Figuri-geometrice by gabide

VIEWS: 560 PAGES: 8

									                             Figuri geometrice


      I.Triunghiul- poligon cu trei laturi.

Clasificare:
       1. după laturi:
                          - ∆ oarecare;
                          - ∆ isoscel (două laturi egale);
                          - ∆ echilateral (toate laturile egale).

      2. după unghiuri:
                           - ∆ ascuţitunghic (toate unghiurile < 900);
                           - ∆ dreptunghic ( un unghi = 900);
                           - ∆ optuzunghic ( un unghi >900).

Linii importante în triunghi:
       - mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe
         mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, punctul de
         intersecţie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului
         circumscris triunghiului, se notează cu O             A
                                                               n
                   mBC
                                                               E
                   BD  DC
                   nAB                                    B                C
                   AE  BE                                         m
                                                                        D

      - bisectoarea -dreapta care împarte unghiul în două părţi congruente,
        orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului,
        punctul de intersecţie al bisectoarelor unui triunghi este centrul
        cercului înscris triunghiului, se notează cu I. Teorema bisectoarei: într-
        un triunghi oarecare bisectoarea împarte latura pe care cade într-un
        raport egal cu raportul laturilor.
                                                                        A
                          BD AB
                            
                          DC AC


             BAD  CAD                                       E
             ACE  BCE
                                                                    I

                                                       B                        C
                                                                    D


                                                                                    1
      - mediana -segmentul care uneşte vârful triunghiului cu mijlocul laturii
        opuse, punctul de intersecţie al medianelor se află la o treime de bază
        şi două treimi de vârf, se numeşte centru de greutate
        al triunghiului şi se notează cu G.                       A


                    BD  DC                                            E
                    AE  EC                                    G


                                                     B                     C
                                                               D
      - înălţimea -perpendiculara din vârf pe latura opusă, punctul de
        intersecţie al înălţimilorlor într-un triunghi se numeşte ortocentru sau
        centrul drept al triunghiului, se notează cu H.
                                                               A

                         ADBC
                         CEAB
                                                           E       H


                                                          B                    C
                                                               D
      - linia mijlocie –segmentul care uneşte mijloacele                         a
        două laturi ale triunghiului. Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă
        cu cea de a treia latură a triunghiului şi jumătate din ea. A

             AN  NB
             AM  MC                                       N               M
             MN ¦¦ BC
                    BC
             NM 
                     2
                                                      B                    C




Cazuri de congruenţă ale triunghiurilor oarecare:
      - cazul I- L.U.L. (două triunghiuri oarecare care au câte două laturi şi
         unghiurile cuprinse între ele respectiv congruente, sunt congruente);
      - cazul II- U.L.U. (două triunghiuri oarecare care au câte o latură şi
         unghiurile alăturate ei respectiv congruente sunt congruente);
      - cazul III- L.L.L. (două triunghiuri oarecare care au laturile respectiv
         congruente sunt congruente)



                                                                                   2
Cazurile de asemănare ale triunghiurilor oarecare:
      - cazul I - U.U (două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri
         respectiv congruente);
      - cazul II- L.U.L. (două triunghiuri sunt asemenea dacă au două laturi
         respectiv proporţionale şi unghiurile dintre laturile proporţionale sunt
         congruente);
      - cazul III- L.L.L. (două triunghiuri sunt asemenea dacă au laturile
         respectiv proporţionale).




              Congruenţă                                 Asemănare
   L.U .L.                                  L.U .L.
   AB  RP                                  AB BC
                                                   ____  ABC ~ RPM
   BC  PM ___  ABC  RPM                RP PM
   B  P                                  B  P

  U .L.U .
   A  R                                  U .U .
   C  M _  ABC  RPM                  A  R
   AC  RM                                  C  M __  ABC ~ RPM



    L.L. L.
                                           L.L.L.
    AB  RP
                                           AB BC   AC
    BC  PM  _ ABC  RPM                          ABC ~ RPM
                                           RP PM RM
    AC  RM




                                               A



                                      M                    P



                                     B               R             C




                                                                                3
                                                                          A
                                                                              N
Triunghiul oarecare: ∆ABC
                                                                  M                   C
Teoreme:
      - teorema lui Thales: o paralelă dusă la
una din laturile unui triunghi, împarte celelalte             B
două laturi în părţi proporţionale; MA  NA
                                                    MB   NB
      - teorema fundamentală a asemănării: o
paralelă dusă la o latură a unui triunghi formează
cu celelalte două, un triunghi asemenea cu primul.
      ∆ABC ~∆AMN




Aria:         baza  h            b  c  sin A
         A                  A
                 2                      2
         AMNP      p  ( p  a )( p  b)( p  c)

              abc
         p
                2

Triunghiul isoscel: ∆ABC; AB= AC

Proprietăţi:
      - unghiurile de la baza triunghiului isoscel                        A
sunt congruente;
      - într-un triunghi isoscel înălţimea din vârf
este mediană, bisectoare, mediatoare şi axă de simetrie.

Aria:
                 baza  h                    BC  h
        ABC                       AABC 
                    2                         2                       h



                                                              B               C




                                                                                  4
Triunghiul echilateral: ∆ABC; AB= AC= BC                              A


Proprietăţi:
       - toate unghiurile sunt congruente şi
     0
au 60 ;
       - orice înălţime este mediană, bisectoare,
mediatoare şi axă de simetrie.
                                                          B                         C
Aria:
             l2 3                 l 3
    AABC                    h
               4                   2
Triunghiul dreptunghic: ∆DEF; un unghi = 900

Cazurile de congruenţă:
      - cazul I- C.C. (dacă două triunghiuri drepunghice au catetele respectiv
         congruente, atunci ele sunt congruente);
      - cazul II- C.U. (dacă două triunghiuri dreptunghice au o catetă şi un
         unghi ascuţit la fel aşezat faţă de catetă, respectiv congruente, atunci
         ele sunt congruente);
      - cazul III- I.U.( dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza şi un
         unghi, diferit de unghiul drept, respectiv congruente, atunci sunt
         congruente);
      - cazul IV- I.C. (dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza şi o
         catetă respectiv congruente, atunci ele sunt congruente).

Teoreme:
     - într-un triunghi drepunghic cateta care se opune unghiului de 300 este
         jumătate din ipotenuză; ipotenuza  catetă  2
     - într-un triunghi drepunghic mediana din vârful unghiului drept este
         jumătate din ipotenuză; ipotenuza  mediana  2
     - teorema înălţimii- într-un triunghi drepunghic înălţimea este media
         proporţională între segmentele determinate de ea pe ipotenuză; DM  MF  MB
     - teorema catetei- într-un triunghi drepunghic o catetă este medie
         proporţională între proiecţia sa pe ipotenuză şi ipotenuză; DE  EM  EF
     - teorema lui Pitagora- într-un triunghi drepunghic pătratul ipotenuzei
         este egal cu suma pătratelor catetelor. F
                  EF 2  DE 2  DF 2                              M
Aria:
                 cat  cat            ipotenuza  h                   d
        ADEF                ADEF                    e
                    2                      2
                                                              h
                 cat  cat
             h
                ipotenuza
                                                      D           f                 E
                                                                                5
Funcţii trigonometrice:
                                                               300     450    600
         cat.opusă e
 sin E                                               sin α    1         2     3
         ipotenuză d                                                     2     2
                                                                2
          cat.alălătura f
 cos E                                               cos α      3       2    1
           ipotenuză        d
                                                                 2       2     2
 tgE 
         cat.opusă
                       
                          e                            tg α       3
       cat.alălătura f                                                   1     3
                                                                 3
         cat.alălătura f                               ctg α                    3
 ctgE                                                          3       1
           cat.opusă        e                                                  3


II.Patrulatere- poligoane cu patru laturi.

Clasificare:
       - convex;
       - concav;
       - încrucişat;

particulare: paralelogram, romb, dreptunghi, patrat.




                                                                încrucişat
                                concav
       convex



Paralelogramul: patrulaterul cu laturile opuse paralele două câte două.

Proprietăţi:
      - într-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente, iar cele
          alăturate sunt suplimentare;
      - într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente două câte două;
      - într-un paralelogram diagonalele se împart în părţi congruente.

Reciproca:
      - dacă într-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente, iar cele
         alăturate suplimentare, atunci patrulaterul este un paralelogram;
      - dacă într-un patrulater laturile opuse sunt congruente două câte două,
         atunci patrulaterul este un paralelogram;


                                                                                    6
      - dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele şi congruente,
        atunci patrulaterul este un paralelogram;
      - dacă într-un patrulater diagonalele se împart în părţi congruente, atunci
        patrulaterul este un paralelogram.
                                                                             C
Aria: AB· DQ= baza x h                                  D


                                                            h


                                                  A     Q            B
Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept.
Proprietăţi:
      - toate proprietăţiile paralelogramului sunt adevărate;
      - într-un dreptunghi diagonalele sunt congruente;
      - dreptunghiul are două axe de simetrie.              D                        C

Aria: AB·AD= baza x înălţimea=lungimea x lăţimea


                                                                A                    B



Rombul : paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.
Proprietăţi:
      - toate proprietăţiile paralelogramului sunt adevărate;
      - într-un romb diagonalele sunt perpendiculare şi sunt bisectoarele
          unghiurilor rombului;
      - diagonalele rombului sunt axe de simetrie.             D
Aria:          AC  BD d 1  d 2
        AABCD                 AB  MN  latură  h
                  2        2
                                                                A                C



Pătratul: este derptunghiul cu două laturi alăturate congruente sau B
rombul cu un unghi drept.
Proprietăţi:
      - toate proprietăţiile paralelogramului, rombului şi dreptunghiului;
      - pătratul are patru axe de simetrie.
Aria: A  l 2                                          D              C




                                                        A                B       7
Trapezul: patrulaterul cu două laturi opuse paralele şi două neparalele

Clasificare:                                           A                              B
       - oarecare;                                                 P      Q
       - dreptunghic (are un unghi de 900);              M                        N
        - isoscel (laturile neparalele congruente).
                                                             D                C
Proprietăţi:
      - linia mijlocie- segmentul care uneşte mijloacele laturilor neparalele ale
          trapezului. Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele şi este
          egală cu semisuma bazelor.

     AB  CD
MN 
         2
     AB  CD
PQ 
        2
unde PQ este segmentul care uneşte mijloacele
diagonalelor unui trapez.

Aria:
                  ( AB  CD)  h
        AABCD 
                        2


Trapezul isoscel:
Proprietăţi:
      - într-un trapez isoscel unghiurile de la bază sunt congruente;
      - într-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.




                                                                                  8

								
To top