PRÁCTICA7. SERIES DE FOURIER

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					             PRÁCTICA 7. SERIES DE FOURIER


Ejercicio 1. Compruebe que la sucesión de funciones { √2 , cos πn x, sin πn x}∞
                                                       1
                                                               T         T    n=0
es ortonormal en el espacio vectorial de las funciones reales gene-
ralmente continuas periódicas de período 2T con el producto interno:
1   2T
T 0
       f (x)g(x)dx
                                                           nπ
Ejercicio 2. Idem para la sucesión de funciones {ei T x }∞ en el es-
                                                         −∞
pacio vectorial de las funciones complejas generalmente continuas pe-
                                                1  2T
riódicas de período 2T con el producto interno: T 0 f (x)g(x)dx
Ejercicio 3. Hallar las series exponencial y trigonométrica de Fourier
de la siguientes funciones en el intevalo (−π, π). Halle la función a la
que C.V. cada una de dichas series en todo el eje real.Trate de identi-
ficar si algunos coeficientes van a dar cero para evitar cálculos de mas.
Indicar en cada punto del eje real el valor al que C.V. la serie
     1. f (x) = x
                   1 −π < x < 0
     2. f (x) =
                   2 0<x<π
                     0   −π < x < 0
     3. f (x) =
                   sin x 0 < x < π
                                               ∞
                           1 1        2              cos 2nx
                   Rta.     + sin x −
                           π 2        π        n=1
                                                     4n2 + 1
                 x
    4. f (x) = e
                     0 −π < x < 0
    5. f (x) =
                     x 0<x<π
    6. |x|
Ejercicio 4. Escribir la S.F de cosenos para la función f (x) = x en el
intervalo (0, π). Halle la función a la que C.V. dicha serie en todo el
eje real. Explique porqué la serie hallada C.V.U. en ambos conjuntos.
                                        ∞
                           π  2  4            cos(2n − 1)
                 Rta.        − −                          x
                           2 π π        n=1
                                               (2n − 1)2

Ejercicio 5. Para las siguientes funciones definidas en el intervalo
(0, π). escribir: a) la S.F. de cosenos, b) la S.F. de senos
Halle la función a la que C.V. cada una de dichas series en todo el eje
real. Indicar en cada punto del eje real el valor al que C.V. la serie
     1. f(x)=1
     2. f (x) = π − x
                                    1
                     1 0<x< π
    3. f (x) =                2
                     2 <x< π <π
                           2

Ejercicio 6. Explique porqué es correcta la fórmula
| sin x| = π − π ∞ cos22nx y utilícela para verificar que
           2    4
                  n=1 4n −1
                                                                      ∞     1
                                                                      n=1 4n2 −1   =1
              n
y ∞ 4n2 −1 = 2−π
      n=1
          (−1)
                   4
                                                               1
Ejercicio 7. Demostrar que la función f (x) = x 3 no tiene derivadas
laterales en x = 0 pero su S.F. en el intervalo (−π, π) C.V. a f (x) en
dicho intervalo, inclusive en el punto x = 0.
Ejercicio 8. Sea f (x + 2c) = f (x)de modo que:
                           
                            −1 −c < x < 0
                   f (x) =     1 0<x<c<π
                            0 x=0ox=c

Mostrar que ∀x ∈ R es
                                 ∞
                                         1        (2n − 1)π
                       f (x) =                sin           x
                                 n=1
                                       2n − 1         c

Ejercicio 9. Idem anterior si:
               
                0          −2 < x < 1
    1. f (x) =    1          1<x<2
               
                 1/2 x = 1 o x = 2 o x = −2
                 ∞
       1 1             1     (n)π     nπ                  nπ     nπ
f (x) = +                sin      cos    x + cos nπ − cos    sin    x
       4 π       n=1
                       n       2       2                   2      2
    2. f (x) = x2 si 0 ≤ x ≤ c
                                             ∞
                             c2 4c2                (−1)n     (nπ)
                  f (x) =      + 2                       cos      x
                             3  n            n=1
                                                    n2         c
       Deducir de este resultado que:
                                       ∞
                                             (−1)n+1   π2
                           f (x) =                   =
                                       n=1
                                               n2      12
       y
                                             ∞
                                                  (1)   π2
                             f (x) =                  =
                                           n=1
                                                  n2    6
                     x     −1 < x < 1
    3. f (x) =
                         x = 1 ∨ x = −1
                                 ∞
                       1 2           −1 2             1
           f (x) =      +                   cos nπ x − sin nπ x
                       3 π   n=1
                                     n nπ 2           n
                                              2
               
                cosπ x 0 < x < 1
               
               
                    0   0<x<1
    4. f (x) =
               
                  1/2    x=0
                −1/2     x=1
Ejercicio 10. Verifique que la serie de Fourier de senos de f (x) =
cosπx en el intervalo (0, 1) es
                                    ∞
                            8               n
                    f (x) =                     sin n2π x
                            π   n=1
                                        4n2  −1
                                                 1           1
                                                  c−x 0≤x≤ 2 c
Ejercicio 11. Idem anterior si f (x) =           4
                                                        1
                                                 x− 3 c 2 c≤x≤c
                                                    4

Ejercicio 12. Mostrar que la S.E.F de ex con −π < x < π es
                                ∞
                       sin π        (−1)n
                                           exp (inx)
                         π     −∞
                                    1 − in
Ejercicio 13. Mostrar que la S.E.F del ej. 3.3 C.V.U. para todos los
valores de x y que es derivable término a término para todo x excepto
en x = 0, x = π y x = −π. Derivar la serie de Fourier original y decir
a que función representa, y a qué función C.V.
                                ∞
                       sin π        (−1)n
                                           exp (inx)
                         π     −∞
                                    1 − in
Ejercicio 14. Explique prqué se puede derivar térmono a término la
S.F. del ej. 4. obteniendose el D.S.F. de Fourier de senos de la función
f (x) = 1 en el intervalo (0, π)
Ejercicio 15. Mediante la S.F. de cosenos de la función f (x) = |x| en
el intervalo (−π, π) (puede utilizar el ejercicio 3.6) compruebe que
                           ∞
                                    1       π2
                                          =
                          n=1
                                (2n − 1)2   8




                                        3