EDP by pk4fila

VIEWS: 15 PAGES: 6

									Ecuatii cu derivate partiale


MULTIPLE CHOICE

  1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
         ∂ 2u ∂ 2u
               −        =0
         ∂t 2 ∂x 2
      cu condiŃiile iniŃiale:
                          ∂u
         u t =0 = x 2 ,       t =0 = 0
                          ∂t
           u ( x, t ) = t 2 + x 2

  2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
         ∂ 2u  ∂ 2u
          2 −4 2 =0
          ∂t   ∂x
         
         u = 0, ∂u = x
          t =0
                   ∂t
                       t =0




           u ( x, t ) = xt
                                                                π
   3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t =                  dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
                                                                2a
       ∂ 2u      ∂ 2u                                                ∂u
            − a 2 2 şi de condiŃiile iniŃiale u   t =0   = sin x,         t =0   = 1.
       ∂t 2      ∂x                                                  ∂t
                             π
             u ( x, t ) =
                            2a
  4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
         ∂ 2u ∂ 2u
          2 − 2 =0
          ∂t   ∂x
         
         u = x, ∂u = − x
          t =0
                   ∂t
                       t =0




            u ( x, t ) = x (1 − t )
  5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
         ∂ 2u         ∂ 2u
          2    − a2 2 = 0
          ∂t          ∂x
         
         u = 0, ∂u = cos x
          t =0
                         ∂t
                             t =0


                        1
           u ( x, t ) = cos x sin at
                        a




                                                    1
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
      ∂ 2u ∂ 2u
       2 − 2 =0
       ∂t     ∂x
      
      u = sin x, ∂u              = cos x
       t =0
                  ∂t
                           t =0


       u = − sin x
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
    ∂ 2u     ∂ 2u    ∂ 2u  ∂u    ∂u
         +2       − 3 2 + 2 + 6 = 0.
    ∂x 2
             ∂x∂y    ∂y    ∂x    ∂y
          ∂ u 1 ∂u
           2
                +     = 0 , ξ = x + y , η = 3x − y
         ∂ξ∂η 2 ∂ξ

 8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
     ∂ 2u     ∂ 2u   ∂ 2u ∂u ∂u
          +4       +5 2 + +2 = 0
     ∂x 2
             ∂x∂y    ∂y   ∂x ∂y
            ∂ 2u ∂ 2u ∂u
                +    +   =0 ,           ξ = 2x − y ,   η=x
            ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
  9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
      ∂ 2u    ∂ 2u ∂ 2u  ∂u    ∂u
           −2     + 2 +α    +β    + cu = 0.
      ∂x 2
              ∂x∂y ∂y    ∂x    ∂y

              ∂ 2u            ∂u    ∂u
                   + (α + β )    +β    + cu = 0 ,        ξ = x+ y ,       η=y
              ∂η 2
                              ∂ξ    ∂η

 10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
      ∂ 2u            ∂ 2u                  ∂ 2u   ∂u
           − 2 cos x       − ( 3 + sin 2 x ) 2 − y    =0
      ∂x 2
                     ∂x∂y                   ∂y     ∂y

              ∂ u η − ξ  ∂u ∂u 
                  +        −   =0 ,             ξ = 2 x + sin x + y ,      η = 2 x - sin x - y
             ∂ξ∂η   32  ∂ξ ∂η 
 11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
         ∂ 2u         ∂ 2u      2 ∂ u
                                   2
                                          ∂u
       y2
              + 2 xy       + 2x        +y    = 0.
         ∂x 2
                     ∂x∂y         ∂y 2
                                          ∂y
            ∂ 2 u ∂ 2u       1 ∂u 1 ∂u
                  + 2+           ⋅     +   ⋅    =0,         ξ = x2 − y 2 ,      η = x2
            ∂ξ  2
                   ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η
 12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
          ∂ 2u         ∂ 2u    2 ∂ u
                                  2
                                               ∂u
      tg x 2 − 2 y tgx
        2
                            +y        + tg 3 x    = 0.
          ∂x           ∂x∂y      ∂y 2
                                               ∂x
             ∂ 2u 2ξ ∂u
                 − ⋅     =0 ,          ξ = y sin x ,   η=y
             ∂η 2 η 2 ∂ξ

                                                   2
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
     ∂ 2u           ∂ 2u          ∂ 2u      ∂u 1       ∂u
          + 2sin x       − cos 2 x 2 + cos x + sin 2 x    = 0.
     ∂x 2
                   ∂x∂y           ∂y        ∂x 2       ∂y
               ∂ 2u 1    ξ + η ∂u
                   + cos          =0 ,            ξ = x + y + cos x ,        η = x − y − cos x
              ∂ξ∂η 2       2 ∂η
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
          ∂ 2u        ∂ 2u        ∂ 2u    ∂u    ∂u
     x2        + 2 xy      − 3 y 2 2 − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0.
          ∂x 2
                      ∂x∂y        ∂y      ∂x    ∂y
               ∂ 2u   1 ∂u 1 ∂u                                             x3
                    +   ⋅ −     +u = 0 ,                 ξ = xy ,   η=
              ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η                                               y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

     (1 + x ) ∂xu + (1 + y ) ∂yu + x ∂u + y ∂u = 0.
                    2              2
              2                2

              ∂         2
                             ∂       ∂x2
                                            ∂y
          ∂ 2u ∂ 2u
              +
          ∂ξ 2 ∂η 2
                    =0,                    (
                                   ξ = ln x + 1 + x 2 ,    )            (
                                                                 η = ln y + 1 + y 2    )
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
                  ∂ 2u              ∂ 2u      ∂ 2u
     sin 2 x           − 2 y sin x       + y 2 2 = 0.
                  ∂x 2             ∂x∂y       ∂y
              ∂ 2u     2ξ     ∂u                         x
                   − 2      ⋅    =0 ,          ξ = ytg     ,    η=y
              ∂η ξ + η ∂ξ
                 2        2
                                                         2

17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
          ∂ 2u          ∂ 2u    2 ∂ u
                                   2
                                            ∂u
     cth x 2 − 2 y cthx
          2
                             +y        + 2y    = 0.
          ∂x            ∂x∂y      ∂x 2
                                            ∂y
              ∂ 2u   1  ∂u    ∂u 
                   +  2 
                          ξ +η    =0 ,                   ξ = y chx ,       η = shx
              ∂η 1 + η  ∂ξ
                 2
                               ∂η 
  18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
      transformarea făcută:
         ∂ 2u ∂ 2 u
       y 2 + 2 = 0.
         ∂x ∂y
            ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
                  ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u                                  2 3
                      +    +      =0,            ξ=x,          η = y2   ( y > 0)
                  ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η                                 3
  19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
      transformarea făcută:

       ∂ 2u    ∂ 2u  ∂u
            + y 2 +α    =0 ,               unde α = constant
       ∂x 2
               ∂y    ∂y
               ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este:
                            1
                        α −  ∂u ∂u 
                ∂u2
                                                   ξ = x − 2 − y
                                                   
                     −      2
                                   −    =0 ,                      ( y < 0)
               ∂ξ∂η ξ − η  ∂ξ ∂η                 η = x + 2 − y
                                                   
                                                    3
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
    precizând transformarea făcută:
       ∂ 2u   ∂ 2u
     y 2 +x 2 =0
       ∂x     ∂y
             ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este:
                                                                           3

              ∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u
                2       2
                                                                ξ = (−x)2
                  +    +     +      =0 ,                        
              ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η                                          3
                                                                η = ( − y ) 2
                                                                
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
     precizând transformarea făcută:
       ∂ 2u   ∂ 2u
     x 2 + y 2 =0
       ∂x     ∂y
             ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică
             este:
             ∂ 2 u ∂ 2u         y       1 − x2 − y 2
                  + 2 =0, ξ =      , η=
             ∂ξ 2 ∂η          x −1         x −1
22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
     precizând transformarea făcută:
             ∂ 2u         ∂ 2u           ∂ 2u      ∂u       ∂u
     (1 − x2
             ∂x 2   )
                  − 2 xy
                          ∂x∂y
                                − 1 + y2( ∂y 2   )
                                               − 2x − 2 y
                                                    ∂x      ∂y
                                                               =0

          pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
               ∂ 2 u ∂ 2u                         y             1 − x2 + y 2
                    −     =0,               ξ=        ,   η=
               ∂ξ 2 ∂η 2                         1+ x             1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
      ∂ 2u           ∂ 2u          ∂ 2u       ∂u
           − 2sin x       − cos 2 x 2 − cos x    =0
      ∂x 2
                    ∂x∂y           ∂y         ∂y
              u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )

24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

               u ( x, y ) = ϕ   (   x − y +ψ) (      x+ y   )         x, y > 0

25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
        ∂ 2u    2 ∂ u
                   2
                            ∂u
      x  2
             −y        − 2y    =0
        ∂x 2
                  ∂y 2
                            ∂y
                         x                 y
              u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + ψ  
                         y                x
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
      2 ∂ u           ∂ 2u       2 ∂ u      ∂u      ∂u
         2                           2
    x        − 2 xy         +y           +x +y         =0
        ∂x 2
                     ∂x∂y          ∂y  2
                                            ∂x      ∂y
         u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )

                                                          4
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
     ∂  2 ∂u      ∂ 2u
         x    = x2 2
     ∂x  ∂x       ∂y
                         ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )
          u ( x, y ) =
                                            x
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
                ∂ 2u ∂u ∂u
     ( x − y)       − +    =0
                ∂x∂y ∂x ∂y
                         X ( x) − Y ( y)
          u ( x, y ) =                   , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare
                             x− y
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
       ∂ 2u    ∂u  ∂u
            + y + x + xyu = 0
      ∂x∂y     ∂x  ∂y
                               x2 + y 2
                           −
          u ( x, y ) = e          2
                                          ϕ ( x ) +ψ ( y ) 
                                                           

30. Utizând schimbarea de variabile independente :
           y             z
     ξ=       , η = , ζ = z− y
           x             x
    să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
          ∂ 2u           ∂ 2u         ∂ 2u        ∂ 2u        ∂ 2u         ∂ 2u
     x 2 2 + 2 xy              + y 2 2 + 2 yz           + z 2 2 + 2 zx          =0
          ∂x            ∂x∂y          ∂y         ∂y∂z         ∂z          ∂z∂x
                                        y z        y z
           u ( x, y, z ) = ( z − y ) ϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)
                                        x x         x x
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
    ∂ 2u          ∂ 2u           ∂ 2u        ∂ 2u
     ∂t 2
           = a11 2 + 2a12
                  ∂x            ∂x∂y
                                        + a22 2
                                             ∂y
                                                           ( a11a22 = a12 )
                                                                       2




                                 (                              ) (
          u ( x, y , t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t                    )
          unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

 32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
       ∂ 4u    ∂ 4u ∂ 4u
            −2 2 2 + 4 = 0
       ∂x 4   ∂x ∂y ∂y
           u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y )
           unde f k ( ⋅)         ( k = 1, 4) sunt funcŃii arbitrare
 33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
       ∂ 2u    ∂ 2u   ∂ 2u                                                 ∂u
            +2      −3 2 = 0 ,                           u y =0 = 3x 2 ,               =0
       ∂x 2    ∂x∂y   ∂y                                                   ∂y   y =0


           u ( x, y ) = 3x 2 + y 2
                                                                 5
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
                  ∂ 2u              ∂ 2u   ∂u  ∂u                                                     ∂u
     (1 + x )2

                  ∂x 2
                       − (1 + y 2 )
                                    ∂y 2
                                         +x −y
                                           ∂x  ∂y
                                                  =0 ,                      u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
                                                                                                      ∂y
                                                                                                                    = ϕ1 ( x )
                                                                                                            y =0

                           1   α 2 − 1   β 2 − 1  1 β 1  z 2 − 1 
            u ( x, y ) =     ϕ0         ϕ0               ϕ1 
                           2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 
                                                      −                dz


                            (
            unde, α = x + 1 + x 2         )(   y + 1+ y2 , )       β=
                                                                           x + 1 + x2
                                                                           y + 1+ y2

35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

     ∂ 2u            ∂ 2u         ∂ 2u         ∂u                                                          ∂u
          + 2 cos x       − sin x
                               2
                                       − sin x    =0,                      u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,                          = ϕ1 ( x )
     ∂x 2
                    ∂x∂y          ∂y 2
                                               ∂y                                                          ∂y   y = sin x

                                                                                    x −sin x + y
                           1                                                    1
           u ( x, y ) =                                                      2 ∫ ϕ1 ( z ) dz
                             ϕ 0 ( x − sin x + y ) + ϕ 0 ( x + sin x − y )  +
                             
                           2                                                      x + sin x − y



36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
     ∂ 2u     ∂ 2u   ∂ 2u ∂u ∂u                                                   ∂u
          +4       −5 2 +   −   = 0,                    u y =0 = f ( x ) ,                    = F ( x)
     ∂x 2    ∂x∂y    ∂y   ∂x ∂y                                                   ∂y   y =0


                                               x− y z            x−
                                                                     y
                                                                                  
                                     5 − x+ y  5 6                  5 z
                                                                                  
           u ( x, y ) = f ( x + y ) + e   6
                                               ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz 
                                                                       6
                                     6
                                               x+ y
                                              
                                                                  x+ y
                                                                                  
                                                                                  
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
       ∂ 2u         ∂ 2u      2 ∂ u
                                 2
                                                                                 ∂u
     x2
            − 2 xy       − 3y        =0,               u          = ϕ0 ( x ) ,                = ϕ1 ( x )
       ∂x 2        ∂x∂y         ∂y 2                       y =1
                                                                                 ∂y    y =1

                                                                       x                                        x


                                (    )           x 3 4 3
                                                                       y               7              7         y
                      3           1                                            3     −              −
          u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0             +  x y ∫ ϕ 0 ( x ) x dx − 4 x 3 y ∫ ϕ1 ( x ) x 4 dx
                                                                                       4
                      4           4              y  16    x3 y
                                                                               4       x3 y




                                                            6

								
To top