Original pages: 004-033 1 681.142.2 à¥â¨© ⮬ ¨§¢¥áâ­®© ¬®­®£à ä¨¨ ®¤­®£® ¨§ ªà㯭¥©è¨å  ¬¥à¨ª ­áª¨å ᯥ樠«¨á⮢ ¯® ¯à®-£à ¬¬¨à®¢ ­¨î . ­ãâ  (¯¥à¢ë© ⮬ ¢ë襫 ¢ ¨§¤ â¥«ìá⢥ ”¨à” ¢ 1976 £., ¢â®à®©—¢ 1977 £.) á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ç á⥩: ”®àâ¨à®¢ª ” ¨ ”®¨áª”. ­¨å ¯®¤à®¡­® ¨áá«¥¤ãîâáï à §«¨ç­ë¥  «£®à¨â-¬ë ¢­ãâ७­¥© ¨ ¢­¥è­¥© á®àâ¨à®¢ª¨, ¨§ãç îâáï ¬¥â®¤ë ¯®¨áª  ¨­ä®à¬ æ¨¨ ¢ â ¡«¨æ å ­  ®á­®¢¥ áà ¢­¥­¨ï ¨«¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ª«î祩, ¤ îâáï ®æ¥­ª¨ íä䥪⨢­®á⨠¯à¥¤« £ ¥¬ëå  «£®à¨â¬®¢. ­¨£  á­ ¡¦¥­  ¡®«ì訬 ª®«¨ç¥á⢮¬ § ¤ ç ¨ ¯à¨¬¥à®¢ à §­®© á⥯¥­¨ âà㤭®áâ¨, áãé¥á⢥­­® ¤®¯®«­ïîé¨å ®á­®¢­®© ⥪áâ. â ¤à㣨å à㪮¢®¤á⢠¯® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨î ª­¨£  ¢ë£®¤­® ®â«¨ç ¥âáï áâண®áâìî ¨§«®¦¥­¨ï ¨ è¨à®ª¨¬ ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£®  ¯¯ à â . ¬¥á⥠á ⥬ ®­  ¤®áâ㯭  áâ㤥­â ¬ ¯¥à¢®£® ªãàá . ­ ª®¬á⢮ á ¤¢ã¬ï ¯¥à¢ë¬¨ ⮬ ¬¨ ¦¥« â¥«ì­®, ­® ­¥ ®¡ï§ â¥«ì­®.  ¦¤ë©, ªâ® å®ç¥â ­ ãç¨âìáï ª¢ «¨ä¨æ¨à®¢ ­­® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ âì, ­ ©¤¥â ¢ ­¥© ¬­®£® ¯®«¥§­®£®.  ááç¨â ­  ­  è¨à®ª¨© ªà㣠¯à®£à ¬¬¨á⮢. ¥¤ ªæ¨ï «¨â¥à âãàë ¯® ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ ­ ãª ¬ K 20204−022 041(01)−7822 − 78 c ¥à¥¢®¤ ­  àãá᪨© ï§ëª, ”¨à”. 19782 Original pages: 004-033 . . ­ãâ å®à®è® §­ ª®¬ ᮢ¥â᪮¬ã ç¨â â¥«î ¯® ¯¥à¥¢®¤ ¬ ¤¢ãå ¯¥à¢ëå ⮬®¢ ¥£® ®¡è¨à­®© ¬®­®£à ä¨¨ ”áªãáá⢮ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¤«ï”¨ ­¥ ­ã¦¤ ¥âáï ¢  ââ¥áâ æ¨¨. áâ®ïé ïª­¨£  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© âà¥â¨© ⮬ ¨ ¯®á¢ï饭   «£®à¨â¬ ¬ á®àâ¨à®¢ª¨ ¨ ¯®¨áª  ¨­ä®à¬ æ¨¨. áâ®à¨ç¥áª¨ § à®¦¤¥­¨¥ ¬¥â®¤®¢ ¬ è¨­­®© á®àâ¨à®¢ª¨ ¬®¦­® ®â­¥á⨠¥é¥ ª ¯à®è«®¬ã á⮫¥-â¨î, ¨ §  áâ®«ì ¤«¨â¥«ì­®¥ ¢à¥¬ï ¬­®£¨¥ ᯥ樠«¨áâë ãᯥ«¨ ¨á¯à®¡®¢ âì ᢮¨ á¨«ë ¢ í⮩ ®¡« áâ¨.  ¯¨á ­® ­¥¬ «® ®âç¥â®¢, áâ â¥©, ¬®­®£à ä¨©.¤ ¦¥ ¢ íâ¨å ãá«®¢¨ïå ª­¨£  .­ãâ  áâ «  ᮡëâ¨-¥¬.® áãé¥áâ¢ã íâ® í­æ¨ª«®¯¥¤¨ï, ¢ ª®â®à®© ¬®¦­® ­ ©â¨«î¡ãîá¯à ¢ªã,ª á îéãîáï «£®à¨â¬®¢, ¬¥â®¤®¢ ¨å ®æ¥­®ª, ¨áâ®à¨¨ ¢®¯à®á  ¨ ­¥à¥è¥­­ëå ¯à®¡«¥¬. ¥â ­ã¦¤ë £®¢®à¨âì ® ¢ ¦­®á⨠ᠬ®© ®¡« áâ¨. à ªâ¨ç¥áª¨ á®àâ¨à®¢ª  ¨ ¯®¨áª ¢ ⮩ ¨«¨ ¨­®© ¬¥à¥ ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¢® ¢á¥å ¯à¨«®¦¥­¨ïå; ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ ®¡à ¡®âª¥ ¡®«ìè¨å ®¡ê¥¬®¢ ¤ ­­ëå íä-䥪⨢­®áâì ¨¬¥­­® íâ¨å ®¯¥à æ¨© ®¯à¥¤¥«ï¥â íä䥪⨢­®áâì,   ¨­®£¤  ¨ à ¡®â®á¯®á®¡­®áâì ¢á¥© á¨á⥬ë. ®í⮬ã, ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ®â¬¥ç ¥â  ¢â®à, ª­¨£   ¤à¥á®¢ ­  ­¥ ⮫쪮 á¨á⥬­ë¬ ¯à®£à ¬-¬¨áâ ¬, § ­¨¬ î騬áï ࠧࠡ®âª®© ¯à®£à ¬¬ á®àâ¨à®¢ª¨ ¨ ¯®¨áª  ¨­ä®à¬ æ¨¨. ®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¤®áâ â®ç­® ç¥âª¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ®¡ í⮩ ®¡« á⨠­ã¦­ë ¯à¨ à¥è¥­¨¨ «î¡®© § ¤ ç¨ ­  ª ª ®¡ï§ â¥«ì­ë¥ í«¥¬¥­âë ¨áªãáá⢠ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï. ஬¥ ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª®© 業­®áâ¨, ª­¨£  ¨¬¥¥â ¡®«ì讥 ¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ §­ ç¥­¨¥. ­®£¨¥  ¢â®àë ¨ ¯à¥¯®¤ ¢ â¥«¨ ᬮ£ãâ ¨§¢«¥çì ¨§ ­¥¥ ­®¢ë¥ ¨ ¯®«¥§­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ­¥ ⮫쪮 ¯® áãé¥áâ¢ã à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢®¯à®á®¢, ­® ¨ ¯® á¯®á®¡ã ¨å ¨§«®¦¥­¨ï. ¢â®àã ¬ áâ¥à᪨ 㤠¥âáï ”à á-á«®¨âì” ¢¥áì ¬ â¥à¨ « â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ª­¨£ã ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­  «î¡®¬ ã஢­¥ §­ ª®¬á⢠ á ¯à¥¤¬¥â®¬ ¨ ¯à¨ à §«¨ç­®© ®¡é¥© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¯®¤£®â®¢«¥­­®á⨠ç¨â â¥«ï. ¥à¥¢®¤ ¢ë¯®«­¥­ ¯® ¨§¤ ­¨î 1973 £. (¯¥à¢ ï । ªæ¨ï) á ¢­¥á¥­¨¥¬ ¬­®£¨å (®ª®«® 700) ¨á¯à ¢-«¥­¨© ¨ ¤®¡ ¢«¥­¨©, «î¡¥§­® ¯à¥¤®áâ ¢«¥­­ëå  ¢â®à®¬.  §¤¥«ë á 5.1 ¯® 5.3.2 ¯¥à¥¢¥¤¥­ë . . ì¢®©; à §¤¥«ë á 5.3.3 ¯® 5.5 ¨ ¯à¥¤¨á«®¢¨¥— . . ®¤ã«¥¢ë¬; £« ¢ã 6 ¯¥à¥¢¥« . .  « â¥­ª®. . .  ïª®¢áª¨© . . â àª¬ ­ 㫨­ à¨ï áâ «  ¨áªãáá⢮¬, ¢ë᮪®© ­ ãª®©; ¯®¢ à  ⥯¥àì—¡« £®à®¤­ë¥ «î¤¨. ¨â ¨¢¨©, Urbe Condita, XXXIX.vi (®¡¥àâ ¥àâ®­, Anatomy of Melancholy, 1.2.2.2)1  â¥à¨ « í⮩ ª­¨£¨ «®£¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦ ¥â ¬ â¥à¨ « ¯® ¨­ä®à¬ æ¨®­­ë¬ áâàãªâãà ¬, ¨§«®-¦¥­­ë© ¢ £«. 2, ¯®áª®«ìªã §¤¥áì ª 㦥 à áᬮâ७­ë¬ ª®­æ¥¯æ¨ï¬ áâàãªâãà ¤®¡ ¢«ï¥âáï ¯®­ï⨥ «¨­¥©­® 㯮à冷祭­ëå ¤ ­­ëå. ®¤§ £®«®¢®ª ”®àâ¨à®¢ª  ¨ ¯®¨áª” ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¬ë᫨, çâ® íâ  ª­¨£  ¯à¥¤­ §­ ç¥­  «¨èì ¤«ï á¨á⥬­ëå ¯à®£à ¬¬¨á⮢, § ­¨¬ îé¨åáï ¯®áâ஥­¨¥¬ ã­¨¢¥à-á «ì­ëå ¯à®£à ¬¬ á®àâ¨à®¢ª¨ ¨«¨ á¢ï§ ­­ëå á ¢ë¡®àª®© ¨­ä®à¬ æ¨¨. ¤­ ª® ¢ ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠¯à¥¤¬¥â á®àâ¨à®¢ª¨ ¨ ¯®¨áª  ¤ ¥â ­ ¬ ¯à¥ªà á­ãî ®á­®¢ã ¤«ï ®¡á㦤¥­¨ïè¨à®ª®£® ª« áá  ¢ ¦­ëå ®¡é¨å ¢®¯à®á®¢:  ª ­ å®¤¨âì å®à®è¨¥  «£®à¨â¬ë?  ª ã«ãçè âì ¤ ­­ë¥  «£®à¨â¬ë ¨ ¯à®£à ¬¬ë?  ª ¨áá«¥¤®¢ âì íä䥪⨢­®áâì  «£®à¨â¬®¢ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨?  ª ࠧ㬭® ¢ë¡à âì ®¤¨­ ¨§ ­¥áª®«ìª¨å  «£®à¨â¬®¢ ¤«ï à¥è¥­¨ï ª®­ªà¥â­®© § ¤ ç¨? ª ª®¬ á¬ëá«¥ ¬®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ­¥ª®â®àë¥  «£®à¨â¬ë ïîâáï ”­ ¨«ãç訬¨ ¨§ ¢®§¬®¦-­ëå”?  ª ⥮à¨ï ¢ëç¨á«¥­¨© ᮣ« áã¥âáï á ¯à ªâ¨ç¥áª¨¬¨ á®®¡à ¦¥­¨ï¬¨?  ª íä䥪⨢­® ¨á¯®«ì§®¢ âì à §«¨ç­ë¥ ¢¨¤ë ¢­¥è­¥© ¯ ¬ï⨗«¥­âë, ¡ à ¡ ­ë, ¤¨áª¨—¤«ï ¡®«ìè¨å ¡ § ¤ ­­ëå? ¤ã¬ î, çâ® ­  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¢ ª®­â¥ªá⥠á®àâ¨à®¢ª¨ ¨ ¯®¨áª  ¢áâà¥ç ¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ «î¡®© ¢ ¦­ë©  á¯¥ªâ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï.  áâ®ï騩 ⮬ á®á⮨⠨§ £«. 5 ¨ 6 ¬®­®£à ä¨¨. £«. 5 à áᬠâਢ ¥âáï á®àâ¨à®¢ª  (㯮à冷-祭¨¥); íâ® ®ç¥­ì ¡®«ìè ï ⥬ , ®­  à §¡¨â  ­  ¤¢¥ £« ¢­ë¥ ç á⨗¢­ãâ७­îî ¨ ¢­¥è­îî á®àâ¨-஢ªã. íâã £« ¢ã ¢å®¤ïâ â ª¦¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ à §¤¥«ë, à §¢¨¢ î騥 ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ãî ⥮à¨î ¯¥à¥áâ ­®¢®ª (x 5.1) ¨ ⥮à¨î ®¯â¨¬ «ì­ëå  «£®à¨â¬®¢ á®àâ¨à®¢ª¨ (x 5.3). £«. 6 ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ¯®¨áª®¬ ®¯à¥¤¥«¥­­®£® í«¥¬¥­â  ¢ â ¡«¨æ¥ ¨«¨ ä ©«¥; ᮤ¥à¦¨¬®¥ í⮩ £« ¢ë ¯®¤à §¤¥«ï¥âáï ­  1 ®¡¥àâ ¥àâ®­ (1577–1640)— ­£«¨©áª¨© ã祭ë©, ¯¨á â¥«ì ¨ ⥮«®£. ਬ. ¥à¥¢.Original pages: 004-033 3 ¬¥â®¤ë ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®£® ¯®¨áª , ¬¥â®¤ë ¯®¨áª  á® áà ¢­¥­¨¥¬ ª«î祩, ¯®¨áª  á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨-¥¬ ᢮©á⢠æ¨äà, ¯®¨áª  á ¯®¬®éìî ”å¥è¨à®¢ ­¨ï”; § â¥¬ à áᬠâਢ ¥âáï ¡®«¥¥ á«®¦­ ï § ¤ ç  ¢ë¡®àª¨ ¯® ¢â®à¨ç­ë¬ ª«îç ¬. ¡¥ £« ¢ë ¯®à §¨â¥«ì­® â¥á­® ¯¥à¥¯«¥â îâáï ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ¬¥¦¤ã ¨å ¯à¥¤¬¥â ¬¨ ¨¬¥îâáï ¡«¨§ª¨¥  ­ «®£¨¨. ¤®¯®«­¥­¨¥ ª £«. 2 à áᬠâਢ îâáï ¤¢  ¢ ¦­ëå ¢¨¤  ¨­ä®à¬ æ¨®­­ëå áâàãªâãà,   ¨¬¥­­® ¯à¨®à¨â¥â­ë¥ ®ç¥à¥¤¨ (¯. 5.2.3) ¨ «¨­¥©­ë¥ ᯨ᪨, ¯à¥¤áâ ¢-«ï¥¬ë¥ ¯®á।á⢮¬ á¡ « ­á¨à®¢ ­­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ (¯. 6.2.3). ¨â â¥«î, ­¥ §­ ª®¬®¬ã á ¯¥à¢ë¬ ⮬®¬ í⮩ ¬®­®£à ä¨¨, ४®¬¥­¤ã¥âáï ®¡à é âìáï ª 㪠-§ â¥«î ®¡®§­ ç¥­¨© (¯à¨«®¦¥­¨¥ ), â ª ª ª ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ¢áâà¥ç îé¨åáï ¢ ª­¨£¥ ®¡®§­ ç¥­¨© ­¥ ïîâáï ®¡é¥¯à¨­ïâ묨. â  ª­¨£  ¡¥§ ¡®«ì襩 ç á⨠¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ¬ â¥à¨ «  ¡ë«  ¨á¯®«ì§®¢ ­  ¬­®© ¢ ª ç¥á⢥ ã祡­¨ª  ¯® ¢â®à®¬ã ªãàáã «¥ªæ¨© ”âàãªâãàë ¤ ­­ëå” ¤«ï áâ㤥­â®¢ ¬« ¤è¨å ¨ á।­¨å ªãàᮢ.  â¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ç á⨠í⮩ ª­¨£¨, ®á®¡¥­­® x 5.1, ¯.5.2.2, x 6.3 ¨ 6.4, ¬®£«¨ ¡ë á®áâ ¢¨âì ã祡­¨ª ¯®  ­ «¨§ã  «£®à¨â¬®¢ ¤«ï áâ㤥­â®¢ á।­¨å ¨ áâ àè¨å ªãàᮢ. ஬¥ ⮣®, ­  ®á­®¢¥ ¯. 4.3.3, 4.6.3, 4.6.4, x 5.3 ¨ ¯. 5.4.4 ¬®¦­® ¯®áâநâì ªãàá «¥ªæ¨© ”«®¦­®áâì ¢ëç¨á«¥­¨©” ¤«ï áâ à襪ãàá­¨ª®¢. ëáâ஥ à §¢¨â¨¥ ¨­ä®à¬ â¨ª¨ ¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå ­ ãª § ¤¥à¦ «® ¢ë室 ¢ ᢥâ í⮩ ª­¨£¨ ¯®ç⨠­  âਠ£®¤ , ¯®áª®«ìªã ®ç¥­ì ¬­®£¨¥  á¯¥ªâë á®àâ¨à®¢ª¨ ¨ ¯®¨áª  ¯®¤¢¥à£ «¨áì ¤¥â «ì­®© ࠧࠡ®âª¥. ®ç¥­ì ¡« £®¤ à¥­  æ¨®­ «ì­®¬ã ­ ãç­®¬ã ä®­¤ã, ⤥«¥­¨î ¢®¥­­®-¬®àáª¨å ¨áá«¥-¤®¢ ­¨©,­áâ¨âãâ㮡®à®­ë,ä¨à¬ ¬IBM¨NorgesAlmemitenskapelige Forskningsrad§  ¯®áâ®ï­­ãî ¯®¤¤¥à¦ªã ¬®¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨©. ¯®¤£®â®¢ª¥ í⮣® ⮬  ª ¯¥ç â¨ ¬­¥ ®ª § «¨ ¯®¬®éì ¬­®£¨¥ «¨æ , ®á®¡¥­­® ¤¢ à¤ . ¥­¤¥à, « àª . àí©­, í¢¨¤ . ¥à£îá®­, ®¡¥àâ . «®©¤, ®­ «ì¤ . àí奬, ¥®­¨¤ á  , ¦®­ ®¯ªà®äâ, ¨ç à¤.  à¯, íਠ. ­®ââ, 㤮«ìä . àãâ à,¥­ì ¨­ì, ®£ ­ . à ââ, â¥ä ­ .  ©¥, ¨ç à¤ ; âí­«¨, . . ¢ ­ ¤¥à ã« ¨ ¦®­ . ¥­ç ¬«.,   â ª¦¥ áâ㤥­âë âí­ä®à¤  ¨ ¥àª«¨, ª®â®àë¬ ¯à¨è«®áì ¨áª âì ®è¨¡ª¨ ¢ à㪮¯¨á¨. á«®, ®à¢¥£¨ï, . . ­ãâ ᥭâï¡àì 1972 ¨á â¥«ì ¯®«ì§ã¥âáï ¨§¢¥áâ­ë¬¨ ¯à¨¢¨«¥£¨ï¬¨, ¢ ¡« £®¤¥â¥«ì­®á⨠ª®â®àëå, ­ ¤¥îáì, ­¥â ­¨ª ª¨å ®á­®-¢ ­¨©á®¬­¥¢ âìáï. ª,¢áâà¥â¨¢ã¬¥­ï­¥¯®­ïâ­®¥¬¥-áâ®, ç¨â â¥«ì ¤®«¦¥­ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¯®¤ ­¨¬ ªà®-¥âáï ­¥çâ® ¢¥á쬠 ¯®«¥§­®¥ ¨ £«ã¡®ª®¬ëá«¥­­®¥.2 (¦®­ â ­ ¢¨äâ, ”ª §ª  ¡®çª¨”, ¯à¥¤¨á«®¢¨¥, 1704) ¯à ¦­¥­¨ï, ¯®¬¥é¥­­ë¥ ¢ ª­¨£ å ­ áâ®ï饩 á¥à¨¨, ¯à¥¤­ §­ ç¥­ë ª ª ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫쭮© ¯à®à ¡®âª¨, â ª ¨ ¤«ï ᥬ¨­ àáª¨å § ­ï⨩. à㤭®, ¥á«¨ ­¥ ­¥¢®§¬®¦­® ¨§ãç¨âì ¯à¥¤¬¥â, ⮫쪮 ç¨â ï ⥮à¨î ¨ ­¥ ¯à¨¬¥­ïï ¯®«ã祭­ãä®à¬ æ¨î ¤«ï à¥è¥­¨ï ᯥ樠«ì­ëå § ¤ ç ¨ ⥬ á ¬ë¬ ­¥ § áâ ¢«ïï á¥¡ï ®¡¤ã¬ë¢ âì â®, çâ® ¡ë«® ¯à®ç¨â ­®. ஬¥ ⮣®, ¬ë «ãçè¥ ¢á¥£® § ã稢 ¥¬ â®, çâ® á ¬¨ ®âªà뢠¥¬ ¤«ï ᥡï. ®í⮬ã ã¯à ¦­¥­¨ï ®¡à §ãîâ ¢ ¦­ãî ç áâì ¤ ­­®© à ¡®âë; ¡ë«¨ ¯à¥¤¯à¨­ïâë ®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ¯®¯ë⪨, çâ®¡ë ®â®¡à âì ã¯à ¦­¥­¨ï, ¢ ª®â®àëå ¡ë ᮤ¥à¦ «®áì ª ª ¬®¦­® ¡®«ìè¥ ¨­ä®à¬ æ¨¨ ¨ ª®â®àë¥ ¡ë«® ¡ë ¨­â¥à¥á­® à¥è âì. ® ¬­®£¨å ª­¨£ å «¥£ª¨¥ ã¯à ¦­¥­¨ï ¤ îâáï ¢¯¥à¥¬¥èªã á ¨áª«îç¨â¥«ì­® âà㤭묨.  ç -áâãî íâ® ®ç¥­ì ­¥ã¤®¡­®, â ª ª ª ¯¥à¥¤ ⥬, ª ª ¯à¨áâ㯠âì ª à¥è¥­¨î § ¤ ç¨, ç¨â â¥«ì ®¡ï§ â¥«ì­® ¤®«¦¥­ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᥡ¥, ᪮«ìª® ¢à¥¬¥­¨ 㩤¥â ã ­¥£® ­  íâ® à¥è¥­¨¥ (¨­ ç¥ ®­ ¬®¦¥â à §¢¥ ⮫쪮 ¯à®á¬®âà¥âì ¢á¥ § ¤ ç¨). « áá¨ç¥áª¨¬ ¯à¨¬¥à®¬ §¤¥áì ï¥âáï ª­¨£  ¨ç à¤  ¥««¬ ­  ”¨­ ¬¨-ç¥áª®¥ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥”; íâ® ¢ ¦­ ï ¯¨®­¥à᪠ï à ¡®â , ¢ ª®â®à®© ¢ ª®­æ¥ ª ¦¤®© £« ¢ë ¯®¤ àã¡-ਪ®© ”¯à ¦­¥­¨ï ¨ ¨áá«¥¤®¢ â¥«ì᪨¥ ¯à®¡«¥¬ë” ¤ ¥âáï æ¥«ë© àï¤ § ¤ ç, £¤¥ ­ àï¤ã á £«ã¡®ª¨¬¨ ¥é¥ ­¥à¥è¥­­ë¬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨ ¢áâà¥ç îâáï ¨áª«îç¨â¥«ì­® âਢ¨ «ì­ë¥ ¢®¯à®áë. ®¢®àïâ, çâ® ®¤-­ ¦¤ë ªâ®-â® á¯à®á¨« ¤-à  ¥««¬ ­ , ª ª ®â«¨ç¨âì ã¯à ¦­¥­¨ï ®â ¨áá«¥¤®¢ â¥«ìáª¨å ¯à®¡«¥¬, ¨ â®â ®â¢¥â¨«: ”᫨ ¢ë ¬®¦¥â¥ à¥è¨âì § ¤ çã, íâ®—ã¯à ¦­¥­¨¥; ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ íâ®—¯à®¡«¥¬ ”. ®¦­® ¯à¨¢¥á⨠¬­®£® ¤®¢®¤®¢ ¢ ¯®«ì§ã ⮣®, çâ® ¢ ª­¨£¥ ⨯  í⮩ ¤®«¦­ë ¡ëâì ª ª ¨áá«¥¤®-¢ â¥«ì᪨¥ ¯à®¡«¥¬ë, â ª ¨ ®ç¥­ì ¯à®áâë¥ ã¯à ¦­¥­¨ï, ¨ ¤«ï ⮣® ç⮡ë ç¨â â¥«î ­¥ ¯à¨å®¤¨«®áì 2 ¥à¥¢®¤ . . à ­ª®¢áª®£®.—ਬ. ¥à¥¢.4 Original pages: 004-033 «®¬ âì £®«®¢ã ­ ¤ ⥬,ª ª ï § ¤ ç  «¥£ª ï,   ª ª ï âà㤭 ï,¬ë¢¢¥«¨ ”®æ¥­ª¨”, ª®â®àë¥ ãª §ë¢ îâ á⥯¥­ì âà㤭®á⨠ª ¦¤®£® ã¯à ¦­¥­¨ï. ⨠®æ¥­ª¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî饥 §­ ç¥­¨¥: 業ª  ¡êïá­¥­¨¥ 00 १¢ëç ©­® «¥£ª®¥ ã¯à ¦­¥­¨¥, ­  ª®â®à®¥ ¬®¦­® ®â¢¥â¨âì áࠧ㠦¥, ¥á«¨ ¯®­ïâ ¬ â¥-ਠ« ⥪áâ , ¨ ª®â®à®¥ ¯®ç⨠¢á¥£¤  ¬®¦­® à¥è¨âì ”¢ 㬥”. 10 à®áâ ï§ ¤ ç ,ª®â®à ï§ áâ ¢«ï¥â § ¤ã¬ âìáï­ ¤¯à®ç¨â ­­ë¬¬ â¥à¨ «®¬,­®­¥¯à¥¤-áâ ¢«ï¥â ­¨ª ª¨å ®á®¡ëå âà㤭®á⥩.   à¥è¥­¨¥ â ª®© § ¤ ç¨ âॡã¥âáï ­¥ ¡®«ìè¥ ®¤-­®© ¬¨­ãâë; ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥­¨ï ¬®£ãâ ¯®­ ¤®¡¨âìáï ª à ­¤ è ¨ ¡ã¬ £ . 20  ¤ ç  á।­¥© âà㤭®áâ¨, ¯®§¢®«ïîé ï ¯à®¢¥à¨âì, ­ áª®«ìª® å®à®è® ¯®­ïâ ⥪áâ.   â® çâ®¡ë ¤ âì ¨áç¥à¯ë¢ î騩 ®â¢¥â, âॡã¥âáï ¯à¨¬¥à­® 15–20 ¬¨­ãâ. 30  ¤ ç  㬥७­®© âà㤭®á⨠¨/¨«¨ á«®¦­®áâ¨, ¤«ï 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì­®£® à¥è¥­¨ï ª®â®-ன âॡã¥âáï ¡®«ìè¥ ¤¢ãå ç á®¢. 40 祭ì âà㤭 ï¨«¨ âà㤮¥¬ª ï § ¤ ç ,ª®â®àãî, ¢¥à®ïâ­®, á«¥¤ã¥â ¢ª«îç¨âì ¢ ¯« ­ ¯à ª-â¨ç¥áª¨å § ­ï⨩.।¯®« £ ¥âáï, çâ® áâ㤥­â¬®¦¥â à¥è¨âì â ªã¤ çã, ­® ¤«ï í⮣® ¥¬ã ¯®âॡã¥âáï §­ ç¨â¥«ì­ë© ®â१®ª ¢à¥¬¥­¨; § ¤ ç  à¥è ¥âáï ­¥âਢ¨ «ì­ë¬ ®¡à -§®¬. 50 áá«¥¤®¢ â¥«ìáª ï ¯à®¡«¥¬ , ª®â®à ï (­ áª®«ìª® íâ® ¡ë«® ¨§¢¥áâ­®  ¢â®àã ¢ ¬®¬¥­â ­ -¯¨á ­¨ï) ¥é¥ ­¥ ¯®«ã稫  㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì­®£® à¥è¥­¨ï. ᫨ ç¨â â¥«ì ­ ©¤¥â à¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨, ¥£® ­ áâ®ï⥫쭮 ¯à®áïâ ®¯ã¡«¨ª®¢ âì ¥£®; ªà®¬¥ ⮣®,  ¢â®à ¤ ­­®© ª­¨£¨ ¡ã¤¥â ®ç¥­ì ¯à¨§­ â¥«¥­, ¥á«¨ ¥¬ã á®®¡é â à¥è¥­¨¥ ª ª ¬®¦­® ¡ëáâ॥ (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ®­® ¯à ¢¨«ì­®). ­â¥à¯®«¨àãï ¯® í⮩ ”«®£ à¨ä¬¨ç¥áª®©” 誠«¥, ¬®¦­® ¯à¨ª¨­ãâì, çâ® ®§­ ç ¥â «î¡ ï ¯à®-¬¥¦ãâ®ç­ ï ®æ¥­ª .  ¯à¨¬¥à, ®æ¥­ª  17 £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¤ ­­®¥ ã¯à ¦­¥­¨¥ çãâì «¥£ç¥, 祬 ã¯à ¦­¥­¨¥ á।­¥© âà㤭®áâ¨.  ¤ ç  á ®æ¥­ª®© 50, ¥á«¨ ®­  ¡ã¤¥â à¥è¥­  ª ª¨¬-«¨¡® ç¨â â¥«¥¬, ¢ á«¥¤ãîé¨å ¨§¤ ­¨ïå ¤ ­­®© ª­¨£¨ ¬®¦¥â ¨¬¥âì 㦥 ®æ¥­ªã 45. ¢â®à ç¥áâ­® áâ à «áï ¤ ¢ âì ®¡ê¥ªâ¨¢­ë¥ ®æ¥­ª¨, ­® ⮬ã, ªâ® á®áâ ¢«ï¥â § ¤ ç¨, âà㤭® ¯à¥¤-¢¨¤¥âì, ­ áª®«ìª® âà㤭묨 í⨠§ ¤ ç¨ ®ª ¦ãâáï ¤«ï ª®£®-â® ¤à㣮£®; ª ⮬㦥 ã ª ¦¤®£® 祫®¢¥ª  áãé¥áâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ⨯ § ¤ ç, ª®â®àë¥ ®­ à¥è ¥â ¡ëáâ॥.  ¤¥îáì, çâ® ¢ëáâ ¢«¥­­ë¥ ¬­®© ®æ¥­ª¨ ¤ î⠯ࠢ¨«ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ® á⥯¥­¨ âà㤭®á⨠§ ¤ ç, ­® ¢ ®¡é¥¬ ¨å ­ã¦­® ¢®á¯à¨­¨-¬ âì ª ª ®à¨¥­â¨à®¢®ç­ë¥,   ­¥  ¡á®«îâ­ë¥. â  ª­¨£  ­ ¯¨á ­  ¤«ï ç¨â â¥«¥© á ¬ëå à §­ëå á⥯¥­¥© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© ¯®¤£®â®¢ª¨ ¨ ¨áªã-襭­®áâ¨, ¯®í⮬㠭¥ª®â®àë¥ ã¯à ¦­¥­¨ï ¯à¥¤­ §­ ç¥­ë ⮫쪮 ¤«ï ç¨â â¥«¥© á ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ 㪫®­®¬. ᫨ ¢ ª ª®¬-«¨¡® ã¯à ¦­¥­¨¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ¯®­ïâ¨ï ¨«¨ १ã«ìâ âë ¨á¯®«ì§ãîâáï ¡®«¥¥ è¨à®ª®, 祬 íâ® ­¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï â¥å, ª®£® ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ¨­â¥à¥áã¥â ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¥  «-£®à¨â¬®¢, â® ¯¥à¥¤ ®æ¥­ª®© â ª®£® ã¯à ¦­¥­¨ï áâ ¢¨âáï ¡ãª¢  ””. ᫨ ¤«ï à¥è¥­¨ï ã¯à ¦­¥­¨ï âॡã¥âáï §­ ­¨¥ ¢ëá襩 ¬ â¥¬ â¨ª¨ ¢ ¡®«ì襬 ®¡ê¥¬¥, 祬 íâ® ¤ ­® ¢ ­ áâ®ï饩 ª­¨£¥, â® áâ -¢ïâáï ¡ãª¢ë ””. ®¬¥âª  ”” ®â­î¤ì ­¥ ï¥âáï ᢨ¤¥â¥«ìá⢮¬ ⮣®, çâ® ¤ ­­®¥ ã¯à ¦­¥­¨¥ âà㤭®¥. ¥à¥¤ ­¥ª®â®à묨 ã¯à ¦­¥­¨ï¬¨ á⮨â áâ५ª  ”>”; íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤ ­­®¥ ã¯à ¦­¥­¨¥ ®á®-¡¥­­® ¯®ãç¨â¥«ì­® ¨ ¥£® ४®¬¥­¤ã¥âáï ®¡ï§ â¥«ì­® ¢ë¯®«­¨âì.  ¬® ᮡ®© ࠧ㬥¥âáï, ­¨ªâ® ­¥ ®¦¨¤ ¥â, çâ® ç¨â â¥«ì (¨«¨ áâ㤥­â) ¡ã¤¥â à¥è âì ¢á¥ § ¤ ç¨, ¯®â®¬ã-â® ­ ¨¡®«¥¥ ¯®«¥§­ë¥ ¨§ ­¨å ¨ ¢ë¤¥«¥­ë. ⮠ᮢᥬ ­¥ §­ ç¨â, çâ® ¤à㣨¥ § ¤ ç¨ ­¥ á⮨â à¥è âì!  ¦¤ë© ç¨â â¥«ì ¤®«¦¥­ ¯® ªà ©­¥©¬¥à¥ ¯®¯ëâ âìáï à¥è¨âì ¢á¥ § ¤ ç¨ á ®æ¥­ª®© 10 ¨ ­¨¦¥; áâ५ª¨ ¦¥¯®¬®£ãâ ¢ë¡à âì, ª ª¨¥ § ¤ ç¨ á ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨¬¨ ®æ¥­ª ¬¨ á«¥¤ã¥â à¥è¨âì ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì. ¡®«ì設áâ¢ã ã¯à ¦­¥­¨© ¯à¨¢¥¤¥­ë ®â¢¥âë; ®­¨ ¯®¬¥é¥­ë ¢ ᯥ樠«ì­®¬ à §¤¥«¥ ¢ ª®­æ¥ ª­¨£¨. ®«ì§ã©â¥áì ¨¬¨ ¬ã¤à®; ¢ ®â¢¥â ᬮâà¨â¥ ⮫쪮 ¯®á«¥ ⮣®, ª ª ¢ë ¯à¨«®¦¨«¨ ¤®áâ â®ç­® ãᨫ¨©, ç⮡ë à¥è¨âì § ¤ çã á ¬®áâ®ï⥫쭮, ¨«¨ ¦¥ ¥á«¨ ¤«ï à¥è¥­¨ï ¤ ­­®© § ¤ ç¨ ã ¢ á ­¥â ¢à¥¬¥­¨. ᫨ ¯®«ã祭 ᮡá⢥­­ë© ®â¢¥â, «¨¡® ¥á«¨ ¢ë ¤¥©á⢨⥫쭮 ¯ëâ «¨áì à¥è¨âì § ¤ çã, ⮫쪮 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®â¢¥â, ¯®¬¥é¥­­ë© ¢ ª­¨£¥, ¡ã¤¥â ¯®ãç¨â¥«ì­ë¬ ¨ ¯®«¥§­ë¬.  ª ¯à ¢¨«®, ®â¢¥âë ª § ¤ ç ¬ ¨§« £ îâáï ®ç¥­ì ªà âª®, á奬 â¨ç­®, â ª ª ª ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ç¨â â¥«ì 㦥 ç¥áâ­® ¯ëâ «áï à¥è¨âì § ¤ çã ᮡá⢥­­ë¬¨ ᨫ ¬¨. ­®£¤  ¢ ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ à¥è¥­¨¨ ¤ ¥âáï ¬¥­ì-è¥ ¨­ä®à¬ æ¨¨, 祬 á¯à è¨¢ «®áì, ç é¥—­ ®¡®à®â. ¯®«­¥ ¢®§¬®¦­®, çâ® ¯®«ã祭­ë© ¢ ¬¨ ®â¢¥â ®ª ¦¥âáï «ãçè¥ ®â¢¥â , ¯®¬¥é¥­­®£® ¢ ª­¨£¥, ¨«¨ ¢ë ­ ©¤¥â¥ ®è¨¡ªã ¢ í⮬ ®â¢¥â¥; ¢ â ª®¬ á«ãç ¥  ¢â®à ¡ë« ¡ë ®ç¥­ì ®¡ï§ ­, ¥á«¨ ¡ë ¢ë ª ª ¬®¦­® ᪮॥ ¯®¤à®¡­® á®®¡é¨«¨ ¥¬ã ®¡ í⮬. ¯®á«¥-¤ãîé¨å ¨§¤ ­¨ïå ­ áâ®ï饩 ª­¨£¨ ¡ã¤¥â ¯®¬¥é¥­® 㦥 ¨á¯à ¢«¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢¬¥áâ¥ á ¨¬¥­¥¬ ¥£®  ¢â®à . ¢®¤ª  ãá«®¢­ëå ®¡®§­ ç¥­¨© > ¥ª®¬¥­¤ã¥âáï ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨¬ 㪫®­®¬ ॡã¥â §­ ­¨ï ”¢ëá襩 ¬ â¥¬ â¨ª¨”Original pages: 004-033 5 00 ॡã¥â ­¥¬¥¤«¥­­®£® ®â¢¥â  10 à®á⮥ (­  ®¤­ã ¬¨­ãâã) 20 ।­¥© âà㤭®á⨠(­  ç¥â¢¥àâì ç á ) 30 ®¢ë襭­®© âà㤭®áâ¨. 40 «ï ”¬ â¯à ªâ¨ªã¬ ” 50 áá«¥¤®¢ â¥«ìáª ï ¯à®¡«¥¬  ¯à ¦­¥­¨ï >1. [00] â® ®§­ ç ¥â ¯®¬¥âª  ”20”? 2. [10]  ª®¥ §­ ç¥­¨¥ ¤«ï ç¨â â¥«ï ¨¬¥îâ ã¯à ¦­¥­¨ï, ¯®¬¥é ¥¬ë¥ ¢ ã祡­¨ª å? 3. [50] ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ n—楫®¥ ç¨á«®,n > 2, â® ãà ¢­¥­¨¥ xn +yn = zn ­¥à §à¥è¨¬® ¢ 楫ëå ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ç¨á« å x, y,z. 5. ®àâ¨à®¢ª  ¥â ¤¥«  ¡®«¥¥ âà㤭®£® ¯® § ¬ëá«ã, ¡®«¥¥ ᮬ­¨-⥫쭮£® ¯® ãᯥåã, ¡®«¥¥ ®¯ á­®£® ¯à¨ ®áãé¥á⢫¥­¨¨, 祬 ¢¢®¤¨âì ­®¢ë¥ ¯®à浪¨. ¨ªª®«®  ªì««¨, ”®á㤠àì” (1513) ”® ¬ë ­¥ ãᯥ¥¬, ¯à®á¬®âà¥âì ¢á¥ ­®¬¥à   ¢â®-¬®¡¨«¥©”,—¢®§à §¨« ३ª. ”­ ¬ ¨ ­¥ ­ã¦­® í⮣® ¤¥« âì, ®«. ë ¯à®áâ® à á¯®«®¦¨¬ ¨å ¯® ¯®à浪㠨 ¯®¨é¥¬ ®¤¨­ ª®¢ë¥”. ¥àਠ¥©á®­1. § ”The Case of Angry Mourner” (1951) ®àâ¨à®¢ª  ¤¥à¥¢ì¥¢ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ . ਠ⠪®¬ ­®¢®¬, ”¬ è¨­­®¬ ¯®¤å®¤¥” ª ¨§ãç¥-­¨î ¯à¨à®¤ë ¢ë ¯®«ãç¨â¥ ¢®§¬®¦­®áâì ¡ëáâà® à á¯®-§­ ¢ âì ¡®«¥¥ 260 à §«¨ç­ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ , «ï᪨,  ­ ¤ë, ¢ª«îç ï ¯ «ì¬ë, ¤¥à¥¢ìï ¯ãáâë­ì ¨ ¯à®çãî íª§®â¨ªã. â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®à®¤ã ¤¥à¥¢ , ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¢áâ ¢¨âì ᯨæã.  â «®£ ”Edmund Scientific Company” (1964) í⮩ £« ¢¥ ¬ë ¨§ã稬 ¢®¯à®á, ª®â®àë© ç áâ® ¢®§­¨ª ¥â ¢ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¨: ¯¥à¥à §¬¥é¥-­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ¢ ¢®§à áâ î饬 ¨«¨ ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥. ।áâ ¢ìâ¥, ­ áª®«ìª® âà㤭® ¡ë«® ¡ë ¯®«ì§®¢ âìáï á«®¢ à¥¬, ¥á«¨ ¡ë á«®¢  ¢ ­¥¬ ­¥ à á¯®« £ «¨áì ¢  «ä ¢¨â­®¬ ¯®à浪¥. ®ç­® â ª ¦¥ ®â ¯®à浪 , ¢ ª®â®à®¬ åà ­ïâáï í«¥¬¥­âë ¢ ¯ ¬ï⨠, ¢® ¬­®£®¬ § ¢¨á¨â ᪮à®áâì ¨ ¯à®áâ®â   «£®à¨â¬®¢, ¯à¥¤­ §­ ç¥­­ëå ¤«ï ¨å ®¡à ¡®âª¨. ®âï ¢ á«®¢ àïå á«®¢® ”á®àâ¨à®¢ª ” (sorting) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ”à á¯à¥¤¥«¥­¨¥, ®â¡®à ¯® á®àâ ¬; ¤¥«¥­¨¥ ­  ª â¥£®à¨¨, á®àâ , à §àï¤ë”, ¯à®£à ¬¬¨áâë âà ¤¨æ¨®­­® ¨á¯®«ì§ãîâ íâ® á«®¢® ¢ £®à §¤® ¡®«¥¥ 㧪®¬ á¬ëá«¥, ®¡®§­ ç ï ¨¬ á®àâ¨à®¢ªã ¯à¥¤¬¥â®¢ ¢ ¢®§à áâ î饬 ¨«¨ ã¡ë¢ î饬 ¯®àï¤-ª¥. â®â ¯à®æ¥áá, ¯®¦ «ã©, á«¥¤®¢ «® ¡ë ­ §¢ âì ­¥ á®àâ¨à®¢ª®©,   㯮à冷祭¨¥¬ (ordering), ­® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ í⮣® á«®¢  ¯à¨¢¥«® ¡ë ª ¯ãâ ­¨æ¥ ¨§-§  ¯¥à¥£à㦥­­®á⨠§­ ç¥­¨ï¬¨ á«®¢  ”¯®àï-¤®ª”.  áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥­¨¥: ” ª ª ª ⮫쪮 ¤¢  ­ è¨å «¥­â®¯à®â玲ëå ãáâனá⢠ ¢ ¯®à浪¥, ¬¥­ï ¯à¨§¢ «¨ ª ¯®à浪㠨 ®¡ï§ «¨ ¢ áà®ç­®¬ ¯®à浪¥ § ª § âì ¥é¥ ­¥áª®«ìª® ãáâனáâ¢, çâ®¡ë ¬®¦­® ¡ë«® 㯮à冷稢 âì ¤ ­­ë¥ à §­®£® ¯®à浪  ­  ­¥áª®«ìª® ¯®à浪®¢ ¡ë-áâ॥2. ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®© â¥à¬¨­®«®£¨¨ íâ® á«®¢® â ª¦¥ ¨§®¡¨«ã¥â §­ ç¥­¨ï¬¨ (¯®à冷ª £à㯯ë, ¯®à冷ª ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨, ¯®à冷ª â®çª¨ ¢¥â¢«¥­¨ï, ®â­®è¥­¨¥ ¯®à浪  ¨ â. ¯.).â ª, á«®¢® ”¯®à冷ª” ¯à¨¢®¤¨â ª å ®áã. 1 ¥àਠ¥©á®­—£¥à®© á¥à¨¨ ¤¥â¥ªâ¨¢­ëå ஬ ­®¢ ¯®¯ã«ïà­®£®  ¬¥à¨ª ­áª®£® ¯¨á â¥«ï à«  ⥭«¨  à¤­¥à .— ਬ. ¯¥à¥¢. 2 ®à¨£¨­ «¥ ”Since only two of our tape drives were in working order I was ordered to order more tape units in short order, in order to order the data several orders of magnitude faster”.— ਬ. ¯¥à¥¢.6 Original pages: 004-033 ª ç¥á⢥ ®¡®§­ ç¥­¨ï ¤«ï ¯à®æ¥áá  ã¯®à冷祭¨ï ¯à¥¤« £ «®áì â ª¦¥ á«®¢® ”à ­¦¨à®¢ ­¨¥”3, ­® ®­® ¢® ¬­®£¨å á«ãç ïå, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ­¥ ¢¯®«­¥ ®âà ¦ ¥â áãâì ¤¥« , ®á®¡¥­­® ¥á«¨ ¯à¨áãâáâ¢ã-îâ à ¢­ë¥ í«¥¬¥­âë, ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¨­®£¤  ­¥ ᮣ« áã¥âáï á ¤à㣨¬¨ â¥à¬¨­ ¬¨. ®­¥ç­®, á«®¢® ”á®àâ¨à®¢ª ” ¨ á ¬® ¨¬¥¥â ¤®¢®«ì­® ¬­®£® §­ ç¥­¨©4, ­® ®­® ¯à®ç­® ¢®è«® ¢ ¯à®£à ¬¬¨áâ᪨© ¦ à-£®­. ®íâ®¬ã ¬ë ¡¥§ ¤ «ì­¥©è¨å ¨§¢¨­¥­¨© ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì á«®¢® ”á®àâ¨à®¢ª ” ¢ 㧪®¬ á¬ëá«¥ ”á®àâ¨à®¢ª  ¯® ¯®à浪ã”. ®â ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ¦­ëå ¯à¨¬¥­¥­¨© á®àâ¨à®¢ª¨: a) ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ”£à㯯¨à®¢ª¨”, ª®£¤  ­ã¦­® ᮡà âì ¢¬¥á⥠¢á¥ í«¥¬¥­âë á ®¤¨­ ª®¢ë¬ §­ ç¥-­¨¥¬ ­¥ª®â®à®£® ¯à¨§­ ª . ®¯ãá⨬, ¨¬¥¥âáï 10000 í«¥¬¥­â®¢, à á¯®«®¦¥­­ëå ¢ á«ãç ©­®¬ ¯®à浪¥, ¯à¨ç¥¬ §­ ç¥­¨ï ¬­®£¨å ¨§ ­¨å à ¢­ë; ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ­ ¬ ­ã¦­® ¯¥à¥ã¯®à冷ç¨âì ä ©« â ª, ç⮡ë í«¥¬¥­âë á à ¢­ë¬¨ §­ ç¥­¨ï¬¨ § ­¨¬ «¨ á®á¥¤­¨¥ ¯®§¨æ¨¨ ¢ ä ©«¥. â®, ¯® áãé¥áâ¢ã, § ¤ ç  ”á®àâ¨à®¢ª¨” ¢ è¨à®ª®¬ á¬ëá«¥ á«®¢ , ¨ ®­  «¥£ª® ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­  ¯ã⥬ á®àâ¨à®¢ª¨ ä ©«  ¢ 㧪®¬ á¬ëá«¥ á«®¢ ,   ¨¬¥­­® à á¯®«®¦¥­¨¥¬ í«¥¬¥­â®¢ ¢ ­¥ã¡ë¢ î饬 ¯®-à浪¥ v1 v2 : : : v10000. ä䥪⨢­®áâìî, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®á⨣­ãâ  ¢ í⮩ ¯à®æ¥¤ãà¥, ¨ ®¡êïá­ï¥âáï ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯¥à¢®­ ç «ì­®£® á¬ëá«  á«®¢  ”á®àâ¨à®¢ª ”. b) ᫨ ¤¢  ¨«¨ ¡®«¥¥ ä ©«  ®âá®àâ¨à®¢ âì ¢ ®¤­®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ¯®à浪¥, â® ¬®¦­® ®âë᪠âì ¢ ­¨å ¢á¥ ®¡é¨¥ í«¥¬¥­âë §  ®¤¨­ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­ë© ¯à®á¬®âà ¢á¥å ä ©«®¢, ¡¥§ ¢®§¢à â®¢. â® â®â á ¬ë© ¯à¨­æ¨¯, ª®â®àë¬ ¢®á¯®«ì§®¢ «áï ¥àਠ¥©á®­ ¤«ï à áªàëâ¨ï ¤¥«  ®¡ 㡨©á⢥ (á¬. í¯¨£à äë ª í⮩ £« ¢¥). ª §ë¢ ¥âáï, çâ®, ª ª ¯à ¢¨«®, £®à §¤® íª®­®¬­¥¥ ¯à®á¬ âਢ âì ᯨ-᮪ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®,   ­¥ ¯¥à¥áª ª¨¢ ï á ¬¥áâ  ­  ¬¥áâ® á«ãç ©­ë¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ⮫쪮 ᯨ᮪ ­¥ ­ á⮫쪮 ¬ «, çâ® ®­ 楫¨ª®¬ ¯®¬¥é ¥âáï ¢ ®¯¥à â¨¢­®© ¯ ¬ïâ¨. ®àâ¨à®¢ª  ¯®§¢®«ï¥â ¨á-¯®«ì§®¢ âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­ë© ¤®áâ㯠ª ¡®«ì訬 ä ©« ¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¥¬«¥¬®© § ¬¥­ë ¯àאַ©  ¤à¥á æ¨¨. c)  ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ £«. 6, á®àâ¨à®¢ª  ¯®¬®£ ¥â ¨ ¯à¨ ¯®¨áª¥, á ¥¥ ¯®¬®éìî ¬®¦­® ᤥ« âì ¢ë¤ -ç¨ ¡®«¥¥ 㤮¡­ë¬¨ ¤«ï 祫®¢¥ç¥áª®£® ¢®á¯à¨ïâ¨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, «¨á⨭£ (­ ¯¥ç â ­­ë© ¬ è¨­®© ¤®ªã¬¥­â), ®âá®àâ¨à®¢ ­­ë© ¢  «ä ¢¨â­®¬ ¯®à浪¥, § ç áâãî ¢ë£«ï¤¨â ¢¥á쬠 ¢­ã-è¨â¥«ì­®, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ç¨á«®¢ë¥ ¤ ­­ë¥ ¡ë«¨ à ááç¨â ­ë ­¥¢¥à­®. ®âï á®àâ¨à®¢ª  âà ¤¨æ¨®­­® ¨ ¡®«ì襩 ç áâìî ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¤«ï ®¡à ¡®âª¨ ª®¬¬¥àç¥áª¨å ¤ ­­ëå, ­  á ¬®¬ ¤¥«¥ ®­  ï¥âáï ¨­áâà㬥­â®¬, ¯®«¥§­ë¬ ¢ á ¬ëå à §­ëå á¨âã æ¨ïå, ¨ ¯®í⮬㠮 ­¥¬ ­¥ á«¥¤ã¥â § ¡ë¢ âì. ã¯à. 2.3.2–17 ¬ë ®¡á㤨«¨ ¥¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¤«ï ã¯à®é¥­¨ï  «£¥¡à ¨ç¥-᪨å ä®à¬ã«. ¯à ¦­¥­¨ï, ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ­¨¦¥, ¨««îáâà¨àãîâ à §­®®¡à §¨¥ ⨯¨ç­ëå ¯à¨¬¥­¥­¨© á®àâ¨à®¢ª¨. ¤­®© ¨§ ¯¥à¢ëå ªà㯭ëå á¨á⥬ ¯à®£à ¬¬­®£® ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï, ¯à®¤¥¬®­áâà¨à®¢ ¢è¨å ¡®£ âë¥ ¢®§¬®¦­®á⨠á®àâ¨à®¢ª¨, ¡ë«ª®¬¯¨«ïâ®àLarcScientificCompiler, ࠧࠡ®â ­­ë©ä¨à¬®©Computer Sciences Corporation ¢ 1960 £. í⮬ ®¯â¨¬¨§¨àãî饬 ª®¬¯¨«ïâ®à¥ ¤«ï à áè¨à¥­­®£®   á®àâ¨à®¢ª  ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¢¥á쬠 ¨­â¥­á¨¢­®, â ª çâ® à §«¨ç­ë¥  «£®à¨â¬ë ª®¬¯¨«ï樨 à ¡®â «¨ á ®â­®áï騬¨áï ª ­¨¬ ç áâﬨ ¨á室­®© ¯à®£à ¬¬ë, à á¯®«®¦¥­­ë¬¨ ¢ 㤮¡­®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®-áâ¨.ਯ¥à¢®¬¯à®á¬®âॠ®áãé¥á⢫ï«áï«¥ªá¨ç¥áª¨©  ­ «¨§, â. ¥. ¢ë¤¥«¥­¨¥¢¨á室­®©¯à®£à ¬¬¥ «¥ªá¨ç¥áª¨å ¥¤¨­¨æ («¥ªá¥¬), ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¨¡® ¨¤¥­â¨ä¨ª â®àã (¨¬¥­¨ ¯¥à¥-¬¥­­®©), «¨¡® ª®­áâ ­â¥, «¨¡® ®¯¥à â®àã ¨ â. ¤.  ¦¤ ï «¥ªá¥¬  ¯®«ãç «  ­¥áª®«ìª® ¯®à浪®¢ëå ­®¬¥à®¢. १ã«ìâ â¥ á®àâ¨à®¢ª¨ ¯® ¨¬¥­ ¬ ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®à浪®¢ë¬ ­®¬¥à ¬ ¢á¥ ¨á¯®«ì§®-¢ ­¨ï ¤ ­­®£® ¨¤¥­â¨ä¨ª â®à  ®ª §ë¢ «¨áì ᮡ࠭­ë¬¨ ¢¬¥áâ¥. ”¯à¥¤¥«ïî騥 ¢å®¦¤¥­¨ï”, ᯥ-æ¨ä¨æ¨àãî騥 ¨¤¥­â¨ä¨ª â®à ª ª ¨¬ï ä㭪樨, ¯ à ¬¥âà ¨«¨ ¬­®£®¬¥à­ãî ¯¥à¥¬¥­­ãî, ¯®«ãç -«¨ ¬¥­ì訥 ­®¬¥à , ¯®í⮬㠮­¨ ®ª §ë¢ «¨áì ¯¥à¢ë¬¨ ¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠«¥ªá¥¬, ®â¢¥ç îé¨å í⮬㠨¤¥­â¨ä¨ª â®àã. ¥¬ á ¬ë¬ ®¡«¥£ç « áì ¯à®¢¥àª  ¯à ¢¨«ì­®á⨠㯮âॡ«¥­¨ï ¨¤¥­â¨ä¨ª -â®à®¢, à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯ ¬ï⨠á ãç¥â®¬ ¤¥ª« à æ¨© íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¨ â. ¤. ®¡à ­­ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨­ä®à¬ æ¨ï ® ª ¦¤®¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª â®à¥ ¯à¨á®¥¤¨­ï« áì ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 «¥ªá¥¬¥. ®í⮬㠭¥ ¡ë«® ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠åà ­¨âì ¢ ®¯¥à â¨¢­®© ¯ ¬ï⨠”â ¡«¨æã ᨬ¢®«®¢”, ᮤ¥à¦ éãî ᢥ¤¥­¨ï ®¡ ¨¤¥­â¨ä¨ª â®à å. ®á«¥ â ª®© ®¡à ¡®âª¨ «¥ªá¥¬ë á­®¢  á®àâ¨à®¢ «¨áì ¯® ¤à㣮¬ã ¯®à浪®¢®¬ã ­®¬¥àã; ¢ १ã«ìâ â¥ ¢ ¯à®£à ¬¬¥, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¢®ááâ ­ ¢«¨¢ «áï ¯¥à¢®­ ç «ì­ë© ¯®à冷ª, ¥á«¨ ­¥ áç¨â âì ⮣®, çâ®  à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ®ª §ë¢ «¨áì § ¯¨á ­­ë¬¨ ¢ ¡®«¥¥ 㤮¡­®©, ”¯®«ì-᪮© ¯à¥ä¨ªá­®©” ä®à¬¥. ®àâ¨à®¢ª  ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¨ ­  ¯®á«¥¤ãîé¨å ä § å ª®¬¯¨«ï樨—¤«ï ®¡«¥£ç¥­¨ï ®¯â¨¬¨§ æ¨¨ 横«®¢, ¢ª«î祭¨ï ¢ «¨á⨭£ á®®¡é¥­¨© ®¡ ®è¨¡ª å ¨ â. ¤. ®à®ç¥ £®¢®àï, ª®¬¯¨«ïâ®à ¡ë« ãáâ஥­ â ª, çâ® ¢áî ®¡à ¡®âªãä ©«®¢, åà ­ïé¨åáï ­  ¡ à ¡ ­ å,ä ªâ¨ç¥áª¨¬®¦-3 ®à¨£¨­ «¥ ”sequencing”.—ਬ. ¯¥à¥¢. 4 â® ¢ ¡®«ì襩 á⥯¥­¨ ®â­®á¨âáï ª  ­£«¨©áª®¬ã á«®¢ã ”sorting”. ¤¥áì  ¢â®à ¯à¨¢®¤ï⠯ਬ¥à: ”¥ was sort of out sorts after sorting that sort of data”. (­ ¡ë« ª ª ¡ã¤â® ­¥ ¢ ¤ãå¥ ¯®á«¥ á®àâ¨à®¢ª¨ â ª®£® á®àâ  ¤¥­­ëå), ª®â®àë© ¢ àãá᪮¬ ¯¥à¥¢®¤¥ ­¥ áâ®«ì ¢ëà §¨â¥«¥­.— ਬ. ¯¥à¥¢.Original pages: 004-033 7 ­® ¡ë«® ¢¥á⨠¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®. ®í⮬ã-â® ¤ ­­ë¥ ¨ á­ ¡¦ «¨áì â ª¨¬¨ ¯®à浪®¢ë¬¨ ­®¬¥à ¬¨, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ï«¨ 㯮à冷稢 âì í⨠¤ ­­ë¥ à §«¨ç­ë¬¨ 㤮¡­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨. à㣮¥, ¡®«¥¥ ®ç¥¢¨¤­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ á®àâ¨à®¢ª¨ ¢®§­¨ª ¥â ¯à¨ । ªâ¨à®¢ ­¨¨ ä ©«®¢, £¤¥ ª ¦¤ ï áâப  á­ ¡¦¥­  ª«î箬. ®ª  ¯®«ì§®¢ â¥«ì ¢­®á¨â á ª« ¢¨ âãàë ¨§¬¥­¥­¨ï ¨ ¤®¡ ¢«¥­¨ï, ­¥®¡ï§ â¥«ì­® ¤¥à¦ âì ¢¥áì ä ©« ¢ ®¯¥à â¨¢­®© ¯ ¬ïâ¨. ᥠ¨§¬¥­ï¥¬ë¥ áâப¨ ¬®¦­® ¯®§¤­¥¥ ®âá®àâ¨à®¢ âì (  ®­¨ ¨ â ª ®¡ëç­® ¢ ®á­®¢­®¬ 㯮à冷祭ë) ¨ ᫨âì á ¨á室­ë¬ ä ©«®¬. â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì ࠧ㬭® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯ ¬ïâì ¢ ०¨¬¥ ¬ã«ì⨯ணࠬ¬¨à®¢ ­¨ï. [à. á . . Foster, Comp. J., 11 (1968), 134–137]. ®á⠢騪¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå ¬ è¨­ áç¨â îâ, çâ® ¢ á।­¥¬ ¡®«¥¥ 25% ¬ è¨­­®£® ¢à¥¬¥­¨ á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ âà â¨âáï ­  á®àâ¨à®¢ªã. ® ¬­®£¨å ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå á¨á⥬ å ­  ­¥¥ ã室¨â ¡®«ì-è¥ ¯®«®¢¨­ë ¬ è¨­­®£® ¢à¥¬¥­¨. § í⮩ áâ â¨á⨪¨ ¬®¦­® § ª«îç¨âì, çâ® «¨¡® (i) á®àâ¨à®¢ª  ¨¬¥¥â ¬­®£® ¢ ¦­ëå ¯à¨¬¥­¥­¨©, «¨¡® (ii) ¥î ç áâ® ¯®«ì§ãîâáï ¡¥§ ­ã¦¤ë, «¨¡® (iii) ¯à¨¬¥­ïîâáï ¢ ®á­®¢­®¬ ­¥íä䥪⨢­ë¥  «£®à¨â¬ë á®àâ¨à®¢ª¨. ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ª ¦¤®¥ ¨§ âà¥å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨© ᮤ¥à¦¨â ¤®«î ¨á⨭ë. ® ¢á类¬ á«ãç ¥ ïá­®, çâ® á®àâ¨à®¢ª  § á«ã¦¨¢ ¥â á¥à쥧­®£® ¨§ã祭¨ï á â®çª¨ §à¥­¨ï ¥¥ ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï. ® ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¡ë á®àâ¨à®¢ª  ¡ë«  ¯®ç⨠¡¥á¯®«¥§­ , ­ è« áì ¡ë ¬ áá  ¤àã£¨å ¯à¨ç¨­ § ­ïâìáï ¥î!§®¡à¥â â¥«ì­ë¥ «£®à¨â¬ëá®àâ¨à®¢ª¨£®¢®àïâ ® ⮬,çâ®®­ ¨á ¬ ¯® ᥡ¥¨­â¥à¥á­ ª ª®¡ê¥ªâ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï. í⮩ ®¡« á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ 㢫¥ª â¥«ì­ëå ­¥à¥è¥­­ëå § ¤ ç ­ àï¤ã á ¢¥á쬠 ­¥¬­®£¨¬¨ 㦥 à¥è¥­­ë¬¨.  áᬠâਢ ï ¢®¯à®á ¢ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¯« ­¥, ¬ë ®¡­ à㦨¬, çâ®  «£®à¨â¬ë á®àâ¨à®¢ª¨ ¯à¥¤-áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¨­â¥à¥á­ë© ç áâ­ë© ¯à¨¬¥à ⮣®, ª ª á«¥¤ã¥â ¯®¤å®¤¨âì ª à¥è¥­¨î ¯à®¡«¥¬ ¯à®-£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ¢®®¡é¥. ë ¯®§­ ª®¬¨¬áï á® ¬­®£¨¬¨ ¢ ¦­ë¬¨ ¯à¨­æ¨¯ ¬¨ ¬ ­¨¯ã«¨à®¢ ­¨ï á® áâàãªâãà ¬¨ ¤ ­­ëå ¨ ¯à®á«¥¤¨¬ §  í¢®«î樥© à §«¨ç­ëå ¬¥â®¤®¢ á®àâ¨à®¢ª¨, ¯à¨ç¥¬ ç¨â â¥«î ç áâ® ¡ã¤¥â ¯à¥¤®áâ ¢«ïâìáï ¢®§¬®¦­®áâì á ¬®¬ã ”®âªà뢠âì” â¥¦¥ ¨¤¥¨, ª ª ¡ã¤â® ¡ë¤® ­¥£® ­¨ªâ® á ¯®¤®¡­ë¬¨ § ¤ ç ¬¨ ­¥ áâ «ª¨¢ «áï. ¡®¡é¥­¨¥ íâ¨å ç áâ­ëå ¬¥â®¤®¢ ¯®§¢®«¨â ­ ¬ ¢ §­ ç¨â¥«ì-­®© á⥯¥­¨ ®¢« ¤¥âì ⥬¨ ᯮᮡ ¬¨ ¬ëè«¥­¨ï, ª®â®àë¥ ¯®¬®£ãâ ᮧ¤ ¢ âì ¤®¡à®â­ë¥  «£®à¨â¬ë ¤«ï à¥è¥­¨ï ¤àã£¨å ¯à®¡«¥¬, á¢ï§ ­­ëå á . ¥â®¤ë á®àâ¨à®¢ª¨ á«ã¦ â ¢¥«¨ª®«¥¯­®© ¨««îáâà æ¨¥© ¨¤¥©  ­ «¨§   «£®à¨â¬®¢, â. ¥. ¨¤¥©, ¯®§¢®«ïîé¨å ®æ¥­¨¢ âì à ¡®ç¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨  «£®à¨â¬®¢,   §­ ç¨â, ࠧ㬭® ¢ë¡¨à âì á।¨. ª § «®áì ¡ë, à ¢­®æ¥­­ëå ¬¥â®¤®¢. ¨â â¥«¨, ¨¬¥î騥 ᪫®­­®áâì ª ¬ â¥¬ â¨ª¥, ­ ©¤ãâ ¢ í⮩ £« ¢¥ ­¥¬ «® ᯮᮡ®¢ ®æ¥­ª¨ ᪮à®á⨠ࠡ®âë  «£®à¨â¬®¢ ¨ ¬¥â®¤®¢ à¥è¥­¨ï á«®¦­ëå ४ãà७â-­ëå ᮮ⭮襭¨©. ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¨§«®¦¥­¨¥ ¯®áâ஥­® â ª, çâ® ç¨â â¥«¨, ­¥ ¨¬¥î騥 â ª®© ᪫®­­®áâ¨, ¬®£ãâ ¡¥§¡®«¥§­¥­­® ¯à®¯ã᪠âì ¢ëª« ¤ª¨. ०¤¥ 祬 ¤¢¨£ âìáï ¤ «ìè¥, ­¥®¡å®¤¨¬® ¡®«¥¥ ç¥âª® ®¯à¥¤¥«¨âì § ¤ çã ¨ ¢¢¥á⨠ᮮ⢥âáâ¢ã-îéãî â¥à¬¨­®«®£¨î. ãáâì ­ ¤® 㯮à冷ç¨âì N í«¥¬¥­â®¢ R1;R2; : : : ; RN:  §®¢¥¬ ¨å § ¯¨áﬨ,   ¢áî ᮢ®ªã¯­®áâì N § ¯¨á¥© ­ §®¢¥¬ ä ©«®¬.  ¦¤ ï § ¯¨áì Rj ¨¬¥¥â ª«îç Kj , ª®â®àë© ¨ ã¯à ¢«ï¥â ¯à®æ¥áᮬ á®àâ¨à®¢ª¨. ®¬¨¬® ª«îç , § ¯¨áì ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¤®¯®«­¨-⥫ì­ãî, ”ᮯãâáâ¢ãîéãî ¨­ä®à¬ æ¨î”, ª®â®à ï ­¥ ¢«¨ï¥â ­  á®àâ¨à®¢ªã, ­® ¢á¥£¤  ®áâ ¥âáï ¢ í⮩ § ¯¨á¨. ⭮襭¨¥ ¯®à浪  ”<” ­  ¬­®¦¥á⢥ ª«î祩 ¢¢®¤¨âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¤«ï «î¡ëå âà¥å §­ ç¥­¨© ª«î祩 a, b, c ¢ë¯®«­ï«¨áì á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: i) á¯à ¢¥¤«¨¢® ®¤­® ¨ ⮫쪮 ®¤­® ¨§ ᮮ⭮襭¨©a < b, a = b, b < a (§ ª®­ âà¨å®â®¬¨¨); ii) ¥á«¨ a < b ¨ b < c, â® a < c (§ ª®­ âà ­§¨â¨¢­®áâ¨). ⨠¤¢  ᢮©á⢠ ®¯à¥¤¥«ïî⬠⥬ â¨ç¥áª®¥ ¯®­ï⨥«¨­¥©­®£® 㯮à冷祭¨ï, ­ §ë¢ ¥¬®£® ¥é¥ ᮢ¥à襭­ë¬ 㯮à冷祭¨¥¬. î¡®¥ ¬­®¦¥á⢮ á ®â­®è¥­¨¥¬ ”<”, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ᢮©á⢠¬ (i) ¨ (ii), ¯®¤¤ ¥âáï á®àâ¨à®¢ª¥ ¡®«ì設á⢮¬ ¬¥â®¤®¢, ®¯¨á ­­ëå ¢ í⮩ £« ¢¥, å®âï ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å £®¤ïâáï ⮫쪮 ¤«ï ç¨á«®¢ëå ¨ ¡ãª¢¥­­ëå ª«î祩 á ®¡ëç­ë¬ ®â­®è¥­¨¥¬ ¯®à浪 .  ¤ ç  á®àâ¨à®¢ª¨—­ ©â¨ â ªãî ¯¥à¥áâ ­®¢ªã § ¯¨á¥© p(1) p(2) : : : p(N), ¯®á«¥ ª®â®à®© ª«îç¨ à á¯®«®¦¨«¨áì ¡ë ¢ ­¥ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥: Kp(1) Kp(2) Kp(n): (1) ®àâ¨à®¢ª  ­ §ë¢ ¥âáï ãá⮩稢®©, ¥á«¨ ®­  㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®¢¨î, çâ® § -¯¨á¨ á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ ª«îç ¬¨ ®áâ îâáï ¢ ¯à¥¦­¥¬ ¯®à浪¥, â. ¥. p(i) < p(j); ¥á«¨ Kp(i) = Kp(j) ¨ i < j. (2)8 Original pages: 004-033 à拉 á«ãç ¥¢ ¬®¦¥â ¯®âॡ®¢ âìáï䨧¨ç¥áª¨ ¯¥à¥¬¥é âì § ¯¨á¨ ¢ ¯ ¬ï⨠⠪, ç⮡ë¨å ª«îç¨ ¡ë«¨ 㯮à冷祭ë; ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå ¤®áâ â®ç­® ᮧ¤ âì ¢á¯®¬®£ â¥«ì­ãî â ¡«¨æã, ª®â®à ï ­¥ª®â®-àë¬ ®¡à §®¬ ®¯¨á뢠¥â ¯¥à¥áâ ­®¢ªã ¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¤®áâ㯠ª § ¯¨áï¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯®à浪®¬ ¨å ª«î祩. ¥ª®â®àë¥ ¬¥â®¤ë á®àâ¨à®¢ª¨ ¯à¥¤¯®« £ îâ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¢¥«¨ç¨­ ”1” ¨ ”−1” ¨«¨ ®¤­®© ¨§ ­¨å. ¥«¨ç¨­  ”1” áç¨â ¥âáï ¡®«ìè¥,   ¢¥«¨ç¨­  ”−1” ¬¥­ìè¥ «î¡®£® ª«îç : −1 (bn; :::; b1); CI = 0, ¥á«¨ (an; : : : ; a1) = (bn; :::; b1); CI = −1, ¥á«¨ (an; : : : ; a1) < (bn; :::; b1); rX ¨ rI1, ¢®§¬®¦­®, ¨§¬¥­¨«¨áì. ¤¥áì ®â­®è¥­¨¥ (an; : : : ; a1) < (bn; :::; b1) ®¡®§­ ç ¥â «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¥ 㯮à冷祭¨¥ á«¥¢  ­ ¯à ¢®, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¨­¤¥ªá j, â ª®©, çâ® ak = bk ¯à¨ n k > j, ­® aj < bj. 6. [30] ï祩ª å A ¨ B ᮤ¥à¦ âáï ᮮ⢥âá⢥­­® ç¨á«  a ¨ b. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¬®¦­® ­ ¯¨á âì MIX-¯à®£à ¬¬ã, ª®â®à ï ¡ë ¢ëç¨á«ï«  min(a; b) ¨ § ¯¨á뢠«  १ã«ìâ â ¢ ï祩ªã C, ­¥ ¯®«ì§ãïáì ª®¬ ­¤ ¬¨ ¯¥à¥å®¤ . (।®áâ¥à¥¦¥­¨¥: ¯®áª®«ìªã  à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ¯¥à¥¯®«­¥­¨¥ ­¥¢®§¬®¦­® ®¡­ à㦨âì ¡¥§ ª®¬ ­¤ ¯¥à¥å®¤ , ࠧ㬭® â ª ¯®áâநâì ¯à®£à ¬¬ã, çâ®¡ë ¯¥à¥¯®«­¥­¨¥ ­¥ ¬®£«® ¢®§­¨ª­ãâì ­¨ ¯à¨ ª ª¨å §­ ç¥­¨ïå a ¨ b) 7. [27]  ª®¢  ¢¥à®ïâ­®áâì ⮣®, çâ® ¯®á«¥ á®àâ¨à®¢ª¨ ¢ ­¥ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥ N ­¥§ ¢¨á¨¬ëå à ¢­®¬¥à­® à á¯à¥¤¥«¥­­ëå ­  ®â१ª¥ [0; 1] á«ãç ©­ëå ¢¥«¨ç¨­ r-¥ ®â ­ ç «  ç¨á«® ®ª ¦¥âáï x? ¯à ¦­¥­¨ï () ª ¦¤®¬ ¨§ íâ¨å ã¯à ¦­¥­¨© ¯®áâ ¢«¥­  § ¤ ç , á ª®â®à®© ¬®¦¥â á⮫ª­ãâìáï ¯à®£à ¬¬¨áâ. ।«®¦¨â¥ ”å®à®è¥¥” à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¨¬¥¥âáï áà ¢­¨â¥«ì­® ­¥¡®«ìè ï ®¯¥à -⨢­ ï ¯ ¬ïâì ¨ ®ª®«® ¯®«ã¤î¦¨­ë «¥­â®¯à®â玲ëå ãáâனá⢠(í⮣® ª®«¨ç¥á⢠ ¤®áâ â®ç­® ¤«ï á®àâ¨à®¢ª¨). 1. [75] ¬¥¥âáï «¥­â , ­  ª®â®à®© § ¯¨á ­ ¬¨««¨®­ á«®¢ ¤ ­­ëå.  ª ®¯à¥¤¥«¨âì, ᪮«ìª® ­  í⮩ «¥­â¥ à §«¨ç­ëå á«®¢? 2. [18] ®®¡à §¨â¥ á¥¡ï ¢ ஫¨ ¯à ¢«¥­¨ï ¢­ãâ७­¨å ¤®å®¤®¢ ¨­¨áâ¥àá⢠ 䨭 ­á®¢ . ë ¯®«ã砥⥠¬¨««¨®­ë ”¨­ä®à¬ æ¨®­­ëå” ª àâ®ç¥ª ®â ®à£ ­¨§ æ¨© ® ⮬, ᪮«ìª® ¤¥­¥£ ®­¨ ¢ë-¯« â¨«¨ à §«¨ç­ë¬ «¨æ ¬, ¨ ¬¨««¨®­ë ”­ «®£®¢ëå” ª àâ®ç¥ª ®â à §«¨ç­ëå «¨æ ®¡ ¨å ¤®å®¤ å.  ª ¡ë ¢ë áâ «¨ ®âë᪨¢ âì «î¤¥©, ª®â®àë¥ á®®¡é¨«¨ ­¥ ®¡® ¢á¥å ᢮¨å ¤®å®¤ å? 3. [25] (࠭ᯮ­¨à®¢ ­¨¥¬ âà¨æë.)¬¥¥âáï ¬ £­¨â­ ï «¥­â , ᮤ¥à¦ é ï ¬¨««¨®­ á«®¢, ª®â®-àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© í«¥¬¥­âë 10001000-¬ âà¨æë,§ ¯¨á ­­ë¥ ¯® áâப ¬: a1;1 a1;2 : : : a1;1000 a2;1 : : : a2;1000 : : : a1000;1000. è  § ¤ ç —¯®«ãç¨âì «¥­âã, ­  ª®â®à®© í«¥¬¥­âëí⮩ ¬ âà¨æë ¡ë«¨ ¡ë § ¯¨á ­ë ¯® á⮫¡æ ¬: a1;1 a2;1 : : : a1000;1 a1;2: : : a1;2: : :a1000;2 : : :a1000;1000 (®áâ à ©â¥áì ᤥ« âì ­¥ ¡®«¥¥ ¤¥áï⨠¯à®á¬®â஢ ¤ ­­ëå.) 4. [26] ¢ è¥¬ à á¯®à殮­¨¨ ¤®¢®«ì­® ¡®«ì让 ä ©« ¨§ N á«®¢.  ª ¡ë ¢ë ¥£® ”¯¥à¥â á®¢ «¨” á«ãç ©­ë¬ ®¡à §®¬? >5. [24] ­¥ª®¬ ã­¨¢¥àá¨â¥â¥ à ¡®â ¥â ®ª®«® 1000 ¯à¥¯®¤ ¢ â¥«¥© ¨ ¨¬¥¥âáï 500 ª®¬¨â¥â®¢. ç¨â -¥âáï, çâ® ª ¦¤ë© ¯à¥¯®¤ ¢ â¥«ì ï¥âáï ç«¥­®¬ ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¤¢ãå ª®¬¨â¥â®¢.  ¬ ­ã¦­® ¯®¤£®â®¢¨âì á ¯®¬®éì設ë 㤮¡®ç¨â ¥¬ë¥ ᯨ᪨ ç«¥­®¢ ¢á¥å ª®¬¨â¥â®¢. ëà á¯®« £ ¥â¥ ª®«®¤®© ¨§ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì­® 1500 ¯¥à䮪 àâ, á«®¦¥­­ëå ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ ¨ ᮤ¥à¦ é¨å á«¥¤ãîéãî ¨­ä®à¬ æ¨î: «¥­áª¨¥ ª àâ®çª¨: ª®«®­ª  1—¯à®¡¥«; ª®«®­ª¨ 2–18—ä ¬¨«¨ï á ¯®á«¥¤ãî騬¨ ¯à®¡¥« ¬¨; ª®«®­ª¨ 19–20—¨­¨æ¨ «ë; ª®«®­ª¨ 21–23—­®¬¥à ¯¥à¢®£® ®¬¨â¥â ; ª®«®­ª¨ 24–26—­®¬¥à ¢â®-ண® ª®¬¨â¥â ; : : : ; ª®«®­ª¨ 78–80— ­®¬¥à ¤¢ ¤æ â®£® ª®¬¨â¥â  (¥á«¨ ­ã¦­®) ¨«¨ ¯à®¡¥«ë. ®¬¨â¥â᪨¥ ª àâ®çª¨: ª®«®­ª  1—”*”; ª®«®­ª¨ 2–77—­ §¢ ­¨¥ ª®¬¨â¥â ; ª®«®­ª¨ 78–80— ­®¬¥à ª®¬¨â¥â .  ª ¢ë ¤®«¦­ë ¤¥©á⢮¢ âì? (¯¨è¨â¥ ᢮© ¬¥â®¤ ¤®áâ â®ç­® ¯®¤à®¡­®.) 6. [20] ë à ¡®â ¥â¥ á ¤¢ã¬ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ë¬¨ á¨á⥬ ¬¨, ¢ ª®â®àëå ¯®-à §­®¬ã 㯮àï¤®ç¥­ë «¨â¥àë (¡ãª¢ë ¨ æ¨äàë).  ª § áâ ¢¨âì ¯¥à¢ãî á®àâ¨à®¢ âì ä ©«ë á ¡ãª¢¥­­®-æ¨ä஢®© ¨­ä®à¬ æ¨¥©, ¯à¥¤­ §­ ç¥­­ë¥ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ­  ¢â®à®© ? 7. [18] ¬¥¥âáï ¤®¢®«ì­® ¡®«ì让 ᯨ᮪ «î¤¥©, த¨¢è¨åáï ¢,á 㪠§ ­¨¥¬ èâ â , ¢ ª®â®à®¬ ®­¨ த¨«¨áì.  ª ¯®¤áç¨â âì ç¨á«® «î¤¥©, த¨¢è¨åáï ¢ ª ¦¤®¬ èâ â¥? (।¯®« £ ¥âáï, çâ® ­¨ ®¤¨­ 祫®¢¥ª ­¥ 㪠§ ­ ¢ ᯨ᪥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® à § .) 8. [20] â®¡ë ®¡«¥£ç¨âì ¢­¥á¥­¨¥ ¨§¬¥­¥­¨© ¢ ¡®«ì訥 ¯à®£à ¬¬ë, ­ ¯¨á ­­ë¥ ­  ¥, ¢ë å®â¨â¥ ­ ¯¨á âì ¯à®£à ¬¬ã, ¢ë¯¥ç â뢠îéãî â ¡«¨æã ”¯¥à¥ªà¥áâ­ëå ááë«®ª”. 室­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨ ¤«ï ­¥¥ á«ã¦¨â ¯à®£à ¬¬  ­  ¥,   ¢ १ã«ìâ â¥ ¯®«ãç ¥âáï «¨á⨭£ ¨á室­®©10 Original pages: 004-033 ¯à®£à ¬¬ë, á­ ¡¦¥­­ë© 㪠§ â¥«¥¬ ¢á¥å á«ãç ¥¢ 㯮âॡ«¥­¨ï ª ¦¤®£® ¨¤¥­â¨ä¨ª â®à  (â. ¥. ¨¬¥­¨) ¢ ¯à®£à ¬¬¥.  ª ­ ¯¨á âì â ªãî ¯à®£à ¬¬ã? 9. [33] (®àâ¨à®¢ª  ª â «®¦­ëå ª àâ®ç¥ª.) ¯®á®¡ë á®áâ ¢«¥­¨ï  «ä ¢¨â­ëå ª â «®£®¢ ¢ à §­ëå ¡¨¡«¨®â¥ª å­¥áª®«ìª®®â«¨ç îâáï¤à㣮⠤à㣠.á«¥¤ãî饬” «ä ¢¨â­®¬”ᯨ᪥ᮤ¥à¦ âáï ४®¬¥­¤ æ¨¨, ¢§ïâë¥ ¨§ ¯à ¢¨« ॣ¨áâà æ¨¨ ¨ åà ­¥­¨ï ª â «®¦­ëå ª àâ®ç¥ª ¬¥à¨ª ­áª®© ¡¨¡«¨®â¥ç­®©  áá®æ¨ æ¨¨ (¨ª £®, 1942): ¥ªáâ ª àâ®çª¨  ¬¥ç ­¨ï R. Accademia nazionale dei Lincei, Rome ­ §¢ ­¨ïå ¨­®áâà ­­ëå (ªà®¬¥ ¡à¨â ­áª¨å) ãç-०¤¥­¨© á«®¢® ”royalty” (ª®à®«¥¢áª¨©) ¨£­®à¨-àã¥âáï 1812; ein historischer roman. Achtzehnhundert zw¨olf Bibliotheque d’histoire revolutionnaire. ® äà ­æã§áª®¬ ⥪á⥠ ¯®áâà®ä à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à®¡¥« Bibliotheque des curiosites.  ¤áâà®ç­ë¥ §­ ª¨ ¨£­®à¨àãîâáï Brown, Mrs. J. Crosby ª § ­¨¥ ¯®«®¦¥­¨ï (Mrs.) ¨£­®à¨àã¥âáï Brown, John  ¬¨«¨¨á¤ â ¬¨á«¥¤ãî⧠䠬¨«¨ï¬¨¡¥§¤ â... Brown, John, mathematician : : : ª®â®àë¥ ã¯®à冷稢 îâáï ¯® Brown, John, of Boston ®¯¨á â¥«ì­ë¬ á«®¢ ¬ Brown, John, 1715–1766 ¤¨­ ª®¢ë¥ ä ¬¨«¨¨ 㯮à冷稢 îâáï ¯® ¤ â ¬ ஦¤¥­¨ï BROWN, JOHN, 1715–1766  ¡®âë ”® ­¥¬” ¨¤ãâ ¯®á«¥ ¥£® à ¡®â Brown, John, d. 1811 ­®£¤  £®¤ ஦¤¥­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì-­® Brown, Dr. John, 1810–1882 ª § ­¨¥ ¯®«®¦¥­¨ï (Dr.) ¨£­®à¨àã¥âáï Brown-Williams, Reginald Makepeace ¥ä¨á à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à®¡¥« Brown America.  §¢ ­¨ï ª­¨£ ¨¤ãâ ¯®á«¥ á®áâ ¢­ëå ä ¬¨«¨© Brown & Dallison’s Nevada directory. & ¢  ­£«¨©áª®¬ ⥪á⥠¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ”and” Brownjohn, Alan Den’, Vladimir Eduardovich, 1867– ¯®áâà®ä ¢ ¨¬¥­ å ¨£­®à¨àã¥âáï The den. à⨪«ì ¢ ­ ç «¥ ⥪áâ  ¨£­®à¨àã¥âáï Den lieben s¨ussenm¨adeln. : : : ¥á«¨ áãé¥á⢨⥫쭮¥ á⮨⠢ ¨¬¥­¨â¥«ì­®¬ ¯ ¤¥¦¥ Dix, Morgan, 1827–1908  ¬¨«¨¨ ¨¤ãâ à ­ìè¥ ¤à㣨å á«®¢ 1812 ouverture. Dix-huit cent douze Le XIXe siecle francais. Dix-neuvieme The 1847 issue of U. S. stamps. Eighteen forty-seven 1812 overture. Eighteen twelve I am a mathematician, (by Norbert Weiner) IBM journal of research and development. ¡¡à¥¢¨ âãàë à áᬠâਢ îâáï ª ª àï¤ ®¤­®¡ãª-¢¥­­ëå á«®¢ ha-I ha-eh. ad. à⨪«ì ¢ ­ ç «¥ ⥪áâ  ¨£­®à¨àã¥âáï Ia; a love story. ­ ª¨ ¯à¥¯¨­ ­¨ï ¢ ­ §¢ ­¨ïå ¨£­®à¨àãîâáï International Business Machines Corporation al-Khuwarizm, Muh.ammad ibn Musa, fl. 813–846  ç «ì­®¥ ” l-” ¢  à ¡áª¨å ¨¬¥­ å ¨£­®à¨àã¥âáï Labour; a magazine for all workers.  ¬¥­ï¥âáï ­  ”Labor” Labor research association Labour, see Labor á뫪  ­  ¤àã£ãî ª àâ®çªã ¢ ª àâ®â¥ª¥ McCall’s cookbook ¯®áâà®ä ¢  ­£«¨©áª®¬ ⥪á⥠¨£­®à¨àã¥âáï McCarthy, John, 1927– Mc = Mac Machine-independent computer programming. ¥ä¨á à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à®¡¥« MacMahon, Maj. Percy Alexander, 1854–1929 ª § ­¨¥ ¯®«®¦¥­¨ï (Maj) ¨£­®à¨àã¥âáïOriginal pages: 004-033 11 Mrs. Dalloway. ”Mrs. ”= ”Mistress” Mistress of mistresses. Royal society of London St. PetersburgerZeitung. ”St.”= ”Saint” ¤ ¦¥ ¢ ­¥¬¥æª®¬ ⥪á⥠Saint-Sa¨ens, Camille, 1835–1921 ¥ä¨á à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à®¡¥« Ste. Anne des Monts, Quebec Sainte Seminumerical algorithms. Uncle Tom’s cabin. U.S. Bureau of the census. ”U.S.” = ”United States” Vandermonde, Alexander Theophile, 1735–1796 Van Valkenburg, Mac Elwyn, 1921– ஡¥« ¯®á«¥ ¯à¥ä¨ªá  ¢ ä ¬¨«¨ïå ¨£­®à¨àã¥âáï Von Neumann, John, 1903–1957 The whole art of legerdemain. Who’s afraid of Virginia Woolf? ¯®áâà®ä ¢  ­£«¨©áª®¬ ⥪á⥠¨£­®à¨àã¥âáï Wijngaarden, Adriaan van, 1916–  ¬¨«¨ï ­¨ª®£¤  ­¥ ­ ç¨­ ¥âáï á ¬ «®© ¡ãª¢ë (¡®«ì設á⢠ ¨§ íâ¨å ¯à ¢¨« ¥áâì ¨áª«î祭¨ï; ªà®¬¥ ⮣®, áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£® ¤àã£¨å ¯à ¢¨«, ª®â®àë¥ §¤¥áì ­¥ 㯮¬ï­ãâë.) ।¯®«®¦¨¬,¢ ¬¯à¨è«®áì á®àâ¨à®¢ âì ¡®«ì讥ª®«¨ç¥á⢮ â ª¨åª àâ®ç¥ªá¯®¬®éìî¢ëç¨á-«¨â¥«ì­®© ¬ è¨­ë ¨ ¢¯®á«¥¤á⢨¨ ®¡á«ã¦¨¢ âì ®£à®¬­ãàâ®â¥ªã, ¯à¨ç¥¬ ã ¢ á ­¥â ¢®§¬®¦­®á⨠¨§¬¥­¨âì 㦥 á«®¦¨¢è¨¥áï ¯®à浪¨ § ¯®«­¥­¨ï ª àâ®ç¥ª.  ª ¡ë ¢ë ®à£ ­¨§®¢ «¨ ¨­ä®à¬ æ¨î, ç⮡ë ã¯à®áâ¨âì ®¯¥à æ¨¨ ¢ª«î祭¨ï ­®¢ëå ª àâ®ç¥ª ¨ á®àâ¨à®¢ª¨? 10. [21] (¨áªà¥â­ë¥ «®£ à¨ä¬ë.) ãáâì ¨§¢¥áâ­®, çâ® p—(¤®¢®«ì­® ¡®«ì讥) ¯à®á⮥ ç¨á«®,   a— ¯¥à¢®®¡à §­ë©ª®à¥­ì¯®¬®¤ã«îp.«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¤«ï «î¡®£® b ¢ ¤¨ ¯ §®­¥ 1 b < páãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ n, â ª®¥, çâ® an mod p = b, 1 n < p.  ª ¯® § ¤ ­­®¬ã b ­ ©â¨ n ¬¥­¥¥ 祬 §  O(n) è £®¢? [ª § ­¨¥. ãáâì m = dppe. ®¯ëâ ©â¥áì à¥è¨âì ãà ¢­¥­¨¥ amn1 ba−n2 (mod p) ¯à¨ 0 n1, n2 < m.] 11. [25] (. .  àª¥à.) ©«¥à ¢ë¤¢¨­ã« ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥, çâ® ãà ¢­¥­¨¥ u6 + v6 + w6 + x6 + y6 = z6 ­¥ ¨¬¥¥â à¥è¥­¨© (§  ¨áª«î祭¨¥¬ âਢ¨ «ì­ëå) á।¨ 楫ëå ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå ç¨á¥« u, v, w, x, y, z, ª®£¤  ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ç¥âëॠ¯¥à¥¬¥­­ë¥ à ¢­ë ­ã«î. ®¬¨¬® í⮣®, ®­ ¯à¥¤¯®« £ «, çâ® ãà ¢­¥­¨¥ xn1 + +xnn−1 = xnn ­¥ ¨¬¥¥â ­¥âਢ¨ «ì­ëå à¥è¥­¨© ¯à¨ n 3, ­® íâ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¡ë«® ®¯à®¢¥à£­ãâ®: á ¯®-¬®éìî ¢ëç¨á«¨â¥«ì­®© ¬ è¨­ë ­ ©¤¥­® ⮦¤¥á⢮ 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445; á¬. . ¦. í­¤¥à, . .  àª¨­ ¨ ¦. . ¥«äਤ¦, Math. Comp., 21 (1967), 446–459. ਤ㬠©â¥, ª ª ¬®¦­® ¡ë«® ¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì á®àâ¨à®¢ªã ¤«ï ¯®¨áª  ¯à¨¬¥à®¢, ®¯à®¢¥à£ îé¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ©«¥à  ¯à¨ n = 6. >12. [24]  ©« ᮤ¥à¦¨â ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ 30-à §à來ëå ¤¢®¨ç­ëå á«®¢: x1, : : :xN. ਤ㬠©â¥ å®à®è¨© ᯮᮡ ­ å®¦¤¥­¨ï ¢ ­¥¬ ¢á¥å ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå ¯ à (xi; xj). (¢  á«®¢  ­ §ë¢ îâáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬¨, ¥á«¨ ¢â®à®¥ ᮤ¥à¦¨â 0 ¢® ¢á¥å à §à鸞å, ¢ ª®â®àëå ¡ë«¨ 1 ¢ ¯¥à¢®¬ á«®¢¥, ¨ ®¡à â­®; â ª¨¬®¡à §®¬, ®­¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤  ¨å á㬬  à ¢­  (11 : : : 1)2, ¥á«¨ ®­¨ à áᬠâਢ îâáï ª ª ¤¢®¨ç­ë¥ ç¨á« .) >13. [25]¬¥¥âáï ä ©«. ᮤ¥à¦ é¨© 1000 30-à §à來ëå ¤¢®¨ç­ëå á«®¢ x1, : : : , x1000. ª ¡ë¢ë áâ «¨ á®áâ ¢«ïâì ᯨ᮪ ¢á¥å ¯ à (xi; xj), â ª¨å, çâ® xi ®â«¨ç ¥âáï ®â xj ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ¢ ¤¢ãå à §à鸞å? 14. [22]  ª ¡ë ¢ë ¯®áâ㯨«¨ ¯à¨ ®âë᪠­¨¨ ¢á¥å ¯ï⨡㪢¥­­ëå  ­ £à ¬¬, â ª¨å, ª ª CARET, CARTE, CATER, CRATE,REACT, TRACE; CRUEL, LUCRE, ULCER; DOWRY,ROWDY,WORDY? [᫨ ¡ë¢ë, ᪠¦¥¬, § å®â¥«¨ 㧭 âì, áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢  ­£«¨©áª®¬ ï§ëª¥ ­ ¡®àë ¨§ ¤¥áï⨠¨«¨ ¡®«¥¥  ­ £à ¬¬, ªà®¬¥ § ¬¥ç â¥«ì­®© á¥à¨¨: APERS;ASPER;PARES;PARSE;PEARS;PRASE;RAPES;REAPS;SPARE;SPEAR; ª ª®â®à®© ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨âì ¥é¥ äà ­æã§áª®¥ á«®¢® APRES.] 15. [28] ãáâì ¤ ­ë ®¯¨á ­¨ï ¢¥á쬠 ¡®«ì讣® ç¨á«  ­ ¯à ¢«¥­­ëå £à ä®¢.  ª¨¬ ¯ã⥬ ¬®¦­® á£à㯯¨à®¢ âì ¨§®¬®àä­ë¥ £à äë? (¢  ­ ¯à ¢«¥­­ëå £à ä  ­ §ë¢ îâáï ¨§®¬®àä­ë¬¨, ¥á«¨12 Original pages: 004-033 áãé¥áâ¢ã¥â ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã ¨å ¢¥à設 ¬¨ ¨ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ á®-®â¢¥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã ¨å ¤ã£ ¬¨, ¯à¨ç¥¬ í⨠ᮮ⢥âá⢨ï á®åà ­ïîâ ¨­æ¨¤¥­â­®áâì ¢¥à設 ¨ ¤ã£.) 16. [30] ­¥ª®â®à®© £à㯯¥ ¨§ 4096 祫®¢¥ª ª ¦¤ë© ¨¬¥¥â ®ª®«® 100 §­ ª®¬ëå. ë« á®áâ ¢«¥­ ᯨ᮪ ¢á¥å ¯ à «î¤¥©, §­ ª®¬ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®©. (â® ®â­®è¥­¨¥ ᨬ¬¥âà¨ç­®, â. ¥. ¥á«¨ x §­ ª®¬ á y, â® ¨ y §­ ª®¬ á x. ®í⮬ã ᯨ᮪ ᮤ¥à¦¨â ¯à¨¬¥à­® 200000 ¯ à.) ਤ㬠©â¥  «£®à¨â¬, ª®â®àë© ¯® §a¤a­­o¬y k ¢ë¤ ¢ « ¡ë¢á¥ª«¨ª¨ ¨§ k 祫®¢¥ª. («¨ª —íâ® £à㯯  «î¤¥©, ¢ ª®â®à®© ¢á¥ ¬¥¦¤ã ᮡ®© §­ ª®¬ë.) ।¯®« £ ¥âáï, ç⮠᫨誮¬ ¡®«ìè¨å ª«¨ª ­¥ ¡ë¢ ¥â. 17. [30] ਠ¬¨««¨®­  祫®¢¥ª á à §«¨ç­ë¬¨ ¨¬¥­ ¬¨ ¡ë«¨ ã«®¦¥­ë à冷¬ ­¥¯à¥à뢭®© 楯®çª®© ®â ìî-®àª  ¤®  «¨ä®à­¨¨.  ¦¤®¬ã ¨§ ­¨å ¤ «¨ «¨á⮪ ¡ã¬ £¨, ­  ª®â®à®¬ ®­ ­ ¯¨á « ᢮¥ ¨¬ï ¨ ¨¬ï ᢮¥£® ¡«¨¦ ©è¥£® § ¯ ¤­®£® á®á¥¤ . ¥«®¢¥ª, ­ å®¤¨¢è¨©áï ¢ á ¬®© § ¯ ¤­®© â®çª¥ 楯¨, ­¥ ¯®­ï«, çâ® ¥¬ã ¤¥« âì, ¨ ¢ëª¨­ã« ᢮© «¨á⮪. áâ «ì­ë¥ 2999999 «¨á⪮¢ ᮡࠫ¨ ¢ ¡®«ìèãî ª®à§¨­ã ¨ ®â¯à ¢¨«¨ ¢  æ¨®­ «ì­ë©  à娢, ¢  è¨­£â®­, ®ªà㣠®«ã¬¡¨ï.  ¬ ᮤ¥à¦¨¬®¥ ª®à§¨­ë âé â¥«ì­® ¯¥à¥â á®¢ «¨ ¨ § ¯¨á «¨ ­  ¬ £­¨â­ë¥ «¥­âë. ¯¥æ¨ «¨áâ ¯® ⥮ਨ ¨­ä®à¬ æ¨¨ ®¯à¥¤¥«¨«, çâ® ¨¬¥¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¨­ä®à¬ æ¨¨ ¤«ï ¢®á-áâ ­®¢«¥­¨ï ᯨ᪠ «î¤¥© ¢ ¨á室­®¬ ¯®à浪¥. ¯¥æ¨ «¨áâ ¯® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨î ­ è¥« ᯮᮡ ᤥ« âì íâ® ¬¥­¥¥ 祬 §  1000 ¯à®á¬®â஢ «¥­â á ¤ ­­ë¬¨, ¨á¯®«ì§ãï «¨èì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­ë© ¤®áâ㯠ª ä ©« ¬ ­  «¥­â å ¨ ­¥¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¯ ¬ïâ¨ á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ¤®áâ㯮¬.  ª ¥¬ã í⮠㤠«®áì? [à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ª ª, ¨¬¥ï à á¯®«®¦¥­­ë¥ ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ ¯ àë (xi; xi+1), 1 i < N, £¤¥ ¢á¥ xi à §«¨ç­ë, ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì x1, x2, : : : , xN, ¯à¨¬¥­ïï «¨èì ¬¥â®¤ë ¯®á«¥¤®¢ -⥫쭮© ®¡à ¡®âª¨ ¤ ­­ëå, ¯à¨£®¤­ë¥ ¤«ï à ¡®âë á ¬ £­¨â­ë¬¨ «¥­â ¬¨? â® § ¤ ç  á®àâ¨à®¢ª¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  âà㤭® ®¯à¥¤¥«¨âì, ª ª®© ¨§ ¤¢ãå ª«î祩 ¯à¥¤è¥áâ¢ã¥â ¤à㣮¬ã; ¬ë 㦥 ¯®¤­¨¬ «¨ íâ®â ¢®¯à®á ¢ ã¯à. 2.2.3–25.] 5.1. * ¥à¥áâ ­®¢ª®© ª®­¥ç­®£® ¬­®¦¥á⢠ ­ §ë¢ ¥âáï ­¥ª®â®à®¥ à á¯®«®¦¥­¨¥ ¥£® í«¥¬¥­â®¢ ¢ àï¤. ¥à¥áâ ­®¢ª¨ ®á®¡¥­­® ¢ ¦­ë ¯à¨ ¨§ã祭¨¨  «£®à¨â¬®¢ á®àâ¨à®¢ª¨, â ª ª ª ®­¨ á«ã¦ â ¤«ï ¯à¥¤-áâ ¢«¥­¨ï ­¥ã¯®à冷祭­ëå ¨á室­ëå ¤ ­­ëå. â®¡ë ¨áá«¥¤®¢ âì íä䥪⨢­®áâì à §«¨ç­ëå ¬¥-⮤®¢ á®àâ¨à®¢ª¨, ­ã¦­® 㬥âì ¯®¤áç¨â뢠âì ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, ª®â®àë¥ ¢ë­ã¦¤ îâ ¯®¢â®àïâì ­¥ª®â®àë© è £  «£®à¨â¬  ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ç¨á«® à §. ë, ª®­¥ç­®, 㦥 ­¥ à § ¢áâà¥ç «¨áì á ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨ ¢ £«. 1, 2 ¨ 3.  ¯à¨¬¥à, ¢ ¯. 1.2.5 ®¡á㦤 «¨áì ¤¢  ®á­®¢­ëå ⥮à¥â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤  ¯®áâ஥­¨ï n! ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¨§ n ®¡ê¥ªâ®¢; ¢ ¯. 1.3.3 ¯à® ­ «¨§¨à®¢ ­ë ­¥ª®â®àë¥  «£®à¨â¬ë, á¢ï§ ­­ë¥ á 横«¨ç¥áª®© áâàãªâãன ¨ ¬ã«ì⨯«¨-ª â¨¢­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª; ¢ ¯. 3.3.2 ¨§ãç¥­ë ¨å ®â१ª¨ ¬®­®â®­­®áâ¨. ¥«ì ­ áâ®ï饣® ¯ à £à ä —¨§ãç¨âì ­¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ ᢮©á⢠ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¨ à áᬮâà¥âì ®¡é¨© á«ãç ©, ª®£¤  ¤®-¯ã᪠¥âáï ­ «¨ç¨¥ ®¤¨­ ª®¢ëå í«¥¬¥­â®¢. ®¯ãâ­® ¬ë㧭 ¥¬ ¬­®£®¥ ® ª®¬¡¨­ â®à­®© ¬ â¥¬ â¨ª¥. ¢®©á⢠ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ­ á⮫쪮 ªà á¨¢ë, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨ á ¬®áâ®ï⥫ì­ë© ¨­â¥à¥á. ¤®¡-­® ¡ã¤¥â ¤ âì ¨å á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ¢ ®¤­®¬ ¬¥áâ¥,   ­¥ à §¡à á뢠âì ¬ â¥à¨ « ¯® ¢á¥© £« ¢¥. ¨â â¥«ï¬, ­¥ ¨¬¥î騬 ᪫®­­®á⨠ª ¬ â¥¬ â¨ª¥,   â ª¦¥ ⥬, ªâ® ¦ ¦¤¥â ¯®áª®à¥¥ ¤®¡à âìáï ¤® á ¬¨å ¬¥â®¤®¢ á®àâ¨à®¢ª¨, ४®¬¥­¤ã¥âáï ¯¥à¥©â¨ áࠧ㠪 x 5.2, ¯®â®¬ã çâ® ­ áâ®ï騩 ¯ à £à ä ­¥¯®á।á⢥­­®£® ®â­®è¥­¨ï ª á®àâ¨à®¢ª¥ ¯®ç⨠­¥ ¨¬¥¥â. 5.1.1. *­¢¥àᨨ ãáâì a1 a2 : : : an —¯¥à¥áâ ­®¢ª  ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng. ᫨ i < j, a ai > aj, â® ¯ à  (ai; aj) ­ -§ë¢ ¥âáï ¨­¢¥àᨥ© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨; ­ ¯à¨¬¥à, ¯¥à¥áâ ­®¢ª  3 1 4 2 ¨¬¥¥â âਠ¨­¢¥àᨨ: (3; 1), (3; 2) ¨ (4; 2).  ¦¤ ï ¨­¢¥àá¨ï—íâ® ¯ à  í«¥¬¥­â®¢, ”­ àãè îé¨å ¯®à冷ª”; á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª , ­¥ ᮤ¥à¦ é ï ¨­¢¥àᨩ,—íâ® ®âá®àâ¨à®¢ ­­ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª  1 2 : : : n.  ª ï á¢ï§ì á á®àâ¨à®¢ª®© ¨ ¥áâì £« ¢­ ï ¯à¨ç¨­  ­ è¥£® ¨­â¥à¥á  ª ¨­¢¥àá¨ï¬, å®âï íâ® ¯®­ï⨥ 㦥 ¨á¯®«ì§®-¢ «®áì ­ ¬¨ ¯à¨  ­ «¨§¥  «£®à¨â¬  ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯ ¬ï⨠(á¬. ã¯à. 2.2.2–9). ®­ï⨥ ¨­¢¥àᨨ ¢¢¥« . à ¬¥à ¢ 1750 £. [Intr. a 1’Analyse des Lignes Courbes algebriques (Geneva, 1750), 657–659; áà. á ®¬ á î¨à, h¥®£ã of Determinants, 1 (1906), 11–14] ¢ á¢ï§¨ ᮠ᢮¨¬ § ¬¥ç â¥«ì­ë¬ ¯à ¢¨«®¬ à¥è¥­¨ï «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©. áãé­®áâ¨, ®­ ®¯à¥¤¥«¨« ¤¥â¥à¬¨­ ­â n n-¬ âà¨æë á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: det0@ x11 x12 : : : x1n ... ... ...xn1 xn2 : : : xnn 1A=X(−1)I(a1a2:::an)x1a1x2a2 : : : xnan; £¤¥ á㬬  ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬ a1 a2 : : : an,   I(a1a2 : : :an)—ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¢ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥.  ¡«¨æ¥© ¨­¢¥àᨩ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ a1 a2 : : : an ­ §ë¢ ¥âáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ç¨á¥« b1 b2 : : : bn, £¤¥ bj—ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢, ¡®«ìè¨å j ¨ à á¯®«®¦¥­­ëå «¥¢¥¥ j. (à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, bj—ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ, ãOriginal pages: 004-033 13 ª®â®àëå ¢â®à®© í«¥¬¥­â à ¢¥­ j.)  ¯à¨¬¥à, â ¡«¨æ¥© ¨­¢¥àᨩ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ 5 9 1 8 2 6 4 7 3 (1) ¡ã¤¥â 2 3 6 4 0 2 2 1 0; (2) ¯®áª®«ìªã 5 ¨ 9 à á¯®«®¦¥­ë «¥¢¥¥ 1; 5, 9, 8—«¥¢¥¥ 2 ¨ â.¤., ¢á¥£® 20 ¨­¢¥àᨩ. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 0 b1 n − 1; 0 b2 n − 2; : : : ;0 bn−1 1; bn = 0: (3) ®¦ «ã©,­ ¨¡®«¥¥¢ ¦­ë©ä ªâ,ª á î騩áﯥà¥áâ ­®¢®ª,¨ãáâ ­®¢«¥­­ë© àè ««®¬®«-«®¬, íâ® â®, çâ® â ¡«¨æ  ¨­¢¥àᨩ ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯¥à¥áâ -­®¢ªã. [¬. Proc. Symp. Applied Math., 6 (American Math. Society, 1956), 203.] § «î¡®© â ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ b1 b2 : : : bn, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨ï¬ (3), ¬®¦­® ®¤­®§­ ç­® ¢®ááâ ­®¢¨âì ¯¥à¥áâ ­®¢ªã, ª®â®à ï ¯®à®¦¤ ¥â ¤ ­­ãî â ¡«¨æã, ¯ã⥬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­®£® à á¯®-«®¦¥­¨ï í«¥¬¥­â®¢ n, n − 1, : : : , 1 (¢ í⮬ ¯®à浪¥).  ¯à¨¬¥à, ¯¥à¥áâ ­®¢ªã, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî (2), ¬®¦­® ¯®áâநâì á«¥¤ãî騬®¡à §®¬: ¢ë¯¨è¥¬ ç¨á«® 9; â ª ª ª b8 = 1, â® 8 á⮨⠯ࠢ¥¥ 9.®áª®«ì-ªã b7 = 2, â® 7 á⮨⠯ࠢ¥¥ 8 ¨ 9.  ª ª ª b6 = 2, â® 6 á⮨⠯ࠢ¥¥ ¤¢ãå 㦥 ¢ë¯¨á ­­ëå ­ ¬¨ ç¨á¥«; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ 9 8 6 7: ਯ¨è¥¬ ⥯¥àì 5 á«¥¢ , ¯®â®¬ã çâ® b5 = 0; ¯®¬¥é ¥¬ 4 ¢á«¥¤ §  ç¥âëàì¬ï ¨§ 㦥 § ¯¨á ­­ëå ç¨á¥«, 3—¯®á«¥ è¥á⨠¢ë¯¨á ­­ëå ç¨á¥« (â. ¥. ¢ ¯à ¢ë© ª®­¥æ) ¨ ¯®«ãç ¥¬ 5 9 8 6 4 7 3: áâ ¢¨¢  ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ 2 ¨ 1, ¯à¨¤¥¬ ª (1).  ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢ ¦­®, ¯®â®¬ã çâ® ç áâ® ¬®¦­® § ¬¥­¨âì § ¤ çã, áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ãî ¢ â¥à-¬¨­ å ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, íª¢¨¢ «¥­â­®© ¥© § ¤ ç¥©, áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© ¢ â¥à¬¨­ å â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ, ª®â®à ï, ¢®§¬®¦­®, à¥è ¥âáï ¯à®é¥.  áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, á ¬ë© ¯à®á⮩ ¢®¯à®á: ᪮«ìª® áãé¥-áâ¢ã¥â ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng? ⢥⠤®«¦¥­ ¡ëâì à ¢¥­ ç¨á«ã ¢á¥¢®§¬®¦­ëå â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ,   ¨å «¥£ª® ¯¥à¥áç¨â âì, â ª ª ª b1 ¬®¦­® ¢ë¡à âì n à §«¨ç­ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨, b2 ¬®¦­® ­¥-§ ¢¨á¨¬® ®â b−1 ¢ë¡à âì n−1 ᯮᮡ ¬¨, : : : , bn—®¤­¨¬ ᯮᮡ®¬; ¨â®£® n(n−1) : : :1 = n! à §«¨ç­ëå â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ.  ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ ¯¥à¥áç¨â âì «¥£ç¥, ¯®â®¬ã çâ® b ­¥§ ¢¨á¨¬ë, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª a ¤®«¦­ë ¡ëâì ¢á¥ à §«¨ç­ë. ¯. 1:2.10 ¬ë ¨áá«¥¤®¢ «¨ § ¤ çã ® ç¨á«¥ «®ª «ì­ëå ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨, ¥á«¨ ç¨â âì ¥¥ á¯à ¢  ­ «¥¢®; ¨­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, âॡ®¢ «®áì ¯®¤áç¨â âì ª®«¨ç¥á⢮ í«¥¬¥­â®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¡®«ìè¥ «î¡®£® ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¯®á«¥ ­¥£®. ( ¯à¨¬¥à, ¯à ¢®áâ®à®­­¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬ë ¢ (1)—íâ® 9, 8, 7 ¨ 3.) ­® à ¢­® ª®«¨ç¥áâ¢ã ¨­¤¥ªá®¢ j, â ª¨å, çâ® bj = n − j.  ª ª ª b1 ¯à¨­¨¬ ¥â §­ ç¥­¨¥ n − 1 á ¢¥à®ïâ­®áâìî 1=n, b2 (­¥§ ¢¨á¨¬®) ¯à¨­¨¬ ¥â §­ ç¥­¨¥ n − 2 á ¢¥à®ïâ­®áâìî 1=(n − 1) ¨ â.¤., â® ¨§ à áᬮâ७¨ï ¨­¢¥àᨩ ïá­®, çâ® á।­¥¥ ç¨á«® ¯à ¢®áâ®à®­­¨å ¬ ªá¨¬ã¬®¢ à ¢­® 1n + 1 n − 1 + + 1 = Hn: ­ «®£¨ç­ë¬ ᯮᮡ®¬ «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯à®¨§¢®¤ïéãî äã­ªæ¨î. à㣨¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ ¢áâà¥âïâáï ¤ «¥¥ ¢ í⮩ £« ¢¥ ¢ á¢ï§¨ á ª®­ªà¥â­ë¬¨  «£®-à¨â¬ ¬¨ á®àâ¨à®¢ª¨. á­®, çâ® ¥á«¨ ¯®¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨ á®á¥¤­¨¥ í«¥¬¥­âë ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨, â® ®¡é¥¥ ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ 㢥«¨ç¨âáï ¨«¨ 㬥­ìè¨âáï ­  ¥¤¨­¨æã.   à¨á. 1 ¯®ª § ­ë 24 ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; 3; 4g; «¨­¨ï¬¨ ᮥ¤¨­¥­ë ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨, ®â«¨ç î騥áï ¤à㣠®â ¤à㣠 ¯®«®¦¥­¨¥¬ ¤¢ãå á®á¥¤­¨å í«¥¬¥­-⮢; ¤¢¨£ ïáì ¢¤®«ì «¨­¨¨ ¢­¨§, ¬ë 㢥«¨ç¨¢ ¥¬ ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ­  ¥¤¨­¨æã. «¥¤®¢ â¥«ì­®, ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¢ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ n à ¢­® ¤«¨­¥ ­¨á室ï饣® ¯ã⨠¨§ 1 2 3 4 ¢ n ­  à¨á. 1; ¢á¥ â ª¨¥ ¯ã⨠¤®«¦­ë ¨¬¥âì ®¤¨­ ª®¢ãî ¤«¨­ã.  ¬¥â¨¬, çâ® íâã ¤¨ £à ¬¬ã ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª âà¥å¬¥à­®¥ ⢥म¥ ⥫®—”ãá¥ç¥­­ë© ®ªâ í¤à”, ¨¬¥î騩 8 è¥áâ¨ã£®«ì­ëå ¨ 6 ª¢ ¤à â­ëå £à ­¥©. â® ®¤¨­ ¨§ à ¢­®¬¥à­ëå ¬­®£®£à ­-­¨ª®¢, ª®â®àë¥ ®¡á㦤 « à娬¥¤ (á¬. ã¯à. 10). Picture: ¨á. 1. á¥ç¥­­ë© ®ªâ í¤à, ­  ª®â®à®¬ ¯®ª § ­® ¨§¬¥­¥­¨¥ ç¨á«  ¨­¢¥àᨩ, ª®£¤  ¬¥­ïîâáï ¬¥áâ ¬¨ ¤¢  á®á¥¤­¨å í«¥¬¥­â  ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨;14 Original pages: 004-033 ¥ á«¥¤ã¥â ¯ãâ âì ”¨­¢¥àᨨ” ¯¥à¥áâ ­®¢®ª á ®¡à â­ë¬¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨. ᯮ¬­¨¬, çâ® ¯¥à¥-áâ ­®¢ªã ¬®¦­® § ¯¨á뢠âì ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå áâப 1 2 3 : : : n a1 a2 a3 : : : an; (4) ®¡à â­®© ª í⮩ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ­ §ë¢ ¥âáï ¯¥à¥áâ ­®¢ª  a01, a02, : : : a0n, ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ ¢ (4) ¯®¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨ áâப¨,   § â¥¬ 㯮à冷ç¨âì á⮫¡æë ¢ ¢®§à áâ î饬 ¯®à浪¥ ¯® ¢¥àå­¨¬ í«¥¬¥­â ¬: a1 a2 a3 : : : an 1 2 3 : : : n = 1 2 3 : : : n a01 a02 a03 : : : a0n; (5)  ¯à¨¬¥à, ®¡à â­®© ª ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ 5 9 1 8 2 6 4 7 3 ¡ã¤¥â ¯¥à¥áâ ­®¢ª  3 5 9 7 1 6 8 4 2, â ª ª ª 5 9 1 8 2 6 4 7 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 9 7 1 6 8 4 2: ®¦­® ¤ âì ¤à㣮¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®¡à â­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨: a0j = k ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  ak = j. ¡à â­ãî ¯¥à¥áâ ­®¢ªã ¢¯¥à¢ë¥ ¢¢ñ« X. . ®â¥ [¢ .F. Hindenburg(ed.)., Sammlung combina-torisch-analytischer Abhandlungen, 2 (Leipzig, 1800), 263–305]; ®­ § ¬¥â¨« ¨­â¥à¥á­ãî á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ®¡à â­ë¬¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨ ¨ ¨­¢¥àá¨ï¬¨: ®¡à â­ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª  ᮤ¥à¦¨â ஢­® á⮫쪮 ¦¥ ¨­-¢¥àᨩ, ᪮«ìª® ¨á室­ ï. ®â¥ ¤ « ­¥ á ¬®¥ ¯à®á⮥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ í⮣® ä ªâ , ­® ®­® ¯®ãç¨â¥«ì­® ¨ ¯à¨â®¬ ¤®¢®«ì­® ªà á¨¢®.®áâந¬ â ¡«¨æã à §¬¥à  nn ¨ ¯®áâ ¢¨¬ â®çª¨ ¢ j-© ª«¥âª¥ i-© áâப¨, ¥á«¨ ai = j. ®á«¥ í⮣® à ááâ ¢¨¬ ªà¥á⨪¨ ¢® ¢á¥å ª«¥âª å, á­¨§ã ®â ª®â®àëå (¢ ⮬ ¦¥ á⮫¡æ¥) ¨ á¯à ¢  (¢ ⮩ ¦¥ áâப¥) ¥áâì â®çª¨.  ¯à¨¬¥à, ¤«ï 5 9 1 8 2 6 4 7 3 ¤¨ £à ¬¬  ¡ã¤¥â â ª®©: Picture: ( ) ®«¨ç¥á⢮ ªà¥á⨪®¢ à ¢­® ç¨á«ã ¨­¢¥àᨩ, â ª ª ª ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® bj à ¢­® ç¨á«ã ªà¥á⨪®¢ ¢ j-¬ á⮫¡æ¥. ᫨ ¬ë ⥯¥àì â࠭ᯮ­¨à㥬 ¤¨ £à ¬¬ã (¯®¬¥­ï¢ ஫ﬨ áâப¨ ¨ á⮫¡æë), â® ¯®«ã稬 ¤¨ £à ¬¬ã ¤«ï ®¡à â­®© ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¨á室­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥; §­ ç¨â, ç¨á«® ªà¥á⨪®¢ (ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ) ®¤¨­ ª®¢® ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå. ®â¥ ¨á¯®«ì§®¢ « íâ®â 䠪⠤«ï ¤®ª § â¥«ìá⢠ ⮣®, çâ® ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¬ âà¨æë ­¥ ¬¥­ï¥âáï ¯à¨ â࠭ᯮ­¨à®¢ ­¨¨. «ï  ­ «¨§  ­¥ª®â®àëå  «£®à¨â¬®¢ á®àâ¨à®¢ª¨ ­¥®¡å®¤¨¬® §­ âì ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª n í«¥¬¥­-⮢, ᮤ¥à¦ é¨å ஢­® k ¨­¢¥àᨩ. ¡®§­ ç¨¬ íâ® ç¨á«® ç¥à¥§ In(k); ¢ â ¡«. 1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ¯¥à¢ë¥ ­¥áª®«ìª® §­ ç¥­¨© í⮩ ä㭪樨.  ¡«¨æ  1 ¥à¥áâ ­®¢ª¨ á k ¨­¢¥àá¨ï¬¨ n In(0) In(1) In(2) In(3) In(4) In(5) In(6) In(7) In(8) In(9) In(10) In(11) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 3 5 6 5 3 1 0 0 0 0 0 5 1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1 0 6 1 5 14 29 49 71 90 101 101 90 71 49 § à áᬮâ७¨ï â ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ b1 b2 : : : .bn ïá­®, çâ® Ik(0) = 1, In(1) = n−1 ¨ çâ® ¢ë¯®«­ï¥âáï ᢮©á⢮ ᨬ¬¥âਨ: In n2 − k= In(k) (6)  «¥¥, â ª ª ª §­ ç¥­¨ï b ¬®¦­® ¢ë¡¨à âì ­¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠, â® ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à®¨§-¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï Gn(z) = In(0) + In(1)z + In(2)z2 + (7) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᮮ⭮襭¨î Gn(z) = (1+z ++ zn−1)Gn−1(z); á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®­  ¨¬¥¥â ¤®¢®«ì­®, ¯à®á⮩ ¢¨¤ (1 + z + +zn−1) : : : (1 + z)(1) = (1 − zn) : : : (l −z2)(l − z)=(l − z)n: (8)Original pages: 004-033 15 ¯®¬®éìî í⮩ ¯à®¨§¢®¤ï饩 ä㭪樨 ¬®¦­® «¥£ª® ¯à®¤®«¦¨âì â ¡«. 1 ¨ ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ç¨á« , à á¯®«®¦¥­­ë¥ ¯®¤ áâ㯥­ç â®© «¨­¨¥© ¢ â ¡«¨æ¥, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᮮ⭮襭¨î In(k) = In(k−1) + In−1(k) ¯à¨ k < n. (9) («ï ç¨á¥« ­ ¤ áâ㯥­ç â®© «¨­¨¥© í⮠ᮮ⭮襭¨¥ ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï.) ®«¥¥ á«®¦­ë¥ à áá㦤¥­¨ï (á¬. ã¯à. 14) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ­  á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë In(2) = n2 − 1; n 2; In(3) = n + 1 3 −n1; n 3; In(4) = n + 2 4 −n + 1 2 ; n 4; In(5) = n + 3 5 −n + 2 3 + 1; n 5: ¡é ï ä®à¬ã«  ¤«ï In(k) ᮤ¥à¦¨â ®ª®«® 1:6pk á« £ ¥¬ëå: In(k) =n+k−2 k −n+k−3 k−2 +n+k −6 k−5 +n+k−8 k −7 −+ (−1)j n + k − uj − 1 k − uj + n + k − uj − j − 1 k − uj − j + ; nk, (10) £¤¥ uj = (3j2 −j)=2—â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ”¯ïâ¨ã£®«ì­®¥ ç¨á«®”.  §¤¥«¨¢ Gn(z) ­  n!, ¯®«ã稬 ¯à®¨§¢®¤ïéãî äã­ªæ¨î gn(z) à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥à®ïâ­®á⥩ ç¨á«  ¨­¢¥àᨩ ¢ á«ãç ©­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ n í«¥¬¥­â®¢. ­  à ¢­  ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î gn(z) = h1(z)h2(z) : : :hn(z); (11) £¤¥ hk(z) = (1+z+z2++zk−1)=k—¯à®¨§¢®¤ïé ïäã­ªæ¨ï à ¢­®¬¥à­®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï á«ãç ©­®© ¢¥«¨ç¨­ë, ¯à¨­¨¬ î饩 æ¥«ë¥ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ë¥ §­ ç¥­¨ï, ¬¥­ì訥 k. âá mean(gn) = mean(h1) + mean(h2) + +mean(hn) = = 0+ 12 ++ n−1 2 = n(n−1) 4 ; (12) var(gn) = var(h1) + var(h2) + + var(hn) = = 0+ 14 ++ n2 −1 12 = n(2n+ 5)(n−1) 72 (13)  ª¨¬ ®¡à §®¬, á।­¥¥ ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¤®¢®«ì­® ¢¥«¨ª®—®ª®«® 14n2; áâ ­¤ àâ­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ â ª¦¥ ¢¥á쬠 ¢¥«¨ª®—®ª®«® 16n3=2. ª ç¥á⢥ ¨­â¥à¥á­®£® § ¢¥à襭¨ï ¨§ã祭¨ï ¨­¢¥àᨩ à áᬮâਬ ®¤­® § ¬¥ç â¥«ì­®¥ ®âªàë-⨥, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¥¥ . .  ª- £®­ã [Amer. J. Math., 35 (1913), 281–322]. ¯à¥¤¥«¨¬ ¨­¤¥ªá ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ a1 a2 : : : an ª ª á㬬㠢á¥å j, â ª¨å, çâ® aj > aj+1, 1 < n.  ¯à¨¬¥à, ¨­¤¥ªá ¯¥à¥áâ -­®¢ª¨ 5 9 1 8 2 6 4 7 3 à ¢¥­ 2 + 4 + 6 + 8 = 20. ­¤¥ªá á«ãç ©­® ᮢ¯ « á ç¨á«®¬ ¨­¢¥àᨩ. ᫨ á®áâ ¢¨âì ᯨ᮪ ¢á¥å 24 ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; 3; 4g,   ¨¬¥­­® ¥à¥áâ ­®¢ª  ­¤¥ªá ­¢¥àᨨ ¥à¥áâ ­®¢ª  ­¤¥ªá ­¢¥àᨨ 1 2 3 4 0 0 3 1 2 4 1 2 1 2 4 3 3 1 3 1 4 2 4 3 1 3 2 4 2 1 3 2 1 4 3 3 1 3 4 2 3 2 3 2 4 1 4 4 1 4 2 3 2 2 3 4 1 2 2 4 1 4 3 2 5 3 3 4 2 1 5 5 2 1 3 4 1 1 4 1 2 3 1 3 2 1 4 3 4 2 4 1 3 2 4 4 2 3 1 4 2 2 4 2 1 3 3 4 2 3 4 1 3 3 4 2 3 1 4 5 2 4 1 3 2 8 4 3 1 2 3 5 2 4 3 1 5 4 4 3 2 1 6 616 Original pages: 004-033 â® ¢¨¤­®, çâ® ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, ¨¬¥îé¨å ¤ ­­ë© ¨­¤¥ªá k, à ¢­® ç¨á«ã ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, ¨¬¥îé¨å k ¨­¢¥àᨩ.   ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ íâ®â 䠪⠬®¦¥â ¯®ª § âìáï ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤­ë¬, ®¤­ ª® ¯®á«¥ ­¥ª®â®àëå à §-¬ëè«¥­¨© ®­ ­ ç¨­ ¥â ª § âìáï çãâì «¨ ­¥ ¬¨áâ¨ç¥áª¨¬, ¨ ­¥ ¢¨¤­® ­¨ª ª®£® ¯à®á⮣® ¯àאַ-£® ¥£® ¤®ª § â¥«ìá⢠.  ª- £®­ ­ è¥« á«¥¤ãî饥 ®áâà®ã¬­®¥ ª®á¢¥­­®¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮: ¯ãáâì J(a1a2 : : : an)—¨­¤¥ªá ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ a1 a2 : : : an, ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï ¥áâì Hn(z) =XzJ(a1a2:::an); (14) £¤¥ á㬬  ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬ ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : : :;ng.ëå®â¥«¨¡ë¤®ª § âì,çâ®Hn(z) = Gn(z). «ï í⮣® ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬¥¦¤ã n-ª ¬¨ (q1; q2; : : : ; qn) ­¥®âà¨æ -⥫ì­ëå 楫ëå ç¨á¥«, á ®¤­®© áâ®à®­ë, ¨ 㯮à冷祭­ë¬¨ ¯ à ¬¨ n-®ª ((a1; a2; : : : ; an); (p1; p2; : : : ; pn)); á ¤à㣮© áâ®à®­ë; §¤¥áì a1 a2 : : : an—¯¥à¥áâ ­®¢ª  ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng ¨p1 p2 : : : pn 0.. ⮠ᮮ⢥âá⢨¥ ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î q1 + q2 + +qn = J(a1a2 : : : an) + (p1 +p2 ++pn): (15) ந§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï Pzq1+q2++qn, £¤¥ á㬬  ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ n-ª ¬ ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå 楫ëå ç¨á¥« (q1; q2; : : : ; qn), à ¢­  Qn(z) = 1=(1 − z)z;   ¯à®¨§¢®¤ïé ï äã­ªæ¨ï Pzp1+p2++pn, £¤¥ á㬬  ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ n-ª ¬ 楫ëå ç¨á¥« (p1; p2; : : : pn), â ª¨å, çâ® p1 p2 : : : pn 0, à ¢­ , ª ª ¯®ª § ­® ¢ ã¯à. 15, Pn(z) = 1=(1 − z)(1 − z2) : : : (1 − zn): (16) ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®£® ᮮ⢥âá⢨ï, ª®â®à®¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (15) ¨ ª®â®à®¥ ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ãáâ ­®¢¨âì, ¤®ª §ë¢ ¥â à ¢¥­á⢮ Qn(z) = Hn(z)Pn(z), â.¥. Hn(z) = Qn(z)=Pn(z) = Gn(z): ॡ㥬®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî  «£®à¨â¬  ”á®àâ¨à®¢ª¨”.  ç ¢ á ¯ãá⮣® ᯨá-ª , ¯à¨ k = 1, 2, : : : , n (¢ â ª®¬ ¯®à浪¥) ¢áâ ¢«ï¥¬ ¢ íâ®â ᯨ᮪ ç¨á«  qk á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¯ãáâì ¯®á«¥ k−1 è £®¢ ¢ ᯨ᪥ ᮤ¥à¦ âáï í«¥¬¥­âë p1, p2, : : : , pk−1, £¤¥ p1 p2 : : : pk−1, ¨ ®¯à¥¤¥«¥­  ¯¥à¥áâ ­®¢ª  a1 a2 : : : an ¬­®¦¥á⢠ fn; n−1; : : :; n−k+2g.ãáâì j—¥¤¨­á⢥­­®¥ 楫®¥ ç¨á«®, â ª®¥, çâ® pj > qk pj+1; ¥á«¨ qk p1, â® ¯®« £ ¥¬ j = 0,   ¥á«¨ pk−1 > qk, â® ¯®« £ ¥¬ j = k − 1. áâ ¢¨¬ ⥯¥àì qk ¢ ᯨ᮪¬¥¦¤ã pj ¨ pj+1,   楫®¥ ç¨á«® (n−k+1)—¢¯¥à¥áâ ­®¢ªã ¬¥¦¤ãaj, ¨aj+1.த¥« ¢ íâ® ¤«ï ¢á¥å k, ¯®«ã稬 ¯¥à¥áâ ­®¢ªã a1 a2 : : :an ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng ¨ n-ªã ç¨á¥« (p1; p2; : : : ; pn), â ª¨å, çâ® p1 p2 : : : pn 0 ¨ pj > pj+1; ¥á«¨ aj > aj+1.  ª®­¥æ, ¤«ï 1 j < n ¢ëç⥬ ¥¤¨­¨æã ¨§ ¢á¥å ç¨á¥« p1, : : : , pj ¯à¨ ¢á¥å j, â ª¨å, çâ® aj > aj+1. ®«ã祭­ ï ¯ à  ((a1; a2; : : : ; an); (p1; p2; : : : ; pn)) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (15). ãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, n = 6¨(q1; : : : ; q6) = (3;1;4;0;0; 1): ®áâ஥­¨¥ ¯à®¨á室¨â á«¥¤ãî騬®¡à §®¬: k p1 : : :pk a1 : : : ak 1 3 6 2 3 1 6 5 3 4 3 1 4 6 5 4 4 3 1 0 4 6 5 3 5 4 3 1 0 0 4 6 5 2 3 6 4 3 1 1 0 0 4 6 1 5 2 3 ®á«¥ § ª«îç¨â¥«ì­®© ª®à४â¨à®¢ª¨ ¯®«ãç ¥¬ (p1; : : : ; p6) = (2;1;0;0;0; 0). ¥âà㤭® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® íâ®â ¯à®æ¥áá ®¡à â¨¬; â ª¨¬ ®¡à §®¬, âॡ㥬®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ãáâ ­®¢-«¥­® ¨ ⥮६   ª- £®­  ¤®ª § ­ . ­ «®£¨ç­®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¢áâà¥â¨âáï ­ ¬ ¢ ¯. 5.1.4. ¯à ¦­¥­¨ï 1. [10] ª®¢ â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ ¤«ï¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ 271845936? ª®©¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ¡«¨æ  ¨­¢¥àᨩ 5 0 1 2 1 2 0 0?Original pages: 034-040 17 2. [M15] ¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ ®á¨ä , áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© ¢ ã¯à. 1.3.2–22, ï¥âáï ¯¥à¥áâ ­®¢ª  ¬­®-¦¥á⢠ f1; 2; : : :ng; à¥è¥­¨¥ ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥­­®£® â ¬ ¯à¨¬¥à  (n = 8;m = 4)—¯¥à¥áâ ­®¢ª  5 4 6 1 3 8 7 2. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï í⮩ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ â ¡«¨æ  ¨­¢¥àᨩ—3 6 3 1 0 0 1 0. ©¤¨â¥ ¯à®á⮥ ४ãà७⭮¥ ᮮ⭮襭¨¥ ¤«ï í«¥¬¥­â®¢ b1 b2 : : : bn â ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ ¢ ®¡é¥© § ¤ ç¥ ®á¨ä  ¤«ï n 祫®¢¥ª, ¥á«¨ ª §­ïâ ª ¦¤®£®m-£® 祫®¢¥ª . 3. [18] ãáâ쯥à¥áâ ­®¢ª¥ a1 a2 : : : an ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ b1 b2 : : : bn;ª ª®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ a1 a2 : : : an ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ¡«¨æ  ¨­¢¥àᨩ (n − 1 − b1)(n − 2 − b2) : : : (0 − bn)? >4. [20]ਤ㬠©â¥ «£®à¨â¬,£®¤­ë©¤«ïॠ«¨§ æ¨¨­ ,ª®â®à멯® ¤ ­­®© â ¡«¨æ¥ ¨­¢¥àᨩ b1 b2 : : : bn, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨ï¬ (3), áâந« ¡ë ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ¯¥à¥áâ ­®¢ªã a1 a2 : : :an. [ª § ­¨¥:¢á¯®¬­¨â¥ ¬¥â®¤ë à ¡®âë á® á¢ï§ ­­®© ¯ ¬ïâìî.] 5. [35] «ï ¢ë¯®«­¥­¨ï ­  ⨯¨ç­®©  «£®à¨â¬ ¨§ ã¯à. 4 âॡã¥â ¢à¥¬¥­¨, ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì­® ¯à®¯®à樮­ «ì­®£® n2; ¬®¦­® «¨ ᮧ¤ âì  «£®à¨â¬, ¢à¥¬ï à ¡®âë ª®â®à®£® ¡ë«® ¡ëáãé¥á⢥­­® ¬¥­ìè¥ n2? >6. [26] ਤ㬠©â¥  «£®à¨â¬ ¢ëç¨á«¥­¨ï â ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ b1 b2 : : : bn, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤ ­­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ a1 a2 : : : an ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng, ¢à¥¬ï à ¡®âë ª®â®à®£® ­  ⨯¨ç­®© ¡ë«® ¡ë ¯®à浪  n log n. 7. [20]®¬¨¬®â ¡«¨æëb1 b2 : : : bn,®¯à¥¤¥«¥­­®©¢í⮬¯ã­ªâ¥,¬®¦­®®¯à¥¤¥«¨âì­¥ª®â®à륤à㣨¥ ⨯ë â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤ ­­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ a1 a2 : : : an ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng. í⮬ ã¯à ¦­¥­¨¨ ¬ë à áᬮâਬ âਠ¤à㣨å ⨯  â ¡«¨æ ¨­¢¥àᨩ, ª®â®àë¥ ¢®§­¨ª îâ ¢ ¯à¨«®¦¥­¨ïå. ãáâì cj—ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ, ¯¥à¢ ï ª®¬¯®­¥­â  ª®â®àëå à ¢­  j, â. ¥. ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢, ¬¥­ìè¨å j ¨ à á¯®«®¦¥­­ëå¯à ¢¥¥ j. [¥à¥áâ ­®¢ª¥ (1) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â â ¡«¨æ 000142157; ïá­®, çâ® 0 cj < j.] ãáâì Bj = baj ¨ Cj = caj . ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à¨ 1 j n á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠ 0 Bj < j ¨ 0 Cj n−j; ¯®ª ¦¨â¥ â ª¦¥, çâ® ¯¥à¥áâ ­®¢ªã a1 a2 : : :an ¬®¦­® ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¥á«¨ § ¤ ­  ¨«¨ â ¡«¨æ  c1 c2 : : : cn, ¨«¨B1 B2 : : : Bn, ¨«¨C1 C2 : : :Cn. 8. [24] ®åà ­¨¬ ®¡®§­ ç¥­¨ï ã¯à. 7; ¯ãáâì a01 a02 : : :a0n—¯¥à¥áâ ­®¢ª , ®¡à â­ ï ª a1 a2 : : : an ¨ ¯ãáâì ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥© â ¡«¨æë ¨­¢¥àᨩ— b01 b02 : : : b0n, c01 c02 : : : c0n, B01 B02 : : : B0n ¨ C01 C02 : : : C0n .  ©¤¨â¥ ª ª ¬®¦­® ¡®«ìè¥ ¨­â¥à¥á­ëå ᮮ⭮襭¨© ¬¥¦¤ã aj, bj , cj , Bj , Cj , a0j , b0j, c0j , B0j , C0j . >9. [21] ®ª ¦¨â¥, çâ® ¢ ®¡®§­ ç¥­¨ïå ã¯à. 7 ¯¥à¥áâ ­®¢ª  a1 a2 : : :an ®¡à â­  á ¬®© ᥡ¥ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  bj = Cj ¯à¨ 1 j n. 10. [20]  áᬮâà¨â¥ à¨á. 1 ª ª ¬­®£®£à ­­¨ª ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ¥¬ã à ¢¥­ ¤¨ ¬¥âà ãá¥ç¥­­®£® ®ªâ í¤à  (à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ¢¥à設 ¬¨ 1234 ¨ 4321), ¥á«¨ ¢á¥ à¥¡à  ¨¬¥îâ ¥¤¨­¨ç-­ãî ¤«¨­ã? 11. [25] ( ) ãáâì = a1 a2 : : : an—¯¥à¥áâ ­®¢ª  ¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : :; ng, E(x) = f(ai; aj)ji < j; ai > ajg—¬­®¦¥á⢮ ¥¥ ¨­¢¥àᨩ, a E() = f(ai; aj)ji > j; ai > ajg —¬­®¦¥á⢮ ¥¥ ”­¥¨­¢¥àᨩ”. ®ª ¦¨â¥, çâ® E() ¨ E() âà ­§¨â¨¢­ë. [­®¦¥á⢮ S 㯮à冷-祭­ëå ¯ à ­ §ë¢ ¥âáï âà ­§¨â¨¢­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå (a; b) ¨ (b; c), ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å S, ¯ à  (a; c) â ª¦¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â S.] (b) ¡à â­®, ¯ãáâì E—«î¡®¥ âà ­§¨â¨¢­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¬­®¦¥-á⢠ T = f(x; y)j1 y < xng, ¤®¯®«­¥­¨¥ ª®â®à®£® T nE âà ­§¨â¨¢­®. ®ª ¦¨â¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯¥à¥áâ ­®¢ª  , â ª ï, çâ® E() = E. 12. [28] ᯮ«ì§ãï ®¡®§­ ç¥­¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣® ã¯à ¦­¥­¨ï, ¤®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ 1 ¨ 2— ¯¥à¥-áâ ­®¢ª¨,   E—¬¨­¨¬ «ì­®¥ âà ­§¨â¨¢­®¥ ¬­®¦¥á⢮, ᮤ¥à¦ é¥¥ E(1) [ E(2), â® E—⮦¥ âà ­§¨â¨¢­®¥ ¬­®¦¥á⢮. [«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¥á«¨ ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® 1 ­ å®¤¨âáï ”­ ¤” 2, ª®£¤  E(1) E(2), â® ®¯à¥¤¥«¥­  à¥è¥âª  ¯¥à¥áâ ­®¢®ª; áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ”á ¬ ï ­¨§-ª ï” ¯¥à¥áâ ­®¢ª , ­ å®¤ïé ïáï ”­ ¤” ¤¢ã¬ï ¤ ­­ë¬¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¬¨. ¨ £à ¬¬  à¥è¥âª¨ ¯à¨ n = 4 ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ­  à¨á. 1.] ¯à ¦­¥­¨ï 1. [23] §¢¥áâ­®, çâ® ¢ à §«®¦¥­¨¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¯®«®¢¨­  ç«¥­®¢ ¢ë¯¨á뢠¥âáï á® §­ ª®¬ +,   ¯®«®¢¨­ —á® §­ ª®¬ −. à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯à¨ n 2 ¯¥à¥áâ ­®¢®ª á ç¥â­ë¬ ç¨á«®¬ ¨­¢¥àᨩ ஢­® á⮫쪮 ¦¥, ᪮«ìª® á ­¥ç¥â­ë¬. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¢®®¡é¥ ¯à¨ n m ª®«¨ç¥á⢮ ¯¥à¥áâ -­®¢®ª á ç¨á«®¬ ¨­¢¥àᨩ, ª®­£àãí­â­ë¬ t mod m, à ¢­® n!=m, ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ª ª®¢® 楫®¥ ç¨á«® t.18 Original pages: 034-040 2. [24] (. à ­ª«¨­.)  §¡¨¥­¨¥ ç¨á«  n ­  k à §«¨ç­ëå ç á⥩— íâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ n ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë n = p1+p2++pk, £¤¥ p1 > p2 > : : : > pk > 0. ¯à¨¬¥à, à §¡¨¥­¨ï ç¨á«  7 ­  à §«¨ç­ë¥ ç á⨠⠪®¢ë: 7, 6 + 1, 5+ 2, 4 + 3, 4 + 2 + 1. Picture: ¨á. 2. ®®â¢¥âá⢨¥à ­ª«¨­  ¬¥¦¤ã à §¡¨¥­¨ï¬¨ ­  à §«¨ç­ë¥ ç áâ¨. ãáâì fk(n)—ç¨á«® à §¡¨¥­¨© n ­  k à §«¨ç­ëå ç á⥩. ®ª ¦¨â¥, çâ® Pk(−1)kfk(n) = 0, ¥á«¨ ⮫쪮 n ­¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (3j2 j)=2 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ ­¥®âà¨æ â¥«ì­®¬ 楫®¬ j; ¢ í⮬ á«ãç ¥ á㬬  à ¢­  (−1)j .  ¯à¨¬¥à, ¤«ï n = 7 á㬬  à ¢­  −1 + 3 − 1 = 1, ¯®â®¬ã çâ® 7 = (3 22 + 2)=2. [ª § ­¨¥. ।áâ ¢ì⥠ࠧ¡¨¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥ ¬ áᨢ  â®ç¥ª, ¢ i-© áâப¥ ª®â®à®£® ¨¬¥¥âáï pi â®ç¥ª, 1 i k.  ©¤¨â¥ ­ ¨¬¥­ì襥 j, â ª®¥, çâ® pj+1 < pj −1, ¨ ®¡¢¥¤¨â¥ ªà ©­¨¥ ¯à ¢ë¥ â®çª¨ ¯¥à¢ëå j áâப. ᫨j < pk, â® í⨠j â®ç¥ª ¬®¦­®, ª ª ¯à ¢¨«® ¨§êïâì ¨§ ¬ áᨢ , ¯®¢¥à­ãâì ­  45¨ ¯®¬¥áâ¨âì ¢ ­®¢ãî, (k +1)-î áâபã. ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ j pk, â® ®¡ëç­® ¬®¦­® ¨§êïâì ¨§ ¬ áᨢ  k-î áâபã â®ç¥ª, ¯®¢¥à­ãâì ¥¥ ­  45¨ ¯®¬¥áâ¨âì á¯à ¢  ®â ®¡¢¥¤¥­­ëå â®ç¥ª (à¨á. 2). १ã«ìâ â¥ í⮣® ¯à®æ¥áá  ¢ ¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢ à §¡¨¥­¨ï á ç¥â­ë¬ ç¨á«®¬ áâப ¨ à §¡¨¥­¨ï á ­¥ç¥â­ë¬ ç¨á«®¬ áâப £à㯯¨àãîâáï ¢ ¯ àë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á㬬¥ ­ ¤® ãç¨â뢠âì ⮫쪮 ­¥¯ à­ë¥ à §¡¨¥­¨ï.]  ¬¥ç ­¨¥. ª ç¥á⢥ á«¥¤áâ¢¨ï ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ©«¥à  (1 − z)(1 − z2)(1 − z3) : : : = 1−z −z2+z5+z7−z12 − z15 + = = X −1 0, ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì n-¡¨â®¢ëå 楫ëå ç¨á¥« X0, : : : , X2n−1 ¤«¨­ë 2n ¯®«ã祭  á«ãç ©­ë¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ë© ¡¨â ª ¦¤®£® ç¨á«  ­¥§ ¢¨á¨¬® ¯à¨­¨¬ ¥â §­ ç¥­¨¥ 1 á ¢¥à®ïâ­®áâìî p.  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ -⥫쭮áâìX00,X11, : : : ,X2n−1(2n−1), £¤¥—®¯¥à æ¨ï ”¨áª«îç î饥¨«¨” ­ ¤ ¡¨­ à­ë¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï¬¨.  ª, ¥á«¨ p = 0, â® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¡ã¤¥â 0, 1, : : : , 2n−1,   ¥á«¨p = 1, â® ®­  ¡ã¤¥â 2n − 1, : : : , 1, 0; ¥á«¨ ¦¥ p = 12, â® ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨗á«ãç ©­®¥ ç¨á«® ¬¥¦¤ã 0 ¨ 2n−1.®®¡é¥¦¥ ¯à¨ à §­ëå p íâ® å®à®è¨© ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠á«ã-ç ©­ëå 楫ëå ç¨á¥« ᮠᬥ饭­ë¬ ç¨á«®¬ ¨­¢¥àᨩ, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâ¨, à áᬠâਢ ¥¬®© ª ª ¥¤¨­®¥ 楫®¥, à ¢­®¬¥à­®.Original pages: 034-040 19 ¯à¥¤¥«¨â¥ á।­¥¥ ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¢ â ª®© ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠ª ª äã­ªæ¨î ®â ¢¥à®ïâ­®á⨠p. 7. [M36] (. ® â .)  ©â¥ ¯àאַ¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ â¥®à¥¬ë  ª- £®­  ®¡ ¨­¤¥ªá å: ­ ©¤¨â¥ â®ç-­®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥, ª®â®à®¥ ¯¥à¥¢®¤¨â ¯¥à¥áâ ­®¢ªã n í«¥¬¥­â®¢, ¨¬¥îéãî ¨­¤¥ªá k, ¢ ¯¥à¥áâ ­®¢ªã, ¨¬¥îéãî k ¨­¢¥àᨩ ¨ â®â ¦¥ á ¬ë© ªà ©­¨© ¯à ¢ë© í«¥¬¥­â. 8. [M43]«¥¤ãî饥§­ ¬¥­¨â®¥â®¦¤¥á⢮,¯à¨­ ¤«¥¦ é¥¥ª®¡¨[FundamentaNovaTheoriFunc-tionum Ellipticorum (1829), x 64], «¥¦¨â ¢ ®á­®¢¥ ¬­®£¨å § ¬¥ç â¥«ì­ëå ᮮ⭮襭¨©, ᮤ¥à¦ -é¨å í««¨¯â¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨: Yk1(1 − ukvk−1)(1 − uk−1vk)(1 − ukvk) = = (1−u)(1 − v)(1 − uv)(1 − u2v)(1 − uv2)(1 − u2v2) : : : = = 1−(u+v) + (u3v +uv3) − (u6v3 + u3v6) + = = 1+Xn1(−1)n(u(n+1)n=2v(n−1)n=2 + u(n−1)n=2v(n+1)n=2): ᫨, ­ ¯à¨¬¥à, ¯®«®¦¨âì u = z, v = z2, â® ¯®«ãç¨âáï ä®à¬ã«  ©«¥à  ¨§ ã¯à. 14. ᫨ ¯®«®¦¨âì z = pu=v, q = puv, â® ¯®«ã稬 Yk1(1 − q2k−1z)(1 − q2k−1z−1(1 − q2k) = X −19. [25] (. . ­®ââ.) ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯¥à¥áâ ­®¢ªã a1 : : : an ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì á ¯®¬®éìî á⥪  ¢ á¬ëá«¥ ã¯à. 2.2.1–5 ¨«¨ 2.3.1–6 ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  Cj Cj+1 + 1 ¯à¨ 1 j < n (á¬. ®¡®§­ ç¥­¨ï ¢ ã¯à. 7). 10. [28] (. ¥©¥à.) ë §­ ¥¬, çâ® ¥á«¨ m ¨ n—¢§ ¨¬­® ¯à®áâë¥ ç¨á« , â® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (m mod n) (2m mod n) : : : ((n−1)m mod n) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯¥à¥áâ ­®¢ªã¬­®¦¥á⢠ f1; 2; : : : ; n− 1g. ®ª ¦¨â¥, çâ® ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¢ í⮩ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ ¬®¦­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ áã¬¬ë ¥¤¥ª¨­¤  (áà. á ¯. 3.3.3). 5.1.2. *¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠ ® á¨å ¯®à ¬ë à áᬠâਢ «¨ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¬­®¦¥á⢠ í«¥¬¥­â®¢; íâ® ç áâ­ë© á«ãç © ¯¥à¥áâ -­®¢®ª ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠. (ã«ì⨬­®¦¥á⢮—íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¨ ¬­®¦¥á⢮, ­® ¢ ­¥¬ ¬®£ãâ ᮤ¥à¦ âìáï ®¤¨­ ª®¢ë¥ í«¥¬¥­âë. ¥ª®â®àë¥ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠ ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠®¡á㦤 «¨áì ¢ ¯. 4.6.3.)  áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢮ M = fa; a; a; b; b; c; d; d; d; dg; (1) ¢ ª®â®à®¬ ᮤ¥à¦¨âáï 3 í«¥¬¥­â  a, 2 í«¥¬¥­â  b, 1 í«¥¬¥­â c ¨ 4 í«¥¬¥­â  d. ®¢â®à¥­¨ï í«¥¬¥­â®¢ ¬®¦­® 㪠§ âì ¨ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬: M = f3 a; 2 b; c; 4 dg: (2) ¥à¥áâ ­®¢ª  ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠—íâ® ­¥ª®â®à®¥ à á¯®«®¦¥­¨¥ ¥£® í«¥¬¥­â®¢ ¢ àï¤, ­ ¯à¨¬¥à c a b d d a b d a d: ¤à㣮© áâ®à®­ë, â ªãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¬®¦­® ­ §¢ âì 楯®çª®© ¡ãª¢, ᮤ¥à¦ é¥© 3 ¡ãª¢ë a, 2 ¡ãª¢ëb, 1 ¡ãª¢ã c ¨ 4 ¡ãª¢ëd. ª®«ìª® áãé¥áâ¢ã¥â ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠M? ᫨ ¡ë ¬ë à áᬠâਢ «¨ ¢á¥ í«¥¬¥­-âë M ª ª à §«¨ç­ë¥, ®¡®§­ ç¨¢ ¨å a1, a2, a3, b1, b2, c1, d1, d2, d3, d4, â® ¯®«ã稫¨ ¡ë 10! = 3 628 80020 Original pages: 034-040 ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, ­® ¯®á«¥ ®â¡à á뢠­¨ï ¨­¤¥ªá®¢ ¬­®£¨¥ ¨§ ­¨å ®ª § «¨áì ¡ë ®¤¨­ ª®¢ë¬¨. ªâ¨ç¥-᪨ ª ¦¤ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª M ¢áâà¥â¨« áì ¡ë ஢­® 3!2!1!4! = 288 à §, ¯®áª®«ìªã ¢ «î¡®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¥ M ¨­¤¥ªáë ¯à¨ ¡ãª¢ å a ¬®¦­® à ááâ ¢¨âì 31 ᯮᮡ ¬¨, ¯à¨ b (­¥§ ¢¨á¨¬®)—2! ᯮᮡ ¬¨, ¯à¨ c—®¤­¨¬ ᯮᮡ®¬,   ¯à¨ d—ᮮ⢥âá⢥­­® 4! ᯮᮡ ¬¨. ®í⮬ã ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ªM à ¢­® 10! 3!2!1!4! = 12 600: ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ª ®¡é¥¬ã á«ãç î ⥠¦¥ à áá㦤¥­¨ï ¤®ª §ë¢ îâ, çâ® ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª «î¡®£® ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠ à ¢­® ¬ã«ì⨭®¬¨­ «ì­®¬ã ª®íää¨æ¨¥­âã n n1; n2; : : := n! n1!n2! : : : ; £¤¥ n1—ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢ ¯¥à¢®£® ⨯ , n2—ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢ ¢â®à®£® ⨯  ¨ â. ¤.,   n = n1 + n2 + — ®¡é¥¥ ç¨á«® í«¥¬¥­â®¢. ®«¨ç¥á⢮ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬­®¦¥á⢠ ¡ë«® ¨§¢¥áâ­® ¥é¥ ¢ ¤à¥¢­¨¥ ¢à¥¬¥­ . ¤à¥¢­¥¥¢à¥©áª®© ­¨£¥ ¢®à¥­¨ï (®ª®«® 100 £. ­. í.)5, ­ ¨¡®«¥¥ à ­­¥¬ «¨â¥à âãà­®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ ¨ã¤¥©áª®£® ä¨-«®á®ä᪮£® ¬¨áâ¨æ¨§¬ , ¤ ­ë ¢¥à­ë¥ §­ ç¥­¨ï ¯¥à¢ëå ᥬ¨ ä ªâ®à¨ «®¢, ¯®á«¥ 祣® £®¢®à¨âáï: ”த®«¦ © ¨ ¯®«ãç¨èì ç¨á« , ª®â®àë¥ ãáâ  ­¥ ¬®£ã⠯ந§­¥áâ¨,   ãå® ­¥ ¬®¦¥â ¢®á¯à¨­ïâì.” [Sefer Yezirah, ed. by R. Mordecai Atia (Jerusalem: Sh. Monson, 1962), áâ¨å 52 (áâà. 107–108); áà. â ª¦¥ á Solomon Gandz, Studies in Hebrew Astronomy and Mathematics (New York: Ktav, 1970), 494– 496. ­¨£  ¢®à¥­¨ï ¡ë«  ®á­®¢ ­  ­  áç¨â ¢è¨åáï ¢ ¦­ë¬¨ ®â­®è¥­¨ïå ¬¥¦¤ã ᥬìî ¯« ­¥â ¬¨, ᥬìî ᮣ« á­ë¬¨ §¢ãª ¬¨ á ¤¢®©­ë¬ ¯à®¨§­®è¥­¨¥¬, ᥬìî ®â¢¥àáâ¨ï¬¨ ¢ £®«®¢¥ 祫®¢¥ª  ¨ á¥-¬ìî ¤­ï¬¨ á®â¢®à¥­¨ï ¬¨à .] â® ¯¥à¢ë© ¨§¢¥áâ­ë© ¢ ¨áâ®à¨¨ ¯®¤áç¥â ç¨á«  ¯¥à¥áâ ­®¢®ª. â®à®© ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ¨­¤¨©áª®¬ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ ­ã©®£ ¤¢ à -áãâà  (®ª®«® 500 £. ­. í.), ¯à -¢¨«® 97, £¤¥ ¯à¨¢®¤¨âáï ä®à¬ã«  ç¨á«  ¯¥à¥áâ ­®¢®ª è¥áâ¨ í«¥¬¥­â®¢, ª®â®àë¥ ­¥ à á¯®«®¦¥­ë ­¨ ¢ ¢®§à áâ î饬, ­¨ ¢ ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥: 6 5 4 3 2 1 − 2: [¬. G. Chakravarti, Bull. Calcutta Math. Soc., 24 (1932), 79–88. ­ã©®£ ¤¢ à -áãâà —®¤­  ¨§ ª­¨£ ª ­®­®¢ ¤¦ ©­¨§¬ , ५¨£¨®§­®© ᥪâë, à á¯à®áâà ­¥­­®© ¢ ­¤¨¨.] ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ¯à ¢¨«® ¤«ï ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠¢¯¥à¢ë¥, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ª­¨£¥ ¨« ¢ â¨, ­ ¯¨á ­­®© å áª à®© å à쥩 (®ª. 1150 £.), à §¤. 270–271. å á¦ àë íâ® ¯à ¢¨«® áä®à¬ã«¨à®¢ ­® ¢¥á쬠 ᦠ⮠¨ ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ­® «¨èì ¤¢ã¬ï ¯à®áâ묨 ¯à¨¬¥à ¬¨ f2; 2; 1; 1g ¨ f4; 8; 5; 5; 5g. १ã«ìâ â¥ ¢  ­£«¨©áª®¬ ¯¥à¥¢®¤¥ íâ® ¯à ¢¨«® ­¥ áä®à¬ã«¨à®¢ ­® ª®à४⭮, ¢¯à®-祬, ¨¬¥îâáï ­¥ª®â®àë¥ á®¬­¥­¨ï ®â­®á¨â¥«ì­® ⮣®, ¯®­¨¬ « «¨ á ¬ å áª à , ® 祬 ®­ £®¢®à¨«. á«¥¤ §  í⨬ ¯à ¢¨«®¬ å áª à  ¯à¨¢®¤¨â ¨­â¥à¥á­ãî ä®à¬ã«ã (4 + 8 + 5 + 5 + 5)120 11111 5 6 ¤«ï á㬬ë 20 ç¨á¥« 48 555 + 45855 + . ¥à­®¥ ¯à ¢¨«® ¤«ï ­ å®¦¤¥­¨ï ç¨á«  ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  ⮫쪮 ®¤¨­ í«¥¬¥­â ¬®¦¥â ¯®¢â®àïâìáï, ­ ©¤¥­® ­¥§ ¢¨á¨¬® ­¥¬¥æª¨¬ ãç¥­ë¬ ¨¥§ã¨â®¬ â ­ á¨ãᮬ ¨àå¥à®¬ ¢ ¥£® ¬­®£®-⮬­®¬ âà㤥 ® ¬ã§ëª¥ Musurgia Universalis (Rome, 1650), ⮬ 2, áâà. 5–7. ¨àå¥à  ¨­â¥à¥á®¢ « ¢®¯à®á ® ª®«¨ç¥á⢥ ¬¥«®¤¨©, ª®â®àë¥ ¬®¦­® ᮧ¤ âì ¨§ ¤ ­­®£® ­ ¡®à  ­®â; ¤«ï í⮣® ®­ ¯à¨¤ã¬ « â®, çâ® ­ §ë¢ « ”¬ã§ à¨ä¬¥â¨ª®©”.   áâà. 18–21 ᢮¥£® âà㤠 ®­ ¤ ¥â ¢¥à­®¥ §­ ç¥­¨¥ ç¨á«  ¯¥à¥-áâ ­®¢®ª ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠ fmC; n Dg ¯à¨ ­¥áª®«ìª¨å §­ ç¥­¨ïåm¨ n, å®âï ®¯¨á « ®­ ᢮© ¬¥â®¤ ¢ëç¨á«¥­¨© «¨èì ¤«ï á«ãç ï n = 1. ¡é¥¥ ¯à ¢¨«® (3) ¯®ï¢¨«®áì ¯®§¦¥ ¢ ª­¨£¥ ­ à¥áâí Elemens de Mathematiques (Paris, 1675), áâà. 351–352,ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ®¤­® ¨§ ¯¥à¢ëå ¨§«®¦¥­¨© ª®¬¡¨­ â®à­®© ¬ â¥¬ â¨ª¨, ­ ¯¨á ­­ëå ¢ § ¯ ¤­®© ¢à®¯¥. à¥áâí ¢¥à­® áä®à¬ã«¨à®¢ « ¯à ¢¨«® ¤«ï á«ãç ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¬ã«ì⨬­®¦¥-á⢠, ­® ¯à®¨««îáâà¨à®¢ « ¥£® «¨èì ¯à®áâë¬ ¯à¨¬¥à®¬ fa; a; b; b; c; cg. ­ ®á®¡® ®â¬¥â¨«, çâ® ¤¥«¥­¨¥ ­ á㬬ãä ªâ®à¨ «®¢, ª®â®à®¥ ®­áç¨â «¥áâ¥á⢥­­ë¬®¡®¡é¥­¨¥¬¯à ¢¨« ¨àå¥à ,¡ë«®¡ë®è¨¡-ª®©. ¥áª®«ìª® «¥â á¯ãáâï ¦®­  ««¨á ¢ ᢮¥© ª­¨£¥ Treatise of Algebra (Oxford, 1685), ⮬ 2, áâà. 117–118, ®¡á㤨« íâ® ¯à ¢¨«® ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®. 5 ­¨£  ¢®à¥­¨ï (®æ¨à )—®¤­  ¨§ ®á­®¢®¯®« £ îé¨å ª­¨£ ª ¡¡ «¨á⨪¨.— ਬ. ¯¥à¥¢.Original pages: 034-040 21 1965 £. ®¬¨­¨ª ® â  ¢¢¥« ®¤­® ¨­â¥à¥á­®¥ ¯®­ï⨥, â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ”ᮥ¤¨­¨â¥«ì­®¥ ¯à®¨§-¢¥¤¥­¨¥”6, ª®â®à®¥ ¯®§¢®«¨«® à á¯à®áâà ­¨âì ¬­®£¨¥ ¨§¢¥áâ­ë¥ १ã«ìâ âë, ª á î騥áï ®¡ëç­ëå ¯¥à¥áâ ­®¢®ª, ­  ®¡é¨© á«ãç ¨ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠. [¬. Publ. Inst. Statistique, Univ. Paris, 14 (1965), 81–241.   â ª¦¥ Lecture Notes in Math., 85 (Springer, 1969).] ।¯®« £ ï, çâ® í«¥-¬¥­âë ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠ ª ª¨¬-⮠ᯮᮡ®¬ «¨­¥©­® 㯮à冷祭ë, ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ¤¢ãáâà®ç­®¥ ®¡®§­ ç¥­¨¥, ­ ¯à¨¬¥à a a a b b c d d d d c a b d d a b d a d: ¤¥áì ¢¥àå­ïï áâப  ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥­âë M ¢ ­¥ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥, ¨ ­¨¦­ïï—íâ® á ¬  ¯¥à¥áâ -­®¢ª . ®¥¤¨­¨â¥«ì­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥>¤¢ãå ¯¥à¥áâ ­®¢®ª¬ã«ì⨬­®¦¥á⢨ —íâ® ¯¥à¥áâ ­®¢-ª , ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ (a) ¢§ïâì ¤¢ãáâà®ç­ë¥ ®¡®§­ ç¥­¨ï ¤«ï ¨ , (b) § ¯¨á âì ᮮ⢥âáâ¢ãî-騥 áâப¨ ¢ ®¤­ã ¨ (c) ®âá®àâ¨à®¢ âì á⮫¡æë â ª, ç⮡ë í«¥¬¥­âë ¢¥àå­¥© áâப¨ à á¯®«®¦¨«¨áì ¢ ­¥ã¡ë¢ î饬 ¯®à浪¥. ®àâ¨à®¢ª  ¤®«¦­  ¡ëâì ãá⮩稢®© ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¢§ ¨¬­®¥ à á¯®«®¦¥-­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ­¨¦­¥© áâப¨ á®åà ­ï¥âáï, ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥­âë ¢¥àå­¥© áâப¨ à ¢­ë.  ¯à¨¬¥à, c a d a b>b d d a d = c a b d d a b d a d, â ª ª ª a a b c d c a d a b>a b d d d b d d a d=a a a b b c d d d d c a b d d a b d a d: (5) ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ®¯¥à æ¨ï ᮥ¤¨­¨â¥«ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï  áá®æ¨ â¨¢­ , â. ¥. > > = > (> ); (6) ¨ çâ® ®­  ¯®¤ç¨­ï¥âáï § ª®­ ¬ ᮪à é¥­¨ï ¥á«¨ > = > , â® = , ¥á«¨ > = > , â® = . ãé¥áâ¢ã¥â ”¥¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â” > " = " > = ; (8) £¤¥ "—¯ãáâ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª , ”à á¯®«®¦¥­¨¥ ¢ à樂 í«¥¬¥­â®¢ ¯ãá⮣® ¬­®¦¥á⢠.  ª®­ ª®¬¬ãâ â¨¢-­®áâ¨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï (á¬. ã¯à. 2), ⥬ ­¥ ¬¥­¥¥ > = > ; ¥á«¨ ¨ ­¥ ᮤ¥à¦ â ®¡é¨å ¡ãª¢. (9) ­ «®£¨ç­ë¬ ᯮᮡ®¬ ¨ ¯®­ï⨥横«  ¬®¦­®à á¯à®áâà ­¨âì ­  á«ãç ©, ª®£¤  í«¥¬¥­âë ¬®£ãâ ¯®¢â®àïâìáï. 㤥¬ § ¯¨á뢠âì ¢ ¢¨¤¥ (x1 x2 : : : xn) (10) ¯¥à¥áâ ­®¢ªã, ¤¢ãáâà®ç­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ª®â®à®© ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ ãá⮩稢®© á®àâ¨à®¢ª¨ á⮫¡-殢 x1 x2 : : : xn x2 x3 : : : x1 (11) ¯® ¢¥àå­¨¬ í«¥¬¥­â ¬.  ¯à¨¬¥à, (d b d d a c a a b d) = d b d d a c a a b d b d d a c a a b d d= =a a a b b c d d d d c a b d d a b d a dâ ª çâ® ¯¥à¥áâ ­®¢ª  (4) ä ªâ¨ç¥áª¨ ï¥âáï 横«®¬. ë ¬®£«¨ ¡ë ®¯¨á âì íâ®â 横« á«®¢¥á­®, ᪠§ ¢ çâ®-­¨¡ã¤ì ¢à®¤¥ ”d ¯¥à¥å®¤¨â ¢ b, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ d, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ d, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ : : : ¯¥à¥å®¤¨â ¢ d ¨ ¢®§¢à é ¥âáï ®¡à â­®”.  ¬¥â¨¬, çâ® í⨠®¡®¡é¥­­ë¥ 横«ë ­¥ ®¡« ¤ î⠢ᥬ¨ ᢮©á⢠¬¨ ®¡ëç­ëå 横«®¢; (x1 x2 : : : xn) ­¥ ®¡ï§ â¥«ì­® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¨ (x2 : : : xn x1) . ¯. 1.3.3 ¬ë ¢ëïá­¨«¨, çâ® ª ¦¤ãî ¯¥à¥áâ ­®¢ªã ¬­®¦¥á⢠ ¬®¦­® ¥¤¨­á⢥­­ë¬ á â®ç­®áâìî ¤® ¯®à浪  ᮬ­®¦¨â¥«¥© ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï 横«®¢, £¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ª®­®¬ ª®¬¯®§¨æ¨¨. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï 横«®¢—⮦¥ á ¬®¥, ç⮨å ᮥ¤¨­¨â¥«ì­®¥¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥; íâ®­ ¢®¤¨â­ ¬ëá«ì 6 ®à¨£¨­ «¥—”intercalation product”.—ਬ. ¯¥à¥¢.22 Original pages: 041-045 ® ⮬, çâ® ¬®¦­® ¡ã¤¥â ®¡®¡é¨âì ¯®«ã祭­ë¥ à ­¥¥ १ã«ìâ âë, ¥á«¨ ­ ©â¨ ¥¤¨­á⢥­­®¥ (¢ ª ª®¬-â® á¬ëá«¥) ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¬ã«ì⨬­®¦¥á⢠ ¢ ¢¨¤¥ ᮥ¤¨­¨â¥«ì­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï 横«®¢. ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠áãé¥áâ¢ãîâ ¯® ªà ©­¥© ¬¥à¥ ¤¢  ¥áâ¥á⢥­­ëå ᯮᮡ  ᤥ« âì íâ®, ¨ ª ¦¤ë© ¨§ ­¨å ¨¬¥¥â ¢ ¦­ë¥ ¯à¨«®¦¥­¨ï.  ¢¥­áâ�