Econometrics

ÓÒÓÑ ØÖ × Å Ð Ö Ð Î Ö× ÓÒ ¼º ½¸ ¸ ¾¼¼ Ôغ Ó Ñ Ðº Ö ÓÒÓÑ × ÐÙ º ׸ Ò ÓÒÓÑ À ×ØÓÖݸ ÍÒ Ú Ö× Ø Ø ÙØ ÒÓÑ Ö ÐÓÒ ¸ ØØÔ »»Ô Ö ØÓºÙ º ×»Ñ Ö Ð ÓÒØ ÒØ× Ä ×Ø Ó Ä ×Ø Ó Ì ÔØ Ö ½º ½º ¾º ¿º º Ä Ò× × Ç Ø Ò Ò Ò Ø Ñ Ø Ö Ä Ð× Ò Ç Ø Ú ØÓ Ý ÙÖ × Ð × ÓÙØ Ø × Ó ÙÑ ÒØ ½¼ ½¾ ½¿ ½¿ ½¿ ½ ½ ÓÒÓÑ ×Ø ËÕÙ Ö × Ò ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ð× ½ ½ ½ ½ ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ¾¼ ¾¼ ¾¼ ¾½ Ò ÓÙØÐ Ö× ¾¾ ¾ Ö Ö Ö ×× ÓÒ ÑÓ Ð × Ó Ø Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ ¾ ¾ ¾ ¾ Ó Ø Æ ÖÐÓÚ ÇÄË ÑÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ð Ò Ø Ù××¹Å Ö ÓÚ Ø ÓÖ Ñ ¾ ¿¼ ¿¼ ÓÖÑ ¿½ ¿¾ ¿¿ ¿¿ Å Ü ÑÙÑ Ð Ð Ð ÓÓ Ð ÓÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ¿ ¿ Ð ¿ ¿ ¿ ¿ ½ ÕÙ Ð ØÝ ¿ ×Ý Û Ý ØÓ Ù× Ù × ÃÒÓÛÒ ÔØ Ö ¾º ÔØ Ö ¿º ½º ¾º ¿º ¿º½º ¿º¾º ¿º¿º º º º º º½º º¾º º¿º º º½º º¾º º¿º º Ì Ì Ì ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÇÖ Ä Ò Ò ÖÝ Ä Ö ÅÓ Ý Ð Ð ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ø ×ÕÙ Ö × ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ð ÁÒ X, Y ËÔ ÁÒ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ ËÔ ÈÖÓ Ø ÓÒ Å ØÖ × Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ø ÁÒ Ù ÒØ ÓÓ Ò ×× Ó Ð ×× Ð Ð Ò ËÑ ÐÐ × ÑÔÐ ÍÒ × ×Ø Ø ×Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ò ×× ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ì Ú Ö Ò Ì Ü ÑÔÐ Ì Ó ÓÖ Ø Ð ¹ ÖÓÙÒ ÓÙ Ð × ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ò Æ ÖÐÓÚ ÇÄË Ü Ö × × Ü Ö × × ÔØ Ö ½º ½º½º ¾º ¿º º º½º º Ì Ì Ì º ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ü ÑÔÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÅÄ × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó ÅÄ Ó Ò ÔÔ Ò ¸ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ¾ ÇÆÌ ÆÌË º º Ì Ö Ñ Ö¹Ê Ó ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ¿ Ü Ö × × Ü Ö × × ÔØ Ö ½º ¾º ¿º º ÔØ Ö ½º ½º½º ½º¾º ¾º ¾º½º ¾º¾º ¾º¿º ¾º º ¾º º ¿º º º º º º º ÔØ Ö ½º ¾º ¿º º º½º º¾º º¿º º º º º½º º¾º º¿º º º º º º º º º º º º Ì × Ì º ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ø Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ×ÝÑÔØÓØ Ü Ö × × º Ê ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò ÝÔÓØ × × Ø ×Ø× Ò Ý Ü Ø Ð Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÁÑÔÓ× Ø ÓÒ ÈÖÓÔ ÖØ Ì ×Ø Ò Ø¹Ø ×Ø × Ó Ø Ö ×ØÖ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ½ ¾ ¾ F Ø ×Ø Ø ×Ø× Ø ×Ø× ´Ê Ó Ø ×Ø׸ Ä Ö Ø Ó¹ØÝÔ Ø ×Ø× Ó Ø Äʸ Ï Ð Ò × ÓÖ Ø ×Ø× Ö Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø ×Ø×µ Ï Ð ¹ØÝÔ Ë ÓÖ ¹ØÝÔ Ä Ð ÓÓ ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ú Ð Ò ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð× ¼ Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ Æ ÖÐÓÚ Ø Ò Ø ÐØ Å Ø Ó ¾ ÓÓØ×ØÖ ÔÔ Ò Ì ×Ø Ò Ü ÑÔÐ Ü Ö × × º Ò Ö Ð Þ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×ØÙÖ Ò × ÓÒ Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ø Ø× Ó ÒÓÒ×Ô ÄË Ð Ö Ð ×Ø Ñ ØÓÖ ÄË ×Ø ØÝ Ø ÖÓ× ×Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ½ ¾ ¾ ¾ À Ø ÖÓ× ÇÄË Û Ø Ø Ø ÓÒ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ø Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ð ´ Ò µ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ù× × Ø× ÓÒ Ø Ê´½µ Å ´½µ Ò Ö Ò × Û Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖÑ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ¼ ¾ ¿ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ú Ð Ì ×Ø Ò Ä Ü ÑÔÐ × Ü Ö × × ÓÖ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒØ Ú Ö Ð × Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ô Ò ¼ ¼ Ü Ö × × ÇÆÌ ÆÌË ÔØ Ö ½º ¾º ¿º º º Ï º × × × ËØÓ ½ ¾ ¿ Ò Ö Ø ×Ø Ö Ö ××ÓÖ× ¾ ¾ ¿ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö ×ÓÒ Ð Ü Ö × × Ü Ö × × ÔØ Ö ½º ½º½º ½º¾º ½º¿º ½º º ¾º ¾º½º ¾º¾º ¿º ¿º½º ¿º¾º ¿º¿º º Å º ÓÐÐ Ò Ö Ø Ö ØÝ × ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÒ ÙÑÑÝ Ú Ö Ö ØÝ Ö ØÝ Ö ØÝ Ð × ØÓ ÓÐÐ Ò Ø Ø ÓÒ Ó ÓÐÐ Ò Ð Ò Û Ø ÓÐÐ Ò ÖÖÓÖ ×ÙÖ Ñ ÒØ ÖÖÓÖ Ó Ñ ÖÖÓÖ Ó Ñ ½¼½ Ô Ò Ö ÒØ Ú Ö Ð ½¼½ ½¼¾ ½¼¿ Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð ½¼¿ ½¼ Ö ××ÓÖ× ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ½¼ ×ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø ×ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø Ö ××ÓÖ× Å ×× Ò Å ×× Ò Ì Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø × Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö × ÑÔÐ Å ×× Ò Ü Ö × × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ü Ö × × Ü Ö × × Ü Ö × × ÔØ Ö ½¼º ½º ½º½º ½º¾º ¾º Ð Ü Ì Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× ÓÖÑ Ò ÒÓÒÒ ×Ø Ø ×Ø× ½¼ ½¼ ½¼ ØÖ Ò×ÐÓ ÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÒ ×Ø ØÖ Ò×ÐÓ × × ÑÓ Ð ½½½ ½½¿ Ì ×Ø Ò ÝÔÓØ ÔØ Ö ½½º ½º ¾º ¿º º º º½º º¾º º¿º º º º º½º º¾º º ÜÓ Ò ØÝ Ò × ÑÙÐØ Ò ØÝ ½½ ½½ ½½ ½½ ½¾¼ Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÜÓ Ê ÁÎ Á Ò Ù ØÝ ÓÖÑ ÕÙ Ø ÓÒ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒØ Ø ÓÒ Ý Ü ÐÙ× ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ× Ø ÓÒ× Ò³× ÅÓ Ð ½ ½¾¿ ½¾ ½¾ ½¾ ½¿¼ Æ ×× ÖÝ ÓÒ ËÙ ÒØ ÓÒ ÃÐ Ü ÑÔÐ ¾ËÄË Ì ×Ø Ò Ø ÓÚ Ö ÒØ Ý Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ½¿½ ½¿ ½¿ ½¿ ËÝ×Ø Ñ Ñ Ø Ó × Ó ¿ËÄË ÁÅÄ Ü ÑÔÐ ¾ËÄË Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÃÐ Ò³× ÅÓ Ð ½ ½¿ ÇÆÌ ÆÌË ÔØ Ö ½¾º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø × ÓÒ Ð ½ ½ ÔØ Ö ½¿º ½º ¾º ¾º½º ¾º¾º ¾º¿º ¿º º º½º º¾º º¿º º º½º º¾º Ë Ö ÆÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ½ ½ Ö Ú Ø Ú ¹ × Ñ Ø Ó × ½ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ËØ Ô ×Ø × ÒØ Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ë ÑÙÐ Ø Ü ÑÔÐ × × Ö Ø ÓÙÒØ ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ì Ò Ì ÐÓ Ø ÑÓ Ð Ð Ð ÒÒ Ð Ò ½ ¾ ½ ¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ø Ï Ô Ø Ø ÙÐÐ ÑÓ ÐÐ× ÆÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÈÓÓÖ × Ð Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ü Ö × × ÔØ Ö ½ º ½º ¾º ¿º º º º½º º¾º º¿º ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ ×Ø Ñ ØÓÖ× × Ó ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ× ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ÜØÖ ÑÙÑ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ü ÑÔÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ä ×Ø ËÕÙ Ö × ½ ½ ½ ×ÝÑÔØÓØ ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ü ÑÔÐ × Ó Ò ÔÔ Ò ¸ Ý Ø ÑÓ Ò Ð× ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ð ½ ½ ½ ¼ Ò ÖÝ Ö ×ÔÓÒ× Ü ÑÔÐ Ä Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÔØ Ö ½ º ½º ¾º ¿º º º º½º º º º º º½º º¾º º¿º º º º º ½¼º ½½º ½¾º Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ´ Åŵ ½ ½ ½ ½ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÓÓ× Ò Ø Û Ø Ò Ú Ö Ñ ØÖ Ü Ò ¹ ÓÚ Ö Ò Ò Ñ ØÖ Ü ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ Ø ÓÒ× ½ ¿ ½ ¿ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÚ Ö ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò ×Ô ÇØ Ö ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ× ÝÒ Ñ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ×Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÖÓ× Ä × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ× ½ ½ ½ ½ ÇÄË Û Ø Ï ¾ËÄË ÆÓÒÐ Ò Ø ×Ø ØÝ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖÑ ×Ø ËÕÙ Ö × Ö × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× Ð ÓÓ ÕÙ Ø ÓÒ× ½ ½ ½ Å Ü ÑÙÑ Ð Ü ÑÔÐ Ì À Ù×Ñ Ò Ì ×Ø ÆÓÒÐ Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÑÔ Ö Ð ½ ¿ ½ Ü ÑÔÐ ÔÓÖØ ÓÐ Ó ÑÓ ÇÆÌ ÆÌË ÔØ Ö ½ º ½º ¾º ¾º½º ¾º¾º ¾º¿º ÉÙ × ¹ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Î Ö Å ÈË ÑÓ ÑÓ Ø Ð× Ð× Ø Ø Ò Ñ Ü Ø Ú Ò ÒÓÑ Ø Ú Ð ÑÓ ÒÓÑ Ð Ð ÑÓ Ð Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ× ½ ¾¼¼ ¾¼½ ¾¼¾ ¾¼ ¾¼ ¾¼ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ü ÑÔÐ ÁÒ Ò Ø Ò Ø Ø Ñ ÜØÙÖ Ñ ÜØÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ü Ö × × ÔØ Ö ½ º ½º ¾º ¿º º º º º º½º ÆÓÒÐ Ò Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ´ÆÄ˵ Ò Ø ÓÒ ¾½¼ ¾½¼ ¾½½ ¾½¾ ¾½¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Á ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ü ÑÔÐ Ì Ì ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÙÒØ Ø ¾½¿ ¾½ Ù××¹Æ ÛØÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ä Ñ Ø Ä Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð × Ò × ÑÔÐ × Ð Ø ÓÒ ¾½ ¾½ ÓÖ ËÙÔÔÐÝ Ö Ò Ö Ò Ö Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × Ø ×Ø Ò ÔØ Ö ½ º ½º ¾º ¿º ¿º½º ¿º¾º ¿º¿º ¿º º ¿º º ¿º º ¿º º ¿º º º º½º º¾º º¿º º º º º º º½º º¾º Ì ÈÓ×× ÈÓ×× Ì Ð Ð ÆÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ø Ô Ø ¾½ ¾½ ¾¾½ ¾¾¾ ¾¾ ¾¾ ÐÐ× Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÐ× Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÓÙÖ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ ËÓ ÓÐ Ú ÒÓÖÑ ÓÑÔ ØÒ ×× ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Ò× Ò ×× ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Á ÒØ Ø ÓÒ Û Ó ÓÒ ÔØ× Ò Ò Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ Ê Ú × Ù×× ÓÒ Ã ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ× ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÒÙÑ Ö ØÓÖ ¾¾ ¾¾ ¾¿¼ ¾¿¼ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø × Ù×× ÓÒ Ó Ã ÖÒ Ð Ó Ø Ò× ØÝ Û Ò ÓÛ Û ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÖÓ××¹Ú Ð Ø ÓÒ ¾¿½ ¾¿½ Ë Ñ ¹ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ü ÑÔÐ × Ã ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÓ ¾¿½ ¾¿ ¾¿ Ë Ñ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ÅÄ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ø Å ÈË Ø ¾¿ ¾¿ ¾¿ ÔØ Ö ½ º ½º ½º½º ½º¾º ½º¿º ¾º ¾º½º ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ü ÑÔÐ ÅÙÐØ ÒÓÑ Å Ö Ð Ò »ÓÖ ÝÒ Ñ × Ö Ø Ð × ×Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× Ö ×ÔÓÒ× ÑÓ Ð× ¾¿ ¾¿ ¾¿ ¾ ¼ ¾ ½ Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÒØ Ú Ö Ð× ×Ô Ð ÓÓ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÑÓ Ë ÑÙÐ Ø Ü ÑÔÐ Ò Ø ÖÑ× Ó ×ØÓ ´ËÅĵ Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð ÔÖÓ ÇÆÌ ÆÌË ¾º¾º ¿º ¿º½º ¿º¾º º º½º º¾º º¿º º º½º º¾º ÈÖÓÔ ÖØ Å Ø Ó × ÑÓÑ ÒØ× ´ÅËŵ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿ ¾ ¿ Ó ÑÓÑ ÒØ× ´ Ø Ò ×ØÖ Ñ ØÖ Ü ÙØ ÓÒ Åŵ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ×Ø × Ö Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× ÑÓ Ð ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿ ¾ ¿ ¾ Ö ×× ÓÒ ¾ ¾ Ó × ÑÙÐ Ø × ÈÖÓÔ ÖØ ÓÑÑ ÒØ× ÒØ Ñ Ø Ó ÇÔØ Ñ Ð Û ×ÝÑÔØÓØ ÒÓØ Ø ×Ø Ò Ü ÑÔÐ × ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ×ØÓ ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ó ÓÖ ÔØ Ö ¾¼º ½º ½º½º ½º¾º ½º¿º ½º º È Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÔÖÓ Ð Ñ× ÖÐÓ ÓÒÓÑ ØÖ × Ü ÑÔÐ ÅÓÒØ ÅÄ ÅÅ Ã ÖÒ Ð Ö Ð Ó Ö Ô Ý ÔØ Ö ¾½º ½º ¾º ¿º º º Ø Ò Ê Ö Ù ÅÓ Ð Ð Ò Ö ØÓÖ Ð Ò Ð ÔÖÓ Ø ÓÒÓÑ ØÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ê ÑÓ Ð ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ÓÖÑ ÑÓ × ÓÖ Ê ×ÙÐØ× ´Áµ Ì ËÓÐÚ Ò Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Ð Ó Ö Ô Ý ÔØ Ö ¾¾º ½º ¾º ¿º ØØ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ç Ø Ú ×Ø ÖØ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¿ ¾ Ò Ñ ØÖ × ¾ ¾ ¾ × ÓÖØ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Á ÝÓÙ³Ö ÖÙÒÒ Ò ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ö ÒØ ÑÓ × Ä ÒÙÜ Ò×Ø ÐÐ Ø ÓÒººº Ê Ú Û ÔØ Ö ¾¿º ½º ¾º Ê ÆÓØ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ð¹Ú ÐÙ Ò Ø ÓÒ Ó Ú ØÓÖ× × ÕÙ Ò × Ð¹Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÖÑ Ò ×Ø Ö ËØÓ ËØÓ ¿º ¾ ¾ ¾ ×Ø × ÕÙ Ò × ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ× Ò Ò ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð ØÝ Ê Ø × Ó ÓÒÚ Ö ¾ ¾ Ü Ö × × ÔØ Ö ¾ º ½º ¾º Ì Ö Ä Ò× × ÈÄ Ø Ú Ì ÓÑÑÓÒ× ØØ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ÔØ Ö ¾ º ÇÆÌ ÆÌË ½º ½º½º ¾º ¾º½º ¾º¾º ÀÙÖ Ð Ò Ø ÅÓ ÑÓ Ð× ÑÓ × Ö × Ð× Ø ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ¿¼¼ Ñ ÜØÙÖ Ð× ÓÖ Ø Ñ × ÓÒ ÔØ× ÊÅ ÑÓ Ð× Ð Ó Ö Ô Ý ÁÒ Ü Ä ×Ø Ó ½ ¾ ½ ¾ ¿ Ä Ç Ø Ú ÌÝÔ Ð Ü ÑÔÐ Ì Ø ¸ ÇÄË Ð ×× Ð ÅÓ Ø Ð ÙÖ × ½ ½ ½ ¾½ ¾½ ¾¿ ¾ Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ×Ô Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ù ÒØ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÍÒ ÒØ Ö ÍÒ × × R2 Ò ×× Ó ÇÄË ÙÒ Ò Ì Ì ÓÒ Ö Ð ×× Ð Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ð× ¾ ¾ ¾ ¿¼ ¼ Ò ×× Ó ÇÄË Û ××ÙÑÔØ ÓÒ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ê ×ÙÐØ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ê ×ÙÐ ½ ¾ ½ ¾ ¿ ÂÓ ÒØ ÊÌË Ê × Ò × ÁÒ Ú Ù Ð ×ÔÐ Ø × ÑÔÐ Ò Ê ÓÒ× ×Ø Ñ ØÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÑÓ ÖÑ × Þ Ð¸ ×ÓÖØ Ý ÖÑ × Þ Ø ÓÒ Ù Ð׸ Æ ÖÐÓÚ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ù ÙÖ Ê × Ý Ñ ××Ô Ò¹Ï Ø×ÓÒ Ö Ø Ð Ú ÐÙ × Ù Ð× Ó × ÑÔÐ Ù Ð׸ ÃÐ Ò Ø Ò Ø Ö Ö Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÇÄË Ö × ½ ¾ ¿ ½ ¾ ¿ Ò ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ö ØÝ s(β) s(β) Û Û × ÒÓ ÓÐÐ Ò × ÓÐÐ Ò × Ö ØÝ ½¼ ½ Ö ½ ½ Ö Ú Ø Ú × ÙÐÐ ÑÓ Ï Ð ÙÐÐ ÑÓ Ð ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½¼ Ë ÑÔÐ Ì ÁÒ Ö × × Ð Ø ÓÒ Ö Ñ Ø Ó × Ò Ö Ø ÓÒ× Ó × Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó Í× Ò Ä Ä Ó ÅÙÈ ØÓ Ø Ò ÐÝØ ÜÔ Ø Ò Ý Ó ÑÓÒ ÓÓ× ×¸ Ï ÜÔ Ø Ò Ý Ó ÑÓÒ ÓÓ× ×¸ Ñ Ü Ý ÑÓÙÒØ Ò ½ ¾ ÇÄË ÁÎ ÄÁËÌ Ç Á ÍÊ Ë ½½ ½ ¾ ¿ ÌÖÙ ÌÖÙ ÌÖÙ ÌÖÙ Æ Ò Ò × ÑÔÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð ×Ø Ø Ü Ü Ð Ð ÙÒ Ø ÓÒ× × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ¾½ ¾¾¼ ¾¾¼ ¾¾½ ¾¿¿ ¾¿ ¾ ¾ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ò Ò ÑÓÖ ÑÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ×Ø ØÝ Ø Ú ØØ ÒÓÑ Ç Ð Ö Û ÑÓÑ ÒØ× Î Ù× Ú Ö×Ù× Ã ÖÒ Ð ½ ½ ¾ ¿ ½ ËÔ ÙÔ× ÖÓÑ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÁÒÚ ×ØÑ Òظ Ä Ú Ð× ÁÒÚ ×ØÑ Òظ ÁÒÚ ×ØÑ Òظ ÔÖÓ Ö Ñ ÖÓÛØ Ê Ø × ÐØ Ö ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÊÙÒÒ Ò ¾ ¾ ¾ ¿ Ò Ô ×× Ò Ç Ø Ú Ä ×Ø Ó Ì ½ ¾ ¿ ½ ¾ Å Ö Å Ö Ò Ð Î Ö Ò Ð Î Ö Ò ×¸ Ë ÑÔÐ Ò ×¸ Ë ÑÔÐ Ö Ø Ö ÈÓ ××ÓÒ ÀÙÖ Ð ¸ Ç ØØ ÈÓ ××ÓÒ Î Ö ÕÙ Ò ØØ × × Ò Ò ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø Ð × ´ÈÓ ××ÓÒµ ´Æ ¹ÁÁµ ¾¼½ ¾¼ ¾¼ ¾ ¾ ¾ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÙ Ð ØÙ Ð Ò Ò Ö ÕÙ Ò ½¾ À ÈÌ Ê ½ ÓÙØ Ø Ì × Ó ÙÑ ÒØ ÒØ Ø Ö Ø × Ð ØÙÖ Ò ÑÓ Ú ÒØ ÓÖѸ Ø × Ó ÙÑ ÒØ ÓÒ Ý Ö Ö Ø Ù Ø Ö Ð Ú Ð ÓÙÖ× º Ì Ø È º ÇÒ Ø Û Ø ÑÑ Óѹ Ø ÒÓØ × ÓÖ ÔÔÐÝ Ø Ð µ ÔÙØ Ö ÔÖÓ Ö Ñ× Ø Ú Ó Ø Ð Ð ØÝ Ó ÐÐÙ×ØÖ Ø Ð ´ Ò Ó Ø Ñ Ø Ó × Ø Ü ÑÔÐ ×ØÙ Ò Ù× Ò × Ü ÙØ ÔÖÓ Ö Ñ× Û Ø Ú Ö× ÓÒ ÓØ Ö Ó ÙÑ ÒØ × ÓÒ Ò Ú Û × × Ó Ø ×Ý×Ø Ñ Ø Ò Ù× Ò ¸ Û Ò ÔÖ ÒØ ÒÓØ × Ö Ó ÙÑ ÒØ × ØÓ Ø Ô Ö ×ÓÑ Û Ø Ø Ö× ÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖ ÒØ Ö Ö Ø ÜØ ÓÓ º Ñ ÒÝ ÓÓ Ø ÜØ ÓÓ º Ì Á ÝÓÙ Ö ÒÓØ ÒØ Ò × ÒÓØ Ø ×Ù ×Ø ØÙØ Ö ×ØÙ Ú Ð ÒØ Ó Ñ Ò ¸ ÔÐ Ð º Ø Ð ×Ø × ÒØ Ò Ö Ð ×Ø Ò Ø ÙÐÐݺ Ì Ø ÜØ ÓÓ × Ï Ø Ó Û Ó ÑÝ ÚÓÖ Ø × ÑÔ Ð Ó Ö Ô Ýº Ò Ò Ö Ò Û Ø Ð Ò Ø ÛÓÖÐ Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÓÒØ ÒØ׸ Ø Ø ¸ Û Ø Ø Ò Ø Ø ÑÓ Ö×Ø Ð Ò× Ò Ý Ø × × × ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÓÐ × × ØÓÛ Ö Ð ¸ × Ò Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ì Á Ú Ø Ù Ò Ø Ø Ø Ø ÓÙÖ× × ÓÒ ÑÓÖ × ×ÓÑ Û ÑÓÖ Ó Ø Òº Á ÝÓÙ Ø Ø Ø ÝÓÙ Ð Ø Ö Ö Ø ÑÓÑ ÒØ ØÓ Ö Ö ØÓ ÓÔÝ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ ÝÓÙ³ÐÐ × ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÓÒØÖ Ò ÙØ ÓØ Ö Ó ÙÑ Òغ Á ÒÝÓÒ Ñ Ø Ö ÜÔ Ò × Ø ÓÒØ ÒØ׸ Ø ÛÓÙÐ Ú ÖÝ Û Ð ÓÑ º ÖÖÓÖ ÓÖÖ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ× Ð×Ó Û Ð ÓÑ º ½º Ä Ò× × ÐÐ Ñ Ø Ö Ö ÔÖÓÚ Ð× Ö Ö Ø ÓÔÝÖ Ø Ý Å ÆÍ ÖØ Ñ Ð× Ò Ð× Ø Ò Ø Ð Ö Ð Û Ø Ø Ø Ø Ø ÔÔ Ö× ÓÚ º Ì Ý ÙÒ Ø ÖÑ× Ó Ø Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ¸ Ú Öº ¾¸ Û Ö Ò Ø Ú ÓÑÑÓÒ× ØÓ ¸ Ð ØØÖ ÓÖÑ× Ë ¹ Ö Ö Ö Ð Ö ÝÓÙÖ ¾º Ð Ò× ¸ Ø ÓÒ ½ Ó Ø Û ÒÓØ ×¸ ÓÖ¸ Ø ÝÓÙÖ ÓÔØ ÓÒ¸ ÙÒ ÒÓØ ×º Ì × Ñ Ø Ö ÙØ ÓÒ¹Ë Ø ÝÓÙ ÓÖÑ× Ë Ø ÓÒ ¾ Ó Ø Ý Ò ×ØÖ ÙØ × Ñ Ð Ø Ø ÝÓÙ Ò ÒÓÛ × Ø × ÐÓÒ ØÓ ÑÓ ÓÒØÖ ÒÝ Û Ý ÝÓÙ Ð Ö Ð Ñ Ú ÓÖѸ Ð × ÝÓÙ × ÙØ ÓÒ× Ò Ø Ú Ð Û Ý Ø ×ÓÙÖ Ñ Ø Ö Ð ×¸ Ò ØÓ ÝÓÙº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÝÓÙ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø ÑÙ×Ø Ñ Ñ Ø Ö Ð׺ ÓÖ ÝÓÙÖ ÑÓ ¾º Ç Ø Ò Ò Ø Ì Ò Ø Ñ Ø Ö Ø Ð Ð× Ö Ú Ð Ð ÓÒ ÑÝ Û Ô ×ÓÙÖ ×¸ ÝÓÙ³Ö Û ÐÐ ÔÖÓ Ø Ô Ö ØÓºÙ ÐÝ ÐÓÓ Ø Ò º ×»Ñ Ö Ñ Ø Ö Ð× ¸ л Ò Ú Ö ØÝ Ó ÓÖÑ× Ò ÐÙ Ò È Ò Ð Ø Ð ÓÒÓÑ ØÖ ×»º ÁÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ù Ø¸ Û ×ÓÙÖ ×¸ Û Ò ÓÒØÖ Ø Ò ×ÓÑ ÓÖÑ ÒÓÛ¸ ÝÓÙ Ò Ó Ø ÝÓÙ Ð Ä ¸ ÓÖ × Ò ÐÐÓÛ ÝÓÙ ØÓ Ö Ñ Ò ÝÓÙÖ ÓÛÒ Ú Ö× ÓÒ¸ ÖÖÓÖ ÓÖÖ Ø ÓÒ× Ò ÆÍ ÙØ ÓÒ׺ Ì Ó ÙÑ ÒØ Û × ÔÖ Ô Ö × Ö ½ Ù× Ò × Û ´ÛÛÛºÐÝܺÓÖ µ Ò ÛÓÖ Ö Ç Ø Ú ´ÛÛÛºÓ Ø Ú ºÓÖ µº Ä Ò × Ö Ô Ò ÄÌ Û Ø ÝÓÙ × Ø ÝÓÙ Ñ ÔÖÓ ××ÓÖ¸ ÔÔÐ Ø ÓÒ×µ × ÐÐÝ ÛÓÖ Ò Ð ÖÓÒØ Ò ¸ ÀÌÅĸ È ÙÖ ÓÖ Ø ØÓ Ä Ì Ò º ÁØ ´Û Ø × Ú Ö Ð ÓØ Ø Ò ÐÔ ÖÓÑ ÓØ ÜÔÓÖØ ÝÓÙÖ ÛÓÖ Ò Ö ÓÖÑ׺ ÁØ Û ÐÐ ÖÙÒ ÓÒ Ä ÒÙܸ Ø × Ö×Ø Ó ÙÑ Òغ Ö × Ø × ØØ Ö Ø ÓÙ ÕÙ Ð ØÝ Ó Ï Ò ÓÛ׸ Å ÇË ×Ý×Ø Ñ׺ × Ì Ò Ù× ½ × ÓÛ× Ä Ü ÑÔÐ Ý ØÛÓ × Ð×Ó Ö ÆÍ Ç Ø Ú Ø ½ ÔÖÓ Ö Ñ׸ Û ØÓÖ׺ Ì Ó Ö º Ó ÙÑ Òغ Ö × Ù× Ò Ø × Ó × Ò× Ó Ö × ÑÓØ Ú Ø ÓÑ ¸ ÙØ Ä ½¿ ¿º Æ Ë Ï ÌÇ ÍË Ä Æ Ç Ì Î ÌÇ ½ ÙÖ ½º Ä Ø Ö Ç Ø Ú ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ÓÖ Ó Ò Ø Ñ ÔÔÐ ÜØ Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ì Ò Ø Ñ ÖÐÝ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÓÓÐ× Ü ÑÔÐ Ô Ü ×Ø Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Û Ý Ø ×ݺ Ì ÔÖÓ Ö Ñ× Ø× ÙÖ Ò ÐÙ Ò Û Ø ¾ × ÓÛ× Ò × Ñ Ý ÓÒÚ Ò Ó Ð× Ó Ø × ÔÖÓ ÝÓÙ Ó Ø Øº Ì Ò × ÔÓ Òغ Ë ÓÒ Ðݸ Ç Ø Ú ³× Ð Ò× Ò Ö Ðݸ Ø ÖÙÒ× ÓÒ Ä ÒÙܸ Ï Ò ÓÛ× Ø Ý Æ Ø¸ Ò Ø Ò ÐÓ×ÓÔ Ý Å Ç˺ Ø Ò Ç Ø Ú ÐÐ Û Ò ÓÛº ÔÖÓ Ö Ñ Ö ×ÙÐØ Ó ÖÙÒÒ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ¿º Ì Ò Ü ÑÔÐ Ö º ËÙÔÔÓÖØ Ò ×Ý Û Ý ØÓ Ù× Ä Ö Ú Ð Ð × Ð Ò × ØÓ × Ö Ò Ð × ´ Ú × Ø ØÓ ÖÙÒ Ø Ø Ö Ö Ø Ð Ò Ç Ø Ú ØÓ Ð × ÓÒ ÑÝ Û Ð ØÛ Ò Ò Ö º Ì Ð × ¹ Ø Ô Ý ÒØ È Ú Ö× ÓÒ¸ Ð × ÛÓÒ³Ø ÖÙÒ ÔÖÓÔ ÖÐÝ Ý Ö ÓÒÐÝ ÐÐÙ×ØÖ Ø Ú Ó ØÓ Ø Ô Ú Ö× ÓÒ È Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ× Ð × Ò ÖÓÑ ÝÓÙÖ Û Ò ÖÓÛ× Ö¸ × Ò Ô Ò × ÖÓÛ× Ò º ÌÓ × Ô Ó Ø × ÐÐ Ø ÓÛ ØÓ Ù× ÖÙÒ Ø Ñµ¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ ÓÛÒÐÓ × Ø ÓÑ ØÓ Ø Ó ÙÑ Òظ × Ò ×ÙÔÔÓÖØ Ð × ÝÓÙ Û ÐÐ ÔÖÓ Ò Ð × Ö Ü ÑÔР׺ Ì Ò×Ø ÐÐ ÐÝ Û ÒØ ØÓ Ò × Ø Ø Ò ÝÓÙ Ò Ù× Ö Û Ø ÍÊÄ Ó Ø ØÓ ÔÓ ÒØ ØÓ Û Ó Ø Ú ¹ ÓÖ Ú Ð Ì ØÓ Ò Ð º Ö Ú Ö Ø ÐÐ Ó Ø Ç Ø Ú × Ñ Ý ×ÓÙÒ º Ì ¸ ØÓ Ò×Ø ÐÐ Ç Ø Ú Ø ×º Ò × Ø ÓÑÔÐ Ø Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ × È Ö ÐÐ ÐÃÒÓÔÔ Ü ÊÇź ÁØ ÓÒØ ØÓ Ø Ø × Ò× ×ØÖ ÓÓØ ÙØ ÓÒ Ó Ä ÒÙÜ × Ò ÁËÇ Ñ Ð Ø Ø Ø Ñ Ý × ÐÐ Ó Ø ÙÖÒØ ØÓÓÐ× Ð ¹ ÖÓѹ Ç Ø Ú Ø ÒÙ»Ä ÒÙÜ ×Ý×Ø Ñ Ø Ü ÑÔÐ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ñ׸ Ø Ø Ñ¸ Ó ÙÑ Òظ ÖÙÒ Ø Ø º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø Û ÐÐ Ò × Ò Ø Ñ ØÓ Ñ Ø ÓÒ׸ × Ø º ÝÓÙÖ ÐÐÓÛ ÝÓÙ ØÓ ÙØ ÓÙØ ×Ñ ÐÐ ÔÓÖØ ÓÒ× Ó Ä Ì ´ÓÖ Ì µ ÒÓØ × Ð × ÓÖ Ò ÐÙ× ÓÒ Ò ÙØÙÖ Ø Ø× Ø Ú Ö× ÓÒ׺ Ì Ó ÖÖÓÖ ÓÖÖ Ø ÓÒ׸ Ò ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ö Û Ö ÝÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ö¸ Û ÐÐ ÒÓØ ØÓÙ º ÃÆÇÏÆ Í Ë ½ ÙÖ ¾º Ç Ø Ú Ö ÒØÓ Á ÝÓÙ Ø ×ØÙ × ÙÒÐ ×× ÝÓÙ ×ØÖ Ø Ø ÜÔÐ ØÐÝ Ø ÐÐ Ø ØÓ Ó ×Óº Ì Û ÐÐ Ö ×ÓÒ Û Ý Ø ÔÔ Ö ÒØ × ÒÓØ × Ö ÒØ Ö Ø Ä ÒÙÜ ÓÒ³Ø ÓÒ Ø ÙØ ÓÒ ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø Ö Ò ÝÓÙ³Ö ÒÓØ ÒØ Ö ×Ø ØÓ ÝÓÙ Ø ØÓ × ÔØ Ö ¾¼º Ù×Ø ÒØ Ö ×Ø ÒÓÖ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò ¸ ÔÐ ÔÔ Ò ØÓ ÔØ Ö ¾¼º Ø³× ÒÓØ Ö Ð Ø ÓÒÓÑ ØÖ ×º Á ÝÓÙ Ô ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò ÙØ ÒÓØ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ù×Ø × º ÃÒÓÛÒ Ì × × Ø ÓÒ × Ö Ñ Ò Ú Ö× ÓÒ Ö× Ö ÓÖÖ Ø¸ Ö ØÓ ÑÝ× Ð ØÓ ØÖÝ ØÓ × ÝÔ ÖÐ Ò × ØÓ ÙØ Ø Ð Ò × Ö Ù × Ü Û Ø Ø Ò ×º ÛÖÓÒ ÙÖ º Ì ÙÖ × Ø ÙÑÔ ØÓ Ø Ù × • Ì ÒÙÑ È ÒÓغ Ô×¾Ô À ÈÌ Ê ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÓÒÓÑ Ø Ð ÓÖÝ Ø ÐÐ× Ù× Ø ÓÒÓÑ Ø Ò Ò Ú Ò ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÓ Ð× × ×ÓÑ Ø Ò Ù Ð³× x = x(p, m, z) • • • • ËÙÔÔÓ× Ô Ö Ó Ì Ò x × Ø ÕÙ ÒØ ØÝ p × G × 1 Ú ØÓÖ Ó m × Ò ÓÑ z × Ú ØÓÖ Ó ÓØ Ö Ò × Û Ú × × Ù Ð × ÑÔÐ Ñ Ò ÔÖ × Ó Ø ÓÓ Ò Ø× ×Ù ×Ø ØÙØ × Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ× Ö Ú Ö Ð × ×Ù × Ò Ú Ù Ð Ö Ø Ö ×Ø × Ø Ø Ø ÔÖ ¹ ÓÒ× ×Ø Ò Ö Ö Ó ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ò n Ò Ú Ò Ù Ð׳ Ú Ñ Ò × Ø Ø Ñ t ´Ø Ú ÖÓ×× × Ø ÓÒ ¸ Û Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ× i = 1, 2, ..., n Ü × Ø Ù Ð× Ò Ø × ÑÔÐ µº xi = xi (pi , mi , zi ) Ì ÑÓ Ð × ÒÓØ Ì ËÓÑ Ô ÓÔÐ Ù×Ø ×Ø Ñ Ð × Ø ×Ø Ò ×¸ × Ò Ñ Ò ÙÒ Ø ÓÒ × Ý ÒÓØ ÐÙÒ Ö ÒØ ÓÖ Ð Ò Ö ØÓ ÐÐ • • ÓÖÑ Ó Ø i. ÑÓ Ð Öº Ø Ø Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ö Ý Û ÐÐ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ó ÓÒ³Ø Ý ÐÓÓ Ò Ø Ø Ø Ø zi Ñ × Ñ Ó × ÖÚ Ú ÖÝ Û Ò Ý¸ Ò ÓÙØ× ÝÓÙ Ò³Ø Ø ÐÐ Û Ñº ËÙÔÔÓ× Ð zi ÒØÓ Ø Ó × ÖÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ× wi ×Ø Ô ØÓÛ Ö × Ò Ò × Ò Ð ×Ø Ñ ÙÒÓ × ÖÚ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ εi º Ø ØØ ÑÓ ÐÑ Ý ÛÖ ØØ Ò ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ð × ØÓ ×ÙÔÔÓ× ′ xi = β1 + p′ βp + mi βm + wi βw + εi i Ï Ú ÑÔÓ× Ì ÐÐ Ç ÒÙÑ Ö Ó Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Û Ò ÔÖ Ò ÔÐ Ø Ñ Ý ÓÖ Ø Ð ÑÓ Ö ÓÖ ÐÐ Ð • • • • Á Û ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× ÐÓÒ ØÓ Ø xi (·) i Ø Ú Ò Ö ×ØÖ Ø ØÓ × Ñ Ô Ö Ñ ØÖ × Ó Ñ Ðݺ Ú Ö ×ØÖ Ø ÑÓ Ð ØÓ Ø Ð ×× ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò Ø Ú Ö Ö Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ׸ Û Ó Ð Ò Ì Ì Ð × ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÓÒ×Ø ÒØ Ð ÖÓ×× Ò Ú Ù Ð׺ Ò Û ××ÙÑ Ø Ø × Ð ×Ø Ò Ò ¸ Ø Ú º ÕÙ Ø ÓÒº Ò Ò Ò ÓÖ ÙØ Ò Ö ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö × Ò × Ò Ð ÙÒÓ × ÖÚ ÓÑÔÓÒ Òظ ××ÙÑ Ö ÓÖ Ø Ð ØÓ Ù× ÒÓØ ÓÙØ Ø ÒØ× ØÓ Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ü ×Ø Ò Ö Ð ǫ¸ Û Ø Ò Ò Ø ÐÛ Ý× ÛÖ Ø × β Ó × Ò× Ð ÓÒÓÑ Ñ ÓÙØ Ø Ú × ÑÔÐ ØÓ Ñ × Ò Ö Ò × Ö Ú Ð٠׸ Û ØÓ Ñ Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ì Ø ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø ÒÓ Ø Ó ÓÖ Ø Ð Ñ Ò ÒØ ÓÒ Ø × × ×¸ Ø Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÒ ØÓÔ Ó Ø Ó× ØÝ Ó ÒÝ Ö ×ÙÐØ× Û Ò Ø Ð Ø Ø Ð ×Ø Ø Ø ×Ø Ó Ø ØÓ ÔÖÓÚ Ø × ÑÓ Ü ×Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ì Ø ÓÒ Ð Û ÐÐ Ò Ù× Ò Ð Û ÐÐ ÓÖ Ø Ö ×ÓÒ ÓÒØ Ò × Ö ×ÓÒ¸ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÖÖ Øº ÑÓ Ð × Ñ× ØÓ ×Ô Ø ÓÒ Ø ×Ø Ò Ò Û Ö ÓÒÓÑ ¸ ØÓ ÑÓ Ð × Ð º ÇÒÐÝ Û Û Ù× Ø ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò ÐÝ× ×º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÖÖ Ø × ÓÙÐ ½ ¾º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÇÆÇÅÁ Æ ÇÆÇÅ ÌÊÁ ÅÇ ÄË ½ Ï Ò Ø ×Ø Ò ÝÔÓØ Ø Ø × × × × × Ù× Ò ÒÙÐÐ Ð× Ò ÝÔÓØ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ × × Ð¸ Ø Ð ×Ø Ø Ö ØÓÖ× Ò Ù× ×Ø Ø ×Ø Ð Ø ×Ø ØÓ Ö ´½µ Ø ´¾µ ´¿µ Ø ÝÔÓØ ØÝÔ Á ÖÖÓÖ × Ó ÙÖ Ð × ÒÓØ ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ×Ó Ø Ø ×Ø Ó × ÒÓØ Ú Ø ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ ××ÙÑ ×ØÖ × Ò Ñ ÙØ ÓÒ ÒØ ÌÓ Ð ØÓ Ñ ÙØ Ò ÔÖÓ Ö ×׸ Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ö ÓÚ Ò×ÙÖ Ø Ø Ø Ø Ö Ö ×ÓÒ ÐÝ Ö Ø Ù × ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓ Ø Ö Ø Ö Ö Ø ÓÖ Û Ý ØÓ Ö Ö ×ÓÒ׺ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø ÀÓÔ ÙÐÐÝ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÓÒ Û ÐÐ Ü ÑÔÐ Ñ ÑÓ×Ø Ð × Ø Ð Ö×Ø ÓÖ × ÓÒ Ð Ø Û Ñ ÒÝ ÔÓ×× Û ÐÐ Ó Ø ×ÓÙÖ × Ó Ñ ××Ô Ø ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ð׺ ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ× Û ×Ô ÓÖ Ò Ö ×ÙÐØ× ×ÙÔÔÓ× Ò Ü Ñ Ò Ø ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ Ø ÓÒ Ð × Ò × ÒØ Ö ÐÝ ÓÖÖ ØÐÝ ×ÓÑ Ñ Ø Ó × Ø × º Ä Ø Ö Û Û ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ñ ÒØ ÑÓ Ò ÓÒ× ÕÙ Ò × Ó Ñ ××Ô º Ä Ø Ö ÓÒ¸ º Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö ÓÒÓÑ ØÖ Ñ Ø Ó × Ø ØÓ Ñ Ò Ñ Þ ÒØÖÓ Ù À ÈÌ Ê ¿ ÇÖ Ò ÖÝ Ä ×Ø ËÕÙ Ö × ½º Ì ÓÒ× ÑÓ Ð Ø Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ö Ð Ä Ò Ö ÅÓ y Ù× Ò Ø Ú Ö Ð Ð × x1 , x2 , ..., xk º Ï Ò ÓÒ× Ö Ø × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð × Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ä Ò Ö ØÝ ÑÓ β0 : 0 0 0 y = β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ǫ ÓÖ¸ Ù× Ò Ú ØÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ y = x′ β 0 + ǫ Ì Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð y Ú ÐÙ × Ð ×¸ × Ð Ö Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ò Ð ¸ Ú ØÓÖ Ó Ñ Ò× Ø Ò ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö × × Ø ØÖÙ β0 =( 0 β1 0 β2 Ó Ø Û ÙÒ ÒÓÛÒ Ô Ö Ñ Ø Öº ÁØ Û ÐÐ x = ( x1 x2 · · · xk ) 0 ′ · · · βk ) . Ì ×ÙÔ Ö× Ö ÔØ Ò ÑÓÖ ′ × ¼ Ò k¹ β0 ÔÖ × ÐÝ Ð Ø Ö¸ Ù×Ù ÐÐÝ ×ÙÔÔÖ ×× Ø Ø Û Ú Ö Ò Ò Ú Ò Ø³× ÒÓØ Ò ×× ÖÝ ÓÖ Ð Ö Øݺ Ø Ø ØÓ ØÖÝ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö ×Ø Ð Ò Ó Ø Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ý ×ÓÑ ÓÖÑ Ó ËÙÔÔÓ× ØÓ Û ÒØ ØÓ Ù× Ð × y Ù× Ò ½ Ø º x. Ì × ÑÔÐ Ò Ù Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ × {(yt , xt )} , t = 1, 2, ..., n yt = x′ β + εt t Ì ´½µ Û n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ × y = Xβ + ε, Ö y= Ä Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ y1 y2 · · · yn Ð× Ö ÑÓÖ ′ × Ò Ö Ð Ø Ú Ö n×1 Ò X= Ý Ñ Ò Ø Ø x1 x2 · · · xn Ö×Ø ÔÔ ′ º ÓÒ Ò ÑÔÐÓÝ Ö¸ × Ò Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ó Ø Ð × ϕ0 (z) = Û Ò Ø Ö Ø ϕ1 (w) ϕ2 (w) · · · ϕp (w) Ò Ò Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ó ¹ ÓÙ Ð × ÑÓ β+ε Ð × ØÓ ÑÓ Ð φi () Ö ÒÓÛÒ ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÓÖ y = ϕ0 (z), x1 = ϕ1 (w), Ø º Ð ÓÖÑ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ¿º β β z = Aw2 2 w3 3 exp(ε) Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ ÐÓ Ö Ø Ñ ÐÐÝ ØÓ Ó Ø Ò ln z = ln A + β2 ln w2 + β3 ln w3 + ε. Á Û Ò y = ln z, β1 = ln A, Ø º¸ Ö Ò Ø Û Ò ÔÙØ Ø ÑÓ Ð Ò Ø ÓÖÑ Ò Ú Ö º Р׺ Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÙØ ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ Ð Ò Ö Ò Ø ½ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÖÓ××¹× Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ý Ó Ø Ò Ý Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò º Ì Ñ × Ö × Ø ÙÑÙÐ Ø ×ØÓÖ ÐÐݺ ½ ¾º ËÌÁÅ ÌÁÇÆ Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ½ ÙÖ ½º ÌÝÔ Ð Ø ¸ Ð ×× Ð ÅÓ Ð 10 data true regression line 5 0 -5 -10 -15 0 2 4 6 8 10 X 12 14 16 18 20 ¾º ÙÖ ÑÓ Ø Ò Ö Ð ½¸ Ó Ø Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ý Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ÌÝÔ Ð Ö Ò Ð Ò Û Ö ÓÒ³Ø Ø Ø Ø ºÑ × ÓÛ× ×ÓÑ × Ø Ö ØÖÙ Ö Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ð Ò Ò Ö Ì Ö ×× ÓÒ Ð Ò ÖÖÓÖ Ø Û ÐÐ Ö Ø × Ø Ý ÖÙÒÒ Ò yt = β1 + β2 xt2 + ǫt º ÖÓ×× × Ö Ø Ø Ô Ò ÒØ Ó ÓÒÐÝ β1 + β2 xt2 ¸ Ø ÓÑ × Ñ Ð ÔÓ ÒØ× (xt2 , yt ), ÓÛ Ø Ò Û ǫt × Ö Ò ÓÑ × Ö Ò Ø Ò Þ ÖÓ Ö Ð Ø Öº Ò × Ò xt2 º Ú Ø ÓÙØ Ø Ü ØÐÝ Ø ¸ ×ØÖ ´ÇÄ˵ Ò Ð Ò ÁÒ ÔÖ Ø ¸ Û ØÓ Ì ×ÙÑ Ó Ø ÒÓÛ Û ×Ø Ø× Ø Ò Ò Ð Ò Ð ×º Ï Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ð Ò ÔÓ ÒØ׺ Ú ÐÙ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ × Ø ÓÖ Ò ÖÝ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×ÕÙ Ö ÖÖÓÖ× ×Ø Ñ ØÓÖ × ˆ β = arg min s(β) Û Ö n s(β) = t=1 yt − x′ β t 2 = y′ y − 2y′ Xβ + β ′ X′ Xβ = Ì × Ð ×Ø Ò Ö Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ Ñ ×Ø Ò ØÛ × Ò Ø Ð Ö = (y − Xβ)′ (y − Xβ) y − Xβ ÓÛ Ø ØØ × × Ö 2 ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÇÄË Ó × ÒØ× Ö Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Þ × Ø Ø Ó× ×Ø Ñ Ø Ø Ú Ø Ù Ð ×Ø Ð Ò Ù Ð y ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ×Ø Ò º ÇÒ Xβ. Ì y Ù× Ò x × Ò Ø Ò Ó ÓØ ÙÒ Ø ÓÒ׸ Û ×Ø Ñ ØÓÖ× × Ò× Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ñ ØÖ ×º ÓÖ ÓÙÐ ÙÔÓÒ ÓØ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Û ÐÐ × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø Û Ñ ØÖ × Ø ÒÓ Ø ×ÓÐÙØ Ò Ø ×Ø Ò Ñ¸ ´Å µ Ñ Ò Ñ Þ × ×Ø Ñ ØÓÖ × ×Ø Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ×Ø Ø ×Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÔÖÓÔ ÖØ × Ó n t=1 |yt − x′ β|º t ǫ¸ Ä Ø Ö¸ Û Ö Ø Ò Ò Û ×¸ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ø Ú Ô Ò × ÙÔÓÒ Ø ÓÙØ Û × Ý Ø Ñ ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ¿º ÇÅ ÌÊÁ ÁÆÌ ÊÈÊ Ì ÌÁÇÆ Ç Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ¾¼ • ÌÓ Ñ Ò Ñ Þ Þ ÖÓ Ø Ö Ø Ö ÓÒ s(β), = Ò Ø Ö Ú Ø Ú Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ β Ò × Ø Ø ØÓ Dβ s(β) ˆ ˆ Dβ s(β) = −2X′ y + 2X′ Xβ ≡ 0 ×Ó −2X′ y + 2X′ Xβ ˆ β = (X′ X)−1 X′ y. • ÌÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø × × Ñ Ò ÑÙѸ Ø × ÓÒ ÓÖ Ö ×Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ 2 ˆ Dβ s(β) = 2X′ X Ë Ò ρ(X) = K, Ø × Ñ ØÖ Ü × ÔÓ× Ø Ú Ò Ø ¸ × Ò ×Ó Ø³× ÕÙ Ö Ø ÓÖÑ Ò Ôº º Ñ ØÖ Ü ´ ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Ö Ø Ø Ú • • • Ì Ì ÆÓØ ØØ Ú ÐÙ × Ö × Ù Ð× Ö Ø Ø n)¸ ˆ ˆ Ú ØÓÖ y = Xβ. ˆ ØÓÖ ε = y − Xβ ˆ Ö ˆ β × Ò Ø Ñ Ò Ñ Þ Öº y = Xβ + ε ˆ ˆ = Xβ + ε • Ð×Ó¸ Ø Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ× Ò ÛÖ ØØ Ò × ˆ X′ y − X β Û Ö × ØÓ × Ý¸ Ø ÙÐÐݺ ÇÄË Ö × Ù Ð× Ö ˆ X′ y − X′ Xβ = 0 = 0 X′ ε = 0 ˆ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Xº Ä Ø³× ÐÓÓ Ø Ø × ÑÓÖ ¿º Ð Ò º ÆÓØ ÖÙÒÒ Ò Ø Ø Ø Ø Ç Ø Ú ÓÛ Ø Ð Ò ¸ Ò ÓÑ ØÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ¾ × ÓÛ× Ø ØÝÔ Ð Ð Ò Ø ØÓ Ö Ø ¸ ÐÓÒ Û Ø × Ò Ø ÙÖ Ò ØÖÙ Ö Ö ×× ÓÒ Ø Ý ØÖÙ Ð Ò ×Ø Ñ Ø ØºÑ º ظ Ò Ö Ö Òغ Ì Û × Ö Ø ¿º½º ÁÒ X, Y ËÔ º ÔÖÓ Ö Ñ ÇÐ× × Ø× Ø ÓÙ Ò ØÓ × Ö Û Ýº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø ÓÛ Ø ØØ Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÓ× Ú ÐÙ × ØÓ × ØÓ Ø ØÖÙ Û ÐÐ ×ÓÑ Ø Ñ × ×ÓÑ Ø Ñ × Ö Ø ¿º¾º ÁÒ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ ËÔ º Ù× ÓÒÐÝ ØÛÓ ÓÖ Ø Ö ØÖÝ ØÓ Ù× Á Û ¿¸ Û ³ÐÐ Ò ÓÙÒØ Ö Ø Ò³Ø Ú Á Û Û ÒØ ØÓ ÔÐÓØ Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ×Ô ¸ Û ³ÐÐ Ò Ò ÓÙÒØ Ö ×ÓÑ ÖØ ×Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ó Ø Ð Øݸ ×Ó Ð Ø³× Ù× Ð ØÓ Ó Ö º Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ ÓÖ Û ³ÐÐ Ð Ñ Ø× Ó ÑÝ ØÛÓº Ï Ø ÓÒÐÝ ØÛÓ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Û K > 1. Ø Ò Ø Ø Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÓÒØÓ Ø Ø × Ø ÓÖØ Ó ¹ • Ï Ò ÓÑÔÓ× y ÒØÓ ØÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ× ×Ô ÒÒ Ý K− ε. ˆ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô ˆ X ¸ X β, ×Ù Ô ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒØÓ Ø n−K ε ˆ × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø ×Ô Ò Ó X, • Ë Ò ×Ô ÒÒ Ø Ð ˆ β × Ó× Ò ØÓ Ñ Ý × × ÓÖØ × ÔÓ×× Ð ¸ X. Ë Ò X × Ò Ø ′ˆ × ×Ô ¸ X ε = Ø Ø ε Û ÐÐ ˆ 0. ÆÓØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø Ø Ø Ø ºÓº º Ø Ø ×Ô Ò ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ ÑÔÐÝ Ø × × ×Óº ¿º ÇÅ ÌÊÁ ÁÆÌ ÊÈÊ Ì ÌÁÇÆ Ç Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ¾½ ÙÖ ¾º Ü ÑÔÐ ÇÄË Ø data points fitted line true line 15 10 5 0 -5 -10 -15 0 2 4 6 8 10 X 12 14 16 18 20 ÙÖ ¿º Ì Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ×Ô Observation 2 y e = M_xY S(x) x x*beta=P_xY Observation 1 ˆ ¿º¿º ÈÖÓ Ø ÓÒ Å ØÖ ×º X β × Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó y ÓÒØÓ Ø ×Ô Ò Ó X, ÓÖ ˆ X β = X X ′X Ì Ö ÓÖ ¸ Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ø ÔÖÓ Ø× −1 X ′y X × y ÓÒØÓ Ø ×Ô Ò Ó PX = X(X ′ X)−1 X ′ × Ò ˆ X β = PX y. º ÁÆ ÄÍ ÆÌÁ Ä Ç Ë Ê Î ÌÁÇÆË Æ ÇÍÌÄÁ ÊË ¾¾ ε ˆ Ó × Ø ÔÖÓ Ï Ø ÓÒ Ó Ú Ø Ø y ÓÒØÓ Ø Xº N −K Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô Ø Ø × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø ×Ô Ò ˆ ε = y − Xβ ˆ = ËÓ Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ø ÔÖÓ Ø× = y − X(X ′ X)−1 X ′ y ×Ô In − X(X ′ X)−1 X ′ y. ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø ×Ô Ò Ó y ÓÒØÓ Ø X × MX = In − X(X ′ X)−1 X ′ = In − PX . Ï Ú ε = MX y. ˆ Ì Ö ÓÖ y = PX y + MX y ˆ ˆ = X β + ε. Ì × ØÛÓ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ñ ØÖ × ÔÓÖØ ÓÒ Ø Ø Ð ÓÑÔÓ× × Ò Ø Ø n K Ñ Ò× ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô y ÒØÓ ØÛÓ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Ý ÓÑÔÓÒ ÒØ× ¹ Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ø Ø Ð X, Ò Ø × Ò Ø Ø Ø ÓØ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð • ÆÓØ MX Ö ×ÝÑÑ ØÖ Ò ÑÔÓØ Òغ ′ ×ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü A × ÓÒ ×Ù Ø Ø A = A. Ò ÑÔÓØ ÒØ Ñ ØÖ Ü A × ÓÒ ×Ù Ø Ø A = AA. PX Ò ÓÒÐÝ ÒÓÒ× Ò ÙÐ Ö ÑÔÓØ ÒØ Ñ ØÖ Ü × Ø ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Üº n−K Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô º Ì º ÁÒ Ù ÒØ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ò ÓÙØÐ Ö× Ì ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø ith Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ β0 y × × ÑÔÐÝ ˆ βi = (X ′ X)−1 X ′ i· = c′ y i Ì Ë Ò Û ÑÓÖ × × Ø³× Ø× Ö ÓÛ Û Ð Ò Ò Ð Ò Ö ×Ø Ñ ØÓÖ ¹ Ø³× Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð ¸ Û Ö Ð º Ø Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ý Ø Ö׺ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ö ÒØ Ú Ö Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ò ÓØ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ö ××ÓÖ׸ ×ÓÑ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ñ Ý Ò Ù Ò ÌÓ ÒÚ ×Ø Ø ×¸ Ð Ø et In º Ò n Ú ØÓÖ Ó Þ ÖÓ× Û Ø Ò 1 Ò Ø Ø th ÔÓ× Ø ÓÒ¸ º º¸ Ø³× tØ ÓÐÙÑÒ Ó Ø Ñ ØÖ Ü ht = (PX )tt = e′ PX et t ×Ó ht × Ø Ø th Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÒ Ð Ó PX º ÆÓØ Ø Ø ht = ×Ó PX et 2 2 ht ≤ et ËÓ =1 0 < ht < 1º Ð×Ó¸ T rPX = K ⇒ h = K/n. º ÁÆ ÄÍ ÆÌÁ Ä Ç Ë Ê Î ÌÁÇÆË Æ ÇÍÌÄÁ ÊË ¾¿ ÙÖ º Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ù ÒØ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Data points fitted Leverage Influence 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 0.5 1 1.5 X 2 2.5 3 ËÓ Ø Á Ø ÇÄË Ú Ö Ð Ú Ö Ó Ø ht × K/nº Ö Ø Ì Ò Ú ÐÙ Ú Ö ht ×Ö ÖÖ ØÓ ×Ø Ð Ú Ö × Ø Ò Ù ÒØ Ð Ó Ø ÔÓØ ÒØ Ù Ó × ÖÚ Ø ÓÒº Ð ØÓ ØÓ Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ó × ÑÙ ¸ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ð×Ó ÓÒÐÝ Ø ÑÔÓÖØ ÒØÐݺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ö Ø Ò Ø Û ÓÖ Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ý Ý¸ Û yt ¸ Ö Ø ÌÓ Ø Ø × ÑÙÐØ ÔР׸ ÓÒ× × Ö ÇÒ Ô Ò × ÓÒ Ø Ø ÓÙÒØ Ø × Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ò × ÓÛ ´× β Û Ø ÓÙØ Ù× Ò Ú ×ÓÒ Ò xt ³×º th Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ´ t ×¹ ÓÖ Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ β (t) ). Å Ã ÒÒÓÒ¸ ÔÔº ¿¾¹ ÔÖÓÓ µ Ø ˆ ˆ β (t) = β − ×Ó Ø Ò Ò Ø tth Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ØØ 1 1 − ht ′ (X ′ X)−1 Xt εt ˆ × Ú ÐÙ ˆ ˆ x′ β − x′ β (t) = t t Ï Ð Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ñ Ý Ð Ò Ø Ó ×º Ò Ù ÒØ ×Ø Ñ Ö ØÓ × Ø Ð Ò× Ó Ø ht 1 − ht Ó ×Ò³Ø ÒØ Ý Ò Ó Ø Ò εt ˆ Ø Ø× ÓÛÒ Ò Ù ÒØ ØØ Ú ÐÙ ¸ Ø ÖØ ÒÐÝ × Ò Ù ÒØ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × × ØÓ ÔÐÓØ ht 1−ht ÙÖ εt ˆ ´Û Ú × Á Û ÐÐ Ö Ü ÑÔÐ ÓÛÒ Ò Ù Ò Ø ¸ ظ Ð Ú Ö Ó × ÖÚ Ø ÓÒµ Ò Ù Ò º Ì Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó tº Ó ÔÐÓØ Ó Ç Ø Ú Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ × ÁÒ Ù ÒØ Ø ÐÇ × ÖÚ Ø ÓÒºÑ º Á ÝÓÙ Ö ¹ÖÙÒ Ø Ú ÐÙ Ó Üµ × ÔÖÓ Ö Ñ ÝÓÙ Û ÐÐ × ÐÛ Ý× ¸ Ò Ø Ð Ú Ö Ð ×Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ´ Ò ÓÙØÐÝ Ò º Ø Ö Ò Ù ÒØ ÒØ Ðº ÈÓ×× Ð Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ò Ù Ò × ×ÓÑ Ø Ñ × Ö Ø Ø ¸ ÓÒ Ò × ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ý º Ø Ý Ö Ò Ù¹ Ù× × Ò ÐÙ ÒØÖÝ ÖÖÓÖ¸ Û Ò × ÐÝ ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÒØÖÝ ÖÖÓÖ× • • Ø Ö Ú ÖÝ ÓÑÑÓÒº ×Ô Ð ÒØ ÓÒÓÑ Ò Ø ØÓÖ× Ø Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ø Ø ×ÓÑ Ò Ø ÑÓ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ к Ì × × Ø Ì × ÛÓÙÐ Ò Ò ØÓ Ò • Ì Ö ÔÙÖ Ü ×Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× Ñ Ý ÒÓØ Ú Ù× Ø ÓÒ×Ø ÒØ ÖÓ×× ÐÐ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ Ð ØÝ Ó × ÖÚ Ø ÓÒº Ö Ò ÓÑÒ ×× Ñ Ý Ù× ØÓ × ÑÔÐ ÓÛÒÛ ÐÓÛ¹ÔÖÓ Ö׺ ÖÓ Ù×Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × Ø Ø ÓÙØÐ º ÇÇ Æ ËË Ç ÁÌ ¾ º Ì ØØ ÑÓ Ð × ÓÓ Ò ×× Ó ˆ ˆ y = Xβ + ε Ø Ì Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ Ù Ø ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ y ′ y = β ′ X ′ X β + 2β ′ X ′ ε + ε′ ε ÙØ Ø ´¾µ Ì Ñ Ð Ø ÖÑ Ó Ø ÊÀË × Þ ÖÓ × Ò X ′ ε = 0¸ ˆ ×Ó ˆ ˆ ˆˆ y ′ y = β ′ X ′ X β + ε′ ε ÙÒ ÒØ Ö 2 Ru × Ò × 2 Ru = 1 − ε′ ε ˆˆ y′y = = ˆ ˆ β′X ′X β y′y PX y 2 y 2 = cos2 (φ), Û Ö φ • × Ø Ì Ò Ð ÙÒ ÒØ Ö ÙÖ ¸ Ø ØÛ Ò y Ò Ò Ø × × ×Ô Ò Ó Û X º R2 ÓÒ×Ø ÒØ ØÓ ÓÒ×Ø Òظ × Ò ÓÑÑÓÒ y, × Ò Ø × Ö Ò Ð Ò × φ ´× Ý ÐÐÓÛ Ú ØÓÖ ÒÓØ Ø³× ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ñ 45 ×ÙÖ × Ø Ò Ó ¹ ÙØ ÓÒ × ÖÚ Ø ÓÒ ×Ô µº Ö¸ ÑÓÖ ÓÒØÖ ÙÖ º ÍÒ ÒØ Ö R2 Ó Ø Ú Ö Ð ×¸ ÓØ ×ÙÖ × Ø Ö Ø Ò Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖѸ ØÓ ÑÓ Ð ØÓ ÜÔÐ ÜÔÐ Ò Ø Ò Ò Ú Ö Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ò y. Ì Ù× Ø Ñ ÙÒ ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø Ñ Òº Ø ÓÒ Ó y ÓÙØ Ø× Ø ÓÒ Ð × ÑÔÐ º ÌÀ Ä ËËÁ Ä ÄÁÆ Ê Ê Ê ËËÁÇÆ ÅÇ Ä ¾ Ä Ø ι = (1, 1, ..., 1)′ , n ¹Ú ØÓÖº ËÓ Mι = In − ι(ι′ ι)−1 ι′ = In − ιι′ /n Mι y Ñ Ù×Ø Ö ØÙÖÒ× Ø ÕÙ Ø ÓÒ ¾ Ú ØÓÖ Ó ÓÑ × Ú Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø Ñ Òº ÁÒ Ø ÖÑ× Ó Ú Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø Ò¸ ˆ ˆ ˆ y ′ Mι y = β ′ X ′ Mι X β + ε′ Mι ε ˆ Ì ÒØ Ö 2 Rc × Ò × 2 Rc = 1 − Û Ö ESS ε′ ε ˆˆ =1− ′M y y ι T SS n t=1 (yt ESS = ε′ ε ˆˆ Ø Ø Ò T SS = y ′ Mι y ÓÒØ Ò× ËÙÔÔÓ× Ò X ÓÐÙÑÒ Ó ÓÒ × ´ − y )2 º ¯ º º¸ Ø Ö × ÓÒ×Ø ÒØ Ø Öѵ¸ X ′ε = 0 ⇒ ˆ ×Ó εt = 0 ˆ t Mι ε = ε. ˆ ˆ ÁÒ Ø × × ˆ ˆ ˆˆ y ′ Mι y = β ′ X ′ Mι X β + ε′ ε ËÓ 2 Rc = Û Ö RSS T SS ×Ô ×Ô ÒÒ Ý ˆ ˆ RSS = β ′ X ′ Mι X β • ËÙÔÔÓ× Ò ÓÒ Ø Ø ÓÐÙÑÒ Ó Ø ÓÒ × × Ò Ø X ´PX ι = ι), Ø Ò Ò × ÓÛ Ø 0≤ 2 Rc ≤ 1. º Ì ÍÔ ØÓ Ø × ÔÓ ÒØ Ø ÑÓ ×ÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÑÓ × Ø Ð¸ Ò Ø Ð Ö Ð ×× Ð Ð Ò Ö Ö Ö ×× ÓÒ ÑÓ Ð × ÑÔØÝ Ó ÓÒØ ÒØ ÝÓÒ Ö Ø × ÒÓ ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ú ÒÓ ×º Ì Ð Ò Ø ÓÒ Ó ×Ø Ð Ò Ö ÓÒÓÑ ÓÒØ ÒØ ØÓ Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û Ø y Ò Ö ×× ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó ÓÒÓÑ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Ì Ð Ò Ö Ô ÖØ Ö Ú Ø Ú y Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ xj ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × y = β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ǫ Ì Ô ÖØ Ð Ö Ú Ø Ú × ∂ǫ ∂y = βj + ∂xj ∂xj ÍÔ ØÓ ÒÓÛ¸ Ø Û Ò Ô Ò ÑÓ Ø º ØÓ Ñ ÓÒ Ø × Ø Ö ³× ÒÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø ∂ǫ ∂xj ¼º ÓÖ Ø β ØÓ Ú Ø Ö Ò ÓÒÓÑ Ñ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö Ö ÓÖ Ò Ò ¸ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ì Ö Ø ÓÒº ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø Ø ØÓ Ñ Ö ×× ÓÒ ÓÒÓÑ Ò Ð ×Ø Ö ÓÒ× Ï ³ÐÐ ×Ø ÖØ Û Ø Ø Ö Ð Ð ×× Ð Ð Ò Ð ×Ø Ð¸ Û Ì Ò ÓÖÔÓÖ Ø × ×ÓÑ × ØÓ Ð ØÓ ÜÔÐ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø Ò ×ÓÑ ÔØ Ø ÖÐÝ ÒÓØ Ö ÓÒ ÔØ× Û Ø Ø Û Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ò Ø Û Ø ÓÒ Ù× ÓÒ ÑÓÖ Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÐÙØØ Öº ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ä Ø Ö Û ³ÐÐ Ö ×ÙÐØ× ØÓ Û Ä Ò Ö ØÝ ´¿µ ÓÖ¸ Ù× Ò Ø ÑÓ Ð × Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ β0 : 0 0 0 y = β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ǫ Ú ØÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ y = x′ β 0 + ǫ º ËÅ ÄÄ Ë ÅÈÄ ËÌ ÌÁËÌÁ Ä ÈÊÇÈ ÊÌÁ Ë Ç ÌÀ Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÇÊ ¾ ÆÓÒ×ØÓ Ø ´ µ Û Ò Ö Ú × Ö Ò ×Ø Ð Ò ÖÐÝ Ò Ø× ÒÙÑ Ô Ò Ò ÒØ Ö Ö ××ÓÖ× X × Ü Ñ ØÖ Ü Ó ÓÒ×Ø ÒØ׸ K¸ Ö Ó ÓÐÙÑÒ׸ 1 lim X′ X = QX n QX Ù Ð × Ò Ø Ø× Ó Ø ÔÓ× Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Üº Р׺ Ì × × Ò ØÓ Ð ØÓ ÒØ Ý Ø ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö ÁÒ ´ µ Ô Ò ÒØÐÝ Ò ÒØ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ÖÖÓÖ× ǫ ∼ IID(0, σ 2 In ) ×ØÖ ÙØ ÁÁ º Ì × ÑÔÐ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÔÖÓÔ ÖØ × ε × Ó ÒØÐÝ ÀÓÑÓ× ´ µ ×Ø ÖÖÓÖ× 2 V (εt ) = σ0 , ∀t ÆÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ´ µ ÇÔØ ÓÒ ÐÐݸ Û ÖÖÓÖ× E(εt ǫs ) = 0, ∀t = s Û ÐÐ ×ÓÑ Ø Ñ × ××ÙÑ Ø Ø Ø ÖÖÓÖ× Ö ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ º ÆÓÖÑ ÐÐÝ ´ µ ×ØÖ ÙØ ÖÖÓÖ× ǫ ∼ N (0, σ 2 In ) º ËÑ ÐÐ × ÑÔÐ ×Ø Ø ×Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ø ÍÔ ØÓ ÒÓÛ¸ Û ÐÛ Ý× ÙÔÓÒ Ø ÓÐ º ÆÓÛ Û Ú Û ÐÐ ÓÒÐÝ Ü Ñ Ò Ü Ñ Ò Ñ º ×Ø Ø ×Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ × Ó Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ø × Ô Ò Ø ×º Ì ×Ø Ø ×Ø Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÒÙÑ Ö ÔÖÓÔ ÖØ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Û º½º ÍÒ × Ò ×׺ Ï Ú ˆ β = (X ′ X)−1 X ′ y º Ý Ð Ò Ö Øݸ ˆ β = (X ′ X)−1 X ′ (Xβ + ε) = β + (X ′ X)−1 X ′ ε Ý Ò E(X ′ X)−1 X ′ ε = E(X ′ X)−1 X ′ ε = (X ′ X)−1 X ′ Eε = 0 ×Ó Ø ÇÄË ÙÖ Û × Ð ÙÐ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÒ × ÓÛ× Ø × ÙÒ Ö Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ø ÖÐÓ Ð ×× Ð ÑÓ Ö Ø Ðº ×Ø Ñ ØÓÖ Ö Ö ×ÙÐØ× Ó ×Ñ ÐÐ ÅÓÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û ÐÛ Ø Ø Ø × ÍÒ ÇÄË ÓÖ ½¼¼¼¼ × ÑÔÐ × ÖÓÑ Ø Ð ×× Ð ÑÓ Ò × ÔÐÓØ Ø 2 σε = 9¸ Ò x × Ü ÖÓ×× × ÑÔР׺ Ï Ø y = 1+2x+ε¸ Û β2 ÔÔ Ö× ØÓ × ºÑ ¸ n = 20¸ ×Ø Ñ Ø Ð ØÓ Û Ø ÓÙØ ×º Ì Ø × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø ×º × Ø ¸ Ø ÖÐÓ Ò Ö Ø × Ø ÝÓÙ ÛÓÙÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ï Ø Ö ×ÙÐØ× Ó Ø Ñ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ Ó Ø Ò Ö Ø ÇÄË × º ÙÖ × ÓÛ× Ø ÓÖ ×Ñ ÐÐ ÅÓÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ð Û Ø ÓÐ ×Ø Ñ ØÓÖ Û × Ð ÙÐ Ø Û Ö ½¼¼¼ × ÑÔÐ × ÖÓÑ Ø ÁÒ Ø Ø × × ¸ × Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ê´½µ ÑÓ yt = 0 + 0.9yt−1 + εt ¸ Ø Ö Ö ××ÓÖ× Ö n = 20 Ò 2 σε = 1º Ø Ø Ó × ÒÓØ ×ØÓ ×Ø º Ï Ò × ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó β2 × ÓÙØ ¹¼º¾º º ËÅ ÄÄ Ë ÅÈÄ ËÌ ÌÁËÌÁ Ä ÈÊÇÈ ÊÌÁ Ë Ç ÌÀ Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÇÊ ¾ ÙÖ º ÍÒ × Ò ×× Ó ÇÄË ÙÒ Ö Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× Beta hat - Beta true 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 ÙÖ º × Ò ×× Ó ÇÄË Û Ò Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ Ð× Beta hat - Beta true 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Ì Ø ×º ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ò Ö Ø × Ø ÔÐÓØ × × ºÑ ¸ ÝÓÙ ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø º¾º ÆÓÖÑ Ð Øݺ × ÜÓ Ð Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ò Øݵ¸ Ø Ï Ø Ø Ð Ò Ò Ø Ö ØÝ ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û Ú ˆ β = β + (X ′ X)−1 X ′ ε. ÑÔÐ Ì × εº ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð ØÝ ´ ¸ Û × ×ØÖÓÒ 2 ˆ β ∼ N β, (X ′ X)−1 σ0 × Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ × ÔÔ Ö× ØÓ Ð×Ó ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ×ØÖ º ÁØ Ò ÙØ º ÁÒ ÙÖ ÝÓÙ Ò × ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ø × ÒÓÖÑ ÐÐÝ º ËÅ ÄÄ Ë ÅÈÄ ËÌ ÌÁËÌÁ Ä ÈÊÇÈ ÊÌÁ Ë Ç ÌÀ Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÇÊ ¾ ×ØÖ Ø ÙØ Ñ Ý Ð º ¸ × Ò Ø ÓÖ Ø Ò ØÓ Ü ÑÔÐ ¸ Ð È ´× ÁÁ Ø Û Ø ¸ Ø Ø Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñµ × ÒÓÖÑ Ð ÖÖÓÖ׺ Ú Ò Û Ð Ð Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð ØÝ × Ó Ø Ò ÕÙ ×Ø ÓÒ Ô Ò × Ö Ø ÒØ Ú Ö ×ØÖ Ð × Ø Ò Ø Ú ÒÙÑ Ö Ó ÙØÓÑÓ ÓÖ × ÑÔÐÝ ØÖ Ô× Ô Ö ×ØÖ ÙØ º ÙÒØ Ò Û ¸ Ø × ÓÙÒØ Ú Ö Ð × Ò ÙØ ÓÒ¸ × Ø Ù× ÒÓØ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ú Ð٠׸ Û Å ÒÝ Ú Ö ÓÒÓÑ × Ò Ø ¾ ÓÒ ÓÒÐÝ ÒÓÒÒ ¸ ×ØÖ ØÐÝ ×Ô Ò ¸ ÖÙÐ × ÓÙØ ÒÓÖÑ Ð Øݺ º¿º Ì ÆÓÛ Ð Ø³× Ñ Ú Ö Ò Ó Ø ÐÐ Ø Ð ×× Ð Ò Û ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÒÓÛ Ø Ø Ü ÔØ Ø ËÓ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ø ÓÖ Ñº Ú ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð Øݺ Ï ˆ β = β + (X ′ X)−1 X ′ ε ˆ E(β) = β º ˆ β−β ˆ V ar(β) = E ˆ β −β ′ = E (X ′ X)−1 X ′ εε′ X(X ′ X)−1 2 = (X ′ X)−1 σ0 Ì Ø ÇÄË Ô Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ð ¸ × Ð Ò Ö ×Ø Ñ ØÓÖ ¸ ˆ β = Û Ñ Ò× Ø Ø Ø × Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ú Ö y. (X ′ X)−1 X ′ y = Cy Û × ÓØ Ö Ð×Ó C × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö ÔÖ × ÒØ ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ Ð × ÓÒÐݸ ÒÓØ Ø × Û ÔÖÓÚ Ô Ò ÓÚ º ÇÒ ÒØ Ú Ö ÓÙÐ Ð º ÓÒ× ÁØ Ö ÙÒ × Ø× ÙÒ Ö Ø Ø Ö X Ø Ø Ò ×ÓÑ ÓØ Ö Ð Ò Ö ×Ø Ñ ØÓÖº Ï ³ÐÐ ˜ ×Ø ÐÐ Ò× ×Ø ÙÔÓÒ ÙÒ × Ò ×׺ ÓÒ× Ö β = W y, Û Ö W = W (X) × ×ÓÑ k × n Ñ ØÖ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ó X. ÆÓØ Ø Ø × Ò W × ÙÒ Ø ÓÒ Ó X, Ø × ÒÓÒ×ØÓ ×Ø ¸ ØÓÓº Á Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÒ × ¸ Ø Ò Û ÑÙ×Ø Ú W X = IK Ö Û Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó W E(W y) = = = ⇒ E(W Xβ0 + W ε) W Xβ0 β0 WX Ì Ú Ö Ò Ó = IK ˜ β × 2 ˜ V (β) = W W ′ σ0 . Ò D = W − (X ′ X)−1 X ′ ×Ó W = D + (X ′ X)−1 X ′ Ë Ò W X = IK , DX = 0, ×Ó ˜ V (β) = = D + (X ′ X)−1 X ′ DD′ + X ′ X −1 2 D + (X ′ X)−1 X ′ σ0 2 σ0 ′ ¾ ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ñ Ý Ð Ð ÙÒ Ö Ø ÓÓ ÑÓ ÑÓ Ðº Ì × Ð ÒÓÒ Ø Ð ×׸ × ÐÓÒ Ñ × Ø Ò ÔÖÓ Ò Ð Ö Ð ØÝ Ó ÒÓÙ Ò Ø Ú Ú ÐÙ Ó ÙÖ Ò Ú Ö × Ò Ô Ò × ÙÔÓÒ Ø Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø Ò º º ËÅ ÄÄ Ë ÅÈÄ ËÌ ÌÁËÌÁ Ä ÈÊÇÈ ÊÌÁ Ë Ç ÌÀ Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ËÌÁÅ ÌÇÊ ¾ ÙÖ º Ù××¹Å Ö ÓÚ Ê ×ÙÐØ Beta 2 hat, OLS Ì ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ËÓ ˜ ˆ V (β) ≥ V (β) Ì Ò ÕÙ Ð ØÝ × × Ñ ¹ × ÓÖØ Ò Ø Ò Ñ Ì Ò× Ó × × × ÜÔÖ ×× Ò ¸ ÑÓÖ ÔÖÓÓ Ó Ø ´ ÄÍ ÓÖÑ ÐÐݸ Ø Ø ÔÓ× Ø Ú Ñ ØÖ Üº Ö ÙÒ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ì µº ˜ ˆ V (β) − V (β) ÓÖ Ñº Ì × ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ×Ø Ð Ò ×Ø Ñ ØÓÖ • ÁØ × ÛÓÖØ ÑÔ × Þ Ò Ø ¸ Ò Ø Ø Û Ú ÒÓØ Ù× Ø ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÖÖÓÖ× Ö ÒÓØ ÒÝ Û Ý ØÓ ÔÖÓÚ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ø × ÐÓÒ × Ø ÓØ ÓÖ Ñ¸ ×Ó Ø × Ú Ð Ö ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÐ º ÌÓ Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø × ÑÔÐ Ø ÒØÓ Ò Ù××¹Å Ö ÓÚ Ö ×ÙÐظ ÓÒ× Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ù× Ò Ø Ö ×ÙÐØ× Ø Ð ÖÓÑ ×ÔÐ ØØ Ò Ø × Ô Ö Ø ÐÝ Ø Ø × p × ÕÙ ÐÐÝ¹× Þ Ò ¸ Ø ÙØ Ô ÖØ׸ Ö ×ÙÐØ Ò ×Ø Ñ Ø Ò Ô ÖØ Ó Ý ÇÄ˸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ÇÄË Ø Û ÑÓÖ Ú Ö p Ò ×Ø Ñ ØÓÖ׺ ÓÙ × ÓÙÐ ÇÄË ØÓ × ÓÛ Ø Ì × ÙÒ ÒØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÖÐÓ ×Ø Ñ ØÓÖº ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÝºÑ ÐÐÙ×ØÖ Ø × Ø Ò × Ù× Ò ×Ñ ÐÐ ÅÓÒØ ÜÔ Ö Ñ Òظ Û Ø × Ø Ò Ö Ø Ò ÓÑÔ Ö × Ø ÔÖÓ ×× ÙÖ × ×ØÓ Ö Ñ ÓÐÐÓÛ× Ò Ö ×Ø Ñ ØÓÖ ¿¹Û Ý ×ÔÐ Ø × ÑÔРи Û Ø ×Ø Ñ ØÓÖº Ì ØÖÙ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ ′ Ð ×× Ð ÑÓ Ò × Ò ÖÖÓÛº Ú Ò Ø Ó Ø Ø n = 21º Ì β = 2. Ø Ð× Ó ÁÒ Ø× Ø Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÑÓÖ Òظ × Ò Ï Ø Ú Ö ˆ E(β) = β Ò ÓÖ Ò Ö ØÓ ˆ V ar(β) = Ú Ò XX Ó Ø −1 2 σ0 , ÙØ Û ×Ø ÐÐ Ò Ø ØÓ ×Ø Ñ Ø 2 ǫ¸ σ 0 ¸ ÔÖ × ÓÒ Ó ×Ø Ñ Ø × Ó βº ÓÑÑÓÒÐÝ Ù× 2 ×Ø Ñ ØÓÖ Ó σ0 × 2 σ0 = Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÒ × 1 ε′ ε ˆˆ n−K º ÅÈÄ ÌÀ Æ ÊÄÇÎ ÅÇ Ä ¿¼ ÙÖ º Ù××¹Å Ö ÓÚ Ê ×ÙÐ Ì ×ÔÐ Ø × ÑÔÐ ×Ø Ñ ØÓÖ Beta 2 hat, Split Sample Estimator 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2 σ0 = = 2 E(σ0 ) = = = = = = Û Ø × Ö Û Ù× Ø Ø Ø Ð×Ó ÙÒ Ø 1 ε′ ε ˆˆ n−K 1 ε′ M ε n−K 1 E(T rε′ M ε) n−K 1 E(T rM εε′ ) n−K 1 T rE(M εε′ ) n−K 1 σ 2 T rM n−K 0 1 σ 2 (n − k) n−K 0 2 σ0 Ò ÓØ ÔÖÓ Ù Ø× Ö ÓÒ ÓÖÑ Ð º Ì Ù׸ × ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ T r(AB) = T r(BA) Û × ÙÒ Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × º º½º Ì Ð Ú Ð ×ÓÐÚ Ü ÑÔÐ Ì ÓÖ Æ ÖÐÓÚ ÑÓ ÖÑ Ø Ø Ø Ø Ð w Ò × Ó Ø ÓÙØÔÙØ ÕÙ ÒØ Ø ÒÔÙØ× ÓÖ Ø Ð Ú Ò¸ Ø ÖÓÙÒ º × ÒÔÙØ ÔÖ × q Ø × Ó×Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ ÓÓ× x ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ min w′ x x ×Ù Ø ØÓ Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ f (x) = q. º ÅÈÄ ÌÀ Æ ÊÄÇÎ ÅÇ Ä ¿½ Ì ×ÓÐÙØ ÓÒ Ø × Ø Ú ØÓÖ Ó ØÓÖ ØÓÖ Ñ Ò × x(w, q)º Ì Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ × Ó Ø Ò Ý ×Ù ×Ø ØÙØ Ò Ñ Ò × ÒØÓ Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Cw, q) = w′ x(w, q). • ÅÓÒÓØÓÒ ØÝ ÁÒ Ö × Ò ØÓÖ ÔÖ × ÒÒÓØ Ö × Ó×ظ ×Ó ∂C(w, q) ≥0 ∂w × Ö Ú Ø Ú × Ú Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ Ò × ´Ë Ô Ö ³× Ê Ñ Ñ Ä ÑÑ µº Ö Ø Ø Ø • ÀÓÑÓ Ò ØÝ Ì Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ C(tw, q) = tC(w, q) Û Ö t × Ñ Ò × Ö Ð Ø Ú Ö ÓÑÓ Ò ÓÙ× Ó Ö ÔÖ ×º Ì × ÓÑÓ Ò ÓÙ× Ó Ì × Ö × ½ Ò Ù× ÒÔÙØ ÔÖ × Ø Ô Ò ØÓÖ ÙÔÓÒ × Ð Ö ÓÒ×Ø Òغ Þ ÖÓ Ò ØÓÖ ÔÖ × ¹ Ø Ý ÓÒÐÝ • Ê ØÙÖÒ× ØÓ × Ð Ø Ö ØÙÖÒ× ØÓ × Ð Ô Ö Ñ Ø Ö γ × Ò × Ø ÒÚ Ö× Ó Ð ×Ø ØÝ Ó Ó×Ø Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÓÙØÔÙØ γ= q ∂C(w, q) ∂q C(w, q) × Ø × Û Ö × × Ø Ó −1 ÓÒ×Ø ÒØ Ö ØÙÖÒ× ØÓ × Ð Ó×Ø Ò Ö × × Ò Ø Ò Ö × Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò q ÑÔÐ × Ø Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ½ ½º Á Ø Ì × ¸ Ø ¹ ÓÙ Ð × Ð º ÓÖ γ = 1º ÓÖÑ × Ð Ò Ø Ö Ö º¾º Ò Ø Ö ÐÓ Ó ¹ ÓÙ Ð × ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖѺ Ö ¹ Ö ××ÓÖ× Ò Ø Ó ÓÙ Ð × Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ø Ñ× Ó Ø Ô Ò ÒØ Ú Ö × Ø ÓÖÑ Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ g ØÓÖ׸ Ø β C = Aw1 1 ...wg g q βq eε Ï Ø × Ø Ð ×Ø ØÝ Ó β C = Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ wj eCj w ∂C ∂WJ wj C β −1 β = βj Aw1 1 .wj j ..wg g q βq eε β wj β β1 Aw1 ...wg g q βq eε Ó Ð Û Ø ÒØ× Ö ×Ý = βj Ì ØÓ × × ÓÒ Ó Ø Ö Ø ×ÓÒ× Ø Ý Ö Ø Ó ¹ ÓÙ Ð × × Ó Ø ÓÖÑ × ÔÓÔÙÐ Ö ¹ Ø Ô Ò ÒØ Ú Ö ÒØ ÖÔÖ Ø¸ × Ò Ð ×Ø Ø Ø Ò Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö Ð º ÆÓØ Ø × × ¸ eCj w = ∂C ∂WJ wj C wj C βj = sj (w, q)º Ì = xj (w, q) ≡ sj (w, q) Ø Ó×Ø × Ö Ö × Ø Ö Ø ÆÓØ Ó Ø j th ÐÓ ÒÔÙغ ËÓ Û Ø Ó ¹ ÓÙ Ð × Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ó×Ø × ÓÒ×Ø ÒØ׺ Ø Ö Ö Ø Ñ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ó Ø Ò ln C = α + β1 ln w1 + ... + βg ln wg + βq ln q + ǫ Û Ö α = ln A º ËÓ Û × Ø Ø Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ð × Ð Ò Ö Ò Ø ÐÓ × Ó Ø Ø º º ÅÈÄ ÌÀ Æ ÊÄÇÎ ÅÇ Ä ¿¾ ÇÒ Ò Ú Ö Ý Ø Ø Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÀÇ ½ ÑÔÐ × Ø Ø g βg = 1 i=1 ÁÒ ÓØ Ì Ö ÛÓÖ ×¸ Ø ÝÔÓØ Ó×Ø × Ø Ø Ö × ÙÔ ØÓ ½º Ü Ø× ÊÌË ÑÔÐ × Ø Ø × × Ø Ø ÒÓÐÓ Ý γ= ×Ó 1 =1 βq Ø Ø Ð Ò Ó ÒØ× Ø βq = 1. Ä Û × ¸ ÑÓÒÓØÓÒ ØÝ ÑÔÐ × Ø Ì º¿º Ì Ò Û Ö Æ ÖÐÓÚ Ø Ò ÇÄ˺ Ì βi ≥ 0, i = 1, ..., gº ÓÒØ Ò× Ø Ò Ø Ø Ö ÓÒ ½ ÓÖ Ø Ð ØÖ ÍºËº¸ Ö Ò ÖÐÓÚ º ÙØ Ð ØÝ ÓÑÔ Ò ×³ Ó×Ø Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ¸ ÓÙØÔÙØ Ý Åº Æ ÖÐÓÚ º ÒÔÙØ ÔÖ ×º Ì Ö Ý ÖÓÛ¸ ÓÐÐ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÐÙÑÒ× ÇÅÈ Æ ¸ ÇËÌ (C)¸ ÇÍÌÈÍÌ (Q), ÈÊÁ Ç Ä Í Ä (PF ) Ò ÈÊÁ Ç ÈÁÌ Ä (PK ). ÆÓØ Ø Ø Ø Ð Ú Ð ´Ø Ï ´ µ Ù× Ò ¸ Ò ÇÄ˺ ÌÓ Ø Ð Ø Û ÐÐ Ö ÓÐÙÑÒµº Ø Ó ¹ ÓÙ Ð × ÑÓ Ð ×Ø Ñ Ø ÇÊ (PL )¸ ÈÊÁ Ø Ö ×ÓÖØ Ç Ý ÓÙØÔÙØ ln C = β1 + β2 ln Q + β3 ln PL + β4 ln PF + β5 ln PK + ǫ ÓØ × ÝÓÙÖ× Ð ¸ ÝÓÙ Ò Ø Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ ¸ × Û ÐÐ × Æ ÖÐÓÚ ºÑ ´Ø Ø Ø ÓÖÑ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖ Ö ÖÝ Ó Ç Ø Ú × Ö Ó ÙÑ Òغ ÙÒ Ø ÓÒ× Ñ ÒØ ÓÒ ¿ Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ç Ø Ú × Ø ÓÒ ¾¾ Ó Ø Ì Ö ×ÙÐØ× ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¾ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º½ ¿ ¿ Ê ×ÙÐØ× ´ÇÖ Ò ÖÝ Ú Ö¹ ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖµ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ×Ø Ñ Ø ¹¿º ¾ ¼º ¾¼ ¼º ¿ ¼º ¾ ¹¼º¾¾¼ ×غ ÖÖº ½º ¼º¼½ ¼º¾ ½ ¼º½¼¼ ¼º¿¿ ع×Ø Øº ¹½º ½º¾ ½º º¾ ¹¼º Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼ ¼º¼¼¼ ¼º½¿ ¼º¼¼¼ ¼º ½ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ • • • Ï Ð Û Ó Ø Ó × Ø Ï Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÑÓ Ó ÝÓÙ Ø Ç Ø Ú Ð Ø Û ÐÐ Ò ÓÙØ ÊÌË ÔÖÓ Ö Ñ× Ù× × Ü ÑÔÐ × Ð ÖÒ Ò Ò Ø × Ó ÙÑ Òظ × Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÐ Û ÐÐ Ù× ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ñ Ý ×Ø Ø Ñ ÒØ× × Ò ÑÓÖ ÙÐ Û Ý Ó Ò ÐÝ ÓÛ Ø ÓÖÝ × ÔÙØ ÒØÓ ÔÖ Ø ¸ ÝÓÙ Ó Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×º Á × Ä Ö Öݺ Ì ÖØ ÐÝ × × Ò ÐÓØ ÒØ Ö ×Ø Ù× Ö¹ Ö ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÓÖ Ò Ö ÓÑÑ Ò ×Ý ØÓ Ù× ¿ Ö Øи Ø ÔÖÓ Ö Ñ¸ Ø ÒÙ Ê Ú ÓÓØ Ö ×× ÓÒ¸ Ò ¸ ÝÓÙ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ö Ò ¸ Ò Ì Ñ ¹Ë Ö Ò Ð Ð Ð Ò Ð × ¸ Ú ËÔ Ò × ¸ Ò Ö Ø ÓÑ × Û Ø Á ÝÓÙ Ö ÖÙÒÒ Ò ÐÐ Ó Ø × Ò×Ø ÐÐ Ý ØÓ ÖÙÒº Ê ÁË Ë ¿¿ Ó Ò Ø Ö Ý ØÓ Ù× º ÁØ Ø Ð ÖÓÑ ÅÓ Ú Ò × Ò ÓÔØ ÓÒ ØÓ × Ú × ÓÙØÔÙØ × ÄÌ Ö Ø Ñ ÒØ׸ ×Ó Ø Ø Á Ù×Ø Ò ÐÙ ÑÓ Ö ×ÙÐØ× ÒØÓ Ø Ê Ð ¾ ÌÄ ÇÄË Ó ÙÑ Òظ ÒÓ ÑÙ×׸ ÒÓ Ù×׺ À Ö Ö ×ÙÐØ× Ó Ø Æ ÖÐÓÚ ×Ø Ñ Ø × Ù× Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö ËØ º Ø Ð ½ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ½ Ó×Ø Î Ö ÓÒ×Ø Ð Ð Ð Ð Ð Ó ÒØ ÖÖÓÖ t¹×Ø Ø ×Ø Ô¹Ú ÐÙ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø −3.5265 0.720394 0.436341 0.426517 −0.219888 Š˺ Ò Ó º Ó Ô Ò Ô Ò ÒØ Ú Ö ÒØ Ú Ö Ö × Ð 1.77437 0.0174664 0.291048 0.100369 0.339429 Ð −1.9875 41.2445 1.4992 4.2495 −0.6478 1.72466 1.42172 21.5520 0.392356 0.925955 0.923840 437.686 145.084 159.967 Ö ×ÙÐØ׺ Ù× Ò Ö ØÐ × Ò ÐÙ Ê 0.0488 0.0000 0.1361 0.0000 0.5182 ËÙÑ Ó ×ÕÙ Ö ËØ Ò ÍÒ Ö Ù×Ø Ù×Ø Ù Ð× Ù Ð× ´σ µ ˆ ÖÖÓÖ Ó Ö × R2 ¯ R2 F (4, 140) Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ Ë Û ÖÞ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ ÓÓØ Ð Ö ØÐ Ò Ý × Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ö ÙÔÓÒ Ø ÑÝ ÇÄË ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø Ù× Ò × Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº Ç Ø Ú º ÓÐ ÓÖ Ò Ø Á Ö ÓÑÑ Ò ÌÄ ØÓ Ö Ô Ü ÑÔÐ × Ø Ì ÔÖÓÔ ÖØ ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ø ÇÄË × ÑÔÐ ÙÐ ØÓ Ö Ú × Þ ×º Û Ø º ÓÖ ÅÄ ÓÒ× Ö Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÙÒ Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ø × Ù× ÖÖÓÖ× Ø ØÛÓ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ × Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ò º Ü Ö × × ´½µ ÈÖÓÚ ´¾µ Ø Ø Ø Ø ×ÔÐ Ø × ÑÔÐ ÇÄË Ü Ö × × ØÓ Ò Ö Ø ÑÓ Ð Ù× Ò ÙÖ × ÙÒ Ò × º Ê Ìĸ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ø Ð ÙÐ Ø ÔÖÓÚ ×Ø Ñ Ø × Ó Æ ÖÐÓÚ Ç Ø Ú ÔÖ ÒØÓÙØ× Ó Ø Ò Ò ÐÝ× × Ó Û Æ ÖÐÓÚ Ê Ð Ú ÑÓ Ðº Ø Ö ×ÙÐØ׺ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø × Ù×׺ Ø Ö × Ù Ð× Ò Ö Ö Ö ×ÙÐØ׺ Ò Ù ÒØ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÖ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ ´¿µ Ó Ó Ø ´ µ Í× Ò ÝÓÙ Ìĸ Ø Ü Ñ Ò Ø Ø Ø Ö ÇÄË Ô Ò ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ø Ø Ò Ø ÐÐ Ñ ×ØÖ ÙØ Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ ÖÖÓÖ× Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ØÓ Ò Ó ÒÓÖÑ Ð × Û ÖÖ ÒØ ÝÓÙ Ø ´ µ ÓÖ Ò Ö º ÆÓ Ò Ö Ð Ú Òظ ÓÖÑ Ð Ø ×Ø׸ Ѻ Ù×Ø ÐÓÓ ÔÐÓØ׺ ÈÖ ÒØ ÓÙØ ÒÝ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Û Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ ÓÒ ÓÖÑ Ð b B Ö Ñ ØÖ × Ó ÓÒ×Ø ÒØ× Ð ØØÐ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ú Ö Ø Ö × Ø × Ø Ò X ∼ N (µx , Σ), Ø × Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó AX + b¸ Û Ö A Ò ´ µ Í× Ò Ü Ç Ø Ú ¸ ÛÖ Ø Ñ ØÖ × Ó Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö׺ ÆÓØ T r(AB) = T r(BA) ÓÖ A Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ º Ò Ê ÁË Ë ¿ ´ µ Ø ÓÖ Ø ÑÓ ÐÛ Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ò Ø × Ò Ð Ø Ø Ö Ö ××ÓÖ¸ Ò Ó Ø yt = β1 +β2 xt +ǫt ¸ Û ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø × × Ð ×× Ð × Ø × ÑÔÐ ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ ÔÖÓÚ × Þ Ò Ö × ×º Ú Ö Ð Ò × ØÓ Þ ÖÓ À ÈÌ Ê Å Ü ÑÙÑ Ð Ì × Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÐÓÛº Ð ÓÖ Ø Ø ÓÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ð ×× Ð Ð Ò × Ð ÓÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ø × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÖÖÓÖ׸ Ø Û Ø ÓÙØ ÖÖÓÖ× Ö ÅÄ Ò Òظ ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò Ö ÑÓ Ø Ð Û Ø ÓÖÝ × × ÓÛÒ ÒÓÖÑ Ð × ÔÖ × ÒØ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ø × ÓÒ β Ö × Ñ ¸ ×Ó Ø ÓÙÖ× ¸ ÒÓÒÐ Ò Ø Ö º ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÓ Ü ÑÔР׺ ÁÒ ¸ Ò Ð Ó Ø Ð× Û Ø ÒÓÒÒÓÖÑ Ð ÒØÖÓ Ù Ü ÑÔÐ × Ñ Ý ÓÙÒ ½º Ì ËÙÔÔÓ× Ò× ØÝ Ó Ú ØÓÖ Û Ú × ÑÔÐ Ó × Þ Ò Ð nÓ Z= Ð ÓÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ y Ò Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ× zº ËÙÔÔÓ× Ý Ø Ó ÒØ Y = ψ0 : Ó ÒØ y1 . . . yn z1 . . . zn × Ö Ø Ö Þ Ô Ö Ñ Ø Ö fY Z (Y, Z, ψ0 ). Ì × × Ø Ò× ØÝ Ó Ø × ÑÔÐ º Ì × Ò× ØÝ Ò ØÓÖ × fY Z (Y, Z, ψ0 ) = fY |Z (Y |Z, θ0 )fZ (Z, ρ0 ) Ì Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × Ù×Ø Ø × Ò× ØÝ Ú ÐÙ Ø Ø ÓØ Ö Ú ÐÙ × ψ L(Y, Z, ψ) = f (Y, Z, ψ), ψ ∈ Ψ, Û Ö Ì Ψ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô º Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø Ø Ó ψ0 ×Ø Ú ÐÙ Ó ψØ ØÑ Ü Ñ Þ ×Ø Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒº ρ0 × Ö ÒÓ Ð Ñ ÒØ׸ Ø Ò Ø Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ð Ð ¹ ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ fY |Z (Y |Z, θ) Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ θ × Ø × Ñ × Ø Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ fY Z (Y, Z, ψ) = fY |Z (Y |Z, θ)fZ (Z, ρ)¸ ÓÖ Ø Ð Ñ ÒØ× Ó ψ Ø Ø ÓÖÖ ¹ ×ÔÓÒ ØÓ θ º ÁÒ Ø × × ¸ Ø Ú Ö Ð × Z Ö × ØÓ ÜÓ ÒÓÙ× ÓÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó θ ¸ Ò Û Ñ Ý ÑÓÖ ÓÒÚ Ò ÒØÐÝ ÛÓÖ Û Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ fY |Z (Y |Z, θ) ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ× × Ó ×Ø Ñ Ø Ò θ0 º ÆÓØ Ò Ò Ø ÓÒ ½º½º Ì θ0 Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ö Ò Ð Ô Ò ÓÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ð Ð ÓÓ θ0 = arg max fY |Z (Y |Z, θ) ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò × • Á Ø n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Òظ Ø n L(Y |Z, θ) = Û Ö Ø × Ø t=1 f (yt|zt , θ) ft Ö ÔÓ×× ÐÝ Ó Ò Ø Ø Ö ÒØ ÓÖѺ ÐÛ Ý× Ø ØÓÖ Ø Ð Ð ÓÓ ÒØÓ ØÓÖ • Á × ÒÓØ ÔÓ×× Ð ¸ Û Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Ó Ñ Ö Ò Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ× Ó ÒØÓ Ø ÔÖÓ Ù Ø Ý Ù× Ò Ò ÓÒ Ó ÒØ Ø Ò× ØÝ Ò Ø ÓÒ Ð ´ Ó Ò × Ø Ö Ø Ú Ðݵ L(Y, θ) = f (y1 |z1 , θ)f (y2 |y1 , z2 , θ)f (y3 |y1 , y2 , z3 , θ) · · · f (yn |y1, y2 , . . . yt−n , zn , θ) ÌÓ × ÑÔÐ Ý ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ò xt = {y1 , y2 , ..., yt−1 , zt } ¿ ½º ÌÀ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ÍÆ ÌÁÇÆ ¿ ×Ó Ú Ö x1 = z1 , x2 = {y1 , z2 }¸ Ø º Р׺ ÆÓÛ Ø Ð Ð ÓÓ ¹ Ø ÓÒØ Ò× ÜÓ ÒÓÙ× × Ò ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÓÙ× ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò n L(Y, θ) = t=1 Ì Ö Ø Ö ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò × Ø f (yt |xt , θ) ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö sn (θ) = Ì Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ 1 1 ln L(Y, θ) = n n n t=1 ln f (yt |xt , θ) Ò ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ × ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ý Ø Ù× ˆ θ = arg max sn (θ), Û Ö Ø × Ø Ñ Ü Ñ Þ ÓÚ Ö × Ø Ø Ò × Ñ ÐÓÛº Ú ÐÙ Ó Ë Ò ln(·) Ú Ò × Ý ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ö Ø ÓÒ × Ò ÙÒ Ø ÓÒ¸ ln L Ò L Ñ Ü Ñ Þ θ. n × ÒÓ ˆ θ. ½º½º × ×Ø Ñ Ø Ò Û Ø Ü ÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓ ÔÖÓ Ø ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ðº Ð ØÝ Ó Ð ØÝ Ó × × Ó × ÖÚ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Û Ö ¼º º ÔÔ Ò Å Ý Ò ÖÝ Ú Ö Ó Ò Ø Û ³Ö Ð Ø Ø Ñ Ý Ò Ø × Ð ¸ ×Ó Ø × Ñ Ý ÒÓØ ×º Ä Ø º Ì ÒØ Ö ×Ø Ø Ò y = 1(heads) Ó ØÓ×× × Ö ÓÖ ÒÓØ ÓÙØ ÓÑ ÖÒÓÙÐÐ Ö Ò ÓÑ Ú Ö fY (y, p0 ) = py (1 − p0 )1−y , y ∈ {0, 1} 0 = 0, y ∈ {0, 1} / ËÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ø ÖÑ Ø Ø ÒØ Ö× Ø Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × fY (y, p) = py (1 − p)1−y Ò ln fY (y, p) = y ln p + (1 − y) ln (1 − p) Ì Ö Ú Ø Ú Ó Ø × × ∂ ln fY (y, p) ∂p = = Ú Ö Ò Ø × ÓÚ Ö × ÑÔÐ Ó × Þ n y (1 − y) − p (1 − p) y−p p (1 − p) yi − p p (1 − p) Ú × ∂sn (p) 1 = ∂p n Ë ØØ Ò ´½¼µ ËÓ Ø³× ÆÓÛ ×Ý ØÓ Ð ÙÐ Ø Ñ Ò Ø Ø ÅÄ Ó ØÓ Þ ÖÓ Ò ×ÓÐÚ Ò Ú × n i=1 p=y ˆ ¯ p0 Ò Ø ÙÐÐ Ó ÔÓ ÒØ Ò × ÓÙÐ Ö ØÓ Ø × × º ÒØ Ó Ò׸ ÓÙØ× Ö × Ó Ø ×Ô ÒØ ÖÓÙÒ Ñ ×Ô Ö Ó Ø Û Ø Ö ÒØ Ö Ø ØØ ÔÖÓ Ù× ´Û Ø Ð ØÝ Ó Û Ö µº Ï Ø Ø Ø ×Ù×Ô Ø Ô Ò (1 + exp(−x′ β))−1 i xi = 1 ri ′ ÙÔÓÒ Ø Ø Ù׺ ËÙÔÔÓ× ¸ ×Ó Ø β ¾×½ Ú ØÓÖº ÆÓÛ pi ≡ p(xi , β) = ∂pi (β) = pi (1 − pi ) xi ∂β ¾º ÇÆËÁËÌ Æ Ç ÅÄ ¿ ×Ó ∂ ln fY (y, β) ∂β y − pi pi (1 − pi ) xi pi (1 − pi ) = (yi − p(xi , β)) xi = Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × ÒÓÛ ËÓ Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ú Ö ÐÓ Ð ∂sn (β) = ∂β Ì × × × Ø Ó ¾ ÒÓÒÐ Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ð Ñ ÒØ× Ø Ý Ö ÜÔÐ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø × Û Ø ÅÄ ØÛÓ Ø n i=1 (yi − p(xi , β)) xi n Ð Ñ ÒØ× Ò Ò Ø Ø × Ø Ø ØÛÓ ÙÒ ÒÓÛÒ βº Ó Ì Ö × ÒÓ ÕÙ Ø ÓÒ× ØÓ Þ ÖÓº Ì Ö¸ Ò Ò Ò Ø × × ÓÑÑÓÒÐÝ Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ø ÓÒ׺ Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ø Ò ÒÓÒÐ Ò Ò Ú ÐÙ Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ö × Ù× ÔÓ×× Ð ØÝ × Ó ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ó × ØÓ ÙÖØ Ö Ò Ø × ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ Ø Ð Ó Ø × Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ µº ÜÔÐÓÖ ÒÓØ × ´× × Ø ÓÒ ¾º ÌÓ × ÓÛ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø ÅÄ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÅÄ ¸ Û Ò ØÓ Ñ Ò ÓÔ Ò ÜÔÐ Ø ×ÓÑ ÓÙÒ ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÓÑÔ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ø ÓÒ × ÓÚ Ö Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Θ, Û × ÓÑÔ Øº θ ∈ Θ, ×Ù × Ø Ó ℜK . Å Ü Ñ Ü¹ θ × Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Θº ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò sn (θ) → lim Eθ0 sn (θ) ≡ s∞ (θ, θ0 ), ∀θ ∈ Θ. n→∞ Ï ÓÐ × Ä Ö Ú ÓÖ ×ÙÔÔÖ ×× ÐÐ ÔÓ×× Ð u.a.s Y Ö ÓÖ × ÑÔÐ Øݺ ÓÖ Ì × Ö ÕÙ Ö × Ø Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ð٠׺ Ú Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ ¸ ÓÒÚ Ö Ò ØÓ Ø Ò ÖÝ Ä Û Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒº ××ÙÑÔØ ÓÒ ÆÙÑ Ò Ö× Û ÐÐ Ù×Ù ÐÐÝ ÑÔÐÝ ÓÖ × Ò Ð Ð Ñ ÒØ Ó ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ø Ð Ñ Ø Ó Ø Ò Û Ø Ø ÓÒÚ Ö Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ ÓÑ Ò º Ì ÓÑÔ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ Ò×ÙÖ × ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö ÓÒØ ÒÙ ØÝ sn (θ) Ø ÒÙÓÙ× Ò × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò θ. × ××ÙÑÔØ ÓÒ× ØÓ × ÓÛ Ø ÒÐÝ Ü ×Ø׸ × Ò Ø θ, θ ∈ Θ. × ÑÔÐ × Ø Ø s∞ (θ, θ0 ) × ÓÒ¹ Á Ï Û ÐÐ Ù× Ö×ظ × Øº ÒØ Ø ÓÒ s∞ (θ, θ0 ) Ø × ÖØ ÙÒ ÕÙ Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ø× Ö×Ø Ö ÙÑ Òغ ˆ θn ÓÒØ ÒÙÓÙ× ˆ a.s. θn → θ0 . ÙÒ Ø ÓÒ × Ñ Ü ÑÙÑ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ë ÓÒ ¸ ÓÖ ÒÝ θ = θ0 E ln L(θ) L(θ0 ) ÓÒ Ú ÊÀË × ≤ ln E ÙÒ Ø ÓÒµº L(θ) L(θ0 ) Ý Â Ò× Ò³× Ò ÕÙ Ð ØÝ ´ ÆÓÛ¸ Ø ln (·) × ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø E × Ò L(θ) L(θ0 ) = L(θ) L(θ0 )dy = 1, L(θ0 ) Ò × Ò Ø ÒØ Ö Ð Ó ÒÝ Ò× ØÝ L(θ0 ) × Ö Ø Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ × ½. Ì ÓÖ ¸ × Ò ln(1) = 0, E ln L(θ) L(θ0 ) ≤ 0, ¿º ÌÀ Ë ÇÊ ÍÆ ÌÁÇÆ ¿ ÓÖ E (sn (θ)) − E (sn (θ0 )) ≤ 0. Ì Ò Ð Ñ Ø׸ Ø × × ´ Ý Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò µ s∞ (θ, θ0 ) − s∞ (θ0 , θ0 ) ≤ 0 Ü ÔØ ÓÒ Ý Ø × Ø Ó Þ ÖÓ ÔÖÓ ÒØ Ø ÓÒ Ð Øݺ Ö × ÙÒ ÕÙ Ñ Ü Ñ Þ Ö¸ ×Ó Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ × ×ØÖ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø θ = θ0 ËÙÔÔÓ× ÓÒ Ø Ø θ∗ × s∞ (θ, θ0 ) − s∞ (θ0 , θ0 ) < 0, ∀θ = θ0 , º×º ˆ Ð Ñ Ø ÔÓ ÒØ Ó θn ´ ÒÝ × ÕÙ Ò ÖÓÑ ˆ θn × Ñ Ü Ñ Þ Ö¸ Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓÑÔ Ø × Ø Ú × Ø Ð ×Ø Ð Ñ Ø ÔÓ Òصº Ë Ò n, Û ÑÙ×Ø s∞ (θ ∗ , θ0 ) − s∞ (θ0 , θ0 ) ≥ 0. Ì × Ð ×Ø ØÛÓ Ò ÕÙ Ð Ø × ÑÔÐÝ Ø Ø θ ∗ = θ0 , Ì Ù× Ø ÔÖÓ Ö × ÓÒÐÝ ÓÒ Ð Ñ Ø ÔÓ Òظ Ö ÛÓÖ ×¸ Ò Ø × º×º ÕÙ Ð ØÓ Ø ØÖÙ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ ¸ Û Ø Ð ØÝ ÓÒ º ÁÒ ÓØ n→∞ Ì × ÓÑÔÐ Ø × Ø Û Ø ÔÖÓÓ Ó ×ØÖÓÒ ˆ lim θ = θ0 , .×. ÅÄ º ÇÒ Ò Ù× Û Ó Ø Ò ÔÖÓ ÅÄ Ö º Ì Ð Øݺ ××ÙÑÔØ ÓÒ× × × ÓÑ ØØ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø Ò Ò Ò ÔÖÓ ÑÔÐ ØÓ ÔÖÓÚ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ´ ÓÒÚ Ö Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö Ð ØÝ ØÓ × ÓÒÚ Ö θ0 µ Ò Ö º ÆÓØ ¿º Ì Ö ÒØ Ò ÓÖ ÓÓ × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ × ØÛ Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ÒÓÙ º Ö ÒØ Ð Ò Ð ØÝ N (θ0 ) Ð ÓÓ ××ÙÑ Ó Ø Ø Ð sn (θ) θ0 ¸ ×Ø Û n × Ð Ö ÌÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÐÓ ¹Ð ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ö Ú Ø Ú × gn (Y, θ) = Dθ sn (θ) = ≡ Ì × × Ø 1 n 1 n n t=1 n t=1 ÆÓØ Ø Ø Ø × ÓÖ ´ Ò Ø Ø ÒÝ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÜÓ Ý × Dθ ln f (yt |xx , θ) gt (θ). Y × Ò Ð ×µ Ö º × ÓÖ Ú ØÓÖ ÑÔÐ ×ÙÔÔÖ ×× ×Ø Ñ ØÓÖ ´Û Ø Ñ Ö ÙÑ Òظ Û Û ÐÐ Ó Ø Ò Ì ÅÄ × Ø Ø Ø × K × 1). Ö Ò ÓÑ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº Y Ò ÓÙ× Ú Ö Ö ×Ø ÐÐ Ø ÓÖ Ð Ö Øݸ × ÓÙÐ ÒÓØ ÓÖ ˆ θ× Ø× Ø Ö Ú Ø Ú × ØÓ Þ ÖÓ ˆ gn (θ) = 1 n n t=1 ˆ gt (θ) ≡ 0. º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ Ç ÅÄ ¿ Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ò Ø Ò× ØÝ f (θ), ÒÓØ Eθ [gt (θ)] = 0, ∀t. Ì × × Ø ×× Ö ÐÝ f (θ0 ) . ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ø Ò Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø Eθ [gt (θ)] = = = Ú Ò ×ÓÑ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÙÐ Ö ØÝ ÓÒ Ö ÒØ [Dθ ln f (yt |xt , θ)]f (yt |x, θ)dyt 1 [Dθ f (yt |xt , θ)] f (yt |xt , θ)dyt f (yt |xt , θ) Dθ f (yt |xt , θ)dyt . ÓÙÒ ÓÑ Ò Ø Ò ×× Ó Ø ÓÒ× ÓÒ Ý Ø Dθ f, Ò Û Ø Ò ×Û Ø ÓÖ Ñº Ì × Ø ÓÖ Ú × Ö Ó Ø ÓÒ¸ ÓÒÚ Ö Eθ [gt (θ)] = Dθ = Dθ 1 = 0 Û Ö Û Ù× ËÓ Ì Ø Ø Ø Ø Ø ÒØ Ö Ð Ó Ø f (yt|xt , θ)dyt Ò× ØÝ × ½º • • Eθ (gt (θ) = 0 : Ø × ÓÐ ÓÖ ÐÐ t, ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ×Ó Ø ÑÔÐ × Ø Ø × ÓÖ Ú ØÓÖ × Þ ÖÓº Eθ gn (Y, θ) = 0. º Ê ÐÐ Ø Ì ÝÐÓÖ³× × Ö Ø Û × ××ÙÑ Ø Ø ÜÔ Ò× ÓÒ Ó ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó ÅÄ sn (θ) ˆ g(Y, θ) × ØÛ ÓÙØ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ØÖÙ Ú ÐÙ Ö ÒØ Ð º Ì Ö×Ø ÓÖ Ö θ0 : ˆ ˆ 0 ≡ g(θ) = g(θ0 ) + (Dθ′ g(θ ∗ )) θ − θ0 ÓÖ Û Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò Ø ÓÒ× ˆ H(θ ∗ ) θ − θ0 = −g(θ0 ), Û Ö Ñ ÒÙØ µº ËÓ ˆ θ ∗ = λθ + (1 − λ)θ0 , 0 < λ < 1. √ Ö ××ÙÑ H(θ ∗ ) × ÒÚ ÖØ Ð ´Û ³ÐÐ Ù×Ø Ý Ø × Ò ÆÓÛ ÓÒ× H(θ ∗ ). √ ˆ n θ − θ0 = −H(θ ∗ )−1 ng(θ0 ) H(θ ∗ ) = Dθ′ g(θ ∗ ) 2 = Dθ sn (θ ∗ ) Ì × × = Û Ö Ø ÒÓØ Ø ÓÒ 1 n n 2 Dθ ln ft (θ ∗ ) t=1 2 Dθ sn (θ) ≡ Ú Ò Ø ×ØÖÓÒ Ø Ø × × Ð Ö ØØ Ð ØÓ Ò Ú Ö Ó Ø ÖÑ׸ Ð Û Ó Ø ÔÔ ÒÙÑ × Û ÐÐ Ö× ´ËÄÄƵº ÔÔ Òº Ì Ö ÓÖ ∂ 2 sn (θ) . ∂θ∂θ ′ Ù×Ù ÐÐÝ Ø Ö × Ø Ø Ø × × Ø × × Ø ØÓ × Ø Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø Ø Ò Ù× Ø × ÓÙÐ Ê ÙÐ Ö ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ× Ö Ö ÒØ × Ø× Ó Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ù Ö ÒØ Ù×Ø Ý Ô Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø Ö ÒØ ËÄÄƳ׺ Ò Ø Ø Ö Ú Ö 2 Dθ ln ft (θ ∗ ) ÑÙ×Ø ÒÓØ ÓÑ Ò Ò Ø º Ï Ô Ò ×º ÙÔÓÒ Ø ÓÒ³Ø ØÓÓ ×ØÖÓÒ ÐÝ ××ÙÑ ÒÝ × ÒØ ÓÚ Ö Ø Ñ ¸ Ò × ÑÙ×Ø ÒÓØ Ø Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ø Ó Ú Ò ÑÓ Ö ¸ × Ò ÔÔÖÓÔÖ ××ÙÑ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Û ÐÐ Ø ËÄÄÆ ÔÔÐ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ðº ÀÓÛ Ú Ö¸ Û º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ Ç ÅÄ ¼ Ð×Ó¸ × Ò Û ÒÓÛ Ø Ø ÓÚ × ØÓ Ø Ø ˆ θ × ÓÒ× ×Ø Òظ Ö ÒØ Ð ØÝ Ò a.s. θ∗ → Ø ×¸ θ0 º Ð×Ó¸ Ý H(θ ∗ ) ÓÒÚ Ö ˆ θ ∗ = λθ + (1 − λ)θ0 , Û Ú ××ÙÑØ ÓÒ¸ H(θ) × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò θ º × Ò Ø Ø Ú Ò Ð Ñ Ø Ó Ø³× ÜÔ Ø Ø ÓÒ 2 H(θ ∗ ) → lim E Dθ sn (θ0 ) = H∞ (θ0 ) < ∞ n→∞ a.s. Ì × Ñ ØÖ Ü ÓÒÚ Ö × ØÓ Ê ¹ ÖÖ Ò ÓÒ Ø ÓÒ׸ Û Ò ÓÖ Ø Ö× Ó Ò Ø Ð Ñ Øº Ð Ñ Ø× Ò Ö ÒØ Ø ÓÒ¸ Û × Ð Ø Ñ Ø Ú Ò Ö ÙÐ Ö ØÝ 2 H∞ (θ0 ) = Dθ lim E (sn (θ0 )) n→∞ 2 = Dθ s∞ (θ0 , θ0 ) Ï ³Ú ÐÖ Ý × Ò Ø Ø º º¸ θ0 ÝØ Ø Ò s∞ (θ, θ0 ) < s∞ (θ0 , θ0 ) Ñ Ü Ñ Þ × Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ð Ñ Ø Ò Ø Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº Ë Ò Ø Ö Ð × ´Û ÙÒ ÕÙ Ö Ñ Ü Ñ Þ Ö¸ ÓÐ × Ò Ø ÓÖ Ø Ò sn (θ) Ø Ú × ØÛ ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ò Û Ø Ö Ú ÓÖ Ö ÒØ Ó Ð Ñ Øµ¸ ÔÖ Ú ÓÙ× ÒÚ Ö× ÓÒ × Ù×Ø ´½½µ ÆÓÛ ÓÒ× Ö H∞ (θ0 ) ÑÙ×Ø ¸ Ò Ò Ø ¸ Ò ÙÐÐ Ö Ò º Ì ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ √ √ ˆ n θ − θ0 a.s. √ → −H∞ (θ0 )−1 ng(θ0 ). ng(θ0 ). Ì × × √ √ ngn (θ0 ) = nDθ sn (θ) √ n n = Dθ ln ft (yt |xt , θ0 ) n = 1 √ n t=1 n gt (θ0 ) t=1 Ø × Ö ×ÓÒ Ð ØÓ ××ÙÑ Ø Ø ÄÌ Ï ³Ú ÔÔР׺ ÐÖ Ý × Ò Ø Ø Eθ [gt (θ)] = 0. × ×Ù ¸ ÆÓØ Ø Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ú ØÓÖµ Û Ú ØÓÖ Ø Ø × Ø × gn (θ0 ) → 0, Ò × ÖØ a.s. Ý ÓÒ× ×Ø Ò Ýº ÌÓ Ý ØÓ × Ð √ n. ÚÓ Ò Ö Ø × ÓÐÐ Ô× ØÓ Ø¸ ÓÖ Ò Ö Ø ÖºÚº ´ Ö Ò ÓÑ ÄÌ ×Ø Ø × Ø Xn Ò ÓÒ Ø ÓÒ׸ Xn − E(Xn ) → N (0, lim V (Xn )) Ì Û ÐÐ ÖØ Ó Ø Ò ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ø Ø d Xn ÑÙ×Ø × Ø × Ý Ý ÓÖÑ Ó Ú Ö ¸ × Ð √ Ô Ò ÓÒ Ø × Ø Ò º Í×Ù ÐÐݸ Xn n n t=1 Xt Xn = Ì × × Ø × ÓÖ √ n Ì √ n Ò Ø Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ú Ö Ò × × Ó Ò ng(θ0 ) ÓÖ Ü ÑÔÐ º Ø Xn Ö Ø Ø Ô Ò ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ô Ò Ò × Ó Ø Òظ Ø Ø Ò Ø Xt . ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ô Ò Xt Ø Ú ÒÓØ ØÓÓ ×ØÖÓÒ ÐÝ ÄÌ ÔÔР׸ ÒÓØ Ò √ E( ngn (θ0 ) = 0, ÄÌ ÓÖ ÒØ ÔÖÓ ×× × Û ÐÐ Û ÔÔÐݺ ËÙÔÔÓ× Ò √ d I∞ (θ0 )−1/2 ngn (θ0 ) → N [0, IK ] º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ Ç ÅÄ ½ Û Ö I∞ (θ0 ) = = Ì × Ò Ð×Ó ÛÖ ØØ Ò × n→∞ n→∞ lim Eθ0 n [gn (θ0 )] [gn (θ0 )]′ √ ngn (θ0 ) lim Vθ0 ´½¾µ √ • I∞ (θ0 ) × • ÓÑ Ò Ò ÒÓÛÒ ½½℄ Ò × Ø ngn (θ0 ) → N [0, I∞ (θ0 )] Ø d Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üº ½¾℄¸ Û √ a ˆ n θ − θ0 ∼ N 0, H∞ (θ0 )−1 I∞ (θ0 )H∞ (θ0 )−1 . Ì ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Æµº ×ØÖ ÙØ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ×ØÖ ÙØ º θ0 × Ò Ø ÓÒ ½ ´ ˆ θÓ Ô Ö Ñ Ø Ö √ n¹ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ×ÝÑÔ¹ ØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ´½¿µ Û Ö √ V∞ Ö × Ö × Ò Ø ÔÓ× Ø Ú d ˆ n θ − θ0 → N (0, V∞ ) Ñ ØÖ Üº Ò Ø Ì Ó Ü ×ظ Ò ×Ô ÒÓÛÒ × Ð × ×¸ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ø Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ù ÒÓÖÑ ÐÐݸ ×Ø Ð 0. Ø Ì ×ÙÔ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ Ý Ò ×Ø ÐÐ ×Ø Ñ ØÓÖ׸ × Ò Ò ØÓ √ Ø Ø × Ø √ n p ˆ n θ − θ0 → ×Ø ØÓÖ ÙØ ÓÒº Ø Û Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ø ÓÒÚ Ö Ð Ñ Ø Ò ×ØÖ Ò Ø ÓÒ ¾ ´ ×ÝÑÔØÓØ ÙÒ × Ò ××µº Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ θÓ Ô Ö Ñ Ø Ö θ0 × ×ÝÑÔ¹ ØÓØ ÐÐÝ ÙÒ ´½ µ × n→∞ ˆ lim Eθ (θ) = θ. ×Ø Ñ ØÓÖ× Ø Ø Ö Ñ ØÓÖ× Ö Æ Ö × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ º ËÙ × × Ö × ¸ Ø ÓÙ ÒÓØ º ÐÐ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ü ÑÔÐ × ×Ø ¹ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ ÙÒÙ×٠и Ø ÓÙ º½º Ø Ð Ñ Ø Ò ÓÒ Ú Ö ÔÔ Ò ¸ и Û Ø Ò Ó º º º Òº ÁÒ × Ø ÓÒ ½º½ Û × ÑÔÐ Ñ × Û Ø Ò Ø Ø ÅÄ ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ò ÖÒÓÙÐÐ ØÖ √ Ø ¸ × Ø p=y´ ˆ ¯ ÕÙ Ø ÓÒ ½¼µº ÆÓÛ Ð Ø³× p p lim V ar n (ˆ − p) = lim nV ar (ˆ − p) = lim nV ar (ˆ) p = lim nV ar (¯) y = lim nV ar = lim yt n Ý Ò Ô Ò Ò ×ØÖ Ó Ó ×ºµ ÙØ Ó ×ºµ √ n (ˆ − p)º p 1 V ar(yt ) ´ n 1 = lim nV ar(y) ´ Ý n = p (1 − p) ÒØ ÐÐÝ º ÌÀ ÁÆ ÇÊÅ ÌÁÇÆ Å ÌÊÁ ÉÍ ÄÁÌ ¾ º Ì Ï Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÕÙ Ð ØÝ Ä Ø H∞ (θ) = −I∞ (θ). 1 = 0 = = ft (θ) ×Ó × ÓÖØ ÓÖ f (yt |xt , θ) ft (θ)dy, Dθ ft (θ)dy (Dθ ln ft (θ)) ft (θ)dy ÆÓÛ Ö ÒØ Ø Ò 0 = 2 Dθ ln ft (θ) ft (θ)dy + [Dθ ln ft (θ)] Dθ′ ft (θ)dy 2 = Eθ Dθ ln ft (θ) + [Dθ ln ft (θ)] [Dθ′ ln ft (θ)] ft (θ)dy ´½ µ ÆÓÛ ×ÙÑ ÓÚ Ö = Eθ [Ht (θ)] + Eθ [gt (θ)] [gt (θ)]′ n Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ý 2 = Eθ Dθ ln ft (θ) + Eθ [Dθ ln ft (θ)] [Dθ′ ln ft (θ)] 1 n Eθ Ì ÓÒ × ÓÖ × Ø ÓÒ 1 n n t=1 [Ht (θ)] = −Eθ ÓÖ 1 n n [gt (θ)] [gt (θ)]′ t=1 × Ò ÓÖ gt ×Ô Ò gs Ö ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø t = s, Ø ÓÒ ÔÖ ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ×Ó Û Ø ÓÒ Ø ×Ø ÔÖÓÔÓ× ×Ô Ø ÓÒ Ó Ø Ø Û × Ö Ò ÓÑ Ò Ý Ï Ø × t > s, ft (yt |y1 , ..., yt−1 , θ) s × Ü Ò tº ´Ì × ÓÖÑ× ÔÔ Ö ØÓ ÓÖÖ Ð Ø × Ø ÓÒ × × ÓÖ × ÓÖ × Ñ Ý ÕÙ ×Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ðµº Ì ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÛÖ Ø Eθ [H(θ)] = −Eθ n [g(θ)] [g(θ)]′ × Ò Ø ´½ µ Ì × ÓÐ × ÓÖ ÐÐ ÐÐ ÖÓ×× ÔÖÓ Ù Ø× ØÛ Ò Ö ÒØ Ô Ö Ó × ÜÔ Ø ØÓ Þ ÖÓº Ò ÐÐÝ Ø Ð Ñ Ø׸ Û H∞ (θ) = −I∞ (θ). θ, Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÓÖ θ0 . Í× Ò Ø ×¸ √ × ÑÔÐ ´½ µ ÌÓ Ù× ×Ø Ñ Ø Ø × ØÓ ˆ n θ − θ0 a.s. → N 0, H∞ (θ0 )−1 I∞ (θ0 )H∞ (θ0 )−1 a.s. √ ˆ n θ − θ0 ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ò ¸ Û → N 0, I∞ (θ0 )−1 ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ò H∞ (θ0 ) Ò I∞ (θ0 )º Ï Ò n I∞ (θ0 ) = n ˆ ˆ gt (θ)gt (θ)′ t=1 ˆ H∞ (θ0 ) = H(θ). ÆÓØ ¸ ÓÒ Ò³Ø Ù× ˆ I∞ (θ0 ) = n gn (θ) ØÓ ×Ø Ñ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üº Ï Ý ÒÓØ ˆ gn (θ) ′ º ÌÀ Ê Å Ê¹Ê Ç ÄÇÏ Ê ÇÍÆ ¿ ÖÓÑ Ø Ì × Ò ÐÙ × Û × Ø Ø Ø Ö Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ý× ØÓ ×Ø Ñ Ø V∞ (θ0 ) Ø Ø Ö ÐÐ Ú Ð º V∞ (θ0 ) = −H∞ (θ0 ) V∞ (θ0 ) = I∞ (θ0 ) Ì × Ö ÒÓÛÒ ×Ø −1 −1 V∞ (θ0 ) = H∞ (θ0 ) ×Ø Ñ ØÓÖ׸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÓÚ Ö Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø × Ò Û −1 I∞ (θ0 )H∞ (θ0 ) −1 ÒÚ Ö× À ×× Ò¸ ÓÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø ÓÖÑ × Ø ×Ø Ñ ØÓÖº Ö ÒØ ´ÇÈ µ Ò × Ò Û × Û Ø Ø ÑÓ×Ø ÖÓ Ù×ظ × Ò Ø Ó Ò ÕÙ × ¹ÅÄ º Ì Ì ÓÖ Ñ ¿º Ö Ñ Ö¹Ê Ó ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ì Ð Ñ Ø Ò Ú Ö Ò Ó × Ñ Æ Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ ØÖ Üº Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü × ÔÓ× Ø Ú Ö Ñ Ö¹Ê Ó ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ℄ ÒÚ Ö× Ó Ø Ó θ0 ¸ × Ý ˜ θ¸ Ñ ÒÙ× Ø ÈÖÓÓ Ë Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × Æ¸ Ø × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ × ¸ ×Ó n→∞ Ö ÒØ Ø ÛÖØ ˜ lim Eθ (θ − θ) = 0 ˜ Dθ′ f (Y, θ) θ − θ × × θ′ : n→∞ n→∞ ˜ Dθ′ lim Eθ (θ − θ) = lim dy = 0 (Ø ÆÓØ Ò Ø Ø K ×K Ñ ØÖ Ü Ó Þ ÖÓ×). Dθ′ f (Y, θ) = f (θ)Dθ′ ln f (θ), Û Ò ÛÖ Ø n→∞ ÆÓÛ ÒÓØ Ø Ø lim ˜ θ − θ f (θ)Dθ′ ln f (θ)dy + lim ˜ Dθ′ θ − θ = −IK , n→∞ Ò n→∞ ˜ f (Y, θ)Dθ′ θ − θ dy = 0. Ï Ø Ø × Û Ú f (Y, θ)(−IK )dy = −IK . lim Û ˜ θ − θ f (θ)Dθ′ ln f (θ)dy = IK . Ø ÈÐ Ý Ò Û Ø ÔÓÛ Ö× Ó n n→∞ ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ø lim √ ˜ n θ−θ √ Ø √ 1 n [Dθ′ ln f (θ)] f (θ)dy = IK n ØÖ Ò×ÔÓ× Ó Ø × ÓÖ Ú ØÓÖ¸ Ô ÖØ × Ù×Ø Ø g(θ), ×Ó Û Ò ÛÖ Ø n→∞ Ì × Ñ Ò× Ø Ò ÓÖ ¸ Ø Ø ÓÚ Ö Ò lim Eθ Ó ˜ n θ−θ × ÓÖ Ø √ ng(θ)′ = IK √ ˜ ˜ n θ − θ , ÓÖ θ √ ˜ n θ−θ Ò Ó ÒÝ Æ ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú Ö ×Ø Ñ ØÓÖ¸ × ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Üº Í× Ò ×¸ ×ÙÔÔÓ× Ø Ò × ØÓ ˜ V∞ (θ). ´½ µ Ì Ö V∞ Ø × × ÓÚ Ö Ò √ ˜ n θ−θ √ ng(θ) = ˜ V∞ (θ) IK IK I∞ (θ) × Ñ ¹ Ò Ø º Ì . Ö ÓÖ ¸ ÓÖ ÒÝ Ë Ò Ñ ØÖ Ü¸ Ø × ÔÓ× Ø Ú K ¹Ú ØÓÖ α, −1 α′ −α′ I∞ (θ) ˜ V∞ (θ) IK IK I∞ (θ) α −I∞ (θ)−1 α ≥ 0. Ê ÁË Ë Ì × × ÑÔÐ × ØÓ −1 ˜ α′ V∞ (θ) − I∞ (θ) α ≥ 0. Ë Ò Ì Ñ ØÓÖº Ò Ø ÓÒ α × Ö ØÖ Öݸ Ò× Ø × Ñ −1 ˜ V∞ (θ) − I∞ (θ) × ÔÓ× Ø Ú −1 (θ) × Ø I∞ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × Ñ ÓÖ Ø Ò Ø º Ì × ÓÒÐÙ Ò × Ø Ó ÔÖÓÓ º Æ ×Ø ¹ ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö º½º ´ × ×ÝÑÔØÓØ Ò Ý µ ÒØ Û Ø Ú Ò ØÛÓ Ö ×Ô Æ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × ÔÓ× Ø Ú θ0 ¸ × × Ñ ˜ Ý θ Ò ˆ ˆ θ¸ θ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ˜ Ø ØÓ θ Ò Ø Ñ ØÖ Üº ×ÝÑÔØÓØ Ò × Ò Ý Ó Ò ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò Ó Ø ˜ ˆ V∞ (θ) − V∞ (θ) × Ð ¸ ÙØ Ö Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ø Ø ÓÒ Ò × ÓÛ Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒÚ Ö× Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü¸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Òغ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ö ×Ô Ø ØÓ ÒÝ ÓØ Ö Æ ×Ø Ñ ØÓÖº ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÅÄ • • • • • ÓÒ× ×Ø ÒØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð ´ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ Ì Ð Ò × × ÓÖ Ö ØÝ Ó Ø ÒØ × Û Ú Ò³Ø ×Ô Æµ Ø ÅÄ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒØ Û Ø Ò Ö Ð ÅÄ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ò Ö ØÝ»ÒÓÒ¹ ×Ø Ñ ØÓÖ º Ü Ö × × ´½µ ÓÒ× Ö Ó Ò ØÓ×× Ò Ð Û Ø × Ò Ð × Ü Ö × × ÐÝ × Ó Òº Ì Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÔÓ×× Ö Ò ÓÑ Ú Ö y = 1(heads) fY (y, p0 ) = py (1 − p0 )1−y , y ∈ {0, 1} 0 = 0, y ∈ {0, 1} / ËÙÔÔÓ× × Ø Ø Û Ï Ð×Ó Ú × ÑÔÐ Ó × Þ Ø nº ÓÖÝ Ï ÓÚ ÒÓÛ ÖÓÑ Ø Ø ÓÚ Ø Ø Ø ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ p0 = y º ¯ ÒÓÛ ÖÓÑ Ø √ n (¯ − p0 ) ∼ N 0, H∞ (p0 )−1 I∞ (p0 )H∞ (p0 )−1 y a µ Ò Ø Ò ÐÝØ ÜÔÖ ×× ÓÒ ÓÖ gt (θ) Ò × ÓÛ Ø Ø Eθ [gt (θ)] = 0 µ Ò Ø Ò ÐÝØ Ð ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÓÖ H∞ (p0 ) Ò I∞ (p0 ) ÓÖ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ √ µ Ú Ö Ý Ø Ø Ø Ö ×ÙÐØ ÓÖ lim V ar n (ˆ − p) ÓÙÒ Ò × Ø ÓÒ º½ × ÕÙ Ð ØÓ H∞ (p0 )−1 I∞ (p0 )H∞ (p0 )−1 p √ µ ÏÖ Ø Ò Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ó × ÅÓÒØ ÖÐÓ ×ØÙ Ý Ø Ø × ÓÛ× Ø Ø n (¯ − p0 ) y × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ × ÑÔÐ Ò Ö Ø Ö Ó Ö ÑÓ Ð ×ØÖ × ÓÛ Ø ´¾µ ½ ÓÒ× Ö ÕÙ Ò Ý Ó √ ÙØ Û Ò n × Ð Ö º ÈÐ × Ú Ñ ×ØÓ Ö Ñ× Ø Ø yt = x′ β + αǫt Û t n (¯ − p0 ) y Ö Ø ÓÖ × Ú Ö Ð Ú ÐÙ × Ó ÖÖÓÖ× ÓÐÐÓÛ Ø nº Ù Ý ´ËØÙ ÒØ¹Ø Û Ø Óѵ Ò× Øݺ ËÓ f (ǫt ) = Ì Ø Ð׺ Ù Ý Ì Ù׸ Ò× ØÝ × × Ô 1 , −∞ < ǫt < ∞ π 1 + ǫ2 t × Ñ Ð Ö ØÓ Ð Ö ÒÓÖÑ Ð Ò× Øݸ ÑÓÖ ×ØÖ ÙØ ÙØ Û Ø ÑÙ Ø Ø × ÓÖ Ö × ÖÖÓÖ× Ó ÙÖ ÑÙ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Û Ø º Ò Ø ÜØÖ Ñ ÐÝ ×Ñ ÐÐ ÔÔ Ò Ö Ò Ø Ò× ØÝ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÓÙÐ Û gn (θ) θ= β′ α ′ ÖÖÓÖ× Û Ö º Ê ÁË Ë ´¿µ ÓÒ× Ò Ø ÖØ ÑÓ Ð Ð ×× Ð Ð Ò ÖÖ Ö Ö ×× ÓÒ ÑÓ Ð yt = x′ β+ǫt Û t ′ º ÅÄ Ö × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö×Ø ÓÖ gn (θ) Û θ= Ø Ø Ö β′ σ Ò Ø Ö×Ø ÓÖ ǫt ∼ IIN (0, σ 2 )º Ò ¿ ÒØ ´ µ ÓÑÔ Ö Ò Ö ÓÒ Ö Ò ×º Ø ÓÒ× Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó ÔÖÓ Ð Ñ× ¾ Ø ÓÒ× Ø Ø Ò Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ï Ý Ö ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ Ö ÒØ Ò Ø ØÛÓ × × À ÈÌ Ê ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ø Ì ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÙÒ Û Ø Ö Ø Ò Ø Ð ×× Ð × ÑÔÐ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × × ÄÍ ½ ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ ÐÐ × ÑÔÐ × Þ ×º ××ÙÑÔØ ÓÒ× × Þ ¸ ÆÓÛ Ð Ø³× × ÔÔ Ò× Û Ø Ò × ØÓ Ò Ò Øݺ ½º ÓÒ× ×Ø Ò Ý ˆ β = (X ′ X)−1 X ′ y = (X ′ X)−1 X ′ (Xβ + ε) = β0 + (X ′ X)−1 X ′ ε = β0 + ÓÒ× ÖØ × Ò Ø Ð ×Ø ØÛÓ Ø ÖÑ׺ ÒÚ Ö× ÓÒ× Ó Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ X ′X n −1 X ′ε n X ′X n limn→∞ Q−1 , X Ø = QX ⇒ limn→∞ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø X ′X n −1 = ÒÓÒ× Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ð Ñ ÒØ× Ó Ñ ØÖ Üº Ö Ò X′ε n , X ′ε 1 = n n X ′ε n n xt εt t=1 xt εt × ÜÔ Ø Ø ÓÒ Þ ÖÓ¸ ×Ó E Ì Ú Ö Ò Ó Ø ÖÑ × =0 V (xt ǫt ) = xt x′ σ 2 . t × ÐÓÒ ×Ó ×Ø × Ö Ò Ø ¸ Ò Ú Ò Ø Ò Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¸ Ø ¾ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ËÄÄÆ ÔÔР׸ 1 n Ì × ÑÔÐ × Ø Ø n t=1 xt εt → 0. a.s. Ì ØÖÙ × × Ø Ú ÐÙ º ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ×ØÖÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ˆ a.s. β → β0 . Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒÚ Ö × Ò ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ø • • ½ ¾ Ì ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÔÖÓÓ Ö Ø Ø Ó × ÒÓØ Ù× ÓÒÚ Ö Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÑÔÐ ××ÙÑÔØ ÓÒº Ò Ò ÔÖÓ Ð Øݺ Ê Ñ Ñ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ × ÓÒÚ Ö ÄÍ ÓÖ ≡ ×Ø Ð Ò ×º Ô Ò Ø Ö ÙÒ × Ò × ÐÓÒ Û ÐÐ ×Ø Ñ ØÓÖ Ä̳׸ Ó Û × Ø ÖÑ× Ø Ð ØÓ Ò Á Ú Ò³Ø Ø Ø Ñ Ö Ö ÙÔ Ò Ò Ø Ú Ö ÓÖ ÖÓѸ Á³Ñ Ú Ö ÓÒ Ø × Ó Ò Ò ØÓ Ö ÚÓ Ø Ú ÔÔÐݺ Ï Ò Ø Ò × ÒÓØ ØÓÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÄÄÆ³× × ÐÐݸ Òظ ÓÒ Ö ×ÙÐغ Ú ÖÝ Ñ ÒÝ ØÓ ÓÓ× ÄÌ ØÓ Ø Ò Ð Ø ×ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÐÝ Ò ÄÄÆ ÓÖ Ó ×Ò³Ø Ñ ØØ Ö¸ Û ¿º Ë ÅÈÌÇÌÁ Á Á Æ ¾º Ï ³Ú × Ò Ø Á Ø Ø Ø ÇÄË ÖÖÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÖÖÓÖ׺ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ³Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÒÓÛ Ø ×ØÖ Ù¹ ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÙÒ ÒÓÛÒ¸ Û Ò Ø Ó ÓÙÖ× ×Ø Ñ ØÓÖº ÀÓÛ Ú Ö¸ Û ÙØ Ø Ø ÓØ ×ÝÑÔØÓØ Ö ×ÙÐØ׺ ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÐ Ó ε ××ÙÑ Ò Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÙÒ ÒÓÛÒ¸ Ö Ð ×× Ð ˆ β = β0 + (X ′ X)−1 X ′ ε √ • ÆÓÛ ÓÒ× × Ö Ò ÓÖ ¸ ˆ β − β0 = (X ′ X)−1 X ′ ε ˆ n β − β0 −1 = X ′X n −1 X ′ε √ n X ′X n • X′ε √ , Ø n → Q−1 . X Ú Ö Ò × Ð Ñ Ø Ó Ø n→∞ lim V X ′ε √ n = n→∞ lim E X ′ ǫǫ′ X n 2 = σ0 QX Ì Ñ Ä̺ Ï Ò × Ó ××ÙÑ ÓÙÖ× ÓÒ Þ ÖÓº ÌÓ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð Øݸ Û Ä Ò Ö ¹ ÐÐ Ö Ä̵ Ò ØÓ ÔÔÐÝ ´ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ø ÓР׸ ×Ó X ′ε d 2 √ → N 0, σ0 QX n Ì Ö ÓÖ ¸ √ ÇÄË ×ØÖ ÙØ d 2 ˆ n β − β0 → N 0, σ0 Q−1 X ×ØÖ ÙØ ×ØÖ º Ò ×Ñ ÐÐ ÙØ ¸ Ò × Ð Ö × ÑÔÐ × º Á Ò • ÁÒ ×ÙÑÑ Öݸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÙØ Û ε × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ε × ÒÓØ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÔÔÐ ˆ β ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÄÌ Ò ¿º Ì Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × Ó Ø Ú ×ÝÑÔØÓØ Ò Ý ÙÒ Ø ÓÒ × n s(β) = t=1 ËÙÔÔÓ× Ò Ø Ø y t − x′ β t ÑÓ Ð × 2 ε × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ¸ Ø y = Xβ0 + ε, 2 ε ∼ N (0, σ0 In ), n ×Ó f (ε) = Ì Ó ÒØ Ò× ØÝ ÓÖ Ò ε2 1 √ exp − t 2 2σ 2πσ 2 t=1 Ù× Ò Ò Ó Ú Ö Ð ×º Ï Ú ∂ε ×Ó ∂y ′ = In ∂ε | ∂y′ | y Ò = 1, ×Ó ÓÒ×ØÖÙ Ø ε = y −Xβ, n f (y) = t=1 √ 1 2πσ 2 exp − (yt − x′ β)2 t 2σ 2 . º Ê ÁË Ë Ì Ò ÐÓ ×¸ √ ln L(β, σ) = −n ln 2π − n ln σ − ÁØ³× Ð Ö Ø Ø Ø Ý ÓÒ ÓÖ Ø ÅÄ Ó n t=1 (yt − x′ β)2 t . 2σ 2 × Ø ÓÒ ÓÖ ÇÄË ´ÙÔ ØÓ ÑÙй β0 Ö Ø × Ñ Ø ÔÐ Ø ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ö Ø × Ñ ¸ ÙÒ Ö Ø Ì Ö ÓÖ ¸ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ × Ö Ø × Ñ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ÙÒ Ö Ø ˆ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Òغ Û Ø ÒÓÖÑ Ð Øݸ Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ β ÓÒ×Ø Òص¸ ×Ó × Û ³ÐÐ × Ú Ð Ø Ö¸ Ø Û ÐÐ º Ì Ò Ý × × ÔÓ×× Ú Ò Ð Ø Ø ØÓ Ù× ´ Ø Ö Ø µÐ Ò Ø Ö ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÙØ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø × Ö Ø ÔÖ × ÒØ ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ò ×Ø ÐÐ × ×Ø ÐÐ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × V ar(ε) = σ 2 In , Ð Ó Ø Ú × ÐÓÒ × ε ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÒÓØ ε Ö ×× × ÒÓÒÒÓÖÑ Ðº ÁÒ Ò Ö Ð Û Ø ÒÓÒÒÓÖÑ Ð ÖÖÓÖ× Ø Û ÐÐ ÒØ Ò ×× ÖÝ ØÓ Ù× Ø ÔÓ×× ÒÓÒÐ Ò Ð ØÝ × ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ØÓ Ò Ø × ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓØ ×º ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ì º ´½µ ÏÖ Ø Ò Ç Ø Ú Ø ÓÒ× Ó ×ÐÓÔ ØÓ Ô Ö Ò Ö Ø ÒÓØ Ü Ö × × Ò Ö Ø × ×ØÓ Ö Ñ ÇÄË ÒÙÑ Ö¸ ÓÖ ˆ n βj − βj Ñ Ø Ö׺ R × Ø × ÓÙÐ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÓÖ √ ÔÖÓ Ö Ñ Ø ¸ Û ÓÙÐ Ø Ö R Ò ÅÓÒØ ÖÐÓ Ö ÔÐ ¹ Ó Ø Ð Ù× ÖÖÓÖ× Ò Ö Ø ×ÝÑÔØÓØ ˆ β × Ø Ð Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ð βj × ÓÒ ÑÓ Ø Ø Ø µº Ó k ×Ø ½¼¼¼º Ì Ü ÔØ Ø ÓÐÐÓÛ Ø ×ØÖ ÙØ Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ × ÓÙÐ ×ØÓ Ö Ñ× ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÓÑÑ Òغ n ∈ {20, 50, 100, 1000} º 2 ´ØÖÝ U (−a, a)¸ t(p)¸ χ (p) − p, Ó ÝÓÙ Ó × ÖÚ Ú Ò À ÈÌ Ê Ê ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò ÝÔÓØ × × Ø ×Ø× ½º ÁÒ Ñ ÒÝ × ×¸ ÓÖ Ò Ü ÑÔÐ ¸ Ò ÓÑ º Á Û ÓÒÓÑ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó ¹ Ñ Ò Ú Ü Ø Ð Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÖÝ ×Ù ×Ø× Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ØÓ ÓÑÓ Öµ ÑÓ Ð¸ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ö ÑÓ Ðº × ×ÙÔÔÓ× Ò ÓÙ× Ó Þ ÖÓ Ò ÔÖ × ÓÙ Ð × ´ÐÓ ¹Ð Ò ln q = β0 + β1 ln p1 + β2 ln p2 + β3 ln m + ε, Ø Ò Û Ò Ø Ø k0 ln q = β0 + β1 ln kp1 + β2 ln kp2 + β3 ln km + ε, ×Ó β1 ln p1 + β2 ln p2 + β3 ln m = β1 ln kp1 + β2 ln kp2 + β3 ln km = (ln k) (β1 + β2 + β3 ) + β1 ln p1 + β2 ln p2 + β3 ln m. Ì ÓÒÐÝ Û Ý ØÓ Ù Ö ÒØ Ø × ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ k × ØÓ × Ø β1 + β2 + β3 = 0, Û × Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒº ÐÝ Ø ÑÓ×Ø ÓÑÑÓÒÐÝ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø Ò ÓÙÒØ Ö × º × × Ð Ò Ö ÕÙ Ð ØÝ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ¸ Û × ÔÖÓ ½º½º ÁÑÔÓ× Ø ÓÒº Ì Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö ÕÙ Ð ØÝ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× × Ø ÑÓ Ð y = Xβ + ε Rβ = r Û Ö R • • × Ï Ï Q×K ××ÙÑ Ð×Ó Ö Ñ ØÖ Ü¸ Q LR > LM. ÓÖ Ø Ø ×Ø Ö Ö × Ö Ø× ×ÓÒ¸ Ø Ø Ï Ð Ø ×Ø Û ÐÐ Ø׺ Ì ¸ ÓÒ ÐÛ Ý× Ö × × Ø Ø ÄÊ Ø ×Ø Ö Ö Ø׸ × Ø Ò Ò ØÙÖÒ Ø Ð ØÝ Ø × ÄÊ Ø Ý ÄÅ Ø ×Ø Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö ÔÓÖØ ÔÓ×× ÙÐ Ó ÝÔÓØ × ×º Ý ÖÖ Ö Ó Ø ×Ø Ø ×Ø Ù× Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÔÔÖÓ Ó Ð Ò ÛÓÙÐ Ö ×ÙÐØ× ØÓ ÐÐ Ø Ö ÖÖÓÖ× Ø ÚÓÖ ÓÖ ÚÓÖ ÓÒ× ÖÚ Ø Ú » ÓÒ ×Ø Ú Ð Ð º ÁÒ Ø ×ÝÑÔØÓØ × ØÓ Ö ÔÓÖØ Ð× Û Ø ÒÓÖÑ Ð Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × Û Ò Ø ÔÖ Ì Ö ÑÓ Ö F Ø ×Ø × ØÓ ¸ × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ø ×Ø× Ò ÒÓØ ÕÙ Ø Ï Ð Ò ××Ù º Ö Òغ Ì ØÖÙ × Þ ´ÔÖÓ Ð ØÝ Ö × Þ ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÐÐ Û Ú ÓÖ Ó Ø Ò Ø Ø Ó Ö Ø Ò Ø ÒÙÐÐ × ØÖÙ µ Ó Ø Û Ø Ø Ø ×Ø × Ó Ø Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒº Ä Ö Ñ Ø ÐÐÝ Û × ¸ Ø ØÖÙ ÒÓÑ Ò Ð × Þ × ÓÖ ××Ó ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÑ Ò Ð × Þ º Ó Ø Ø ×Ø × Ó Ø Ò ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × ÆÓÛ Ø Ø Û Ú Ñ ÒÙ Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø ×¸ Û Ò ØÓ ÒÓÛ ÓÛ ØÓ Ù× Ø Ñº º ÓÒ Ø Ò ÒØ ÖÚ Ð× ÓÖ × Ò Ð Ó ÓÒ Ò ÒØ× Ö ÒØ ÖÚ Ð× Ò Ö Ø Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Ñ ÒÒ Öº Ú Ò t ×Ø Ø ×Ø t(β) = 100 (1 − α) % ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ t(β) Ó × ÒÓØ Ö Ø H0 : β0 = β, Ð ÓÖ Ù× Ò ˆ β−β σβ ˆ Ò Ý Ø Ò ÓÙÒ × Ó Ø Ð Ú Ð × Ø Ó β0 × β ×Ù Ø Ø α × Ò C(α) = {β : −cα/2 < Ì × Ø Ó ×Ù ˆ β−β < cα/2 } σβ ˆ β × Ø ÒØ ÖÚ Ð ˆ β ± σβ cα/2 ˆ ÓÒ ×Ù Ì × Ø Ø Ø Ò ÐÐ Ô× ´ÓÖ ×ÓÑ Ò ÐÐ Ô× ¸ × Ò ÓÖ ØÛÓ Ó ÓØ Ø ÒØ× Ó ÒØÐÝ ÛÓÙÐ Ó ×Ò³Ø Ö ÓÖÖ Ð Ø Á ÓÖ Ò Ò º Ú Ù Ð Ó × Ò Ø ÒØ Ö Ó ÓÙÒ Ø Ò × Ò ´ Ò¹ ÒØ × ÓØ ¸ Ø Ò ÐÓ ÓÙ×Ðݸ Ø Ø Ø ×Ô F Ö Ö Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø µ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ø Ö × Ø Ó ßβ1 , β2 } Ö Ø Ð Ú ÐÙ º Ò Ö Ø × • Ì ÓÒ ÐÐ Ô× ¸ × Ò Û Ø Ò Ø ÐÝ ÐÓÒ µ Ö Ø Ò Ð Ñ Ö Ò Ð Þ ØÓØ Ð ÔÖÓ º Ñ ×× ÓÒ ´ º º¸ Ò Ø ÙØ Ð×Ó ÓÒØ Áº Û Ò × ÒÝ Ú ÐÙ µº Ë Ò 1 − α, Ø ÓØ × ÝÓÒ ÐÐ Ô× Ñ Ò× ÓÒ× Ø Ò ÖÓÑ Ø Ú Ò× Ñ ×× Ù Ð Ô ØÙ 1 − α, Ø ÑÙ×Ø ÜØ Ò ÓÙÒ × Ó • Ø Ø º ÇÇÌËÌÊ ÈÈÁÆ ¼ ÙÖ ½º ÂÓ ÒØ Ò ÁÒ Ú Ù Ð ÓÒ Ò Ê ÓÒ× Ê Ö Ø ÓÒ Ó Øº ÝÔÓØ × × Ò Ú Ù ÐÐÝ Ó × ÒÓØ ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ó ÒØ Ø ×Ø Û ÐÐ ÂÓ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó × ÒÓØ ÑÔÐÝ Ò Ú Ð Ø ×Ø× Û ÐÐ Ö Øº º Ï Ò ÒÛ Ö ÐÝ ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ Ø Ó Ø Ò ÒØ ÖÚ Ð׸ Û ³Ö ÓÓØ×ØÖ ÔÔ Ò Ø ÒÓÖÑ Ð Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ¹ × Ø ×Ø× Ò ÓÒ¹ × Þ × Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÖÓÖ׺ Á Ø × ÑÔÐ ÓÖÝ ØÓ Ù× Ø × Ö ÓÙ× Ö × º ÇÇÌËÌÊ ÈÈÁÆ ½ ×Ñ ÐÐ Ò ÖÖÓÖ× Ö ÒØ Ø Ö ÐÝ ÒÓÒÒÓÖÑ Ð¸ Ø Ò Ø× Ð Ö × ÑÔÐ ×ØÖ ×ØÖ ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ ÙØ ÓÒº Ø Ðк Ò º Ð×Ó¸ Ø Ñ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ×ØÖ √ ØÓ Ú ÖÝ ÙØ ÓÒ× Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ˆ n β − β0 Ñ Ý Ñ Ý ÒÓØ Ö × Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒ× Ø Ö Ð Ñ Ø Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ× Ò× Ó ØÖÝ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ× × Ø ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ Ö × ÑÔÐ Ø Ø ÙØ ÓÒ Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × Ø Ø Ñ Ò ÓÓØ×ØÖ Ôº Ï ³ÐÐ Ü ÑÔÐ ¸ Ù×Ø ØÓ ËÙÔÔÓ× y ε X Ú Ò Ø Ø Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Û = ∼ × ÒÓÒ×ØÓ ×Ø Xβ0 + ε 2 IID(0, σ0 ) ε Ú × ÙÒ ÒÓÛÒ¸ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÓÙÐ ˆ β Û ÐÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ò ×Ñ ÐÐ × ÑÔР׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ × Ò ×Ø Ô× Ö Ö Û Ò Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò ¸ Û ÖØ Ð εj ˜ ´ Ø³× Ø º Ì ´½µ ´¾µ Ì nÓ × ÖÚ Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø Ò Ø Ò Ö Ø Ø × ε Û Ø Ö ÔÐ Ñ Òغ ˆ ˆ ˜j Ý y = Xβ + ε ˜j ˜ β j = (X ′ X)−1 X ′ y j . ˜ ÐÐ Ø × Ú ØÓÖ n × 1). ´¿µ ÆÓÛ Ø ×Ø Ñ Ø ´ µ Ë Ú ´ µ Ê Ô Ï Ø Ø ×¸ Û ˜ βj Ø ×Ø Ô× ½¹ ¸ ÙÒØ Ð Û Ò Ù× Ø Ú Ð Ö ÒÙÑ Ø ÛÓÙÐ Ö¸ J, Ó ˜ βj . ˜ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó βj . Ö Ø Ò ÇÒ Ö ÔÐ Ø ÓÒ× ØÓ Ð ÙÐ Ø Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ð ×Ø Ø ÑÔ Ö Ð ØÓ ÓÖ Ö ÔÐ Ø ÓÒ׸ Ú Ø Û Ý ØÓ ÓÖÑ ØÓ Ð Ö ×ظ Ò ×Ø ½¼¼´½¹α)% ÓÒ ÖÓÔ Ø Ð Ñ Ø× Ó Ø Û ÓÒ º Ö×Ø β0 Ø ˜ βj Ù× Á Ø ÖÓÑ ×Ñ ÐÐ ×Ø Ö Ñ Ø Ò Ò Jα/2 ØØ Ó Ò ÔÓ ÒØ× ×ØÖ Áº ÆÓØ × Û ÐÐ ÒÓØ × ÓÖØ ×Ø ÑÔ Ö Ð ÙØ ÓÒ × × • ËÙÔÔÓ× Û × ÒØ Ö ×Ø Ë ÑÔÐ ×ØÖ Ò Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ×ÓÑ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÖ ˆ β, ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò ÛÓÖ Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø º Û Ø Ø Ù×Ø Ð ÙÐ Ø ÙØ ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ j, ÑÔ Ö Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒº ´ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ø Ø Ö × Ø ÖÓ× Ò ×¹ Ý • Á Ø ÖÖÓÖ× × ØÓÓ ×ØÖÓÒ ÐÓÛµ ÓÒ Ø ØÝ ÓÖ × ÑÔÐ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ × ÖÓÑ Ò ÛÓÖ ÓÓØ×ØÖ Ô • ÀÓÛ ØÓ ÓÓ× Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ó Ò Ø (y, x) J J × × Ø Û Ø Ö ÔÐ Ñ Òغ Ð Ö ÒÓÙ × × Ø Ø Ø Ö ×ÙÐØ× º Á ÓÒ³Ø Ò Ø Ò Û Ø Ö ×ÙÐØ× × ÓÙÐ ÒØ Ö ÓÓØ×ØÖ Ôº Ì ×Ý ØÓ ÝÓÙ ÐÓظ Ò Ö ÓÓØ×ØÖ Ô × J Ò ÙÒ ØÖÝ Òº Ø Ø Ø ×ØÖ ÑÔ Ö Ð ÙØ ÓÒ × ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÑ × ÓÒ¹ • Ì Ó Ð Ö Ú Ö ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÒ Ø × ØÓ Ø × ÑÔÐ ÓÒÚ Ö × ØÙ Ð × ÑÔÐ Ò ÖÓÑ Ø × ÑÔ Ö Ð n ¸ ×Ó ×Ø Ø ×Ø × Ò ×ØÖ ÓÒ × ÑÔÐ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÓÙÐ ÙØ ÓÒ ØÓ ×Ø Ø ×Ø × ÓÒ × ÑÔÐ Ò ÖÓÑ Ø ØÙ Ð × ÑÔÐ Ò ÙØ ÓÒº × ÑÔР׸ Ø × Ó ×Ò³Ø ÓÐ º Ø Ñ Ò ÑÙѸ Ø Ö ÒØ ÓÓØ×ØÖ Ô × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÓ Û Ý ×Ñ ÐÐ • ÁÒ ØÓ Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒº Ò Ù× ÓÖÝ Ö ×ÙÐØ× Ó × ÑÔÐ • Ø ÓÓØ×ØÖ ÔÔ Ò Ø Ò ØÓ Ø ×Ø ÝÔÓØ × ×º ×ØÖ × ÐÐݸ Ù× Ø Ø ÓÓØ×ØÖ Ô ØÓ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÝÔÓØ × ×¸ Ò ÑÔ Ö Ð Ù× Ø × ØÓ ÙØ ÓÒ Ó Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø ÙÒ ÓÑÔ Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ö Ø Ð Ú Ð٠׺ Ø ×Ø º Ì ËÌÁÆ ÆÇÆÄÁÆ Ê Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆ˸ Æ ÌÀ ÄÌ Å ÌÀÇ ¾ ×Ø Ø ×Ø Ð ÙÐ Ø Ú Ð٠׺ Ì Ö Ö Ù× Ò Ø Ö Ð Ø ¸ ÙÒ × Ø Ö Ø ÒÙÐи ØÓ Ø Û ÓÓØ×ØÖ Ô Ö Ø Ð Ó ÒØÓ Ö º Ñ ÒÝ Ú Ö Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ñ ¸ Û ÛÓÒ³Ø º Ì ×Ø Ò ÒÓÒÐ Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ Ò Ø Ì ×Ø Ò Ø ÑÓ ÒÓÒÐ Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ó Öº Ë Ò Ð Ò Ö ÑÓ Ð × ÒÓØ ÑÙ Ð × Ð Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù Ö ÝÓÒ Ð Ò Ø Ø ØÓ ÒÓÒÐ Ò × ÓÖ Ö ÑÓ Ðº Ó Ø ÐØ Å Ø Ó ÑÓÖ ÙÐظ ØÐ ×Ø Û Ò Ö Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ö ÕÙ Ö × ÒÓÒÐ Ò Ö Ø Ï Ð ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ×¸ Û Ø ×Ø ÓÖ ÒÓÒÐ Ò ÓÒ× Ö Ø × ÓÙÖ× ¸ Û ³ÐÐ Ù×Ø ÓÒ× Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ q ÒÓÒÐ Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× r(β0 ) = 0. Û Ø Ö r(·) × × q ¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒº ÏÖ Ø Ø Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø β Dβ ′ r(β) Ï ×ÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ö ÒÓØ Ö β = R(β) ÒØ Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó ÙÒ β0 ¸ ×Ó Ø Ø ρ(R(β)) = q Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó β0 . Ì Ö×Ø ÓÖ Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö × ÜÔ Ò× ÓÒ Ó ˆ r(β) ÓÙØ β0 ˆ ˆ r(β) = r(β0 ) + R(β ∗ )(β − β0 ) Û Ö β∗ × ÓÒÚ Ü ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ˆ β Ò β0 . ÍÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × Û Ú ˆ ˆ r(β) = R(β ∗ )(β − β0 ) Ù ØÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ˆ β Û Ò Ö ÔÐ Ï ³Ú ÐÖ Ý × Ò Ø ×ØÖ √ ÓÒ× Ö Ò Ø ÕÙ β ∗ Ý β0 ¸ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ √ √ ˆ a ˆ nr(β) = nR(β0 )(β − β0 ) √ ˆ ÙØ ÓÒ Ó n(β − β0 ). Í× Ò Ø × Û d ×Ó Ø 2 ˆ nr(β) → N 0, R(β0 )Q−1 R(β0 )′ σ0 . X Ö Ø ÓÖÑ ˆ nr(β)′ R(β0 )Q−1 R(β0 )′ X 2 σ0 ÙÒ Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × ×º ËÙ ×Ø ØÙØ Ò ×ÙÐØ Ò ×Ø Ø ×Ø × −1 ˆ r(β) → χ2 (q) ÓÖ d ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ× β0, QX Ò 2 σ0 , Ø Ö ¹ ˆ ˆ ˆ r(β)′ R(β)(X ′ X)−1 R(β)′ σ2 ÙÒ Ö Ø ÒÙÐÐ Ì × × Ø ÝÔÓØ × ×º Ð Ø Ö ØÙÖ × Ø −1 ˆ r(β) → χ2 (q) ¸ ÓÖ Ò Ø × d • • ÒÓÛÒ Ò Ø × × Ö Ú × Ï Ð ÐØ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÚ Ö¹Ö Ý Ö ÕÙ Ö × ÓÙÖ× º ×Ø Ñ Ø Ö ÃÐ Ò³× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº × ÑÔР׺ Ì × ÓÖ Ò Ö Ë Ò Ø ×ظ Ø Û ÐÐ Ø Ò Ð Ø ×¸ ÙØ Ø Ø Ò ÄÊ Ø ×Ø× ÑÓ Ð׸ Û × Ð×Ó Ð×Ó ÔÓ×× ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ö Ò³Ø Ò Ø ÓÒÚ Ò × ÓÔ Ó Ø ÆÓØ Ø Ø Ø ÒØ Û Ý ØÓ ÒÓÒÐ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ× × ÒÓØ Ò ××Ó × Þ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÓÒ Þ ÖÓ¸ Û Ù×Ø Ú Ò ÒØ ÖÚ Ð׺ Á Ø ÙÒ Ø ÓÒ r(β0 ) ÝÔÓØ ØÓ √ 2 ˆ n r(β) − r(β0 ) → N 0, R(β0 )Q−1 R(β0 )′ σ0 X d º Ì ËÌÁÆ ÆÇÆÄÁÆ Ê Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆ˸ Æ ÌÀ ÄÌ Å ÌÀÇ ¿ ×Ó Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × 2 ˆ r(β) ≈ N (r(β0 ), R(β0 )(X ′ X)−1 R(β0 )′ σ0 ) ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ú ØÓÖ Ó Ð ×Ø Ø × Ó ÙÒ Ø ÓÒ f (x) × η(x) = Û Ö x ∂f (x) ⊙ ∂x f (x) Û ×Ø Ñ Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ ⊙ Ñ Ò× Ð Ñ Òع ݹ Ð Ñ ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ËÙÔÔÓ× y = x′ β + ε. Ì Ð ×Ø Ø × Ó y ۺֺغ x Ö η(x) = ´ÒÓØ Ø Ø Ø × × Ø ÒØ Ö Ú ØÓÖ Ó β ⊙x x′ β ×µº Ì ×Ø Ñ Ø Ð ×Ø Ø × Ö Ð ×Ø Ø η(x) = ÌÓ Ð ÙÐ Ø Ø ×Ø Ñ Ø ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ× Ó ˆ β ⊙x ˆ x′ β ÐÐ Ú Ð ×Ø Ø ×¸ Ù× R(β) = = ÌÓ ÖÖÓÖ Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ∂η(x) ∂β ′  x1 0 · · · 0  º  0 x º º  2  º ºº  º º 0  º 0 · · · 0 xk x. Ì Ö ÑÓ       ′  x β −      Ò  β1 x2 1 0 º º º 0 β2 x2 2 ··· ØØ ··· ºº º 0 º º º        Ø × Ò 0 0 0 βk x2 k Ò (x′ β)2 ÆÓØ Ø . ×Ø Ò Ö ÓÒ º ×Ø Ñ ØÓÖ Ù×Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ÔÖÓ Ö Ñ ˆ βº Ð ×Ø ØÝ Ü ÑÔÐ ÐØ Å Ø Ó ºÑ × ÓÛ× Ð×Ó ÒÚÓÐÚ × ØÙÖ Ø ÓÛ Ø ÁÒ Ñ ÒÝ × ×¸ ÒÓÒÐ Ò ÓÖ Û Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÓÒ× Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò Ð Ó ÜÔ Ò Ò ØÙÖ Ø ¸ ÒÓØ Ù×Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ñ Ò ÙÒ ÓÒ¸ Ö ×º Ä Ø × Ö x(p, m) G p × ÔÖ × Ò m × Ò ÓÑ º ÜÔ Ò ×Ý×Ø Ñ ÓÖ ÓÓ × × si (p, m) = ÆÓÛ Ú Ø Ñ Ò ÑÙ×Ø ÔÓ× Ø Ú ¸ Ò pi xi (p, m) , i = 1, 2, ..., G. m Û ××ÙÑ Ø Ø ÜÔ Ò ØÙÖ × ×ÙÑ ØÓ Ò ÓÑ ¸ ×Ó Û Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× G i=1 ËÙÔÔÓ× Û ÔÓ×ØÙÐ Ø Ð Ò Ö ÑÓ 0 ≤ si (p, m) ≤ 1, ∀i si (p, m) Ð ÓÖ Ø = ÜÔ Ò ØÙÖ × 1 Ö × i i i si (p, m) = β1 + p′ βp + mβm + εi ÁØ × Ø Ò Ò ×Ô Ø Ø ÖÐÝ × ×Ý ØÓ ÛÖ Ø Ö × Ð Ò Ø Ð Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ×Ù Ø Ø Ø × Ö × ×ÙÑ ØÓ ÓÒ ¸ ÓØ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÙØ Ø Ò Ø ÓÖ Ð × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ú ÐÙ × Ó ÐÐ ÔÓ×× Ö ×ÓÒ Ð [0, 1] Ñ ÒØ ÖÚ Ð Ø Ô Ò × ÓÒ m. m. ÁØ × ÑÔÓ×× ÁÒ ×Ù ØÓ ÑÔÓ× Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ö Û Ø × ×¸ ÓÒ Ø ÓÒ× Ö ÓÖ ÒÓØ 0 ≤ si (p, m) ≤ 1 Ð Ò Ö ÑÓ p p Ð Ø ÓÒº º ÅÈÄ ÌÀ Æ ÊÄÇÎ Ì º Ê Ñ Ñ Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ö Ø Ð Ö Ø Û Ò Ü ÑÔÐ Ø Æ ÖÐÓÚ ´× Ø ÓÒ Ø º¿µ Ø Ø Ø ÇÄË Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ü ÑÔÐ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¾ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º½ ¿ ¿ Ê ×ÙÐØ× ´ÇÖ Ò ÖÝ Ú Ö¹ ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖµ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ×Ø Ñ Ø ¹¿º ¾ ¼º ¾¼ ¼º ¿ ¼º ¾ ¹¼º¾¾¼ ×غ ÖÖº ½º ¼º¼½ ¼º¾ ½ ¼º½¼¼ ¼º¿¿ ع×Ø Øº ¹½º ½º¾ ½º º¾ ¹¼º Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼ ¼º¼¼¼ ¼º½¿ ¼º¼¼¼ ¼º ½ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÆÓØ Ø Ø sK = βK < 0¸ Ö Ø Ø Ö Ó ÒØÐݺ Ò Ø Û ½ Ø Ò Ú Ò Ø Ø βL + βF + βK = 1º Ò Ê Ñ Ñ ÓÑÓ Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ö ØÙÖÒ× ØÓ × Ð ¸ Ø βQ = 1, × ÊÌË Ò Ò Ø × × Ö Ø × Ö ½º ØÝ Ó βL + βF + βK = 1º Ø ÓÐÐÓÛ Ï Ò Ø ×Ø Ø Ò Ø ×Ø× ÝÔÓØ Ø × Ô Ö Ø ÐÝ ÓÖ ÖÓÑ Ø Û Ó Ø Æ ÖÐÓÚ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×ºÑ Ö ×ÙÐØ× Ø ÑÔÓ× × Ò ÀÇ ÁÑÔÓ× Ò Ò Ø ×Ø Ò ÀÇ ½ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ê ×ØÖ Ø ÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¾ ¾ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º½ ×Ø Ñ Ø ¹ º ½ ¼º ¾½ ¼º ¿ ¼º ½ ¹¼º¼¼ ×غ ÖÖº ¼º ½ ¼º¼½ ¼º¾¼ ¼º½¼¼ ¼º½ ¾ ع×Ø Øº ¹ º¾ ¿ ½º¼ ¼ ¾º º½ ¹¼º¼¿ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Î ÐÙ Ô¹Ú ÐÙ ¼º ¼º ¼ Ï Ð ¼º ¼º ½ ÄÊ ¼º ¿ ¼º ½ Ë ÓÖ ¼º ¾ ¼º ¾ º ÅÈÄ ÌÀ Æ ÊÄÇÎ Ì ÁÑÔÓ× Ò Ò Ø ×Ø Ò ÊÌË ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ê ×ØÖ Ø ÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¼ ¾¼ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º ¿ ½ ×Ø Ñ Ø ¹ º ¿¼ ½º¼¼¼ ¼º¼¾¼ ¼º ½ ¼º¼ ×غ ÖÖº ¾º ¼º¼¼¼ ¼º ¼º½ ¼º ¾ ع×Ø Øº ¹¾º ¿ ÁÒ ¼º¼ ¼ º¾ ¼º½¿¾ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼½¾ ¼º¼¼¼ ¼º ¼º¼¼¼ ¼º ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Î ÐÙ Ô¹Ú ÐÙ ¾ º¾ ¾ ¼º¼¼¼ Ï Ð ¾ º ½ ¼º¼¼¼ ÄÊ ½ ¼º ¿ ¼º¼¼¼ Ë ÓÖ ¿º ½ ¼º¼¼¼ ÆÓØ × ÒÓØ Ö Û Ò Ø Ø Ø Ø Ø ÒÔÙØ ÔÖ Ò Ó Ò ÒØ× Ò Ø ×ÙÑ ØÓ ½ Û Ò ÀÇ ½ × ÑÔÓ× Ó × ÒÓØ ÓÖ ÝÔÓØ º ÀÇ ÖÓÔ ÑÙ ÊÌ˸ ÝÓÙ × × Ø Ø Ø ½ Ø Ù×Ù Ð × × Ð Ú Ð× ´ º º¸ α = 0.10µº ØÓ Ø ÙÒÖ ×ØÖ Ø º Ð Ø Ø Ø Ø 2 Ð×Ó¸ R Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ÒÓØ × Ö Ø Ø Ø Ø Û Ø Ø ÑÔÓ× ×Ó Ø ¸ ÓÑÔ Ö Ö ×ÙÐØ׺ Ø Ø Ø × ÓÙÐ βQ = 1¸ Ý Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ × × Ø × Ø ÐÐ Ö ×ÓÒ Ð×Ó ÒÓØ × Ò βQ = 1 Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × Ò Ð Ú Ð׺ ÆÓØ 2 Ø R ÖÓÔ× ÕÙ Ø ÝÓÙ Ò × Ò ÑÔÓ× Ò ÊÌ˺ Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ð×Ó Ö Ø׸ Ò ÙÒÖ ×ØÖ Ø ÓÒ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ׸ ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ø¹Ø ×Ø ÓÖ βQ = 1 βQ Ó × ÒÓØ ÓÚ ÖÐ Ô ½º ÖÓÑ Ø ÀÇ ½ × ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó Ò Ó Ð ×× Ð Ø ÓÖݸ ÓÒÓÑ Ø ÓÖݸ Ø × Ö ×ÙÐØ× Ö ÒÓØ ÒÓÑ ÐÓÙ× Ò ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÙØ ÊÌË × ÒÓغ Ü Ö × ½¾º ÅÓ Ý Ø Æ ÖÐÓÚ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×ºÑ ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ ÑÔÓ× Ò Ø ×Ø Ø Ö ¹ ×ØÖ Ø ÓÒ× Ó ÒØÐݺ Ì Ê ÐÐ Ø Û Ø Ø ÓÛ Ø ×غ Ë Ò Ø Ø Ö×Ø Ú ÓÖ Ø ÖÓÙÔ × ×ÓÖØ Ò Ø ÊÌË × Ö Ø ¸ Ð Ø³× Ø Ø Ý Ö Ü Ñ Ò Ø ÔÓ×× Ò Ð Ø × ÑÓÖ Ö ÙÐÐݺ ÖÑ׸ ÖÑ׸ Ý ÓÙØÔÙØ ´Ø ¾ ÖÑ× Û Ø Ò Ò Ü Ô ÓÐÙÑÒµº ×Ù × ÑÔÐ × Ó Ò Ø ÓÖ Ò ÜØ ¾ ÐÓÛ ×Ø ÓÙØÔÙØ Ð Ú Ð׸ Ø Ø º Ì ×Ù × ÑÔÐ × Ò Ø º j = 1, 2, ..., 5, Ð Ò Ö ÑÓ Û Ð Ö j=1 t = 1, 2, ...29¸ j=2 ´¾ µ Û Ö t = 30, 31, ...58¸ Û × j j j j j ln Ct = β1 + β2 ln Qt + β3 ln PLt + β4 ln PF t + β5 ln PKt + ǫt j Ò × ×ÙÔ Ö× Ö ÔØ ´ÒÓØ ØÓ Ø ×Ù × ÑÔÐ Ò ØÙÖÒ ÔÓÛ Öµ Ø Ø Ø Ò Ø × Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø ÐÐ׺ Ì Ó ÒØ× Ñ Ý Ó ÒØ× Ø Ò Ö ÒØ Ô Ò Ø × ÓÖ ÙÔÓÒ Ò Û Ø ×¸ Ø j Û Ô Ò × ÙÔÓÒ t. ÆÓØ Ø Ø Ø Ö×Ø ÓÐÙÑÒ Ó Ò ÖÐÓÚ º º Ê ÁË Ë ÙÖ ¾º ÊÌË × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÖÑ × Þ RTS 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 1 1.5 2 2.5 3 Output group 3.5 4 4.5 5 Ø × Û Ý Ó Ö Ò ÙÔ Ø × ÑÔÐ º Ì Ò Û ÑÓ Ð Ñ Ý ÛÖ ØØ Ò ×  ´¾ µ Û Ò Ö y1 × ¾ ǫj × Ø Ì ÝÔÓØ Ø Ø Ö Ç Ø Ú ×1, X1 29 × 1 Ú ØØ   y1 X1 0 ··· 0  y   0 X2  2    º   º  º = º X3  º   º       X4 0 0 X5 y5 × ¾ ØÓÖ Ó ×5, β j × Ø ÖÖÓÖ× ÓÖ 5 × 1 Ú ØÓÖ Ó Ó Ø j th ×Ù × ÑÔÐ º ÓÛÌ ×ØºÑ Ö Ø Ú Ö × Ñ   1  ǫ β1   2   ǫ2   β      º   + º     º           5 5 β ǫ  ÒØ ÓÖ Ø j th ×Ù × ÑÔÐ ¸ ÔÖÓ Ö Ñ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×» Ú ×Ù × ÑÔÐ × × ÒØ ×Ø Ð ØÝ × Ô Ö Ø ×Ø Ñ Ø × Ø ÓÚ ÑÓ Ðº ÁØ Ð×Ó Ø ×Ø× Ö ÛÓÖ ×¸ Ø Ø × ×Ø × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ¸ ÓÖ Ò ÓØ ÒÙÐÐ ØÓ Ø ×Ø ÖÓ×× Ø ÖÓÙÔ× ×Ù × ÑÔР׺ Ì ÐÐ Ø × Ñ ¸ Ø × Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ× ÓÖ Ø Ø ×¸ β1 = β2 = β3 = β4 = β5 Ì Ö × ØÝÔ ÖÖ Ó Ø ×ظ Ø × Ö Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö ÓÒ×Ø ÒØ ÖÓ×× Ö ÒØ × Ø× Ó Ø ¸ × ×ÓÑ Ø Ñ × ØÓ ÓÛ Ø ×غ ¾¼ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ Á Ø Ö Ö Ö Ø Ø ¸ Û Ø Ø³× ÒÓØ Ð Ö ØÓ ÝÓÙ¸ ÐÓÓ Ò Ø Ø Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñº Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÐÐ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð × × ÓÙÐ × Ö ÔÖÓ Ò Ø Ð Ú Ð׺ ÑÓ Ð ÓÖ µ • • Ë Ò Ø Ì Ì Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø × Ø Ö ÐÝ Ù× ÙÒÖ ×ØÖ Ø Ò ÐÝ× ×º Ï ÙÖ × Ô ØØ ÖÒ Ó ÊÌË Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø × Ò Ö × Ò ÓÙØÔÙØ ÖÓÙÔ ´×Ñ ÐÐ ØÓ Ð Ö ÖÑ׸ ÙØ Ø ¾ ÔÐÓØ× ÊÌ˺ Ï Ò × ÊÌË ÓÖ ×Ñ ÐÐ Ø ÊÌË ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÖ Ð Ö ÖÑ׺ º ´½µ Í× Ò ×Ø Ø Ð ØÝ ÒØ× ØÓ ÓÛ Ø ×Ø ÓÒ Ø ÖÓ×× Ø Ø × Ñ ÖÓÙÔ׺ ÙØ Ð Ø Ø Ü Ö × × ÑÓ Ð¸ Û Ö Ø Ø Ø Ø Ö × Ó Ó ÒØ ¹ ÙØ Ô Ö Ô× Û Ò ÓÙÐ Ö ×ØÖ Ø Ø ÒÔÙØ ÔÖ ÒØ× Ú ÖÝ Ý Æ ÖÐÓÚ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙØ Ó ÖÓÙÔ º Ê ÁË Ë × Þ º Ì ´¾ µ ´ µ × Ò Û ÑÓ Ð × j j ln Ci = β1 + β2 ln Qi + β3 ln PLi + β4 ln PF i + β5 ln PKi + ǫi ×Ø Ñ Ø Ø × ÑÓ Ð Ý ÇÄ˸ ÓÖ Ø ×Ø× Ó Ø Ðº Ý Ø × ÑÓ Ø Ð ´Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ÑÓ Ð Ø Ò Ð Ø Ð Ø× Ð ÓÓ ÐÐ Ú Ò × Ò R¸ ×Ø Ñ Ø Ò ×Ø Ò Ø Ö ××Ó ÖÖÓÖ× Ø ÓÖ Ó¹ ÒØ׸ ع×Ø Ø ×Ø × Ò ¸ Ô¹Ú Ð٠׺ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ´ µ Ì ×Ø Ø Ó Ö ×ÙÐØ× Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÑÔÐ ÒØ× Ú ÖÝ ÖÓ×× ÖÓÙÔ×µ Ù× Ò Ö ×ÙÐØ׺ Ø ¸ Õ ¸ Ï Ð ¸ × ÓÖ Ö Ø Ó Ø ×Ø׺ ´ µ ×Ø Ñ Ø Ø ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø × ÑÓ Ð ÙØ ÑÔÓ× Ò Ñ ÀÇ ½ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ¸ Ù× Ò Ò ÇÄË ×Ø ¹ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñº ÔÖÓ Ö Ñº ´ µ ÈÐÓØ Ø ÔÐÓØ ØÓ Ø Ö ×ÙÐØ׺ ´¾µ Ø ÓÖ Ø ÐØ × ÑÔÐ Æ ÖÐÓÚ Ú ×Ø Ñ Ø Ø ÓÒ³Ø Ù× ÓÐ×Ö ÓÖ Ö ÒÝ ÓØ Ö Ö ×ØÖ Ø ÐÐ Ó ÒØ׺ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ø Ñ Ø ×Ø Ò ÖÖÓÖ× ÓÖ × ÊÌË Ô Ö Ñ Ø Ö× ÒÓØ × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÙÒÖ ×ØÖ Ø ÖÑ × Þ º ÑÓ Ðº ÓÑÔ Ö Ø Ú Ò Ò Ø ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø ÑÓ Ð¸ Ø ×Ø Ñ Ø Ö ØÙÖÒ× ØÓ × Ð ×Ø Ò Ø Ö × RT S = ÓÖ Ñ Ø Ó ØÓ Ð ÙÐ Ø ×Ø Ñ Ø ÖÖÓÖ Ö Ø ×Ø Ñ Ø 1 cº βq ÔÔÐÝ ÊÌ˺ Ö ØÐÝ Ø ×Ø Ú Ö×Ù× H0 : RT S = 1 Ú Ö×Ù× HA : RT S = 1 Ö HA : βQ = 1º ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø Ö ×ÙÐØ׺ ÅÓÒØ ÖÐÓ ×ØÙ Ý Ø Ø Ò Ö Ø × Ø Ò Ø ×Ø Ò H0 : βQ = 1 ´¿µ È Ö ÓÖÑ ÖÓÑ Ø ÑÓ Ð y = −2 + 1x2 + 1x3 + ǫ Û ÓÒ Ö Ø × ÑÔÐ Ò × Þ × ¿¼¸ x2 Ò x3 Ö Ö Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ×ØÖ ÙØ [0, 1] ÇÄË ´ µ ÓÑÔ Ö Ò ǫ ∼ IIN (0, 1) Ø Ñ Ò× Ö ×ØÖ Ø Ø Ñ Ò ×Ø Ò ÖÖÓÖ× Ó Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ø Ó ÒØ× Ù× Ò ÇÄ˸ ÑÔÓ× Ò Ò× Ò ×Ø Ò Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø β2 + β3 = 2. Ó ÒØ× Ù× Ò ´ µ ÓÑÔ Ö ÇÄË Ò ÖÖÓÖ× Ó Ø ×Ø Ñ Ø Ø Ö ×ØÖ Ø Ö ×ÙÐØ׺ ÇÄ˸ ÑÔÓ× Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø β2 + β3 = 1. ´ µ × Ù×× Ø À ÈÌ Ê Ò Ö ÐÞ ÇÒ Ó Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Û ³Ú Ñ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × Ø ÙÔ ØÓ ÒÓÛ × Ø εt ∼ IID(0, σ 2 ), ÓÖ Ó × ÓÒ ÐÐÝ εt ∼ IIN (0, σ 2 ). ÆÓÛ Û ³ÐÐ ÒÚ ×Ø ××ÙÑ ÑÓ Ø Ø Ü Ð × ÓÒ× ÕÙ Ò × Ó Ö ÒÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ø × Ò »ÓÖ Ñ ØØ Ô Ò ÒØÐÝ ×ØÖ ÙØ ÖÖÓÖ׺ Ï ³ÐÐ Ø ÓÒ Ð Ø Öº Ì Ö ××ÓÖ× ÓÖ ÒÓÛ¸ Ö Ð Ü Ò ÐÝ ÙÒÖ Ð ×Ø ××ÙÑÔ¹ y = Xβ + ε E(ε) = 0 V (ε) = Σ Û Ö Σ • • × Ò Ö Ð ×ÝÑÑ ØÖ ÔÓ× Ø Ú ØÝÔ Ò × ÙØ × Ø Ó Ø Û Ö × ÒÓØ ×µº × × × ×Ø ÓÒ Ð ÒØÐÝ ÓÑ ×ØÖ Ò Ø Ñ ØÖ Ü ´Û ³ÐÐ ÛÖ Ø β Ò ÔÐ Ó β0 ØÓ × ÑÔÐ Ý Ø Ì ØÖ Ì Ó Σ Σ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ÒÓÛÒ × Ñ Ú × ÙØ × ÒÙÑ Ú × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ¸ ÒÓÒ ÒØ ÐÐÝ ×¹ ÖÖÓÖ׺ Ì Û Ñ Ò Ö Ø ÖÓ× Ö ÓÒ Ø ×Ø Øݺ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙØ ÒÓÒÞ ÖÓ Ö Ð Ñ ÒØ× Ð×Ó Ø Ö ÑÓÑ ÒØ× × ÒØ ÐÐÝ ´ ××ÙÑ Ò ÖÖÓÖ׺ Ì Ø ÖÓ× × × ÒÓÛÒ Ò × Ñ µ Ô Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº × × Ú Ò Ö ÒÓ ÒÓÛÒ º × Ù× ¸ Á • Ì × È Ö Ò Ö Ð × ÒÓÒ×Ô Ô× Ø³× Ò Ö Ð Ò × ×Ø ØÝ Û Ý Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Ì × Ø ÖÑ ×ØÙÖ ÙÒ Ò ×¸ Ø ÓÙ Ö Ø Ð ×× Ð ÝÔ Ö×Ô Ù× ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ Ö º Ó ÒØ ÓÒ ÓÒ ÓÖ ε ÛÓÙÐ n− Ñ Ò× ÓÒ Ð ½º Ì Ð Ø× Ó ÒÓÒ×Ô ×Ø Ñ ØÓÖ × Ö Ð ×ØÙÖ Ò × ÓÒ Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø ×ÕÙ Ö ˆ β = (X ′ X)−1 X ′ y = β + (X ′ X)−1 X ′ ε • • ´¾ µ Ù Ø Ø Ø × Ö ØÓ Ø ×¸ ÒÝ Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø Ø Ï Ì Ú Ú Ö ÙÒ Ò × Ó Ò ×׸ × ÓÖ º ˆ β × ˆ ˆ E (β − β)(β − β)′ = E (X ′ X)−1 X ′ εε′ X(X ′ X)−1 = (X ′ X)−1 X ′ ΣX(X ′ X)−1 Ø × Ü ×Ø × × × ÙÔÓÒ ØÙÖ Ú Ò Ò Ó ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø ØÖÙ Ó ÒÓØ Ð σ2 × ÒÚ Ð ¸ × Ò ×Ò³Ø ×ØÖ 2 ÒÝ σ ¸ Ø Ó ×Ò³Ø º ºÔº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ØÓ ×Ø Ø ×Ø × Û Ø ÓÖÑÙÐ × ÓÖ Ø ÙØ ÓÒ׺ t, F, χ2 Ø ×Ø× ¾º ÌÀ ÄË ËÌÁÅ ÌÇÊ ˆ • β × • Á ε ×Ø ÐÐ ÓÒ× ×Ø Òظ ÓÐÐÓÛ Ò × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ¸ Ø Ü ØÐÝ Ø Ò × Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ú Ò ÓÖ º ˆ β ∼ N β, (X ′ X)−1 X ′ ΣX(X ′ X)−1 Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø ÝÔÓØ Ø Σ Ò × ÙÒ ÒÓÛÒ Ò Ò Ö Ð¸ ×Ó Ø × ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÛÓÒ³Ø Ù× ÙÐ ÓÖ Ø ×Ø Ò × ×º ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ • Ï Ø ÓÙØ ÒÓÖÑ Ð Øݸ X Û ×Ø ÐÐ Ú √ ˆ n β−β = = √ n(X ′ X)−1 X ′ ε X ′X n −1 n−1/2 X ′ ε ÄÌ ÔÔÐ ×µ × Ò Ø Ð Ñ Ø Ò Ú Ö Ò Ó n−1/2 X ′ ε X ′ εε′ X n ´×ÙÔÔÓ× Ò n→∞ ×Ó Û Ó Ø Ò lim E =Ω √ ˆ d n β − β → N 0, Q−1 ΩQ−1 X X Ø ÖÓ× × Ñ ×Ø ØÝ Ò »ÓÖ Ò Û ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ × Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÒ × Û Ø Ö ÙÑ×Ø Ò × ËÙÑÑ ÖÝ • • • • • ÙÒ ÇÄË Û Ø × Ò Ø ÖÖÓÖ× × Ö ÒØ Ú Ö Ò Ø Ò ÓÖ ¸ ×Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × Ö Ò³Ø Ú Ð × ÓÒ× ×Ø ÒØ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ¸ ÙØ Û Ø Ò Ø × × Ö ÒØ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ Ø × Ö ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Üº ÈÖ Ú ÓÙ× Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × × Ò Òظ × × × ÓÛÒ ÐÓÛº Ö Ò³Ø Ú Ð ×ÓÒº ¾º Ì ËÙÔÔÓ× ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÙÐ ÓÖÑ Ø ÓÐ × Ý ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Σ Û Ö ÒÓÛÒº Ì Ò ÓÒ P ′ P = Σ−1 À Ö ¸ P × Ò ÙÔÔ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üº Ï Ú P ′ P Σ = In ×Ó P ′ P ΣP ′ = P ′ , Û ÑÔÐ × Ø Ø P ΣP ′ = In ÓÒ× Ö Ø ÑÓ Ð P y = P Xβ + P ε, ÓÖ¸ Ñ Ò Ø Ó Ú ÓÙ× Ò Ø ÓÒ׸ y ∗ = X ∗ β + ε∗ . Ì × Ú Ö Ò Ó ε∗ = P ε × E(P εε′ P ′ ) = P ΣP ′ = In ¾º ÌÀ ÄË ËÌÁÅ ÌÇÊ ¼ Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ÑÓ Ð y ∗ = X ∗ β + ε∗ V (ε∗ ) = In × Ø × ÓÖÑ × Ø ÑÓ Ð ×× Ð Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ì ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × × ÑÔÐÝ ÇÄË ÔÔÐ ØÓ Ø ØÖ Ò×¹ E(ε∗ ) = 0 ˆ βGLS = (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ y ∗ = (X ′ P ′ P X)−1 X ′ P ′ P y = (X ′ Σ−1 X)−1 X ′ Σ−1 y Ì ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÒ × º ÓÖ × Ò Ø ××ÙÑ Ò × Ñ Ö ÙÑ×Ø Ò × ÙÒ ×Ø Ö Û Ø ÇÄË ×Ø ¹ Ñ ØÓÖ × ÙÒ Ü ÑÔÐ ¸ X × ÒÓÒ×ØÓ ˆ E(βGLS ) = E (X ′ Σ−1 X)−1 X ′ Σ−1 y = β. Ì Ú Ö Ò Ó Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ = E (X ′ Σ−1 X)−1 X ′ Σ−1 (Xβ + ε X Ò Ð ÙÐ Ø Ù× Ò ˆ βGLS = (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ y ∗ = (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ (X ∗ β + ε∗ ) = β + (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ ε∗ ×Ó E ˆ βGLS − β ˆ βGLS − β ′ = E (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ ε∗ ε∗′ X ∗ (X ∗′ X ∗ )−1 = (X ∗′ X ∗ )−1 X ∗′ X ∗ (X ∗′ X ∗ )−1 = (X ∗′ X ∗ )−1 = (X ′ Σ−1 X)−1 Ø Ö Ó Ø × Ð ×Ø ÓÖÑÙÐ × Ò Ù× º • ÐÐ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ× Ö ÓÐ ¸ Û × Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ø × Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÑÓ × Ó Ð¸ × Ò Ø Ø Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ØÖ Ò× ÓÖÑ ×Ø Ñ ØÓÖ ÑÓ Ð × Ø × Ö Û Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ Ð ×× Ð Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ׺º × ÐÓÒ × Û ×Ù ×Ø ØÙØ • Ì ×Ø× Ó Ú Ð ¸ Ù× Ò ÔÖ Ú ÓÙ× ÓÖÑÙР׸ X∗ Ò ÔÐ Ö Ð ØÓ X. ÙÖØ Ø ÖÑÓÖ ¸ ÒÝ Ø ×Ø Ø Ø 2 Ø ÒÚÓÐÚ × σ Ò × Ø Ø ØÓ 1. Ì × × ÔÖ Ö ¹ Ö Ú Ò ÄË ÔÔÖÓÔÖ ÓÖÑÙР׺ ÒØ Ø Ø ÙØ Ø × ØÓ ÒØ ÇÄË ÄË ×Ø Ñ ØÓÖº Ì × × × ÓÒ ÓÒ× ÕÙ Ò ÑÓ ÌÓ × Ð Ø Ø Ø × • Ì Ó Ø × Ø × ×Ø Ñ ØÓÖ × ÑÓÖ Ù××¹Å Ö ÓÚ Ø ÓÖ Ñ¸ × Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÐÐÓÛ Ò Ò ×Ø Ñ ØÓÖ × ×Ø Ñ ØÓÖ µ × Ø Ð ×× Ð Ø ´Ø ÇÄË × ÒÓغ Ö ØÐݸ ÒÓØ Ø ÓÑÔÐ Ø ˆ ˆ V ar(β) − V ar(βGLS ) = (X ′ X)−1 X ′ ΣX(X ′ X)−1 − (X ′ Σ−1 X)−1 = AΣA ′ ¿º ËÁ Ä ÄË ½ Û Ö A = (X ′ X)−1 X ′ − (X ′ Σ−1 X)−1 X ′ Σ−1 . Ì × ÝÓÙ Ò Ú Ö Ý Ò Ø ÓÖ ÝÓÙÖ× Ð º Ì ÓÒ ÐÙ ÔÓ× Ø Ú Ø ÄË × Ñ ØÖ Ü¸ Û Ø Ø × Ñ Ý ÒÓØ × Ø ′ Ñ Ó Ú ÓÙ׸ ′ ÙØ Ø × ØÖÙ ¸ ÓÖÑ Ò Ò Ø Ò ÒÓØ Ò Ø AΣA × ÕÙ Ö Ø Ò Ø ¸ AΣA × ÔÓ× Ø Ú × Ñ ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ØÓ ÇÄ˺ ÓÒ ¸ Ø ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø • × ÓÒ Ò Ú Ö Ý Ý Ð ÙÐ Ø Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ˆ βGLS = arg min(y − Xβ)′ Σ−1 (y − Xβ) ×Ó Ø Ñ ØÖ Σ−1 × Ù× ØÓ Û Ø Ø Ö × Ù Ð׺ ¿º Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø × Ð ÄË × ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ò³Ø Ñ ØÖ Ü Û Ø Ú Ð Ð º Σ ×Ò³Ø ÒÓÛÒ Ù×Ù ÐÐݸ ×Ó Ø • • ÓÒ× Ö Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó ÙÒ ÕÙ Σ Ø³× Ò n2 + n /2 Ì ÒÙÑ Ì Ð Ñ ÒØ׺ ×Ø Ñ Ø Ò n×n × Ð Ö n2 − n /2 + n = Ò Ö × × ×Ø Ö Ø Ò Ò Ö Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ Ú × Ö Ø Ò n × Ò n. Ì Ø Ø Ö ³× ÒÓ Û Ý ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ø × Ø × ÄÄÆ Û Ø ÓÙØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ • ËÙÔÔÓ× × ÓØ × Ð ÓÖÑ Ó Ø Û ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Σ ×Ó Ø Ø × × × ÙÔÓÒ Ñ Ò ×Ù ÒØ Ú × ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö º Ñ Ý Ò ÐÙ Ö Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ô Ö Ñ Ø ÖÞ Σ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó X Ò θ¸ Û Ö θ β × Û ÐÐ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ×Ó Ø Σ = Σ(X, θ) Û Ö θ × Ó Ü × ÐÓÒ × Ñ Ò× ÓÒº Á × Û Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ×Ø Ñ Ø θ, Û Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ÓÖ Ñµº ÁÒ ×Ø Ñ Ø Ø × × ¸ Σ, Σ(X, θ) ÓÒØ ÒÙÓÙ× θ ´ Ý Ø ËÐÙØ× Ý Ø ˆ p Σ = Σ(X, θ) → Σ(X, θ) Á Û ØÓÖº Ö ÔÐ Σ Ò Ø ÓÖÑÙÐ × ÓÖ Ø ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Û Ø Σ, Û Ó Ø Ò Ø ÄË ×Ø Ñ ¹ Ö Ì ´½µ ´¾µ ´¿µ ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø Ò Ý ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ×ÝÑÔØÓØ ÙÖ × Ò Ý Ö Ö ×Ø × Ñ ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ × × Ä˺ Ì × Ø ÖÖÓÖ× Ö ÒÓÖÑ ÐÐÝ º ×ØÖ ÙØ º ´ Ö Ñ Ö¹Ê Óµº ´ µ Ì ×Ø ÔÖÓ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ú Ð ÁÒ ÔÖ Ø ¸ Ø ´½µ Ò ÓÒ Ø ´¾µ ´¿µ ÓÖÑ Ù×Ù Ð Û Ý ØÓ ÔÖÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó × θ. Ì × × × ¹ ݹ × ÐÓÛº ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ô Ò Ò Ï ³ÐÐ × Ü ÑÔÐ × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Σ(θ). ˆ Σ = Σ(X, θ) Ø ÓÐ × Ý ÑÓ ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ð ÙÐ Ø ˆ P = Chol(Σ−1 )º ´ µ ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ø Ð Ù× Ò ˆ ˆ ˆ P ′ y = P ′ Xβ + P ′ ε ´ µ ×Ø Ñ Ø Ù× Ò ÇÄË ÓÒ Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ðº º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ ¾ º À Ø ÖÓ× À Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ × Ø × Û Ö ×Ø ØÝ E(εε′ ) = Σ × À Ø ÖÓ× Ø Ø Ø Ö × ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü¸ ×Ó Ø ×Ø ØÝ Ø Ø ÖÖÓÖ× Ø Ó × Ö Ö × × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ××Ó Ø Ø ¸ ÙØ Ú Ö ÒØ Ú Ö Ò ×º × Ù×Ù ÐÐÝ Ø ÓÙ Û Ø Ð×Ó ÖÓ×× × Ø ÓÒ Ð Ø ÖÓ× Ð× Ø ¸ Ø ÓÙ ×Ø º ÜÔÐ ØÐÝ ØÙ ÐÐݸ ××ÙÑ ×ÓÐÙØ ÐÝ ÒÓ Ö Ê × Ö Ö ×ÓÒ Û Ý Ø Ñ Ö ×× Ú ÒÒÓØ Ø ÖÓ× ÔÓÔÙÐ Ö Ø Ø Ñ ÓÒ× À ´ ÙØÓÖ × × ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ×Ø µ ÑÓ Ø ÖÓ× ×Ø º ×ÙÔÔÐÝ ÙÒ Ø ÓÒ qi = β1 + βp Pi + βs Si + εi Û Ö Pi × ÔÖ Ð Ò Si ÓÖ Ø × ×ÓÑ Ñ ×ÙÖ Ó × Þ Ö׸ Ó Ø Ö Ö Ú ith ÖѺ ÇÒ Ò Ø ÓÒ Ð ØÝ Ò Ñ ØÛ Ò Ø Ò Ø ×ÙÔÔÓ× Ø Ø ÙÒÓ × ÖÚ ÙÒ Ø׸ Ð Ö Û ØÓÖ× ´ º º¸ Ø Ð ÒØ Ó Ñ Ò ÓÙÒØ ÖÖÓÖ Ø ÖÑ ÖÑ׸ Ø Ò Ó ÓÓÖ × ÑÓÖ Ú Ö Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ × ØÓÖ× × Ø ÓÖ Ò Ø ºµ ÖÑ× Ø εi . Á Ø Ò ÓÖ ×Ñ ÐÐ εi Ñ Ý Ö Ú Ö Û Si Ò Ø × ÐÓÛº ÒÓØ Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ò Ú Ù Ð Ñ Ò º qi = β1 + βp Pi + βm Mi + εi Û Ì Ø Ö Ö Ø Ø P Ö × ÔÖ ÑÓÖ Ú Ö Ò ÔÓ×× Ó M Ð Ø × Ò ÓÑ º ÁÒ Ø × × ¸ εi Ò Ö Ø Ú Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒ× Ò ÔÖ Ö Ò ×º Ð × ÓÖ ÜÔÖ ×× ÓÒ Ó ÔÖ Ö Û Ò Ö Ò × Û × º × Ö ¸ ×Ó Ø × ÔÓ×× Ò εi ÓÙÐ M Ü ÑÔÐ Ó ÖÓÙÔ Ñ Ò׺ º½º ÇÄË Û Ø Ï Ø ´½ ¼µ × ÓÛ ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖѺ Ì Ø ÖÓ× ÇÄË ×Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ý Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × ØÓ × ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÓÙÒØ ÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÖÓ× Ö ´½ µ Ò ÓÛ ØÓ ÑÓ ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø ØÝ Ó √ × Û ³Ú ÐÖ Ý × d ˆ n β − β → N 0, Q−1 ΩQ−1 X X Ø Û Ò Òº Ê ÐÐ Ø n→∞ Ì × Ñ ØÖ Ü × Ñ Ò× ÓÒ lim E Ò X ′ εε′ X n Ò =Ω ×Ø Ñ Ø ¸ Ú Ò Û ÙØ ÒÓ Ò³Ø ÙØÓ¹ ×Ø Ñ Ø Σ ÓÒ× ×Ø ÒØÐݺ Ì K×K ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÙÒ Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ × Ω= ÇÒ × ÛÓÙÐ Ò Ø Ø ÖÓ× Ò ÑÓ Ý Ø 1 n ÓÖ n xt x′ ε2 t ˆt t=1 Ò Ø ×Ø× Ø Ï Ð Ø Ö ÓÖ Ú Ð Û Ò Ø Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ø ×Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø × ØÓ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖѺ ×Ø ØÝ Ó H0 : Rβ − r = 0 ˆ n Rβ − r ′ R Ö X ′X n −1 ˆ Ω X ′X n −1 R ′ −1 ˆ Rβ − r ∼ χ2 (q) Ó Ø ÖÓ× ×Ø Øݺ Ï ³ÐÐ a º¾º × Ù×× Ø Ö Ø Ø ÓÒº Ì Ü ×Ø Ñ ÒÝ Ø ×Ø× ÓÖ Ø ÔÖ × Ò Ñ Ø Ó ×º º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ ¿ ÓÐ Ø ÓÒ׸ Û Ø Ð ¹ÉÙ Ò Øº Ì Ö × ÑÔÐ Ì × Ú ÑÓ Ò ØÓ Ø Ö Ð × Û ÐÐ ×Ø Ñ Ø Ò Ô ÖØ׸ Û Ø Ù× Ò Ô Ò Ø n1 , n2 Ö×Ø Ò Û Ò Ò Ø Ú n3 Ö Ó × ÖÚ ¹ Ô ÖØ× Ó n1 + n2 + n3 = nº Ø × ÑÔÐ ¸ × Ô Ö Ø Ðݸ ×Ó Ø ˆ β1 Ò ˆ β3 1′ Òغ Ì ε M 1 ε1 d 2 ε1′ ε1 ˆ ˆ → χ (n1 − K) = σ2 σ2 Ò ε3′ ε3 ˆ ˆ ε3 M 3 ε3 d 2 = → χ (n3 − K) σ2 σ2 ×Ó ′ Ì Ø Ð ×ØÖ Ø ×غ Ð Ñ ÙØ ÓÒ Ð Ö ×ÙÐØ × ÐØ ÖÒ Ø Ú Ðݸ Ò ØÙ × Ó Ø ε1′ ε1 /(n1 − K) d ˆ ˆ → F (n1 − K, n3 − K). ε3′ ε3 /(n3 − K) ˆ ˆ Ü Ø Ø ÖÖÓÖ× Ö ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ Ò ÔÖÓ ÐÝ ÑÓÖ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐݸ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ ÓÒ × × ¸ ÓÒ ÛÓÙÐ ÓÒ ÓÙÐ Ù× ÙØ º Ì × ÔÖ ÓÖ × Ø ×Ø × × ØÛÓ¹ ÓÙØ Ø ÔÓ×× ÓÖ Ú Ö Ò × Ó Ø ÓÖ Ö Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ð Ò Ðݸ ÖÓÑ Ð Ö ×Ø ØÓ ×Ñ ÐÐ ×غ ÁÒ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ¹Ø ¹Ø ×غ Ö Û Ô ØÙÖ º • • ÇÖ Ì ØÛ ÖÓ× ÖÓÔÔ Ò Ö Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ÓÖ Ú Ö Ì ÖÓÔÔ Ò Ú Ö Ø Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø Ô Ñ Ò Ø × Ð Ø Ø ×Ø × ØÓ × ØÓ Ò Ö Ø × Ø Ø Ú Ø Ö ÓØ Ò ÒÝ ÔÓÛ Öº Ö Ò Ü ×Ø× Ö Ó Ø¹ Ò ¸ Ø ÑÓØ Ú Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ×Ù × ÑÔР׸ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø ÔÓÛ Ö Ó Ø ÐÐÝ Ø ×غ Ò Ö × ×Ø Øݺ × Ò Ò Ö ÇÒ Ø Ø Ú Ö ÖÐÓ ØÓÓ Ñ ÒÝ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Û ÐÐ ×Ù ×Ø ÒØ Ò ˆ1′ ˆ1 ×Ø Ø ×Ø × ε ε ØÓ ÖÓÔ ÓÒ Ú ÖÓÙÒ Ó ×Ò³Ø ε3′ ε3 . ˆ ˆ ÒÝ × Ò× × Ð ØØÐ Ø Ø ×Ø × ÖÙÐ Ó Ø ÙÑ ¸ × ÓÒ ÅÓÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ× × ¾ ± Ó Ø Ú Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ × Ð ÓÙØ Ø Ø Ø ÔÓ×× ÓÖ Ö ÓÖÑ Ó Ö Ò Ø Ú Øº Ø Ð Ð º ×Ø Øݸ Ø Ø Ö × Ò ÒÓ ÓÑÓ× Ó ×¹ Ø ×Ø Û ÐÐ ÔÖÓ ÐÝ • Ï Á ÐÓÛ ÔÓÛ Ö × Ò Ò ÓÒ Ï ×Ò³Ø Ø ³× Ø ×غ Ï Ð ÓÖѸ Ø Ü ×Ø× Ø ÖÓ× × Ø Ø× ÔÓØ ÒØ Ø Øݸ Ø Ò Ð Øݺ Ì E(ε2 |xt ) = σ 2 , ∀t t ×Ó Ø Ø xt ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó xt Ð × ÓÙÐ Ò³Ø Ð ¸ Ù× Ø ÐÔ ØÓ ÜÔÐ Ò E(ε2 ). t Ì Ø ×Ø ÛÓÖ × Ò×Ø º × ÓÐÐÓÛ× ´½µ Ë Ò ´¾µ Ê εt ×Ò³Ø Ú ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ εt ˆ Ö ×× ′ ε2 = σ 2 + zt γ + vt ˆt Û Ö zt × P ¹Ú Ò ØÓÖº zt Ñ Ý Ò ÐÙ Ò Ð ×Ù ×ÓÑ ÓÖ ÐÐ Ó Ø Ú Ö Ð × Ò ÔÐÙ× Ø xt , × Û ÐÐ ÐÐ × ÓØ ÙÒ ÕÙ ´¿µ Ì ×Ø Ø Ö Ú Ö ×ÕÙ Ö × ÝÔÓØ Ð ×º Ï Ø ³× ÓÖ ×Ø ÓÒ Û × ØÓ Ù× Ð × Ò xt ¸ × × Ø Ó ÖÓ×× ÔÖÓ Ù Ø× Ó Ú Ö Ø xt . × × × × Ø γ = 0. Ì qF ×Ø Ø ×Ø Ò Ø qF = ÆÓØ Û Ø Ø Ø ESSR = T SSU , P (ESSR − ESSU ) /P ESSU / (n − P − 1) ×Ó Ú Ò ÓØ ÒÙÑ Ö ØÓÖ Ò ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ý Ø × qF = (n − P − 1) ÆÓØ Ø Ø Ø × × Ø R2 ÓÖ Ø ÓÖ ÖØ Ò Ð ÑÓ Ð Ö Ðº R2 1 − R2 Ö ×× ÓÒ Ù× ØÓ Ø ×Ø ÓÖ Ø ÖÓ× ×¹ Ø Øݸ ÒÓØ Ø R2 Ó Ø º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ Ò ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ×Ø Ø ×Ø ¸ ÙÒ Ö Ø ÒÙÐÐ Ó ÒÓ Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ ´×Ó Ø Ø R2 × ÓÙÐ ØÓ Þ ÖÓµ¸ × nR2 ∼ χ2 (P ). Ì Ó × Ó ×Ò³Ø Ö ÕÙ Ö × ÓÒ×Ø Òظ ÙÒ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø Ö Ø Ø ×Ø ÒÙÐк × Ø ÖÖÓÖ׸ Ø ÓÙ Ø Ó × ××ÙÑ Ø ØØ ÓÙÖØ ÑÓÑ ÒØ a εt ÉÙ ×Ø ÓÒ × Ò Ú ÒØ Ø × × Û Ý × Ø Ø Ö × Ò ×× ÖÝ Ú ÖÝ ÔÓÛ Ö ÙÐ ÙÒÐ ×× Ø ÒÓÛÐ Ó Ø ÓÖÑ Ó • Ì Ï Ø Ø Ø Ñ Ý ÒÓØ ØÓ Ó Û Ø ÓÙØ zt ÁØ Ð Ú ØÓÖ × Ó× Ò Û Ðи Ø ÖÓ× ×Ø Øݺ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø • • Ð×Ó ØÓ Ö Ø Ð Ø ×Ô Ø ÓÒ ÖÖÓÖ× ÓØ Ö Ø Ò Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ Ñ Ý Ø ÓÒº ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × Ó Ø × Ø ×Ø Ñ Ý Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ò Ö × ÆÓØ ÑÓ Ì θ=0 ÓÖ Ø Ú Ö Ò ÓÖѺ º Ö V (ε2 ) t = h(α + Ù Ð׺ ′ zt θ), Û h(·) Ñ Ø Ó × ÔÔ ØÖ ÖÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ Ö Ö ×× ÓÒ Ø Ö × Ø × Ù× Ø ×Ø × ÑÓÖ Ø Ö × Ò Ö Ð Ø Ò × Ñ Ý Ö ÖÓÑ Ø ÈÐÓØØ Ò ×ÕÙ Ö ×µº Ø Ú ÖÝ × ÑÔÐ × ØÓ × ÑÔÐÝ ÔÐÓØ Ø × Û ÐÐ Ù Ð× ´ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ú ×Ø Øݺ Ö Û Ô ØÙÖ × Ö ÓÖ Ö Ö º Ä Ø ÓÖ ÓÖ Ñ Ò ÓÐ ØÓ Ø Ð ¹ÉÙ Ò Ø Ø ×ظ Ø ×Ù×Ô Ø ÑÓÖ Ø ÖÓ× Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÖÑ Ó Ø º¿º ÓÖ ÓÖÖ Ø ÓÒº ×ÙÔÔÐ ¸ Û ÐÐ Ò ÓÖÖ Ø Ò Ø Ø Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ Ö ÕÙ Ö × Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÖÑ Ò Ö ØÛÓ ÓÖÑ Σ(θ) ÓÖ Ø Ò× ÓÖ ×Ø Ñ Ø Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ×Ô Ö Ø ØÓ Ø ÓÖ ×ÙÔÔÐ Ó θ ÓÒ× ×Ø ÓÖ Σ(θ). Ï Ò Ø Ö ÒØÐÝ ³ÐÐ ÓÒ× × º Ì Ü ÑÔР׺ ׸ Ð Ø³× ÓÒ× Ò Ö Ð Ò ØÙÖ ×Ø ØÝ ÄË Û Ø ÖÓ× ×Ø Øݺ ÅÙÐØ ÔÐ Ø Ú ËÙÔÔÓ× Ø ÑÓ Ø ÖÓ× Ð × yt = x′ β + εt t 2 ′ σt = E(ε2 ) = zt γ t ÙØ Ø ÓØ Ö Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÐ º ÁÒ Ø × × δ ′ ε2 = zt γ t Ò δ + vt Ù× Ø ØÓ ×Ø Ñ Ø vt × Ñ Ò Þ ÖÓº ÆÓÒÐ Ò Ó × ÖÚ Ð º Ì Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ÓÙÐ γ γ ˆ Ò δ ˆ δ, ÓÒ× ×¹ Ø ÒØÐݸ Û Ö εt ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ ×Ù ×Ø ØÙØ Ý Ø ËÐÙØ× Ý Ø ×ÕÙ Ö Û ÇÄË Ö × Ú Ò Ù Ð× Û ε2 ˆt Ò 2 ÔÐ Ó εt , × Ò Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ 2 ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ù× Ò ×Ø Ñ Ø σt ÓÖ Ñº ÇÒ Ò ′ σt = zt γ ˆ2 ˆ ÁÒ Ø × ÓÒ ×Ø Ô¸ Û ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÑÓ Ð ˆ δ Ý 2 → σt . Ú Ò Ý Ø ×Ø Ò Ö Ú Ø ÓÒ p x′ β εt yt = t + σt ˆ σt ˆ σt ˆ ÓÖ ∗ yt = x∗′ β + ε∗ . t t ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ Ø × ÑÓ Ð × Ð × Ø × × Ø Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ØÓ ×Ø Ñ Ø Ø ÑÓ Ð Ó Ø • Ì Ú Ö × ÑÓ Ò º Ø ÓÑÔÐ Ü Ò Ø Ø ÆÄË × Ö ÕÙ Ö × ÑÔÐ Ö Ú Ö× ÓÒ ÛÓÙÐ yt = x′ β + εt t δ 2 σt = E(ε2 ) = σ 2 zt t º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ Û Ø Ö zt × × Ò Ð Ú Ö Ò Ò Ø Ð º Ì Ö Ö ×Ø ÐÐ ØÛÓ Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ Ö Ò Ø Ù Ø ×Ø Ñ Ø ¸ Ò ÑÓ Ð Ó Ø Ò Ú Ö Ù× × ×Ø ÐÐ ÒÓÒÐ Ò × × ØÓ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ñ Ø Ó • • • • Ö×ظ Û × Ö Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ö Ô ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ó ÇÄ˺ Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Ö ×ÓÒ Ð Ú ÐÙ × ÓÖ δ, º º¸ º º¸ È ÖØ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ì Ö × ÒØ ÖÚ Ð ÒØÓ × M ÕÙ ÐÐÝ ×Ô Ø Ú Ö Ð Ú Ð٠׸ Ó Ø Ö ×× ÓÒ Ú Ð٠׸ Ð ÙÐ Ø δ zt m . δ ∈ [0, 3]. {0, .1, .2, ..., 2.9, 3}. δ ε2 = σ 2 zt m + vt ˆt × Ð Ò Ö Ò Ø Ø Ô Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ δm , Ò ×Ó ÓÒ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÓ× Ø σ2 Ô Ý ÇÄ˺ Ö Û Ø Ø • • • • Ë Ú 2 Ö× ´σm , δm ), × Ø ÑÓ Ð Ø Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ ESSm . Ö Ú Ñ Ò ÑÙÑ Æ Üظ Ò Ö Ú ESSm ×Ø Ñ Ø º Ý Ø ×Ø Ñ Ø ×Ø Ò Ø ÓÒ׺ Ò º Ö Û Ô ØÙÖ º Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ × Ö ÓÚ Ö × ÐÓÛ Ñ Ò× ÓÒ Ð¸ × Ò Ø × ÏÓÖ × Û ÐÐ Û × º Ø ÖÓ× ÖÓÙÔÛ × ×Ø ØÝ ×Û Ö× Ó Ö Û Ú Ö Ô Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÒ Ó Ó ÒÙÑ ÖÓ ÓÒÓÑ ÓÒ׸ ÓÖ ÓÑÑÓÒ × ÒØ× º º¸ ½¼ Ý Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ × Ø Ó Ø Ú Ö ÓÙÒØÖ × Ò × ÓÖ Ö ÐÝ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó ØÖ Ò× Ø ÓÒ× Ó ¾¼¼ Ò ×º Ì × ×ÓÖØ Ó Ø Ø Ø Ø Ñ ¹× Ö × ÑÓ Ðº Û Ø Ò Ø ÔÓÓÐ ÖÓ××¹× Ø ÓÒ × Ó ÁØ Ñ Ý Ö ×ÓÒ ÙØ Ø Ð ØÓ ÔÖ ×ÙÑ Ø Ø Ö× × ÓÒ×Ø ÒØ ÓÚ Ö Ø Ñ ÖÑ× ÓÖ ÓÙÒØÖ ÖÓ××¹× Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø׸ ÑÓ Ð × ÖÓ×× Ø Ñ ´ º º¸ Ö ÒØ × Þ ×ºººµº Ì yit = x′ β + εit it 2 E(ε2 ) = σi , ∀t it Û Ö i = 1, 2, ..., G • • • Ì ÁÒ Ø ÓØ Ö Ø ÒØ׸ Ò t = 1, 2, ..., n Ö ÔÖ ×ÙÑ ØÓ × ×Ô Ö Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÐ º Òظ Òغ Ö Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ò ØÓ × × ¸ Ø Ú Ö Ø 2 σi Òغ Ø ÙØ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÚ Ö Ø n Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÖ Ø ÁÒ Ø × ÑÓ Ð¸ Û ××ÙÑ Ø Û ³ÐÐ Ö Ð Ü Ð Ø Öº Ø ÖÓ× ×Ø Øݸ Ù×Ø E(εit εis ) = 0. Ì × × ×ØÖÓÒ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø ÌÓ ÓÖÖ Ø ÓÖ ×Ø Ñ Ø 2 σi Ù× Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ×Ø Ñ ØÓÖ σi = ˆ2 • • ÆÓØ ×Ó Ø ØÛ Ù× 1 n n ε2 ˆit t=1 Ð Ø ØØ Ö Ö Ö Ò ÑÓÖ Ø Ò 1/n Ò Ö × Ò Ø³× ÔÓ×× nÖ Ö ××ÓÖ׸ Ï Ø n−K ÓÙÐ Ó Ø Ø Ú º ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ø ÑÓ Ð × Ù×Ù Ð × ÙÒ ÑÔÓÖØ Òغ × ¸ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø x′ β εit yit = it + σi ˆ σi ˆ σi ˆ Ó Ø × Ð × ÓÖ ÖÓ××¹× Ø ÓÒ Ð ÖÓÙÔº Ì × ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ð × Ø × × Ø Ð ×¹ ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݺ º º Ò Ó Ü ÑÔÐ Ø ÖÓ× Ø Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ð´ Òµ Ä Ø³× ØÓ Ù× Ø Ø ÑÓ Æ ÖÐÓÚ ÐÛ Ø Ø Ø ÓÖ Ú ¹ ×Ø Øݺ ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ׸ Û ³Ö Ó Ò ÓÒ×Ø ÒØ º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ ÙÖ ½º Ê × Ù Ð׸ Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ð¸ ×ÓÖØ Ý ÖÑ × Þ Regression residuals 1.5 Residuals 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Ò ´× ÓÙØÔÙØ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ¾ ÒØ Ú ÖÝ Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÖÓ×× Ò ÖÓÙÔ׸ Ø ×µº Ö × ÙØ Û Ø ÙÖ Ø ÒÔÙØ ÔÖ × Ò Ö Ø Ó Ý Ø ÒØ× Ü ÓÖ Ø ½¸ Û Ç Ø Ú Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÖÖÓÖ Ú Ö ÄË»Æ ÖÐÓÚ Ê × Ò × Ð Ö Ù Ð×ºÑ ÔÐÓØ× Ø ÖÑ× Ø Ù Ð׺ Ï Ö Ò × ÔÖ ØØÝ Ð ÖÐÝ Ø Ö ÓÖ ×Ñ ÐÐ Ò ÓÖ Ð Ö ÖÑ׺ ÓÖ Ø ÖÓ× ×Ø Øݺ Ì Ø Ç Ø Ú ÓÚ ÆÓÛ Ð Ø³× ØÖÝ ÓÙØ ×ÓÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÑÓ Ðº Ì Ø ×Ø× ØÓ ÓÖÑ ÐÐÝ Ï Ø Ò ÄË»À ØÌ ×Ø×ºÑ Ô Ö ÓÖÑ× Ø Ö ×ÙÐØ× Ö ÓÐ Ð ¹ÉÙ Ò Ø Ø ×Ø׸ Ù× Ò Ï Ø ³× Ø ×Ø É Ø ×Ø ÐÐ Ò Î ÐÙ ½º ¼¿ Î ÐÙ ½¼º ÖØ Ø ×Ø× Ó Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ Ø Ö Ø ÖÓ× Ø ÒÓÖ ×Ø º Ì Ø ÖÓ× ØÑ Ò× Ø Ø ÇÄË Ö ×Ø Ñ Ø ÓÒ º Ì ×¹ Ì ×Ø ØÝ ÒÓØ Ú Ð Ðи Ø × Ú ÖÝ Ð Òظ Ò ØØ × ÒÓØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø ½ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ø ×Ø× ´ Ø Øݺ Ì ÓÖ ÊÌË Ö ÊÌ˸ ÀÇ ÔÖÓ Ö Ñ ½¸ ÓÛ Ø ×ص Û Ö Ð ÙÐ Ø ××ÙÑ Ò Ï Ð Ò ÓÑÓ× Ø ×Ø ØÓ ½ Ç Ø Ú Ò ÀÇ ÄË»Æ ÖÐÓÚ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×¹À ØºÑ Ù× × Ø Ø ÖÓ× ×Ø ¹ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÚ Ö ÙØ Ù× Ò ×Ø Ñ ØÓÖº Ö ×ÙÐØ× Ì ×Ø Ò ÀÇ ½ Ï Ð Ø ×Ø Ì ×Ø Ò ½ Î ÐÙ º½ ½ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼½¿ ÊÌË Û Ý¸ ÒÓØ Ø Ø ÙÐÐÝ ÄË»Æ ÖÐÓÚ Ê × Ò Ö Ð ÑÓ ÙØ ÑÓ Ðº Ì Ù Ð×ºÑ ÐÐ Ó Ö Ò ÄË»À ØÌ ×Ø×ºÑ Ù× ÒØ× Ú ÖÝ Ò ØÓ Ø Ø ÑÓ × ÓÒ Ö ×ØÖ Ø Ð Û Ø ÑÓ Ð ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ×Ø ÒØ ÒØ Ò Ð Û Ø ÓÒÐÝ Ø Ý Ø Ò Ø Ø × Ö ØÐÝ ØÓ Ö ×ØÖ Ø Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ò ÒØ Ú ÖÝ Ò º ÄË»Æ ÖÐÓÚ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×¹À ØºÑ Ñ Ø Ó × ÕÙ Ú Ð Òظ ÙØ Ø ×Ø Ñ Ø × Ø Ý ×Ù ×Ø ØÙع Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÒØÓ Ø Ö×Ø Ò º × ÑÓÖ ÓÒÚ Ò Ö ØÓ ÙÒ º À Ì ÊÇË ËÌÁ ÁÌ Ï Ð Ø ×Ø Ï × Ø Ø Ø Ø Î ÐÙ ¾¼º½ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼½ Ö ÐØ Ö ½ × Ø Ø Ú Ù ¹ ÓØ ÊÌË × Ò ÀÇ ½ Ö Ö Ø Ø Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÓÒ ÐÙ× ÓÒ× Ø Ö ± Ð Ú Ðº Å Ý ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ Ó ÀÇ Ø × × Þ Ñ× Ø ÖÓÙÔ× ØÓ ØÓ Ï Ð Ú Ö Ò Ó Ø ×Ø³× Ø Ò Ò Ý ØÓ ÓÚ Ö¹Ö Ö × Ò ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÐÓظ Ø Ø Ø ǫ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ×Ø ØÝ ÓÙØÔÙغ ËÙÔÔÓ× Ý ÖÓÙÔ×µ Ö ÒØ ÖÖÓÖ Ú Ö Ò × ´ Ø ÖÓ× 2 V ar(ǫi ) = σj , Û Ö j =1 µº Ì i = 1, 2, ..., 29¸ Ø º¸ ÑÓ Ð Ù× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× × ÓÖ º Ì Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÑÓ ÄË»Æ ÖÐÓÚ Ð ×Ó Ø Ä輄 ×Ø Ñ Ø × Ø ÔÔÐ ÄË ´Ø ÖÓÙ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÇÄË Ò ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¾¾ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º¼ ¼ ¼¼ Ê ×ÙÐØ× ´À غ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú Ö¹ ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖµ ×Ø Ñ Ø ¹½º¼ ¹½º ¹¿º ½ ¹ º¼ ¾ ¹ º¿¼ ¼º¿ ½ ¼º ¼º ¼º ¾ ½º½¼½ ¼º¼¼ ¼º ¹¼º ¼ ×غ ÖÖº ½º¾ ½º¿ ½º ½º ¾ ½º ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼ ¼º½¿ ¼º½½¾ ¼º¼ ¼ ¼º¾¼ ¼º¼ ½ ¼º¾ ¿ ع×Ø Øº ¹¼º ¾¼ ¹½º ¼ ¹¾º½ ¹¾º ½ ¹¿º¿ º¿ ¿ º½ º º ½¾ ½¾º¾¿ ¼º¼¿¾ º½ ¹½º ½ Ô¹Ú ÐÙ ¼º ½ ¼º½ ¼º¼¿½ ¼º¼¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º ¼º¼¼¼ ¼º¼ ½ ÓÒ×Ø Òؽ ÓÒ×Ø Òؾ ÓÒ×Ø ÒØ¿ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙؽ ÓÙØÔÙؾ ÓÙØÔÙØ¿ ÓÙØÔÙØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ¾ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ½º¼ ¾¿ ¿ Ê ×ÙÐØ× ´À غ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú Ö¹ ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖµ ×Ø Ñ Ø ×غ ÖÖº ع×Ø Øº Ô¹Ú ÐÙ º ÍÌÇ ÇÊÊ Ä ÌÁÇÆ ÓÒ×Ø Òؽ ÓÒ×Ø Òؾ ÓÒ×Ø ÒØ¿ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÙØÔÙؽ ÓÙØÔÙؾ ÓÙØÔÙØ¿ ÓÙØÔÙØ ÓÙØÔÙØ Ð ÓÖ Ù Ð Ô Ø Ð ¹½º ¼ ¹¾º ¹ º½¼ ¹ º ¹ º ¼º¿ ¾ ¼º ¼º ¾ ¼º ½ ½º¼ ¿ ¼º½¼¿ ¼º ¾ ¹¼º¿ ¼º ½ ¼º ½º¿¾ ½º½ ¼ ½º¾ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º½¿ ¼º½¼ ¼º¼ ¼º½ ½ ¼º¼ ¼º½ ¹½º ¾¿ ¹¾º ¾ ¹¿º¼ ¹¿º ¼ ¹ º ¾ º¿ º ½ º º ½¾º ¼º ¿¿ ½½º¾ ¹¾º¾½ ¼º¼ ¼º¼½¿ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º ¼º¼¼¼ ¼º¼¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ì ×Ø Ò ÀÇ ½ Ï Ð Ø ×Ø Ì Ö×Ø Ô Ò Ð Ó Ø Î ÐÙ º¿½¾ ÓÙØÔÙØ Ì Ö Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¾ Ø ÇÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ׸ Û Ö Ø ÄË Ö Ù× ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Óѹ ×Ø Ñ Ø Ñ ÒØ× 2 σj º × ÓÒ Ô Ò Ð Ó Ö ×ÙÐØ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ׺ ËÓÑ • Ì Ì ÓÙÐ R2 Ñ Ñ ×ÙÖ ×ÙÖ × ÓÖ Ø Ö ÒÓØ ÓÑÔ Ö Ð ¹ Ø Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð × Ô Ò Ö ÒÓØ Ø × Ñ º Ð º ÇÒ ÄË Ö ×ÙÐØ× Ù× × Ø Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ ÙØ Á Ú ÒÓØ ÒØ Ú Ö ×Óº Ð ÙÐ Ø ÓÑÔ Ö ×Ø Ñ Ø Ò Ó R2 Ñ ×Ø Ò ÑÔÖÓÚ Ö ×ÙÖ ¸ ÓÒ • Ì ÒØ ÖÔÖ Ø ÖÖÓÖ× Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ò × Ò × Ú ÖÖÓÖ× ´×Ñ ÐÐ Ö Ò Ò Ý Ó Ø Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ä˵ Ò Ö Óѹ Ä˸ × Ò ÇÄË ×Ø Ò ÒÓØ Ð ÙÐ Ø Ø Ø Ø ÓÖ Ù× Ò Ø ÀÙ Ö¹Ï ×Ø Ñ ØÓÖº Ì Ò Ù× ÓÙØÔÙØ Ó Ý ÛÓÙÐ º Ò ÖÝ ´ Ò ÓÒ× ×Ø Òص ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ø • • ÆÓØ ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ ÒÓØ Ô ØØ ÖÒ ÒØ× Ô Ö× ×Ø׺ Ì ÒÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ì × Ø Ó ÊÌË Ö ×ÙÐØ × ÖÓ Ù×غ ÒØ ÓÒ Ô Ø Ð Ø ×ÓÑ Ò × ÒÓÛ Ò Ø Ú Ò Ø × Ò ÑÓ ÒØ Ø Ø ¿± Ð Ú Ðº Ì Ø ¸ ÓÖ Ø Ñ× ØÓ Ò ÓÖݺ Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ð ÓÖ Ø ÓÒÓÑ • ÆÓØ Ø ÓÒ Ø ÀÇ ½ × ÒÓÛ Ö Ð Ø º ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ï Ð Ø ×Ø ÓÚ Ö¹Ö Ø Ò ËÔ ¹ ÖÖÓÖ Ò ÑÓ º ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ Û × Ù×Ù ÐÐÝ Ü ÑÔÐ ¸ ××Ó × Ó Ø Û Ø × Ø Ø Ñ × Ö × Ö × ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ¸ ÙØ Ø ÖÖÓÖ Ø ÖѸ × ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø º Ø ÓÖ Ð×Ó Ò Ø Ð × Ø ÖÓ××¹× Ø ÓÒ Ð ÐÐ ÓÙÒØÖ ×¸ ×Ó ÓÒ ×º ÖÖÓÖ Ø ÖÑ ÓÙÐ ØÓ Ó Ð ÔÖ × Û ÐÐ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÜÔ Ø ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ÓÙ× ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ Ú Ö ÖÓ×× ÓÙÒØÖ º½º Ù× ×º ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ × Ø Ü ×Ø Ò Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÖÓ×× Ø E(εt εs ) = 0, t = s. º ÍÌÇ ÇÊÊ Ä ÌÁÇÆ ÙÖ ¾º ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ù Ý Ñ ××Ô Ø ÓÒ Ï Ý Ñ ´½µ Ä Ø Ø × Ó ÙÖ ÈÐ Ù× Ð ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ× Ò ÐÙ ÑÓ Ð ×Ù × × Ò Ù×ØÑ ÒØ ØÓ × Ó ×º ÁÒ yt = x′ β + εt , t ÓÒ ÓÙÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ó x′ β t × Ø ÕÙ Ð Ò Ø Ö ÙÑ Ú ÐÙ º ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ËÙÔÔÓ× × × Ó xt Ø × ÓÒ×Ø ÒØ ÓÚ Ö Ø ÑÓÚ × Ø ×Ý×¹ × ÐÓÒ ÒÙÑ Ø Ñ Û Ø ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ ÇÒ ÕÙ Ð Ö ÙѺ Á εt Û Ý ÖÓÑ Ø Ñ ØÓ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÓÙÐ ÜÔ Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ Ö ×Ô Ø ØÓ Ø Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÔÓ× Ø Ú ¸ Û Ø Ö Ö ÕÙ Ò Ý¸ ÓÒ Ò Ù × εt+1 ØÓ ÔÓ× Ø Ú ¸ εt ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ÖÖÓÖ Ø ÖÑ × Ó Ø Ò Ö ÓÖÖ Ð Ø ¸ Ø ××ÙÑ Ö Û ÐÐ ´¾µ ÍÒÓ × ÖÚ ØÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓÖ× Ø ÓÖÖ Ð Ø Ð ÓÚ Ö Ø Ñ º Ì Ø × ØÓ ÙÒÓ × ÖÚ ØÓÖ׺ Á ØÓÖ× ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ´¿µ Å ××Ô Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ðº ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø È × yt = β0 + β1 xt + β2 x2 + εt t ÙØ Û ×Ø Ñ Ø yt = β0 + β1 xt + εt Ì Ø× Ö ÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ÙÖ ¾º º¾º × Ò Ø × × ÓÖÑÙÐ ÔÓØ ÒØ Ø× ÓÒ Ø Ó Ú Ò Ò ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖº ×Ø ØÝ ¹ Ø Ì Ú Ö Ö Ò Ó Ø ÇÄË Ó × ÒÓØ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ÔÔÐݺ Ì × Ñ ÓÖÖ Ø × µ Û ÐÐ Ò Ø ÖÓ× ×Ø Ò ÓÖÑÙÐ ÕÙ Ø ÓÒ ¾ º Æ ÜØ Û Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Û Ò Ø Ö × Ù×× ØÛÓ Ö ××ÓÖ× Ö ÄË ÓÖÖ Ø ÓÒ× ÓÖ ÇÄ˺ Ì ÒÓÒ×ØÓ ×Ø ´× ÔØ Ö ÐÐÝ Ò Ù º ÍÌÇ ÇÊÊ Ä ÌÁÇÆ ¼ × ÓÙÐ Ø Ö ÒÓØ ÑÓÖ Ù× Ò Ø Ø × ÔÖÓ ´Û ÙÖ × × Ù×Ù ÐÐÝ Ø × Ù×× Ö Ð Ú ÒØ × µ ÓÖ Ù× º º Û Ø ÙØ ÓÒº Ì Ö ÓÑÑ Ò Ò × Ø ÓÒ º¿º Ì Ì Ö×Ø ÑÓ Ê´½µº × Ø Ð × Ì Ö Ö Ñ ÒÝ ØÝÔ × Ó Ò ÓÙÒØ Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº Ï ³ÐÐ ÓÒ× × ÙØÓÖ Ö ×× Ú ÓÖ Ö ØÛÓ Ö ½ ´ Ü ÑÔР׺ ÖÖÓÖ׺ ÑÓ×Ø ÓÑÑÓÒÐÝ Ê´½µ yt = x′ β + εt t εt = ρεt−1 + ut 2 ut ∼ iid(0, σu ) E(εt us ) = 0, t < s Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø ÑÓ Ð × Ø × × Ø ÓØ Ö Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÖÛ × ÔÔÐݺ Ø Ú Ö Ò Ó • • Ï Ò × ×Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ × ×¸ ×Ó ×Ø Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ Ö t Ò Ö ×ÝÑÔØÓØ × Û ÐÐ ÒÓØ Ó Ø Ò |ρ| < 1. ÇØ εt ÜÔÐÓ × Ý Ö ÙÖ× Ú ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ Û εt = ρεt−1 + ut = ρ (ρεt−2 + ut−1 ) + ut = ρ2 εt−2 + ρut−1 + ut = ρ2 (ρεt−3 + ut−2 ) + ρut−1 + ut ÁÒ Ø Ð Ñ Ø Ø Ð ε ÖÓÔ× ÓÙظ × Ò εt = Ï Ø Ø ×¸ Ø Ú Ö Ò Ó ∞ m=0 ρm → 0 × m → ∞, ×Ó Û Ó Ø Ò ρm ut−m × εt × ÓÙÒ 2 E(ε2 ) = σu t ∞ m=0 ρ2m = • Á Ø Û × Ù× Ò Ö ØÐÝ ××ÙÑ Ø Ø εt Û Ö 2 σu 1 − ρ2 ÓÚ Ö Ò ×Ø Ø ÓÒ Öݸ Û ÓÙÐ Ó Ø Ò V (εt ) = ρ2 E(ε2 ) + 2ρE(εt−1 ut ) + E(u2 ) t−1 t 2 = ρ2 V (εt ) + σu , ×Ó V (εt ) = • • Ä Ì ÆÓØ Ú Ö Ø Ò Ø Ø × Ø Ú Ö Ö 0th Ò ÓÖ Ö ÙØÓ ÓÚ Ö Ô Ò × 2 σu 1 − ρ2 ÓÒ Ò γ0 = V (εt ) t Ó × ÒÓØ Ò Û × ¸ Ø Ö×Ø ÓÖ ÙØÓ ÓÚ Ö γ1 Cov(εt , εt−1 ) = γs = E((ρεt−1 + ut ) εt−1 ) = = ρV (εt ) 2 ρσu 1 − ρ2 º ÍÌÇ ÇÊÊ Ä ÌÁÇÆ ½ • Í× Ò Ø × Ñ Ñ Ø Ó ¸ Û Ò Ø Ø ÓÖ s β ′ β + λmax(X ′ X −1 ) σ 2 ´Ø ×Ó ÒÚ ÐÙ × Ö ÐÐ ÔÓ× Ø Ú ¸ × Ò X ′X × Ôº º ˆˆ E(β ′ β) > β ′ β + Û Ö σ2 λmin(X ′ X) Ò Ø ′ λmin(X ′ X) × Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÚ ÐÙ Ó X X ´Û × Ø ÒÚ Ö× Ó Ø Ñ Ü ÑÙÑ ′ X)−1 ). ′X ÒÚ ÐÙ Ó (X × ÓÐÐ Ò Ö ØÝ ÓÑ × ÛÓÖ× Ò ÛÓÖ× ¸ X ÓÑ × ÑÓÖ Ø Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ × Ø ÔÖÓ Ù Ø Ó ÖÐÝ × Ò ÙÐ Ö¸ ×Ó λmin(X ′ X) Ø Ò × ØÓ Þ ÖÓ ´Ö ÐÐ Ø ˆ′ β) Ø Ò × ØÓ Ò Ò Ø º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ β ′ β × Ò Ø º ˆ ÒÚ ÐÙ ×µ Ò E(β ÆÓÛ ÓÒ× Ö Ò Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ IK β = 0 + v. Ï Ø Ø × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ð ÓÑ × y 0 Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × = X kIK β+ ε kv −1 ˆ βridge = = Ì ØÓ ÓÐÐ Ò × × Ø ÓÖ Ò ÖÝ X′ kIK −1 X kIK X ′y X ′ IK y 0 X ′ X + k2 IK Ö Ö Ö ×× ÓÒ Ò ×Ø Ñ ØÓÖº Ì Ö Ö × ÑÓÖ Ö ×× ÓÒ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò ØÓ × Ò × k2 IK , Û Ö ØÝ ′ × ÒÓÒ× Ò ÙÐ Ö¸ ØÓ X X, Û ÛÓÖ× º × ÑÓÖ ÖÐÝ × Ò ÙÐ Ö ÓÑ × ÛÓÖ× k → ∞, Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø Ò β = 0, Ø Ø ×¸ ¾º Å ËÍÊ Å ÆÌ ÊÊÇÊ ½¼½ Ø Ó ÒØ× Ö × ÖÙÒ Ò ØÓÛ Ö Þ ÖÓº Ð×Ó¸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ò × ØÓ ˆ βridge = X ′ X + k2 IK ×Ó Ø −1 Ð× X ′ y → k2 IK −1 X ′y = X ′y →0 k2 ÓÙÖ ÓÖ Ò Ð ÑÓ Ð × ˆ′ ˆ βridge βridge → 0. Ð × Ò× Ö Ð º Ì × ÓÙÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ì × × Ð ÖÐÝ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ Ø¸ ×ÓÑ ÑÓÙÒØ Ó × Ö Ò Ø ØØ Ø Ø × Ò Ø ØÖÙ Ö ×ØÖ Ø ÓÒº Ì Ö ÔÖÓ ¹ Ö ×× ÓÒ Ð Ñ × ØÓ k ×Ù Ø Ø Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ × ÓÖÖ Øº Ì Ø Ø Ö Ò Ü ×Ø× ÒØ Ö ×Ø Ò Ö ÒØ Ö× ÓÒ Ø Ø Ø Ø Ò × × ÓÛÒ Ø k ×Ù Ö Ø Ø ˆ M SE(βridge ) < Ú ÐÙ × Ó µº Ó ˆ βOLS . Ì Ø Ø Ì Ö ÔÖÓ Ð Ñ × Ø ØÖ × × Ñ k Ø Ô Ò × ÓÒ β × Ö σ2, Û ÙÒ ÒÓÛÒº ÓÓ× × Ø × Ò Ñ Ø Ó Ñ× ˆ′ ˆ ÔÐÓØ× βridge βridge ´ º º¸ Û ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ó k, Ò k ÖØ ×Ø ÐÐÝ ÔÔÖÓÔÖ Ò Ö k Ð Ò Ø Ð Ò Ô ØÙÖ Ø Ý × Öº Ö Û Ì Ò× Ó ÓÓ× Ò Ø Ó k Ó × Ó Ú ÓÙ×ÐÝ ×Ù Ø Ú º Ì Ð ÙØ × × Ø × × ÒÓØ ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÑ Ó Ò Ô Ö×Ô Ø Ú Ö k Ö Ø× ÔÖ ÓÖ ÓÔ ¸ Ö ØÝ ÓÙØ Ø × ÑÔÓ×× Ð β. Ù Ö ÒØ ÁÒ ×ÙÑÑ Öݸ Ø Ø Ò Ø Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ÇÄË Ö× ×ÓÑ ÓÐÐ Ò ØÓ Ø Û ÐÐ ÓÙØÔ Ö ÓÖÑ Ø Ö × ÒÓ Ð ×Ø Ñ ØÓÖº ÔÖÓ Ð Ñº Ø Ó ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ¾º Å ×ÙÖ Ñ ÒØ ÖÖÓÖ Å Ö ××ÓÖ× Ñ Ò ×ÙÖ Ñ ÒØ Ö Ñ ÖÖÓÖ × Û Ø Ü ØÐÝ Û ÖÖÓÖº ÐÝ ÕÙ Ø Ì Ø Ò Ø × Ý׸ Ò Ø ÓÙØ Ø ÓÖ Ö Ø Û Ý Ô Ò ÒØ Ú Ö Ø Ð Ö ÖÓÛØ ÓÖ Ø Ö ÔÓÖØ Ó Ö ¹ ¸ ȸ ×ÙÖ ÓÒÓÑ ×Ø Ñ Ø × Ó Ø ×ÙÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ¸ ÓÖÖ Ø Ø º ÖÖÓÖ × ÔÖÓ Ö ÔÖ Ú Ð Òغ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÑÑÓÒÐÝ Ö Ú × × Ú Ö Ð Ø Ñ ×º Ï Ý × ÓÙÐ Ð ×Ø Ö Ú × ÓÒ Ò ×× Ö ÐÝ ¾º½º Ø Ò Ñ Ô Ò ÖÖÓÖ Ó Ñ ×ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø ÒØ Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ö ××ÓÖ× Ú Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð º Ì Ô Ò Ø ÒØ Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ð º Å ×ÙÖ Ñ ÒØ Ö×Ø ÓÒ× ÖÖÓÖ× Ò Ö ÖÖÓÖ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ò ×º ×ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø ÔÖÓ ×× × ÔÖ ×ÙÑ y ∗ = Xβ + ε y = y∗ + v 2 vt ∼ iid(0, σv ) Û Ø Ö Ø y∗ ε Ò ×Ø ÙÒÓ × ÖÚ Ö Ò Ú Ô Ò Ð ØÖÙ ÒØ Ò Ô Ò Ø ÒØ Ú Ö Ð ¸ Ò y ×Û × Ø Ø × Ó × ÖÚ Ð ×× Ð º Ï ××ÙÑ v ∗ Ø y = Xβ + ε × Ø × ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ú Ò Ø ×¸ Û y + v = Xβ + ε ×Ó y = Xβ + ε − v = Xβ + ω 2 2 ωt ∼ iid(0, σε + σv ) • Ø × ÐÓÒ Ò Ò Òº × v × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ×Ø Ñ Ø Û Ø X, Ø × ÑÓ Ó Ð × Ø × Ñ × Ø Ð ×× Ð ÖÖÓÖ ×Ò³Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ý ÇÄ˺ Ì × ØÝÔ ×ÙÖ Ñ ÒØ ¾º Å ËÍÊ Å ÆÌ ÊÊÇÊ ½¼¾ ¾º¾º × º Ì ÖÖÓÖ Ó Ñ ×ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø È × Ö Ö ××ÓÖ׺ Ì × ØÙ Ø ÓÒ ×Ò³Ø ×Ó ÓÓ Ò Ø × yt = x∗′ β + εt t xt = x∗ + vt t vt ∼ iid(0, Σv ) Û Û Ö Σv × Ø × Ø × Ó × ÖÚ K ×K º Ñ ØÖ Üº ÆÓÛ Ò ××ÙÑ Ø X∗ Øv ÓÒØ × Ò Ò× Ø Ô Ò Ú ØÖÙ ¸ ÙÒÓ × ÖÚ ÒØ Ó Ö Ö ××ÓÖ׸ ÑÓ Ð Ò X × ε, Ò Ø ØØ y= X ∗ β +ε × Ø × Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÆÓÛ Û yt = (xt − vt )′ β + εt = x′ β + ω t t Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø ÒÓÛ Ø Ö × ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ′ = x′ β − vt β + εt t ØÛ Ò xt Ò ωt , × Ò ′ E(xt ωt ) = E (x∗ + vt ) −vt β + εt t = −Σv β Û Ö ′ Σv = E vt vt . Ù× × Ø Ó Ó Ø × ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ Ø ÇÄË Ð ×Ø Ñ ØÓÖ Ô Ò × × ÒØ Ú Ö Ò Ò ÓÒ× ×Ø Òظ Ù×Ø × Ò Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÑÓ Ð × ÖÖÓÖ× Û Ø Ð ×º ÁÒ Ñ ØÖ Ü ÒÓØ Ø ÓÒ¸ ÛÖ Ø ×Ø Ñ Ø y = Xβ + ω Ï Ú Ø Ø ˆ β= Ò X ′X n −1 X ′y n plim X ′X n −1 = plim (X ∗′ + V ′ ) (X ∗ + V ) n = (QX ∗ + Σv )−1 × Ò X∗ Ò V Ö Ò Ô Ò Òظ Ò V ′V plim n 1 = lim E n = Σv n ′ vt vt t=1 Ä Û × ¸ plim X ′y n (X ∗′ + V ′ ) (X ∗ β + ε) n = QX ∗ β = plim ×Ó ˆ plimβ = (QX ∗ + Σv )−1 QX ∗ β ËÓ Û Û Ø × Ø Ø Ø Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ò Ø Ö Ö ××ÓÖ× Ö Ñ ×ÙÖ ÖÖÓÖº ¿º ÅÁËËÁÆ Ç Ë Ê Î ÌÁÇÆË ½¼¿ • ÔÓØ ÒØ Û Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö Ð × ´Áε ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Û ³ÐÐ × Ù×× × ÓÖØÐݺ ¿º Å ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Å ×× Ò ÖØ Ò Ý Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó ÙÖ ÕÙ Ø Ö¸ ÓÖ Ö ×ÔÓÒ ÒØ× ØÓ Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ñ ×ÙÖÚ Ý Ñ Ý ÒÓØ Ô Ò ÒØ Ú Ö × Ö × Ø Ñ Ý ÒÓØ Ø Ö Ò Ö Ò×Û Ö Ð Ò ÐÐ ÕÙ ×Ø ÓÒ׺ Ï ³ÐÐ ÓÒ× Ñ ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ØÛÓ × × Ö Ö ××ÓÖ׺ Ñ ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ¿º½º Å ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ô Ò y = Xβ + ε ÒØ Ú Ö Ð º ÁÒ Ø × × ¸ Û Ú ÓÖ y1 y2 Û Ö = X1 X2 ××ÙÑ ×Ø Ñ Ø β+ Ø ε1 ε2 Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÐ º y2 • × ÒÓØ Ó × ÖÚ Ð Ö º ÇØ ÖÛ × ¸ Û × ØÓ × ÑÔÐÝ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ù× Ò Ø ÓÑÔ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× y1 = X1 β + ε1 Ë Ò ÇÄ˺ Ø × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × Ø × Ý Ø Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ ÓÒ ÓÙÐ ×Ø Ñ Ø Ý • Ì ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö Ñ Ý ÔÖ ÆÓÛ ØÓÖ¸ Ò× Û Ò Ø Ö ÓÖ ÒÓØ ÓÒ ÓÙÐ ×ÓÑ ÓÛ Ö ÔÐ Ø Ø ÙÒÓ × ÖÚ ÔÖ ØÓÖ y2 Ó ÑÔÖÓÚ ÓÚ Ö ÇÄË Ò ×ÓÑ × Ò× º Ä Ø y2 ˆ y2 . ˆ β = = Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÇÄË ÓÒ Ö X1 X2 ′ X1 X2 −1 −1 X1 X2 ′ y1 y2 ˆ ′ ′ X1 X1 + X2 X2 ′ ′ X1 y1 + X2 y2 ˆ ˆ X ′X β = X ′y ×Ó Û Ö Ö ×× Ù× Ò ÓÒÐÝ Ø Ö×Ø ´ ÓÑÔÐ Ø µ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Û ÛÓÙÐ Ú ′ ′ ˆ X1 X1 β1 = X1 y1. Ä Û × ¸ Ò ÇÄË Ö Ö ×× ÓÒ Ù× Ò ÓÒÐÝ Ø × ÓÒ ´ ÐÐ Òµ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÛÓÙÐ Ú ′ ′ ˆ X2 X2 β2 = X2 y2 . ˆ ËÙ ×Ø ØÙØ Ò Ø × ÒØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÓÑ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ú × ˆ β = = ′ ′ X1 X1 + X2 X2 ′ ′ X1 X1 + X2 X2 −1 −1 ′ ′ ˆ ˆ X1 X1 β1 + X2 X2 β2 ′ ′ ′ ˆ X1 X1 β1 + X1 X1 + X2 X2 −1 ′ ˆ X2 X2 β2 ˆ ˆ ≡ Aβ1 + (IK − A)β2 Û Ö ′ ′ A ≡ X1 X1 + X2 X2 −1 ′ X1 X1 ¿º ÅÁËËÁÆ Ç Ë Ê Î ÌÁÇÆË ½¼ Ò Û Ù× ′ ′ X1 X1 + X2 X2 −1 ′ X2 X2 = ′ ′ X1 X1 + X2 X2 −1 ′ ′ = IK − X1 X1 + X2 X2 ′ ′ ′ X1 X1 + X2 X2 − X1 X1 −1 ′ X1 X1 = IK − A. ÆÓÛ¸ ˆ ˆ E(β) = Aβ + (IK − A)E β2 Ò Ø × Û ÐÐ ÙÒ × ÓÒÐÝ × Ø Ø ˆ E β2 = β. × ÐÐ Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ÓÒÐÝ ÐÓÒ ÛÓÙÐ Ò ØÓ Ò Ò × Û ÐÐ • Ì ÙÒ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ × ×Ø Ñ ØÓÖº Ì y2 = X2 β + ε2 ˆ ˆ Û Ö ε2 ˆ Ø × Ñ Ó Ò Þ ÖÓº Ð ÖÐݸ Ø × ÙÐØ ØÓ × Ø × Ý Ø × ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ ÒÓÛÐ β. y2 = y1 ˆ ¯ Ó × ÒÓØ × Ø × Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö ÓÖ Ð × ØÓ • ÆÓØ × Ø ÔÙØØ Ò ×Ø Ñ ØÓÖº Ü Ö × ½¿º ÓÖÑ ÐÐÝ ÔÖÓÚ Ø × Ð ×Ø ×Ø Ø Ñ Òغ • ÇÒ Ù× Ò ÔÓ×× Ð ØÝ Ø Ø × Ò ×Ù ×Ø ´× Ö Ò ¸ Ô ¾ µ × ØÓ ×Ø Ñ Ø β Ö×Ø ÖÓÙÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÑÔÐ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ′ ′ ˆ β1 = (X1 X1 )−1 X1 y1 Ø Ò Ù× Ø × ×Ø Ñ Ø ¸ ˆ β1 ,ØÓ ÔÖ Ø y2 ˆ y2 = X2 β1 ˆ ′ ′ = X2 (X1 X1 )−1 X1 y1 ÆÓÛ¸ Ø Û Ú ÓÚ Ö ÐÐ ×Ø Ñ Ø × Û Ø Ú Ö Ó ˆ β1 Ò ˆ β2 , Ù×Ø × ÓÚ ¸ ÙØ ′ ′ ˆ β2 = (X2 X2 )−1 X2 y2 ˆ ′ ′ ˆ = (X2 X2 )−1 X2 X2 β1 ˆ = β1 Ì × Ø × × ÓÛ× Ø × Ñ ØØ × Ø × ×Ù ÇÄË ×Ø ÓÒ × ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ò ÑÔØÝ Ó ÓÒØ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ð ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒÐÝ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ ¿º¾º Ì Ñ ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ÑÔÐ × Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ö Ö Ò ÓѺ Ì ÓÒ× × ÑÔÐ Ö Ø Ö ÒÓØ Ö Ò ÓѺ ÁÒ Ø ÓÚ × Ù×× ÓÒ Û × ××ÙÑ Û Ö Ø Ø Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × Ð Ñ ×× Ò ÑÓ ∗ yt = x′ β + εt t Û Ï × ××ÙÑ ØÓ × Ø × Ý Ø × Ð ×× Ð × ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ ∗ yt × ÒÓØ ÐÛ Ý× Ó × ÖÚ º Ø × Ó × ÖÚ yt Ò ∗ yt = yt ÇÖ¸ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ ∗ yt ≥ 0 Ò Þ ÖÓº ∗ yt × Ñ ×× Ò Û Ò Ø × Ð ×× Ø ¿º ÅÁËËÁÆ Ç Ë Ê Î ÌÁÇÆË ½¼ ÙÖ ¿º Ë ÑÔÐ × Ð Ø ÓÒ × Data True Line Fitted Line 25 20 15 10 5 0 -5 -10 0 2 4 6 8 10 Ì Û Ø Ø Ö Ò ÒØ Ö Ø × × × ×Ø ØØ Ñ ×× Ò Ú ÐÙ × Ö ÒÓØ Ö Ò ÓÑ Ø Ý Ö ÓÖÖ Ð Ø xt . ÓÒ× y∗ = x + ε Û Ø V (ε) = 25¸ ÙØ Ù× Ò ×º Ì ÓÒÐÝ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÖ Û y∗ > 0 ØÓ ×Ø Ñ Ø º ÙÖ ¿ ÐÐÙ×ØÖ Ø × Ø Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ × × ÑÔ× ÐºÑ ¿º¿º Å ×× Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø y1 y2 ÙØ Û Ù×Ø ××ÙÑ ÒÓÛ Ø Ù× Ò Ø Ø ÖÓÛ Ó ×Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ Ø Ù× ÔÖ Ø Ø Ó Ö Ö ××ÓÖ׺ X1 X2 × Ò Ø ÑÓ Ð × = X2 β+ ε1 ε2 ÓÑÔÓÒ ÒØ´×µº Ñ ÖÙ×ØÖ Ø Ò ÁÒ × Û Ö Ó Ò Ö Ð¸ Ó ØÓ Ø Ò¸ ÓÒ Ú ÓÙÐ ÖÓÔ ØÓ Ò ÙÒÓ × ÖÚ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ × Ò Ð Ñ ×× Ò ÙØ Ø Ñ Ý × Ú Ö Ö × × ÒÙÑ Ð º Ò Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ÑÔÐÝ ÙÒÓ × ÖÚ Ó × ÖÚ Ø ÓÒº Ó X2 × × Ö ÔÐ ÓÖ ¸ Ø Ý ×ÓÑ × Ñ × × ÐÚ Ò× Ø ¸ ∗ Ø ÓÒ¸ X2 , Ø ÇÄË × ÐÓÒ Ò Û ÖÖÓÖ× Ó ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ∗ Ò X2 × Ù× Ñ ×× Ò Ò×Ø X2 . ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ò Ö × Û Ø ÓÛ Ú Ö¸ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó ×Ò³Ø n. Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ø × ÒØÖÓ Ù Ò ÙÐØ ØÓ ×Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ð× Ú Ñ ×× Ò ×ØÓ Û Ø Ú ÐÙ × Ö ÔÐ Ý • ÁÒ ÐÙ Ó Ò Ö Ð¸ Ø Ö Ñ Ú ÐÙ × Ò × ÒØÖÓ Ù × ÖÐÓ ÒØ ÖÔÖ Ø ×º ÁØ × ×ØÙ × ×Ù × ÓÖ Ø ÓÖ ×Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ ÁÒ Ö ÅË Ò Ö × × ÓÖ Ø Ø ÖÑ Ò Ò × ×º ÅÓÒØ Ò¸ ÓÖ Ø Ø × Ö ÖÓÙ× ØÓ × ÑÔÐÝ ×Ù ×Ø ØÙØ Ö Ö ××ÓÖ ÓØ Ö Ø Ì × × Ò Ø Ü ÑÔÐ º • ÁÒ Ø Ó × ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÒ×Ø Òظ ×Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ð × Ø Ø Ó ×Ò³Ø x ¯ ÓÐ Ñ ×× Ò xt Ó × ÒÓØ Ð ØÓ ×º ×Ô K > 2. Ø ÓÒ × Ð ×Ø ×Ø Ø Ñ Òغ × ×ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ ÖÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ׺ Ì Ö Û Ø × ÔÓØ ÒØ ×¸ Ø × Ð ÓÖ Ö ×Ø ØÓ ÖÓÔ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ø ÖÓÙ Ü Ö × ½ º ÈÖÓÚ • ÁÒ ×ÙÑÑ Öݸ Ø Ø Ú Ñ ×× Ò Ù Ø ÓÒ Ó ÅË Ê ÁË Ë ½¼ ÐÐ Ò ÅË º Ò Ñ ×× Ò Ð Ñ ÒØ× Û Ø ÒØ ÐÐ ÒØ Ù ×× ×¸ ÙØ Ø × ÓÙÐ Ð×Ó Ò Ö × º Ü Ö × × ´½µ ÓÒ× Ö Ø Æ ÖÐÓÚ ÑÓ Ð Ü Ö × × j j ln C = β1 + β2 ln Q + β3 ln PL + β4 ln PF + β5 ln PK + ǫ Ï Ò Ø Ù × ÑÓ Ð × ×Ø Ñ Ø Ý ÇÄ˸ ×ÓÑ Ó ÒØ× Ö ÒÓØ × Ò Òغ Ì × Ñ Ý ØÓ ÓÐÐ Ò Ö Øݺ Ü Ö × × ´ µ Ð ÙÐ Ø Ø ÖØ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ð Ö Ö Ö ×× ÓÒ× ØÓ × Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖº Ö Ö ××ÓÖ׺ Ö ØÝ × ÔÖÓ Ð Ñº ´ µ È Ö ÓÖÑ ´ µ ÔÔÐÝ Ø ÓÐÐ Ò Ü Ö × × ´ µ ÈÐÓØ Ø ´ µ Û Ö Ø ØÖ ÔÔ Ò× × Ö Ñ k Ó × ØÓ Þ ÖÓ¸ Ò × k ÓÑ × Ú ÖÝ Ð Ö º À ÈÌ Ê ½¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ì ÓÙ ×Ø× Ø Ö Ð Ø ÓÒ× × Ô Ø ÓÖÝ Ó Ø Ò ×Ù Ò ×Ø× Û ÓÒ Ò ÒÓÒÒ ×Ø Ú Ö Ø ×Ø× Ò ÐÙ ¸ Ò ×Ù ¹ Ø ÓÒ Ò Ð × × ÓÙÐ Ö Ò Ø ÓÖ Ò× Ó ÖØ ØÛ Ò Ø Ö Ú Ø Ú ×¸ Ø × Ù×Ù ÐÐÝ × Ð ÒØ Ö Ô Ò Ú ÒØ Ú Ö Ó ¹ Ð Ò Ø Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ó Ø Ü ÑÔÐ ¸ ÓÒ× Ö Ò Ö ××ÓÖ׺ Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÓÒ ÓÙÐ ÓÙ Ð × ÑÓ β β c = Aw1 1 w2 2 q βq eε Ì × ÑÓ Ð¸ Ø Ö Ø Ò ÐÓ Ö Ø Ñ׸ Ú × ln c = β0 + β1 ln w1 + β2 ln w2 + βq ln q + ε Û Ö β0 = ln A. Ð Û Ø Ì Ü ÓÖÝ ×Ù Ó×Ø Ó ×Ø× Ø Ö ÓÑÔ Ø ÓÒ Ò ÒÔÙØ ÔÖ × ×Ù Ï Ð Ø × ÑÓ A > 0, β1 > 0, β2 > 0, β3 > 0. Ì × ÑÓ Ð ×Ò³Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ × Ò c = 0 Û Ò q = 0. ÀÓÑÓ Ò ØÝ Ó Ö Ø β1 +β2 = 1, Û Ð ÓÒ×Ø ÒØ Ö ØÙÖÒ× ØÓ × Ð ÑÔÐ × βq = 1. ×Ø× Ø Ø ×ÓÒ Ð Ò ×ÓÑ × ×¸ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ð Ñ Ý Ñ Ý Ø Ø Ö × Ì Ù×Ø × ÔÐ Ù× Ò Ð √ √ √ √ c = β0 + β1 w1 + β2 w2 + βq q + ε √ º ÆÓØ Ø Ø x Ò ln(x) ÐÓÓ ÕÙ Ø Ð Ð Ò Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ×Ó Ø Ñ Ý ¸ ÓÖ ÖØ Ò Ú ÐÙ × Ó ØÛ Ò Ö ××ÓÖ׸ ÑÓ Ð׺ ÙÔ ØÓ ÙÐØ ØÓ ÓÓ× × ÔÓ ÒØ × Ø Ø Ø Ñ ÒÝ × ÑÓ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ð Ò Ò × Ø ÓÖÑ× Ö ÓÑÔ Ø Û ÓÖ Ú Ö Ð Û Ø Ø Ð Ò Ö¹ Ò¹ Ô Ö Ñ Ø Ö× ÑÓ ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ó Ø Ö × Ð Ò Ð Ú ÐÙ Ö Ò Ø Ð¸ × Ò Ô Ò Ò Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ö Ö ××ÓÖ׺ ØÝ Ó ÒÓÒÐ Ò Ø Ö ØÖ Ò×¹ Ø ÒØ Ú Ö Ø Ø Ü ÑÔÐ ¸ ×ÙÔÔÓ× g(·) ÑÓ × Ð ÙÒ Ø ÓÒ x(·) K− Ö Ò Ø Ú ØÓÖ¹Ú ÐÙ Ú Ö Ð × ÙÒ Ø ÓÒº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× ÙØ ÒÓÒÐ Ò xt = x(zt ) yt = x′ β + εt t Ì Û Ö Ö Ñ Ý P ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ò¸ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ð × Ö Ø K Ñ Ý Ò ×Ñ ÐÐ Ö Ø ÕÙ Ð ØÓ ÓÖ Ð Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ò ×ÕÙ Ö × ÖÓ×× ÔÖÓ Ù Ø× Ó Ø Ú Ö zt ¸ ÙØ Ø Ò P. ÓÖ Ð × Ò zt . Ö Ñ Ý K xt Ö Ö ××ÓÖ׸ Ò ÐÙ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÙÐ ½º Ú Ò Ø Ø Ö Ð× Ø Ð Ü Ø Ú × Ø Ø × Ò Ö ××ÓÖ× Ð Ü Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× Ö Ð Ø ÓÒ× Ñ Ô ØÛ Ö Ò Ø Ø Ö Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Ò Ø ÛÓÒ ØÝ Ó Ø Ü ×Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ ¹ Ô׺ Ö×Ø Û Öع Ö Ú ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ó Ø Ò Ö Ð ÙÒ ÒÓÛÒ¸ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Û × ÓÒ Ø Ò ÐÓ× ÐÝ Ð Ò Ú Ö ×Ù ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ø ÓÒ× Ø Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ × Ø Ð Ü Ñ ØÖ Ü Ó × ÓÒ Ð ØÝ Ò Ø × × Ò× Ú ØÓÖ Ó Ö Ú Ø Ú × Ò Ø Ð ÖÐÝ Ö ÕÙ Ö × Ø ØÖ ÖÝ Ú ÐÙ Ø Ð ×Ø ÔÓ Òغ Ø ×Ò Ð Ø Ø Ø K = 1 + P + P 2 − P /2 + P Ö Ô Ö Ñ Ø Ö× ÓÒ ÓÖ Ò Ô Ò ÒØ ½¼ Ø Ø Ø Û Û × ØÓ ÑÓ Ðº ½º Ä Á Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅË ½¼ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø ÑÓ Ð × y = g(x) + ε × ÓÒ ¹ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö × × ÜÔ Ò× ÓÒ ´Û Ø Ö Ñ Ò Ö Ø Öѵ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ g(x) ÓÙØ x=0 g(x) = g(0) + x′ Dx g(0) + Í× Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Û × ÑÔÐÝ ÖÓÔ× Ø 2 x′ Dx g(0)x +R 2 Ò Ö Ø ÖѸ × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ñ g(x) : g(x) ≃ gK (x) = g(0) + x′ Dx g(0) + 2 x′ Dx g(0)x 2 Ø × Ò× Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ø ÙÔ ØÓ Ø × x → 0, Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÑ × ÑÓÖ Ò ÑÓÖ Ü Ø¸ Ò 2 2 g(x), Dx gK (x) → Dx g(x) Ò Dx gK (x) → Dx g(x). ÓÖ x = 0, Ø × ÓÒ ÓÖ Öº Ì Ö Ò Ñ ÒÝ Ü Ð Ò gK (x) → Ü Ø¸ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× × ØÓ ÒÓØ × Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÑÓ g(0), × Ó Dx g(0) Û ÐÐ Ú 2 Dx g(0) Ü ØÐÝ ÐÐ ÓÒ×Ø ÒØ׺ Á Û Ö ØÖ Ø Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÓÙ Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ ÓÖ Ö¸ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ø ÔÓ ÒØ g(x), Ð × Û ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖѸ Ü ØÐݸ ÙÔ ØÓ × ÓÒ x = 0. gK (x) = α + x′ β + 1/2x′ Γx ×Ó Ø Ö Ö ×× ÓÒ ÑÓ Ð ØÓ Ø × y = α + x′ β + 1/2x′ Γx + ε • • Ï Ð Ø Ö Ö ×× ÓÒ ÑÓ Ò× × Ð × ÒÓÙ Á× Ö Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ Á× Û Öع Ü Ð ¸ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö Ñ Ì plimα = g(0)? ˆ Ò Ö Ðº Ì Ö Ú Ø Ú ×¸ Ø Ö ˆ plimβ = Dx g(0)? Ø Û ØÖ × ÓÖ Ø ØÓ ÔÐ Ý Ø 2 ˆ plimΓ = Dx g(0)? ØÖÙ Ú ÐÙ × Ó Ø Ö Ñ Ò Ö × Ò×Û Ö × ÒÓ¸ Ò × Ø × × ×ÓÒ × Ø Ò Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø ÖѸ Û ÓÖ ¸ Ø ε Ô ÖØ Ó Ø Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó × x, ×Ó Ø Ò Ø x Ö Ò ε Ö ÓÖÖ Ð Ø × × º ×Ø Ñ ØÓÖ × Ü ÑÔÐ ÛÓÙÐ × × º Ö×عÓÖ Ö ÌºËº ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ • • × ÑÔÐ Ö ÕÙ Ì ØÓ ÓÒ× Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒº ÓÒ ÐÙ× ÓÒ × Ø Ö Û Ô ØÙÖ º Ø Ü Ø Ò Ð Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò³Ø Ö ÒÓÖ ÐÐÝ Ø× Ü Ð Ò Ö Ù× ÙÐ Ø× Ð Ö Ú Ø Ú × ÓÒ¹ Ø ×Ø Ø ×Ø Ð × Ò× ¸ × ×Ø ÒØÐÝ ×Ô ÑÓ ×Ø Ñ Ø Ò Ø ¸ ÙÒÐ ×× Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÓ Ð º Ó Ø Ò Ø Ø ÐÓÒ × ØÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ò ×¸ Ø Ñ ÐÝ Ó Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖѺ ÁÒ ÓÖ Ð ÑÙ×Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ö ×× ÓÒ ½º½º Ì ÔÙÖÔÓ× × Ó ×Ù Ø ØÓ Ð ×× ØÖ Ò×ÐÓ ÓÒÓÑ ØÖ × Ù Ó ÐÝ Ø ×Ù Ø Ý Ø × ÑÔÐ ÓÖѺ ÁÒ ×Ô Ø Ò Ø Ý Ö ³× Ù× Ö Ò³Ø Ö Ùи Ò Ò ÐÐÝ Ø Ö Ý Ü Ö Ð ÓÖ Ø ÒÐÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ñ ××Ô Ö Ò ¸ Ø ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø × ÑÔÐ Ð Ò º Ì ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ø × ÑÓ Ð ÓÖÑ Ø Ñ ÒÝ ÔÓÔÙÐ Ö Ðº Ì ØÖ Ò×ÐÓ Ø Ø ÓÖÑ׸ ×Ù ÑÓ Ú Ö Ø × Ð × ÔÖÓ Ð × Ò ØÓ Ò Ö × Ø ¹ ÓÙ Ð × ÓÖ Ø ÐÝ Ù× Ú Ö × × Ð × ÑÓ ÓÚ ¸ ÑÓ×Ø Û ØÓ Ñ ÐÓ Ü ÔØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ø ¸ Ø Ö Ø ÐÓ Ð×Ó¸ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ÔÓ ÒØ × Ù×Ù ÐÐÝ ÑÓ Ð Ò Ó Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì y = ln(c) z x = ln z ¯ = ln(z) − ln(¯) z y = α + x′ β + 1/2x′ Γx + ε ½º Ä Á Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅË ½¼ ÁÒ Ø × ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ Ø Ø Ø t ×Ù × Ö ÔØ Ø Ø ×Ø Ò Ù × × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ×ÙÔÔÖ ×× ÓÖ × Ñ¹ ÔÐ Øݺ ÆÓØ ∂y ∂x = β + Γx = = ∂ ln(c) ∂ ln(z) ∂c z ∂z c Û Ø Ò× Ó Ø ´Ø ÓØ Ö Ô ÖØ Ó x × ÓÒ×Ø Òص Û ÑÓ × Ø Ðº ÆÓØ Ð ×Ø ØÝ Ó Ø Ø Ø Ø c Ñ Ö ×Ô Ø ØÓ ÓÒ z. Ì × × Ú Ö ÓÒÚ Ò Ð ×¸ ÒØ ØÙÖ ×Ó Ó Ø ØÖ Ò×ÐÓ Ø ÓÒ Ò z ¸ x = 0, ¯ ∂y ∂x ×Ó Ø =β z=¯ z Ñ Ò× Ó Ø Ø º β Ö Ø Ö×عÓÖ Ö Ö Ø Ð ×Ø Ø Ø ×¸ Ø Ø ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø ¸ ÓÒ× y × Ó×Ø Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ y = c(w, q) Û Ö w Ò × Ú ØÓÖ Ó Ò Ø ÓÒ ÒÔÙØ ÔÖ × Ò q Ö × ÓÙØÔÙغ × Ï ÓÙÐ ÓØ Ö Ú Ö Ý Ë Ô Ð × Ý ÜØ Ò q Ó Ú ÓÙ× Ñ ÒÒ Ö¸ Ø ÓÒ Ð ØÓÖ ÙØ Ø × ×ÙÔÖ ×× ÓÖ × ÑÔÐ Øݺ Ö ³× Ð ÑÑ ¸ Ø Ñ Ò × x= Ò Ø Ó×Ø × Ö × Ó Ø ØÓÖ× Ö Ø Ö ∂c(w, q) ∂w ÓÖ s= Û × × ÑÔÐÝ Ø Ð Ú ØÓÖ Ó Ù× Ò Ð ×Ø Ø wx ∂c(w, q) w = c ∂w c × Ó Ó×Ø Û Ø Ú Ö ×Ô Ø ØÓ ÒÔÙØ ÔÖ ×º Á Ø Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ Û ÙÒ Ø ÓÒ × ÑÓ ØÖ Ò×ÐÓ ln(c) = α + x′ β + z ′ δ + 1/2 x′ z Γ11 Γ12 Γ′ 12 Γ22 x z = α + x′ β + z ′ δ + 1/2x′ Γ11 x + x′ Γ12 z + 1/2z 2 γ22 Û Ö x = ln(w/w) ¯ ´ Ð Ñ Òع ݹ Ð Ñ ÒØ Ú × ÓÒµ Ò z = ln(q/¯), q Ò Γ11 = Γ12 = γ11 γ12 γ12 γ22 γ13 γ23 Γ22 = γ33 . ÆÓØ Ì Ø Ø ×ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ø Ò Ø × Ö × ÓÒ Ö Ö Ú Ø Ú × Ù×Ø × Ò ÑÔÓ× º ÕÙ Ø ÓÒ× s=β+ Ì Ö ÓÖ ¸ Ø Ø × Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ø Ö Ò Ò Ò Ø Γ11 Γ12 Ó×Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ x z Ú Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø Ø Ò ÓÑÑÓÒº Ý Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó ÔÓÓÐ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ØÓ Ø ÑÔÓ× Ò Ò ´ØÖÙ µ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× × Ñ ¸ Û Ò Ýº ½º Ä Á Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅË ½½¼ ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ÑÓÖ Ø Ð¸ ÓÒ× Ö Ø × Ó ØÛÓ ÒÔÙØ׸ ×Ó x= ÁÒ Ø × × Ø ØÖ Ò×ÐÓ ÑÓ Ð Ó Ø ÐÓ x1 x2 . Ö Ø Ñ Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ × Ì γ11 2 γ22 2 γ33 2 ln c = α + β1 x1 + β2 x2 + δz + x + x + z + γ12 x1 x2 + γ13 x1 z + γ23 x2 z 2 1 2 2 2 ØÛÓ Ó×Ø × Ö × Ó Ø ÒÔÙØ× Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Ó ln c Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ x1 Ò x2 s1 = β1 + γ11 x1 + γ12 x2 + γ13 z s2 = β2 + γ12 x1 + γ22 x2 + γ13 z ÆÓØ Ø Ø Ø × Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ò Ø Ö Ù× Ò ÒÓØ Ò ÐÓ Ø Ó×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò ÓÑÑÓÒº ÇÒ Ø ÓÖ Ø Ø Ø Ø ÑÓÖ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ Ó×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö Û Ø Ó ÔÓÓÐ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø × Û Ý Û ³Ö ÕÙ Ø ÓÒ× ÑÓÖ Ø ÓÒ ¸ ÑÔÓ× Ò Ò Ø Ö × Ñ º ÁÒ Ø Û ÐÐ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ø Ø Ø × ØÓ ÑÔÓÖÚ ´ Ò Ýº ÆÓØ Ó × ÓØ ××ÙÑ ÖÛ × Ø Ò × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ÒÓØ × Ø ØÖÙ º º¸ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒµ¸ × Ò Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø ÑÓ Ò Ö Ú Ø Ú × ÛÓÙÐ Ñ ××Ô ÓÖ Ø Ö Ú Ø Ú × Ó Ø ÛÓÙÐ Ö ×º ÌÓ ÔÓÓÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ׸ ÛÖ Ø Ð Ò Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ ´   2 x2 x2 ln c 1 x1 x2 z 21 22 z2     s 1  =  0 1 0 0 x1 0 0 s2 0 0 1 0 0 x2 0  x1 x2 x2 x1 Ì × × ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÛÖ ØØ Ò × Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ï Ø        x1 z x 2 z   z 0    0 z        Ø  Ò Ò α β1 β2 δ γ11 γ22 γ33 γ12 γ13 γ23 Ø  ÖÖÓÖ Ø ÖÑ×µ ÔÔÖÓÔÖ ÒÓØ Ø ÓÒ¸           ε1    +  ε2     ε3        × Ò Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ò yt = Xt θ + εt Ì ÓÚ Ö ÐÐ ÑÓ Ð ÛÓÙÐ ×Ø n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖ ØÓØ Ð Ó 3n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ×  Æ ÜØ Û Ò ØÓ ÓÒ× Ö Ø      y1 X1 ε1        y2   X2   ε   º = º θ +  º2   º   º   º   º   º   º  yn Xn εn ÖÖÓÖ׺ ÓÖ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ö×Ø ÓÒ× × Ò ÓÚ Ö × Ó Ø Ö Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ø ´ÁÒ ε1t   εt =  ε2t  ε3t ¾ ×   tØ ÖÖÓÖ× Ò ÔÐ Ò Ú ØÓÖ × Ú ØÓÖ Ø Ö × Ø × Ö × Ú Ö Ö Ò × ÖØ Ö ×Ý ÒÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ÕÙ Ð Ò Ø Ý ÑÙ×Ø ×ÙÑ ØÓ ÓÒ º Ò ÑÓÖ × ¹½ Ø Ñ × Ø Ø Ú Ö Ø¸ Û Ø Ò º Ð×Ó¸ Ò Ö Ð ÒÓØ Ø ÓÒ × Ù× Ø³× Ð ÐÝ Ø Ø Ø × ØÓ Ö × ÐÐÓÛ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ò ¾ ÒÔÙØ×µº Ó×Ø ½º Ä Á Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅË ½½½ Ö ÒØ Ú Ö Ò ×º ËÙÔÔÓ× Ò ÙÔÓÒ Ø Ø Ø ÑÓ Ð × ÓÚ Ö Ò ×Ø Ø ÓÒ Öݸ Ø Ú Ö Ò Ó εt ′ ÛÓÒ Ø Ô Ò t ÆÓØ ÒÓ Ø Ø Ø × Ñ ØÖ Ü × × Ò ÙÐ Ö¸ × Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÓÚ Ö  σ11 σ12 σ13   V arεt = Σ0 =  · σ22 σ23  · · σ33  Ø × Ò Ñ ØÖ Ü × Ø Ö × ×ÙÑ ØÓ ½º ××ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ö × ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ Ø × Ñ Ò ÐÝ ÙÒÖ Ð Ø Ö Ö ×× ÓÒ× ´ËÍʵ ×ØÖÙ ØÙÖ º  ε1    ε2   º  = Σ V ar   º  º  εn   = In ⊗ Σ0 Û Ö Ø ×ÝÑ ÓÐ Ñ ØÖ ×   0  =  º  º  º 0 Σ0 0 Σ0 ºº º ··· 0 ºº º º º º        ÃÖÓÒ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó ØÛÓ ··· 0 0 Σ0 A Ò B × ⊗ Ò Ø × Ø ÃÖÓÒ Ö ÔÖÓ Ù Øº  º º º Ì   a B ººº  21 A⊗B = º  º  º apq B · · · a11 B a12 B · · · a1q B  apq B    .   ½º¾º Ò ËÓ Û ÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÄË ×Ø Ñ Ø ÄË × ØÖ Ò×ÐÓ ÑÓ × Òغ Ì Ðº ËÓ¸ Ø × ÑÓ Ð × ÓÛ Ø ÖÓ× Ó Û ×Ø ØÝ ×Ø Ñ Ø Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ ×Ó ÇÄË ÛÓÒ³Ø ÒØÐÝ Ù× Ò Ò Ò ØÓ Ò ÜØ ÕÙ ×Ø ÓÒ × Ø ×Ø Ñ Ø ÙÔÓÒ ÒÚ ÖØ Ò ÖÖÓÖ ÓÚ Ö ˆ Σ. Σ. ÒØ ÔÖÓ ÙÖ × ´×ÙÔÔÓ× Ò ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÖÖÓÖ×µ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ´½µ ´¾µ ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ù× Ò Ý ÇÄË Σ0 1 ˆ Σ0 = n ´¿µ Æ ÜØ Û Ò ØÓ ÓÙÒØ × ÓÖ Ø × Ò ÙÐ Ö Û Ò Ø n εt ε′ ˆ ˆt t=1 × Ò ÙÐ Ö ØÝ Ó Σ0 . ÁØ Ò × ÓÛÒ Ø Ø ˆ Σ0 Û ÐÐ Ö × ×ÙÑ ØÓ ÓÒ ¸ ×Ó ÄË ÛÓÒ³Ø ÛÓÖ º Ì ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ ½º Ä Á Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅË ½½¾ ÖÓÔ ÓÒ Ó Ø × Ö ÕÙ Ø ÓÒ׸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø × ÓÒ º Ì                     ÑÓ ln c s1 = 1 x1 x2 z 21 22 0 1 0 0 x1 0 x2 x2 z2 2 0 x1 x2 x1 z x 2 z x2 z 0 α β1 β2 δ γ11 γ22 γ33 γ12 γ13 γ23  Ð ÓÑ × ÓÖ Ò Ñ ØÖ Ü ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ          +          ε1 ε2 ∗ ∗ yt = Xt θ + ε∗ t Ò Ò ×Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ  ÓÖ¸ Ò ÐÐÝ Ò Ñ ØÖ Ü ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ ∗ ∗ X1 ε∗ y1 1  ∗   ∗   ∗  ε2  y2   X2    θ +  º   º = º   º   º   º   º   º   º ∗ ∗ yn Xn ε∗ n ÐÐ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ×  ÐÐ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Û     Ú Ø 2n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× y ∗ = X ∗ θ + ε∗ ÓÒ× Ö Ò Ø ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ò ¸ Û Ò Ò Σ∗ = V ar 0 ε1 ε2 ˆ Σ0 Σ ∗ = In ⊗ Σ ∗ 0 Ò ˆ Σ∗ 0 × Ø Ð Ò 2×2 ÐÓ Ó ¸ Ò ÓÖÑ ˆ ˆ Σ ∗ = In ⊗ Σ ∗ . 0 Ì × × ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÇÄË Ò ÔÔÐÝ Ò ÄÄƺ ´ µ Æ ÜØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÐ × Ý ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ˆ ˆ P0 = Chol Σ∗ 0 ´Á Ñ ××ÙÑ Ò Ø Ø × × Ò × Ø ÒØ Û Ø ÓÚ Ö Ò Û Ý Ç Ø Ú ¾ Ó × Øµ Ò Ø −1 Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü¸ Û Ø × × ÓÒ× ×¹ ÓÚ Ö ÐÐ Ò ÙÔÔ Ö ØÖ ÓÐ × Ý Ð¸ Û Ò ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó Ð ÙÐ Ø Ñ ØÖ Ü Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÑÓ ˆ ˆ ˆ P = CholΣ∗ = In ⊗ P0 ´ µ Ò ÐÐÝ Ø ÑÓ Ð ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ð ÙÐ Ø Ý ÔÔÐÝ Ò ÇÄË ØÓ Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ˆ′ ˆ ˆ P ′ y ∗ = P ′ X ∗ θ + ˆ ε∗ P ¾º Ì ËÌÁÆ ÆÇÆÆ ËÌ À ÈÇÌÀ Ë Ë ½½¿ ÓÖ Ý Ö ØÐÝ Ù× Ò Ø ÄË ÓÖÑÙÐ ˆ θF GLS = ÁØ × ˆ X ∗′ Σ∗ 0 −1 X∗ −1 ˆ X ∗′ Σ∗ 0 −1 y∗ Ù ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ú ˆ′ ∗ ˆ′ ∗ ˆ′ P0 yy = P0 Xt θ + P0 ε∗ Ò Ø Ò ÔÔÐÝ ÇÄ˺ Ì × × ÔÖÓ ÐÝ Ø × ÑÔÐ ×Ø ÔÔÖÓ º Û Ð ×Ø ÓÑÑ ÒØ׺ ´½µ Ï Ú ××ÙÑ ÒÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ×¸ ÙØ Û ÖÓ×× Ø Ñ º Ì ÛÓÒ³Ø Ó ÒØÓ Ø × ÓÒ ×Ø Ñ Ø × × Ð Ö º Ö Ú Ø Ú ×º × ÒÓØ Ö Ö ×ØÖ ¹ ×ÙÑ ØÓ ½º ÖÐÝ Ö ×ØÖ Ø Ú º ÁØ × Ö Ð Ø Ú ÐÝ × ÑÔÐ ´¾µ Ð×Ó¸ Û Ø ÓÒ Ø Ì Ø Ø Ú ØÓ Ö Ð Ü Ø ÓÒÐÝ ÑÔÓ× ÑÓ Ð × ÓÙÐ ×ÝÑÑ ØÖÝ Ó Ø × Ø × Ý × Ø Ý ÑÔÓ× Ò Ø Ø Ö × × ÓÙÐ × Ò ÓÑÔÐ × β1 + β2 = 1 3 γij = 0, j = 1, 2, 3. i=1 Ì × Ö Ð Ò Ò Ý Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø Ø Ý ÙÖ Ö ØÖÙ º ÓÙØÐ Ò ÓÚ Ò Ý Ö ×Ý ØÓ ÑÔÓ× Ò Û ÐРѹ ÔÖÓÚ ´¿µ Ì × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ÓÚ ¸ Ø Ø Ö Ø º × Ì Ø ×¸ ×Ø Ñ Ø ˆ θF GLS Ò Ö ¹ ×Ø Ñ Ø Σ∗ Ù× Ò 0 ÖÖÓÖ× Ð ÙÐ Ø ˆ ε = y − X θF GLS ˆ Ì ÓÒ × Ñ Ø ÜÔ Ø ÄË × ØÓ Ð ØÓ ØØ Ö ×Ø Ñ Ø Òغ Ì Ø Ø Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ˆ θOLS , × Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ³Ø º Ö Ø Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÑÓÖ Ò º ÁØ Ò Ø Ö Ø Ò Ö ¹ ×Ø Ñ Ø Ø × × Ö Ô Ø θ Ù× Ò Ò Û ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ò ´ × ÓÛÒ Ø ÙÒØ Ð Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ø ×Ø Ñ Ø × × Ø ÅÄ º º¸ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò µ Ø × Ó Ø Ò Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ò ÒÝ Ö Ø ¸ Ø × Ñ ¸ × Ò ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ ÓØ Ö × Ø Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× ÖÖÓÖ ÓÚ Ö ÙÔÓÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø Ò º ¾º Ì ×Ø Ò ÒÓÒÒ ×Ø Ú Ò Ø Ü ×ظ ÒÓØ ÓÖ Ø Ø Ó ÓÓ× Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ ×Ò³Ø Ô Ö ØÛ Ò ÓÖÑ× Ï ÓÛ Ò ÓÒ Ö¸ Ø ÝÔÓØ ØÐÝ Ð Ò ÓÒ × × Ö¸ Ò Ø Ø Ñ ÒÝ ÔÓ×× Ð Ø × Ô Ö Ñ ØÖ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÖ ÓÖÑ × ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ ×ØÙ Ó ¹ Ø ×Ø× ×Ù Ð × × Ï Ð ¸ Äʸ × ÓÖ qF Ö Ø ÐÐ ÔÓ×× ØÖ Ò×ÐÓ Ð Ø Ì ×º Ü ÑÔÐ ¸ Ø × ÓÙ Ð × ÑÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò×ÐÓ yt = α + x′ β + 1/2x′ Γxt + ε t t Û Ö Ø Ú Ö Ð × Ö Ò ÐÓ Ö Ø Ñ׸ Û Ð Ø Ó ¹ ÓÙ Ð × × y t = α + x′ β + ε t ×Ó Ø ×Ø Ó Ø Ì Ó ¹ ÓÙ Ð × Ú Ö×Ù× Ø ÓÑÔÐ Ø Ð Ò Ö Ò Ø Û ØÖ Ò×ÐÓ Ò Û × × ÑÔÐÝ Ø ×Ø Ø Ø Γ = 0. × ØÙ Ø ÓÒ × ÑÓÖ Ö Û ÒØ ØÓ Ø ×Ø Ò Ù× Ø ÒÓÒ¹Ò ×Ø × Ñ ÝÔÓØ × ×º Á Ø ØÛÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ¾º Ì ËÌÁÆ ÆÇÆÆ ËÌ À ÈÇÌÀ Ë Ë ½½ Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð ¸ Ø Ò Ø Ý Ñ Ý ÛÖ ØØ Ò × M1 : y = Xβ + ε 2 εt ∼ iid(0, σε ) M2 : y = Zγ + η 2 η ∼ iid(0, ση ) Ï Û × ØÓ Ø ×Ø ¸ ÓÖ ÇÒ Ì Ö Ú Ø ÝÔÓØ × × Ó Ø ÓÖÑ Ñ ××Ô • • H0 : Mi × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ÖÖÓÖ׸ ÙØ Û ³ÐÐ ×ÙÔÔÖ ×× Ø º Ï ³ÐÐ ÓÒ× ´½ ½µº Ì Ö Ø Ú Ö×Ù× HA : Mi × i = 1, 2. ÓÙÒØ ÓÖ ÒÓÒ¹ ÒÙÑ Ò Ö Ó × ÓÖ × ÑÔÐ Øݺ ÓÙÐ Ö ×ÓÒ Û Ý× ØÓ ÔÖÓ J Ø ×ظ ÔÖÓÔÓ× ÖØ Ý Å Ã ÒÒÓÒ¸ Ð׸ º º¸ ÓÒÓÑ ØÖ × ØÓ ÐÐÝ Ò ×Ø ØÛÓ ÑÓ y = (1 − α)Xβ + α(Zγ) + ω Á ÓØ Ø Ö Ì Ø Ö×Ø ÑÓ Ò ¸ Ø Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô × ÓÒ ÑÓ Ø Ø ×ÓÑ ¸ Ø Ò Ø ØÖÙ Ú ÐÙ Ø Ò Ò Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ð × ÒÓØ × Ò ÒØ α α = 1. Ó Ò Ö Ðº × Þ ÖÓº ÇÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ø ÑÓ Ð× × Ö × ÑÓ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ö ××ÓÖ׸ M1 : yt = β1 + β2 x2t + β3 x3t + εt M2 : yt = γ1 + γ2 x2t + γ3 x4t + ηt Ø Ò Ø ÓÑÔÓ× Ø ÑÓ Ð × yt = (1 − α)β1 + (1 − α)β2 x2t + (1 − α)β3 x3t + αγ1 + αγ2 x2t + αγ3 x4t + ωt ÓÑ Ò Ò Ø ÖÑ× Û Ø yt = ((1 − α)β1 + αγ1 ) + ((1 − α)β2 + αγ2 ) x2t + (1 − α)β3 x3t + αγ3 x4t + ωt = δ1 + δ2 x2t + δ3 x3t + δ4 x4t + ωt Ì ÓÙÖ δ′ s Ó Ø Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ò³Ø Ø ×Ø Ø ×Ø Ñ Ð ¸ ÙØ × × Ø α Ø × ÒÓظ × Ò Û Ú ÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ× Ò ÙÒ ÒÓÛÒ׸ ×Ó ÓÒ Ì ×ÙÔÔÓ× Ò Ð Ñ Ø Ú Ò Ø ÝÔÓØ α = 0. Ó J Ø ×Ø × ØÓ ×Ù ×Ø ØÙØ ÑÓ γ ˆ Ò ÔÐ γ. Ì × × ÓÒ× ×Ø ÒØ ØÓ Ð Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ð ØÝ Ø Ø × ÓÒ × ÓÒ Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô º Ì Ò º ÁØ Û ÐÐ Ø Ò ×Ø Ñ Ø Ø ÔÖÓ ÑÓ Ð × Ñ ××Ô ÑÓ y = (1 − α)Xβ + α(Z γ ) + ω ˆ = Xθ + αˆ + ω y Û Ö y = Z(Z ′ Z)−1 Z ′ y = PZ y. ˆ ظ ÙÒ ÖØ ÝÔÓØ × × ×Ø ÁÒ Ø ØØ × ÑÓ Ð¸ α × ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ò Ø Ð ¸ ØØ Ò ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÖÝ × ÓÛ Ø Ö×Ø ÑÓ Ð × ÓÖÖ Ø¸ t ¹×Ø Ø ×Ø ÓÖ α=0 ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð α→0 p t= • Á Ø × ÓÒ Ð ÑÓ Ø³× Ð× α a ˆ ∼ N (0, 1) σα ˆˆ ¸ Ø Ò Ö ÖÖÓÖ Ø Ò × ØÓ Þ ÖÓº Ì Ù× Ø Ø ×Ø Ø ×Ø Û ÐÐ Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ×Ø Ñ Ø ×Ø Ò Ð¸ ÔÖÓ ØÓ ½¸ Û Ö Ø Ø t → ∞, × Ò α Ø ˆ p Ò × Ò ÔÖÓ Ø ×Ø Û ÐÐ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ð ØÝ ÐÛ Ý× Ü ÒÙÐÐ ÑÓ Û Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ × Ò Ð ØÝ ÓÒ º ÒÝ Ö Ø Ð Ú ÐÙ ¾º Ì ËÌÁÆ ÆÇÆÆ ËÌ À ÈÇÌÀ Ë Ë ½½ • • Ï Ò Ö Ú Ö× Ø Ø × ÖÓÐ × Ó Ø Ø Ø ÑÓ ÑÓ × ×¸ × ÐÓÒ ×Û Ø Ð׸ Ø ×Ø Ò Ø × ÓÒ Ò×Ø Ø º ÁÒ Ø Ù× Ò Ð× Ø ÓØ Ö×غ Ø ×Ø ÖÓÑ ÁØ Ñ Ý Û ÐÐ ×Ø ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ö ÝÔÓØ Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ × Ø Û × × ¸ Ø Ø Ø ×ØÖ ÒÙÐÐ Ö Ø Ð Ú ÐÙ × Ö N (0, 1) |t| → ∞. Ç p Ø ÙØ ÓÒ¸ × Ò Ò Û αØ ˆ Ò × ØÓ ×ÓÑ Ø ÑÓ Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ¸ Ö Û ÐÐ Ð×Ó ÓÙÖ× ¸ Û ÖÓÐ × Ó Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݺ Ö Ö ÔÓ×× Ö Ø Ð ÓÙØ ÓÑ × Û ¸ Ò Ø Ö Ñ Ý Ò Û Ö Ø ×Ø ØÛÓ ÑÓ Ø ¸ ÓÖ ÓÒ Ð׸ Ó Ø Ò×Ø ØÛÓ Ñ Ý • ÁÒ ×ÙÑÑ Öݸ Ø Ø ÓØ Ö Öº Ø Ö º ÓØ Ò ÓØ Ñ Ý • Ì Ö Ö Ø ×Ø× ÓØ ÑÓ Ò Ú Ð× Ð Ö Ð Ð Ò ÓÖ ÒÓÒ¹Ò ×Ø Ö Ò Ø Öº Ø Ø × Ñ ÑÓ Ð׺ Ì ÔÔÐÝ Û × Ö ØÓ ÓÚ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ì J− Ø ×Ø P ¹Ø ×Ø × Ø × × ÑÔÐ × Ñ Ð Ö¸ ØÓ ÙØ ÔÔÐÝ Û M1 ÓØ × ÒÓÒÐ Ò ××ÙÑ × Ø ÑÓ • Ì Ú Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ý ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ò Ú Ô Ò ÒØ × Ù× Ð׺ Å Ã ÒÒÓÒ¸ Ï ÓÛ ØÓ Ø Ø × ÐÛ Ø Ø × ×ÓÒ¸ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ´½ • ÅÓÒØ ¹ ÑÓ Ðº ÖÐÓ Ú Ò Ù× ÂÓÙÖÒ Ð Ó ¿µ × ÓÛ× Ò Ö ÒØ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ׺ Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ø ×Ø׺ × ÓÛ× Ø Ø ×Ø× Ó Ø Ò ÓÚ Ö¹Ö Ø ÓÓØ×ØÖ Ô Ö Ø Ð Ú ÐÙ × ØÓ ØØ Ö¹Ô Ö ÓÖÑ Ò À ÈÌ Ê ½½ ÜÓ Ë Ú Ö Ð Ø Ñ × Û ³Ú ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ð ØÓ Ð × Ø × Ò ØÝ Ò × ÑÙÐØ Ò ØÝ Ö ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ø Ñ ÇÄË ØÛ Ò Ö Ö ××ÓÖ× × × Ö Ö Òظ Ò Ø Ò ÓÙÒØ Ö Ò ×× Ò Ô Ò × × Û Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÒØ Ú Ö Ð × Ò ×Ø Ñ ØÓÖº ÖÖÓÖ Ò Ø × Ò ÐÙ Ö ××ÓÖ׺ ÙØ Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Û Ø ÒÓØ ×ÙÖ Ñ ÒØ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ × × Ñ º Ø Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ì Ù× Ø × Ø ½º Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ× ÍÔ ÙÒØ Ð ÒÓÛ ÓÙÖ ÑÓ Ð × y = Xβ + ε Û Ö ¸ ÓÖ ÔÙÖÔÓ× × Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Û Ò ØÖ Ø X × Ü º Ì ×Ñ Ò× Ø ØÛ Ò ×Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ × Ú Ò Ò β Û ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ X. Ï Ò Ò ÐÝÞ Ò ÝÒ Ñ ÑÓ × Ø ÓÒ ÓÒ ×ØÓ ×Ø Ö Ö ÓÒ X, × Û × Û Ò Ø Ó Ø Ò Ý ØÖ Ø Ò X × Ü ÓÒØ ÒÙ × ØÓ Ú Ø Ø × º Ë ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ×Ý×Ø Ñ × × ÑÔÐ ÕÙ Ø ÓÒ× × ×ÙÔÔÐݹ Ñ Ò Ö ÒØ ÔÖÓ×Ô Øº ×Ý×Ø Ñ Ñ Ò ËÙÔÔÐÝ Ð׸ Û ³Ö ÒÓØ ÒØ Ö ×Ø Ð ×׸ Ø Ò ÓÒ ÇÄË ××ÓÖ׺ Æ Ú ÖØ × Ö Ð ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ü ÑÔÐ Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ qt = α1 + α2 pt + α3 yt + ε1t qt = β1 + β2 pt + ε2t = σ11 σ12 · σ22 Ø Ø × Ñ Ý ×ÓÑ Ò Ø Ñ Ý Ø ÒØ Ö¹ ÔÖÓ ×׺ ÓÖ E ε1t ε2t ε1t ε2t ≡ Σ, ∀t Ì ÔÖ ×ÙÑÔØ ÓÒ × Ø × Ø Ø qt Ú Ò pt Ö Ó ÒØÐÝ Ø Ø ØÛ Ø ÖÑ Ò × Ø ÖÑ Ò Ö ××ÓÖ× × Ø ÓÒ Ó Ø ÁØ³× ×Ý ØÓ × ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ï ³ÐÐ Ø Û ××ÙÑ yt ÙÒÖ Ð Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÖÖÓÖ׺ ËÓÐÚ Ò pt α1 + α2 pt + α3 yt + ε1t = β1 + β2 pt + ε2t β2 pt − α2 pt = α1 − β1 + α3 yt + ε1t − ε2t α3 yt ε1t − ε2t α1 − β1 + + pt = β2 − α2 β2 − α2 β2 − α2 pt × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø ÆÓÛ ÓÒ× Ö Û Ø Ö ε1t : E(pt ε1t ) = E = Ù× Ó Ø α1 − β1 α3 yt ε1t − ε2t + + β2 − α2 β2 − α2 β2 − α2 σ11 − σ12 β2 − α2 ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ×ÙÔÔÐÝ Ø Ñ Ò ÕÙ Ø ÓÒ¸ ÓÖ Ø Ú Ö × Ñ ε1t × ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ ÇÄË × Ñ ÔÔÐ Ò × × ØÓ Ø Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ö ×ÓÒº Ø Ö Ö × Ò Ò ÓÒ× ×Ø Òغ Ì ÁÒ Ø Û Ø Ò Ø × ÑÓ ×Ý×Ø qt Ѻ yt и pt Ò ÜÓ ÒÓÙ× Ò Ó ÒÓÙ× Ú Ö ½½ Ð × ´ Ò Ó ×µ¸ Ø × Ø ÖÑ Ò Ø ØÖ Ý¸ Ð ´ ÜÓ ×µº Ì ÓÒ ÔØ× ¾º Ç Æ ÁÌ ½½ Ò Û ³ÐÐ Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø Ò Ú ØÓÖ Ñ ÒÙØ º Ø Ö Ö Ö×ظ ×ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒº ËÙÔÔÓ× Û ÖÓÙÔ ØÓ ÒØ Ø Ò Ð Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ÜÓ ×¸ Ø Ò Ó × Ò Ø × Û ÐÐ × Ð Yt . Á G Ì Ò Ó ×¸ Yt × Ò Ó × Ò Ø Ú ØÓÖ Xt ÑÓ ¸ Û ÕÙ Ø ÓÒ× ÒØÓ Ø × ÖÖÓÖ Ú ØÓÖ Et . и Û Ø G × 1. ÖÓÙÔ ÙÖÖ × K × 1. ËØ Ø ÓÒ Ð ÖÖÓÖ× Ó G ××ÙÑØ ÓÒ׸ Ò ÛÖ ØØ Ò ′ ′ Yt′ Γ = Xt B + Et ′ E(Et Es ) = 0, t = s Ï Ò ×Ø ÐÐ Et ∼ N (0, Σ), ∀t Ø ÑÓ Ð × n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ò ÛÖ Ø Y Γ = XB + E E(X E) = 0(K×G) vec(E) ∼ N (0, Ψ) Û Ö ′ Y × n × G, X • • • Ì Ì Ø Ö × n × K,   ′ X1 Y1′  ′  ′   X2  Y2  Y =  º ,X =  º  º  º   º  º  ′ ′ Yn Xn  Ò  E × × ×Ý×Ø Ñ × × ÓÑÔÐ Ø ØÛ n × G.  ′ E1   ′    E  ,E =  º 2    º    º  ′ En  × Ñ ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ× ÙØ × Ò Ó ×º Ö ¸ Ò Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ô × ÒÓ ××ÙÑÔØ ÓÒº Ì Ò Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × × ×Ò³Ø Ò ×× Öݸ Ò ÅÄ ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÓÒ× Ö Ð Ø ÓÒ× Ø Ö ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Ò × Ò Ø ÓÐÙÑÒ× Ó Ë Ò Ò Ú ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ×Ø ¸ Ø Ø Et ³×¸ E Ö Ù ÐÐÝ ÓÑÓ×    Ψ =    • X • Ñ Ý ÓÒØ Ò Ð  Ò σ11 In σ12 In · · · σ1G In σ22 In ºº º º º º º º º        Р׺ Ì × Ú Ö Ð × Ö = In ⊗ Σ Ò Ó ÒÓÙ× Ò ÜÓ · σGG In ÒÓÙ× Ú Ö ÔÖ Ý Ò Ø ÖÑ Ò º Ò Ø ØÓ Ò Û Ø × Ñ Ú Ö ÒØ Ð ×º Ý Ò Ó ÒÓÙ× Ò ÜÓ ÒÓÙ× Û Ò Ð ×× ¹ ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ó Ï ¾º Ì ÑÓ Ð × Û ÐÐ Ò × × ÜÓ Ò ØÝ Ì ÑÓ Ð ÒÚÓÐÚ × ØÛÓ × Ø× Ó Ú Ö Ð ×¸ Ø θ= Ò Ö Ø Ò ÔÖÓ ×׺ Yt Ò Xt , Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ vec(Γ)′ vec(B)′ vec∗ (Σ)′ Ø ÓÒ Ð Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ × × Ø ′ • ÁÒ Ò Ö Ð¸ Û Ø ÓÙØ θ × Ñ Ò× ÓÒ Ð Ú ØÓÖº Ì Ò º Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ø G2 + GK + G2 − G /2 + G Ø Û Ö ÒØ Ö ×Ø Ò ×Ø Ñ Ø¹ ¾º Ç Æ ÁÌ ½½ • ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ó ÒØ Ø × Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ò× ØÝ × Yt Ò Xt , Û Ô Ò × ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ φ. ÏÖ Ø ft (Yt , Xt |φ, It ) Û Ö Xt ³× Ó It × Ø ÓÙÖ× º Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø Ò Ô Ö Ó Ì × Ò Ò× ØÝ Ó ØÓÖ t. Ì × Ò ÐÙ × Ð Yt′ s Yt ÓÒ Ò Ð ÒØÓ Ø Ò× ØÝ Ó Ø ÓÒ Ð ÓÒ Xt Ø Ñ × Ø Ò Ð Xt ft (Yt , Xt |φ, It ) = ft (Yt |Xt , φ, It )ft (Xt |φ, It ) Ì × × Ò Ö Ð Ò ØÓÖ Þ Ø ÓÒ¸ Ø ÓØ ÙØ × Ñ Ý Ú ÖÝ Û ÐÐ ËÓ Ù× ÛÖ Ø Ö Ø Ø × Ø Ø ÒÓØ ÐÐ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÒØ Ö ÒØÓ Ø Ñ Ö Ò Ðº ÁÒ φ ÓÒ ØÓÖ׺ Ò× ØÝ Ò φ1 ØÓ Ò Ð Ñ ÒØ× Ó Ø φ Ø Ø ÓÒ Ð φ2 ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø ÒØ Ö ÒØÓ Ø Ú Ò Ö Ð¸ φ1 Ò φ2 Ñ Ý × Ð Ñ ÒØ׸ Ó ÓÙÖ× º Ï ft (Yt , Xt |φ, It ) = ft (Yt |Xt , φ1 , It )ft (Xt |φ2 , It ) • Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÑÓ Ð × ′ ′ Yt′ Γ = Xt B + Et ′ E(Et Es ) = 0, t = s ÆÓÖÑ Ð ØÝ Ó ÓÒ ÒÓØ Ò Ð Ö¸ ×Ó Û Ó ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ñ Ò ÛÖ Ø Ø ÐÓ ¹Ð Ð ÑÔÐÝ Ø ÓÓ Et ∼ N (0, Σ), ∀t Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × Ø ×ÙÑ Ó Ð Ö Ð Ò ÓÓ Ô Ò ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒØÖ ¹ ÙØ ÓÒ× Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ n ln L(Y |θ, It ) = = t=1 n t=1 n ln ft (Yt , Xt |φ, It ) ln (ft (Yt |Xt , φ1 , It )ft (Xt |φ2 , It )) n = t=1 Ò Ø ÓÒ ½ ln ft (Yt |Xt , φ1 , It ) + Øݵº t=1 ÜÓ ln ft (Xt |φ2 , It ) = Ò ÓÙ× ÓÖ ´Ï Ø Ö × ÜÓ Ò Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖµ ÓÖ Ò Ì Ö × ØÖ ÖÝ ÑÔÐ Ò Ñ ÔÔ Ò Xt × Û ÖÓÑ φ ØÓ θ ÐÝ Ø Ø × ÒÚ Ö ÒØ ØÓ θ ´Ø ÓÖ φ2 . ÅÓÖ Ò Ð Ô ¹ ÓÖÑ ÐÐݸ (φ1 , φ2 ), θ(φ) = θ(φ1 ). Ø × × Ø φ1 Ò Ò φ2 ÒÒÓØ × Ö Ð Ñ ÒØ× Xt × Û Ö ÐÝ ÜÓ ÒÓÙ׸ × Ò Ò Ø ÓÒ× Ó φ1 ÛÓÙÐ (φ1 , φ2 )º Ø × Ñ φ2 Xt ׸ Û ÔÖ Ú ÒØ× ÓÒ× Ö Ø ÓÒ Ó ØÖ ÖÝ ÓÑ ËÙÔÔÓ× Ò × Ø Ø Ø × Û Ù× Ò ÐÝ ÜÓ ÒÓÙ׸ Ø ÓÒ Ò Ø ÅÄ Ò× ØÝ Ó φ1 Ù× Ò Ø Ó ÒØ Ò× ØÝ × ÅÄ ÓÒÐÝ Ø Ø ÓÒ Ð n ln L(Y |X, θ, It ) = × Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð Ð Ð ÓÓ Ó ×Ò³Ø Ø Ø ÒÓÛÐ × ×Ù t=1 ln ft (Yt |Xt , φ1 , It ) ÓÒ Ô Ò Ø ÓÒ Ð ÐÓ ¹Ð ÓÓ × Ñ Ü Ñ Þ Û ÜÓ ÒÓÛÐ È Ó Ò Øݸ Ó × Ñ Ú ÐÙ Ó Ø φ2 . ÁÒ ÓØ Ó φ1 . È Ó Ö ÛÓÖ ×¸ Ø Ó ÒØ Ò ÓÒ ¹ • Ï Ø Xt Ü × ÖÖ Ð Ú ÒØ ÓÖ Ò ÒØ Ö ×ظ Ö Ò ÓÒ φ1 , Ø Ò φ1 ÒØ ØÓ Ö ÓÚ Ö Ø Ò ØÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ò Ò θ. Ë Ò Xt × ÖÖ Ð Ú Òظ Û Xt × Ö Ò º ¿º Ê Í ÇÊÅ ½½ • • • Ý Ø ××ÙÑ ÒÚ Ö ØÓ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÅÄ ¸ Ø ÅÄ ÜÓ Ø Ø Ó Ò θ × ˆ θ(φ1 ), Ò Ø × Ñ ÔÔ Ò × Ü ×Ø Ò Ø ØÓ Ò Ø ÓÒ Ó Û ÙÖ ÓÙØ Ù×Ø Û Øݺ × ØÓ Ö ÓÚ Ö Ç ÓÙÖ× ¸ Û ³ÐÐ Ò Ì × × Ø Ð Ò ÑÓÙ× Ó Û × Ñ ÔÔ Ò ˆ θ ÖÓÑ ˆ φ1 . ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÜÓ Ò Øݸ Ø ÓÖ Ø ÙØ Ø Ú Ö Ü Ø ÓÒ Ò Ò Ó ÒØ × Ö ÓÒ Ð × Ò Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ð Ø Ð ÓÓ × Ü ÙÒ Ø ÓÒ× Ñ Ü¹ Ò Ò Ö Ò º ×ÓÒ¸ Û Ò³Ø ØÖ Ï Ø Ñ Þ Ì Ö ÒØ ÔР׺ × Ú Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÓÒ × ¸ Ø Xt ÜÓ Ó ÒØ ÅÄ Ø ÓÒ Ð ÅÄ × ÒÓغ Û ÐÝ ÒÓÙ× Û Ö ØÓ • ÁÒ Ö ×ÙÑ ¸ Û Ð Ø Ý ÜÓ Û Ø ´ Ò Ø ØÓ ØÖ Ö Ø Ø Ò Ø Xt ØÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ä Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø¸ Ó Ø º ÒÓÙ× Ò Ø Ò Ø ÑÓ Ð¸ ÒÓÖÑ Ð Ù× Ù×Ø ÖÐ ÛÓÖ ¸ × Ò Yt × Ø × Ý Ø º¸ Yt−1 ∈ It . Ø Ò Ø ÓÒ¸ × Ò Ä Yt Ö Ò³Ø Ö Ú ÐÙ × Ö ÓÒº Ð × Ï ÒÓÖÑ Ð × Ò× µ Ú Ö × Û ÐÐ ÐÝ ÜÓ ÒÓÙ× Ú Ö × ÐÐ ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ×º Ø ÖÑ Ò Ð × Ò ÐÙ Ú Ö ÜÓ ÒÓÙ× ¿º Ê Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÑÓ Ð × Ù ÓÖÑ ′ ′ Yt′ Γ = Xt B + Et V (Et ) = Σ Ì × × Ø ÑÓ Ð Ò ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÓÖѺ ÓÖѵº Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ × Ò ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÓÖÑ Û º Ò ÑÓÖ Ø Ò Ò Ø ÓÒ ½ ´ËØÖÙ ØÙÖ Ð Ò Ó ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ó ÒÓÙ× Ú Ö × Ò ÐÙ Ì ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ó Ò Ó × × ×Ý ØÓ Ò º ÁØ × ′ ′ Yt′ = Xt BΓ−1 + Et Γ−1 ′ = Xt Π + Vt′ = ÆÓÛ ÓÒÐÝ ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ó Ò Ó ÔÔ Ö× Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ì × × Ø Ö Ù ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÖѺ ÙÖÖ ÒØ Ò Ø ÓÒ ½ ´Ê º Ù ÓÖѵº Ò ÕÙ Ø ÓÒ × Ò Ö Ù ÓÖÑ Ô Ö Ó Ò Ó × Ò ÐÙ Ò Ü ÑÔÐ Ø × ÓÙÖ ×ÙÔÔÐÝ» ×ÙÔÔÐÝ Ñ Ò ×Ý×Ø Ñº Ì Ò Ö Ù ÓÖÑ ÓÖ ÕÙ ÒØ ØÝ × Ó Ø ÒØÓ Ñ Ò Ò Ý ×ÓÐÚ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÖ ×Ù ×Ø ØÙØ Ò qt = α1 + α2 β2 qt − α2 qt qt qt − β1 − ε2t + α3 yt + ε1t β2 = β2 α1 − α2 (β1 + ε2t ) + β2 α3 yt + β2 ε1t β2 α3 yt β2 ε1t − α2 ε2t β2 α1 − α2 β1 + + = β2 − α2 β2 − α2 β2 − α2 = π11 + π21 yt + V1t º ÁÎ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¾¼ Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ø Ö ÓÖ ÔÖ × β1 + β2 pt + ε2t = α1 + α2 pt + α3 yt + ε1t β2 pt − α2 pt = α1 − β1 + α3 yt + ε1t − ε2t α3 yt ε1t − ε2t α1 − β1 + + pt = β2 − α2 β2 − α2 β2 − α2 = π12 + π22 yt + V2t Ì Ð ÒØ Ö ×Ø Ò Ø Ò ÓÙØ Ø Ö × Ø Ø Ø Û Ø Ö Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ò Ý Ú Ù ÐÐÝ × Ø × Ý Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Ò Ø Ð ×× ¹ Ö ÓÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ × Ò ½¸¾¸ yt Ì × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÖÖÓÖ× Ó Ø ε1t Ò ε2t E(yt Vit ) = 0, ∀t. V1t V2t Ì Ú Ö Ò Ó = β2 ε1t −α2 ε2t β2 −α2 ε1t −ε2t β2 −α2 V1t × V (V1t ) = E = • • Ì Ú Ö Ì Ä Ò 2 β2 σ11 − 2β2 α2 σ12 + α2 σ22 (β2 − α2 )2 Ö×Ø Ö Ö Ò Ô Ò β2 ε1t − α2 ε2t β2 − α2 β2 ε1t − α2 ε2t β2 − α2 × × ÓÒ×Ø ÒØ ÓÚ Ö Ø Ñ ¸ ×Ó Ø Û × ¸ × Ò Ó Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ × ÓÑÓ× Ö Ø ×Ø º εt Ö ÒØ ÓÚ Ö Ø Ñ ¸ ×Ó Vt . × ÓÒ ÖÖÓÖ × V (V2t ) = E = Ò Ø ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ÓÙ× ÓÚ Ö Ò ε1t − ε2t ε1t − ε2t β2 − α2 β2 − α2 σ11 − 2σ12 + σ22 (β2 − α2 )2 Ó Ø ÖÖÓÖ× ÖÓ×× ÕÙ Ø ÓÒ× × E(V1t V2t ) = E = • Ì ÁÒ ×ÙÑÑ ÖÝ Ø Ø Ö β2 ε1t − α2 ε2t ε1t − ε2t β2 − α2 β2 − α2 β2 σ11 − (β2 + α2 ) σ12 + σ22 (β2 − α2 )2 Ú Ù ÐÐÝ × Ø × Ý Ø Ý Ö Ð ×× Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ ÙÒ º Ö ¸ ÙØ Ø ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ÓÙ×ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ÕÙ Ø ÓÒ× Ò Ñ ××ÙÑØ ÓÒ× Û ³Ú Ö × Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó Ø ′ ′ Yt′ = Xt BΓ−1 + Et Γ−1 ′ = Xt Π + Vt′ ×Ó Û Ú Ø Ø Vt = Γ−1 Et ∼ N 0, Γ−1 ΣΓ−1 , ∀t Ò Û Ö Ø Ø Ø ′ ′ Vt Ö Ø Ñ Û × µº Ò Ô Ò ÒØ ´ÒÓØ Ø Ø Ø × ÛÓÙÐ Ò³Ø Ø × Ø Et ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø º ÁÎ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ì Ì ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ý ÔÔ Ö Ø ÙÒÙ×Ù Ð Ð × Ø Ö×ظ ÙØ Ø Û ÐÐ ÖÓÛ ÓÒ ÝÓÙ ÓÚ Ö Ø Ñ º × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ× ÑÓ Y Γ = XB + E º ÁÎ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¾½ ÓÒ× Ø Ö Ò Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ ´Ø × × Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð Øݸ × Ò Û Ò ÐÛ Ý× Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ø ÓÒ×µ Û Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø Y Ñ ØÖ Ü × Y = • y × • Y1 • Y2 Ø Ö Ö Ø Ö×Ø ÓÐÙÑÒ ÓØ Ö Ò Ó Ø Ö ÒÓÙ× Ú Ö Ü ÐÙ y Y1 Y2 Ð × Ø ÖÓÑ Ø × Ø ÒØ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ó × Ø Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ô ÖØ Ø ÓÒ X × X= • X1 Ö Ø Ò ÐÙ ÜÓ ×¸ × Ò X1 X2 X2 Ö Ø Ü ÐÙ ÜÓ ×º Ò ÐÐݸ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÖÖÓÖ Ñ ØÖ Ü E= ××ÙÑ Ø Ø Ø ε E12 ÓÒ Ðº Ì × Ö Ò ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Û × Ð Ø Ú Ö Ò × Γ Ø × ÓÒ × ÓÒ Ø Ö Ñ Ò Ò Ó Ñ Ò ÒØ× ÓÒ Ø × ÑÔÐÝ × Ð ÕÙ Ø ÓÒ¸ Ó Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ׺ Ú Ò Ø × × Ð Ò Ò ÓÙÖ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò ¸ Ø 1 Γ12   Γ =  −γ1 Γ22  0 Γ32 B = Ï Ø Ø ×¸ Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò  Ó  ÒØ Ñ ØÖ × Ò ÛÖ ØØ Ò × β1 B12 0 B22 × ÛÖ ØØ Ò y = Y1 γ1 + X1 β1 + ε = Zδ + ε Ì ÔÖÓ Ð Ñ¸ × Û ³Ú × Ö Ø Ò Ø Ò × Ø Ø Z × ÓÖÖ Ð Ø Û Ø Ð Ò ε, Ö Ö × Ò Y1 × ÓÖÑ Ð Û Ø Ó Ò Ó ×º ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÆÓÛ¸ Ð Ø³× ÓÒ× ØÛ Ò Ö Ö ××ÓÖ× Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ö ×× ÓÒ ÑÓ y = Xβ + ε E(X ′ ε) = 0. Ì ÔÖ × ÒØ × Ó ÓØ Ó ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÖÓÑ × Ñ Ö ×ÓÑ ÔÖÓ ×ÙÖ Ñ ÒØ Ñ ØÖ Ü ÙØ ×Ó Ö ÔÖÓ Ð Ñ׸ ×Ù ÖÖÓÖ׺ ÓÒ× Ò × ε ∼ iid(0, In σ 2 ) ×Ý×Ø Ñ Ó ÖÖÓÖ ÓÖ Ð Û × ÓÖÑ ÕÙ Ø ÓÒ× Ø× ÒØÓ Ø ÒØ Ú Ö × ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ð × Û Ø Ô Ò Ó Ú Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø W Ð × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø εº Ì × Ñ ØÖ Ü Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü PW = W (W ′ W )−1 W ′ ×Ó Ø Ø ÒÝØ Ò Ø Ø × ÔÖÓ Ø ÓÒØÓ Ø Ø ×Ô ÑÓ ×Ô ÒÒ Ð Û Ø Ø Ý W Û ÐÐ ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ø Û Ø ε, Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó W. ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ò × ÔÖÓ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Û PW y = PW Xβ + PW ε ÓÖ y ∗ = X ∗ β + ε∗ º ÁÎ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¾¾ ÆÓÛ Û Ú Ø Ø ε∗ Ò X∗ Ö ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ¸ × Ò Ø × × × ÑÔÐÝ ′ E(X ∗′ ε∗ ) = E(X ′ PW PW ε) = E(X ′ PW ε) Ò PW X = W (W ′ W )−1 W ′ X × Ø Ó ØØ Ú ÐÙ ÖÓÑ Ö Ö ×× ÓÒ Ó Û Ø W, ×Ó Ø ÑÙ×Ø ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø X ÓÒ W. Ì × ε. Ì × ÑÔÐ y ∗ = X ∗ β + ε∗ × × Ø Ð Ò Ø Ö ÓÑ ÔÔÐÝ Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÇÄË ØÓ Ø ÓÐÙÑÒ× ÑÓ Ð Û ÐÐ Ð ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ú Ò × Û ÑÓÖ × Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ì Ñ ØÖ Ü Ó × × Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö × Ð × ×Ø Ñ ØÓÖº W Ò Ö ÐÞ ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÓÛÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ì ˆ βIV = (X ′ PW X)−1 X ′ PW y ÖÓÑ Û Û Ó Ø Ò ˆ βIV = (X ′ PW X)−1 X ′ PW (Xβ + ε) = β + (X ′ PW X)−1 X ′ PW ε ×Ó ˆ βIV − β = (X ′ PW X)−1 X ′ PW ε = ÆÓÛ Û Ò ÒØÖÓ Ù ØÓÖ× Ó X ′ W (W ′ W )−1 W ′ X n ØÓ Ø −1 X ′ W (W ′ W )−1 W ′ ε ˆ βIV − β = ××ÙÑ Ò Ø Ø X ′W n Ó Ø W ′ W −1 n Ø ÖÑ× Û Ø Ò Ø Ò Ø Ô W ′X n n Ò Ø −1 X ′W n W ′W n × −1 W ′ε n Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ × Ø × ÄÄƸ ×Ó Ø • • • Ø Ö Ò Ø W ′W p → QW W ¸ n X′W p n → QXW , W ′ε p n →0 ÔÐ Ñ Ó Ø ¸ Ñ ØÖ Ü Ö Ò Ñ ØÖ Ü Û Ø K ´ ÓÐ×(X) µ Ö × × Þ ÖÓº Ì º º¸ × Ð ×Ø Ø ÖÑ × ÔÐ Ñ ¼ × Ò Û ××ÙÑ Ø Ø W Ò ε ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø E(Wt′ εt ) = 0, Ú Ò Ø × ××ÙÑØ ÓÒ× Ø ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ × Ð Ò Ý √ n, X ′W n Ö Ö p ˆ βIV → β. Û Ú √ ˆ n βIV − β = ××ÙÑ Ò Ø Ø Ø W ′W n Ø Ø ÖÑ × Ø −1 W ′X n × −1 X ′W n Ø W ′W n −1 W ′ε √ n Ä̸ ×Ó Ø • Ø Ò Û W ′ε d √ → n Ø N (0, QW W σ 2 ) √ d ˆ n βIV − β → N 0, (QXW Q−1W Q′ )−1 σ 2 XW W º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾¿ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ× ÓÖ QXW Ò QW W Ö Ø Ó Ú ÓÙ× ÓÒ ×º Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ σ2 × 2 σIV = Ì Û × 1 ˆ y − X βIV n Ø ÓÐ º Ø Ú Ö Ò Ó ′ ˆ y − X βIV . ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÐÐÓÛ Ò Ð ×× Ð ÓÖÑÙÐ Ù× ××ÙÑÔØ ÓÒ× ØÓ ×Ø Ñ Ø ÔÖÓÓ Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø σ2 , Ò Ø Ì ˆ βIV −1 × ˆ ˆ V (βIV ) = X ′W W ′W W ′X −1 2 σIV Ì ´½µ ´¾µ ´¿µ ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ × ÒÓØ Ò Ò Ö Ð¸ × Ò ×ØÖ ÙØ Ú Ò Ø ÓÙ Ò Þ ÖÓ¸ × Ò × Ø Ô Ò (X ′ PW X)−1 Ø Ø ÙÔÓÒ Ø E(X ′ PW ε) = 0, E(X ′ PW X)−1 X ′ PW ε X ′ PW ε Ö ÒÓØ Ò Ô Ò Òغ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ñ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Ø × ×ÝÑÔØÓØ Ó Ó ˆ βIV Ô Ò × ÙÔÓÒ QXW Ò QW W , • Ò Ý Ó Ø Ï ÁÎ Ø Ò Ò Û ×Ø Ñ ØÓÖº Ú ØÛÓ × Ø× Ó W. Ì W1 Ó Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ò Ù Ò × Ø Ò ÒØÐÝ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ Ø Ð ×Ø × W2 ×Ù Ø Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ò Ø Ù× W2 × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ W1 ⊂ W2 , × Ø ÒØ Ø Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ W1 . ÅÓÖ Ö ×Ô ×¸ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ð × ØÓ ÑÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Ò Ö Ðº Ö Ð × × Û × Û ³ÐÐ × µº Ó Ö Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ× × Ø Ø Ø ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ Ö Ö Ó × Ó × Ö Ø Ö × ÒÓ Ò ´× ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ× × Ò Ü¹ • • Ì ÑÔÐ Ì Ø × Ø Ò Ö Ó Ø Ô Ò ÐØÝ ÓÖ Ò ÁÎ Ø × Ö Ñ Ò ÒØ Ù× × Ø ÒÙÑ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ö × × Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ò Ö × ×º Ì ÒÙÑ ×ÓÒ ÓÖ Ø PW X ÓÑ × ÐÓ× Ö ÐÓ× Ö ØÓ X Ø× Ð × Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× × ×º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ð × Û ÖÐÝ Ù× Ò Ø × Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ì ÓÒÐÝ • ÁÎ ××Ù Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ØÓ Ù× º º Á Ì Ø Ú ØÖÙ Ø ÒØ ÒØ ÒØ Ø ÓÒ Ý Ü ÐÙ× ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÕÙ Ø ÓÒ× × Ò Ó × Ø ÐÓ Ø Ó Ð Ñ Ø Ò Ø Ó × Ñ Ø Ú Ò ØÙÖ × ÒÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ØØ Ò Ø Ø Ö × ÙÒ ÕÙ ÁÎ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖÓÔ Ö ÙÖÚ ØÙÖ ×Ó Ø Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Ñ Ü ÑÙÑ × × Ø × Ì Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ Ò Ó Ø ÁÎ ÁÒ Ø ÓÒØ ÜØ Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ð Ñ Ø Ò ÓÚ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ × ÔÓ× Ø Ú Ò Ø 1 plim n W ′ ε = 0º × Ñ ØÖ Ü × ˆ V∞ (βIV ) = (QXW Q−1W Q′ )−1 σ 2 XW W • Ì Ò ×× ÖÝ ÔÓ× Ø Ú Û Ø Ò ×Ù Ò ÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ × × ÑÔÐÝ Ø Ø Ø × Ñ ØÖ Ü Ò Ø ¸ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ´ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݵ ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø εº × Ñ ØÖ Ü ØÓ ÔÓ× Ø Ú ÔÓ× Ø Ú Ø ÓÒ× Ò Ø ¸ Û Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ó ÒÓÖ Ø ÓÒ× ÒÓØ ´ ÓÚ µº ÓÛ • • ÓÖ Ø ÓÐ Ì ØÓ × QW W ÒØ Ø ÑÙ×Ø QXW Ø ÑÙ×Ø ÙÐÐ Ö Ò K Ø ÓÒ ÓÒ Ñº ÒÓØ Ø ÒØÙ Ø Ú × Ø Ú ÖÝ Ó Ú ÓÙ× º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ º½º Æ ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ׺ ×Ý×Ø Ñ¸ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò Á Û × Ù× ÁÎ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÖ × Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÛÖ ØØ Ò y = Zδ + ε Û Ö Z= Y1 X1 ÆÓØ Ø ÓÒ • • • Í× Ò Ø Ä Ø Ä Ø Ø K Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ ∗ = cols(X ) K Ø 1 ÒÙÑ Ö Ó Ü ÐÙ Ö Ó Û ÒÙÑ ÐÝ Ö Ó ÜÓ ÒÓÙ× Ú Ö ÜÓ ×¸ Р׺ Ò Ð Ø Ò ÐÙ × ÜÓ × ´ Ò Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒµº ÖÓ Ò ÐÙ Ò Ó ×¸ K ∗∗ = K − K ∗ Ò Ð Ø ∗ Ä ØG Ø = cols(Y1 )+1 ÒÙÑ Ö Ó Ü ÐÙ Ö Ø Û Ø ÐÝ Ü Ò ØÓØ Ð ÒÙÑ Ò Ó ×º G∗∗ = G−G∗ × ÒÓØ Ø ÓÒ¸ ÓÒ× ÆÓÛ Ø × Ð Ø ÓÒ Ó ÜÓ Ù×Ø× Ø ÒØ Ø ÒÓÙ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ò Ò × ÖÚ Ð × Ø Ö ÓÛÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ø Ø Ú Ö Ð × • • X1 ÓÒ³Ø Ð Ö ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø Ò X × Ø Ó ÔÓ×× ÑÓ Ð Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ Ò Ø X Ð ØÓ Ò ÒÓ ÓØ Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Û ÐÐ ÑÓÑ Òص¸ Ø × Ò Ò ÒØ Ý Ø Ò ×× ÖÝ Ò Ø Ð ×Ø ÑÓ ÓÒ ÓÒ Ø Öº ÓÖ ××ÙÑ Ò ÒØ × × ØÖÙ × Ø Ø ´Û ³ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù× Ò×ØÖÙÑ ÒØ ÑÙ×Ø ØÛ cols(X2 ) ≥ cols(Y1 ) ¸ ×Ó W Û ÐÐ ÒÓØ Ú ÒÓØ Ø ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò ρ(W ) < K ∗ + G∗ − 1 ⇒ ρ(QZW ) < K ∗ + G∗ − 1 Ì Ï Ø ÓÖ Ø × × Ø Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ÒØ Ý Ò ÕÙ Ø ÓÒ¸ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ × Ö Ó Ò × Ø Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ú Ö Ð × Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÐÙ ÒÙÑ Ü ÐÙ× ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ü ÐÙ ÜÓ × ÑÙ×Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ö Ø Ö Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ò Ó ×¸ Ñ ÒÙ× ½ ´Ø Ð × Ò Ó µ¸ º º¸ K ∗∗ ≥ G∗ − 1 • ÌÓ × ÓÛ Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ø Ø × × Ò Ø Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÓÒ ÓÒ× ÒØ Ö ×ÓÑ Ø Ö ØÖ ÖÝ × Ø Ó W. Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ × Ø 1 ρ plim W ′ Z n Û Ö = K ∗ + G∗ − 1 Y1 X1 Z= Ê ÐÐ Ø Ø Û ³Ú Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ð Y Γ = XB + E × Y = X= Ú Ò Ø Ö Ù ÓÖÑ y Y1 Y2 X1 X2 Y = XΠ + V Û Ò ÛÖ Ø Ø Ö Ù ÓÖÑ Ù× Ò Ø × Ñ Ô ÖØ Ø ÓÒ y Y1 Y2 = X1 X2 π11 Π12 Π13 π21 Π22 Π23 + v V1 V2 º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ ×Ó Û Ú Y1 = X1 Π12 + X2 Π22 + V1 ×Ó 1 1 ′ W Z = W′ n n Ù× Ø X1 Π12 + X2 Π22 + V1 X1 Ø W ³× Ö ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø V1 ³×¸ Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Ø ÖÓ×× ØÛ Ò W Ò V1 ÓÒÚ Ö × Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ Þ ÖÓ¸ ×Ó 1 1 plim W ′ Z = plim W ′ n n Ë Ò Ó Ø Ø Ö Ö × Ø ÖÑ × ÓÖÑ Ö ÓÒÐÝ Ó Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ð Ò × Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ú Ö Ø Ò X1 Π12 + X2 Π22 X1 Ö ÓÑ Ö Ò Ø ÓÒ× Ó Ø ÓÐÙÑÒ× Ó Ó Ò X, Ø Ö Ò K, Ö Ð ×× Ó Ó Ï Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Á Z Ò × ÑÓÖ K Ú ÓÐÙÑÒ׸ Ø × ÒÓØ Ó ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò º Z × ÑÓÖ Ø K ÓÐÙÑÒ× Û ÓÖ ÒÓØ Ò Ø Ø K ∗∗ = K − K ∗ , Ð Ñ Ø Ò G∗ − 1 + K ∗ > K G∗ − 1 > K ∗∗ ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò ¸ Ò Ø ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ð׺ × × ¸ Ø Ñ ØÖ Ü × ÒÓØ Ó º¾º ËÙ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ׺ Ö Ñ Ø Ö× Ö ÓÚ Ö Ð × ×Ù ØÓ ×Ù Ð ÖÓÑ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Ø ÓÒ׺ ÌÙÖÒ Ò Á ÒØ Ø º Ø ÓÒ Ì ×× ÒØ ÐÐÝ Ö ÕÙ Ö × Ø Ø ÐÖ × ¸ Ý Ö Ò Ò Ø Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ô ¹ × ÛÓÒ³Ø Ò Ö Ð¸ ÙÒÐ ×× Ø Ò ×× ÖÝ ÓÒ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ ¹ Ø ØÓ ×ÓÑ ÒØ ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ Ï ³Ú Ò¸ Û ³Ö ÒØ Ø ÓÒ× ´ ÓÒÐÝ ÓÒ× Þ ÖÓ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ì ÑÓ Ð × Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÓÖ Ø ÑÓÑ Òصº ′ Yt′ Γ = Xt B + Et V (Et ) = Σ Ì × Ð × ØÓ Ø Ö Ù ÓÖÑ ′ Yt′ = Xt BΓ−1 + Et Γ−1 ′ = Xt Π + Vt V (Vt ) = Γ−1 ΣΓ−1 ′ = Ω Ì Ö Ù Ò Ø ÓÖÑ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö Ö × Ø ØÓ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ð ¸ ÙØ ÒÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ö Ø Ó × Ø Ù Ø Ñ Ö Ø ÒÓÛÒ Ò ÓÒ ÔÖ ÓÖ ¸ ÐÓÒ ÒÓ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø × Ñ Ö Ø Ù Ö Ú Ð٠׺ Ì ÒÓÛÐ Ø ÑÓÖ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÓÖÑ ×Ò³Ø ÒÓÙ ÓÖѸ ×Ó ÓÖÑ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö Ø ÑÓ Ð Ø ÖÑ Ò ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÌÓ × ×¸ ÓÒ× Yt′ ΓF ′ = Xt BF + Et F V (Et F ) = F ′ ΣF º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ Û Ö F × ×ÓÑ Ö Ö ÖÝ ÒÓÒ× Ò ÙÐ Ö G×G Ñ ØÖ Üº Ì Ö Ó Ø × Ò Û ÑÓ Ð × ′ Yt′ = Xt BF (ΓF )−1 + Et F (ΓF )−1 ′ = Xt BF F −1 Γ−1 + Et F F −1 Γ−1 ′ = Xt BΓ−1 + Et Γ−1 ′ = Xt Π + Vt Ä Û × ¸ Ø ÓÚ Ö Ò Ó Ø Ö Ó Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ð × V (Et F (ΓF )−1 ) = V (Et Γ−1 ) = Ω Ë Ò Ø Ø ØÛÓ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÓÖÑ× Ð Ð× Ö × ØÓ Ò ØÓ Ø × Ñ Ö ¸ Ò Ø Ï Ö × Ø Û × Ò ÐÐ Ø Ò Ø × ÓÖ Ö ØÐÝ ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÐÐ Ó Ø ÓÖ Ð ¸ Ö ÑÓ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð Òغ ×Ù Ø Ø Ø ÓÒÐÝ Ø Ó Ñ ×× Ð ÒØ µº Ì Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ× Ö Γ B F         ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü ´ × Ô ÖØ Ø ÓÒ ØÓ ÒØ Ñ ØÖ × Γ B Ì Ó ÒØ× Ó Ø Ý Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø    =    ×  1 −γ1 0 β1 0 Γ12 Γ22 Γ32 B12 B22 ØÖ Ò× ÓÖÑ Ú × ÑÓ Ð Ö × ÑÔÐÝ Ø × Ó ÒØ× ÑÙÐØ ÔÐ Ö×Ø ÓÐÙÑÒ Ó Fº Ì Γ B f11 F2 ÓÖ Ø ÒØ ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ó Ñ ×× Ð Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û    =     1 −γ1 0 β1 0 Ø Γ12 Γ22 Γ32 B12 B22 Ø Ø         f11 F2 Ò Ö ÒÓÙ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ×Ó Ø Ø f11 F2 Ø Ð Ò ÓÐÙÑÒ Ó Ò         ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü¸ ×Ó Ø 1 −γ1 0 β1 0 ÖÓÛ× Γ12 Γ22 Γ32 B12 B22 Ö         Ø f11 F2 ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ö Ò Ø    =    0 0  1 −γ1 0 β1 0         Γ32 B22 ËÙÔÔÓ× Ò Ø Ø Ø Ð Ò Ñ ØÖ Ü × Ó F2 = ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ Ö Ò ¸ º º¸ ρ Γ32 B22 = cols Γ32 B22 =G−1 º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ Ø × Ò Ø ÓÒÐÝ Û Ý Ø × × Ò ÓÐ ¸ Û Ø ÓÙØ Ú Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ð Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø × Ú ØÓÖ Ó Þ ÖÓ׸ Ø Ò Ø ÑÓ Ð³× Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ F2 Ú ØÓÖ Ó Þ ÖÓ׺ F2 1 Γ12 Ì Ö ÓÖ ¸ × ÐÓÒ × f11 F2 Γ32 B22 f11 F2 = = 1 ⇒ f11 = 1 ρ Ø Ò =G−1 1 0G−1 ÓÒ Ø Ø Ø ÓÒ × ×Ù ÒØ ÓÖ Ú ÒØ Ø Ð Ø ÓÒº ×Ø × ×Ù Ñ ØÖ Ü ÑÙ×Ø Ì ÁØ × Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ × ÒØ Ø × Ò Ø ÓÒ × × ¸ ×Ó Ø × Ø Ð×Ó Ò ×× Öݸ × Ò Ø × Ñ ØÖ Ü Ø ÓÒ ÑÔÐ G−1 ÖÓÛ׺ Ë Ò G∗∗ + K ∗∗ = G − G∗ + K ∗∗ ÖÓÛ׸ Û Ó Ø Ò G − G∗ + K ∗∗ ≥ G − 1 ÓÖ K ∗∗ ≥ G∗ − 1 Û Ì Ø ØØ Ö × Ø ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ ÓÚ Ö Ö ×ÙÐØ × ÒÓÙ Ú Ö Ö Ú Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒº Ö µº Ì Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò×ÙÖ × ÓØ Ö Ø ÖÐÝ ÒØÙ Ø Ú ´ Ö Û Ô ØÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ð × ÒÓØ Ò Ø ÒØ Ö ×Ø ØÓ ÔÓØ ÒØ ×Ù ÒØ ÓÒ Ò Ø ÐÐÝ ÑÓÚ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø Ó× ÓØ Ö × ØÓ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒ× Ò ÓÙØ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ó ÑÓÚ ÖÓÙÒ ÒØ Ö ×غ Ì × Ø Ú Ö Ò×ÙÖ × Ø Ð × Ö Ú Ð٠׺ ËÓÑ ÔÓ ÒØ× • • Ï Ò Ï Ò Ò ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ò × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ × ÒÓØ ÔÓ×× K ∗∗ = G∗ − 1, ÕÙ Ø ÓÒ × × × Ð Ü ØÐÝ ÒØ Û Ë Ò Ú ÒØ ¸ × Ò ¸ Ò Ø Ø ÓÑ ×× ÓÒ Ó Û Ø ÓÙØ ÐÓÓ× Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ýº ÓÒ ÓÙÐ Ö ÖÓÔ Ø Ö Ò Ö ¹ ÓÖ Ö ∗∗ Ò K Ò > G∗ Ò ×ØÖ Ø ÓÒ Ø ×Ø ×Ø ÐÐ Ö Ø Ò − 1, Ø ÓÚ Ö ÇÚ Ö Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ýº ÒØ Ý Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÑÓÖ Ð º Ï ÕÙ Ø ÓÒ × ÓÚ Ö ÓÖ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÒØ ÒØ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ø Ý ÁÎ Û Ø ×ØÖ ØÐÝ Ò ×× ÖÝ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ×Ø Ñ Ø ÓÒº ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ÓÙÐ ÑÓÖ × ÑÓÖ ÓÒ Ø Ø ÒØ Ö Ú Ð × ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ ÓÒ Ø Ø Ý³Ö ØÖÙ º ÑÔÐÓÝ ÓÚ Ö ÒØ Ý Ò ÒØ Ø ÓÖ • • Ï Ò Ö Ô Ö × Ô ÖØ Ø ÓÒ Ò Û ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ¸ ØÓ × Û ÕÙ ¹ Ø ÓÒ× Ì × Ö Ò³Øº Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÒØ Ý Ò º º¸ Ö ÓØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÑ × ÖÓÑ Ý Ü ÐÙ× ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ Ö ×ÓÖØ× Ó ÒØ Ý Ò Ö ×ÙÐØ× Û Ø ××ÙÑ Ò Ð × Ó Ù× ÔÔ ÒÓÛ Ò Ò Ú Ö Ù× Ø Ò Ö ÒÛ ÕÙ Ø ÓÒ׸ Ì Ö Ø ÖÓÙ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒº º Ì × Ò ÐÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ´½µ ´¾µ ÖÓ×× ÕÙ Ø ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò ÕÙ Ø ÓÒ× ´ × Ò Ø ÃÐ Ò ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ð Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö× Û Ø × Ù×× ÐÓÛµ ÓÚ Ö Ð × Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ø ´¿µ Ê ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ´ µ ÆÓÒÐ Ò Ö Ø ÖÖÓÖ× × Ò Ú Ö º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ • Ï Ò Ø × ×ÓÖØ× Ó ÒØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ö Ý Ö Ú Ð Ð ¸ Ø ÓÚ ×Ø ÐÐ ×Ù ÓÒ Ø ÓÒ× Ö Ò³Ø Ò ×¹ × ÖÝ ÓÖ Ø ÓÒ¸ Ø ÓÙ Ó ÓÙÖ× Òغ ÌÓ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ ÓØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ù× ¸ ÓÒ× Ö Ø ÑÓ Ð Y Γ = XB + E Û Ö Γ Ó × Ò ÙÔÔ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü Û Ø × × ¸ Ø Ö×Ø ½³× ÓÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ × Ñ Ò ÓÒ Ðº Ì × × ×Ý×Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ׺ ÁÒ Ø y1 = XB·1 + E·1 Ë Ò Ì ÓÒÐÝ ÜÓ × ÔÔ Ö ÓÒ Ø Ö ×¸ Ø × ÕÙ Ø ÓÒ × ÒØ º × ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ × Ì ÓÖ × ÕÙ Ø ÓÒ ∗∗ × K y2 = −γ21 y1 + XB·2 + E·2 =0 Ü ÐÙ ÒØ ÜÓ ×¸ Ø ÓÒº Ò G∗ = 2 Ò ÐÙ Ò Ó ×¸ ×Ó Ø Ð× Ø Ö ´Ò ×× Öݵ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ • ÀÓÛ Ú Ö¸ ×ÙÔÔÓ× × ÓÒ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð Ø Ø Û Ö Ú Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø Σ21 = 0, × × ×Ó Ø Ø Ø Ö×Ø Ò ÖÖÓÖ× ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ′ E(y1t ε2t ) = E (Xt B·1 + ε1t )ε2t = 0 ×Ó Ø Ö ³× ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø × Ñ ÑÓ ÐÓ Ðº ¸ × ÑÙÐØ Ò ÐÐ Ó Ø Øݺ Á Ø ÒØ Ö Ö Σ ÒØ Ñ ØÖ Ü º Ì × × × ÓÒ Ð¸ Ø ÒÓÛÒ × Ò ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ× ÙÐÐÝ Ö ÙÖ× Ú º¿º Ü ÑÔÐ Ö Ø ÃÐ Ò³× ÅÓ ÓÐÐÓÛ Ò Ð ½º ÌÓ Ð ´Ø Ú Ò Ü ÑÔÐ Û Ó ÐÝ Ø ÖÑ Ò Ò ÒÓÛÒ ÃÐ ÒØ Ø ÓÒ Ð ½µ ×Ø ØÙ׸ ÓÒ× Ñ ÖÓ ÑÓ × × Ø Ò³× ÅÓ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÁÒÚ ×ØÑ ÒØ ÈÖ Ú Ø Ï × Ct = α0 + α1 Pt + α2 Pt−1 + α3 (Wtp + Wtg ) + ε1t It = β0 + β1 Pt + β2 Pt−1 + β3 Kt−1 + ε2t Wtp = γ0 + γ1 Xt + γ2 Xt−1 + γ3 At + ε3t Xt = Ct + It + Gt Pt = Xt − Tt − Wtp Kt = Kt−1 + It   ÓÚ ÖÒÑ ÒØ Û ÇÙØÔÙØ ÈÖÓ Ø× Ô Ø Ð ËØÓ Ì ×Ô Ò ÓØ Ö Ú Ö Ð × Ò Ö    σ11 σ12 σ13 0 ǫ1t       σ22 σ23   ǫ2t  ∼ IID  0  ,  σ33 0 ǫ3t  Ø Ðи Wtg , Ø Ü ×¸ Ð × Tt , Ø ÓÚ ÖÒÑ ÒØ ÒÓÒÛ Ð × Ú Ö Ð ×¸ Ò ¸ Gt , Ø Ñ ØÖ Ò ¸ At . Ì Ò Ó ÒÓÙ× Ú Ö Ö Yt′ = Ò Ø ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ú Ö Ð × Ct It Wtp Xt Pt Kt Ö ÐÐ ÓØ Ö× ′ Xt = 1 Wtg Gt Tt At Pt−1 Kt−1 Xt−1 . º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ÄÍËÁÇÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¾ Ì ÑÓ Ð ××ÙÑ × Ø º Ì Ø Ø ÑÓ ÖÖÓÖ× Ó Ø Ð ÛÖ ØØ Ò × ÕÙ Ø ÓÒ× Ö ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ÓÙ×ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Ú × ¸ Ý ÒÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Y Γ = XB + E 0 0 1 −γ1 0 0 γ0 0 0 0 γ3 0 0 γ2 Ò     Γ=      ÌÓ Ø Ì Ø × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø        B=       1 0 −α3 0 −α1 0  0 1 0 0 −β1 0 α0 α3 0 0 0 α2 0 0 β0 0 0 0 0 β2 β3 0 −1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Ø 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1                Ò           ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ó × Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ¸ Û ÜÓ × Ø Ò ØÓ ÔÔ Ò ÜØÖ Ø Ö Ò Ø ØÓ Γ32 × Ò B22 , Ö×Ø ×Ù Ñ ØÖ × Ó × Ö Ø ÒØ× Ó Ú ÓÒ³Ø Û ÕÙ Ø ÓÒº ÖÓÛ× Ø Ø Þ ÖÓ× Ö×Ø ÓÐÙÑÒ¸ ÖÓÔ Ø ÓÐÙÑÒº Ï Γ32 B22 Ï Ò ØÓ Ò × Ø Ó Ò ÖÓÛ× Ó Ø Û Ó Ø        =         1 0 0 0 0 0 β3 0 0 −γ1 0 0 0 γ3 0 γ2 −1 1 0 1 0 0 0 0 Ú × 0 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 0                × Ñ ØÖ Ü ÙÐÐ¹Ö Ò × Ð Ø Ò ÖÓÛ× ¿¸ ¸ ¸ ¸ Ò Ø Ñ ØÖ Ü ×5 Ñ ØÖ Üº ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ì × Ñ ØÖ Ü × Ó ÙÐÐ Ö Ò ¸ ×Ó Ø    A=    0 0 0 0 β3 0 0 0 γ3 0 Ü ÐÙ 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 Ø ÓÒ 1 0 0 0 1         ×Ù ÒØ ÓÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ×Ó × Ñ Øº ÓÙÒØ Ò Ò ÐÙ ∗ Ò Ó ×¸ G = 3, Ò ÓÙÒØ Ò ∗∗ ÜÓ ×¸ K = 5, K ∗∗ − L = G∗ − 1 5−L L • Ì ÕÙ Ø ÓÒ Ö × ÓÚ Ö¹ ÒØ Ò Ø × =3−1 =3 Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ ÒØ Ý Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ö Ø ÓØ ÓÙÒØ Ò Ü ÐÙ× ÓÒ Ý Ø Ö ÓÒÐÝ ÖÙР׸ Û ÓÖÖ Ø Û Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø × × º Wtp Ò º ¾ËÄË ½¿¼ Wtg ÒØ Ö Ø ÓÖ Ø ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ × Ö ×ÓÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ¸ Ò Ø Ö Ó ÒØ× Ö Ö ×ØÖ Ø ÒØ ØÓ Ý Ø ÓÙÖ × Ñ º ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ × Ò Ø ÓÚ Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ º ¾ËÄË Ï Ø Ò Û Ú ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ñ ØÖ Ü¸ ÓÒ Ö ØÓ Ø ÓØ Ò Ö Òظ Ö Ò ÖÓ××¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÖ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó × Ò Ð ×ØÖÙ ØÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ò ×Ø Ñ Ø ÕÙ Ø ÓÒ׺ × Û ³ÐÐ × ¸ ÙØ Ø Ø Ø × Ø Ú ÒØ Ø Ø Ø Ñ ××Ô Ø ¹ ×Ý×Ø Ñ Û Ø ÓÙØ Ö • Ì × ×Ò³Ø ÐÛ Ý× Ö Ø ÓÒ× Ò ÓØ ÕÙ Ø ÓÒ× Û ÐÐ ÒÓØ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö ×غ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø • Ì Ø Ö Ð×Ó¸ ÓØ Ö ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ׺ ÕÙ Ø ÓÒ ÛÓÒ³Ø Ø Ý ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ¾ËÄË Û ÐÝ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ú ÖÝ × ÑÔÐ ÜÓ ÒÓÙ× Ú Ö Ð × Ò Ø Ò Ø Ö×Ø ×Ø ¸ ÓÐÙÑÒ Ó Y1 × Ö Ö ×× ØØ ÓÒ ÐÐ ×Ý×Ø Ñ¸ º º¸ Ø ÒØ Ö X Ñ ØÖ Üº Ì Ú ÐÙ × ˆ Y1 = X(X ′ X)−1 X ′ Y1 = PX Y1 ˆ = X Π1 Ë Ò Ø × ØØ Ú ÐÙ × × ×Ô Ö Ö Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Û Ø Y1 ε Ý ÓÒ Ø ×Ô ×Ô ÒÒ Ý X, Ò × Ò Û Ø ÒÝ Ú ØÓÖ Ò Ø Ë Ò × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ù ¹ ÓÖÑ ÔÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ × ÓÖÖ Ð Ø Ô Ò Òغ Ì ˆ Y1 × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ε. Ö Ò ˆ Y1 × × ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ø ÓÒ¸ ÖÐÝ Ò Ö Ø Û Ø Y1 , Ò Ò Ì Ø ÓÒÐÝ ÓØ × Ò Ø Û Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ × Ø Ø ÓÖ Ì ÑÓ Ð × Ö ÓÒ × ÓÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ¸ × Ò Ø Ð Ò Ö × × ÓÙÐ Ø ÓÒ × × Ø × ×Ø ÑÓÖ Ó ÓÐÙÑÒ× Ò Ò X2 Ø Y1 × × º Ò Ð ×Ù ×Ø ØÙØ × ˆ Y1 Ò ÔÐ Y1 , ×Ø Ñ Ø × Ý ÇÄ˺ Ì × ÓÖ y = Y1 γ1 + X1 β1 + ε = Zδ + ε Ò Ø × ÓÒ ×Ø ÑÓ Ð × ˆ y = Y1 γ1 + X1 β1 + ε. Ë Ò ÑÓ Ð X1 × × Ò Ø ×Ô ×Ô ÒÒ Ý X, PX X1 = X1 , ×Ó Û Ò ÛÖ Ø Ø × ÓÒ ×Ø y = PX Y1 γ1 + PX X1 β1 + ε ≡ PX Zδ + ε Ì ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÔÔÐ ØÓ Ø × ÑÓ Ð × ˆ δ = (Z ′ PX Z)−1 Z ′ PX y Û Ø × Ü ØÐÝ Û Ø Û Ø Û ×Ø Ñ Ø Ø Ø Ù× Ò Û Áθ Û Ø Ò Ø Ö Ù ÓÖÑ ÔÖ Ø ÓÒ× Ó Ò Ó × Ù× × Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ ÆÓØ ˆ Z = PX Z = ˆ Y1 X1 º Ì ËÌÁÆ ÌÀ ÇÎ ÊÁ ÆÌÁ ÁÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¿½ ×Ó Ø Ø ˆ Z Ö Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ÓÖ Z, Ø Ò Û Ò ÛÖ Ø ˆ ˆ ˆ δ = (Z ′ Z)−1 Z ′ y • ÁÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ ¾ËÄË Ó ×Ø Ñ Ø Ó ÇÄË ÓÒ Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ × Ø Ø Ø³× ÑÓ Ð Ò Ù× ØÓ Ð ÙÐ Ø Ø δ, × Ò Û ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÁÎ Ù× Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö × Ø Ï Ò ØÓ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ ÔÔÐÝ Ø ÀÓÛ Ú Ö Ò Ø ÇÄË ÓÚ Ö Ò ÐÖ Ý × Ò ÓÖÑÙÐ ÓÚ º Ò × ÒÓØ Ú Ð º ÓÖÑÙÐ º ÁÎ ÓÚ Ö × Ð×Ó ÓÖÑÙÐ ØÙ ÐÐݸ Ø Ö × ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ð ÁÎ Ú Ö Ò ˆ Z = PX Z = Ì ÁÎ ÓÚ Ö Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ÛÓÙÐ ÓÖ Ò Ö ÐÝ ˆ Y X ˆ ˆ ˆ V (δ) = Z ′ Z ÀÓÛ Ú Ö¸ ÐÓÓ Ò Ø Ø Ð ×Ø Ø ÖÑ Ò −1 ˆ ˆ Z ′Z Ø× ˆ Z ′Z −1 σIV ˆ2 Ö ˆ Z ′Z = ÙØ × Ò ˆ Y1 X1 Ò ′ Y1 X1 = Y1′ (PX )Y1 Y1′ (PX )X1 ′ ′ X1 X1 X1 Y1 Û Ò ÛÖ Ø PX × ÑÔÓØ ÒØ × Ò PX X = X, = = ˆ Y1 X1 ′ Y1 X1 Y1′ PX PX Y1 Y1′ PX X1 ′ ′ X1 X1 X1 PX Y1 ˆ Y1 X1 ′ ˆ Y1 X1 ˆ ˆ = Z ′Z Ì Ö ÓÖ ¸ Ø × ÓÒ × ØÓ Ò Ð ×Ø Ø ÖÑ Ò Ø Ú Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ò Ð¸ ×Ó Ø ¾ËÄË Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÑÔÐ ˆ ˆ ˆ V (δ) = Z ′ Z Û ¸ ÓÐÐÓÛ Ò ×ÓÑ Ð Ö × Ñ Ð Ö ØÓ Ø −1 σIV ˆ2 Ð×Ó ÛÖ ØØ Ò × ÓÚ ¸ Ò ˆ ˆ ˆ ˆ V (δ) = Z ′ Z Ò ÐÐݸ Ö ÐÐ Ø ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÓÙ ÔÐ Ø × × ÔÖ × ÒØ Ö×غ −1 σIV ˆ2 Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ¸ Ø × Ò Ö Ð × Ò Ò Ø ÖÑ× Ó Ø ÈÖÓÔ ÖØ × Ó ¾ËÄË ´½µ ´¾µ ´¿µ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ Ð × ÛÓÒ³Ø ´ µ Û Ò Ø Ñ Ö µº Òظ Ü ÔØ Ò ×Ô Ð Ö ÙÑ×Ø Ò × ´ÑÓÖ ÓÒ Ø × Ð Ø Öµº Ò × ×Ø× ´Ø Ü ×Ø Ò Ó ÑÓÑ ÒØ× × Ø Ò Ð ××Ù Û Ó ÒØÓ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ò º Ì ×Ø Ò Ø Ì × Ð Ø ÓÒ Ó Û Ú Ö Ð × Ö ÓÚ Ö Ö ÒØ Ý Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò Û Ö Ö ÓÒ ÜÓ × Ñ Ø Ò Ó × Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ö ×Ô Ð × ÑÓ Ðº ÜÓ Û × Ô ÖØ Ó Ø ×Ô ¹ × ×Ù ¸ Ø Ò Ø × Ò Ð Ò × ÖÓÓÑ ÓÖ ÖÖÓÖ Ø ÖÖÓÒ ÓÙ×ÐÝ Ð ×× Ý Ò Ö Ð Ø ×Ø ÓÖ Ø Ø ÓÖÖ Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ø Û Ø ÖÖÓÖ Ø ÖѺ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÑÓ × ÓÐÐÓÛ× º Ì ËÌÁÆ ÌÀ ÇÎ ÊÁ ÆÌÁ ÁÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¿¾ Ì ÁÎ Ó ÁÎ Ø Ú ×Ø Ñ ØÓÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ð ÙÐ Ø Ñ Ò Ñ Þ Ý ÔÔÐÝ Ò × ÇÄË ØÓ Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ð¸ ×Ó Ø Ú ÐÙ ˆ ˆ s(βIV ) = y − X βIV ÙØ ′ ˆ PW y − X βIV , εIV ˆ ˆ = y − X βIV = = = y − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW y I − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW y I − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW (Xβ + ε) = A (Xβ + ε) Û Ö A ≡ I − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW ×Ó ˆ s(βIV ) = ε′ + β ′ X ′ A′ PW A (Xβ + ε) ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ A′ PW A × ÑÔÓØ Òظ × Ò Ú Ö Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A′ PW A = = = ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ I − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW . × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ PW − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW X I − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW I − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW PW − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW A AX = I − X(X ′ PW X)−1 X ′ PW X = X −X = 0 ×Ó ˆ s(βIV ) = ε′ A′ PW Aε ËÙÔÔÓ× Ò Ø ε Ö ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ¸ Û Ø Ú Ö Ò σ2 , Ø Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ˆ ε′ A′ PW Aε s(βIV ) = σ2 σ2 × ×Ó ÕÙ Ö Ø ÓÖÑ Ó N (0, 1) Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Ò ÑÔÓØ ÒØ Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ñ Ð ¸ Ì × ×Ò³Ø Ú Ð Ð ¸ × Ò Û Ò ˆ s(βIV ) ∼ χ2 (ρ(A′ PW A)) σ2 2 ØÓ ×Ø Ñ Ø σ º ËÙ ×Ø ØÙØ Ò ˆ s(βIV ) σ2 ∼ χ2 (ρ(A′ PW A)) ×ØÖ × Ø ÙØ ¸ Ø Ó Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ a • Ú Ò Ð ×Ø Ø Ø Ò Û ε Ò Ö Ò³Ø ÒÓÖÑ ÐÐÝ ØÓ Ø ÖÑ Ò ×ÝÑÔØÓØ Ö ×ÙÐØ ×Ø ÐÐ ÓР׺ Ì Ú Ö Ò ÑÔÓØ ÒØ Ñ ØÖ Üº Ï A′ PW A = PW − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW º Ì ËÌÁÆ ÌÀ ÇÎ ÊÁ ÆÌÁ ÁÆ Ê ËÌÊÁ ÌÁÇÆË ½¿¿ ×Ó ρ(A′ PW A) = T r PW − PW X(X ′ PW X)−1 X ′ PW = T rW (W ′ W )−1 W ′ − KX = T rPW − T rX ′ PW PW X(X ′ PW X)−1 = T rW ′ W (W ′ W )−1 − KX = KW − KX Û Ó Ö KW Ì × Ø Ö Ø ÒÙÑ × Ó ÒÙÑ Ö Ö Ó ÓÐÙÑÒ× Ó W Ú Ò KX ÝÓÒ × Ø ÒÙÑ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÐÙÑÒ× ÒØ Ý Ò X. ÓÑ Ó Ø Ø ×Ø × × ÑÔÐÝ Ø Ö Ó ÓÚ Ö ÖØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÖÓ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Û ÒÙÑ Ø × ×ØÖ ØÐÝ Ò ×× ÖÝ ÓÖ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ø ÓÒ Ø ×Ø Ø Ó ÒØ ÒÙÐÐ ÓÖÑ Ú Ð ÝÔÓØ × × × Ø Ø Ø Ø Ø Ò • Ì ÑÓ Ú Ö Ø × Ø ×Ø × Ò ÓÚ Ö ÐÐ ×Ô Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ð × Ð ×× Ø Ø Ò Ö Ø ÑÓ × Ð Ò ÜÓ × Ö Ø ÐÐÝ Ø Ø Ö W Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ´ º º¸ Ø Û Ø ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø × Ñ ××Ô ε. Ê Ø ÓÒ Ò Ñ Ö y = Zδ + ε Ó Ø Ë Ø ÓÒ ¸ ÓÖ Ø Ø Ø × ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ØÛ X Ò ε. ÅÅ Ö Ø Ö ÓÒ Ø ×ظ Û º × ÓÚ Ö Ò Ø × ÓÒ • • Ì × × Ð Ó Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö × ÓÙÖ× º Ë Ø × Ò ÆÓØ Ø εIV = Aε ˆ Ò ˆ s(βIV ) = ε′ A′ PW Aε Û Ò ÛÖ Ø ˆ s(βIV ) σ2 ε′ W (W ′ W )−1 W ′ W (W ′ W )−1 W ′ ε ˆ ˆ ′ ε/n εˆ ˆ = n(RSSεIV |W /T SSεIV ) ˆ ˆ = 2 = nRu Û Ö 2 Ru × Ø ÙÒ ÒØ Ö Ì × × R2 ÖÓÑ Ö Ö ×× ÓÒ Ó Ø Ø IV Ö × Ù Ð× ÓÒ ÐÐ Ó Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Wº ÓÒÚ Ò ÒØ Û Ý ØÓ Ð ÙÐ Ø Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø º ÇÒ Ò × ¸ ÓÒ× Ö ÁÎ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ù×ع ÒØ ÑÓ Ð¸ Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÒÓØ Ø ÓÒ y = Xβ + ε W × Ø Ñ ′ cols(X)¸ ×Ó W X Ò ØÖ Ü Ó × Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ñ ØÖ Üº Ì Á Û Ú Ü Ø ÑÓ ÒØ Ð × Ø ÓÒ Ø Ò cols(W ) = ×ÕÙ Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ PW y = PW Xβ + PW ε Ò Ø ÓÒ Ö ˆ X ′ PW (y − X βIV ) = 0 Ì ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ × ˆ βIV = X ′ PW X −1 X ′ PW y º Ë ËÌ Å Å ÌÀÇ Ë Ç ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¿ ÓÒ× Ö Ò Ø ÒÚ Ö× Ö X ′ PW X −1 = X ′ W (W ′ W )−1 W ′ X −1 −1 = (W ′ X)−1 X ′ W (W ′ W )−1 = (W ′ X)−1 (W ′ W ) X ′ W ÆÓÛ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø × Ý −1 X ′ PW y, Û Ó Ø Ò ˆ βIV = (W ′ X)−1 (W ′ W ) X ′ W = (W ′ X)−1 (W ′ W ) X ′ W = (W ′ X)−1 W ′ y −1 −1 X ′ PW y X ′ W (W ′ W )−1 W ′ y Ì Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ö Ð Þ ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ × ˆ s(βIV ) = ˆ y − X βIV ′ ˆ PW y − X βIV ˆ ˆ′ − βIV X ′ PW y − X βIV ˆ′ ˆ′ ˆ − βIV X ′ PW y + βIV X ′ PW X βIV ˆ ˆ′ − βIV X ′ PW y + X ′ PW X βIV ˆ = y ′ PW y − X βIV ˆ = y ′ PW y − X βIV ˆ = y ′ PW y − X βIV ˆ = y ′ PW y − X βIV Ý Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ð Þ Áκ ÀÓÛ Ú Ö¸ Û Ò Û ³Ö Ò Ø Ù×Ø Ò ÒØ × ¸ Ø × × ˆ s(βIV ) = y ′ PW y − X(W ′ X)−1 W ′ y = y ′ PW I − X(W ′ X)−1 W ′ y = 0 = y ′ W (W ′ W )−1 W ′ − W (W ′ W )−1 W ′ X(W ′ X)−1 W ′ y Ì Ì Ú ÐÙ Ó Ø × Ñ × Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÖ Ö × Ó Ö Ò ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ × Þ ÖÓ Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ú Ö Ö ¼¸ × ÓÑ ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒØ Ý Ò ÒÙÑ Ù×Ø Ø Ö Ö Ó ÒØ Ú ÓÚ Ö × º Ò ÒØ Ý Ò Ú ÒÓØ Ð Ý × × Ò× ¸ × Ò Û ³Ú Ý × ÓÛÒ Ø ÙÒ Ø ÓÒ σ2 2 ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ χ Û Ø ÁÒ Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ ÔÖ × ÒØ × ¸ Ø × Ñ Ò ¼ Ò Ú Ö ÒÓ ÓÚ Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ ×Ó Û × Ñ Ò× Û ³Ö χ2 (0) ÖÚ¸ Û ØÓ Ø ×Ø Ø º º¸ Ø³× × ÑÔÐÝ ¼º Ì Ó Ü Ø ÒØ ÒØ Ý Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ò Ø Ø ÓÒº º ËÝ×Ø Ñ Ñ Ø Ó × Ó ¾ËÄË × × Ò Ð × Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × Ø Ø Ø³× ÙÒ ´ Ü ÔØ ÓÖ × Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ò Ú ÒØ Ý Ø Û ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ØÓ × Ø Ó ×Ô ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ÒÓØ Ö Ö Ø ÓÚ º Ì Ú ÒØ Ó Ý Ø ÓØ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× Ó Ø ×Ý×Ø Ñ¸ ×Ó Ø ÓÒ³Ø Ò ÓÑÔÐ Ø ÜÓ ×¸ ×Ó ¾ËÄË Ò Ù× Ø Ø³× Ò Òظ Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ×µº Ì Ó ¾ËÄË × Ø Ò Ö Ðº • Ê ÐÐ Ø ÒØ Ø ÓÚ Ö ÒØ Ø ÓÒ ÑÔÖÓÚ × Ò Ý Ó Ò Ö ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ × Ò Ò ×× ÖÝ Ò ÓÚ Ö ¹ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ù× ÑÓÖ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ø ÓÖ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒº • Ë ÓÒ Ðݸ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ × Ø Ø º Ë ËÌ Å Å ÌÀÇ Ë Ç ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¿ Y Γ = XB + E E(X ′ E) = 0(K×G) vec(E) ∼ N (0, Ψ) • Ë Ò Ò Ú Ø Ö × ÒÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ×Ø ¸ Ø Ø Et ³×¸ Ò × Ò Ø ÓÐÙÑÒ× Ó E Ö Ù ÐÐÝ ÓÑÓ×    Ψ =    Ì ÓÒ × Ñ ÒÓØ Ò Ö Ð¸ Ò Ò× Ø Ö ÒÓÖ Ò Ø Ø Ø  Ò σ11 In σ12 In · · · σ1G In σ22 In ºº º º º º º º º        ×Ø Ò ÓÖÖ Ð Ø Û Ø = Σ ⊗ In ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× Ö Ø ÖÓ× · σGG In • ÁÒ × Û ÐÐ Ð Ö ØÓ Ò Û Ø Ò ÒØ ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ö Ø × Ø ÓÒ ÓÒ ÓÙÒØ Ä˺ Ï ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖÖ Ð Ø Ö ØÓ Ó Ø Ö ÐÐ ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ÓÙÐ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÙØ ¸ Ò Ýº Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ÓÖ ¸ ÓÚ Ö Ú Ò Ø ÓÙØ ÓÒ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ × Ñ¹ • Ð×Ó¸ × Ò ÓÖÖ Ð Ø ÔÐ ØÐÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÒÝ ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ì Ò Ý ÓÖ Ø ÓÒ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ù×Ø ÒØ ÕÙ ¹ ÕÙ Ø ÓÒ ÑÔÖÓÚ ÐÐ × ÕÙ Ø ÓÒ׸ Ø ÓÒ׺ • Ë Ò Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × Ò³Ø Ù× ÒØ ´ Ò Ò Ö Ðµº Ø ØÝÔ × Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ Ò Ö Ø Ö ÓÖ º½º ¿ËÄ˺ Ò Ö Ð Þ × Ø ÓÒ¸ ÆÓØ ÁØ × × Ö Ò ÑÓÖ ÔÖ Ø Ð ØÓ ØÖ Ø Ø ¿ËÄË Ö Ø Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Ø × Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ´× Ð ÔØ Ö ½ µº Á ÒÓ ÐÓÒ ÒÓØ ÓÐÐÓÛ Ò × ØÓ Ù× ÖÖÓÖ׺ ÙØ Ø × Ö Ø ÓÖ Ø× ÔÓ×× ÝÓÙ × Ð Ö Û ÐÐ Ò Û Ø ×ØÓÖ Ð ÒØ Ö ×غ ØÓ Ñ ×ØÖ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÁÅÄ ´ËÙ × Ø ÓÒ Ì º¾µ¸ ÙØ ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÒ Ø × × ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÖ ÓÚ ÑÓ ÖÒ ÓÑÔÙØ Ö׺ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò × ÒÓØ Ø ÓÒ¸ ×ØÖÙ ØÙÖ Ð yi = Yi γ1 + Xi β1 + εi = Zi δi + εi ÖÓÙÔ Ò Ø G  ÕÙ Ø ÓÒ× ØÓ ÓÖ Z1 0 ··· 0 y1    º º  y2   0 Z2 º   º =  º   º ºº  º   º º 0 º yG 0 ··· 0 ZG y = Zδ + ε Ú Ø Ø   Ø Ö Û Ø    δ1 ε1    δ2   ε2     º  +  º  º   º  º   º δG εG       Û Ö Û ÐÖ Ý E(εε′ ) = Ψ = Σ ⊗ In º Ë ËÌ Å Å ÌÀÇ Ë Ç ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¿ Ì Ø ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × Ù×Ø ¾ËÄË ÓÑ Ó Ò Û Ø ÄË ÓÖÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ø × Ú ÒØ Ó ×ØÖÙ ØÙÖ Ì Û Ø Ø ×   0  ˆ Z =  º  º  º 0  ˆ Y1 X1   0  =  º  º  º 0 Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ö ÜÓ ×º Ì Ψ.  Ò ˆ Z × X(X ′ X)−1 X ′ Z1 0 X(X ′ X)−1 X ′ Z2 ··· 0 ˆ Y2 X2 ··· ··· 0 º º º ºº º ··· 0 º º º ºº º        0        0 X(X ′ X)−1 X ′ ZG 0 Ø Ø 0 ˆ YG XG Ö ÔÖ ÑÓ × ÑÔÐÝ Ø ÙÒÖ ×ØÖ Ø Π = BΓ−1 Ø ÓÒ× Ó Ø ÒØ ¸ Ø Ò Ó ×¸ ÓÑ Ò Ò ×Ø Ò Ø ÓÒ × Ø Ð × ÓÚ Ö Ñ Ý ×Ù Ø ØÓ ×ÓÑ Ø × Þ ÖÓ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׸ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ׺ × Ð Ø Öº Ô Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ù× Ò Γ Ò B, Ò ˆ Π Ý Ó × ÒÓØ ÑÔÓ× ÕÙ Ø ÓÒº ÅÓÖ Ì ¾ËÄË Ð×Ó¸ ÒÓØ ˆ Π × Ð ÙÐ Ø ÇÄË ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ÛÓÙÐ ˆ ˆ ˆ δ = (Z ′ Z)−1 Z ′ y × Ò Ñ ØÖ Ü × Ú Ö Ù×Ø Ø Ý × ÑÔÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ò ÒÓØ Ò Ø Ø Ø Ø ÒÚ Ö× Ñ Ò Ó ÐÓ ¹ ÓÒ Ðº Ì Ø ÓÒ Ð × ÁÎ ÄË Ú × Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒÓÖ × Ø Ø ÓÚ Ö ÒÚ Ö× × Ó ÐÓ × ÓÒ Ø Ò ØÙÖ Ð Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì Ó Ø ÖÖÓÖ ÓÚ Ö ÜØ Ò× ÓÒ × ØÓ ÓÖÑÙÐ ¸ Û ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸ ÔÙØØ Ò Ø ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÚ Ö× ÒØÓ Ø ˆ δ3SLS = = ˆ Z ′ (Σ ⊗ In )−1 Z ˆ Z ′ Σ−1 ⊗ In Z Ó −1 −1 ˆ Z ′ (Σ ⊗ In )−1 y ˆ Z ′ Σ−1 ⊗ In y Ò Ò × Ð × ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ò ÓÒ Ø ¾ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ Ö ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ÒÓÛÐ Σ. Ì ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ö × Ù Ð× Σ. Ì Ó Ú ÓÙ× ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ Ù× ´ÁÅÈÇÊÌ ÆÌ ÆÇÌ × ×Ø Ñ Ø Ý ˆ εi = yi − Zi δi,2SLS ˆ Ø × × Ð ÙÐ Ø Ù× Ò Zi , ÒÓØ ˆ Zi ). Ì Ò Ø Ð Ñ ÒØ i, j Ó Σ σij = ˆ ËÙ ×Ø ØÙØ ε′ εj ˆi ˆ n × Ó Ð ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖº ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ¾ËÄ˸ Ø ×ÝÑÔØÓØ ˆ Σ ÒØÓ Ø ÓÖÑÙÐ Ø Û × ÓÛÒ ØÓ ÓÚ ØÓ Ø Ø × Ò ÐÓ ÓÙ×ÐÝ ØÓ Û ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò Ø √ ˆ n δ3SLS   Z ′ (Σ ⊗ I )−1 Z ˆ ˆ a n − δ ∼ N 0, lim E n→∞  n  −1     º Ë ËÌ Å Å ÌÀÇ Ë Ç ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¿ ÓÖÑÙÐ ÓÙØ Ø ÓÖ ×Ø Ñ Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ó Ø ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò Ø × ÑÔÐ × ´ Ò ÐÐ Ò ÔÓÛ Ö× Ó n) × ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V δ3SLS = Z ′ Σ−1 ⊗ In Z • • Ì × × Ò ÐÓ ÓÙ× ØÓ Ø ¾ËÄË ÓÖÑÙÐ Ò ÓÖÖ Ø ÓÒº ÁÒ Ø × Ø Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ø ÓÒ× × ×Ø Ò ÜØ Ö Û Ù×Ø Ù× ÒØ −1 µ¸ ÓÑ Ò Û Ø Ø ÄË ÕÙ Ø ÓÒ ´ ¸ ¿ËÄË × ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ò ¿ËÄ˺ Ø º ¾ËÄ˺ ÈÖÓÚ Ò × × Ò Ø ÅÅ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó ¾ËÄË ÓÖ ÒÓÛ¸ Ø ÅÅ × ÔÖ × ÒØ ÓÒÓÑ ØÖ × ÓÙÖ× º Ø ÓÒ Ì ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÇÄË × ÙÔÓÒ Ø Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ Π, Ð ÙÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ù× Ò ˆ Π = (X ′ X)−1 X ′ Y Û × × ÑÔÐÝ ˆ Π = (X ′ X)−1 X ′ Ø Ø ×¸ ÇÄË ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÕÙ Ø ÓÒ Ù× Ò ÐÐ y1 y2 · · · yG Ø ÜÓ × Ò Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÐÙÑÒ Ó Π. ÁØ Ñ Ý × ÓÖÖ Ð Ø Ñ Ó Ø Ø Û Ù× ÇÄË ÓÒ Ø Ö Ù ÓÖѸ × Ò Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ× Ö ′ ′ Yt′ = Xt BΓ−1 + Et Γ−1 ′ = Xt Π + Vt′ Ò Vt = Γ−1 Et ∼ N 0, Γ−1 ΣΓ−1 , ∀t Ä Ø Ø × Ú Ö¹ ÓÚ Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ý ′ ′ Ξ = Γ−1 ΣΓ−1 ÇÄË ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ′ Û Ó Ö yi × Ø ÜÓ ×¸ πi × n × 1 Ú ØÓÖ Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó Ø ith Ò Ó ¸ X × Ø Ø ith ÓÐÙÑÒ Ó Π, Ò vi × Ø ith ÓÐÙÑÒ Ó V. Í× y = Xπ + v   X 0 ··· 0 π y1  1    º   π2  0 X º  y2   º   º =  º  º   º ºº  º º  º   º º 0  º yG πG 0 ··· 0 X   Ø Ø Ö × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ   v1      v2  + º    º    º  vG  ÒØ Ö Ø ÒÓØ Ø ÓÒ n×K Ñ ØÖ Ü ØÓ Ò Ø Ø ÔÓÓÐ ÑÓ Ðº ÓÐÐÓÛ Ò Ø × ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ø ÖÖÓÖ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü × V (v) = Ξ ⊗ In • Ì × × ×Ô Ð × × Ò Ó Ø ØÝÔ Ó ÑÓ Ð ÒÓÛÒ × × Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ× ´ËÍʵ ÕÙ Ø ÓÒ× Ú Ö Ö ÒØ Ø Ø × Ñ Ò ÐÝ ÙÒÖ Ð Ø × Ö Òغ Ì Ò Ö Ð × ÛÓÙÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ó ¸ ÕÙ Ø ÓÒ Ì ÓÒØ ÑÔÓÖ ÒÓÙ×ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ÓÛ Ú Öº Xi ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒº ×Ý×Ø Ñ Ò Ú Ù ÐÐÝ × Ø × × Ø Ð ×× Ð ××ÙÑÔ¹ • ÆÓØ Ø ÓÒ׺ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø º Ë ËÌ Å Å ÌÀÇ Ë Ç ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ½¿ • ÀÓÛ Ú Ö¸ ÔÓÓÐ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ò Ý Ø × Ø ÄË ÓÖÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÔÓÓÐ Ò Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº × ×Ø Ñ Ø Ö × ÑÓÖ Òظ × Ò ÕÙ Ø ÓÒ¹ ݹ ÕÙ Ø ÓÒ ÐÓ ÓÒ Ð¸ ÑÓ Ð × ÙØ ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ × Ò X × ÓÚ Ö Ä˸ Û • • Ì ÖÓÑ ÁÒ Ø Ó × ´½µ ´¾µ ´¿µ Ξ Ù× Ò Ø ÇÄË Ö × Ù Ð× ÕÙ Ø ÓÒ¹ ݹ ÕÙ Ø ÓÒ ×Ô Ð × Ø Ø Ö Ø ÐÐ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Û ÓÒ× ×Ø Òغ × ØÖÙ Ò Ø × ÒÓØ ÔÖ × ÒØ × Ø Ø Ò Ø × Xi Ö Ø × Ñ ¸ Û ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ËÍÊ X = In ⊗ X. Í× Ò Ø ÖÙÐ × (A ⊗ B)−1 = (A−1 ⊗ B −1 ) (A ⊗ B)′ = (A′ ⊗ B ′ ) Ò (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC ⊗ BD), ≡ÇÄ˺ ÌÓ × ÓÛ Ø Û Ø πSU R = ˆ = = = (In ⊗ X)′ (Ξ ⊗ In )−1 (In ⊗ X) Ξ ⊗ (X ′ X)−1 Ξ−1 ⊗ X ′ (In ⊗ X) −1 −1 (In ⊗ X)′ (Ξ ⊗ In )−1 y • • • ËÓ Ø ÙÒÖ ×ØÖ Ø Ú Ò ÒÓÖ ÐÐÝ Ò Ö Ö Ü ÑÔÐ IG ⊗ (X ′ X)−1 X ′ y   π1 ˆ   ˆ  π2   º  =   º  º  πG ˆ Ö Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ÒÝ ÔÓØ ÒØ × Û º Ø Ö Ö Ξ−1 ⊗ X ′ y Ξ−1 ⊗ X ′ y ÒØ× Ò ×Ø Ñ Ø º Ñ ØÖ Ü ÒØÐÝ ´ ××ÙÑ Ò ÒÓÖÑ Ð Øݵ Ý ÇÄ˸ Ï Ú ÓÖÖ Ð Ø Ò Ø Ð Þ ÖÓ× Ò Ý Ó Π, Û Ø Ý Ü ×Ø ÓÙÐ ÔÓØ ÒØ ÒÓØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ö º ÙØÓÖ Ö ×× ÓÒ׺ Ë ØÛÓ × Ø ÓÒ× ËÍÊ≡ÇÄË × Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ú ØÓÖ º¾º ÁÅÄ Û ÐÐ × Ø × Ø¸ Ì Ö Ò ÁÅĺ ÙÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Òظ × Ò ÐÐ ÓØ Ð ÓÓ × Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ø Ù× Ø ÓÒ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º Ú Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ñ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÅÄ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ× ×Ø Ñ ØÓÖ× Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ò Ø Ò × Ó Ø ÒØ ÛºÖºØº ÙÐй Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÅÄ ÓÒ³Ø Ö ÕÙ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Û ×ØÖ Ù× ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Øº Ð ÁÅÄ Ó ¾ËÄË ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ× Ð ×¸ Ö ÐÐ ÙØ ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ Û ÓÙÖ× Ó ×º ÇÙÖ ÑÓ ′ ′ Yt′ Γ = Xt B + Et ′ E(Et Es ) = 0, t = s Ì × Ó ÒØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Et ∼ N (0, Σ), ∀t Ò× ØÝ ÓÖ Et Ñ Ò× Ø Ø Ø Et × Ø ÑÙÐØ Ú Ö Ø ÒÓÖÑ Ð¸ Û (2π)−g/2 det Σ−1 Ì ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÖÓÑ −1/2 1 ′ exp − Et Σ−1 Et 2 Â Ó Ò Et ØÓ Yt Ö ÕÙ Ö × Ø | det dEt | = | det Γ| dYt′ º ÅÈÄ ¾ËÄË Æ ÃÄ ÁÆ³Ë ÅÇ Ä ½ ½¿ ×Ó Ø Ò× ØÝ ÓÖ Yt × (2π)−G/2 | det Γ| det Σ−1 Ú Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ò Ô Ò −1/2 Ò exp − 1 ′ ′ Y ′ Γ − Xt B Σ−1 Yt′ Γ − Xt B 2 t Ó ÒØ ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ′ ÓÚ Ö Ø Ñ ¸ Ø ÙÒ Ø ÓÒ × ln L(B, Γ, Σ) = − • Ì Ò × Ø ÓÒº × × n 1 nG ln(2π)+n ln(| det Γ|)− ln det Σ−1 − 2 2 2 ÒÓÒÐ Ò Ö Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ú n t=1 ′ ′ Yt′ Γ − Xt B Σ−1 Yt′ Γ − Xt B Å Ü Ñ Ü Ø ÓÒ Ó Ó Ø × Ò Ø Ø × ′ ÙÒ Ø ÓÒº ÓÒ Ù× Ò Ø Ö Ø Ú ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ó ×º Ï ³ÐÐ × ÓÛ ØÓ Ò ÜØ • • ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø Ø Ø ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ¿ËÄË Ò ÁÅÄ Ö Ø × Ñ ¸ ××ÙÑ Ò ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÇÒ ÚÓ ´½µ ´¾µ Ò Ð ÙÐ Ø Ò Ø Ù× Ó Ø ÒÓÒÐ Ò ÖÖÓÖ׺ ÁÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ Ý Ø Ö Ø Ò ×Ø Ô× Ø Ö ¿ËÄË ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ø Ù× Ö ÓÔØ Ñ Þ Öº Ì × ÒÓÖÑ Ðº Ì Ú Ñ × × Ò Û¸ Û ×ÓÑ Ò× Ø Ò Ò³Ø ×Ø Ñ Ø Ò ÙÖ Ø Ø Ö Ò Ø Ð ÙÐ Ø Ð ÙÐ Ø ÓÖ º Ì ¿ËÄË ˆ ˆ Γ3SLS Ò B3SLS ˆ ˆ ˆ Π = B3SLS Γ−1 . 3SLS × ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ý ØÓ Ø × ÁÅĸ Π Ò Ø × Û Ý Þ ÖÓ× Ò Øº Ï × ÓÖ Á ÔÖÓ × Ý× Ø Ö Ø Ó ×Ò³Ø ÙÔ Ø ØÓ Ó ×Ò³Ø Ð ˆ Π, ´¿µ Ø ´ µ ÙØ ÓÒÐÝ ÙÔ ˆ Σ Ò ˆ B ˆ Γ. ÝÓÙ ÙÔ ˆ Π ÝÓÙ Ó ˆ Γ ÓÒÚ Ö ÁÅĺ Ð ÙÐ Ø Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ÖÖÓÖ׸ Ø ˆ ˆ Y = XΠ Ø Ò Ð ÙÐ Ø ×Ø Ñ ØÓÖº Ò Ò Ø Ø ˆ Σ Ù× Ò Ò ˆ B ØÓ Ø ×Ø Ñ Ø ÔÔÐÝ Ò × Ù×Ù Ð ÔÔÐÝ ¿ËÄË Ù× Ò Ø ×Ø Ô× ¾¹ Ò Û Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ö Ø³× ÒØ × ÒÓ Ò ÅÄ Ò ×Ø Ñ Ø Ó Σ. × ´ µ Ê Ô ÙÒØ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ø Ù× × ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì • ÁÅÄ × ÙÐÐÝ ÑÔÐ ÙÐÐÝ × Ø Òظ × Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ø ¿ËÄË × ÙÐÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ × Ù×Ø Ò Ø Û ÒØ Ò Ø ÖÖÓÖ× Ö ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÖÖÓÖ× Ö ÒÓÖÑ Ð¸ Ø ×ØÖ ÙØ º Ò ¾ËÄË Û ÐÐ Ð×Ó¸ ÒØ × × Ò Ø Òظ × Ò ÖÖÓÖ× Ò Û • Ï Ö Ò³Ø ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ø³× ÛÖ ØØ Ò ¾ËÄË≡¿ËÄ˺ ×ØÖ ÙØ ÓÚ º ¸ Ø Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × Ó ÓÙÖ× Ö ÒØ Ø º Ì ÃÐ Ò Ç Ø Ú Ò³× ÑÓ Ù× Ð ½¸ ××ÙÑ Ò Ü ÑÔÐ ¾ËÄË Ò ÃÐ Ò³× ÅÓ ÒºÑ Ô Ö ÓÖÑ× ¾ËÄË ÖÖÓÖ׸ ×Ó Ø Ø Ð Ð½ ÓÖ Ø Ò Ó ¿ ÕÙ Ø ÓÒ× Ó Ð × ÒÓÙ× Ú Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ë Ñ Õ»ÃÐ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ö ×ÙÐØ× Ö × Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ì ÇÆËÍÅÈÌÁÇÆ ÉÍ ÌÁÇÆ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ¾ËÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¾½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ½½ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ½º¼ ¼ ×Ø Ñ Ø ½ º ¼º¼½ ×غ ÖÖº ½º¿¾½ ¼º½½ ع×Ø Øº ½¾º ¿ ¼º½ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ ¼º ÓÒ×Ø ÒØ ÈÖÓ Ø× º ÅÈÄ ¾ËÄË Æ ÃÄ ÁÆ³Ë ÅÇ Ä ½ ½ ¼ Ä Ï ÈÖÓ Ø× × ¼º¾½ ¼º ½¼ ¼º½¼ ¼º¼ ¼ ¾º¼½ ¾¼º½¾ ¼º¼ ¼ ¼º¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÁÆÎ ËÌÅ ÆÌ ÉÍ ÌÁÇÆ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ¾ËÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¾½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ½º¿ ¿½ ×Ø Ñ Ø ¾¼º¾ ¼º½ ¼ ¼º ½ ¹¼º½ ×غ ÖÖº º ¿ ¼º½ ¿ ¼º½ ¿ ¼º¼¿ ع×Ø Øº ¾º ¼º ¿º ¹ º¿ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼½ ¼º¿ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¼ ÓÒ×Ø ÒØ ÈÖÓ Ø× Ä ÈÖÓ Ø× Ä Ô Ø Ð ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ï Ë ÉÍ ÌÁÇÆ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ¾ËÄË ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¾½ ʹ×ÕÙ Ö ¼º ½ Ë Ñ ¹×ÕÙ Ö ¼º ¾ ×Ø Ñ Ø ½º ¼¼ ¼º ¿ ¼º½ ¼º½¿¼ ×غ ÖÖº ½º½ ¼º¼¿ ¼º¼¿ ¼º¼¾ ع×Ø Øº ½º¿¼ ½¾º¿½ ¿º º Ô¹Ú ÐÙ ¼º¾¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼¼ ÓÒ×Ø ÒØ ÇÙØÔÙØ Ä ÇÙØÔÙØ ÌÖ Ò ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ì ÓÚ Ö ×ÙÐØ× ¸ × Ò Ø ÓÒ× Ð Ö Ö ÒÓØ Ú Ð Ò Ó Ð Ñ Ò Ø Ò ´×Ô ÐÐݸ Ø Ý Ö Ò ÓÒ× ×Ø Òص Ú Ð Ð × Ø ÖÖÓÖ× Ò Ø Ò Ö Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø × º ÓÙ Ñ ÒÓÙ× Ú Ö Ø Ð Ð × Û ÐÐ ÒÓØ Ò Ó ÒÓÙ× Ú Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ× × Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ × ÑÓÖ Ö ¹ ×Ø Ñ Ø Ò × º ËØ Ò ÓÚ Ö Ò Ö Ý ¾ËÄ˸ ØÓ Ó Ø ÖÖÓÖ× Û ÐÐ ×Ø ÐÐ ÓÓ Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ø Ñ Ø Øººº ×Ø Ñ Ø × Ò Ø ÓÑÔÐ Ü Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐݸ ÙÒÐ ×× Ù× Æ Û Ý¹Ï ×Ø ØÝÔ ×Ø Ñ ØÓÖº ÓÖ Ø ÓÙ À ÈÌ Ê ½¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø Ï ³ÐÐ Ø ¸ × Ò Û Ø ÓÒ ×ØÙ Ý Ó Ó × Þ × ÓÒ Ò Ò Ö Ðº Ð Ä Ø ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ× nº ×Ø Ñ ØÓÖ℄ Ò Zn ˆ θ Ø Ú Ð Ð × ÑÔÐ Ò Ø ÓÒ ¼º½º ÜØÖ ÑÙÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ó ÜØÖ ÑÙÑ × Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ò Ó Ø Ú sn (Zn , θ) ÓÚ Ö Θº Ø Ô Ò Ò ÓÒ Ï ³ÐÐ Ù×Ù ÐÐÝ ÛÖ Ø Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×ÙÔÔÖ ×× Ò Zn . Ü ÑÔÐ Ä Ø Ø Ä ×Ø ×ÕÙ Ö ×¸ Ð Ò Ö ÑÓ º ºÔº Ö Ð ′ Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ú ÖØ ÐÐݸ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò yn = Xn θ 0 + εn , Û × yt = x′ θ 0 + εt , t = 1, 2, ..., n, θ 0 ∈ Θ. ËØ t Xn = x1 x2 · · · xn .Ì Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ˆ θ ≡ arg min sn (θ) = (1/n) [yn − Xn θ]′ [yn − Xn θ] Ï Ö ÐÝ Ò Ø Ø ˆ θ= Θ ′ X)−1 X′ y. (X Ü ÑÔÐ ËÙÔÔÓ× ÓÓ Ø Å Ü ÑÙÑ Ð Ø Ø Ò × Ð ÓÓ Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ö Ò ÓÑ Ú Ö ×Ø Ñ ØÓÖ × yt ∼ IIN (θ 0 , 1). Ì Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ¹ n ˆ θ ≡ arg max Ln (θ) = Θ Ù× Ú Ö Ø ÐÓ ÐÓ Ö Ø Ñ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÓ t=1 (2π)−1/2 exp − Ò Ö × Ò Ú ÓÒ Ø Ø (yt − θ)2 2 (0, ∞)¸ × Ñ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÓ × ×ØÖ ØÐÝ ÙÒ Ø ÓÒ × Ö Ø Ñ Ó Ø ˆ θ n × ÓÖ Ø Ð Ð ÙÒ Ø ÓÒ ˆ θ ≡ arg max sn (θ) = (1/n) ln Ln (θ) = −1/2 ln 2π − (1/n) Θ ËÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ºÓº º Ð × ØÓ Ø Ö Ñ Ð Ö Ö ×ÙÐØ Ø Ø t=1 (yt − θ)2 2 ˆ ¯ θ = y. Ö Ñ Ö¹Ê Ó ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ¸ Ì Ó¹ • ÅÄ Ö Ñ¿µ¸ ×Ø Ñ ØÓÖ× ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒØ ´ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø Ö ØÖÙ º Ò ÒÚ ×Ø Ø Ø ÙØ ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ×ØÖÓÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÙÔÓÒ Û Ø Ý Ö ×Ó Ò ÅÄ × Ú × ×Ø Ñ ØÓÖ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø Ø Ø × ×ØÖ ¹ Û ³ÐÐ • ÇÒ ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ò ÓÖÖ Øº Ì ÕÙ × ¹ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Û ÕÙ ×Ø ÓÒ Ð ×ØÙ Ý Ð Ø Öº • Ì ×ØÖÓÒ Ð ×ØÖ ØÓ ÙØ ÓÒ Ð ×Ø Ñ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó ÅÄ Ù× Ò Û Ö ×ØÖ Ñ Ý ÙØ ÓÒ Ð Ò Ñ ÒÝ × ×º × ÓÒÐÝ ÓÒ ÁØ × ÔÓ×× ×ÓÑ Ó Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÑÓÑ ÒØ× Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ´×µº Ü ÑÔÐ ËÙÔÔÓ× Å Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× Û Ö Û ÒØ Ö ×غ Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ì Ó yt ÖÓÑ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ò Ö Ð Ö×Ø ÑÓÑ ÒØ ´ ÜÔ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø χ2 (θ 0 ) Ø ÓÒµ¸ µ1 , Ó ÙØ ÓÒ¸ ×ØÖ ÙØ ÓÒº À Ö ¸ θ0 Ð × Ø Ò Ö Ò ÓÑ Ú Ö Û ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø × ×ØÖ º º¸ µ1 (θ 0 ) º • µ1 = µ1 (θ 0 ) ÑÓÑ ÒØ¹Ô Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒº ½ ½ ½¾º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Ë ÇÆ À Ä ½ ¾ • ÁÒ Ø × Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ö Ð Ø ÓÒ× Ö Ð Ø ÓÒ× Ô Ñ Ý Ô × Ø ÑÓÖ ÒØ ØÝ ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ º Ì µ1 (θ 0 ) = θ 0 , Ø ÓÙ Ò Ò Ö Ð Ø × ÑÔÐ Ö×Ø ÑÓÑ ÒØ × n µ1 = t=1 yt /n. • • Ì Ò m1 (θ) = µ1 (θ) − µ1 Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ÔÖ Ò ÔÐ Ó Ø × ØÓ ÓÓ× Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ó × ÑÔÐ ÒÚ ÖØ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓ × Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ì ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ ÑÓÑ ÒØ¹Ô Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø × ÑÓÑ ÒØ ¸ º º¸ Ô Ö Ñ Ø Ö ˆ m1 (θ) ≡ 0º Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ ×ÓÐÚ ÓÖ Ø ×Ø Ñ Ø º ÁÒ Ø × × ¸ n ˆ ˆ m1 (θ) = θ − Ë Ò yt /n = 0. t=1 ÅÓÖ ÓÒ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò p n t=1 yt /n → Û Ø θ0 Ø Ý Ø ÄÄƸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø Òغ Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ÓÚ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ú Ö Ò Ó χ2 (θ 0 ) ÖºÚº × V (yt ) = E yt − θ 0 • • Ì Ò 2 = 2θ 0 . − y )2 ¯ m2 (θ) = 2θ − ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ ÛÓÙÐ × Ø n t=1 (yt n n t=1 (yt ˆ ˆ m2 (θ) = 2θ − Ò¸ ׸ Ý Ø ÄÄƸ Ø × ÑÔÐ Ú Ö n Ò − y )2 ¯ ≡ 0. ÓÖ Ø ØÖÙ Ú Ö Ò ¸ Ø Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ n t=1 (yt n ËÓ¸ − y )2 ¯ → 2θ 0 . − y )2 ¯ , ÕÙ Ø ÓÒ¸ × ÓÒ× ×Ø Òغ p ˆ θ= Û × Ó Ø Ò Ý ÒÚ ÖØ Ò Ø n t=1 (yt 2n ÑÓÑ ÒØ¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ü ÑÔÐ Ì Ò Ö ÐÞ Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ´ Åŵ Ü ÑÔÐ × Ú ØÛÓ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ö ÒØ Ò ÔÖ Ú ÓÙ× ØÛÓ θ0 Û Ö ÓØ ÓÒ× ×Ø Òغ Ï Ø Ú Ò × ÑÔÐ ¸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× Û ÐÐ Ò Ö Ðº • Ï Ø ØÛÓ ÑÓÑ ÒØ¹Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ñ Ò× Ø ÕÙ Ø ÓÒ× Ø Û Ú Ò ÑÓÖ ÓÒÐÝ ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö¸ Û Ú ÒØ Ø ÓÒ¸ Ì ÓÖÑ ÓÚ Ö ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò × ×ØÖ ØÐÝ Ò ×¹ × ÖÝ ÓÖ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Öº ÖÓÑ Ø ØÛÓ ÑÓÑ ÒØ¹Ô Ö Ñ Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ× ØÓ × ÐÓÛµº • ÅÅ ÓÑ Ò Û Ò × ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÑÓÖ Òظ Ò Ò Ö Ð ´ÔÖÓÓ Ó Ø ½¾º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Ë ÇÆ À Ä ½ ¿ ÖÓÑ Ø Ú Ö Ó Ö×Ø Ü ÑÔÐ ¸ Ò m1t (θ), º º¸ m1t (θ) = θ − yt . m1 (θ) = 1/n Ï ÐÖ Ý Ú Ø Ø m1 (θ) × Ø × ÑÔÐ n m1t (θ) t=1 n = θ− Ð ÖÐݸ Û Ò Ú ÐÙ Ø ØØ ØÖÙ yt /n. t=1 Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ θ0, ÓØ E m1t (θ 0 ) = 0 Ø ÓÒ× Ò E m1 (θ 0 ) = 0º ÖÓÑ Ø × ÓÒ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ m2t (θ) = 2θ − (yt − y )2 ¯ Ò m2 (θ) = 2θ − Ò¸ Ø × Ð Ø Ö Ö ÖÓÑ Ø ÄÄÆ Ø Ø n t=1 (yt n a.s. Ì − y )2 ¯ ÅÅ . ×Ø Ñ ØÓÖ ÛÓÙÐ Ó× ØÛÓ ˆ m1 (θ) = 0 • Ì ˆ ÓÖ m2 (θ) = 0. ÁÒ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò Ö Ð¸ ÒÓ × Ò Ð m2 (θ 0 ) → 0. ˆ θ ØÓ × Ø Ú ÐÙ Ó θ Û ÐÐ ×ÓÐÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×Ðݺ ÅÅ × Ò ÓÒ ÓÓ× Ò Ò Ò Ñ ×ÙÖ Ó ×Ø Ò d(m(θ)), Û Ö m(θ) = (m1 (θ), m2 (θ)) , ′ ˆ θ = arg min sn (θ) = d (m(θ)) . Θ Ò Ï Ð Ü ÑÔÐ Ø³× Ð ÛÓÙÐ Ö Ø Ø Ø Ò ØÓ ÓÓ× ÅÅ d(m) = m′ Am, Û Ö A Ø Ö × × ÔÓ× Ø Ú ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ñ ØÖ Üº Ô Ú × ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø × Ö Ð Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× ÑÓÑ ÒØ׸ Ø³× ÒÓØ ÑÑ Ð Ø Ö Ø Ø Ø Ø Ø ×ºµ × Û ÐÝ Ù× ÓÖ Ø Ø Ø Ø × Ö Ø ÐÝ Ó Ú ÓÙ× Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø Òغ ´Ï ³ÐÐ × Ì × Ü ÑÔÐ × × ÓÛ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× Ñ Ý ×ÓÒ¸ Ø ×ØÙ Ý Ó ÜØ Ò ÐÐ ÒØ ÖÔÖ Ø × Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù× Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ò Ö Ð Øݺ Ï Ú Ð Ð Û ÐÐ × ÓÖ ×Ô ÅÅ ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ× × ÑÓÖ ÙÐ ÓÖ Ø× Ð Þ Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ× ×ÑÓÓØ ÐÝ ØÓ Ø ÜØÖ ÑÙÑ Ö ×Ô Ò Ö ×ÙÐØ× ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Ø Ö ×ØÙ Ý Ò Ò ×Ø Ñ ØÓÖ× ×ØÙ Ý Ò Ö Ð¸ Û Û ÐÐ ×ØÙ Ý Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ø ¸ ÉÅÄ Ø Ò Ò ÉÅÄ ÓØ ÅÅ × ÓØ ÆÄ˺ Ì ×ÓÒ Û ÅÅ Ñ Ý ÐÐ Ö×Ø × Ø Ø Ä˸ Áθ ÆÄ˸ ÅÄ × ×Ô Ò ÙÒ Ý Ø Ö Û Ðй ÒÓÛÒ Ô Ö Ñ ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ×Ó Ø Ö ×Ø Ñ ØÓÖ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ð × × Ó ØÖ Ò Ò Ö Ð Ö ×ÙÐØ× ÓÒ Ð ×׸ Ø Ö Ö ¸ ÅÅ Ò × ÑÔÐ Ý Ö Û ×ÓÑ Ñ ×Ô ØÑ ÒØ Ó Ø ÆÄ˸ Ò ÓØ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Æ Ú ÖØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÓÒ ÉÅÄ Ñ Ù× ÑÔ Ö Ð Ö × × Ó Ù× ÓÒ Ø Ùк ÇÒ Ó Ø Ø Ø Ð Ò ÔÔ Ö ÑÓ Ö¸ × Ò Ó Ð ÔÓ ÒØ× Ó Ø Ð× Ö Ò³Ø Ù× Ùк ÓÒ Ò ÓÙÖ× Û ÐÐ Ä Ò Ö ÑÓ ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ð׺ Ð× Ö ÑÓÖ Ú Ö Ì × × ÒÓØ ØÓ ×Ù Ò Ø Ð × Ý Ñ Ø ×Ø Ö×Ø Ò Ö Ð Ø ÑÔÐÓÝ ÒÓÒÐ Ò Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ× Ó Ø ϕ0 (yt ) = ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ϕ1 (xt ) ϕ2 (xt ) · · · ϕp (xt ) θ 0 + εt ln yt = α + βx1t + γx2 + δx1t x2t + εt 1t Ø× Ø × ÓÖѺ • Ì ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ × Ø Ø Ø ÑÓ Ð × × Ö ÐÝ ÐÒ Ö ÒØ Ú Ö Ð ×º ÐÒ Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö× ÙØ ÒÓØ Ò ×¹ ½¾º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Ë ÇÆ À Ä ½ ÁÒ ×Ô Ø Ó Ø × Ý Ð Ò ÔÔÐ Ò Ö Ð Øݸ × ØÙ Ø ÓÒ× Ó Ø Ò Ö Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÑÓ Ö ÑÓ Ð׸ ×Ó ÓÒ Ö × Ð׺ Û × ÑÔÐÝ Ò ÒÓØ ÓÖÝ Ø Ø Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒÚ Ò Ò ÐÝ × ØÓ ÒÓÒÐ Ò Ò Ö Ð × º Ö Ö ÔÖ × ÒØ ÑÓ Ð× Ð×Ó Ð×Ó¸ Ø × ØÓ Ð Ò Ñ Ý × Û ÐÐ ×Ø ÖØ Ó Ü ÑÔÐ ÊÓÝ³× Á ÜÔ Ò ØÙÖ × ÒØ ØÝ ×Ø Ø × Ø Ö × Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ Ñ Ò Ó Ø ith Ó G ÓÓ × × xi = Ò ÜÔ Ò ØÙÖ × Ö × −∂v(p, y)/∂pi . ∂v(p, y)/∂y ×Ó Ò ×× Ö ÐÝ Û Ø Ø Û × Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ÓÒ Ø ÓÒ× si ∈ [0, 1], Ò Ø × × G i=1 si Ò ÓÒ×ØÖ Ö si ≡ pi xi /y, = 1º Ò ÆÓ Ð Ò Ô Ò Ö Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÑÓ Ø Ò Ý Ù Ö ÒØ ×Ø Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ò Ø xi Ø ÓÖ si Ð׸ Ø ÒØ Ó Ø Ö Ó ÓР׺ Ì ÒØ× Û ÐÐ Ó Ø Ò Ú ÓÐ Ø Ö ÑÓ ÐÐ× ÒØÓ ÕÙ ×Ø ÓÒ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø Ò ×× Ò × × Ó Ø × ×ÓÖغ Ü ÑÔÐ Ì ÔÖÓ Ó Ö Ø ÔÖÓÚ ´ÓÖ Ò ÖÝ Ð Ñ Ø Ö Ò ÙÑ ÓÒØ Ò × × ÑÔÐ Ô Ò Ü ÑÔÐ º Ì Ð׺ ÁÒ ÒØ Ú Ö × Ú Ü ÑÔÐ Ù Ð× Ð Ó Ò Ö Ò Ø ×Ó Ð Ú ÐÙ Ò Ö Ð Ò Ó × Ö Ø × Ö × ×Ô × × Ð × Ø ´ÒÓ ÔÖÓ Ó ÑÓÖ Ô Ý ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ´ ε Ñ Ø Ó Ò ÖÝ Ö ×ÔÓÒ× µ ÑÓ ÔÖÓ Øº ÁÒ Ý ÛÓÙÐ ÑÓÙÒØ A Ö ÓÖ ÔÖÓÚ × ÓÒ Ó Ö Ø ÙØ Ð ØÝ Ò Ø Ö Ú Ö 0 0 ص × v (m, z)+ε , Û Ö Ø Ö ×Ø ×¸ Ø Ú Ö m ÔÖ × Ò ÓÑ Ò z × Ú ØÓÖ Ó ÓØ Ð × ×Ù × ÔÖ ×¸ Ô Ö×ÓÒ Ð Ø º 1 1 Ø Ö ÔÖÓÚ × ÓÒ¸ ÙØ Ð ØÝ × v (m, z) + ε . Ì Ö Ò × Ò Ø ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒº Ï Ø Ø ×¸ i Ö Ò ÓÑ Ø ÖÑ× ε , i Ò Ò Ú Ù Ð Ö × ½ = 1, 2, ØÓ Ô Ý Ö Ø ÓÒ× Ó A ε0 − ε1 ε Ò Ò ÔÖÓ ´¿¼µ ÌÓ × ÑÔÐ Ý ÒÓØ Ø ÓÒ¸ ÔÓ× Ø Ø Ò < m Ö Ò v 1 (m − A, z) − v 0 (m, z) ∆v(w, A) z, Ò ε = ε0 − ε1 , y = 1 Ø Ð ØÝ Ó Ö Ð Ø w ÓÐÐ Ø ÓÒ×ÙÑ Ö × ØÓ Ô Ý ∆v(w, A) = v 1 (m − A, z) − v 0 (m, z). A ÓÖ Ø Ò ¸ y = 0 ÓØ ÖÛ × º Ì Ð Ø Ñ ÒØ × Pr(y = 1) = Fε [∆v(w, A)] . p(w, A) ≡ Fε [∆v(w, A)] . ÌÓ Ñ Ø Ü ÑÔÐ ×Ô ¸ ×ÙÔ¹ v 0 (m, z) = −βm Ò v 1 (m, z) = α − βm Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÓÑÓØ Ø ¸ Ò Ð ×º Ì ×Ô Ø ×¸ ÙØ Ð ØÝ ×ØÖ Ø Ô Ò × ÓÒÐÝ ÓÒ ××ÙÑÔØ ÓÒ ε0 Ò ε1 Ö º º º ÜØÖ Ñ ÓØ Ú ÐÙ Ö Ò ÓÑ ¸ ÔÖ × Ñ Ø Ð× ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ò × Ò ×ØÖ ×Ø Ø × ÙØ ÓÒ Ð × ÙØ ÓÒ Ó ÔÖ Ö ¸ × Ö Ò × Ò Ø ÖØ Ð × Ý ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒº Ï Ø º Å Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× ´Ø µ Ø Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÝÓÙ³Ö ÒØ Ö ×Ø × ÓÛÒ Ø p(A, θ) = Λ (α + βA) , Û Ö Λ(z) × Ø ÐÓ ×Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Λ(z) = (1 + exp(−z))−1 . ½ Ï Ö ××ÙÑ Ð ØÓ ÓÖ Ö Ø Ø Ö ×ÔÓÒ× × Ö ÔÖ Ö ØÖÙØ × Ùи Ø ÝÔÓØ Ø × Ø Ö × ÒÓ ×ØÖ Ø Ú ÓÖ Ò Ø Ø Ò Ú Ù Ð× Ö Ø Ö Ò × Ò Ø Ø Ð × ØÙ Ø ÓÒº ½¾º ÁÆÌÊÇ Í ÌÁÇÆ ÌÇ ÌÀ Ë ÇÆ À Ä ½ Ì × × Ø × ÑÔÐ ÐÓ Ø ÑÓ Ð Ø Ó ÔÖÓ Ð ØÝ × Ø ÐÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× ÙÒ Ø ÓÒº ÆÓÛ¸ y × Ø Ö 0 ÓÖ ½¸ Ò Ø ÜÔ Ø Ú ÐÙ Ó y × Λ (α + βA) º Ì Ù׸ Û Ò ÛÖ Ø y = Λ (α + βA) + η E(η) = 0. ÇÒ ÓÙÐ ×Ø Ñ Ø Ø × Ý ´ÒÓÒÐ Ò Öµ Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × α,β = arg min ˆˆ Ì Ñ Ò ÔÓ ÒØ × Ø Ø Ø × ÑÔÓ×× × Ò× Ø Ð Ø 1 n Ø Ö t (y − Λ (α + βA))2 Ò Ö Ö ÛÖ ØØ Ò ÒÓ × Ð Ò Ø Ö Ò Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÑÓ Ð¸ Ò Ø Ø¸ ÓÖ Λ (α + βA) ØÖ ÖÝ A¸ Ø θ, ϕ(A) ×Ù Λ (α + βA) = ϕ(A)′ θ, ∀A Û × Ø Ø Ò Ö ϕ(A) 1, Û × Ù× ÓÖ p¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÒÝ θ, Û Ò ÐÛ × ÐÐÓ Ð¸ × Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ý× Ò A ×Ù Ò Ø θ × Ø A p Ñ Ò× ÓÒ Ð ϕ(A)′ θ Û ÐÐ Ò ¼»½ × Ù× Ô Ö Ñ Ø Öº Ì Ø Ú ÓÖ Ö × Ø Ö Ø × Ø Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó ÑÔ Ö Ð ÛÓÖ ¸ Ø Ò ÖÝ Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÙÐ ØÓ ×ØÙ Ý ÆÄË Ð º Ë Ò Ò ÓØ Ö × ×ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÖ× Ó Ø Ò Ð׺ Ø × ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ø Ö × Ù×× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ì × Ñ Ø Ó × ØÓ ××ÙÑ ÐÐÓÛ ÓÒ ¸ Ø Ø ÑÓ Ð× Û ³ÐÐ ÓÖ Ö Ý ÒØÖÓ Ù ×Ø Ñ Ø ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ×º f (xt ) ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Û Ò Û Ö Ü ÑÔÐ ¸ ØÓ ÓÖÑ ÒÓØ Û ÐÐ Ò Ð Ó Ø yt = f (xt ) + εt Ò Ö ×ØÖ Ø ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÖÑ yt = f (xt , θ) + εt Pr(εt < z) = Fε (z|φ, xt ) θ ∈ Θ, φ ∈ Φ Û Ö f (·) Ò Ô Ö Ô× Fε (z|φ, xt ) Ö ×Ô Ö Ó ÒÓÛÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÙØ ÙÒ Ø ÓÒ× ÓÖѺ Ì Ò Ø × × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò × Ò× Ó Ø Ö Ö Ú ¹ ÓÒÓÑ Ø Ø Ú ×¸ Ì ÓÖÝ Ú × Ù× ÓÙØ Ø Ò Ö Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖѺ × ÙØ ÒÓØ Ò Û ³ÐÐ ÐÓÓ Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ Ñ Ø Ó × Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ë Ò Ì × Ñ Ø Ó × × ÐÐÓÛ Ù× ØÓ ×Ù ×Ø ØÙØ Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ó ÓÒÓÑ Ø ÓÑÔÙØ Ö ÔÓÛ Ö ÓÖ Ñ ÒØ Ð ÔÓÛ Öº ÓÖظ Ò Ø ÒÝ × ÓÑÔÙØ Ö ÔÓÛ Ö Ò Û Ó Ð Ú × Ý Ø ÓÑ Ò ÔÖ Ò ÔÐ × Ô ÓÑÔ Ö ÓÖÝ × ÓÙÐ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ð ÒØ Ö ×Ø ÓÛ × ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò Õ٠׺ Ò ÐÐݸ Û ³ÐÐ ÐÓÓ ÐÙ×Ø Ö Ó ÑÓÖ ÓÑÔÙØ Ö׺ Ì Ð× Ø ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Ò ÖÒ ×× ÑÓÖ Ù× Ò ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÒ Û Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Ö ØÓ ÛÓÖ × ØÓÔ ÓÑÔÙØ Öº ÓÑÔÐ Ü ÑÓ Ø Ò ÐØ Û Ø À ÈÌ Ê ½¿ ÆÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × Ê Á Ò Û ³Ö Ò × À Ñ ÐØÓÒ¸ º ¸ × Ø ÓÒ Øº к ´½ ´ÔÔº ½¿¿¹½¿ µ µº ∗; ÓÙÖ ÖÓÙÜ Ò ÅÓÒ ÓÖظ ÎÓк ½¸ º ½¿¸ ÔÔº ∗ ¿¹ ¼ Ó Ò Ì ØÓ Ó ¸ ÔÔÐÝ Ò Ú × ÜØÖ ÑÙÑ Ú ÖÝ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ׸ Û ³ÐÐ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Û Ö ØÓ Ø × ÒÓÛ Ð Ö ÓÛ ØÓ Ò ÜØÖ ÑÙѺ × × Ø ÓÒ Ð Ø Ö ØÙÖ Ò ÓÒ Ø Ú Ø Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ×º Ï ³ÐÐ ÓÒ× ÖÐÝ Ò Û Ø Ò ÕÙ × ØÓ ÓÑ Ñ Ð Ø Ø Ñ Ý Ø ÐÐÓÛ ÓÒ ××٠׸ Ò ØÓ ×ÓÐÚ ØÓ Ð Û Û Ðй ÒÓÛÒ Ø Ò Õ٠׸ ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñ׺ Ì ÓÛ ØÓ Ù× Ø Ë Ñ Ò Ó Ö Û Ø ÖÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ Ø Ð Ð Ú Ðº Ì Ó Ú Ò Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û ÓÒ× Ö × ÓÛ ØÓ Ò Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò Ò Ð Ñ ÒØ ˆ θ´ K ¹Ú ØÓÖµ Ð º ÙÒ Ø ÓÒ Ø s(θ). Ì × ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ý ÒÓØ Ö ÒØ ÐÐ ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ Ð ¸ Ø Ñ Ý ÒÓØ ÐÓ Ö ÒØ × ØÛ ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ò × Ø Ñ Ý ÒÓØ ÐÐÝ ÓÒ Ú ¸ ×Ó ÐÓ Ð Ö ÕÙ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ü Ñ ¸ Ñ Ò Ñ Ó Ð ÔÓ ÒØ× Ñ Ý Ü ×غ ËÙÔÔÓ× Ò s(θ) Û θ, º º¸ 1 s(θ) = a + b′ θ + θ ′ Cθ, 2 Ö ÓÒ Ø ÓÒ× ÛÓÙÐ Ð Ò Ö Ø Ö×Ø ÓÖ ×Ó Ø Û ÓÒ Ò Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò Ú Û Ø Ð Ò ´Ñ Ò Ñ Þ Ò µ Ö ÑÓ Ð× Ó Ð ×Ø Ñ Ø Ø Dθ s(θ) = b + Cθ ˆ Ñ ÒØ ÛÓÙÐ θ = −C −1 b. Ý ÇÄ˺ ÁØ³× Ð×Ó Ø Ú Ú Ö ÓÚ Ñ ØÖ Ü¸ Û Ì × × Ø ÓÖ Ö Ø Ó × ×ÓÖØ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø Ú Ä˸ × Ò ÙÒ Ø ÓÒ × Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ö Ñ ÅÓÖ Ò Ò ×Ø Ñ Ø ÕÙ Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ú Ð Ò Ö Ò ºÓº º¸ Ò Û Û ÐÐ ÒÓØ Ð ØÓ ×ÓÐÚ ÓÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ× Û ÐÐ ÒÓØ Ò ÐÝØ ÐÐݺ Ì × × Û Ø Ñ Ü Ñ Þ Ö Ò Û ÒÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º ½º Ë Ö Ì ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ×Ø ÔÓ Òظ Ö Ò×ÙÖ ÙÐ Ø Ø Ø × Ò Ø Ø ÖÔ Ô × ØÓ Ö Ö Ø Ö ÓÚ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ò Ö × Ò ÓÓ Ø ÒÓÙ Ò Ö Ú ÐÙ Ø Ò Ø º Ë ÖÖ Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÓ ½º ÇÒ Ø Ó Ø × ØÓ º Ë Ð Ø Ø ÓÒØ ÒÙ Ö × × Ö ×Ø ÔÓ Òغ Ì ÙÖ Ý ÙÒØ Ð Ø Ò ÒÓÙ Ò Ö Ð Ø ÓÒ× ÒØ Ö Ðݺ Ô ØÓ Ø ÙÐ Ö ØÝ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÒÓØ Ñ ×× ÌÓ Ø Ö q Ú ÐÙ × Ò ÓÖ Ñ Ò× ÓÒ Ó K Ò Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ Û Ò ØÓ q K ÔÓ ÒØ׺ Ü ÑÔÐ ¸ q = 100 Ò K = 10, Ø Ó Ø ÓÑ × Ò Ø Ö ÛÓÙÐ 10010 ÔÓ ÒØ× ØÓ Ý Ö× ØÓ Ô Ö ÓÖÑ × Ú ÖÝ º Ö Ñ Ø Ó Ö Ø º Á ½¼¼¼ ÔÓ ÒØ× Ò Ð ÙÐ Ø ÓÒ׸ Û ×ÓÒ Ð Ó × × ÓÒ ¸ Ø ÛÓÙÐ 3. 171×109 × × Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ Ø ÙØ Ø ÕÙ ÐÝ ÖØ º Ì K × ×Ñ Ðи K × ÑÓ ÓÖ Ð Ö ½ ¾º ÊÁÎ ÌÁÎ ¹ Ë Å ÌÀÇ Ë ½ ÙÖ ½º Ì × Ö Ñ Ø Ó ¾º ¾º½º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº ´½µ Ø ´¾µ Ø ´¿µ Ø Ì Ò Ñ Ø Ó ÖÚ ØÚ ¹ × Ò Ø × Ñ Ø Ó × Ö Ò Ý Ö Ú Ø Ú ¹ Ø Ñ Ø Ó × Ð Ú ÐÙ ¸ ÓÖ ÓÓ× Ò θ1 Ú Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ×ØÓÔÔ Ò Ö Ø Ö ÓÒº Ò ÓÖ ÓÓ× Ò θ k+1 θk ´ × ÙÔÓÒ Ö Ú Ø Ú ×µ Ø Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÓÓ× Ò Ø ÖÓ Ò ÒØÓ ØÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÓ× Ò × Ñ Ø ×Ø Ô× Þ ak ´ × Ð Öµ ×Ó Ø Ø k Ö Ø ÓÒ Ó ÑÓÚ Ñ Òظ d , Û × Ó Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó θ, θ (k+1) = θ (k) + ak dk . ÐÓ ÐÐÝ Ò Ö × Ò Ö Ø ÓÒ Ó × Ö d ∃a : × Ö Ø ÓÒ ×Ù Ø Ø ÓÖ a ÔÓ× Ø Ú Ø Ð ÙØ ×Ñ Ðк Ì ×Ø Û × Ø ÐÐ ÓÒ³Ø Ö Ø ×¸ Ó ØÓÓ ÒØ Û ∂s(θ + ad) >0 ∂a Ó Ò Ö Ø ÓÒ d¸ Ø Ö Ø ÓÒº Ö Ö Ø × ÒÓØ Þ ÖÓ Ø Û Û ÐÐ ÑÔÖÓÚ ÓÒ Ø Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ö Ò Ø Ø • × ÐÓÒ Ø Ý Ò θ × Ü ×Ø × Ò Ö × Ò Ö Ø ÓÒ׸ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ö ÔÖ × ÒØ × Ø Ö g (θ) = Dθ s(θ) a0 = 0 Qk g(θ k ) Û ÒØ Ø θ º ÌÓ × Qk ×ÝÑÑ ØÖ Ô ÌºËº ׸ Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ÖÓÙÒ s(θ + ad) = s(θ + 0d) + (a − 0) g(θ + 0d)′ d + o(1) = s(θ) + ag(θ)′ d + o(1) ¾º ÊÁÎ ÌÁÎ ¹ Ë Å ÌÀÇ Ë ½ ÙÖ ¾º ÁÒ Ö × Ò Ö Ø ÓÒ× Ó × Ö ÓÖ ×Ñ ÐÐ ÒÓÙ Ò Ø Ø Ö Ø ÓÒ¸ Û Û Ù Ö ÒØ a Ø o(1) Ø g(θ)′ d > 0. ÖÑ Ò Ò Ò ÒÓÖ º Á Û d Ö × ØÓ Ò Ò Ö × Ò Ò Ø ¸ d = Qg(θ), Q × ÔÓ× Ø Ú g(θ)′ d = g(θ)′ Qg(θ) > 0 ÙÒÐ ×× g(θ) = 0. Ö Ø Ó× ¾º ÙÖ Ú ÖÝ Ò Ö ×Ù Ø ØØ × Ò Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ò ØÛ Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ò Ø Ø × Û Ý ´Ôº º ¼ Ö ×µº Ñ ØÖ × Ë g Qg(θ) × Ð ×× Ø • Ï Ø Ø ×¸ Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÖÙÐ ÓÑ × θ (k+1) = θ (k) + ak Qk g(θ k ) Ò Ì Û Ô Ó Ò ÙÒØ Ð Ø ÓÛ ØÓ ÓÓ× Ö ÒØ ÓÑ × Þ ÖÓ¸ ×Ó Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ò Ö × Ò Ö Ø ÓÒº ÔÖÓ Ð Ñ × a Ò Q. a a × × ÖÐÝ ×ØÖ × Ð Öº Ø ÓÖÛ Ö º × ÑÔÐ Ð Ò × Ö × • • • Ò Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Q¸ Ò Ì ÆÓØ ØØÖ Ø Ú Ö Ñ Ò Ò ÔÓ×× ÓÓ× Ò Ð Øݸ × Ò ÔÖÓ Ð Ñ × × Ú × ÒÓ ËØ Ö ÓÛ ØÓ ÓÓ× Ù Ö ÒØ Q. Ò ÐÓ Û ³Ö Ð Ñ Ü ÑÙѺ Ñ Ü Ñ Þ Ò µ Ù×Ø × Ø× Ó Ð×Ó Ø Ø Ø × ØÓ ¾º¾º ËØ Ô ×Ø Ó Ø Ú Ú ÒØ × Ò Ò Ú ÒØ × Òغ Ø Ô ×Ø × ÒØ ´ × ÒØ × Ø Q Ò ØÓ ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü¸ × Ò ÙÒ Ø ÓÒº × × ÒØ ÔÖÓÚ Ö Ø ÓÒ Ó Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø • • ×Ø ¹ Ì Ó ×Ò³Ø Ö ÕÙ Ö × Ó ×Ò³Ø ÒÝØ Ò ÑÓÖ Ø Ò Ö×Ø Ö Ú Ø Ú ×º Ó ¹ ÐÛ Ý× ÛÓÖ ØÓÓ Û ÐÐ ÓÛ Ú Ö ´ Ö Û Ô ØÙÖ ÙÒ Ø ÓÒµº ¾º ÊÁÎ ÌÁÎ ¹ Ë Å ÌÀÇ Ë ½ ÙÖ ¿º Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó ¾º¿º Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒº ×ÐÓÔ ÑÓÚ Ò ÙÖÚ ØÙÖ Ò Ò Ø × Ó Ø Ó ÖÓÑ Ì Ø Ú Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Û ³Ö ØÖÝ Ò Ø ÖÑ Ò Û Ù× × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÙØ Ø ÓÛ Ö ØÓ ÓÖ Ö Ð ÔÓ Òغ ËÙÔÔÓ× Ò ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ð sn (θ). Ì × ÓÒ Ì ÝÐÓÖ³× × Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó sn (θ) k ÓÙØ θ ´ Ò Ò Ø Ù ××µº sn (θ) ≈ sn (θ k ) + g(θ k )′ θ − θ k + 1/2 θ − θ k ÌÓ ØØ ÑÔØ ØÓ Ñ Ü Ñ Þ ′ H(θ k ) θ − θ k Ø Ö Ø¹ Ò × Ø Ø sn (θ), Û Ò Ñ Ü Ñ Þ Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ô Ò × ÓÒ θ, º º¸ Û Ò Ñ Ü Ñ Þ s(θ) = g(θ k )′ θ + 1/2 θ − θ k ˜ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ö ′ H(θ k ) θ − θ k Ø × ÕÙ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò θ. Ì × × ÑÙ Ø ÓÒ׺ Ì × × Ö ÔÖÓ Ð Ñ¸ × Ò Ö θ, ×Ó Ø × Ð Ò Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ Dθ s(θ) = g(θ k ) + H(θ k ) θ − θ k ˜ ËÓ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ò ÜØ ÖÓÙÒ ×Ø Ñ Ø × θ k+1 = θ k − H(θ k )−1 g(θ k ) Ì × × ÐÐÙ×ØÖ Ø ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø³× Ö Û Ý ÖÓÑ Ø Ò ÓÓ ÙÖ ¿º ×Ø Ô× Þ ¸ × Ò ×Ó Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ × ØÓ Ò ÐÙ sn (θ) Ñ Ý Ñ Ü Ñ Þ Ö ˆ θ, ØÙ Ð Ø Ö Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ θ k+1 = θ k − ak H(θ k )−1 g(θ k ) • ÔÓØ ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ø À ×× Ò Ñ Ý ÒÓØ Ò Ø Ú Ò Ø Û Ò Û ³Ö Ò Ø ¸ Ò k −1 Ñ Ý ÒÓØ ÔÓ Òغ ËÓ −H(θ ) ÔÓ× Ø Ú ¾º ÊÁÎ ÌÁÎ ¹ Ë Å ÌÀÇ Ë ½ ¼ Û −H(θ k )−1 g(θ k ) Ñ Ò Ø Ó Ø Ú Ú ÖÝ Ðй ÓÒ Ø ÓÒ Ý ÒÓØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò × Ò Ò Ö Ø Ö × Ò Ö Ø ÓÒ Ó × × Ö º Ì Ø ÒØ × Ò ÔÔ Ò ÓÒ׸ Ò Û À ×× Ò Ñ ØÖ Ü × ÐÓ Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ø ´ º º¸ × Ò ÖÐÝ × Ò ÙÐ Öµ¸ ÓÖ Û Ò Ø ¸ Ò ÓÙÖ Ö Ò Û ³Ö Ö Ø ÓÒ × Ú Ò ØÝ Ó k Ñ Ò ÑÙѸ H(θ ) × ÔÓ× Ø Ú Ó × Ö º Å ØÖ Ü ÒÚ Ö× × º Ö × Ò ÖÖÓÖ× Û Ó Ò Ø Ý ÓÑÔÙØ Ö× ÖØ ÒÐÝ ×Ù Ø ØÓ Ð Ö Ñ ØÖ Ü × Ðй ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ Û × ÑÔÐÝ Ø ÓÒ Ð×Ó¸ Û ÓÒ³Ø Û ÒØ ØÓ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ ØÓ Ö Ì Ö Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ó × Ö ×ÙÐØ Ò ÒÓÙ Ò Ø Ø Ø Ò Û ³Ö ÔÓ× Ø Ú Ñ Ü Ñ Þ Ò º ÌÓ ×ÓÐÚ Ò Ø Ò Ø ¸ Ø ÓÒ ÉÙ × ¹Æ ÛØÓÒ Ø Ø Ø × Ó× Ò Ð Ö × × Ø Ñ ØÖ Ü × ÔÓ× Ø Ú ×Ó Ø Ø Q × Û Ðй ÓÒ Ó H(θ) º º¸ Q = −H(θ) + bI, Û ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÓ Ò ÔÓ× Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ù Ö ÒØ Ò×ÙÖ b Ò Ø º º ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ú • ÒÓØ Ò Û Ö Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÕÙ × ¹Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó × × ØÓ Ö ÒØ Ö Ó Ñ Ú ÐÙ Ø ÓÒ׺ Ì Ò ØÙ Ø È Ò ´ Ò Ø Ö Òغ Ë Ö × ÚÓ × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø À ×× Ò Ý Ù×¹ Ò¸ ×Ù ×× Ú × Ò ÓÖ ØÙ Ð Ð ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø À ×× Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø Ì Ý Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖµ ÑÓÖ ÓÒ ØÓ Ò×ÙÖ Ø Ø Ø Ó×ØÐÝ Ø Ò Ð ÙÐ Ø ÓÒ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ôº º ØÛÓ Û Ðй ÒÓÛÒ Ü ÑÔР׺ ËØÓÔÔ Ò Ö Ø Ö Ì Ð Ñ Ø ÓÔ Ò Ø Ð ×Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Û Ò × ØÓ Ò Û Ò ØÓ ×ØÓÔº ÓÖ Ø × Ö Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö ×ÓÒ׸ Ø × ÙÒÖ × ×Ù ×ÓÒ Ò Ø ØÓ Ð ØÓ ØÓ ÔÖ × ÓÒ ÖÓÙÒ ¹Ó Ò Ø ÖÖÓÖ׺ ÔÓ ÒØ Ø Ö Ø Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð Ü ØÐÝ Ø Ñ Ü Ñ Þ × Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ï ÔØ ØÓÐ Ö Ò ×º ËÓÑ Ð Ò ×ØÓÔÔ Ò • • Æ Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× k−1 k |θj − θj | < ε1 , ∀j Æ Ð Ð Ö Ð Ø Ú Ò | • • • • Æ Ð Ð Ò Ó k−1 k θj − θj k−1 θj | < ε2 , ∀j ÙÒ Ø ÓÒ |s(θ k ) − s(θ k−1 )| < ε3 Ö ÒØ Ò Ð ÐÝ Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ |gj (θ k )| < ε4 , ∀j ÇÖ¸ Ð×Ó¸ Ú Ò ØØ Ö¸ ÐÐ Ó Ø Ø³× Ø Ú × º ÓÓ ØÓ Ø Ø Ø Ð ×Ø ÖÓÙÒ ´Ö и ÒÓØ Ô¹ Û ³Ö Ñ Ü Ñ Þ Ò ¸ Ò × Ò ÔÖÓÜ Ñ Ø µ À ×× Ò Ø º ËØ ÖØ Ò Ú ÐÙ × Ì ÓÒ Ú Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ ´Û Ò Ö Ð Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× ÛÓÖ Ø Ö Ö Û ÐÐ Ø Ó ÓÒ× Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ × Ò Ñ Ü Ñ Þ Ò µ¸ ÐÓ Ð Ñ Ü Ñ º Ì Ø × ÒÓØ ÓÔØ Ñ Ðº Ì Ù×Ù Ð Û Ý ØÓ Ö ÒØ ×Ø ÖØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ º Ò×ÙÖ Ø Ò ÙØ ÒÓØ ×Ó Û ÐÐ ÓÒÚ Ü Ö ØÓ Ú × ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ø Ðк ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ý ÓÒÚ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ý Ø ÓÓ× ÐÓ Ø Ð×Ó ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ ØÓ ÙÐØ × ÓÒÚ Ö Ò • Ì Ð Ñ Ü ÑÙÑ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ò ÓÙÒ × ØÓ Ù× ×Ø Ó Ñ ÒÝ Ø Ú Ú Ð٠׸ Ø Ö ØÙÖÒ× Ø ÅÓÖ ÓÒ Ø ÌÀÁË ÁË ÁÅÈÇÊÌ ÆÌ Ò ÔÖ Ø º × Ð Ø Öº Ð ÙÐ Ø Ò ÖÚ ØÚ × ¾º ÊÁÎ ÌÁÎ ¹ Ë Å ÌÀÇ Ë ½ ½ ÙÖ º Í× Ò ÅÙÈ ØÓ Ø Ò ÐÝØ Ö Ú Ø Ú × Ì Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÕÙ Ö × ÐÐÝ Ø Ö×Ø À ×× Ò Òµ × ÓÒ Ö Ú Ø Ú ×º ÁØ × Ó Ø Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ ¹ × ÙÐØ ØÓ Ð ÙÐ Ø ÓÑÔÐ Ø ×Ù º ÈÓ×× Ð Ö Ú Ø Ú × ´ ×Ô ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ñ Ø Ö Ò ÐÝØ ÐÐÝ sn (·) ÙÖ ØÓ Ð ÙÐ Ø ØÓ Ð ÙÐ Ø Ø Ø Á Ö Ú Ø Ú × ÒÙÑ Ö ÐÐݸ ÓÖ ØÓ Ù× Ò ÐÝØ Ò³Ø Ö Ú Ø Ú ×º Ø ÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ× × ÅÙÈ ½ ÓÖ Å Ø Ð ÙÐ Ø Ò Ü ÑÔÐ ¸ ¸ Ò × ÓÛ× ÅÙÈ Ø Ø Á Ö Ú Ø Ú ÒÓÛ Ó ØÓÔ Ó ÑÝ ÓÒ ÒÓÛº • ÆÙÑ Ö ÑÓÖ Ö Ú Ø Ú × Ö Ð ×× ÓØ ÙÖ Ø Ø Ò Ò ÐÝØ Ö Ú Ø Ú ×¸ Ò Ö Ù×Ù ÐÐÝ Ó×ØÐÝ ØÓ Ú ÐÙ Ø º ØÓÖ× Ù×Ù ÐÐÝ Ù× Ö Ú Ø Ú × Ö Ú Ø Ú × Ø ØÓ ÖÒ ÑÙ Ö Ó Ø Ø ÑÓÖ Ö × Ø Ù× º ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ× ØÓ Ð ×× ×Ù ×× ÙÐ Û Ò ÒÙÑ Ö Ó ÒÙÑ Ö • ÇÒ Ú Ò Ú ÒØ Ñ Ò Ø ÝÓÙ ÓÒ³Ø Ú ØÓ ÛÓÖÖÝ ÓÙØ ÖÖÓÖ Ò Ð ÙÐ Ø Ò ÓÓ Ò ÐÝØ Ø Ö ØØ Ö Ú Ø Ú º Ï Ý Ö ÓÖÖ Ø Ò ÛÖ Ø Ò Ø Ö Ó Ñ × Ò Ø Ò ØÙ Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ý Ù× Ò ÑÝ Ø Ö º × Ð ÒÙÑ Ö × ×º ×Ó Ø Ø Ò ÐÝØ Ö Ú Ø Ú × Ø³× × × Ö Ú Ø Ú ×º Ì Ð ××ÓÒ Á Ð Ö Û Ý Û • ÆÙÑ Ö × ÓÒ Ø Ø Ð Ñ ÒØ× Ó ÑÓ Ð × Ø Ö Ú Ø Ú × Ö ÒØ ÙÖ Ø ÓÖ × Ñ Ü ÑÔÐ Ø Ø yt = h(αxt + βzt ) + εt , Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Dα sn (·) = 1000 Ò Dβ sn (·) = 0.001. ÇÒ ÓÙÐ ∗ 1000xt β ∗ = 1000β; zt = zt /1000. ÁÒ Ø × × ¸ Ø Ö Û ÐÐ ÓØ ½º Ý ÆÄ˸ ×ÙÔÔÓ× = = α/1000; ÒØ× Dα∗ sn (·) Ò Dβ sn (·) α∗ x∗ t ½ ÅÙÈ × ÒÓØ º Ö ÐÝ ×ØÖ ÙØ Ð ÔÖÓ Ö Ñ¸ ×Ó Ø³× ÒÓØ ÓÒ Ø º ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ø ÖÓÑ ØØÔ »»ÛÛÛºÑÙÔ » ÓÛÒÐÓ º× ØÑÐ º ÅÈÄ Ë ½ ¾ ÁÒ Û Ý¸ × Ò Ò Ö Ð¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ× ÖÖÓÖ× Ö Ð ×× Ð ÐÛ Ý× ÛÓÖ ÐÝ ØÓ ÓÑ ØØ Ö Ø × × Ð Ò Ø × ÖÓÙÒ Ó ÑÔÓÖØ Òغ Ò ÔÖ Ø º • Ì Ö Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× ´×Ù Ù Ð ÙÔ Ò Ø × Ë Ò Èµ Ø Ø Ù× À ×× Ø Òº ¸ Ú ÐÙ Ø ÓÒ× ØÓ ×Ø Ö ÓÖ Ø Ù×Ù ÐÐÝ Ö Ò × Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ØÙ Ð À ×× Ò º ÙÖ Ò Ì × × ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ö ÒØ Ö × ÕÙ ÒØ Ì Ø Ö Ø ÓÒ× ×ÓÒ × Ò Ò ×Ò³Ø Ð ÙÐ Ø ÙØ ÑÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ× Ö ÕÙ Ö ØÛ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× • ËÛ Ø Ø Ö Ø ÓÒ× × ×ÓÑ Ø Ñ × Ù× Ùк ¿º Ë ÑÙÐ Ø Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ú Ø ×¸ ÒÒ Ð Ò × × Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÑÙÐØ ÔÐ × ÓÒØ ÒÙ Ø ÒÒ Ð Ò Ò Ò Ò ÓÔØ ÑÙÑ Ò Ø ÔÖ × Ò Ó ÒÓÒ¹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó × Ø Ú × ÐÐݸ Ø Ò Ò Ö × ÒØ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ »Ñ Ü Ñ º ÐÐ ÔÓ ÒØ× Ø Ö × ÑÓÖ Ö¸ Ø × Ò Ò Ö × Ø Ò Ö ØÝ Ó ÑÓÖ Ð Ø Ú Ö Ò ÓÑÐÝ × Ð Ø× ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÙØ Ð×Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׸ ÔØ× ×ÓÑ ÔØ× Ø ÔÓ ÒØ× Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ì Ö ØÖ ÐÐÓÛ× Ø ÐÐÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö × Ô ÖÓÑ ÐÓ Ð Ñ Ò Ñ º ×Ø ÔÓ ÒØ ×Ó ÔÖÓ ÔÓ ÒØ× Ö Ò × ¸ Ô Ö Ó Ó Ù× × ÓÒ Ø º Ð×Ó¸ Ø Ù × Ø Ø Ú ÑÓÚ ÓÚ Ö Û ÔØ Ö Ö Ò ÓÑ ÔÓ ÒØ× Ò Ö Ø Ð ØÝ Ø × Ò Ø Ù ×º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ð Ö ×¸ Û Ö × ÓÒ Ñ ÒÝ Ù × Ú ÐÙ Ø ÓÒ׸ Ñ Ø Ó ¸ × × ÙØ Ó Ù× × Ò ÓÒ ÔÖÓÑ × Ò Ö Ñ Ø Ó º ÁØ ÒØ Ö ×Ø Ó × ÒÓØ º ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ× Û Ø º Á Ú Ö ×Ô Ø ØÓ Ø Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ö Ú Ø Ú × ØÓ Ú ÐÙ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ ÝÓÙ³Ö º Ì Ù× Ò × × Ø ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ú × Ð Û ÓÓ º Ü ÑÔÐ × Ó Ü ÑÔÐ × ÓÛ ×ÓÑ ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ð× Ñ Ý ×Ø Ñ Ø º½º Ð Ø Ð ÓÓ Ë Ï × Û Ø Ø ÓÒ × × Ö Ø Ó Ø Ò Ó Ì ÐÓ Ø ÐÓ Ø ÑÓ Ø ÑÓ ÅÄ º ÑÓ Ð ÓÖ Ðº ÁÒ Ø × × Ø ÓÒ Û Ô Ò Û ÐÐ ÓÒ× Ö Ñ Ü ÑÙÑ Û ÐÐ Ù× ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ð ÓØ Ø Ñ ØÓ Ò Ü ÑÔÐ Ò ÖÝ ¼»½ ÒØ Ú Ö Ð ×º Ï Ò ÖÝ Ó Ð Ò ÕÙ Ø ÓÒ ¿¼º ÑÓÖ Ò Ö Ð Ö ÔÖ × Ò¹ y ∗ = g(x) − ε P r(y = 1) = Fε [g(x)] ≡ p(x, θ) Ì ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × y = 1(y ∗ > 0) sn (θ) = ÓÖ Ø Ø ×Ô ÐÓ Ø ÑÓ Ð ´× 1 n n i=1 Ø (yi ln p(xi , θ) + (1 − yi ) ln [1 − p(xi , θ)]) ÓÒØ Ò ÒØ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ ÓÚ µ¸ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ × ÓÖÑ p(x, θ) = ÓÙ × ÓÙÐ Ø ÐÓ Ø ÑÓ Ò × ÙÔ ÓÛÒÐÓ Ð¸ ÐÓ Ò ØºÑ ¸ Û ÐÐ× Ø Ò Ü Ñ Ò 1 1 + exp(−x′θ) Ø ÈºÑ ¸ Û ÐÓ Ð Ð Ò Ò Ö Ø × Ø ÓÖ Ò ØÓ ÓÓ ¸ Ù× × Ø ×Ø Ñ Ø ÄÓ Ë ØºÑ ¸ Û ÄÓ Ð ÙÐ Ø × Ø × Ø× Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÖÓÙØ Ò ¸ Û Ð ÓÖ Ø Ñº º ÅÈÄ Ë ½ ¿ À Ö Ö ×ÓÑ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Û Ø n = 100, Ò Ø ØÖÙ θ = (0, 1)′ . ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÌÖ Ð Ó ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÄÓ Ø ÑÓ Ð ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¼º ¼ ¼ ¿ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½¼¼ ÓÒ×Ø ÒØ ×ÐÓÔ ×Ø Ñ Ø ¼º ¼¼ ¼º ×غ ÖÖ ¼º¾¾¾ ¼º¾¿ ع×Ø Ø ¾º ¾¾ ¿º½ ¿ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼½ ¼º¼¼½ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ½¿¾º ¾¿¼ Á ½¿¼º ¾¿¼ Á ½¾ º ½¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ì ÓØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ × × ÐÐ Ò Ö ÑÐ Ö ÖÓÙØ Ò ×º Ì ÙÒ Ø ÓÒ× Ô ÖØ Ó Ö ×ÙÐØ×´µ¸ Û Ø Ó Ø Ú ¹ ÓÖ Ò ØÙÖÒ ÐÐ× Ö ÔÓ× ØÓÖݺ ÒÙÑ Ö Ó º¾º Ó ÐØ ¸ ÑÓ À Ò Ð× ÐØ Ö Û Ø Ú Ñ Ò Ì ×ÙÖ × Ó ´Å È˵º Ù× Ö Ú Ò ÓÙÒØ Ñ Ò ÐØ ÐØ × Ø × Ò Ì ÐØ ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ö × Ðº Ñ Ò ÓÑ ÓÖ ÐØ Ö × Ù×Ù ÐÐÝ Ø ÓÙ Ø Ò ÒÔÙØ ØÓ ÙØ Ð ØÝ Ø ØÓ Ö Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÓ××Ñ Ò ´½ Ø ÓÒ ´ º º¸ Ø ¾µ¸ Ø ÔÖÓ Ù × ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ò µº Ú Ù Ð× Ö ÙÑ ÒØ Ó Ø Ø Ø × ×Ù ÙÒ Ø ÓÒº ÔÖ ÓÑ ÒØ Ô Ø Ð ×ØÓ Ø ÐØ ×ØÓ Ø× Ó Ò Ú × Ø× Ö ×ØÓÖ Ò ØÓ Ñ ×ØÓ º ÍÒ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ö ÐØ Ö Ñ ÛÓÖ ¸ ×ØÓ ¸ ÓÖ ØÓ × ×Ù ¸ Ú × Ø× ØÓ Ñ ÓÖÑ Ó Ò Ø Ð Û Ø Ò Ú Ù Ð × Ó × ØÓ Ø Û ÐÐ Å ÈË ÐØ Ö ÒØ× ÓÖ Ò ÓÒØ Ú ÐÐÒ ×× ×º ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÐØ Ù× Ø º Ì Ð ¸ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ù Ð׳ ÙØ Ð ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ × Ü Ñ Ð ÜÔ Ò ØÙÖ ¹ Ñ Ô×½ Ø º Ø ¸ ½ Ø Ò× × ÖÓÑ Ø Å È Ò Ð ËÙÖÚ Ý Ì ÒÔ Ø × Ü Ñ ¹ ÓÙ Ò Ö Ö Ø ÑÓÖ Ó ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ú × Ø× ´Ç Êε¸ ØØÔ »»ÛÛÛºÑ Ô׺ ÖÕº ÓÚ»º ε¸ ÓÙØÔ Ø ÒØ Ú × Ø× ´ÇÈε¸ ε¸ Ò ÒÙÑ Ö Ó º Ì ×ÙÖ × Ó ´ÁÈε¸ ÖÙ × Ø Ò ´ Ó Ø ½ Ò Ú Ö ÒØ Ú × Ø× Ñ Ö Ò Ý ÖÓÓÑ Ú × Ø× ´ Ë Êµº Ì × ÒØ Ð Ú × Ø× ´Î Ó ÔÖ × Ö ÔØ ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ¹ µ¸ ¹ ½¾ Ö × Ð×Ó ÖÐÝ Ò ´ÈÊ Ð × Ö ÓÖÑ ÓÐÙÑÒ× ½ ¹ ´ÈÍ µ¸ Ò ÄÁ µ¸ ÔÖ Ú Ø ´ÁÆ Ñ Ô×½ Ò×ÙÖ Ò µº Ì ¼»½ º × Ø ÔÙ Ð Ò×ÙÖ Ò Í ´ÈÊÁε¸ × Ü ´Ë ÓÖÑ ÓÐÙÑÒ× Ð ×¸ Û º Ë Ü ÑÔÐ × µ¸ Ý Ð Ö× Ó Ò Ø Ø Ø Ù Ø ÓÒ ´ ÓÖ Ö Ú Ò × Ò ÓÑ Ò ÇÅ Ö ¸ Ö Ö º ÈÊÁÎ ÈÍ ÄÁ Ò ÖÝ Ú Ö ÓÚ Ö Ù× Ò Ø × Ø Ô Ö×ÓÒ Ø Ø ×× ØÓ ÔÙ Ð ÓÖ ÔÖ Ú Ø Ô Ö×ÓÒ × Ñ Ð º Ì × Ø Ò×ÙÖ Ò Û ÐÐ ¼»½¸ Û ½ Ò Ø × Ø ÜØ Ò× Ú ÐÝ Ò Û Ì ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÓÐÐÓÛ׺ ÜÔÐÓÖ Å ÈËºÑ × ÓÛ× Ð ×¸ Û ÓÙÒØ ÓÛ Ø ÓÐÐÓÛ× Ñ Ò× Ø Ø Ø Ý Ø ÓÒ Ø Ø Ú ÐÙ × Ò× ØÝ Ø Ñ Ý Ö Ò¸ Ò Ú × ×ÓÑ × Ö ÔØ Ú ÐÐ Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ×ÙÖ × Ó Ø Ö ÓÙØ Ú Ö Ù× ×ÓÒ Ð Ö Ø ¸ Û Ø 0, 1, 2, ...º ÁØ Ñ ØÓ ØÖÝ ØÓ Ù× × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý ×Ô Ý Ò º ÅÈÄ Ë ½ × Û ÓÙÒØ × Ø Ò× Øݺ ÇÒ Ó Ø × ÑÔÐ ×Ø ÓÙÒØ Ø Ò× Ø × × Ø ÈÓ ××ÓÒ Ò× Øݸ fY (y) = Ì ÈÓ ××ÓÒ Ú Ö ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ exp(−λ)λy . y! ÙÒ Ø ÓÒ × sn (θ) = Ï Û ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÑÓ Ð × 1 n n i=1 (−λi + yi ln λi − ln yi !) λi = exp(x′ β) i xi = [1 P U BLIC P RIV SEX AGE EDU C IN C]′ . Ì Ø × Ò×ÙÖ × Ø Ø Ø Ñ Ò × ÔÓ× Ø Ú ¸ × × Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ø ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ðº ÆÓØ Ø Ø ÓÖ × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ βj = ×Ó ∂λ/∂βj λ λ βj xj = ηxj , Ø Ð ×Ø ØÝ Ó Ø Ì Ì ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ó y Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ô Ò j th ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ú Ö ÙÐÐ Ø Ð º × Øº ×Ø Ñ Ø ÈÓ ××ÓÒºÑ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Ù× Ò Ç ×Ø Ñ Ø × Î × Ø Ð Ù× Ò Ð Ö ×ÙÐØ× Ó Ø ÒØ Ú Ö Ö ÅÈÁÌ Ç Î ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ð¸ Å ÈË ½ ÙÐÐ Ø × Ø ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¹¿º ½¼ ¼ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ×Ø Ñ Ø ¹¼º ½ ¼º ¼º¾ ¼º ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¹¼º¼¼¼ ×غ ÖÖ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼½¼ ¼º¼¼¼ ع×Ø Ø ¹ º¾ ¼ ½½º¼ ¿ º½¿ º ½½º ½ ¿º¼ ½ ¹¼º Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º¿¾ ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü Ù Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ¿¿ º ½ Ú º Á º¿ º ÅÈÄ Ë ½ Á ¿¿ º ½ Ú º Á º¿ ½ Á ¿¿ ¾¿º ¼ Ú º Á º¿ ¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ º¿º Ñ Ý Ø Ú Ö Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ø Ñ Ø ×ØÖ Ø Ò Ø ØÛ Ï Ò Ø Ò Ö Ø Ñ ÙÐÐ ÑÓ Ó ÙÖ Ò ØÓ Ð Ð Ò ¸ Ò Ðº ÁÒ ×ÓÑ × ×Ø ÓÖ Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Ø Ô ×× × ¸ ÓÖ Ø Ó ØÛÓ Ó Ö Ó Ö Ú ÒØ׺ ÓÒ ÖÖ Ò Ø Ð ÓÒ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ñ Ý º ËÙ Ø º Ò ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ð × Ø × ÙÒ ÑÔÐÓÝ × ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ð ÓÒ Ú ÐÙ × ÓÒ Ø × Ø Ô Ö Ó Ó Ø Ñ Ò Ø Ð ÔÓ× Ø Ú ØÛ Ò ØÓ Ú ÒØ Ò Ø ×Ô ÐÐ Ú Òغ Ò Ò Ä Ø Ó ÙÖ׺ × Ø ×ØÖ ÓÖ Ó Ò Ø Ó ÙÖ Ò Ø ÓÒ ÐÙ Ü ÑÔÐ ¸ Ø Ò Û Ó º Ì Ø Ø Ñ Ø Ú ÒØ ÓÙÐ Ô Ö Ó ÐÓ×× Ó Ó ¸ Ú ÒØ × Ø ×Ô ÐÐ × Ø Ò Ø ××ÙÑ Ð Ø Ó ÙÒ ÑÔÐÓÝÑ Òغ Ò ×ÙÖ Ò Ø t0 Ú ÒØ Ó ÙÖ׸ Ø Ø Ñ × Ñ t1 Ø Ò Ý Ø Ñ Ö׺ Ì Ø ÓÒ ÐÙ Ò Ú ÒØ Ð ÓÖ × ÑÔÐ Øݸ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö D ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ D = t1 − t0 º FD (t) = Pr(D < t). ×Ô Ðи Ó Ó ÒØ Ö ×غ Ú ÒØ ÓÖ Ò Ö× × Ø ÓÒ Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó D, fD (t), Û Ø Ë Ú Ö Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ× Ñ Ý Ø Ñ Ø Ø ÓÒ × ØÓ Û Ø ØÓ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÒ × ÐÖ Ñ ÝÛ ØÛ × Ø ØÓ ÒÓÛ Ø ÜÔ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ sÝ Ö׺ Ì ×Ô ÐÐ Ð ×Ø× s Ý Pr(D > s) = 1 − Pr(D ≤ s) = 1 − FD (s). Ì Ò× ØÝ Ó D ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø ×Ô ÐÐ ÐÖ Ý Ú Ò Ð ×Ø s Ý Ö× × fD (t|D > s) = Ì Ð ×Ø ÜÔ Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ñ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ø fD (t) . 1 − FD (s) × ×Ô ÐÐ ØÓ Ò Ú Ò Ø Ø × × ÐÖ Ý s Ý Ö× × Ø D Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø Ò× Øݸ Ñ ÒÙ× s. E = E(D|D > s) − s = ÌÓ Ø Ò ×Ø Ñ Ø Ø × ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÓÒ Ð Ò ×Ø Ñ Ø Ð Ý Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ò× Øݸ Ø Ð ÓÓ º Ì Ö ∞ t z fD (z) dz 1 − FD (s) Ò× ØÝ ÒÙÑ −s × Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ø Ø × × Ò ÐÙ Ò× Øݸ Ò Ø ÔÓ×× ÐØ × ØÓ ×Ô Ý Ø Ö ÐÝ fD (t) ÑÓ Ö Ó Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ó Ø ÐÓ ÒÓÖÑ Ð¸ Ï Ø º ÙÐÐ Ö ×ÓÒ Ò× ØÝ γ Ü Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ Ò× ØÝ × Ø fD (t|θ) = e−(λt) λγ(λt)γ−1 . ÓÖ Ò× Ø Ò ×º ØÓ Ø × ÑÓ Ð¸ E(D) = λ−γ . × ÑÓ Ì ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ × Ù×Ø Ø ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø ÐÓ ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø Ò Ë Ö Ò Ø × × ÖÖÓÖ× ÙÖ ¸ Û Ø Å Ö Ö Ø × Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ð¸ ¼¾ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ù× ØÓ Ø Ï Ð ×Ô Ò Ó ÑÓÒ ÓÓ× × Ðº Ì Ò ×Ô ÐÐ ×Ø Ò × ¹ Ö º¿º Ò Æ Ø ÓÒ Ð È Ö Ð Ø Ñ Ó ´Ì ÒÞ Ò Ò Ò Ò Ú µ Û Ö ÙÐÐ ÑÓ Ù Ð ÑÓÒ ÓÓ× º Ì Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÐÓ ¹Ð ×Ø Ñ Ø × Ð ÓÓ µ ˆ λ = 0.559 (0.034) ÔÖ × ÒØ× ± ÓÒ Ó Ð Ò ÓÒ ØØ Ð Ò γ = 0.867 (0.033) ˆ Ì ÔÐÓØ × Ú ÐÙ × ÜÔ Ø Ò Ý ´ ÜÔ Ø Ò ×º Ø ÓÒ Ð Ý ÓÑÔ Ò Ý Ö× Ó Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ã ÔÐ Ò¹ Ú Ö × ÐÐ ×Ô ÐÐ ×Ø Ñ Ø Ö ¹ ÜÔ Ø Ò Ýº Ì ¸ Ò × Ò Ø Ø × ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ º Ì Ó ×Ò³Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÑÔÐÝ Ý Ø Ð Ò Ø × ÁÒ Ø Ð Ø Ö Ø ÙÖ Ò ×Ù ØÖ Ø× Ø Ø Ò ÑÓ Ð × × ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø Ø Ø ÄÄƺ Ø Ø ÔÖ × Ø× Û Ðи к Ò Ø ÓÖ ÜÔ Ø Ò Ý ÕÙ Ø Ö ÒØÐÝ Ø Ó × Ø ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ÑÓ ¹ ¸ Ø º ÅÈÄ Ë ½ ÙÖ º Ä ÜÔ Ø Ò Ý Ó ÑÓÒ ÓÓ× ×¸ Ï ÙÐÐ ÑÓ Ð ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ý Û ØÓ ÓÒ Ñ Ð¸ Û Ö× ÓÐ Ö × ×Ø Ñ Ø × ÓÙØ× Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ø Ö ×ÙÐØ× ÖÓÑ Ø Ø Ö Ï Ô Ö Ñ ØÖ ØÛ Ò ¾¹ и ×Ø× Ñ ØÓ ÓÙ Ø ÙÔÓÒ Ø Ú ÐÓÛ Ö Ð Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ ÜÔ Ø Ò Ý Ø ÝÓÒ Ò Ò ÙÐÐ Ò Ðº ÅÓÒ ÓÓ× × Ø × ÔÖ Ú Ø ×¸ γ2 Ø Ý Ø Ö Ð Ö Ø × ÙÐÐ ÑÓ × ÝÓÙÒ Ø ÝÓÒ ÑÓÒ ÓÓ× × Ø ¾ Ý Ö׺ × Ù Ø ×ÙÖÚ Ú ØÓ Ø Ñ ÜØÙÖ γ1 Ò Ý Ò Ø ÜÔ Ø Ò Ý¸ ÙÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ö Ñ Ø Ó ØÛÓ Ï t¸ Ø ×Ô Ý fD (t) Ò× Ø fD (t|θ) = δ e−(λ1 t) λ1 γ1 (λ1 t)γ1 −1 + (1 − δ) e−(λ2 t) λ2 γ2 (λ2 t)γ2 −1 . Ì × Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× γi Ò λi , i = 1, 2 Ø ¸ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø ØÛÓ Ï ÙÐÐ Ò× Ø ×¸ Ò δ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ï Ø Ø ÓÓ ØÛ Ò Ø × Ñ Ø Ñ Ü × Ø ØÛÓº ×Ø Ñ Ø Ø Ø ×Ø Ò ÙÒ Ö Ø Ù× Ò Ö Ð Ø Ð Ñ Ü ÓÓ Ø ÑÓ Ðº Ì Ö ×ÙÐØ× Ù× Ö ØÓ ØÛÓ ÙØ Ø Ð ÓÓ × θ Ò ÐÓ ¹Ð Ó× Ð ¹ ¾¿º½ º ØÛÓ ÑÓ Ò Ø ÆÓØ Ö Ø Ó Ø ×Ø ÒÒÓØ Ð׸ × Ò ÒØ ÒÙÐÐ Ø Ð δ =1 Ø ´× Ò Ð × ÒØÓ Ò× Øݵ¸ Ø ÓÙÒظ Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓÔ λ2 γ2 × ÓÔ Ö Ö ÒÓØ Ó Ø º ÁØ × ÔÓ×× ØÓ Ø × ÓÙØ Ó × ÓÙÖ× º Æ Ú ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ø Ñ Ø × Ð ×׸ Ø Ö ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÒ× Ð º Ì º ÆÍÅ ÊÁ ÇÈÌÁÅÁ ÌÁÇÆ ÈÁÌ ÄÄË ½ ÙÖ º Ä ÜÔ Ø Ò Ý Ó ÑÓÒ ÓÓ× ×¸ Ñ Ü Ï ÙÐÐ ÑÓ Ð È Ö Ñ Ø Ö ×Ø Ñ Ø ¼º¾¿¿ ½º ¾¾ ½º ¿½ ½º ¾¾ ¼º ¾ ÐÝ × Ò Ëغ ¼º¼½ ¼º½ ¼º½¼½ ¼º¼ ¼º¼¿ ÖÖÓÖ λ1 γ1 λ2 γ2 δ ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ñ ÜØÙÖ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò º ÆÓØ ÖÓÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ × ÑÓÖ Ú Ö ÑÓ Ð× Ö Ø Ö Ò Ò Òغ Ì Ø× Ö × ÑÓ ÕÙ Ø Ð Ð ÐÓ× × ØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ø Ò ÒÓØ ÙÖ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ø Ö Ø Ö׸ Û Ø³× Ò Ö¸ ÙÔ ØÓ Ò ± 6Ý × Ö׺ Ì Ñ ÒØ Ý ´× Ò Ò × ÔÓ ÒØ × ÒÓØ ØÓÓ ÑÔÓÖØ Òظ × Ò ÑÔÐ Ú Ö × Ø Ó Ø Ø Ã ÔРҹŠР×× Ø Ó ÑÓÒ ÓÓ× × Ð Ú ×Ø Ñ Ø Å ÜØÙÖ Ò ×Ù Ö ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ×Ñ ÐÐ ÒÙÑ Ö Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ×µº Ø Ý Ó Ø Ò Ø Ú Û Ý ØÓ ÑÓ Ð ÓÑÔÐ Ü Ö ×ÔÓÒ× ×¸ Ø ÓÙ × Ù×× Ð Ø Öº Ö ÖÓÑ ÓÚ ÖÔ Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒº ÐØ ÖÒ Ø Ú × Û ÐÐ º ÆÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ô Ø ÐÐ× ÁÒ Ø Ó Ò × × Ø ÓÒ Û ³ÐÐ Ü Ñ Ò ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× Ø Ö ÑÓ Ï Ð׸ Ò Ø ×ÓÑ Ø Ò ×ÓÐÙØ ÓÒ׺ ×Ó Ø Ø Ø Ñ Ò ØÙ × Ó Û Ø Ò ÓÙÒØ Ö Û Ò ÒÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÐ Ò º½º ÈÓÓÖ × Ð Ò Ó Ø Ø Ö×Ø Ò × ÓÒ Ö Ú Ø Ú × Ø Ð Ò Ú Ø ¸ Ø ÙÒ ÓÑÑ ÒØ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ò Ø º Ö Ó Ò Ø Ö ÒØ ÓÖ × × Ð Ö׸ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò Ø Û ÐÐ ÒÓØ × ÐÝ Ö ×ÙÐغ Á × Ð ¸ Ò ×Ø Ñ Ø ÈÓ ××ÓҺѸ Ø Ò × ÓÖ ´ Ø × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ Ø Ñ µº Ï Ø ÙÒ× Ð ÙÐØÝ ÓÒÚ Ö Ð Ñ ÒØ× Ó Ø Ñ× ØÓ Ø Ú Ú ÖÝ Ò Ò Ò Ø Ö ÒØ Ñ ÑÓÙÒØ Ó Ò ØÙ × Ú ØÓÖ º ÆÍÅ ÊÁ ÇÈÌÁÅÁ ÌÁÇÆ ÈÁÌ ÄÄË ½ ÙÖ º Ó Ý ÑÓÙÒØ Ò Ø Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ø Ó Ö θ ´ ÐÐ Þ ÖÓ×µº ÌÓ × ÒØ × Ú ÖÝ Ð Ö ¸ Ø Ò × ÖÙÒ Ø Ë ÓÖ ºÑº Ï Ø Ò ÙÒ× Ð Ð Ñ ÒØ× Ø ¸ Ö Ð Ñ ÒØ Ó Ö× Ó Ñ Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ò ØÙ Ò Ó Ò Ô Öغ Ì × Ù× × ÓÒÚ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Ë ¸ ØÓ × Ö ÓÙ× ÒÙÑ Ö Ð Ö º Ï Ø × Ð Ö Ò Ò Ò ÙÖ Ý Û Ø ¸ ÒÓÒ ÓÖ Ö× Ó Ñ Ó Ø ÒÚ Ö× ÓÒ× ØÓ Ð ÙÐ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ö Ø ÓÒ Ó × Ò Ø Ð Ñ ÒØ× Ó Ø × ¿º ÓÒÚ Ö Ú ÖÝ Ð Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ò ØÙ × ÕÙ º ÓÔØ Ñ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Ö Ð× Ô Ø ´ÓÒ Ø ÐÓ Ö × ¸ Ò Ð¸ ÓØ Ö× ÐÓ Ðµ Ò ÓÑÔÐ Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ú ÖÝ Ó Ò Ø Ý ÔÐ Ó Ø ´ ÓÒ ÙÖ ÓÒ³Ø Ò Ó º¾º ÅÙÐØ ÔÐ ÓÔØ Ñ º Ð ¸ × Ò Û Ò Ú Ð Ñ Ø Ò Ñ Û ³Ö µº غ Ì ÓÙ Ò Ø Ó Ð Ñ ÅÙÐØ ÔÐ Ò× Ó ÑÓÙÒØ Ò ÙÒ ÒÓÛÒ Ö Ò ØÓ Ø³× ÜÔÐÓÖ Ó ÙÔ¸ Ó ÙÔ ÙÒØ Ð Ø ØÖÙ ×ÙÑÑ Ø × Ö ³× ÒÓÛ ÖÓ×× Ø ÙØ × Ò Øº Ö × ÝÓÙ³Ö ÝÓÙ ÒÓÛ Ø ÝÓÙÖ Ø ÓØ Ó ÝÓÙ Ð Ñ Ú ØÓÖÝ ÓÑ ¸ ÓÖ Ì ÓÖ ÔÓ×× Ó ÝÓÙ ØÖÙ ×Ø Û Ý ØÓ ÓÒ Ö ÚÓ ÓÛÒ Ø ×ØÓÔÔ Ò Ô Ø Ò ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ º ÇÖ Ô Ö × ØÓ Ù× Ô× ÓÒ Ñ Ñ ÒÝ ×Ø ÖØ Ò Ø Ú Ú Ð٠׸ ÓÙØ Ü ÑÔÐ Ð ¸ ÓÖ Ö Ò ÓÑÐÝ Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ Ò Ö Ø ÔÖ ÓÖ× Ú ÐÙ × ÓÖ Ø Ò Ö Ø Ö Ø º º¸ ÖÓÑ ÔÖ Ú ÓÙ× ×ØÙ Ó × Ó × Ñ Ð Ö Ý ÑÓÙÒØ Ø µº Ò ÙÒ Ø ÓÒ ´× Ò ØÓ Ä Ø³× ØÖÝ ØÓ Ø Ð ÓÖ ØÑ× ØÖÙ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ñ ÒÙ× ½ Ø Ñ × Ø ÖÓÑ Ø ÓÒ³Ø × Ø ÙÔ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ µº × Ó ¸ Ò Ø Ø Û Ô ØÙÖ ¸ ÝÓÙ Ò × ÒÓÛ Ø Øº Ì Ø³× ÐÓ× Ó Ò × Ø (0, 0)¸ ÐÓ Ð×Ó ÙØ ÒºÑ Ð Ò Ð Ø³× ÔÖ Ø Ò × ÓÛ× Ø ÔÖÓ Ö Ñ ¸ Û ÝÅÓÙÒØ ØÖÙ Ø ÔÓÓÖ ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ò Ð Ò Ø × ÓÛ× Ø Ø ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÁØ Ù× × Ë Ë Ù× Ò ØØ ÖÝ Ó ÖÙÒ × Ö Ñ Ò ÑÙѸ Ø ÐÓ Ö Ò ÓÑ ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ò Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÐÔº Ì ÓÙØÔÙØ Ó ÓÒ ÅÈÁÌ ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ º ÆÍÅ ÊÁ ÇÈÌÁÅÁ ÌÁÇÆ ÈÁÌ ÄÄË ½ ËÅÁÆ Í× Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÒØ ÒÙÑ Ö Ö ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ËÌÊÇÆ ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ½ È Ö Ñ ÓÒÚ ½ Ö ÒØ ÓÒÚ ½ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¹¼º¼½¿¼¿¾ ËØ Ô× Þ ¼º½¼¾ ¿¿ ¿ Ø Ö Ø ÓÒ× ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ô Ö Ñ Ö ÒØ Ò ½ º ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¾ º ½½ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ Ì Ö ×ÙÐØ Û Ø ÔÓÓÖ ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ò× ½ º¼¼¼ ¹¾ º ½¾ Ë ÅÁÆ Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÆÇÊÅ Ä ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ º ØÓк ½º¼¼¼¼¼¼ ¹½¼ È Ö Ñº ØÓк ½º¼¼¼¼¼¼ ¹¼¿ Ç º Òº Ú ÐÙ ¹¼º½¼¼¼¾¿ Ô Ö Ñ Ø Ö × Ö Û Ø ¼º¼¿ ½ ¹¼º¼¼¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼ ½ ÆÓÛ ØÖÝ ØØ ÖÝ Ó Ö Ò ÓÑ ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ò × ÓÖØ Ë ÓÒ ¸ Ø Ò Ø Ö Ø ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ì Ö ×ÙÐØ Ù× Ò ¾¼ Ö Ò ÓÑ× ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ò× ¿º Ì ½ ¹¼¾ ¾º ¾ ¹¼ ØÖÙ Ñ Ü Ñ Þ Ö × Ò Ö ´¼º¼¿ ¸¼µ ÁÒ Ø Ø Ø ÖÙÒ¸ Ø × Ò Ð ØÖÙ Ë ÖÙÒ Û Ø × ÑÙÐ Ø Ñ Ü Ñ Þ ÒÒ Öº Ð Ò ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × ÓÒÚ Ö Ò Ë Ù× Ò ØÓ ÔÓ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖÙ Ñ Ò Ñ Þ Ö¸ Û ÓØ ÓÙÒ Ø ØØ ÖÝ Ó Ö Ò ÓÑ ×Ø ÖØ ØÓ Ò Ú ÐÙ × ØØ ÖÝ Ó Ö Ò ÓÑ ×Ø ÖØ Ú ÐÙ × Ñ Ò º ÆÍÅ ÊÁ ÇÈÌÁÅÁ ÌÁÇÆ ÈÁÌ ÄÄË ½ ¼ Ø ÐÓ Ð Ñ Üº Ì ÑÓÖ Ð Ó Ø ×ØÓÖÝ × ÙØ ÓÙ× Ò ÓÒ³Ø ÔÙ Ð × ÝÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ØÓÓ ÕÙ Ðݺ Ê ÁË Ë ½ ½ Ü Ö × × ´½µ ÁÒ Ó Ø Ú ¸ ØÝÔ Ð ØÓ Ü Ñ Ò Ø ÐÔ Ò Ð ×Ñ Ò ÖÒ Ü ÑÔÐ ¸ ØÓ Ò ÓÙØ Ø ÊÙÒ Ø¸ ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ü Ñ Ò Ø Ø Ø Ð º Ø Ø ÓÛ ØÓ ÐÐ ¸ ØÓ ×Ñ Òº Ò ÓÙØÔÙغ Ð º ÓÙØÔÙغ Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ø ´¾µ ÁÒ Ó Ø Ú ¸ ØÝÔ Ð ØÓ Ü Ñ Ò ÐÓ ØºÑ Ð Ø Ò ÐÔ × Ñ Ò Ü ÑÔÐ Ò Ð ÖÒ ÓÛ ØÓ ÐÐ ØºÑ ×Ø Ñ Ø ÄÓ Ò Ø ÑÓ ÓÙØ Ø ÊÙÒ Ø¸ ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ò Ü Ñ Ò × Ñ Òº ´¿µ Í× Ò ÔÖÓ × Ø ÑÔÐ Ø ×¸ ÛÖ Ø ×Ø Ñ Ø Ò Ö Ø ÔÖÓ Ø ÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ð ÙÐ Ø Ðº ÊÙÒ Ø Ù× Ò Û Ý Ø Ø × ÓÒ Ø Ø ÐÓ Ð ÓÓ ¸ ÐÓ × Ö ÔØ ØÓ ØÙ ÐÐÝ ÓÐÐÓÛ× ÐÓ Ø Ü ÑÔÐ µº Ð ´ÝÓÙ Ò Ø Ò Ø × Ñ ´ µ ËØÙ Ý ÐÐ׸ Ó ´ µ ÄÓÓ Ú ÐØ ÑÐ Ö ×ÙÐØ×ºÑ ØÓ × Ò Ò ØÙÖÒ Ø Û ÓÐ Û Ø Ø Ó ×º Ü Ñ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ø ÑÐ Ö ×ÙÐØ×ºÑ × Ö ÔØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ò ÛÓÖ ×º Ø Ø Ó× ÙÒ Ø ÓÒ× Ðк ÏÖ Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÛ Ø Ø Ø Ò ÈÓ ××ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø ×Ø Ñ Ø Ç Î Ñ ×ÙÖ Ð× ÓÖ Ø Ó ÓØ ÐØ Ö Ö Ñ Ù× Ò ÓÒÓÑ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒº Ù× º ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ ×ÙÖ × Ó Ö À ÈÌ Ê ½ ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ × Ó ÜØÖ ÑÙÑ µ¸ ÎÓк ¾¸ ÐÐ Òظ Ò º ¾ ×Ø Ñ ØÓÖ× ∗; Ñ Ñ Ý ¸ Ò Å º × Ø ÓÒ Ò ´½ µ¸ ¸ Ê ∗ º½ Ä Ö Ú Ò × ×ÓÒ Ò Ë ÑÔÐ ÓÙÖ ÖÓÙÜ Ò ÅÓÒ ÓÖØ ´½ ½¹ Å Ã ÒÒÓÒ¸ ÔÔº Ò ÀÝÔÓØ º ¿ Æ Û Ý ×Ø Ñ Ø ÓÒ × × Ì ×Ø Ò ¸ À Ò ÓÓ Ó ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ÎÓк º ¿ º ½º ÁÒ Ó Ø Ú Ò Ø ÓÒ ¼º½ Û ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÚ Ö Ò × Ø ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ× ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ˆ θ × Ø ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ô Ò Ò ÙÔÓÒ × Ò sn (θ) Θº Ä Ø Ø n×p Ì Ö Ò ÓÑ Ñ ØÖ Ü Ü ÑÔÐ Zn = z1 z2 · · · zn ÑÓ Ð ′ Ø Ú Û Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ sn (Zn , θ) p¹Ú ØÓÖ× Ò zt Ö p Ò Ø º ½ º Ú Ò Ø yi = x′ θ + εi , Û Ø n i n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ zi = (yi , x′ )′ . i ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ò Ñ Þ × sn (Zn , θ) = 1/n i=1 y i − x′ θ i 2 2 = 1/n Û Ö Y − Xθ Y Ò X Ö Ò × Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Z. ¾º Ì Û ÓÐÐÓÛ Ò Û ³ÐÐ × Ø Ò ÓÖ Ñ × Ô ØØ ÖÒ Ø× ÓÖ Ò Ð ÓÒ ÓÖÑ Ð Ø Ö ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÔÖÓÓ Ò Ø Ò ÐÐ ÒØ ´½ ÁØ × × µ ´Ø ÒØ Ö ×Ø Ò Ò Ø ÖÑ× Ó ÖØ Ð ¸ Ö º Ð Ø Öµ¸ Ø Ò ÓÙÖ× º ØÓ ÓÑÔ Ö ÓÒÚ Ö Ò ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ì ÔÖÓÓ Û Ø Ñ Ñ Ý ³× Ì ÓÖ Ñ º½º½¸ Û ÓÒ Ð Øݺ ÓÖ Ñ ½ º ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó º º℄ ËÙÔÔÓ× Ø Ø ˆ θn × Ó Ø Ò Ý Ñ Ü Ñ Þ Ò sn (θ) ÓÚ Ö Θ. ××ÙÑ ´½µ ÓÑÔ ØÒ ×× ×Ô Ì Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ÐÓ×ÙÖ Ì Ó Ö Θ × Ò ÓÔ Ò ÓÙÒ ×Ù × Ø Ó Ù Ð Ò ´¾µ ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ò ℜK . ËÓ Ø Θ ×Ù Θ, Θ¸ × × ÓÑÔ Øº ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÒ×ØÓ θ ÓÒ Ø Ø s∞ (θ) Ø Ø × ÓÒØ ÒÙÓÙ× n→∞ ´¿µ lim sup |sn (θ) − s∞ (θ)| = 0, θ∈Θ × ÙÒ ÕÙ ÐÓ º×º Ì Ò ˆ a.s. θn → θ 0 . s∞ (θ), ∀θ = θ 0 , θ ∈ Θ Ë Ð Ø Ø Á ÒØ Ø ÓÒ s∞ (·) Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ø θ 0 ∈ Θ, º º¸ s∞ (θ 0 ) > ÈÖÓÓ Û Ø ÔÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ׺ ËÙÔÔÓ× Ð ØÝ ÓÒ ω ∈ Ω Ò Ø ω × ×Ù Ý ÓÐ Ø Ø Ø Ü º Ì Ò sn (θ) ÓÒÚ Ö × ÕÙ Ò × ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÓ {sn (ω, θ)} Ð × Ü × ÕÙ Ò Ì × Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µº Ì ˆ {θn } × Ò Ø s∞ (θ). ÔÔ Ò× ÓÑÔ Ø × Ø Θ, Ý ½ ¾ ¾º ÇÆËÁËÌ Æ ½ ¿ ××ÙÑÔØ ÓÒ ´½µ ÓÑÔ Ø × Ø × Ò Ø Ð Ø Ø Ø ×Ø ÓÒ Ø Ñ Ü Ñ Ü Ø ÓÒ Ú × ÓÚ Ö Θº Ë Ò Ú ÖÝ × ÕÙ Ò Ø ÖÓÑ Ð Ñ Ø ÔÓ ÒØ ´ ×ÓÒ¸ Ì Ñº ¾º½¾µ¸ × Ý Ø × × ÑÔÐÝ Ò × ÕÙ Ò Ó ˆ θ × Ð Ñ Ø ÔÓ ÒØ ÒØ Ö×µ ˆ Ó {θn }. Ì Ö × ×Ù × ˆn = θº ˆ Û Ø limm→∞ θ m ÕÙ Ò Ý ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö ˆ {θnm } ´{nm } Ò Ö × Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ØÝ m→∞ ÌÓ × ÓÒÚ Ö Ø ×¸ Ö×Ø Ó ÑÔÐ × Ðи × Ð Ø Ò ˆ ˆ lim snm (θnm ) = s∞ (θ). Ð Ñ ÒØ ˆ θt ÖÓÑ Ø × ÕÙ Ò ˆ θ nm . Ì Ò ÙÒ ÓÖÑ Ò m→∞ ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó ˆ ˆ lim snm (θt ) = s∞ (θt ). ˆ ˆ lim s∞ (θt ) = s∞ (θ) ˆ θº ËÓ Ø ÓÚ Ð Ñ × ØÖÙ º s∞ (·) ÑÔÐ × Ø Ø t→∞ × Ò Ø Ð Ñ Ø × Æ Üظ Ý Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ t→∞ Ó ˆ θt × ˆ snm (θnm ) ≥ snm (θ 0 ) Û ÓÐ × Ò Ø Ð Ñ Ø¸ ×Ó m→∞ ÀÓÛ Ú Ö¸ ˆ lim snm (θnm ) ≥ lim snm (θ 0 ). m→∞ m→∞ × × Ò ÓÚ ¸ Ò ˆ ˆ lim snm (θnm ) = s∞ (θ), lim snm (θ 0 ) = s∞ (θ 0 ) ˆ s∞ (θ) ≥ s∞ (θ 0 ). m→∞ Ý ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò ¸ ×Ó ÙØ Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ ´¿µ¸ Ø Ò Ü Ö × ÙÒ ÕÙ Ò ÐÐݸ Ò ÐÓ ÐÐ Ó Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ó ÓÚ Ö ˆ s∞ (θ) = s∞ (θ 0 ), Ö Û Ú Ð ÓÒ Ð Ñ Ø ÔÓ Òظ ˆ θ = θ0. ¸ Ü ÔØ ÓÒ Ð Ñ Ø× ÐÐ s∞ (θ) ÓÐ Ì Ø θ 0 , ×Ó Û Ö ÓÖ ÑÙ×Ø Ú ×Ó ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ðݸ × Ò ω θ0, ÙØ ÒÓÛ Û × Ø ØÓ ÓÒ× Û Ø × Ù×× ÓÒ Ó Ø • ´¾µ Û Ò Ì ÔÖÓÓ × ÓÒ Ø C⊂Ω ÒØ ω ∈ Ωº P (C) = 0. ˆ {θn } × ÓÒÐÝ × ÔÖÓÓ Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ø × × ××ÙÑÔØ ÓÒ Ó ÙÒ ÕÙ ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ø θ0. ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ý ØÓ ×Ø Ø ÒÝ ÔÓ ÒØ Û Ý Û Á ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ø × Ø Ö Ò º θ Ò Û ÐÐ ÛÖ Ø Θ Û Ø s∞ (θ) ≥ s∞ (θ 0 ) ÑÙ×Ø Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ø ×Ù Ø Ø × Ø ÓÒ ÓÒ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ θ − θ 0 = 0, • Ï ××ÙÑ ÓÖ Ø Ø ˆ θn × Ò Ø Ø ÙÒ ÕÙ ÐÓ ÒØ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø ÓÒ sn (θ) . ÁØ × ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø ØÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ ÕÙ Ó n Ò Ø ¸ Ø ÓÙ Ú ××ÙÑÔØ ÓÒ Ö ÕÙ Ö × Ø Ö ÙÑ Òغ Ì ØÙ ÐÐÝ Ò Ò Ø Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ø ÔÖ Ú ÓÙ× × Ø ÓÒ ÓÒ ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × × ÓÛ Ó sn (θ) Ñ Ý ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ü ÑÔÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ × Û Ö × ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ð × ØÓ Ö ÓÛÒ • • Ë Ñ Ñ Ý ³× º½º Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ýº Ì Ø ÓÒµ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø × ÒÓØ Ò Ø θ0 × Ò Ø ØÓ ÔÖÓÚ ÒØ Ö ÓÖ Ó Θ ´Ô ÖØ Ó Ø ÓÙÐ ×ÓÒ Ø ÒØ Ö ØÐÝ Ø Û Ø ÓÒ ××ÙÑ ××ÙÑÔ¹ Ø Ø Ò Ù× Ð Ñ ÒØ Ó ÓÒ× ×Ø Ò Ý¸ ×Ó Û θ0 × × ÑÔÐÝ ÓÑÔ Ø × Ø Θ. Ì Ö ××ÙÑ Ø³× Ò Ø ¾º ÇÆËÁËÌ Æ ½ ÒØ Ö ÓÖ Ò Á³ Ð Ö ×Ø ØÓ Ñ ÓÙÒ Ð Û Ø ØØ ÒØ × × Ò ×× ÖÝ ÓÖ ×Ù × ÕÙ ÒØ ÔÖÓÓ Ó Ò Ñ Ò Ñ Ð × Ø Ó × ÑÔÐ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ù× Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð Øݸ ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ ÓÖ Ð Ö Øݺ È Ö Ñ¹ Ø ÓÖ Ø Ð ÙÐØ ÝÔÓØ × Ø Ø Û Ø Ö× ÓÒ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ñ Ø Ó × ÖÝ Ó Ò Ø × ÓÙÖ× º ÂÙ×Ø ÒÓØ × × º ØÓ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð × × Ø ×Ø Ò Ó ÒÓØ Ø ÔÔÐÝ Ò Ø • • ÆÓØ Ì × ÓÒ Ø Ö Ø sn (θ) Ø × ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÙÖ × ÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ Ø ÓÙ Ò ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ ¸ × ÒÓ Û Ý ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò ÖÓÙÒ ÒØ Ø s∞ (θ) × ×º ÁÒ Ø ÑÔÓÖØ Òغ ÙÒ Ø ÓÒ × ÒÓØ ÓÒÚ Ö Ø Ø Ø ÐÓÛ Ö Ó Ø Ò ÓÖ ÓÓ ØÛÓ Ñ Ü Ñ ¸ Ó Ø ÐÓ Ð Ù Ö ÒØ Ñ Ü Ñ Þ Ö Û ÐÐ Ñ Ü Ñ Þ Öº With uniform convergence, the maximum of the sample objective function eventually must be in the neighborhood of the maximum of the limiting objective function With pointwise convergence, the sample objective function may have its maximum far away from that of the limiting objective function Ï Ì Ò ÙÒ ÓÖÑ ×ØÖÓÒ ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ð Û Ó Ð Ö ÒÙÑ Ú Ö× Ò ÓÖ Ö ØÓ Ú Ö Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ ´¾µ Ó ÓÖ Ñ ½ º Ì ÓÖ Ñ × ÖÓÑ ×ÓÒ¸ Ô º ¿¿ º ¿º ÅÈÄ ÇÆËÁËÌ Æ Ç Ä ËÌ ËÉÍ Ê Ë ½ Ì ÓÖ Ñ ¾¼º ÍÒ ÓÖÑ ËØÖÓÒ ÄÄÆ℄ ØÓØ ÐÐݹ ÓÙÒ Ä Ø Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ× ÓÒ Ñ ØÖ {Gn (θ)} ×Ô (Θ, ρ). a.s. × ÕÙ Ò Ì Ò Ó ×ØÓ ×Ø Ö Ð¹ sup |Gn (θ)| → 0 θ∈Θ Ò ÓÒÐÝ ´ µ ´ Gn (θ) → 0 ÓÖ µ {Gn (θ)} × ×ØÖÓÒ • • • Ì Ñ ØÖ ×Ô a.s. ÐÝ ×ØÓ θ ∈ Θ0 , Û Ö Θ0 × Ò× ×Ù × Ø Ó Θ Ò ×Ø ÐÐÝ ÕÙ ÓÒØ ÒÙÓÙ׺º Û Ö ÒØ Ö ×Ø Ò ÒÓÛ × × ÑÔÐÝ ÒÓÖѺ Ì Ó Ø ËØÖÓÒ Ø Ø ÔÓ ÒØÛ × ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÓÖ Θ ⊂ ℜK , Ù× Ò Ø Ù Ð Ò ××ÙÔØ ÓÒ ´ µ ÓÑ × ÖÓÑ ÓÒ Ù×Ù Ð ËÄÄƳ׺ Ö ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ó ÒØ Ö ×Ø Ò ×Ô Ø Ú Ø ÑÔÐÝ Ø Ó× × ÓÑÔ Ø ´Ø Ó Ø × Ò × Ø ÐÖ ÓÙÒ ÓÖ Ñ Ý Û Ø Ö Ò ××ÙÑ µ Ð ØÝ ÓÒ ÓÒ Ø ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÔÖÓ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ö ËÄÄÆ Ò × ÓÛÒ ØÓ ÔÔÐÝ ØÓ ×ÓÑ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö • Ì × Ö Ö ×ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ñ ÒÝ × ×¸ ××ÙÑ Ø Ò Ò ÓÖØ Û Ò Ð Ò ÓÒÚ Ö Û Ø Ò ×Ô Ò ×Ø Ñ ØÓÖ× Û ³ÐÐ × ÑÔÐÝ ÜØ Ò ØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ø ÔÓ ÒØÛ × Ò Ø Ø Ò Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ × Û Ýº Ó ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÙÐ Ò Ø ÓÒÚ Ö × Ø • Ì Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð Ø Ò ÓÖ Ñ × Ù× Ð Ñ Ø Ò Ø Ú ÔÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ù× Ø º ÁÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ× × Ñ Ý θ Ú Ò ×ÑÓÓØ × sn (θ) ÓÙØ × × ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ Ì × Û Ø × Ò × ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÓÚ Ö Ø Û ÐÐ × × Ó × Ø ÓÒ ÓÒ × ÑÐ Ø ÓÒ¹ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº ×Ø Ñ Ø ÓÒ Û × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ¿º Ï ×ÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ü ÑÔÐ × Ò Ö Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ä ×Ø ËÕÙ Ö × Ý Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò Ó (y, w)¸ Û Ö yt = α0 + β 0 wt +εt º (wt , εt ) × Ø ÓÑÑÓÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ µw µε ´w Ò ε Ö Ò Ô Ò Òص Û Ø 2 2 0 0 0 ′ ×ÙÔÔÓÖØ W × E. ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ú Ö Ò × σw Ò σε Ö Ò Ø º Ä Ø θ = (α , β ) ∈ Θ, ′ ′ 0 ÓÖ Û Θ × ÓÑÔ Øº Ä Ø xt = (1, wt ) , ×Ó Û Ò ÛÖ Ø yt = xt θ + εt . Ì × ÑÔÐ Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ × ÑÔÐ × Þ n × n sn (θ) = 1/n t=1 n yt − 2 x′ θ t n = 1/n i=1 2 n x′ θ 0 + εt − x′ θ t t 2 n = 1/n t=1 x′ θ 0 − θ t Ý Ø + 2/n t=1 x′ θ 0 − θ εt + 1/n t ε2 t t=1 • ÓÒ× Ö Ò Ø Ð ×Ø Ø ÖѸ ËÄÄƸ n 1/n t=1 ε2 → t a.s. W E 2 ε2 dµW dµE = σε . Ò • ÓÒ× Ö Ò Ø × Ø × ÓÒ Ø ÖѸ × Ò E(ε) = 0 w Ò ε Ö Ò Ô Ò Òظ Ø ËÄÄÆ ÑÔÐ Ø Ø ÓÒÚ Ö × ØÓ Þ ÖÓº º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ ½ • ´¿½µ Ò ÐÐݸ ÓÖ Ø Ö×Ø Ø ÖѸ ÓÖ Ú Ò θ¸ Û ××ÙÑ Ø Ø ËÄÄÆ ÔÔÐ × ×Ó Ø Ø n 1/n t=1 x′ θ 0 − θ t 2 2 2 a.s. → W x′ θ 0 − θ 2 dµW 2 W = = Ò ÐÐݸ Ø ØÓ Ó α0 − α α0 − α Ø Ú + 2 α0 − α + 2 α0 − α Ò × β0 − β β 0 − β E(w) + β 0 − β ÖÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ Ò Ø Ð×Ó ÙÒ ÓÖѺ Ì Ù׸ W wdµW + β 0 − β 2 w2 dµW E w2 ÙÒ Ø ÓÒ × Ð ÓÒÚ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô × ××ÙÑ ÓÑÔ Ø¸ ×Ó Ø s∞ (θ) = α0 − α Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ø Ü Ö × 2 + 2 α0 − α Ø Ò ÓÖ Ô Ö ÓÖ Ø ØÛ β 0 − β E(w) + β 0 − β ÓÚ ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ò Ø × ÓÒ Ø ÓÒ Ò 2 2 E w 2 + σε × × Ð ÖÐÝ α = α0 , β = β 0 . ÙÒ ÕÙ Ø Ø × Ò ×× ÖÝ Ø Ø ¾½º Ë ÓÛ Ø × Ù×× Ø E(w2 ) Ó Ö Ì ÇÄË = 0. Ö Ð Ø ÓÒ× ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÐ Ò Ö ØÝ Ö ××ÓÖ׺ × Ü ÑÔÐ × ÓÛ× Ø Ö Ø Ö ÓÖ Ñº Ø Ì × ÓÖ Ñ ½ Ò Ù× ØÓ ÔÖÓÚ ×ØÖÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ò Ü ÑÔÐ Ø Ó ×Ø Ñ ØÓÖº Ì Ö Û Ý× ØÓ × ÓÛ Ø ×¸ Ó ÓÙÖ× ¹ Ø × × ÓÒÐÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø º ÓÒ× ×Ø ÒØ ØÓ Ú ÐÙ º ÓÒÚ Ö ×Ø Ò ØÓ Ø ØÖÙ Ú ÐÙ ¸ ×ÝÑÔØÓØ ÆÓÖÑ Ð ØÝ ÙÐ ÙÒÐ ×× Û Ð ØÝ Ø Ø Ø × ÒÓÛ Ö ÓÛ Û Ý ×Ø Ø × Ð ÖÓÑ Ø × ÐÝ ØÖÙ ØÛÓ Ò Ø ÔÖÓ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ó Ø ÒØ Ñ × ÒÓØ Ú ÖÝ Ù× Ð × Ñ ÒØ Ó ÓÐÐÓÛ Ò ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Û Ø Ø ÓÖ Ñ × × Ñ Ð Ö ØÓ ÒÓÛÒ × Ð Ò ÓÖ Ñ ØÓÖ ×ÓÐÚ × Ø º½º¿ ´Ô º ½½½µº ÔÖÓ Ð Ñ׺ Ì Ì Ñ Ñ Ý ³× Ì ÁÒ ÓÖ Ñ ¾¾º ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó º º℄ Ø ÓÒ ØÓ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ì ¹ ÓÖ Ñ ½ ¸ ´ µ ××ÙÑ 2 0 Jn (θ) ≡ Dθ sn (θ) Ü ×Ø× Ò × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò Ò ÓÔ Ò¸ ÓÒÚ Ü Ò ÓÖ ÓÓ Ó θ . a.s. 0 ´ µ {Jn (θn )} → J∞ (θ ), Ò Ø Ò Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Ü¸ ÓÖ ÒÝ × ÕÙ Ò {θn } Ø Ø 0. ÓÒÚ Ö × ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ θ √ √ d ´ µ nDθ sn (θ 0 ) → N 0, I∞ (θ 0 ) , Û Ö I∞ (θ 0 ) = limn→∞ V ar nDθ sn (θ 0 ) √ ˆ d n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 Ì Ò ÈÖÓÓ Ý Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ 2 ˆ ˆ Dθ sn (θn ) = Dθ sn (θ 0 ) + Dθ sn (θ ∗ ) θ − θ 0 Û Ö ˆ θ ∗ = λθ + (1 − λ)θ 0 , 0 ≤ λ ≤ 1. ˆ • ÆÓØ Ø Ø θ Û ÐÐ Ò Ø Ò ÓÒ × ÓÖ ÓÓ Û Ö 2 Dθ sn (θ) ×Ø Ø Ü ×Ø× Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ n ÓÑ × Ð Ö Ó Ø Ø ¸ Ý ÓÒ× ×Ø Ò Ýº × Þ ÖÓ¸ Ø Ð ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ × Ò Ð Ñ Ø Ò Ó Ø Ú • ÆÓÛ Ø Ðº º×º Ò × ÕÙ Ø ÓÒ ÓÐ ˆ θn × Ñ Ü Ñ Þ Ö ºÓº º ÑÙ×Ø Ò ØÛ Ò Ò Ü ØÐÝ × Ò ÙÒ Ø ÓÒ × ×ØÖ ØÐÝ ÓÒ Ú ÓÖ ÓÓ 0 Ó θ . Ò × Ò • Ð×Ó¸ × Ò θ∗ × ˆ θn Ò θ0, 2 Dθ sn (θ ∗ ) → J∞ (θ 0 ) ËÓ a.s. ˆ a.s. θn → θ 0 ¸ ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µ Ú × 0 = Dθ sn (θ 0 ) + J∞ (θ 0 ) + op (1) ˆ θ − θ0 º ÅÈÄ Ë ½ Ò 0= ÆÓÛ √ nDθ sn (θ 0 ) + J∞ (θ 0 ) + op (1) Ø Ú Ò Ø Ñ ØÖ Ü¸ ×Ó Ø Ò ÛÖ Ø √ ˆ n θ − θ0 Ø ÖÑ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÖÖ Ð ¹ 0 Ú ÒØ Ò ÜØ ØÓ J∞ (θ )¸ ×Ó Û J∞ (θ 0 ) × Ò Ø Ò op (1) 0= √ Ù× ÖºÚº³×¸ Ó a √ √ ˆ nDθ sn (θ 0 ) + J∞ (θ 0 ) n θ − θ 0 √ a ˆ n θ − θ 0 = −J∞ (θ 0 )−1 nDθ sn (θ 0 ) Ò Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ú Ö Ò Ó Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µ¸ √ • Ø Ø d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 Ý Ø ËÐÙØ× Ý Ø ÓÖ Ñº Ì Ø × ËÐÙØ× Ý Ø Ö¸ Ø ÓÖ Ñ × Ý× ÙÒ Ø ÓÒ ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µ × ÒÓØ ÑÔÐ g(·) Ø Ò³Ø g(xn ) → g(x) Ô Ò ÓÖ Ñ Û a.s. ÓÒ xn → x Ò g(·) × ÓÒØ ÒÙÓÙ× n ØÓ Ù× Ø × Ø ÓÖ Ñº ÁÒ ÓÙÖ × ´ Ñ Ñ Ý ¸ º µ × ÔÔÐ x. ÀÓÛ Ú Jn (θn ) × ÒÓÒ×ØÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ó n. Ì ÓÖ Ñ ¾¿º Á gn (θ) ÓÒÚ Ö × ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÖ ÓÓ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ò ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÒÙÓÙ× g∞ (θ) ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ Ò ÓÔ Ò Ò 0 Ó θ , Ø 0 Ø θ ÌÓ Ò ˆ a.s. θ → θ0. × ØÓ Ø × ÓÒ Ö Ú Ø Ú ×¸ ×Ù ×Ø ÐÐÝ ÔÔÐ Ö Ú Ø Ú × Ò Ø Ø Ò ÓÖ ×ØÖÓÒ ÐÝ ×ØÓ Ò ÖÝ ÄÄÆ ˆ a.s. gn (θ) → g∞ (θ 0 ) ÒØ ÓÒ g∞ (θ 0 ) × ÓÒ¹ • ÔÔÐÝ Ø Ø ÓÒ× ÛÓÙÐ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÖ ÓÓ × ÓÒ Ó ÕÙ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ Ö Ú Ø Ú × Û θ0, × ØÓ Ø Ú ÐÙ Ø Ø • ËØÖÓÒ θ∈ N (θ 0 ). Ö ÓÒ Ø ÓÒ× Ø Ò Ø ÑÔÐÝ Ø ÓÖ ÓÓ × Ö × ÓÚ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò ÓÙÒ × ÓÒ Ö Ú Ø Ú × Ò 0 Ó θ . ÓÒ Ø Ó Ú Ö ÓÖ Ö Ó Ø × Ñ ØÖ × × Ø × ËÙÔÔÓ× Ò ÓÖ ÐÐ Ø Ø • Ë Ô Ø × Ò Ð ØÙÖ º sn (θ) × Ö ÔÖ × ÒØ Ð × 2 Û ÓÒ× Ö¸ Dθ sn (θ) × ÒÓØ ÒØ Ö ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓØ Ö Ò ¸ ´Ø Ý Ó ÒÓØ ÒÓØ Ò Ð×Ó Ú Ú Ö Ò nØ Ó ÖÑ׸ Û ×Ø Ñ ØÓÖ× ×¸ Ø Ö n Ñ ØÖ ×¸ Ø Ð Ñ ÒØ× Ó Û ËÄÄÆ Ü ÑÔÐ Ò× Ø Ø ÔÔÐ Þ ÖÓ ÜÔ Ø Ø ÓÒµº ËÙÔÔÓ× Ò 0 2 Ð Ñ Ø Ó Dθ sn (θ ), ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µ √ nDθ sn J∞ (θ 0 ) = O(1), × Û × Û Ò ½º ÇÒ Ø √ Û Ö Û Ù× Ø Ö ×ÙÐØ Ó d (θ 0 ) → N 0, I∞ (θ 0 ) Ñ nDθ sn (θ 0 ) = Op () Ü ÑÔÐ º Á Û 1 Û Ö ØÓ ÓÑ Ø Ø √ n, Û ³ Ú Dθ sn (θ 0 ) = n− 2 Op (1) = Op n− 2 Û Ö Û Ù× Ø Ò Ø Ø Ø 1 ÒØ Ö ¸ ×Ó Û ØÓ × Op (nr )Op (nq ) = Op (nr+q ). Ì √ n ØÓ ÚÓ ÓÒÚ Ö Ò Ð Ý × ÕÙ Ò ØÓ Þ ÖÓº Dθ sn (θ 0 ) × º º½º √ Ü ÑÔÐ × Ö Ø Ø Ò × Ø ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ ØÖ Ø º½ Û Ð¸ Ù× Ò Ø × × Û Ø º º º Ø Ø ×¹ Ø ¸ Û × ÔØ Öº Ì ÓÒ Ò ÔÔ Ò ¸ Ý Ø Ó Ø ÅÄ Ó Ø Òº Ê Ñ Ñ ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ó × Ù× Ò p lim V ar n (ˆ − p) = p (1 − p)º Ä Ø³× Ú Ö Ý Ø Ñ Ø Ó × Ó º ÅÈÄ Ë ½ ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × sn (p) = ×Ó 1 n n t=1 {yt ln p + (1 − yt ) (1 − ln p)} Esn (p) = p0 ln p + 1 − p0 (1 − ln p) Ý Ø Ø Ø Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ø Ö º º º Ì Ù׸ Ø Ó Ð ÙÐ Ø ÓÒ × ÓÛ× Ø s∞ (p) = p0 ln p + 1 − p0 (1 − ln p)º p0 (1 − p0 ) −1 , ¸ 2 Dθ sn (p) Û Ó ×Ò³Ø Ò Ô Ò Ò Ø ÙÔÓÒ × × p=p0 ≡ Jn (θ) = Ø −1 −J∞ (p0 ). × Ñ Ö ×ÙÐØ Û ÓØ Ò × Ø ÓÒ nº Ý Ö ×ÙÐØ× Û ³Ú × −1 (p0 ) = p0 1 − p0 ¸ −J∞ º½º Ò ÓÒ ÅÄ º ÁØ³× ÓÑ ÓÖØ Ò √ lim V ar n p − p0 ˆ ØÓ × Ø Ø Ø = × × º¾º ×ÔÓÒ× Ï ³Ú ÑÓ Ðº ÑÓ ÐÖ Ò ÖÝ Ö ×ÔÓÒ× ÑÓ Ð× Û Ø Ý × Ø Ò Ø ÓÒ ÐÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓ Ðº Ð׺ Ú Ö ÒÓØ ÜØ Ò Ò Ø ÑÓ ÖÒÓÙÐÐ Ð× Ö × × ØÖ Ò Ð ÑÓ Ú Ö Ð ØÓ ØÝ Ó Ò ÖÝ Ö ¹ ÓÒØ ÜØ׺ Р׸ ×Ù Ö × ÑÔÐ Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ø Ø Ö × ÓÐ ¹ ÖÓ×× Ò ××ÙÑ y ∗ = x′ β − ε ε ∼ N (0, 1) À Ö ¸ Ò Û y = 1(y ∗ > 0) y∗ × Ò ÙÒÓ × ÖÚ Ø Ö ´Ð Ø Òص ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ú Ö Ø Ú ÓÖ ÔÓ× Ø Ú º Ì Ò Ø × Û Ö y∗ × Ò Ð ¸ Ò y × Ò ÖÝ Ú Ö Ð Ø Ø P r(y = 1) = P r(ε < xβ) = Φ(xβ)¸ xβ Φ(•) = × Ø ÁÒ Ø Ö Þ Û ÐÐ ×Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð ×ØÖ (2π)−1/2 exp(− ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒº ÑÓ Ð Û ÐÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ó Ð × ÔÖÓ Ð ØÝ ÔÖÓ Ô Ö Ñ¹ Ð ØÝ −∞ ε2 )dε 2 Ò Ö Ð¸ Ò ×ÓÑ Ò ÖÝ Ö ×ÔÓÒ× ÓÖѺ ÓÖ Ò ×ÓÑ Ú ØÓÖ Ó Ñ ÒÒ Ö ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö x¸ Ø Ö ×ÔÓÒ× Ô Ö Ñ Ø Ö Þ P r(y = 1|x) = p(x, θ) Á p(x, θ) = Λ(x′ θ), ×ØÖ Ê Ö Ð ×× Ó Ø Û Ú ÐÓ Ø ÑÓ Ò Û Ðº Á Ú Ö p(x, θ) = Φ(x′ θ), ÔÖÓ Ø ÑÓ Ð Ò Ðº Û Ø Û Ö Φ(·) × Ø ×Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ¸ Û ÖÒÓÙÐÐ Ò× Øݸ fYi (yi |xi ) = p(xi , θ)yi (1 − p(x, θ))1−yi ×Ó × ÐÓÒ × Ø × Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ö Ò Ô Ò Òظ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ´Åĵ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ˆ θ, Ñ Ü Ñ Þ Ö Ó sn (θ) = ´¿¾µ 1 n 1 n n i=1 n i=1 (yi ln p(xi , θ) + (1 − yi ) ln [1 − p(xi , θ)]) s(yi , xi , θ). ˆ θØ Ò × Ò ÔÖÓ Ø Ø Ð ØÝ ØÓ Ø ≡ Ø ÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÖ Ø Ð Ö ×ÙÐØ׸ θ0 Ò Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ × Ø ËÄÄÆ ÓÖ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ð Ñ Ø Ó sn (θ). ÆÓØ Ò Eyi = p(xi , θ 0 ), ÓÐÐÓÛ Ò º ÅÈÄ Ë ½ º º º ÔÖÓ ×× ×¸ sn (θ) ÓÒÚ Ö Ø × ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ø Ø ÖÑ s(y, x, θ). Ö×Ø ÓÒ Ò Ø x ØÓ Ey|x {y ln p(x, θ) + (1 − y) ln [1 − p(x, θ)]} = p(x, θ 0 ) ln p(x, θ)+ 1 − p(x, θ 0 ) ln [1 − p(x, θ)] . Æ ÜØ Ø ´¿¿µ Û Ö Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÚ Ö x Û Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ s∞ (θ) = µ(x) × Ø X p(x, θ 0 ) ln p(x, θ) + 1 − p(x, θ 0 ) ln [1 − p(x, θ)] µ(x)dx, ÒØ Ö Ð × ÙÒ Ö×ØÓÓ Ð × ØÓ Ì ÑÙÐØ ÔÐ ¸ × × Ð Ò ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö Ò Ø Ø Ð Ñ ´ Ó ÒØ ¹ Ø xµ × Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø xº ÖÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò Ø Ø Ö ÓÖ Ò ÔÖÓ Ú X × Ø ×ÙÔÔÓÖØ Ó θ, × ÐÓÒ p(x, θ) × ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ ÓÒÚ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ø × ÓÑÔ Ø Û Ø ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ Ø ÑÓ Ð׸ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÖ Ò º ÆÓØ Ü ÑÔÐ º Ì Ñ Ü Ñ Þ Ò p(x, θ) × ÓÒØ ÒÓÙ× ÓÖ ∗ ÒØ Ó s∞ (θ), θ , ×ÓÐÚ × Ø p(x, θ 0 ) Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ× p(x, θ 0 ) X Ì Û × × Ð Ø³× Ò Ì ÖÐÝ ×ÓÐÚ ØÓ Ý Ò×ÙÖ ∂ p(x, θ ∗ ) ∂θ Ø p(x, θ ∗ ) − ∂ 1− p(x, θ ∗ ) µ(x)dx = 0 ∗ ) ∂θ 1 − p(x, θ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÙÒ ÕÙ ¸ θ ∗ = θ 0 . ÈÖÓÚ Ø Ø ˆ θ × ÓÒ× ×Ø Òغ ÉÙ ×Ø ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÙÒ ÕÙ ÓÖ Ñ Ø ÐÐ× Ù× Ø Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø √ ÁÒ Ø × Ó º º º Ø Ø ÓÒ Ó ØÝÔ Ð Ð Ñ ÒØ Ó Ø d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 . √ 0 0 Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× I∞ (θ ) = limn→∞ V ar nDθ sn (θ ) × ÓÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø Ö Òغ × ÑÔÐÝ Ø ÜÔ ¹ • • Ì Ö ³× ÒÓ Ò ØÓ ×Ù ØÖ Ø Ø ÓÚ Ð×Ó Ò Ø Ñ Ò¸ × Ò Ø³× Þ ÖÓ¸ ÓÐÐÓÛ Ò Ö º º º Ø ºÓº º Ò Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÔÖÓÓ Ì Ø ÖÑ× Ò Ø Ø Ý Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ö ÙÑ ÒØ n ÖÓÔ ÓÙØ × Ñ n→∞ √ lim V ar nDθ sn (θ 0 ) = = √ 1 lim V ar nDθ n→∞ n n→∞ s(θ 0 ) t 1 lim V ar √ Dθ n s(θ 0 ) t 1 = lim V ar n→∞ n = n→∞ Dθ s(θ 0 ) t lim V arDθ s(θ 0 ) = V arDθ s(θ 0 ) ËÓ Û Ø I∞ (θ 0 ) = E Ä Û × ¸ ∂ ∂ s(y, x, θ 0 ) ′ s(y, x, θ 0 ) . ∂θ ∂θ ∂2 s(y, x, θ 0 ). ∂θ∂θ ′ ÕÙ Ú Ð ÒØÐݸ Ó Ø Ú Ö×Ø ÓÚ Ö J∞ (θ 0 ) = E ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÓÚ Ö Ö Ó ÒØÐÝ ÓÚ Ö ÓÚ ¸ ØÝÔ Ð y Ò x, ÓÖ y ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ x, Ø Ò x. ÖÓÑ Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ × s(y, x, θ 0 ) = y ln p(x, θ 0 ) + (1 − y) ln 1 − p(x, θ 0 ) . ÆÓÛ ×ÙÔÔÓ× Ø Ø Û Ö Ð Ò Û Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ÐÓ Ø ÑÓ Ð p(x, θ) = 1 + exp(−x′ θ) −1 . º ÅÈÄ Ë ½ ¼ Ï Ò × ÑÔÐ Ý Ø ÓÚ Ö ×ÙÐØ× Ò Ø × × º Ï Ú Ø Ø ∂ p(x, θ) = ∂θ = 1 + exp(−x′ θ) 1 + exp(−x′ θ) −2 −1 exp(−x′ θ)x exp(−x′ θ) x 1 + exp(−x′ θ) = p(x, θ) (1 − p(x, θ)) x = ËÓ ´¿ µ p(x, θ) − p(x, θ)2 x. Ì ´¿ µ Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ∂ s(y, x, θ 0 ) = y − p(x, θ 0 ) x ∂θ ∂2 s(θ 0 ) = − p(x, θ 0 ) − p(x, θ 0 )2 xx′ . ∂θ∂θ ′ ÓÚ Ö y Ø Ò x Ú × EY y 2 − 2p(x, θ 0 )p(x, θ 0 ) + p(x, θ 0 )2 xx′ µ(x)dx p(x, θ 0 ) − p(x, θ 0 )2 xx′ µ(x)dx. Ø I∞ (θ 0 ) = = Û Ù× Ø Ø Ø ´¿ µ Û Ö EY (y) = EY (y 2 ) = p(x, θ 0 )º Ä Û × ¸ ´¿ µ ÆÓØ Ø Ø Û ÖÖ Ú J∞ (θ 0 ) = − Ø Ø ÜÔ Ø Ø ×¸ p(x, θ 0 ) − p(x, θ 0 )2 xx′ µ(x)dx. Ö ×ÙÐØ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ × ´Ø Ø ×¸ J∞ (θ 0 ) = −I∞(θ 0 ))º Ï Ø √ d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 × ÑÔÐ × ØÓ √ ÜÔÖ ×× d ˆ n θ − θ 0 → N 0, −J∞ (θ 0 )−1 × Û Ò Ð×Ó √ ÇÒ ×ØÖ Ò Ð ÒÓØ ¸ Ø × Ø ÑÓÖ ÐÓ d ˆ n θ − θ 0 → N 0, I∞ (θ 0 )−1 . Ò Ð ×Ø Ò º Ï × Ö Ð ÒÓÖÑ Ð Ó ³× Ö Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ¹ Ø ØÐÝ Û ÐÐ ØÛ ÐÓ Ò Ø Ø Ø Ø¹Ø ÙØ ÓÒ Ð׸ ÒØ× Û ÐÐ Ú ÖÝ ×Ð Ð Ø × ØÛÓ ÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ØÛÓ ÑÓ ÒØ Ö ×Ø ×Ù Ð׺ ×Ø Ñ Ø ÔÖÓ ˆ p(x, θ) Ú ÖØÙ ÐÐÝ ÒØ Ð ÓÖ Ø º¿º Ü ÑÔÐ Û Ú ÓÖظ × Ø ÓÒ ËÙÔÔÓ× º¿º º Ï Ä Ò Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ðº Ê Ø ¸ ÁÒØҳРÓÒº Ê Úº ½ ¼ × Ò ÖÐ Ö Ö ÒÓÒÐ Ò Ö ÑÓ Ð º ÓÙÖ ÖÓÙÜ Ò ÅÓÒ¹ Ö Ò º yi = h(xi , θ 0 ) + εi Û Ö Ì ÒÓÒÐ Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × εi ∼ iid(0, σ 2 ) ×Ø Ñ ØÓÖ ×ÓÐÚ × 1 ˆ θn = arg min n n i=1 (yi − h(xi , θ))2 º ÅÈÄ Ë ½ ½ Ï ³ÐÐ ×ØÙ Ý Ø ×ÓÐÚ Ò Ø × × Ø Ó ÙÐØÝ × ÑÓÖ Ð Ø Ö¸ Ö ÙØ ÓÖ ÒÓÛ Ø × Ð ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ø ÑÓ Ðº Ö Ø Ø Ø ÔÔÖÓ Ó ÓÖ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ö ÕÙ Ö ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ × × ÜÔ Ò× ÓÒ × ØÓ ÚÓ ÒÓÒÐ Ò Ý ÓÑÑÓÒ Ö×Ø ÓÖ ÐÒ ÖÞÒ Ò Ö Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö ÓÙØ Ø ÔÓ ÒØ x0 Û Ø Ö Ñ Ú × yi = h(x0 , θ 0 ) + (xi − x0 )′ Û Ö ∂h(x0 , θ 0 ) + νi ∂x × Ö Ñ Ò Öº ÆÓØ Ø Ø νi Ò Ò ÓÑÔ ×× × ÖÖÓÖ ¹ Ø× Ñ ÓØ εi Ò Ø Ì ÝÐÓÖ³× × Ö × ÓÙÐ νi × ÒÓ ÐÓÒ Ö Ð ×× Ð Ò × ÒÓØ Þ ÖÓº Ï ÜÔ Ø ÔÖÓ Ð Ñ׺ α∗ = h(x0 , θ 0 ) − x′ 0 β∗ = Ú Ò Ø ×¸ ÓÒ Ñ Ø ØÖÝ ØÓ ∂h(x0 , θ 0 ) ∂x ∂h(x0 , θ 0 ) ∂x ∗ Ò β∗ ×Ø Ñ Ø α yi = α + βxi + νi Ý ÔÔÐÝ Ò ÇÄË ØÓ • • ÉÙ ×Ø ÓÒ¸ Û ÐÐ Ì Ä Ø α ˆ Ò ˆ β ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÖ Ò × α∗ Ò Ò×Û Ö × ÒÓ¸ × ÓÒ Ý ÒØ ÖÔÖ Ø Ò β∗ ˆ α Ò β ˆ × ÜØÖ ÑÙÑ ×Ø Ñ ØÓÖ׺ γ= (α, β ′ )′ . γ = arg min sn (γ) = ˆ Ì Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö × ØÓ Ø× 1 n n i=1 (yi − α − βxi )2 ÜÔ Ø Ø ÓÒ sn (γ) → s∞ (γ) = EX EY |X (y − α − βx)2 Ò u.a.s. Ø γ ˆ ÓÒÚ Ö × a.s. ØÓ Ø γ0 Ø Ñ Ò Ñ Þ × s∞ (γ) γ 0 = arg min EX EY |X (y − α − βx)2 ÆÓØ Ò Ø Ø EX EY |X y − α − x′ β × Ò ÖÓ×× ÔÖÓ Ù Ø× ÒÚÓÐÚ Ò ØÖÙ Ö 2 = σ 2 + EX h(x, θ 0 ) − α − βx α0 Ò β 0 h(x, θ 0 ) ÓÖ Ó h(·) Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ØÓ Ø Ñ = EX EY |X h(x, θ 0 ) + ε − α − βx 2 2 ε × ÖÓÔ ÓÙغ ÝÔ ÖÔÐ Ò Ø Ø × ÐÓ× ×Ø ØÓ Ø Ö ÓÒº Ì Ú Ö × Ö ×× ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ Ø Ô Ò ×ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ö Ø ¹ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ò × ÓÒ Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×º º ÅÈÄ Ë ½ ¾ Inconsistency of the linear approximation, even at the approximation point x h(x,θ) Tangent line x x β α x x x x x x x Fitted line x_0 • ÁØ × Ð Ö Ø Ø Ø Ø Ò ÐÐ ÒØ Ð Ò ÖÖÓÖ× Ó × ÒÓØ Ñ Ò Ñ Þ ØÛ Ò Ø Ø Ò ÅË Ò ¸ × Ò ¸ Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÙÒ Ø ÓÒ Ö h(x, θ 0 ) × ÓÒ Ú ¸ Ò Ø Ú º Ø Ø Ø Ó ÑÓ Ò ØÓ Ú Ò ØÖÙ ÆÓØ ÒØ Ð Ò ØÖÙ • ÙÒ ÖÐÝ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö θ0 × ÒÓØ ×Ø Ñ Ø Ø ÓÒ× ×Ø ÒØÐݸ Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ø Ö ´ Ø Ñ Ý Ö ÒØ Ð¸ Û Ñ Ò× ÓÒ Ø × ¾ Ò Ø Ö × Ò Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ü ÑÔÐ µº Ö ÖÓÑ ÓÖ Ø ÓÖÑ× × Ö × Ü ØÐÝ Ø × Ñ ÔÖÓ ¹ Ò¹ Ö • Ë ÓÒ ÓÖ Ö Ö¹ÓÖ Ð ×× × Ú Ö Ò ÓØ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× ×Ù Ö Ü Ö Ð ÖÓÑ ¸ Ó ÓÙÖ× º РѸ Ø ÓÙ Ö Ð Þ ×ÓÒ¸ ØÖ Ò×ÐÓ ¸ ÙÔÓÒ × ÓÒ ¹ÓÖ Ä ÓÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ò Ö Ð ×Ù Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ýº Ì Ò׸ ÙØ Ø Ò Ò × Ñ Ý ÒÓØ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖ ÓÖ Ö×Ø Ò ÐÝÞ Ò Ò × ÓÒ × × ¸ ÓÒ ×ØÓÒ Ö×Ø Ò Ò ÐÝ× × Ó ÓÒ × ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ö Ú Ø Ú ×º ÁÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ ÓÒ×ÙÑ Ö Ö Ó Ø Ò Ó ÑÓ Ò ÐÝ× ×¸ ÒØ Ö ×ظ Ð× Ø Ø Ö Ú Ø Ú × ´ × ÓÙÐ º º¸ Ð ×Ø Ø × Ó ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒµ ÙÒØ Ò Ò ×Ó Ò Ø ÑÔÓ× ÙØ ÓÙ× Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ × ÓÒ Ð Ò Ö Þ Ø ÓÒ ÓÙØ Ð׺ ÑÓ ÐÓÒ ÁØ Ö Ú Ø Ú ×º ÖÙÒ × Ù×Ø ÕÙ Ð Ö ÙÑ ÓÖ Ø × ÓÑÑÓÒ ÔÖ Ø Ø Ð Ò • Ì × ×ÓÖØ Ó ÝÒ Ñ Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ ÑÓ Ò ÐÝ× × Ó ÑÓ Ð ÔÙÖÔÓ× × Ó ÓÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ú Ò Ñ Ø Ð³× Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÑÓ Ò Ò Ð Ù× Ò ÙØ Ø × ÒÓØ Ù×Ø Ø º Ì ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø × Ó Ñ Ø Ó ×Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ö× Ò× Ó Ó Ø Ø Ö × Ø ÓÒ ÓÒ × ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò ÐÝ× ×º ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ø Ö ÝÒ Ñ Ñ ÖÓ ÑÓ Ð× Ø ØÓÓ ÓÑÔÐ Ü ÓÖ ×Ø Ò Ñ Ø Ó × Ó º ÅÈÄ Ë ½ ¿ ÔØ Ö Ü Ö × × ´½µ ËÙÔÔÓ× Û Ø Ø Ø ×Ø Ñ Ø xi ∼ ÙÒ Ò ÓÖÑ´¼¸½µ¸ ÑÓ Ö Ø Ò Ð Ñ ××Ô yi = 1−x2 +εi , Û i yi = α + βxi + ηi Ð ØÝ Ð Ñ Ø× Ó Ò Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ö εi Ò × ´¼¸σ Ò 2 ). ËÙÔÔÓ× ÒÙÑ Ö Ý ÇÄ˺ Ø 0 Ú ÐÙ × Ó α β0 Ø Ø Ø ÔÖÓ Ý α ˆ ˆ β ÓÚ ÑÓ Ø Ð¸ ×¹ × Ú ÖÝ Ð Ö Ò ´¾µ Î Ö Ý ÝÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× Ù× Ò Ò Ð ÙÐ Ø Ò Ç Ø Ú Ø ÓÐÐÓÛ× Ø × Þ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖº Ï ØÓ Ø × ÑÔÐ Ø Ñ ØÓÖ × ÓÙÐ ½º ´¿µ Í× ÅÄ Ø Ú ÖÝ ÐÓ× Ò ÐÝØ Ð Ö ×ÙÐØ× ÝÓÙ Ó Ø Ò ÕÙ ×Ø ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ÒØ Ó ÓÖ Ñ ØÓ Ð Ò Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø β0 Ì ÓÖ Ø × Ñ Ø Ò× ÑÓ Ò y = xβ 0 Ô Ò x. ∂2 ∂β∂β ′ sn (β)¸ Ð Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ñ Ý ÒÚÓÐÚ ´ µ ××ÙÑ ´ µ ××ÙÑ º ºÔº Ø Ø ÙÒ×Ô ÐÓ Ø ÑÓ ÓÐÐÓÛ× Ø + ε, Û Ö ε ∼ N (0, 1) Ò × Ò¹ n (β) J (β 0 ), ∂s∂β , Ò I(β 0 ). Ì Ò× ØÝ Ó x. −1 Pr(y = 1|x) = 1 + exp(−β 0 x) º Ø ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÅÄ ´ µ x ∼ ÙÒ ÓÖÑ´¹ ¸ µº 0 ×Ø Ñ ØÓÖ Ó β ´Ø × × × Ð Ö Ô ÆÓÛ ××ÙÑ Ø Ø x ∼ ÙÒ ÓÖÑ´¹¾ 0 Ø ÓÒ Ó Ø ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó β º ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø Ö ×ÙÐØ× Ö Ñ Ø Öµº ¸¾ µº Ò Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ Ù¹ ´ µ À ÈÌ Ê ½ Ò Ö ÐÞ Ñ Ø Ó º ½ Ó ÑÓÑ ÒØ× ´ Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ Ë ÑÔÐ Åŵ º ½ ´× Ô º Ò ÓÖ Ö ÀÝÔÓØ ×º × × Ê ØÓ Ì ×Ø Ò ¸ Ò × Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò ∗ Ú ×ÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ×µ Æ Û Ý Å Ò ´½ µ¸ Ä Ö ¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ À Ò ÓÓ Ó ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ÎÓк º ¿ º ½º Ï ³Ú ×ØÖ ÐÖ Ý × ÓÒ× Ø¹ ×ØÖ Ò ÓÒ Ö Ø ÙØ Ü ÑÔÐ ÓÐÐÓÛ Ò ÖºÚº Ó ÙØ ÓÒº Ü ÑÔÐ Ò Ø ÓÒ ÅÅ Ò Ø × ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ¸ ÙÔÓÒ Ø Ø¹ ×ØÖ × ÙÔÓÒ Ø χ2 Ò× ØÝ ÙØ ÓÒº Ì ÙÒ Ø ÓÒ Ó Yt Γ × fYt (yt , θ 0 ) = Ú Ò Ò × ÑÔÐ Ó × Þ θ 0 + 1 /2 (πθ 0 )1/2 Γ (θ 0 /2) ÓÒ ÓÙÐ 2 1 + yt /θ 0 −(θ 0 +1)/2 n, ×Ø Ñ Ø θ0 Ý Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ n ˆ θ ≡ arg max ln Ln (θ) = Θ ln fYt (yt , θ) t=1 Ö Ð Ð ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Òغ Ì × ×¹ × Ø Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ´ º º¸ Ø Ø Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ð × • Ì × ØÖ × ÔÔÖÓ Ù× Ø × × ØØÖ Ø Ú × Ò ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ× ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× × ÙÔ ØÓ ÐÐ Ó ÙØ ÓÒ ÙÐÐÝ ×Ô Ö Ø Ö Þ Ø Ù× × Ô Ö Ñ Ø Öµº Ê ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÅÅ Ý Ø× ÑÓÑ ÒØ׸ Ø ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ×Ø Ñ ØÓÖ Ø ÐÐ Ó Ø ÑÓÑ ÒØ׺ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ Ò ÓÖÑ ¹ ØÓ Ù× × ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ø × ÅÄ K ÑÓÑ ÒØ× ØÓ ¸ Ò ×Ø Ñ Ø Ý Ø K− ÅÅ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Öº Ë Ò ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ò Ý × Ö Ò Ö Ð¸ × ÐÓ×Ø Ö Ð Ø Ú ×Ø Ñ ØÓÖº Û Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ü ÑÔÐ ¸ ع ×ØÖ ÙØ ÖºÚº Û Ø Ò× ØÝ • • ÓÒØ ÒÙ Ò Ñ Ò Þ ÖÓ Ø fYt (yt , θ 0 ) Ø ÓÒ × V (yt ) = θ0/ θ0 Í× Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù ÔÖ Ú ÓÙ×Ðݸ θ/ (θ − 2) − ÓÖ ¸ Û Ò 2 yt Ò m1 (θ) = 1/n Ø Ø ØÖÙ Ò Ú ÐÙ Ø • ´¿ µ Eθ 0 m 1 ˆ ÓÓ× Ò θ ØÓ (θ 0 ) × = 0. ˆ Ø m1 (θ) ≡ 0 m1t (θ) = n 2 = θ/ (θ − 2) − 1/n t=1 yt . × 0 , ÓØ E 0) = 0 Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ θ θ 0 m1t (θ Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ −2 0 ´ ÓÖ θ > 2). n t=1 m1t (θ) Ý Ð × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ θ= ×Ø Ñ ØÓÖ × ÅÄ ØÓ Ø × ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ 2 1− Pn 2 i yi ×ØÖ Ø Ø ÙØ ÓÒ ¹ Ø Ù× × Ð ×× Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ Ò ÒØ Ì Ø × Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ×Ó Ø × ÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ð ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖº ½ Ö Ð Ø Ú ½º ÁÆÁÌÁÇÆ ½ • Ò Ø¹ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×ØÖ ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÙÐ ÓÙÖØ ÑÓÑ ÒØ Ó Ø¹ × ×ØÖ ÙÔÓÒ Ø ÙØ ÖºÚº ÓÙÖØ × ÑÓÑ ÒØ Ó Ø ÙØ ÓÒº Ì 4 µ4 ≡ E(yt ) = ÔÖÓÚ (θ 0 θ 0 > 4. 3 , − 2) (θ 0 − 4) ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ 2 θ0 Ï Ò Ò × ÓÒ m2 (θ) = • Ì × × ÓÒ ¸ ÝÓÙ³ÐÐ × Ø ×Ò³Ø Ö ÒØ ÅÅ Ø Ø 1 3 (θ)2 − (θ − 2) (θ − 4) n ˆ θ × Ö ÒØ ÖÓÑ Ø n 4 yt t=1 ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÓ× × ØÓ × Ø Ø Ò ×Ø Ñ Ø ÒØ Ø ˆ m2 (θ) ≡ 0. Á ÝÓÙ ×ÓÐÚ Ø × ÕÙ Ø ÓÒ ¿ º ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Ì ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ø Ö¸ × Ò Ø ÓÒ× ØÓ Ð ÓÒ Ø Ù× × ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ö ØÓ Ò ×Ø Ñ Ø ÑÓÑ Òغ Ø × Ò Ð × ÛÓÙÐ ÅÅ Ø ØÛÓ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÒØ Ô Ö Ñ Ø Öº ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÚ Ö ÒØ × ÅÅ ÓÖ ¸ × Ø ¸ Û × ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÒØ Ö Ð Ø Ú Ù×Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× ´ÑÓÖ Ò Ý Ð Ø Öµº × Ö ÔØ × Ù× Ø Û × × Ö × Ø Ò Ú Ö ØÓ Ò Ó Ø Ø • mn (θ) = (m1 (θ), m2 (θ))′ . Ì n ×Ù 0 −1/2 ), × Ò × ÑÔÐ × Þ º ÆÓØ Ø Ø m(θ ) = Op (n 0 Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ×¸ Û Ö × m(θ) = Op (1), θ = θ , 0 Ù× Ò Ø ØÖÙ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö θ . Ì Ø Ø ÅÅ × ÓÒ× ×Ø Òغ ÅÅ Ó ×Ø Ñ ØÓÖ Ö ÕÙ Ö × ×ÓÒ× ÒÓØ Ò Ò Ñ ×ÙÖ Ó ÒØ Ö Ö Ø Ò ×ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö • ×Ø Ò ¸ ´ ÓÖ Ö ÐÓÛµ × ØÓ × Ø ××ÙÑ d (m(θ)) = × ØÓ m′ W Ò Ø d (m(θ))º n m, Ò Û ÔÓ× Ø Ú ÔÓÔÙÐ Ö Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ñ ¹ sn (θ) = ØÖ Üº m(θ)′ W n m(θ). Ï Wn ÓÒÚ Ö • ÓÖ Ø Ò Ö Ð ÁÒ × Ò Ö Ð¸ ××ÙÑ Û Ú g ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ׸ ×Ó m(θ) × g ¹Ú ØÓÖ Ò W g×g Ñ ØÖ Üº × ÓÙÖ× ¸ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ × ×Ù ÒØÐÝ ÔÙÖÔÓ× × Ó Ø Ò Ø ÓÒ ¾ º Ì ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Û Ö ˆ θ ≡ arg minΘ sn (θ) ≡ mn (θ)′ Wn mn (θ), Û Ø Eθ m(θ) = 0, Ò Wn ÓÒÚ Ö × Ò Ø Ñ ØÖ Ü W∞ º K ¹ 1 mn (θ) = n Ø Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ n t=1 mt (θ) × Ò Ø g¹Ú ØÓÖ¸ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ g×g ×ÝÑÑ ØÖ ÔÓ× Ø Ú θ0, g ≥ K, Ï Ø³× Ø • Ö ×ÓÒ ÓÖ Ù× Ò ÅÅ × × ÅÅ × ÅÄ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ð Ñ Ø × Ø Ó ØÓ ÒØ Ø ÓÒ׺ ÓÖ ÓÒ¹ ¸ Û Ö × ¹ ÓÖ ÊÓ Ù×ØÒ ×× ÙÔÓÒ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ × ×Ø Ò Ý¸ ÓÒÐÝ Ø ÅÄ Ø ÓÒº Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ø Ö ÕÙ Ö × ÓÖÖ Ø ×Ô ÅÅ × ÖÓ Ù×Ø Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ò Ý Û Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÒÓØ ¸ Ø Ú ÖÝ ÓÒ Ú Ð ÑÓÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ñ ××Ô Ø ÓÒº Ì ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖº Ã Û ÖÖÓÒ ÓÙ×ÐÝ ×Ô Ý ÒØ ÓÒ ÔÖ ÖÓ Ù×ØÒ ×× × ÐÓ×× Ó Ø Ò Ø Ø ØÖÙ Ö ×Ô Ø ØÓ Ø Ô Ò Ñ Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÐÛ Ý×µº Û Ö ÒÓÛÒ ×Ó ×Ø Ñ Ø × ÒÓØ Ý ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ × × Ø Ø Ð Ð ÅÄ ÓÓ Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ Ú ÓÒ Ø Ð Ò Ö Ð ´ÒÓØ Ð ¸ × Ò Ø Ù× Ð ØÝ Ð ØÓ Ò ×ÓÑ Ù × ÙÒ Ø ÓÒº ÅÓÖ ÅÅ × Ø ÓÒ ÓÒ × Ð Ú Ò × ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ Ø ÓÙ ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ì Ð º ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ý ×Ø ÐÐ × ÒÓØ ÔÓ×× ¿º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ ½ ¾º Ï × ÑÔÐÝ ××ÙÑ Ø Ì Ø Ø ÓÒÐÝ × ×ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ× ×Ø Òغ Ó × ÕÙ ÒØ Ø ÓÒº ÐÓ Ø Ú ÁÒ Ì ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÐ ¸ ×Ó Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø Ø Ø Û ÖÖ ÒØ× × Ø ÓÒ Ð ÓÑÑ ÒØ× ´ µ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ö ÓÖ Ñ ½ ¸ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ö ÙÒ ÕÙ Ö Ø Ó Ð Ñ Ü ÑÙÑ ÙÒ Ø ÓÒ º º¸ s∞ > s∞ (θ), ∀θ = sn (θ) = mn (θ)′ Wn mn (θ), Ö×Ø ÓÒ× 0 Ø θ , (θ 0 ) θ0. Ì Ö Á ÒØ Ø ÓÒ s∞ (·) Ò Ø × Ó mn (θ). • • • ÔÔÐÝ Ò Ë Ò ÙÒ ÓÖÑ Ð Û Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö׸ Û Ø Eθ′ mn (θ 0 ) = 0 Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ m∞ (θ 0 ) = 0. 0 0 ′ 0 Ë Ò s∞ (θ ) = m∞ (θ ) W∞ m∞ (θ ) = 0, Ò ÓÖ Ö ÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÒØ Ø ÓÒ¸ 0 , ÓÖ Ø Ð ×Ø ×ÓÑ Û Ò Ø Ø m∞ (θ) = 0 ÓÖ θ = θ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖº Ì × a.s. Ò Ø ÔÓ× Ø Ú g × g Ò Ø g × g Ñ ØÖ Ü Ò Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Wn → W∞ , 0 × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ù Ö ÒØ Ø Ø θ ÒØ º ÆÓØ ÒØ Ò Ø Ø Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ò ÒØ Ø Ø ÓÒ × Ø ¹ Ø Ó × ÒÓØ ÖÙÐ Ö Ñ Ý ÓÙØ Ø ÔÓ×× Ð ØÝ Ó Ð Ó Ø ÓÒ ÓÖ × ÑÔР׺ ÑÙÐØ ÔÐ Ñ Ò Ñ Þ Ò ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ò mn (θ) → m∞ (θ). a.s. • ¿º Ï Ð×Ó × ÑÔÐÝ ××ÙÑ Ø Ø Ø ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð Øݺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Û ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ× Ó ØÓ Ò Ø Ì ÓÖ Ñ ¾¾ ÓÐ ¸ ×Ó Û Û ÐÐ Ú ×¹ Ò ¹ ×ØÖÙ ØÙÖ Ú Ó Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ×Ø Ñ ØÓÖº ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ¾¾¸ Û √ Û Ï Ö Ò d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 Ð Ñ ØÓ Ø J∞ (θ 0 ) ØÓ ×Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ø ∂2 ∂θ∂θ ′ sn (θ) Ò × Ñ ØÖ × Ø ÖÑ Ò ÓÖÑ Ó √ ∂ I∞ (θ 0 ) = limn→∞ V ar n ∂θ sn (θ 0 ). Ú Ò Ø Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ sn (θ) = mn (θ)′ W n mn (θ). Ø ÔÖÓ Ù Ø ÖÙÐ ÖÓÑ Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ¸ ÆÓÛ Ù× Ò ∂ ′ ∂ sn (θ) = 2 m (θ) Wn mn (θ) ∂θ ∂θ n Ò Ø K ×g Ñ ØÖ Ü Dn (θ) ≡ ∂ ′ m (θ) , ∂θ n ×Ó ´¿ µ ´ÆÓØ Ø Ø sn (θ)¸ Dn (θ), Wn ÒÓØ Ø ÓÒµº × ÓÒ Ò ∂ s(θ) = 2D(θ)W m (θ) . ∂θ mn (θ) ÐÐ Ô Ò ÓÒ Ø Di Ø × ÑÔÐ × Þ n, Ø ÙØ Ø × ÓÑ ØØ ØÓ ÙÒ ÐÙØØ Ö Ø ÌÓ Ø Ö Ú Ø Ú ×¸ Ð Ø i− Ø ÖÓÛ Ó D(θ). Í× Ò ÔÖÓ Ù Ø ÖÙÐ ¸ ∂2 s(θ) = ∂θ ′ ∂θi ∂ 2Di (θ)Wn m (θ) ∂θ ′ ∂ ′ D ∂θ ′ i = 2Di W D ′ + 2m′ W Ï Ò Ú ÐÙ Ø Ò Ø Ø ÖÑ 2m(θ)′ W ∂ D(θ)′ i ∂θ ′ º ÀÇÇËÁÆ ÌÀ Ï Á ÀÌÁÆ Å ÌÊÁ ½ Ø θ0, ××ÙÑ Ø Ø ∂ ′ ∂θ ′ D(θ)i × Ø × Ú × ÄÄƸ ×Ó Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö × ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ò Ø Ð Ñ Øº ÁÒ Ø × × ¸ Û 2m(θ 0 )′ W × Ò ∂ a.s. D(θ 0 )′ → 0, i ∂θ ′ D, Û Ø ËØ m(θ 0 ) = op (1), W → W∞ º Ò Ø × Ö ×ÙÐØ× ÓÚ Ö Ø a.s. K ÖÓÛ× Ó Û Ö Û Ö Ò Ö Ï Ø Þ ÖÓ 0 Ø θ ´× Ò ′ sn (θ 0 ) = J∞ (θ 0 ) = 2D∞ W∞ D∞ , a.s., ∂θ∂θ ′ lim D = D∞ , a.s., Ò lim W = W∞ , º×º ´Û ××ÙÑ 0 ØÓ I∞ (θ )¸ ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ¿ ¸ Ò ÒÓØ Ò Ø Ø Ø 0 ) = 0 Ý ××ÙÑÔØ ÓÒµ¸ Û Em(θ Ú lim ∂2 ÄÄÆ × ÓÖ × ÓÐ ×µº Ú Ñ Ò I∞ (θ 0 ) = √ ∂ lim V ar n sn (θ 0 ) n→∞ ∂θ ′ = lim E4nDn Wn m(θ 0 )m(θ)′ Wn Dn n→∞ √ √ ′ nm(θ 0 ) nm(θ)′ Wn Dn = lim E4Dn Wn n→∞ Ú Ö Ò Ó ÒØ Ö Ý Ø Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÆÓÛ¸ ÜÔ Ø Ú Ò Ø 0 Ø m(θ ) × ÔÔÐݸ ÄÌ ØÓ √ nº ´Ñ Ò¹Þ ÖÓµ ÕÙ ÒØ Ø ××ÙÑ Ò Ø ×¸ ׸ Ø × Ö ×ÓÒ Ð ØÓ √ Û Ö nm(θ 0 ) → N (0, Ω∞ ), d Ω∞ = lim E nm(θ 0 )m(θ 0 )′ . n→∞ Ø Í× Ò Ø ×¸ Ò Ø Ð ×Ø ÕÙ Ø ÓÒ¸ Û ′ I∞ (θ 0 ) = 4D∞ W∞ Ω∞ W∞ D∞ Í× Ò Ø × Ö ×ÙÐØ׸ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø ÓÖ Ñ Ú × Ù× √ Ø ÆÓØ d ′ ˆ n θ − θ 0 → N 0, D∞ W∞ D∞ ×ØÖ ØÓ ÙØ ÓÒ Ó ÔÓ× Ø Ú Ø ÅÅ Ò Ø ¸ −1 ′ ′ D∞ W∞ Ω∞ W∞ D∞ D∞ W∞ D∞ ÓÖ Ú Ö ØÖ ÖÝ Û Ø Ò −1 , Wn . ×ÝÑÔØÓØ Ø Ø ÓÖ ×Ø Ñ ØÓÖ ÑÙ×Ø Ñ ØÖ Ü J∞ D∞ ÙÐÐ ÖÓÛ Ö Ò ¸ ρ(D∞ ) = kº º W Ò ÓÒ ÓÙÖØ Ú × ÓÓ× Ò Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ö Û Û Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ö Ð Ø Ú Ö ÑÙ ÑÔÓÖØ Ò ÑÓÖ ×ÙÖ Ó Ú ÓÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ó Ø × × Ö×Ø ÑÓÑ ÒØ ÙÔÓÒ Ø Û Ø Ò Ñ ØÖ Ü¸ Û Ø ÓÒ׺ × × ÓÙÐ Ø ÖÑ Ò × Ø Ù Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ¸ Û ÙÔÓÒ Ø × Ø Ò ¸ Ø Ò Ó Ø × ÓÒ ¸ Û ÑÓÑ Òظ Û W = Û Ø Û a 0 0 b × ÓÒ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ú Ð ×× a ÑÙ Ð Ö Ó Ö Ø Ø Ú Ò b. Ö ÁÒ Ø × × ¸ ÖÖÓÖ× Ò Ø Ø Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒº ÒÓØ Ò Ò Ø Ô Ò Òظ Ò Ò Ö Ð¸ Û × ÓÙÐ ÜÔ Ø Ø × Ö Ø Ø Ð Ö • Ë Ò ÑÓÑ ÒØ× ØÛ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ¹ ÓÒ Ð Ú ÐÖ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø Ñ Ý ÒÓØ Ö Ò ÓѸ Ó Ø Ø Ô Ò Ø × ØÓ × Ø Ø Ð Ñ ÒØ× ØÓ ¼º Ý × ÅÅ Ò Ø W Ñ Ý Ó Ë Ò ÒØ Ñ ØÖ Üº ×ÝÑÔØÓØ ÐÖ Ý Ò ×ØÖ ¹ ÒØ • Ï Ø Ø W Û ÐÐ Ò Ù Ò ÅÅ ÙØ ÓÒ Ó ×Ø Ñ ØÓÖº ×Ø Ñ ØÓÖ º ÀÇÇËÁÆ ÌÀ Ï Á ÀÌÁÆ Å ÌÊÁ ½ ۺֺغ ÅÄ ÒØ ¸ Û Ñ Ø Ð ØÓ ÓÓ× Ø W Ñ ØÖ Ü ØÓ Ñ Ò Ö ÑÓ Ò º ¸ Ý Ð Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ ÛØ ÒØ Ð ØØÐ Ì Ø ÑÓ Ð Ø ×¸ Ð ×× Ó Ú ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ö Ø Ð Ò Ø ÖÓ× ×Ø ØÝ N (0, Ω). • Ä ØP • Ì ÒØ Ø ØÝ Ò • ÌÓ ÔÖÓÚ ÒØÙ Ø ÓÒ¸ ÓÒ× mn (θ)º y = x′ β + ε, Û Ö ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒº ε∼ ÓÐ × Ý −1 , ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó Ω Ø × ×Ø P ′ P = Ω−1 . ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó ÓÑÓ× ×¹ P y = P Xβ+P ε × = In . ´ÆÓØ Û Ð ×× Ð ÒÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ × Ò P P −1 (P ′ )−1 P ′ Ð Öµº Ì × Ñ V (P ε) = P V = −1 −1 A−1 Ù× (AB) =B ÑÓ Ð × Òغ (ε)P ′ P ΩP ′ ÓÖ = A, B Ó P (P ′ P )−1 P ′ ÓØ = ÒÓÒ× Ò Ù¹ Ò× Ø Ø Ø ØÖ Ò× ÓÖÑ ÑÓ Ð • Ì ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø Ø (y − Xβ)′ Ω−1 (y − Xβ). ÁÒØ Ø Ø Ý Ó Ú Þ ÖÓ Ø Ò ØÓ ÖÔÖ Ø Ò ÜÔ Ø P y = P Xβ+P ε Ñ Ò Ñ Þ × Ø (y − Xβ) = ε(β) × ÑÓÑ 0 Ø ÓÒ Û Ò Ú ÐÙ Ø Ø β µ¸ Ø Ó Ø ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ø Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒº ´ÆÓØ ÒÙÑ Ø Ø Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× ´ÒÓØ Ø Ò Ø ÓÒ׺ ÄË × ÕÙ Ð ØÓ ÓÔØ Ñ Ð Û ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ñ ØÖ Ü × × Ì ÒÓØ Ø ÒÚ Ö× × Ö ×ÙÐØ ÖÖ ÅÅ × ÑÔÐ Ò × ÓÚ Ö ØÓ ÅÅ Ø × ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ× Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ù× Ö Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÄË Ò × Þ ¸ ÓÚ µº n. Ä Ø Ö Û ³ÐÐ × ÔÙØ ÒØÓ Ø ÅÅ Ö Ñ ÛÓÖ Ì ÓÖ Ñ ¾ º Á ˆ θ × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ý ÓÓ× Ò ØÑ Ò Ñ Þ × ˆ Ú Ö Ò Ó θ Û ÐÐ Ñ Ò Ñ Þ 0 )m(θ 0 )′ . limn→∞ E nm(θ Wn ×Ó Ø Ø mn (θ)′ Wn mn (θ), Ø a.s Wn → W∞ = Ω−1 , ∞ ×ÝÑÔØÓØ Û Ö Ω∞ = ÈÖÓÓ ÓÖ W∞ = Ω−1 , ∞ Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ò ′ D∞ W∞ D∞ × ÑÔÐ × ØÓ Ó Ø −1 ′ ′ D∞ W∞ Ω∞ W∞ D∞ D∞ W∞ D∞ ÓÖ ÒÝ Ó Ò ×Ù Ø Ø −1 Ö Ø ØÖ ÖÝ Ö Ò ÔÓ× Ø Ú ′ D∞ Ω−1 D∞ ∞ Ñ ØÖ Ü −1 . ÆÓÛ¸ Ú Ö ÒÚ Ö× × Ó Ø Ò × Û W = Ω−1 Ú W∞ = Ω−1 , ÓÒ× ∞ Ö×Ù× Û Ò W × ×ÓÑ Ö −1 −1 ′ D∞ W∞ D∞ Ò Ø ′ ′ D∞ Ω−1 D∞ − D∞ W∞ D∞ ∞ ′ −1/2 I − Ω1/2 W∞ D∞ = D∞ Ω∞ ∞ × Ò ØÓ Ú Ö Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº Ì Ò × Ø Ö ′ D∞ W∞ Ω∞ W∞ D∞ ′ D∞ W∞ Ω∞ W∞ D∞ Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ö Ø× × × Ñ Ò Ø º Ì × Ø Ø Ø −1/2 ′ D∞ W∞ Ω1/2 Ω∞ D∞ ∞ Ö Ø Ó Ø Ó Ø × Ð×Ó ×Ý ÑÔÓØ Òظ Û Ò Ø º ÕÙ Ö Ò Ö Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ¸ × Ñ Ò Ø ÔÓ× Ø Ú × Ñ ÑÔÐ ÓÖ Ñº ÓÖÑ Ò ÒÚ Ö× × Ó ÔÓ× Ø Ú Ø Ò Ú Ö Ø Ú Ì Ñ ØÖ Ü × × Ñ Ð×Ó ÔÓ× Ø Ú Ò Ø ¸ Û Ø Ò × × ÔÓ× Ø Ú × Ñ Ö ×ÙÐØ Ò Ø ¸ Û Ú Ö Ò × × ÔÖÓÚ × Ø ´ ¼µ ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ØÖ Ø √ d ′ ˆ n θ − θ 0 → N 0, D∞ Ω−1 D∞ ∞ ′ D∞ Ω−1 D∞ ∞ θ , n 0 ×ØÖ ÙØ ×º −1 ˆ θ≈N Û Ö Ø ØÓÖ× Ó −1 , Ø × Û Ò ×Ø Ñ ¹ D∞ • Ì ≈Ñ Ò Ò× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÌÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Þ Ω∞ . ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ó Ú ÓÙ× ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ˆ θ, D∞ Ø Ø × × ÑÔÐÝ ∂ ′ ∂θ mn ˆ θ , Û × ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ý Ø ××ÙÑ Ò ∂ ′ ∂θ mn × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò θ. ËØÓ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ ØÝ º ËÌÁÅ ÌÁÇÆ Ç ÌÀ Î ÊÁ Æ ¹ ÇÎ ÊÁ Æ Å ÌÊÁ ½ Ö ×ÙÐØ× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ú Ù× Ø × Ö ×ÙÐØ Ú Ò ∂ ′ ∂θ mn × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ Ï ÒÓÛ ØÙÖÒ ØÓ Ω∞ . º ´Ë ÁÒ Ø Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Û × ØÓ Ù× Ø Ò Ú Ú Ö Ò ¹ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Ü µ∗ º Ø Ò Ñ ØÖ Ü¸ Û Ð Ò ÓÒ ØÓ Ò ÓÙÐ × ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÔØ Ñ Ð Û Ñ ØÖ Ü Ó Ð ØØÐ Ø À Ñ ÐØÓÒ × Ø Ø Ø Û Ú Ö Ð Ñ Ø Ò º ½¼¸ ÔÔº ¾ ½¹¾ Ò ¾ ¼¹ Ò ¹ ÓÚ Ö Ò Ò Ö Ð ×Ô Ω∞ Ω∞ , √ nmn (θ 0 )º Ï Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐݸ Û Ø ÓÒº ÁÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÔÓÒ Û Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö Ð¸ Û ÜÔ Ø Ø ´Γts Ø • mt • • Ë Ò Û Ø × ÙÒÐ Ö × Ö À Ò Û ÐÐ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ô Ò ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ t ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ¸ × Ò ÒÓØ Ø = E(mt m′ ) = 0µº t−s Ø ÓÒ× Ú Ö Ò ÆÓØ ÓÚ Ö Ø Ø Ø Ò × ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ×Ø Ø ÓÒ Öݺ Ø ÓÒ× Û ÐÐ ÒÓØ Ò ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò ÓÙ×ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Ò Ö Ð Ò Ò ÐÝ Ø Ú ØÓ Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓÒ Ù Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ú Ö ×Ø Ñ Ø 2 Ò × ´E(mit ) Ø = Ö ´E(mit mjt ) = 0µº Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÓÒº ÓÖ Ø ÔÔÖÓ ¸ × Ö ×ÓÒ¸ 2 σit µº Û ×Ó Ñ ÒÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ× ÖÖ Ú Ö ØÓ Ø Ø Û ÛÓÙÐ ÓÖÖ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ×Ô ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó × Ó Ù× ÓÖØ Û ÓÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ××ÙÑ ÓÒ Ø Ø Ø mt × ÓÚ Ö Ò ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ´Ø ÙØÓ ÓÚ Ö ÐÐ Ø Ø Ò ÓÚ Ö Ó Ò Ø Ω∞ . Ò ØÛ Ò mt θ, Ò mt−s Ó × ÒÓØ Ô Ò Γv = E(mt m′ ). ÆÓØ t−s ÓÖ ÒÓÛ ××ÙÑ Ø Ø Û t). Ò Ø v − th ′ ) = Γ′ . Ê Ø E(mt mt+s v Ú ×ÓÑ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø ÓÒ× ×Ó ×Ø Ñ ØÓÖ mt 0 Ó θ , m n ×Ó Ø ˆ mt = mt (θ). ˆ ÆÓÛ n Ωn = E nm(θ 0 )m(θ 0 )′ = E n 1/n n n mt t=1 1/n t=1 m′ t = E 1/n mt t=1 t=1 m′ t Ò ØÙÖ Ð¸ n−1 n−2 1 Γ1 + Γ′ + Γ2 + Γ′ · · · + Γn−1 + Γ′ = Γ0 + 1 2 n−1 n n n ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Γv × n Γv = 1/n t=v+1 ´ÝÓÙ Ñ Ó Ø Ù× ÛÓÙÐ mt m′ . ˆ ˆ t−v µº ËÓ¸ Ò ØÙÖ Ð¸ ÙØ Ò ÓÒ× ×Ø Òظ ×Ø Ñ ØÓÖ n−v ÒØ ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ò×Ø Ω∞ n−1 n−2 ˆ Ω = Γ0 + Γ1 + Γ′ + Γ2 + Γ′ + · · · + Γn−1 + Γ′ 1 2 n−1 n n n−1 = Γ0 + v=1 Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ò Ø Ù Ð ÓØ × n−v Γv + Γ′ . v n Ò Ò Ö Ð¸ × Ò Ò Ò Ö Ø ÒÙÑ × × ÑÓÖ Ö Ó Ö Ô Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ ÐÝ Ø Ò ×Ø Ñ Ø × Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ ÑÓÖ ÒÙÑ ÙÔ Ö × Ö Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ n¸ ×Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó × ÒÓØ ÇÒ Ø Ò ¸ ×ÙÔÔÓ× Ò n → ∞. Ø Ø Γv Ø Ò × ØÓ Þ ÖÓ ×Ù ÒØÐÝ Ö Ô ÐÝ × v Ø Ò × ØÓ ∞, ÑÓ ×Ø Ñ ØÓÖ q(n) ˆ Ω = Γ0 + v=1 Γv + Γ′ , v º ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ÍËÁÆ ÇÆ ÁÌÁÇÆ Ä ÅÇÅ ÆÌË ½ ¼ Û Ì Ö Ø ÖÑ q(n) → ∞ Ø p × n−v n Ò Ö Ø n → ∞ ÖÓÔÔ Ø Û ÐÐ ÓÒ× ×Ø Òظ ÔÖÓÚ Ù× q(n) ÑÙ×Ø × Ú ÒØ q(n) op (n). Ì Ó Ø × Ò ÖÓÛ× ×Ù × ÐÐÓÛ× ÒØÐÝ ×ÐÓÛÐݺ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ø Ñ Ý ÓÖ ÙÑÙÐ Ø ÒÓØ Ü ÑÔÐ Ø × Ø × Ì × ÄÄƺ Ù× ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø Ø Ú ÔÓ× Ø Ú Ò Ø º × ÓÙÐ ÓÒ ØÓ Ð ÙÐ Ø χ2 ×Ø Ø ×Ø ¸ • ÆÓØ Ø Ó ÓÖÑÙÐ ÓÖ × ˆ Ω Ö ÕÙ Ö × × ÙÔÓÒ Ò Ò Ö ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø Ó Ó ×Ø Ñ Ø θ, Û Û m(θ 0 ), Û Ò ØÙÖÒ Ö ÕÙ Ö × Ò Ω! Ì ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø × Ö ÙÐ Ö ØÝ Ü ÑÔÐ ØÓ Ò Ø ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Üµ¸ × Ø ×Ø Ñ Ø Ö ØÓ × ØÓ × Ø Ø Ó Ø ÓÖÑ Ò Ò Ø Ò Ñ ØÖ Ü ÙØ W Ò ØÖ Ö ÐÝ ´ ÓÖ ÒØ ×Ø Ñ Ø Ö×Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø Ò Ö ¹ ×Ø Ñ Ø ÐÝ ØÛ 0 Ó θ , Ø Ø Ö Ø Ò Ù× ˆ Ω, θ0. Ì ÔÖÓ ×× Ò ÙÒØ Ð Ò ˆ Ω ÒÓÖ ˆ θ ÔÔÖ Ò Ø Ö Ø ÓÒ׺ Ö Ì º½º Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÚ Ö Ò ¸ ½ Ö µ ×ÓÐÚ × Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓ×× ×Ø Ñ ØÓÖº Ð Ì Æ Û Ý¹Ï ×Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ´ ÓÚ ÓÒÓÑ Ø¹ ×Ø Ñ ØÓÖº ÒÓÒÔÓ× Ø Ú Ò Ø Ò ×× Ó Ø q(n) ˆ Ω = Γ0 + v=1 Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ × Ôº º Ø Ø Ø × × 1− v q+1 ÓÒ ÓÖ Γv + Γ′ . v ÓÖ ÓÒ× ×Ø Ò Ý × Ø Ø Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº Ì Ó ÖÓÛØ Ø ÓÒ ÆÓØ ÔÐ Ú ÖÝ ×ÐÓÛ Ö Ø ÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ÑÓÖ Ö ÒØ Ô Ô Ö¸ Æ Û Ý ÓÖ ÔÔÐÝ Ò Ø Ø Ò ÖÒ Ð Ø Ø ÓÖÑ q. Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ × Ó Ω. ÁØ × Ò Ü ÑÔÐ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ¹ Û ³Ú Ó n−1/4 q → 0. ×Ø Ñ ØÓÖº ½ µ Ù× Ð ØÓ Ø Ò ÖÐÝ ÁÒ Ï ×Ø ´ ÔÖ ¹Û Ø Ò Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Û Ð Ø ÒÓ × ¸ ×Ó Ø ÊÚ Û Ó ÖÒ Ð ÓÒÓÑ ËØ٠׸ × ØÓ Ø Ð Û ÐÐ ×Ø Ñ ØÓÖº Ì Ö × Ò Ù Ð× Ó Ø Î Ê ÑÓ ÑÓÖ Ø ÓÒ׺ ÁØ × Ø Ø ÜÔ Ø Î Ê ÑÓ Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÚ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ø Ô Ö ÓÖÑ ØØ Ö Û Ø × ÓÖØ Ð Ò Ø ×ºº Ì Î Ê ÑÓ Ð × mt = Θ1 mt−1 + · · · + Θp mt−p + ut ˆ ˆ ˆ Ì × × ×Ø Ñ Ø ØÓ Ø Î Ê × ¸ Ú Ò Ø Ø Ò Ö × Ö × Ù Ð× ut . ˆ Ò Ì Ø Ò Ø Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÚ Ö Ò Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò Ø × ÔÔÐ ØØ ÔÖ ¹Û Ù Ð׸ ÓÚ Ö Ω × ×Ø Ñ Ø ÓÑ mt = Θ1 mt−1 + · · · + Θp mt−p ˆ ˆ ˆ Û Ø Ø ÖÒ Ð ×Ø Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÚ Ö Ó × Ø Ò × Ó Ø ÝÓÙ³Ö ut . Ë Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÖ º Ø Ð׺ • Á Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÒØ Ö ×Ø º ËÓ ÇÒ Ö¸ Ø ÓÑÑÓÒ Û Ý Ó Ø ÓÒ׺ Ø Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ× Ø ÓÒ× ÙÒ ÓÒ Ú Ò ÔÖ × ÒØ × ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ× × Ø ÓÒ Ð × ÜÔ Ø Ø ÓÒ׺ Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÙÔÓÒ ÓÒ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ËÙÔÔÓ× Ú Ö Ð Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Y × Þ ÖÓ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ö Ò ÓÑ X EY |X Y = Y f (Y |X)dY = 0 ÔÖÓ Ù Ø Ó Ì Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ × Y Ò ÙÒ Ø ÓÒ g(X) Ó X × Ð×Ó Þ ÖÓº Ì EY g(X) = Y g(X)f (Y, X)dY X Y dX. º ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ÍËÁÆ ÇÆ ÁÌÁÇÆ Ä ÅÇÅ ÆÌË ½ ½ Ì × Ò Ò× ØÝ Ó ØÓÖ ÒØÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÛºÖºØº Ø Ñ Ö Ò Ð X: EY g(X) = X Y Y g(X)f (Y |X)dY ÔÙÐÐ ÓÙØ Ó Ø f (X)dX. ÒØ Ö Ð Ë Ò g(X) Ó ×Ò³Ø Ô Ò ÓÒ Y Ø Ò EY g(X) = ÙØ Ø Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÒØ × × ÓÒ Ø X Y Y f (Y |X)dY Ý g(X)f (X)dX. Ö × × Þ ÖÓ ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ ×Ó EY g(X) = 0 × Ð Ì Ñ º ÓÒÓÑ ØÖ ÐÐݸ × Ò Ð Ø ÐÐ× Ù× Ø ÕÙ Ð ØÓ ØØ ÑÓ Ð× Ó Ø Ò ÑÔÐÝ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð × × ÑÔÓÖØ ÒØ ÑÓÑ ÒØ׺ ËÙÔÔÓ× ÓÒ Ø ÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ K(yt , xt ) × ÜÔ Ø Ø ÓÒ¸ ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø It , k(xt , θ), Eθ K(yt , xt )|It = k(xt , θ). • ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ò Ø ×Ó Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø Ø Ð ×× Ð Ð Ò Ö ÑÓ Ð yt = x′ β + εt , t Û Ò × Ø K(yt , xt ) = yt k(xt , θ) = x′ β º t Ï Ø Ø ×¸ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ht (θ) = K(yt , xt ) − k(xt , θ) × ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ Eθ ht (θ)|It = 0. Ì × × × Ð Ö ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ¸ Û ÓÚ ×Ò³Ø ×Ù Ö ×ÙÐØ ÒØ ØÓ ÒØ Ý K ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö θ (K > 1)º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÓÖÑ Ú Ö ÓÙ× ÙÒ ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÓÒ× mt (θ) = Z(wt )ht (θ) Û g × 1¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ó wt Ò wt × × Ø Ó Z(wt ) Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö Ð ×º Ï Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø It . Ì ÓÒ Ø ÓÒ׸ ×Ó × ÐÓÒ × g > K Ø Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ ÇÒ Ò ÓÖÑ Ø n × g Ñ ØÖ Ü   Z1 (w1 ) Z2 (w1 ) · · · Zg (w1 )   Zg (w2 )   Z1 (w2 ) Z2 (w2 )  Zn =  º º  º  º º  º  Z1 (wn ) Z2 (wn ) · · · Zg (wn )  ′  Z1  Z′    =  2    Ö × Z(wt ) Ú Ö ÒÓÛ Ø ÓÒ Ð × Ú ÓР׺ Ö ÛÒ ÖÓÑ g ÑÓÑ ÒØ ′ Zn º ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ÍËÁÆ ÇÆ ÁÌÁÇÆ Ä ÅÇÅ ÆÌË ½ ¾ Ï Ø Ø × Û Ò ÓÖÑ Ø g ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× mn (θ) = = = = Û Ø Ö Ø  h1 (θ)   1 ′  h2 (θ)   º  Z  n n º  º  hn (θ) 1 ′ Z hn (θ) n n n 1 Zt ht (θ) n t=1 1 n n  mt (θ) t=1 ÔÖ Ú ÓÙ× ØÖ ØÑ Òغ Ð × Ò ÒØ Ö ×Ø Ò Ú ÕÙ ×Ø ÓÒ Ñ Ü ÑÙÑ Z(t,·) Ö × × × Ò Ýº Ø × Ø tth ÖÓÛ Ó × ÓÙÐ Zn . Ì × Ø Ø× Ø ÓÛ ÓÒ ÓÓ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö Z(wt ) ØÓ Ø ÆÓØ Ø Û Ø Ø × Ó Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ׸ Û Ú Ø Ñ ØÖ Üµ × Dn ≡ ∂ ′ ∂θ m (θ) ´ K ×g Dn (θ) = = Û Û Ò Ò ØÓ ∂ 1 ′ ′ Zn hn (θ) ∂θ n 1 ∂ ′ h (θ) Zn n ∂θ n 1 Hn Zn . n Ò Ú Ù Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ× ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Dn (θ) = Û Ö Hn × × Ø× ÓÐÙÑÒ׺ Ä K ×n Ñ ØÖ Ü Ø Ò Ø Ø × Ø Ö Ú Ø Ú × Ó Ø Û × ¸ Ú Ö¹ ÓÚº Ó Ø Ωn = E nmn (θ 0 )mn (θ 0 )′ = E 1 ′ Z hn (θ 0 )hn (θ 0 )′ Zn n n 1 ′ hn (θ 0 )hn (θ 0 )′ Zn = Zn E n ′ Φn ≡ Zn Zn n Ø Ø Ø Ð Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø Û Ø ÓÙØ Ø Ø ÅÅ × Ñ ØÖ Ü × ÖÓÛ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ø Û Û Ø Ö Ø Ì Û Ú × ÑÔÐ Ò Φn = V arhn (θ 0 ). ÆÓØ ÓÖ Ñ ÙØ × ÓÚ × Þ ¸ ×Ó Ø × ÒÓØ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ü × ×ØÖ × Ý× Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ù× Ò ÓÔØ Ñ Ð Û √ Û Ö d ˆ n θ − θ 0 → N (0, V∞ ) −1 ´ ½µ V∞ = lim Ò n→∞ Hn Zn n Ø Ù× ′ Zn Φn Zn n ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø −1 ′ ′ Zn Hn n × Ø . ÒØ Û Ø Ò Ñ ØÖ Ü¸ Í× Ò Û Ö ÙÑ ÒØ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø ÔÙØØ Ò Ò × ÓÛ Ø Ω−1 ∞ ′ Zn = Φ−1 Hn n º ËÈ Á Á ÌÁÇÆ Ì ËÌ ½ ¿ Ù× × Ø ÓÚ Ú Ö¹ ÓÚ Ñ ØÖ Ü ØÓ × ÑÔÐ Ý ØÓ ´ ¾µ Ò ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø × Ñ ØÖ Ü V∞ = lim Р׺ ´ÌÓ ÔÖÓÚ ÓÔØ Ñ Ð Ö Ò Ø ÓØ Ø ×¸ n→∞ ′ Hn Φ−1 Hn n n Ø Ø Ø −1 . Ú Ö¹ ÓÚ Ó Ø ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ó Ó × ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ð Ñ Ø Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö Ñ ØÖ × Û Ø Ò × ÓÛ Ø Ø Ø Ø Ø Ü Ñ Ò Ò Û Ø Ö Ò ÒÓÒ¹ÓÔØ Ñ Ð ÒÚ Ö× × Ó Ø × Ú Ö¹ ÓÚ ÓÚ ¸ ÝÓÙ ÒØÖÙÑ ÒØ× × ÔÓ× Ø Ú Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ × Ñ ¹ Ò Ø µº ÑÓÖ ×Ø Ñ Ø ¹ ÓÒ ÔÖÓÔ ÖÐÝ ØÓ × • • ÆÓØ Ô Ò × Í×Ù ÐÐݸ Hn , Û Û × ÓÙÐ ÛÖ Ø 0 , Ò Φ ÑÙ×Ø ÓÒ θ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Hn × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö H= ∂ ′ ˜ h θ , ∂θ n ×Ø Ñ ØÓÖ Ð º ÁØ Hn (θ 0 ), ׺ × Ò Ø ÔÔÐÝ Ø Ù×Ø Ù× × Û Ö ˜ θ × ×ÓÑ Ò Ø Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ × × Ò ÓÒ ÒÓÒ¹ÓÔØ Ñ Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ • ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÕÙ Ø Ò³Ø ×Ô Φn Ñ Ý ÒÓØ Ò ÔÓ×× × ÑÔÐ Ð Ñ ÒØ× Ø ×Ø Ñ Ø Ø n, Ø × Þ ¸ ×Ó Û Ø ÓÙØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø × ÐÐݸ ÝÓÙ Ò Ø ØÓ ÔÖÓÚ Ö ØÓ Ð n×n Ñ ØÖ Ü¸ ×Ó Ø × ÑÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ× ×Ø ÒØÐݺ ÓÚ Ö Ò × Ó × ØÓ Ø Ø Ø ÓÒ Ó ht (θ) Ø Ò ÓÖ ØÓ Ù× ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø × ÑÔÐ × Ñ ØÖ Ü Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐÝ ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ ÆÓØ ÔÔÐÝ Ò Ú Ö¹ ÓÚ Ñ ØÖ Ü Ò Ö Ø Ù× ¹ Ø Û ÐÐ ¾ Û ÐÐ ÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÐÝ ÓÔØ Ñ Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ× × ÙÔÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø ½¸ Û Ö Ò ×× ÖÝ ØÓ Ù× ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Z ′ Φn Z n Ø ÖÑ n ÑÙ×Ø n ÙÖ º ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ô Öظ ÓÖ Ü ÑÔÐ Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÔÖÓ º ÆÓØ Ø Ø ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø º Ì × ÒÓÙ º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò Ò ÙØÙÖ ÝÒ Ñ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ú Ö¹ ÓÚ Ñ ØÖ Ü¸ ÓÖ ÒÓÛ¸ Ø ÙØ Ö Ó Ø Ò Ö Ö Ø ÓÒ׺ À Ò× Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÝÒ Ñ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Û ÐÐ Ø ÓÒ× × ÑÔÐ Ý Ø º Ì Ò Ö×Ø ÓÖ Ö Ö ÓÒ Ñ ØÖ Ü¸ ×Ô Ø ÓÒ Ø ×Ø Ø Ò ×Ø Ñ Ø Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð Û Ø¹ Ø ÓÒ× ÓÖ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ¸ Ù× Ò ∂ ′ ˆ ∂ ˆ s(θ) = 2 m θ ∂θ ∂θ n ÓÖ ˆ ˆ Ω−1 mn θ ≡ 0 ÓÒ× Ö Ì ÝÐÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ Ó ˆ ˆ ˆ D(θ)Ω−1 mn (θ) ≡ 0 ˆ m(θ) ´ ¿µ ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ý ′ ˆ ˆ m(θ) = mn (θ 0 ) + Dn (θ 0 ) θ − θ 0 + op (1). ˆ ˆ D(θ)Ω−1 Û Ó Ø Ò ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ D(θ)Ω−1 m(θ) = D(θ)Ω−1 mn (θ 0 ) + D(θ)Ω−1 D(θ 0 )′ θ − θ 0 + op (1) Ì Ð × × Þ ÖÓ¸ Ò × Ò ˆ θØ Ò × ØÓ θ0 Ò ˆ Ω Ø Ò × ØÓ Ω∞ ¸ Û Ò ÛÖ Ø a ′ ˆ D∞ Ω−1 mn (θ 0 ) = −D∞ Ω−1 D∞ θ − θ 0 ∞ ∞ º ÇÌÀ Ê ËÌÁÅ ÌÇÊË ÁÆÌ ÊÈÊ Ì Ë ÅÅ ËÌÁÅ ÌÇÊË ½ ÓÖ √ √ a ′ ˆ n θ − θ 0 = − n D∞ Ω−1 D∞ ∞ Ï Ø Ø ×¸ Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÓÖ Ò Ð −1 D∞ Ω−1 mn (θ 0 ) ∞ ¿µ¸ Û Ø ÜÔ Ò× ÓÒ ´ ÕÙ Ø ÓÒ √ Ì × Ð ×Ø Ò ˆ nm(θ) = √ a √ nmn (θ 0 ) − × √ ′ ′ nD∞ D∞ Ω−1 D∞ ∞ −1 D∞ Ω−1 mn (θ 0 ). ∞ ÛÖ ØØ Ò √ ÇÖ ˆ nm(θ) = a ′ ′ n Ω1/2 − D∞ D∞ Ω−1 D∞ ∞ ∞ −1 −1/2 −1/2 Ω∞ mn (θ 0 ) D∞ Ω∞ √ ÆÓÛ −1/2 ˆ a nΩ∞ m(θ) = √ −1/2 ′ ′ n Ig − Ω∞ D∞ D∞ Ω−1 D∞ ∞ −1 −1/2 −1/2 Ω∞ mn (θ 0 ) D∞ Ω∞ √ Ò × ÐÝ Ú Ö Ý Ø Ø −1/2 nΩ∞ mn (θ 0 ) → N (0, Ig ) −1 Ò d Ò ÓÒ −1/2 ′ ′ P = Ig − Ω∞ D∞ D∞ Ω−1 D∞ ∞ × ÑÔÓØ ÒØ Ó Ö Ò −1/2 D∞ Ω∞ ÑÔÓØ ÒØ Ñ ØÖ Ü × ÕÙ Ð ØÓ Ø× ØÖ µ ×Ó g − K, ′ ´Ö ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ò Ó √ Ë Ò −1/2 ˆ nΩ∞ m(θ) × ØÓ √ −1/2 ˆ ˆ ˆ d nΩ∞ m(θ) = nm(θ)′ Ω−1 m(θ) → χ2 (g − K) ∞ Ð×Ó Ú ˆ Ω ÓÒÚ Ö Ω∞ , Û ˆ ˆ ˆ nm(θ)′ Ω−1 m(θ) → χ2 (g − K) ÓÖ d ˆ d n · sn (θ) → χ2 (g − K) ×ÙÔÔÓ× Ò Ø Ø ÑÓ Ú ÐÙ Ø ×Ø × º Û Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × Ù×Ø ÒØ º Ì ºÓº º Ö Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ó Ø Ó Ø Ú º Ì ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø × × Ý ÓÒÚ Ò Ò ÒØ Ø ×Ø × Ò Û Ø Û Ù×Ø ÑÙÐØ ÔÐÝ ÓÔØ Ñ Þ Ì n, ÓÑÔ Ö χ2 (g ØÓ Ú ÐÙ º Ò Ö Ð Ø ×Ø Ó Ö ÓÖ ÒÓØ Ø ÑÓÑ ÒØ× Ù× − K) Ö Ø Ð Ö ×Ø Ñ Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô • Ì × ÛÓÒ³Ø ÛÓÖ ˆ ˆ Dθ sn (θ) = D Ω−1 m(θ) ≡ 0. ÙØ Û Ø Ü Ø ÒØ Ø ÓÒ¸ Ø Ø ÓØ D Ò ˆ Ω Ö ×ÕÙ Ö Ò ÒÚ ÖØ Ð ´ Ø Ð ×Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ ××ÙÑ Ò ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÓÐ µ¸ ×Ó ˆ m(θ) ≡ 0. ËÓ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ñ Ö Ø Ø ÓÒ× Ö Ò Þ ÖÓ Ö Ö Ð ×× Ó Ò Ø Û × Ú Ø Ò ØÖÓÙ Ð º Ñ ØÖ Ü Ù× Ð×Ó º × ×Ù ¸ Û ×Ó Ø × Û ÐÐ Ù× × ÓÛÒº ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü ˆ sn (θ) = 0¸ ÙØ ÓÙ× Ø ×Ø Ø Ø Ò • ÒÓØ Ò Ö × ×ÓÖØ Ó Ø ×Ø Ó Ø Ò ÓÚ Ö¹Ö ÑÓ Ð Û Ò Ø × Ø ×Ø Ö Ø× Ò Ø׺ Ò Ø × ÑÔР׺ ÇÒ × ÓÙÐ º ÇØ º½º ÇÄË Û Ø Ü ÑÔÐ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ× ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÖÓ× Ø ³× × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ× ×Ø ØÝ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖѺ ×Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ ÇÄ˺ ¾ º Ï Ø ÖÓ× º ÇÌÀ Ê ËÌÁÅ ÌÇÊË ÁÆÌ ÊÈÊ Ì Ë ÅÅ ËÌÁÅ ÌÇÊË ½ ËÙÔÔÓ× y = Xβ 0 + ε, ØÝÔ Ð Û Ö ε ∼ N (0, Σ), Σ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ Üº Ö × • Ì ÔÔÖÓ Ò × ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ¸ Û ÐÐ Ø Σ = Σ(σ), Û β Ò σ Ó ÒØÐÝ ´ Σ, Û σ Ð × Ò Ø Ä˵º Ì Ñ Ò× ÓÒ Ð × Û ÐÐ ÛÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒ ÒØ Σ × ÓÖÖ Øº Ò ×Ø ÐÐ ×Ø Ñ Ø β ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ˆ = (X′ X)−1 σ 2 Û ÐÐ V (β) ˆ • Á Û ³Ö ÓÙØ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ò ØÝÔ Ð ÓÚ Ö Ò ´ Û ÐÐ Ð Ò Ý ÇÄ˺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò ÓÒ× ×Ø Òظ Ö Ö ××ÓÖ× Ø ÓÒ ØÓ ÒÚ Ð Ö Ò ×º Ú Ý ×Ù ÜÓ Ò ØÝ Ó xt ×Ø× Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ K×1 ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖµ Û E(xt εt ) = 0,Û mt (β) = xt yt − x′ β . t ÁÒ Ø Ú × × ¸ Û Ú Ü Ø ÒØ Ø ÓÒ ´ K Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò K ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ×µº Ï m(β) = 1/n t ÓÖ Ø ÒÝ Ó Ó mt = 1/n t xt yt − 1/n Ø Ø Ø ÓÒ× xt x′ β. t t Ñ Ò ÑÙѸ × Ö Ù ØÓ Ü Ø ÒÙÑ Ø Ò¹ Ö Ó ÓÔ¹ W, m(β) Ø Ó ÑÔÐÝ Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ö ÓÖ Û ÐÐ ÒÙÑ Ø Ö Ó ÒØ ÐÐÝ Þ ÖÓ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð ×× Ó Ø ÓÒº Ì Ø ×¸ × Ò ÒØ Ð ØÓ Ø × ÒÓ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Ø Ø Ñ Ð Ó Û Ø Ò × × ¸ ˆ m(β) ≡ 0 Ò W. Ì ØÓ Ù× ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü ÛÓÖ × Ù×Ø × Û ÐÐ ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ× ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ì ˆ β= t Û Ì × Ø Ù×Ù Ð ÇÄË ÅÅ xt x′ t −1 t xt yt = (X′ X)−1 X′ y, ′ −1 ×Ø Ñ ØÓÖº ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÓÚ Ñ ØÖ Ü × × × ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø D∞ Ω−1 D∞ .Ê ÐÐ Ø Ø D∞ × × ÑÔÐÝ ∂ ′ ∂θ m ˆ θ . ÁÒ Ø D∞ = −1/n Ê ÐÐ Ø Ø ÔÓ×× Ð ×Ø Ñ ØÓÖ Ó t xt x′ = −X′ X/n. t Ω × n−1 ˆ Ω = Γ0 + v=1 Ì ØÓ × × Ò Ò Ö Ð Ò ÓÒ× ×Ø Òظ ÙØ Ò Ø Γv + Γ′ . v ÔÖ × ÒØ × Ó ÒÓÒ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ Ø × ÑÔÐ × ˆ Ω = Γ0 Û × ÓÒ×Ø ÒØ ÒÙÑ Ò׺ ÁÒ Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØ× ØÓ ×Ø Ñ Ø ¸ ×Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÐÐ ÙÑÙÐ Ø ¸ Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø ÔÖ × ÒØ × n Ω = Γ0 = 1/n t=1 n mt m′ ˆ ˆt 2 = 1/n t=1 n ˆ xt x′ yt − x′ β t t xt x′ ε2 t ˆt = 1/n t=1 = ˆ X′ EX n º ÇÌÀ Ê ËÌÁÅ ÌÇÊË ÁÆÌ ÊÈÊ Ì Ë ÅÅ ËÌÁÅ ÌÇÊË ½ Û Ö Ì ˆ E Ö × Ò ÓÖ ¸ Ø n×n √ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Û Ø ÅÅ Ú Ö ÓÚº ε2 ˆt Ò Ø ÔÓ× Ø ÓÒ t, tº X′ X − n −1 ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Û × ÓÒ× ×Ø Òظ × ˆ V ˆ n β−β = = X′ X − n X′ X n Ø ´½ ˆ X′ EX n ˆ X′ EX n ÖÖ Ú −1 −1 X′ X n Ø Ò Ò −1 Ì × × Ø Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ö Ø Ï Ø ÖÓ× ¼µ Ò Ù ÒØ Ð Ö ÖØ Ð º Ì × × ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ¸ Ø Æ Û Ý¹Ï ×Ø ×Ø ØÝ Ó Ù× ÓÒ× ØÓ Ö Ø Ò ÙÒ ÒÓÛÒ ×Ø Ñ Ø ÓÖѺ Á Ø Ö ×Ø × Ø Ó ÙØÓ ÓÖ¹ ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ω ¹ Ø × Ñ º Ð Ò Ö ÑÓ Ð º¾º Ï Û Ø Ø ÖÓ× Ø Ä ×Ø ËÕÙ Ö ×º ÔÖ Ú ÓÙ× Ü ÑÔÐ ×Ø ØÝ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖÑ y = Xβ 0 + ε ε ∼ N (0, Σ) Û Ö Σ × ÓÒ Ð Ñ ØÖ Üº Ø Ø Ø Ñ Ý Ð×Ó ÓÖÑ Ó Ô Ò ÆÓÛ¸ ×ÙÔÔÓ× ×Ô Ø ÓÒ ´Û Σ × ÒÓÛÒ¸ ×Ó Ø Ø Σ(θ 0 ) × ÄË ÓÖÖ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÙÔÓÒ X). ÁÒ Ø × × ¸ Ø ˜ β = X′ Σ−1 X Ì × ×Ø Ñ ØÓÖ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø × Ø −1 X′ Σ−1 y) K ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ˜ m(β) = 1/n t Ì ØÓÖº Ø ×¸ Ø Ï Ø ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ø xt yt − 1/n σt (θ 0 ) × t xt x′ ˜ t β ≡ 0. σt (θ 0 ) × ÑÓÖ ÅÅ ×Ø Ñ ¹ º ÙØ Ø × Ð ØØÐ ÓÑÔÐ Ø × × Ò Ó Ú ÓÙ× Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ü ×Ø× ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ Ø × Ø × Ö Ð µ ÄË Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ö Ö Æ Ú ÖØ Ð ×׸ Ø × Ñ º Ì Û ÔÓ ÒØ× ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ù××¹Å Ö ÓÚµº ÓÚ × Ò Ü ÑÔÐ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø ÓÒ× × Ó ÇÄË Û Ø ÅÅ Ï Ø ³× ÒØ Ò Ø Ð ×× • • • Ì ´ ×Ø Ñ ØÓÖ × × ÒÓÛÒ ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ× ´ ÒØ Ø Ò Ø Ó Ð Ò Ì × Ñ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ Ò× Ø Ø Ø × ÑÓÖ Ø ÖÓ× Ì × Ñ Ò Ýº ×Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÚ Ö Ò× Ø Ø Ø Ó Ó Ø Ò ¸ Û ×Ø Ñ ØÓÖº Ú ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ º¿º ¾ËÄ˺ ÓÒ× Ö Ø Ð Ò Ö ÑÓ Ð ′ yt = zt β + εt , ÓÖ y = Zβ + ε Ù× Ò × ÓÒ ÜÓ Ú Ö Ø Ó Ù×Ù Ð ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ¸ Û ×Ý×Ø Ñ Ó Ð ×º Ö Ö β Ø × × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ËÙÔÔÓ× Ø ÕÙ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø K ×1 Ò εt Ø × º º º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø Ò Ó × ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÙ× Ò zt ÐÐ × ÓÒØ ÜÓ Ò× ÓØ Ò ÒÓÙ× Ú Ö Ð × Ø Ø Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø xt εt ÔÖ × Ø Ú ØÓÖ Ó Ø Ø ÒÓÙ× ÔÖ Ø ÖÑ Ò ´×ÙÔÔÓ× xt Û • ˆ Z × Ø X (X′ X)−1 X′ Z r × 1). Ö ×× ÙÔÓÒ Ú ØÓÖ Ó Ø ÓÒ× Ó Z Ò Ö X¸ º º¸ ˆ Z = ˆ Z = X X′ X −1 X′ Z º ÇÌÀ Ê ËÌÁÅ ÌÇÊË ÁÆÌ ÊÈÊ Ì Ë ÅÅ ËÌÁÅ ÌÇÊË ½ • Ë Ò ˆ Z × Ð Ò Û Ø Ö ÓÑ Ì Ò Ø ÓÒ Ó ×Ø× Ø Ø ÜÓ ÒÓÙ× Ú Ö Ð × ˆ x, zt ÑÙ×Ø Ø ÓÒ ÙÒ¹ ÓÖÖ Ð Ø ε. Ò × ×Ù K¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ mt (β) = ˆ zt (yt − z′ β) t ×Ó m(β) = 1/n t ˆt yt − z′ β . z t ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ð ×× Ó Ø ÓÒ׸ Ø ×Ó Û Ú ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ • Ë Ò × Ø Û Ú K Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò K m ÒØ ÐÐÝ ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ¸ Ö W, ˆ β= t Ì × × Ø ×Ø Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ò Ó ˆt z′ z t −1 t ˆ (ˆt yt ) = Z′ Z z Ù× Ø ÜÓ −1 ˆ Z′ y Ð × Ò Ø Ö Ù ÓÖ ¾ËÄ˺ Ï ÒÓÙ× Ú Ö Ð × ÒÓÙ× Ú Ö Ò Ö ÓÖÑ ÔÖ Ø ÓÒ× Ó Ø × Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ × Ø ÒØ ´ ×Ø Ò ÔÔÐÝ ÁÎ ÓÖÑÙÐ Ø Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ë ÓÖ ¾ËÄ˵¸ Ò À Ñ ÐØÓÒ ÔÔº ÓÖ ×ÓÑ ÓÛ ØÓ ÓØ ¾¼¹¾½ ÓÖ Ø ÐÛ Ø Ú Ö ÓÚ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÙ× Ò Ò ´Û Ô Ò ÔÔÐÝ Ø Ø εt Ø ÖÓ × ÐÐݸ Ù×Ø Ù× Æ Û Ý¹Ï ×Ø ÓÖ Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ó ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ω, Ù×Ù Ð ÓÖÑÙÐ µº ÆÓØ × Ð Ø Ñ Ø × εt Ô Ò ÒØ Ù× × Ð ÒÓÙ× Ú Ö Ð × ØÓ ÐÓÓ× Ö ×Ø ØÙ× Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ ÒØ Û Ý ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ× Ó Ø ×¹ º º ÆÓÒÐ Ò Ö × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ø Ñ Ø ÓÖÑ ÒÓÒÐ Ò Ö ×Ý×Ø Ñ× Ó × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÅÅ ÔÖÓÚ Ú ÓÒÚ Ò ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ï ×Ý×Ø Ñ Ó 0 y1t = f1 (zt , θ1 ) + ε1t 0 y2t = f2 (zt , θ2 ) + ε2t º º º 0 yGt = fG (zt , θG ) + εGt , ÓÖ Ò ÓÑÔ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ yt = f (zt , θ 0 ) + εt , Û Ö Ï ÓÖÖ Ð Ø Ú Ö f (·) Ò × ØÓ Û Ø G ¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ú ØÓÖ Ó εit . Û Ø ÌÝÔ Ð Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ÛÓÙÐ Ø Ö Ð Ú Ð٠׺ Ì Ò Û Ai × 1 0′ 0′ 0′ θ 0 = (θ1 , θ2 , · · · , θG )′ . Ò×ØÖÙÑ ÒØ× xit , ÓÖ ÕÙ Ò ÐÓÛ ÓÖ Ò Ö ÑÓÒÓÑ Ò Ø Ø ÓÒ¸ Ø Ø ÜÓ Ö ÙÒ¹ ÒÓÙ× Ð× Ò Ø Ð × Ò zt , G i=1 Ai Ò Ð ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ× ×1 ÓÖØ Ó Ó¹ • • ÒÓØ ÓÒ ÒØ  (y1t − f1 (zt , θ1 )) x1t    (y2t − f2 (zt , θ2 )) x2t   . mt (θ) =  º  º º   (yGt − fG (zt , θG )) xGt Ø ÓÒ × Ð Ø ÓÒ Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ø Ò Ý Ø × Ð Ø × Ø Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ö × Ð ØØÐ Ø  Ø Ò×ÙÖ ÒØ Ø ÓÒ × ÒÓÒ¹ØÖ Ú ÒÓØ Û Ð ÔÖÓ Ð Ñº × ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÖÝ Ó Ö Ò Ø× ÓÒ Ø Ù Ò ÓÒ ÓÒ Ò Ý Ó Ø × Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒº ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ø ÓÔØ Ñ Ð × Øº ÅÓÖ ÓÒ Ø × Ð Ø Öº Ö Ù Ø Ø ÅÄ Û ÐÐ Ò ×ØÖ Ò Ö Ð ÙØ ÓÒ º º Å Ü ÑÙÑ Ð ÑÓÖ Û Ò Ð ÒØ Ø Ò Ð Ñ Ø ÅÅ Ù× × ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ð ÓÓ º ÅÅ × Ò ÒÙÑ Ý ÁÒ Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Û ÐÐ Ó Ø ÅÄ ÑÔÐ ØÐÝ Ù× × Ö Ó ÑÓÑ ÒØ׺ ÑÓÑ ÒØ× Ó Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø ØÙ ÐÐݸ P Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö Ø Ö Þ P ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ ×ÓÑ × Ø× Ó P ÑÓÑ ÒØ º ÇÌÀ Ê ËÌÁÅ ÌÇÊË ÁÆÌ ÊÈÊ Ì Ë ÅÅ ËÌÁÅ ÌÇÊË ½ ÓÒ Ø ÓÒ× Ñ Ý ÓÒØ ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø º Ò ÑÓÖ ÅÅ Òغ À Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ø Ò ÓØ Ø Ó× Ö׸ × Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÙÐ Ø ÓÒ× Ò ÓÔØ Ñ Ð × Ø Ó P ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ö ÛÓÙÐ × ÓÖ × Ó Ø Ä Ø × Ú Ö ÙÐÐÝ ÅÄ Û ³ÐÐ × Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ × ÑÔÐÝ Ø ×Ø Ñ ØÓÖº ¹Ú ØÓÖ Ó ´Ö Ö ØÓ Ú Ö Ø × Ø Ð ×¸ Ò Ð Ø yt Ú G ′ ′ ′ Yt = (y1 , y2 , ..., yt )′ . Û Ó ÐÐ Ù× Ì Ò Ø Ø Ø Ñ ÓÒ Ð t, Yt−1 Ø ÓÒ Ò Ð ÓÓ Ò Ó × ÖÚ Ð × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø¸ × Ò Ú ÒØ ××ÙÑ Ò × Ð Ø Ó ÒØ ØÓ Ø ÙÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒµº Ì ÙÒ Ø ÓÒ × Ø Ò× ØÝ Ó Ø × ÑÔÐ L(θ) = f (y1 , y2 , ..., yn , θ) Û Ò ØÓÖ × L(θ) = f (yn |Yn−1 , θ) · f (Yn−1 , θ) Ò Û Ò Ö Ô Ø Ø × ØÓ Ø L(θ) = f (yn |Yn−1 , θ) · f (yn−1 |Yn−2 , θ) · ... · f (y1 ). Ì ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × Ø Ö ÓÖ n ln L(θ) = Ò t=1 ln f (yt |Yt−1 , θ). × Ø Ø ØÓ Ø Ø × ÓÖ Ó Ø Ú tth mt (Yt , θ) ≡ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) Ó × ÖÚ Ø ÓÒº ÁØ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Þ ÖÓ Û × ÓÛÒ Ø Ò Ø¸ ÙÒ Ö Ø Ö ÙÐ Ö ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ׸ Ú ÐÙ Ø × ÓÖ × ÓÒ 0 Ø θ ´× ÒÓØ × ØÓ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÓÒÓÑ ØÖ ×µ E{mt (Yt , θ 0 )|Yt−1 } = 0 ×Ó ÓÒ ÓÙÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ø Ö Ö × × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ø ÓÒ× ØÓ Ù× Ö ØÓ Ò Ù×ع ÒØ ÅÅ ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø Ñ ØÓÖ ´ × Ø× K n Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø K × ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ×µº Ì n 1/n t=1 Û × Ö ÔÖ × ÐÝ Ø ×Ø Ñ ØÓÖº Ì ˆ mt (Yt , θ) = 1/n t=1 Ö ÓÒ Ö×Ø ÓÖ ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) = 0, º Ì Ö ÓÖ ¸ ÅÄ Ò ÒØ ÖÔÖ Ø × Ö Ø ÓÒ× Ó ÅÄ ÅÅ ÅÅ Ú Ö ÓÚ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ× ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø × Ó Ú Ö V∞ = × ÓÐÐÓÛ× ′ −1 º D∞ Ω−1 D∞ • D∞ D∞ • Ω ∂ ˆ = ′ m(Yt , θ) = 1/n ∂θ Ø º Ø n t=1 2 ˆ Dθ ln f (yt|Yt−1 , θ) ÁØ × ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø × ÙÒ Ø ÓÒ Ó mt Ò mt−s , s > 0 Ö ÓØ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø Ø ÓÒ ØØ Ñ mt−s Ó Ø Yt−s , Û Yt−1 , ÑÔÐ × ÒØ Ø Ø tº ÍÒ ÓÒ ÓÐ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ð ×× ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ Ð ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ö ×Ô Ø ØÓ ÓÚ µº Ì ×Ø Ñ Ø Ý Ø ×Ó Ñ Ö Ò Ð Þ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Û Ø Yt−1 Ø Ø ÔÖ × ÖÚ × ÙÒ ÓÖ¹ Ø Ø × ÓÖ × Ö ¼ Ö Ð Ø ÓÒ ´× × Ö × Ø ÓÒ ÓÒ ÅÄ × Ø Ø ÐÐÝ ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ω Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø th ½¼º ÅÈÄ ÌÀ À ÍËÅ Æ Ì ËÌ ½ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ó Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× n n Ω = 1/n t=1 Ê ÐÐ ×Ø Ø × Ø ˆ ˆ mt (Yt , θ)mt (Yt , θ)′ = 1/n t=1 ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) ÕÙ Ð ØÝ ´ ÕÙ Ø ÓÒ ′ ÖÓÑ ×ØÙ Ý Ó Ø µ E Ì Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ 0 ) Dθ ln f (yt|Yt−1 , θ 0 ) × Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ´ Ò ÐÖ Ý × Û Ý× × Ò Û Ú Ö× ÓÒ ′ 2 = −E Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ 0 ) . Òµ Ö ×ÙÐØ Ø Ø Û Ò ×Ø Ñ Ø × Ö ×ÙÐØ ÑÔÐ ÒÝ Ó Ø Ö V∞ Ò • Ì V∞ = n            n 2 ˆ t=1 Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) n t=1 × ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) ′ −1 × n 2 ˆ t=1 Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) Ó Ø Ò Òµ Ø Ú Ó Ø À ×× Ò ´× Ò Ø Ñ Ð Ò −1           • ÓÖ Ø ÒÚ Ö× Ð ×Ø Ø ÖÑ Ò Ð¸ Ü ÔØ ÓÖ Ñ ÒÙ× × n V∞ = −1/n • ÓÖ Ø Ò Ð Ó Ø ÒÚ Ö× Ó Ø Ü ÔØ ÓÖ Ñ Ð Ñ ÒÙ× × t=1 2 ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) Ø Ö −1 , Ø Ñ Ð Ò Ð ×Ø ÓÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó Ò¸ Ò Ø ÒØ ´× Ò Ö×Ø Ø ÖÑ ÓÒÚ Ö Ø × ØÓ Ñ ÒÙ× Ø ÒÚ Ö× Ø ÖѸ Û × ×Ø ÐÐ Ò× ÓÚ Ö ÐÐ ÒÚ Ö× µ n V∞ = Ì × × ÑÔÐ Ø ÓÒ × ×Ø Ñ ØÓÖ× Ò Ò Ö Ðº 1/n t=1 ×Ô ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) Ð Ö ×ÙÐØ ÓÖ Ø ÅÄ ˆ Dθ ln f (yt |Yt−1 , θ) ×Ø Ñ ØÓÖ ¹ Ø ′ −1 . ÔÔÐÝ ØÓ ÅÅ Ó ×Ò³Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ × Ñ Ð Ñ Øº Ø ÑÓ Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ý Û ÐÐ Öº ¸ ÐÐ Ó Ø × Ö ÓÖÑ× ÓÒÚ Ö × Ú Ò Ø ØÓ Ø Ø Ø ÁÒ ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ × Ø Ø Ö ÒØ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø ÓÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó Ú ½ ¾µ ×ÓÒ × Ò × Ö ÓÖÑÙÐ µº Ø Ó Ø Ðº Ó × ÒÓØ Ô Ö ÓÖÑ Ú ÖÝ Û ÐÐ Ï Ø ³× Ò ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ × ´× ´ ÓÒÓÑ ØÖ ¸ ÓÙØ Ö Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ Ô º ÙÔÓÒ ÓÑÔ Ö Ò ÒØ ÓÖ Ò Ø Ú ÑÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ø ×Ø ×Ø Ñ Ø Ý Ø Ö ØÛÓ Û Ý× ØÓ À ×× Òº Á Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ý ØÓÓ ÑÙ ¸ Ø × × Ú ÔÖÓ Ù Ø Ó Ó Ñ ××Ô Ø ÓÒ Ó Ø ½¼º Ì Âº º ´½ ÓÒ× ÓÖÑ Ò Ø Û Ø × × Ø ÓÒ µ¸ ËÔ ÖØ × Ù×× × Ø Ü ÑÔÐ Ì À Ù×Ñ Ò Ì ×Ø Û × ÓÖ Ò ÐÐÝ ÔÖ × ÒØ ¸ ¸ ½¾ ½¹ ½º ××ÙÑ Ó Ø Ø Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò À Ù×Ñ Ò¸ À Ù×Ñ Ò Ø ×ظ Û ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ð Ø ÓÒ Ø ×Ø× Ò Ð Ò Ö ÖÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ø × ÑÔÐ Ó Ø Ó Ö ×× ÓÒ ÑÓ × ÓÖÖ Ø¸ yt = ÙØ Ø x′ β+ǫt . Ï t ×ÓÑ Ö ××ÓÖ× Ö ××ÓÖ× Ñ Ý ÓÖÖ Ð Ø Ü ÑÔÐ ¸ Ø ÖÖÓÖ Ø ÖѸ Û ÔÖÓ Ð Ñ Ö ××ÓÖ× Ö ××ÓÖ× Ö Ö Ñ Ò Ó ×ÙÖ Ô Ò × ÝÓÙ ÒÓÛ Û ÐÐ ÔÖÓ Ù Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ˆ β. ÓÖ × Û ÐÐ ×ÓÑ Ö • • • Ò ÓÙ× Û Ø ÒØ Ú Ö ÖÖÓÖ Ð Ö Ù× × Ö Ö ××ÓÖ× Ò ×ÓÑ Ð Ö Ð Ø Ö Ú ÐÙ × Ó Ø º ǫt × ÙØÓ ÓÖ¹ ½¼º ÅÈÄ ÌÀ À ÍËÅ Æ Ì ËÌ ½ ¼ ÙÖ ½º ÇÄË OLS estimates 0.14 line 1 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2.26 2.28 2.3 2.32 2.34 2.36 2.38 2.4 ÙÖ ¾º ÁÎ IV estimates 0.16 line 1 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø ¸ Ø Ö ×ÐÓÔ ÓÖÖ Ð Ø Ó Ç Ø Ú Û Ø ÒØ Ù× × ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ö ××ÓÖ׸ ØÓ Ð × Ò Ø ºÑ Ô Ö ÓÖÑ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ø × × ÅÓÒØ Ý ÇÄË ÙÖ ÖÐÓ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û ØÖÙ Ø Ø Ú Ö Ö ÖÖÓÖ× Ó Ø Áκ Ì Ú ÐÙ ÇÄË ÑÙ Ò Ö Ø ÙÖ β = 2. ÁÎ ½ × ÓÛ× Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÕÙ Ø ÐÓ× Ö ØÓ Ø × Ú Ò ØÖÙ Ø ¸ Û ¾ × ÓÛ× Ø Ø Ø Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ × Ò Ø Ð × ÑÔÐ Ø ÁÎ Ú ÐÙ º Á ÝÓÙ ÔÐ Ý Û Ø Ø Ø ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÔÖÓ Ö Ñ¸ Ò Ö × × Þ ¸ ÝÓÙ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ¸ Û ÓÒ× ×Ø Òغ Ï ÔÖÓ ÓÒÚ Ö Ú × Ò Ø Ø Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ò Ð ØÝ Ð Ñ Ø¸ Û Ø Ø Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ× ÓÒÚ Ö Ô ØÓ Ö ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ý Ð ØÝ Ð Ñ Ø׺ Ì ØÓ Ø × Ñ × ×Ø ÔÖÓ À Ù×Ñ Ò Ø ×Ø ¹ ÓÒ Ö Ó ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ø ÓØ × ÓÒ× ×Ø ÒØ Ö × ÒÓØ Ø ½¼º ÅÈÄ ÌÀ À ÍËÅ Æ Ì ËÌ ½ ½ ÓÒÚ Ö ÙØ Û ØÓ Ö Ø Ö ÒØ Ð Ñ Ø׺ Á ÓÙ Ø Ò Ö Ò Ø ØÛ ÓØ Û ÔØ Ø Ø ÓÒ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ´ Ø ÇÄË ÒØÐÝ Ö × ÓÒ× ×Ø ÒØ ´ º º¸ Ò º º¸ Ø ÁÎ Ñ ×Ø Ñ ØÓÖµ¸ Ø ØÖÝ ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖµ¸ Û Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× × × Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓº • Á Û ³Ö ÓÙ Ø Ò ÓÙØ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ù×Ø Ù× Ö ÇÄË ´ÓÖ ÉÅĸ Ø ÁÎ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ ÜÓ Ø ºµ¸ Ò Û Ý × ÓÙÐ Ù× Ø Ø ÓØ Ú Ò Ò Û ÇÄË ÒØ Ö ×Ø Ò Ø ×Ø Ò ¹ Û Ý ÒÓØ ÒØ Û Ò Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÑÓÖ × Ð Ø Ö ××ÓÖ× ÒÓÙ× Ö Ð ×¹ ÑÓÖ Øݵ Ø Ø Ø Ø Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× ´ Ò ÐÙ ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Û Ö Ð× º ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø × ÓÒ ×ØÖÓÒ Ø ÔÖ Ö ÖÖÓÖ×µ ÓÐ º Ï × Ú Ò Û ÜÓ Ú Ø Ö Ð Ñ ××ÙÑÔØ ÓÒ× ´×٠ظ ÙÒÐ ×× Û ÁÎ Ö ØÓ Ù× ××ÙÑÔØ ÓÒ× ËÓ¸ Ð Ø³× ÓÒ× ×Ø Ñ ØÓÖµ Ò Ö Ø ×ÓÑ ÓÚ Ö ÓØ Ö Ò Æ ØÛ Ò Ø ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ θ ´ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö ÙÐÐÝ ÒØ º ×Ø Ñ ØÓÖ¸ × ˜ Ý θº ÆÓÛ¸ Ð Ø³× Ö ÐÐ ×ÓÑ Ö ×ÙÐØ× ÖÓÑ ÅÄ ÕÙ Ø ÓÒ ½½ × √ ˆ n θ − θ0 ÕÙ Ø ÓÒ ½ × a.s. √ → −H∞ (θ0 )−1 ng(θ0 ). H∞ (θ) = −I∞ (θ). ÓÑ Ò Ò Ø × ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ׸ Û Ø √ ˆ n θ − θ0 Ð×Ó¸ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ × ÓÖ Ø ÐÐ× Ù× Ø Ø Ø ÅÄ Ú ØÓÖ × a.s. √ → I∞ (θ0 )−1 ng(θ0 ). Ò ØÛ Ò ÒÝ Æ ×Ø Ñ ØÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö V∞ ÆÓÛ¸ ÓÒ× Ö √ ˜ n θ−θ √ ng(θ) √ = ˜ V∞ (θ) IK IK I∞ (θ)  √ n a.s.  → √ n .  IK 0K Ì 0K I∞ (θ)−1 Ò ˜ n θ−θ √ ng(θ) ˜ θ−θ ˆ θ−θ  √ n V∞  √ n ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö ˜ θ−θ ˆ θ−θ  Ó Ø × × . IK 0K 0K I∞ (θ)−1  = = IK 0K 0K I∞ (θ)−1 ˜ V∞ (θ) IK IK I∞ (θ) , ˜ V∞ (θ) I∞ (θ)−1 I∞ (θ)−1 I∞ (θ)−1 Ñ Û ¸ ÓÖ Ð Ö ØÝ Ò Û ËÓ¸ Ø Ø ÅÄ ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö  √ n V∞  √ n Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ׸ Û ˜ θ−θ ˆ θ−θ ØÛ ´Ø  Ø ÛÖ Ø × Ò Ø = ÖØ ˜ V∞ (θ) I∞ (θ)−1 ˆ I∞ (θ)−1 V∞ (θ) Ò ÒÝ ÓØ Ö . Æ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÕÙ Ð ØÓ ÅÄ ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÒÚ Ö× Ø Ó Ø Ø Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Üµº ØÛÓ ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ö Ò Ø ÓØ ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÛ¸ ×ÙÔÔÓ× Û Û Ø ØÓ ´Ø ØÓ Ø ×Ø Û ÝÔÓØ ÒØ Ò θ0 ¸ Ú Ö×Ù× Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú × × Ø ÝÔÓØ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ Ò Ö Ø ÒÙÐÐ ÝÔÓØ × × Ø Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø Ø Ý Ö ¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ˜ θ × Ñ × ×µº ÍÒ ½¼º ÅÈÄ ÌÀ À ÍËÅ Æ Ì ËÌ ½ ¾ Û Ú IK Û ÐÐ −IK ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ  √ ˜ n θ − θ0  √ ˆ n θ − θ0 ×ØÖ ÙØ ×  = √ ˜ ˆ n θ−θ , √ ËÓ¸ ˜ ˆ d ˜ ˆ n θ − θ → N 0, V∞ (θ) − V∞ (θ) . ′ ˜ ˆ n θ−θ Û Ö ˜ ˆ V∞ (θ) − V∞ (θ) Ö Ò Ó Ø −1 ˜ ˆ d θ − θ → χ2 (ρ), Ò ×º ×Ø Ø ×Ø Ø Ø × Ø ρ × Ø Ö Ò Ó Ø ×ØÖ ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö × Ñ ×ÝÑÔØÓØ ÙØ ÓÒ × ˜ ˆ θ−θ Ì ÙÒ × × Ø Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÝÔÓØ ′ ˆ ˜ ˆ ˆ V (θ) − V (θ) × Ø Ø Û Ò Ø Ö −1 ˜ ˆ d θ − θ → χ2 (ρ). Ö ×ÓÒ Ø ÅÄ Ò Ø Ñ Ø Ø × Ø ×Ø × ÔÓÛ Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ ÒÓØ Ò Ó Ø ×ÝÑÔØÓØ Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø À Ù×Ñ Ò Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø ¸ Ò Ø× ÓÖ × × ØÓ Ò Ð ÓÖѺ Ì Ø × ÓÒ× ×Ø Òظ ×ØÖ Û ÐÐ Û ÐÐ ÓÒÚ Ö Ú ØÓÖ ÙØ ÓÒ Ó Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ö Ø¸ Ö Ø θA ¸ × Ý¸ √ ˜ ˆ n θ − θ Û ÐÐ Ö Ð ×× Ó × Ð Ø × Ø Ø Ø ÓÒ ÓÛ ×Ñ ÐÐ θA = θ0 º Ì θ0 − θA ¸ ÒÓÒ¹Þ × Ò Ò Ø Ø Ø × ÖÓ Ú ØÓÖ¸ ×Ó Ø Ð Ú Ð × Ù× ÒØ Ö ÅÄ × Ø º • ÆÓØ ÅÄ ¸ Ø Ø ×Ø ×Ù ¹Ú ØÓÖ Ó Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó × Ò Ù× º Á Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ó Û ÐÐ ÒÓØ × ÓÛ ÙÔ × ¸ Ø ÓÖ Ø × ÔÓ×× Ø Ò Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ú Ú ØÓÖ Ø Ø Ø Ø ÒØ Ø ×Ø Ñ Ý ÒÓØ Ò Ø ÔÓÛ Ö ØÓ ÙØ Ò Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ýº Ì ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ × Ñ Ý Ó ÙÖ¸ ÒØ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û ÓÒ× ×Ø ÒØ ÑÓ ËÓÑ Ø Ðº ÐÐ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ò × ØÓ ÒÓØ Ì Ö Ò ¸ • ρ¸ Ó Ø Ö Ò Ò Ó Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÙÐØ ØÓ Ò ØÓ Ò × × Ó Ø Ò Ð ×× Ø Û Ø Ø ØÖÙ Ò Ø Ö Ò × Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø ×º Á Ø Ò×Ø Ö Ø Ö Ò º ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ó Ø Òغ ÓÖ ØÖÙ Ñ ØÖ ×¸ Ö Ò Ø Ñ Ý Ò Û ÝÔÓØ Ø × Ø × ×º Ì Ø ÖÑ Ò ØÖÙ ¸ Ø ÓÐ × × ÐÓÛ Ö Ø ÒÙÐÐ Ø ×Ø Û ÐÐ Û ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØÖ ÖÝ Ö ×Ø Ñ Ø • × ÔÖÓ Ð Ñ Ü ÑÔÐ ¸ × ØÓ Ù× Ú Ö Ð Ö Ò ½ Ø ×ظ Ý ÓÑÔ Ö Ò ÐÝ Ò ÓÒÐÝ Ò Ó × Ò Ð ÒÓÙ׸ × ×Ù×Ô Ø º Ó ÔÓ×× Ø Ú Ö × × ÑÔÐ Ð ³× Ó ÓÖÑÙÐ ÒØ× Ñ Ý ÓÐ × Û Ö Ø ÒØ × ÓÑÔ Ö Ò Ø ÝÔÓØ Ø • Ì ÓÒÐÝ ÒØ ÙÒ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ Ø × ×º Ì × Ø Ø × Ò× Ø Ò Ø ×Ø ÓÖ ÓÒ× ×¹ ÅÄ ÙØ ÓÒ × Ø Ò Ý × ÙÐÐÝ ÒÙÐÐ ×Ñ × Ñ ÑÓ Ø Ø ÑÙ×Ø ×ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ × Ø ÅÅ ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÓÖ Ø ÅÄ Ò ÙÐÐÝ ×Ø Ñ ØÓÖº ×Ø Ñ ØÓÖ Ø × ÕÙ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÖÒ Ö ×ØÖ Ø Ú × Ò Òغ ×Ø Ñ ØÓÖ× ×Ù ÉÅÄ Ö ÒÓØ Ò Ò Ö Ð ÙÐÐÝ Ò Ó ÙÔ ÓÒ Ø Û Ö ÓÒ × Ð ×Ø ÔÓ Òظ Ð Ø³× Ø × ××ÙÑ Ø × ØÓ ÓØ ØÛÓ ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ ÙØ Ø ÐÓÒ Ó ÓØ ØÓ Ø ÒØ º ×Ø Ñ ØÓÖ׸ Ï ˆ θ1 Ò ˆ θ2 ¸ Ø Ø ÓÒ× ×Ø Òظ Ö Ñ Ý ÒÓØ × Ñ ××ÙÑ ÜÔÓ× Ø ÓÒ Ð × ÑÔÐ ØÝ Ø Ý Ò Ö ÜÔÖ ×× Ò ˆ θ1 Ø Ò ˆ θ2 Ñ Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ Åŵ Ò Ö Ð Þ ÑÓÑ ÒØ× ´ Ø µ Ý ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ× ´×ÙÔÔÖ ×× Ò Ô Ò Ò ÙÔÓÒ ˆ θi = arg min mi (θi )′ Wi mi (θi ) θi ∈Θ ½½º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÆÇÆÄÁÆ Ê Ê ÌÁÇÆ Ä È Ì ÌÁÇÆË ½ ¿ Û Û Ö mi (θi ) Ø Ò Ñ gi × 1 Ú ØÓÖ Ó ØÖ Ü¸ i = 1, 2. ÓÒ× × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö Ø ÓÑÒ Ø ÓÒ׸ Ù× Ò Wi × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ gi × gi ÔÓ× Ø Ú Ò Ø ´ µ ˆ ˆ θ1 , θ2 = arg min Ø Ø Ø Θ×Θ m1 (θ1 )′ m2 (θ2 )′ Ò Ó Ø ÓÑÒ W1 0(g2 ×g1 ) m1 (θ1 ) m2 (θ2 ) 0(g1 ×g2 ) W2 m1 (θ1 ) m2 (θ2 ) . ËÙÔÔÓ× ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö Ù× ÑÓÑ ÒØ Ú ØÓÖ × ´ µ Σ = ≡ n→∞ lim V ar Σ1 Σ12 · Σ2 √ n . Ì ×Ø Ò Ö À Ù×Ñ Ò Ø ×Ø × ØÛÓµ Ø ÓÒ× ÔÔÐ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÑÒ × Ù× Ï Ð ÅÅ Ø ×Ø Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó ÙØ Û Ø Ø θ1 Ò θ2 Ò ´ÓÖ Ó ×Ù Ú ØÓÖ× Ó Ø Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ØÓ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÓÚ Ö ×Ø Ñ Ø Σ= Ï Ó Ø ÓÚ ¸ Ì Ð Ø × × Ð ÖÐÝ Ò Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò ÓÒ ÒÓØ Ó Ø Σ1 0(g2 ×g1 ) 0(g1 ×g2 ) Σ2 Ò Ö Ð¸ Ø . ÓÑ ØØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ× × º Ø Ø Σ12 Òظ Ø ÖÑ Ò Ð× ÓÙØ × Û Ú × Ò Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø Û Ò Ø Ù× Ø Ò ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ×Ø Ñ Ø Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ö Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ Û ×Ø Ñ Ø ×Ø Ñ Ø Ò Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× × ÒØ × Ð Ö Ø ÒØ Ö Σ Ñ ØÖ Ü ÑÙ×Ø ÓÖ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ö Û Ðй ÒÓÛÒ ÔÖÓÔ Ö ÙØ ÓÒ Û ÓÒ× ×Ø ÒØÐݸ × Ò Ø Σ12 Ò Ø ÖÑ Û ÐÐ ÒÓØ Ò Ð ÓÙغ Å Ø Ó × Ó Ú ØÓÖ Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Ò ¸ º º¸ Ò Ò Æ Û Ý¹Ï ×Ø × Ù×× ÔÖ Ú ÓÙ×Ðݺ Ì Ú Ò À Ù×Ñ Ò Ø ×Ø ×ÝÑÔØÓØ Ù× Ò ×ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø Ø Ö ÓÚ Ö ÐÐ ÓÚ Ö Ñ ØÖ Ü Û ÐÐ ÒÓÛ × × Ù ØÓ Ø Ø Ø χ2 ×Ø Ñ ØÓÖ × Ö× ÖÓÑ × Ò Òغ Ì ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ò Ø ×Ø ×Ù ÐÓ×× Ó ÔÓÛ Ö Ù× Ò Ù× Ò Ò ÅÅ Ø Ø ÓÑÒ Ù× ÅÅ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÒØ Û Ø Ñ ØÖ Üº Ò Û Ø ×Ø Ò Ý Ù× Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÑÒ ×Ø Ñ ØÓÖ ´ µ ˆ ˆ θ1 , θ2 = arg min Σ Ö × ÓÒ× ×Ø ÒØ Θ×Θ m1 (θ1 )′ m2 (θ2 )′ Ø ÓÚ Ö ÐÐ ÓÚ Ö ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø ÔÓÛ Ö Ùк Ë Σ Ò Ò Ø −1 m1 (θ1 ) m2 (θ2 ) Σ Ò Ò Ó Ý , ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ º Ý ¸ ×Ó Û Ö ×Ø Ñ ØÓÖ Ó × × ÑÓÖ Ñ ØÖ Ü Ø ÖØ Ð ×Ø Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ׸ Ø Ø ×Ø Ù× Ò Ø Ø × Ï Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ò × ÑÓÖ ÑÝ ÔÔÐ ÓÒÓÑ ×¸ À¾ Ø ×Ø Ò ¾¼¼ ¸ Ð Ø × Ø ÓÖ ÑÓÖ Ï Ð Ð׸ Ò ÐÙ × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ׺ Ì ØÓ Ø Ðº ÒØ Ó ÒØ Ç Ø Ú ÅÅ × Ö ÔØ Ù×Ñ ÒºÑ Ð Ù¹ Ø ×Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ÑÔÐ Ð Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ´Ø ÑÝ Ô Ô Öµ¸ ÓÖ Ö ÑÓ ½½º Ê Ì ÓÙ ÑÓ Ð× × Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ ÆÓÒÐ Ò Ö Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Ò Ë Ò Ð ØÓÒ¸ ½ × Ñ ÒÝ ¾ Ò × À Ò× Ò ∗ ; Ì Ù Ò¸ ½ ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Ò Ë Ò¹ ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ð×Ó ÓÖÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ×Ø× Ø Òظ × Ò ¾ Ô Ô Ö × Ö ØÐÝ ×Ù ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ò Ø× Ð º Ì ÓÙ Ø ÓÒ׺ À Ò× Ò Ð ØÓÒ³× ½ Ö Ò Ï Ò Ò Ø Ø Ð ×× ÛÓÖØ × ÑÔÐ ×ØÙ Ý Ò Ð Û Ø Á ×ØÖÓÒ ÐÝ Ö ÓÑÑ Ò Ô Ô Ö¸ Á³ÐÐ Ù× ÑÓ × Ñ Ð Ö ÒÓØ Ø ÓÒ ØÓ À Ñ ÐØÓҳ׺ ÜÔ Ø ÜÔ Ø × ÓÙÒØ ÙØ Ð ØÝ ÙØ Ð ØÝ ÓÚ Ö ÝÔÓØ × × Ò ××ÙÑ Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú ÓÒ×ÙÑ Ö Ñ Ü Ñ Þ × Ø Ú ¸ Ò Ø ÓÖ ÞÓÒº ÍØ Ð ØÝ × Ø ÑÔÓÖ ÐÐÝ ÓР׺ ½½º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÆÇÆÄÁÆ Ê Ê ÌÁÇÆ Ä È Ì ÌÁÇÆË ½ Ì ÙØÙÖ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ×ØÖ × Ø × ÓÙÒØ Ñ × Ø ÜÔ Ø ×ØÓ ÙØ Ð ØÝ ×Ø × ÕÙ Ò Ø Ø Ñ t {ct }∞ . t=0 Ì Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ´ µ ∞ s=0 β s E (u(ct+s )|It ) . Ò ½¸ Ò Ò Ö Ò ÐÙ Ø× × Ø × ÓÙÒØ Ò º ÐÐ Ö Ð Þ Ø ÓÒ× Ó Ö Ò ÓÑ • Ì • It • • Ì Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø β × ØÛ Ò ¼ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø Ð × Ò Ü Ú Ö Ø Ø Ñ ÖÐ Öº t, Ú Ö t Ð Ò × Ó Ò ÓÖ ct ¹ ÙÖÖ ÒØ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û ÐØ × ÓÒ×Ø Ò ØÓ Ð ×× ÕÙ Ð ØÓ ÙÖÖ ÒØ Û Ø wt . Ö × Ý ×× Øº ÓÐÐ Ö ÒÚ ×Ø Ò Ø ×× Ø ËÙÔÔÓ× Ý Ð × ÓÒ×ÙÑ Ö Ò ÒÚ ×Ø Ò ÖÓ×× Ö ØÙÖÒ (1 + rt+1 ) = Û ØÓ Ö pt+1 + dt+1 pt Ò ÒÔ Ö Ó pt ×Ø ÔÖ Ò dt ×Ø Ú t. Ì ÔÖ Ó ct × ÒÓÖÑ Ð Þ 1. ÐØ • ÙÖÖ ÒØ Û wt = (1 + rt )it−1 ¸ ÐÐÓ Ø ÙÖÖ ÒØ Û ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Û Ö it−1 ØÛ × ÒÚ ×ØÑ ÒØ Ò Ô Ö Ó Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ ØÓ Ò Ò ÐØ Ò ÙÖÖ ÒØ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ t − 1º ËÓ Ø ÒÚ ×ØÑ ÒØ ÙØÙÖ • Ô ÖØ ´ µ Ø ÙØÙÖ Ò Ø Ö Ø × Ó Ö ØÙÖÒ wt = ct + it º rt+s , s > 0 Ö ÒÓØ ÒÓÛÒ Ò Ô Ö Ó Ú Ø t Ø ÓÖÑ ×× Ø × Ö × Ýº Ð × Ø Ó Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ ÙØ Ð ØÝ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ u′ (ct ) = βE (1 + rt+1 ) u′ (ct+1 )|It . Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ × Ò ×× Öݸ ×ÙÔÔÓ× Ò ÐÐÝ ÛÓÙÐ Ù× Ø Ø × Ø Ø Ø Ð × ØÓ Ö ×º ÖÓÔ Ì Ò Ý Ö Ù Ò Ø Ö Ò ÌÓ × ÙÖÖ ÒØ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ñ Ö × ÒÓ × ÓÙÒØ Ò Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ × Ñ ′ Ý u (ct ), × Ò Ñ Ö Û Ò Ð Ö ÙÖÖ ÒØ Ô Ö Ó º Ø Ñ ¸ Ø Ù Ø ÓÒ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ò × ÒÚ ×ØÑ Òظ Û Ò Ô Ö Ó × Ý ÖÓ×× Ö ØÙÖÒ (1 + rt+1 ) , ÛÓÙÐ ÓÙÐ Ø Ó Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ú ÓР׸ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ö Ø ÜÔ Ø × ÓÙÒØ Ø × Û t + 1. Ì × Ò Ö × Ò ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ βE {(1 + rt+1 ) u′ (ct+1 )|It } . Ì Ö ÓÖ ¸ ÙØ Ð ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ × ÒÓØ Ñ Ü Ñ Þ ØÓ ÓÓ× Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð º Ò Ù× ÙÒÐ ×× Ø ÓÒ • ÌÓ Ù× Ö × ÓÖÑ Ó ÙØ Ð Øݺ ÓÒ×Ø ÒØ Ö Ð Ø Ú Ú Ö× ÓÒ ÓÖÑ × u(ct ) = Û Ö γ × Ø Ó ÒØ Ó Ö Ð Ø Ú Ö × Ú Ö× ÓÒº Ï Ø c1−γ − 1 t 1−γ Ø × ÓÖѸ u′ (ct ) = c−γ t ×Ó Ø Ó Ö c−γ = βE (1 + rt+1 ) c−γ |It t t+1 Ï Ð Ø × ØÖÙ Ø Ø E c−γ − β (1 + rt+1 ) c−γ t t+1 ×Ó Ø Ø Û ÓÙÐ Ù× Ø × ØÓ Ð Ø ÖÑ׸ Ò Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÓÙÖ Ø Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÓÙ Ø × Ò Ö |It = 0 ÐÝ Ø Ø Ø ÓÒ׸ Ø × ÙÒÐ ct × ×Ø Ø ÓÒ Öݸ Ø ×¸ Ú ÓÖÝ Ö ÕÙ Ö × ×Ø Ø ÓÒ Ö Øݺ ÌÓ ×ÓÐÚ −γ Ý ct E ½¹β (1 + rt+1 ) ct+1 ct −γ |It = 0 ½½º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÆÇÆÄÁÆ Ê Ê ÌÁÇÆ Ä È Ì ÌÁÇÆË ½ ´ÒÓØ Ø Ø ct Ò Ô ×× Ú Ð Ø ÓÙ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ × Ò ct × Ó× Ò × ÓÒÐÝ ÙÔÓÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÆÓÛ Ò Ø Ñ t). ct+1 ct Ø ½¹β × Ò ÐÓ ÓÙ× ØÓ (1 + rt+1 ) Ø³× −γ ht (θ) Ò Ò ×ÓÑ ÓÚ × Ð Ö ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø Ø ÓÒº ÌÓ × Ø Ú ØÓÖ Ó ÑÓ¹ Ð × Ö ÛÒ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒ× Û Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ ËÙÔÔÓ× Ò Ù× Ø zt Ú ØÓÖ Ó Ú Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø It . Ï Ò ×× ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ× ØÓ ÓÖÑ Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ× 1 − β (1 + rt+1 ) • θÖ • Ì ÔÖ × ÒØ× Ö ÓÖ ¸ Ø Ù× ÓÖ ct+1 ct −γ zt ≡ mt (θ) × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Û β Ò γ. ÓÚ ÅÅ ÜÔÖ ×× ÓÒ Ñ Ý ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ò 0 Ô Ö Ñ Ø Ö× θ . ÆÓØ × Øº Ø Ø ØØ Ñ t, mt−s × Ò Ó × ÖÚ ¸ Ò ×Ø Ö Ø ÓÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ú Ö Ò Ò Ý Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ׸ Ø ÓÔØ Ñ Ð Û ÙØÓ ÓÚ Ö Ø Ò Ò × Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ö ÓÖ Ø ÒÚ Ö× Ø ÓÒ× ÓØ Ó Ø Γ0 × ÓÙÐ Þ ÖÓº Ì Ñ ØÖ Ü × Ø Ó Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ω∞ = lim E nm(θ 0 )m(θ 0 )′ Û Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø Ý n ˆ Ω = 1/n t=1 × Ó Ø Ò ÓÖ ¸ Ø × ×Ø Ñ Ø Ø Û Ø Û Ô Ò × ÓÒ Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ò ˆ ˆ mt (θ)mt (θ)′ Ò Ø Ö Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ ØÖ Ö ÐÝ ´ØÓ Ò ×Ø Ñ Ø Ó θ, Û Ò Ü ÑÔÐ µº Ý × ØØ Ò Ò Ò W ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü¸ ÓÖ Ø Ö Ó Ø ˆ θ, Ò Ñ Ò Ñ Þ ˆ s(θ) = m(θ)′ Ω−1 m(θ). Ì × ÔÖÓ ×× Ò Ø Ö Ø ¸ º º¸ Ù× Ø Ò Û ÓÒ³Ø ×Ø Ñ Ø Ò º ØÓ Ö ¹ ×Ø Ñ Ø Ω, Ù× Ø × ØÓ ×Ø Ñ Ø θ0, Ò Ö Ô Ø ÙÒØ Ð Ø ×Ø Ñ Ø × • ÁÒ ÔÖ Ò ÔÐ ¸ Û ÓÙÐ × Ò ÓÒ Ù× Ú ÖÝ Ð Ö ÒÙÑ ÓÙÐ Ö Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ù× Ò Ø ÓÒ× Ò Ù× ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ÑÓÑ ÒØ Ñ Ø Ø Ø × ÒÝ ÙÖÖ ÒØ ÓÖ Ð Ø ÓÒ× Û ÐÐ Ð ØÓ Ù× Ø Ø Ù× Ò Û ØÓ Ñ ÒÝ Ú Ö ÑÓÖ Ð xt . Ë Ò ÒØ Û ÐÐ Ò Ø Ó Ó ÑÓÖ ´ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݵ Р׺ Ï ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÓÒ Ø ÑÔØ Ò×ØÖÙÑ ÒØ Ð Ú Ö ÓÓ ÖÐÓ× ´Ì Ù ÓÑÔÙØ Ö Ð × ×ÓÒ ××Ù Û ÐÐ × ÓÛ Ø Ò ×ØÙ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÑÔÖ × º × Ñ Ý ÒÓØ ÅÓÒØ Û Ø Ò¸ × ÑÔР׺ Ì µº Ì Ó Ö Â Ë¸ Ø Ø ½ ÓÖ ÔÓÓÖ Ò Ù× Ò Ñ ÒÝ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× × Ø ×Ø Ñ Ø Ω ÓÑ × Ú ÖÝ • ÑÔ Ö Ð Ô Ô Ö× Ø ÔÖ × × Ò Ð ÒÓÙ ØÖÝ Ò ×Ø Ñ Ø × Ó Ô Ö Ð Ö×Ø ÓÖ Ø Ù× Ø Ø × ÔÔÖÓ Ó Ø Ò Ø Ú Ø Û × × Ö ÓÙ× ÔÖÓ Ð Ñ× Ò Ó Ø Ö × Ò Ú ÖÝØ Ò Ò Ò ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ö ÓÒ × Ø ÓÒº ÈÖÓ ÆÓØ ÐÝ Ø ºÓº º × Ù×× × × ÑÔÐÝ ÒÓØ Ò ÓÖÑ Ø Ú ÐÓÛµ ×Ø Ñ Ø Ø Ö ÓÒ Ñ Ò× Ó Ðº º Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ ØÓ Ù× ÑÓÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ´ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ø ÓÒ× ØÓ × ×ÓÖØ Ó ÑÓ ½¾º ÅÈÁÊÁ Ä ÅÈÄ ÈÇÊÌ ÇÄÁÇ ÅÇ Ä ½ ½¾º Ì Ø Ö Ø Ç Ø Ú Ð Ø Ù Òº ÑÔ Ö Ð Ü ÑÔÐ ÓÐÙÑÒ× Ó Ø Ì Ù ÓÖ × Ò Ð Ò¸ Ð × ½ Ø ÔÓÖØ ÓÐ Ó ÑÓ ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ð µº Ö Ð ÔÓÖØ ÓÐ Ó ÑÓ Ð¸ Ù× Ò Öº Ì × Ó Ö Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÔÓÖØ ÓÐ ÓºÑ Ô Ö ÓÖÑ× Ø º Ì c, p, Ò d ÒØ Ù× Ø ÓÖ Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ´×ÓÙÖ × Û ÐÐ × ÓÒ×Ø Òغ JBES, Ø × Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Û Ö c r¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÅÈÁÌ ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ü ÑÔÐ Ó ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÑÓ Ð ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× Î ÐÙ ¼º¼¼½ Ò ¼º¼¼¼¼½ ¾ Ø ×Ø ½º¼¼¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º ½ ×Ø Ñ Ø ×غ ÖÖ Ø¹×Ø Ø Ô¹Ú ÐÙ Ø ¼º ½ ¼º¼¼ º¾ ½ ¼º¼¼¼ ÑÑ ¼º ¼º¿½ ½º ¿ ¼º¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÓÖ ØÛÓ Ð × Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× Ö ÅÈÁÌ ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Ü ÑÔÐ Ó ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÑÓ Ð ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¿ Î ÐÙ ¿º ¾¿ ¼º¼¿ Ò ¾ ¾ Ø ×Ø ¿º¼¼¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¿½ ×Ø Ñ Ø ×غ ÖÖ Ø¹×Ø Ø Ô¹Ú ÐÙ Ø ¼º ¼º¼¾ ¿ º ¿ ¼º¼¼¼ ÑÑ ¹¾º¿ ½ ¼º¿½ ¹ º ¾ ¼º¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ½¾º ÅÈÁÊÁ Ä ÅÈÄ ÈÇÊÌ ÇÄÁÇ ÅÇ Ä ½ ÈÖ ØØÝ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÖÐݸ Ø Ö Ö ×ÙÐØ× Ö × Ò× Ø Ú ØÓ Ø ÐÝ Ó ÓÒ Ó Ò×ØÖÙÑ ÒØ׺ Å Ý Ø Ö × ×ÓÑ ÔÓÓÖ Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ ÓÖ ÔÓ×× Ø ÓÒ× ÓÖÑ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØ Ø Ø ÓÒ× ×ÓÑ Ø Ñ × µ Ø × ÒÓØ Ú ÖÝ Ò ÓÖ¹ Ó ÒÓØ ÒØ Ý Ø Ø Ñ Ø Ú º ÅÓÑ ÒØ ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÙÐ Ö ÓÒ Ò Ðº Ë Ú Ò³Ø À Ò× Ò¸ À Ø Ö ØÓÒ ÙÐÐݵ ÖÖÓÒ¸ ´½ Â Ë Î½ ¸ Æ¿º Á× Ø Ö ¸ ´Á ½¾º ÅÈÁÊÁ Ä ÅÈÄ ÈÇÊÌ ÇÄÁÇ ÅÇ Ä ½ Ü Ö × × ´½µ Ë ÓÛ ÓÛ ØÓ ×Ø Ø Á ÒØ Ý Û Ò Ö Ð Þ Ø Û Ö Ø Ø × Ø ÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ׸ Ò × Ø ÓÒ × Ø × Ø ÅÅ ÓÖÑ Ø Ø Ò ×Ø Ñ ØÓÖº Ó Ø Ø Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÒØ Û mt (θ)¸ Û Ò Ñ ØÖ Ü Ñ ØÖ Ü Dn , Ø Ñ ØÖ Ü¸ × ÓÛ Ø ÓÚ Ö ÓÖÑÙÐ Ú Ò ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ Ø ÅÅ ÓÚ Ö Ñ ØÖ Ü ÓÖÑÙÐ º ´¾µ Í× Ò Ç Ø Ú ¸ Ò Ö Ø ÓÒ× Ø ÖÓÑ Ø Ö Ø ÐÓ Ø Ô º Ê ÐÐ Ø [1 + exp(−xt [yt − p(xt , θ)]xt ´ µ ×Ø Ñ Ø ´ µ ×Ø Ñ Ø ØÛÓ º ′θ)]−1 º Ý ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× ´ Ü E(yt |xt ) = p(xt , θ) = ØÐÝ ÒØ µ mt (θ) = Ø ÅŸ Ù× Ò º Ø × ÑÓÑ ÒØ׺ Ý ÅÄ ´ µ Ì Ó ´¿µ Î Ö Ý Ø ×ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ× × ÓÙÐ Ó Ò º ÈÖÓÚ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ø Ø Ø ×Ø Ñ ØÓÖ× Ñ ×× Ò ×Ø Ô× Ò Ø ×¸ × ÓÛ Ø ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ø ÙØ ÓÒº Ì ÑÓÒ×Ø Ö Ñ ØÖ Ü × ˆ ˆ ˆ n · m(θ)′ Ω−1 m(θ) × Ò ÑÔÓØ ÒØ χ2 (g − K) × ØÖ ÕÙ Ð ØÓ ´ µ ÓÖ Ø ÔÓÖØ ÓÐ Ó Ò Ø g − K. Ü ÑÔÐ ¸ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ù× Ò Ð × Ó ¿ Ò Ô Ö Ó × ØÓ ´ µ ÁØ Ö Ø ´ µ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ö ×ÙÐØ׺ θ = (β, γ) Ö × Ø Ò Ω × Ö ØÓ ÓÒÚ Ö Ò º × Ø Ó Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ø Ò×ØÖÙ¹ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø Ù× Ñ ÒØ× ´ÄÓÓ Ø Ö ×ÙÐØ× × Ò× Ø Ú Ö Ø ÒÓØ ÓÓ ØÓ Ø ˆ Ω × Û ÐÐ ˆ θ. ÓÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø À ÈÌ Ê ½ ÉÙ × ¹ÅÄ ÉÙ × ¹ÅÄ × Ø ØÓ Ð ÙÐ Ø Ú Ò ×ÙÔÔÓ× Ñ Ñ Û Ø Ø Ò ÅÄ × ÑÔÐ ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖº × Ó Ø Ò× Û Ò Ñ ××Ô ÔÖÓ Ð ØÝ ÑÓ Ð × Ù× n Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ y Ò Ú ØÓÖ Ó ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ð Ø Ó ÒØ Ò× ØÝ Ó Y = y1 . . . yn ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ X = x1 . . . xn Ö Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÐÝ pY (Y|X, ρ), ρ ∈ Ξ. Ì ØÖÙ Ó ÒØ Ò× ØÝ × ××Ó 0 : Ú ØÓÖ ρ pY (Y|X, ρ0 ). Ó × Þ × Ø Ñ Ö Ò Ð Ò× ØÝ Ó x, × Ø × ÐÓÒ X Ó ×Ò³Ø Ô Ò ÓÒ ρ0 , Ø × ÓÒ × Ö Ø ÓÒ Ð × Ø × Ò× ØÝ ÙÐÐÝ ÔÖÓ Ð ×Ø ¹ Ú ÐÙ Ø Ö Ø Ö Þ × Ø Ö Ò ÓÑ ØÙÖ × Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø × Ó × ÑÔÐ × º ºÔº Ì º º¸ Ø ÙÐÐÝ ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓØ Ö Ú ÐÙ × Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × Ù×Ø Ø Ò× ØÝ ρ L(Y|X, ρ) = pY (Y|X, ρ), ρ ∈ Ξ. y1 . . . yt−1 Ò ÒØÓ ¸ • Ä Ø Ð Ð Yt−1 = ÓÓ × Y0 = 0, ÓÙÒØ ÔÓ×× Ò Ð Ð Ø Xt = Ò x1 . . . xt Ì ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø Ô Ò Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Ò ÛÖ ØØ Ò n L(Y|X, ρ) = t=1 n pt (yt |Yt−1 , Xt , ρ) pt (ρ) ≡ • Ì Ú Ö ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ t=1 ÙÒ Ø ÓÒ × sn (ρ) = • ËÙÔÔÓ× Û Ñ Ý Ø ØÛ ××ÙÑ Ó ÒÓØ Ø Ø Ø 1 1 ln L(Y|X, ρ) = n n Ú ÒÓÛÐ Ø ÓÒ Ð Ö Û Ø Ö Ó Ø n ln pt (ρ) t=1 Ñ ÐÝ Ó × Ø Ò× Ø × pt (ρ). Å ×Ø Ö Ó Ø ÒÐݸ Ñ ÐÝ ÓÒ • Ì Ð × Ì ft (yt |Yt−1 , Xt , θ), θ ∈ Θ, Û pt (yt |Yt−1 , Xt , ρ0 ), ∀t ´Ø × × × × ØÙÔ ÐÐÓÛ× ÓÖ Ø ÖÓ yt 0 ×Ù × ÒÓ θ Ò× ØÝ Ó Ñ Ò × Ö × Ñ Ñ Ø Ø Û Ý Ñ ××Ô Ø ¸ Û Ø ft (yt |Yt−1 , Xt µº , θ0 ) = Ò ÓÙ× Ø Ñ ÝÒ Ñ Ñ ××Ô ¹ Ø ÓÒº ÉÅÄ ÓÓ ¸ Û ×Ø Ñ ØÓÖ Û Ö × Ø Ö ØÓ Ö ÙÑ ÒØ Ø × Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ × Ø Ð Ð ÓÓ Ñ ××Ô ÙÒ Ø ÓÒº Ì × Ó Ú Ö Ø Ú ÐÓ Ð ¹ ÕÙ × ¹ÐÓ ÙÒ Ø ÓÒ sn (θ) = ≡ 1 n 1 n n t=1 n t=1 ½ ln ft (yt |Yt−1 , Xt , θ 0 ) ln ft (θ) ½º ÇÆËÁËÌ ÆÌ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ Ç Î ÊÁ Æ ÇÅÈÇÆ ÆÌË ¾¼¼ Ò Ø ÉÅÄ × ˆ θn = arg max sn (θ) Θ ËÄÄÆ ÓÖ Ô Ò ÒØ × ÕÙ Ò × ÔÔÐ × ´Û ××ÙÑ µ¸ ×Ó Ø Ø sn (θ) → lim E n→∞ Ò Ú ÐÙ Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø × Ò ×ØÖ Ò Ø a.s. 1 n n t=1 ln ft (θ) ≡ s∞ (θ) Ò ¸ º×º¸ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÔÖ ¹ ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ó Ú ÓÙ× Ö ÙÑ ÒØ׺ Ì Ô× Ù Ó¹ØÖÙ θ Θ × Ø Ú ÐÙ Ø Ø Ñ Ü Ñ Þ × s(θ) ¯ θ 0 = arg max s∞ (θ) Ú Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ× ×Ó Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ½ × ÔÔÐ Ð ¸ Û º×º Ó Ø Ò n→∞ ˆ lim θn = θ 0 , • ÔÔÐÝ Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø ÓÖ Ñ¸ √ Û Ö d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 2 J∞ (θ 0 ) = lim EDθ sn (θ 0 ) n→∞ Ò √ I∞ (θ 0 ) = lim V ar nDθ sn (θ 0 ). n→∞ Ò Ø Ö Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö × Ø ÓÐ Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ø ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÖ • ÆÓØ Ö Ø ÖÓÙ J Ò I ÓÙØ Θ. ÁÒ Ø θ0 × × Ò× ¸ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ × ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØݺ J Ò 0 Ø θ , I, ÒÓØ ½º ÓÒ× ×Ø ÒØ ÑÔÐ × Ø Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Î Ö Ò J∞ (θ 0 ) × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º ÓÑÔÓÒ ÒØ× ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ µ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾¾ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ˆ Jn (θn ) = Ì Ø ×¸ Ù×Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ 1 n Ø n t=1 2 ˆ Dθ ln ft (θn ) → lim E n→∞ Ò Ù× Ò Ø a.s. 1 n n t=1 2 Dθ ln ft (θ 0 ) = J∞ (θ 0 ). Ò ÔÐ Ñ Ý Ó À ×× ×Ø Ñ Ø ÙÐظ ˆ θn Ò θ0. ÑÔÓ×× Ð º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ä Ø I∞ (θ 0 ) × ÑÓÖ • ÆÓØ Ø ÓÒ Ï Ò ØÓ ×Ø Ñ Ø gt ≡ Dθ ft (θ 0 ) √ lim V ar nDθ sn (θ 0 ) n I∞ (θ 0 ) = = = n→∞ √ 1 lim V ar n n→∞ n lim 1 V ar n n Dθ ln ft (θ 0 ) t=1 n→∞ gt t=1 n t=1 n ′ 1 = lim E n→∞ n (gt − Egt ) t=1 (gt − Egt ) ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼½ Ì × × Ó Ò ØÓ ÓÒØ Ò Ø ÖÑ 1 n→∞ n lim Û Û ÐÐ ÒÓØ Ø Ò ØÓ Þ ÖÓ¸ Ò Ò n (Egt ) (Egt )′ t=1 × Ø ÖÑ × ÒÓØ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ø ØÖÙ Ò× ØÝ ÙÒ ×Ø Ñ Ö Ø Ð Ò Ò Ö Ð¸ Ò Ö Ðº Ì × Ò Ø Ö ÕÙ Ö × Ð ÙÐ Ø Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ù× Ò º ºÔº¸ Û × ÙÒ ÒÓÛÒº • Ì Ö Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ × × Û Ø Ø Ø × Ó ÒØ Ø Û Ø ×ØÖ ÓÑ Ö ×ÙÔÔÓ× ÛÓÙÐ ÖÓÑ I∞ (θ 0 ) × ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ´ ×Ø Ñ Ð º Ý Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ µº Ì Ö × Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ø ¸ × ÓÖ º º¸ × Ø ÖÓ×× × Ø ÓÒ Ð ÙØ ÓÒ Ó × Ü ÑÔÐ º ´ÆÓØ ÙÒ º º º Ø × ÑÔÐ Ò ¸ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð (yt , xt ) Ó ÒØ Ðº Ì Ó × ÒÓØ ÑÔÐÝ Ø Ò× ØÝ • Ï Ø Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò ¸ Ø f (yt |xt ) ÒØ Ðµº Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ × × ÑÔÐÝ Ð Ñ Ø Ò s∞ (θ 0 ) = EX E0 ln f (y|x, θ 0 ) Û Ñ Ö Ö Ò Ð E0 Ñ Ò× ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó y|x Ò Ò× ØÝ Ó x. Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ó EX Ñ Ò× ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ö ×Ô Ø ØÓ Ø • Ý Ø Ú Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ü Ñ Þ Ø θ0 Û Dθ EX E0 ln f (y|x, θ 0 ) = Dθ s∞ (θ 0 ) = 0 • Ì Ò ÓÑ Ò Ø Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ø ÓÒ¸ ×Ó Ò Ø ÓÖ Ñ ÐÐÓÛ× ×Û Ø Ò Ø ÓÖ Ö Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ Dθ EX E0 ln f (y|x, θ 0 ) = EX E0 Dθ ln f (y|x, θ 0 ) = 0 Ì ÄÌ ÑÔÐ × Ø Ø 1 √ n Ì n t=1 Dθ ln f (y|x, θ 0 ) → N (0, I∞ (θ 0 )). Ò Ú Ù Ð Ñ Ò׸ × Ò Ø Ý Ö Þ ÖÓº d Ø ×¸ Ø³× ÒÓØ Ò ×× ÖÝ ØÓ ×Ù ØÖ Ø Ø Ú Ò Ø ×¸ Ò Ù ØÓ Ò Ô Ò ÒØ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ × I= Ì ÇØ × × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ × Ü ×ظ Û Ö 1 n n ˆ ˆ Dθ ln ft (θ)Dθ′ ln ft (θ) t=1 ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ñ ÓÚ Ö × Ö × ÑÓ Ò Ð׺ Ñ ØÖ Ü × ÔÓ×× Ð º ÓÒ× ×Ø ÒØ Ö × × Ú Ò ÓÖ ÝÒ Ñ ÐÐÝ Ñ ××Ô ¾º ÌÓ × ÑÔÐ Ø ÔÐ Ù× Ð ØÝ Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ð Ø Ï Ì Ü ÑÔÐ Û Ø Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ø Å ÈË Ð ÓÖ Ø ÙÒ ÓÒ Å Ø ÈË Ø ¸ Û Ò Ò ÓÑÔ Ö ÓÖ ÓÖ Ç Ò Ø Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØÓ Ø Î Ò Ò ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Êθ Û V (y) = × Ð Pn Ø Ò ˆ t=1 λt º Í× Ò n Ú Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÈÓ ××ÓÒÎ Ö Ø ÓÒ Ò ¸ Ø Ò ÊÎ ¼º½ ½ ¼º¼ ÓÚ Ö Ò ºÑ¸ Ø Ø Ö ÓÒ ×Ô Ö× ÓÒ × ÒÓØ ÔØÙÖ ½º Å Ö Ò Ð Î Ö Ò ×¸ Ë ÑÔÐ Ç Î ×Ø Ñ Ø ´ÈÓ ××ÓÒµ Ë ÑÔÐ ×Ø Ñ Ø ¿ º¼ ¿º¾ Ø Ö × º Ì Ö × Ù ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ç Î¸ Ò × Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Êκ ÁÒ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼¾ ÓØ ÓØ × × Ø Ö Ù× Ñ ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ ×ÙÖ × ÝÓÙ Ð Ð º Ó × ÒÓØ ÔÔ Ö ØÓ ÔÐ Ù× Ð º ÓÙ Ò Ø × ÓÖ Ø Ò ¾º½º ÁÒ Ò Ø Ñ ÜØÙÖ ÑÓ Ð× Ø Ò Ø Ú ÒÓÑ Ð ÑÓ ÌÖ Ú ´½ µ Ê Ö ×× ÓÒ Ò ÐÝ× × Ó ÓÙÒØ Ø ¸ ÔØ Ö º Ì ØÛÓ Ñ Ò Øݸ ×ÙÖ × × ÔÓ×× Ñ ØÓ Ü Ø ÜØÖ ¹ÈÓ ××ÓÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ð ØÝ × Ø Ðº Ê Ö Ò Ñ ÖÓÒ ÌÓ ÔØÙÖ ÓÒ× Ö Ø ÙÒÓ × ÖÚ ÔÓ×× Ð ØÝ Ø ÖÓ Ø Ø Ø Ö Ò ÓÑ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ð Û Ö ÔÔÖÓ º ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ Ò ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ö Ò ÓÑ fY (y|x, ε) = exp(−θ)θ y y! θ = exp(x′β + ε) = exp(x′β) exp(ε) = λν Û Ì Ö λ = exp(x′β µ Ø Û Ò ν = exp(ε)º ÓÒ³Ø Ó × ÖÚ ÆÓÛ ν ÔØÙÖ × Ø Û ÐÐ Ò Ö Ò ÓÑÒ ×× Ò Ð Þ Ò Ø Ø ØÓ ÓÒ×Ø Òغ Ø Ù× Ð ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò× ØÝ ν¸ ×Ó Û ØÓ Ñ Ö fY (y|x) = Ì Ð × Ð Ò× ØÝ ÓÓ ∞ −∞ exp[−θ]θ y fv (z)dz y! ÒÙÑ Ö Ð Ö Ð Û ÐÐ ÒØ Ú Ö Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ú ÐÙ Ø Ø ÓÖ ÒØ ÑÑ Ò ÐÝØ ×ÓÐÙØ ÓÒº Ò ÓÐÐÓÛ× Ù× Ö ØÐݸ Ô Ö × ×¸ Ø ÓÙ Ò ÓÒ Ô× Ù× Ò ¸ Ø ÙÒ Ø ÓÒº ÁÒ ×ÓÑ Ü ÑÔÐ ¸ ν ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò× Øݸ Ø ´ Û µ Ö fY (y|x, φ) = φ = (λ, ψ)º ψ • • ÓÖ Ø Ì × Ú Ö Á Ó Á Æ Ò ÔÔ Ö× × Ò Γ(y + ψ) Γ(y + 1)Γ(ψ) Ø × Ø Û ÓÛ Ø ψ ψ+λ ψ λ ψ+λ ÑÑ y Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Û Ú Ò× Øݺ Ò× Øݸ E(y|x) = λ¸ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Þ º ÆÓØ λ = exp(x′ β) Ø Ø Æ Ô Ò × ÙÔÓÒ ψ Ò × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ψ = λ/α¸ Û x¸ ×Ó Ø Ø Ø ψ = 1/α¸ Û ¹ÁÁ ÑÓ Ø Æ Ðº ÑÓ α > 0¸ Ò V (y|x) = λ + αλº × × Ö ÖÖ λ ÖÖ × ÙÒ Ø ÓÒ Ðº × Ø Ú Ö Ö × ØÓÓº Ì Ø Ò ØÓ × Ø ¹Á ÑÓ ØÓ α > 0¸ Ð ÐÐÓÛ V (y|x) = λ + αλ2 º Ì Ø × × Ö ËÓ ÓÖ ÓØ ÑÓÖ ÓÖÑ× Ó Ö Ö Ö ÓÖ ÓÚ Ö ×Ô Ö× ÓÒ¸ Û Ø Æ ¹ÁÁ ÑÓ Ð ÐÐÓÛ Ò Ð ÓÖѺ Ù Ø ÓÒ Ó Ï Ð Ø Æ ÑÓ Ð ØÓ ÙÖ ×º Ì ÓÙÒ Û Ö Ø Ñ Ò Ø Û ÐÐ Ö Ø Ò ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ð ÒÒÓØ ØÓ ÓÒ Ý Ø ×Ø Ò Ù×Ø ØÓ Ì ×Ø Ò Ù× Ò ÓÖ Ø Ø ×Ø Ò α=0 ÓÙÒØ ÒØÓ ØÖÙ Ð ÓÖ ÄÊ ÔÖÓ × ÓÒ Ø Ø Ð Ø º Ï Ö Ö Ø Ð Ú ÐÙ × Ò Ø Ø Ø Ð׸ ×ÙÔÔÓ× Ì Ò ÓÚ Ö Ö Ø α=0 Ø Ø Ø ÖÝ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô º Ï Ø ÓÙØ Ö × ÙÒ ¸ Ø Ò Ø ÕÙ Ö ×Ô Ö× ÓÒ ×Ô Ö× Ó ¸ Ò Û ÐÐ ×ØÖ Ò ØØ Ò Ø ÓÙØ Ø ÈÓ ××ÓÒ¸ ×Ó Ø × ÑÔÐ Ø × ÙÒ Ø Ö Û ÐÐ ×Ô Ö× α = 0º Ø Ø Ñ ÓÙØ ×Ô Ö× ÅÄ α α = 0º ˆ ÙØ ÓÒ Ó Ì Ù׸ ÙÒ n(ˆ − α) = α Ì × Ð Ø Æ √ ÒÙÐи Ø ÔÖÓ Ø ×Ø Ò Ø ¹Á Ð ØÝ ×Ô ×ÝÑÔØÓØ Ú Ð º nα ˆ Ø ¼¸ ×Ó ×Ø Ò Ó Ñ Ø Ó × Û ÐÐ ÒÓØ Æ ÑÓ Ðº ÆÓØ × ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ ¹Á ÓÖ Æ ¹ÁÁ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò Ò× Øݺ À Ö Ö Æ ÓÛ ÑÓ Ð Ö × × Ù× Î ØÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ç ÅÈÁÌ Ç Î ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼¿ ËÅÁÆ Í× Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÒØ Ò ÐÝØ Ö ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ËÌÊÇÆ ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ½ È Ö Ñ ÓÒÚ ½ Ö ÒØ ÓÒÚ ½ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¾º½ ¿ ËØ Ô× Þ ¼º¼¼¼ ½ Ø Ö Ø ÓÒ× ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ô Ö Ñ ½º¼ ¼º¾ ½ ¼º¾¼¾ ¼º¾¾ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼¼¼¼ ½º ½ Ö ÒØ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ Ò ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Æ Ø Ú ÒÓÑ Ð ÑÓ Ð¸ Å ÈË ½ ÙÐÐ Ø × Ø ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò ¿¼ ×غ ÖÖ ¼º½¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¿ ¼º¼¼½ ¼º¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¾ ع×Ø Ø ¹ º¼¼ ½ º½ º½ ½¿º ½¾ ½½º ¿º ¼º¼¼¼ ½ º ¾ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ½º¼¼¼ ¼º¼¼¼ Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¹¾º½ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü Ù Ò ÐÔ ×Ø Ñ Ø ¹¼º ¾¿ ¼º ¼º ½ ¼º ¼º¼½ ¼º¼¾ ¼º¼¼¼ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ¾¼¼¾ º ½¿ Ú º Á º¿ ¼ Á ¾¼¼½ º ½¿ Ú º Á º¿ ¾ Á ½ º¿ ¿ Ú º Á º¿ ¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÆÓØ Ö ÔÓÖØ Ó Ò Ø Ø Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ × Ó Ò Ð Ö ×ÙÐØ׺ Ì Ë Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ¸ Ö ×ÙÐØ× Ù× Ò Ø ÓÖ × Ö ÙØ Ø Ø Ð ×Ø Ë Ò × ¹ Ø Ö Ø ÓÒ Ö×ظ Ø Ö Ø × Ø Ö ÒØ Ø Û Ö × ÒØÓ × Ð ÓÙÒØ Ø Ø Ó× ÓÖ Ò Ò Ø Ø× ØÛÓ Ø ÑÐ Ö ×ÙÐØ× ÙØ × Ö ÔØ Ø Ö ÔÓÖØ× Ø Ò Ð × Ð Ò º Ð×Ó¸ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ α = exp(α∗ ) ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼ × Ù× Ù× ÒÓØ Ó Ø ØÓ ØÓ Ò ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÓ Ø α > 0º Ø Ø Ì Ø Ö ÙÒÖ ×ØÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö α∗ = log α Ð ÓÖ Ø Ñ ×Ø Ñ Ø Ò Ù× × ÐÓ ¹Ð ÙÒ Ø ÓÒ¸ × Ò ×Ø Ò × × Ë Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ò× Ò Ó × Ó ÓÒØÖ Û Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒº ÌÓ Ø ÐØ Ø¹×Ø Ø ×Ø Ó Ø α¸ Ä ØÓ Ù× Ñ Ø Ó º Ì ÓÒ ÑÐ Ö ×ÙÐØ׸ Ñ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ºÑ º Û × ¸ Ö Ö Æ ¹ÁÁ Ö ×ÙÐØ× ÅÈÁÌ Ç Î ÜØ Ò× ÓÒ× ÓÙÒ ËÅÁÆ Í× Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÒØ Ò ÐÝØ Ö ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ËÌÊÇÆ ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ½ È Ö Ñ ÓÒÚ ½ Ö ÒØ ÓÒÚ ½ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¾º½ ËØ Ô× Þ ¼º¼½¼ ¿ ½¿ Ø Ö Ø ÓÒ× ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ô Ö Ñ Ö ÒØ Ò ½º¼¿ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¿ ¿ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¾½¿ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¾ ½ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¿¼¾ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼ ¿ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º ¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Æ Ø Ú ÒÓÑ Ð ÑÓ Ð¸ Å ÈË ½ ÙÐÐ Ø × Ø ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö ¾ ×غ ÖÖ ¼º½ ½ ¼º¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼ ع×Ø Ø ¹ º ¾¾ ½½º ½½ º ¼ ½½º½ ½¾º¾ ¼ ¿º½¼ ¹¼º½ ¾ º¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º ½ ¼º¼¼¼ Ò Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¹¾º½ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü Ù Ò ÐÔ ×Ø Ñ Ø ¹½º¼ ½º½¼½ ¼º ¼º ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¹¼º¼¼¼ ½º ½¿ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ¾¼¼½ º ¿ Ú º Á º¿ Á ¾¼¼½½º ¿ Ú º Á º¿ Á ½ ¼º¿¿ ¾ Ú º Á º¿ ¿ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ • ÓÖ Ø Ø Æ Ç ¹Á ÑÓ ÓÒ Ø Ø Ð ´× ×Ø Ñ Ø ÔÐ Ù× Ø Ø Î Ù× Ñ ×ÙÖ Ð¸ Ø Ú Ö Æ ¹ÁÁ ÑÓ ÐÓ ¹Ð Ð Ð Ó × Ò ×Ð Ø ØÐÝ ØØ Ö Ó Ø Ò Ð¸ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø × Ð ×Ø Ò ÓÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ´ÑÓÖ ÑÓÑ Òصº Ø Æ ÑÓ Ð Ø ÑÙ ØØ Ö Ø Ò Ó × Ø ÈÓ ××ÓÒ • • ÌÓ Ú Ö Ò ÆÓØ ÑÓ Ì Ø Û Ø ÓØ º¾µº Ú Ö× ÓÒ× Ó α × Ø ÐÝ × Æ Ò Òغ и Û Ò Ò ÓÑÔ Ö ÓÖ Ò Ø × ÑÔÐ Æ ÙÒ ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð Ð ØÝ Ó ¹ÁÁ ÑÓ Pn ×Ø Ñ Ø ÓÖ Ç Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ð Ú Ö ØÓ Ø ¹ÁÁ ÑÓ Ø V (y) = θ ˆ ˆ ˆ 2 t=1 λt +α(λt ) º n Ì Î ÊÎ ´ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÒÓØ Ö ÔÓÖØ Ò Ð Î Ö Ò ×¸ Ë ÑÔÐ Ç Ë ÑÔÐ ×Ø Ñ Ø ¿ º¼ ¿¼º ØØ Ö Ø Ò Ø Ú Î Ò ÊÎ ¼º½ ½ ¼º½ ¾ Ò Ò Ø ÒÓÑ ×Ø Ñ Ø µ¸ Û ´Æ ¹ÁÁµ ÓÖ Ç ¾º Å Ö Ø ÓÚ Ö Ø ×Ô Ö× ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × × Ø × ÒÓØ ÔØÙÖ ÕÙ Ø Ðݺ º ÓÖ Ò ÒØÐÝ Êθ Ø ÈÓ ××ÓÒ × ¸ Ð ÑÓ Ð × ÙØ Ø Ö × ×Ø ÐÐ Ø ×ÓÑ ÓÚ Ö Ñ× ØÓ ÔØÙÖ ×Ô Ö× ÓÒ ¾º¾º Ñ ÜØÙÖ Ì Û Ø ×Ù ×ØÙ Ñ ÜØÙÖ Ò Ø Ñ ÜØÙÖ ÑÓ ÔÔÖÓ ØÓ ØØ Ò × Ø ×Ø ØÙ׺ Á º ÐØ ÔÔÖÓ ÐØ Ò Ð× Ø Ö ÒØÙ Ø Ú Ò Ú ÑÜ Ñ Ò ÔÔ Ù Ð× Ö Ð Ó Ò ØÚ ÒÓÑ Ð ÑÓ Ý Ò ÓÖ ×Ù ÖÓÙÔ× Ó Ø Ðº ÌÖ Ú Ì ´½ Ò Ø µº Û × ÒØÖÓ Ù ÐÐÓÛ Ò × ÛÓÙÐ Ò Ø Ú ÓÙØ × Ñ Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÐØ Ý Ø Ò ØÛÓ Ö ÒØ ÖÓÙÔ× × Ú Ö Ð ×× Ñ ÐØ Ý ÓÖ ÙÒ ØÓ ÑÓÖ ØÓÖ× Ó Ñ ×Ù ÐØ Ò Ö Ð ×× Ó Ø ÖÓ Ò Ø Ú Ø ÓÒ × Ò »ÓÖ ×Ù Ú Ð ÖÓÙÔ׺ Å ÒÝ ×Ø ØÙ× Ò Ò Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ø × Ø Ú Ð Ó ÓÖØ ØÓ ÔØÙÖ ÓÒ ËÙ ÜÓ Ø Ú Øݸ Ö Øݺ Ì ×ÙÖ ×¸ ×Ù × Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× ÐØ ×Ø ØÙ׺ ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ Ú ÖÝ Ñ Ò ÓÖÑ Ø Ú Ö ÖÓÑ Ø Ô Ö×ÓÒ³× ÓÚ Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò Ñ Ý Ø Ú ¸ × Ð ¹Ö ÔÓÖØ ÒÓÙ× Ò Ø Ñ ÜØÙÖ ÑÓ ×ÙÖ × Ñ Ý ×Ù Ð×Ó ÒÓØ Ð× Ö ÓÒ ÔØÙ ÐÐÝ × ÑÔÐ º Ì Ò× ØÝ × p−1 fY (y, φ1 , ..., φp , π1 , ..., πp−1 ) = i=1 Û Ø Ì Ö Ö Ø Ø p πi fY (y, φi ) + πp fY (y, φp ), (i) πi > 0, i = 1, 2, ..., p¸ πp = 1 − πi Ö ÓÖ Ö Ò ×ÓÑ Û Ý¸ ÓÖ ØÓ ÓÑÔÐ × Ò× Ø × Ó Ø ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ×º Ñ ÜØÙÖ p−1 i=1 πi ¸ Ý Ö Ò Ü ÑÔÐ ¸ × × × ÑÔÐ ÙÒ ÔÓ×ع ×Ø Ñ Ø ÓÒ = 1º Á π1 ≥ π2 ≥ · · · ≥ πp ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ò p i=1 πi ÒØ Ò Ð Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö × φi = φj , i = j º Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÔÓ×× • Ì Ó Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ò× ØÝ ÓÐÐÓÛ Ò ÑÓÑ ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ö Ø ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Û Ý ÖÓÑ Ø Ó× × Ø × Ñ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ׺ Ó Ø ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø Ò Ö Ø Ò Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÜØÙÖ ÑÓÑ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ò Ó Ø Ò× Ø ×¸ ×Ó¸ Ü ÑÔÐ ¸ Ò× Øݺ E(Y |x) = p i=1 πi µi (x)¸ Û µi (x) × Ø ith ÓÑÔÓÒ ÒØ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼ • Å ÜØÙÖ Ò× Ø × Ñ Ý ×Ù Ö ÖÓÑ ÓÚ ÖÔ Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÓÒ¸ × Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò× Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ ×º ÁØ × ÔÓ×× Ö Ó Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ ÓÒ×ØÖ Ò ÓÖ Ø ÓÖ ÖÓÛ× Ö Ô ÐÝ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ÒÙÑ ´ Ö Ó ÖÓ×× Ø Ñ ÜØÙÖ ×º Ò× Ø × × ØÖ Ý ××Ù º ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ • Ì ×Ø Ò Ø ×Ø Ò ´ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑÔÓÒ Òظ Û p=1 Ó × Ò Ð × ØÓ × Ý¸ ÒÓ Ñ ÜØÙÖ µ Ú Ö×Ù× Ö ×ØÖ Ø ÓÒ p=2 Ñ ÜØÙÖ ÓÙÒ ØÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ×µ ÒÚÓÐÚ × Ø ÖÝ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô º ÆÓØ Ø ÓÒ Ð ÓÓ Ö Ø ÐÓÛµ ÒÝ Ú ÐÙ Ö Ø Ó Ø ×Ø ÒÙÐÐ Ö Ú Ð Ø Û Ò π1 = 1¸ π1 = 1¸ Ø Ô Ø Ò ÔÔÐ Ð Ø Û Û × ÓÒ Ø Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ò× Øݺ Í×Ù Ð × ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø × Ø ÓÙÒ Ø ÑÓ Ð ÖÝ ÙÒ Ð ´× Û Ø ÓÙØ Ö ÒÓØ × ×º Ñ Ø Ó × ×Ù Ö ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× Ñ Ò× Ó ÝÔÓØ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÓ× Ò Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ×ÙÐØ× Ù× Ò Ø Ö ÓÖ Ñ ÜØÙÖ Ó ¾ Æ ¹ÁÁ ÑÓ Ð׸ ÓÖ Ø Ç Î Ø ¸ Û ÝÓÙ Ò Ö ÔÐ Ø × ÔÖÓ Ö Ñ º Ç Î ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Å Ü Æ Ø Ú ÒÓÑ Ð ÑÓ Ð¸ Å ÈË ½ ÙÐÐ Ø × Ø ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö ¿ ×غ ÖÖ ¼º ½¾ ¼º½ ¼º½ ¿ ¼º½½ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼¼¼ ¼º½ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¿ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ½ ¼º½ ¼º½ ¾ ع×Ø Ø ¼º¾ º ¾ ¼º ¿º¼½ º½½ ½º ¼ ¹¼º¾½ º¼ ½ ¾º º ¾ º¿ º ¿ º½ ¾º ¿ ¼º¾ º ½ ½º ¾ Ô¹Ú ÐÙ ¼º ¼ ¼º¼¼¼ ¼º ¼ ¼º¼¼¿ ¼º¼¼¼ ¼º½½¾ ¼º ¿½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼ ¼º ¼º¼¼¼ ¼º½½ Ò Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¹¾º½ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü Ù Ò ÐÔ ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü Ù Ò ÐÔ Å Ü ×Ø Ñ Ø ¼º½¾ ¼º ½ ¼º½ ¼º¿ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¹¼º¼¼¼ ½º¿ ½ ¼º ¾ ¼º ¾¾ ¼º¿ ¼º ¼¼ ¼º¾ ¼º½½½ ¼º¼½ ½º¼¿ ¼º¾ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ½ ¾¼º¿ ¼ Ú º Á º¿ Á ½ ¼¿º¿ ¼ Ú º Á º¿ ½¼ Á ½ º½¿ Ú º Á º¿¿ ¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼ ÁØ × ÛÓÖØ ÙØ Ø Ð×Ó ÒÓØ Ø ØÛ Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ø Ø Ó Ø Ø Ñ ÜØÙÖ ÒØ× Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × ÒÓØ × Ò×ÙÖ Ò Ò Ò ¸ ÒØÐÝ ÓÖ Ö ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ¸ Ö ÕÙ Ø ÔÙ Ð Ü ÑÔÐ ¸ ØÛÓ Ð Ø ÒØ Ð ×× ×º × × Ò Ò Ò ÓÚ ¸ Ø Ú Ø ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ ÒÓÑ Ø Ø Ð ÑÓ Ø Ø Ðº Æ Ð Ò³Ø ÙØ Ø × ÑÓ Ð Ø ×Ø Ñ׸ Ø× Ø Û × Ú Ö ´Ù× Ò ÙÔÓÒ Ò Ó ¾º¿º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö º ×Ø Ò Ø ÑÙ Ö Ñ Ø Ó ×µ Ø Ð Ø Ø ÑÓ × Ð Ú ÐÙ × Ó ÓÓ Æ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó ÙÒ Ø ÓÒ× ÑÓ ØØ Ö¸ Ø Ð × ÑÓÖ ×Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø º ÀÓÛ Ò Û Ø ÖÑ Ò × Ø Ó ÓÑÔ Ø Ò Ì Ó Ø Ð× × Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ¸ Û Ø Ö Ø ÔÔÖÓ Ô Ò ÐØÝ ´ Á × ÓÒ ÓÖ Ø µ¸ ÔÓ×× ÒÙÑ Ý × ´ Á Ð Øݺ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ö Ó µ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ù× Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ× ÔÓÔÙÐ Ö Á µº Ì º Ì Ö ´ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ö ˆ CAIC = −2 ln L(θ) + k(ln n + 1) ˆ BIC = −2 ln L(θ) + k ln n ˆ AIC = −2 ln L(θ) + 2k Á Ò Á × Ó ×Ò³Ø Ñ Û ÐÐ × Ð Ø Ø Ò¸ Ó Ò ÁØ Ò ÖÓÙÔ Ó × ÓÛÒ Ø ÑÓ Ð׸ Ø Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ÓÙÖ× ¸ Ø Û ÐÐ Ø Ø ÑÓ Ð ÖÓÑ Ð Ò ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݺ Ì ÖÓÙÔº ÑÓ Ì Á ÓÖÖ Ø ÑÓ ÚÓÖ × Ò × Ö ÐÝ Ò Ø × ÒÓØ ÓÒ× ×Ø Òظ ÑÓ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ö Æ ÓÚ Ö¹Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ú ÐÙ × ÓÖ Ø ÑÓ Ð ÓÚ Ö Ø × Ð ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ò¸ ÓÖ Ç Ðº À Ö ÖÐݸ Ø Î Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÑÓ Ð× Ö ØØ Ö Ð× Û ³Ú Ì Îº ÈÖ ØØÝ Ð Ö Ø Ö Á º¿ º¿ º¿ º¿ ½ º¿ º¿ º¿ º¿ ¿º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ¸ Ç Á ÅÓ Ð Á º¿ º¿ º¿ ¿ º¿¿ ÈÓ ××ÓÒ Æ Æ ÅÆ ¹Á ¹ÁÁ ¹ÁÁ Ø Ø Ò Ø Ð ÚÓÖ Ð º ÈÓ ××ÓÒº Ì ÓÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ØÛ Ò Ø Ø Æ ¹Á Ú × Ò Æ Ú ÖÝ × ¹ÁÁ ÑÓ Ò ÒØ ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Æ ¹ÁÁ × ×Ð Ò ØÐÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ º × ÓÙÐ ÒÓØ Ö Ö Ñ Ñ Ð׸ Ø Ö ÙØ ÓÒ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ø Ø Ð × Æ Ú ÐÙ × ¹Á ÑÓ ×Ø Ø ×Ø ×¸ Û Ø ÚÓÖ Ö׸ Ý ¸ Ú Ö × Ò Ò ×º Ï Ø Ø Ö × ÑÔÐ ¸ Ø Ñ Ý Û ÐÐ ÅÆ Ð ÛÓÙÐ ÓØ Ö Ò × º Ø × ×Ó ×Ñ Ðк Ì ¹ÁÁ ÑÓ ÚÓÖ ÓÚ Ö Ø ÐÐ ¿ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ï Ý Ç Ú × ÐÐ Ó Ò Ø ÔØ Ö ÓÒ ÉÅÄ Ðº ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ ×ÐÓÔ Ä Ø³× ×ÙÔÔÓ× Ò Ø × × ÑÓ Ø Ð Ø Ø Ø Ø Ø ÓÖÖ Ø ÑÓ ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ö Ó Ø Ð ÓÖ Î × Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ð Ø Ø Æ ¹ÁÁ ÑÓ Ø ÓÒ Ð Û ÐÐ Ð Ò Ö¹ ×Ø Ñ Ø × Ó Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ × Ñ Ñ ¸ Ø Ò Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ø ÓÒ ÉÅÄ ÇÈ × Ò ´Û Ñ ÐÝ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ×Ø Ñ Ø µº ËÓ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø ÓÒ Ð Ñ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ò Û ÐÐ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ÈÓ ××ÓÒ ØÖÙ ×Ø Ñ ØÓÖ ÛÓÙРк Ì Ò ÓÖ Ò ÖÝ Ø × ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÖ ×ÓÑ ÓÚ Ö Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ö ÑÓ × ÓÖ ÒÚ Ö× Ø À ×× Ò Ò ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ× ÓÐ ÓÛ Ú Ö Ò ÓÒ× ×Ø Òظ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü × Ø ¸ × × ÓÖ Ø Å ÕÙ Ð ØÝ ÈË Ó × ÒÓØ ÓÖ ÉÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Ò ÙØ ÓÖ º º º Ø µ Ø Ø ÉÅÄ × Ò Û ÈÓ ××ÓÒ ×ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ö ÓÖÑ ÓÖ Ø ÅÄ Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø Ò × Ù×× ÓÚ ¸ Ù× Ò ×Ø Ñ ØÓÖº ÑÐ Ö ×ÙÐØ× Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ö ÔÓÖØ× × Ò Û Ö ×ÙÐØ׸ ×Ó Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÛÓÙÐ ¾º ÅÈÄ ÌÀ Å ÈË Ì ¾¼ Ò Ø Ö Ò Ú Ò Ø Æ Û ØÖÙ ÑÓ Ð׺ Ø Ò Ð × Ø Æ ¹Á ÓÖ Æ ¹ÁÁº ÆÓØ Ø Ø Ø Ý Ö Ò Ø × Ñ Ð Ö ØÓ Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø ÀÓÛ Ú Ö¸ ÑÓ ××ÙÑ ¸ Ø Ø Ø ÓØ ÓÖÖ Ø ÑÓ Ø ÈÓ ××ÓÒ Ø Ò Ù Ò Ð × Ø Ò Ø Æ Ñ ÅÆ ¹ÁÁ ÑÓ Ð× Û ÐРи × × Ú ÚÓÖ Ý Ø Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ׸ ×Ó Ø Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐݺ ¹x ÑÓ Ò× ÛÓÙÐ Ñ ××Ô Û Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø ×Ø Ñ Ø Ê ÁË Ë ¾¼ Ü Ö × × Ü Ö × × ´½µ ÓÒ× Ñ Ö Ò Ø Å ÈË Ø ´Ø Ü Ó Ñ Ý ××ÙÑ × Ö ÔØ ÓÒ ÐØ × Ò Ë Ø ÓÒ Ø ÙØ Û × º¾µ¸ ÓÖ Ø Ç Î ´y µ ½ ×ÙÖ ¸ Ð Ø η Ø Ö Ö Ð Ø ÒØ Ò ×Ø ØÙ× Ø ¸ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ××ÙÑ Ø Ø ÕÙ Ð ØÓ ÙÒ Øݺ × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ï ×Ù×Ô Ø Ø Û Ø Ø ÓØ η Ò P RIV ÓÖÖ Ð Ø Ø Ø η Ö ××ÓÖ׺ Ï E(y|P U B, P RIV, AGE, EDU C, IN C, η) = exp(β1 + β2 P U B + β3 P RIV + β4 AGE + β5 EDU C + β6 IN C)η. Ï Ù× Ø ÈÓ ××ÓÒ ÉÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø ÈÓ ××ÓÒ(λ) ÑÓ Ð y ∼ ´ ¼µ λ = exp(β1 + β2 P U B + β3 P RIV + β4 AGE + β5 EDU C + β6 IN C). Ë Ò Ô Ö× Û × Ò Ò ÑÙ ¾ ÔÖ Ú ÓÙ× × × Ú Ò Ò Ø × Ø Ø ÐØ Ö Ò × ÖÚ × Ù× × ÓÚ Ö ×¹ ¸Ø Ò ÐÑÓ×Ø ÖØ Ö ÒÐÝ ÒÓØ Ò ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ¸ Ø × Ø Ù× × ÒÓØ Òغ ÀÓÛ Ú Ö¸ η Ø P RIV ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ÓÖ Ø Ò Ø Ø × º Ï Ö × Ò βi η Ò Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ý³× ´½ Ò × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô µ ÆÄÁÎ ×Ø Ñ ØÓÖ Ø P RIV Ö ÓÖÖ Ð Ø ¸ ÅÙÐÐ Ø Ù× × Ø Ù Ð ÙÒ Ø ÓÒ ε= Û Ö y − 1, λ ÔÔÖÓÔÖ Ö ××ÓÖ׸ Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ׸ × Ø × ÓÒ× ×Ø Òغ × × Û ÐÐ Ì ÖÓ×× ÔÖÓ Ù Ø× Ó ÙÐÐ × Ø Ó λ Ø × Ò Ù× Ò ÐÐ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÜÓ ¼¸ Û Ø ÒÓÙ× Ö Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Û Û Ø × Ú Ö PUB Ð × Ò Z = {AGE, EDU C, IN C}º Ø ×¸ Ø Ò×ØÖÙÑ ÒØ× W = {1 P U B Z P U B × Z }. ´ µ ´ µ Ð ÙÐ Ø Ð ÙÐ Ø ÔÓÖØ ÓÐ Ó ´ µ Ð ÙÐ Ø Ø Ø ÈÓ ××ÓÒ ÉÅÄ Ò Ö Ð Þ ÓÖ ÁÎ ÒØ× ×Ø Ñ Ø ×º ×Ø Ñ Ø × ´ Ó Ø Ù× Ò ÓÛ ØÓ Ó Ø ×µº ÜÓ Ò ØÝ Ó ÈÊÁκ ÅÅ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ¹ × Ø Ü ÑÔÐ Ø À Ù×Ñ Ò Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø ØÓ Ø ×Ø Ø Ö ×ÙÐØ× ´ µ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ø ½ ¾ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÇÚ Ö ×Ô Ö× ÓÒ × ×ÓÖØ × Ò ×× ÖÝ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ × ÒÓØ ÓÖÖ Øº ÒØ Ø ÓÒº Ò × Ö Ø Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Òº Á Ø × × Ø Ü ×Ø× Û Ø ÓÒ Ð Ú Ö × ¸ Ø ÈÓ ××ÓÒ ×Ô À ÈÌ Ê ½ ÆÓÒÐ Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ´ÆÄ˵ º ¾ Ê Ò × Ú ×ÓÒ Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ ∗ Ò ∗ ÐÐ Òظ º ½ ½º ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò ÆÓÒÐ Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ´ÆÄ˵ × Ñ Ò× Ó Ò Ø ÓÒ ×Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ÑÓ Ð yt = f (xt , θ 0 ) + εt . • ÁÒ Ò Ö Ð¸ ×ØÖ εt Û ÐÐ Ø ÖÓ× ×Ø Ð Ò × Ò Ø Ö ¸ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø × × Ü ØÐÝ ¸ Ò ÔÓ×× ÐÝ ÒÓÒÒÓÖ¹ Ó Ð Ò Ö Ñ ÐÐÝ ÑÓ ÙØ º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ø Û Ø × Ò Ø × Ð׸ ×Ó Û ³ÐÐ Ù×Ø ØÖ εt ∼ iid(0, σ 2 ) Á Û ×Ø Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ú ÖØ ÐÐݸ Ò Ò y = (y1 , y2 , ..., yn )′ f = (f (x1 , θ), f (x1 , θ), ..., f (x1 , θ))′ Ò ε = (ε1 , ε2 , ..., εn )′ Û Ò ÛÖ Ø Ø n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × y = f (θ) + ε Í× Ò Ø × ÒÓØ Ø ÓÒ¸ Ø ÆÄË ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ò × 1 1 ˆ θ ≡ arg min sn (θ) = [y − f (θ)]′ [y − f (θ)] = Θ n n • Ì Ó Ì ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ò Ñ Þ × Ø Ø Ù Ð Ò Û Ø ×ÙÑ Ó ØÛ Ò ×ÕÙ Ö × Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ú ×Ø Ò × y − f (θ) ÖÖÓÖ׸ Û 2 × Ø × Ñ y Ò f (θ). ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò sn (θ) = Û Ú × Ø Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ 1 ′ y y − 2y′ f (θ) + f (θ)′ f (θ) , n Ø ÓÒ× − Ò ´ ½µ ÁÒ × ÓÖØ × Ò ¸ Ù× Ø ∂ ˆ′ ∂ ˆ′ ˆ f (θ) y + f (θ) f (θ) ≡ 0. ∂θ ∂θ ˆ ˆ F(θ) ≡ Dθ′ f (θ). n×K Ñ ØÖ Ü ˆ F Ò ÔÐ Ó ˆ F(θ). Í× Ò Ø ×¸ Ø Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ× Ò ÛÖ ØØ Ò ˆ ˆ ˆ −F′ y + F′ f (θ) ≡ 0, ¾½¼ ¾º Á ÆÌÁ Á ÌÁÇÆ ¾½½ ÓÖ ´ ¾µ Ì Ø Ø × ÔÖ Ö× ÓÓ Ð Ó ˆ ˆ F′ y − f (θ) ≡ 0. × Ñ Ð Ö ØÝ ØÓ Ø ÔÖ ºÓº º ÓÖ Ø Ð Ò Ö ÑÓ Ø Ð ¹ Ø Ò Ö Ú Ø Ú × × ÑÔÐÝ Ó ×Ó Ø ÓÒ × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ø ×Ô Ö Ð Ø ÓÒ ÖÖÓÖº Á f (θ) = Xθ, ˆ F X, ºÓº º ´Û Ø ÖÖÓÖ×µ × ÑÔÐ Ý ØÓ X′ y − X′ Xβ = 0, Ø Ù×Ù Ð ¼ÄË ºÓº º Ï Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ò ÆÄË ´× • ÆÓØ Ø ÁÆË ÊÌ Ö Û Ò × Ó Ú ×ÓÒ Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ Ô ×º ¸½¿ Ò µº × ÓÑ ØÖ ÐÐÝ Ø Ø ÒÓÒÐ Ò Ò Ò × Ñ Ý Ö ØÝ Ó Ø Ð ÔÓ ÒØ× Ñ Ò ÓÐ Ø Ó Ð Ø Ú ÓÑ ØÖ Ð Ô Ø ÓÒ Ó ÇÄË ÐÓ Ð Ñ Ü¹ × ØÓ ÔÓØ ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ¸ Ñ Ò Ñ Û Ðй Ú sn (θ) × ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ ÙÐØ ØÓ Ñ Ò Ñ Þ º ¾º Á × ÐÐݺ Ì ÓÖ ¸ ÓÒ Ø Ø ÒØ Ø ÓÒ Ò ×ÝÑÔØÓØ ÓÒ× ÒØ Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ø Ø Ò Ø º × ÑÔÐ ¸ Ø Ò ØÓ Ò ×ÝÑÔØÓØ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ × Ø × Û ÐÐ sn (θ) × ÓÒ× Ð Ñ Ø Ò s∞ (θ) ×Ù 0 Ø θ , Û Ö ÕÙ Ö × Ø s∞ (θ 0 ) < s∞ (θ), ∀θ = 0 2 Ø Dθ s∞ (θ ) 1 n 1 n 1 n 2 n n t=1 n t=1 n t=1 n t=1 θ0. Ì ÔÓ× Ø Ú s∞ (θ 0 ) × ×ØÖ ØÐÝ ÓÒÚ Ü Ö Ø Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ sn (θ) = = = − • × Ò Ü ÑÔÐ ¿¸ Û Ø [yt − f (xt , θ)]2 f (xt , θ 0 ) + εt − ft (xt , θ) ft (θ 0 ) − ft (θ) 2 2 + 1 n n (εt )2 t=1 ft (θ 0 ) − ft (θ) εt Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÜØÖ ÑÙÑ ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ù× Ò Ó × ÐÐÙ×ØÖ Ø Ø Ø × ÓÒ ÇÄ˸ Û ÒÓØ ÓÒ ÐÙ ÙÔÓÒ Ø ÖÑ Û ÐÐ ÓÒÚ Ö ÓÒ×Ø ÒØ Û Ô Ò θ. ØÓ Ø Ò Ø Ö Ö Ø ÖÑ ØÓ ÓÒ ÐÙ º ×ØÖ Ð ÒØ Ò ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÓÙÐ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ù× º À Ö ¸ Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö × ÔÓ ÒØÛ × • • ÄÄÆ Ò ØÓ ¼¸ × ÐÓÒ × ÔÔÐ f (θ) Ö Ø ε Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ò × ØÓ Ö Ó ÔÓ×× Æ Üظ ÔÓ ÒØÛ × ÓÒÚ Ö Ò º Ì ××ÙÑ ÓÒÚ Ö Ö ÒÙÑ ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÓÒ Û ³ÐÐ Ù×Ø ÓР׺ ××ÙÑ ÔÓ ÒØÛ × Ð Û Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö× ÔÔР׸ • ´ ¿µ ÌÙÖÒ Ò ×Ó ØÓ Ø Ö×Ø Ø ÖѸ Û ³ÐÐ 1 n Û Ò × Ö n t=1 ×Ø ft (θ 0 ) − ft (θ) ×ØÖ ÐÐ 2 a.s. → f (z, θ 0 ) − f (z, θ) x. ÁÒ Ñ 2 dµ(z), f (x, θ) Û ÐÐ ÓÙÒ µ(x) ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÒÝ × ×¸ ÓÒØ ÒÙÓÙ׸ ÓÖ ÑÑ Ø º Ö Ò ¸ ÓÖ Ò ÓÙÒ θ ∈ Θ, ×Ó ×ØÖ Ò Ø Ò Ò ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö Ò Ü ÑÔÐ f (x, θ) = [1 + exp(−xθ)]−1 , f : ℜK → (0, 1) , Ø ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò θ. º Ë ÅÈÌÇÌÁ ÆÇÊÅ ÄÁÌ ¾½¾ Ú Ò Ø × Ö ×ÙÐØ׸ Ø × Ð Ö Ø Ø Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ Ö Ö ÓÖ ÒÓØ Ø Ö × θ0. Ï Ò ÓÒ× ÓØ Ö Ò ÒØ Ø ÓÒ ÐÓ Ð ´ ×ÝÑÔØÓØ µ¸ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÕÙ ×Ø ÓÒ × Û ÒØ Ø ÓÒ × Ø Ñ Ý ×ÓÑ Ö Ñ Ò Ñ Þ Öº ∂2 ∂θ∂θ ÔÓ× Ø Ú Ò Ø Ø s (θ) = ′ ∞ ∂2 ∂θ∂θ ′ Ø × f (x, θ 0 ) − f (x, θ) Ö Ú Ø Ú ¸ Û Ó Ø 2 dµ(x) Ø Ö Ð ØØÐ ÛÓÖ µ θ0. Ú ÐÙ Ø Ò Ò ´ ∂2 ∂θ∂θ ′ Ø f (x, θ 0 ) − f (x, θ) ÙÒ ÓÖÑ ÒØ Ö Ð¸ × ÐÓÒ ÓÙÒ Ý Ø ×Ø 2 dµ(x) θ0 =2 Ö Ú ÐÖ Ò Dθ f (z, θ 0 )′ ÒØ Ó Ø Ý Ø Ö Dθ′ f (z, θ 0 ) dµ(z) Ú ÐÙ Ø Ö Ú Ø Ú ÔÓ× Ø Ú ØÓ Ø Ø ′ ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ø ÓÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ó Ø Ò ×× Û ÓÑ Ò Ø Ö Ö ×× ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ× Ô ×× Ò Ø θ 0 . ´ÆÓØ Ø ÖÓÙ Ò Ø Ö ××ÙÑ ÓÒÚ Ö ÓÖ Ñºµ Ì × Ñ ØÖ Ü Û ÐÐ Ø Ò ´ÛÔ½µ ÒØ Ú ØÓÖ × Ó ÙÐÐ Ö Ò ´ÛÔ½µº Ì Û Ö ÒØ ×Ô Ö ×× ÓÒ Ñ Ò ÓÐ ¹ ÑÙ×Ø ×Ô Ò K ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô × × × × ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ö ÒÓ K Ø Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖº Ì Ø ÓÐ Ò Ö ØÝ Ò × Ø Ð Ò Ø Ø Ö ÑÓ Ò ÐÓ ÓÙ× ØÓ Ø Ò ×× ÖÝ ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ô Ö Ðº Ì ÓÚ Ø ÓÒº ÆÓØ Ø Ø ÄÄÆ ÑÔÐ ÜÔ Ø Ø ÓÒ × J∞ (θ 0 ) = 2 lim E F′ F n ¿º Ï Ø Òغ Ò Ó Ø × ÑÔÐÝ Ú Ò Ø Ú Ò Ø ××ÙÑ Ø Ø ÓÚ Ø Ø Ø ÓÒ ×ØÖÓÒ ÒØ ×ØÓ ×Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÓÖ Ñ ½ ÓÐ ¸ ×Ó Ø Ø ÓÒ× ÓÐ ¸ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×¹ × × Ù×× ´Ø º ÓÚ ¸ ÐÓ×ÙÖ ÕÙ ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ× Ò Ø ÓÒ× Ó Ì Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÑÔ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Ö × Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Θ), ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÔÖÓÓ ³× ××ÙÑÔØ ÓÒ× º × Ò Ø × × Ò Ì Ó ÅŸ Û ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó Ø ÓÖ Ñ ¾¾ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ð×Ó × ÑÔÐÝ ××ÙÑ Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ ×ÝÑÔØÓØ Ø ÓÖÑ ÓÒÐÝ Ö Ñ Ñ ØÖ Üº ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÓÐ º Ì Ò ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÓÖ Ñ × Ò ¹ ÓÚ Ö Ê ÐÐ Ø Ö ×ÙÐØ Ó ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø √ Û Ö d ˆ n θ − θ 0 → N 0, J∞ (θ 0 )−1 I∞ (θ 0 )J∞ (θ 0 )−1 , ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ð Ñ Ø Ó J∞ (θ 0 ) × Ø ∂2 ∂θ∂θ ′ sn (θ) Ú ÐÙ Ø Ø θ0, Ò √ I∞ (θ 0 ) = lim V ar nDθ sn (θ 0 ) ÙÒ Ø ÓÒ × Ì Ó Ø Ú 1 sn (θ) = n ËÓ n t=1 [yt − f (xt , θ)]2 Dθ sn (θ) = − Ú ÐÙ Ø Ò Ø 2 n n t=1 [yt − f (xt , θ)] Dθ f (xt , θ). 2 n n θ0, Dθ sn (θ 0 ) = − εt Dθ f (xt , θ 0 ). t=1 º ÅÈÄ ÌÀ ÈÇÁËËÇÆ ÅÇ Ä ÇÊ ÇÍÆÌ Ì ¾½¿ ÆÓØ Ø Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ú Ö Ò ¸ Û × × Þ ÖÓ¸ × Ò ǫt Ò Ø xt Ö × ÓÒ ××ÙÑ ØÓ ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓÙØ Þ ÖÓº º Ð×Ó ËÓ ØÓ Ð ÙÐ Ø ÒÓØ Ø Ø Ò × ÑÔÐÝ Ð ÙÐ Ø ÑÓÑ ÒØ n εt Dθ f (xt , θ 0 ) = t=1 ∂ ′ f (θ 0 ) ε ∂θ = F′ ε Ï Ø Ø × Û Ó Ø Ò √ I∞ (θ 0 ) = lim V ar nDθ sn (θ 0 ) 4 = lim nE 2 F′ εε³ F n F′ F = 4σ 2 lim E n Ï ³Ú ÐÖ Ý × Ò Ø Ø J∞ (θ 0 ) = 2 lim E Û Ö Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÖ × Û Ø Ò Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ× Û Ø F′ F , n Ò× ØÝ Ó Ø Ó ÒØ Ö ×ÙÐØ Ó x Ò ε. ÓÑ Ò Ò Ø × J∞ (θ 0 ) I∞ (θ 0 ), Ò Ø ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ø ÓÖ Ñ¸ √ Ï Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ d ˆ n θ − θ0 → N Ø Ú Ö Ò 0, lim E ÓÚ Ö Ò F′ F n −1 σ2 . ×Ø Ñ Ø Ñ ØÖ Ü Ù× Ò ´ µ ˆ ˆ F′ F n ˆ F × Ò × Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½ Ò −1 σ2 , ˆ Û Ö σ = ˆ Ø Ó Ú ÓÙ× ×Ø Ñ ØÓÖº ÆÓØ Ø ÐÓ× 2 ˆ y − f (θ) ′ ˆ y − f (θ) Ò ØÓ Ø n ÓÖÖ ×ÔÓÒ , Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø Ð Ò Ö ÑÓ Ðº º ËÙÔÔÓ× Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ì Ö × ×ÓÖØ Ó ×Ø Ö Ì Ø Ð ÑÓ Ý Ø Ü ÑÔÐ ÓÒ Ì Ø Ú Ö ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ xt × Ò Ô Ò Ñ Ð ¸ Û Ð ÓÖ ÓÙÒØ ÒØÐÝ Ò× ×ØÖ ÙØ Ø Ø Ò Ø Ø ÈÓ ××ÓÒº ÈÓ ××ÓÒ Ú ÐÙ × ß¼¸½¸¾¸ººº º Ö Ó Ô Ø ÒØ× yt × Ð Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓÙÒØ × Ò Ù× Ö¸ ØÓ ×ØÙ Ý Ú × Ø× ØÓ Ó ØÓÖ× Ô Ö Ý Ö¸ ÒÙÑ Ù× Ò ×× × Ô Ö Ý Ò× ØÝ × Ø º exp(−λt )λyt t , yt ∈ {0, 1, 2, ...}. yt ! Ò º ÆÓØ Ø Ø ÈÓ ××ÓÒ f (yt ) = Ì ØÖÙ Ñ Ñ Ò Ó Ò × yt × λt , × × Ø Ú Ö λt ÑÙ×Ø ÔÓ× Ø Ú º ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø λ0 = exp(x′ β 0 ), t t Û Ò ÓÖ × Ø ÔÓ× Ø Ú ØÝ Ó λt . ËÙÔÔÓ× Û ×Ø Ñ Ø β0 Ý ÒÓÒÐ Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × 1 ˆ β = arg min sn (β) = T n t=1 yt − exp(x′ β) t 2 º ÌÀ ÍËË¹Æ ÏÌÇÆ Ä ÇÊÁÌÀÅ ¾½ Ï Ò ÛÖ Ø sn (β) = = Ì Ø Ø 1 T 1 T n t=1 n t=1 × exp(x′ β 0 + εt − exp(x′ β) t t exp(x′ β 0 − exp(x′ β) t t ÜÔ Ø Ø ÓÒ Þ ÖÓ × Ò Û Ò Ò ØÙÖÒ ÒÓØ Ò ÑÔÐ Ø 2 2 + 1 T n ε2 + 2 t t=1 1 T n t=1 Ø εt exp(x′ β 0 − exp(x′ β) t t Ð ×Ø Ø ÖÑ Ø × Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ø Ú ÔÔÐÝ Ò E (εt |xt ) = 0, ×ØÖÓÒ E(yt |xt ) = exp(x′ β 0 ) ÑÔÐ × t xt Ö ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Û Ø εt . ÓÑÔ Ø ÄÄƸ Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ Û s∞ (β) = Ex exp(x′ β 0 − exp(x′ β) Û Ø Ö Ø Ð ×Ø Ø ÖÑ ÓÑ × ÖÓÑ Ø Ò Ó Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ú Ö 2 + Ex exp(x′ β 0 ) Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ø Ò Ó ε × Ø × Ñ × y. Ì × × ÙÒ Ø ÓÒ × Ð ÒØ Ø ÓÒ ÖÐÝ Ñ Ò Ñ Þ β = √ β 0 , ×Ó Ø ÆÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ × ÐÓÒ ÓР׺ Ü Ö × ¾ º Ø ÖÑ Ò Ø Ð Ñ Ø Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ×Ô ÓÖÑ× Ó ∂β∂β ′ sn (β)¸ ∂2 ÒÓ Ò ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø Ò ÔÔÐ J (β 0 ), º ∂sn (β) ∂β ˆ n β − β0 . Ì Ò¸ Ù× ×Ñ ÄÌ Ò× ×Ò Ò Ò ¸ , Ò I(β 0 ). º Ì Ê Ì ×ÕÙ Ö ×º Ì Ì ÑÓ Ð × Ù××¹Æ ÛØÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔØ Ö ¸ Ô ×º ¾¼½¹¾¼ ÐÐÝ Ö Ø × Ò × Ú ×ÓÒ Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ ∗º Ò ÓÖ ÒÓÒÐ Ò Ó Ø Ú Ö Ð ×Ø Ù××¹Æ ÛØÓÒ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ × ØÓ Ð Ò Ö Þ Ø ÒÓÒÐ Ò × ×Ô Ö ÑÓ Ð¸ Ö Ø Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒº y = f (θ 0 ) + ε. Ø ×ÓÑ θ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ ÒÓØ ÕÙ Ð ØÓ θ0, Û Ú y = f (θ) + ν Û Ø Ö Ö ν × ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÒ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ø ÖÖÓÖ Ø ÖÑ Ú ÐÙ ε Ò Ø ÖÖÓÖ Ö×Ø ÓÖ Ù ØÓ Ú ÐÙ Ø Ò × Ö ×× ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÓÙÒ θ Ö Ø ØÖÙ θ0. Ì Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ 1 ÔÓ ÒØ θ : θ − θ1 + ν + Ì Ò Ø Ð ×Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÖÓÖº ÛÖ ØØ Ò × y = f (θ 1 ) + Dθ′ f θ 1 Ò z ≡ y − f (θ 1 ) Ò b ≡ (θ − θ 1 ). z = F(θ 1 )b + ω ¸ Û Ö ¸ × ÓÚ ¸ Ú ÐÙ Ø ÙÒ Ø ÓÒ¸ × Ö ×º F(θ 1 ) ≡ Dθ′ f (θ 1 ) 1 Ø θ , Ò ω × ν × Ø ÔÐÙ× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ n×K Ñ ØÖ Ü Ó Ö Ú Ø Ú × Ó Ø Ö Ö ×× ÓÒ Ì ÝÐÓÖ³× ÖÖÓÖ ÖÓÑ Ø ØÖÙÒ Ø • • • ÆÓØ ÆÓØ Ú Ø Ø Ø F × ÒÓÛÒ¸ Ú Ò Ø ÓÒ ÓÙÐ ×Ø Ñ Ø θ1. b × ÑÔÐÝ ÖÓÙÒ Ý Ô Ö ÓÖÑ Ò ÇÄË ÓÒ Ø ÓÚ Ø ÕÙ Ø ÓÒº ׸ Ø Ò b, Ò ˆ Û Ò Ð ÙÐ Ø × Ò Û ÖÓÙÒ ÜÔ Ò× ÓÒ ×Ø Ñ Ø 0 Ó θ Ö Ô 2 × θ Ø Ø = ˆ + θ1. Ï Ø b Ò Û Ì ÝÐÓÖ³× × Ö ´ØÓ Û Ø ×Ô θ2 Ò ÔÖÓ ×׺ ËØÓÔ Û ˆ=0 b ØÓÐ Ö Ò µº º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÄÁÅÁÌ È Æ ÆÌ Î ÊÁ Ä Ë Æ Ë ÅÈÄ Ë Ä ÌÁÇÆ ¾½ ÌÓ × Û Ý Ø × Ñ Ø ÛÓÖ ¸ ÓÒ× Ö Ø ÓÚ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ ÙØ Ú ÐÙ Ø Ø Ø ÆÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ ˆ ˆ y = f (θ) + F(θ) θ − θ + ω Ì ÇÄË ×Ø Ñ Ø Ó ˆ b≡θ−θ × ˆ = F′ F ˆ ˆ b Ì × ÑÙ×Ø Þ ÖÓ¸ × Ò −1 ˆ ˆ F′ y − f (θ) . ˆ ˆ F′ θ Ý Ò Ø ÓÒ Ó Ø Û Ò Û Ì ÆÄË ×Ø Ñ ØÓÖ ´Ø Ø × ˆ y − f (θ) ≡ 0 Ö Ø ÒÓÖÑ Ð ×ØÓÔº × ÓÒ Ö Ú Ø Ú ×¸ × Ó ×Ø Æ ÛØÓÒ¹ ÕÙ Ø ÓÒ× × Ò ÕÙ Ø ÓÒ ¾¸ Ë Ò ÛÓÙÐ ˆ≡0 b Ú ÐÙ Ø ˆ θ, ÙÔ Ø Ò • • Ù××¹Æ ÛØÓÒ Ñ Ø Ó Ó ×Ò³Ø Ö ÕÙ Ö ×Ø Öº ÕÙ Ø ÓÒ Ê Ô ×ÓÒ Ñ Ø Ó ¸ ×Ó Ø³× Ì × Ú Ö ÓÚ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ × Ò × × ÑÔÐ ØÓ Ð ÙÐ Ø ¸ × Ò Ð ×Ø ÖÓÙÒ Û Ö Ú ˆ F ݹÔÖÓ Ù Ø Ó Ø ÁÒ Ø¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ ×× ´ º º¸ Ø³× Ù×Ø Ø Ú Ø Ö ××ÓÖ Ñ ØÖ Ü µº ÒÓÖÑ Ð ÇÄË ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ ÇÄË Ú Ö ÓÚ Ò ÆÄË Ú Ö ÓÚ Ð ×Ø Ø Ö Ø ÓÒº ×Ø Ñ ØÓÖ Ö ØÐݸ × Ò Ø³× Ù×Ø Ø Ò ×Ù ×Ø Ñ ØÓÖ ÖÓÑ Ø ÔÖÓ Ð Ñ× × Ò ÒØ • Ì Ò Ñ Ø Ó Ö ÖÓÑ ÓÒÚ Ö Ò F(θ)′ F(θ), ÑÓ Ð¸ Ñ Ý ÐÐÝ Ú ÖÝ ÖÐÝ × Ò ÙÐ Ö¸ Ö ÖÓÑ Ú Ò Û Ø ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ü ÑÔÐ ×Ô θ × Ú ÖÝ ˆ θº y = β1 + β2 xt β 3 + εt Ï Ò Ú ÐÙ Ø Ø Ú Ø ÓÒ¸ ×Ó Û ÐÐ F Û ÐÐ β2 ≈ 0, β3 Ö Ò Ø × Ú ÖØÙ ÐÐÝ ÒÓ ×× ÒØ Û ÐÐ ÐÐÝ ×Ù Ø ÓÒ Ø Ö Ø ÆÄË Ó Ò ¿º ÁÒ Ø ÖÓÙÒ Ó Ø Ú × × ¸ ÖÖÓÖ׺ ÙÒ ¹ Ø × ¾¸ Ö Ø F′ F Ò ÖÐÝ × Ò ÙÐ Ö¸ ×Ó (F′ F)−1 Ø ØÓ Ð Ö º Ê À Ñ Ò¸ Ð ×× ÓÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ä Ñ Ø Ò × Ë ÑÔÐ Ú ×ÓÒ Ò Ë Ð Ø ÓÒ × ÓÖ Ö × Ô Ò Å Ã ÒÒÓÒ¸ ËÔ Ò ¸ Ò ÒØ Ú Ö º ½ Ø ÓÒ Û × Ð × Ò × ÑÔÐ × Ð Ø ÓÒ ∗ ´ ÕÙ Ö Ò × ×Ù ¸ ½ ´Ì Òص¸ º × × ÖÖÓÖ ¸ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÖØ Ð ¸ ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ØÓ ×Ø ÖØ ÝÓÙ Ø ÓÙع º Æ Ú ÖØ Ð ×× Ø³× ÔÐ Ë ÑÔÐ Ò ÓÙÒØ Ö × ÑÔÐ × Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ÝÓÙÖ Ö × ÔÔÐ Ö × Ö º Ì ÓÖ Ö µº Ò × Ð Ø ÓÒ × Ò ÓÑÑÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö × ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÖ× Û Ò ØÓ ×ÓÑ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ù× × Ñ º ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ö Ò ÓÑÐݸ × Ð Ø ÓÒ º½º × Ø Û Ü ÑÔÐ Ø Û Ä Ø µ ÓÖ ËÙÔÔÐݺ Ø Ó Ô Ö×ÓÒ ÔÖ Ä Ö Û ÓÖ ×ÙÔÔÐÝ Ó × Ö Ø Ô Ö×ÓÒ Ò Ø ÑÓ × ÔÓ× Ø Ú ÒÙÑ ¸ Û Ö Ó ÓÙÖ× Ô Ö ÙÒ Ø Ø Ñ ×ÙÔÔÓ× Ò Ö × ÖÚ Ø ÓÒ Û Ö× ÒÓØ ØÓ ÛÓÖ º Ì Ð ´Ú ÖÝ × ÑÔÐ ¸ Û Ø t ×Ù × Ö ÔØ× ×ÙÔÔÖ ×× • • • • ÏÖ Ø Ø Ö Ø Ö ×Ø × Ó Ä Ø ÒØ Ð Ç Ö Û Ò Ú Ù Ð ∗ ÓÖ ×ÙÔÔÐÝ s = wo = z′ γ + ν x′ β x +ω Ê × ÖÚ Ø ÓÒ Û Û Ö ÒØ Ð wr = q′ δ + η × w∗ = ≡ r′ θ + ε z′ γ + ν − q′ δ + η º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÄÁÅÁÌ È Æ ÆÌ Î ÊÁ Ä Ë Æ Ë ÅÈÄ Ë Ä ÌÁÇÆ ¾½ Ï Ú Ø × Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ× s∗ = x′ β + ω w∗ = r′ θ + ε. ××ÙÑ Ø Ø ω ε Ï Ö ××ÙÑ Ø Ø Ø Ð º Ï Ó Ö Û ÙÒÓ × ÖÚ Ø × Ó × ÖÚ ∼N Ò Ø × 0 0 , σ 2 ρσ ρσ 1 ¸ . × Û ÐÐ × Ø Ð Ø ÒØ Ú Ö Ð Ö × ÖÚ Ø ÓÒ Û s∗ w = 1 [w∗ > 0] s = ws∗ . ÁÒ ÓØ Û Ö ÛÓÖ ×¸ Û Ð Ó × ÖÚ Û Ø × Ö ÓÖ ÒÓØ Ô Ö×ÓÒ × ÛÓÖ Ò º Á Ø Ô Ö×ÓÒ × ÛÓÖ ÖÛ × ¸ Ö Ò ¸ Ó × ÖÚ Ø ÐÝ ÓÖ ×ÙÔÔÐݸ Û Ö Ù× Ò ÕÙ Ð ØÓ Ð Ø ÒØ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø ∗ ÓÖ ×ÙÔÔÐݸ s . ÇØ Ø Ò Ú Ù Ð× Ò s = 0 = s∗ . Ø Ö ÆÓØ Û Ø Û × ÑÔÐ Ý Ò ÐÝ ÓÓ× ÓÙÖ× Ó ÛÓÖ º Û ×Ø Ñ Ø Ø ÑÓ Ð ËÙÔÔÓ× s∗ = x′ β + Ö Ù× Ò ÓÖ Û ÓÒÐÝ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÖ Û × Ù Ð Ø Ø × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ö Ø Ó× w∗ > 0, ÓÖ ÕÙ Ú Ð s > 0. Ì ′ ÒØÐݸ −ε < r θ ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò E ω| − ε < r′ θ = 0, × Ò × Ò × ε Ò ω Ö Ô Ò Òغ ÒØ Ö Ò ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø Ù× × ÜÔ Ø Ø ÓÒ Û ÐÐ Ò × ØÛÓ Ø׸ Ð Ò Ö Ð Ô Ò ÓÒ x Ð Ñ ÒØ× Ó Ò ÓÒ× x Ò r. Ó Ø ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ Ø ÓÒ × Ò ÓÒ× ×Ø Òغ Ö ÑÓÖ ÓÖ Ö ÙÐÐÝ ÛÖ Ø ´× Ü ÑÔÐ ËÔ ÒÓ× E [ω| − ε < r′ θ] . Ú Ò Ø Ó ÒØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ Ó ω Ò ε, Û Ò ËØ Ø ×Ø Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ× Ó ω = ρσε + η, ÓÒÓÑ ØÖ ÅÓ ÐÐ Ò ¸ Ô º ½¾¾µ Û Ö η × Ñ Ò Þ ÖÓ Ò × Ò Ô Ò ÒØ Ó εº Ï Ø Ø × Û Ò ÛÖ Ø s∗ = x′ β + ρσε + η. Á Û ÓÒ Ø ÓÒ Ø × ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ −ε < r′ θ Û Ø s = x′ β + ρσE(ε| − ε < r′ θ) + η Û Ñ Ý ÛÖ ØØ Ò × s = x′ β + ρσE(ε|ε > −r′ θ) + η • Ù× ÙÐ Ö ×ÙÐØ × Ø Ø ÓÖ z ∼ N (0, 1) φ(z ∗ ) E(z|z > z ∗ ) = , Φ(−z ∗ ) Û Ö φ (·) Ò Φ (·) Ö Ø ×Ø Ò Ö ÊÀË ÒÓÖÑ Ð ÓÚ × Ò× ØÝ ÒÓÛÒ Ò × Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÕÙ ÒØ ØÝ ÓÒ Ø ÒÚ Ö× Å ÐÐ³× Ö Ø Ó IM R(z∗ ) = φ(z ∗ ) Φ(−z ∗ ) º ÈÈÄÁ ÌÁÇÆ ÄÁÅÁÌ È Æ ÆÌ Î ÊÁ Ä Ë Æ Ë ÅÈÄ Ë Ä ÌÁÇÆ ¾½ Ï Ø Ø × Û Ò ÛÖ Ø ´Ñ Ò Ø Ù× Ó Ø Ø Ø Ø Ø ×Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð Ò× ØÝ × ×ÝÑÑ ØÖ ÓÙØ Þ ÖÓ¸ ×Ó Ø φ(−a) = φ(a)µ φ (r′ θ) +η Φ (r′ θ) β ζ Ø ´ µ s = x′ β + ρσ ≡ ζ = ρσ º ′ ××ÓÖ× x • Ì ÖÖÓÖ Ø ÖÑ ´ µ x′ × ÓÒ φ(r′ θ) Φ(r′ θ) Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ×Ø Ñ Ø + η. Ò × ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ý ÆÄ˺ ÙÖ Ø Û Ö Ö×Ø Û Ø Ø Û Ö Ö Ö η Ò Þ ÖÓ¸ φ(r′ θ) Φ(r′ θ) . Ò Ø Ø × ÔÓ Òظ Û Ò × ×Ø Ñ Ø Ø × Ò ÝÐ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ À Ñ Ò × ÓÛ ×Ø Ñ Ø Ó ¸Ø ÓÛ ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ØÛÓ ×Ø Ô ÔÖÓ ×Ø ×ÕÙ Ö × Ù× Ò Ò θ × ×Ø Ñ Ø × × Ò × Ö ´ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÚ Ö º Ú ÐÙ Ò × θ ØÓ ÓÖÑ Ø Ö ××ÓÖ׺ Ì ÐÝ ÓÚ Û ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Òص Ù×Ø ØÓ ØÖ Ý ××Ù º ÁØ × ÔÖÓ ÑÓÖ Ó ÅÄ Ö • Ì ÑÓ Ð ÔÖ × ÒØ ÑÓ Ð× Û Ô Ò × ×ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ Ó ÒØ ÒÓÖÑ Ð Øݺ Ì Ò Ø ×ØÖ º Ñ ÒØ Ò ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ Ë ÁØ Ü ×Ø Ñ ÒÝ Ð ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×Ø Ñ Ø × ÔÓ×× Ò Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Û Ø ÓÙØ ÙØ ÓÒ Ð ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÈÓÛ Ðи ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ½ À ÈÌ Ê ½ ÆÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ö Ò ½º ÈÓ×× Ð Ô Ø ÐÐ× Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö Ò Ê × ÓÒ ÁÒ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÍÒ ÒÓÛÒ Ê Ö ×¹ Ò × ÙÒ Ø ÓÒ׸ Àº Ï Ø ´½ ¼µ Í× Ò Ä ×Ø ËÕÙ Ö × ØÓ ÔÔº ½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒÓÑ Ê Ú Û¸ ÓÒ× × × Ø ÙØ × ÓÒ Ö × ÑÔÐ ÔÖ Ò Ö Ø ÖÖ ¹ ¼º ÐÐÙ×ØÖ Ø × ÓØ Û Ý ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ × × Ø ÓÒ Û Ü ÑÔÐ ¸ Û Ñ Ø Ó × Ñ Ý Ò ×ÓÑ Ï ×ÙÔÔÓ× Ø ×ØÖ Ø ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ø Ó ×º Ý Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò Ò Ó (y, x)¸ Û Ø Ö Ø y = f (x) +ε¸ x × ÙÒ ÓÖÑÐÝ (0, 2π), ε × Ð ×× Ð ÖÖÓÖº ËÙÔÔÓ× f (x) = 1 + Ì Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ò ÁÒ × Ö × Ó ÒØ Ö ×Ø × ØÓ ×Ø Ñ Ø Ø x 3x − 2π 2π 2 Ð ×Ø ØÝ Ó f (x) Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ x, Ø ÖÓÙ ÓÙØ xº ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ó Ò Ö Ð¸ Ø f (x) ÒÓÛ × ÙÒ ÒÓÛÒº ÇÒ Ð × ØÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ× ×Ù Ì ÝÐÓÖ³× × Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ ÒØ Ð ÐÓ f (x) ÓÙØ ×ÓÑ ÔÓ ÒØ × Ø x0 . Ð Ü ØÖ Ò× Ò ÓÖ Ö Ø Ñ ´Ù×Ù ÐÐÝ × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ׺ ÓÙØ ØÖ Ò×ÐÓ µ Ò Û Ø Ö×Ø ÓÖ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö × × ÓÒ ÓÖ Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö Ï ³ÐÐ ÛÓÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ × ÑÔÐ Øݺ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò x0 h(x) = f (x0 ) + Dx f (x0 ) (x − x0 ) Á Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × x0 = 0, Û Ò ÛÖ Ø h(x) = a + bx Ì Ó Ö Ú Ø Ú Ð Ø ÒØ a × x = 0. Ø Ì Ú ÐÙ × Ø Ú Ö Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø x = 0, Ò Ñ Ø ×ÐÓÔ × Ø Ú ÐÙ Ý ÓÖ Ó Ø Ò ÖÝ Ó ÓÙÖ× ÙÒ Ø ÓÒ × ÒÓÛÒº ÇÒ Ø ØÖÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ø ×ÕÙ Ö ×º Ì Ó n s(a, b) = 1/n t=1 Ì ¿ × Ð Ñ Ø Ò Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÓÐÐÓÛ Ò Ø (yt − h(xt ))2 . Ö ÙÑ ÒØ Û Ù× ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ¿½ Ò 2π s∞ (a, b) = Ì Ø Ò ÓÖ Ñ Ö Ö Ò Ø 0 (f (x) − h(x))2 dx. ×Ø Ñ ØÓÖ× ´Ì Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÖ Ñ ½ µ Ø ÐÐ× Ù× Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ò× ÓÖ Ó Ø Ú Ø Ú ÐÙ × Ø ½ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ø Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ ÜØÖ ÑÙÑ a ˆ Ø ˆ b = Û ÐÐ ÓÒÚ Ö ËÓÐÚ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ø ÓÒ× Ö Ú Ð× Ø a0 7 0 6, b = 1 π . Ì ×Ø Ñ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò s∞ (a, b) Ó Ø ˆ ÙÒ Ø ÓÒ h(x) Ø Ö Ø× Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ò × ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ h∞ (x) = 7/6 + x/π ½ Ì Ø ØØÔ »»Ô Ö ØÓºÙ ÓÐÐÓÛ Ò Ö ×ÙÐØ× Û Ö º ×»Ñ Ö Ó Ø Ò Ù× Ò Ø ÓÑÑ Ò Ñ Ü Ñ ¹ ºÑ л ÓÒÓÑ ØÖ ×» Ü ÑÔÐ ×»ÆÓÒÔ Ö Ñ ØÖ » ¾½ ÓÙ Ò ºÑ º Ø Ø ×ÓÙÖ Ð ½º ÈÇËËÁ Ä ÈÁÌ ÄÄË Ç È Ê Å ÌÊÁ ÁÆ Ê Æ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ¾½ ÙÖ 3.5 ½º ÌÖÙ Ò × ÑÔÐ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ× Fun1 x/%PI+7/6 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 ÁÒ × ÙÖ × ½Û × Ø ØÖÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ØÓ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ × Ø ×ÝÑÔØÓØ ÙÒ Ø ÓÒ Ó xº ÑÓ ÑÓ Ð Ð × Ø ×ØÖ Ø Ð Ò ¸ Ø ØÖÙ Ú Ò ÑÓ Ø Ø Ð × ÙÖÚ ØÙÖ ºµ ÆÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÓ Òغ × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ó Ð × Ò Ò Ö Ð Ò ÓÒ× ×Ø Òظ ÓÖÑ× × ´Ì Ø Ì Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø Ü × × ÓÛ× Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÔÓÒ Ì ÝÐÓÖ³× × Ö ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÒÓØ Ò Ì Ú Ö¸ Û Ñ Ö Ò Ö Ð Ð ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÑÓ Ò Ø Ý Ø Ð × ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ñ× ØÓ Ø Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ö ÒØ Ö ×Ø Ú ØÖÙ ÑÓ Ð ÖÐÝ Û Ðи Ê ÐÐ Ø ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݺ ÀÓÛ¹ Ø Ò Ð ×Ø ØÝ × Ø Ð ×Ø ØÝ Ó Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ε(x) = xφ′ (x)/φ(x) ÓÓ Ó ÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×Ø ØÝ ÓÚ Ö Ø Ö Ò Ó Ö Ò Ì Ó x Û ÐÐ Ö ÕÙ Ö ÓÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ f (x) Ò f ′ (x) ÓÚ Ö Ø x. ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð ×Ø ØÝ × η(x) = xh′ (x)/h(x) ÁÒ ÙÖ ¾ Û ÑÓ ØÖ٠к Ð ×Ø ØÝ × Ø Ð Ò Ø Ø × Ò Ø Ú ×ÐÓÔ ÓÖ Ð Ö × Ø ØÖÙ Ð ×Ø ØÝ Ò Ø Ð ×Ø ØÝ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø Ð Ñ Ø Ò ÔÔÖÓܹ Ñ Ø Ò Ì Ø Ó Ø x. Î ×Ù ÐÐÝ Û × Ø Ø Ð ×Ø ØÝ × ÒÓØ Ð ×Ø ØÝ × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×Ó Û Ðк ÊÓÓØ Ñ Ò ×ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ 2π 0 ÆÓÛ ×ÙÔÔÓ× ÑÓ Ý Ø Û Ó Ðº Ì Ö Û Ù× Ø Ð ØÖ × Ó Ø Ø × Ò Ð ×ÓÒ ÓÖ Ù× Ò 1/2 (ε(x) − η(x)) dx Ò Ø ÖÑ× Ó ØÖ × Ð ÓÒÓÑ ØÖ × Ö ÓÙÖ Ö Ü × 2 = . 31546 ÓÒÓÑ ØÖ × Ö Ò × × Ø ÑÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð × ÑÓØ Ú Ø ½¸ ½ ÒÙÑ Ø Ð¸ Û ÓÒ× ¾µ¸ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ×ÝÑÔØÓØ ÔÖÓÔ ÖØ Û × × Û ÐÐ ×ØÙ Ý Ò ÑÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ü × Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ ´ Ø × ØÝÔ Ó ÐÐ Òظ ½ ÑÓ Û Ð Ø ÓÐ ÑÓ ÐÓÛº ÆÓÖÑ ÐÐÝ Û Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ö Ø Ø × ÑÔÐ Ò Ö × Þ º Ú ÓÖ Ó À Ö Ü × Ø Ó Û × × ÙÒ Ø ÓÒ ÒØ ÖÔÖ Ø × Ø Ó × Ò º Ï Û ÐÐ ÓÒ× ×ÝÑÔØÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ³× Ú ÓÖ Ò Ò Ø × ÑÔР׺ Ö Ø × × ÙÒ Ø ÓÒ× ½º ÈÇËËÁ Ä ÈÁÌ ÄÄË Ç È Ê Å ÌÊÁ ÁÆ Ê Æ ËÌÁÅ ÌÁÇÆ ¾¾¼ ÙÖ 0.7 ¾º ÌÖÙ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ð ×Ø Ø × Fun1 x/(%PI*(x/%PI+7/6)) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 ÙÖ 3.5 ¿º ÌÖÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÓÖ Ü Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Fun1 Fun2 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z(x) = Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÑÓ Ð × 1 x cos(x) sin(x) cos(2x) sin(2x) gK (x) = Z(x)α. . Å Ó ÒØ Ò Ò Ø × × × ÙÒ Ø ÓÒ× Ø × Ø × ÑÔÐ × Þ Ò Ö × ×¸ Û Ò Ø Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ñ Ò Ñ Þ a1 = ËÙ ×Ø ØÙØ Ò ´ ÁÒ ØÖ Ð Ò Ø µ Ø × 1 1 1 7 , a2 = , a3 = − 2 , a4 = 0, a5 = − 2 , a6 = 0 . 6 π π 4π gK (x) Û Ó Ø Ò Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ú ÐÙ × ÒØÓ g∞ (x) = 7/6 + x/π + (cos x) − ÙÖ ¿ Û Ú Ø × ÑÓ ÙÖ ÇÒ Ð Ó Û Ú Ö Ö× Ú ¸ Ø Ø 1 π2 + (sin x) 0 + (cos 2x) − Ò Ø ØÖÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Ü Ð 1 4π 2 + (sin 2x) 0 ØÖÙÒ Ø Ò Ò Ð Ó × Ø Ø Ø Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØØ Ö ÑÓÖ Ø × Ð ÖÐÝ Ø ÓÒÓÑ ØÖ × Ö Ö ÑÓ ØÖ٠к ÁÒ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ Ø Ð ×Ø ØÝ ÑÔÐ Ù× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ³× Ø Ö × ×ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØØ Ö¸ Ø ÓÙ Û ÚÝÒ ×× ¾º ÈÇËËÁ Ä ÈÁÌ ÄÄË Ç È Ê Å ÌÊÁ ÁÆ Ê Æ À ÈÇÌÀ ËÁË Ì ËÌÁÆ ¾¾½ ÙÖ 0.7 º ÌÖÙ Ð ×Ø ØÝ Ò ÑÓÖ Ü Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Fun1 Fun2 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Ò Ø ×Ø Ñ Ø º ÊÓÓØ Ñ Ò ×ÕÙ Ö ÖÖÓÖ Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×Ø ØÝ × 2π 0 ÓÙØ Ð Ø Ø Ó Ø Ò ÊÅË Ò Ò Ø g′ (x)x ε(x) − ∞ g∞ (x) Û Ò Ø Ö×Ø ÓÖ × Ø ÖÑ׸ Ø 2 1/2 dx Ö = . 16213, ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ×ÙÖ ÛÓÙÐ × Ù× º Á Ø ØÖ ÓÒÓ¹ × Û Ñ ØÖ × Ö × ÐÐ × º × ÓÒØ ÖÖÓÖ Ñ Ö Ú Ò ØÓ Þ ÖÓ¸ ¾º ÈÓ×× Ð Ô Ø ÐÐ× Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ö Ò Ï Ø Ø Ö Ø ÓÛ Ñ Ð Ò ÝØ Ø ÖÑ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ò Ø Ö Ò ÔÓ×× Û Ø ÓÙØ Ö ×ØÖ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÝÔÓØ × × Ø ×Ø Ò ×Ñ ØÓ Ò× Ò Ö Ò × ÐÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ë ÑÔÐݸ Ø ÒØ Ö ×Ø ØÓ Ñ Ðݺ • ÓÒ× Ö Ñ Ò× Ó Ø ×Ø Ò ÓÖ Ø ÝÔÓØ × × Ø Ø Ø Ñ Ò Ø ÓÒ×ÙÑ Ö× Ñ Ü Ñ Þ ÙØ Ð Øݺ Ö ÓÒ× ÕÙ Ò Ó ÙØ Ð ØÝ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ × Ø Ø × Ø Ó ÔÔÖÓ Ñ Ò × ÓÑÔ Ò× Ø ØÓ Ø ×Ø Ò 2 ËÐÙØ× Ý Ñ ØÖ Ü Dp h(p, U )¸ Û ÙÒ Ø ÓÒ׸ ÑÙ×Ø Ò Ø Ú ×Ø Ñ Ø h(p, U ) Ö × Ñ ¹ × Ø Ò Ø º ÇÒ Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÖ ÙØ Ð ØÝ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ× ÙÒ Ø ÓÒ× x(p, m)º Ý ÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ø Ó × Ö ÕÙ Ö × ×Ô Ü ÑÔÐ Ø ÓÒ • ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Ó Ñ Ò ¸ ÓÖ x(p, m) = x(p, m, θ 0 ) + ε, θ 0 ∈ Θ0 , Û Ö x(p, m, θ 0 ) × ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÒÓÛÒ ÓÖÑ Ò Θ0 Ð ÙÐ Ø Á Û × Ò Ø Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Öº • Ø Ø Ö Ö ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Û ÓÙÐ Ø Ú × Ù× Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û Ø Ø Ñ ØÖ Ü × Ò ÙØ Ð Øݺ Ø ˆ x = x(p, m, θ) ØÓ ˆ 2 h(p, U ). ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ðµ Dp Ò Ø ¸ Û Ñ ´ Ý ×ÓÐÚ Ò Ø ÒØ ¹ Ø ÓÒ³Ø Ò ×Ø Ø ×Ø ÐÐÝ Ö Ø Ø ÓÒ×ÙÑ Ö× × Ñ ¹ Ø ÓÒ ÐÙ Ñ Ü Ñ Þ • Ì Ñ Ý Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø × ×Ø Ó ØØ Ö ×ÓÒ ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÓÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù ØÓÖÝ × Ø ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ø× ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ × Ò ÓÖÖ Øº ÁÒ Ø ÓÖÑ Ñ ××Ô Ø ÓÒ Ð × ØÓ × Û Ø Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ú ×º ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾¾ • Ì ×Ø Ò ÔÓØ Ø ×ظ Ö Ù× Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ ÝÔÓØ ÑÓ × × × × Ø Ð× ÐÛ Ý× Ñ × ½µ Ø º Ò× Û Ö Ø ×Ø Ò ÓÑÔÓÙÒ Û × Ý¹ ØÓ ØÓ × ×º Ì Ò ¾µ Ø Ø × Ø ×Ø ÓÒÓÑ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Û ÐÙÖ Ó Ø Ð × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô × Ø ÑÓ Ö ½µ ÓÖ ¾µ Ò Ð ÝÔÓØ × ×º Ø Ø ÓÒº Ì ÒÓÛÒ ÐÐÓÛ× ÓÒ Ð¹ Ò Ù Ù Ñ ÒØ Ò • Î Ö Ò³× Ï ÊÈ Ø ÑÔÐ ØÓ Ø ×Ø ÓÖ ÙØ Ð ØÝ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ ×Ô Ý Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ó ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ù× Ø ÝÔÓØ Ò Ø Ø ×Ø Ö ÓÖÑ Ó Ö ØÐÝ Ø ÓÖݺ Ñ Ò Ý Ø ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ì ÓÖݸ ×Ó Ö Ø Ó× × × ÐÐ× ÒØÓ ÕÙ ×Ø ÓÒ Ø • ÆÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ø ÑÓ Ò Ö Ò ÐÐÓÛ× Ö Ø Ø ×Ø Ò ÝÔÓØ × × º Ó ÓÒÓÑ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ׸ Û Ø ÓÙØ Ð¹ Ò Ù Ù Ñ ÒØ Ò ¿º Ì Ê Ö ×× ÓÒ¸ Ñ Ö ÓÙÖ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ Á ÒØ Ø ÓÒ Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ò × Ñ ¹ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ö ¹ Ò ÛРݸ º¸ Ò × Ò º ÐÐ Òظ ½ ¸ Ú Ò × Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Û Ú ÑÙÐØ Ú Ö Ø Ø ÏÓÖÐ ÑÓ Ð ÓÒ Ö ×׸ κ ½¸ ÌÖÙÑ • ËÙÔÔÓ× y = f (x) + ε, Û Ö f (x) Ø Ø × Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖÑ Ò x × ××ÙÑ Ð ×Ø Ø ε × Ð ×× Ð ÖÖÓÖº Ä Ø Ù× Ø P− Ñ Ò× ÓÒ Ð Ú ØÓÖº Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÓÖ × ÑÔÐ Øݸ Ø Ú ØÓÖ Ó × Û Ø ØÝÔ Ð Ð Ñ ÒØ ξx i = Ø Ì ÓÙÖ Ö Ò Ö ØÖ ÖÝ ÔÓ ÒØ ÓÐÐÓÛ Ò × xi ∂f (x) , f (x) ∂xi f (x) xi . ÐÐ ÒØ ´½ ¾µ¸ ÙØ Û Ø ×ÓÑ Û Ø Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ¹ ÓÖѸ Ø ÓÒ¸ Ñ Ý ÛÖ ØØ Ò A ´ µ J gK (x | θK ) = α + x β + 1/2x Cx + Ø ′ ′ α=1 j=1 ujα cos(jk′ x) − vjα sin(jk′ x) . α α Û ´ Ö µ K¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ θK = {α, β ′ , vec∗ (C)′ , u11 , v11 , . . . , uJA , vJA }′ . • Ï Ò Ó Ø ÓÖ Ú Ö ××ÙÑ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ú Ö Ð × Ì Ð x Ú ØÓ Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ ÚÓ Ô Ö Ó ØÓ Ð Ú ÓÖ º Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ø × × ÓÖØ Ö Ø × 2π. Ò׸ × × Ö ÕÙ Ö × Ò Ú Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Û × Ö Ñ ÓÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ× Ý Ø Ñ Ü Ñ Ó Ø Ö Ò³Ø Ô Ö Ó ÓÒ Ü ÑÔÐ ¸ ×Ù ØÖ Ø × ÑÔРР׸ Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ý Ø ÓÒ Ò Ò 2π • Ì ÒØ Ð Ò Ò Ú ÐÙ º 2π − eps, Û eps × ×ÓÑ ÔÓ× Ø Ú ÒÙÑ Ö Ð ×× Ø kα Ö Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÙÐØ ¹ Ò Ø Ú ¸ ÔÓ× Ø Ú Ô Ò ÓÖ Òظ Ò Û Ò × Û Ö Ö× ´Ò ÖÐÝ Ò ÔÓ× Ø Ú º Þ ÖÓµº Ì kα ¸ P− α = 1, 2, ..., A × ÑÔÐÝ Ø Ø Ú ØÓÖ× Ö ÓÖÑ ØÓ Ó Ö ÕÙ Ö ÓÐÐÓÛ Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ø Ö×Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ð Ñ ÒØ Ü ÑÔÐ 0 1 −1 0 1 ′ ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾¿ × ÔÓØ ÒØ Ð ÑÙÐØ ¹ Ò Ü ØÓ Ù× ¸ ÙØ 0 −1 −1 0 1 × ÒÓØ × Ò Ø× Ö×Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ð Ñ ÒØ × Ò ′ Ø Ú º ÆÓÖ × 0 2 −2 0 2 ÑÙÐØ ¹ Ò Ü Û ÛÓÙÐ Ø Ù× ¸ × Ò Ø × ′ Ó Ø ÐÐ ÒØ Ö Ð ÓÖ Ò Ð ÑÙÐØ ¹ Ò Ù× ØÓ Ø ×Ø Ø × ÑÔÐ Õ٠ܺ × × Ð Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ö Ó × ÒÓ ÐÓÒ • Ï Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ñ ØÖ Ü C Ö ÒØÐÝ Ø × ×Ø ØÛ Ò × Ò ÔÖ Ø º Ì Ø ÓÒ Ù× Ò Ö×Ø Ô ÖØ Ð Ò ×Ø Ó×Ø Ó Ø Ö Ø ×Ô Ì Ú ØÓÖ Ó Ø ×Ø Ò º Ö Ú Ø Ú × × A ´ ¼µ J Dx gK (x | θK ) = β + Cx + Ø Ñ ØÖ Ü Ó × ÓÒ Ô ÖØ Ð α=1 j=1 −ujα sin(jk′ x) − vjα cos(jk′ x) jkα α α Ò Ö Ú Ø Ú × × A ´ ½µ J 2 Dx gK (x|θK ) = C + α=1 j=1 Ò −ujα cos(jk′ x) + vjα sin(jk′ x) j 2 kα k′ α α α Ð Ö Ú Ø Ú ×¸ Ð Ø ÌÓ Ò Ü Û Ø ÓÑÔ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ô ÖØ Ø Ú Ó Ø Ð Ñ ÒØ׺ ´ Ö ØÖ Öݵ Ò λ Ò N¹ Ø Ñ Ò× ÓÒ Ð ÑÙÐØ ¹ ÒÓ Ò N Ö ÙÑ ÒØ× Ö Ú Ø Ú x ÙÒ Ø ÓÒ |λ h(x)¸ ∂ |λ| |∗ × Ø Ù× ∗ ×ÙÑ Ó Ø Ð Ñ ÒØ× Ó λº ÖØ Á Û Ò Ô ÖØ Ú Ð D λ h(x) ØÓ Ò h(x) Ò Ø ÓÒ Ò Dλ h(x) ≡ Ï ÒØÓ ´ ¾µ Ò λ ×Ø Þ ÖÓ Ú ØÓÖ¸ × Ø ÓÙÒظ Û Ø Ø × ÔÓ×× D λ h(x) ≡ h(x)º Ð ØÓ ∂xλ1 ∂xλ2 · · · ∂xλN 1 2 N Ì Ò Ø × Ò Ø Ð ×Ø Ø Û ÕÙ Ø ÓÒ× (1 × K) λ Ú ØÓÖ Z (x) ×Ó Ø D λ gK (x|θK ) = zλ (x)′ θK . • • ÓØ Ö Ø Ð Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ö Ò Ø ÑÓ Ð Ò Ø Ö Ú Ø Ú × Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÑÓ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÑÓ Ð ØÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ´ÒÓØ Ö Ú Ø Ú ×µ¸ ÛÖ Ø ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÓÖ × ÑÔÐ Øݺ Ø ÓÖ Ñ Ò gK (x|θK ) = z′ θ K Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ù× ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø ÓÙÖ Ö ÓÖѺ Ì ÓÖ Ñ ¾ º ÐÐ ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÆÝ ÓÚ Ö º ¸ ½ ℄ ËÙÔÔÓ× Û Ö Ø Ö Ø × Ø ˆn h ÓÒ × Ó Ø Ò Ý Ñ Ü Ñ Þ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ×Ô × ÑÔÐ Ó Ø Ú × H ÓÒ Û ´ µ sn (h) ÒÓÖÑ h ÓÒ× HK n ÓÐÐÓÛ Ò HK ×Ù × Ø Ó ×ÓÑ Ø ÓÒ× × ÓÑÔ Ø ÓÑÔ ØÒ ×× Ò Ý ØÓÔÓÐÓ Ý ´ µ ØÓ h ´ µ ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ø Ø × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ò Ì ÐÓ×ÙÖ Ó H Û Ø h º Ò× Ò ×× ∪K HK ¸ K = 1, 2, 3, ... × Ò HK ⊂ HK+1 º Ò Ì Ö × Ö ×Ô Ø ØÓ h Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ò× ×Ù × Ø Ó Ø ÐÓ×ÙÖ Ó HÛØ Ö ×Ô Ø ÔÓ ÒØ h∗ Ø Ò h Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ h ×Ù Ø H Ò Ø Ö × ÙÒ Ø ÓÒ s∞ (h, h∗ ) n→∞ lim sup | sn (h) − s∞ (h, h∗ ) |= 0 H ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ðݺ ´ µ Á Ú ÍÒ ÒØ Ø ÓÒ ÒÝ ÔÓ ÒØ h Ò Ø ÐÓ×ÙÖ Ó h− h∗ = 0º × ÓÒ Ø ÓÒ× H Û Ø s∞ (h, h∗ ) ≥ s∞ (h∗ , h∗ ) Ø Ø ÑÙ×Ø ÖØ limn→∞ ∞ Ø ×Ø Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ðݺ Ì ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ ˆ h∗ −hn = 0 ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ðݸ ÔÖÓÚ limn→∞ Kn = Ò Ð ×Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ò ÆÝ ³× ´½ Ö Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ø × Ò Ñ × Ò Ð ÔÓ ÒØ × ØÓ × Ø Ò ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô Ø Ø × Ø Θ Ò ÐÐ ÒØ µ Ì ÓÖ Ñ ¼ ØÓ ÓÖ Ñ Ò Ø ÖÑ× Ó Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÖ Ñ × Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö Ò ÓÖÑ ØÓ Ì Ò Ö ÒÓÖÑ ×ØÖÓÒ Ö Ø Ò Ø Ò ÒÓÖÑ Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒº Ñ Ò Ö Ò × Ì Ö Ì ÓÖ Ñ ½ º Ì Ó Ø Ù Ð ´½µ h × Ù× Ù Ð ÛºÖºØ Ø × ×ØÖÓÒ Ò ÔÐ Ò ÒÓÖѺ Ò Û Ø × ÒÓÖÑ Ñ Ý Ò ÒÓÖѸ ×Ó Ø Ù Ð ÒÓÙ Ø ÓÒÚ Ö Ö ×Ô Ø ØÓ h ÑÔÐ ×ÙÖ × ÓÒÚ Ö Ø Ø Ø Ò ÒÓÖѺ ÌÝÔ ÐÐÝ Û ØÓ ÑÔÐÝ ÓÒÚ Ö Ò Û ÐÐ Û ÒØ ØÓ Ñ Ó ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÒØ Ö ×غ ´¾µ Ì ×Ô ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Θ Ò ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ Ó H × ÙÒ Ø ÓÒ ×Ô º ÁØ ÔÐ Ý× Ø Ô Ö Ñ ØÖ ×Ø Ñ ØÓÖ׺ Ì ×Ô Ó Ö ÖÓÐ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × ÒÓ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ØÓ Ø × Ø × Ý ÖØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ø ÓÒ׺ Ñ Ðݸ ÓÒÐÝ Ì × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ ØÓ × ÑÙ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ø Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð ×× Ö ×ØÖ Ø Ú Ô Ö Ñ ØÖ ´¿µ Ì Ï Ö × Ø Ñ Ðݺ Ò× Ò ×× × Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø ÔÖÓÓ Ø Û × ÒÓØ ÔÖ × ÒØ Ò Ø × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓØ Ö Ø ÓÖ Ñº Û ÐÐ ÒÓØ ÔÖÓÚ ÐÐ Òظ ½ µ ÓÖ Ñ ´Ø × ÕÙ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÙÖ ÓÖ Ñ ½ ℄¸ × Ö ÓÖÑ × Ø ÙØ Û ÑÓ Ðº Û ÐÐ × Ù×× Ø× ××ÙÑÔØ ÓÒ׸ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ¿º½º ËÓ ÓÐ Ú ÒÓÖѺ ØÓ Ñ ÖÖÓÖ× Ò Ö ÓØ ÜÔÐ Ø Û Ë Ò ÐÐ Ó Û × Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× ÒÚÓÐÚ Ï Ö Ò ÒØ Ö ×Ø Ø ÒÓÖÑ Ø h ¸ Û × Ø Ò Ø Ø Û Ø ÒÓÖÑ Û ØÓ Ù× º ÒÓÖÑ Ø Ò Ö Ò ÓÙØ Ø Òº Ù Ö ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ö×عÓÖ Ö Ò Ò× ÙÒ Ø ÓÒ× Û Ð ×Ø Ø Ø× Ö×Ø × Ò Ø Ö Ú Ø Ú ÓÙÒØ ÐÓ× Ö Ò Ì ÓÖº Ë Ò ÒØ Ö ×Ø Ø ÔÖ × ÒØ × ¸ Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ó ÙÒ Ø ÓÒ f (x) f ′ (x), Ø ÖÓÙ Ø Û ³Ö Ù× x. Ð Ä Ø Ò ÓÔ Ò × Ø Ø ÔÔÖÓÔÖ × Ø Ò Ø Ø ÓÒØ ÐÐ Ú ÐÙ × Ó Ò x Ø Ò ÒØ Ö ×Ø ËÓ ÓÐ Ú ÒÓÖÑ X × × × º ÁØ × ¸ Ñ Ó ÓÙÖ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ô ÖØ Ö Ú Ø Ú ×¸ h ÌÓ × Û Ø Û Ö ÓÖ ÒÓØ Ø ÛÓÙÐ m,X = ÙÒ Ø ÓÒ f (x) |λ∗ |≤m X × Û ÐÐ max sup D λ h(x) ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ý Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÑÓ Ð gK (x | θK )¸ Ú ÐÙ Ø f (x) − gK (x | θK ) Ï × Ø Ø Ø × ÒÓÖÑ Ø Ö × ÒØÓ ÓÙÒØ Û ÒØ ØÓ ÖÖÓÖ× Ò ×Ø Ñ Ø Ö Ú Ø Ú × ÙÔ ØÓ ÓÖ Ø × Ü ÑÔÐ ¸ Ø m,X . Ø ÙÒ Ø ÓÒ ×¸ × × Ø Ü Ñ Ò Ø Û Ò Ô ÖØ × Ø Ð Ò Ö Ð ×Ø Ø Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ö×Ø ÓÖ ÙÖØ m. Á Û Ö Ð Ú ÒØ Ò ÛºÖºØº m Ø ÛÓÙÐ m = 1. Ò× ÖÑÓÖ ¸ × Ò ÓÒÚ Ö sup Ó Ø Ò ÓÚ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ X, ÓÒÚ Ö ËÓ ÓÐ Ú Ñ ÙÒ ÓÖÑ Ò ¸ ×Ó Ø ×Ø Ñ Ø × ÓÖ ÐÐ Ú ÐÙ × Ó Î Ö Ý Ò x. ÓÑÔ ØÒ ×× Û Ø Ý Ò Ð Û ¸ Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÐÐ ÒØ Ò × ÒÓÖÑ × ÕÙ Ø Ø Ò ¹ ¸ ½ ¿º ¿º¾º Ð Ì Ò ÓÑÔ ØÒ ×׺ ÙÒ ÒÐ Ø Ò Ò º ÁØ × ÔÖÓÚ Ò × Ø Ø Û ËÓÙÞ ¸ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ø × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÛºÖºØº h m,X , Ø ÙÒ Ø ÓÒ× ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾ Ó ÒØ Ö ×Ø ÑÙ×Ø ÐÓÒ ØÓ × Ø ËÓ ÓÐ Ú ×Ô × Ø Ó Û Ø × ÒØÓ ÓÙÒØ Ö Ú Ø Ú × Ó ÓÖ Ö m + 1º ËÓ ÓÐ Ú ×Ô ÙÒ Ø ÓÒ× Wm,X (D) = {h(x) : h(x) Û Ö m,X < D}, Ú ÓÙÒ Ô ÖØ Ð D × Ò Ø ÓÖ ÓÒ×Ø Òغ Ö ÁÒ ÔÐ Ò Ø Ò ÛÓÖ ×¸ Ø ÙÒ Ø ÓÒ× ÑÙ×Ø × ØÓ Ö Ú Ø Ú × Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ú Ø Ú × Û ×Ø Ñ Ø º Ë Ò Ò Ø Ò ÓÙÖ × Û ³Ö ¿º¿º Ì ÒØ Ö ×Ø × ÓÐÐÓÛ× ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Ò Ø Ö×عÓÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô º Ö Ð ×Ø Ø ×¸ Û ³ÐÐ Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Ò Ø ÓÒ ¾ º ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô ℄ Ì Ò Ø Ø Û ÔÖ ×ÙÑ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô Ø Ø ÓÒ ×Ô ËÓ Û Ø ÖÓÙ Ï Ø ÓÙØ × Ö Ò ÓÔ Ò × Ø¸ ××ÙÑ Ò Ø h∗ ∈ H. ×Ø Ñ Ø × H = W2,X (D). ÓÙÒ × ÓÒ Ì ×Ø Ñ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ú Ø Ú × × Ñ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ö¸ Û ÓÔØ Ñ Þ Xº ×Ø Ñ ØÓÖ׸ Û ×Ù ×Ô ¸ ÓÒ³Ø ØÙ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Þ Ò × ÓÚ Ö Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô º Ê Ø ÓÚ Ö HK n , Ò Ø ÓÒ ¿¼º ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô ℄ Ì ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô HK × Ò × HK = {gK (x|θK ) : gK (x|θK ) ∈ W2,Z (D), θK ∈ ℜK }, Û Ö gK (x, θK ) × Ø Ì ÓÙÖ Ö ÓÖÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö × Ø × × Ø Ò Ò × ÕÙ Ø ÓÒ ×Ô × Ò Ó º Ø × ¿º º Ò Ü Ý Ò× Ò ×׺ Ò Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö ´θK Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö × ×Ø Ñ K Ð º Ð Ñ ÒØ׸ ÆÓØ Ø HK ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÖÙ µº Ï Ø n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ n > K, Ò Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ h∗ H, Ú × ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ ×Ø Ñ ØÓÖº ÁÒ ÓÖ Ð ×Ø Ð Ñ ÒØ Ó Ö ÓÖ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ò Ø Ø HK , ×Ó ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ Û ´½µ Ì Ý Ñ × Ð ´¾µ Ï Ò HK ØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÓÚ Ö HK Ñ Ý ÒÓØ Ð ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ¸ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ A Ò J Ò Ø K Û ÐÐ Ú Ø Ø HK HK ¸ Ø× Aa Ó Ò Ö dim θKn → ∞ × Ò Ò × ÙÒ Ø ÓÒ× n → ∞. Ì Ó n, Ø × × ÓÒ × × ÑÔÐ × Þ º ÁØ ÖÓÛ ÑÓÖ Ò× ×ÐÓÛÐÝ Ø nº Ø Ì Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ × ×Ù × Ø× Ó ÓÚ ¸ × Ò× H. ×Ù × Ø Ó Ø ÐÓ×ÙÖ Ó Ø Ó Ø ÓÙÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÐÓ×ÙÖ Ì ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô Ò × Ø Ó ×Ô ¸ Ó Ø ×Ù × Ø× × H º × Ø Ó ×Ù × ÕÙ Ð ØÓ Ø ÐÓ×ÙÖ A A × ∪∞ Aa = A a=1 Í× Ô ØÙÖ Ø Ö ³× ÒÓ Ò ØÓ Ò Ö º Ì Ö ×Ø Ó Ø × Ù×× ÓÒ Ó ØÓ ×ØÙ Ý Ø Ò Ø Ðº ÌÓ × ÓÛ Ø ÙÐ ØÓ µº Ï ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½ Ó Ø Ø Ö Ò ´½ Ò Ö ÔÖÓ Ù Ò Ò Ò× Ò ×× × ÔÖÓÚ Ø ÐÐ ÒØ ´½ ÓÖ Ñ Ù×Ø ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ò ×× ×Ù × Ø Ó h 1,X , Ø × Ù× HK × Ò× ¾µ¸ Û Ó Ò ØÙÖÒ Ø × Ý ÐÐ Òظ Û Ø H Û Ø Ö ×Ô Ø ÑÙÒ × Ñ ÒÓÖ ÅÓ× Ø ÐÐ × ÔÖ × ÒØ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð Ì ×¸ ÓÖ ÓÒÚ Ò ÑÙÒ × Ð Ó Ö ÓÖ Ñ ¿½º ÅÓ× Ø ÐÐ ¸ ½ Ö ℄ Ä Ø Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ Ò Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÐÓ×ÙÖ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ø × ÔÓ×× Ð Ö ÒØ ØÓ ÓÓ× ÙÔ ØÓ ÓÖ ØÖ Ò Ò ÙÐ Ö m ÓÒ ÖÖ Ý Ó Ò ÓÔ Ò × Ø ÓÒØ Ó ÒØ× q Û Ø 0 ≤ q < m¸ K → ∞. Ú ÖÝ Ú ÖÝ ε > 0, h∗ (x) θ1 , θ2 , . . . θK , . . . , ×Ù Ø Ø − hK (x|θK ) q,X = o(K −m+q+ε ) h∗ (x) Xº Ì Ò ÓÖ × ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾ ÁÒ Ø ÔÖ × ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ¸ ÓÒ Ø Ð q = 1¸ ÔÔÐ Ò m = 2º Ö ÒØ Ð º Ì Ð Ý ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô ¸ Ø Ò ÓÒØ Ò× Ø ´½ Ø Ø Ö µ¸ × Ð Ñ ÒØ× Ó ÐÓ×ÙÖ Ó ∪ ∞ HK × Ø X¸ H Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ÓÖ Ñ × ×Ó Ø ÓÙÒØ ÐÓ× ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ò X¸ Û × ÓÔ Ò ÐÐ ÒØ Ò ÆÝ ÙÒ ÓÒ Ó Ø × ÕÙ Ò Ó ßhK ÖÓÑ ∪ ∞ HK ×Ù HK º Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ¿½ × Ø Ø K→∞ ÓÖ ÐÐ lim h∗ − hK 1,X = 0, h∗ ∈ Hº Ì Ö ÓÖ ¸ H ⊂ ∪ ∞ HK . ∪∞ HK ⊂ H, ÀÓÛ Ú Ö¸ ×Ó ∪∞ HK ⊂ H. Ì Ö ÓÖ H = ∪ ∞ HK , ×Ó ∪ ∞ HK × Ò× ×Ù × Ø Ó H¸ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÒÓÖÑ h 1,X º ¿º º ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º ×Ø Ñ Ø Ý ÇÄ˺ Ì × ÑÔÐ Ó Ï Ø Ú ÒÓÛ ØÙÖÒ ØÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ×Ø Ø Ð Ñ Ø Ò Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒº Ï Ò Ø ÖÑ× Ó Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒ × sn (θK ) = − Ï Ø Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò ¸ × Ò Ø 1 n n t=1 Ó (yt − gK (xt | θK ))2 ÕÙ Ø ÓÒ× ¿½ Ò ¿¸ Ø Ð Ñ Ø Ò Ó Ø Ú × ÙÒ Ø ÓÒ × ´ ¿µ Û Ó Ø Ì Ö Ø Ø ØÖÙ ÓÖ Ñº ÔÓ ÒØÛ × Ò º ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ s∞ (g, f ) = − f (x) Ø × Ø g(x) Ò f (x) Ò Ó Ø Û ÐÐ × ÑÔÐÝ Ö X 2 (f (x) − g(x))2 dµx − σε . Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÔÐ h∗ Ò Ø ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ× Ó Ø Ú Ø Ð×Ó ÓÒÚ Ö Ï ×Ô Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ú × ∪ ∞ HK º × ØÓ Ø Ø ×ØÖ Ò Ø Ò ØÓ ÙÒ ¹ × ÓÖÑ ÓÒÚ Ö ××ÙÑ ÓР׸ × Ò ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó Û Ý ØÓ Ú Ö Ý Ø Ó Ø Ú Ô Ò × ÙÔÓÒ Ø Ò ÔÔÐ Ø ÓÒº Ï ÙÒ Ø ÓÒ g, Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÒÓÖÑ h 1,X × Ò g 1 −g 0 lim 1,X →0 s∞ g 1 , f ) − s∞ g 0 , f ) g1 (x) − f (x) ÓÖ Ñ ´Û Ò ÒØ Ö Ð = Ý Ø Ò ÒØ Ö ÓÑ Ò Ø g 1 −g 0 lim 2 1,X →0 X − g0 (x) − f (x) × × Ò Ø Ð Ñ Ø Ò 2 dµx. ÓÙÒ Ø ÒØ ÓÒÚ Ö × ÓÑ Ò Ø Ò Ø Ý ÔÔÐ Ò Ø D Ù× ØÓ W2,Z (D) Ò ÙÒ Ø ÓÒµ¸ Ø Ö Ð Ò ¸ ×Ó Ý Ò×Ô Ø ÓÒ¸ Ø Ð Ñ Ø × Þ ÖÓº ¿º º Á ÒØ Ø ÓÒº Ì ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ö × Ø × ÓÒ Ø ÓÒ × Ð Ø ÓÖ ÒÝ ÔÓ ÒØ (g, f ) Ú ÒØ Ò Ø H×H, s∞ (g, f ) ≥ s∞ (f, f ) ⇒ g Ò f Ö ÓÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ ×Ô µº g−f Ö ÒØ 1,X = Ð 0º Ì ÖÐÝ × Ø × Ø Ò × Ø ´ Ý Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ¿º ÌÀ ÇÍÊÁ Ê ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÇÊÅ ¾¾ ¿º º Ê Ú Û Ó ÓÒ ÔØ׺ Ø Ö Ð Ú ÒØ ÓÒ ÔØ× Ö ÓÖ Ø Ü ÑÔÐ Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ö×عÓÖ Ö Ð ×Ø Ø ×¸ • • • ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ô ØÖÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙ×Ø Ð H = W2,X (D) º Ø ÙÒ Ø ÓÒ ×Ô Ò Ø ÐÓ×ÙÖ Ó Û Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý ÒÓÖÑ ÒÓÖѺ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ý h 1,X . Ì Ì ÐÓ×ÙÖ Ó H × ÓÑÔ Ø Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÙÖ HK . ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×Ù ×Ô Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ì × ×Ù × Ø Ó Ö Ò× Ö ÓÖÑ Û Ø θK . ×Ù × Ø× Ó H Ø Ø × • • Ë ÑÔÐ H. Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ sn (θK ), Ø Ò Ø Ú Ó Ø ×ÙÑ Ó ×ÕÙ Ö ×º Ý ×Ø Ò Ö Ö ÙÑ ÒØ× Ø Ä Ñ Ø Ò Ó × ÓÒÚ Ö Ø Ú × ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö×Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ø× Ñ Ø ÓÒ ×Ù Ô ×¸ Ö ÙÑ Òظ ÓÚ Ö Ø s∞ ( g, f ), Û × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ó Ø Ò g Ò × ÐÓ Ð ÐÓ×ÙÖ Ò Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ×Ø ¹ g = f. Ö×Ø ÓÖ Ö Ð ×Ø Ø × • × Ö ×ÙÐØ Ó Ø ×¸ xi ∂f (x) f (x) ∂xi f (x) Ö ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø ÓÖ ÐÐ x ∈ X. Ø Ø Ò ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× Ù× Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ø Ó ¿º º Ö Ø ¸ Ø Ò ÐÙ× ÓÒ Ó ××Ù Ó × Ù×× ÓÒº × Û Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ö ÕÙ Ö × Ø Ø × ÑÔÐ × Þ ¸ Ø Ò ÜÔ Ò× ÓÒ Ò Ö ØÓ Ò Ò Øݺ Á Ô Ö Ñ Ø Ö× × ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ò Ö ÓÖ ØÓ Ø Ò ÑÓÖ Ò × Ø Ò × Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ö Ô ÐÝ ØÓ Þ ÖÓº Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× Ù× × Ø Ø Ö Ø Ø Û Ø Ø ×ÐÓÛÐÝ ØÓ Þ ÖÓº Ì Û ØÓ Ö×Ø × Ò × ÓÛ ØÓ Ó× Ô Ö Ñ Ø Ö× ÐÐÓÛ ½µ Ö Ð Ö Ø × ÖÐÝ ÓÑÔРܺ ´ Ò Ö Û× ½ ½ ÔÖÓ Ð Ñ × Ø ÐÐ ÒØ Ò ÑÓ ×ÝÑÔØÓØ ÒÓÖÑ Ð ØÝ ØÓ Ó Ø ËÙÔÔÓ× Ò Û ×Ø ØÓ Ø ËÓÙÞ ¸ ½ Ð × Ú ÖÝ ×ØÖ Øº Ö Ø ×¸ ÓÙÖ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò gK (x|θK ) = z′ θK . • Ò Ì ZK × Ø ÄË ×Ø Ñ ØÓÖ × n×K Ñ ØÖ Ü Ó Ö Ö ××ÓÖ× Ó Ø Ò Ý ×Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ ˆ θ K = Z′ ZK K Û Ö Ì Ð Ö + Z′ y, K ÒÚ Ö× º × ÛÓÙÐ Ö Ò ÐÙ × º ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ø × ÓÖ (·)+ × × Ø × Ù× ÒÓÙ ÅÓÓÖ ¹È ÒÖÓ× × Ò Û Ò Ö Ð Þ Z′ ZK Ñ Ý K Ò ×ÓÑ × Ò ÙÐ Ö¸ Ð × K(n) ÙÑÑÝ Ú Ö • º Ì ×ØÖ ÔÖ ÙØ ′ˆ Ø ÓÒ¸ z θK , Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒ Ø ÓÒ f (x) √ ˆ n z′ θK − f (x) → N (0, AV ), Z′ ZK K n × Ø Ø ÔØ Ø × Û d Û Ö + AV = lim E z′ n→∞ ÓÖÑ ÐÐݸ Ø ÑÓ Ðº Á × × ÑÔ Á Û Ó Ü ØÐÝ Ø × Þ ¸ Ø ÓÙ Ò³Ø ×Ø × Ñ ¸ Ø ØÓ zˆ 2 . σ Ð Ò Û Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ð Ò ÖÓÛ× Ú ÖÝ ×ÐÓÛÐÝ ÔÖÓ ÐÝ Ù× ×ÓÑ × Ö × Û Ö × ÓÒÐÝ Ú Ð Ð Ö Ø ×¸ Û K × ÓÙÐ ×ØÖ n ÓØ ÖÓÛ׺ Ö Ñ Ø Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò × Ù×× Ø ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ ÙØ ÓÒº ÓÓØ×ØÖ ÔÔ Ò ÔÓ×× Ð Øݺ Ï ³ÐÐ × Ò Ø × Ø ÓÒ ÓÒ × ÑÙÐ Ø ÓÒº º à ÊÆ Ä Ê Ê ËËÁÇÆ ËÌÁÅ ÌÇÊË ¾¾ º à ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ× Ê Ò × ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ò Ñ Ø Ó Ò Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ó Ö Ò׸ ½ ¸ à ÖÒ Ð ×Ø Ñ ØÓÖ× Ó Ö Ö ×× ÓÒ ÛРݸ ÙÒ Ø ÓÒ׸ º¸ × Ñ Ö Ò º Ø ÏÓÖÐ Ñ Ø Ó ÓÒ Ö ×׸ ØÓ Ø Ú Ò × Ò Îº ½¸ ÌÖÙÑ Ò × Ñ ¹ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ñ Ø Ó Ö ×× ÓÒ Ö Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Æ × Ò ÙÐÐÝ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ´ÓØ Ö× Ö ×ÔÐ Ò ×¸ ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒº ÓÖ¸ × º Û Ã ÖÒ Ð Ö Ü ÑÔÐ Ö ×Ø Ò × ÑÔÐ Ø ºµº Ï ³ÐÐ ÓÒ× Ö Ý ¹Ï Ø×ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ • ËÙÔÔÓ× Ú Ò ÑÓ × ÑÔÐ Ð × ÖÓÑ Ø Ó ÒØ Ò× ØÝ f (x, y), Û Ö x × k ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ðº Ì yt = g(xt ) + εt , Û Ö E(εt |xt ) = 0. • Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ú y Ú Ò x × g(x). Ý Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÜÔ Ø Ø ÓÒ¸ Û g(x) = = Û Ö y f (x, y) dy h(x) yf (x, y)dy, x: 1 h(x) Ò× ØÝ Ó h(x) × Ø Ñ Ö Ò Ð h(x) = • Ì × ×Ù ×Ø× Ø Ø Û ÓÙÐ ×Ø Ñ Ø f (x, y)dy. g(x) Ý ×Ø Ñ Ø Ò h(x) Ò yf (x, y)dy. º½º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖº 1 ˆ h(x) = n n t=1 ÖÒ Ð ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ h(x) × Ø ÓÖÑ K [(x − xt ) /γn ] , k γn x. Ö Ð Û Ö n • × Ø Ì × ÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ × Þ Ò ´Ø k × Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó K(·) ÖÒ Ðµ × ×ÓÐÙØ ÐÝ ÒØ |K(x)|dx < ∞, Ò K(·) ÒØ Ö Ø × ØÓ 1: K(x)dx = 1. ÁÒ Ø × Ö ×Ô Ø¸ ØÓ K(·) × Ð Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÙØ Û Ó ÒÓØ Ò ×× Ö ÐÝ Ö ×ØÖ Ø K(·) • Ì ÒÓÒÒ Ø Ú º Ô Ö Ñ Ø Ö¸ Û Ò ÓÛ Û Ø γn × × ÕÙ Ò Ó ÔÓ× Ø Ú ÒÙÑ Ö× Ø Ø × Ø × × n→∞ n→∞ ËÓ¸ Ø Û Ò ÓÛ Û Ø ÑÙ×Ø Ø Ò lim γn = 0 k lim nγn = ∞ ØÓ Þ ÖÓ¸ ÙØ ÒÓØ ØÓÓ ÕÙ Ðݺ ÓÖ Ò • ÌÓ × ÓÛ ÔÓ ÒØÛ × Ó Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ó Ø ˆ h(x) × h(x), Ú Ö Ö×Ø ÓÒ× Ó Ö Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ò ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ ´× Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ø ÖÑ× Û º à ÊÆ Ä Ê Ê ËËÁÇÆ ËÌÁÅ ÌÇÊË ¾¾ ÓÒ× Ö Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ø Öѵ ˆ E h(x) = Ò Ú Ö Ð × × −k γn K [(x − z) /γn ] h(z)dz. ×Ó z ∗ = (x − z)/γn , = = z = x − γn z ∗ Ò dz k | dz ∗′ | = γn , Û Ó Ø Ò ˆ E h(x) −k k γn K (z ∗ ) h(x − γn z ∗ )γn dz ∗ K (z ∗ ) h(x − γn z ∗ )dz ∗ . ÆÓÛ¸ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ n→∞ ˆ lim E h(x) = = = n→∞ lim K (z ∗ ) h(x − γn z ∗ )dz ∗ n→∞ lim K (z ∗ ) h(x − γn z ∗ )dz ∗ K (z ∗ ) h(x)dz ∗ K (z ∗ ) dz ∗ = h(x) = h(x), × Ò Ð Ñ Ø Ø ÖÓÙ Ø × ØÓ ÓÐ γn → 0 Û Ò Ø Ò Ø K (z ∗ ) dz ∗ = 1 ÒØ Ø Ö Ð × Ø Ú Ö Ý ××ÙÑÔØ ÓÒº ´ÆÓØ ÓÑ Ò Ø Ý Ú ¸ Ò Ù Ø Ø Û Ò Ø Ö Ò Ô ×× Ø ÓÖ Ñºº Ð ÓÖ Ö ×ÙÐØ Ó Ø ÓÑ Ò Ø Ó ÓÒÚ Ö h(·) Ò ×ÓÐÙØ ÐÝ ÒØ ØÓ Ø ÙÒ Ø ÓÒº • Æ Üظ ÓÒ× Ö Ò ˆ h(x), 1 n2 1 n n Û ××ÙÑÔØ ÓÒ k ˆ nγn V h(x) k = nγn V t=1 n K [(x − xt ) /γn ] k γn −k = γn t=1 V {K [(x − xt ) /γn ]} × × • Ý Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú Ø ÖÑ Ö ÙÑ Òظ Ø k −k nγn V ˆ h(x) = γn V {K [(x − z) /γn ]} • Ð×Ó¸ × Ò V (x) = E(x2 ) − E(x)2 Û Ú k ˆ nγn V h(x) −k −k = γn E (K [(x − z) /γn ])2 − γn {E (K [(x − z) /γn ])}2 = = Ì × ÓÒ −k k γn K [(x − z) /γn ]2 h(z)dz − γn 2 −k γn K [(x − z) /γn ] h(z)dz 2 −k k γn K [(x − z) /γn ]2 h(z)dz − γn E h(x) Ø ÖÑ ÓÒÚ Ö × ØÓ Þ ÖÓ k γn E h(x) Ý Ø ÓÖ ¸ ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ Ö Ö Ò Ø 2 → 0, Ò Ø Ø Ø Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ γn → 0. Ì Ö ¹ n→∞ k ˆ lim nγn V h(x) = lim n→∞ −k γn K [(x − z) /γn ]2 h(z)dz. º à ÊÆ Ä Ê Ê ËËÁÇÆ ËÌÁÅ ÌÇÊË ¾¿¼ Í× Ò Ü ØÐÝ Ø × Ñ Ò Ó Ú Ö Ð × × ÓÖ ¸ Ø × Ò × ÓÛÒ ØÓ n→∞ Ë Ò ÓØ Ý k ˆ lim nγn V h(x) = h(x) Ò Ø [K(z ∗ )]2 dz ∗ . ¸ Ø × × ÓÙÒ ¸ Ò × Ò [K(z ∗ )]2 dz ∗ Ú h(x) Ø Ö ÓÙÒ ∞ • ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û k nγn → ˆ V h(x) → 0. Ë Ò Ø Ò × Ò Ò ÕÙ Ø Ú Ö Ö Ø Ñ Ò ÓØ Ó ØÓ Þ ÖÓ¸ Û × ÓÒÚ Ö Ò Ú Ò ÔÖÓ ÔÓ ÒØÛ × Ð Øݵº ÓÒ× ×Ø Ò Ý ´ ÓÒÚ Ö Ò ÑÔÐ º¾º Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ì ×Ø Ñ ØÓÖ ÒÙÑ Ö ØÓÖº × Ø × Ñ ÌÓ ÓÖÑ ×Ø Ñ Ø × Ø f (x, y). ×Ø Ñ ØÓÖ yf (x, y)dy, Û Ò ÓÖ h(x), Ò ×Ø Ñ ØÓÖ ÓÒ ÓÒÐÝ Û Ø Ñ Ò× ÓÒ ÑÓÖ 1 ˆ f (x, y) = n Ì ÖÒ Ð n t=1 Ú K∗ [(y − yt ) /γn , (x − xt ) /γn ] k+1 γn Ò Þ ÖÓ K∗ (·) × Ö ÕÙ Ö ØÓ Ñ yK∗ (y, x) dy = 0 Ò ØÓ Ñ Ö Ò Ð Þ ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÖÒ Ð ÓÖ h(x) : K∗ (y, x) dy = K(x). Ï Ø Ø × ÖÒ Ð¸ Û Ú 1 ˆ y f (y, x)dy = n Ý Ñ Ö Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÒ Ð¸ ×Ó Û Ó Ø n yt t=1 Ò K [(x − xt ) /γn ] k γn g (x) = ˆ 1 ˆ h(x) 1 n 1 n ˆ y f (y, x)dy = = Ì × × Ø Æ Ö Ý ¹Ï Ø×ÓÒ ÖÒ Ð Ö K[(x−xt )/γn ] n k t=1 yt γn K[(x−xt )/γn ] n k t=1 γn n t=1 yt K [(x − xt ) /γn ] . n t=1 K [(x − xt ) /γn ] Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖº º¿º • Ì × Ù×× ÓÒº ÖÒ Ð Ö Û Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ Ö Û Ø× ÓÖ Ö g(xt ) ××Ó × Ø Û Û Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ö Ø ÐÓ× 1, 2, ..., n¸ Ì Û Ì ÔÓ ÒØ× Ø yj , j = Ö ØÓ xt . ×¹ Ø× ×ÙÑ ØÓ ½º Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ò Ö • • • Û Ò ÓÛ Û Ø × γn ÑÔÓ× × ×ÑÓÓØ Ò ×׺ Ì × × Ú Ö Ò Û Ø Ø Ò × ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò Ö Ò ÐÝ Ð Ö Ò Ö Û Ò ÓÛ Û × × Ø ×º γn → ∞, Ø Ò Ø Ù × Ø 1/n. ØÒ ××µ¸ ÙØ ´×ØÖÓÒ ÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó ×Ñ ÐÐ Û Ò ÓÛ Û Ø ÓÒ Ü ÔØ ÔÓ ÒØ× Ø Ø Ø Ö Ö Ù × Ø Ò Ò ×¸ ÙØ Ñ ÓÖ ÓÓ × Ú ÖÝ Ð ØØÐ Ó Ù× Ó Ò ÓÖÑ ¹ ×Ñ ÐÐ Ò × Ð Ö Û xt . Ë Ò Ø Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ð ØØÐ × ×Ñ Ðк Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ù× ¸ Ø Ú Ö Ò Ø Û Ò ÓÛ Û º Ë ÅÁ¹ÆÇÆÈ Ê Å ÌÊÁ Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¾¿½ • Ì Ø Ö ×Ø Ò Ö Ö ÔÓ×× ÒÓÖÑ Ð ÐÝ Ò× ØÝ × ÔÓÔÙÐ Ö Ó ÓÖ K(.) Ò ØØ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú ×º K∗ (y, x), Ò Ø ÓÙ º º ÔÖ Ó Ø ×ÔÐ ØØ Ò Ø ¸ Û ÓÖ Ó Ó Ø Ø Ø × ÑÔÐ × Ù× ÓÖ Û Ò ÓÛ Û Ø × ÑÔÓÖØ Òغ ÇÒ ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ× ´ º º¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ÊÅË Ò Ø ÖÓ××¹Ú Ð ÔÓÔÙÐ Ö Ñ Ø Ó Ø ÓÒº Ì × Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒº Ì × Ø ÔÔÖÓ¹ Û Ò ÓÛ Û × ÖÓ×× Ú Ð Ö×Ø Ô ÖØ × ÓÒ× ×Ø× Ò × ÑÔÐ Ø ¸ Ù× ¼±¹ ¼±µº Ì × ÓÒ ÓØ Ø × Ô ÖØ × Ø ÓÙØ Ó × ÑÔÐ ×Ø Ô× Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ø ´½µ ËÔÐ Ø Ø ´¾µ ÓÓ× Ø Ø Ø ÓÙ Ø º Ì Û Ò ÓÛ Û Ò × ÑÔÐ ÓÖ ×ÓÑ Ö Ö Ø Ö ÓÒº Ì ÓÙØ Ó × ÑÔÐ Ø y out Ò Ò xout . γº Ø ¸ Ø ´¿µ Ï Ø yt ˆout Ø ¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ × Û ÐÐ × Ø ØÓ xout . t Ì × ØØ Ú ÐÙ ÙØ Ø × Ó × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓØ ÒÚÓÐÚ ´ µ Ê Ô ´ µ ´ µ Ø ÓÖ Ò × ÑÔÐ out Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ xt ¸ out yt . ÐÐ ÓÙØ Ó × ÑÔÐ ÔÓ ÒØ׺ ÊÅË Ð ÙÐ Ø (γ) ÒÓÙ Û Ò ÓÛ Û Ø Ø × Ú Ò ØÖ × Ò º ÓÙÒ ¸ ´γ) ´Î Ö Ý Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó ØÓ ×Ø Ô ´ µ Ë Ð Ø Ø ÓÖ Ü ÑÔÐ 2, ÓÖ ØÓ Ø Ò ÜØ ×Ø Ô γ Ø Ø Ñ Ò Ñ Þ × ÊÅË Ý ÔÐÓØØ Ò Ù× Ò Ò Ø Ù× ÊÅË ×Ø × Ò γ). ÓÙÖ Ö ÓÖÑ ÑÓ Ðº ´ µ Ê ¹ ×Ø Ñ Ø Ì × × Ñ ÔÖ Ò ÔÐ γ Ø º ØÓ ÓÓ× A Ò J Ò º à ÖÒ Ð Ì ×ØÖÙ Ø Ò ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ× º Ï Ø ÓÒ Ð Ú × Ù×× ÓÒ ×Ù ÐÖ Ý × Ò ×Ø× Ø ÓÛ Ó Ø Ó ÒØ Ò× ØÝ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÖÒ Ð Ò× Ø Ò× ØÝ ×Ø Ñ ØÓÖ Ñ Ý ×Ø Ñ Ø Ø Ò Ø º Á ÖÒ Ð × ÐÝ ÓÒ¹ × Ñ Ý Û Ö ÒØ Ö ×Ø Ó Ø Ò× Øݸ ÓÖ Ü ÑÔÐ y ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ x¸ ×Ø Ñ Ø Ø ÓÒ Ð Ò× ØÝ × × ÑÔÐÝ fy|x = ˆ f (x, y) ˆ h(x) 1 n K∗ [(y−yt )/γn ,(x−xt )/γn ] n k+1 t=1 γn K[(x−xt )/γn ] n 1 k t=1 n γn n t=1 K∗ [(y − yt ) /γn , (x − xt ) /γn ] n t=1 K [(x − xt ) /γn ] ÓÖ Ø Ó ÒØ Ò Ñ Ö Ò Ð Ò× Ø × ÖÓÑ Ø × Ø ÓÒ ÓÒ = = Û Ö Û Ó Ø Ò Ø 1 γn ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒº º Ë Ñ ¹ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ê Ø × Ø ½ º ÅÄ × Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ð ØÓ Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Û Ò Û Û Ö ÓÒ Ò × Ð Ò Ð ÓÓ ÓÖ ÓÖØÖ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ó Ò × Ù× ÙÐ º Ë ÐÐ ÒØ Ò ÆÝ ¸ ÓÒÓÑ ØÖ Ù ¸ × ÂÓ Ò××ÓÒ¸ ¸ ½ º × Ù×× ÓÒ Ò Ø Ð×Ó Ñ ÖÓÒ Ù× Ö³× Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÔÔÐ ÒØ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ κ ½¾¸ ÓÙØ ×Ô Ý Ò ÒØ Ø Ò× Øݺ Á× × ÔÓ×× ×Ô Ø ÓÒ Ø× Ó ÅÄ Ò Û ³Ö ÒÓØ ×Ó ÓÒ ÓÙØ Ø ÁÒ Ô Öظ Ý ×º Û ³Ö Ø Ø ÒØ Ö ×Ø Ò× ØÝ Ò Ø Ò× ØÝ Ó × Ö ËÙÔÔÓ× ËÙÔÔÓ× Ø y ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ð ÓÒ ×Ø ÖØ Ò x ´ ÓØ Ñ Ý Ú ØÓÖ×µº ØÖÙ f (y|x, φ) ×ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø º Ë ÅÁ¹ÆÇÆÈ Ê Å ÌÊÁ Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¾¿¾ Ò× Øݺ Ì Ò× ØÝ × × Ò× ØÝ Ò Ö × Ô Ý ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø Ý ×ÕÙ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Ì Ò Û gp (y|x, φ, γ) = Û Ö h2 (y|γ)f (y|x, φ) p ηp (x, φ, γ) p hp (y|γ) = k=0 Ò γk y k ηp (x, φ, γ) × ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ØÓÖ ØÓ Ñ Ø Ò× ØÝ ÒØ Ö Ø ´×Ùѵ ØÓ ÓÒ º Ù× 2 (y|γ)/η (x, φ, γ) × hp ÓÑÓ ÒÓÙ× ÙÒ Ø ÓÒ Ó θ Ø × Ò ×× ÖÝ ØÓ ÑÔÓ× ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ p γ0 ÂÓ × × Ø ØÓ ½º Ò××ÓÒµ Ù× Ò Ì ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÓÖ ηp (φ, γ) × Ð ÙÐ Ø ´ ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÖÓÒ Ò E(Y ) = r ∞ y=0 y r fY (y|φ, γ) yr p = ∞ y=0 [hp (y|γ)]2 fY (y|φ) ηp (φ, γ) p = ∞ y r fY (y|φ)γk γl y k y l /ηp (φ, γ) p y=0 k=0 l=0 p = k=0 l=0 p p γk γl    ∞ y=0 = k=0 l=0 Ý × ØØ Ò γk γl mk+l+r /ηp (φ, γ). Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ò ØÓÖ ×   y r+k+l fY (y|φ) /ηp (φ, γ)  r=0 Û Ø Ø p ´ µ p ηp (φ, γ) = k=0 l=0 Ø γk γl mk+l Ø ÓÒº Ò ÆÝ ¸ Ò Ö Ì ´½ Ê ÐÐ Ø γ0 × × Ø ØÓ ½ ØÓ × Ð Ò ØÖ Ø × Ò Ú ÒØ ÐÐ ÒØ mr µ Ò Ú ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ö Û ÓÖ Ö Û Ö Ó ×º Ð ÑÓÑ ÒØ× Ó Ø ×Ù Ø Ò× Øݺ Ø ÓÒ× ÙÒ × ÐÐݸ Ø Ö Ò Ö Ò× ØÝ Ñ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ × ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô ×Ø ÂÓ × ÑÔÐ × Þ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݺ × ×º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ñ Ý ÒÓÑ Ú ÐÓÔ Ð Ð ÑÙ×Ø Ò Ö Ñ ÖÓÒ Èµ Ø Ò Ð Ø Ø Ú ÒÓÑ Ë Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÛÖ ØØ Ò ´× Ð ´Æ ÒÒ×ÓÒ ´½ Ø º Ì Ò µ¸ Û Ø Ú Ò× ØÝ ÓÖ ÓÙÒØ × × Ð Ò Ò× ØÝ Ñ Ý ÕÙ Ø ÓÒ fY (y|φ) = Û Ú Ö Ö Γ(y + ψ) Γ(y + 1)Γ(ψ) ψ ψ+λ ψ λ ψ+λ y φ = {λ, ψ}, λ > 0 Ð × x × Ø Ô Ö Ñ Ø Ð¹Á ÑÓ Æ ¹Á ÓÖ Ô ÒÓÑ ÓÖ Ø λ+ αλ2 º Ì ψ > 0º Ì Ù×Ù Ð Ñ Ò× Ó Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ò x′ β º Ï Ò ψ = λ/α Û Ö Þ Ø ÓÒ λ = e Ú Ø Ò Ø Ú Ð ´Æ ¹Áµº Ï Ò ψ = 1/α Û Ú Ø Ò Ø Ú ÒÓÑ Ð¹ÁÁ ´ÆȹÁÁµ ÑÓ Ðº × Ó Ø Æ ¹ÁÁ ÑÓ Ð¸ Û Ú V (Y ) = Ò× Øݸ V (Y ) = λ + αλº ÁÒ Ø ÓØ ÓÖÑ׸ E(Y ) = λº Ò Ò× Øݸ Û Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ ×ÙÑ ØÓ ÓÒ ¸ × Ö × ´ µ fY (y|φ, γ) = [hp (y|γ)]2 Γ(y + ψ) ηp (φ, γ) Γ(y + 1)Γ(ψ) ψ ψ+λ ψ λ ψ+λ y . º Ë ÅÁ¹ÆÇÆÈ Ê Å ÌÊÁ Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¾¿¿ ÙÖ º Æ Ø Ú ÒÓÑ Ð Ö Û ÑÓÑ ÒØ× ÌÓ ´ µ Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ØÓÖ¸ Û Ò Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ MY (t) = ψ ψ λ − et λ + ψ ÙÖ ÅÙÈ × Ö × ÓÛ× Ð ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ¸ Û Ø × ÓÑÔÙØ Ö Ù× Ò Ð Ò ÓÖÑ Ó Ðº Ì × Ö −ψ . Æ µ Ö Ò× Øݸ ÓÖ Ð ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø ¸ Ð ÙÐ Ø Ö×Ø ÓÙÖ Ö Û ÑÓÑ ÒØ× Ó Ø ËÝ×Ø Ñ Ø ØÓ Ù× Ó × Ø ´Ù× ØÓ Ô Ö×ÓÒ Ð Ù× º Ì ÑÓÑ ÒØ× ÝÓÙ ÛÓÙÐ × Ö ×ÙÐØ× Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ð Ò Ø Ó × ÓÒ ¸ Û Ò ØÓ Ù× ÓÒ Û Ø ÓÖ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ (p = 2)º Û × ÅÙÈ Ø Û ÐÐ ÓÙØÔÙØ Ø Ð Ð ÓÓ × Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ò Æ Ó Ø Ú Ò Ø ×Ý ØÓ Ø ØÓ ÛÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø × ÑÓ Ø × × Ð Ø ÒËÆȺ ¸ Ù× Ò Ö Ø Ó ·· Ú Ö× ÓÒ Ó Ø ÓÑÔ Ð Ó Ø Ð Ø Ñ Ó Ø Ø Ð ÓÑÑ Ò º ÆÓØ ÓÖ Ì ÑÔÖ ×× Ú Ò Ü ÑÔÐ ÜÔÖ ×× ÓÒ× Û Ø ÛÓÙÐ ÜÔ Ò× ÓÒ × ÑÓ ÙÐØ ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø Û Ø ÓÙØ Ø ÁØ × ÔÓ×× × ÓÙÐ ÙÔÓÒ Ø ÑÓÖ ÓÒ ÐÐ ÒØ Ñ Ø Û Ø Ø Û Ò ÐÔ Ó Ð Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ð ØØ Ö × ÓÒ × Ò ÅÙÈ Ø ÓÒ Ð ÓÑÓ º Ø ÖÓ Ø Ù× Ò ÔÖÓÚ × Ø Ø× Ò Ý ØÝ ×Ù ÐÐÓÛ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ø Ø Ö Ö Û Ø Ø Ð׺ × ×ÓÖØ Ó Ó Ø × Ø Ø Ò× ØÝ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø × ÑÔÐ ÔÔÖÓÜ ¹ × × Ø Ú ØØ ÔÔÖÓÔÖ Ø Ö × Ô Ò Ô Ò ÐÓ Ðº Ì Ø ÓÒ Ò ÆÝ ØÝ Ó × Þ º Ì Ú Ò Ú Ö ¸ γk Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ Ð ×¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ½ ÓÒÓÑ ØÖ Ò× Ø × × Ö ÔÔÖÓ Ð Ö ÙÖ Ú Ö × ÑÔÐ ØÖ Ö ÐÝ Û ÐÐ Ð Ò Ö Ó × ÒÓØ Û Ø ÓÙØ ÒÙÑ Ö Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÐØ ÜØÖ Ñ ÐÝ ÓÙÐ ÐÓ Ð Ñ Ü Ñ Ó Ò ÐÝ Û Ý ×Ù Ø Ø Ø Ò Ð Ø Ø ØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ò Ø Ú ÓÓ ×º Á ×ÓÑ ÓÒ Ò × ÔÐÓØ Ó Ð Ü µ ØÓ ÓÙØ ÓÛ ØÓ ÔÖÓ × ÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ Û × Ò ÓÙÖÒ Ðº À Ö ³× ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ö ÒÝ ×ÑÓÓØ ¸ Ø Ý ÛÓÙÐ Ô Ô Ö ÔÙ Ð × ØÖÙ ÓÙÖ × Ò Ø Ð Ñ Ø Ò ËÆÈ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× ´Û Ø Ò× Ø ×¸ Û ÑÓ Ð × Ú Ö ÓÙ×ÐÝ Ò Ø Ú Ø Ü ÓÖ Ö Ó Ø ÓÚ Ö Ð Ø Ò Ö ÒØ ÓÙÒØ Ü ×× Þ ÖÓ׺ Ì ×Ô Ö× ÓÒ¸ × Û ÐÐ × Ð Ò ÒÓÑ Ò× Øݺ º ÅÈÄ Ë ¾¿ Case 1 .5 .4 .3 .2 .1 0 .25 .2 .15 .1 .05 .05 1 2 3 4 5 6 7 5 10 15 20 .2 .15 .1 0 .05 .1 Case 2 Case 3 Case 4 5 10 15 20 25 2.5 5 7.5 10 12.5 15 º Ï ³ÐÐ Ù× Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ø Ð Å ÈË Ç Î Ø ÓÓ º Ü ÑÔÐ × ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ Ò × Ñ ¹ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ØÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø º½º à ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ø º Ó Ù× Ù× Ì ÔÖÓ Ö Ñ Ç Ø × Ò Î ÖÒ ÐºÑ ÐÓ Û Ò ÓÛ Û Ú Ö×Ù× Ò Ö Ð ÙÐ Ø × Ð Ø Ù×Ø Ä Ø³× ØÖÝ Å ÖÒ Ð Ö Î Ò × Ö ×× ÓÒ Ø ÓÖ Ø Ç Ö Ò Ç Î × Ø ÈË Ç Î × ÓÖ ×¸ Ø ¸ × Ò× ÓÚ Ö ÔÐÓØ× Ø Ò ÙÖ ØØ º Ú ¹ÓÒ ¹ÓÙØ Î Ø Ù× Ø ¸ Ù× Ò ¸ Ò Ö Ø ×Ø Û Ò ÓÛ Û × Û ³Ú Ò × Ò Û Ø Ø º Ø Ì ÔÐÓØ ÆÓØ ÓÙÐ × × Û Ø ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Øº Ð׺ ÇÒ ÓÓØ×ØÖ ÔÔ Ò ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð ØÓ Ø º¾º Ë Ñ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø × Ñ ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ × × Ù×× ÓÚ º ÑÓ Ò× ØÝ ÓÖ Ø Ì Ç Î Ò× Øݸ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Æ ¹Á ×Ø Ñ Ø Æ × Ð Ò Å ÈË Ô ËÆ鼄 ÐÓ Ø º Ò × Ø ¾Ò ÓÖ ÆÓÛ Ð Ø³× Ø Ú Å ×Ø ¹ Ð Î Ð Ø º Ï ³ÐÐ Ö × ÒÓÑ ÈË Ç ×Ø Ñ Ø × Ø Ð¸ Ù× Ò Ò× ØÝ Ò Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÜÔ Ò× ÓÒº Ì ÓÙØÔÙØ × Ç Î ËÅÁÆ Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÒØ Í× ÒÙÑ Ö Ö ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ËÌÊÇÆ ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ½ È Ö Ñ ÓÒÚ ½ Ö ÒØ ÓÒÚ ½ º ÅÈÄ Ë ¾¿ ÙÖ º à ÖÒ Ð ØØ Ç Î Ù× Ú Ö×Ù× Kernel fit, OBDV visits versus AGE 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¾º½ ¼ ½ ËØ Ô× Þ ¼º¼¼ ¾ Ø Ö Ø ÓÒ× ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ô Ö Ñ Ö ÒØ Ò ½º¿ ¾ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¾¿½ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º½ ¿ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¾¾½ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º½ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼ ¾¾ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ½º ¿ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¹¼º ¿ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º½½¾ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Æ Ò ËÆÈ ÑÓ Ð¸ Å ÈË ÙÐÐ Ø × Ø ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö ÄÓ ¹Ä ¹¾º½ ¼ ½ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ÓÒ×Ø ÒØ ÔÙ º Ò׺ ÔÖ Úº Ò׺ × Ü ×Ø Ñ Ø ¹¼º½ ¼º ¼º ¼ ¼º ¿ ¼º¼½ ×غ ÖÖ ¼º½¾ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º¼¿ ¼º¼¼½ ع×Ø Ø ¹½º½ ¿ ½¿º ¿ º ¿¿ ½¿º½ ½½º ¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º¾ ½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ º ÅÈÄ Ë ¾¿ Ù Ò Ñ½ Ѿ ÐÒ ÐÔ ¼º¼¾ ¹¼º¼¼¼ ½º ¹¼º ¿ ¼º½½¿ ¼º¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º½ ½ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¿º ¼¿ ¹¼º¼½½ ½¾º ¾ ¹½ º º½ ¼º¼¼¼ ¼º ½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö Á ½ ¼ º ¾ Ú º Á º¿ ½ Á ½ º ¾ Ú º Á º¿ Á ½ ¿¿º¿ Ú º Á º¿ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÆÓØ Ì Ù× Ð Ñ Ø Ø Ø × ÑÓ Á Ð Ò Á Ö ÐÓÛ Ö Ò ÓÖ Ø × ÑÓ Ð Ø Ò ÓÖ Ø ÑÓ Ð× ÔÖ × ÒØ ØÖÝ Ò ÓØ Ò Ö ¿º Ì Ø× Û Ðи ×Ø ÐÐ ÆȹÁÁ × Ð Ò Ô Ö× ÑÓÒ ÓÙ׺ Ò Ù× Ò ÓØ ÓÙ Ò ÔÐ Ý Ö ÓÖ Ö× Ó ÖÓÙÒ ×ÙÖ ×¸ Ù× Ò ÓÖÑ Ø Ò Ø Ò× Øݸ Ú ÜÔ Ò× ÓÒ׺ ØÓ ØÓ ÒÒ Ò× ØÝ Ö ÙÐ ÙÒ Ø ÓÒ× ÓÖ × Û Ý Ñ Ý Å Æ ÐÓ Ð Ñ Ü Ñ ¸ ×Ó ÝÓÙ Ò Ù Ö Ò×Ø ÓÙÐ Ú Ò ÓÒÚ Ö ÔØ Ò Ö ×ÙÐØ× Ó ×Ù Ð ÖÙÒº ÌÓ ×Ø ÖØ Ò ÐÓ Ð Ð Ò Ñ Ü ÑÙѸ ÓÒ × Ù× Ò ØÖÝ Ù× Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ú Ð٠׸ ÓÖ ÓÒ ØÖÝ × ÑÙÐ Ø Ò ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó º Á ÝÓÙ ÙÒ ÓÑÑ ÒØ Ø Ë ØÓ Ó Ø Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒº Ì × Û ÐÐ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð Ò × Ò Ø Ó Ø Ñ ¸ ÓÑÔ Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ¸ ÝÓÙ Ò ØÓ Ø ØÓ Ö ÙÐØ Ë ÓÖ ÐÓØ Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒº Ì ØÖÝ Ò Ø ×º ÔØ Ö ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Ñ ÒØ Ö ×Ø Ò À ÈÌ Ê ½ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖ Ú ÓÙ×Ðݸ ÇÆÇÅ ÌÊÁ ¿µ¸ Å ÁÒ ÖØ Ð × Ò ÐÙ ÌÀ ÇÊ ÐÐ ÒØ Ò ¸ Ê Ì Ù Ô × Ò × Ò ´½ ¹ ½ ÁÒ µ¸ Ï Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÓ Ñ ÒØ ÓÒ ¸ ÅÓÑ ÒØ× ØÓ Å Ø ÖÓÙܸ ÅÓÒ ÓÖØ Ò µ ¸ ÎÓк ½¾¸ ½ Ö Ò ¸ ÓÙÖ È × Ê Ò ÙÐØ ´½ Ö Ø ÁÒ Ò ´½ µ ÓÒÓÑ ØÖ × Ò ÈÓÐÐ Ö ´½ ÓÒÓÑ ØÖ Âº Ôк ÓÒÓÑ ØÖ º ½º ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × Ú ØÓÖ¸ ×Ø Ñ Ø ÙØ Ø Ð Ð ¸ Û ÓÓ Ö Ó ÒØ Ö ×Ø Û Ò Ø È × ÙÐÐÝ Ð º Á Ø Û Ö Ö Ø Ö Þ Ú Ð Ð ¸ Û Ý Ô Ö Ñ Ø Ö × ÑÔÐÝ ÙÒ Ø ÓÒ × ÒÓØ Ð ÙÐ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÐÐÝ ÛÓÙÐ Ý ÅÄ Òغ ½º½º ∗ yi Ü ÑÔÐ ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð Ò »ÓÖ ÝÒ Ñ Ñ Ò× ÓÒ × Ö Ø Ö ×ÔÓÒ× ÑÓ Ø Ø Ð׺ Ä Ø Ð Ø ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ Ó m. ËÙÔÔÓ× ∗ yi = Xi β + εi Û ´ Ö µ ÓÖØ ÖÓÔ Ø Xi × m × K. ËÙÔÔÓ× Ø Ø εi ∼ N (0, Ω) i ×Ù × Ö ÔØ Û º Ê Ø Ò Ø × ÒÓØ Ò Ö¸ Û Ó × ÖÚ ÓÖ Ð Ö Øݺ Ñ ÒݹØÓ¹ÓÒ Ñ ÔÔ Ò À Ò • y∗ × ÒÓØ Ó × ÖÚ y = τ (y ∗ ) Ì × Ñ ÔÔ Ò × ×Ù Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ó y × Ø Ö Þ ÖÓ ÓÖ ÓÒ ´ Ò ×ÓÑ × × ÓÒÐÝ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Û ÐÐ ÓÒ µº • Ò Ai = A(yi ) = {y ∗ |yi = τ (y ∗ )} ËÙÔÔÓ× Ò Ô Ò × Ò Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò ÒØ Ó Ô Ò ÓÒ ÒÓØ Ó (yi , Xi )º Ð ÁÒ Ø ÖÐÝ Ö × × ÒÓØ Ø Ð Ñ ÒØ× Ó × ÒÓØ yi Ñ Ý ÒÓØ Ö ´ Ò Ω ÓÒ Ðµº ÀÓÛ Ú Ö¸ yi • Ó Ä Ø θ= Ø ith ÒØ Ó yj ¸ ′ , (vec∗ Ω)′ )′ (β i = j. Ø Ú ØÓÖ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × ÑÓ Ðº Ì ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ØÓ Ø pi (θ) = Ai Û Ö ∗ ∗ n(yi − Xi β, Ω)dyi n(ε, Ω) = (2π)−M/2 |Ω|−1/2 exp × Ø ÐÓ ¹Ð ÑÙÐØ Ú Ö Ð ÓÓ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò× ØÝ Ó Ò −ε′ Ω−1 ε 2 ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖº Ì M ÙÒ Ø ÓÒ × ln L(θ) = 1 n ¾¿ n ln pi (θ) i=1 ½º ÅÇÌÁÎ ÌÁÇÆ ¾¿ Ò Ø ÅÄ ˆ θ ×ÓÐÚ × Ø × ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ× 1 n • Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø n ˆ gi (θ) = i=1 1 n n i=1 ˆ Dθ pi (θ) ≡ 0. ˆ pi (θ) Ò Ø× Ö ØÙÖ Ò ¿ ÓÖ Ö Ú Ø Ú ÛºÖºØº Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ó Ñ Ø Ó × Ó ÒÙÑ Ö ÒØ Û Ò Ö Ø ÓÒ ×Ù Li (θ) θ × Ø Ý ×Ø Ò × Ö Ö Ð ÒÓ × ÕÙ Ö Ø × ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ò ´ × ÐÓÒ Ö m ´Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó y) × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ • Ì ÓÖ ÑÓ Ñ ÔÔ Ò Ω). τ (y ∗ ) × Ø × ÒÓØ Ò Ñ Ø Ò ×Ø× Ø ×Ô × Ð ×Ó Ó Öº Ì × × ØÙÔ × ÕÙ Ø Ò ÖÝ Ó × Ö Ø Ó ÓÒ Ò Ö Ð Ó ÓÙØ Ó Ö ÒØ Ó × Ó Ð× Ò Ø × Û ÐÐ × Ø Ó τ (y ∗ ) ÝÒ Ñ Ó ´Ø × Ó ÑÙÐØ ÒÓÑ × Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú ×µº Ð × Ö Ø Ó Ø × ÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ Ò Ú Ý ´Ú ÖÝ × ÑÔÐ µ Ó Ò ØÓ × Ö ÑÓ Ó × Ø Ðº Ø × ÅÙÐØ ÒÓÑ Ï Ö Ú Ú Ð ÖÓ×× × Ø ÓÒ Ð Ð ´ÓÒ Ó Û Ù Ð׳ Ñ Ø × Ø Ó m × ÙÒ ÑÔÐÓÝÑ Òصº Ì ÙØ Ð ØÝ Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú j uj = Xj β + εj ÍØ Ð Ø Ø ×Ó Ó ×¸ ×Ø Ó ÒØ Ð Ñ ÒØ× Ú ØÓÖ ui Ö ÒÓØ Ó × ÖÚ º Ê Ø Ö¸ Û Ó × ÖÚ Ú ØÓÖ ÓÖÑ yj = 1 [uj > uk , ∀k ∈ m, k = j] ÇÒÐÝ ÓÒ ÝÒ Ñ ØÛÓ Ó Ø × Ð Ñ ÒØ× × Ó Ö ÒØ Ø Ò Þ ÖÓº Ø Ó × ÓÚ Ö Ø Ñ ØÛ Ò × Ö Ø × ÐÐÙ×ØÖ Ø Ý Ö Ô Ú ÙØ Ð ØÝ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×º Ä Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú j ujt = Wjt β − εjt , j ∈ {1, 2} t ∈ {1, 2, ..., m} Ì Ò y ∗ = u2 − u1 = (W2 − W1 )β + ε2 − ε1 ≡ Xβ + ε ÆÓÛ Ø Ñ ÔÔ Ò × ´ Ð Ñ Òع ݹ Ð Ñ Òص y = 1 [y ∗ > 0] , Ø ÓØ Ø × yit = 1 Ò Ú Ù Ð i ÓÓ× × Ø × ÓÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ô Ö Ó t, Þ ÖÓ ÖÛ × º ½º¾º ×Ù ×Ø ÒØ Ð Ü ÑÔÐ Ø ÖÓ Å Ö Ò Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ð Ø ÒØ Ú Ö Ò ØÝ Ø Ø Ñ Ý × Ò Ù× Ð Ø Ú Ö Ø ´Ø ÙÐØ ØÓ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð × Ø Ø Ð ×º Ì Ð ×º к Ø Ø Ö ÓÒÓÑ ÔÓ×× Ø Ó Ø Ò ÔÖ × ÒØ× Ð ¹ Ð ØÝ × ØÓ ÒØÖÓ Ù ÒÓ Ø ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÓÖÑ ÓÖ Ø Ð Ø ÒØ Ú Ö Ù× Ò Ø ×ØÖ Ð ×º ÈÓ ××ÓÒ Ñ Ý ÒÓÛÒ ÐÓ× ÙÒÓ × ÖÚ Ð Ð ÙØ ÓÒ Ó Ó × ÖÚ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÙÒØ ÙØ ÓÒ Ø Ö Ñ Ö Ò Ð Þ Ò ÓÙØ Ø × Ú ÐÙ × 0, 1, 2, 3, ...) × Ó Ø Ò ÑÓ ×ØÖ Pr(y = i) = exp(−λ)λi i! ½º ÅÇÌÁÎ ÌÁÇÆ ¾¿ Ì Ñ Ò Ò Ú Ö Ò Ó Ø ÈÓ ××ÓÒ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ö ÓØ ÕÙ Ð ØÓ λ: E(y) = V (y) = λ. Ç Ø Ò¸ ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ × Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò × λi = exp(Xi β). Ì × Ò×ÙÖ × Ø ØØ Ø Ñ Ü Ò × ÔÓ× Ø Ú ´ × Ø ÑÙ×Ø Ø× ÓÚ Ö ×Ô Ö× ÓÒ Û µº ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ÑÔÐÝ Ñ Ý ÅÄ × ×ØÖ Ò× Ø Ø Ø ÓÖÛ Ö º Ç Ø Ò¸ ÓÙÒØ V (y) > E(y). Á Ø × × Ø Ò × ¸ ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ Ù× × ØÓ Ø Ò Ø Ú ÒÓÑ Ð Ø Ð ×ØÖ Ø Ö ÙØ ÓÒ Ö Ø Ø× Ø ÖÓ Ö Ø Ò Ò Ø ØÝ ÒØÓ ÈÓ ××ÓÒº Ø ×Ô ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒØÖÓ Ù Ð Ø ÒØ Ú Ö Ø ÓÒ λi = exp(Xi β + ηi ) Û Ö ηi × ×ÓÑ ×Ô Ò× ØÝ Û Ø Ø ×ÙÔÔÓÖØ S ´Ø × Ò× ØÝ Ñ Ý Ñ Ö Ô Ò Ò Ð ÓÒ Ò× ØÝ Ó Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö×µº Ä Ø dµ(ηi ) Ò× ØÝ Ó ηi . ÁÒ ×ÓÑ × ×¸ Ø y Pr(y = yi ) = S Û ÐÐ Û Ý Ú ÐÓ× × × Ò exp [− exp(Xi β + ηi )] [exp(Xi β + ηi )]yi dµ(ηi ) yi ! Ò Ö Ú Ø Ò Ø Ú ÒÓÑ Ð ÔÓ×× ØÓ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ø × × ¸ ×ØÖ ÙØ ÓÒµ¸ ÙØ Ó Ø Ò Ø Û × Û ÐÐ ÒÓØ × Ø Ð Ò Ù× ÓÓ Ð ¸ ÕÙ Ø ÖÓ Ð º ÁÒ Ø ¹ ÓÖÑ ×ÓÐÙØ ÓÒ ´ÓÒ ÜÔÓÒ ÒØ Ñ Ò Ò× Ó Ü ÑÔÐ Ð η × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ì × ÛÓÙÐ Ð ÙÐ Ø Ò Ó Ø Ø Ö Pr(y = i), Ó ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ë ÑÙÐ Ø Å Ü ÑÙÑ Ä Ð Ø ÒØ Ú Ö Ð ÑÓ Ð Û Ø ÓÖ ´ËÅĵ Ö ØÙÖ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒº × ÔÖÓ ÐÝ ÐÐÓÛ ÐÐ • ÁÒ Ø × × ¸ × Ò × ÓÒÐÝ ÓÒ ÑÓÖ Ü ØØ Ö Ó º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ô Ö Ñ Ø Ö× ´ÒÓØ Ù×Ø Ø ØÝ ÛÓÙÐ ÓÒ×Ø Òص ØÓ Ú Öݺ Ü ÑÔÐ Pr(y = yi ) = S ÒØ Ð× Û exp [− exp(Xi βi )] [exp(Xi βi )]yi dµ(βi ) yi ! Ð ÒØ Ö Ð¸ Û Û ÐÐ ÒÓØ Ú ÐÙ Ð Ý ÕÙ ¹ Ö ØÙÖ K = dim βi ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ò K Ø× Ð Ö º ½º¿º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÑÓ Ø ÓÒ׺ ÁØ × Ó Ø Ò ÓÒÚ Ò ÒØ Ö ÒØ Û Ð ÕÙ Ø ÓÒ׺ ÓÒ × Ö Ý Ò Ð× ×Ô ØÓ ÓÖÑÙÐ Ø Ð × ÓÙÐ Ò Ø ÖÑ× Ó ×ØÓ ÑÓ Ð× Ò Ø ÖÑ× Ó ÓÖ ÜÓ Ì ÓÙÒØ ×Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ ¹ Ù× Ò ¹ ×Ý×Ø Ñ¸ Ð Ø Ø × ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ ÒÓÙ× × Ó × ØÓ Ø × Ð × ØÓ Ö Ø ÑÓ Ð ×Ø ÑÓ ××ÙÑ Ò ×Ø Ö Ò ÓÑ ÓÑÔÓÒ Òغ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ׺ ÜÔÖ ×× ×Ý×Ø Ñ Ó ×ØÓ ÓÒ× ÔÖÓ ×× dyt = g(θ, yt )dt + h(θ, yt )dWt Û ×Ù Ø × Ø ××ÙÑ ØÓ ×Ø Ø ÓÒ Öݺ {Wt } × ×Ø Ò Ö ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ ´Ï Ò Ö ÔÖÓ ××µ¸ T W (T ) = 0 ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ × ÓÒØ ÒÙÓÙ×¹Ø Ñ ×ØÓ dWt ∼ N (0, T ) ×Ø ÔÖÓ ×× ×Ù Ø Ø • W (0) = 0 • [W (s) − W (t)] ∼ N (0, s − t) • [W (s) − W (t)] Ò [W (j) − W (k)] ÒÓÒ¹ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò × Ñ ÒØ× Ö Ò Ö Ò Òغ Ô Ò ÒØ ÓÖ s > t > j > k. Ì Ø ×¸ Ô Ò ¾º ËÁÅÍÄ Ì Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ´ËÅĵ ¾ ¼ ÇÒ Ò Ø Ò Ó ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ Ø Ò º × Ø Ú Ö ÙÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ò Ô Ò ÒØ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ × Ó × Û Ø Ò Ò Ø × Ñ Ð Ú Ö • Ì ÙÒ Ø ÓÒ g(θ, yt ) • h(θ, yt ) Ø ÖÑ Ò × Ø ÌÓ Ó Ò ×Ø Ñ Ø Ò × Ö Ø ÑÓ ÐÓ Ø Ø ÖÑ Ò ×Ø Ô Öغ Ò Ó Ø × Ó ×º Ú Ø Ø × Ø Ö ××ÙÑ ØÓ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× × ×ÓÖظ Û ØÝÔ ÐÐÝ yt × Ö Ø ÔÓ ÒØ× y1 , y2 , ...yT . Ì ÓÒ Ø ×¸ Ø ÓÙ yt ÅÅ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÔÖÓ ×× Ø × Ó × ÖÚ Ø Ñ º Ò Ö Ò ÌÓ Ô Ö ÓÖÑ Ù× ÓÒ θ, Ð ÓÓ Ö Ø ÅÄ ÓÖ Ù Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò× ØÝ × ÒÓØ Ù×Ù ÐÐÝ Ì × × Ð ¸ ÒÒÓظ Ò Ú ÐÙ Ø Ø Ò Ö Ð¸ Ð ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ò ×× ÖÝ ØÓ × ÙÔÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ØÓ × Ø Ðº Ì Ú ÐÙ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ f (yt |yt−1 , θ). Ò× ØÝ × Ö Ø ÓÒ× ´Û ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × Ö Ø Þ ÑÓ Ò× Øݵº ÑÓ Ð¸ ÝÛ Û Ñ Ò ØÓ Ò Ð × × Ö Ø • ØÝÔ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ × ØÓ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø × Ö Ø Þ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø ÑÓ yt − yt−1 = g(φ, yt−1 ) + h(φ, yt−1 )εt εt ∼ N (0, 1) Ì Ø Ø Ñ Ì × × Ö Ø Þ Ø ÓÒ ×Ø Ò Ù × Ø Ò Û Ô Ö Ñ Ø Ö¸ φ ´Ø Ø ×¸ Ø φ0 Û Ò × × Ö Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÓ × Ö Ø Þ Ø ÓÒ ØÓ Ø ØÙ Ð ´ÙÒ ÒÓÛÒµ × Ø ØÖÙ Ú Ö× ÓÒ Ó × Ò Ð × ÒÓØ Ò 0 ÕÙ Ð ØÓ θ Û × ×Ù × ÅÄ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ µº ´Û × Ò × Ò Ö Ð ØÙ ÐÐÝ × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ¸ Ð ÓÖ Ø ¸ Û ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó × ÕÙ Ø ÓÒ φ ÕÙ × ¹Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ò Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ ØÓÓ ÓÓ ¸ ÉÅĵ ÓÖ ÙÔÓÒ Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö¸ Û ÐÐ × Ø Ö Ù× Ùи θº × Û Æ Ú ÖØ Û ÐÐ × Ð ×׸ Ø º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ò³Ø • Ì ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓ Ð × × ÑÙÐ ÓÙØ Ø Ü ÑÔÐ × × Ø ÅŸ Ø º Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ð ×× Ø Ì ÑÓ × Ñ Ð ÙÐØ × × ÔÖ Ú ÒØ ×Ô ÑÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Åĸ Æ Ú ÖØ ÙÐÐÝ Ø Ø Ð ×Ø Ø ÖÑ× ÙÔ ØÓ Ð ¸ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖº Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖº Ò× Ø ¾º Ë ÑÙÐ Ø ÓÖ × ÑÔÐ Øݸ ÓÒ× Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ø º Ð ÓÓ ´ËÅĵ Ò ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ ×ÓÐÚ × Ö ÖÓ××¹× Ø ÓÒ Ð 1 ˆ θM L = arg max sn (θ) = n Û Ú Ò Ö n t=1 ln p(yt |Xt , θ) Ò p(yt |Xt , θ) × Ø Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖѸ tth Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒº Ï ÒÓÛÒ ÐÓ× ˆ θM L Ø × Ø Ò Ò × ×Ø Ñ ØÓÖº ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ñ Ý p(yt |Xt , θ) Ó × ÒÓØ Ð ØÓ ÔÓ×× Ö Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ ×Ù Eν f (ν, yt , Xt , θ) = p(yt |Xt , θ) Û Ö Ø Ò× ØÝ Ó ν × ÒÓÛÒº Á Ø × × Ø × ¸ Ø × ÑÙÐ ØÓÖ p (yt , Xt , θ) = ˜ × ÙÒ × ÓÖ 1 H H f (νts , yt , Xt , θ) s=1 p(yt |Xt , θ). ¾º ËÁÅÍÄ Ì Å ÁÅÍÅ ÄÁà ÄÁÀÇÇ ´ËÅĵ ¾ ½ • Ì ËÅÄ × ÑÔÐÝ ×Ù ×Ø ØÙØ × Ø × p (yt , Xt , θ) ˜ Ò ÔÐ Ó ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ø p(yt |Xt , θ) ÒØ ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ 1 ˆ θSM L = arg max sn (θ) = n n ln p (yt , Xt , θ) ˜ i=1 Ø Ø ÙØ Ð ØÝ Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú ¾º½º Ü ÑÔÐ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð ÔÖÓ Øº Ê ÐÐ Ø j × uj = Xj β + εj Ò Ø Ú ØÓÖ y × ÓÖÑ Ó Ð Ñ ÒØ× yj = 1 [uj > uk , k ∈ m, k = j] Ì Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø Pr(yj = 1|θ) Ø × ÔÖÓ ×ØÖ Ò³Ø Ð ÙÐ Ø Û Ò m ×Ð Ö ÖØ Ò ÓÖ º ÀÓÛ Ú Ö¸ ×Ý ØÓ × ÑÙÐ Ø Ð Øݺ ÙØ ÓÒ • • • • Ö Û Ê N (0, Ω) Ð ÙÐ Ø ui = Xi β + εi ´Û ˜ ˜ Ö Xi × Ø Ò yij = 1 [uij > uik , ∀k ∈ m, k = j] ˜ Ô Ø Ø × H Ø Ñ × Ò Ò ÖÓÑ Ø εi ˜ Ñ ØÖ Ü ÓÖÑ Ý ×Ø Ò Ø Xij ) πij = • • • Ò ½¸ Ò H ˜ h=1 yijh H Ó Ø πi Ø × Ø m¹Ú ØÓÖ ÓÖÑ πij º Ð Ñ ÒØ Ó πi × ØÛ Ò ¼ Ò Ð Ñ ÒØ× ×ÙÑ ØÓ ÓÒ º ÆÓÛ Ì ′ p (yi , Xi , θ) = yi πi ˜ ËÅÄ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ð ÔÖÓ Ø ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ × ln L(β, Ω) = Ì × × ØÓ Ñ Ü Ñ Þ ÛºÖºØº 1 n n ′ yi ln p (yi , Xi , θ) ˜ i=1 β Ò Ω. ÆÓØ × • Ì Ù× H ØÓ Ö Û× Ó Ò εi ˜ Ò Ö Ö Û Ì ÓÒÐÝ ÓÒ Ö Û× Ö Ò Ö Ù× Ö Ô Ø ÐÝ Á Ø ÙÖ Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÓÒ× Ö ¹ Ö ÛÒ Ø ˆ β Ð × ˆ Ω. Ö ÒØ ÓÖ º × i. εi ˜ Ú ÖÝ Ø Ö Ø ÓÒ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ ÒÓØ ÓÒÚ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø • Ì Ò ÐÓ ¹Ð ÓÓ × × ÑÙÐ ØÓÖ Ø × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÙÒ Ø ÓÒ Ó Û × Ò β Ω. Ì × ÓÛÒ Ø Ó × ÒÓØ Ù× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ÖÓÑ × ×ØÓ ×Ø ÐÐÝ Ö ÓÖ Ø Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ× ln L(β, Ω) ÕÙ ÓÒØ ÒÙÓÙ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Òع × ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ó × Ù× ×Ù × ØØ ÑÔØ× ØÓ Ù× Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ×ÓÒº • ÁØ Ñ Ý Ó Ø Ö × ¸ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Û × ÑÙÐ Ø ÓÒ׸ Ò Ð Ñ ÒØ Ó πi log(0) Þ ÖÓº Á H¸ yi × Ö Ù× ¸Ø Ø ×ÓÑ Ö Ð Ñ ÒØ× Û ÐÐ ÕÙ Ð ØÓ ½¸ Ø ÔÖÓ Ð Ñº × ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÓÖ Ø Ø Ó ×Ò³Ø Ö ÕÙ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÒÒ Ð Ò º Ì Ò Ö Ò¹ • ËÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ ½µ Ù× Ø Ð Ü ÑÔÐ ¸ × ÑÙÐ Ø × × ÓÑÔÙ¹ Ø Ø ÓÒ ÐÐÝ Ó×ØÐݺ ¾µ ËÑÓÓØ Ó Ø Ø × ÑÙÐ Ø ÓÖ ÔÖÓ Ü ÑÔÐ ¸ Ð Ø × ×Ó Ø Ø Ø Ý Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÙÒ Ø ÓÒ× × Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÔÔÐÝ ÖÒ Ð ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ×Ù yij = Φ A × uij − max uik ˜ k=1 m + .5 × 1 uij = max uik k=1 m ¿º Å ÌÀÇ Ç ËÁÅÍÄ Ì ÅÇÅ ÆÌË ´ÅËŵ ¾ ¾ Û Ø × Ø Ö Ø A yij ˜ Ò Ø × Ð Ö ÔÓ× Ø Ú ÒÙÑ Öº Ì × ÔÔÖÓÜ Ñ Ø × Ñ Ü ÑÙѸ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ò ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒ ×Ù × Ú ÖÝ ÐÓ× ØÓ Þ ÖÓ × Ñ × uij yij ˜ Ø × ÒÓØ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ñ Ü ÑÙѺ Ì Ö ÓÖ uij = 1 β Ò Ω, ×Ó Ø Ò Ð º Ø Ø pij ˜ Ø Ò Ý Ö ÕÙ Ö × Ø ÓÑ × Ø Ú Ö ØÖ Ö ÐÝ ÐÓ× ln L(β, Ω) Û ÐÐ p Ø A(n) → ∞, ×Ó × Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ø × Þ Ö ÒØ ÓÒ× ×¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ö × ×º Ì ØØ Ö¸ Ö ×Ø Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙØ Ø × ÐØ ÖÒ ¹ × ØÓÓ × ÑÔÐ Ñ Ø Ó × ´ º º¸ × Ù×× Ö º × × ÑÔÐ Ò µ Ø Ø Ñ Ý ÛÓÖ Ø Ò Ð ØÓ • ÌÓ ×ÓÐÚ ØÓ ÐÓ ´¼µ ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÓÒ Ð×Ó¸ Ò Ö × ÔÓ×× Ð ØÝ × ØÓ × Ö Ø Û ÓÖ Ø ×ÐÓ ÙÒ Ø ÓÒº H Ì Ø × × × Ö ÓÙ× ÔÖÓ Ð Ñº ¾º¾º ÈÖÓÔ ÖØ ×º ÓÐÐÓÛ Ò × Ø Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ì ÔÖÓÔ ÖØ ´½ Ó ÅÓ µ × Ó Ø ËÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ô Ò ÓÒ ÓÛ H × × Øº Ì Ð ÓÓ ÖÓÑ Ä ×ÝÑÔØÓØ Ð׸ Ò Ë ÑÙÐ Ø Å Ü ÑÙÑ Ä ¿ ¹ ¿º × Ö Ø Ä ÓÒÓÑ ØÖ Ì ÓÖݸ ½½¸ ÔÔº ÓÖ Ñ ¿¾º ℄ ½µ limn→∞ n1/2 /H = 0, Ø Ò √ d ˆ n θSM L − θ 0 → N (0, I −1 (θ 0 )) ¾µ limn→∞ n1/2 /H = λ, λ Ò Ø ÓÒ×Ø Òظ Ø Ò √ d ˆ n θSM L − θ 0 → N (B, I −1 (θ 0 )) B • • × Ì Ò Ø × Ñ ×Ø Ö Ø Ì Ú ØÓÖ Ó ÓÒ×Ø ÒØ׺ Ò× Ø Ø Ø ËÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ × ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ × Û Ö H Ø Ó ×Ò³Ø ÖÓÛ 1/2 . Ò n ØÝÔ Ð ÒÚ Ö× Ø Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü¸ ×Ó Ø Ò ÙÐÐÝ × ÐÓÒ × Ú Ö ÓÚ × Ø ×Ø ÒÓÙ H ÖÓÛ× ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø ÒØ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Òغ ¿º Å Ø Ó Ó × ÑÙÐ Ø ËÙÔÔÓ× Ó Û Ú Ð º × ÅÅ È(y|x, θ) Û ÑÓÑ ÒØ× ´ÅËŵ Ð Ú Ò × × ÑÙÐ θ¸ ÙØ × ×Ù Ø Ø Ø Ò× ØÝ y × ÒÓØ Ð ÙÐ ÇÒ ÓÙÐ ¸ Ò ÔÖ Ò ÔÐ ¸ ×Ø Ñ ØÓÖ ÙÔÓÒ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× mt (θ) = [K(yt , xt ) − k(xt , θ)] zt Û Ö k(xt , θ) = zt ÓÒ × Ú ØÓÖ Ó Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ò×ØÖÙÑ ÒØ× Ì Ò Ø K(yt , xt )p(y|xt , θ)dy, Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Ø Ø Ø × Ò p(y|xt , θ) Ú Ð Ð º × Ø Ò× ØÝ Ó y xt . ÔÖÓ Ð Ñ × Ø × Ö Ò× ØÝ × ÒÓØ Ù× Ò • ÀÓÛ Ú Ö k(xt , θ) ÐÝ × ÑÙÐ Ø 1 k (xt , θ) = H • Ý Ø Ð ÓÖ Ð Û Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö׸ H h K(yt , xt ) h=1 a.s. × Ö ÒØÙ Ø Ú × × ÓÖ Ø Ð ÛÓ Ð Ö ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ø ÓÙ ÒÙÑ Ö× × k (xt , θ) → k (xt , θ) , Ò Ø Û H → ∞, Ó Ø Û ÔÖÓÚ × Ú Ò Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý H Ð Ò Ø ¸ × Ò Ø ¸ ×Ó Ð×Ó ÓÔ Ö Ø Ò ÖÓ×× Ø nÓ × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó Ö ÖÖÓÖ× ÒØÖÓ Ù Ý × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ñ× ÐÚ × ÓÙغ ¿º Å ÌÀÇ Ç ËÁÅÍÄ Ì ÅÇÅ ÆÌË ´ÅËŵ ¾ ¿ • ´ µ Ì × ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÓÖÑ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× mt (θ) = K(yt , xt ) − k (xt , θ) zt Û Ö zt × Ö ÛÒ ÖÓÑ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × Øº × ÓÖ ¸ ÓÖÑ m(θ) = 1 n 1 n n mt (θ) i=1 n i=1 ´ µ = Û Ø ÙÒ Û × Û ÓÖÑ Ø K(yt , xt ) − 1 H Ò H h k(yt , xt ) zt h=1 ×Ø Ñ Ø Ò Ø × Ù×٠к ×ÙÑ׺ ÆÓØ Ø Ø Ø ÅÅ Ö Ø Ö ÓÒ ÔÔ Ö× Ð Ò h × ÑÙÐ ØÓÖ k(yt , xt ) ËÙÔÔÓ× ÈÓÐÐ Ö Ø ´Ö Ø Ø ×º ÖÐÝ Û Ø ¿º½º ÈÖÓÔ ÖØ ×º ÓÚ µ ÅËÅ Ò È × Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Ø Ø Ø ÓÔØ Ñ Ð Û ÓÚ µ × ÓÛ Ø Ø Ó Ø Ò × ¸ Ø Ò Ø Ø Ð Ò Ñ ØÖ Ü × Ù× ×ÝÑÔØÓØ ÅÅ ÓÖ º Å ×ØÖ Ò ´Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø º × Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Û Ø Ò ×Ø Ñ ØÓÖº Ò Ø ¸ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ ××ÙÑ Ò ´ ¼µ Ñ ØÖ Ü × Ù× H √ ′ D∞ Ω−1 D∞ 1 d ˆ n θM SM − θ 0 → N 0, 1 + H −1 × Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ò ÙÐÐÝ Ò Ø Ó Ø Ý ′ D∞ Ω−1 D∞ Ò × ØÓÖ Ð −1 Û Ö ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖº ÓÖ Ø × Ö Ò × Ð ¸ ×ÓÒ Ð Ý • Ì Ø Ø ×¸ Ø ÅËÅ ÅÅ ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ×Ø Ñ ØÓÖ × ÒÓØ × Ò 1 + 1/H. Ò ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÓÖ H Ò Ø ¸ º Ò Ý ÐÓ×× × ×Ñ ÐÐ ÓÒØÖÓÐÐ × ØØ Ò H Ö ×ÓÒ × ÐÝ Ð Ö • • • Ì ×Ø Ñ ØÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÙÒ × Ú Ò ÓÖ H = 1. Ì × × Ò Ú ÒØ Ö Ð Ø Ú Á ÓÒ ÓÖ Ì ÓÒ ÓÖѺ ØÓ ËÅĺ Ó ×Ò³Ø Ù× Ø ÓÔØ Ñ Ð Û Ø Ý Ø Ò Ñ ØÖ Ü¸ Ø ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö ÓÚ × Ù×Ø Ø Ò ÖÝ ÓÚ ÅÅ Ú Ö ÓÚ¸ Ò 1 + 1/H. ×Ô ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ × ÙÔÓÒ Ø ÒÝ ØÓ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ó ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ × Ò Ø ÖÑ× Ó Òº Ë ÑÙÐ Ø Ø ÓÒ Ð Ñ ÅÅ Ò ¿º¾º Ø Ó Ø ÓÑÑ ÒØ׺ × Ï Ý × ËÅÄ Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò Ú Ö Ø Ó H × Ò Ø ¸Û Ò ÙÒ Ð × × Ò Ð ÅËÅ × Ì Ö ×ÓÒ × Ò× Ø Ð ÓÓ × Ø ËÅÄ × ÙÔÓÒ ÐÓ Ö Ø Ñ× Ó Ð ÔÖÓ Ø ÑÓ × ÑÙÐ ØÓÖ ´Ø Ü ÑÔÐ ¸ Ø ÐÓ ¹Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ×µº ÌÓ Ù× ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ × 1 ln L(β, Ω) = n Ì ËÅÄ Ú Ö× ÓÒ × n ′ yi ln pi (β, Ω) i=1 n ′ yi ln pi (β, Ω) ˜ i=1 ln L(β, Ω) = Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø 1 n E ln(˜i (β, Ω)) = ln(E pi (β, Ω)) p ˜ Ò ×Ô Ø Ó Ø Ø Ø Ø E pi (β, Ω) = pi (β, Ω) ˜ Ù ØÓ Ø Ø Ø Ð Ñ Øµ Ø ÕÙ Ð ´ Ò Ø ln(·) × H × ÒÓÒÐ Ò Ö ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒº Ì ×Ó Ø Ø ÓÒÐÝ Û Ý ÓÖ Ø ØÛÓ ØÓ Ø Ò × ØÓ Ò Ò Ø p (·) ˜ Ø Ò × ØÓ p (·)º º Á Á ÆÌ Å ÌÀÇ Ç ÅÇÅ ÆÌË ´ Åŵ ¾ Ì Ö ×ÓÒ Ø ÔÔ Ö× Ø ÅËÅ Ó × ÒÓØ ×Ù Û Ø Ö ÓÖ Ø Ò Ø Ö ÖÓÑ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø ÖÑ׸ Ò Ø Ø ÒØ ÔÔ × × Ø Ò ÙÒ × × ÑÙÐ ØÓÖ Ð Ò ÖÐÝ ℄µº Ì Ú ÖÝ ×ÙÑ Ó ËÄÄÆ Ö× Û Ø ×ÙÑ ÓÚ Ö ÖÖÓÖ׸ ÖÓÑ × ¸ n Û Ø ´× ÕÙ Ø ÓÒ Û ÔÔÐ × ØÓ Ò Ð ÓÙØ × ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ýº Ì Ø ÓÒ× ×¸ Ù× Ò × ÑÔÐ Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ´ ½µ m(θ) = ˜ 1 n 1 n n i=1 n i=1 1 K(yt , xt ) − H 0 H h k(yt , xt ) zt h=1 H ´ ¾µ = ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ 1 k(xt , θ ) + εt − H [k(xt , θ) + εht ] zt ˜ h=1 ÓÒÚ Ö m∞ (θ) = ˜ ´ÒÓØ k(x, θ 0 ) − k(x, θ) z(x)dµ(x). ÙÒ Ø ÓÒ× Ó zt × ××ÙÑ ØÓ Ñ ÙÔ Ó xt ). Ì Ó Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö × ØÓ s∞ (θ) = m∞ (θ)′ Ω−1 m∞ (θ) ˜ ∞ ˜ Û Ó Ú ÓÙ×ÐÝ × Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ¾ θ0, Ò ÓÖØ ÓÒ× ×Ø Ò Ýº Û Ý Ø Ú Ö Ò Ò Ø ÓÒ ØÓÖ × • Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ø¸ ÝÓÙ Û ÐÐ × (1 + 1 H )º º Ì Ó Ó Û ÔÖÓÒÓÙÒ Ø× ÙÔÓÒ Ø ÔÓÓÖ Ó Ò × Øµº Ú Ò Ù× ÒØ Ñ Ø Ó Ó ÑÓÑ ÒØ× ´ Åŵ ÑÓÑ ÒØ× ÙÔÓÒ Û Ò Ý Ó Ø ØÓ × ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Ò Ú Ú ÖÝ ×Ø Ñ ØÓÖº ØÓ Ú ÖÝ Ò × Ò Û Ø Ø ÒØ ×Ø Ñ ØÓÖ׸ Ò • Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÒØ Ø ÓÒ× Ñ Ý Ð Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ´ × Û ³Ú ÅÅ ÔÖÓ Ð Ñ • Ì Ò Ö Û Ó Ö Ø × Ð Ø ÓÚ Ö ÔÔÖÓ ÅËÅ × Ø Ø Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ò Ý Ó Ø Ø ÓÒ× Ù× ×Ø Ñ ØÓÖ ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÐÓÛº ØÖ Ö Ðݺ Ì ×ÝÑÔØÓØ Ñ Ý • Ì Ð Ð ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÓÔØ Ñ Ð Ó ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ó ÑÓÑ ÒØ× ÛÓÙÐ Ø × ÓÖ Ú ØÓÖ Ó Ø mt (θ) = Dθ ln pt (θ | It ) × Ì ÓÖ ¸ Ø × Ó Ó × ÙÒ Ú Ð Ð º ÐÐ ÒØ ¸ ÎÓк Ò Ì Ù ¸ Ô Ø Ò ´½ × µ¸ ¹ Ï ÅÓ¹ × ØÓ × ÒØ Ñ Ø Ó ¸ ÑÓÑ ÒØ× ´ ÌÊÁ Åŵ ´× ÌÀ ÇÊ Ñ ÒØ× ØÓ Å Ø ÔÖÓÚ Ú ÖÝ Ì ÇÆÇÅ Ø ÓÒ× Ø ½¾¸ ½ ½µ × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÓÓ ¸ Ø Ø ÐÓ× ÐÝ Ñ Ñ Ø Ú ÖÝ Ò × ÓÖ Ú ØÓÖº Á Òغ Ò× ØÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ Ò ×Ø Ñ ØÓÖ Û ÐÐ ÖÐÝ ÙÐÐÝ ÖÓÑ Ø È × Ö Ø Ö Þ Ý Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ò p(yt |xt , θ 0 ) ≡ pt (θ 0 ) Ï Ò Ò Ò ÙÜ Ð ÖÝ ÑÓ Ò× ØÝ Ð¸ ÐÐ Ø × ÓÖ Ò Ö ØÓÖ ¸ Û × ÑÔÐÝ ÔÖÓÚ × ´Ñ ××Ô µ Ô Ö Ñ ØÖ f (y|xt , λ) ≡ ft (λ) º Á Á ÆÌ Å ÌÀÇ Ç ÅÇÅ ÆÌË ´ Åŵ ¾ • Ì × Ò× ØÝ × Ð º Ì ÒÓÛÒ ÙÔ ØÓ Ö ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö λ. Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø × Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐݸ × Ð ÙÐ ÕÙ × ¹ÅÄ ×Ø Ñ Ø ÓÒ × ÔÓ×× Ð º ËÔ 1 ˆ λ = arg max sn (λ) = Λ n • • Ø Ö Ì Ø ÖÑ Ò Ò n ln ft (λ). t=1 × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× ˆ λ Ø Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø Ú Ò Ø Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓ ÒØ × Ø ØÖÙ Ò× ØÝ × Ñ ××Ô ÒÛ Ø Ò Ð Þ ˆ Dλ ln f (yt |xt , λ)º ¸ Ø Ö × ØÖÙ Ô× Ù Ó¹ 0 ØÖÙ λ ÓÖ Û Ò× ØÝ Ó ÜÔ Ø Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ø Ò Ñ Ö Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÓÚ Ö ÙØ ÙÒ ÒÓÛÒ y, p(y|xt , θ 0 ), x × Þ ÖÓ ∃λ0 : EX EY |X Dλ ln f (y|x, λ0 ) = • ´ ¿µ Ï ÓÒ Ú × Ò Ò Ø Dλ ln f (y|x, λ0 )p(y|x, θ 0 )dydµ(x) = 0 X Y |X Ø × Ø ÓÒ ÓÒ ÉÅÄ Ø Ø ÓÒ× ˆ p λ → λ0 Ø × ×Ù ×Ø× Ù× Ò Ø ÑÓÑ ÒØ ˆ mn (θ, λ) = • Ì Ö × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ð Ù× Ò Ø ÓÒ× Ö 1 n n ˆ Dλ ln ft (λ)pt (θ)dy t=1 Ð ¸ × Ò ÒÓØ Ð ÙÐ pt (θ) × ÒÓØ Ú Ð Ð ¸ ÙØ Ø Ý × ÑÙÐ 1 ˆ mn (θ, λ) = n Û Ö n t=1 1 H H h=1 ÓÐ h ˆ Dλ ln f (yt |xt , λ) ˆ λ Ì yt × ˜h Ö Û ÖÓÑ DGP (θ), Ò xt Ü º Ý Ø ÄÄÆ Ò Ø Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö 0 × ØÓ λ ¸ m∞ (θ 0 , λ0 ) = 0. × × ÒÓØ Ø Ú ÒØ × Ó Ø ÓÖ ÓØ × ÔÖÓ ÐÝ Ð Ö Ú ÐÙ × Ó ÙÖ ×Ø Ø Ø • Ì Ø ˆ Ò mn (θ, λ) Û ÐÐ ÐÓ× Ø Ö Þ Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÓ θ ¸ ××ÙÑ Ò Ø Ø λ0 × ÒØ f (yt |xt , λ) ÐÓ× ÐÝ ÔÔÖÓÜ Ñ ÓÔØ Ñ Ð ÑÓÑ ÒØ ÓÒ × ÙÐÐÝ Òغ º Ø × p(y|xt , θ), Ö¹ Ø ÓÒ× Û ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Û Ø ÖØ Ò • • Á ÓÒ ÛÓÙÐ Á ÓÒ ×ØÖ Ò Ë Ò × Ñ × ÔÖ ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÓÓ × ÒÓ Ó ÓÖ Ò× ØÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø × Ø Ø Û Ðи Ø f (·). Ö Ð Ô׳ Ü ×Ø Ê ÓÓ ³× ´ Û Ý× Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ¸ ½ ¿µ Û Ò × Û ÙÒ ÒÓÛÒ ÐÐ ÒØ ÓÖ º È Ò× ØÝ Ò Ñ Ò ¸ Ø ÙØ ÓÒ× Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐÝ ³× ´ ËÆÈ × Ø Ò ÆÝ Ø ÓÒÓÑ ØÖ ¸ ½ × Ð ÅÄ µ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ËÆÈ Ò× ØÝ ×Ø Ñ ØÓÖ Û Ò× ØÝ × ÓÒ× ×Ø Òظ Ø ×Ø Ñ ØÓÖº Ò Ý Ó Ø Ö Ø ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø º½º ÇÔØ Ñ Ð Û ×Ñ Ðк ÐÐ ÒØ Ò Ò Ø Ø Ì Ò ´Ø × × ÓÒ Ò Ì Ù Ú Ø Ò Ñ ØÖ Üº Ù× Ø Ò Ø Ø Á Û ÐÐ ÔÖ × ÒØ Ø Ø ÓÖÝ ÓÖ H Ò Ø ¸ Û Ø Ò ÔÓ×× ÐÝ º × × ×ÓÑ Ø Ñ × ÓÖÝ ÓÖ Ø ÑÔÖ Ø Ð ØÓ × Ó ×Ø Ñ Ø Ø H Ú ÖÝ Ð Ö ØÖ Ø H ×Ó Ð Ö Ø Ø Ñ Ý Ö Ò × Ó ÖÖ Ð Ú ÒØ ÓÐÐÓÛ× Ú Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð ÔÖ × ÓÒ Ó Ö ×ÙÐØ× ÔÖ × ÒØ ×Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Öµº Ì Ö º ÓÖÝ ÓÖ Ø Ì H Ò Ò Ø Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ˆ m(θ, λ) Ø Ô Ò × ÓÒ Ø Ô× Ù Ó¹ÅÄ ˆ λ. Ï Ò ÔÔÐÝ Ì ´ Á ÓÖ Ñ ¾¾ ØÓ ÓÒ ÐÙ µ Ø Ò× ØÝ Ð √ d ˆ n λ − λ0 → N 0, J (λ0 )−1 I(λ0 )J (λ0 )−1 Û Ö Ò Ò Ø Ø ØÖÙ Ò× ØÝ Ñ Ü ÑÙÑ Ð ˆ f (yt |xt , λ) ÓÓ p(y|xt , θ), Ò Ø Ò ˆ λ ÛÓÙÐ Ù Ø ØÓ Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ J (λ0 )−1 I(λ0 ) ÛÓÙÐ ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü¸ º Á Á ÆÌ Å ÌÀÇ Ç ÅÇÅ ÆÌË ´ Åŵ ¾ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÓÒÐÝ Ò ÕÙ Ð Øݺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ò Ø ÔÖ × ÒØ × Û ××ÙÑ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ê ÐÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø 0 Ø J (λ ) ÑÓÑ ÒØ ÓÒ p(y|xt , θ), ×Ó Ø Ö × ∂2 ≡ p lim ∂λ∂λ′ sn (λ0 ) . Ø ÓÒ Ò ÒÓ Ò ÐÐ Ø ÓÒº ÓÑÔ Ö Ò ¿¸ Û × Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó ˆ f (yt|xt , λ) Û Ø Ø × sn (λ) ÕÙ Ø ÓÒ J (λ0 ) = Dλ′ m(θ 0 , λ0 ). × Ò Ì ÓÖ Ñ ¾¾¸ I(λ0 ) = lim E n n→∞ ÁÒ Ø ÓÒ × × ¸ Ø Ø ÓÒ׸ × × × ÑÔÐÝ Ø Ö×Ø ÓÖ ∂sn (λ) ∂λ λ0 Ò × ∂sn (λ) ∂λ′ ÓÚ Ö . λ0 Ò Ñ ØÖ Ü Ó ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ö Ì ÝÐÓÖ³× × Ö Ω. ÆÓÛ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ √ Ø ÑÓÑ ÒØ ÓÙØ nmn ˆ (θ 0 , λ) λ0 √ √ ˆ ˆ nmn (θ 0 , λ) = nmn (θ 0 , λ0 ) + nDλ′ m(θ 0 , λ0 ) λ − λ0 + op (1) ˜ ˜ ˜ √ Ö×Ø ÓÒ× Ö nmn (θ 0 , λ0 )º ÁØ × ×ØÖ ˜ Ø ÓÖÛ Ö ÙØ ×ÓÑ Û Ø Ø ÓÙ× ØÓ × ÓÛ Ø Ø 1 0 )º ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ò Ó Ø × Ø ÖÑ × H I∞ (λ √ a.s. ˆ ˜ ˜ nDλ′ m(θ 0 , λ0 ) λ − λ0 º ÆÓØ Ø Ø Dλ′ mn (θ 0 , λ0 ) → Æ ÜØ ÓÒ× Ö Ø × ÓÒ Ø ÖÑ ×Ó Û Ú √ Ø J (λ0 ), √ ÕÙ Ø ÓÒ ˆ nDλ′ m(θ 0 , λ0 ) λ − λ0 = ˜ √ √ ˆ nJ (λ0 ) λ − λ0 , a.s. ÙØ ÒÓØ Ò a ˆ nJ (λ0 ) λ − λ0 ∼ N 0, I(λ0 ) Ö×Ø Ò × ÓÒ Ø ÖÑ׸ ÆÓÛ¸ ÓÑ Ò Ò Ø Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø √ ËÙÔÔÓ× Ó Ø Ø Ø 1 ˆ a nmn (θ 0 , λ) ∼ N 0, 1 + ˜ H ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø I(λ0 ) Ò ¹ ÓÚ Ö Ò × Ñ ØÖ Ü ÔÓÓÖ × × ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ø I(λ0 ) × ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø ÓÒ׺ Ò Ú Ì ×ÝÑÔØÓØ Ú Ö Ø × ÓÖ Ú × Ñ Ý ÓÑÔÐ Ø ÓÒØÖ Ò Ö ØÓÖ Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ ØÓÖ¸ × Ò ´× Ø Ù Ð × ÓÖ Ø ÙØ ÓÒ× Ñ Ý ÒÓØ Ò Ú Ò Þ ÖÓ Ò Ø × Ø ÓÒ ÓÒ ÉÅĵ º Ø ÓØ × Ö Ú Ò × × Ø Ð × ¸ Ø Ù Ð× Ñ Ò× Ò Û Ò Ø Ð ÙÐ Ø ÑÓ Ð ¸ Ø Ö ×ÙÐØ × Ý × ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ ×Ó × ÑÙÐ ÓÖ Ð º ÇÒ Ø ÐÛ Ý× ÔÓ×× Ò ¸ Ø ØÓ ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ Ò Ö ØÓÖ × Ø ×Ø Ñ Ø Ò ØÓ ÓÑ × Ø × ÓÖ I(λ0 ) Ò Ò Ø ÓÖÖ ØÐÝ ×Ô Ø × Û Ø Ò Ò Ø × Ò ÖÝ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø ÒØ ÅÅ Û Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü × ÓÒ× ×Ø Òغ Ø Ò Ñ ØÖ Ü Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ ¸ Û ÓÒ Ø ˆ θ ˆ ˆ θ = arg min mn (θ, λ)′ Θ Ø × Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Û Ø 1+ 1 H Ó Û I(λ0 ) Ø Ò −1 ˆ mn (θ, λ) ÒØ Ó Ñ ØÖ Üº • Á ÓÒ ÔÔÖÓÔÖ × Ù× Ø Û Ø Ø Ø Ø Ò × ÓÖ × × ÓÖ ÐÐ ÒعÆÝ Ñ ØÖ Ü Ö ÅÄ ×Ø Ñ ØÓÖ × Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÑÓ Ø Ð¸ Ø ÙÜ Ð ÖÝ × × ÑÔÐÝ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ó ÐÐÝ × ÅÄ Ø ÑÓ Ð¸ × Ò ÙÒ ÓÖÖ Ð Ø Ò Ö ØÓÖ Ò º ´ º º¸ Ø Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ×ÝÑÔ¹ Ö ¹ ØÓØ ÐÐݸ × Ò ØÖ Ö ÐÝ Û Ðеº ÙÒ ÒÓÛÒ Ò× ØÝ º ÅÈÄ Ë ¾ º¾º ÝÑÔØÓØ ×ÝÑÔØÓØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ×ØÖ ÙØ ÓÒº × Ò Ë Ò Û Ù× Ø Ú ÓÔØ Ñ Ð Û ´Ù× Ò Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ü¸ Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ ×¹ ÕÙ Ø ÓÒ √ Û Ö ˆ n θ−θ 0 → N 0, D∞ n→∞ d  ¼¸ ×Ó Û Ö ×ÙÐØ Ò 1 1+ H I(λ ) 0 −1 ′ D∞ −1  , D∞ = lim E Dθ m′ (θ 0 , λ0 ) . n Ì × Ò ÓÒ× ×Ø ÒØÐÝ ×Ø Ñ Ø Ù× Ò ˆ ˆ ˆ D = Dθ m′ (θ, λ) n º¿º ÒÓØ Ø ×Ø Ò º √ Ì Ø Ø Ø 1 ˆ a nmn (θ 0 , λ) ∼ N 0, 1 + H 1 H ˆ I(λ) −1 I(λ0 ) a ÑÔÐ × Ø Ø ˆ ˆ nmn (θ, λ)′ Û Ö ÒØ Ø Ü 1+ ˆ ˆ mn (θ, λ) ∼ χ2 (q) ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ð × × ÑÔÐÝ ´Ø Ø ÓÒ× Ø × ÓÒ Ø ÑÓ Ð × ÒÓØ × ×Ø Ø ×Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò q × ¸ ×Ó Ø ×Ø Ò × Ø dim(λ) − dim(θ), × Ò Û Ø ÓÙØ dim(θ) Ñ Ý × ÑÔÓ×× Ð º ÇÒ Ø ×Ø Ó Ø Ò ÑÓ χ2 (q) Ö Ø Ð ÔÓ Òظ ×ÓÑ Ø ØÓÔ ÛÓÖØ ÓÙØ Û Ø × ÛÖÓÒ ÛÖÓÒ Ø Ò µº ×Ñ ÐÐ × ÑÔÐ Ó Ø × ×ÓÖØ Ó Ø ×Ø ÛÓÙÐ ÒÚ ×Ø Ò • ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓØØ Ò ÖÓÑ Ø Ô× Ù Ó¹Ø¹×Ø Ø ×Ø × 1 1+ H Ò Ö ÖØ Ì Ú ÁØ Ò ÓÙÖ × Ù× Ö Ð Ø Ò ØÓ Ø ×Ø Û ˆ I(λ) Ø 1/2 −1 √ ˆ ˆ nmn (θ, λ) Ð Ù× º Ë Ò Ö Ø × ÑÓÑ ÒØ× ØÓ Ðº ÑÓÑ ÒØ× Ö ÒÓØ Û ÐÐ ÑÓ Ò Ö ØÓÖ¸ Û ØÓ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó ØÙÖ × Ó Ø ÑÓ ×ØÖ × ÓÖ Ù×Ù ÐÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ö Ú × Ò Ø ÑÓ Ð¸ Ø ÙØ × Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò × Ø Ó Ö Ò³Ø Ö ÒØ ØÙ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ÓÒ× ´Ø Ø Ø ÓÖ N (0, 1), × Ò √ ˆ ˆ nmn (θ, λ) × Ö √ × nmn ˆ (θ 0 , λ) Ø ÑÓÖ √ ˆ ˆ nmn (θ, λ) µº Ø ÓÒº Ë ×ÓÑ Û ÓÑÔÐ Ø × ÓÛÒ Ø ÖÓÙÜ Ô× Ù Ó¹Ø ×Ø Ø ×Ø × ÐÐ ÒØ Ò ÄÓÒ ¸ ½ ØÓÛ Ö Ø Ð׺ ÒÓÒÖ Øº к ¸ ÓÖ ÑÓÖ º º½º ÓÖÑÙÐ Ø Ü ÑÔÐ × Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ׺ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ׸ ÁØ Ò × Ó Ø Ò ÓÒÚ Ò Û ÑÓÖ Ò Ø ÒØ ØÓ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÓÔØ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ×ØÓ Ø ÓÖ Ø Ð ÑÓ ´ º º¸ Û ÓÖ Ðݸ ×Ø Ðݸ Ð× Ò Ø ÖÑ× Ó Ö ÕÙ Ò Ý × Ø × Ö Ñ ÛÓÖ Ì ÓÙÖÐÝ ÓÖ Ö Ð× Ó Ø Ñ Ð¹Ø Ñ µ Ø Ñ Ý ×º ×ØÓ Ø ØÖÙ ×Ø × Ö Ø Þ Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ ÔÔÖÓ × ÓÚ ¸ Ò ØÓ Ò × Ö ÑÓ×Ø ÓÑÑÓÒ Ø ÑÓ Ð¸ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ×Ø Ñ Ø Ù× Ò Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× × ØÓ × Ö Ø Þ Ø ´Û Ò Ú Ö× ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö¸ × Ò Ú Ö× ÓÒ Ó Ø Ò ÑÓ Ð × Ö Ø Þ Ø ÓÒ × ÓÒÐÝ × ÒÓØ Ð ÙÐ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ò Ö Ø Ò × Ö Ø ¹Ø Ñ Ò Ö Ð × ÑÓ Ð µ¸ Ø × ØÓ Ù× ×Ø Ñ ØÓÖ × Ò Ö Ò Ì Ò ÓÒ× ×Ø Òغ × Ø × ÓÖ ÔÔÖÓÜ ¹ × Ö Ø Þ Ò Ø Ð × Ù× × Ö Ø Þ Ò Ö ØÓÖº Ì Ñ Ø ÓÒ Ø ×¸ ÓÒ ×Ø Ñ Ø × Ý ÉÅÄ ØÓ Ó Ø × ÓÖ × Ó Ø º ÅÈÄ Ë ¾ yt − yt−1 = g(φ, yt−1 ) + h(φ, yt−1 )εt εt ∼ N (0, 1) ÁÒ Ø Ø × × ÓÖ × Ý ˆ mn (θ, φ). Ì Ò Ø ×Ý×Ø Ñ Ó ×ØÓ ×Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ× dyt = g(θ, yt )dt + h(θ, yt )dWt × × ÑÙÐ Ø ÓÚ Ö θ¸ Ò Ø × ÓÖ × Ö Ð ÙÐ Ø Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ø × ÑÙÐ Ø ÓÒ× 1 ˆ mn (θ, φ) = ˜ N ˆ θ × Ó× Ò ØÓ × Ø Ø × ÑÙÐ Ø × ÓÖ × ØÓ Þ ÖÓ N ˆ min (θ, φ) i=1 mn (θ, φ) ≡ 0 ˜ ˆ ˆ ´× Ò Ì Û Ý× Ó θ Ò φ Ø Ö Ó Ø × Ñ Ñ Ò× ÓÒµº Ø ×ØÓ Ó Ò ×Ø Ú ÖÝ Ö ÒØ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ö Ö Ñ ÒÝ × Ñ Ø Ó Ó Ò Ö ÕÙ Ö × × ÑÙÐ Ø Ò ×º × ÐÐݸ Ø Ý ÒÚÓÐÚ × Ö Ø Þ Ø ÓÒ× yt+τ = yt + g(θ, yt ) + h(θ, yt )ηt ηt ∼ N (0, τ ) Ý × ØØ Ò Ì τ Ö Ú ÖÝ ×Ñ Ðи Ø Ñ Ø Ó Ö× ´× × ÕÙ Ò Ó Ù× Ò ÐÐ ÒØ Ò Ó Ò ηt ÔÔÖÓÜ Ñ Ø × Ö Ò Ò ÐÐ ÒØ Ö Ñ Ø Ó ÓÖ ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ ÖÐÝ Û Ðк Ö ÒØ Ð ÕÙ ¹ × Ö × × × ÓÒÐÝ ÓÒ Ö ÓØ Ö Ø Ò ÄÓÒ ¸ ½ × Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÖÓÙÜ ÄÓÒ Ø ÓÒ׺ Ì ÓÙÖ Ò Øº кµº × Í× Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð ØÝ × Ò Û Ø × ÓÖ ÓÖ × Ó Ø ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ð Ò Ö ØÓÖ Ñ Ý Ò× ØÝ Ú Ò ÒØ Ö ×Ø Ò Ò Ø ÔÓ×× ¹ ÑÓ Ð¸ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ø × Ö ÓÚ Ø × ÓÖ ÐÐÓÛ× ÒÓ×Ø Ø ×Ø Ò º ÁÒ Ø × Ñ Ñ Ò× ÓÒ × × Ò Ö ØÓÖ³× Ð º Ö ÙØ ÅÅ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö φ θ, ×Ó ÒÓ×Ø Ø ×Ø Ò × ÒÓØ ÔÓ×× × × Ø ÓÒ ÓÒ× Ò ÓÖ Ø Ø Ò × º¾º Û ³ÐÐ ÐÓÓ Ø ÓÒ Ø Ø ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ì Ö × ×ÓÔ ×Ø Ø ÙØ Ø ÑÓ Ò ÓÔ Ø ×ÓÑ ÓÐÐÓÛ× Ø Ö Ø × ÑÔÐ ¸ ÔÖÓ È × Ö Ø Ó ÑÓ Ô ÙÐÐÝ Ì Ð Ý ÐÐ ÒØ º Ø Ó ÑÑ Ðº Ì ÁÒ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ò Ì Ù Ð ×¸ ÔÖÓ ÔºÑ Ò Ö Ø × Ðº ÑÓÑ ÒØ×ºÑ Ô ×× × × Ð ÅÅ ÑÓÑ ÒØ Ø ÓÒ׸ Û × ÓÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ö ØÓÖ Ò ÅÅ Ö ÙÑ ÒØ׺ Ì Ù׸ Ø × × ÒØ Ö ×Ø Ò ¿ Ò × Ø Ò Ö ØÓÖ × Ó Ø Ö Û× Ò ÚÓ ÒÓ٠ȸ Ò ØÓ Ò Ò Ò Ö Ð ÔÙÖÔÓ× Û ÖÖ ÒØ ×ÓÑ Ø Ð Ò × ÓÖ Ø Ì Ø Ö Ö ÙÑ ÒØ× Ò ¸ Ò Ø× ÑÓÑ ÒØ ÓÒ × Ù×× ÓÒº ØÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒº Ì Ð ×Ø Ò Ú ÐÙ Ø Ö Ò º ÆÓØ Ò Ø ÔÔ Ö Ö× Ò Ä ×Ø Ò Ò º Ì ½¼ Ü Ò Ø Ò Ð Ò ½ º½º Ä Ò º Ì × ÓÖ Ö ÙÑ ÒØ× Ò Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ø Ù× ½ ¸ ÉÅÄ ÓÛ Ø ÙÖ Ò ×Ø Ñ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ØÓ × ÑÙÐ Ø ØØ Ö Ò º Ò Ö ØÓÖ × Ö Ô ×× Û Ø Ø Ø Ö Ø × Ò Ð Ò Ø ¸ Ò Ö Ø Ö Ò ÓÑ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ØÓ Ó Ø Ø × ÑÙÐ Ø × ÑÙÐ Ø Ò Ö ØÓÖ¸ Û Ò Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ú Ø Ú ¾¼ Û × ÓÖ Ò Ö ØÓÖ Ù× Ò Ø × ÓÖ × Ð ÙÐ Ø Ø ½ º ÁÒ Ð Ò Ø ÓÒ× Ø Ø Ø Ú Ö × ÓÖ × Ó ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÙÖÒ׺ ½ ¾ ¿ ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÖ × ÑÑ ÑÓÑ ÒØ×´Ø Ø ¸ Ø ¸ ÑÓÑ ÒØ Ö ×µ ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß½ Ô ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß¾ Ø Ø Ò Ö Ø Ò ÔÖÓ ×× ´ ȵ Ô Ö × ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß¿ Ø× Ö ÙÑ ÒØ× ´ ÐÐ ÖÖ Ýµ × ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß Ø × ÓÖ Ò Ö ØÓÖ ´Ë µ º ÅÈÄ Ë ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ × ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß Ë Ö ÙÑ ÒØ× ÑÓÑ ÒØ Ö ×ß ÉÅÄ ×Ø Ñ Ø Ó Ø ´ ¸½µ Ø ´ ¸¾ ·½µ Ö Û× Ø ´ ¸ ·¾ ÓÐÙÑÒ×´ Ø µµ ÖÓ×× Ø Ö Ø ÓÒ× Ò ÖÓÛ״ݵ × ÓÖ × Þ ÖÓ×´Ò¸ÖÓÛ×´Ô µµ ÓÒØ Ò Ö Ô× ÓÐÙÑÒ×´Ö Ò Ö Û×µ ÓÛ Ñ ÒÝ ÓÖ ½ Ö Ô× Ö Ò Ö Û×´ ¸ µ Ý Ú Ð´ Ô¸ Ø Ø ¸ ܸ ¸ Ô Ö ×µ × Ø Ý Ü℄ × ÑÙÐ Ø Ø ÓÖ × ÓÖ × × ÓÖ × · ÒÙÑ Ö ÒØ´× ¸ ßÔ Ò ÓÖ × ÓÖ × × ÓÖ × » Ö Ô× Ú Ö ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ × Ö Ô Ý Ü Ö Ò ´ ÐÐ ÖÖ Ýµ Ë Ô Ö Ñ Ø Ö Ô ×× Û Ø Ø ØÓ Ò×ÙÖ Ü Ö ÓÖ ÑÓÑ ÒØ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ× × ÑÙÐ Ø ÓÒ× × ÑÙÐ Ø Ë ¸ × Ø Ö ÒØ Ó Ë Ø ¸ × Ö × µ ÒÙÑ Ö Ó × ÑÙÐ Ø ÓÒ× Ä ×Ø Ò ½ º½ Ì ÑÓ Ð Ð × Ø ÑÑ × ÓÖ Ü ÑÔÐ ºÑ Ô Ö ÓÖÑ× Ò Ö ØÓÖº Ì ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ò Ö ÔÖÓ Ø ÑÓ Ð¸ Ù× Ò ÐÓ Ø Ö ×ÙÐØ× Û Ë ÓÖ ËÅÁÆ Í× Ò Ö ØÓÖ Ö ×ÙÐØ× Ò Ð Ö ×ÙÐØ× ÒØ Ò ÐÝØ Ö ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ ËÌÊÇÆ ÇÆÎ Ê Æ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ ½ È Ö Ñ ÓÒÚ ½ Ö ÒØ ÓÒÚ ½ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¼º¾ ½ ½ ËØ Ô× Þ ¼º¼¾ ½ Ø Ö Ø ÓÒ× ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ Ô Ö Ñ ½º ½º ½º ½¾ ½º ½º ¿¿ Ö ÒØ Ò ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¹¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ÅÓ Ð Ö ×ÙÐØ× ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÅÅ Ü ÑÔÐ ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× Ë ÓÒÚ Ö Ò ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò º ÅÈÄ Ë ¾ ¼ Ç Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ½¼¼¼ Ü ØÐÝ ÒØ ¼º¼¼¼¼¼¼ ¸ ÒÓ ×Ô º Ø ×Ø ×Ø Ñ Ø ×غ ÖÖ Ø¹×Ø Ø Ô¹Ú ÐÙ Ô½ ½º¼ ¼º¼¾¾ º ½ ¼º¼¼¼ Ô¾ ¼º ¿ ¼º¼¾¾ ¾º¾ ¼ ¼º¼¼¼ Ô¿ ½º¼ ¼º¼¾¾ º ¿¼ ¼º¼¼¼ Ô ½º¼ ¼ ¼º¼¾¾ º¼ ¼º¼¼¼ Ô ¼º ¼º¼¾¿ ½º ¿ ¼º¼¼¼ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÁØ Ñ Ø ÒØ Ö ×Ø Ò ØÓ ÓÑÔ Ö Ò Ý Ó Ø Ø ÅÅ ×Ø Ò Ö ÖÖÓÖ× Û Ø ÓÙÐ Ø Ó× Ú Ò Ó Ø Ó Ò ÖÓÑ ÅÄ ÖÐÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ØÓ ×Ø٠ݺ ×Ø Ñ ØÓÖº ÇÒ ÅÓÒØ º ÅÈÄ Ë ¾ ½ Ü Ö × × ´½µ ´¾µ Ó ËÅÄ Ó ÔÖÓ × Ð ØØÐ Ø ÑÓ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÅÓÒØ Ðº ÁÒÚ ×Ø ÔÖÓ Ø ÑÓ Ðº Åĸ ËÅÄ Ò ÅÅ Ø Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ × ÑÙÐ Ø ÓÒ¹ ÖÐÓ ×ØÙ Ý ØÓ ÓÑÔ Ö Ø ÓÛ Ø ÒÙÑ Ö Ó × ÑÙÐ Ø ÓÒ× ×Ø Ñ ØÓÖ׺ À ÈÌ Ê ¾¼ È Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÖÓÛ× Ò Ó Ú ÐÝ ÖÓÑ Ö ÙØ Ø Ö ÓÖ ÓÒÓÑ ØÖ × Ð ´¾¼¼ µº Ù Ø ÓÒ Ò Ø Ø × Ø Ø Ñ Ñ ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ò Ö ×ÓÒ Ø ÓÑÔÙ¹ Ø Ô Ö ÐÐ Ð È Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ø Ø ÓÒ׺ Ì ÓÑÔÙØ Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ö× ÑÔ × × Û Ðй ÒÓÛÒ¸ Ñ Ý ØØÖ Ø Ú Ø ½º × × × Ò ØÓ Ù× Ö׺ ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø ¸ Ø Ò ÆÓÚ Ñ ÁÒØ Ð È ÒØ ÙÑ ÁÎ ´Ï ÐÐ Ñ ØØ µ Ö Ó ¾¼¼¼º Ì È ÒØ ÙÑ ÁÎ Ö Ó ¾¼¼¾º Ò ØÛÓ Ý Ò Ö׺ ÔÖÓ ××ÓÖ¸ ÖÙÒÒ Ò ÀÞ¸ Û × ÒØÖÓ Ù Ø ¿º¼ Ó ´ÆÓÖØ ÛÓÓ ¹À̵ ÔÖÓ ××ÓÖ¸ ÖÙÒÒ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÜØÖ ÔÓÐ Ø Ò ÑÓ ÓÙ Ð Ò Ø × Ó Ø ÀÞ¸ Û × ÒØÖÓ Ù ÓÑÑÓ ØÝ Ò ÆÓÚ Ñ ÔÐ Ô Ö ÓÖÑ Ò ÐÝ ÖÓÙ Ò ÈÍ ØÓÓ Ñ ØØ ×Ò Ô× ÓØ Ó Ø ØÓ Û Ø ÑÓÖ Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ò º Ý Ö× Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ò ÔÙÖ × Ó Óѹ Ò Û ØÝ ÔÖÓ ××ÓÖ׸ ÓÒ Ò ÛÓÙÐ ÓÑÔÙØ Ö ØÓ Ó Ø Ø × ½¼¹ ÓÐ Ø ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò º Ì ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÒ Ú Ð Ð ÓÑÔÙØ Ö׺ Ø Ñ Ý Ñ Ò Ú Ü ÑÔÐ × Ò ÑÑ Ø Ðݸ ÔØ Ö × ÓÛ Ø ×ØÖ ÙØ ½¼¹ ÓÐ Ù× Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò × × ÛÖ ØØ Ò Ò ¾¼¼ µ Ê ÒØ ´Ø ØÖ Ø Ú Ø ØÓ Ú ÐÓÔÑ ÒØ× Ø Ö Ö× Û Ó ×ØÖ Ð ÙØ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ö×Ø × Ø × ÒÓØ ÒÓØ ×¸ ÝÓ٠ع Ø ÖÓ ÙÔ Ø Ö ×Ô ØÖÙÑ Ó Ö × Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ׺ Ì Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò ÓÑÔ Ò ÝÓÙ × Ø Ú × Ø × ØØ Ò Ö Ù× Ò ÐÙ×Ø Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö× ÓÖ È Ö ÐÐ ÐÃÒÓÔÔ Ü Û Ý Ø Ó ÖÓÑ Ö ÖÒ Ø Ø Ò Ð º Ë ÓÓØ ÙÐغ Á Ö Ð ×× Ø ÝÓÙ Ø Ò ½¼ Ñ ÒÙØ × Ò Ò ÐÙ×Ø Ö¸ ×ÙÔÔÓ× Ò Ø × ÓÒ Ðº ÓÑÔÙØ Ö ÖÓ××ÓÚ Ö Ü ×Ø Ò ½ È Ö ÐÐ ÐÃÒÓÔÔ Ü ØÙØÓÖ Ó Ø × ÓÒ Ú ÐÓÔ¹ ´ÀÄÅȵ × Ð Ò¹ Ñ ÒØ × Ø Ð Ò Ù Ù ×º × Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ØÓ ×ÓÑ ¹Ð Ú Ð Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ø Ö ÐÐÓÛ Ø × Ø ×ÔÖ Ñ Ý Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÓÒ Ó Ô Ö ÐÐ Ð ×Ñ ÒØÓ ÔÖÓ Ö Ñ× ÛÖ ØØ Ò Ò Ø Ó Ù Ð ÒØÓ Ö ØÓÐ Ò ÕÙ ¹ ÓÖ ÈÍ׸ ×Ó Ø Ø Ò ÓÖ Ò ÖÝ ØÓ Ø × ØÓÔ ÓÖ Ö ÓÒ Ð ÔØÓÔ ÓÑÔÙØ Ö Ò × Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒÐ ×× Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ö Ñ Ò ¹ ÐÙ×Ø Öº Ì Ó× ÓÛ ØÓº ÓÖ × ÛÓÒ³Ø ÛÓÖ Ü ÑÔÐ × Ó Ó Ù× Ó ÔÖÓ Ö Ñ׺ ÒØ Ö Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× Ó × ÓÒ Ø Ø ÖÙÒ ÔÓ×× × Ú Ö Ð Ñ Ð ØÝ Ó Ú Ò×ØÖ Ò Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ× Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ò Ù× Ö× Ó Ü ÑÔÐ × ÔÖÓ Ö Ñ× Ø Ó ÖÓÑ Ò Ø ÖÐÝ Á Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÒØ Ö Ò Ø Ø Ø × ÒØ Ð ØÓ Ø Ú ÒØ Ó Ø Ö Ò׸ ÕÙ Ú Ð ÒØ × Ö Ð Ú Ö× ÓÒ׸ Ù× Ö× Û ÐÐ ØÓ Ù× Þ Ö ×Ý ØÓ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò ³× Ô Ö ÓÖÑ Ò º Ï ÅÈÁ ÌÓÓÐ ÓÜ ´ÅÈÁÌ Ð×Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ô ÙØ × Ó Ø × µ ÓÖ Ç Ø Ú ¸ ÓÖ Çܸ ʸ Ò Ý ÓÒØ ÒÙ Ý Ç Ø Ú ¸ Ø Ð ÓÑ ÖÓ Ó Ú ÒØ ´¾¼¼ µº Ì ØÓ Ó Ö ÖÒ Ò Ø Ðº Ð ÈÝØ ÓÒ Û Ü ÑÔÐ × Ò׺ Ñ Ý Ø ÑÓ×Ø ÒØ Ö ×Ø ×× ÓÒÓÑ ØÖ × ÛÖ Ø Ò ¸ Ø ÓÖ ÓÐÐÓÛ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÓÒÓÑ ØÖ ½º Ì × × Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù × Ò Ü ÑÔÐ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ò ØÙÖ Ð Û Ýº Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ× ÔÖÓ Ð Ñ× ÖÓÑ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ò × ÓÛ× ÓÛ Ø Ý Ò ½ Ý ¹Ð Ú Ð Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù ×¸ ÄØ ºµ¸ Á Ñ Ò Ò Ð Ò Ù ÆÍ Ç Ø Ú × ×Ù ÁÒ ºµ¸ ÇÜ ´ÌÅ ÇÜÅ ØÖ × Ì ÒÓÐÓ ´ÛÛÛºÓ Ø × Å ÌÄ Ú ºÓÖ ´ÌÅ Ø µ¸ ÓÖ Å Ø ÛÓÖ ×¸ Ü ÑÔÐ º ¾ ¾ ½º ÅÈÄ ÈÊÇ Ä ÅË ¾ ¿ ½º½º ÅÓÒØ Ñ ÒÝ Ø Ñ × ÙÒ ×ØÙ × Ö Ö ÖÐÓº ÅÓÒØ ÖÐÓ ×ØÙ Ý Ø ÓÒ׺ Ë Ú Ö Ð ÒÚÓÐÚ × Ö Ô ÙØ ÓÖ× ÓÓÖÒ Ú Ø Ò ÒÓØ ¾¼¼¾ Ö Ò ÓÑ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÖÐÓ ÒØ Ð ÓÒ Ø ÅÓÒØ Ó Ú ÓÙ× Ò Ø × ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ ´ ÓÒ Ò Ô Ò Ø Ðº Ø ×Ø ØÖ ÖÙ ¸ ¾¼¼¿µ × Ò Ø ¸ ÐÓ × Ó Ö ÔÐ Ø ÓÒ× Ò Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÅÓÒØ ÒØÐÝ ÓÒ Ù× × Ñ ØÖ Ö ÒØ ÓÑÔÙØ Ö׺ ÌÓ ÐÐÙ×ØÖ Ø Ü ÑÔÐ × Ó ÓÓÖÒ ÖÐÓ ×Ø٠ݸ Û ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ × Ö Ðº غ Ó ´¾¼¼¾µº ØÖ Ø ×ØºÑ × Ö Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Ø Ø Ð ÙÐ Ø × Ø Ø ×Ø ×Ø Ø ×Ø Ó Ø ÓÖ Ø ÓÖÑ Ø Ø Ð Ó ÒØ ×º Ì × ÙÒ Ø ÓÒ × ÐÐÙ×ØÖ Ø Ú Ø Ö Ú × × Ò Ð Ø Û ÓÔØ ÓÖ ÅÓÒØ Ò Ø Ö ØÙÖÒ× ÖÐÓ × ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÖÓÛ Ú ØÓÖ Ø × × Ö Ó × Ö × × ÐÐ Ò Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ó ÐÐ ØÝÔ ¸ × Ò Ð ÓÐ × Ø Ø Ö ×ÙÐØ× Ó ÓÐ × Ø ÓÒ Ö Ò ÓÑ × ÑÙÐ Ø ÓÒº Ì Ó Ø × Ö × Ò Ø× Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø Ò Ø ÒÙÑ ÖÖ Ý Ø × ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ð Ò Ø Ö×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ¸ ÔÓ× Ø ÓÒº ÁØ Ò Ò Ö Ø × Ö Ò ÓÑ Ö ×ÙÐØ Ø ÓÙ ÖÓÛ Ú ØÓÖ ´ Ò Ø × ÔÖÓ ×× Ø × Ø Ñ Ø ×Ø Ø Ø × ÒØ ÖÒ Ð ØÓ Ø Ö ×ÙÐØ × × Ð Öµº × Ø Ö ÔÓÖØ× ×ÓÑ ÓÙØÔÙØ Ò Ü ÑÔÐ ½ºÑ Ø × Ø ÐÝ Ò Ç Ø Ú Ø × Ö ÔØ Ø Ø Ü ÙØ × ÅÓÒØ Ñ ÖÐÓ ×ØÙ Ý Ó Ò Ø Ò Ï Ø ØÖ ÓÙØ Û Ø ¿ Ý Ö Ô Ú ÐÙ Ø Ò Ò ØÖ Ø ×ØºÑ ½¼ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒº Ì ØÓ ÒÓØ Ò ÐÐ × × Ö ÔØ Ö ÙÑ ÒØ׸ Ø Ð Ò × ¸ ÙÒ Ø ÓÒ Ü ÙØ × × Ö Ò ÐÐ × Ø ÑÓÒØ ÖÐӺѺ ÐÐÝ ÓÒ Ø ÓÙÖ Ø × Ò Ð Ò Ö Ö Ó × ÑÓÒØ ÖÐ Ó×Ø× ØÓ Ù× º Ï ÓÑÔÙØ Ö Ø × ÐÐ Ö ÙÑ ÒØ׸ Ø ÅÓÒØ Ð ×Ø ÖÓѺ Ö ÙÑ ÒØ ÁÒ Ð Ò × Ø ½¼¸ Ø ÒÙÑ ÓÙÖØ Ö ÙÑ Òغ Ï Û Ø ×Ð Ú Ø ÖÙÒÒ Ò ÓÖ × ÖÐÓ ×ØÙ Ý ÓÒ ÓÒ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÖ ÑÓÖ ×Ð Ú ÔÖÓ ××ÓÖ× × ØÖ Ò×Ô Ö ÒØ ØÓ Ø Ù× º Ù× Ö ¹ ÑÙ×Ø ÓÒÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ö× ØÓ ½º¾º Åĺ ÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö × ÓÖ Ð ×¸ Ø × ÑÔÐ Ñ Ü ÑÙÑ Ð {(yt , xt )}n Ð Ó ÓÓ n Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Ó ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø × Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ò ÒØ Ò Ò Ü¹ θ Ò ˆ θ = arg max sn (θ) Û Ö sn (θ) = À Ö ¸ ÓÒØ 1 n n t=1 Р׸ ln f (yt |xt , θ) Ò Ø ÑÓ × Ò Ð Ñ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ × Ò Ò ÒØÓ ×ÙÑ× ÓÚ Ö yt Ñ Ý × Ó Ú ØÓÖ Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö xt Ñ Ý ÐÓ × Ò Ð yt º × ËÛ ÒÒ ´¾¼¼¾µ ÔÓ ÒØ× ÓÙظ Ø Ü ÑÔÐ ØÛÓ ÐÓ × Ó Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ ÓÖ sn (θ) = Ò ÐÓ ÓÙ×Ðݸ Û ÓÒ ÑÐ Ó Ø × Ø Ò Ø ÓÖ Û Ø ØÓ Ù× Ò 1 n Ò n1 t=1 ÙÔ ØÓ ÐÓ n ln f (yt |xt , θ) n ÐÓ ×º + t=n1 +1 Ò ÓÐÐÓÛ Ò ln f (yt |xt , θ) ËÛ ÒÒ¸ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò Ý Ð ÙÐ Ø Ò ÓÒ × Ô Ö Ø × Ö ÔØ Ø Ð Ø Ø ÓÑÔÙØ Ö׺ Ø Ð ÙÐ Ø × Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð Ð ÓÓ × ×Ø Ñ ØÓÖ ×ØÖ ÙØ Ü ÑÔÐ ½ºÑ × Ò Ç Ø Ú ÑÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ó ÈÓ ××ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ú Ö × Ö Ð Ú ÐÙ Ò ÖÝ × Ö ¸ Ø Ó Ø Ò Ñ Ó Ø ××ÙÑ × Ø Ð ¸ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ×ÓÑ ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö Ø Ú Ö Ð ×º ÁÒ Ð Ò × ½¹¿ Ø Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ × ÔÖÓÚ ¸ Ø Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ × × Øº ÁÒ Ð Ò ÅÄ Ò Ð Ø ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Û Ø Ö ÙÑ ÒØ× × ÜØ ÑÐ × Ñ ÓÐ ÑÓ Ð¸ ×Ø Ñ Ø Ô Ð Ö× Û Ö Ò Ø Ö ÓÖÑ× Ð Ð ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙÖØ × Ø¸ Û ÙÒ Ø ÓÒ × ÐÐ ÓÔØ ÓÒ× Ö ÙÑ ÒØ׺ Ì ÑÔØÝ ÔÐ ÒÙÑ ÑÐ ×Ø Ñ Ø Ó Ñ Ý Ö ÙÑ ÒØ × Ø Ö Ó ×Ð Ú ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÑÔÙØ Ö× ØÓ × ÒÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ú Ò ØÓ ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ü ÙØ ÓÒ¸ ½ Ò Ø ¹ Ø × × º Ô Ö×ÓÒ Û Ó ÖÙÒ× Ø × ØÖ Ò×Ô Ö ÒØ ØÓ Ø Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ù× Ö¸ ÝÓÒ ½º ÅÈÄ ÈÊÇ Ä ÅË ¾ × Ð Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ×Ð Ú Û Ø ÓÑÔÙØ Ö׺ Ï Ö ÒØ Ðº Ö ÒØ Ð Ð Ò Ü ÙØ ¸ Ø × × Ö ÔØ ÔÖ ÒØ× ÓÙØ Ø ×Ø Ñ Ø × Ø Ú Ö Ø Ð × Ò Ø Ø Ô¸ ÒÓØ Ò Ø ÁØ × ÛÓÖØ ÓÓ Ð Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ý ÓÓ Ù× × ÝÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÑÓ Ð ÔÓ ÒØ ØÓ Ö ÒØ ÙÒ Ø ÓÒº Ì º Ì Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø× Ð ÙÒ Ø ÓÒ × Ø Ò ÖÝ Ç Ø Ú Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ù× Ò ÒÝ Ð Ö × Ö Ø Ø × ÒÓØ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ð ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ô Ö ÐРк Ð Ò Ù ÓÖ º × ÑÔÐ ÑÐ × Ø ×Ø Ñ Ø ÔÔÖÓÔÖ ÓÒÐÝ Ð ÖÒ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ ÓÓ ÒÔÙØ»ÓÙØÔÙØ ×ÝÒØ Ü ÓÛ ØÓ ÛÖ Ø Ø Ð Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÓÖ Ç Ø Ú Í× Ö× Ò ½º¿º Ò × Åź × ÓÚ ¸ Ø ÅÅ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö θ Ò ˆ θ ≡ arg min sn (θ) Θ Û Ö sn (θ) = mn (θ)′ Wn mn (θ) Ò mn (θ) = Ë Ò 1 n n t=1 mt (yt |xt , θ) ÓÑÔÙØ ÐÓ Û × ¸ Ù× Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ ¾ mn (θ) × Ò Ú Ö ¸ Ø Ò Ó Ú ÓÙ×ÐÝ ÐÓ × ´ µ mn (θ) = Û × ¸ Û Ö ÒØ Ñ ÑÑ Ñ Ý Ò º Ò 1 n ÙÔ ØÓ n1 t=1 n mt (yt |xt , θ) + t=n1 +1 ÓÙÐ mt (yt |xt , θ) ÔÓØ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ä n ÐÓ ×¸ Ó Û Ü ÑÔÐ ½ºÑ × Ò Ø × Ö ÔØ Ø Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø × ÓÛ ÅÅ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ñ Ý Ö ÒØ Ð ÙÔ ØÓ Ø Ö × Ø Ø ÓÒ Ò × Ö ÓÒ × Ö ÐÐÝ ÓÖ ÓÖ Ò Ô Ö ÐРк Ï ÓÒÚ Ö Ò Ó Ø × × ÖÙÒ¸ Ø Ø × Ò Ø Ø Ô × Ñ ØÓÐ Ö Ò Ò Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒ ÖÓÙØ Ò º Ì ÔÓ ÒØ ØÓ ÒÓØ Û Ý Ù× Ö Ò Ò¸ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ú ÖØÙ ÐÐÝ Ø ¸ Ù× Ò Ð Ò × Ú Ö Ò Ð ½¼¸ × ¹ Ò Ö × Ø × Ø Û ÐÐ ×Ø Ñ Ø ÐÐݺ ÒÝ ÑÓ Ò Ò Ø ÑÑ ×Ô Ú ÐÙ ×Ø Ñ Ø Ý Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ð Ò ×Ø Ñ Ø Ý Ò ÓÖ Ö ÑÓ × ÓÒ ÑÓÑ ÒØ× ÑÓÑ ÒØ× Ú Ö ÒØÙ Ø Ú Ö ÒØ ÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ð º Ì ÑÓÑ ÒØ× Ø Ö ÔÓ ÒØ× ØÓ × Ø Ò ÖÝ Ç Ø Ú Ð× Ù× Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø × ÑÔÐ × Ö ÐÐÝ Ò Ø Ù× × ÒÓ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ ×Ó Ù× Ö× Ò ÛÖ Ø ÀÄÅÈ ×ÝÒØ Ü Ó × Ú ÒØ ÓÒ × Ö Ç Ø Ú º Ï ×Ø Ñ Ø ÓÒ ¹ Û Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÖ ÓÖ Þ ÖÓ¸ × Ô Ò × ÓÒÐÝ Ø Ý ÙÐØ ÒÓ Ö ÙÑ ÒØ ØÓ ÐÐÝ Û Ø ÓÒ ÑÑ ×Ø Ñ Ø ÔÖÓ ××ÓÖº Ï Ò Ø × Ñ ×× Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ × Ø ÒÙÑ Ò Ø × ÔÓ× Ø Ú ¸ Ø ×Ô Ö Ó ×Ð Ú × ØÓ Ù× º Ì Æ Ö Ý ¹Ï Ø×ÓÒ ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒ ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ÙÒ ¹ ½º º à ÖÒ Ð Ö Ö ×× ÓÒº Ø ÓÒ g(x) Ø ÔÓ ÒØ x × g (x) = ˆ n n t=1 yt K [(x − xt ) /γn ] n t=1 K [(x − xt ) /γn ] ≡ Ï Ø ×Ø × Ø Ø Ø Û Ø × ÑÔÐ Ô Ò × ÙÔÓÒ Ó × Þ wt yy t=1 Ú ÖÝ ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ò Ø × ÑÔÐ º ÌÓ Ð ÙÐ Ø Ø Ö Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò n, ÓÒ Ø ØÓ ×Ô 2 Ö Ó n k Ð ÙÐ Ø ÓÒ× ÑÙ×Ø Ð ×¸ ÓÒ ¸ Û k Ø Ñ Ò× ÓÒ Ó Ø Ú ØÓÖ Ó Ù× ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö xº Ê Ò ´¾¼¼¾µ ÖÒ Ð Ö ÑÓÒ×ØÖ Ø × Ø Ö ×× ÓÒ ÅÈÁ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ò ÙÔ Ð ÙÐ Ø ÓÒ Ó Ø ×Ø Ñ ØÓÖ ½º ÅÈÄ ÈÊÇ Ä ÅË ¾ ÙÖ ½º ËÔ ÙÔ× ÖÓÑ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 nodes 8 10 12 MONTECARLO BOOTSTRAP MLE GMM KERNEL Ý Ð ÙÐ Ø Ò Ø Ø× Ö º ÓÖ ÔÓÖØ ÓÒ× Ó ÖÒ Ð Ò Ø × ÑÔÐ × Ø ÓÒ Ö ÒØ ÓÑÔÙØ Ö׺ Ï ÓÖ × Ö Ð Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÐÐÓÛ Ø ÖÒ Ð Ö × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ × ÓÒº Ë Ö ÁÒ Ð Ò ÒÓ ×º Ì Ü ÑÔÐ Ò ½ ¸ Ð Ü ÑÔÐ ½ºÑ Ý × ØØ Ò ¸ ×Ó × Ö ÔØ ÒÙÑ × Ö ×¹ ½ º Ü ÙØ ÓÒ × Ó Ø × Ò Ð ×Ð Ú Ö Ó ×Ð Ú × ÕÙ Ð ØÓ Þ ÖÓ¸ Ò Ð Ò Ñ ×Ø Ö Ò × ×Ô Ü ÙØ ÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ Ð ÓÒ Ø ×Ð Ú ÔÖÓ Ö Ñ× × ÓÛ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Ñ Ý Ú Ò ÑÓ×ØÐÝ ÓÖ ÙÒ ×Ô Ò ÖÓÑ Ö×Ø Ò Ò Ù× Ö׺ º × Í× Ö× Ò Ì Û ÐÐ Ö ÓÒ ×Ô ×Ø Ø ÖÓÑ Ô Ö ÐÐ Ð Þ Ø ÓÒ Û Ø ÓÙØ Ò Ó Ø Ò Ö ÙÖ ÐÝ Ô Ò ØÓ ÛÖ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ó Ø Ò ¸ ÙÔ× ÓÒ × Þ Ó Ø Ò Ö ÒØ ÙÔÓÒ Ø Ò ØÛÓÖ ¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÙ×Ø Ö¸ Ø Ð ´¾¼¼ µº Ò Ý Ó Ø Ø º ÒÓ ËÓÑ Ü ÑÔÐ × Ó ×Ô ÙÔ× ÔÖ × ÒØ ÐÙ×Ø Ö Ó ½ Ö ÔÖÓ Ù × ×Ô ×Ô ØÓ ÙÔ Ò × ÙÔ× ÓÖ ×ÓÑ ÓÖ Ø ÓÒÓÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ× Ø Ñ ØÓ Ò × Ø Ø Ø ½¾ × ØÓÔ ÓÑÔÙØ Ö׺ Ì ÒÓ ÙÔ׸ Ú × Ð Ò Ý Ø Ñ Ø Ñ Ò Ø k × × Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÝÓÙ Ò Ö Ø Ö ×Ô × Ò Ð ×Ô ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ k ÒÓ ×º ÆÓØ Ø ½¼ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº ÁØ³× ÔÖ ØØÝ Ó Ú ÓÙ× Ø Ð Ö Ö ÐÙ×Ø Ö¸ ÓÖ Ø Ñ Ø ÑÙ ÙÔ× ÓÙÐ Ó Ø Ù× Ò ÖÖ ×× Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÐÓ Ö Ô Ý ½℄ ÖÙ Ô Ô Ö¸ ¾℄ Ö ¸ ź ´¾¼¼¿µ Ò Ò Ð Å Ö ÒÓØ Ø× ÓÒ Ñ Ö ×× Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ù× Ò ÓÒÓÑ ×º ÓÒÓÑ ØÖ Ü ÑÔР׸ ÇÔ ÒÅÓ× Ü Ò Çܸ ÛÓÖ Ò ÖÓÙÔ¸ ÄÓÒ ÓÒ Ë ÓÓÐ Ó ÒÓÑ ×¸ κ ¾ ÓÓÖÒ ¸ º ÙØ Ð¸ ź ´¾¼¼ µ Í× Ö¹ Ö Ò ÐÝ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Û Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ó¹ ÓÒÓÑ ØÖ × Ù× Ò ¸ ÔÔº ½¼ ¹½¾ º º¸ º º À Ò ÖÝ Ò Æº Ë Ð Ò Ù Ô ¸ ¿℄ ËÖ × ℄ ×ØÖ Ñ ØÖ Ü¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ¹½¾ º º È ÐÓ×ÓÔ Ð ÌÖ Ò× Ø ÓÒ× Ó Ø ÊÓÝ Ð ËÓ ØÝ Ó ÄÓÒ ÓÒ¸ Å»ÅÈÁ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò ÙÒ Ö ÆÍ Ç Ø Ú ¸ Ö ´¾¼¼¾µ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐݹ ÒØ Ò× Ú ¸ ¿ ¼¸ ½¾ Þ ÖÒ Ò Ð ÓÑ ÖÓ¸ ´¾¼¼ µ º ÙØ Ä Ø ºÙ Öº ×» ℄ Ê Ò ¸ Â Ú Ö¹ Ò»ÑÔ Ø ´¾¼¼¾µ È Ö ÐÐ Ð ×ØÖ ÖÒ Ð ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ ¼¸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ËØ Ø ×Ø × ² Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ò Ø Ò ÐÝ× ×¸ ¾ ¿¹¿¼¾º ℄ ËÛ ÒÒ¸ ÅÈÁ¸ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÒÓÑ ×¸ ½ º º ´¾¼¼¾µ Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ¹½ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò º ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ¸ ½ ¾ À ÈÌ Ê ¾½ Ò Ð ÔÖÓ ÌÀÁË ÁË ÆÇÌ ÁÒ Ø × Ð ×Ø × Òº Ø ÁÆÁËÀ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ Á ÆÇÊ ÁÌ ÛÓÖ Ñ Ø Ó ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÇÊ ÆÇÏ Ü ÑÔÐ Ó Ø Ê ÑÓ Ð ÔØ Ö Û ³ÐÐ Ï ³ÐÐ Ó Ø ÖÓÙ Ø ÓÑ Ò × ÒÙÑ Ö Ð Ö Ó Ø Ù× Ò ×× ØÓÔ × Û ³Ú Ý Ð ÑÓ Ó × ÑÙÐ Ø Ø Î Ð ÑÓÑ ÒØ× Ó ×º ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ð¸ × Ñ Ð Ö ØÓ Û ÖÖ Ñ ´¾¼¼¾µ ½º Ï ³ÐÐ Ø Ö Ú ÐÓÔ Ó Ø Ò ÑÓ ÖÓÑ Ø Ð ÓÖ ÔÖ Ú Ø ÍË µ¸ Ì Ð ÙÖ Ù Ó Ø Ò Ö Ð ÖÓ×× ÔÖ Ú Ø ÒÚ ×ØÑ Òغ Ì Ò Ø Ð ÓÒÓÑ Ò Ò Ø Ò ÐÝ× × ´ ´ÝÓÙ Ò Ð Ö µ Æ Ø ÓÒ Ð ÁÒ ÓÑ ÓÛÒÐÓ Ø ºÑº Ì ÕÙ ÖØ ÖÐÝ × Ø × Ö ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÈÖÓ Ù Ø ÖÓÑ ½ ´ ÓÒ×Ø ÒØ Ì Ø Ø ÓÙÒØ× ´ÆÁÈ ¹Á ØÓ Ø ÓÐÐ Ö×µº ½½º½º ¸ Ä Ò × ¾ Ø Û Ù× Ö ÔÖ × Òصº Ì ÔÖÓ Ö Ñ ÔÐÓØ×ºÑ Û ÐÐ Ñ ÔÐÓØ ÓÖ Ð Ú Ð׸ Û Ò × Ø Ö Ø Ö Û ÔÐÓØ׸ Ò ÐÙ Ò Ò ÙÖ × ½ Ø ÓÙ ÒÚ ×ØÑ ÒØ Ø Ó Ö ¿º Ð Ö×Ø ÐÓÓ Ò Ð ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ö× ØÓ ÖÐÝ ÒÓÒ×Ø ¹ Ò Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ´×ÙÖÔÖ × ¸ ×ÙÖÔÖ × µº Ì Ñ ÄÓÓ ÒØ × Ó × ¹½ Ò ½ ¼³×º Ø ÖÓÛØ Ö Ø ×¸ Ø ÑÓÖ × Ö ÑÓ ÔÔ ×ÓÑ Û ×ØÖÙ ØÙÖ Ð × ÓÖ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ø ÒØ Ò ÖÐÝ ½ ¼³×º Ì × Ò ÜØ Ò Ô Ö Ó ÖÓÛØ Ö ×ÓÑ ½ Ó ÖÓÛØ ¼³×¸ ÓÑ Ò ÚÓÐ Ø Ð ØÝ Ó Ö Ó ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÒÓØ Ð Ô Ö Ó × Ð Ò ×ÓÑ Û Ø¸ ÓÚ Ö Ø Ñ º ÄÓÓ Ñ º ÓÖ ÖÓÛØ ¹½ ¼³× Ò Ø ÒÚ ×ØÑ Òظ Ø ¼³×¸ ÓÖ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ Ò Ø Ñ× ØÓ Ú Ð Ò Ð× Ð× Ü ÑÔÐ º Ë Ò ¼ ÓÖ ×Ó¸ ÚÓÐ Ø Ð ØÝ ÓÒÓÑ ÑÓ Ø Ø Ø Ø ÑÓ Ó Ø Ò ÑÔÐÝ Ø × ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Ø Ø Ö × ÒÓ ÐÓÒ º ÇÖ¸ Ø Ø ÖÑ Ø Ø ÖÓÛØ Ø Ø ´ µ ¹ Ø ÑÓ Ð× Ò Ö Ø Ö Ó ÙÖ ½º ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÁÒÚ ×ØÑ Òظ Ä Ú Ð× Ü ÑÔÐ ×»Ê »Ð Ú Ð׺ Ô× ÙÖ ¾º ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÁÒÚ ×ØÑ Òظ ÖÓÛØ Ê Ø × Ü ÑÔÐ ×»Ê » ÖÓÛØ º Ô× ¾ ¿º Ê Í ÇÊÅ ÅÇ Ä ¾ ÙÖ ¿º ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ò ÁÒÚ ×ØÑ Òظ Ò Ô ×× ÐØ Ö Ü ÑÔÐ ×»Ê » ÐØ Ö º Ô× Ò Ö Ø Ò × ØÓ Ô ×× Ø ÖÓÙ Ø × Ò Ø Ø Ý Ø ÔÔÐÝ Ò ÙÖ Ø ÒÚ Ö× Ø Ó ÐØ Öº Ï ³ÐÐ ÓÐÐÓÛ Ø ÐØ Ö Ó Ò Ö ×Ø ÒÓ ×¸ Ò Ò Ò Ö Ø ØÞ Ð Ø Ö Ð Ø Ò ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ´½ µº Ì Ò Ö Ø Û ³ Ò Ù× Ò ×× Ý Ð ÐØ Ö Ø Ø º ÌÓ Ò Ô ×× ¿º Ï ³ÐÐ ØÖÝ ØÓ ×Ô Ý Ø ÐÓÓ Ð Ø ÓÒÓÑ ÑÓ Ò × Ñ Ð Ö ØÓ Ð Ú Ð× ÓÖ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ ÐØ Öº ÒÚ ×ØÑ Òظ ÔÔÐÝ Ø ÒÚ Ö× Ó Ø Ò Ô ×× ¾º ÓÒ× ´¾¼¼¿µ¸ Û Ø Ö Ú ÖÝ × ÑÔÐ ×ØÓ ×Ø Ñ ÒÓÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ÒÊ ÖÓÛØ ÅÓ ÑÓ Ð ´Ø Ð × Ñ Ù× Ý Å Ð Ö Ò Å Ð Ö Ö Ò µ max{ct ,kt }∞ E0 t=0 ct + kt log φt ǫt ××ÙÑ Ø Ø Ø ÙØ Ð ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ × ∞ t t=0 β U (ct ) α (1 − δ) kt−1 + φt kt−1 = = ∼ c1−γ − 1 t 1−γ ρ log φt−1 + ǫt 2 IIN (0, σǫ ) U (ct ) = • • • • • • • Ï ÛÓÙÐ β δ α φ γ ÐÓ × Ø × Ø × Ø × × Ø × ÓÙÒØ Ö Ø ÔÖ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ô Ø Ð Ö ×Ô Ø ØÓ Ô Ø Ð Ð ×Ø ØÝ Ó ÓÙØÔÙØ Û Ø Ø ÒÓÐÓ Ý × Ó Ó ÒØ Ó Ø Ø × ÔÓ× Ø Ú º Ö × φt × Ó × ÖÚ Ò Ò Ô Ö Ó Ø tº ÙØ Ð ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ × Ö Ð Ø Ú Ú Ö× ÓÒº Ï γ = 1¸ Ö Ø Ñ º ÖÓ×× ÒÚ ×ØÑ Òظ it ¸ × Ø Ò Ò Ø Ô Ø Ð ×ØÓ it = kt − (1 − δ) kt−1 Û Ð ××ÙÑ ØÓ Ø Ø Ø Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ (k0 , θ0 ) × Ú Òº ×Ø Ñ Ø Ò Ð Ô Ö Ñ Ø Ö× 2 θ = β, γ, δ, α, ρ, σǫ Ò Ò ×ÓÑ ½¾º ÇÒ ÅÅ ÑÓÖ ′ Ù× Ò Ø Ø ÅÅ Ø Ø Ø ØÛ Ú ÓÒ ÓÒ×ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ò Ø ÔÓÖØ ÓÐ Ó ÑÓ × Ñ ÒÚ ×ØÑ Òغ Ì × Ù×× Ø Ö ¸ × ÔÖÓ Ð Ñ × Ú ÖÝ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ò Ö Ú ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Û × Ø ÓÒ× Ò Ë Ø ÓÒ× ½½ Ò Ù× Ø ØÓ ÙÐ Ö ÓÒ ÔÔÖÓ Û Ý Û ×Ø Ñ ØÓÖº Ì Ò ÓÖÑ Ø Ú ÒÓØ Ú ÖÝ ×Ù ×× Ùи Ö Ðк ÆÓÛ Û ³ÐÐ ØÖÝ ØÓ Ù× ØÓ × Û Ø ØØ Ö Ö ×ÙÐØ׺ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ ¿º Å ÖÓ ÓÒÓÑ Ø Ñ Ú ØÓÖ ÙØÓ Ö ×× ÓÒ × × Ö Ù×Ø Ø × Ø Ö Ö Ù ÓÖÑ ÑÓ Ð Ò Ð Ù× Ò Ú ØÓÖ Ö ×× Ú ÙØÓÖ Ðº Ö ×× ÓÒ׺ Ä Ø ÑÓ Ó Ø Ò ÑÓ Ú ØÓÖ Ú Ö× ÓÒ Ó ÙØÓÖ yt º ËÇÄ ÎÁÆ ÌÀ ËÌÊÍ ÌÍÊ Ä ÅÇ Ä ¾ G¹Ú ØÓÖ Ó Ó ÒØÐÝ Ô Ò ÒØ Ú Ö Ð ×º Î Ê´Ôµ ÑÓ Ð × yt = c + A1 yt−1 + A2 yt−2 + ... + Ap yt−p + vt c × G¹Ú ØÓÖ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Ò Aj , Ä Ø vt = Rt ηt ¸ Û Ö ηt ∼ IIN (0, I2 )¸ Ò Rt ′ Rt Rt º ÓÙ Ò Ø Ò Ó Î Ê ÑÓ Ð × Ø Ö Û Ö ÕÙ Ø ÓÒ× ÑÓ Ú Ö Ð × Ö Ð Û Ò Ó Ðº Ö ÐÐ Ó Ø Ú Ö ÛÓÙÐ ÐÖ Ø Ý Ò Ú Ð × Ö ×ÓÑ ÒÓÙ׸ ÓÒ ÙØ Û ×Ø Ñ Ø ½¸¾¸ººº¸Ô, × ÙÔÔ Ö ØÖ Ù ØÖ Ø ÓÖÑ Ó ÓÖÑ Ó × Ò Ó Ö Ò ÙÐ Öº ËÓ G×G Ñ ØÖ × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÝÒ Ñ Ð Ò ÒÓÙ׺ Ð V (vt |yt−1 , ...yt−p ) = Ö × ÑÙÐØ Ò ÓÙ× ÐÐ Ó Ø ÒØ Ý ØÓ Ù× ÖÐݸ Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓ Ð¸ Ö Ò Û ³Ö Ù ÓÒÐÝ Ó Ò ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Ø Î Ê ØÓ ÕÙ Ø Ï ³Ö Ò ÐØ Ö Ó Ò ÓÖ Ø × Ò Ø Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Û Ðй ØØ Ò ÐÔ Ù× Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÓÖÑ ÑÓ Ð Û ÐÐ ÔÙÖÔÓ× º Ø ÓÙÖ Ø × Ñ× ØÓ × Ú Ô ×Ó × Û Ö Ø Ö Ð Ú Ö Ò Ó ÖÓÛØ Ö Ø × × ÒÓÒ¹ ÓÒ×Ø Òغ Ì ÒØÓ Ø Ð׸ Û ³ÐÐ Ö Ò × Ù× ØÓ Ø Ö Ø ¹ Ò Ö Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ó ×ØÓ Ê ×Ø ÚÓÐ Ø Ð Øݺ Ð Ó Æ Ð×ÓÒ Ï Ø ÓÙØ ´½ ½µ Ù×Ø ÓÒ× ¸ Ô º À ÑÓ × ÔÖ × ÒØ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ ´½ Ø µº ÙÔÔ Ö ØÖ Ò Ð Ó Ø × × ht = vec∗ (Rt )¸ 3 × 1 Ú ØÓÖµº Ï Ú ØÓÖ Ó ××ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ñ ÒØ× Ò Ø Rt ´ Ò ÓÙÖ × Ð Ñ ÒØ× ÓÐÐÓÛ log hjt = κj + P(j,.) |vt−1 | − Ì Ö Ú Ö Ò Ó Ø Î Ê × Ó ×º Ò Ê À´½¸½µ ×Ô ÐÓÒ Ø Ö Ð ÖÖÓÖ Ð Þ Ø ÓÒ× Ó Ø 2/π + ℵ(j,.)vt−1 + G(j,.) log ht−1 Ø× ÓÛÒ Ô ×ظ × Û ÐÐ × ÙÔÓÒ Ø Ô ×Ø Ô Ò × ÙÔÓÒ • • • • • • • Ï Ø Ø Ì × × Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ð × Ó Ó Ú ÓÙ× Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ × Ø × Ó Ê À´r, mµ ×Ô Ì Ø ÓÒ¸ Û Ø Ú ÒØ Ó × ´r Ê À v¸ m ÓÖ Ð hµº Ú Ö Ò × ××ÙÖ ÐÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ × Ø Ø Ø ÔÓ× Ø Ú Ì Ì Ì Ì Ò Ï Û Ø ÓÙØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ñ ØÖ Ü Ñ ØÖ Ü Ñ ØÖ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ ØÖ Ü Ú ×ÝÑÑ ØÖ P G ℵ ´Ö × × Ñ Ò× ÓÒ Ñ Ñ Ò Ö ØÓ × Ð 3 × 2º Ò× ÓÒ 3 × 3º Ø ÐÐÓÛ× ÓÖ × × Ò Ð Ô ¸ ×Ó Ø µ × Ñ Ò× ÓÒ Ò ℵ Ð Ú Ö × Ø ÔÓ× Ø Ú Ò 2 × 2º Ø Ú × Ó × Ø× ÙÔÓÒ ÚÓÐ Ø Ð Øݺ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ ØÖ × Ò ×ÓÑ Û Ýº ÓÖ Û ÐÐ ÔÖÓ ÐÝ Û ÒØ ØÓ Ö ×ØÖ Ø Ø ÓÙÐ ÔÐ Ù× ÐÝ Ú Ò×Ø Ò ¸ ÓÚ G ÓÒ Ðº ×Ô Ø ÓÒ¸ Û ηt ∼ IIN (0, I2 ) ηt = R−1 vt t Ò Ò ×ØÖ Û ÒÓÛ ÓÖÛ Ö ÓÛ ØÓ Ð ÙÐ Ø ØÓ Ó Rt vt ¸ Ú Ò Ø Ð Ø Ò Ø × Û ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö׺ Ì Ù׸ Ø × Ø × ÓÖ Ò Ö ØÓÖº ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ý Ñ Ü ÑÙÑ Ð ÓÓ º Ì º Ê ×ÙÐØ× ´Áµ Ì º ËÓÐÚ Ò Ø Ì Ö×Ø ÓÖ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø × ÓÖ Ò Ö ØÓÖ Ð ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Ð × ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ α−1 c−γ = βEt c−γ 1 − δ + αφt+1 kt t t+1 º ËÇÄ ÎÁÆ ÌÀ ËÌÊÍ ÌÍÊ Ä ÅÇ Ä ¾ ¼ ÓÖ ct = Ì ÔÖÓ Ð Ñ × Ø Ø Û ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ì Ñ ÔÖ Ú ÓÙ× βEt c−γ t+1 ÕÙ Ø ÓÒº 1−δ+ ÓÖ α−1 αφt+1 kt Û Ó ÒÓØ −1 γ ÒÒÓØ ×ÓÐÚ ct × Ò ÒÓÛ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ´È Ò À Ò Ò Ý Å Ö Ø¸ ½ ¼µ¸ × Ò× Ó ×ÓÐÚ Ò × Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Ø ÖÑ × Ö ÔÐ Ü Ð ÒÓÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒº Ð × Ø Ø Ú × ÐÓ× Ò ØÓ × ÐÓÒ Ö Ø Ð Þ ØÖÙ Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ø Ñ Ø Ò Ô Ö Ó t¸ Ø Ö × × Ü ×Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ × Ø × Ö º Ï Û ÐÐ ÛÖ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÜÔ Ø Ø ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ α−1 Et c−γ 1 − δ + αφt+1 kt t+1 ÓÖ Ø Ú Ò Ú ÐÙ × Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø × ≃ exp (ρ0 + ρ1 log φt + ρ2 log kt−1 ) ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ¸ Û Ò ×ÓÐÚ ÓÖ ct ¸ Ò Ò ÓÖ kt Ù× Ò Ø α ct + kt = (1 − δ) kt−1 + φt kt−1 Ì ÙÔ × Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø × Ö × {(ct , kt )}º Ì Ò Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × α−1 = exp (ρ0 + ρ1 log φt + ρ2 log kt−1 ) + ηt c−γ 1 − δ + αφt+1 kt t+1 Ý ÒÓÒÐ Ò Ö Ð ×Ø ×ÕÙ Ö ×º Ì ¾ ×Ø Ô ÔÖÓ ÙÖ Ó Ò Ö Ø Ò ÙÒØ Ð Ø Ø Ò ÙÔ Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø Ò Ø º º Ï × ÐÓÒ Ø Ò Ò Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ × × Ø × Ñ Ö × ¸ Ø ÒÓÙ ØÓ ÜÔ Ø Ø ÓÒ× × Ø Ö Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× Ô Ö Ñ Ø Ö× ÒÓ ÐÓÒ ×Ø Ø ØÓ Ø ØÖÙ Ò Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ × Ø Ð ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ð ØÓ Ø ØÖÙ Ò ÓÑÔ ×× Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÐÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ¸ ÒÓÙ ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÙÒ Ø ÓÒ Ý Ù× Ò × ÑÙÐ Ø ÓÒº Ú Ò Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ø È Ù× ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ º ÖÓÑ Ø ØÓ Ø Ó × Û ÅÅ × ÑÙÐ Ø Ð¸ Ì Ù׸ Ò Ö Ø {(ct , kt )} Ù× Ò Ø it = kt − (1 − δ) kt−1 º Ì × Ò Ö Ù ÓÖÑ ÑÓ Ð ØÓ Ò ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ù× Ò Ø ÖÓÑ Ø 2 θ = β, γ, δ, α, ρ, σǫ ¸ Û Ò Ò Ø Ø × Ö × {(ct , it )} Ù× Ò Ø × ÓÖ × Ó Ø ×ØÖÙ ØÙÖ Ð ÑÓ Ðº ′ ÑÓÑ ÒØ׸ Ù× Ò ÐÓ Ö Ô Ý ½℄ ¾℄ Ö Ðº Å ´¾¼¼ µ Ò¸ Ϻ Ò ÆÓØ ÓÒ È Ö ÐÐ Ð Þ Ò º ´½ Ø È Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ×ØÓ ×Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÖÓÛØ ÑÓ Ð Ð ÓÖ Ø Ñº Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÜÔ Ø ¹ Ò À Ø ÓÒ׸ ¿℄ À Ñ ÐØÓÒ¸ º ´½ ℄ Å Ð Ö¸ ĺ Ò º ´½ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ù× Ò ×× Ò ÓÒÓÑ × ËØ Ø ×Ø ×¸ ¸ ¿½¹¿ º µ Ì Ñ Ë Ö × Ò ÐÝ× ×¸ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Úº ÈÖ ×× Å Ð ½µ Ö¸ ˺ ´¾¼¼¿µ Å ØÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÓ× Ó ÓÖ ËÓÐÚ Ò ×Ø ØÝ × ×× Ø Ö ØÙÖÒ× Å Ö Ø¸ ¼µ ËÓÐÚ Ò Æ Ó Ð ×× Ð Ò Û ÖÓÛ ÅÓ Ð Û Ø ℄ Æ Ð×ÓÒ¸ ¿ ℄ Î Ð Ø ¹ ¼º ÔÔÖÓ ¸ ÓÒÓÑ ØÖ ¸ ÐÐ Ò Ë Ò È Ö Ñ ØÖ Þ ¸ ÜÔ Ø Ø ÓÒ× ÖÖ Ñ ¸ ÒÓÒ Ð º Ê ´¾¼¼¾µ ÑÓ ËØ Ø ×Ø Ð Ð¸ ÒÓÒÐ Ò Ê × Ö Ø × Ò Ø Ö Ð Ù× Ò ×× Ê × ÖÚ Ý Ð Ò Ó ÓÖ ÓÒÓÑ Ö ¸ Ö Ò × Óº ØØÔ »» ×ºÖ Ô ºÓÖ »Ô» Ô» Ô»¾¼¼¾¹½¿º ØÑÐ ¾ ½ À ÈÌ Ê ¾¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ç Ø Ú Ï Ý Ï Ðи Ò Ø Ø ÓÖ × Ç Ø Ú Ø × Ò Ù× ÕÙ Ð ØÝ ÒÙÑ Ö Ð Ð Ý Ø Ö ¸ × Ò Ø³× ÒÓØ Ø Ø × Ø Û Ðй ÒÓÛÒ × ÐÝ ÙÒ ÓØ ÜØ Ò× Ý ÓÒÓÑ ØÖ Ò× Ù× ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ö Ö ¸ Ð ¸ Ù× × Û ÐÐ¹Ø ×Ø Èĸ ×Ó ÝÓÙ Ò Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ò ÑÓ ×¸ Ø × Ð Ò× Ò Ø ÖÙÒ× ÓÒ ÖÒº Ö Ø ÆÍ ÝÓÙ Ð ÆÍ»Ä ÒÙܸ Å ÇË Ï Ò ÓÛ× ×Ý×Ø Ñ׺ ÁØ³× Ð×Ó ÕÙ Ø ×Ý ØÓ Ð ½º Ø Ø Ò Ø È Ö ÐÐ ÐÃÒÓÔÔ Ü ¸ ÓÓØ ÝÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ö Û Ø Ü ÑÔÐ ÔÖÓ Ö Ñ× Ö Ç Ø Ú ¸ Û ´ÓÖ × ØØ Ò ÓÒ ÙÖ Øº Ì ØØ Ò ×Ø ÖØ × Ö Ú Ò Ë Ø ÓÒ ¿º ÝÓÙ Ø × × Ñ ÙÖ Û Ø È Ì Ò Ð ¸ ÙÖÒ Ø ÙØ Û Ø Ü ÙØ ÝÓÙ Ñ ÐÐ Ó Ø Ö Ø ¸ × Û ÐÐ × Û × Ý ØÓ ÖÙÒº Ì Ò Ø × Ó ÓÙÖ× ØÓÖ × ÓÒ Ò×Ø ÐÐ º Ñ ÖÓ ØÓ ÔÖÓ Ö Ñ× Ù× Ò ÖÙÒÒ Ò ÝÓÙ Ú Ø ÖÓÑ Ø × ÔÓ Òظ Á ÐÐ ××ÙÑ ÓÑÔÙØ Ö ÖÓÓÑ Ð ÖÓ×× Ø ÖÓÑ ÑÝ Ó µ¸ ÓÖ Ø ÐÓÛº ÝÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ö ØÓ ØÓ ÖÙÒ Ø ¶ºÑ Ð × Ñ ÒØ ÓÒ ¾º Ì Ó Ø Ú Ó Ø Û Ý× ØÓ Ù× Ø Ö Ø Ø Ø ËØÙ Ø Ç Ø Ú ¸ Û Ø Ø Ñµ ØÓ Ð Á Ò ÓÙÖ × ÓÖØ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÖÒ Ù×Ø Ø ÜÔÐÓÖ º × × Ó Ç Ø Ú º Ì Ì × Ö Ù×Ø ×ÓÑ ÓÙØ Ø Ù× Ø Ò Ü ÑÔÐ × Ø Æ Ö Ø¸ ÛÖ ØØ Ò Ù×¹ Ò ÐÐ Ò ØÓ Ó Ö ÖÙ Ö ÓØ Ö ÝÓÙ ØÓ Ñ ÒØ׺ × ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ × ØÓ Ð ×¸ ÝÓÙ Ò ÐÓÓ Ñ¸ Ò ÖÙÒ Ø Ü ÑÔÐ ÖÒ ÑÓÖ ÔÖÓ Ö Ñ× × ØØ Ö ÓÙØ ÓÛ Ç Ø Ú Ø ÖÓÙ Ò Ó ÙÑ ÒØ ´ Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×º Ý ÑÓ Ý Ò ÒØ× Ó Ñ Ò Ü ÑÔÐ Ç Ø Ú ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ × Ø× Û ÐÐ Ò ÐÙ Ü Ö × × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ× Ò Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ñ ÒÓÖ Û Ý׺ ËÓ ×ØÙ Ý Ø Ò Ù× ÒØ Ö Ø Ú Ðݸ ÓÖ Ø Ò Ø × × ÓÒ Ù× ØÓ ÖÙÒ ÔÖÓ Ö Ñ× Ø ÔÖÓ Ö Ñ× Û Ø Ò Ø ÜØ ØÓÖº Ï ³ÐÐ Ù× ÒØ Ò Ò Ò Ø Ñ Ø Ó ¸ ÔÖ Ô Ö Ò Ö×ØºÑ Ø Ç Ø Ú Û Ø ÓÐ Ø Æ Ö Ë ÖÓÑ Û Ø Ø ´ Ý Ò Ð ØÓÖº Ì ÓÖÖ Ø ÓÒµ ½µº × ÒÓØ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ø Ò× Ø× Ù× ×Ø ÖØ º ÌÓ ÖÙÒ Ø ×¸ ÓÔ Ò Ø ÙÔ » ÓÑ » ÒÓÔÔ Ü» ÌÊĹ × ØÓÔ» ÓÒÓÑ ØÖ × Ø Ç Ø Ú Ø Ñ Ò ÓÒ Ø ÙÖ ÓÙØÔÙØ Ò ØÝÔ Ä̹Ӹ ÓÖ Ù× ÐÐ Ñ ÒÙ ´× Ø Ø Ø ÆÓØ Ó ×Ò³Ø ÓÖÑ ØØ Ø Ò ÔÐ × Ò Û Ýº ØØ Ì Ø Ø³× Ð Ò Ö Ù× × ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ×Ø ÖØ Ò ØÓ Ö ¹ÖÙÒ Ø ÒÓÛ Ò ÛÐ Ò º ÔÖÓ Ö Ñº Ò Ð Æ Ë × Ú Ö×ØºÑ ×Ó Ø Ø º Ì ÔÖ ÒØ ´µ ÔÖ ÒØ ´ ÐÐÓ ÓÛº ÇÒ ÛÓÖÐ ÝÓÙ Ò µ Ú ÖÙÒ Ø Ø Ï Ò ÓÛ ØÓ ÐÓ Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ × ÓÒ ºÑ × ÓÛ× ×¸ ÝÓÙ Û ÐÐ Ú ÐÓÓ Ú Ø Ø Ü ÒØ Ø ØÓ × Ö ØÓÖÝ Ç Ø Ú ³× ÓÖ ÓÒÓÑ ØÖ ×» Ü ÑÔÐ ×»Ç Ø Ú ÁÒØÖÓ» ÙÐØ Ü ÑÔÐ ÓÖÑ Ø ÓÖ × Ú Ò Ø º ÓÙ Ñ × ÐÐݸ Ó ÒÙÑ ÓÒ Ø Û Ø Ò Ò ÝÓÙ ÁÁ Ø ÜØ Ø Ð ¸ Ò Ñ ÓÑÑ Ò Ö× × Ô Ö Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ý ×Ô ×¸ Ù×Ø Ù× ÐÓ ÑÝ Ò Ø ÑÝ Ð º Ø Ð º Ø º Ø Ø º ÓÛ ØÓ ØØ Ð È ¸ ÓÖÑ Ö Ú Ò ×Ó¸ Ø ÈÐ × ÑÝ Ð Ø ´Û Ø ÓÙØ ÜØ Ò× ÓÒµ Û ÐÐ ÓÒØ ÓÖ × ×¸ Ò Ø Ø ÐÓÓ ÓÑÑÓÒÇÔ Ö Ø ÓÒ×ºÑ Ø Û ³Ö ÓÒ ÝÓÙ Û Ø Ö Ø ÐÓÓ ¾ ¾ Ü ÑÔÐ × Ó Ú ÐÓÓ ÖÓÛ× Ó ×ÓÑ × Ø Ø Ò × Ò Ç Ø Ú º ÆÓÛ Ø Ø Ö Ò ÐÙ × Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ× Ø × Ü ÑÔР׺ Á Ú Ö× ÓÒ Ó ¿º Á ÇÍ³Ê ÊÍÆÆÁÆ ÄÁÆÍ ÁÆËÌ ÄÄ ÌÁÇƺºº ¾ ¿ ÙÖ ½º ÊÙÒÒ Ò Ò Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÙÑ Òظ Ø ÔÖÓ Ö Ñ× Ì Ó× Ø × Ô Ö Ò ÝÓÙ × ÓÙÐ Ú Ð Ð Ö Ò Ø Ð ØÓ Ð ×ÙÔÔÓÖØ Ò ÓÒ Ð Ò × ØÓ ÓÔ Ò Ø Ð × Ò Ù Ð Ñº × Á ÒÓظ Ø Ö Ú ÌÓ Ð Ü ÑÔÐ Ð Ö º ØÓ ÖÙÒ Ø Ð ×¸ ÓÙØ Ó ÓÑ Ø Ô Ö Û Ø × Û ÐÐ Ø Ò ÐÐÓÛ ÝÓÙ ØÓ ÖÙÒ Ø Ü Ñ Ò Ú ÓÒØ Üغ Ó Ø × ØÙ ÐÐÝ Ù× Ð × ´ ѵ¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ ÓÛÒÐÓ Ð º Ó Ò Ø Ô Ó ØÓ Ø Ú Ö× ÓÒ ØÓ Ó ÙÑ Òظ × Ò ×ÙÔÔÓÖØ Ð × Ò ÝÓÙ Û ÐÐ ÔÖÓ Ü ÑÔР׺ ÇÖ Ì Ø ¸ Ö Ö ÐÝ Û ÒØ ØÓ Ø Ø ×ÓÑ ÓØ ÓÓØ ÐÐ Ø Ö Ö ×ÓÙÖ × ÓÖ ÓÒÓÑ ØÖ × Û Ø Ò Ø Û Ø Ç Ø Ú º ÓÙ Ñ Ø Ð ØÓ × ÓÖ ÖØ Ð ÙØ ÑÙ ÓÒÓÑ ØÖ × Û Ø Ó Û ÓÙÐ Ç Ø Ú × ÐÝ Ù× ÓÒÓÑ ØÖ × ÌÓÓÐ ÓÜ ¸ Û Ç Ø Ú º Å ØÐ ¿º Á ÝÓÙ³Ö ÖÙÒÒ Ò Ì Ò ØÓ Ø Ø × Ñ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ô º Ñ ×ÓÑ Û Ð × Ø Ö ¸ Ò Ø ÐÐ Ç Ø Ú Ú ÓÖ × ÓÙÒ Ä ÒÙÜ Ò×Ø ÐÐ Ø ÓÒººº ÓÒ Ø Ò ¸ ÝÓÙ Ò Ø ØÓ ÖÓÑ Ø Ó ÙÑ ÒØ Ü ÑÔР׸ • • • Ø Ø ÓÑ ÈÙØ Ø Ø Å Ð ×ÙÔÔÓÖØ ÔÖÓ Ö Ñ× ÓÛ ØÓ Ò Ø Ñ¸ º º¸ Ý ÔÙØØ Ò Ð Ò ØÓ ÅÝÇ Ø Ú ×ÙÖ Ø Ò º Ø Ø Ð Ò Ö ØÓÖÝ Ò Ò »Ù×Ö»ÐÓ Ð»× Ö »Ó Ø Ú »× Ø ¹Ñ ÓÒ ÙÖ ØÓ ÖÙÒ Ç Ø Ú Ò Ù× ×ÝÒØ Ü Ó Ø ¹ ׺ ÇÖ¸ Ø × × Ò×Ø ÐÐ Ð Ø ÓÒ ÓÔÝ Ø Æ » ÓÑ » ÓÒÓÑ ØÖ ×»ºÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ò × Ú Ø ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÖÓÑ Ø ØÓ Ò ÝÓÙÖ °ÀÇŠظ ÔÐ × ÒÓØ Ö ØÓÖÝ Û Ø Ø Ø Ø Ö Ò Ñ Ô Ö Ó ºÒ Ò Ø Ø Ø ¶ºÑ º ÆÓØ ØÓ ÔÙØ ØÓÓ Ø Ò Ñ º Ð × Û Ø Ø × ÓÙÐ Æ Ó Øº Ø ×Ó Ø Ø Ø Ý ÓÔ Ò ÙÔ Ò Ø ØÓÖ Û Ò ÝÓÙ Ð • ××Ó ÓÒ Ø Ñº Ì À ÈÌ Ê ¾¿ ÆÓØ Ø ÓÒ • ÐÐ Ú ØÓÖ× Û ÐÐ ØÓ ÓÖ Á Ñ ÔÔÐÝ Ø × ÖÙÐ Ò Ê Ú Û Ý Ú Ò ØÖ Ò×ÔÓ× Ö¼ÖÓÖ× ×ÝÑ ÓÐ ´ÓÖ Á ÓÖ ÔÔÖ Ö ØÓ Ø Ø µº ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ׸ ÙÒÐ ×× Ø ¹ ÝÓÙÖ × ÐÔ Ø ØÓÖ¸ Ò × ØÝÔÓ× × ÑÙ Ò Á Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ò xt ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖº p×1 Ú x′ t 1×p Ú ØÓÖº Ï p¹Ú ØÓÖ¸ ½º ÆÓØ Ø ÓÒ ÓÖ ¿¸ Ä Ø × ÔØ Ö ½℄ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú ØÓÖ× Ò Ñ ØÖ × ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø p¹Ú s(·) : ℜp → ℜ ØÓÖ¸ Ö Ð Ú ÐÙ p¹Ú       ØÓÖ θ. Ì Ò ∂s(θ) ∂θ × ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ Ò Ø × ÓÒÚ ÒØ ÓÒ¸ ∂s(θ) ∂θ ′ × 1×p  ∂s(θ)  =  ∂θ  ∂s(θ) ∂θ ′  ∂s(θ) ∂θ1 ∂s(θ) ∂θ2 º º º ∂s(θ) ∂θp Ò Ú ØÓÖ, ∂ 2 s(θ) ∂θ∂θ ′ × p×p . = aº ØÓÖ Ñ ØÖ Üº Ð×Ó¸ ∂ ∂ 2 s(θ) = ∂θ∂θ ′ ∂θ Ü Ö × = ∂ ∂θ ′ ∂s(θ) ∂θ Ø Ø ¿¿º ÓÖ a Ò x n¹Ú ÓØ p¹Ú ØÓÖ׸ × ÓÛ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó ∂a′ x ∂x Ä Ø 1×n Ú ÐÙ f (θ) ℜp → ℜn ØÓÖ Ú ÐÙ p¹Ú θº Ä Ø • ÈÖÓ Ó Ø ∂ ′ ′ ØÖ Ò×ÔÓ× Ó f º Ì Ò ∂θ f (θ) Ù Ø ÖÙÐ Ä Ø f (θ) ℜp → ℜn Ò f (θ)′ Ø p¹Ú ØÓÖ θº Ì Ò ∂ = ∂θ′ f (θ). h(θ) ℜp → ℜn ∂ h ∂θ ′ n¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ× ∂ h(θ)′ f (θ) = h′ ∂θ ′ × Ñ Ò× ÓÒ ∂ f ∂θ ′ + f′ Û × Ñ Ò× ÓÒ ¿ º 1 × p. ÔÔÐÝ Ò Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ ÖÙÐ Û ∂ ′ ∂ ′ ∂ h(θ)′ f (θ) = f h+ h f ∂θ ∂θ ∂θ p × 1. A p×p Ñ ØÖ Ü Ò Ø Ü Ö × ÓÖ x p×1 Ú ÐÙ Ú ØÓÖ¸ × ÓÛ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ∂x′ Ax ∂x ØÓÖ = A + A′ º Ö ÙÑ Òظ Ö ÙÑ ÒØ • Ò ÖÙÐ Ò Ð Ø Ì Ä Ø g() ρº Ò ℜr f (·) ℜp → ℜn n¹Ú ØÓÖ → ℜp p¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ ∂ ∂ f [g (ρ)] = f (θ) ′ ∂ρ ∂θ ′ p¹Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ó r ¹Ú ØÓÖ Ú ÐÙ θ=g(ρ) ∂ g(ρ) ∂ρ′ ∂ exp(x′ β) ∂β × Ñ Ò× ÓÒ Ü Ö × n × r. ¿ º ÓÖ x Ò β ÓØ p×1 Ú ØÓÖ׸ × ÓÛ Ø ¾ Ø = exp(x′ β)xº ¾º ÇÆÎ Ê Æ ÅÇ Ë ¾ ¾º Ê Ï × ÑÔÐÝ ÓÙÖ× º Ò Ø ÓÒ ¿ º ÓÒÚ Ö Ò ÔØ Ö × Ó ℄º ÓÒÚ Ö × ÑÓ Ò º Ö Ì Ø Ó× × Ö×Ø Ø Ö Û Û ÐÐ ÑÓ × Ù× × Ù×× Ð Ø Ö Ò Ø Ö Ò × ½¸ Û ÐÐ ÓÒ× ÓÖ ÖÓÙÒ º ÔØ Ö ℄ ¸ Ö × Ú Ö Ð ÑÓ Ì ×ØÓ ×Ø ÑÓ × ÕÙ Ò ÓØ Ø× × Ñ ÔÔ Ò Ø Ø ÖÓÑ Ø × Ø × ÓÖ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ò Ö× {n}∞ n=1 ÒÙÑ Ö× = {n} ××Ó ØÓ ×ÓÑ Ø Û Ø Ö × Ø¸ ×Ó Ø Ð Ñ ÒØ׺ ØÓ Ø {1, 2, ...} = Ò ØÙÖ Ð Ê Ð¹Ú ÐÙ Ú ØÓÖ º × ÕÙ Ò × ÓÒÚ Ö Ò ℄ Ö Ò Ü ×Ø× Ö Ð¹Ú ÐÙ Ö × ÕÙ Ò Ó Ú ØÓÖ× Ø ÓÖ ÐÐ ÒÝ Ó Ò Ø ÓÒ ¿ º a ÓÖ a × Ø ÐÑØ ε>0Ø an , ÛÖ ØØ Ò ÒØ Nε ×Ù Ø an → a. {an } ÓÒÚ Ö × ØÓ Ø n > Nε , an − a < ε Ó ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÖÑ Ò ×Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ Û Ö ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÓÒ× Ö × ÕÙ Ò {fn (ω)} fn : Ω → T ⊆ ℜ. Ω Ñ Ý Ò Ö ØÖ ÖÝ × Øº Ò Ø ÓÒ ¿ º ÔÓ ÒØÛ × ×Ù Ø Ø ÈÓ ÒØÛ × ÓÒÚ Ö Ò ℄ ÙÒ Ø ÓÒ × ÕÙ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ö ÓÒ Ω ØÓ Ø f ´ω) ÓÖ ÐÐ ε>0 Ò ω∈Ω Ü ×Ø× {fn (ω)} ÓÒÚ Ö × Ò ÒØ Ö Nεω |fn (ω) − f (ω)| < ε, ∀n > Nεω . ÁØ³× ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ö Ô Ò ÓÖ ÖØ Ø ÖÓÙ Ø Ø Nεω Ô Ò × ÙÔÓÒ ω, ×Ó Ø Ò Ø ÓÒÚ Ö Ö ÕÙ Ö × Ñ Ý × Ñ Ð Ö Ö Ø ÑÙ ÑÓÖ ωØ ÓÙØ Ω. Ò Ò ÓÖ ÓØ Ö׺ ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ó ÓÒÚ Ö¹ Ò Ø ÓÒ ¿ º ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò ℄ ÙÒ Ø ÓÒ × ÕÙ Ò ÒÝ Ó Ö ÙÒ Ø ÓÒ× Ü ×Ø× Ò ÓÒ Ω ØÓ Ø f ´ω) ÓÖ ε>0 Ø {fn (ω)} ÓÒÚ Ö × ÒØ Ö N ×Ù Ø Ø ω∈Ω ´ Ò× ÖØ Ö Ñ Ö × ÓÛ Ò ÁÒ sup |fn (ω) − f (ω)| < ε, ∀n > N. Ø ÒÚ ÐÓÔ ÖÓÙÒ f (ω) Ò Û fn (ω) ×ØÓ ÑÙ×Ø Ð µ ËØÓ Ú Ò ×Ø × ÕÙ Ò ×º Ð ØÝ ×Ô ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Û ØÝÔ ÐÐÝ Ð Û Ø ×Ø × ÕÙ Ò ×º (Ω, F, P ) , Ö ÐÐ Ø Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ñ Ô× Ø × ÑÔÐ ×Ô ØÓ Ø Ö Ð Ð Ò ¸ º º¸ X(ω) : Ω → ℜ. × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð × {Xn (ω)} × ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ×Ù Ñ ÔÔ Ò ×¸ º º¸ Xn (ω) × Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ 0 + ε, Ø ˆn = ×Ô (Ω, F, P ) . ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ò Ø ÑÓ Ð Y = Xβ ÇÄË ×Ø Ñ ØÓÖ β (X ′ X)−1 X ′ Y, Û Ö n × Ø × ÑÔÐ × Þ ¸ Ò Ù× ØÓ ÓÖÑ × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ× ˆ {βn }º ÒÙÑ Ö Ó ÑÓ × Ó ÓÒÚ Ö Ò Ö Ò Ù× Û Ò Ð Ò Û Ø × ÕÙ Ò × Ó Ö Ò ÓÑ ÔÖÓ Ú Ö Ð ×º Ë Ú Ö Ð ×Ù Ò Ø ÓÒ ÑÓ × Ó ÓÒÚ Ö Ò × ÓÙÐ ÐÖ Ý Ñ Ð Ö ¼º ÓÒÚ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ØÝ ØÓ Ð ØÝ℄ Ä Ð º Ä Ø Ð ×¸ Ò Ð Ø X(ω) × Ò ÔÖÓ {Xn (ω)} ÓÒÚ Ö X(ω) Xn (ω) × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú An = {ω : |Xn (ω) − X(ω)| > ε}º Ì Ø Ö ¹ Ò n→∞ lim P (An ) = 0, ∀ε > 0. ¾º ÇÆÎ Ê Æ ÅÇ Ë ¾ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ð ØÝ × ÛÖ ØØ Ò × Xn → X, Ð º Ä Ø p ÓÖ ÔÐ Ñ Xn = X. Ö ¹ Ò Ò Ø ÓÒ ½º ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö Ò ℄ Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ ØÓ Ä Ø Ð ×¸ Ò Ð Ø X(ω) × {Xn (ω)} ÓÒÚ Ö X(ω) Xn (ω) × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú A = {ω : limn→∞ Xn (ω) = X(ω)}º Ì P (A) = 1. Xn (ω) → X(ω) ´ÓÖ Ø P (C) = 0. × Ø C = Ω − A ×Ù Ø Xn → X, a.s. ÇÒ Ò × ÓÛ Ø Ø ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ Ò ÖÝ ÓÒÚ Ö ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ò Ó Ø Ò ØÛÓ ÙÒ Ø ÓÒ×µ × Ü ÔØ ÓÒ ÓÒÚ Ö × ÛÖ ØØ Ò Xn → X, a.s. ÓÖ Xn → X ⇒ Xn → X. Ò Ø ÓÒ a.s. p ¾º ÖºÚº ÓÒÚ Ö Ò Ò Xn × Ò Ú ×ØÖ ×ØÖ ×ØÖ ÙØ ÓÒ℄ Ä X. Xn → X. d Ø Ø Á Ø ÓÒ Ó Fn F, Ø Ò Ò Ø ÙØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ F. Xn ÓÒÚ Ö ÙØ ÓÒ ØÓ Xn Fn → F Ø ÖºÚº Ú ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ ¹ Ú ÖÝ ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ ÓÒÚ Ö ÔÖÓ Ò Ò ×ØÖ ÙØ ÓÒ × ÛÖ ØØ Ò Ò Ò ×ØÖ × ÁØ Ò × ÓÛÒ Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð ØÝ ÑÔÐ × ÓÒÚ Ö ÙØ ÓÒº ËØÓ ÓÒ ÐÙ Ø ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ø Ë ÑÔÐ ÇÄË Ð Û× Ó Ð Ö ÒÙÑ Ö× ´ÄÄƳ׵ ÐÐÓÛ Ù× ØÓ Ö ØÐÝ ˆ a.s. βn → β 0 Ò Ø Ü ÑÔÐ ¸ × Ò ˆ βn = β 0 + Ò X ′X n −1 X ′ε n , Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÜÔÖ ×× Ø X ′ε n ×Ý ÔÖÓÓ Ò →0 × a.s. Ý ËÄÄƺ ÆÓØ Ð Ò Ø Ø Ø × Ø ÖÑ × ÒÓØ ÑÓ Ð¸ Û ÙÒ Ø ÓÒ Ó β. Ì × Ö ×ÙÐØ Ó Ø Ö ØÝ Ó Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ×Ø Ñ ØÓÖ Ð º Û Ý Ø Ø × Ô Ö Ø × Ô Ö Ñ Ø Ö× ÖÓÑ Ö Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ׺ ÁÒ Ð Û Ø Ø ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ø × ÒÓØ Ö × ØÙ Ø ÓÒ Û Ù Ð ØÓ Ö Ø Ò Ö Ð¸ Ø ×ØÓ × × ÒÓØ ÔÓ×× Ï Ó Ø Ò ×Ø × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ô Ò × Ð ×º Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ò ÁÒ Ø Ô Ö × × ¸ Û Ñ ÒÒ Ö Ø Ú × ÕÙ Ò × ÑÔÐ Ø ÔÖÓ × ÕÙ Ò Ô Ò ÓÒ Ó Ö Ò ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø Ð Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Xn (ω, θ) Ñ Ø Ö θ × Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ØÝ ×Ô ÐÓÒ × ØÓ ¿º Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô θ ∈ Θ. θ {Xn (ω, θ)}, Û (Ω, F, P ) Ò ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÒ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÐÝ Ò Θ ØÓ X(ω, θ) ÍÒ ÓÖÑ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö Ò ℄ {Xn (ω, θ)} n→∞ θ∈Θ × ÙÒ ÓÖÑÐÝ lim sup |Xn (ω, θ) − X(ω, θ)| = 0, ´ Ø Ø ÐÐ º×ºµ ÁÑÔÐ Ø × Ø ÐÐ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Xn (ω, θ) Ò X(ω, θ) Ö Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ò Ý Ð × ÛºÖºØº Ò ÙÒ ÓÖÑ (Ω, F, P ) ÓÒÚ Ö ÓÖ Ò Ò Ò ÔÖÓ θ ∈ Θ. Ï ³ÐÐ Ò Ý ÙÒ ÓÖÑ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ÓÒÚ Ö u.a.s. Ð ØÝ u.p. → . × ÓÒ Ø Ø Ø Ø ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ñ → • ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð ØÝ ÓÒ × Ò Ø ÓÒ¸ Ò× Û Ø ÔÖÓ ¹ Pr Ì × × n→∞ θ∈Θ lim sup |Xn (ω, θ) − X(ω, θ)| = 0 Ø Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ó Ø =1 Ò ¹ Ø ×× ÒØ Ð ÓÖÑ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø × Ø º×º ÓÒÚ Ö Ö Ò supº ¿º Ê Ì Ë Ç ÇÆÎ Ê Æ Æ Ë ÅÈÌÇÌÁ ÉÍ ÄÁÌ ¾ ¿º Ê Ø × Ó ÓÒÚ Ö Ò ÁØ³× Ó Ø Ò Ù× Ø Ø Ö ÙÐ ØÓ Ú ØÓ ÓØ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ö× Ò Ó Ø Ò Ò ×Ñ ÐÐ Ö Ð Ø Ú Ò Ø ÓÒ º Ò Ö Ð Ø Ú ÒÓÖ ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð ØÝ Ñ ¸ Û Ò ØÙ × Ó ÕÙ ÒØ Ø × ×º ÉÙ ÒØ Ø × × ÑÔÐ Ò ÐÝ× ×º ÒÓØ Ø ÓÒ Ä ØØÐ ¹Ó℄ Ä Ø f (n) f (n) Ò× limn→∞ g(n) g(n) ØÛÓ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ì f (n) = o(g(n)) Ñ = 0. Ò Ò Ø ÓÒ º ¹Ç℄ Ò× Ø Ö Ä Ø f (n) f (n) = O(g(n)) Ò Ø Ì Á ÓÒ×Ø Òغ × Ñ Ü ×Ø× ×ÓÑ g(n) N ×Ù ØÛÓ Ö Ø Ø ÓÖ Ð¹Ú ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ׺ Ì ÒÓØ Ø ÓÒ Ö n > N, f (n) g(n) < K, Û K × Ò Ø ÓÒ Ò Ó ×Ò³Ø Ö ÕÙ Ö Ö Ø Ø f (n) g(n) Ú Ð Ñ Ø ´ Ø Ñ Ý Ð × Ñ Ò ÐÓ ÓÙ× Ò× Ù ØÙ Ø ÓÙÒ Ö Ðݵº {fn } {gn } × ÕÙ Ò × Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ× Ò Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ º Ì º Ì f (n) = op (g(n)) f (n) p g(n) → 0. Ð ×Ø ×ÕÙ Ö × ×Ø Ñ ØÓÖ ˆ θ = (X ′ X)−1 X ′ Y = (X ′ X)−1 X ′ Xθ 0 + ε = Ò ÛÖ Ø Ð Ð º Ì θ 0 + (X ′ X)−1 X ′ ε. Ë Ò ÔÐ Ñ ˆ θ = θ 0 + op (1). ×ÝÑÔØÓØ ÐÐݸ Ò Ø Ø Ø ÄË (X ′ X)−1 X ′ ε 1 Ø Ø ÖÑ = 0, Û op (1) × Ò (X ′ X)−1 X ′ ε = op (1) × × Ù×Ø Û Ý Ó Ò Ò Ø¹ ×Ø Ñ ØÓÖ × ÓÒ× ×Ø Òغ º Ì Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ f (n) = Op (g(n)) f (n) < Kε g(n) Ñ Ò× Ø Ö Ü ×Ø× ×ÓÑ Nε ×Ù Ø Ø ÓÖ ε>0 Ò ÐÐ n > Nε , P > 1 − ε, × Ò ¸ Ú Ò Û Ö Kε × Ò Ø º Á ÓÒ×Ø Òغ Ò Ü ÑÔÐ Kε ×Ù Í× Ø Ø Xn ∼ N (0, 1) Ø P (|Xn | < Kε ) > 1 − ε. Xn = Op (1), ε, Ø Ö × ÐÛ Ý× ×ÓÑ ÙÐ ÖÙÐ × • Op (np )Op (nq ) = Op (np+q ) • op (np )op (nq ) = op (np+q ) Ü ÑÔÐ ¼º Ø ÓÒ× Ñ Ö Ò Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ Ó ÖºÚº³× Û Ø Ñ Ò ¼ Ò Ú Ö ÙØ Ò ¸ σ2 º º º¸ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ Ó ˆ θ = 1/n = Op (1), ˆ n1/2 θ Ú ∼ A n i=1 xi × ×Ó ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÓÖ Û Ò ØÓ Ø Ñ Ò ×ØÖ N (0, σ 2 ). ËÓ Ø ×ØÖÓÒ ˆ n1/2 θ ˆ θ = Op (n−1/2 ). Ö Ø ˆ θ = op (1), × ÑÔÐ ÒÓÛ Û Ú Ö Ö ×ÙÐØ Ø Ö Ø Ö Ð Ø × Ø Ó ÓÒÚ Ö Ó × Þ º Ò ¸ Ü ÑÔÐ ½º ÆÓÛ ÓÒ× Ø Ñ Ò Ö Ò ÓÑ × ÑÔÐ ÖºÚº³× Û Ø µ Ò ×ØÖ ×Ó Ú Ö ÙØ σ2 º º º¸ Ì ×Ø Ñ ØÓÖ Ó n1/2 Ì Ú Ø ˆ ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ ÒÓÖÑ ÐÐÝ θ = 1/n ˆ ˆ ˆ θ − µ ∼ N (0, σ 2 ). ËÓ n1/2 θ − µ = Op (1), ×Ó θ − µ = Op (n−1/2 ), A n i=1 xi × × ØÛÓ Ü ÑÔÐ × × ÓÛ Ø Ð Ú Ö Ø Ú Ö × Ó ÒØ Ö × Ú Ö ´Ñ × Ó ÙÒ ÒØ Ö Ò Ø × º Ð × Ø ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø Ó Ø ˆ θ = Op (1). × ØÝÔ ÐÐÝ Ø Ø Ò Þ ÖÓµ ÕÙ ÒØ Ø ÔÐ Ñ ¼¸ Û Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒÞ ÖÓ ÔÐ Ñ׺ ÆÓØ × Ñ ÓÖ Öº Op Ó × ÒÓØ Ñ Ø Ø × × Ø f (n) Ò g(n) ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð ØÝ Ò×ÙÖ × Ø Ò Ø ÓÒ ¾º ÌÛÓ × ÕÙ Ò × Ó Ö Ò ÓÑ Ú Ö ÕÙ Ð ´ÛÖ ØØ Ò fn = gn ) plim f (n) g(n) op =1 Ò a {fn } Ò {gn } Ö ×ÝÑÔØÓØ ÐÐÝ Ò ÐÐݸ Ò ÐÓ ÓÙ× ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ Ú Ö× ÓÒ× Ó Op Ö Ò Ò Ø Ó Ú ÓÙ× Û Ýº Ê ÁË Ë ¾ Ü Ö × × ´½µ ´¾µ ´¿µ ´ µ ÓÖ ÓÖ ÓÖ ÓÖ a A x x Ò ´ µ ÏÖ Ø x ÓØ p × 1 Ú ØÓÖ׸ × ÓÛ Ø Ø Dx a′ x = aº 2 p × p Ñ ØÖ Ü Ò x p × 1 Ú ØÓÖ¸ × ÓÛ Ø Ø Dx x′ Ax = A + A′ º ′ ′ Ò β ÓØ p × 1 Ú ØÓÖ׸ × ÓÛ Ø Ø Dβ exp x β = exp(x β)xº ′ 2 Ò β ÓØ p × 1 Ú ØÓÖ׸ Ò Ø Ò ÐÝØ ÜÔÖ ×× ÓÒ ÓÖ Dβ exp x β º Ò Ç Ø Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ø Òظ ØÝÔ Ø Ú Ö × Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ× Ý Ø ÓÖ Ò ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú º Ö Ú Ø Ú ×º ÐÔ ÒÙÑ Ö ÒØ Ò ÐÔ ÒÙÑ ×× Ò Ò× À ÈÌ Ê ¾ Ä Ò× × Ì ÙÒ Ö × Ó ÙÑ ÒØ Ø ÖÑ× Ó Ø ÓÑÑÓÒ× ØØÖ Ò Ø ××Ó ÆÍ Ø Ü ÑÔÐ × Ò Ñ Ø Ö Ð× Ö ÓÔÝÖ Ø Å Ð Ö Ö Ø Ð¸ Ö Ø Ø Ú Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ¸ Ú Öº ¾º¸ ÓÖ Ö Ð Ø ÝÓÙÖ ÓÔØ ÓÒ¸ ÙÒ ÙØ ÓÒ¹Ë Ä Ò× ¸ Î Ö× ÓÒ ¾º º Ì Ð Ò× × ÓÐÐÓÛº ½º Ì ÆÍ Æ Ê Ä ÈÍ ÄÁ ÄÁ ÆË Î Ö× ÓÒ ¾¸ ÂÙÒ ½ ½ ÓÔÝÖ Ø Ì ÑÔÐ Ú ÖÝÓÒ Ó Ø × Ð ÈÖ Ñ Ð ´ µ ½ ¸ ½ ÈÐ ¸ ËÙ Ø × Ô ÖÑ ØØ Ò× Ó ÙÑ ½ Ö ËÓ ØÛ ¿¿¼¸ Ó×ØÓÒ¸ ØÓ ÓÔÝ Ò Òظ ÙØ Ò ÈÄ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ¸ ÁÒ º Å ¼¾½½½¹½¿¼ ÍË ×ØÖ ÙØ Ú Ö Ø Ñ ÓÔ × Ò Ø × ÒÓØ ÐÐÓÛ º Ì Ð Ò× × ÓÖ ÑÓ×Ø ×Ó ØÛ Ö Ö × Ò ØÓ Ø Û Ý ÝÓÙÖ Ö ÓÑ ØÓ × Ö Ò Ò Øº Ý ÓÒØÖ ×ظ Ø ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× × ÒØ Ò ØÓ Ù Ö ÒØ ÝÓÙÖ Ö ÓÑ ØÓ × Ö Ò Ò ×Ó ØÛ Ö ¹¹ØÓ Ñ ×ÙÖ Ø ×Ó ØÛ Ö × Ö ÓÖ ÐÐ Ø× Ù× Ö׺ Ì Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ÔÔÐ × ØÓ ÑÓ×Ø Ó Ø Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ³× ×Ó ØÛ Ö Ò ØÓ ÒÝ ÓØ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Û Ó× ÙØ ÓÖ× ÓÑÑ Ù× Ò Øº ´ËÓÑ ÓØ Ö Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ ×Ó ØÛ Ö × ÓÚ Ö Ø ÆÍ Ä Ö ÖÝ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× Ò×Ø ºµ ÓÙ Ò ÔÔÐÝ Ø ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ׸ ØÓÓº Ï Ò Û ×Ô Ó Ö ×Ó ØÛ Ö ¸ Û ÔÖ º ÇÙÖ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× × Ú Ø Ö ÓÑ ØÓ ×ØÖ ÙØ ÓÔ Ø × × ÖÚ ÝÓÙ Û × µ¸ Ø Ø ÝÓÙ ÝÓÙ Û ÒØ Ø¸ Ø Ø ÝÓÙ Ò Ò Ò Ò Û Ö ÔÖÓ Ö Ñ× Ò Ø Ø ÝÓÙ ÌÓ ÔÖÓØ Ø ÝÓÙÖ Ö Ø׸ Û ÒÝÓÒ ØÓ ÒÝ ÝÓÙ Ø × Ö Ì × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ØÖ Ò×Ð Ø ×ØÖ ÙØ ÓÔ × Ó Ø ×Ó ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ö Ø × ÓÖ ÓÖ Ò Ö Ö × Ó Ö Ø ÒÓÛ Ö Ö × Ø ØÓ Ý ØÓ ÖÖ Ò ØÓ Ö ÓѸ ÒÓØ × Ò ØÓ Ñ ×ÙÖ Ø Ø ÝÓÙ Ö ×Ó ØÛ Ö ´ Ò Ö ÓÖ Ú ×ÓÙÖ Ó ÓÖ Ò Ø Ø ×Ó ØÛ Ö ÓÖ Ù× Ô × Ó Ø ÝÓÙ Ò Ó Ø × Ø Ò ×º ØÓ Ñ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø Ø ÓÖ Ø× ÓÖ ØÓ × ÝÓÙ ØÓ ×ÙÖÖ Ò Ö Ø Ö ØÓ ÖØ Ò Ö ×ÔÓÒ× Ð Ø × ÓÖ ÝÓÙ ØÛ Ö ¸ ÓÖ ÝÓÙ ÑÓ Ý Øº Ø Ö Ø× Ø Ø׺ ÝÓÙ ÝÓÙ ×ØÖ ÙØ ÓÔ × Ó ×Ù ÔÖÓ Ö Ñ¸ Û ¸ ÝÓÙ ÑÙ×Ø Ú Ø Ö Ô ÒØ× ÐÐ Ø Ö ¾ Ø ½º ÌÀ ÈÄ ¾ ¼ ÝÓÙ Ú º ÓÙ ÑÙ×Ø Ñ ×ÙÖ Ø Ø Ø Ý¸ ØÓÓ¸ Ö Ú ÓÖ Ò Ø Ø ×ÓÙÖ Ó º Ò ÝÓÙ ÑÙ×Ø × ÓÛ Ø Ñ Ø × Ø ÖÑ× ×Ó Ø Ý ÒÓÛ Ø Ö Ö Ø׺ Ï ÔÖÓØ Ø ÝÓÙÖ Ö Ø× Û Ø ØÛÓ ×Ø Ô× ´½µ ÓÔÝÖ Ø Ø ×Ó ØÛ Ö ¸ Ò ´¾µ Ó Ö ÝÓÙ Ø × Ð Ò× Û Ú × ÝÓÙ Ð Ð Ô ÖÑ ×× ÓÒ ØÓ ÓÔݸ ×ØÖ ÙØ Ò »ÓÖ ÑÓ Ý Ø ×Ó ØÛ Ö º Ð×Ó¸ ÓÖ ÙØ ÓÖ³× ÔÖÓØ Ø ÓÒ Ò ÓÙÖ׸ Û Ø Ø Ú ÖÝÓÒ ÙÒ Ö×Ø Ò × Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Û ÖÖ ×Ó ØÛ Ö º Á Ø ×Ó ØÛ Ö × ÑÓ Ý ×ÓÑ ÓÒ Û ÒØ Ø× Ö Ô ÒØ× ØÓ ÒÓÛ Ø Ø Û Ø Ø Ý Ú Ø Ø ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ× ÒØÖÓ Ù Ý ÓØ Ö× Û ÐÐ ÒÓØ ÙØ ÓÖ׳ Ö ÔÙØ Ø ÓÒ׺ Ò ÐÐݸ ÒÝ Ô Ø ÒØ׺ Ï Û ÔÖÓ Ö Ñ Û ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÖÓÔÖ Ô Ø ÒØ ÑÙ×Ø Ì ÑÓ Ö × Ò Ø Ð ÔÖÓ Ö Ñ × Ø Ö Ø Ò ØÓ ÚÓ Ø Ò Ö Ø Ú Ù ÐÐÝ Ó Ø Ò Ô Ø ÒØ Öݺ ÌÓ ÔÖ Ú ÒØ Ø ×¸ Û Ò× ÓÖ Ú ÖÝÓÒ ³× Û ÒØ ØÓ Ñ ÖØ Ò ÒØÝ ÓÖ Ø × Ö Ð× Ò Ô ×× ÓÒ¸ Û × ÒÓØ Ø ÓÖ Ò Ð¸ ×Ó Ö Ð Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒ×Ø ÒØÐÝ Ý ×Ó ØÛ Ö Ø Ö ×ØÖ ÙØÓÖ× Ó Ö Ð Ò× ×¸ Ò Ø Ñ Ò Ø Ú Ñ Ø Ð Ö Ø Ø ÒÝ Ö Ù× ÓÖ ÒÓØ Ð Ò× Ø Ðк ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÔÖ × Ø ÖÑ× Ò ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ ÓÔÝ Ò ¸ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛº ÆÍ Æ Ê Ä ÈÍ ÄÁ ÄÁ ÆË Ì ÊÅË Æ ÇÆ ÁÌÁÇÆË ÇÊ ÇÈ ÁÆ ¸ ÁËÌÊÁ ÍÌÁÇÆ Æ ÅÇ Á Á ÌÁÇÆ ¼º Ì × Ä Ò× ÔÔÐ × ØÓ ÒÝ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÓÒØ Ò× ÒÓØ ÔÐ Ý Ø ÓÔÝÖ Ø ÓÐ Ö × Ý Ò Ø Ñ Ý ×ØÖ ÙØ ÙÒ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ø × Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× º Ì ÈÖÓ Ö Ñ ¸ ÐÓÛ¸ Ö Ö× ØÓ ÒÝ ×Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÛÓÖ ¸ Ò ÛÓÖ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ñ Ò× Ø Ö Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÒÝ Ö Ú Ø Ú ÛÓÖ ÙÒ Ö ÓÔÝÖ Ø Ð Û Ø Ø × ØÓ × Ý¸ ÛÓÖ ÓÒØ Ò Ò Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø¸ Ø Ö Ú Ö Ø Ñ ÓÖ Û Ø ÑÓ Ø ÓÒ× Ò »ÓÖ ØÖ Ò×Ð Ø ÒØÓ ÒÓØ Ö Ð Ò Ù º ´À Ö Ò Ø Ö¸ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ × Ò ÐÙ Û Ø ÓÙØ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÖÑ ÑÓ Ø ÓÒ ºµ Ð Ò× × Ö ×× × ÝÓÙ º Ø Ú Ø × ÓØ Ö Ø Ò ÓÔÝ Ò ¸ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÑÓ Ø ÓÒ Ö ÒÓØ ÓÚ Ö Ý Ø × Ä Ò× Ø Ý Ö ÓÙØ× Ø× × ÓÔ º Ì Ø Ó ÖÙÒÒ Ò Ø ÈÖÓ Ö Ñ × ÒÓØ Ö ×ØÖ Ø ¸ Ò Ø ÓÙØÔÙØ ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ × ÓÚ Ö ÓÒÐÝ Ø× ÓÒØ ÒØ× ÓÒ×Ø ØÙØ ÛÓÖ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ´ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ú Ò Ò Ñ Ý ÖÙÒÒ Ò Ø ÈÖÓ Ö Ñµº ½º ÌÀ ÈÄ ¾ ½ Ï Ø Ö Ø Ø × ØÖÙ Ô Ò × ÓÒ Û Ø Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ó ×º ÈÖÓ Ö Ñ³× Ø Ø ÝÓÙ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ø ÐÐ Ø Ó ÒÝ Û ÖÖ ÒØÝ Ø × Ä Ò× ½º ÓÙ Ñ Ý ÓÔÝ Ò ×ØÖ ÙØ Ú Ö Ø Ñ ÓÔ × Ó Ø ×ÓÙÖ Ó × ÝÓÙ Ö Ú Ø¸ Ò ÒÝ Ñ ÙѸ ÔÖÓÚ ÓÒ×Ô ÙÓÙ×ÐÝ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÝ ÔÙ Ð × ÓÒ ÓÔÝ ÓÔÝÖ Ø ÒÓØ Ò × Ð Ñ Ö Ó Û ÖÖ ÒØÝ Ô ÒØ ÒÓØ × Ø Ø Ö Ö ØÓ Ø × Ä Ò× Ò ØÓ Ø × Ò Ò Ú ÒÝ ÓØ Ö Ö Ô ÒØ× Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÔÝ Ó ÐÓÒ Û Ø Ø ÈÖÓ Ö Ñº ÓÙ Ñ Ý Ö ÓÖ Ø Ô Ý× Ð Ø Ó ØÖ Ò× ÖÖ Ò ÓÔݸ Ò ÝÓÙ Ñ Ý Ø ÝÓÙÖ ÓÔØ ÓÒ Ó Ö Û ÖÖ ÒØÝ ÔÖÓØ Ø ÓÒ Ò Ü Ò ÓÖ ¾º ÓÙ Ñ Ý ÑÓ Ý ÝÓÙÖ ÓÔÝ ÓÖ ÓÔ × Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÒÝ ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø¸ Ø Ù× ÓÖÑ Ò ÛÓÖ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ¸ Ò ÓÔÝ Ò ×ØÖ ÙØ ×Ù ÑÓ Ø ÓÒ× ÓÖ ÛÓÖ ÙÒ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ë Ø ÓÒ ½ ÓÚ ¸ ÔÖÓÚ Ø Ø ÝÓÙ Ð×Ó Ñ Ø ÐÐ Ó Ø × ÓÒ Ø ÓÒ× µ ÓÙ ÑÙ×Ø Ù× Ø ÑÓ ×Ø Ø Ò Ø Ø ÝÓÙ Ò Ø µ ÓÙ ÑÙ×Ø Û ÓÐ ÓÖ Ò Ô ÖØ Ø Ö Ó Ô ÖØ × ÙÒ Ô ¸ Ö Ù× ÒÝ ÛÓÖ Ø ÖØ ÓÒØ Ò× ÓÖ ØÓ Ð Ò× Ø Ø ÖÑ× Ó Ø Ð × ØÓ ÖÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÒØ ÒÓØ × Ð × Ò Ø Ø Ó ÒÝ Ò º Ø ÝÓÙ ×ØÖ ÙØ ÓÖ ÔÙ Ð × ¸ Ø Ø Ò × Ö Ú ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÒÝ × Û ÓÐ Ø ÒÓ Ö ØÓ ÐÐ Ø Ö × Ä Ò× º º µ Á Ø ÑÓ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓÖÑ ÐÐÝ Ö × ÓÑÑ Ò × ÒØ Ö Ø Ú ÐÝ Û Ò ÖÙÒ¸ ÝÓÙ ÑÙ×Ø Ù× Ø¸ Û Ò ×Ø ÖØ ÖÙÒÒ Ò ÓÖ ×Ù ÒØ Ö Ø Ú Ù× Ò Ø ÑÓ×Ø ÓÖ Ò ÖÝ Û Ý¸ ØÓ ÔÖ ÒØ ÓÖ ×ÔÐ Ý Ò ÒÒÓÙÒ Ñ ÒØ Ò ÐÙ Ò Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÔÝÖ Ø ÒÓØ Ò ÒÓØ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Û ÖÖ ÒØÝ ´ÓÖ Ð× ¸ × Ý Ò Ø Ø ÝÓÙ ÔÖÓÚ Û ÖÖ ÒØݵ Ò Ø Ø Ù× Ö× Ñ Ý Ö ×ØÖ ÙØ Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÙÒ Ö Ø × ÓÒ Ø ÓÒ׸ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ù× Ö ÓÛ ØÓ Ú Û ÓÔÝ Ó Ø × Ä Ò× º ´ Ü ÔØ ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ø× Ð × ÒØ Ö Ø Ú ÙØ Ó × ÒÓØ ÒÓÖÑ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ ×Ù Ò ÒÒÓÙÒ Ñ Òظ ÝÓÙÖ ÛÓÖ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ × ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ØÓ ÔÖ ÒØ Ò ÒÒÓÙÒ Ñ Òغµ Ì × Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ× ÔÔÐÝ ØÓ Ø ÑÓ ÒØ Ð × Ø ÓÒ× Ó Ø Ø ÛÓÖ Ö Ò Ò Ö ×ÓÒ ÐÝ ÓÒ× Ö Ò Ô Ø Ñ× ÐÚ ×¸ Ø Ò Ø × Ä Ò× ¸ Ò Ø× × Ø ÓÒ× Û Ò ÝÓÙ ×ØÖ ÙØ Ø Ñ × × ÛÓÖ × Û ÓÐ º Á ÒÓØ Ö Ú ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ¸ Ò ÒØ Ò × Ô Ö Ø ÛÓÖ × Ò Ø ÖÑ׸ Ó ÒÓØ ÔÔÐÝ ØÓ Ø Ó× Ô Ö Ø ÛÓÖ ×º ÙØ Û Ò ÝÓÙ ½º ÌÀ ÈÄ ¾ ¾ ×ØÖ ÓÒ Ø Ø × Ä ÒØ Ö ÙØ Ø × Ñ × Ø ÓÒ× × Ô ÖØ Ó Û ÓÐ Û × ÛÓÖ × ÈÖÓ Ö Ñ¸ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø Û ÓÐ ÑÙ×Ø ÓÒ Ø Ø ÖÑ× Ó Ò× ¸ Û Ó× Ô ÖÑ ×× ÓÒ× ÓÖ ÓØ Ö Ð Ò× × ÜØ Ò ØÓ Ø Û ÓÐ ¸ Ò Ø Ù× ØÓ Ò Ú ÖÝ Ô ÖØ Ö Ö Ð ×× Ó Û Ó ÛÖÓØ Øº Ì Ù׸ Ø × ÒÓØ Ø ÒØ ÒØ Ó Ø × × Ø ÓÒ ØÓ Ð Ñ Ö Ø× ÓÖ ÓÒØ ×Ø ÝÓÙÖ Ö Ø× ØÓ ÛÓÖ ÛÖ ØØ Ò ÒØ Ö ÐÝ Ý ÝÓÙ Ö Ø Ö¸ Ø ÒØ ÒØ × ØÓ Ü Ö × Ø Ö Ø ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ö Ú Ø Ú ÓÖ ÓÐÐ Ø Ú ÛÓÖ × × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñº ÁÒ Ø Û Ø Ø ×ØÓÖ Ø × ÓÔ ÓÒ¸ Ñ Ö Ö Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ö ÛÓÖ ÒÓØ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓ Ö Ñ ´ÓÖ Û Ø ÛÓÖ × ÓÒ Ø ÈÖÓ Ö Ñµ ÓÒ ÚÓÐÙÑ Ó ÓÖ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ñ ÙÑ Ó × ÒÓØ Ö Ò Ø ÓØ Ö ÛÓÖ ÙÒ Ö Ó Ø × Ä Ò× º ÓÒ Ø¸ Ø ÖÑ× Ó ÓÐÐÓÛ Ò ¿º ÓÙ Ñ Ý ÓÔÝ Ò ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ´ÓÖ ÛÓÖ × ÙÒ Ö Ë Ø ÓÒ ¾µ Ò Ó Ø Ó ÓÖ Ü ÙØ Ð ÓÖÑ ÙÒ Ö Ø Ë Ø ÓÒ× ½ Ò ¾ ÓÚ ÔÖÓÚ Ø Ø ÝÓÙ Ð×Ó Ó ÓÒ Ó Ø µ ÓÑÔ ÒÝ Ø Û Ø Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ñ Ò ¹Ö Ð ×ÓÙÖ Ó ¸ Û ÑÙ×Ø ×ØÖ ÙØ ÙÒ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ë Ø ÓÒ× ½ Ò ¾ ÓÚ ÓÒ Ñ ÙÑ Ù×ØÓÑ Ö ÐÝ Ù× ÓÖ ×Ó ØÛ Ö ÒØ Ö Ò µ ÓÑÔ ÒÝ Ø Û Ø ÛÖ ØØ Ò Ó Ö¸ Ú Ð ÓÖ Ø Ð Ý Ö׸ ØÓ Ú ÒÝ Ø Ö Ô ÖØݸ ÓÖ Ö ÒÓ ÑÓÖ Ó×Ø Ó Ô Ý× ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ò ×ÓÙÖ ×ØÖ ÙØ ÓÒ¸ Ñ Ò ¹Ö Ð ÓÔÝ Ó Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ×ÓÙÖ Ó ×ØÖ ÙØ ÙÒ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ë Ø ÓÒ× ½ Ò ¾ ÓÚ Ù×ØÓÑ Ö ÐÝ Ù× ÓÖ ×Ó ØÛ Ö ÒØ Ö Ò ÓÖ¸ µ ÓÑÔ ÒÝ ØÓ ×ØÖ ÙØ ÐÐÓÛ ÓÒÐÝ Ö Ú Ø Ò Ó Ö¸ Ò Ø Û Ø Ø Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÖ ÒÓÒ ÓÑÑ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ó ÓÖ Û Ø ËÙ ×Ø Ø Ö Ø Ò ÝÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø ¸ ØÓ ÓÒ Ñ ÙÑ ÓÖ¸ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÝÓÙ Ö Ú × ØÓ Ø Ó Ö ×ÓÙÖ Ó º ´Ì × ÐØ ÖÒ Ø Ú × Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÝÓÙ Ø Ó ÓÖ Ü ÙØ Ð ÓÖÑ Û Ø ×Ù × Ø ÓÒ ÓÚ ºµ Ì ×ÓÙÖ Ó ÓÖ ÛÓÖ Ñ Ò× Ø ÔÖ ÖÖ ÓÖÑ Ó Ø ÛÓÖ ÓÖ Ñ Ò ÑÓ Ø ÓÒ× ØÓ Øº ÓÖ Ò Ü ÙØ Ð ÛÓÖ ¸ ÓÑÔÐ Ø ×ÓÙÖ Ó Ñ Ò× ÐÐ Ø ×ÓÙÖ Ó ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÙÐ × Ø ÓÒØ Ò׸ ÔÐÙ× ÒÝ ××Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø ÓÒ Ð ×¸ ÔÐÙ× Ø × Ö ÔØ× Ù× ØÓ ÓÒØÖÓÐ ÓÑÔ Ð Ø ÓÒ Ò Ò×Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ü ÙØ Ð º ÀÓÛ Ú Ö¸ × ×Ô Ð Ü ÔØ ÓÒ¸ Ø ×ÓÙÖ Ó ×ØÖ ÙØ Ò ÒÓØ Ò ÐÙ ÒÝØ Ò Ø Ø × ÒÓÖÑ ÐÐÝ ×ØÖ ÙØ ´ Ò Ø Ö ×ÓÙÖ ÓÖ Ò ÖÝ ÓÖѵ Û Ø Ø Ñ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ× ´ ÓÑÔ Ð Ö¸ ÖÒ Ð¸ Ò ×Ó ÓÒµ Ó Ø ÓÔ Ö Ø Ò ×Ý×Ø Ñ ÓÒ Û Ø Ü ÙØ Ð ÖÙÒ׸ ÙÒÐ ×× Ø Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø× Ð ÓÑÔ Ò × Ø Ü ÙØ Ð º ½º ÌÀ ÈÄ ¾ ¿ Á ×ØÖ ×× ØÓ ×× ØÓ ×ØÖ ÙØ ÓÑÔ ÐÐ ÙØ ÓÒ Ó Ü ÙØ Ð ÓÖ Ó Ø ÓÔÝ ÖÓÑ × Ò Ø ÔÐ ¸ ÓÔÝ Ø ×ÓÙÖ Ó ÖÓÑ Ø ÓÒ Ó Ø ×ÓÙÖ Ó ¸ Ú Ò Ø ØÓ ÓÔÝ Ø ×ÓÙÖ ÐÓÒ Û Ø Ó × Ø Ò Ó × Ñ ÔÐ ÓÙ Ø Ø Ó Ñ Ö Ö Ø Ý Ó Ö Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÙÒØ× × Ô ÖØ × Ö ÒÓØ Ó º º ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ ÓÔݸ ÑÓ Ý¸ ×Ù Ð Ò× ¸ ÓÖ ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ü ÔØ × ÜÔÖ ××ÐÝ ÔÖÓÚ ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× º ÒÝ ØØ ÑÔØ ÓØ ÖÛ × ØÓ ÓÔݸ ÑÓ Ý¸ ×Ù Ð Ò× ÓÖ ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ × ÚÓ ¸ Ò Û ÐÐ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò Ø ÝÓÙÖ Ö Ø× ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ô ÖØ × Û Ó Ú Ö Ú ÓÔ ×¸ ÓÖ Ö Ø׸ ÖÓÑ ÝÓÙ ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× Û ÐÐ ÒÓØ Ú Ø Ö Ð Ò× × Ø ÖÑ Ò Ø ×Ó ÐÓÒ × ×Ù Ô ÖØ × Ö Ñ Ò Ò ÙÐÐ ÓÑÔÐ Ò º º ÓÙ Ö ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ØÓ ÔØ Ø × Ä Ò× ¸ × Ò × Ò Øº ÀÓÛ Ú Ö¸ ÒÓØ Ò Ð× Ö ÒØ× ÝÓÙ Ô ÖÑ ×× ÓÒ ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ø× Ö Ú Ø Ú ÛÓÖ ×º Ì × ÔÖÓ Ø Ý Ð Û ÝÓÙ Ó ÒÓØ ÔØ Ø × Ä Ò× º Ì ÑÓ Ý Ò ÓÖ ×ØÖ ÙØ Ò Ø ÈÖÓ Ö Ñ ´ÓÖ ÒÝ ÛÓÖ × ÈÖÓ Ö Ñµ¸ ÝÓÙ Ò Ø ÝÓÙÖ ÔØ Ò Ó Ø × Ä Ò× ÐÐ Ø× Ø ÖÑ× Ò ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ ÓÔÝ Ò ¸ ×ØÖ ÙØ Ò Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÛÓÖ × × ÓÒ Øº º Ø Ñ ÝÓÙ Ö ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ´ÓÖ ÈÖÓ Ö Ñµ¸ Ø Ö Ô ÒØ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ö Ú × ÓÖ Ò Ð Ð Ò×ÓÖ ØÓ ÓÔݸ ×ØÖ ÙØ ÓÖ ÑÓ Ý Ø × Ø ÖÑ× Ò ÓÒ Ø ÓÒ׺ ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ ÑÔÓ× Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ö Ô ÒØ׳ Ü Ö × Ó Ø ÓÙ Ö ÒÓØ Ö ×ÔÓÒ× Ð ÓÖ Ò ÓÖ Ò ÓÑÔÐ Ò Ø × Ä Ò× º ÒÝ Ð Ø ÒÝ Ö ÝÓÙ Ú ÒÓØ ØÓ ÑÓ Ý ÓÖ Ø ÓÒ× Ö Ö ÓÖ ¸ Ý ÓÒ Ø ØÓ Ó ×Ó¸ Ò ÓÖ ÑÓ Ý Ò ÛÓÖ × ÓÒ Ø Ò× ÖÓÑ Ø ÈÖÓ Ö Ñ ×Ù Ø ØÓ ÙÖØ Ö Ø× Ö ÒØ Ö Òº Ý Ø Ö Ô ÖØ × ØÓ º Á ¸ × ÓÒ× ÕÙ Ò Ó ÓÙÖØ Ù Ñ ÒØ ÓÖ ÐÐ Ø ÓÒ Ó Ô Ø ÒØ Ò Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ö ×ÓÒ ´ÒÓØ Ð Ñ Ø ØÓ Ô Ø ÒØ ××Ù ×µ¸ ÓÒ Ø ÓÒ× Ö ÑÔÓ× ÓÒ ÝÓÙ ´Û Ø Ö Ý ÓÙÖØ ÓÖ Ö¸ Ö Ñ ÒØ ÓÖ ÓØ ÖÛ × µ Ø Ø ÓÒØÖ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ× Ó Ø × Ä Ò× ¸ Ø Ý Ó ÒÓØ Ü Ù× ÝÓÙ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø ÓÒ× Ó Ø × Ä Ò× º Á ÝÓÙ ÒÒÓØ ×ØÖ ÙØ ×Ó × ØÓ × Ø × Ý × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ ÝÓÙÖ Ó Ð Ø ÓÒ× ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× Ò ÒÝ ÓØ Ö Ô ÖØ Ò ÒØ Ó Ð Ø ÓÒ׸ Ø Ò × ÓÒ× ÕÙ Ò ÝÓÙ Ñ Ý ÒÓØ ×ØÖ ÙØ Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ø Ðк ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ô Ø ÒØ Ð Ò× ÛÓÙÐ ÒÓØ Ô ÖÑ Ø ÖÓÝ ÐØݹ Ö Ö ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ý ÐÐ Ø Ó× Û Ó Ö Ú ÓÔ × Ö ØÐÝ ÓÖ Ò Ö ØÐÝ Ø ÖÓÙ ÝÓÙ¸ Ø Ò ½º ÌÀ ÈÄ ¾ Ø Ö ÓÒÐÝ Û Ý ÝÓÙ ÓÙÐ × Ø × Ý ÓØ Ø Ò Ø × Ä Ò× ÛÓÙÐ Ö Ò ÒØ Ö ÐÝ ÖÓÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñº ØÓ Á ÒÝ ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø × × Ø ÓÒ × Ð ÒÚ Ð ÓÖ ÙÒ Ò ÓÖ Ð ÙÒ ÒÝ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ÙÑ×Ø Ò ¸ Ø Ð Ò Ó Ø × Ø ÓÒ × ÒØ Ò ÔÔÐÝ Ò Ø × Ø ÓÒ × Û ÓÐ × ÒØ Ò ØÓ ÔÔÐÝ Ò ÓØ Ö Ö ÙÑ×Ø Ò ×º Ö ØÓ ÁØ × ÒÓØ Ø ÔÙÖÔÓ× Ó Ø × × Ø ÓÒ ØÓ Ò Ù ÝÓÙ ØÓ Ò Ö Ò ÒÝ Ô Ø ÒØ× ÓÖ ÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ Ö Ø Ð Ñ× ÓÖ ØÓ ÓÒØ ×Ø Ú Ð ØÝ Ó ÒÝ ×Ù Ð Ñ× Ø × × Ø ÓÒ × Ø ×ÓÐ ÔÙÖÔÓ× Ó ÔÖÓØ Ø Ò Ø ÒØ Ö ØÝ Ó Ø Ö ×Ó ØÛ Ö ×ØÖ ÙØ ÓÒ ×Ý×Ø Ñ¸ Û × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý ÔÙ Ð Ð Ò× ÔÖ Ø ×º Å ÒÝ Ô ÓÔÐ Ú Ñ Ò ÖÓÙ× ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ× ØÓ Ø Û Ö Ò Ó ×Ó ØÛ Ö ×ØÖ ÙØ Ø ÖÓÙ Ø Ø ×Ý×Ø Ñ Ò Ö Ð Ò ÓÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ø ×Ý×Ø Ñ Ø × ÙÔ ØÓ Ø ÙØ ÓÖ» ÓÒÓÖ ØÓ ÓÖ × × Û ÐÐ Ò ØÓ ×ØÖ ÙØ ×Ó ØÛ Ö Ø ÖÓÙ ÒÝ ÓØ Ö ×Ý×Ø Ñ Ò Ð Ò× ÒÒÓØ ÑÔÓ× Ø Ø Ó º Ì × × Ø ÓÒ × ÒØ Ò ÓÒ× ÕÙ Ò Ó Ø ØÓ Ñ Ø ÓÖÓÙ ÐÝ Ð Ö ×Ø Ó Ø × Ä Ò× º Ö Û Ø × Ð Ú ØÓ º Á Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ò »ÓÖ Ù× Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñ × Ö ×ØÖ Ø Ò ÖØ Ò ÓÙÒØÖ × Ø Ö Ý Ô Ø ÒØ× ÓÖ Ý ÓÔÝÖ Ø ÒØ Ö ×¸ Ø ÓÖ Ò Ð ÓÔÝÖ Ø ÓÐ Ö Û Ó ÔÐ × Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× Ñ Ý Ò ÜÔÐ Ø Ó Ö Ô Ð ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ü ÐÙ Ò Ø Ó× ÓÙÒØÖ ×¸ ×Ó Ø Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ × Ô ÖÑ ØØ ÓÒÐÝ Ò ÓÖ ÑÓÒ ÓÙÒØÖ × ÒÓØ Ø Ù× Ü ÐÙ º ÁÒ ×Ù × ¸ Ø × Ä Ò× Ò ÓÖÔÓÖ Ø × Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ × ÛÖ ØØ Ò Ò Ø Ó Ý Ó Ø × Ä Ò× º º Ì Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ý ÔÙ Ð × Ö Ú × Ò »ÓÖ Ò Û Ú Ö× ÓÒ× Ó Ø Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ÖÓÑ Ø Ñ ØÓ Ø Ñ º ËÙ Ò Û Ú Ö× ÓÒ× Û ÐÐ × Ñ Ð Ö Ò ×Ô Ö Ø ØÓ Ø ÔÖ × ÒØ Ú Ö× ÓÒ¸ ÙØ Ñ Ý Ö Ò Ø Ð ØÓ Ö ×× Ò Û ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÖ ÓÒ ÖÒ׺ Ú Ö× ÓÒ × Ú Ò ×Ø Ò Ù × Ò Ú Ö× ÓÒ ÒÙÑ Öº ×Ô × Ú Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ø × Ä Ò× Û ÔÔÐ Ð Ø Ö Ú Ö× ÓÒ ¸ ÝÓÙ Ú Ø ÓÔØ ÓÒ Ó ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ú Ö× ÓÒ ÓÖ Ó ÒÝ Ð Ø Ö Ú Ö× ÓÒ ÔÙ Ð × ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒº Á Ø ÈÖÓ Ö Ñ Ó × ÒÓØ ×Ô Ý Ø × Ä Ò× ¸ ÝÓÙ Ñ Ý ÓÓ× ÒÝ Ú Ö× ÓÒ Ú Ö ÔÙ Ð × ÓÙÒ Ø ÓÒº Á Ø ÈÖÓ Ö × ØÓ Ø Ò ÖÑ× Ò ÓÒ Ý Ø Ö Ú Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ý Ø Ö Ñ ÒÝ Ø ÓÒ× Ö Ó ËÓ ØÛ Ö ½º ÌÀ ÈÄ ¾ ½¼º Á ÝÓÙ Û × ØÓ Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ô ÖØ× Ó Ø ÈÖÓ Ö Ñ ÒØÓ ÓØ Ö Ö ÔÖÓ Ö Ñ× Û Ó× ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ× Ö Ö Òظ ÛÖ Ø ØÓ Ø ÙØ ÓÖ ØÓ × ÓÖ Ô ÖÑ ×× ÓÒº ÓÖ ×Ó ØÛ Ö Û × ÓÔÝÖ Ø Ý Ø Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ¸ ÛÖ Ø ØÓ Ø Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ Û ×ÓÑ Ø Ñ × Ñ Ü ÔØ ÓÒ× ÓÖ Ø ×º ÇÙÖ × ÓÒ Û ÐÐ Ù Ý Ø ØÛÓ Ó Ð× Ó ÔÖ × ÖÚ Ò Ø Ö ×Ø ØÙ× Ó ÐÐ Ö Ú Ø Ú × Ó ÓÙÖ Ö ×Ó ØÛ Ö Ò Ó ÔÖÓÑÓØ Ò Ø × Ö Ò Ò Ö Ù× Ó ×Ó ØÛ Ö Ò Ö ÐÐݺ ÆÇ Ï ÊÊ ÆÌ ½½º ÍË ÌÀ ÈÊÇ Ê Å ÁË ÄÁ ÆË Ê Ç À Ê ¸ ÌÀ Ê ÁË ÆÇ Ï ÊÊ ÆÌ ÇÊ ÌÀ ÈÊÇ Ê Å¸ ÌÇ ÌÀ Ì ÆÌ È ÊÅÁÌÌ ÈÈÄÁ Ä Ä Ïº ÈÌ ÏÀ Æ ÇÌÀ ÊÏÁË ËÌ Ì ÁÆ ÏÊÁÌÁÆ ÌÀ ÇÈ ÊÁ ÀÌ ÀÇÄ ÊË Æ »ÇÊ ÇÌÀ Ê È ÊÌÁ Ë ÈÊÇÎÁ ÌÀ ÈÊÇ Ê Å Ë ÁË ÏÁÌÀÇÍÌ Ï ÊÊ ÆÌ Ç Æ ÃÁÆ ¸ ÁÌÀ Ê ÈÊ ËË ÇÊ ÁÅÈÄÁ ¸ ÁÆ ÄÍ ÁÆ ¸ ÍÌ ÆÇÌ ÄÁÅÁÌ ÌǸ ÌÀ ÁÅÈÄÁ Ï ÊÊ ÆÌÁ Ë Ç Å Ê À ÆÌ ÁÄÁÌ Æ ÁÌÆ ËË ÇÊ È ÊÌÁ ÍÄ Ê ÈÍÊÈÇË º ÌÀ ÆÌÁÊ ÊÁËÃ Ë ÌÇ ÌÀ ÉÍ ÄÁÌ Æ È Ê ÇÊÅ Æ Ç ÌÀ ÈÊÇ Ê Å ÁË ÏÁÌÀ Çͺ ËÀÇÍÄ ÌÀ ÈÊÇ Ê Å ÈÊÇÎ ÌÁÎ ¸ ÇÍ ËËÍÅ ÌÀ ÇËÌ Ç ÄÄ Æ ËË Ê Ë ÊÎÁ ÁÆ ¸ Ê È ÁÊ ÇÊ ÇÊÊ ÌÁÇƺ ½¾º ÁÆ ÆÇ Î ÆÌ ÍÆÄ ËË Ê ÉÍÁÊ ÈÈÄÁ Ä Ä Ï ÇÊ Ê ÌÇ ÁÆ ÏÊÁÌÁÆ ÏÁÄÄ Æ ÇÈ ÊÁ ÀÌ ÀÇÄ Ê¸ ÇÊ Æ ÇÌÀ Ê È ÊÌ ÏÀÇ Å ÅÇ Á Æ »ÇÊ Ê ÁËÌÊÁ ÍÌ ÌÀ ÈÊÇ Ê Å Ë È ÊÅÁÌÌ ÇÎ ¸ ÄÁ Ä ÌÇ ÇÍ ÇÊ Å Ë¸ ÁÆ ÄÍ ÁÆ Æ Æ Ê Ä¸ ËÈ Á ĸ ÁÆ Á ÆÌ Ä ÇÊ ÇÆË ÉÍ ÆÌÁ Ä Å Ë ÊÁËÁÆ ÇÍÌ Ç ÌÀ ÍË ÇÊ ÁÆ ÁÄÁÌ ÌÇ ÍË ÌÀ ÈÊÇ Ê Å ´ÁÆ ÄÍ ÁÆ ÍÌ ÆÇÌ ÄÁÅÁÌ ÌÇ ÄÇËË Ç Ì ÇÊ Ì ÁÆ Ê Æ Ê ÁÆ ÍÊ Ì ÇÊ ÄÇËË Ë ËÍËÌ ÁÆ ÇÍ ÇÊ ÌÀÁÊ È ÊÌÁ Ë ÇÊ ÁÄÍÊ Ç ÌÀ ÈÊÇ Ê Å ÌÇ ÇÈ Ê Ì ÏÁÌÀ Æ ÇÌÀ Ê ÈÊÇ Ê Å˵¸ Î Æ Á ËÍ À ÀÇÄ Ê ÇÊ ÇÌÀ Ê È ÊÌ À Ë Æ ÎÁË Ç ÌÀ ÈÇËËÁ ÁÄÁÌ Ç ËÍ À Š˺ Æ Ç Ì ÊÅË Æ ÇÆ ÁÌÁÇÆË ÀÓÛ ØÓ ÔÔÐÝ Ì × Ì ÖÑ× ØÓ ÓÙÖ Æ Û ÈÖÓ Ö Ñ× Á ÝÓÙ Ú ÐÓÔ Ò Û ÔÖÓ Ö Ñ¸ Ò ÝÓÙ Û ÒØ Ø ØÓ Ó Ø Ö Ø ×Ø ÔÓ×× Ð Ù× ØÓ Ø ÔÙ Ð ¸ Ø ×Ø Û Ý ØÓ Ú Ø × × ØÓ Ñ Ø Ö ×Ó ØÛ Ö Û Ú ÖÝÓÒ Ò Ö ×ØÖ ÙØ Ò Ò ÙÒ Ö Ø × Ø ÖÑ׺ ÌÓ Ó ×Ó¸ ØØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ × ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ñº ÁØ × × ×Ø ØÓ ØØ Ø Ñ ØÓ Ø ×Ø ÖØ Ó ×ÓÙÖ Ð ØÓ ÑÓ×Ø Ø Ú ÐÝ ÓÒÚ Ý Ø Ü ÐÙ× ÓÒ Ó Û ÖÖ ÒØÝ Ò Ð × ÓÙÐ Ú Ø Ð ×Ø ½º ÌÀ ÈÄ ¾ Ø ÓÔÝÖ Ø Ð Ò Ò ÔÓ ÒØ Ö ØÓ Û Ö Ø Ö ÙÐÐ ÒÓØ Ó Û × ÓÙÒ º Ø Ø Ó ×º ÓÒ Ð Ò ØÓ Ú Ø ÓÔÝÖ Ø ´ µ Ý Ö Ì × ÔÖÓ Ø ÙÒ Ö Ø Ö ´ Ø ÝÓÙÖ Ì ÔÖÓ Ö Ñ³× Ò Ñ Ò Ò Ñ Ó ÙØ ÓÖ Ö Ñ × Ö ×Ó ØÛ Ö ÝÓÙ Ò Ö ×ØÖ ÙØ Ø Ò »ÓÖ ÑÓ Ý Ø Ø ÖÑ× Ó Ø ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× × ÔÙ Ð × Ý ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ú Ö× ÓÒ ¾ Ó Ø Ä Ò× ¸ ÓÖ ÓÔØ ÓÒµ ÒÝ Ð Ø Ö Ú Ö× ÓÒº Ò Ø ÓÔ Ø Ø Ø Û ÐÐ Ù× Ùи Ø ÓÙØ Ú Ò Ø ÑÔÐ Û ÖÖ ÒØÝ Ó ÇÊ È ÊÌÁ ÍÄ Ê ÈÍÊÈÇË º Ë Ø ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð׺ × ÔÖÓ Ö Ñ × ×ØÖ ÙØ ÙØ ÏÁÌÀÇÍÌ Æ Ï ÊÊ ÆÌ Û Å Ê À ÆÌ ÁÄÁÌ ÓÖ ÁÌÆ ËË ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ÓÙ × ÓÙÐ Ú Ö Ú ÓÔÝ Ó Ø ÆÍ Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× ÐÓÒ Û Ø Ø × ÔÖÓ Ö Ñ ÒÓظ ÛÖ Ø ØÓ Ø Ö ËÓ ØÛ Ö ÓÙÒ Ø ÓÒ¸ ÁÒ º¸ Ì ÑÔÐ ÈÐ ¸ ËÙ Ø ¿¿¼¸ Ó×ØÓÒ¸ Å ¼¾½½½¹½¿¼ ÍË Ð×Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÛ ØÓ ÓÒØ Ø ÝÓÙ Ý Ð ØÖÓÒ Ò Ô Ô Ö Ñ Ðº × ÓÖØ ÒÓØ Ð Ø × Á Ø ÔÖÓ Ö Ñ × ÒØ Ö Ø Ú ¸ Ñ Ø ÓÙØÔÙØ Û Ò Ø ×Ø ÖØ× Ò Ò ÒØ Ö Ø Ú ÑÓ ÒÓÑÓÚ × ÓÒ ÒÓÑÓÚ × ÓÒ Ì × × Ö ÙÒ Ö ÖØ Ú Ö× ÓÒ ¸ ÓÔÝÖ ÓÑ × Û Ø ËÇÄÍÌ ×Ó ØÛ Ö ¸ Ò ÝÓÙ Ò ÓÒ Ø ÓÒ× ØÝÔ Ø Ä Ö × ´ µ Ý Ö Ò Ñ Ó ÙØ ÓÖ ÆÇ Ï ÊÊ ÆÌ ÓÖ Ø Ð× ØÝÔ Û Ð ÓÑ ØÓ Ö ×ØÖ ÙØ Ø ÓÛ ³ ÓÖ Ø Ð׺ × ÓÛ Û³º Ì ÝÔÓØ Ø Ð ÓÑÑ Ò Ô ÖØ× Ó Ø Ò Ö Ð ÈÙ ÐÐ ×ÓÑ Ø Ò ÓØ ÑÓÙ× ¹ Ð × ÓÖ Ñ ÒÙ Ø × × ÓÛ Û³ Ò Ð Ä Ò× º Ç Ö Ø Ò × ÓÛ Û³ Ñ×¹¹Û Ø Ú Ö ×Ù × ÓÛ ³ × ÓÙÐ × ÓÛ Ø ÔÔÖÓÔÖ Ø ÓÙÖ× ¸ Ø ÓÑÑ Ò × ÝÓÙ Ù× Ñ Ý Ò × ÓÛ ³ Ø Ý ÓÙÐ Ú Ò Ø× ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ö Ñº ÓÙ × ÓÙÐ Ð×Ó Ø ÝÓÙÖ ÑÔÐÓÝ Ö ´ × ÓÓи Òݸ ØÓ × Ò ÓÔÝÖ Ø Ò ×× Öݺ À Ö × × ÑÔÐ ÐØ Ö Ø ÓÝÓ ÝÒ ¸ ÁÒ º¸ Ö Ý ÒÓÑÓÚ × ÓÒ³ ´Û Ñ ÝÓÙ ÛÓÖ × ÔÖÓ Ö ÑÑ Öµ ÓÖ ÝÓÙÖ × Ð Ñ Ö ÓÖ Ø ÔÖÓ Ö Ñ¸ Ò Ñ × × Ð Ñ× ÐÐ ÓÔÝÖ Ø ÒØ Ö ×Ø Ò Ø ÔÖÓ Ö Ñ × Ô ×× × Ø ÓÑÔ Ð Ö×µ ÛÖ ØØ Ò Ý Â Ñ × À Öº × Ò ØÙÖ Ó ÌÝ ÓÓÒ ¸ ½ ÔÖ Ð ½ ÌÝ ÓÓÒ¸ ÈÖ × ÒØ Ó Î Ì × Ò Ö Ð ÈÙ Ð Ä Ò× Ó × ÒÓØ Ô ÖÑ Ø Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ò ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ ÒØÓ ¾º Ê ÌÁÎ ÇÅÅÇÆË ¾ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒ× Ö Ð Ö Öݺ ÈÙ Ð Ä ÖÝ ÔÖÓ Ö Ñ׺ Á ÝÓÙÖ ÔÖÓ Ö Ñ Ø ÑÓÖ Ù× ÙÐ ØÓ Ô ÖÑ Ø Ð Ò Á Ø × × Û Ø ÝÓÙ Û ÒØ ØÓ Ò× Ò×Ø Ó Ø × Ä Ò× × ×Ù ÖÓÙØ Ò Ð Ö Öݸ ÝÓÙ Ñ Ý Ò ÔÖÓÔÖ Ø ÖÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ× Û Ø Ø Ó¸ Ù× Ø ÆÍ Ä Ö ÖÝ Ò Ö Ð º ¾º Ä ØØÖ Ê ÈÊÇÎÁ Ì Æ Ð Ó ÙØ ÓÒ¹Ë ÌÁÎ Ä Ö Ð ¾º Ö ØÚ ÓÑÑÓÒ× ÇÅÅÇÆË Ä Ë ÊÎÁ ¹ ÄÁ ÇÊÈÇÊ Ëº ÁËÌÊÁ Ä ÌÁÇÆ ÁË ÆÇÌ ÍÌÁÇÆ Ç Ä Ï ÁÊÅ ÆË Æ Ç Ç Ë ÆÇÌ Ê ¹ Ë ÌÀÁË ÄÁ Ê ÌÁÎ ÌÁÎ Ë ÆÇÌ ÌÌÇÊÆ ÆÌ Ê Æ ÌÀ ÌÁÇÆËÀÁȺ ËÁ˺ ÇÅÅÇÆË ÈÊÇÎÁ ÇÅÅÇÆË Å ¸ Æ Ã Ä ÌÀÁË ÁÆ ÇÊÅ Ï ÊÊ ÄÁ ÆÌÁ ÌÁÇÆ ÇÆ Ê Å ÁÆ Ë¹ÁË Ê Ë ÆÇ ÁÅË Ë Ê ÇÊ ÁÆ ÇÊÅ ÌÁÇÆ ÈÊÇÎÁ º ÁË ÁÄÁÌ Ä Ò× ÌÀ Ë Ê ËÍÄÌÁÆ ÊÇÅ ÁÌË ÍË ÏÇÊà ´ Ê ÌÁÎ Ë ÁÆ ÄÇϵ ÁË ÈÊÇÎÁ ÄÁ ÊÁ ÄÁ ÀÌ Æ º Ë ÆË Æ ´ ÍÆ ÈÄ ÇÊ Ê ÍÆ Ê ÌÀ ÄÁ ÈÈÄÁ Ì ÆË ÊÅË Ç µº Ä ÌÀ Ä Ïº ÆË ÌÀÁË ÇÅÅÇÆË ÈÍ Ì ÏÇÊà ÇÌÀ ÇÈ ÏÇÊà ÁË ÈÊÇÌ Æ ÇÊ ÍË ÇÈ Ç ÊÁ Ê ÈÌ Æ Ê ÌÀ »ÇÊ ÇÌÀ Ê ÌÀ ÁÌ ÍÌÀÇÊÁ Ê ÌÀÁË ÄÁ ÀÌ Ä Ï ÁË ÈÊÇÀÁ ÁËÁÆ Ê ÆÌË ÈÌ Æ ÌÇ ÇÍ ÌÀ Æ Ç ÊÁ ÀÌË ÌÇ ÌÀ ÇÍÆ ÊÁ ËÍ ÀÌË À Ì ÌÀ ÏÇÊà ÈÊÇÎÁ Ì ÊÅË Ç ÁÆ Æ À ÇÆ À Ê ÆË ¸ ÇÍ º ÌÀ Ê ¹ ÄÁ¹ ÌÀÁË ÄÁ Ê ÁÆ ÆËÇÊ Ç ½º ½º Ô ÓÒØÖ ÒØÓ ÇÍÊ ÇÆÌ ÊÅË ÇÆËÁ ÌÁÇÆ ÁÌÁÇÆ˺ Ò Ø ÓÒ× ÓÐÐ Ø Ú Ø ÏÓÖ ÏÓÖ Ñ Ò× ÛÓÖ ¸ ×Ù × Ô Ö Ó Ð ××Ù ¸ ÐÓÒ ÒØ ÓÐÓ Ý ÓÖ ÒÙÑ Ö Ò Ý ÐÓ¹ Ö ¸ Ò Û Ò Ø× ÒØ Ö ØÝ Ò ÙÒÑÓ Ò Ò Ô Ò ÓÖѸ Û Ø Ö Ó ÓØ ×× Ñ Ð ÓÒ× Ö ÙØ ÓÒ׸ ÓÒ×Ø ØÙØ Ò ÓÐÐ Ø Ú Û ÓÐ º ´ × ÏÓÖ × Ô Ö Ø ÛÓÖ Ò Ñ × Ò× Ø ÒØ ÛÓÖ × Ò Ø ÓÐÐ Ø Ú ÏÓÖ Ñ× ÐÚ ×¸ Û ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÒ×Ø ØÙØ × Ö Ú Ø Ú ¾º ÏÓÖ ÐÓÛµ ÓÖ Ø ÛÓÖ × ÔÙÖÔÓ× × Ó Ø ÙÔÓÒ Ø ÖÖ Ò ÏÓÖ × Ä Ò× º ÓÖ ÙÔÓÒ Ø ÏÓÖ Ò ÓØ Ö Ö Ú Ø Ú ÔÖ ¹ Ü ×Ø Ò ÛÓÖ ×¸ ×Ù ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ¸ ÑÙ× Ð Ö ÓÖ Ñ Ý ÏÓÖ ÚÓ Ò ¸ Ñ Òظ Ö Ñ Ø Þ Ø ÓÒ¸ Ö ¸ ÓÖ Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ð Þ ¹ Ò× Ø ÓÒ¸ Ø ÓÖ Ø ÓÒ¸ ÑÓØ ÓÒ Ô ØÙÖ ÓÖ ÒÝ ÓØ ÛÓÖ Ø Ø Ú Ö× ÓÒ¸ ×ÓÙÒ Ø ÖØ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ¸ Ö ×ظ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ñ Òظ ÓÒ ÔØ ¸ Ö ÓÖÑ Ò Û Ø ÓÒ×Ø ØÙØ × Ó Ø ÏÓÖ ÓÐÐ Ø Ú ÓÖ Ø Ò ¸ Ø Ü ÔØ Ø ÏÓÖ Û ÐÐ ÒÓØ Ò Ó ÓÒ× Ó٠ظ Û Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ × ÔÙÖÔÓ× × Ä Ò× º Ö ÓÖ Ò ÑÙ× Ð ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ ÓÖ ×ÓÙÒ ÑÓÚ Ò Ä Ò× º ¿º Ø Ä Ò×ÓÖ Ñ Ñ ´ ×ÝÒ ×ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ× Ö Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ ÏÓÖ Ò Ø Ñ ÓÖ Ø ¹Ö Ð Ø ÓÒ Û Ø ÔÙÖÔÓ× Ó Ø × µ Û ÐÐ Ò× Ø Ò Ú Ù Ð ÓÖ ÒØ ØÝ Ø Ø Ó Ö× Ø ÏÓÖ ÙÒ Ö Ø Ø ÖÑ× Ó × Ä Ò× º º º ÇÖ ÏÓÖ Ò Ð Ñ ÙØ ÓÖ Ò× Ø Ñ Ò× Ø Ø Ò Ð Ú ÛÓÖ Ù Ð ÓÖ Ó ÒØ ØÝ Û Ó Ö Ô Ó Ö Ø ÙÒ Ø ÏÓÖ º Ö Ø Ø ÖÑ× Ó Ø × ÓÔÝÖ ÙØ ÓÖ× Ä Ò× º º ÓÙ Ñ Ò× Ò Ò Ø Ú Ù Ð ÓÖ Ø ÒØ ØÝ Ü Ö × Ò Û Ø Ö Ø× ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× Û Ó × × ÒÓØ ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ Ú ÓÐ Ø Ø ÖÑ× Ó × Ä Ò× Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÏÓÖ ¸ ÓÖ Û Ó ¾º Ê ÌÁÎ ÇÅÅÇÆË ¾ Ö Ú ÜÔÖ ×× Ô ÖÑ ×× ÓÒ ÖÓÑ Ø Ä Ò×ÓÖ ØÓ Ü Ö × Ö Ø× ÙÒ Ö Ø × Ä Ò× ×Ô Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ú ÓÐ Ø ÓÒº º Ä Ò× Ò Ö Í× Ö × Ò Ò Ð Ñ ÒØ× Ø Ê ÖÓÑ Ñ Ò× Ø Ø ØÐ Ò Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò × Ä Ò× ¹Ð Ú Ð Ð Ò× ØØÖ ÙØ ÓÒ¸ Ë ØÓ Ö ØØÖ Ö ÙØ × Ð º ÒÝ Ø × × Ð Ø Ý Ä Ò×ÓÖ ¾º Ö Ø× Ò Ø Ø׺ ÆÓØ Ö Ù× ¸ Ö ÓÔÝÖ × Ð Ò× ÓÖ ÓØ Ö Ò × ÒØ Ò Ù ¸ Ð Ñ Ø¸ ÓÖ Ö ×ØÖ Ø Ü ÐÙ× Ú Ö Ø× Ó Ö×Ø × Ð Ö Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× ÓÒ Ø ÔÔÐ ÓÒ Ð Ð Û׺ ÓÔÝÖ Ø ÓÛÒ Ö ÙÒ Ø Ð Û ÓÖ ÓØ Ø ÖÑ× ¿º Ä Ò× Ö ÒØ× ÔÔÐ ÓÙ Ð Ö Òغ ËÙ ÛÓÖÐ Û Ø ØÓ Ø Ø ÓÒ× Ó Ø × Ä Ò× ¸ Ä Ò×ÓÖ ÙÖ Ø ÓÒ Ó ÐÓÛ ÓÐÐ Ø Ú Ö Ø Ý ¸ ÖÓÝ ÐØݹ Ö ØÓ ¸ ÒÓÒ¹ Ü ÐÙ× Ú ¸ Ô ÖÔ ØÙ Ð ´ ÓÖ Ø Ø Ö Ø Ò Ø ÏÓÖ × Ø× Ò Ø ÏÓÖ ÏÓÖ ÒØÓ ÓÒ × ×Ø Ø ÓÖ ÑÓÖ ÓÔÝÖ Øµ Ð Ò× Ø Ü Ö × ½º ØÓ Ö ÔÖÓ Ù Ò ØÓ Ö ÔÖÓ Ù ¾º ØÓ Ö ¿º ØÓ Ø ×ØÖ Ø Ò ÙØ Ý Ñ ÏÓÖ ¸ ØÓ Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÏÓÖ × Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ ×¸ ÓÐÐ Ø Ú ÏÓÖ × Ö ÔÖÓ Ù ÓÔ × ÓÖ Ô ÓÒÓÖ ÓÖ × Ó ¸ Ø Ð Ù ×ÔÐ Ý ÔÙ Ð Ðݸ Ô Ö ÓÖÑ ÔÙ Ð Ðݸ ÏÓÖ Ò ÐÙ Ò Ò Ô Ö¹ ÓÖÑ ÔÙ Ð ÐÝ Ò ÓÐÐ Ø Ú º ØÓ Ò× Ó Ó ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ Ø × Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÏÓÖ × ×ØÖ ÙØ ÓÔ × ÓÖ Ô ÓÒÓÖ ÓÖ × Ó ¸ Ø Ð Ù ×ÔÐ Ý ÔÙ Ð Ðݸ Ô Ö ÓÖÑ ÔÙ Ð Ðݸ Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ ×º Ò Ô Ö ÓÖÑ ÔÙ Ð ÐÝ º ÓÖ Ø ÚÓ Ý Ñ Ò× Ó Ó ØÖ Ò×Ñ ×× ÓÒ Ò Ó Ó٠ظ Û × ÍÒ Ö Ö Ø Ð Ò ÛÓÖ × ÑÙ× Ð ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ú × Ø ØÝ ´ º º Ü ÐÙ× Ú Ë È¸ Ö Ø ÅÁ¸ ×ص ½º È Ö ÓÖÑ Ò ØÓ ÓÐРظ Û Ë Ë Ø Ö ÊÓÝ ÐØ Ò Ú Ø Ä Ò× ×º Ä Ò×ÓÖ Û Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÖ ÔÙ Ð Ö Ø× ×Ó Ù ÐÐÝ ÓÖ Ú µ¸ ÖÓÝ ÐØ ÏÓÖ º × ÓÖ Ø ÔÙ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò ´ º º Û Ó Ø ¾º Å ÓÐРظ Û ÓÜ Ò ÓÔÝÖ º Ï ÏÓÖ × Ø Ò Ð Ê Ö Ò Ú × Ø× Ò ËØ ØÙØÓÖÝ ÊÓÝ ÐØ ÑÙ× Ö ×º Ä Ò×ÓÖ Û Ø× ×Ó ØÝ ÓÖ Ø Ø ÖÓÑ Ø Ý ½ × Ú × Ø Ò Ø ÏÓÖ Ü ÐÙ× Ú Ö Ø ØÓ Ù ÐÐÝ ÓÖ Ú ÓÖ ÒØ ´ º º À ÖÖÝ ´ ÓÚ Ö Ú Ö× ÓÒ µ Ó Ø ÍË Ò Ýµ¸ ÖÓÝ ÐØ ×ØÖ Ø ÙØ ¸ ×Ù Ø ´ÓÖ Ø ×Ø Ò ×ÓÙÒ Ê ÒÝ Ô ÓÒÓÖ ÓÖ ÓÙ Ö Ö Ø ØÓ Ø ÓÑÔÙÐ×ÓÖÝ Ð Ò× Ö ÙÖ × ÍË Ë Ø ÓÒ ½½ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓØ Ø× Ò Ø ÓÒ×µº ׺ ÓÖ Ø Ö Ü Ø ØÓ Ø ÚÓ Ò Ó Ó٠ظ Û Ø Ö Ø Ú ¹ ËØ ØÙØÓÖÝ ÊÓÝ ÐØ Ú × Ø ØÝ ´ º º Ö ÓÖ Ò ¸ Ä Ò×ÓÖ Û Ø× ×Ó ×ص Ó Ø ÍË Ü ÐÙ× Ú ËÓÙÒ Ø ØÓ ÓÐРظ Û Ò µ¸ ÖÓÝ ÐØ × Ö Ò Ù ÐÐÝ ÓÖ Ú Ô Ö ÓÖÑ Ò ¹Ö ´ º º Û Ó Ø ÓÖ Ø ÔÙ Ð Ö Ø Ø Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ý ½ Ì Ö Ø Ö ÍË ÏÓÖ ¸ ×Ù Ø Ò Ø ´ÓÖ Ø ÐÐ Ñ Ø Ö ÓÑÔÙÐ×ÓÖÝ Ð Ò× Ö ÙÖ × Ö ÒÓÛ Ë Ø ÓÒ ½½ ÓÚ Ú × Ö ÓÔÝÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ÓØ Ò ÓÖÑ Ø× Û ×Ù Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒ×µº ÒÓÛÒ ÓÖ × Ö Ø× Ñ Ý º Ì ÓÚ Ü Ö × Ö Ø× Ø Ö Ò ÐÙ Ö Ø× Ø ØÓ Ñ Ö Ñ Ø ÓÒ× ÐÐ Ö Ø Ò ÐÐÝ Ò ×× ÖÝ ØÓ ÜÔÖ ××ÐÝ Ö ÒØ Ü Ö × Ö Ò ÓØ º ÓÖÑ Ø׺ Ø× ÒÓØ Ý Ä Ò×ÓÖ Ð Ò× Ý Ö × ÖÚ º Ê ×ØÖ Ø ÓÒ×ºÌ Ð Ñ Ø ½º Ø Ý Ø ÓÙ Ñ Ý ÓÐÐÓÛ Ò ×ØÖ Ö ÒØ Ò Ë Ø ÓÒ ¿ ÓÚ × ÜÔÖ ××ÐÝ Ñ ×Ù Ø ØÓ Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ Ø × Ä Ò× ¸ Û Ø Ò ÓÙ ÑÙ×Ø Ò ÐÙ Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ ÓÔÝ Ó ¸ ÓÖ Ø Ó Ø ÏÓÖ ÓÙ Ñ Ý × Ä Ò× Ø ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ Ø ÖÑ× Ó Ö ÓÖ¸ Ø ÏÓÖ ÓÒÐÝ ÙÒ Á Ö Ø ÒØ ÍÒ ÓÖÑ Ê ×ÓÙÖ ÓÙ ÒÓØ Ó ÓÖ Ø ×ØÖ × Ä Ò× Ú ÖÝ ÓÔÝ ÓÖ Ô ÓÒÓÖ ÓÖ ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ ÏÓÖ Ø× Ø Ø ÐØ Ö ÓÖ Ö ×ØÖ Ø Ø Ö ÙÒ Öº Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖѺ Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ÓÖ ÑÔÓ× Ö Ô ÒØ׳ ÒÝ Ø ÖÑ× ÓÒ Ø Ü Ö × Ó Ø Ö Ö ÒØ ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ ×Ù Ð Ò× ¾º Ê ÌÁÎ ÇÅÅÇÆË ¾ ÏÓÖ º Û ÖÖ ÒØ ÓÙ ÑÙ×Ø ×º Ô ÒØ Ø ×ØÖ ÐÐ ÒÓØ × Ø Ø Ö Ö ØÓ Ø × Ä Ò× Ò ØÓ Ø × Ð Ñ Ö Ó Ø ÐÐÝ ÏÓÖ × ØÓ Ø ÏÓÖ Ø Ð ¸ º Á ÜØ ÒØ ´ µ¸ × Ò ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ ÏÓÖ Û Ø ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ Ð Ñ ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ ×ÙÖ × Ø Ø ÓÒØÖÓÐ Ö × ×× ÓÖ Ù× ÓÚ Ø Ó Ø ÔÔÐ Ô Ö ÓÖÑ Ø ÒÝ Ø ÒÓÐÓ Ø Ñ ÒÒ Ö Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø ÏÓÖ × Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÏÓÖ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø ÓÐÐ Ø Ú Ñ ÖÓÑ × Ä Ò× ÙØ Ø Ø ØÓ Ø Ñ Òغ Ì ÏÓÖ ¸ ×Ù Ó × ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø ÖÑ× Ó Ø ÓÐÐ Ø Ú Ô ÖØ ÖÓÑ Ø ÓÐÐ Ø Ú Ö ÑÓÚ ÓÙ Ö ÔÖ Ø Ö ÕÙ ×Ø ¾º Ø× Ð ØÓ × Ä Ò× º Á ÓÙ Ö ÏÓÖ ¸ ÙÔÓÒ ÒÓØ ÓÐÐ Ø Ú Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ ÒÝ Ä Ò×ÓÖ Ø ÓÙ ÑÙ×ظ ØÓ Ø Ý Ð Ù× ÜØ ÒØ ÔÖ Ø ´ µ¸ × Ö ÕÙ ×Ø ÖÓÑ Ø Ø ÒÝ Ö × Ö ÕÙ Ö ÖÓÑ ÏÓÖ ¸ ÙÔÓÒ ÒÓØ Ö Ú Ø Ú ÏÓÖ ÒÝ Ä Ò×ÓÖ Ø ÓÙ ÑÙ×ظ ØÓ Ø Ý Ð Ù× Ð ¸ Ö ÑÓÚ º ÓÙ Ñ Ý ÏÓÖ ×ØÖ ÖÓÑ Ø ÒÝ Ö × Ö ÕÙ Ö ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ Ö Ø × Ø ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ Ø ÖÑ× Ó Ø × Ä Ò× ¸ Ö Ø Ú ´ º º Á Ð Ø Ö Ú Ö× ÓÒ Ó ÓÑÑÓÒ× ØØÖ ÒØ Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ø × Ä Ò× Ö Ú Ø Ú Û Ø Ø Ø × Ñ ÓÒÐÝ ÙÒ Ä Ò× × Ñ Ð Ñ ÒØ× Ä Ò× × Ä Ò× ¸ ÓÖ × Ø ÓÑÑÓÒ× Ð Ò× Ö Ð ¾º Ø ÓÒØ Ò× Ø Ð Ñ ÒØ× × Ä Ò× ÙØ ÓÒ¹Ë Ö ÓÖ¸ Ø Â Ô Òµº ÓÖ ÓØ ÓÙ ÑÙ×Ø Ò ÐÙ ×Ô ÓÙ Ò Ø ×ØÖ ÓÔÝ Ó ¸ ÓÖ Ø ÍÒ ÓÖÑ Ê ×ÓÙÖ Û Ø × Ä Ò× Ó Ø ÐÐÝ ÐØ Ö ÓÖ Ö ÙÒ Ö¸ Ö Ð Ò× ÏÓÖ ÔÖ Ú ÓÙ× × ÒØ Ò ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ Ú ÖÝ ÓÔÝ ÓÖ Ô ÓÒÓÖ ÓÖ Ö Ú Ø Ú Ô Ö ÓÖѺ Ö ×ØÖ Ø Ø Ò ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ Ö Ú Ø Ú Ó Ø Ö Ò ÏÓÖ × Ø Ø× Ö ÒØ × Ð Ø ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ Ó Ø ÖÑ× Ó Ø Ô Ö ÓÖ ÑÔÓ× ÓÖ Ø ÒÝ Ø ÖÑ× ÓÒ Ø Ö Ô Ø Ö ÒØ׳ Ü Ö × × Ä Ò× ÒØ Ø ÓÙ ÑÙ×Ø ×º ÐÐ ÒÓØ × Ø ×ØÖ Ö ØÓ Ø × Ä Ò× ØÓ Ø Ñ Ö Ó Ø ÐÐÝ Ó ÓÚ Ó × ÒÓØ Ø ØÓ Û ÖÖ ÒØ ÓÙ Ñ Ý ÒÓØ Ö Ú Ø Ú ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ Ð Ñ ×ÙÖ × Ø × Ä Ò× ÓÐÐ Ø Ú ÏÓÖ Ø ÓÒØÖÓÐ Ö ÏÓÖ ¸ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø ÏÓÖ ÔÔÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ò ÏÓÖ Û Ø ÒÝ Ø ÒÓÐÓ Ø ×× ÓÖ Ù× Ñ ÒÒ Ö Ò ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø Ö Ú Ø Ú ÓÐÐ Ø Ú ÏÓÖ × Ø ÖÑ× Ó Ø Ò Ö Ú Ø Ú Ñ Òغ Ì ÙØ Ø Ñ × ×Ù × ØÓ Ø Ø Ò ÓÖÔÓÖ Ø ÖÓÑ Ø ÏÓÖ Ô ÖØ Ø× Ð Ø ÖÑ× Ó Ø ¿º Á ÝÓÙ ÓÖ ÓÖ Ø Ò Ñ ÇÖ × Ä Ò× º ×ØÖ ÙØ ¸ ÔÙ Ð ÐÝ Ö Ú Ø Ú Ò ÇÖ ×ÔРݸ ÔÙ Ð ÐÝ Ô Ö ÓÖѸ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ ÓÐÐ Ø Ú ×ÓÒ Ð ÏÓÖ ×¸ ØÓ Ø Ñ ÓÙ ÑÙ×Ø ÙÑ ÓÖ Ñ ÔÔÐ Ð µ Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ ÐÐ ÓÔÝÖ Ö ¸ ÙØ Ð Þ Ò Ò »ÓÖ ´ µ ×ÔÓÒ×ÓÖ Ø Ø ÏÓÖ ÒÝ ÏÓÖ Ó Ø ÏÓÖ × ÓÖ ÔÖÓÚ ¸ Ö Ô ÒØ Ø Ò× ÓÙ ÒÓØ × ´ µ Ø Ø Ò Ð ÙØ ÓÖ ´ÓÖ Ô× Ù ÓÒÝѸ × ØØÖ Ò Ø ÒÓØ ×ÙÔÔÐ Ò Ð ÙØ ÓÖ Ò Ò »ÓÖ Ä Ò×ÓÖ ÒØ Øݸ ÓÙÖÒ Ðµ Ð Ñ ÓÖ Ò׸ Ø ×ÓÒ Ö Ô ÖØÝ ÓÖ Ô ÖØ × ´ º º Ò×Ø ØÙØ ¸ ÔÙ Ð × Ó × ÖÚ ÏÓÖ Òݸ Ø Ö Ö ØÓ Ø Ö Ú Ø Ú Ö Ò ÏÓÖ ÔÖÓÚ ×Ù Ö ÓÖ ÙØ ÓÒ Ò Ä Ò×ÓÖ³× ÓÔÝÖ Ô ÖØÝ ÓÖ Ô ÖØ Ø ÒÓØ ¸ Ø ÖÑ× × Ø Ø ØÐ Á Ó Ø ÒØ Ö¸ Ý ÓØ Ö Ö ØÓ Ø ×ÓÒ Ò Ñ Ó ×Ù Ð ¸ Ø Ø ×ÙÔÔÐ ÜØ ÒØ Ö × ØÓ ÐÝ ÔÖ Ø Ø Û Ø ÍÒ ÓÖÑ Ê ×ÓÙÖ Ø Ä Ò×ÓÖ ×Ô ÓÔÝÖ ÏÓÖ ¸ Ø ÒÓØ Ö Ø Ø ××Ó ÏÓÖ ¸ ÙÒÐ ×× ×Ù ÓÖ Ø ÏÓÖ ÓÖ ÏÓÖ Ò Ø Ë Ö Ò Ò ÍÊÁ Ò Ø Ó × ÒÓØ × Ó ´ º º¸ Ò Ð ÓÖ Ð Ò× Ò ÒØ Ý Ò Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù× Ò Ð Ó Ø Ö Ú Ø Ú ÒÔÐ Ý ÒÝ Ö × ×ÓÒ Ø ÏÓÖ ÓÒ ÓÖ Ð ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ Ó Ý ÇÖ ¸ Ò Ð ÏÓÖ Ý ÇÖ Ö Ó ÙØ ÓÖ¸ ÙØ ÓÖ µº ËÙ Ø ÒØ Ö Û Ö × Ø Ñ Ý Ö Ú Ø Ú Ö ÓÑÔ Ö ÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÏÓÖ Ð Ð ÓÖ Ñ ÒÒ Ö Ñ Ò ÑÙÑ ÓÛ Ú Ö¸ Ø Ø Û ÐÐ Ø Ð ×Ø ÔÔ ÓÐÐ Ø Ú Ô Ö ÏÓÖ ¸ Ø ÔÔ Øº ÒÝ ÓØ × ×Ù × Ò ÙØ ÓÖ× Ö× Ò Ò Ñ ÒÒ Ö × ÔÖÓÑ Ò ÒØ Ö ÓÑÔ Ö × Ð Ñ Ö ÙØ ÓÖ× Ô Ö º Ê ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ׸ Ï ÖÖ ÒØ ¾º Ê ÌÁÎ ÇÅÅÇÆË ¾ ¼ ÍÆÄ ËÇÊ Ç Ê ÆÌÁ ËË ÇÌÀ ÊË ÌÀ Ë Ç Æ ÊÏÁË ÏÇÊà ÃÁÆ Ê Ë¹ÁË ÇÆ ¸ ÁÆ ¸ Æ Ë Æ ÌÇ Å Ã ÌÀ È ÊÌÁ ÈÊ ÊÁ Ë ÁÆ ÏÊÁÌÁÆ Ë Ä˸ ¸ ÄÁ ƹ Ë ÆÇ Ê Å Ì ÆÌ ÌÁÇÆË ÇÊ Ï Ê¹ ÈÊ Ë˸ ÁÅÈÄÁ ¸ Ë ÊÆÁÆ ÄÍ ÁÌÆ Ç Æ ÌÀ ÁÆ ËË ËÌ ÌÍÌÇÊ Ç ÌÁÌÄ ¸ Å Å ÇÊ ÇÌÀ Ê À ÊÏÁË ¸ ÏÁÌÀÇÍÌ ÄÁÅÁÌ ÌÁÇƸ Ï ÊÊ ÇÊ È ÊÌÁ ÍÄ Ê ÈÍÊÈÇË Ê ÌÀ Ì˸ Ê ÇÊ ÆÇÌ ÄÍËÁÇÆ Ç ÌÇ Çͺ ÆÌÁ ÆÌÁ ÁÄÁÌ Ë Ç Á ¸ ÆÇƹ ͹ Á˹ ÁŹ ÁÆ ÊÁÆ Ê ÇÎ ÈÄÁ Æ̸ ÇÊ ÌÀ ÈÊ Ë Æ Ä Ì Ç Ç ÆÇÌ ÆÌ ÇÊ ÇÌÀ ÊÊÇÊ˸ ÏÀ ÄÄÇÏ ÌÀ ÆÇÌ Ì ÄÁ ÆÌ Ê Ä ¸ ÇÊ ÌÀ Ê Ä º ËÇÅ ÆÌÁ ÂÍÊÁË ÌÁÇÆË À Ï ÊÊ Ë¸ ËÇ ËÍ Ð Øݺ ÄÍËÁÇÆ Å ÈÌ ÌÇ ÌÀ ÆËÇÊ Á ÆÌ Ä¸ ÈÈÄ ÉÍÁÊ º Ä Ñ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ä Ä ÌÀ Ä Ï¸ ÁÆ ÆÇ ÇÊ ÅÈÄ ÏÇÊø Å ÇÊ Ê Î Ëº ÆÁ Æ Å ÄÁ Î ÈÈÄÁ Æ Ä ¹ Ä ÇÊ ÆÌ ÏÁÄÄ ÄÁ ËÈ Ë Á ĸ ÁÆ ÌÇ ÉÍ ÆË ÇÍ ÇÆ ÇÆË ÆÌÁ ĸ ÈÍÆÁÌÁÎ ÍË Ç Ç ÊÁËÁÆ Ë ÇÍÌ Ç Æ ÌÀÁË ÄÁ ÎÁË Ç ÇÊ ÌÀ ÈÇËËÁ ÌÀ ËÍ À ÆËÇÊ À ÌÀ ÁÄÁÌ º Ì ÖÑ Ò Ø ÓÒ ½º Ì ÒÝ Ö × Ä Ò× Ý Ò Ø Ö Ø× Ö ÒØ Ö ÙÒ Ö Û ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ú Ö Ø Ù Ð× ÓÖ ÒØ Ø ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ ÙÔÓÒ × Û Ó Ú Ö Ú Ú Ò ÓÙ Ó Ø Ø ÖÑ× Ó Ø × Ä Ò× º ÁÒ ÓÙ ÙÒ Ú Ö Ú Ø Ú Ø Û Ø ÏÓÖ × ÓÖ ÓÐÐ Ø Ú ÔÖÓÚ ÏÓÖ × ÖÓÑ ×Ù ¸ ¸ Ò ¸ Ò Ò ÓÒ × Ä Ò× ¸ ÒØ Ø × Ö Ñ ÓÛ Ú Ö¸ Û ÐÐ ÒÓØ Ò Ò ÙÐÐ ÓÑÔÐ Ö Ð Ò× × Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ó× ¾º ËÙ Ù Ð× ÓÖ Ð Ò× ×º Ë Ø ÓÒ× ½¸ ¾¸ Ø ØÓ Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÓÚ Û ÐÐ ×ÙÖÚ Ú Ø ÓÒ׸ Ø Ø Ò Ø ÙÒ ÒÝ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÒØ Ö Ò × Ä Ò× º Ø ÖÑ× Ð Ð Ò× × Ô ÖÔ ØÙ Ð Ø ÓÚ ¸ ´ ÓÖ Ø ÔÔÐ ÓÔÝÖ × Ø ÏÓÖ µº ÆÓØÛ Ø ×Ø Ò Ö Ø Ö ÒØ Ð Ò× ÒÝ ×Ù Ä Ò×ÓÖ Ö × ÖÚ × Ø ×ØÖ ØÓ Û Ø ÙÒ Ö Ø ÙØ Ò Ø ÏÓÖ Ø ØÓ Ö Ð ÒÝ Ø Ñ ´ÓÖ ÏÓÖ ¸ Ø ÖÑ× ÓÖ ØÓ ×ØÓÔ ÔÖÓÚ ÓÛ Ú Ö Ø Ø Ø × Ð Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ × ÖÚ ØÓ ÓÖ ¸ Ò Ö ÒØ Ø Ö Û Ø × Ä Ò× Ø ÒÝ ÓØ Ò Ö Ð Ò× Ø Ò¸ ÓÖ × Ö ÕÙ Ö Ò ÙÐÐ Ø ÖÑ× Ó × Ä Ò× µ¸ ÓÚ º × Ä Ò× Û ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ÙÒÐ ×× Ø ÖÑ Ò Ø × ×Ø Ø º Å × ÐÐ Ò ÓÙ× ½º ÏÓÖ ¸ Ø ÓÒ Ø ÓÒ× ¾º Ó Ø Ø Ñ ÓÙ ×ØÖ ÙØ ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ Ö Ô ØÓ ÒØ Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ð Ò× Ö Ø ØÓ Ø ÏÓÖ ÏÓÖ ÓÒ Ø ÓÖ × Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ø ÖÑ× Ò Ä Ò×ÓÖ Ó × Ø Ø Ñ Ö Ô Ö ÒØ Ð Ò× ÓÙ ÒØ ØÓ Ö× ØÓ Ø Ö ÒØ ×ØÖ ÙØ ÓÙ ÙÒ × Ä Ò× º Ö Ú Ø Ú Ø ÖÑ× Ò ÏÓÖ ¸ Ä Ò×ÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ× × ÓÖ ÔÙ Ð ÐÝ ØÓ Ø Ö Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø × Ñ Ö× ØÓ Ø Ð Ò× ¿º Á Ð Ò× ÓÙ ÙÒ Ø Ò Ð ÏÓÖ × Ä Ò× º × ÒÚ Ð Ð ØÝ Ó Ô ÖØ ÓÖ ÙÒ Ò ÓÖ Ø × ×Ù Ñ Ò × Ö Ñ Ö Ò Ð Ö Ó ÙÒ Ø Ö ÔÔÐ Ð Ø Ð Û¸ × Ä ¹ ÐÐ Ð º ÒÝ ÔÖÓÚ × ÓÒ Ó Ø Ø Ú Ð Ö × Ä Ò× Ò ÓÖ Ý Ø Ø × ÐÐ ÒÓØ Ò ØÝ ÓÖ Ø ÓÒ Ø ÖÑ× Ó Ò× ¸ Ö ÓÖÑ Û Ø ÓÙØ ÙÖØ ØÓ Ø × ØÓ Ø Ñ Òظ ×Ù ÔÖÓÚ × ÓÒ × Ò Ö Ò ÓÖ Ñ Ò ÑÙÑ ÜØ ÒØ Ò ×× ÖÝ ØÓ Ñ × Ä Ò× ÐÐ × ÐÐ ÔÖÓÚ × ÓÒ Ú Ð Û Ò Ú Ò Ý Ø ÒÓ º ÆÓ Ø ÖÑ ÓÖ ÔÖÓÚ × ÓÒ Ó Ø ØÓ ÙÒÐ ×× ×Ù Û Ø ×Ù º Ì Ø ÏÓÖ Û Û ÓÒ× ÒØ Ö Ú Ö ÓÖ ÓÒ× ÒØ × Ò ÛÖ Ø Ò Ô ÖØÝ ØÓ Ú Ö ÓÖ ÓÒ× Òغ ÓÒ×Ø ØÙØ × Ø Ö º Ì Ö Ö ÒØ Ö ÒÓ ÙÒ Ö º Ö Ñ ÒØ Ò ×¸ ØÛ Ö Ò Ø Ô ÖØ × Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ × Ä Ò× Ð Ò× ÏÓÖ Ö×Ø Ò Ñ ÒØ× ÓÖ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ× Û Ø ÓÙÒ Ý ÒÝ Ø ÓÒ Ð Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ÒÓØ ×Ô Ä Ò×ÓÖ × ÐÐ ÒÓØ ¾º Ê ÌÁÎ ÇÅÅÇÆË ¾ ½ ÔÖÓÚ × ÓÒ× Ø ÑÓ Ö Ø Ñ Ý ÔÔ Ö Ò ÒÝ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ó Ø × Ä Ò× ¸ ÖÓÑ ÓÙº Ì Ò × Ä Ò× ÓÙº Ñ Ý ÒÓØ Û Ø ÓÙØ Ø Ø Ú ÑÙØÙ Ð ÛÖ ØØ Ò Ä Ò×ÓÖ Ò Ñ Ð Ð ÓÑÑÓÒ× × ÒÓØ Ø ÒÝ ÏÓÖ º Ñ Ð Ö × Û Ô ÖØÝ ØÓ Ø Ø Ú × ÒÓ Û ÖÖ ÒØÝ Û ØÓ ÓÙ ÓÖ ÒÝ Ø×Ó Ú Ö Ò ÒÝ Ð¸ Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ Û Ø Ð Ò Ø Ð Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÑÑÓÒ× Û ÐÐ ÒÓØ Ò ÒÝ Ô ÖØÝ ÓÒ Ò Ö Ð¸ ×Ô Ø×Ó Ú Ö¸ Ò ÐÙ × Ö ÐÐ Ö Ó Ö × Ò Ø Ú Ø× Ò Ø Û Ø ÓÙØ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÒØ Ð ÓÖ ÓÒ× ÕÙ ÒØ ÓÖ Ó Ò Ñ Ò ÓÒÒ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÑÑÓÒ× Ò Ó Ð × × Ð Ò× º ÆÓØÛ Ø ×Ø Ò ÒØ Ø× Ð ØÛÓ ´¾µ × ÒØ Ò ×¸ Ö¸ Ø × Ð Ñ Ø Ø ÐÐ Ú ÔÙÖÔÓ× ÜÔÖ ××ÐÝ × Ø Ä Ò×ÓÖ Ü ÔØ ÙÒ ØÖ Ö Ø Ñ Ö Ö ÙÒ ÓÖ Ø Ø ÓÒ× Ó Ä Ò×ÓÖº ÔÙ Ð Ø Ö Ø Ú Ø Ø ÏÓÖ ÓÖ × Ð Ò× ÒÝ Ö Ð Ø Ö Ø Ú Ø Ò ØÖ ØÓ Ø Ñ Ö Èĸ Ò Ö Ô ÖØÝ Û ÐÐ Ù× Ö Ø Ú Ù× ÓÑÑÓÒ× ÓÖ ÐÓ Ó Ó ÒÝ Ô ÖÑ ØØ Ù× Ù ÓÑÑÓÒ× Û Ø ÓÙØ Ø Û ÐÐ Ò ÓÑÔÐ ÔÙ Ð × Ò Û Ø ÔÖ ÓÖ ÛÖ ØØ Ò ÓÒ× ÒØ Ó Ö × Ø Ø Ú ÓÖ ÓØ ÓÑÑÓÒ׳ Ø ÖÛ × Ñ ÓÑÑÓÒ׺ ØÖ Ñ Ö Ò¹ ÙÖÖ ÒØ Ú Ð Ð Ð Ò ×¸ ×Ñ Ý ÓÒ Ø× Û ÙÔÓÒ Ö ÕÙ ×Ø ÖÓÑ Ø Ñ Ö Ø Ú ØÓ Ø Ñ º ÓÒØ Ø Ø ØØÔ »» Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ׺ÓÖ »º ÓÑÑÓÒ× Ñ Ý À ÈÌ Ê ¾ Ì Ì ÙØ Ø × Ø Á ÓÐ × Ñ Ø Ö Ð Ø Ø × ÒÓØ Ö × ÐÐݸ ÐÐÝ Ö ÒÓÖ ØØ Ý ØÓ Ò ÓÖÔÓÖ Ø Ð ØÓ ÒØÓ Ø ÐÔ Ñ Ø Ø Ö Ò Ó Ý¸ Ý ÓÖ ÓÒ³Ø Û ÒØ ØÓ ÐÓ× º ظ ÙÒÐ ×× ÝÓÙ³ Ò ÐÙ× ÓÒº ½º ÀÙÖ Ð ÑÓ Ê ØÙÖÒ Ò ØÙ Ð Ö Ð Ø Ú ØÓ Ø ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ × Ö Ð¸ Ð Ø× ÐÓÓ Ø Ö ÕÙ Ò Ð× ØÙ Ð Ò ØØ Ò ÓÙÒØ ÔÖÓ ØØ Ö Ö ÕÙ Ò Ö Ð Ø × ×º Ö f (y = j) = Ï × Ø Ø ÓÖ Ø ˆ f (y = j) = n i=1 fY ˆ (j|xi , θ)/n i 1(yi Ç = j)/n Î Ñ ×ÙÖ ¸ Ø Ñ ÒÝ ÑÓÖ Ì Ð ½º ØÙ Ð Ç ØÙ Ð ¼º¿¾ ¼º½ ¼º½½ ¼º½¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼¿¾ Ò ÈÓ ××ÓÒ Î ØØ ¼º¼ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º½¼ ØØ Ö ÕÙ Ò ÊÎ × ÓÙÒØ ÓÙÒØ ¼ ½ ¾ ¿ ØÙ Ð ¼º ¼º½¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼¾ ¼ ØØ ¼º ¿ ¼º½ ¼º¼¾ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼¼¾ ¾º ¹ ØÙ Ð Þ ÖÓ× Ø ÙØ Ø Ï Ý Ñ Ø Ó ØÓÖ ÓÖ Ö Ò Ò ÔÖ Ø º ÓÖ Êθ Ø Ö Ö ×ÓÑ Û Ø ÑÓÖ ØÙ Ð Þ ÖÓ× Ø Ò ØØ ¸ Ö Ò Ø Ç × ÒÓØ ØÓÓ ÑÔÓÖØ Òغ Î ÒÓØ Ø Ø Ý Ö Þ ÖÓ× Û ÐÐ × ¸Ø ÒØ ÒØ ØÝÔ Ô Ø ÒØ Ï Ø Ô ÓÔÐ Ñ Ø Ø × ÓÒ ØÓ ÓÒØ Ø Ö ÓÖ ÒÓØ ÓÐÐÓÛ¹ÙÔ Ö Ó Ú × Ø× Ö×Ø Ú × Ø¸ Ø º Ì × × Ó ØÓÖ Ò Ø Ñ Ø × ÓÒ Û Ö Ø Ú × Ø× ÔÖ Ò Ô Ð» ÓØ Ø × ØÙ Ø ÓÒ¸ Û ØÓØ Ð ÒÙÑ Ô Ò × ÙÔÓÒ Ø Ñ Ý ÓÚ ÖÒ Ø ÔÖÓ Ñ Ò ÒØ Û ÐÐ ØÛÓ × ÓÒ Ó Ó ØÓÖº Ë Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ø Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ö ÒØ Ô Ö Ñ Ø Ö× Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó Ñ Ò ÓÖ Ø × ÓÒ¹Ñ Ö× Ó ×¸ Û ÓØ Ø Ò ØÓ ÓÚ ÖÒ Ø Ô Ø Ì ÑÓ ÒØ³× Ô Ø Ð Ð ØÝ Ó Þ ÖÓ× Ú Ö×Ù× Ø Ò Ð Ø Ö ÓÙÒØ׺ Ä Ø Ô Ö ÑØ Ö Ó Ø × Ö Ø Ó λp ÑÓ ÓÖ Ú × Ø׸ Ò Ø Ø λd Ó ØÓÖ³× Ð¸ ÓÖ Ú × Ø׺ ÐÓ Ø Ú × Ø× ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Pr(Y = 0) = fY (0, λp ) = 1 − 1/ [1 + exp(−λp )] Pr(Y > 0) Ì Ø ÓÚ ÔÖÓ Ð Ø Ö × Ö Ù× Ö ØÓ = ×Ø Ñ Ø Ø 1/ [1 + exp(−λp )] , Ò ÖÝ ¼»½ ÈÓ ××ÓÒ ÙÖ Ð ÔÖÓ ×׺ Ì Ò¸ º Ì ÓÖ × Ó × ÖÚ Ø ÓÒ× Û Ú × Ø× ÔÓ× Ø Ú ¸ ØÖÙÒ Ø ¾ ¾ Ò× ØÝ × ×Ø Ñ Ø ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ ¿ Ò× ØÝ × fY (y, λd |y > 0) = = × Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ð Û Ø Ø fY (y, λd ) Pr(y > 0) fY (y, λd ) 1 − exp(−λd ) Ó ØÓÖ³× Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Pr(y = 0) = Ë Ò Ø Ø Ø ÙÖ Ð Ò ØÖÙÒ Ø exp(−λd )λ0 d . 0! ÓÚ Ö ÐÐ Ò× ØÝ ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ× Ó Ø Y × Ö ÒØ Ø ÒÓ Ô Ö Ñ Ø Ö׸ Ò ×Ø Ñ Ø Ò Ý Ñ Ý ×Ø Ñ Ø × Ô Ö Ø Ðݸ Û Ø Ø × ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÑÓÖ Ë Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ ÑÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ðº ´Ê ÐÐ Ø Òº Ì ×Ø Ñ Ø Ü ÑÔÐ ¸ Û ÐÐ Ú ØÓ ÒÚ ÖØ Ø × Ø ÒÙÑ Ö À ×× ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÚ Ö µ º Ì ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ó × Ó ÓÖ 2 Ö K Û Ö K Ó Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ Y × E(Y |x) = Pr(Y > 0|x)E(Y |Y > 0, x) λd 1 = 1 + exp(−λp ) 1 − exp(−λd ) ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ À Ö Ö ÙÖ Ð ÈÓ ××ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ç Î¸ Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø × ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Å ÈË Ø ¸ Ç Î ÐÓ Ø Ö ×ÙÐØ× ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¼¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¹¼º ¿ عËØ Ø× Ô Ö Ñ× Ø´ÇÈ µ Ø´Ë Ò ºµ Ø´À ××µ ÓÒ×Ø ÒØ ¹½º ¼¾ ¹¾º ¼ ¹¾º ¾ ¹¾º ¼ ÔÙ Ò× ½º¼ ½ ¿º¼ ¾¼ ¿º¼¼¾ ¿º¼¿ ÔÖ Ú Ò× ¼º ½º ¾ ½º ¾ ½º ½ × Ü ¼º ¿ ¼ ¿º¼ ¿ ¿º½ ¿º½¿ ¼º¼½ ½ ¾º½ ¾º½ ¾º½ ¼ Ù ¼º¼¿ ¼ ½º¼ ¼º ½¼ ½º¼¾¾¾ Ò ¼º¼ ½º ¾º½ ¾ ½º ¼½ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ¿ º Ë Û ÖØÞ ¿¾º À ÒÒ Ò¹ÉÙ ÒÒ ½ º ¼¿º¿ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ Ì Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ø ØÖÙÒ Ø Ô ÖØ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Å ÈË Ø ¸ Ç Î ØÔÓ ××ÓÒ Ö ×ÙÐØ× ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¼¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¹¾º ¼ ¾ عËØ Ø× Ô Ö Ñ× Ø´ÇÈ µ Ø´Ë Ò ºµ Ø´À ××µ ÓÒ×Ø ÒØ ¼º ¾ º ¾ ½ ½º½ ¿º¾¿¾¿ ÔÙ Ò× ¼º¿½¼¼½ º ¼ ½º ¿ ¿º ½ ¿ ÔÖ Ú Ò× ¼º¼½ ¿ ¾ ¼º¾ ¿¿ ¼º½¼ ¿ ¼º½ ½½¾ × Ü ¼º½ ¼ ½¼º¾ ¿ ½º½ ¼ ¿º ¾ ¼º¼½ ¿ ½ º½ ¿º ¾ ¾ º ½ Ù ¼º¼½ ¾ º¾½ ¼º ½º ¿ ¿ Ò ¹¼º¼¼ ¼½ ¹¾º¿½ ¹¼º¿ ¿¼ ¹¼º ¼ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ¾ º Ë Û ÖØÞ ¾ º À ÒÒ Ò¹ÉÙ ÒÒ ¾ ¾ º ¾ ½ º¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ ØØ Ò ØÙ Ð ÔÖÓ Ì Ð ¾º Ð Ø × ´Æ ØÙ Ð Ç Î ÀÈ Ò ¹ÁÁ Ø× Ö ÔÖÓÚ ØØ × Û Ðе Ö × ÀÙÖ Ð ÈÓ ××ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÊÎ ÓÙÒØ ÓÙÒØ ¼ ½ ¾ ¿ ØÙ Ð ¼º¿¾ ¼º½ ¼º½½ ¼º½¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼¿¾ ØØ ØØ Æ ¼º¿ ¼º½ ¼º½½ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¹ÁÁ ØÙ Ð ¼º ¼º½¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼¾ ¼ ØØ ¼º ÀÈ ØØ ¼º Æ ¹ÁÁ ¼º¿¾ ¼º¼¿ ¼º¼ ½ ¼º½¼ ¼º½½ ¼º½¼ ¼º½¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼¼ ¼º½¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼½ ÓÖ Ø ×Ó ÓÓ º ÀÙÖ Ð ÖÓ× º ÓÒ ÒÓÑ Ö ÈÓ ××ÓÒ ÑÓ Ü Ø¸ Æ Ð׸ Ø Ò ÊÎ ¾³× Ö Ø × Ú ÖÝ ÙÒ × ÙÖ Ø º ¸ ÓÓ Ù× Ì Ò × Ø Ç Î Ø × ÒÓØ Ö ÙØ ½³× ¹ÁÁ Ö ×Ø Ñ Ø ×Ø × Ö Ö ÓÙÒØ× ÙÖ Ð ÓÚ Ö ×Ø Ñ Ø ÑÓ Ò Ð¸ Ø Ú Ò ÓÖ Ø × ÓÙÐ Ð ÑÓ Ø׸ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ñ ÒÝ Ø Ð ÈÓ ××ÓÒ Ö ÐÐ Ø Ð Ö Û Ö Ô Ö Ñ Ø Ö× º Ö º ÀÙÖ Ð Ú Ö× ÓÒ Ó Ø Ð×Ó Û ÐÝ Ù× Ì ½º½º ÒÓÑ Ð ´Æ Ò Ø Ñ ÜØÙÖ ÑÓ ¹Áµ ÑÓ Ð׸ ÓÖ Ø Ç Ð׺ ÓÐÐÓÛ Ò Ø ¸Û Ö ×ÙÐØ× ÓÖ Ñ ÜØÙÖ Ù× Ò Ø Ó ¾Ò × Ø Ú ¹ Î ÝÓÙ Ò Ö ÔÐ Ø ×Ø Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Å ÈË Ø ¸ Ç Î Ñ ÜÒ Ò Ö ×ÙÐØ× ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¼¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¹¾º¾¿½¾ عËØ Ø× Ô Ö Ñ× Ø´ÇÈ µ Ø´Ë Ò ºµ Ø´À ××µ ÓÒ×Ø ÒØ ¼º ¾ ½º¿ ½ ½º¿¾¾ ½º ¿ ÔÙ Ò× ¹¼º¼ ¾½¿ ¹¼º¾¿½ ¹¼º½¿ ¼¾ ¹¼º½ ¾ ÔÖ Ú Ò× ¼º¼ ¿¿ ¼º ¼º¿¿¼ ¼º ¼ × Ü ¼º¿ ¾º ½¾½ ¾º¾½ ¾º ¾ ¼º¼½ ¾º ½ ¿ ¾º ¾º ½ ½ Ù ¹¼º¼ ½ ¹½º ¼½¿ ¹½º ¼ ½ ¹½º ¼¿ Ò ¼º¼½ ¼ ¼º ¿ ¼º ¾ ¼º ¿¾ ½ ÐÒ ÐÔ ¼º ½ ¾º¿ ¾º¼¿ ¾º ¼¾ ÓÒ×Ø ÒØ ¹¿º ½¿¼ ¹½º ½¾ ¹½º ¿ ¹½º ½½ ÔÙ Ò× ¾º¿ ½º ¾ ¿º ¾º ½ ÔÖ Ú Ò× ¼º ¿½ ¼º ¿ ½º½¿ ¼º ¿¿ × Ü ¼º¿ ¼º ¼¼¿ ¼º ¼½ ¼º ½ ¾ ¼º¼¾½ ¾ ½º½¿ ½º¿¼¿¾ ½º¿¿ Ù ¼º¾¾ ½ ¾º¼ ¾¾ ½º ¾ ¾º½ ¼ Ò ¼º¼½ ¾¾ ¼º¾¼ ¿ ¼º ¼ ¼º¿ ¿½¿ ÐÒ ÐÔ ¾º ½ º¾ º ¼¾ º ½ ¾ ÐÓ Ø ÒÚ Ñ Ü ¼º ½ ½º ¼ ½º ¾ ½º ¿ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ¾¿ ¿º Ë Û ÖØÞ ¾¿¿ º À ÒÒ Ò¹ÉÙ ÒÒ ¾¾ ¿º¿ ¾¾ º¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÐØ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö ×غ ÖÖº Ñ Ü × Ñ Ü ¼º ¼¼ ¼º½¾¼ ¿ • Ì ×Ù ± ÓÒ ×Ø× Ø Ø Ø Ò Ö ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Ý Ö × × ÐÐÝ Ø Ñ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö × Ô Ö ÐÓÙ×ÐÝ ÐÓ× ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò× Øݸ Ö Ø ØÓ ½¸ Û Ö Ø Ò Ñ ÜØÙÖ º Ò¸ Ø ÒÓØ Û Ý ØÓ Ø ×Ø Ø × ¹ Ø × Ñ Ö ÐÝ ×Ù Ø × ×Ø Ú º Ø Ñ ÓÖ Ø Ö × • Ù Ø ÓÒ × ÒØ Ö ×Ø Ò º Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÙÒ ÑÓÖ ÐØ Ý Ñ Ü º Û Ú × Ø׸ ÖÓÙÔ¸ Ð Ö ÓÖ Ø ×Ù ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ø Ñ× ØÓ Ò Ø Ú Ú ÐØ Ý ¸ º º¸ Ø Ø ÓÒ Ú × Ø׺ ÓØ Ù Ø ÓÒ × Ù Ø ÓÒ Ö × ÑÔÐ × ÓÙÐ ÔÓ× Ø Ú Ø ÓÒ Ú × Ø׺ Ì Ò ×º Ö Ö ×ÙÐØ× ÐÔ Ð Ö Ý Ø ½º ÀÍÊ Ä ÅÇ ÄË ¾ Ì Û Ì Ö ÓÐÐÓÛ Ò ÐÐ Ø ÓÒ×Ø ÒØ× Ö Ö ×ÙÐØ× ÓÖ ¾ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ×ØÖ Ò Ò Ø Ñ ÜØÙÖ × Ñ Ò Ø Ú ÒÓÑ Ð ÑÓ Ð ×ÐÓÔ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø ÓÚ Ö λj = exβj Ö ÖÓ×× Ø ÐÐÓÛ ØÓ ØÛÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ׺ Ö ÓÖ Ø ØÛÓ ×Ô Ö× ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö× αj Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ׺ ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ Å ÈË Ø ¸ Ç Î Ñ ÜÒ Ò Ö ×ÙÐØ× ËØÖÓÒ ÓÒÚ Ö Ò Ç × ÖÚ Ø ÓÒ× ¼¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ú ÐÙ ¹¾º¾ ½ عËØ Ø× Ô Ö Ñ× Ø´ÇÈ µ Ø´Ë Ò ºµ Ø´À ××µ ÓÒ×Ø ÒØ ¹¼º¿ ½ ¿ ¹¼º ¾¼¿ ¹¼º ½ ¹¼º ¿ ÔÙ Ò× ¼º ¿¾¼ ¾º ¾¼ ¾º ¼ ¾º ¼ ÔÖ Ú Ò× ¼º¾¼ ¿ ½º ¾ ½º¿½¼ ½º¿ × Ü ¼º¿ ½ ¿º½ ¿º ¾ ¿º ¿½ ¼º¼½ ¾¾ ¿º½¾½¾ ¿º ¼ ¿º ¼ ¾ Ù ¼º¼½½ ¼º ¼º ¼¿ ¾ ¼º ¿¿½ Ò ¼º¼½ ¼ ¼º ¼ ¼º ¿½ ¼º ¿ ¼ ÐÒ ÐÔ ½º½ º ½ ¼ º¾ ¾ º ¾ ¿ ÓÒ×Ø ¾ ½º¾ ¾½ ¼º ¾ ¾º ¾½ ½º ¼ ¼ ÐÒ ÐÔ ¾ ¾º ½º ¿ º ½ º¾¾ ¿ ÐÓ Ø ÒÚ Ñ Ü ¾º ¼º ¼¼ ¿ ¿º ¾¾ ½º ¿ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ¾¿¾¿º Ë Û ÖØÞ ¾¿½¾º À ÒÒ Ò¹ÉÙ ÒÒ ¾¾ º¿ ¾¾ º½ ¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶ ÐØ Ñ Ø Ó ÓÖ Ñ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö ×غ ÖÖº Ñ Ü × Ñ Ü ¼º ¾¿¿ ¼º¼ ¿½ • • ÆÓÛ Ø Ì ÑÓ ×ÐÓÔ Ðº Ñ ÜØÙÖ Ô Ö Ñ Ø Ö × ×Ø Ñ Ø × Ú Ò ÐÓ× Ö ØÓ ½º Ö ÔÖ ØØÝ ÐÓ× ØÓ Û Ø Û ÓØ Û Ø Ø Æ ¹Á Ô Ö Ñ Ø Ö ¾º ÅÓ Ì × × Ø ÓÒ Ò Ð× ÒÓÖ µ ÔÐ Ø ÓÒ ´ Ý ×ÓÑ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ¸ Ò ÓÑÔÐ Ø Ò Ø ×ÓÑ Ð× ÓÖ Ø Ñ × Ö × ÓÖѺ ÂÙ×Ø Ð ÔÓ Òغ × ÓÓ Ö Ö Ò Ø Ø Ò ØÓ ÓÖÑ × × ÓÖ Óѹ Ò Ø× ÔÖ × ÒØ ÌÑ Ë Ö × ÓÒØÖ ÓÒ× Ö Ò ÐÝ× × Ø ÓÖ Ø × × Ø ÓÒº Ì × × Ú ÖÝ ÙØ ÓÒ× ÛÓÙÐ Ú ÖÝ Û Ð ÓÑ º Ú ÓÖ Ó Ð × Ò Ó Ø Ñ × Ö Ø Ô Ò ÓÒØ ÒØ Ú Ö Ð ÍÔ ØÓ ÒÓÛ Û ³Ú Ó ÓØ Ö Ú Ö Ð × yt × ÙÒ Ø ÓÒ Ð ×¸ × º º¸ xt . Ì × Ú Ö xt = (wt , yt−1 , ..., yt−j ). ÈÙÖ Ø× ÓÛÒ Ð ÓÙÖ× Ò Ð Ö Ø Ö Ó × ÖÚ Ô Ò ÒØ Ú Ö × Ñ Ø Ó × ÓÒ× Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓØ Ú ÓÖ Ó Ð Ú Ö yt ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ó Ú Ð٠׸ ÙÒ ÓÒ Ð ×º ÇÒ ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ¼ Ò Ø Ï Ñ Ö Û Ø ×Ø Ð Ò Ó Ø × × ÑÓ Ð Ò Ø ÐÝ Ð Ø Ö Û Ý Ú ÓÖ Ó ÑÓ yt Ð Ø × Ö × Ø Ö Ñ Ö Ø × ÓØ × ÑÓ × Ð×Ó Ò Ð Þ Ò Ö ÓÙØ ÐÐ ÓØ Ö Ú Ö Ð ×º Ø³× ÒÓØ ÑÑ Ò Ð Þ Ð Ò Û Ø ØÓ Ð Ò ÜÔÐ Ò ØÓÖÝ Ú Ö × Ö Ð × × ÓÙÐ × ÓÒ Ö Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ø Ñ ÒÓÒÐ Ò Ö Ø Ñ × Ö Ð¸ ÑÓ×Ø Ø Ñ Ð Ö Ò × ÛÓÖ Ö ÑÓ Ð Ò Ð׸ Ø ÓÙ Ö Ø Ñ × Ö ÖÓÛ Ò Ð º Ï ³ÐÐ × ÑÓ Ð׺ ¾º½º Ú Ö ´ µ Р׸ Ò × ÓÒ ÔØ׺ Ò Ø ÓÒ ¿ ´ËØÓ Ý Ø Ñ ×Ø ÔÖÓ ××µº ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ ×× × × ÕÙ Ò Ó Ö Ò ÓÑ Ü {Yt }∞ t=−∞ Ò Ø ÓÒ ´Ì Ñ × Ö ×µº Ø Ñ × Ö × × ÓÒ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ Ó ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ ×׸ ÓÚ Ö ´ µ ËÓ Ò Ñ Ò ×Ô ÒØ ÖÚ Ð {yt }n t=1 Ø Ñ Ø × Ö × × × ÑÔÐ Ó × Þ ÓÙÐ n ÖÓÑ ÒÓØ ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ ×׺ ÁØ³× ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ò Ø Ø Ø Ú ÐÙ × ÛÓÙÐ Ô Ø ÓÒ ÔØÙ ÐÐݸ ÓÒ Ö Û Ö × ÑÔÐ ¸ Ö Òغ Ò Ø ÓÒ ´ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò µº Ì j th ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ó ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ ×× × ´ Û µ Ö γjt = E(yt − µt )(yt−j − µt−j ) µt = E (yt ) . Ò Ø ÓÒ ´ × Ø Ñ ÓÚ Ö Ò ´Û µ ×Ø Ø ÓÒ Ö Øݵº Ò Ò ÙØÓ ÓÚ Ö ×ØÓ Ò × Ó ×Ø ÔÖÓ ×× ÐÐ ÓÖ Ö× × ÓÚ Ö Ò ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ñ µt = µ, ∀t Ø Ó Ø ÙØÓ ÓÚ Ö Ò × Ô Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ø γjt = γj , ∀t × Û ³Ú ÒØ ÖÚ Ð ØÛ × Ò¸ Ø × ÑÔÐ × Ø Ø Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ ´ËØÖÓÒ Ò Ö Ö ÙØ ÒÓØ Ø γj = γ−j : Ø Ñ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ Ø Ò Ø ÓÒ ×Ø Ø ÓÒ Ö Øݵº ×ØÓ ×Ø ÔÖÓ ×× × ×ØÖÓÒ ÐÝ ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ó ÒØ ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ØÖ ÖÝ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ý Ø ×ØÖ {Yt } Ó ×Ò³Ø Ô Ò ÓÒ t. ×Ø Ø ÓÒ¹ Ë Ò Ö Øݺ Ï ÇÒ ÛÓÙÐ Ø ÑÓÑ ÒØ× Ø ÖÑ Ò ÙØ ÓÒ¸ ×ØÖÓÒ ×Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ⇒Û ÖÓÑ Ø ×ØÓ × Ø Ø Ò Ñ Ó Ø Ò Ó Yt ? Ø Ì Ø Ñ × ÑÔÐ × × Ö × × ÓÒ × ÑÔÐ ×Ø ÔÖÓ ×׺ Ý ÄÄƸ Û ÓÙÐ M Ö Ô ÖÓÑ Ø ×ØÓ º ÔÖÓ º¸ ÜÔ Ø Ø m º º¸ {yt } 1 lim M →∞ M Ì Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐÐ Ø ×¸ Û Ú ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓØ Öº ÀÓÛ Ò M m=1 ytm → E(Yt ) Û Ø ¸ × Ò Ò Û Ò³Ø Ø Ó Ò Ø Ñ × Ø Ø ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø p × ÑÔÐ ØÓ ÛÓÖ ÔÖÓÔ ÖØݺ Ò Ø ÓÒ E(Yt ) ×Ø Ñ Ø Ö Ó ØÝ ´ ÓÖ Ø ´ Ö Ó Øݵº × ØÓ Ø ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ×ØÓ Ñ Ò ×Ø ÔÖÓ ×× × Ö Ó Ñ Òµ Ø Ø Ñ Ú Ö ÓÒÚ Ö ´ µ 1 n n t=1 yt → µ p ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ½ ×Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ó ØÝ × Ø ØØ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò × ×ÓÐÙØ ÐÝ ×ÙÑÑ Ð ∞ j=0 Ì Ø × ÑÔÐ Ø Ø Ý × Ø Ø Ø ÙØÓ ÓÚ Ö ÄÄƺ Ò × |γj | < ∞ Ó ¸ ×Ó Ø Ø Ø yt Ö ÒÓØ ×Ó ×ØÖÓÒ ÐÝ Ô Ò ÒØ ÓÒ³Ø × Ø × Ý Ò Ø ÓÒ ´ Ý Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒµº Ì Ú Ö Ò j th γj γ0 ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ¸ ρj × Ù×Ø Ø j th ÙØÓ Ó¹ Ú Ö ´ ¼µ Ò Ú ρj = Ò Ø ÓÒ ¼ ´Ï Û Ø Ø ÒÓ × µº Ï ÒÓ × Ò Û Ø µ Ø ÒÓ × × Ù×Ø Ø µ × Ø Ñ × Ö × Ð Ø Ö ØÙÖ Ò µ Ø ÖÑ ÓÖ Ò Ð ×× Ð Ò Ô Ò ÖÖÓÖº Òظ ǫt × t = s. Ù×× ÒÓ × E(ǫt ) = 0, ∀t, Ù×Ø V (ǫt ) = σ2 , ÒÓÖÑ Ð ØÝ ××ÙÑÔØ ÓÒº ∀t, ǫt ǫs Ö ¾º¾º Ö Ñ Ò ÊÅ Ö Ò ÑÓ ØÓ Ø × Ø Ø Ø Ð׺ Ï Ø Ê Ò Ø Å Ð × ÓÒ ÔØ׸ Û Ò × Ù×× Ø Û ³Ú ÊÅ ÐÖ Ý ÑÓ Ð׺ Ì º Ì × ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ ×× × Ø × Ó × ÖÚ Ú Ö × Ù×× Ð × Ú Ö Ö ØÐÝ ÒÓÛº ´Å µ ÔÖÓ ×× × Å ´Õµ ÔÖÓ ×× ×º q th ÓÖ Ö ÑÓÚ Ò yt = µ + εt + θ1 εt−1 + θ2 εt−2 + · · · + θq εt−q Û Ö εt × Û Ø ÒÓ × º Ì Ú Ö Ò × γ0 = E (εt + θ1 εt−1 + θ2 εt−2 + · · · + θq εt−q )2 2 2 2 = σ 2 1 + θ1 + θ2 + · · · + θq Ö Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ø ÙØÓ ÓÚ Ö Ò × = E (yt − µ)2 γj = θj + θj+1 θ1 + θj+2 θ2 + · · · + θq θq−j , j ≤ q = 0, j > q Ò ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Ö Ó ¸ × ÐÓÒ × Ì Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ó Ø Ò Å ´Õµ ÔÖÓ ×× × Ò ×× Ö ÐÝ ÓÚ Ö Ö Ò Ø º Ò Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× Ò σ2 θj Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× ×º Ö ÔÖ × ÒØ × yt = c + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + · · · + φp yt−p + εt Ì Ò ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ × Ú ÓÖ Ó Ú ØÓÖ Ò Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× Ò ×ØÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÛÖ Ø Ò Ø × pth ÓÖ Ö Ö¹ Ö×Ø ÓÖ  yt   yt−1  º  º  º yt−p+1 ÓÖ  φ1 φ2 c     1 0   0   =  º  0 1   º    º  º ºº  º º º 0  0 ···    Ö Ö Ò ··· 0 0 ºº º ºº ºº º º 0 1   yt−1    yt−2  0  º  º  º 0···  yt−p 0 φp 0    εt      0  + º    º    º  0  Yt = C + F Yt−1 + Et ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ¾ Ï Ø Ø ×¸ Û Ò Ö ÙÖ× Ú ÐÝ ÛÓÖ ÓÖÛ Ö Ò Ø Ñ Yt+1 = C + F Yt + Et+1 = C + F (C + F Yt−1 + Et ) + Et+1 = C + F C + F 2 Yt−1 + F Et + Et+1 Ò Yt+2 = C + F Yt+1 + Et+2 = C + F C + F C + F 2 Yt−1 + F Et + Et+1 + Et+2 = C + F C + F 2 C + F 3 Yt−1 + F 2 Et + F Et+1 + Et+2 ÓÖ Ò Ò Ö Ð Yt+j = C + F C + · · · + F j C + F j+1 Yt−1 + F j Et + F j−1 Et+1 + · · · + F Et+j−1 + Et+j ÓÒ× Ö Ø ÑÔ Ø Ó × Ó Ò Ô Ö Ó t ÓÒ yt+j . Ì × × × ÑÔÐÝ ∂Yt+j j = F(1,1) ′ ∂Et (1,1) Á Ø ÇØ ×Ý×Ø Ñ × ØÓ ÖÛ × Ø × Ó ×Ø Ø ÓÒ Öݸ Ø Ù× × Ò × Û ÑÓÚ Ò ÓÖÛ Ö Ò Ø Ñ Ò Ø Ñ Ò Ó Ø × ÑÔ Ø ÑÙ×Ø Ì Ö Ó º Ô ÖÑ Ò ÒØ yt . ÓÖ ¸ ×Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ Ö ÕÙ Ö × Ø j→∞ j lim F(1,1) = 0 Ñ ÒÙØ º • Ë Ú Ø × Ö ×ÙÐظ Û ³ÐÐ Ò Ø Ò ÓÒ× Ö Ø ÒÚ ÐÙ × Ó Ø Ñ ØÖ Ü F. Ì × Ö Ø ÓÖ λ ×Ù Ø Ø |F − λIP | = 0 Ì Ø ÖÑ Ò ÒØ × × ÑÔÐÝ Ö Ò ÜÔÖ ×× × ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÖ p = 1, Ø Ñ ØÖ Ü F ×Ó F = φ1 |φ1 − λ| = 0 Ò ÛÖ ØØ Ò × φ1 − λ = 0 Ï Ò p = 2, Ø Ñ ØÖ Ü F × F = ×Ó φ1 φ2 1 0 φ1 − λ φ2 1 −λ F − λIP = Ò |F − λIP | = λ2 − λφ1 − φ2 ËÓ Ø ÒÚ ÐÙ × Ö Ø ÖÓÓØ× Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð λ2 − λφ1 − φ2 ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ¿ Û Ò ÓÙÒ Ù× Ò Ö Ø Ø ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒº Ì × Ò Ö Ð Þ ×º ÓÖ pth ÓÖ Ö Ê ÔÖÓ ×׸ Ø ÒÚ ÐÙ × ÖÓÓØ× Ó λp − λp−1 φ1 − λp−2 φ2 − · · · − λφp−1 − φp = 0 ËÙÔÔÓ× Ò ØÓÖ × Ø Ø ÐÐ Ó Ø ÖÓÓØ× Ó Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ×Ø Ò Ø¸ Ø Ò Ø Ñ ØÖ Ü F Ò F = T ΛT −1 Û Ö T × Ø Ø Ñ ØÖ Ü Û × × Ø× ÓÐÙÑÒ× Ø Ñ Ò ÓÒ Ðº Í× Ò ÒÚ ØÓÖ× Ó Ø × F, Ò Λ × ÓÒ Ð Ò ÛÖ Ø Ñ ØÖ Ü Û Ø ÒÚ ÐÙ × ÓÒ Ø ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ¸ Û F j = T ΛT −1 Û Ö T ΛT −1 · · · T ΛT −1 Ú × T ΛT −1 × Ö Ô Ø j Ø Ñ ×º Ì × F j = T Λj T −1 Ò ËÙÔÔÓ× Ò Ø Ø Ø λi i = 1, 2, ..., p λj 0 1  j  0 λ2 j  Λ =  0 Ö ÐÐ Ö  0 ºº º       λj p Ð Ú ÐÙ ¸ Ø × Ð Ö Ø Ø j→∞ Ö ÕÙ Ö × Ø Ø j lim F(1,1) = 0 |λi | < 1, i = 1, 2, ..., p º º¸ Ø ÒÚ ÐÙ × ÑÙ×Ø Ð ×× Ø Ò ÓÒ Ò ×ÓÐÙØ Ú ÐÙ º • ÁØ Ñ Ý Ø × Ø Ø ×ÓÑ ÒÚ ÐÙ × Ø Ø Ö Ö ÓÑÔÐ Ü¹Ú ÐÙ ÒÚ ÐÙ × º Ì ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ Ò Ò Ö Ð Þ × ØÓ Ø Û Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ð ×× Ø Ò ÓÒ ÑÓ ÙÐÙ׸ ÑÓ ÙÐÙ× Ó ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ a + bi a2 + b2 × mod(a + bi) = Ì × Ð × ØÓ Ø ÑÓÙ× ×Ø Ø Ñ ÒØ Ø Ð ØÓ Ð Ò× Ø Ø ×Ø Ø ÓÒ Ö ØÝ Ö ÕÙ Ö × Ø ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø Ö Ð º ÖÓÓØ× Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ö • • Ï Ð Ú Ö Û Ô ØÙÖ ÙÒ Ø Ö Ð ¸ Û º Ò Ø Ø Ö Ö ÖÓÓØ× ÓÒ Ø ÙÒ Ø Ö Ð ´ÙÒ Ø ÖÓÓØ×µ ÓÖ ÓÙØ× Ø ÛÓÖÐ Ó ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ ×× ×º Ö× ÝÒ Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ö ×ÔÓÒ× ÒÚ ÐÙ Ú ÐÙ × Ø j ∂yt+j /∂εt = F(1,1) Ð ÒÚ ÐÙ × Ð × ØÓ ×Ø ÝÒ Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ý ÑÓÚ Ñ ÒØ׸ Û Ò Ø Ö Ö ÓÖ Ö Ò ÑÔÙÐ× ¹ Ò¹ ÙÒ Ø ÓÒº Ê Ð × ÓÑÐÔ Ü ØÓ Ó ÐÐ ØÓÖÝ Ø Ò Ú ÓÖº Ç ÓÙÖ× ¸ Û Ñ ÜØÙÖ º ÑÙÐØ ÔÐ ÓÚ Ö ÐÐ Ô ØÙÖ × ÁÒÚ ÖØ ÌÓ Ð ØÝ Ó Ê ÔÖÓ ×× Ò Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Û Ø ¸ L Lyt = yt−1 ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ Ì Ð ÓÔ Ö ØÓÖ × Ò ØÓ Ú Ù×Ø × Ò Ð Ö ÕÙ ÒØ Øݸ º º¸ L2 yt = L(Lyt ) = Lyt−1 = yt−2 ÓÖ (1 − L)(1 + L)yt = 1 − Lyt + Lyt − L2 yt = 1 − yt−2 Ñ Ò¹Þ ÖÓ Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× Ò ÛÖ ØØ Ò × yt − φ1 yt−1 − φ2 yt−2 − · · · − φp yt−p = εt ÓÖ yt (1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp ) = εt ØÓÖ Ø × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × 1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp = (1 − λ1 L)(1 − λ2 L) · · · (1 − λp L) ÓÖ Ø Ò ÑÓÑ Òظ ØÓ ÓÔ Ö Ø Ù×Ø × ×Ù Ò Ø ××ÙÑ Ð Ø Ø Ö Ø Ø Ø λi Ö Ó ÒØ× ØÓ Ø ÖÑ Ò º × Ñ Ë Ò × L × ÕÙ ÒØ Ø Ý¸ ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ö Ø λi × Ø ÓÖ Ø Ö¹ Ñ Ò Ø ÓÒ Ó Ø λi × Ñ ÐÐ z: 1 − φ1 z − φ2 z 2 − · · · − φp z p = (1 − λ1 z)(1 − λ2 z) · · · (1 − λp z) ÅÙÐØ ÔÐÝ ÓØ × × Ý z −p z −p − φ1 z 1−p − φ2 z 2−p − · · · φp−1 z −1 − φp = (z −1 − λ1 )(z −1 − λ2 ) · · · (z −1 − λp ) Ò ÒÓÛ Ò λ = z −1 ×Ó Û Ø λp − φ1 λp−1 − φ2 λp−2 − · · · − φp−1 λ − φp = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λp ) Ì ÄÀË × ÔÖ × ÐÝ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÒØ× Ó Ø Ð Ø Ø Ú × Ø Ö × ÑÔÐÝ Ø ÒÚ ÐÙ × Ó F. Ì Ö ¹ ÓÖ ¸ Ø Ñ ØÖ Ü λi F. Ø Ø Ö Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ ÒÚ ÐÙ × Ó Ø ÆÓÛ ÓÒ× Ö Ö ÒØ ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ ×× (1 − φL)yt = εt • ÅÙÐØ ÔÐÝ ËØ Ø ÓÒ Ö Øݸ ÓØ × × Ý × ÓÚ ¸ ÑÔÐ × Ø Ø 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj |φ| < 1. ØÓ Ø 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj (1 − φL)yt = 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj εt ÓÖ¸ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð× ÓÒ Ø ÄÀ˸ Û Ø 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj − φL − φ2 L2 − ... − φj Lj − φj+1 Lj+1 yt == 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj εt Ú Ò Û Ø Ò ÐÐ Ø ÓÒ× Û 1 − φj+1 Lj+1 yt = 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj εt ×Ó yt = φj+1 Lj+1 yt + 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj εt ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ ÆÓÛ × j → ∞, φj+1 Lj+1 yt → 0, × Ò |φ| < 1, ×Ó yt ∼ 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj εt = Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÑ × ØØ Ö Ò ØØ Ö × j Ò Ö × ×º ÀÓÛ Ú Ö¸ Û ×Ø ÖØ Û Ø (1 − φL)yt = εt ËÙ ×Ø ØÙØ Ò Ø × ÒØÓ Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ú yt ∼ 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj (1 − φL)yt = ×Ó 1 + φL + φ2 L2 + ... + φj Lj (1 − φL) ∼ 1 = Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò ÓÑ × Ö ØÖ Ö ÐÝ ÓÓ × j Ò Ö × × Ö ØÖ Ö Ðݺ Ì Ö ÓÖ ¸ ÓÖ |φ| < 1, (1 − φL) Ê ÐÐ Ø Ø ÓÙÖ Ñ Ò Þ ÖÓ Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× −1 = ∞ j=0 φj Lj yt (1 − φ1 L − φ2 L2 − · · · − φp Lp ) = εt Ò ÛÖ ØØ Ò Ù× Ò Ø ØÓÖ Þ Ø ÓÒ yt (1 − λ1 L)(1 − λ2 L) · · · (1 − λp L) = εt Û Ö Ø λ Ö Ø Ö×Ø ÓÖ ÒÚ ÐÙ × Ó F, Ò Ð ÓÒ Ø Ú Ò ×Ø Ø ÓÒ Ö Øݸ ÄÀË ØÓ ÐÐ Ø Ò ÒÚ ÖØ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ì ÊÀË × ÔÖÓ Ù Ø Ó yt =   ∞ j=0 Ò Ò Ø ¹ÓÖ λj L j   1  ∞ j=0 Ö ÔÓÐÝÒÓÑ λj Lj  · · ·  2 Ð× Ò   Ø |λi | < 1.  Ì Ö ÓÖ ¸ Û ∞ j=0 Û L, λj Lj  εt p Ò Ö ÔÖ × ÒØ × yt = (1 + ψ1 L + ψ2 L2 + · · · )εt Û Ö Ø ψi Ö Ö Ð¹Ú ÐÙ Ò ×ÓÐÙØ ÐÝ ×ÙÑÑ Ð º • • Ì Ø Ì Ô ψi φi . ψi Ö׺ Ö ÓÖÑ Ó ÔÖÓ Ù Ø× Ó ÔÓÛ Ö× Ó Ø λi ¸ Û Ö Ò ØÙÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó Ö Ì Ö Ð¹Ú ÐÙ Ò× Ø Ø Ù× ÒÝ ÓÑÔÐ Ü¹Ú ÐÙ × Ò ÒÚ ÐÙ λi Ó ÐÛ Ý× Ó ÙÖ Ò ÓÒ Ù Ø ÁÒ × Ñ a + bi F, Ø Ò ×Ó × ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ a − bi. (a + bi) (a − bi) = a2 − abi + abi − b2 i2 = a2 + b2 Û × Ö Ð¹Ú ÐÙ Ø º Ò Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× × Ö ÔÖ × ÒØ Ð × Ò Ò Ò Ø ¹ÓÖ Ö Å ´Õµ • • Ì × × ÓÛ× Ø ÔÖÓ ×׺ Ê ÐÐ ÓÖ Ø Ø Ý Ö ÙÖ× Ú ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ¸ Ò Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× Ò ÛÖ ØØ Ò × Yt+j = C + F C + · · · + F j C + F j+1 Yt−1 + F j Et + F j−1 Et+1 + · · · + F Et+j−1 + Et+j ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ Á Ð Ø Ø ÔÖÓ ×× × Ñ Ý Ò Þ ÖÓ¸ Ø Ø Ò Ú ÖÝØ Ò Û Ø C ÖÓÔ× ÓÙغ Ì Ø × Ò j Ô Ö Ó × ØÓ Yt = F j+1 Yt−j−1 + F j Et−j + F j−1 Et−j+1 + · · · + F Et−1 + Et × Ü ÔØ ÓÖ Ø × Ù×Ø j → ∞, Ø Ö Ð Ö×Ø Y ÓÒ Ø ÊÀË × ÖÓÔ× ÓÙغ Ì Ø Ø Ø Ö×Ø Et−s ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ú ØÓÖ× Ó Ö ¸ Ò Ø Þ ÖÓ× Ð Ñ Ø¸ Ð Ñ Òظ ×Ó Û yt = Û Ñ × ÜÔÐ Ø Ø Ø ∞ j=0 Fj Ô ε 1,1 t−j ØÛ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ× ψi Ò Ø φi ´ Ò Ø λi × Û Ðи Ö ÐÐ Ò ÔÖ Ú ÓÙ× ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ó F j ). ÅÓÑ ÒØ× Ó Ê´Ôµ ÔÖÓ ×׺ Ì Ê´Ôµ ÔÖÓ ×× × yt = c + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + · · · + φp yt−p + εt ××ÙÑ Ò ×Ø Ø ÓÒ Ö Øݸ E(yt ) = µ, ∀t, ×Ó µ = c + φ1 µ + φ2 µ + ... + φp µ ×Ó µ= Ò c 1 − φ1 − φ2 − ... − φp c = µ − φ1 µ − ... − φp µ ×Ó yt − µ = µ − φ1 µ − ... − φp µ + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + · · · + φp yt−p + εt − µ = φ1 (yt−1 − µ) + φ2 (yt−2 − µ) + ... + φp (yt−p − µ) + εt Ï Ø Ø ×¸ Ø × ÓÒ ÑÓÑ ÒØ× Ö ×Ý ØÓ Ò Ì Ú Ö Ò × γ0 = φ1 γ1 + φ2 γ2 + ... + φp γp + σ 2 Ì ÙØÓ ÓÚ Ö Ò × Ó ÓÖ Ö× j≥1 ÓÐÐÓÛ Ø ÖÙÐ γj = E [(yt − µ) (yt−j − µ))] = E [(φ1 (yt−1 − µ) + φ2 (yt−2 − µ) + ... + φp (yt−p − µ) + εt ) (yt−j − µ)] = φ1 γj−1 + φ2 γj−2 + ... + φp γj−p Í× Ò Ú Ø Ø Ø p + 1 ÙÒ j>p Ò ×ÓÐÚ γ−j = γj , ÓÒ Ò 2 ÒÓÛÒ× ´σ , γ0 , γ1 , ..., γp ) Ø ÓÖ Ö ÙÖ× Ú Ðݺ Ø Ò Ø ×ÓÐÚ p+1 ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖ j = 0, 1, ..., p¸ Ø × ¸ Ø Û ÓÖ ÙÒ ÒÓÛÒ׺ Ï Ø γj ÁÒÚ ÖØ Ð ØÝ Ó Å ´Õµ ÔÖÓ ×׺ Ò Å ´Õµ Ò ÛÖ ØØ Ò × yt − µ = (1 + θ1 L + ... + θq Lq )εt × ÓÖ ¸ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÒ Ø ÊÀË Ò ØÓÖ × (1 + θ1 L + ... + θq Lq ) = (1 − η1 L)(1 − η2 L)...(1 − ηq L) Ò Ó Ø Ò ÛÖ Ø (1 − ηi L) Ò ÒÚ ÖØ × ÐÓÒ × |ηi | < 1. Á Ø × × Ø × ¸ Ø Ò Û (1 + θ1 L + ... + θq Lq )−1 (yt − µ) = εt ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ Û Ö (1 + θ1 L + ... + θq Lq )−1 Û ÐÐ Ò Ò Ò Ø ¹ÓÖ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò L, ×Ó Û Ø ∞ j=0 Û Ø −δj Lj (yt−j − µ) = εt δ0 = −1, ÓÖ (yt − µ) − δ1 (yt−1 − µ) − δ2 (yt−2 − µ) + ... = εt ÓÖ yt = c + δ1 yt−1 + δ2 yt−2 + ... + εt Û Ö c = µ + δ1 µ + δ2 µ + ... ËÓ Û × Ø Ø Ò Å ´Õµ × Ò Ò Ò Ø Ê Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ × ÐÓÒ × Ø i = 1, 2, ..., q. |ηi | < 1, • ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø ØÓ Ò Ø ÓÒ Ð Ò ÐÛ Ý× Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× Ó ØÛÓ Å Ò Å ´Õµ ÔÖÓ ×× Ò ÒÚ ÖØ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº Ü ÑÔÐ ¸ Ø ´½µ ÔÖÓ ×× × yt − µ = (1 − θL)εt Ò ∗ yt − µ = (1 − θ −1 L)ε∗ t Ú Ü ØÐÝ Ø × Ñ ÑÓÑ ÒØ× 2 2 σε ∗ = σε θ 2 ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û ³Ú × Ò Ø Ø γ0 = σ 2 (1 + θ 2 ). Ú Ò Ø ÓÚ Ö Ð Ø ÓÒ× Ô× ÑÓÒ ×Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö׸ ∗ 2 γ0 = σε θ 2 (1 + θ −2 ) = σ 2 (1 + θ 2 ) ×Ó Ø × Ñ ¸ Ú Ö × × Ò × Ö Ø × Ñ º ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ Ø º Ì ×Ñ Ò× Ø Ð Ø º Ð ØÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö× ØÓ ØØ ØÓ Ø ÐÐ Ø ÙØÓ ÓÚ Ö ÔÖÓ ×× × ØÛ Ò × Û ÐÐ Ö Ø × ÐÝ × ØÛÓ Å ×Ø Ò Ù × ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð Òغ • • ÓÖ Ò Ú Ò Å Ò ÒÚ ÖØ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¹ ÓÖ ¸ Ø³× ÑÔÓ×× × × Ó Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÖÓ ×× × ÓÒ Ø ´Õµ ÔÖÓ ×׸ Ø³× Ð ÐÛ Ý× ÔÓ×× Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ´Û Ò Ò ÒÚ ÖØ ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ Ð × ÙÒ ÕÙ µº Ø³× Ø ÓÒÐÝ Ö ÔÖ × ÒØ ¹ ÓØ Ö Ö ÔÖ × Ò¹ ÁØ³× ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÒ× Ø ÐÐÓÛ× ÓÒ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ × Ò × εt Ì ′ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ô ×Ø y s. Ì ÜÔÖ ×× Ð ØÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ù× Ó ÑÓ×Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð׺ Ë Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø Ø Ò ×ÓÒ × Ø Ò Ø Ø ÔÖÓÚ × × Ò • Ï Ý × ÒÚ ÖØ Ù×Ø Å Å ÐÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ô Ö× ÑÓÒ ÓÙ× ÑÓ Ò Ö Ú Ö× Ø Ê´½µ ÔÖÓ ×× Ø Ó Ø Ø Ð ´∞) Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ ÓÒ ´∞) ÔÖÓ ×× × × Ö ØÓ ÒØ× Ú Ò ×Ø Ñ Ø ××Ó Ø Ø ÒÓØ Ø Ñ ×Ø ×ÓÑ Ê´½µ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº Ê´½µ Ó Ø Å ×Ø Ñ Ø ÓÒ¸ Ø³× Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö × Ò Ð Û Ø ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ó Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº ¾º ÅÇ ÄË ÇÊ ÌÁÅ Ë ÊÁ Ë Ì ¾ • Ì Å Ø × × Ø ÑÓ Û Ø Ö ×ÓÒ Ø Ø ÊÅ Ö ÑÓ × Ø × Ð× Ö ÔÓÔÙÐ Öº ÓÑ Ò Ò ÐÓÛ¹ÓÖ Ø Ö Ø Ñ Ê Ò × Ð× Ò Ù×Ù ÐÐÝ Ó Ö Ò ×ÓÒ Ð ØÓÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ÙÒ Ú Ö × Ö ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ñ Ø Ö׺ ÊÅ ÑÓ Ð× × × Ñ Ð Ö ØÓ Û Ø Û ³Ú × Ò ¹ Û • ËØ Ø ÓÒ Ö ØÝ ÛÓÒ³Ø ÒÚ ÖØ Ø Ø Ð ØÝ Ó Ð׺ Ä Ó ÒØÓ Ø ½º Ð ÙÐ Ø Û × ¸ Ð ÙÐ Ø Ò Ò × Ó Ò ÑÓÑ ÒØ× × × Ñ Ð Öº ÊÅ ´½¸½µ ÑÓ Ð Ü Ö × ÙØÓ ÓÚ Ö (1 + φL)yt = c + (1 + θL)ǫt ÐÓ Ö Ô Ý ½℄ Ú ÈÖ ×׺ ¾℄ ¿℄ ℄ ℄ ℄ ℄ Ú ×ÓÒ¸ ʺ Ò Âº º Å Ã ÒÒÓÒ ´½ ¿µ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Ò ÁÒ Ö Ò Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Úº º Å Ã ÒÒÓÒ ´¾¼¼ µ ÓÒÓÑ ØÖ Ì ÓÖÝ Ò Å Ø Ó ×¸ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Úº ÈÖ ×׺ ÆÓÒÐ Ò Ö ËØ Ø ×Ø Ð ÅÓ Ð׸ Ï Ð Ýº ÐÐ Òظ ºÊº ´½ µ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÓÒÓÑ ØÖ Ì ÓÖݸ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Úº ÈÖ ×׺ À Ñ ÐØÓÒ¸ º ´½ µ Ì Ñ Ë Ö × Ò ÐÝ× ×¸ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Úº ÈÖ ×× À Ý × ¸ º ´¾¼¼¼µ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ ÈÖ Ò ØÓÒ ÍÒ Úº ÈÖ ×׺ ÏÓÓÐ Ö ´¾¼¼¿µ¸ ÁÒØÖÓ Ù ØÓÖÝ ÓÒÓÑ ØÖ ×¸ Ì ÓÑ×ÓÒº ´ÙÒ Ö Ö Ù Ø Ð Ú Ð¸ ÓÖ ×ÙÔÔÐ Ñ ÒØ ×ÓÒ¸ ʺ Ò Âº ÐÐ Òظ ºÊº ´½ µ Ù× ÓÒÐݵº ÖÝ ¾ ÁÒ Ü ×ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ð Øݸ ¾ Ò ÖÙÐ ¸ ¾ Ó ¹ ÓÙ Ð × ÑÓ Ò ¸ и ½ ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ¸ ¾ ×ØÖ ÙØ ÓÒ¸ ¾ Ð Øݸ ¾ Ò ¸ Ò Ò ¸ Ò ÔÖÓ Ò ¸ ÓÖ Ò Öݸ ¾ Ò ¸ ÔÓ ÒØÛ × ¸ ¾ Ò ¸ ÙÒ ÓÖѸ ¾ Ò ¸ ÙÒ ÓÖÑ ÐÑÓ×Ø ×ÙÖ ¸ ¾ ÖÓ×× × Ø ÓÒ¸ ½ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ Ð Ò Ö¸ ¾¾¸ ¾ ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ÇÄ˸ ½ ÜØÖ ÑÙÑ ØØ Ð Ú Ö Ð Ð ×Ø Ñ ØÓÖ¸ ½ ½ Ú Ð٠׸ ¾¼ ¸ ¾¿ ÓÓ ÙÒ Ø ÓÒ¸ ¿ ÑÔÓØ Òظ ¾¾ Ø ÓÒ¸ ¾½ Ñ ØÖ Ü¸ Ñ ØÖ Ü¸ ÔÖÓ Ñ ØÖ Ü¸ ×ÝÑÑ ØÖ ¸ ¾¾ Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׸ Ò Ù ÒØ ÓÙØÐ Ö׸ ¾¾ и ¾¾ ÓÛÒ Ò Ù Ò ¸ ¾¿ Ô Ö Ñ Ø Ö ×Ô ¸ ¿ ÈÖÓ Ù Ø ÖÙÐ ¸ ¾ ʹ ×ÕÙ Ö Ê¹×ÕÙ Ö Ö × ¸ ÙÒ ÒØ Ö ¸ ÒØ Ö ¸ ¾ ¸ ¾ Ù Ð׸ ¾¼ ¿¼¼