Chapitre II Séries de Fourier by bgc15733

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									                                ANALYSE SPECTRALE & SERIES CHRONOLOGIQUES N°2


                                          Chapitre II : Séries de Fourier
        I. Introduction

       L'outil des séries de Fourier est l'outil par excellence pour l'analyse des signaux, du
point de vue spectral, et plus particulièrement quand ceux-ci sont périodiques.

               On va voir dans ce chapitre :
               - Quelques résultats sur la théorie des séries de Fourier.
               - Quelques applications et exemples mathématiques.

        II. Définitions des coefficients de Fourier d'un signal

               On va essentiellement traiter des signaux périodiques.

Définition :
        Soit F une application. Elle est dite
périodique de période T si ∀ x ∈ R,
F(x+T) = F(x) (*)
        La période est le plus petit réel T
qui vérifie (*)

          Les coefficients de Fourier d'un signal. Dans la suite on ne considérera que des
signaux périodiques de période 2π : ∀ x ∈ R, F(x+2π) = F(x)

Définition :
                                                                                                                2π
        1. Les coefficients de Fourrier réels :                                        ∀ n ∈ N,    an( f )= 1 ∫ f (t )cos(nt )dt
                                                                                                           π    0
                                                                                                                    2π
                                                                                       ∀ n ∈ N*,    bn( f )= 1 ∫ f (t )sin(nt )dt
                                                                                                            π   0
                                                                                                               2π
        2. Les coefficients de Fourrier complexes :                                    ∀ n ∈ Z,    cn( f )= 1 ∫ f (t )e−int dt
                                                                                                           2π 0

Propriétés :
                                                                     a + 2π               2π
               ∀a ∈ R, ∀g ∈ 2π - périodique,                     ∫a
                                                                              g(t )dt =∫ g(t )dt
                                                                                      0


Preuve :
      Relation de Chasles appliquée aux intégrales.
    a + 2π             0          2π              2π + a
∫a
             g(t )dt =∫ g(t )dt + ∫ g(t )dt + ∫
                      a           0           2π
                                                           g(t )dt
                                                             a                        a
               On pose u=t-2π ⇒ dt=du ⇒ ∫ g(u +2π )du =∫ g(u )du
                                                             0                        0
    a + 2π             0          2π              a
∫a
             g(t )dt =∫ g(t )dt + ∫ g(t )dt + ∫ g(u )du
                      a           0           0
 a + 2π                2π             0        a
∫a
             g(t )dt =∫ g(t )dt + ∫ g(t )dt + ∫ g(u )du
                      0               a       0
  a + 2π               2π
∫a
             g(t )dt =∫ g(t )dt +0
                      0
    a + 2π             2π
∫a
             g(t )dt =∫ g(t )dt
                      0


                                                                 Séries de Fourier
                                                                                                                                    1
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Conclusion :
       Les coefficients de Fourier réels ou complexes peuvent en fait être calculés sur
n'importe quel intervalle de longueur 2π.

Proposition :
      Lien entre coefficients réel & complexe :
      - ∀ n ∈ N, an( f )=cn( f )+c−n( f )
      - ∀ n ∈ N*, bn( f )=i[cn( f )−c−n( f )]

Preuve :
                      2π
        cn( f )= 1 ∫ f (t )e−int dt
                 2π  0
                       2π                     2π
        c−n( f )= 1 ∫ f (t )e−i(−n)t dt = 1 ∫ f (t )eint dt
                  2π 0                   2π 0
                                2π                  2π                 2π
        cn( f )+c−n ( f )= 1 ∫ f (t )e−int dt + 1 ∫ f (t )eint dt = 1 ∫ f (t )(e−int +eint )dt
                          2π 0                 2π 0                2π 0
                                2π
        cn( f )+c−n ( f )= 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
                          2π 0
        cn( f )+c−n ( f )=an( f ) , ∀ n ∈ N

                                 2π                            2π
        i[cn( f )+c−n ( f )]= i ∫ f (t )(e−int −eint )dt = i ∫ f (t )2isin(−nt)dt
                             2π 0                         2π 0
                                 2π                         2π
        i[cn( f )+c−n ( f )]=− i    f (t )isin(−nt)dt = i
                                 π ∫0                     π ∫0
                                                                f (t )isin(nt)dt
        i[cn( f )+c−n ( f )]=bn( f ) , ∀ n ∈ N

Propriétés :
      - Si f est paire, ( F(− x)= F(x) ) :
             o bn( f )=0 ∀ n ∈ N*
                                      π
                o          an( f )= 2 ∫ f (t )cos(nt)dt ∀ n ∈ N
                                  π   0



       -    Si f est impaire, ( F(− x )=−F(x) ) :
                o an( f )=0 ∀ n ∈ N
                               π
                o bn( f )= 2 f (t )sin(nt)dt ∀ n ∈ N*
                                 π ∫0

Preuve :
                     π                        0                      π
        bn( f )= 1 ∫ f (t )sin(nt)dt = 1 ∫ f (t )sin(nt)dt + 1 ∫ f (t )sin(nt)dt
               π     −π                   π   −π                 π   0

                 On pose u = -t ⇒ du = -dt
                    0                    π
        bn( f )=− 1 f (−u )sin(−nu)du + 1 f (t )sin(nt)dt
                    π ∫π                           π ∫0
                     0                         π
        bn( f )= 1 ∫ f (u )sin(nu)du + 1 ∫ f (t )sin(nt)dt
               π     π                    π   0

        bn( f )=0




                                                    Séries de Fourier
                                                                                                 2
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                       π                          0                                    π
       an( f )= 1 ∫ f (t )cos(nt)dt = 1 ∫ f (t )cos(nt)dt + 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
               π       −π                 π       −π                           π       0

               On pose u = -t ⇒ du = -dt
                   0                     π
       an( f )=− 1 f (−u )cos(−nu)du + 1 f (t )cos(nt)dt
                   π ∫π                                   π ∫0
                            0                                 π
       an( f )=− 1 ∫ f (u )cos(nu)du + 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
                   π       π                   π          0
                       π                                  π
       an( f )= 1 ∫ f (u )cos(nu)du + 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
               π       0                      π       0
                       π
       an( f )= 2 ∫ f (t )cos(nt)dt
               π       0


                       π                          0                                    π
       an( f )= 1 ∫ f (t )cos(nt)dt = 1 ∫ f (t )cos(nt)dt + 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
               π       −π                 π       −π                           π       0

               On pose u = -t ⇒ du = -dt
                   0                    π
       an( f )=− 1 f (−u )cos(−nu)dt + 1 f (t )cos(nt)dt
                   π ∫π                                   π ∫0
                       0                              π
       an( f )= 1 ∫ f (u )cos(nu)dt + 1 ∫ f (t )cos(nt)dt
               π       π                  π       0

       an( f )=0

                       π                          0                                π
       bn( f )= 1 ∫ f (t )sin(nt)dt = 1 ∫ f (t )sin(nt)dt + 1 ∫ f (t )sin(nt)dt
               π    −π                    π    −π                             π    0

                On pose u = -t ⇒ du = -dt
                   0                    π
       bn( f )=− 1 f (−u )sin(−nu)du + 1 f (t )sin(nt)dt
                   π ∫π                                   π ∫0
                           0                              π
       bn( f )=− 1 ∫ f (u )sin(nu)du + 1 ∫ f (t )sin(nt)dt
                   π       π                  π           0
                       π                              π
       bn( f )= 1 ∫ f (u )sin(nu)du + 1 ∫ f (t )sin(nt)dt
               π    0                      π      0
                       π
       bn( f )= 2 ∫ f (t )sin(nt)dt
               π       0



Propriété :
      Si f est encore 2π - périodique,
      - g(x )= f (− x )      ∀ n ∈ Z,                             cn(g )=c−n( f )
      - g(x ) f (x+a )       ∀ n ∈ Z,                             cn(g )=einacn( f )
       -    g(x )=eikx × f (x )        ∀ n ∈ Z,                   cn(g )=cn−k ( f )

Preuves :
                        2π                2π
       -   cn(g )= 1 ∫ g(t )e−int dt = 1 ∫ f (−t )e−int dt
                   2π 0               2π 0
               On pose u = -t ⇒ du = -dt
                    −2π                   0
       cn(g )= 1 ∫ f (u )einu(−du )= 1 ∫ f (u )e−iu(−n)du
              2π   0                  2π −2π
                    2π
       cn(g )= 1 ∫ f (u )e− du
                           iu(−n )
              2π 0
       cn(g )=c−n( f )


                                                              Séries de Fourier
                                                                                           3
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                           2π                    2π
        -   cn(g )= 1 ∫ g(t )e−int dt = 1 ∫ f (t +a )e−int dt
                    2π 0                     2π 0
                On pose u = t+a ⇒ du = dt
                     2π + a                               2π + a
        cn(g )= 1 ∫         f (u )e−in(u −a)du = 1 eina ∫        f (u )e−inu du
               2π a                             2π       a

        cn(g )=einacn( f )
                          2π                    2π
        -   cn(g )= 1 ∫ g(t )e−int dt = 1 ∫ eikt× f (t )e−int dt
                    2π 0                   2π 0
                     2π                      2π
        cn(g )= 1 ∫ f (t )eikt −int dt = 1 ∫ f (t )eit(k −n)dt
               2π 0                      2π 0
                     2π
        cn(g )= 1 ∫ f (t )eit[−(n−k )]dt
               2π 0
        cn(g )=cn−k ( f )

    III. Séries de Fourier et reconstruction d'un signal

Définition :
       Soit f un signal 2π-périodique. On note [cn( f )]n∈Ζ ses coefficients de Fourier
complexes et [an( f )]n∈Ν , [bn( f )]n∈Ν* ses coefficients de Fourier réels.
      La série de Fourier de f est définie par :
                                         +∞
                                                    a ( f ) +∞
          ∀x∈R          , S( f )(x )= ∑cn( f )einx = 0 ∑(an( f )cos(nx)+bn( f )sin(nx))
                                       n = −∞         2 n=1

Remarque : Attention à la convergence de ces séries !

              1. Moyenne Quadratique

                                    +∞
        On note S N ( f )(x)= ∑cn( f )einx
                                   n = −∞
                                                                                                π
        On définit L2([−π,π ]) comme l'ensemble des fonctions f telles que                    ∫ π f (t )dt converge.
                                                                                               −
                                                                                                   2

                                                                                                          π
        Sur     L2([−π,π ]) on définit le produit scalaire suivant,                           f, g = 1 ∫ f (t )g(t )dt ,
                                                                                                    2π π  −

∀f, g∈L2([−π,π ]) .
                         1 π f (t )dt
                        2π ∫−π
        La norme f        L2
                               =
        Les fonctions x→einx constituent une base de L2([−π,π ]) concrètement.

Proposition :
        ∀f ∈L2([−π,π ]) , S N ( f )− f            →0
                                             L2 N →∞



Conséquence :
                                                           a0( f ) 1 ∞
        Théorème de Parseval :              ∑c ( f ) =
                                            n∈Z
                                                  n
                                                       2

                                                             4 2 n=1
                                                                       (
                                                                  + ∑ an( f ) +bn ( f ) = 1 ∫ f 2(t )dt
                                                                             2
                                                                                      )2     π

                                                                                         2π −π




                                                      Séries de Fourier
                                                                                                                      4
                       ANALYSE SPECTRALE & SERIES CHRONOLOGIQUES N°2

              2. Convergence ponctuelle de la série de Fourier

          On prend toujours f 2π-périodique.

Théorème :
      Si f est une fonction continue et si

∑ c ( f ) converge, alors f (x)=∑c ( f )e
n∈Z
      n
                                      n∈Z
                                            n
                                                inx   =S( f )(x) .
                                                       +∞
          On a aussi : Si f est continue et si        ∑ a ( f )+ b ( f ) converge :
                                                       n =1
                                                              n      n


                                   an( f ) +∞
                                     2 ∑
          ∀x∈R ,          f (x)=                (an( f )cos(nx)+bn( f )sin(nx))
                                           n =1


Théorème (Dirichlet) :
          Si f est dérivable de dérivée continue par morceaux, alors en tout point x∈R ,
S( f )(x )= 1 ( f (x+ )+ f (x− ))
            2

Remarque : Si f est continue en x, alors S( f )(x )= f (x )

Proposition:
         Si f et g sont deux fonctions continues et 2π-périodiques telles que ∀n∈Z ,
cn( f )=cn(g ) , alors f = g




                                                Séries de Fourier
                                                                                      5

								
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