quien descubra dicha regularidad, ello le permitirá una
                                apropiación del contenido, un entendimiento real de la naturaleza e
                                importancia de los nuevos conocimientos.



Tarea                         • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen dos secuencias distintas que
                                involucren potencias, luego la comparten con un compañero(a) y
                                discuten la regularidad presente.



Multiplicación y división de potencias de igual exponente (páginas 156 y 157)

Actividades complementarias   • Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas. Luego establecen
                                conclusiones en relación con el producto y el cociente de potencias de
                                distinta base e igual exponente.

                              – ¿Cuál es el área de un rectángulo, cuyo largo es 64 y ancho 24?
                              – ¿Cuál es el largo de otro rectángulo de igual área que el anterior y de
                                ancho 24?


Potencias                                                                                                 91
 Orientaciones didácticas

                              – ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de otros rectángulos que tengan
                                igual área que el rectángulo inicial?

                              • Pedir a los(as) alumnos(as) que determinen cuánto mide el ancho de un
                                rectángulo:
                              – Si el área mide 105 y el largo del rectángulo es 105.
                              – Si el área es 1012 y su largo también mide 1012.
                              – Si el área y el largo miden 73.
                              – Si el área y el largo miden lo mismo.


Información para el docente   • Las propiedades de las potencias se prestan mucho para realizar tablas
                                de regularidades y hacer que los(as) alumnos(as) busquen los patrones de
                                comportamiento en los distintos elementos que la tabla presenta. Puede
                                plantear una tabla que muestre la variación en el perímetro de una
                                figura geométrica dada la medida de sus lados en potencias.



Tarea                         • Pedir a los(as) alumnos(as) que expresen el siguiente ejercicio en
                                potencias, luego lo resuelven utilizando las propiedades de las potencias.

                                                            [(64 • 1) : 8] • 512


Actividades complementarias   • Calcular las siguientes potencias elevadas a un exponente.
                                      5
                               a. 52 =                                  d. (1,54)–3 =

                                                                              1    5 2
                               b. (–13)7 =                              e.               =
                                                                              2

                               c. (0,54)2 =                             f. (0,22)–6 =


Información para el docente   • Es muy importante recordar las propiedades de potencias trabajadas
                                hasta este minuto (multiplicación de potencias de igual base, división de
                                potencias de igual base, potencias de exponente 1 y 0, potencias de
                                exponente negativo), para que el alumno(a) tenga una visualización de
                                lo aprendido en la unidad.


Tarea                         • Pedir a los(as) alumnos(as) que planteen y resuelvan un problema que
                                sea posible desarrollar por medio de potencias elevadas a un exponente.



Crecimiento exponencial (páginas 158 a 160)

Actividad previa              • Preguntar a los(as) alumnos(as) qué entienden por crecimiento
                                exponencial.
                                ¿Qué se imaginan que es? ¿En qué situaciones y bajo qué contexto lo
                                han escuchado?


92                                                                                                Unidad 7
Actividades complementarias   • Plantear las siguientes situaciones:
                              – Se observa que en determinadas condiciones de laboratorio el
                                crecimiento experimentado por un cultivo de bacterias corresponde al
                                doble del día anterior.

                              – El señor Liberona observa que durante una semana de primavera y bajo
                                buenas condiciones climáticas, su planta preferida muestra dos nuevos
                                brotes cada día.

                               a. Luego, interpretan la información confeccionando una tabla que
                                  muestre el aumento de cada población (bacterias y plantas).
                               b. Buscan un patrón numérico que se repita en este aumento sucesivo y
                                  lo asocian a una potencia de base 2 (caso de las bacterias).
                               c. Comparan ambos crecimientos y asocian el aumento en el cultivo de
                                  bacterias como un crecimiento de carácter exponencial,
                                  diferenciándolo del aumento aditivo que representan los brotes de la
                                  planta. Por último, confeccionan un gráfico simple para cada situación
                                  y comparan con sus compañeros(as).



Decrecimiento exponencial (páginas 161 a 163)

Actividades complementarias   • Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente situación:
                              – Una empresa está liquidando sus productos, por cierre de local. Según los
                                registros, cada semana se vende la mitad del stock, y debido a que no se
                                continuará con el negocio no se repone el stock. Un local de la competencia,
                                se encuentra en la misma situación, pero cada semana se venden 30
                                productos y al igual que el local anterior, tampoco repone el stock.
                               Luego, realizar una tabla para representar la cantidad de productos que
                               quedan en el stock en cada uno de los locales. (Para ello establezca un
                               número determinado de productos al inicio de las ventas).
                               Realizar un gráfico que muestre el descenso de la cantidad de productos
                               en stock de cada local.
                               Analizar el comportamiento del descenso de la cantidad de productos.
                               Diferenciar los dos tipos de decrecimiento y asociar al decrecimiento
                               exponencial y lineal respectivamente.



Tarea                         • Plantear una situación de la vida real en que se observe un
                                decrecimiento exponencial.



Potencias de base 10 (páginas 164 y 165)

Actividades previas           • Hacer preguntas que permitan a los(as) alumnos(as) comprender la
                                necesidad de establecer una nueva representación para los números de
                                grandes cifras. Por ejemplo:


Potencias                                                                                               93
 Orientaciones didácticas

                              – ¿Cuál es el número finito mayor que ustedes conocen? (Seguramente
                                indicarán alguno con bastantes ceros)
                              – ¿Cómo escribimos ese número en la pizarra?
                              – ¿Y si deseamos sumar ese número con otro de igual extensión, qué
                                dificultad se nos presenta?




Actividades complementarias   • Pedir a los(as) alumnos(as) que interpreten la información entregada en
                                la siguiente tabla, ella presenta la longitud del diámetro de cada uno de
                                los planetas del Sistema Solar y la distancia al Sol, expresadas en
                                kilómetros.

                                     Planeta            Diámetro                 Distancia al Sol
                                                              3
                                     Júpiter          1,4 • 10 km             777,7 millones de km
                                                              3
                                      Marte           6,8 • 10 km              228 millones de km
                                                              4
                                    Mercurio          0,49 • 10 km               57 850 000 km
                                                              4
                                     Neptuno          4,85 • 10 km         4,5 miles de millones de km
                                                              3
                                     Saturno          1,21 • 10 km              1 428 000 000 km
                                                              4
                                      Tierra          1,27 • 10 km            149,5 millones de km
                                                              4
                                      Urano           5,1 • 10 km          2,87 miles de millones de km

                              – ¿Cuál de los planetas tiene mayor diámetro?, ¿cuál tiene menor
                                diámetro?
                              – Entre Saturno y Júpiter, ¿cuál está más alejado del Sol? ¿Por qué?
                              – En el caso del diámetro de la Tierra, ¿qué representa el 104? ¿A cuántos
                                kilómetros corresponde dicha longitud?




Más problemas (páginas 166 y 167)

Información para el docente   • La resolución de problemas es una estrategia que se logra a través de un
                                proceso sistemático progresivo, determinado por etapas en las que se
                                van desarrollando, gradualmente, las habilidades y conocimientos
                                necesarios para alcanzar dicho contenido.
                                Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas.
                                Los(as) alumnos(as) se ven enfrentados frecuentemente a resolver
                                problemas. Pensar el pensar se denomina en psicología metacognición.
                                George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, dedicó gran
                                parte de su trabajo a desarrollar una teoría para la resolución de
                                problemas en matemática y a dar descripciones detalladas de varios


94                                                                                                  Unidad 7
                               métodos heurísticos. Propone un modelo que permite encarar las
                               situaciones problemáticas especialmente en el área matemática, la que se
                               ha denominado “la propuesta de Polya”.
                               En un plan de cuatro pasos, Polya sintetiza su visión acerca de cómo
                               actuar al resolver un problema:

                              – Comprender el problema.
                              – Crear o configurar un plan.
                              – Ponerlo en práctica.
                              – Examinar la solución obtenida.

                                Según Polya, para resolver un problema, proceso muy importante en la
                                formación matemática de los(as) alumnos(as) y para el desarrollo de su
                                capacidad de reflexión, es conveniente plantearse algunas preguntas con
                                respecto al problema, en cada una de las etapas o pasos de la resolución.
                                A continuación se ejemplifican algunas:
                              – ¿Entiendes todo lo que se dice?
                              – ¿Puedes replantear el problema con tus propias palabras?
                              – ¿Distingues cuáles son los datos?
                              – ¿Sabes a qué quieres llegar?
                              – ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se
                                define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
                              – Ensayo y error (Conjeturar y probar la conjetura).
                              – Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar
                                completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera
                                tomar un nuevo curso.
                              – ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el
                                problema?
                              – ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?




Cálculo mental (página 168)

Actividad previa              • Antes de realizar un cálculo mental, explique a sus alumnos(as) que la
                                riqueza de la actividad está focalizada en no utilizar un registro
                                algebraico. Indíqueles que fijen su atención en lo que se les está
                                preguntando antes de resolver el problema.




Actividades complementarias   • Calcular mentalmente.

                               a. (1)9 =                              d. (–5)1 =

                                                                           1   3
                               b. (–1)7 =                             e.            =
                                                                           2

                                                                           1   –1
                               c. (–2)2 =                             f.            =
                                                                           2


Potencias                                                                                                95
 Orientaciones didácticas

                              • Calcular mentalmente las siguientes operaciones

                                     1      –2                                  3   3
                               a.      :3                              e. 2 •
                                     4                                          4

                                      1    2     6                              1   –1
                               b. –     +                              f. 1 +
                                      5   10                                    5

                                     1      –1
                               c.      –1                              g. (–5 + 0,4 • 10 + 5)–2
                                     3

                                                                                        1
                               d. (0,4 + 0,5)2                         h. 2 – 4 –         +4   –3
                                                                                        2
                              • Es importante mostrar a los niños que los números se pueden asociar de
                                manera tal que permiten hacer más fácil el cálculo mental. Se podría
                                hacer referencia a la asociatividad.

                              • Pedir a los(as) alumnos(as) que identifiquen en otras secciones del texto,
                                qué ejercicios son factibles de hacer mediante cálculo mental.
                                Pregúnteles: ¿qué condiciones debe cumplir un ejercicio para ser resuelto
                                por medio del cálculo mental?



Uso de la calculadora (página 168)

Actividades previas           • Pedir a los(as) alumnos(as) que investiguen sus calculadoras y se
                                familiaricen con cada una de las teclas y funciones que realiza. Haga
                                notar que hay calculadoras en que primero se introducen los datos y
                                luego la operación.



Actividades complementarias   • Utilizando la calculadora, resuelven los siguientes problemas:

                               a. 74 =                                 d. (–10)5 =

                               b. 4–7 =                                e. (0,4)3 =

                               c.(0)–8 =                               f. (0,9)–6 =

                               Pedir que realicen los mismos ejercicios, como multiplicación iterada, es
                               decir, la potencia 74, la calculan como: 7 x 7 x 7 x 7, luego reflexionan
                               acerca de la notación y la utilización de esta herramienta.



Información para el docente   • En la página http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htm
                                encontrará una pequeña reseña sobre la historia de la calculadora. La
                                primera máquina sumadora la inventó el matemático francés Blaise
                                Pascal (1623-1662).
                                No olvidar que las direcciones o su contenido pueden cambiar.


96                                                                                                  Unidad 7
Evaluación (páginas 170 y 171)
Objetivos evaluados
• Escribir potencias. (Pregunta 1, pág. 173)
• Aplicar propiedades de potencias. (Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173)
• Comprender y calcular potencias. (Preguntas 1, 2, pág. 172 y pregunta 2, pág. 173)
• Resolver problemas de crecimiento y decrecimiento exponencial. (Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173)
• Calcular potencias de base 10. (Pregunta 5, pág. 172)


Criterios de logro
• Pregunta 1, pág. 173: responde correctamente la pregunta formulada.
• Preguntas 3, 6, 7, 8, 9; pág. 172 y pregunta 3, pág. 173: responde correctamente al menos 4 de las 6
  preguntas planteadas.
• Preguntas 1, 2; pág. 172 y pregunta 2, pág. 173: responde 2 de las 3 preguntas formuladas.
• Pregunta 4, pág. 172 y pregunta 4, pág. 173: responde correctamente las preguntas formuladas.
• Pregunta 5, pág. 172: responde correctamente la pregunta formulada.




Potencias                                                                                                  97
  Evaluación 7

Marca la alternativa correcta

1. El producto 20 • 21 • 22 • 23 es igual a:              5. El área de un terreno cuadrado es de 160 000 m2.
                                                             Si se desea cercar el terreno y solo hay alambre
     A.   16
                                                             para cercar 103 m, ¿cuánto alambre falta?
     B.   32
     C.   64                                                  A.   200 m
     D.   128                                                 B.   600 m
                                                              C.   1000 m
                                                              D.   2000 m
2. 82 + 43 • 22 es igual a:

     A.   64                                              6. Si A = 2–2, B = –2–2 y C = (–2)–2, el valor de
     B.   116                                                A • B • C es igual a:
     C.   132
                                                                      1
     D.   320                                                 A. –
                                                                     16

                                                                      1
                                                              B. –
3. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?                       8
   “Menos cinco elevado al cuadrado, multiplicado                     1
   por menos cinco elevado al cuadrado”.                      C. –
                                                                     64
     A.   –100                                                        1
                                                              D.
     B.   –625                                                       64
     C.   100
     D.   625
                                                          7. Un restaurante de lujo puso todos sus precios en
                                                             formato de potencia para atraer más clientes.
                                                             Observa el anuncio y determina el valor que
4. Una máquina realiza las siguientes operaciones:
                                                             deben cancelar Francisca y Federico al consumir:
     Cuando ingresa un valor, este se multiplica por
                                                              Francisca: Plato premiun y bebida
     3–2 (A), luego multiplica por 103 (B) y finalmente
                                                              Federico: Ensalada, plato especialidad de la casa,
     divide por 3 que corresponde a la operación (C).
                                                              bebida y postre
     Si ingresa el valor 0,027 ¿cuál es el valor de la
     salida?
                                                                                                     Precio ($)

     Entrada       A          B     C          Salida           Ensalada                             3 • 102

                                                                Plato Ejecutivo                      22 • 102
     A.   –2
     B.   1                                                     Plato Especialidad de la casa        3 • 22 • 103
     C.   2                                                     Plato Premiun                        32 • 2 • 103
     D.   9
                                                                Bebida                               52 • 10

                                                                Postre                               103

                                                              A.   $34 500
                                                              B.   $31 800
                                                              C.   $18 250
                                                              D.   $16 250

98                                                                                                            Unidad 7
          5    –1 2           4   0 2
8.                    •                 es igual a:         13. ¿Cuántos cuadrados de lado 24 cm pueden
          2                   8
                                                                obtenerse de una cartulina que mide 24 cm
           2                                                    y 27 cm?
     A.
          25                                                      A.   4 cuadrados
           4                                                      B.   8 cuadrados
     B.
          25                                                      C.   27 cuadrados
                                                                  D.   28 cuadrados
          25
     C.
           2

          25                                                14. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base AB
     D.
           4                                                    mide 32 • 22 • 102 cm y la altura CD mide
                                                                0,000009 cm?
9. Una camioneta transporta 1000 bandejas. Cada                   A.   0,081 cm2
   bandeja contiene 10 compartimientos, y en cada                 B.   0,012 cm2
   compartimiento hay 10 sobres, ¿cuántos sobres                  C.   0,0162 cm2
   transporta la camioneta?                                       D.   0,324 cm2

     A.   105 sobres
                                                                                              –2
     B.   104 sobres                                                                      2
                                                                       (–2)4 • 8–2 • 23
     C.   103 sobres                                        15.                                    es igual a:
     D.   102 sobres                                                     (2–1 • 8–1)–1


                      4
                          4               4                       A.   1
10. (0,02)5 •                 •   (10)2       es igual a:         B.   2
                      8
                                                                  C.   8
     A.   2 000 000                                               D.   16
     B.   20 000
     C.   0,02
     D.   0,0002                                            16. El año 1900 a través del censo se registró en una
                                                                ciudad una población de 20 000 personas, el año
                                                                1930 fue de 60 000; 30 años después de 180 000
11. El triple de 3 • 104, amplificando 9 veces y                personas. Si el aumento se mantiene constante,
    dividido por 103, es igual a:                               entonces, para el año 2020 se puede estimar una
     A.   10                                                    población de:
     B.   81
                                                                  A.   540 000 personas
     C.   810
                                                                  B.   720 000 personas
     D.   27 000
                                                                  C.   1 440 000 personas
                                                                  D.   1 620 000 personas
12. (–1)120 • (–1)121 • 1111 : (–1)3 es igual a:

     A.   –1
     B.   0
     C.   1
     D.   3

Potencias                                                                                                        99
    UNIDAD



       8Movimientos en el plano
Cuadro sinóptico

              CMO                      Estructura de la unidad                    Contenidos de la unidad
• Realización de traslaciones,     • Páginas de inicio.
  reflexiones y rotaciones de        (Págs. 174 y 175)
  figuras geométricas planas a
  través de construcciones con     • Páginas de desarrollo de        – Transformaciones geométricas. (Págs. 176 y 177)
  regla y compás y empleando         contenidos. (Págs. 176 – 187)
  un procesador geométrico,
  discusión acerca de las
  invariantes que se generan al                                      – Traslación. (Págs. 178 y 179)
  realizar estas transformaciones.

• Construcción de teselaciones
                                                                     – Reflexión. (Págs. 180 y 181)
  regulares y semirregulares y
  argumentación acerca de las
  transformaciones isométricas
  utilizadas en dichas                                               – Rotación. (Págs. 182 y 183)
  teselaciones.

                                                                     – Teselaciones. (Págs. 184 y 185)

                                                                     – Uso de un software geométrico. (Págs. 186 y 187)


                                   • Más problemas.                  – Aplicación de transformaciones isométricas.
                                     (Págs. 188 y 189)


                                   • Uso del computador. (Pág. 190) – Usando un software geométrico.

                                   • Síntesis. (Pág. 191)

                                   • Evaluación. (Págs. 192 y 193)




100                                                                                                              Unidad 8
                          Aprendizajes esperados                                                     OFT
                                                                                • Desarrollar la iniciativa personal y el
                                                                                  trabajo en equipo.

• Caracterizan transformaciones de figuras geométricas planas y reconocen       • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
  algunas de sus propiedades.                                                     metódico y el sentido de crítica y
                                                                                  autocrítica.

• Efectúan traslaciones de figuras geométricas planas.



• Efectúan reflexiones de figuras geométricas planas.



• Efectúan rotaciones de figuras geométricas planas.


• Aplican transformaciones isométricas sucesivas para construir teselaciones.


• Utilizan un software geométrico para construir transformaciones
  isométricas.

                                                                                • Desarrollar el pensamiento reflexivo y
                                                                                  metódico y el sentido de crítica y
                                                                                  autocrítica.




• Reconocer la aplicación de transformaciones isométricas. Caracterizar         • Desarrollar la capacidad para resolver
  transformaciones isométricas realizadas a figuras geométricas.                  problemas, la creatividad y las
                                                                                  capacidades de autoaprendizaje.




Movimientos en el plano                                                                                                     101
  Propósito de la unidad

En años anteriores, los alumnos y alumnas estudiaron diferentes tipos de polígonos, sus características y
clasificaciones (según la medida de sus lados y según la medida de sus lados y ejes de simetría). El objetivo
de esta unidad es que los estudiantes apliquen los conocimientos geométricos adquiridos en cursos
anteriores para identificar, reconocer y construir transformaciones isométricas de figuras planas
(traslaciones, reflexiones, y rotaciones).
Con el objetivo de lograr mejores aprendizajes, se incluyen actividades relacionadas con la utilización de
softwares geométricos para realizar diferentes transformaciones isométricas, especialmente teselaciones,
facilitando la visualización de las transformaciones realizadas, vinculando de esta manera la matemática y
la tecnología.



  Mapa conceptual
                                             Movimientos
                                             en el plano



                          Transformaciones                 Transformaciones
                            no isométricas                    isométricas



                                    Traslaciones              Rotaciones              Reflexiones


                                     Vector de                                       Eje de simetría
                                     traslación      Centro de        Ángulo de
                                                      rotación         rotación




                                                             Teselaciones



                                          Polígonos regulares          Polígonos irregulares


 Orientaciones didácticas

Páginas de inicio (páginas 172 y 173)

Información para el docente         • Maurits Cornelius Escher (1898-1972) es uno de los artistas gráficos más
                                      reconocidos en el mundo. Sus trabajos articulan la geometría con su
                                      fascinación por el infinito. Algunas de las más famosas obras de este
                                      artista pueden encontrarse en diferentes sitios webs, por ejemplo:
                                      http://www.mcescher.com Además, sus obras se pueden apreciar en
                                      algunas de sus publicaciones, tales como el libro: Estampas y dibujos,
                                      (Editorial Taschen, 2000).




102                                                                                                     Unidad 8
Actividades complementarias   • Para continuar motivando a los alumnos(as) muestre otras imágenes en
                                las cuales se puedan reconocer transformaciones de figuras geométricas.
                                Para guiar el trabajo puede plantear las siguientes preguntas:
                               - ¿Qué figuras observas en la imagen?
                               - ¿Se repiten algunas de estas figuras?
                               - ¿Qué elementos de las imágenes variaron al repetirlas?




Posibles dificultades         • En los ejercicios se pide a los alumnos que midan ángulos utilizando
                                transportador, es posible que algunos alumnos no sepan o no recuerden
                                cómo medir ángulos utilizando este instrumento. Para evitar este
                                problema, previo al desarrollo de los ejercicios, sería conveniente
                                recordar el uso del transportador.




Transformaciones geométricas (páginas 174 y 175)

Información para el docente   • Antes de comenzar a estudiar los diferentes tipos de transformaciones
                                isométricas, es necesario que sus alumnos y alumnas sepan identificar una
                                transformación isométrica y una transformación no isométrica. Para
                                reforzar esta diferenciación se propone la siguiente actividad previa.




Actividades previas           • Pedir a los alumnos que realicen la siguiente actividad:
                               - A cada una de las siguientes figuras aplica una transformación
                                 isométrica y una transformación no isométrica.




                               - Indica qué cambió y qué se mantuvo en cada una de las
                                 transformaciones realizadas.
                               - Intercambia las transformaciones que realizaste con tu compañero(a).
                                 ¿En qué se diferencian las transformaciones realizadas por ambos?




Movimientos en el plano                                                                              103
 Orientaciones didácticas

Traslación (páginas 176 y 177)

Actividad previa                 • Para introducir este contenido es recomendable realizar una indagación
                                   acerca de las ideas previas que presentan los alumnos respecto a la
                                   traslación. Para esto se sugiere realizar y discutir acerca de las siguientes
                                   preguntas:
                                 - ¿Qué significa para ti trasladar una figura?
                                 - ¿Crees que al trasladar una figura esta cambia?, ¿qué cambia?




Actividades complementarias      • Para ayudar a los alumnos(as) que presentan mayor dificultad, se
                                   propone entregar papeles cuadriculados con algunas figuras dibujadas y
                                   luego pedirles que realicen lo siguiente:
                                 - Mueve la figura 5 cuadraditos al norte.
                                 - Mueve la figura 3 cuadraditos al oeste.
                                 - Mueve la figura 1 cuadradito al este.
                                 - Mueve la figura 6 cuadraditos al sur.
                                 Para la realización de la actividad anterior es recomendable repasar con los
                                 alumnos la posición de cada punto cardinal (utilización de la rosa de los
                                 vientos).



Reflexión (páginas 178 y 179)

Información para el docente      • Una reflexión, también denominada simetría axial, es una
                                   transformación isométrica en la cual cada punto de la figura reflejada se
                                   asocia a otro punto llamado imagen. El punto imagen tiene las
                                   siguientes características:
                                 - El punto y su imagen están a igual distancia de una línea recta llamada
                                   eje de simetría.
                                 - El segmento que une el punto con su imagen es perpendicular al eje de
                                   simetría.




Tarea                            • Pedir a los alumnos(as) que revisen las reflexiones realizadas en la
                                   sección “Practica” utilizando un espejo. Para esto es recomendable
                                   explicar a los estudiantes qué procedimiento deben realizar.




104                                                                                                     Unidad 8
Rotación (páginas 180 y 181)

Información para el docente    • Para trabajar el concepto de rotación explicar a los alumnos(as) que las
                                 longitudes de los arcos dependen de la distancia al centro de giro y que
                                 la medida de un ángulo no depende de la longitud del arco.
                               • Es importante mencionar que una rotación cuyo ángulo de giro es 180º
                                 en torno a un centro de rotación también se conoce como simetría
                                 central.




Actividades complementarias    • Para profundizar el contenido, plantee lo siguiente:
                               - Al rotar una figura, ¿se mantiene el paralelismo entre sus segmentos?
                               - Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus ángulos?
                               - Al rotar una figura, ¿se mantienen las medidas de sus segmentos?



Teselaciones (páginas 182 y 183)

Actividades previas            • Pida a los estudiantes que recorten un triángulo cualquiera, luego pida
                                 que intenten cubrir una superficie dada utilizando solo triángulos de
                                 iguales medidas al recortado. Pida a los alumnos que evalúen si fue
                                 posible realizar la actividad anterior, ¿qué dificultades tuvieron?




Información para el docente    • Para que sea posible realizar una teselación regular, la medida del ángulo
                                 interior del polígono regular debe ser un divisor de 360º.
                                 Los polígonos regulares con los cuales siempre es posible realizar una
                                 teselación son: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular.



Usando un software geométrico (páginas 184 y 185)

Información para el docente    • Es importante hacer notar a los alumnos y alumnas la importancia de
                                 poder utilizar un software computacional, ya que este recurso
                                 tecnológico permite una mejor visualización del comportamiento de las
                                 diferentes transformaciones isométricas estudiadas.
                               • Para un mejor desarrollo de las actividades propuestas en estas páginas,
                                 es fundamental destacar la importancia de comprender cada uno de los
                                 conceptos trabajados en la unidad, como también haber realizado los
                                 diferentes tipos de transformaciones isométricas en forma manual.
                               • Existen varios softwares geométricos de uso gratuito, estos pueden ser
                                 descargados desde Internet, por ejemplo, GeoGebra, es muy sencillo de
                                 usar, y puede ser descargado desde el sitio http://www.geogebra.org




Movimientos en el plano                                                                                  105
 Orientaciones didácticas

Más problemas (páginas 186 y 187)

Información para el docente          • Se recomienda que cada vez que los alumnos se enfrenten a un
                                       problema matemático ponga énfasis en la comprensión del problema,
                                       discriminación de los datos, uso de estrategias, el resultado que se debe
                                       obtener y la interpretación del resultado obtenido en función del
                                       contexto. Para lo anterior les puede plantear preguntas como las
                                       siguientes:
                                     - ¿Cómo resolviste el problema?, ¿qué procedimientos utilizaste?,
                                       ¿podrías explicarlos?
                                     - ¿La respuesta obtenida es válida para el contexto del problema?

                                       A continuación es recomendable generar un debate acerca de las
                                       diferentes maneras de resolver un problema, de modo que los alumnos
                                       puedan compartir diversas estrategias que se pueden utilizar para
                                       resolver una misma situación.



Uso del computador (página 188)

Información para el docente          • Para poder trazar segmentos en el geoplano trabajado en esta página, se
                                       debe hacer clic en los puntos que lo determinan. Del mismo modo, para
                                       construir un polígono se deben seleccionar con el mouse cada uno de los
                                       vértices que lo forman, una vez seleccionados, automáticamente
                                       aparecerá el color (este puede ser cambiado en el extremo inferior
                                       izquierdo).




Actividades complementarias          • Pida a los alumnos(as) que impriman las teselaciones realizadas, pueden
                                       intercambiarlas y compararlas con las realizadas por sus compañeros(as),
                                       determinando cuál es el patrón de cada una de ellas.



Evaluación (páginas 190 y 191)
Objetivos evaluados
• Reconocer las características de una transformación isométrica, tales como traslaciones, reflexiones y
  rotaciones, identificando qué cambia y qué se mantiene al aplicar cada una de ellas. (Preguntas 1, 2, 3, 4
  y 5; pág. 192).
• Identificar los polígonos con los cuales es posible construir una teselación. (Preguntas 6, 7; pág. 192
 y pregunta 8; pág. 193).
• Construir una teselación con ciertos criterios dados. (Pregunta 9; pág. 193).




106                                                                                                         Unidad 8
 Criterios de logro
 • Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5; pág. 192: responde correctamente tres de los cinco ejercicios formulados.
 • Preguntas 6, 7; pág. 192 y pregunta 8; pág. 193: responde correctamente dos de los tres ejercicios
   formulados.
 • Pregunta 9; pág. 193: responde correctamente el ejercicio formulado.




Movimientos en el plano                                                                                  107
  Evaluación 8

Marca la alternativa correcta

1. Indica cuál de las siguientes alternativas no    4. ¿Con cuál de las siguientes figuras es posible
   corresponde a una transformación isométrica.        teselar el plano?

   A.   Traslación.                                    A.                              B.
   B.   Ampliación.
   C.   Rotación.
   D.   Reflexión.

                                                       C.                              D.
2. ¿Qué transformación isométrica se realizó a la
   siguiente figura?

                                                    5. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene dos ejes
                            F                          de simetría?

                                                       A.   Un triángulo equilátero.
                                                       B.   Un cuadrado.
                                                       C.   Un rectángulo.
           D                             E             D.   Un trapecio isósceles.
                            F´

                                                    6. Una teselación semirregular está formada por:

                                                       A.   Un polígono regular.
           D´                            E´            B.   Un polígono regular y otro no regular.
                                                       C.   Dos polígonos regulares.
                                                       D.   Un polígono cualquiera.

   A.   Rotación.
   B.   Reflexión.
   C.   Traslación.                                 7. La transformación isométrica que se muestra a
   D.   Ninguna de las anterirores.                    continuación corresponde a:



3. Se puede teselar un plano usando:

   A.   Pentágonos regulares.
   B.   Circunferencias.
   C.   Triángulos equiláteros.
   D.   Heptágonos regulares.
                                                       A.   Una rotación.
                                                       B.   Una traslación.
                                                       C.   Una reflexión.
                                                       D.   No es transformación isométrica.




108                                                                                                  Unidad 8
8. La transformación isométrica que se muestra a         11. De las siguientes características no corresponde a
   continuación corresponde a:                               una rotación:

                                                            A. Todos los puntos de la figura se mueven en
                                                               torno a un punto fijo.
                                                            B. Se realiza respecto a un ángulo.
                                                            C. La figura no cambia su forma.
                          o
                                                            D. Es posible que la figura cambie su forma.



                                                         12. Las teselaciones regulares pueden:
    A.   Una rotación.
                                                            A. Estar compuestas por cualquier polígono
    B.   Una traslación.
                                                               regular.
    C.   Una reflexión.
                                                            B. Ser deformaciones del triángulo equilátero.
    D.   No es una transformación isométrica.
                                                            C. Estar formados por dos o más polígonos
                                                               regulares.
                                                            D. Estar formadas por hexágonos regulares.
9. La siguiente figura se trasladó:


                                                         13. Las siguientes imágenes corresponden a:




    A. Dos cuadrados hacia el norte y tres cuadros
       hacia el este.
    B. Dos cuadrados hacia el norte y tres hacia el
       oeste.
    C. Dos cuadrados hacia el sur y tres cuadros hacia
       el este.
    D. Otra traslación.                                     A.   Una rotación.
                                                            B.   Una teselación regular.
                                                            C.   Una teselación semiregular.
10. ¿Cuál de la siguientes corresponde a una                D.   Una teselación no regular.
    transformación geométrica, pero no a una
    transformación isométrica?

    A.   Una simetría.
    B.   Una rotación.
    C.   Una reducción.
    D.   Un giro.




Movimientos en el plano                                                                                    109
    UNIDAD



       9 Tratamiento de la información
Cuadro sinóptico

              CMO                               Estructura de la unidad              Contenidos de la unidad
• Resolución de problemas en los cuales       • Páginas de inicio.              • Tablas de frecuencia absoluta.
  es necesario interpretar información a        (Págs. 192 y 193)
  partir de tablas de frecuencia con datos
  agrupados en intervalos, tomados de
  diversas fuentes o recolectados             • Páginas de desarrollo de
                                                                              – Interpretación de gráficos. (Págs. 194 y 195)
  mediante experimentos o encuestas.            contenidos. (Págs. 194 a 215)

• Construcción de tablas de frecuencia
  con datos agrupados en intervalos, en                                         – Interpretación de tablas. (Págs. 196 a 198)
  forma manual y mediante herramientas
  tecnológicas, a partir de diversos
  contextos y determinación de la media                                         – Construcción de tablas para datos
  aritmética y moda en estos casos.                                               agrupados. (Pág. 199)

• Discusión respecto de la importancia de                                       – Media aritmética y moda para datos
  tomar muestras al azar en algunos                                               agrupados. (Págs. 200 y 201)
  experimentos aleatorios para inferir
  sobre las características de poblaciones,
  ejemplificación de casos.                                                     – Censo (Págs. 202 y 203)

• Análisis del comportamiento de una
  muestra de datos, en diversos contextos,
                                                                                – Muestreo (Págs. 204 y 205)
  usando medidas de tendencia central y
  argumentación acerca de la información
  que ellas entregan.                                                           – Análisis de encuestas. (Págs. 206 a 209)

• Análisis de ejemplos en diversas
                                                                                – La probabilidad. (Págs. 210 y 211)
  situaciones donde los resultados son
  equiprobables, a partir de la simulación
  de experimentos aleatorios mediante el
                                                                                – Sucesos equiprobables. (Págs. 212 y 213)
  uso de herramientas tecnológicas.

• Identificación del conjunto de los
                                                                                – Regla de Laplace (páginas 214 y 215)
  resultados posibles en experimentos
  aleatorios simples (espacio muestral) y
  de los eventos o sucesos como
  subconjuntos de aquél, uso del principio                                      • Lectura e interpretación de gráficos.
  multiplicativo para obtener la
  cardinalidad del espacio muestral y de                                        • Construcción de gráficos.
  los sucesos o eventos.
                                              • Más problemas.
• Asignación en forma teórica de la             (Págs. 216 y 217)
  probabilidad de ocurrencia de un
  evento en un experimento aleatorio,         • Uso del computador.
  con un número finito de resultados            (Pág. 218)
  posibles y equiprobables, usando el
  modelo de Laplace.                          • Síntesis. (Págs. 219)

                                              • Evaluación. (Págs. 220 y 221)




110                                                                                                                    Unidad 9
                           Aprendizajes esperados                                                   OFT




• Analizan críticamente información estadística, identifican las      • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
  fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.          el sentido de crítica y autocrítica.

                                                                      • Desarrollar la capacidad de juicio y
• Analizan críticamente información estadística, identifican las
                                                                        aplicar criterios morales a problemas del medio
  fuentes y opinan sobre la representatividad de las muestras.
                                                                        ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.

• Construyen tablas de datos agrupados según información              • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
  entregada en distintas situaciones contextualizadas.                  el sentido de crítica y autocrítica.
                                                                      • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios
 • Leen, analizan y obtienen información a partir de tablas para        morales a problemas del medio ambiente,
   datos agrupados.                                                     económicos, sociales y de la vida diaria.

                                                                      • Desarrollar la capacidad de juicio y aplicar criterios
• Analizan situaciones en las que la información se obtiene             morales a problemas del medio ambiente,
  mediante un censo.                                                    económicos, sociales y de la vida diaria.

• Infieren características de una población a partir de una muestra   • Reconocer la importancia del trabajo como forma
                                                                        de desarrollo personal, familiar y social.

• Leen y analizan críticamente resultados de encuestas de opinión.    • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
                                                                        el sentido de crítica y autocrítica.
• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de
  experimentos aleatorios.

                                                                      • Desarrollar la capacidad de juicio y
• Analizan ejemplos en diversas situaciones a partir de                 aplicar criterios morales a problemas del medio
  experimentos aleatorios, donde los resultados son equiprobables.      ambiente, económicos, sociales y de la vida diaria.

• Asignan en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un        • Desarrollar el pensamiento reflexivo y metódico y
  evento en un experimento aleatorio, usando regla de Laplace.          el sentido de crítica y autocrítica.

                                                                      • Desarrollar la capacidad de resolver problemas, la
                                                                        creatividad y las capacidades de autoaprendizaje.




•   Obtienen información a partir de un conjunto de datos.
•   Trabajan con las medidas de tendencia central.
•   Interpretan distintos tipos de gráficos.
•   Trabajan con frecuencias absolutas y relativas.


Tratamiento de la información                                                                                            111
  Propósito de la unidad

En esta última unidad del texto se pretende formalizar algunas técnicas acerca del manejo de la
información, tales como el registro de datos a través de un proceso ordenado (recolección, conteo,
tabulación y representación gráfica). Para esto se profundiza en el estudio e interpretación de diferentes
tipos de gráficos y tablas.
Dado que el manejo de la información es un elemento latente en la cotidianidad de los alumnos, se
plantean elementos necesarios para que ellos puedan analizar encuestas, utilizando para esto información
verídica extraída de diversas fuentes. Respecto al uso del computador, se incluyen actividades utilizando
una planilla Excel, de manera que los alumnos pongan la tecnología al servicio de sus aprendizajes.




 Mapa conceptual

                                                   Tratamiento de la información




                      Interpretación de gráficos                               Interpretación de tablas



       Gráfico         Gráfico        Pictograma         Histograma          Frecuencia        Frecuencia
      de barras        circular                                                relativa         absoluta


         Sucesos equiprobables                                               Frecuencia         Promedio
                                                   Probabilidad                relativa
                                                                             porcentual
            Regla de Laplace
                                                                                                  Moda
                                             Censo          Muestreo


                                            Análisis de encuestas



 Orientaciones didácticas
Páginas de inicio (páginas 192 y 193)

Actividad previa                    • Después de un día de ventas en un almacén, don Pepe, su dueño, realiza
                                      el recuento de algunos productos vendidos. Durante el día vendió 5 kg
                                      de azúcar, 20 kg de pan, 3 litros de aceite, 10 botellas de bebida y 6
                                      panes de margarina.
                                      Construye una tabla y ayúdale a Don Pepe a ordenar el registro de su venta.




112                                                                                                       Unidad 9
Información para el docente     • Los diferentes medios de registro de información (tablas y gráficos) son
                                  muy útiles para la comprensión de los sucesos que se miden. El registro
                                  en tablas permite organizar por categorías la cantidad de sucesos que
                                  corresponden a aquella categoría, lo cual da una idea parcial de lo que
                                  ocurre con cada una de ellas. Además, es muy conveniente, pues facilita
                                  el proceso de construcción de gráficos.
                                • Más allá del cálculo de las diferentes medidas de tendencia central, lo
                                  relevante es que los(as) alumnos(as) puedan usarlas para interpretar y
                                  explicar algún determinado fenómeno de la realidad. Por ello es
                                  importante relacionar estas medidas entre sí, y no dejarlas aisladas en el
                                  análisis. Si se desea ir más allá, es conveniente analizar qué ocurre con la
                                  media cuando hay datos extremos en la muestra (sensible a datos
                                  extremos) y comparar con la mediana (más estable que la media cuando
                                  hay datos extremos en la muestra). En esa línea es conveniente señalar
                                  que la moda representa el suceso de mayor frecuencia, pensando en
                                  conectarlo con lo que viene más adelante, específicamente en lo que se
                                  refiere a tablas y gráficos.




Actividades complementarias     • Trabajar y discutir con los(as) alumnos(as) el siguiente problema:
                                  Carlos obtuvo en una prueba los siguientes puntajes: 7, 3, 8, 2 y 5.
                                  ¿Puedes compensarlos para saber cuál es el puntaje medio que obtuvo?
                                  El objetivo de este problema es introducir el concepto de media
                                  aritmética a través de la compensación.
                                • En un campeonato de fútbol se recabó la siguiente información:
                                – La cantidad de partidos jugados en las distintas fechas fueron:
                                  4, 3, 2, 2, 4 y 1.
                                – La cantidad de goles por partido fueron los siguientes:
                                  3, 4, 6, 2, 1, 0, 6, 3, 2, 1, 6, 3, 2, 1, 7 y 4.
                                – Los jugadores expulsados por partido fueron:
                                  0, 1, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 1, 1 y 2.
                                  Contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es la media de los goles por
                                  partido? ¿Cuál es la moda de los jugadores expulsados?¿Qué explicación
                                  das a la mediana de la cantidad de partidos jugados?




Interpretación de gráficos (páginas 194 y 195)

Actividades previas             • Comentar con los(as) alumnos(as) las siguientes preguntas: ¿Conocen
                                  algún tipo de gráfico? ¿Dónde los han visto? ¿Para qué sirven?




Tratamiento de la información                                                                            113
 Orientaciones didácticas

Actividades complementarias   • En siete empresas distintas se realizó una encuesta que abordaba la
                                percepción del clima laboral. El gráfico presenta los porcentajes que se
                                obtuvieron en cada una.

                                        Buen clima laboral        Clima laboral medio            Mal clima laboral

                                100%

                                 90%

                                 80%

                                 70%

                                 60%

                                 50%

                                 40%

                                 30%

                                 20%

                                 10%

                                  0%
                                       Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3 Empresa 4 Empresa 5 Empresa 6 Empresa 7


                                Analízalo y contesta las preguntas que se plantean a continuación.
                              – ¿Qué título le pondrías al gráfico? ¿Cómo designarías el eje vertical y el
                                horizontal?
                              – ¿Cuáles son las empresas en donde la mayoría de la gente percibe un
                                mejor y peor clima laboral?
                              – ¿En qué empresa es más alto el porcentaje de empleados que considera
                                tener un clima laboral medio?
                              – ¿En cuántas empresas, más de la mitad de los empleados consideran
                                tener un clima laboral bueno?
                              – ¿En cuántas empresas, solo entre el 10% y 50% de los empleados
                                considera tener un clima laboral medio?



Interpretación de tablas (páginas 196 a 198)

Actividades complementarias   • En la siguiente tabla se muestra la cantidad de alumnos y alumnas
                                seleccionados en diversos talleres culturales de un colegio.

                                                       Taller         Cantidad de alumnos (as)

                                                    Artesanía                     28
                                                     Guitarra                     45
                                                     Pintura                      15
                                                      Flauta                      18
                                                     Grabado                      29
                                                      Canto                       13


114                                                                                                      Unidad 9
                                 A partir de esta información, ¿cuántos alumnos y alumnas quedaron
                                 seleccionados en talleres relacionados con la música? ¿Y cuántos en
                                 talleres relacionados con otras expresiones artísticas?



Construcción de tablas para datos agrupados (página 199)
Actividades complementarias     • Los siguientes datos corresponden a la duración, en horas, del uso
                                  continuo de 50 ampolletas iguales, para ser sometidas a un control de
                                  calidad.


                                     480             496            724             780             801
                                     570             802            795             886             714
                                     775             712            683             830             560
                                     826             560            794             676             760
                                     890             590            750             489             725
                                     666             746            668             880             570
                                     830             452            810             720             680
                                     680             660            490             895             660
                                     720             793            870             715             708
                                     710             679            762             793             751

                                a. ¿Cuál es el rango de este conjunto de datos?
                                b. Si se agruparan en siete intervalos, ¿cuál sería el tamaño del intervalo
                                   correspondiente?
                                c. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete
                                   intervalos, considerando la frecuencia absoluta, frecuencia acumulada y
                                   frecuencia relativa.
                                d. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de menos de 576 horas?
                                e. ¿Cuántas ampolletas tienen una duración de 700 horas o más?



Información para el docente     • El rango es un buen indicador de la dispersión de los datos cuando se
                                  presentan dos valores que se alejan demasiado de los otros valores, pues
                                  en esta caso se podría pensar erróneamente que los datos están muy
                                  dispersos, cuando en realidad no lo están.
                                • Es importante trabajar con los estudiantes preguntas de análisis como las
                                  planteadas al terminar este contenido.



Media aritmética y moda para datos agrupados (páginas 200 y 201)

Actividades complementarias     • Utilizando los datos acerca del control de calidad de las ampolletas:
                                a. Construye una tabla de frecuencias, con los datos agrupados en siete
                                   intervalos, considerando la frecuencia absoluta y la marca de clase
                                   correspondiente.
                                b. Calcula su media aritmética y su moda.



Tratamiento de la información                                                                             115
 Orientaciones didácticas

Información para el docente    • Junto con el trabajo de obtener el valor de la media aritmética y la
                                 moda, mediante las fórmulas presentadas, es esencial saber interpretar
                                 estos valores en la situación plateada.
                               • En la fórmula para obtener el valor de la moda, recordar que el tamaño
                                 de cada intervalo debe ser el mismo, de no ser así no se puede utilizar
                                 esta fórmula.




Censo (páginas 202 y 203)

Información para el docente    • El censo más conocido en Chile es el censo de población y vivienda, sin
                                 embargo se sugiere aclarar a sus estudiantes que no es el único. Por
                                 ejemplo, existe el censo agropecuario y forestal, que se realizó por
                                 última vez el año 2007, y tiene por finalidad conocer obtener
                                 antecedentes más estables en el tiempo acerca de las principales
                                 características agrícolas, ganaderas y forestales del país.
                               • El Instituto Nacional de Estadísticas de Chile publicó un libro sobre la
                                 historia de los censos en Chile, llamado “Retratos de nuestra identidad:
                                 Los Censos de Población en Chile y su evolución histórica hacia el
                                 Bicentenario”. Esta publicación presenta a través de un enfoque sencillo
                                 y pedagógico un balance cronológico de la evolución del ejercicio censal.
                                 El libro cuenta con el patrocinio de la Comisión Bicentenario y tiene
                                 como objetivo central determinar cómo los censos reflejan la realidad
                                 chilena. Puede acceder al libro a través de Internet, en la dirección:
                                 http://www.ine.cl/canales/usuarios/cedoc_online/flip_ine/

Muestreo (páginas 204 y 205)
Actividades complementarias    1. Decide en cada caso si es más conveniente estudiar una muestra o la
                                  población, es decir, si es necesario realizar un censo. Justifica tu decisión.
                                  a. La vida útil de las ampolletas que fabrica cierta empresa.
                                  b. La estatura promedio de los estudiantes entre 10 y 12 años en Chile.
                                  c. El color de pelo de un grupo de siete personas.
                                  d. El deporte favorito de los estudiantes de un colegio.
                                  e. Los efectos de un medicamento para cierta enfermedad.



Información para el docente    • Es importante aclarar a sus estudiantes que para que los resultados
                                 obtenidos a partir del estudio de una muestra sean válidos para toda la
                                 población, es decir, para que podamos concluir aspectos sobre la
                                 población a partir de los resultados de la muestra, esta debe ser
                                 representativa de la población. Para determinar si una muestra es
                                 representativa, se deben cumplir ciertos requisitos, por ejemplo, se debe
                                 determinar el tamaño de muestra necesario para el estudio. Para que sus
                                 estudiantes comprendan mejor esto puede comentar con ellos la
                                 siguiente situación:




116                                                                                                    Unidad 9
                                  – Se desea saber el número de horas que los y las estudiantes de 8º
                                    Básico en Chile dedican a hacer deporte, para esto se selecciona una
                                    muestra que considera los alumnos de 8º Básico de tres colegios
                                    distintos de la Región Metropolitana.
                                  En este ejemplo, esta muestra no es representativa, ya que no se puede
                                  inferir sobre el número de horas que los y las adolescentes de Chile
                                  dedican a hacer deportes con los resultados obtenidos de solo los
                                  alumnos (varones) de tres colegios. Además, es necesario que la muestra
                                  abarque todo el territorio nacional, ya que puede que existan diferencias
                                  significativas entre los y las adolescentes que viven tanto en diferentes
                                  regiones de Chile, como en condiciones distintas, por ejemplo, si viven en
                                  zonas urbanas o rurales.
                                • La representatividad de una muestra no tiene que ver, necesariamente,
                                  con el tamaño de esta, sino con la capacidad de reproducir a pequeña
                                  escala las características de la población. Si los individuos que componen
                                  el universo son muy distintos entre ellos tenderemos a tomar una
                                  muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que
                                  componen el universo sean similares.




 Análisis de encuestas (páginas 206 a 209)

  Actividades previas           • Comentar con los(as) alumnos(as): ¿Alguna vez han contestado una
                                  encuesta? ¿De qué temas tratan? ¿Son largas o cortas? ¿Qué medios se
                                  utilizan para realizar encuestas (papel, teléfono, páginas Web)?




  Actividades complementarias   • En grupos de tres, los(as) alumnos(as) deben elaborar una encuesta
                                  que plantee ciertas preguntas clave sobre temas como medio ambiente,
                                  cultura, deportes, etc. La encuesta debe contener los indicadores de sexo
                                  y edad, y tendrán que aplicarla a 30 personas. Es importante que la
                                  formulación de las preguntas se haga de manera clara y precisa, para
                                  que las respuestas sean predecibles y clasificables, y sea fácil tabular los
                                 resultados de cada una (las preguntas no deben ser más de 10). Evitar las
                                 respuestas abiertas, pues su tabulación es más compleja y subjetiva que
                                 las preguntas de respuesta cerrada.
                                 Cada grupo de respuestas se debe organizar en tablas de frecuencias y
                                 gráficos circulares (porcentuales) o de barras. Finalmente los(as)
                                 alumnos(as) expondrán sus trabajos al curso con conclusiones claras y
                                 relevantes respecto de las preguntas iniciales que se plantearon.




Tratamiento de la información                                                                           117
 Orientaciones didácticas

Información para el docente   • Las encuestas son utilizadas para distintos tipos de estudios estadísticos,
                                como los censos y los estudios de marketing. Los censos los realizan
                                los países para recopilar información sobre la población que vive allí,
                                sus hábitos de vida, de consumo, etc. Los estudios de marketing los
                                realizan las empresas para saber cómo están siendo usados sus productos
                                en el mercado, y cuál es la percepción de los consumidores respecto de
                                ellos.
                                Para realizar un buen análisis de las encuestas hay que contraponer las
                                hipótesis planteadas con los resultados que arroja, de manera de
                                observar qué ocurre con el fenómeno que se está midiendo.




Tarea                         • Buscar información sobre el último censo realizado en Chile (año 2002) y
                                analizar los resultados sobre la cantidad de población respecto del censo
                                anterior, realizado el año 1992. En la siguiente página encontrará la
                                información necesaria para desarrollar la tarea: www.ine.cl . No olvidar
                                que las direcciones o su contenido pueden variar.


La probabilidad (páginas 210 y 211)

Actividades complementarias   • Como este contenido no ha sido revisado en cursos anteriores, es
                                trascendental que el docente comience con actividades lúdicas y
                                motivantes. Pueden ser las siguientes:
                                - Llevar una bolsa con varias bolitas de colores y hacer apuestas con los
                                  alumnos: ¿qué bolita crees que sacaré? ¿A qué color de bolita
                                  apuestas? Pedir que fundamenten todas sus respuestas.
                                - La misma actividad anterior invita a la formalización de la terminología
                                  de probabilidad (términos que son revisados en estas páginas), tales
                                  como seguro, imposible, casi posible, etc. Se propone dar ejemplos de
                                  la vida cotidiana de acontecimientos que se clasifiquen según seguro,
                                  casi seguro, bastante seguro, bastante probable, probable, poco
                                  probable, casi imposible e imposible.



Tarea                         • Algunos de los términos pueden ser encontrados con diferentes
                                nombres, esto dependerá de la bibliografía revisada, por ejemplo,
                                experimento determinístico o suceso determinístico o evento
                                determinístico. Experimento aleatorio, suceso aleatorio o evento
                                aleatorio. Todos ellos responden a las mismas características.
                              • Los conceptos de frecuencias relativa y absoluta han sido trabajados en
                                el contenido de estadística, por lo que tienen ideas previas de lo que
                                puede significar. La relevancia de tratar estos conceptos, está entre otras,
                                en sustentar de manera empírica el cálculo de probabilidad. Para esto se
                                recomienda trabajar con material concreto: monedas, dados, etc.
                                Lo importante es que los alumnos logren hacer tablas, calcular las



118                                                                                                 Unidad 9
                                  frecuencias y concluir regularidades.
                                • Es significativo que los estudiantes manejen distintas representaciones de un
                                  número racional, de esta manera, la probabilidad puede ser interpretada de
                                  diferentes formas, y no solo como un porcentaje. Esto permitirá la
                                  comprensión de la cuantificación de la probabilidad (cuantificación de la
                                  certeza). Ejemplificación con actividades intuitivas para los alumnos, como
                                  por ejemplo, al lanzar una moneda, quiero que salga cara. ¿Qué
                                  posibilidades de ganar tengo? Tenemos un 50% ó 1 ó 0,5.
                                                                                        2



 Sucesos equiprobables (páginas 212 y 213) y Regla de Laplace (páginas 214 y 215)

  Información para el docente    • En general, para trabajar todas las actividades planteadas en estas
                                   páginas, hay que enfatizar que dos o más sucesos son equiprobables solo
                                   cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, si en una
                                   urna hay 4 bolitas rojas y 7 bolitas negras, y me preguntan: ¿qué color de
                                   bolita es la que tiene la mayor probabilidad de ser extraída?, claramente
                                   tiene mayor probabilidad de salir, una bolita negra que una roja. Esta
                                   situación podría llevar a pensar que no son sucesos equiprobables, sin
                                   embargo, hay que recalcar que si bien las bolitas de color negro tienen
                                   mayor probabilidad de salir, la equiprobabilidad está dada porque cada
                                   bolita, independiente del color, tienen la misma probabilidad de ser
                                   extraídas.
                                 • La aclaración anterior es fundamental para entender el porqué se aplica
                                   la Regla de Laplace para este tipo de eventos.



  Actividad complementaria       • Las siguientes actividades pueden ser planteadas para aquellos estudiantes
                                   que no presentan mayor dificultad con el contenido de probabilidad.
                                   a. Al lanzar 2 monedas el aire simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad
                                      que salga al menos un sello?
                                      - Una moneda tiene 2 posibilidades de resultado (espacio muestral del
                                        lanzamiento de una moneda) al ser lanzada: “sale cara” o “sale
                                        sello”.
                                       - Simbolizaremos de la siguiente manera: C: cara, S: sello
                                                   Moneda 1: {C , S}                   Moneda 2: {C , S}
                                      - Por lo tanto, al ser lanzada dos monedas simultáneamente se dan
                                        las siguientes combinaciones: {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}. Es decir,
                                         4 posibilidades (espacio muestral del lanzamiento de dos monedas).
                                      - Luego, se pregunta la probabilidad de que salga al menos un sello.
                                        Observando el espacio muestral de ambas monedas contamos
                                        3 posibilidades que salga sello, de un total de 4.
                                      - Entonces, al ser lanzada dos monedas simultáneamente la
                                        probabilidad de obtener un sello es de 3
                                                                                    4
                                   b. Se lanzan dos dados, uno rojo y otro verde. ¿Qué resultado es el que
                                   tiene mayor probabilidad?


Tratamiento de la información                                                                             119
 Orientaciones didácticas

                               Interesa observar al producto del puntaje obtenido en los dados, es decir,
                               A: producto del puntaje de los dados.
                               Los posibles resultados se muestran en la tabla:
                                        1      2        3     4     5      6

                                  1     1      2        3     4     5      6

                                  2     2      4        6     8     10    12

                                  3     3      6        9    12     15    18

                                  4     4      8        12   16     20    24

                                  5     5     10        15   20     25    30

                                  6     6     12        18   24     30    36

                               Luego, la probabilidad de que ocurra el evento A dado, es:
                               P(A = 1) = 1/36 ˜ 0,028       P(A = 8) = 2/36 ˜ 0,06     P(A = 18) = 2/36 ˜ 0,06
                                               ˜                             ˜                           ˜
                               P(A = 2) = 2/36 ˜ 0,06        P(A = 9) = 1/36 ˜ 0,028    P(A = 20) = 2/36 ˜ 0,06
                                               ˜                             ˜                           ˜
                               P(A = 3) = 2/36 ˜ 0,06        P(A = 10) = 2/36 ˜ 0,06    P(A = 24) = 2/36 ˜ 0,06
                                               ˜                              ˜                          ˜
                               P(A = 4) = 3/36 ˜ 0,08        P(A = 11) = 4/36 ˜ 0,11    P(A = 25) = 1/36 ˜ 0,028
                                               ˜                               ˜                         ˜
                               P(A = 5) = 2/36 ˜ 0,06        P(A = 15) = 2/36 ˜ 0,06    P(A = 30) = 2/36 ˜ 0,06
                                               ˜                               ˜                         ˜
                               P(A = 6) = 4/36 ˜ 0,11        P(A = 16) = 1/36 ˜ 0,028   P(A = 36) = 1/36 ˜ 0,028
                                               ˜                               ˜                         ˜
                               Como se puede observar, la mayor probabilidad corresponde a P(A = 6) y
                               P(A = 12), es decir, obtener como resultado del producto 6 ó 12.



Más problemas (páginas 216 y 217)

Actividades complementarias   • El curso de Felipe realizó un estudio sobre las costumbres alimenticias
                                que tienen sus profesores. Los resultados fueron los siguientes:

                                                                            Hombres     Mujeres

                                                   Comida casera               10         15
                                                   Comida rápida               25         10
                                                        Ensaladas               5         30
                                                         Carnes                20         15

                               ¿Cómo puede saber Felipe con qué grafico es mejor resumir la
                               información que está en la tabla?



Información para el docente   • La resolución de problemas en estadística requiere de habilidades que
                                apuntan a la reflexión y análisis de los datos obtenidos. No basta con
                                comprobar la solución, como podría suceder en los problemas de planteo
                                y resolución de ecuaciones, sino además se deben interpretar y organizar
                                los resultados, de modo tal que al comunicarlos sean entendibles por
                                cualquier tipo de público, los gráficos simples y claros son muy
                                importantes en este proceso.


120                                                                                                      Unidad 9
Uso del computador (página 218)

Actividades previas                   • Preguntar a los(as) alumnos(as): ¿Qué programas computacionales
                                        conocen? ¿Cuáles manejan con mayor facilidad? ¿Saben la diferencia
                                        entre un procesador de textos y una planilla de cálculo?


Actividades complementarias           • Copiar la siguiente tabla en una planilla Excel y obtener la media
                                        utilizando la fórmula que este programa tiene incorporada. Cada
                                        columna representa la cantidad de poleras de color que tienen 3
                                        integrantes de una familia.

                                                         Azul       Amarillo      Verde       Blanco     Negro

                                            Papá          3            1            1               0        2
                                           Mamá           2            5            0               2        1
                                            Hijo          4            6            8               1        6

                                       – ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color amarillo? ¿Y
                                         de color blanco?
                                       – ¿Cuál es la media correspondiente a las poleras de color azul? ¿Y de
                                         color verde?
                                       – ¿Qué quiere decir que la media obtenida en las poleras de color negro
                                         sea 3?


Tarea                                • Que los(as) alumnos(as) investiguen en Excel cuáles son los distintos tipos
                                       de gráficos que tiene incorporado, de qué forma están agrupados los
                                       datos y cómo se lee la información que entregan.


Evaluación (páginas 220 y 221)

Objetivos evaluados
• Obtener información a partir de un conjunto de datos. (Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220)
• Interpretar distintos tipos de gráficos. (Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221)
• Trabajar con frecuencias absolutas y relativas. (Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220)

Criterios de logro
• Preguntas 1, 2 y 3; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.
• Preguntas 5 y 6; pág. 220. Preguntas 1 y 2; pág. 221: responden correctamente al menos tres actividades
  planteadas.
• Preguntas 4, 7 y 8; pág. 220: responden correctamente al menos dos de las tres preguntas planteadas.



Reforzamiento                        • Es importante reforzar aquellos ítems que no fueron logrados por los
                                       alumnos. Sería recomendable pedir a cada uno que revise y detecte sus
                                       errores y luego invente dos preguntas similares a las que resolvió
                                       erróneamente.


Tratamiento de la información                                                                                    121
   Evaluación 9

Marca la alternativa correcta

Los resultados corresponden a una encuesta acerca                5. ¿Qué tabla resume la información anterior de
de la preferencia de ganador para un reality de                     manera correcta?
televisión. Observa los datos y luego responde las
preguntas 1, 2, 3, 4 y 5.                                           A. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?

L, R, R, X, L, X, X, F, H, L, X, F, R, H, F, X, X, X, L, X, X,           Nombre            Conteo
R, R, L, X, R, H, X, R, F                                                Leonardo             /////
                                                                         Rodolfo             ///////
(L) Leonardo, (R) Rodolfo, (X) Ximena, (F) Félix,                        Ximena                11
(H) Hernán                                                               Félix                 ////
                                                                         Hernán                 ///
1. ¿Cuál es el total de personas encuestadas?
                                                                         Total                30
    A.   40 personas
    B.   35 personas
    C.   30 personas                                                B. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?
    D.   25 personas
                                                                         Nombre            Conteo
                                                                         Leonardo              5
2. ¿cuál de los postulantes obtuvo más votos?                            Rodolfo               7
                                                                         Ximena               10
    A.   Leonardo                                                        Félix                 3
    B.   Rodolfo                                                         Hernán                3
    C.   Ximena
    D.   Félix                                                           Total                30



3. ¿Cuál es el que menos votos registró?                            C. ¿Cuál es su preferido(a) para ganar el reality?

    A.   Leonardo                                                        Nombre          Preferencia
    B.   Rodolfo                                                         Leonardo              5
    C.   Ximena                                                          Rodolfo               7
    D.   Hernán                                                          Ximena               11
                                                                         Félix                 4
                                                                         Hernán                3
4. ¿Cuántos votos más obtuvo Ximena que Rodolfo?
                                                                         Total                30
    A.   5 votos
    B.   4 votos
    C.   3 votos                                                    D.   Nombre            Conteo
    D.   2 votos                                                         Leonardo              5
                                                                         Rodolfo               7
                                                                         Ximena               11
                                                                         Félix                 3
                                                                         Hernán                3
                                                                         Total                30


122                                                                                                            Unidad 9
Observa la tabla que muestra las edades de un grupo       Observa la tabla y luego responde las preguntas
que asiste a clases de guitarra. Luego responde las       9, 10 y 11.
preguntas 6 y 7.
                                                                        Circulación y distribución del diario
         Variable estadística (edad)   Frecuencia                           “El Metropolitano” en 1999
                    2–6                    1
                                                             Región           Unidades       Región       Unidades
                   6 – 10                  5                                  vendidas                    vendidas
                  10 – 14                 10                       I             580           VII              720
                  14 – 18                 18                      II             430           VIII         1200
                  18 – 22                  8                      III            340           IX               600
                                                                  IV             500            X               410

6. La media de las edades es:                                     V             1500           XI               380
                                                               RM              38 640          XII              100
    A.    10,57 años
                                                                  VI             600
    B.    12,57 años
    C.    14,57 años
    D.    16 años
                                                          9. ¿Qué cantidades de diarios se vendió en todo el
                                                             país en 1999?

7. La mediana y la moda respectiva de las edades de          A.    38 000
   las personas del grupo están en el intervalo:             B.    42 000
                                                             C.    46 000
    A.    14 – 18 años
                                                             D.    48 000
    B.    10 – 14 años
    C.    6 – 10 años
    D.    2 – 6 años
                                                          10. Respecto al total, ¿Qué porcentaje se vendió en la
                                                              Región Metropolitana?

8. Si tu intención en el trimestre es sacarte un 6,0 de      A.    60%
   promedio en Matemática, ¿cuánto debes sacarte             B.    75%
   en la prueba final, que pondera un 30%, si las            C.    80%
   notas que tienes son: 6,2; 5,5 y 5,8?                     D.    84%

    A.    6,1
    B.    6,2
                                                          11. En las tres regiones de menor venta, ¿cuánto se
    C.    6,4
                                                              vendió en total?
    D.    6,5
                                                             A.    910 unidades
                                                             B.    890 unidades
                                                             C.    850 unidades
                                                             D.    820 unidades




Tratamiento de la información                                                                                         123
 Solucionario

Evaluación 1    1. C     6. A    11. B   16. C

                2. C     7. B    12. B   17. A

                3. D     8. D    13. D   18. C

                4. B     9. A    14. C

                5. D    10. D    15. C




Evaluación 2    1. C   6. D     11. B

                2. A   7. C     12. A

                3. D   8. D     13. A

                4. C   9. B

                5. D   10. A




 Evaluación 3   1. B    6. C    11. D

                2. C    7. B    12. B

                3. C    8. C    13. A

                4. B    9. C    14. A

                5. D   10. B




Evaluación 4    1. D     6. B    11. D
                2. D     7. C    12. B

                3. C     8. A    13. C

                4. B     9. B

                5. B    10. D




Evaluación 5    1. D     6. B    11. B   16. D

                2. D     7. D    12. C

                3. B     8. B    13. B

                4. A     9. B    14. C

                5. C    10. A    15. A



124                                              Solucionario
 Evaluación 6   1. A    6. B   11. C   16. D

                2. D    7. A   12. C

                3. B    8. D   13. A

                4. B    9. A   14. B

                5. B   10. D   15. C




                1. C    6. C   11. C   16. D
 Evaluación 7
                2. D    7. B   12. C

                3. D    8. B   13. B

                4. B    9. A   14. C

                5. B   10. C   15. D




 Evaluación 8   1. B    6. C   11. D

                2. C    7. C   12. D

                3. C    8. C   13. C

                4. A    9. A

                5. C   10. C




 Evaluación 9   1. C    5. C    9. C

                2. C    6. C   10. D

                3. D    7. A   11. D

                4. B    8. C




Solucionario                                   125
    Bibliografía

• Artigue, M. (1994). Una introducción a la didáctica de la matemática, en Enseñanza de la Matemática.
  Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE.
• Bermeosolo, J. (1994). Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Santiago: Documentos de
  apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767.
• Brousseau, Guy. (1993). Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por
  Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC,
  Argentina.
• Chevallard Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado, Buenos Aires, Aique.
• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y
  aprendizaje. Barcelona, Horsori.
• Figueroa, Lourdes. (2001). Para qué sirve medir. Cuadernos de Pedagogía, Nº 302, España.
• Flavell, John (1985). El desarrollo cognitivo y el aprendizaje. Madrid: Visor.
• Guzmán R., Ismenia. (2002). Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad
  Católica de Valparaíso, Chile.
• Mateos, Mar (2001). Metacognición y educación, Buenos Aires, Aique.
• MINEDUC. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, Ministerio
  de Educación de Chile, 2001.
• National Council of Teachers of Mathematics (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática.
  Sevilla: Sociedad Andaluza.
• Novak, J. (1988). Aprendiendo a aprender. Barcelona: Ediciones Martínez Roca S.A.
• Ontoria A. (1993). Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España.
• Pozo, J.L. (1990). Teorías cognitivas del aprendizaje. Madrid: Morata.
• Rencoret, María del Carmen. (2002). Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza.
  Editorial Andrés Bello, Santiago, Chile.
• Saldaña, D., Aguilera, A. (2000). La evaluación de los procesos metacognitivos: estrategias y problemática
  actuales, En Rivero, A. (Comp) (2003): Estudios de Psicología, 189-204, Madrid, Universidad Autónoma de
  Madrid.
• Sternberg, R., Apear-Swerling L. (1996). Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España.
• Vygotski, L. (1995). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Barcelona: Libergraf, S.A.


     Sitios web
•   Educación: www.educarchile.cl
•   El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net
•   Geometría: www.geometriadinamica.cl
•   Servicio Nacional del Consumidor: www.sernac.cl
•   Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl

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    determinado.




126                                                                                                        Bibliografía
                              Mapas de Progreso:
algunas ideas para su uso como apoyo al mejoramiento continuo del aprendizaje

Los textos escolares son una importante herramienta para la implementación del
currículum en la sala de clases. En conjunto con los Programas de Estudio y los Mapas de
Progreso, buscan apoyar el trabajo que se realiza en los establecimientos educacionales
para que los estudiantes logren mayores aprendizajes, en base a las definiciones que
establece el Marco Curricular nacional.

En el siguiente esquema se presenta la pregunta orientadora que busca responder cada
uno de los instrumentos curriculares:




Los Mapas de Progreso describen resumidamente los conocimientos, habilidades y
comprensiones que caracterizan cada uno de los 7 niveles en que se desarrolla el
aprendizaje de una determinada competencia o dominio clave. Son una herramienta
curricular no obligatoria, que complementa a los Programas de Estudio y los Textos
escolares, y pueden ser utilizados de diversas formas.

A continuación, se describen dos de ellas, que pueden ser de utilidad para apoyar el
desarrollo del aprendizaje que promueve este texto de estudio:

1. Reflexión conjunta sobre la progresión de los aprendizajes que promueve el
currículum para mejorar la articulación entre profesores del sector.

Si se hace una lectura de los siete niveles de los Mapas ya pueden ser un interesante
aporte, debido a que muestran una visión sintética de lo que se espera se logre como
aprendizaje en los 12 años de escolaridad. Su estructura concisa describe una
panorámica de todo el trayecto escolar, aportando una mirada longitudinal, que
favorece la reflexión pedagógica entre profesores de distintos cursos.
Por ejemplo, a partir de la revisión de un Mapa de Progreso, puede hacerse una
reflexión conjunta respecto de la manera en que progresa el aprendizaje, estableciendo
un análisis general, entre profesores del sector y la jefatura técnica, en relación a
¿cómo estamos entendiendo la progresión del aprendizaje respecto de este referente?
Los profesores y profesoras pueden revisar y analizar en conjunto los aprendizajes
constitutivos de una determinada competencia, y definir acciones a seguir que sean
coherentes con el logro de dichos aprendizajes, en base a preguntas como: ¿de qué
forma estamos ordenando el trabajo y organizándonos en conjunto para ir progresando
en el logro de estos aprendizajes de nuestros alumnos y alumnas?

Los Mapas favorecen la articulación dentro y entre los ciclos de enseñanza de un
establecimiento educacional, promoviendo una comprensión común respecto al
aprendizaje y aportando claves para observar su progresión. Ello propicia la
responsabilidad compartida en entre docentes y el trabajo en equipo dentro del
establecimiento.


2. Reflexión conjunta sobre los trabajos de alumnos y alumnas, para monitorear el
progreso de su aprendizaje en relación a la expectativa que describe el Mapa.

Los Mapas de Progreso definen el crecimiento del aprendizaje de los estudiantes, a
través de descripciones de sus distintas etapas, y de trabajos de alumnos en cada una de
estas. Con el fin de apoyar la observación del aprendizaje, los Mapas presentan tareas,
estímulos o motivaciones que se utilizaron para recoger evidencias del aprendizaje,
buscando observar el desempeño de los alumnos y alumnas en la competencia descrita
en el Mapa.

El docente puede aplicar estas tareas, las que puede encontrar en los anexos de cada
uno de los Mapas (www.curriculum-mineduc.cl ) u otras que el equipo docente puede
desarrollar, para luego analizar la evidencia del desempeño de sus estudiantes e inferir
el nivel de aprendizaje en relación a las descripciones realizadas por el Mapa.

Es importante que esta observación y análisis de los trabajos de alumnos y alumnas sea
desarrollado en conjunto por los profesores del sector, de modo de reflexionar entre
pares y desarrollar una visión compartida respecto a cómo progresa el aprendizaje de
sus alumnos en las distintas competencias claves.

				
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posted:6/23/2010
language:Spanish
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