Get documents about "EDP
Shared by: pk4fila
-
Stats
- views:
- 15
- posted:
- 6/8/2010
- language:
- Romanian
- pages:
- 6
Document Sample
Ecuatii cu derivate partiale
MULTIPLE CHOICE
1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u
− =0
∂t 2 ∂x 2
cu condiŃiile iniŃiale:
∂u
u t =0 = x 2 , t =0 = 0
∂t
u ( x, t ) = t 2 + x 2
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u
2 −4 2 =0
∂t ∂x
u = 0, ∂u = x
t =0
∂t
t =0
u ( x, t ) = xt
π
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
2a
∂ 2u ∂ 2u ∂u
− a 2 2 şi de condiŃiile iniŃiale u t =0 = sin x, t =0 = 1.
∂t 2 ∂x ∂t
π
u ( x, t ) =
2a
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u
2 − 2 =0
∂t ∂x
u = x, ∂u = − x
t =0
∂t
t =0
u ( x, t ) = x (1 − t )
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u
2 − a2 2 = 0
∂t ∂x
u = 0, ∂u = cos x
t =0
∂t
t =0
1
u ( x, t ) = cos x sin at
a
1
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u
2 − 2 =0
∂t ∂x
u = sin x, ∂u = cos x
t =0
∂t
t =0
u = − sin x
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
+2 − 3 2 + 2 + 6 = 0.
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ u 1 ∂u
2
+ = 0 , ξ = x + y , η = 3x − y
∂ξ∂η 2 ∂ξ
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
+4 +5 2 + +2 = 0
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂u
+ + =0 , ξ = 2x − y , η=x
∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
−2 + 2 +α +β + cu = 0.
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂u ∂u
+ (α + β ) +β + cu = 0 , ξ = x+ y , η=y
∂η 2
∂ξ ∂η
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u
− 2 cos x − ( 3 + sin 2 x ) 2 − y =0
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂y
∂ u η − ξ ∂u ∂u
+ − =0 , ξ = 2 x + sin x + y , η = 2 x - sin x - y
∂ξ∂η 32 ∂ξ ∂η
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u
2
∂u
y2
+ 2 xy + 2x +y = 0.
∂x 2
∂x∂y ∂y 2
∂y
∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u
+ 2+ ⋅ + ⋅ =0, ξ = x2 − y 2 , η = x2
∂ξ 2
∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u
2
∂u
tg x 2 − 2 y tgx
2
+y + tg 3 x = 0.
∂x ∂x∂y ∂y 2
∂x
∂ 2u 2ξ ∂u
− ⋅ =0 , ξ = y sin x , η=y
∂η 2 η 2 ∂ξ
2
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u
+ 2sin x − cos 2 x 2 + cos x + sin 2 x = 0.
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y
∂ 2u 1 ξ + η ∂u
+ cos =0 , ξ = x + y + cos x , η = x − y − cos x
∂ξ∂η 2 2 ∂η
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
x2 + 2 xy − 3 y 2 2 − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0.
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u x3
+ ⋅ − +u = 0 , ξ = xy , η=
∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
(1 + x ) ∂xu + (1 + y ) ∂yu + x ∂u + y ∂u = 0.
2 2
2 2
∂ 2
∂ ∂x2
∂y
∂ 2u ∂ 2u
+
∂ξ 2 ∂η 2
=0, (
ξ = ln x + 1 + x 2 , ) (
η = ln y + 1 + y 2 )
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
sin 2 x − 2 y sin x + y 2 2 = 0.
∂x 2 ∂x∂y ∂y
∂ 2u 2ξ ∂u x
− 2 ⋅ =0 , ξ = ytg , η=y
∂η ξ + η ∂ξ
2 2
2
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u
2
∂u
cth x 2 − 2 y cthx
2
+y + 2y = 0.
∂x ∂x∂y ∂x 2
∂y
∂ 2u 1 ∂u ∂u
+ 2
ξ +η =0 , ξ = y chx , η = shx
∂η 1 + η ∂ξ
2
∂η
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2 u
y 2 + 2 = 0.
∂x ∂y
ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 3
+ + =0, ξ=x, η = y2 ( y > 0)
∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂u
+ y 2 +α =0 , unde α = constant
∂x 2
∂y ∂y
ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este:
1
α − ∂u ∂u
∂u2
ξ = x − 2 − y
− 2
− =0 , ( y < 0)
∂ξ∂η ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y
3
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u
y 2 +x 2 =0
∂x ∂y
ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este:
3
∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u
2 2
ξ = (−x)2
+ + + =0 ,
∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η 3
η = ( − y ) 2
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u
x 2 + y 2 =0
∂x ∂y
ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică
este:
∂ 2 u ∂ 2u y 1 − x2 − y 2
+ 2 =0, ξ = , η=
∂ξ 2 ∂η x −1 x −1
22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
(1 − x2
∂x 2 )
− 2 xy
∂x∂y
− 1 + y2( ∂y 2 )
− 2x − 2 y
∂x ∂y
=0
pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
∂ 2 u ∂ 2u y 1 − x2 + y 2
− =0, ξ= , η=
∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u
− 2sin x − cos 2 x 2 − cos x =0
∂x 2
∂x∂y ∂y ∂y
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )
24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
u ( x, y ) = ϕ ( x − y +ψ) ( x+ y ) x, y > 0
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u 2 ∂ u
2
∂u
x 2
−y − 2y =0
∂x 2
∂y 2
∂y
x y
u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + ψ
y x
26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
2 ∂ u ∂ 2u 2 ∂ u ∂u ∂u
2 2
x − 2 xy +y +x +y =0
∂x 2
∂x∂y ∂y 2
∂x ∂y
u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )
4
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2 ∂u ∂ 2u
x = x2 2
∂x ∂x ∂y
ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )
u ( x, y ) =
x
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u
( x − y) − + =0
∂x∂y ∂x ∂y
X ( x) − Y ( y)
u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare
x− y
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u
+ y + x + xyu = 0
∂x∂y ∂x ∂y
x2 + y 2
−
u ( x, y ) = e 2
ϕ ( x ) +ψ ( y )
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
y z
ξ= , η = , ζ = z− y
x x
să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0
∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x
y z y z
u ( x, y, z ) = ( z − y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)
x x x x
31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
∂t 2
= a11 2 + 2a12
∂x ∂x∂y
+ a22 2
∂y
( a11a22 = a12 )
2
( ) (
u ( x, y , t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t )
unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u
−2 2 2 + 4 = 0
∂x 4 ∂x ∂y ∂y
u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y )
unde f k ( ⋅) ( k = 1, 4) sunt funcŃii arbitrare
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u
+2 −3 2 = 0 , u y =0 = 3x 2 , =0
∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂y y =0
u ( x, y ) = 3x 2 + y 2
5
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂u
(1 + x )2
∂x 2
− (1 + y 2 )
∂y 2
+x −y
∂x ∂y
=0 , u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
∂y
= ϕ1 ( x )
y =0
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1
u ( x, y ) = ϕ0 ϕ0 ϕ1
2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
− dz
(
unde, α = x + 1 + x 2 )( y + 1+ y2 , ) β=
x + 1 + x2
y + 1+ y2
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u
+ 2 cos x − sin x
2
− sin x =0, u y =sin x = ϕ0 ( x ) , = ϕ1 ( x )
∂x 2
∂x∂y ∂y 2
∂y ∂y y = sin x
x −sin x + y
1 1
u ( x, y ) = 2 ∫ ϕ1 ( z ) dz
ϕ 0 ( x − sin x + y ) + ϕ 0 ( x + sin x − y ) +
2 x + sin x − y
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂u
+4 −5 2 + − = 0, u y =0 = f ( x ) , = F ( x)
∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂y y =0
x− y z x−
y
5 − x+ y 5 6 5 z
u ( x, y ) = f ( x + y ) + e 6
∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz
6
6
x+ y
x+ y
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u
2
∂u
x2
− 2 xy − 3y =0, u = ϕ0 ( x ) , = ϕ1 ( x )
∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 y =1
∂y y =1
x x
( ) x 3 4 3
y 7 7 y
3 1 3 − −
u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0 + x y ∫ ϕ 0 ( x ) x dx − 4 x 3 y ∫ ϕ1 ( x ) x 4 dx
4
4 4 y 16 x3 y
4 x3 y
6
Related docs
