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					Carlos Ivorra


          ´
       ANALISIS NO
            ´
        ESTANDAR
     Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a n
que resultara menor que cualquier otra dada, cier-
                  ıa
tamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregun-
       e
tan qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en n
       a
matem´ticas, nosotros respondemos que es, de he-
              ı
cho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos
en este concepto como se suele creer. Esos supues-
                                 a
tos misterios han convertido el c´lculo de lo infinita-
             n
mente peque˜o en algo sospechoso para mucha gente.
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
                   a
completo en las p´ginas siguientes, donde explicare-
           a
mos este c´lculo.
                                  Leonhard Euler
´
Indice General

          o
Introducci´n                                                                                                              vii

   ıtulo I: Teor´ de conjuntos no est´ndar
Cap´            ıa                   a                                                                                      1

   ıtulo II: An´lisis de una variable
Cap´           a                                                                                                          11
         u
  2.1 N´meros finitos e infinitesimales             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  2.2 Continuidad . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  2.3 La topolog´ de R . . . . . . . .
                 ıa                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18
  2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   23
  2.5 La integral de Riemann . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26

   ıtulo III: Topolog´
Cap´                 ıa                                                                                                   35
                  a
  3.1 Conceptos b´sicos . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
               ıa
  3.2 Topolog´ elemental . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37
  3.3 Compacidad y completitud        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   40
  3.4 Espacios de funciones . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46

   ıtulo IV: An´lisis de varias variables
Cap´           a                                                                                                           53

   ıtulo V: Conceptos y t´cnicas
Cap´                        e             no          a
                                                  est´ndar                                                                 61
  5.1 Principios de permanencia . .       . .     . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    61
  5.2 La sombra de un conjunto . .        . .     . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    62
  5.3 Funciones S-continuas . . . .       . .     . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    65
  5.4 Funciones de clase S 1 . . . .      . .     . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    69

  e                ıa
Ap´ndice A: La teor´ de Hrbacek                                                                                            73

  e
Ap´ndice B: El teorema de conservaci´n     o                                                                             87
  B.1 Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                  .   .   .   .   .   . 87
  B.2 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                  .   .   .   .   .   . 93
  B.3 L´ımites inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                 .   .   .   .   .   . 99
                               o                ıa
  B.4 El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                                         .   .   .   .   .   . 105

          ıa
Bibliograf´                                                                                                               117
´
Indice de Materias                                                                                                        118

                                          v
          o
Introducci´n

                                      a
    En la historia de las matem´ticas nos encontramos con muchos momen-
                         a
tos en que los matem´ticos han manejado con seguridad —por no decir con
                                                                a
virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades b´sicas eran incapaces
de precisar. El ejemplo t´   ıpico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVII
                                               ıces
y XVIII, que eran capaces de encontrar ra´ reales de polinomios pasando, en
                               ıces
caso de ser necesario, por ra´ “imaginarias” de otros polinomios que aparec´     ıan
                  a            u
a lo largo del c´lculo. Los n´meros imaginarios eran concebidos como unos con-
                                          o               e         ıa
ceptos ficticios en los que, sin saber c´mo ni por qu´, se pod´ “confiar”, en el
                                        a
sentido de que al incluirlos en los c´lculos llevaban a conclusiones correctas.
                           o                     a            u
    Naturalmente, la raz´n por la que los c´lculos con n´meros complejos eran
                                                u
correctos es que es posible construir los n´meros complejos, de tal modo que
             ıan
lo que hac´ los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de
                       ıan                                          u
teoremas que no sab´ demostrar o siquiera enunciar (los n´meros complejos
forman un cuerpo, etc.)
    Hay muchos otros casos similares: los f´   ısicos han estado derivando funciones
                                                         o
no derivables durante mucho tiempo, con la convicci´n de que las derivadas eran
                                              ıan
unas “funciones generalizadas” que no sab´ definir, pero en la que tambi´n “se e
    ıa                   o                      a
pod´ confiar”. La raz´n por la que estos c´lculos con funciones misteriosas que
no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto,
que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades
que los f´ısicos postulaban impl´                                 ıan
                                   ıcitamente en el uso que hac´ de sus funciones
                        e                 o
generalizadas. Tambi´n Kummer us´ unos “divisores primos ideales” que no
exist´                                  o                  e           o
      ıan, y que finalmente formaliz´ Dedekind a trav´s de la noci´n de ideal de
                          u                                              e
un anillo, los propios n´meros reales no estuvieron exentos de pol´micas sobre
sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones
expl´ıcitas, etc.
           a           a                          ´
    El an´lisis no est´ndar es la respuesta ultima a una asignatura pendiente
         ıa          a                          a                       o
que ten´ la matem´tica. En su origen, el c´lculo diferencial se bas´ tambi´n ene
          u                                ıa                    ıan
unos “n´meros ideales” que nadie sab´ definir porque ten´ que ser no nulos
                                                                          e
y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinit´simos. Por
ejemplo, Leibniz explicaba as´ el c´lculo de la derivada de f (x) = x2 : tomamos
                                 ı     a
           e
un infinit´simo dx, calculamos el incremento df = f (x+dx)−f (x) y lo dividimos
entre la cantidad (no nula) dx. Resulta

                                  df
                                     = 2x + dx.
                                  dx

                                        vii
viii                                                                               o
                                                                         Introducci´n

    Ahora bien, puesto que dx es una cantidad infinitesimal, la presencia del
´       e                                                          ı
ultimo t´rmino es insignificante, por lo que podemos eliminarla y as´

                                 df
                                    = 2x + dx = 2x.
                                 dx
     Leibniz era consciente de las contradicciones de este argumento: primero
suponemos que dx = 0 pero luego lo eliminamos como si fuera dx = 0. Pese a
             e
ello, tambi´n era consciente de que los resultados a los que se llegaba con este
tipo de razonamientos eran correctos y estaba convencido de que los argumentos
            e            ıan
con infinit´simos ten´ que poder reformularse como argumentos “del estilo de
Arqu´                               a
        ımedes”, lo cual hoy es f´cil traducir a “mediante pasos al l´  ımite”.
                                                      e
     Uno de los grandes virtuosos de los infinit´simos fue Euler, quien parec´         ıa
                                                    u
convencido de que bastaba concebirlos como n´meros arbitrariamente peque˜os         n
                                         u                           n
(pero no nulos) en lugar de como n´meros infinitamente peque˜os. Sin embargo
sus razonamientos est´n bastante lejos del estilo moderno − δ.
                           a
                                      o         u                   u
     Al contrario de lo que sucedi´ con los n´meros reales, los n´meros complejos,
                               u                                        a
las distribuciones o los n´meros ideales de Kummer, los matem´ticos del siglo
XIX y la primera mitad del siglo XX fueron incapaces de construir unos objetos
                                     ıan                       e
que se comportaran como deb´ comportarse los infinit´simos, y el resultado
                                            a      o
fue que los erradicaron de la matem´tica te´rica. Cauchy introdujo (con in-
      e         u             o
finit´simos a´n) la noci´n de l´                     o
                                      ımite y mostr´ que los restantes conceptos del
   a           ıan                    e
an´lisis pod´ expresarse en t´rminos de l´        ımites. Posteriormente Weierstrass
introdujo las definiciones y los razonamientos − δ. Ahora bien, la rebeld´ de      ıa
           e                                         ıa         a
los infinit´simos a dejarse formalizar no los hac´ menos pr´cticos, por lo que los
 ısicos siguieron us´ndolos, con la convicci´n de que son mucho m´s intuitivos
f´                    a                          o                        a
    o                  e
y c´modos que los ´psilons y las deltas.
                                      e
     El hecho de que los infinit´simos “funcionaran” indicaba claramente que
     ıan
deb´ poder construirse. Hubo algunos intentos previos poco satisfactorios,
         o                                                       o
pero s´lo a finales de los 60, Abraham Robinson consigui´ este objetivo. Del
                                                                     a
trabajo de Robinson se sigue que es posible formalizar el c´lculo diferencial
definiendo las derivadas como cocientes de incrementos infinitesimales, porque,
si bien en R no hay infinit´simos (como tampoco hay n´meros con ra´ cuadrada
                                e                           u              ız
negativa), lo cierto es que es posible extender R a un cuerpo que los tenga (igual
que puede extenderse a C).
                                  e                               ıan
     Por desgracia, los infinit´simos de Robinson se constru´ y se manejaban
             e             o             a
mediante t´cnicas de l´gica matem´tica, que resultan bastante complejas y arti-
                            a
ficiales para los matem´ticos no familiarizados con esta disciplina. No obstante,
a finales de los 60 y principios de los 70 surgieron aproximaciones axiom´ticas   a
       a            a                                                   e
al an´lisis no est´ndar, es decir, en lugar de construir los infinit´simos, que es
complicado, lo que se hace es postular mediante unos axiomas sencillos su exis-
                                                                      o
tencia y sus propiedades. Es como si en un curso de introducci´n al an´lisis noa
                     u
construimos los n´meros reales sino que postulamos la existencia de un cuerpo
ordenado completo. El resultado es que partimos exactamente del mismo punto
a donde habr´    ıamos llegado si hubi´semos empezado por la construcci´n de R.
                                         e                                    o
                                              o                           o
Naturalmente, al eliminar la construcci´n perdemos una informaci´n, y es que
el axioma que postula la existencia de R es en realidad un axioma inesencial, en
                                                                                     ix

                                                       e
el sentido de que todo lo que se demuestra con ´l, se puede demostrar tambi´n          e
    e                               a                e         ı
sin ´l (simplemente, demostr´ndolo y convirti´ndolo as´ en un teorema). Lo
                              a           a
mismo sucede con el an´lisis no est´ndar: Nosotros partiremos de una versi´n           o
        a
axiom´tica, pero debemos tener presente que los objetos cuya existencia postu-
lan estos axiomas pueden ser construidos, de modo que los axiomas del an´lisis      a
        a                                                   n
no est´ndar no son como otros axiomas que pueden a˜adirse a los usuales (ta-
                   o
les como la hip´tesis del continuo, el axioma de Martin, etc.) sino que son
                                                            o         a
“eliminables”, en el sentido de que cualquier afirmaci´n “est´ndar” que pueda
                                                        e
demostrarse con ellos, puede demostrarse tambi´n sin ellos. La prueba de este
                                                                 ı     ıa ıcil
hecho (junto con algunas precisiones al enunciado que aqu´ ser´ dif´ explicar)
la hemos incluido como ap´ndice. e
                            o                                        e
    Para comprender c´mo han de ser entendidos los infinit´simos del an´lisis        a
        a
no est´ndar, conviene compararlos con otros objetos ideales que no cost´ tanto   o
                                                    ıa
formalizar: los puntos infinitos de la geometr´ proyectiva. La geometr´ pro-      ıa
yectiva (plana) parte del supuesto de que las rectas paralelas tienen un punto
          u
en com´n en el infinito. De este modo, dos rectas cualesquiera se cortan en
              e        a
un punto: ´ste ser´ un punto finito si son realmente secantes y ser´ un punto a
                                                  o
infinito si son paralelas. Con la introducci´n de los puntos infinitos la “l´gica”  o
                ıa                       a
de la geometr´ se vuelve mucho m´s simple y es posible tratar unificadamente
                             ıa
casos que en la geometr´ eucl´      ıdea plana son muy diferentes (por ejemplo, todas
      o                                a
las c´nicas son iguales: una par´bola es una elipse con un punto en el infinito
            e
y una hip´rbola es una elipse con dos puntos en el infinito, las as´      ıntotas son las
tangentes en el infinito, etc.)
                                                e
    Si consideramos que “los objetos geom´tricos reales” son los puntos del plano
eucl´ıdeo, entonces los puntos infinitos son “ideales” y, efectivamente, por mucho
que prolonguemos dos rectas paralelas nunca encontraremos ese punto infinito
en el que se supone que se cortan. Desde este punto de vista, los puntos infini-
                       o ´                                      e
tos son una invenci´n util para estudiar los objetos geom´tricos. Similarmente,
                 a              a
la base del an´lisis no est´ndar consiste en postular la existencia de “n´meros  u
                                      u
naturales infinitos”, es decir, n´meros naturales mayores que 0, 1, 2, . . . y que
                                   a                                o
nunca encontraremos por m´s que avancemos en la sucesi´n de los n´meros          u
                      u
naturales. Estos n´meros infinitos son como los puntos infinitos, un auxiliar es-
                     ´
pectacularmente util para razonar con los objetos finitos. Debemos comprender
              u
que estos n´meros pueden ser construidos, exactamente igual que se constru-
       u                 ız
yen n´meros con ra´ cuadrada negativa o derivadas de funciones discontinuas
                                                        o
(distribuciones). El hecho de que su construcci´n sea complicada no significa
                                                      ı
nada. Una vez admitimos su existencia, de aqu´ obtenemos muchas consecuen-
                    u
cias. Si µ es un n´mero natural infinito, entre µ y µ + 1 tiene que haber infinitos
  u                                                           u
n´meros racionales e irracionales infinitos, si ρ es un n´mero real infinito (di-
                                                      e
gamos positivo) entonces ξ = 1/ρ es un infinit´simo, es decir, un n´mero real u
no nulo pero menor que 1/2, y que 1/3, y que 1/4, y que cualquier n´mero real u
que podamos “ver” en una recta. Los axiomas que vamos a dar garantizan que
         u
estos n´meros infinitos e infinitesimales se comportan exactamente como deben
comportarse para que podamos definir o caracterizar los l´          ımites, las derivadas
                        e                                      ıan
y las integrales en t´rminos muy similares a como lo hac´ Leibniz o Euler.
                            ıa        a
    En realidad, la teor´ no est´ndar que vamos a desarrollar es una teor´ de       ıa
x                                                                                     o
                                                                            Introducci´n

                     a
conjuntos no est´ndar, capaz de tratar con los mismos principios los n´meros        u
                                 o
reales y los espacios topol´gicos en general, con lo que tenemos realmente una
          ıa        a              a                       a                  ıa
topolog´ no est´ndar, un an´lisis funcional no est´ndar, una teor´ de la medida
        a                        ıa                     a
no est´ndar, una geometr´ diferencial no est´ndar etc. De todos modos, el
      o                                                            ı
prop´sito de este curso es meramente introductorio, as´ que nos limitaremos a
               a                               a            a
exponer cu´l es el tratamiento no est´ndar del c´lculo infinitesimal de una y
                                   ıa a
varias variables y la topolog´ b´sica.
                                                  e               a
    Con ello esperamos mostrar que las t´cnicas no est´ndar son a menudo mu-
        a                    ´               e            a
cho m´s intuitivas y agiles que las t´cnicas est´ndar usuales. Uno de los in-
                                     a          a
convenientes principales del an´lisis est´ndar es que a menudo hay que precisar
                                                  n
locuciones como “suficientemente peque˜ o” mediante condiciones del estilo de
|x| < 2 /3M . Esto obliga a hacer cuentas m´s o menos engorrosas cuyos resul-
                                                    a
tados deben ir formalmente al principio de las pruebas cuando realmente s´lo              o
pueden obtenerse al final, lo que vuelve artificiales los argumentos. En an´lisis        a
        a                                 n
no est´ndar “suficientemente peque˜o” se sustituye por “infinitesimal”, lo cual
                                   o
no requiere ninguna precisi´n. Por ejemplo, para mostrar la continuidad de
x2 no necesitamos estudiar cu´nto podemos aumentar x sin que x2 aumente
                                      a
  a                                                            u
m´s de , sino que basta observar que si ξ es un n´mero infinitesimal enton-
ces (x + ξ)2 = x2 + 2xξ + ξ 2 , con lo que el incremento ha sido de 2xξ + ξ 2 ,
                                                             u
que es infinitesimal, porque el producto de un n´mero finito por otro infini-
                                                 u
tesimal es infinitesimal y la suma de n´meros infinitesimales es infinitesimal.
   ı,
As´ incrementos infinitesimales producen incrementos infinitesimales, y eso es
la continuidad.
                  o                         a             a
    Una cuesti´n delicada es si el an´lisis no est´ndar ofrece ventajas frente al
   a         a                              o                                    u
an´lisis cl´sico de cara a la investigaci´n. Hasta la fecha no hay ning´n resultado
                        e               a
demostrado con t´cnicas no est´ndar y que no pueda demostrarse de forma
                                                         e              a
razonablemente pareja en dificultad mediante t´cnicas est´ndar. En cualquier
caso, no ser mejor no significa ser peor. Al contrario, como ya hemos comentado,
      e                  a
las t´cnicas no est´ndar aportan por regla general sencillez y claridad y, en
definitiva, elegancia. Aspectos no esenciales, sin duda, pero nada desde˜ables        n
             a
en matem´ticas.
    Por citar un ejemplo concreto, el quinto problema de Hilbert consist´ en           ıa
                                       o
determinar si todo grupo topol´gico localmente eucl´             ıdeo es un grupo de Lie.
El problema fue resuelto afirmativamente en 1952 por Montgomery, Zippin y
                                          o                     o
Gleason. En 1964 Kaplanski public´ otra demostraci´n. Sin embargo, en 1976
           o
se celebr´ un congreso sobre los problemas de Hilbert en el que un especialista
                        ıa                     o
de cada rama deb´ explicar la soluci´n de los que ya hab´ sido resueltos, ıan
pero el correspondiente a este problema dijo que las demostraciones conocidas
             e                                        ıa
eran tan t´cnicas y tan complejas que no pod´ siquiera esbozarlas. En 1990 J.
Hirschfeld public´1 una prueba no est´ndar mucho m´s simple y, cuanto menos,
                      o                      a                 a
esbozable.
                               a          a
    Por otra parte el an´lisis no est´ndar era, seg´n dec´ u        ıamos, una “asignatura
                          ıa           a         o                    a
pendiente” que ten´ la matem´tica te´rica, pues el an´lisis era no est´ndar           a
                o                                                       a
cuando naci´ y nunca ha dejado de existir en forma no est´ndar pese a su falta
   1 J. Hirschfeld, The nostandard treatment of Hilbert’s fifth problem, Trans. Amer. Math.

Soc. 321 (1) (1990).
                                                                               xi

de rigor, por lo que no es descabellado decir que muchas de las ideas subyacentes
          e
bajo los ´psilon y los delta modernos no pueden entenderse plenamente sin
                  o
conocer la versi´n rigurosa del marco conceptual en que surgieron. La unica ´
                        a           a              ıa         u
diferencia entre el an´lisis no est´ndar y la teor´ de los n´meros complejos,
                                ıa
las distribuciones o la geometr´ proyectiva es que, para el momento en que se
                    ıa                          e                 a
dispuso de una ter´ rigurosa sobre los infinit´simos, los matem´ticos ya hac´   ıa
                    ıan                                  ıan
mucho que se hab´ rendido ante el problema y hab´ buscado una teor´            ıa
                     ıa
sustitutiva que hac´ prescindible a la otra.
   ıtulo I
Cap´

     ıa
Teor´ de conjuntos no
   a
est´ndar

               a
    La matem´tica trata con una inmensa variedad de conceptos: espacios vec-
toriales, funciones continuas, variedades diferenciales, fractales, etc. Por regla
                                           a
general, cada una de estas nociones est´ determinada por una definici´n que    o
reduce el concepto definido a otros conceptos conocidos. Podemos entender que
             o            a
una definici´n no es m´s que una mera abreviatura. Por ejemplo, el concepto
de “inclusi´n” se define como x ⊂ y ≡ u(u ∈ x → u ∈ y).
            o
    Esto significa que cada vez que escribimos algo como N ⊂ R debemos enten-
der que no es sino una forma abreviada de escribir u(u ∈ N → u ∈ R).
                                               a
    Si tomamos cualquier enunciado matem´tico y vamos sustituyendo en ´l           e
       e                               o
cada t´rmino definido por su definici´n, iremos obteniendo enunciados cada vez
  a                           u
m´s largos, pero tras un n´mero finito de pasos llegaremos a un enunciado en
                 a a e                                          a
el que no habr´ m´s t´rminos que sustituir. Esto suceder´ cuando los unicos    ´
signos que aparezcan sean variables x, y, z, . . . , los signos l´gicos, como →, ¬,
                                                                 o
                                            ´
  , =, etc. y el relator de pertenencia ∈. Estos son los signos del lenguaje de la
    ıa
teor´ de conjuntos propiamente dicho. Cualquier otro signo no forma parte de
este lenguaje, sino que es una abreviatura de signos de este lenguaje.
    Mientras que las propiedades de un concepto definido se deducen de su defi-
    o                                                  a
nici´n, las propiedades de los signos no definidos est´n determinadas axiom´tica-a
                         o
mente. Los axiomas l´gicos determinan las propiedades de los signos l´gicos,  o
tales como que α ∧ β ↔ β ∧ α, mientras que las propiedades de ∈ est´n deter-a
                                      ıa
minadas por los axiomas de la teor´ de conjuntos. Aunque hay varias teor´         ıas
                  a
de conjuntos m´s o menos equivalentes, nosotros consideraremos unicamente ´
       ıa
la teor´ de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). No es necesario especificar
sus axiomas. Basta saber que a partir de ellos se pueden demostrar todos los
teoremas que los matem´ticos reconocen como tales.1
                            a
   1 En realidad existen axiomas adicionales, como el axioma de Martin, el axioma de cons-

tructibilidad, la existencia de cardinales inaccesibles, etc. que tienen consecuencias adicionales
                                   u    ı
no demostrables en ZFC, pero a´ n as´ podemos considerar que estos resultados son teoremas
de ZFC de la forma “el axioma de Martin implica que . . . ”


                                                1
2                                           ıtulo 1. Teor´ de conjuntos no est´ndar
                                         Cap´            ıa                   a

                                             a                               ıa
     Nosotros vamos a trabajar en la axiom´tica de Nelson [5] para la teor´ de
                 a                               ıa
conjuntos no est´ndar. El lenguaje de esta teor´ consta de los mismos signos que
             ıa               a       a                                    o
el de la teor´ de conjuntos cl´sica m´s un nuevo signo st, de modo que la f´rmula
            a          a           u                                         o
st x se leer´ “x es est´ndar”. Seg´n estamos diciendo, no hay una definici´n de
“est´ndar”, pero, al igual que x ∈ y se interpreta informalmente como que el
     a
                                                o
conjunto x es un elemento del conjunto y, la f´rmula st x se interpreta como que
                                         a      a
x es un conjunto definible en la matem´tica cl´sica de ZFC. No obstante, hemos
                                       o     ı,     u                   o
de recalcar que esto no es una definici´n. As´ seg´n esta interpretaci´n informal,
el conjunto N “debe” ser un conjunto est´ndar, pero en ultima instancia esto
                                            a                ´
      a
habr´ que demostrarlo a partir de los axiomas que daremos sobre conjuntos
    a              a
est´ndar y no est´ndar.
     Podemos dividir las f´rmulas2 del lenguaje de la teor´ de conjuntos no
                            o                                  ıa
    a                                              o
est´ndar en internas y externas. Llamaremos f´rmulas internas a aquellas que
                                                 o                 ıa
no contienen el nuevo signo st, es decir, a las f´rmulas de la teor´ de conjuntos
  a                                   o                               ı
cl´sica (ZFC). Por el contrario, las f´rmulas externas son las que s´ contienen el
signo st.
                                                       ıa        a
     Pasemos ahora a describir los axiomas de la teor´ no est´ndar. En primer
lugar:

                                        e                    ıa
      Todos los axiomas de ZFC son tambi´n axiomas de la teor´ de con-
                   a
      juntos no est´ndar.

                                            a
    Como consecuencia, todos los teoremas cl´sicos siguen siendo teoremas de
       ıa                    a                        o
la teor´ de conjuntos no est´ndar sin cambio o precisi´n alguna. Ahora bien,
hay una falacia en la que es muy importante no caer:
              a
    Los matem´ticos definen con toda libertad conjuntos como

                                     {x ∈ R | x2 > 5}.

                          a
    Formalmente, esto est´ justificado por los axiomas de ZFC, que permiten
demostrar que, bajo condiciones m´ ınimas, cualquier propiedad define un con-
                                                    o
junto. Ahora bien, los axiomas de ZFC son todos f´rmulas internas, por lo que
                          e                  o
no dicen nada sobre en qu´ condiciones una f´rmula externa define un conjunto.
   ı,
As´ el hecho de suponer estos axiomas no nos da derecho a postular la existencia
          ı
de algo as´ como
                            {x ∈ R | st x ∧ x2 > 5}.
    La f´rmula st x∧x2 > 5 es externa, luego no podemos ampararnos en ning´n
        o                                                                     u
axioma o teorema de ZFC para justificar la existencia de este conjunto. Cuando
introduzcamos los axiomas adicionales que regulan el uso del signo st veremos en
   e
qu´ condiciones podemos hacer algo similar a esto, pero de momento conviene
    2 Aunque no va a ser necesario ning´ n conocimiento importante de l´gica matem´tica, s´
                                        u                                   o            a     ı
                                    e             a         o
conviene usar algunos conceptos t´cnicos del ´rea: las f´rmulas de un lenguaje son todas
                                 a
las combinaciones de signos sint´cticamente correctas que “afirman” algo, no necesariamente
f´rmulas matem´ticas del estilo de x2 +y 2 = z 2 . Por ejemplo, todos los teoremas son f´rmulas.
 o              a                                                                       o
   ı                                                        o                             o
As´ mismo hablaremos de variables libres y ligadas en una f´rmula. Por ejemplo, en la f´rmula
   u(u ∈ x → u ∈ y) la variable u est´ ligada (porque est´ afectada por el cuantificador )
                                      a                     a
                                    a
mientras que las variables x e y est´n libres.
                                                                                                         3

                o
pensar que las f´rmulas externas NO definen conjuntos. El “conjunto” anterior
simplemente no existe.
                                                    ıa                    a
   Para enunciar los axiomas restantes de la teor´ de conjuntos no est´ndar
                                       o                o
conviene introducir la siguiente notaci´n: si α es una f´rmula, escribiremos
                      st                                          st
                           xα ≡      x(st x → α),                      xα ≡       x(st x ∧ α).

    El primer axioma adicional es el siguiente:

Principio de Transferencia Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´rmula interna cu-
                                                             o
                                                         o
yas variables libres sean exactamente las indicadas, la f´rmula siguiente es un
axioma:3
                st                   st
                     x1 · · · xn (        xα(x, x1 , . . . , xn ) →      xα(x, x1 , . . . , xn )).


    Equivalentemente, (considerando el axioma correspondiente a ¬α e invir-
                   o
tiendo la implicaci´n)
               st                                                       st
                    x1 · · · xn ( xα(x, x1 , . . . , xn ) →                  xα(x, x1 , . . . , xn )).

                                                                    ı:
    Informalmente, el principio de transferencia puede enunciarse as´

                           a
       Si todo conjunto est´ndar cumple una propiedad interna que de-
                               a           a
       pende a lo sumo de par´metros est´ndar, entonces todo conjunto
           a
       (est´ndar o no) cumple dicha propiedad. Equivalentemente, si existe
                       a
       un conjunto (est´ndar o no) que cumple una propiedad interna con
           a         a                                     a
       par´metros est´ndar, entonces existe un conjunto est´ndar que tam-
         e
       bi´n la cumple.

    Como primera consecuencia:
                                       ıcitamente en ZFC es est´ndar.
            Todo conjunto definible expl´                       a
    Consideremos por ejemplo el conjunto vac´ La f´rmula x = ∅ es interna
                                                 ıo.     o
                a             ´
y no tiene par´metros (su unica variable libre es x). Por lo tanto podemos
aplicarle el principio de transferencia, en virtud del cual
                                                             st
                                            xx = ∅ →              x x = ∅.

                       o
   Ahora bien, la hip´tesis es trivialmente cierta (es un teorema de ZFC), luego
tambi´n lo es la tesis, que a su vez implica claramente st ∅.
     e
   El mismo razonamiento aplicado a la f´rmula x = N nos da que N es un
                                             o                        √
conjunto est´ndar, y lo mismo vale para Z, Q, R, C, 0, 1, 2, π, 3/4, 3, etc.
            a
                     o              a                             a
    Si consideramos f´rmulas con par´metros tenemos un resultado m´s general:
   3 En t´rminos estrictos, el principio de transferencia no es un axioma, sino un grupo de
         e
infinitos axiomas, uno por cada α(x, x1 , . . . , xn ). Lo mismo vale para los otros dos principios
que vamos a introducir luego.
4                                          ıtulo 1. Teor´ de conjuntos no est´ndar
                                        Cap´            ıa                   a

                                 ıcitamente (en ZFC) a partir de conjun-
      Todo conjunto definible expl´
             a           a
      tos est´ndar es est´ndar.

                       o                   a            a
   Por ejemplo, la uni´n de conjuntos est´ndar es est´ndar. Para probarlo
basta considerar la f´rmula interna x = y ∪ z, donde consideramos a y y a z
                     o
         a
como par´metros. El principio de transferencia dice que
                         st                        st
                              yz( x x = y ∪ z →         x x = y ∪ z).

       ı                                    a
    As´ pues, fijados dos conjuntos est´ndar y y z, trivialmente tenemos que
                                       st
  x x = y ∪ z y por transferencia         x x = y ∪ z, lo que equivale a que y ∪ z es
   a
est´ndar.
                                                               a
    El mismo razonamiento nos da que si y y z son est´ndar tambi´n lo son  e
{y, z}, (y, z), y ∩ z, y × z, Py, etc.
    Igualmente podemos considerar propiedades que no tengan sentido para
    a                                                                  u
par´metros arbitrarios. Por ejemplo, veamos que la suma de n´meros reales
   a             a                           o
est´ndar es est´ndar. Consideramos la f´rmula interna

                             x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z.

    El principio de transferencia nos da que
                 st
                      yz( x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z) →

                        st
                             x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z))

    As´ pues, fijados y, z ∈ R est´ndar, trivialmente tenemos
      ı                          a

                         x(x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R ∧ x = y + z),

                                                                 a
luego se cumple la tesis, que claramente implica que y + z es est´ndar.

    Veamos otro ejemplo: Si f : y −→ z es una funci´n est´ndar y u ∈ y es
                                                        o      a
   a                           a
est´ndar, entonces f (u) es est´ndar. Basta aplicar el principio de transferencia
      o
a la f´rmula interna

               f es una funci´n ∧ u ∈ dominio de f ∧ x = f (u),
                             o

       a
con par´metros f y u.

                                                         o      a
    Similarmente se prueba que el dominio de una funci´n est´ndar es un con-
         a                                  u                   a           o
junto est´ndar, que un intervalo [a, b] de n´meros reales es est´ndar si y s´lo si
lo son sus extremos a y b, etc.

                                                              a
    El segundo axioma nos da la existencia de conjuntos no est´ndar.
                                                                                                   5

                            o                       o
Principio de Idealizaci´n Si α(x, y) es una f´rmula interna con al menos
                                        o
las variables libres x, y, entonces la f´rmula siguiente es un axioma:
                 st                                                   st
                      z(z finito →       x y ∈ z α(x, y)) ↔        x        yα(x, y).


                                                    o
   El miembro izquierdo del axioma afirma que la f´rmula interna α(x, y) de-
                   o                                                      a
termina una relaci´n concurrente, es decir, que dado cualquier familia est´ndar
                                                                            ı,
finita z de conjuntos existe un conjunto x relacionado con todos ellos. As´ el
                       o                 ı:
principio de idealizaci´n puede leerse as´

                o                          a              a
     Una relaci´n interna (tal vez con par´metros no est´ndar) es con-
                    o
     currente si y s´lo si hay un conjunto relacionado con todos los con-
               a
     juntos est´ndar.

                 a                                         a
   El resultado b´sico sobre existencia de conjuntos no est´ndar es el siguiente:

                              a                   o
Teorema 1.1 Un conjunto es est´ndar y finito si y s´lo si todos sus elementos
       a
son est´ndar.

    Demostracion: Sea A un conjunto. Aplicamos el principio de idealizaci´n
                   ´                                                       o
a la relaci´n interna α(x, y) = x ∈ A ∧ x = y, donde A aparece como par´metro
           o                                                            a
                        a                o                       o
(no necesariamente est´ndar). La relaci´n α es concurrente si y s´lo si
                        st
                             z(z finito →       x y ∈ z(x ∈ A ∧ x = y))

                                 a                    u                a
o equivalentemente, si A no est´ contenido en ning´n conjunto est´ndar y fi-
nito z.
                          a                                            o
    Por tanto, si A es est´ndar y finito, por el principio de idealizaci´n,
                                         st
                                    x         y(x ∈ A ∧ x = y),

                                                         a
pero esto equivale a que todos los elementos de A son est´ndar.
    Rec´                                                a
        ıprocamente, si todos los elementos de A son est´ndar tenemos que la re-
    o                                        a                             a
laci´n α no es concurrente, y por tanto A est´ contenido en un conjunto est´ndar
y finito z. Entonces A es finito y A ∈ Pz. Por el principio de transferencia, Pz
      a                    e
es est´ndar y, como tambi´n es finito, la parte ya probada permite concluir que
Pz s´lo tiene elementos est´ndar. Luego A es tambi´n est´ndar.
     o                      a                         e     a
             a
    En la pr´ctica no es frecuente trabajar con relaciones definidas sobre todos
                     o                                                   a ´
los conjuntos, sino s´lo sobre un conjunto prefijado. Por ello suele ser m´s util
                  o
la siguiente versi´n relativizada del principio:

                                    o
Teorema 1.2 Si α(x, y) es una f´rmula interna con al menos las variables
                          o
libres x, y, entonces la f´rmula siguiente es un teorema:
          st                                                                 st
      A        z(z ⊂ A ∧ z finito →            x y ∈ z α(x, y)) ↔       x          y ∈ Aα(x, y) .
6                                     ıtulo 1. Teor´ de conjuntos no est´ndar
                                   Cap´            ıa                   a

                                                      o        o
    Demostracion: Aplicamos el principio de idealizaci´n a la f´rmula
              ´

                           β(x, y) ≡ y ∈ A → α(x, y).

                o
    Si la relaci´n α es concurrente en A, es decir, si cumple el miembro izquierdo
                                                      a
del enunciado, entonces, para cada conjunto z est´ndar y finito tenemos que el
conjunto z = z ∩ A es est´ndar (por el teorema anterior), es finito y est´
                               a                                                 a
contenido en A. Por hip´tesis x y ∈ z α(x, y)), y esto es equivalente a
                            o
que x y ∈ z β(x, y). As´ pues, β es concurrente, luego por el principio de
                             ı
                   st                                   st
idealizaci´n x y β(x, y), lo cual equivale a x y ∈ Aα(x, y). El rec´
           o                                                                ıproco
se prueba igualmente.
      Por ejemplo, aunque del teorema 1.1 ya se sigue que N contiene elementos no
est´ndar, podemos probarlo directamente con el teorema anterior para A = N
     a
y la relaci´n α(x, y) ≡ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ y < x. La relaci´n es concurrente en N,
             o                                            o
pues dado un conjunto finito de n´meros naturales siempre existe x ∈ N mayor
                                    u
que todos sus elementos. Por consiguiente deducimos que existe µ ∈ N tal que
  st
     n ∈ N n < µ, es decir, µ es un n´mero natural mayor que todos los n´meros
                                     u                                     u
               a
naturales est´ndar.
                          u                  a                             u
      En realidad, todo n´mero natural no est´ndar es mayor que todos los n´meros
naturales est´ndar, pues si n ∈ N es est´ndar el conjunto {m ∈ N | m < n} es
               a                          a
     a                  a                            a         a
est´ndar (porque est´ definido a partir de un par´metro est´ndar n) y finito,
                                                       a
luego por el teorema 1.1 todos sus elementos son est´ndar.

         o            u                      a                    e u
Definici´n 1.3 Los n´meros naturales no est´ndar se llaman tambi´n n´meros
                                      u                   a                u
naturales infinitos, mientras que los n´meros naturales est´ndar se llaman n´-
meros naturales finitos.

                 o                                             u
     Esta definici´n requiere ciertas precauciones: si µ es un n´mero natural no
est´ndar, decimos que es infinito para reflejar que I = {n ∈ N | n < µ} contiene
    a
                                     u
al 0 y al 1, y al 2, y a todos los n´meros naturales que podemos nombrar, es
                             u
decir, contiene “infinitos” n´meros naturales. Ahora bien, es un teorema de la
     ıa                         u                         ı
teor´ de conjuntos que cada n´mero natural deja bajo s´ una cantidad finita de
  u
n´meros naturales, por lo que el conjunto I es finito. De hecho, su cardinal es
      u
un n´mero natural, a saber, µ.
     Expresaremos esto diciendo que I es “internamente finito” pero “externa-
                                                    o
mente infinito”. Con esto queremos indicar que te´ricamente es finito, es decir,
                                          a
le podemos aplicar cualquier resultado v´lido para conjuntos finitos, pero, visto
             a
metamatem´ticamente, lo cierto es que contiene infinitos elementos (tenemos
infinitos teoremas 0 ∈ I, 1 ∈ I, 2 ∈ I, etc. que muestran que en I hay infinitos
                                  ´
elementos, pero no tenemos un unico teorema que exprese que I es infinito).
     Vemos, pues, que no debe sorprendernos que un conjunto del que sabemos
que tiene infinitos elementos pueda ser internamente finito. De hecho, tenemos
el siguiente resultado:

Teorema 1.4 Existe un conjunto finito que contiene a todos los conjuntos
   a
est´ndar.
                                                                                 7

                                                         o        o
   Demostracion: Basta aplicar el principio de idealizaci´n a la f´rmula
             ´

                          α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x es finito.



                                             ıa                   a
    Existen varias aproximaciones a la teor´ de conjuntos no est´ndar en las que
                                                  a                 ıa
no se cumplen exactamente los mismos hechos b´sicos. En la teor´ que estamos
                                     o
estudiando el principio de idealizaci´n es especialmente fuerte, por lo que de cara
                                                      a            a
a traducir los resultados a otras aproximaciones al an´lisis no est´ndar, conviene
                      u                                                 o
observar que en ning´n momento usaremos el principio de idealizaci´n en toda
                                       a
su generalidad, sino que nos bastar´ usar los teoremas 1.1, 1.2 y la siguiente
     o e
versi´n d´bil del teorema anterior:

Teorema 1.5 Todo conjunto A tiene un subconjunto finito B que contiene a
                       a
todos sus elementos est´ndar.

   Demostracion: Basta tomar F ∩ A, donde F es un conjunto finito que
                ´
                                  a
contenga a todos los conjuntos est´ndar.


                                                                      a
Conjuntos externos Los resultados que acabamos de ver originar´n sin duda
                                             e                           a
vacilaciones en todos aquellos que no est´n familiarizados con el an´lisis no
    a
est´ndar. Para erradicarlas, debemos insistir ante todo en que todos los teore-
       a          a                   o            ıa      a
mas cl´sicos est´n a nuestra disposici´n en la teor´ no est´ndar. Por ejemplo, es
                         ıa                      u
un teorema de la teor´ de conjuntos que dos n´meros naturales cualesquiera se
                                                           u         a
pueden sumar, y esto sigue valiendo ahora (tanto para n´meros est´ndar como
       a                               ıa                           a
no est´ndar), de modo que no tendr´ sentido cuestionarse si est´ definida la
           u                        a                             u
suma de n´meros naturales no est´ndar. Similarmente, a todo n´mero natural
se le puede restar otro menor, etc.
     Por otra parte, el principio de transferencia nos garantiza que la suma de
n´meros est´ndar es est´ndar: tenemos que xy ∈ N z ∈ N z = x + y, luego
 u           a              a
                  st
en particular        xy ∈ N z ∈ N z = x + y y por transferencia concluimos que
 st          st
    xy ∈ N      z ∈ N z = x + y.
                                          u                        u
Ejercicio: Demostrar que la suma de un n´ mero natural finito y un n´mero infinito
es infinita. ´                        u
            Idem con la suma de dos n´ meros infinitos.

             ı                   u
   Vemos as´ que si µ es un n´mero natural infinito, entonces 1 < µ, luego
podemos calcular µ − 1 y el resultado es infinito (porque en caso contrario
µ = 1 + (µ − 1) ser´ finito).
                   ıa
                   ı    a
   A partir de aqu´ es f´cil llegar a una falacia: Puesto que todo conjunto no
   ıo     u
vac´ de n´meros naturales tiene un m´   ınimo elemento, debe existir el m´ınimo
n´mero natural infinito µ, pero por otra parte, µ − 1 deber´ ser un n´mero
 u                                                            ıa         u
infinito menor, y tenemos una contradicci´n.o
                a           ı
   El error est´ en que aqu´ estamos considerando impl´  ıcitamente el conjunto
               u
de todos los n´meros naturales infinitos

                              I = {n ∈ N | ¬ st n},                           (1.1)
8                                                  ıtulo 1. Teor´ de conjuntos no est´ndar
                                                Cap´            ıa                   a

pero la f´rmula ¬ st n es externa, y ya hab´
         o                                                         u
                                           ıamos advertido que ning´n axioma
                                                    o
garantiza que se puedan definir conjuntos mediante f´rmulas externas. De he-
cho, el razonamiento anterior es una prueba de que, en este caso concreto, no
                                      ıa                  a
es posible: Es un teorema de la teor´ de conjuntos no est´ndar que no existe
    u                                                   u
ning´n conjunto cuyos elementos sean exactamente los n´meros naturales infi-
nitos.
                                                   o
    Pese a ello, es conveniente mantener la notaci´n (1.1): podemos escribir
cosas como 4 ∈ I, I ⊂ N, I ∩ (N \ I) = ∅ como forma abreviada de indicar que 4
              /
           u                          u                   u
no es un n´mero infinito, que todo n´mero infinito es un n´mero natural o que
     u   u
ning´n n´mero natural es a la vez finito o infinito. Todas estas afirmaciones
                                               ıa,
tienen completo sentido en el marco de la teor´ pese a que el propio I no lo
tenga en sentido estricto.
    A estos “conjuntos”, que se puede demostrar que no existen, pero de los
que podemos hablar en este sentido, los llamaremos conjuntos estrictamente
                    o                         o
externos. Esta noci´n es equivalente a la noci´n de “clase propia” en la teor´ıa
de conjuntos de ZFC: la clase V de todos los espacios vectoriales, o la clase B
de todos los espacios de Banach “no existen”, en el sentido de que se puede
                     u
demostrar que ning´n conjunto contiene a todos los espacios vectoriales, o a
todos los espacios de Banach.4 No obstante tiene sentido afirmar que B ⊂ V .
   Cuando queramos hablar de un conjunto sin distinguir si es interno o estric-
tamente externo diremos que es externo. Por ejemplo, conviene definir, para
cada conjunto A, el conjunto externo
                                       ◦
                                           A = {x ∈ A | st x}.

    Seg´n el teorema 1.1, si A es est´ndar finito entonces ◦ A = A, en cambio ◦ N
        u                            a
                                                       ◦
es estrictamente externo, pues si fuera interno I = N \ N tambi´n lo ser´ Por
                                                                 e       ıa.
otra parte, si µ es un n´mero natural infinito, ◦ {n ∈ N | n ≥ µ} = ∅.
                        u
     ´                       ıa
  El ultimo axioma de la teor´ nos permite, en cierto sentido, definir conjuntos
          o
mediante f´rmulas externas.

                               o                    o
Principio de Estandarizaci´n Si α(x) es una f´rmula (interna o externa)
                                               o
con al menos la variable libre x, entonces la f´rmula siguiente es un axioma:
                         st       st       st
                              x        y        z(z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ α(z)).


                                                         a
     Por el principio de transferencia, dos conjuntos est´ndar con los mismos
               a                                           a
elementos est´ndar son iguales. En efecto, si x e y son est´ndar y cumplen que
  st
     u(u ∈ x ↔ u ∈ y), por el principio de transferencia u(u ∈ x ↔ u ∈ y),
luego x = y.
   4 Hay que tener en cuenta que en ZFC las “clases propias” son colecciones de conjuntos

                                                                                    o
“demasiado grandes” como para estar contenidas en un conjunto, mientras que la noci´n de
conjunto externo no tiene nada que ver con su magnitud.
                                                                                9

                                              a
    Como consecuencia, dado un conjunto est´ndar x, el conjunto y que postula
                             o     ´
el principio de estandarizaci´n es unico, y podemos llamarlo
                                  S
                                      {z ∈ x | α(z)}.

                                                                         e
   La S nos recuerda que un elemento de este conjunto no tiene por qu´ cumplir
α(z) salvo que sea est´ndar. Por ejemplo, S {z ∈ x | st z} = x, ya que el conjunto
                      a
                                 a
x es ciertamente un conjunto est´ndar que tiene los mismos elementos est´ndara
que x.
                                                                             o
    Un caso particular especialmente frecuente del principio de estandarizaci´n
es el siguiente:

                                     o                             a
Teorema 1.6 (Principio de extensi´n) Si X e Y son conjuntos est´ndar
y f : ◦X −→ ◦Y es una aplicaci´n externa, entonces existe una aplicaci´n
                                 o                                    o
         ¯
est´ndar f : X −→ Y que extiende a f .
   a

    Demostracion: Hay que entender que f es cualquier criterio que asigna
                 ´
                   a              ´                 a               a
a cada elemento est´ndar de X un unico elemento est´ndar de Y . M´s con-
                                                o
cretamente, el enunciado supone que existe una f´rmula α(x, y) (tal vez con
   a
par´metros) de modo que se demuestra que
                                         1
                            st
                                 x∈X         st
                                                  y ∈ Y α(x, y).
              ¯
   Definimos f = S {(x, y) ∈ X × Y | α(x, y)}. As´ los elementos est´ndar de
                                                     ı                  a
¯ son pares ordenados de X × Y y para todo x ∈ X est´ndar existe un unico
f                                                          a                ´
                       ¯
y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f . Aplicando el principio de transferencia a estos hechos
                ¯
concluimos que f : X −→ Y , y claramente extiende a f .


                             o                      e     ı
El teorema de conservaci´n Aparte del inter´s en s´ mismo del an´lisis   a
      a
no est´ndar, lo cierto es que puede considerarse como una herramienta m´s   a
                           a                                           o
para demostrar teoremas cl´sicos. Ello se debe al teorema de conservaci´n, que
afirma lo siguiente:

                                    ıa                   a
     Todo teorema interno de la teor´ de conjuntos no est´ndar es un
     teorema de ZFC.

                                                a
    En otras palabras, que cualquier teorema cl´sico que pueda demostrarse con
                                              n
el apoyo de los tres principios que hemos a˜adido a ZFC puede demostrarse
      e
tambi´n sin ellos.
                  a        e                     e              o          a
    La prueba est´ en el ap´ndice B, y requiere t´cnicas de la l´gica matem´tica.
                    a
Destacamos su car´cter constructivo, es decir, proporciona un algoritmo para
transformar expl´                                 o
                 ıcitamente cualquier demostraci´n de un teorema interno a par-
                              ıa                     a
tir de los axiomas de la teor´ de conjuntos no est´ndar en una demostraci´n   o
                                                    e
del mismo teorema en ZFC. Por otra parte tambi´n conviene observar que la
                      a                   o
prueba en ZFC usar´ el axioma de elecci´n tanto si la prueba original lo usa o
                                  o
no (pues se basa en la construcci´n de ultrapotencias y, por consiguiente, en la
existencia de ultrafiltros sobre un conjunto dado).
   ıtulo II
Cap´

  a
An´lisis de una variable

   Aunque podr´  ıamos realizar una construcci´n no est´ndar de R a partir de
                                               o         a
Q, ´sta constar´ de pasos t´cnicos similares a los de la construcci´n cl´sica, as´
   e           ıa           e                                      o    a        ı
que supondremos conocido el cuerpo R de los n´meros reales, que es un cuerpo
                                                u
                                                                     ıo
ordenado completo (en el sentido de que todo subconjunto no vac´ y acotado
superiormente tiene supremo) y arquimediano. No supondremos ninguna otra
propiedad algebraica o topol´gica1 sobre R.
                              o


2.1        u
          N´meros finitos e infinitesimales
              ıtulo anterior hemos visto que los n´meros naturales no est´ndar
     En el cap´                                   u                       a
                                                        u                a
son infinitos en el sentido de que son mayores que todo n´mero natural est´ndar.
   ı             u
As´ pues, para n´meros naturales podemos identificar las nociones de “finito” y
     a               e                       u
“est´ndar”. Tambi´n podemos dividir los n´meros reales en finitos e infinitos,
                       o                          a           a
pero ahora esta divisi´n no va a coincidir con est´ndar/no est´ndar.

        o             u                                 u
Definici´n 2.1 Un n´mero real r es infinito si existe un n´mero natural infinito
µ tal que |r| ≥ µ. Por el contrario, r es finito si existe un n´mero natural
                                                              u
est´ndar n tal que |r| ≤ n.
   a

   Ante todo, observemos que, de acuerdo con estas definiciones, “infinito”
                                   a
equivale a “no finito”. La clave est´ en que podemos tomar partes enteras, de
modo que
                        0 ≤ E(|r|) ≤ |r| ≤ E(|r|) + 1.
      ı,                  u
   As´ si E(|r|) es un n´mero natural infinito tenemos que r es infinito por
        o                                      a           e
definici´n, mientras que si E(|r|) es finito (est´ndar) tambi´n lo es E(|r|) + 1
por transferencia, luego r es finito.
                  o                                      o
    De esta relaci´n se sigue a su vez otra caracterizaci´n interesante:
   1 Supondremos conocidos aquellos conceptos y propiedades elementales que se construyen

                               e           ıticas, como la parte entera o el valor absoluto, o
o demuestran sin necesidad de t´cnicas anal´
que podemos considerar Q ⊂ R.


                                             11
12                                              ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                             Cap´          a

                    u                       o                 u
Teorema 2.2 Un n´mero real r es finito si y s´lo si existe un n´mero real
est´ndar M tal que |r| ≤ M .
   a
   Demostracion: Si r es finito tomamos M = E(|r|) + 1 y si |r| ≤ M
                ´
entonces E(M ) + 1 es un n´mero natural est´ndar mayor que |r|.
                          u                a
    En particular todo n´mero real est´ndar es finito (basta tomar M = |r|).
                         u             a
  ı             a                                            u
As´ mismo es f´cil demostrar que la suma y el producto de n´meros finitos es
finito. (Si |r| ≤ M y |s| ≤ N entonces |r + s| ≤ M + N y |rs| ≤ M N .)
   Conviene observar que el conjunto O de los n´meros reales finitos es estric-
                                                  u
                                                                   ıamos definir
tamente externo (es decir, no existe), porque si fuera interno podr´
O ∩ N = ◦N, y ya vimos en el cap´                    ◦
                                  ıtulo anterior que N es externo.
       o                           u
Definici´n 2.3 Diremos que un n´mero real r es infinitesimal si para todo
n´mero est´ndar > 0 se cumple |r| < . Llamaremos infinit´simos a los
 u        a                                                e
 u
n´meros infinitesimales distintos de 0.
                       u                              u
   Obviamente todo n´mero infinitesimal es finito. Los n´meros finitos no
infinitesimales se llaman apreciables.
                              e                         u
    Ciertamente existen infinit´simos, pues si r es un n´mero real infinito enton-
                    e                                a
ces 1/r es un infinit´simo. En efecto, si > 0 es est´ndar entonces 1/ tambi´n  e
lo es, luego es finito y 1/ < |r|. Por consiguiente |1/r| < . Igualmente se
                                     e                 u
prueba que los inversos de los infinit´simos son los n´meros reales infinitos.
             ´                     a                          a
  El 0 es el unico infinitesimal est´ndar, pues si r = 0 es est´ndar entonces
 = |r|/2 > 0 es est´ndar y no se cumple |r| < .
                   a
    Se comprueba inmediatamente que la suma de infinitesimales es infinitesimal,
                   u
que la suma de un n´mero finito y otro infinitesimal es finita, y que el producto
        u                   u
de un n´mero finito por un n´mero infinitesimal es infinitesimal. Por ejemplo,
si |r| < M (con M est´ndar) y ξ es infinitesimal, entonces para todo > 0
                      a
est´ndar se cumple que |ξ| < /|r|, luego |rξ| < . Similarmente, si ξ1 y ξ2 son
   a
infinitesimales y > 0 es est´ndar, entonces |ξ| < 1 y |ξ | < . Por lo tanto
                            a
|ξξ | < .
                                u
   El conjunto o de todos los n´meros infinitesimales es estrictamente externo,
                             ıa
pues si fuera interno se podr´ probar la existencia de
                            ◦
                                N = {n ∈ N | 1/n ∈ o}.
                                                 /
    Podemos resumir las propiedades que acabamos de comentar diciendo que o
es un ideal del anillo O de los n´meros reales finitos. Las unidades de o, es decir,
                                 u
los n´meros finitos con inverso en O, son precisamente los n´meros apreciables.
     u                                                        u

        o                           u                   a
Definici´n 2.4 Diremos que dos n´meros reales r y s est´n infinitamente
pr´ximos, y lo representaremos por r ≈ s, si r − s ∈ o.
  o
                                                          o
    Es inmediato comprobar que se trata de una relaci´n de equivalencia. Es
                    a                o            o
claro que r y s est´n infinitamente pr´ximos si y s´lo si su distancia en el sentido
usual, |r − s|, es infinitesimal. Veamos las propiedades inmediatas:
      u
2.1. N´meros finitos e infinitesimales                                       13

                            u
Teorema 2.5 Para todos los n´meros reales r, r , s, s se cumple:
  a) Si r ≈ s y r ≈ s entonces r + r ≈ s + s ,
  b) si r ≈ s, r ≈ s y adem´s r y r son finitos entonces rr ≈ ss ,
                           a
  c) si r ≈ s, r ≈ s , r es finito y r no es infinitesimal, entonces r/r ≈ s/s ,
  d) si r ≈ s, r ≈ s , r < r y r − r es apreciable, entonces s < s .

   Demostracion: a) es inmediato.
             ´
   Para probar b) observamos que s = r + ξ, s = r + ξ , donde ξ y ξ son
infinitesimales, luego

                           ss = rr + rξ + r ξ + ξξ ≈ rr .

   Para c) tenemos en cuenta que s tampoco es infinitesimal, con lo que 1/r
y 1/s son finitos y
                           1    1   s −r
                             − =          ≈ 0,
                           r   s     rs
y basta aplicar b).
   d) Digamos que s = r + ξ, s = r + ξ. Entonces ξ − ξ < r − r, pues si fuera
                       ıamos que r − r ser´ un infinit´simo. Por consiguiente
0 < r − r ≤ ξ − ξ tendr´                  ıa         e
0 < s − s.


                                     u                     ız
Ejemplo Vamos a probar que todo n´mero real x > 0 tiene ra´ n-sima para
                                                                   a
todo natural n. Por transferencia podemos suponer que x y n son est´ndar.
      a
Con m´s detalle: queremos demostrar que

                     xn(x ∈ R ∧ n ∈ N → x tiene ra´ n-sima),
                                                  ız
                                                                  st
y por el principio de transferencia podemos cambiar         por        .
   Sea A = {x ∈ R | xn ≤ r}, que es un conjunto est´ndar no vac´ y acotado
                                                       a           ıo
superiormente por m´x{1, r}. Por consiguiente tiene supremo s ≥ 0 est´ndar.
                      a                                                  a
                                                          e
Observemos que s > 0. Para probarlo tomamos un infinit´simo ξ > 0, de modo
que ξ n < ξ < r, luego ξ ∈ A y 0 < ξ ≤ s. Por consiguiente, 0 < s−ξ < s < s+ξ,
luego
                            (s − ξ)n ≤ r ≤ (s + ξ)n .
   Desarrollando los binomios vemos que
                      n    n i                n  n i n−i
              sn ≈           s (−ξ)n−i ≤ r ≤       sξ    ≈ sn ,
                     i=0   i                 i=0 i
luego claramente s − r ≈ 0. Como esta diferencia es a la vez infinitesimal y
                  n

est´ndar, ha de ser sn − r = 0 (en particular s > 0).
   a
                                                 a           u
   Para terminar de perfilar el comportamiento b´sico de los n´meros finitos e
infinitesimales demostramos el siguiente teorema fundamental:
14                                             ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                            Cap´          a

                   u                           o      a
Teorema 2.6 Un n´mero real r es finito si y s´lo si est´ infinitamente cerca
       u        a                         ´
de un n´mero est´ndar, que en tal caso es unico.

                  o                   a                           u        a
    Una implicaci´n es obvia: si r est´ infinitamente cerca de un n´mero est´ndar,
e       a                e                                                 a
´ste ser´ finito y r tambi´n. Supongamos ahora que r es finito. Sea M est´ndar
tal que |r| ≤ M . El conjunto

                             A = S {x ∈ R | x ≤ r}

cumple
                             st
                                  x(x ∈ A → x ≤ M ),
                              a                     a          ıo,
luego por transferencia A est´ acotado por M . Adem´s es no vac´ pues clara-
mente −M ∈ A, luego tiene supremo s est´ndar. Vamos a ver que r ≈ s.
                                          a
    En caso contrario |r − s| > > 0, para cierto n´mero est´ndar . Si s < r
                                                  u        a
entonces s + < r, por lo que s + ∈ A, contradicci´n. Si r < s entonces
                                                      o
r < s − luego, al igual que M , tenemos que s − es una cota superior de A,
lo cual es absurdo.
                               u         a
    La unicidad es obvia: dos n´meros est´ndar distintos no pueden estar infi-
                               u                               ıa
nitamente cerca de un mismo n´mero real, pues su diferencia ser´ infinitesimal
     a
y est´ndar, luego nula.

         o                  u                                   a
Definici´n 2.7 Si r es un n´mero real finito, llamaremos parte est´ndar de r
al unico n´mero real est´ndar ∗ r tal que ∗ r ≈ r.
   ´      u             a


2.2      Continuidad
                o                             a
   En esta secci´n esbozamos un estudio no est´ndar de la continuidad y la
continuidad uniforme.

Teorema 2.8 Una funci´n est´ndar f : A ⊂ R −→ R es continua en un punto
                        o     a
est´ndar x0 ∈ A si y s´lo si para todo x ∈ A tal que x ≈ x0 se cumple que
   a                  o
f (x) ≈ f (x0 ).

    Demostracion: Si f es continua en x0 y > 0 es est´ndar, tomamos un
                   ´                                     a
δ > 0 tal que si x ∈ A cumple |x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| < . Si
x ∈ A cumple x ≈ x0 entonces |x − x0 | < δ (porque es infinitesimal), luego
|f (x) − f (x0 )| < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x0 ).
        ıprocamente, si f y x0 cumplen el enunciado, hemos de probar que
     Rec´

                            ( ∈R∧ >0→            δ · · ·),

           o                       ´                     a           a
donde la f´rmula que sigue tiene unicamente los par´metros (est´ndar) f y x0 .
                                                             a         ı,
Por el principio de transferencia podemos tomar > 0 est´ndar. As´ si tomamos
δ > 0 infinitesimal, tenemos ciertamente que si x ∈ A cumple |x − x0 | < δ
entonces x ≈ x0 , luego f (x) ≈ f (x0 ), luego |f (x) − f (x0 )| < .
2.2. Continuidad                                                              15

Ejemplo     La funci´n f (x) = x2 − 2x + 1 es continua en R.
                    o
    Por el principio de transferencia, basta probar que f es continua en un punto
   a
est´ndar arbitrario x. Ahora bien, si ξ es infinitesimal,

        f (x + ξ) = x2 + 2xξ + ξ 2 − 2x − 2ξ + 1 ≈ x2 − 2x + 1 = f (x).



                                 x
Ejemplo     La funci´n f (x) =
                    o                 es continua en R \ {±1}.
                               x2 − 1
    Como en el ejemplo anterior tomamos x = ±1 est´ndar y ξ infinitesimal.
                                                         a
As´ (x + ξ)2 ≈ x2 = 1, luego (x + ξ)2 − 1 es apreciable:
  ı

                                    x+ξ           x
                   f (x + ξ) =                ≈ 2   = f (x).
                                 (x + ξ)2 − 1  x −1



                      u                            o
Ejemplo Si µ es un n´mero natural infinito, la funci´n f (x) = µx es continua.
En general se prueba que

         f µ(f : R −→ R ∧ µ ∈ R ∧      x ∈ R f (x) = µx → f es continua).

    Para ello usamos el principio de transferencia y suponemos que f y µ son
   a                                                   a
est´ndar, con lo que es aplicable el teorema 2.8. M´s en general, podemos
          ı                 o                                      o
probar as´ que toda aplicaci´n lineal o todo polinomio es una funci´n continua.
                                             o
    Sin embargo f no cumple la caracterizaci´n del teorema 2.8 para x = 1, pues
tomando ξ = 1/µ tenemos que 1 ≈ 1 + ξ pero f (1 + ξ) = µ + 1 ≈ µ = f (1).



                 ´                                                        o
Nota En este ultimo ejemplo hemos visto que, aunque la caracterizaci´n dada
                    o       a                       a
por el teorema 2.8 s´lo es v´lida para funciones est´ndar, en realidad, combinada
con el principio de transferencia nos permite obtener resultados sobre funciones
arbitrarias. Veamos un ejemplo t´  ıpico:

                                  o
Teorema 2.9 Si f es una funci´n real continua en un punto x y g es una
funci´n real continua en f (x) entonces f ◦ g es continua en x.
     o

    Demostracion: Hemos de probar una afirmaci´n del tipo f gx(· · ·), donde
                 ´                                    o
los puntos suspensivos representan a la f´rmula interna que afirma que x ∈ R, f
                                         o
            o
es una funci´n continua en x, etc. Aplicando (tres veces) el principio de trans-
                                                 st
ferencia podemos cambiar el cuantificador por        f gx, es decir, podemos tomar
                 a                            a
dos funciones est´ndar f y g y un punto est´ndar x. Esto nos permite aplicar
el teorema 2.8: si y est´ en el dominio de f ◦ g y cumple y ≈ x, en particular
                        a
est´ en el dominio de f , por lo que f (y) ≈ f (x). La continuidad de g en f (x)
   a
nos da entonces que g(f (y)) ≈ g(f (x)).
16                                                 ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                                Cap´          a

         ıa                             a
    Podr´ objetarse que, aunque en la pr´ctica podamos trabajar con el teorema
2.8, en teor´ hemos necesitado la definici´n est´ndar − δ de continuidad para
            ıa                            o     a
               o
definir la noci´n de continuidad sobre funciones arbitrarias. No es as´ Si ı.
                                  o                                  a
queremos, podemos definir la noci´n de continuidad de forma no est´ndar sin
                             u                            o     a
necesidad de recurrir en ning´n momento a la caracterizaci´n est´ndar:

       o
Definici´n 2.10 Definimos el conjunto

            C = S {(f, x) ∈          RA × R |    A(f : A −→ R ∧ x ∈ A∧
                              A∈PR


                          y ∈ A(x ≈ y → f (x) ≈ f (y)))}.

    Diremos que una funci´n f : A −→ R es continua en un punto x ∈ A si y
                         o
s´lo si (f, x) ∈ C.
 o

                     o            o       a                                 a
    Con esta definici´n, una funci´n est´ndar f es continua en un punto est´ndar
x si y s´lo si cumple el teorema 2.8, si y s´lo si cumple la definici´n −δ. Puesto
        o                                   o                       o
que la continuidad en este sentido equivale a la continuidad − δ para funciones
   a                      a
est´ndar en puntos est´ndar, por el principio de transferencia la equivalencia
vale para toda funci´n en todo punto (el conjunto C tiene los mismos puntos
                      o
   a                         a                             o
est´ndar que el conjunto an´logo definido con la definici´n usual de continuidad).

             a
   En la pr´ctica no es necesario hacer este tipo de construcciones. Basta
                                       o                         ıcitamente un
saber que el principio de estandarizaci´n nos permite definir impl´
                                          e
concepto para conjuntos arbitrarios defini´ndolo expl´ıcitamente para el caso de
              a                     o
conjuntos est´ndar (y en la definici´n podemos usar conceptos externos).

   El teorema siguiente caracteriza la continuidad uniforme. Alternativamente
                                o         a
puede tomarse como una definici´n no est´ndar.

Teorema 2.11 Una funci´n est´ndar f : A ⊂ R −→ R es uniformemente
                         o     a
continua en A si y s´lo si para todo x, y ∈ A tales que x ≈ y, se cumple
                    o
f (x) ≈ f (y).

    Demostracion: Si f es uniformemente continua (en el sentido cl´sico),
                  ´                                                         a
tomamos x, y ∈ A tales que x ≈ y y hemos de ver que f (x) ≈ f (y). Sea
           a                                                      a
  > 0 est´ndar. Existe un δ > 0 (que podemos tomar est´ndar) tal que si
|x − y| < δ entonces |f (x) − f (y)| < . Ahora bien, |x − y| es infinitesimal, luego
ciertamente |x − y| < δ. Por lo tanto |f (x) − f (y)| < para todo est´ndar, a
luego f (x) ≈ f (y).

       ıprocamente, si f cumple la condici´n del enunciado, hemos de probar
    Rec´                                      o
que      δ · · ·, pero por el principio de estandarizaci´n podemos tomar > 0
                                                        o
est´ndar. Tomamos cualquier infinit´simo δ > 0, de modo que si x, y ∈ A
   a                                     e
cumplen |x − y| < δ entonces x ≈ y, luego f (x) ≈ f (y), luego |f (x) − f (y)| < .
2.2. Continuidad                                                               17

Ejemplo     La funci´n x2 no es uniformemente continua en R.
                    o
   En efecto, si x ∈ R y ξ es un infinit´simo, tenemos que
                                       e

                          f (x + ξ) − f (x) = 2xξ + ξ 2 ,

y esto no es infinitesimal, por ejemplo, si x = 1/ξ. (No obstante, si restringimos
                      ı                                                 a
f a [0, 1] entonces s´ que es uniformemente continua, pues si x est´ en este
                         ı
intervalo el incremento s´ que es infinitesimal.)


Ejemplo             o
            La funci´n 1/x no es uniformemente continua en ]0, 1].
   Si x, x + ξ ∈ ]0, 1] y ξ es infinitesimal, tenemos que

                                          1   1     −ξ
                   f (x + ξ) − f (x) =       − =
                                         x+ξ  x  (x + ξ)x

y esto no es infinitesimal si tomamos x = ξ > 0.


Ejemplo     La funci´n f (x) = 1/(x2 + 1) es uniformemente continua en R.
                    o
   Si x, y ∈ R cumplen x ≈ y, entonces x2 + 1 ≈ y 2 + 1 ≈ 0, luego f (x) ≈ f (y).



Ejemplo     La funci´n f : Q −→ R dada por
                    o
                                                  √
                            f (q) =      0 si q < √2,
                                         1 si q > 2,

es continua, pero no uniformemente continua.
   En efecto, si q ∈ Q es est´ndar y r ∈ Q cumple r ≈ q, entonces q y r son
                              a      √
ambos menores o ambos mayores que 2, luego f (q) = f (r).√
   Sin embargo, podemos tomar ξ1 , ξ2 ∈ Q tales que ξ1 < 2 < ξ2 , ξ1 ≈ ξ2 ,
con lo que f (ξ1 ) ≈ f (ξ2 ).

                                      o
Teorema 2.12 (Heine-Cantor) Toda funci´n continua en un intervalo [a, b]
es uniformemente continua.

                                       o
     Demostracion: Sea f una funci´n continua en [a, b]. Por transferencia
                    ´
                               a                       e        a
podemos suponer que f es est´ndar (con lo que tambi´n lo ser´n a y b). Si x,
y ∈ [a, b] cumplen x ≈ y, entonces x ≈ ∗ x = ∗ y ≈ y. Adem´s ∗ x ∈ [a, b], pues si
                                                          a
fuera, por ejemplo, ∗ x < a, tambi´n ser´ x < a.
                                  e     ıa
     Por la continuidad de f en el punto est´ndar ∗ x concluimos que f (x) ≈
                                              a
f (∗ x) = f (∗ y) ≈ f (y).
                             e        a                           a
    Veamos ahora una de las t´cnicas m´s potentes que aporta el an´lisis no
   a
est´ndar:
18                                             ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                            Cap´          a

Teorema 2.13 (Teorema de Bolzano) Si f : [a, b] −→ R es una funci´n             o
continua tal que f (a) < 0 y f (b) > 0 entonces existe a < c < b tal que f (c) = 0.

    Demostracion: Podemos suponer que f (y por consiguiente a y b) son
                 ´
   a                            o
est´ndar. Tomamos una partici´n infinitesimal de [a, b], por ejemplo la dada
por xi = a + i(b − a)/µ, donde µ es un n´mero natural infinito. As´
                                        u                        ı

                           a = x0 < x1 < · · · < xµ = b

y xi−1 ≈ xi para todo i = 1, . . . , µ.
    Sea i el menor ´ ındice tal que f (xi ) ≥ 0. Ciertamente i = 0, luego ha de ser
f (xi−1 ) < 0. Tenemos que c = ∗ xi ∈ [a, b], y como f es continua en c, ha de ser
f (xi−1 ) ≈ f (c) ≈ f (xi ). As´ f (c) es un n´mero est´ndar que est´ infinitamente
                               ı              u        a            a
cerca de un n´mero ≥ 0 y de un n´mero < 0. Esto s´lo es posible si f (c) = 0.
                u                       u                o




2.3     La topolog´ de R
                  ıa
                                        a
   Veamos las caracterizaciones no est´ndar de los principales conceptos to-
   o                                  o
pol´gicos. Conviene introducir la noci´n siguiente:

Definici´n 2.14 Si x ∈ R, se llama halo o m´nada de x al conjunto de todos
        o                                    o
     u
los n´meros reales infinitamente cercanos a x. Lo representaremos por h(x).

                             u
   Claramente el halo de un n´mero real x es un conjunto estrictamente externo,
                          ıamos definir ◦N = {n ∈ N | x + 1/n ∈ h(x)}.
pues si fuera interno podr´                                    /

Teorema 2.15 Un conjunto est´ndar A ⊂ R es un entorno de un punto est´n-
                                 a                                   a
dar x ∈ R si y s´lo si h(x) ⊂ A.
                o

                                                         u
    Demostracion: Si A es un entorno de x existe un n´mero real > 0 tal que
                 ´
]x − , x + [ ⊂ A, y por el principio de transferencia podemos tomar est´ndar.
                                                                       a
Es claro entonces que h(x) ⊂ ]x − , x + [ ⊂ A.
       ıprocamente, si h(x) ⊂ A tenemos que existe un infinit´simo > 0 tal
    Rec´                                                        e
que ]x − , x + [ ⊂ A, luego A es entorno de x.
                                               a                          a
    Este teorema caracteriza a los abiertos est´ndar, pues un conjunto est´ndar
                 o                                            a
es abierto si y s´lo si es un entorno de todos sus puntos (est´ndar).

Teorema 2.16 Un punto est´ndar x ∈ R es un punto adherente de un conjunto
                             a
est´ndar A ⊂ R si y s´lo si existe un y ∈ A tal que x ≈ y.
   a                 o

    Demostracion: Si x es un punto adherente de A entonces todo entorno de
                 ´
x corta a A. Tomamos un infinit´simo > 0 y un y ∈ A ∩ ]x − , x + [.
                                 e
    Rec´                                    o
        ıprocamente, si se cumple la condici´n del enunciado, hemos de probar
que para todo > 0 la intersecci´n A ∩ ]x − , x + [ es no vac´ Por trans-
                                   o                            ıa.
                               a                                o
ferencia podemos suponer est´ndar, pero entonces la intersecci´n contiene al
conjunto y del enunciado.
2.3. La topolog´ de R
               ıa                                                             19

Teorema 2.17 Un subconjunto est´ndar de R es cerrado si y s´lo si contiene
                                   a                       o
              a
a la parte est´ndar de cada uno de sus elementos finitos.
    Demostracion: Si A ⊂ R es cerrado y x ∈ A es finito, entonces ∗ x est´
                 ´                                                          a
                                                      a          ıprocamente,
en la clausura de A por el teorema anterior, luego est´ en A. Rec´
                      o                                                  a
si A cumple la condici´n del enunciado y x es un punto de adherente est´ndar
de A, por el teorema anterior existe un y ∈ A tal que x ≈ y, luego y es finito
y su parte est´ndar es x. Por hip´tesis x ∈ A. As´ pues, A contiene a todos
              a                   o                 ı
                         a                                e             a
sus puntos adherentes est´ndar, y por transferencia tambi´n a los no est´ndar.
Esto quiere decir que A es cerrado.

Teorema 2.18 R es conexo.
    Demostracion: Si R = A ∪ B, donde A y B son cerrados disjuntos no
                 ´
vac´ podemos suponer que A y B son est´ndar. Tomemos a ∈ A y b ∈ B
   ıos,                                     a
est´ndar Sea a = x0 < x1 < · · · xµ = b un subconjunto finito de [a, b] que
   a
contenga a todos los n´meros est´ndar. Tiene que haber un i tal que xi ∈ A y
                      u          a
xi+1 ∈ B o viceversa. Ahora bien x = ∗ xi = ∗ xi+1 es un punto adherente de A
              a
y B, luego est´ en ambos (notemos que si xi no estuviera infinitamente cerca
de xi+1 entonces la parte est´ndar de su punto medio no estar´ en el conjunto
                             a                                ıa
                                     o
finito que hemos tomado, contradicci´n).

Teorema 2.19 Un conjunto est´ndar A ⊂ R es relativamente compacto si y
                                  a
 o                                                        a
s´lo si todos sus puntos son finitos, y es compacto si adem´s contiene a la parte
   a
est´ndar de cada uno de sus puntos.
                                                                  o
    Demostracion: La compacidad relativa equivale a la acotaci´n. Si A est´
                 ´                                                            a
                                                     a
acotado entonces por transferencia tiene una cota est´ndar, luego sus elementos
                                                              a
son finitos. Si los elementos de A son finitos entonces A est´ acotado por un
 u
n´mero infinito cualquiera.
    Si A es compacto, entonces es cerrado, por lo que, dado x ∈ A, la parte
est´ndar ∗ x es adherente a A, luego est´ en A. Rec´
   a                                     a            ıprocamente, si A cumple
esta propiedad, para probar que A es cerrado basta ver que todo punto adherente
est´ndar x de A est´ en A. Que sea adherente quiere decir que existe y ∈ A tal
   a                a
que x ≈ y, pero entonces x = ∗ y ∈ A.
                                   a
   Veamos un ejemplo del uso no est´ndar de la compacidad:
Teorema 2.20 Si f : A ⊂ R −→ R es continua y A es compacto, entonces f
            a           ınimo.
alcanza su m´ximo y su m´
    Demostracion: Podemos suponer que f (y por lo tanto A) es est´ndar.
                  ´                                                        a
Sea x0 < x1 < · · · < xµ un subconjunto finito de A que contenga a todos sus
              a
elementos est´ndar. Sea i el ´ ındice en el que f (xi ) toma el valor m´ximo. Por
                                                                       a
compacidad c = ∗ xi ∈ A. Veamos que M = f (c) es el m´ximo de f .
                                                           a
    Hemos de ver que x ∈ A f (x) ≤ M , pero por transferencia podemos tomar
x ∈ A est´ndar. Entonces x = xj para cierto j, luego f (x) ≤ f (xi ) ≈ M . Como
          a
f (x) es est´ndar ha de ser f (x) ≤ M .
            a
20                                              ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                             Cap´          a

Teorema 2.21 Una sucesi´n est´ndar {xn }n de n´meros reales converge a un
                           o      a                 u
n´mero est´ndar l ∈ R si y s´lo si para todo natural infinito µ se cumple xµ ≈ l.
 u        a                 o
                                   o                        a
   Demostracion: Si la sucesi´n converge y > 0 es est´ndar, existe un n0
                    ´
(que podemos tomar est´ndar) tal que para todo n ≥ n0 se cumple |xn − l| < .
                           a
En particular, si µ es infinito tenemos que |xµ − l| < , luego xµ ≈ l.
   Rec´                           o
         ıprocamente, si la sucesi´n cumple el enunciado, hemos de probar que
     δ · · · Por transferencia podemos tomar > 0 est´ndar. Ahora basta elegir
                                                      a
un natural infinito µ0 y se cumple que para todo n ≥ µ0 tenemos |xn − l| < .

   Es inmediato comprobar que el l´           ´        ı              ımite de la
                                     ımite es unico, as´ como que el l´
                        ımites, etc.
suma es la suma de los l´

Ejemplo      Si x ≥ 0 entonces l´ xn /n! = 0.
                                ım
                                n
                                a                  u
    Podemos suponer que x es est´ndar. Si µ es un n´mero natural infinito y n
es el menor natural mayor que x, entonces
                                      µ−1
                           xµ   xn           x x
                              =               · ≈ 0.
                           µ!   n!           k µ
                                     k=n+1

                                                     a                      e
   En efecto, el primer factor es finito porque es est´ndar, el segundo tambi´n
                  e
porque todos los t´rminos son menores que 1 y el tercero es infinitesimal.

Teorema 2.22 Un n´mero est´ndar x ∈ R es un punto de acumulaci´n de una
                     u          a                                      o
sucesi´n est´ndar {xn } si y s´lo si existe un natural infinito µ tal que xµ ≈ x.
      o     a                 o
                                                    o
    Demostracion: Si x es un punto de acumulaci´n, fijado > 0 infinitesimal
                 ´
y ν infinito, ha de existir µ ≥ ν tal que |xµ − x| < , con lo que xµ ≈ x.
       ıprocamente, si xµ ≈ x, entonces para todo > 0 (que podemos suponer
    Rec´
   a
est´ndar) y para todo natural n (que podemos suponer finito) existe un natural
µ ≥ n tal que |xµ − x| < , luego x es un punto de acumulaci´n.o
                                     o                                     o
     Ahora es trivial que toda sucesi´n acotada tiene un punto de acumulaci´n.
Teorema 2.23 Una sucesi´n est´ndar {xn } de n´meros reales de de Cauchy
                             o      a                u
si y s´lo si para todos los naturales infinitos µ y ν se cumple que xµ ≈ xν .
      o
                                                o
    Demostracion: Supongamos que la sucesi´n es de Cauchy. Dados µ y
                  ´
                  a
ν, sea > 0 est´ndar. Entonces existe un natural m0 , que podemos tomar
est´ndar, de modo que si m, n ≥ m0 se cumple |xm − xn | < . En particular
   a
|xµ − xν | < , luego xµ ≈ xν .
       ıprocamente, para probar que la sucesi´n es de Cauchy tomamos > 0
    Rec´                                     o
est´ndar y µ infinito, de modo que si m, n ≥ µ se cumple |xm − xn | < (porque
   a
es infinitesimal).
   Es claro que si una sucesi´n de Cauchy {xn } tiene un punto de acumulaci´n
                             o                                             o
x entonces converge a x: podemos tomarlo todo est´ndar y si xµ ≈ x, entonces
                                                   a
para todo ν infinito se cumple xν ≈ xµ ≈ x.
2.3. La topolog´ de R
               ıa                                                                            21

                       o      u                                  o
Teorema 2.24 Una sucesi´n de n´meros reales es convergente si y s´lo si es
de Cauchy.

                                o
   Demostracion: Toda sucesi´n convergente es trivialmente de Cauchy. Su-
                ´
pongamos que {xn } es de Cauchy (podemos tomarla est´ndar). Tomemos un
                                                     a
 u
n´mero natural infinito µ. El conjunto

                                       {n ∈ N | |xn − xµ | ≤ 1}

                      u
contiene todos los n´meros naturales infinitos, pero no puede contenerlos s´loo
a ellos, pues entonces ◦N ser´ interno. As´ pues, existe un n ∈ N est´ndar tal
                               ıa           ı                          a
que |xn − xµ | ≤ 1. Esto implica que xµ es finito, luego tiene una parte est´ndar
                                                                           a
l = ∗ xµ . Por lo tanto l es un punto de acumulaci´n y la sucesi´n converge a l.
                                                   o            o



Teorema 2.25 La serie
                                                      ∞  xn
                                              ex =
                                                     n=0 n!

converge en todo R.

   Demostracion: Fijamos x ∈ R est´ndar y vamos a ver que la serie es de
                  ´                      a
                                   u
Cauchy. Para ello tomamos dos n´meros naturales infinitos µ < ν y hemos de
probar que la diferencia de las sumas parciales correspondientes es infinitesimal.
         ν                    ν                       ν
            xn                |x|n   |x|µ                |x|n−µ
                     ≤             =
        n=µ
            n!            n=µ
                               n!     µ!             n=µ
                                                          n!/µ!
                                       ν
                          |x|µ                                  |x|µ 1 − (|x|/µ)ν−µ+1
                     ≤                      (|x|/µ)n−µ =                              ≈ 0.
                           µ!      n=µ
                                                                 µ!      1 − |x|/µ

       ı
    Aqu´ usamos que el segundo factor es claramente finito y el primero es infi-
nitesimal, como hemos visto en un ejemplo anterior.
             o                      o                  a
   La ecuaci´n funcional de la funci´n exponencial es f´cil de probar (notemos
que todas las manipulaciones son con sumas finitas, por lo que no necesitamos
    u
ning´n teorema sobre intercambio de sumatorios, etc.)
   Fijemos x, y ∈ R est´ndar y µ un n´mero natural infinito. Entonces
                       a               u
                          µ             µ            2µ   n
                                  xi         yj                     1
             ex ey   ≈                          =                          xk y n−k
                         i=0
                                  i!   j=0
                                             j!   n=0
                                                                k!(n − k)!
                                                          k=0
                         2µ             n                         2µ
                             1                n k n−k       (x + y)n
                     =                          x y   =              ≈ ex+y .
                         n=0
                             n!               k         n=0
                                                               n!
                                       k=0

   Como el primer y el ultimo t´rmino son est´ndar, tenemos ex+y = ex ey .
                       ´       e             a
22                                              ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                             Cap´          a

    Para demostrar la continuidad de la exponencial basta ver que si ξ es in-
finitesimal entonces eξ ≈ 1, pues entonces ex+ξ = ex eξ ≈ ex . Como ξ no es
   a                                                                   a
est´ndar, no podemos evaluar la serie en ξ. En su lugar tomamos x est´ndar
con |x| < 1. As´
               ı
                         µ          µ
                            xn              |x| − |x|µ+1     |x|
           |ex − 1| ≈          <     |x|n =              ≈         .
                        n=1
                            n!   n=1
                                               1 − |x|     1 − |x|

   Por lo tanto |ex − 1| < |x|/(1 − |x|) para todo x est´ndar con |x| < 1. Por
                                                        a
                                              e
transferencia vale para incluso para un infinit´simo ξ, con lo que

                                            |ξ|
                             |eξ − 1| <           ≈ 0,
                                          1 − |ξ|

luego eξ ≈ 1, como hab´ que probar.
                      ıa
                  ı                                             e
   A partir de aqu´ supondremos conocidas las funciones trigonom´tricas, que
                  a
pueden tratarse an´logamente.
                            o             o
   Para estudiar la derivaci´n en la secci´n siguiente caracterizamos ahora el
             ımite de una funci´n.
concepto de l´                 o

Teorema 2.26 Una funci´n est´ndar f : ]a, b[ \ {x} −→ R tiene l´
                          o     a                                 ımite l en el
punto est´ndar x si para todo infinit´simo ξ se cumple f (x + ξ) ≈ l.
         a                          e

   Demostracion: Si existe el l´
                ´                                             a
                                  ımite, para todo > 0 est´ndar existe un
δ > 0 est´ndar tal que si |y − x| < δ entonces |f (y) − l| < . En particular,
         a
tomando y = x + ξ tenemos que |f (x + ξ) − l| < , luego f (x + ξ) ≈ l.
    Rec´                                    o                            a
        ıprocamente, si se cumple la condici´n del enunciado y > 0 es est´ndar,
tomando cualquier δ > 0 infinitesimal tenemos que si |y − x| < δ entonces
|f (y) − l| < , luego se cumple la definici´n de l´
                                           o                           a
                                                   ımite para todo est´ndar y,
por transferencia, para todo .


Ejemplo    Se cumple que
                                    ex − 1
                                 ım
                                l´         = 1.
                                x→0    x

   En efecto, hemos de probar que si ξ es un infinit´simo entonces (eξ −1)/ξ ≈ 1.
                                                   e
Tomamos primero un x est´ndar tal que 0 < |x| < 1. Entonces, para todo
                            a
natural infinito µ, se cumple

                                    x    x2         xµ
                         ex ≈ 1 +      +    + ··· +    ,
                                    1!   2!         µ!

    ı                       a
y as´ (usando que 1/x es est´ndar, luego finito)

                         ex − 1     x          xµ−1
                                −1≈    + ··· +      .
                            x       2!          µ!
2.4. Derivadas                                                                 23

   Por consiguiente

           ex − 1                               |x| − |x|µ−1     |x|
                  − 1 ≈< |x| + · · · + |x|µ−2 =              ≈
              x                                    1 − |x|     1 − |x|

                            a
y, como los extremos son est´ndar, tenemos la desigualdad

                               ex − 1        |x|
                                      −1 <         .
                                  x        1 − |x|

    En principio vale para todo x est´ndar tal que 0 < |x| < 1, pero por trans-
                                       a
                                    e
ferencia vale incluso para el infinit´simo ξ, es decir,

                             eξ − 1        |ξ|
                                    −1 <         ≈ 0.
                                ξ        1 − |ξ|




2.4     Derivadas
       u     ´                          o
   Seg´n el ultimo teorema de la secci´n anterior es evidente la siguiente ca-
           o        a
racterizaci´n no est´ndar de la derivabilidad:

Teorema 2.27 Una funci´n est´ndar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto
                            o      a
                               u         a
x de su dominio si existe un n´mero est´ndar f (x) tal que para todo infinit´simo
                                                                           e
ξ se cumple
                             f (x + ξ) − f (x)
                                               ≈ f (x).
                                     ξ

       a
    Est´ claro que f (x) en el sentido del teorema anterior es la derivada en
                               o
el sentido usual. De la condici´n del teorema se desprende la unicidad por la
                        a
unicidad de la parte est´ndar. Si f es derivable en todo su dominio podemos
                  o
hablar de la funci´n derivada f .


Ejemplo    Calculemos la derivada de f (x) = 1/x.

   Si x ∈ R \ {0} es est´ndar y ξ es un infinit´simo,
                        a                     e

       f (x + ξ) − f (x)
                              1
                             x+ξ   −   1
                                       x            ξ           1         1
                         =                 =−             =−          ≈ − 2.
               ξ                   ξ            ξ(x + ξ)x    (x + ξ)x    x

   As´ pues, f (x) = −1/x2 .
     ı
24                                               ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                              Cap´          a

Ejemplo      La derivada de ex es ex .
                      e
     Si ξ es un infinit´simo, tenemos que

                            ex+ξ − ex      eξ − 1
                                      = ex        ≈ ex ,
                                ξ             ξ

       ´                         o
por el ultimo ejemplo de la secci´n anterior.

                                a                           o
Ejercicio: Dar pruebas no est´ndar de las reglas de derivaci´n de la suma, el producto,
el cociente y la regla de la cadena.


                       o
Teorema 2.28 Toda funci´n derivable en un punto es continua en dicho punto.

                                           o  a                     a
   Demostracion: Podemos tomar una funci´n est´ndar f y un punto est´n-
                ´
                       e
dar x. Para todo infinit´simo ξ tenemos que

                              f (x + ξ) − f (x)
                                                ≈ f (x),
                                      ξ

luego f (x + ξ) − f (x) ≈ ξf (x) ≈ 0, lo que prueba la continuidad.


                             o
Teorema 2.29 Si una funci´n f es derivable en un punto x y tiene un extremo
local en x, entonces f (x) = 0.

                                                          a
    Demostracion: Podemos suponer que f y x son est´ndar. Si, por ejemplo,
                   ´
            a                                                  a
x es un m´ximo local de f , entonces existe un > 0 (est´ndar) tal que si
|x − y| < entonces f (x) ≥ f (y). En particular si ξ es infinitesimal entonces
f (x) ≥ f (x + ξ). Por otra parte, si fuera f (x) > 0 tendr´
                                                           ıamos que

                                f (x + ξ) − f (x)
                                                  > 0,
                                        ξ

luego si ξ > 0 es f (x + ξ) − f (x) > 0 y f (x + ξ) > f (x). Si f (x) < 0 llegamos
                  o                              e
a una contradicci´n similar tomando un infinit´simo negativo.
           ı                                               o
    De aqu´ se deduce el teorema de Rolle: si una funci´n es continua en un
intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto y cumple f (a) = f (b), entonces
                                        a
por continuidad ha de alcanzar un m´ximo local en el interior, con lo que su
                                         ı
derivada se anula. A su vez de aqu´ se deduce el teorema del valor medio
mediante un razonamiento puramente “algebraico” (aplicando el teorema de
                o
Rolle a la funci´n adecuada). No detallamos las pruebas porque ser´ las    ıan
  a
cl´sicas.
                         o
    Terminamos la secci´n con un ejemplo —debido a Bolzano— de funci´n    o
                               u
continua no derivable en ning´n punto. Vamos a necesitar este refinamiento de
                o
la caracterizaci´n de la derivabilidad:
2.4. Derivadas                                                                 25

Teorema 2.30 Una funci´n est´ndar f : ]a, b[ −→ R es derivable en un punto
                             o      a
est´ndar p ∈ ]a, b[ si y s´lo si existe un n´mero est´ndar f (p) tal que para todo
   a                      o                 u        a
par de n´meros reales tales que x ≤ p ≤ y, x ≈ y, x = y, se cumple
        u
                              f (y) − f (x)
                                            ≈ f (p).
                                  y−x
                                              o
   Demostracion: Si se cumple esta condici´n, tomando x = p tenemos 2.27.
                ´
   ıprocamente, si f es derivable en p existen infinit´simos ξ1 y ξ2 tales que
Rec´                                                 e
                  f (y) − f (p) = f (p)(y − p) + (y − p)ξ1 ,
                  f (p) − f (x) = f (p)(p − x) + (p − x)ξ2 .
   Sumando y dividiendo entre y − x queda
              f (y) − f (x)           y−p      p−x
                            = f (p) +     ξ1 +     ξ2 ≈ f (p),
                  y−x                 y−x      y−x
pues las fracciones del segundo miembro son menores que 1.
   Consideremos ahora la funci´n φ : R −→ R dada por la figura siguiente y
                               o
extendida peri´dicamente a R. Es claro que φ es continua en R y es derivable en
              o
todo R excepto en los n´meros enteros. Adem´s, en todo punto existe φ + (x) =
                       u                     a
±1.

                    1
                                                      φ




                     0                   1                      2
    Para cada natural n definimos φn (x) = 21 φ(2n x). La figura siguiente mues-
                                             n

          a
tra las gr´ficas de estas funciones para los primeros valores de n:

                    1
                                                   φ0

                                                           φ1

                                                                φ2
                     0                   1                      2
   Es f´cil ver que φn es continua en R y es derivable en todo R menos en los
       a
puntos de la forma k/2n , con k ∈ Z, y en cualquier punto existe φn (x) = ±1.
Definimos f : R −→ R como la funci´n dada por
                                    o
                                             ∞
                               f (x) =           φn (x).
                                         n=0
26                                                      ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                                     Cap´          a

                           o
    El criterio de mayoraci´n de Weierstrass implica que la serie converge uni-
formemente en R, por lo que la suma f es una funci´n continua. (En el cap´
                                                   o                      ıtulo
                                 o       a
siguiente daremos una demostraci´n no est´ndar de estos resultados.) Llamemos
                                                 m
                                     fm (x) =          φn (x).
                                                 n=0

    Es claro que si n > m y k ∈ Z entonces φn (k/2m ) = 0, luego f (k/2m ) =
fm (k/2m ).
                                                                  a
  Supongamos que f es derivable en un punto p (podemos tomarlo est´ndar).
Tomemos un n´mero natural infinito µ y sea ν ∈ Z tal que
            u
                                       ν      ν+1
                                  x=      ≤p<     = y.
                                       2µ      2µ
     Claramente x ≈ y, luego por el teorema anterior
                            f (y) − f (x)   fµ (y) − fµ (x)
                 f (p) ≈                  =                 = fµ+ (p).
                                y−x              y−x
          ´
   En el ultimo paso hemos usado que fµ es lineal en el intervalo [x, y]. Ahora
                           u
bien, esto vale para todo n´mero natural infinito µ, en particular para µ + 1,
con lo que

               fµ+ (p) ≈ fµ+1 (p) = fµ+ (p) + φµ+1 (p) = fµ+ (p) ± 1,
                           +                   +


                                                              u
lo cual es absurdo. Por consiguiente f no es derivable en ning´n punto.


2.5      La integral de Riemann
                                a                                    o    a
   Recordemos los conceptos b´sicos que intervienen en la definici´n cl´sica
                                        o
de la integral de Riemann: Una partici´n de un intervalo [a, b] es un conjunto
finito P = {a = x0 < · · · < xn = b}. Para una partici´n dada, definimos
                                                           o
∆xi = xi − xi−1 . La norma de P es el m´ximo P de las longitudes ∆xi .
                                          a
   Si f : [a, b] −→ R es una funci´n acotada, se definen las sumas de Riemann
                                  o
                            o
de f respecto de una partici´n P como
                           n                                      n
              s(f, P ) =         mi (f ) ∆xi ,       S(f, P ) =         Mi (f ) ∆xi ,
                           i=1                                    i=1

donde mi (f ) y Mi (f ) son, respectivamente, el ´
                                                 ınfimo y el supremo de f en el
intervalo [xi−1 , xi ]. Una partici´n P es un refinamiento de una partici´n P si
                                   o                                    o
P ⊂ P . El teorema b´sico para definir la integral es el siguiente:
                         a

Teorema 2.31 Si f : [a, b] −→ R es una funci´n acotada, P es una partici´n
                                               o                        o
de [a, b] y P es un refinamiento de P , entonces

                     s(f, P ) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ s(f, P ).
2.5. La integral de Riemann                                                    27

    Demostracion: La prueba es bien conocida, pero necesitamos una pre-
                 ´
    o
cisi´n que no suele hacerse. Supongamos que P resulta de a˜adir un unico
                                                               n          ´
punto y a P , de modo que xi−1 < y < xi . Entonces las sumas s(f, P ) y s(f, P )
               ´
se diferencian unicamente en que donde la primera tiene

             mi (f )(xi − xi−1 ) = mi (f )(xi − y) + mi (f )(y − xi−1 ),

la segunda tiene
                                     m1 (xi − y) + m2 (y − xi−1 ),
donde m1 y m2 son los ´ ınfimos de f en los intervalos [xi−1 , y] e [y, xi ], res-
pectivamente. Es claro que mi (f ) ≤ m1 , y mi (f ) ≤ m2 , de donde se sigue la
desigualdad del enunciado. Pero podemos decir m´s: a

s(f, P ) − s(f, P ) ≤ (m1 − mi (f ))(xi − y) + (m2 − mi (f ))(y − xi−1 ) ≤ 2K P ,

donde K es una cota de |f |.
   En general, si P y P se diferencian en n puntos tenemos la misma desigual-
          a
dad y adem´s
                        s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nK P
    ı                                                                  o
(aqu´ usamos que las normas de los sucesivos refinamientos de la partici´n son
cada vez menores, por lo que podemos acotarlas por P ).
   Similarmente sucede con las sumas superiores. La desigualdad central del
enunciado es obvia.
     ı
   As´ podemos definir las integrales de Darboux
                                           b           −b
                                           f (x) dx,    f (x) dx,
                                      −a               a


                                             ınfimo de las sumas superiores
como el supremo de las sumas inferiores y el ´
respectivamente. Ahora demostramos:

Teorema 2.32 Si f : [a, b] −→ R es una funci´n est´ndar acotada y P es una
                                                 o     a
       o
partici´n infinitesimal de [a, b] (es decir, de norma infinitesimal), entonces
                        b                              −b
                        f (x) dx ≈ s(f, P ),            f (x) dx ≈ S(f, P ).
                   −a                                  a


                           a                                 o     a
  Demostracion: Sea > 0 est´ndar. Entonces existe una partici´n est´ndar
                  ´
P de [a, b] tal que
                                           b
                          f (x) dx − < s(f, P ).
                       −a
   Sea P = P ∪ P , de modo que
                                 b
                                 f (x) dx − < s(f, P ) ≤ s(f, P ).
                            −a
28                                                      ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                                     Cap´          a

   Ahora bien, viendo a P                                                  o
                                   como refinamiento de P , en la demostraci´n de
2.31 hemos visto que

                         0 ≤ s(f, P ) − s(f, P ) ≤ 2nK P ,

               u                  n
donde n es el n´mero de puntos a˜adidos a P para formar P (que es est´ndar),
                                                                     a
                                       ı
luego la diferencia es infinitesimal. As´ pues
                          b                                      b
                          f (x) dx − < s(f, P ) ≤                f (x) dx,
                     −a                                     −a
                           a                              o
y esto para todo > 0 est´ndar. Esto prueba la aproximaci´n del enunciado.
                                                  e
El caso de las sumas e integrales superiores es id´ntico.
                                                       o
   Como consecuencia tenemos la siguiente caracterizaci´n de la integrabilidad
Riemann:

Teorema 2.33 Sea f : [a, b] −→ R una funci´n est´ndar acotada y sea P una
                                                  o     a
       o
partici´n infinitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y
s´lo si s(f, P ) ≈ S(f, P ). En tal caso la parte est´ndar de este valor no depende
 o                                                   a
de P y es la integral
                                               b
                                               f (x) dx.
                                           a

                                                                o
   Demostracion: Por el teorema anterior, si se da la aproximaci´n indicada
             ´
entonces
                           b         −b
                           f (x) dx ≈ f (x) dx,
                        −a           a

                    a
y como ambas son est´ndar han de ser iguales.
      ıprocamente, si la funci´n es integrable entonces
   Rec´                       o

                              b                b            −b
            s(f, P ) ≈        f (x) dx =       f (x) dx =    f (x) dx ≈ S(f, P ).
                         −a                a                a




         a                                 o
    Lo m´s destacable de esta caracterizaci´n es que para determinar si una
     o                                                   o
funci´n es integrable podemos fijar de antemano la partici´n. Veamos algunas
aplicaciones:

                       o
Teorema 2.34 Toda funci´n continua en un intervalo [a, b] es integrable Rie-
mann.

    Demostracion: Podemos tomar una funci´n est´ndar f : [a, b] −→ R.
                ´                               o     a
Fijamos una partici´n infinitesimal P , de modo que xi−1 ≈ xi para todo ´
                   o                                                      ındice
                                          a
i. Teniendo en cuenta que f alcanza su m´ximo y su m´   ınimo en [xi−1 , xi ], as´
                                                                                 ı
2.5. La integral de Riemann                                                                             29

como que f es uniformemente continua, concluimos que mi (f ) ≈ Mi (f ). Si
llamamos δ al m´ximo de los n´meros Mi (f ) − mi (f ) tenemos que
               a             u
                                 µ                                          µ
    S(f, P ) − s(f, P ) =             (Mi (f ) − mi (f ))∆xi ≤ δ                  ∆xi = δ(b − a) ≈ 0.
                                i=1                                         i=1




                       o     o
Teorema 2.35 Toda funci´n mon´tona en un intervalo [a, b] es integrable Rie-
mann.

                                                 a            o
    Demostracion: Podemos suponer que f es est´ndar y mon´tona creciente.
                 ´
                   o
Tomamos una partici´n infinitesimal P de [a, b] en intervalos de la misma lon-
gitud, es decir,
                             (b − a)
                   xi = a +          i,   i = 0, . . . , µ.
                                µ
     ı,
   As´
                                     µ
     S(f, P ) − s(f, P ) =               (f (xi ) − f (xi−1 ))∆x = (f (b) − f (a))∆x ≈ 0.
                                  i=1



   En lugar de trabajar con sumas superiores e inferiores, podemos considerar
sumas respecto a selecciones de puntos:

Teorema 2.36 Sea f : [a, b] −→ R una funci´n est´ndar y acotada y sea P una
                                              o     a
       o
partici´n infinitesimal de [a, b]. Entonces f es integrable Riemann con integral
igual a un n´mero est´ndar I si y s´lo si para toda selecci´n yi ∈ [xi−1 , xi ] se
             u        a              o                      o
cumple que
                                             µ
                                                  f (yi )∆xi ≈ I.
                                            i=1

   Demostracion: Es claro que
             ´
                                                 µ
                               s(f, P ) ≤            f (yi )∆xi ≤ S(f, P ),
                                              i=1

                                     a                                      ıproca-
luego si f es integrable la suma est´ infinitamente cerca de la integral. Rec´
                                          a                   o
mente, si dos sumas cualesquiera est´n infinitamente pr´ximas entre s´ fi-      ı,
jamos un infinit´simo ξ, con lo que existen puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que
                   e
mi (f ) ≤ f (yi ) ≤ mi (f ) + ξ. Entonces
                       µ                                       µ
          s(f, P ) ≤         f (yi )∆xi ≤ s(f, P ) +                ξ∆xi = s(f, P ) + ξ(b − a)
                       i=1                                    i=1

   Por consiguiente,
                                                        µ
                                         s(f, P ) ≈          f (yi )∆xi .
                                                       i=1
30                                                                                     ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                                                                    Cap´          a

     Similarmente encontramos otra selecci´n {zi } tal que
                                          o
                                                                           µ
                                                      S(f, P ) ≈                   f (zi )∆xi .
                                                                           i=1

                                                        a             o
   Como estamos suponiendo que todas estas sumas est´n infinitamente pr´ximas,
concluimos que s(f, P ) ≈ S(f, P ), luego f es integrable.


Ejemplo                    a                         o      o
                       Es f´cil demostrar por inducci´n la f´rmula
                                                     µ            µ(µ + 1)(2µ + 1)
                                                           i2 =                    .
                                                     i=1                 6
     Con ella podemos calcular
                                                                       1
                                                                           x2 dx.
                                                                   0
                               o
   Para ello tomamos la partici´n xi = i/µ, para i = 0, . . . , µ, donde µ es un
 u
n´mero natural infinito y aplicamos el teorema anterior:
                 1             µ     i        2      1   1 µ    1                               1              1             2  1
                     x2 dx ≈                           = 3 i2 =                         1+              2+               ≈     = .
             0                 i=1   µ               µ  µ i=1   6                               µ              µ             6  3


                                                             a
   Las propiedades elementales de la integral se demuestran f´cilmente. Veamos
       ıtulo de ejemplo:
dos a t´

Teorema 2.37 Sea f : [a, b] −→ R una funci´n continua y g : [c, d] −→ [a, b]
                                               o
         o
una funci´n biyectiva, continua, derivable en ]c, d[ y con derivada positiva. En-
tonces
                                                 b                             d
                                                     f (x) dx =                    f (g(t))g (t) dt.
                                             a                             c

                                    o
    Demostracion: Las hip´tesis sobre g implican que es estrictamente cre-
                  ´
ciente. Por lo tanto, si {ti }µ es una partici´n infinitesimal de [c, d] y hacemos
                                 i=0              o
xi = g(ti ) entonces {xi }µ es una partici´n de [a, b], tambi´n infinitesimal por-
                             i=0              o                  e
que g es (uniformemente) continua. Por el teorema del valor medio existe una
selecci´n ui ∈ ]ti−1 , ti [ tal que ∆xi = g (ui )∆ti . Por lo tanto
       o
         b                     µ                                   µ                                               d
             f (x) dx ≈            f (g(ui ))∆xi =                        f (g(ui ))g (ui )∆ti ≈                       f (g(t))g (t) dt.
     a                     i=1                                    i=1                                          c

                                  a
     Como los dos extremos son est´ndar, se tiene la igualdad.

Teorema 2.38 Sean a < c < b n´meros reales y f : [a, b] −→ R una funci´n
                                  u                                               o
                                                  o
acotada. Entonces f es integrable en [a, b] si y s´lo si lo es en [a, c] y en [c, b],
y en tal caso
                                         b                            c                         b
                                             f (x) dx =                   f (x) dx +                f (x) dx
                                     a                            a                         c
2.5. La integral de Riemann                                                                           31

                                                                  a
   Demostracion: Podemos suponer que f , a, b y c son est´ndar. Fijemos
                 ´
una partici´n infinitesimal P de [a, b] que contenga a c, de modo que P = P1 ∪P2 ,
           o
                        o                                o
donde P1 es una partici´n de [a, c] y P2 es una partici´n de [c, b]. Claramente

        S(f, P ) − s(f, P ) = [S(f, P1 ) − s(f, P1 )] + [S(f, P2 ) − s(f, P2 )],

           e
donde los t´rminos entre corchetes son mayores o iguales que 0. Es claro entonces
                                  o
que la suma es infinitesimal si y s´lo si lo es cada sumando.
                         o                 o            o
   Veamos ahora la relaci´n entre integraci´n y derivaci´n. En primer lugar:

Teorema 2.39 (Regla de Barrow) Sea f : [a, b] −→ R una funci´n continua
                                                                      o
en [a, b] y derivable en el intervalo abierto. Si f es integrable Riemann en [a, b]
entonces
                                          b
                                              f (x) dx = f (b) − f (a).
                                      a

                                                      a
    Demostracion: Podemos suponer que f es est´ndar. Fijamos una par-
                 ´
    o
tici´n infinitesimal y aplicamos el teorema del valor medio a cada intervalo, de
modo que encontramos puntos yi ∈ [xi−1 , xi ] tales que

                             f (xi ) − f (xi−1 ) = f (yi )(xi − xi−1 ).

   Entonces
            b                 µ                         µ
                f (x) dx ≈         f (yi )∆xi =              (f (xi ) − f (xi−1 )) = f (b) − f (a).
        a                    i=1                       i=1

                       ´       e             a
   Como el primer y el ultimo t´rmino son est´ndar, de hecho se tiene la igual-
dad.

Teorema 2.40 Si f : [a, b] −→ R es una funci´n continua, entonces la funci´n
                                            o                             o
                                                                x
                                              F (x) =               f (t) dt
                                                            a

es derivable en ]a, b[ y F = f .

                                             a
   Demostracion: Podemos suponer que f es est´ndar. Si a < x < x + h < b
                ´
            a
con x, h est´ndar, entonces
                                                    x+h
                     h     ınf
                           ´         f (t) ≤                f (t) dt ≤ h         sup       f (t)
                         t∈[x,x+h]                 x                           t∈[x,x+h]

                                                                  e
    Por transferencia, lo mismo vale si cambiamos h por un infinit´simo ξ > 0.
                                                        ınfimo de f en [x, x+ξ]
La continuidad (uniforme) de f hace que el supremo y el ´
   e                 o
est´ infinitamente pr´ximo a f (x), luego

                                      F (x + ξ) − F (x)
                                                        ≈ f (x).
                                              ξ
32                                             ıtulo 2. An´lisis de una variable
                                            Cap´          a

                       a
   Si ξ < 0 se llega an´logamente al mismo resultado. Por lo tanto existe
F (x) = f (x).
                                                              o
    Finalmente demostramos un teorema de existencia de soluci´n de ecuaciones
diferenciales. de la forma x = f (x, t). Supondremos que f est´ definida en R2
                                                              a
                         e                                                o
para evitar problemas t´cnicos sobre el dominio de existencia de la soluci´n.

Teorema 2.41 Sea f : R2 −→ R una funci´n continua y acotada y x0 ∈ R.
                                            o
Entonces existe una funci´n derivable x : R −→ R tal que x (t) = f (x(t), t) y
                         o
x(0) = x0 .

   Demostracion: Podemos suponer que f y x0 son est´ndar. Fijamos un
                ´                                       a
      e                               o               u
infinit´simo τ > 0 y definimos una funci´n ξ sobre los m´ltiplos enteros de τ
mediante

                          ξ(0)    = x0 ,
                  ξ((n + 1)τ )    = ξ(nτ ) + f (ξ(nτ ), nτ )τ,
               ξ(−(n + 1)τ ))     = ξ(−nτ ) − f (ξ(−nτ ), −nτ )τ.

    Extendemos ξ a todo R mediante ξ(t) = ξ(E(t/τ )τ ). Claramente, si s < t,
se cumple
                     ξ(t) − ξ(s) =      f (ξ(nτ ), nτ )τ,               (2.1)
                                      s<nτ ≤t

                                       u
donde n toma valores enteros. Si el n´mero de sumandos es k, entonces [s, t]
contiene un intervalo de longitud (k − 1)τ , luego k ≤ (t − s)/τ + 1. As´ si M es
                                                                        ı,
una cota de f tenemos que
                                  t−s
                |ξ(t) − ξ(s)| ≤       + 1 M τ = M (t − s) + ,               (2.2)
                                   τ
donde   ≈ 0. En particular

                  |ξ(t)| ≤ |x0 | + |ξ(t) − ξ(0)| ≤ |x0 | + M t + ,

                                                                    a
luego ξ toma valores finitos para valores finitos de t, por lo que est´ definida la
parte est´ndar ∗ ξ(t). El principio de extensi´n nos da una funci´n x : R −→ R
         a                                    o                  o
tal que para todo t est´ndar se cumple x(t) = ∗ ξ(t).
                        a
                          a                                            a
    Tomando partes est´ndar en (2.2) tenemos que, para s y t est´ndar, se
cumple
                            |x(t) − x(s)| ≤ M (t − s).
    Por transferencia lo mismo vale para todo s y t. En particular vemos que x
es uniformemente continua. Sean ahora s y t est´ndar, s < t, y sea n ∈ Z tal
                                                 a
que s < nτ ≤ t. En particular nτ es finito, luego

                      x(nτ ) ≈ x(∗ nτ ) ≈ ξ(∗ nτ ) ≈ ξ(nτ ).

      ı                                                        o
  Aqu´ hemos usado la continuidad uniforme de x, la definici´n de x y (2.2). Si
M es una cota (est´ndar) de x en [s, t], la funci´n f es uniformemente continua
                  a                              o
2.5. La integral de Riemann                                                                 33

en [−M , M ] × [s, t], por lo que2 f (ξ(nτ ), nτ ) ≈ f (x(nτ ), nτ ). Ahora usamos
(2.1), con lo que

             x(t) − x(s) ≈          f (ξ(nτ ), nτ )τ ≈                  f (x(nτ ), nτ )τ.
                             s<nτ ≤t                            s<nτ ≤t

                              a
      Notemos que si δ es el m´ximo de las diferencias infinitesimales

                              f (x(nτ ), nτ ) − f (ξ(nτ ), nτ ),

la diferencia entre las dos sumas est´ acotada por δτ ((t − s)/τ + 1) ≈ 0.
                                       a
                               o
    Si consideramos la partici´n infinitesimal de [s, t] formada por los extremos y
                                         ´                        a
los puntos intermedios nτ , entonces la ultima suma es (salvo quiz´ dos sumandos
                                                                 o
infinitesimales correspondientes a los extremos) una aproximaci´n infinitamente
cercana a la integral de f , es decir,
                                                      t
                             x(t) − x(s) ≈                f (x(r), r) dr.
                                                  s

                                       a
      Puesto que ambos miembros son est´ndar, tenemos la igualdad. En particu-
lar
                                                  t
                              x(t) = x0 +             f (x(r), r) dr.
                                              0

      Por el teorema anterior x es derivable y x (t) = f (x(t), t).




   2 Esto es la caracterizaci´n no est´ndar de la continuidad uniforme para una funci´n de dos
                             o        a                                              o
                     a
variables, que es an´loga a la que hemos visto para una variable.
   ıtulo III
Cap´

       ıa
Topolog´

3.1                a
        Conceptos b´sicos
                                            o       a
   Vamos a estudiar ahora un espacio topol´gico est´ndar arbitrario desde el
                      a
punto de vista no est´ndar. Los conceptos que conocemos para el caso concreto
de R se generalizan en mayor o menor medida seg´n la estructura que supon-
                                                 u
                             ıa,      e
gamos al espacio (una topolog´ una m´trica, una norma, . . . ) Las definiciones
 a
b´sicas son las siguientes:

         o                                                     e
Definici´n 3.1 Diremos que dos puntos x, y de un espacio m´trico est´ndar a
M est´n infinitamente pr´ximos si d(x, y) ≈ 0. Un punto x ∈ M es finito si
      a                   o
   a                                      a                            a
est´ a una distancia finita de un punto est´ndar de M (y entonces est´ a una
                                 a
distancia finita de todo punto est´ndar de M ). En caso contrario se dice que x
es infinito. El halo m´trico de un punto x ∈ M es el conjunto
                     e

                          hm (x) = {y ∈ M | y ≈ x}.

   Si E es un espacio normado est´ndar, diremos que un punto x ∈ E es
                                   a
infinitesimal si x ≈ 0. Es claro que los puntos finitos de E son los puntos con
norma finita.
                                                                           ıamos
    Es claro que todos estos conceptos se particularizan a los que ya conoc´
para R. En un espacio topol´gico arbitrario no podemos definir ninguna de
                               o
estas nociones en toda su generalidad, pero el concepto siguiente basta para
                        ıa       a
desarrollar una topolog´ no est´ndar:

Definici´n 3.2 Si X es un espacio topol´gico est´ndar y x ∈ X, se define el
         o                                o       a
          o                            o                           a
halo topol´gico de x como la intersecci´n de todos los entornos est´ndar de x.
Lo representaremos por ht (x).

                               o                                  e
    En general, el halo topol´gico de un punto no tiene por qu´ coincidir con
su halo m´trico. Por ejemplo, el halo m´trico de un infinit´simo ξ > 0 en R es
           e                              e                 e
                                            u
simplemente el conjunto o de todos los n´meros infinitesimales, mientras que
ht (ξ) ⊂ ]0, +∞[, luego ht (ξ) = hm (ξ). No obstante, se cumple lo siguiente:

                                      35
36                                                          ıtulo 3. Topolog´
                                                         Cap´               ıa

                                     a                      e  a
Teorema 3.3 Si x es un punto est´ndar de un espacio m´trico est´ndar M ,
                      o                                e
entonces el halo topol´gico de x coincide con su halo m´trico.
                                               a
    Demostracion: Si V es un entorno est´ndar de x, por transferencia V
                 ´
existe un > 0 est´ndar tal que B (x) ⊂ V . As´ pues, hm (x) ⊂ B (x) ⊂ V ,
                     a                            ı
luego hm (x) ⊂ ht (x). Por otra parte, si y ∈ M no cumple d(x, y) ≈ 0 entonces
existe un > 0 est´ndar tal que y ∈ B (x), luego y no est´ en el halo topol´gico
                   a              /                     a                 o
de x.
      a                                      o              u
   M´s adelante veremos que el halo topol´gico de un n´mero real infinito
contiene puntos no infinitamente cercanos. (cf. teorema 3.24). El ejemplo de R
              e                     o
muestra tambi´n que los halos topol´gicos pueden ser conjuntos estrictamente
                                                          o
externos. Por eso no tiene sentido decir que el halo topol´gico de un punto es
                        o                            ıa
un entorno del punto (s´lo podemos decir que lo ser´ si existiese, tal y como
muestra el teorema siguiente).
                                                o        a
Teorema 3.4 Si x es un punto de un espacio topol´gico est´ndar X, entonces
ht (x) contiene un entorno de x.
   Demostracion: Basta aplicar el teorema 1.2 al conjunto de los entornos
                  ´
                  o            o                         a
de x con la relaci´n de inclusi´n: para todo conjunto est´ndar finito de entornos
de x existe un entorno de x contenido en todos sus miembros, luego existe un
                                                  a
entorno de x contenido en todos los entornos est´ndar de x.
           o              a
    La noci´n de parte est´ndar se generaliza a espacios de Hausdorff. Para
                                  o
verlo demostramos la caracterizaci´n siguiente:
                                o        a                      o
Teorema 3.5 Un espacio topol´gico est´ndar es de Hausdorff si y s´lo si los
                       a
halos de los puntos est´ndar son disjuntos dos a dos.
                                                            a
    Demostracion: Si X es un espacio de Hausdorff est´ndar y x, y son dos
                 ´
           a
puntos est´ndar distintos, entonces tienen entornos disjuntos, que por trans-
                             a
ferencia podemos tomar est´ndar. Como cada uno contiene al halo del punto
correspondiente, los halos son disjuntos.
    Rec´                                a
        ıprocamente, si dos puntos est´ndar tienen halos disjuntos, como cada
halo contiene un entorno, los puntos tienen entornos disjuntos. Por transferencia
                                                                a
lo mismo vale para puntos cualesquiera, no necesariamente est´ndar.

         o                                      o       a
Definici´n 3.6 Un punto x de un espacio topol´gico est´ndar X es casi est´n-a
                                          a
dar si pertenece al halo de un punto est´ndar de X. Si el espacio X es de
                        a       a ıvocamente determinado, y se llama parte
Hausdorff este punto est´ndar est´ un´
est´ndar de x. La representaremos por ∗ x. Los puntos que no son casi est´ndar
   a                                                                     a
se llaman remotos.
   Por simplicidad en todo lo que sigue supondremos que todos los espacios
     o
topol´gicos son de Hausdorff.
    Sabemos que en el caso de R los puntos casi est´ndar coinciden con los puntos
                                                   a
finitos. Esto no es cierto en general. Un ejemplo sencillo es ]0, 1[, donde todos
                                                  a              a
los puntos son finitos pero no todos son casi est´ndar. Otro m´s sofisticado es
el siguiente:
            ıa
3.2. Topolog´ elemental                                                       37

Ejemplo Consideramos el espacio ∞ con la m´trica usual. Sea µ un n´mero
                                                e                 u
                          o
natural infinito. La sucesi´n x = (xn ) dada por

                                      1   si n = µ,
                              xn =
                                      0   si n = µ,

est´ obviamente acotada, luego x ∈ ∞ , adem´s es un punto finito, puesto
   a                                            a
                                             a
que d(x, 0) = 1. Sin embargo no es casi est´ndar, ya que si estuviera en el
           o             e                    o     a
halo (topol´gico, luego m´trico) de una sucesi´n est´ndar y = (yn ), entonces
     ıamos que, para todo natural est´ndar n,
tendr´                               a

                         |yn | = |yn − xn | ≤ d(x, y) ≈ 0,

luego yn = 0 (porque es infinitesimal y est´ndar). Por transferencia ser´ yn = 0
                                          a                            ıa
para todo natural n, pero entonces d(x, y) = 1.
                                                   a                    e
    Por otra parte es obvio que todo punto casi est´ndar en un espacio m´trico
             a                                         a
es finito (est´ a distancia infinitesimal de un punto est´ndar).


3.2            ıa
        Topolog´ elemental
                                             ıa                 a        a
   El resultado fundamental es que la topolog´ de un espacio est´ndar est´
determinada por sus halos. En efecto:

                                    a                           o       a
Teorema 3.7 Un subconjunto est´ndar U de un espacio topol´gico est´ndar X
                 o                                                  a
es abierto si y s´lo si contiene a los halos de todos sus puntos est´ndar.

                                                               o
   Demostracion: Por el teorema 3.4, si se da esta condici´n entonces U
                 ´
                                                   a
contiene un entorno de cada uno de sus puntos est´ndar, y por transferencia
contiene a un entorno de cada uno de sus puntos. Rec´   ıprocamente, si U es
                                a
abierto contiene un entorno (est´ndar, por transferencia) de cada uno de sus
          a
puntos est´ndar, luego contiene a los halos.
                                 a                            o
    Las caracterizaciones no est´ndar de los conceptos topol´gicos que conside-
ramos en el cap´                                                           o
                ıtulo anterior se generalizan trivialmente a espacios topol´gicos
                 e
arbitrarios (o m´tricos, en el caso de los relativos a continuidad uniforme).
   ı,    a                                        a                         o
As´ es f´cil ver que si A es un subconjunto est´ndar de un espacio topol´gico
est´ndar X entonces un punto est´ndar x ∈ X es adherente a A si y s´lo si su
   a                                a                                    o
           o                                                   o
halo topol´gico corta a A. El conjunto A es cerrado si y s´lo si contiene las
           a                                  a         ı
partes est´ndar de todos sus puntos casi est´ndar. As´ mismo tenemos las ca-
                                                                              o
racterizaciones obvias de la convergencia de sucesiones, puntos de acumulaci´n,
etc.

Teorema 3.8 Una aplicaci´n est´ndar f : X −→ Y entre espacios topol´gicos
                           o    a                                            o
es continua en un punto est´ndar x ∈ X si y s´lo si f [ht (x)] ⊂ ht (f (x)).
                           a                 o

    Demostracion: Supongamos que f es continua y sea y ∈ ht (x). Enton-
                 ´
ces, para cada entorno est´ndar V de f (x), tenemos que f −1 [V ] es un entorno
                          a
38                                                              ıtulo 3. Topolog´
                                                             Cap´               ıa

est´ndar de x, luego y ∈ ht (x) ⊂ f −1 [V ], luego f (y) ∈ V . Por consiguiente
   a
tenemos que f (y) ∈ ht (f (x)).
       ıprocamente, si se da esta condici´n y U es un entorno est´ndar de f (x),
    Rec´                                    o                            a
entonces ht (f (x)) ⊂ U , luego ht (x) ⊂ f −1 [U ], luego f −1 [U ] es un entorno de x.
                                                                 a
Por transferencia esto vale para todo entorno de f (x), est´ndar o no.
                                          e
     La prueba del teorema siguiente es id´ntica a 2.11.

Teorema 3.9 Una aplicaci´n est´ndar f : M −→ N entre espacios m´tricos es
                          o     a                                 e
uniformemente continua si y s´lo si cuando x, y ∈ M cumplen x ≈ y, entonces
                             o
f (x) ≈ f (y).

   Por ejemplo, ahora es claro que si d1 y d2 son dos m´tricas est´ndar en un
                                                       e          a
            a
conjunto est´ndar X, entonces

     xy ∈ X(x ≈1 y ↔ x ≈2 y) ↔ I : X −→ X es un homeomorfismo uniforme.

     Por otra parte,
      st
           y ∈ Xx ∈ X(x ≈1 y ↔ x ≈2 y) ↔ I : X −→ X es un homeomorfismo.

                          a
   Si ambas distancias est´n inducidas por normas, es claro que ambas condi-
ciones equivalen a
                         x ∈ X( x 1 ≈ 0 ↔ x 2 ≈ 0).
      ı                     a
   As´ pues, dos normas (est´ndar) son equivalentes (en el sentido usual, de
                        ıa)     o                                  e
inducir la misma topolog´ si y s´lo si determinan los mismos infinit´simos.
    Por ejemplo, es inmediato que los puntos infinitesimales de Rn (con n est´n-   a
dar) para todas las normas p (p est´ndar, incluyendo p = ∞) son los vectores
                                             a
con todas sus componentes infinitesimales, luego todas ellas son equivalentes.
M´s a´n, respecto a cualquiera de estas normas, un punto x ∈ Rn es finito
   a u
si y s´lo si cada xi es un n´mero real finito, luego casi est´ndar, y entonces
      o                              u                              a
∗
  x = (∗ x1 , . . . , ∗ xn ) es un punto est´ndar infinitamente cercano a x. As´ pues,
                                            a                                 ı
los puntos finitos de Rn respecto a las normas p coinciden con los casi est´ndar.
                                                                              a
Esto basta para demostrar la equivalencia de todas las normas:

Teorema 3.10 Todas las normas en Rn son equivalentes.

    Demostracion: Consideramos en Rn una norma arbitraria (est´ndar)
                 ´                                                     a
y la norma supremo x ∞ = m´xi {|xi |}. Hemos de probar que ambas inducen
                              a
los mismos infinit´simos. Llamemos e1 , . . . , en a la base can´nica de
                 e                                             o
    Por una parte, si x ∞ ≈ 0, entonces

            x ≤ |x1 | e1 + · · · + |xn | en ≤ x   ∞(   e1 + · · · + en ) ≈ 0,

                                                         a
pues el primer factor es infinitesimal y el segundo es est´ndar.
   Supongamos ahora que x ≈ 0 pero x ∞ ≈ 0. Entonces 1/ x                 ∞   es finito,
luego
                                     x
                                           ≈ 0.
                                    x ∞
            ıa
3.2. Topolog´ elemental                                                              39

   Sin embargo,
                                      x
                                                  = 1,
                                     x ∞      ∞

de modo que podemos suponer que x ≈ 0 y x ∞ = 1. Como x es finito para
la norma          u               o                                  a
           ∞ , seg´ n la observaci´n previa al teorema, x es casi est´ndar, luego
                                a
podemos considerar su parte est´ndar y, que cumple

                                    x−y       ∞   ≈ 0.

   Por la parte ya probada,
                                     x − y ≈ 0,

luego y ≈ 0 y, al ser est´ndar, y = 0. Tenemos entonces que
                         a

                                   1= x       ∞   ≈ 0,

           o
contradicci´n.

                   ıa
   Para la topolog´ inducida por un espacio X en un subespacio est´ndar  a
tenemos trivialmente que el halo en Y de un punto y ∈ Y es la intersecci´n con
                                                                        o
                                         ıa
Y de su halo en X. Respecto a la topolog´ producto tenemos:

Teorema 3.11 Si X =                                                a
                               Xi es el producto de una familia est´ndar de espa-
                         i∈I
cios topol´gicos y x ∈ X es est´ndar, entonces
          o                    a
                                        st
                        y ∈ ht (x) ↔         i ∈ I yi ∈ ht (xi ).

   Demostracion: Si y ∈ ht (x) e i ∈ I es est´ndar, entonces para cada
                 ´                                  a
                                          −1
           a
entorno est´ndar U de xi se cumple que πi [U ] es un entorno est´ndar de x,
                                                                    a
                                      −1
donde πi es la proyecci´n, luego y ∈ πi [U ] y, por consiguiente, yi ∈ U . Esto
                          o
prueba que yi ∈ ht (xi ).

      ıprocamente, si y cumple la condici´n del enunciado y U es un entorno
   Rec´                                  o
                                                  n
                                                         −1
   a       a
est´ndar (b´sico) de x tenemos que U =                                             u
                                                        πik [Uik ], donde n es un n´mero
                                                  k=1
natural est´ndar, cada ik ∈ I es est´ndar y Uik es un entorno est´ndar de xik .
           a                        a                            a
Tenemos que yik ∈ Uik , luego y ∈ ht (x).

                                                   o       a
   Ahora demostramos una interesante caracterizaci´n no est´ndar de las apli-
caciones continuas que se pueden extender desde un conjunto denso:

Teorema 3.12 Sea X un espacio topol´gico est´ndar y D ⊂ X un subconjunto
                                      o         a
         a                 o
denso est´ndar. La condici´n necesaria y suficiente para que una aplicaci´no
continua est´ndar f : D −→ Y en un espacio regular Y tenga una extensi´n
            a                                                             o
continua a X es que si x, y ∈ D son casi est´ndar en X y ∗ x = ∗ y, entonces
                                              a
sus im´genes son casi est´ndar en Y y ∗ f (x) = ∗ f (y).
      a                  a
40                                                                   ıtulo 3. Topolog´
                                                                  Cap´               ıa

                                        o ¯
    Demostracion: Si existe una extensi´n f : X −→ Y , ´sta es unica, luego
                   ´                                      e      ´
es est´ndar. As´ si x, y ∈ D cumplen ∗ x = ∗ y = z, la continuidad de f en z
      a          ı,
hace que ∗ f (x) = ∗ f (y) = f (z).
    Rec´ıprocamente, supongamos que f cumple esta condici´n. Para cada x ∈ X
                                                           o
est´ndar existe un y ∈ D ∩ ht (x) y por hip´tesis el punto ∗ f (y) no depende de
   a                                        o
                                                                  ◦      ◦
la elecci´n de y. As´ tenemos definida una aplicaci´n externa X −→ Y que
         o           ı                               o
por el principio de extensi´n determina una aplicaci´n est´ndar f
                           o                           o    a       ¯ : X −→ Y
determinada por que, para todo x ∈ X est´ndar, se cumple f (x) = ∗ f (y), donde
                                          a                  ¯
y ∈ D ∩ ht (x). En particular, si x ∈ D es est´ndar podemos tomar y = x y
                                                a
              ¯                               ¯
tenemos que f (x) = f (x). Por transferencia f extiende a f .
                               o ¯
    Falta probar que la extensi´n f es continua. Basta probarlo en un punto
                                                                  ¯
est´ndar x ∈ X. Supongamos, por reducci´n al absurdo, que f [ht (x)] no est´
   a                                        o                                  a
contenido en ht (f¯(x)). Entonces existe un entorno est´ndar U de f (x) y un
                                                         a
                               ¯
punto y ∈ ht (x) de modo que f (y) ∈ U . Como Y es regular, existe un abierto
                                    /
est´ndar V tal que f (x) ∈ V ⊂ V ⊂ U .
   a

                                   W
                                                                       U
                         x                                        V
                               y                          ¯
                                                          f (x)
              y3
                                       f (y3 )
               y2
                          y1
             D
                                           f (y2 )             ¯
                                                               f (y)
                                                     ¯
                                                     f (y1 )

                           a
    Fijemos un abierto est´ndar W en X que contenga a x. Tenemos entonces
                ¯
que y ∈ W f (y) ∈ V . Por transferencia existe un est´ndar y1 ∈ W tal que
                    /                                       a
¯
f (y1 ) ∈ V . Como D es denso, existe y2 ∈ ht (y1 )∩D. Como W es abierto y2 ∈ W
        /
y por definici´n de f tenemos que f (y1 ) = ∗ f (y2 ) ∈ V , luego f (y2 ) ∈ V .
               o     ¯               ¯               /                   /
    As´ concluimos que y ∈ W ∩ D f (y) ∈ V . Esto vale para todo abierto
        ı                                      /
   a                                         e                           a
est´ndar W que contenga a x, luego tambi´n para todo entorno est´ndar de x.
Por transferencia vale para todo entorno de x y por el teorema 3.4 llegamos a
que y3 ∈ ht (x)∩D f (y3 ) ∈ V , pero entonces f (x) = ∗ f (y3 ) ∈ V , contradicci´n.
                           /                     ¯              /                o




3.3     Compacidad y completitud
                   o        a
   La caracterizaci´n no est´ndar de la compacidad es especialmente interesante
porque, al contrario de lo que sucede con los conceptos que hemos considerado
hasta ahora, no es una consecuencia trivial de las definiciones, lo cual la hace
especialmente potente.

                              o       a                       o
Teorema 3.13 Un espacio topol´gico est´ndar es compacto si y s´lo si todos
                       a
sus puntos son casi est´ndar.
3.3. Compacidad y completitud                                                41

    Demostracion: Sea X un espacio est´ndar. Si existe x ∈ X que no es
                  ´                           a
casi est´ndar, consideramos la familia C de todos los abiertos est´ndar de X
         a                                                          a
que no contienen a x (que es un conjunto externo) y formamos su estandarizado
S
  C. As´ S C es un conjunto est´ndar cuyos elementos est´ndar son los abiertos
        ı,                       a                         a
est´ndar que no contienen a x. Por transferencia S C es una familia de abiertos
   a
de X. Vamos a ver que es un cubrimiento. Si y ∈ X es un punto est´ndar,  a
entonces x ∈ ht (y), luego existe un abierto est´ndar U en X tal que y ∈ U pero
            /                                   a
x ∈ U . As´ U ∈ S C, luego la uni´n de todos los elementos de S C contiene a
   /        ı,                       o
                     a
todos los puntos est´ndar de X. Por transferencia contiene a todo X.
    Si S C admitiera un subcubrimiento finito, admitir´ un subcubrimiento es-
                                                       ıa
 a                                  ıan                   a
t´ndar finito, cuyos elementos ser´ todos abiertos est´ndar y x tendr´ queıa
pertenecer a uno de ellos, lo cual es absurdo.
       ıprocamente, supongamos que todos los puntos de X son casi est´ndar
    Rec´                                                                a
y sea C un cubrimiento abierto est´ndar. Sea C un subconjunto finito de C que
                                    a
contenga a todos sus elementos est´ndar. Entonces C es un subcubrimiento,
                                      a
pues para todo x ∈ X la parte est´ndar ∗ x ha de estar en un abierto est´ndar
                                    a                                   a
U ∈ C, luego x ∈ ht (∗ x) ⊂ U ∈ C .
                                                        a
    Es importante aclarar que para que un subespacio est´ndar A de un espacio
   a                                                                   a
est´ndar X sea compacto es necesario que cada punto de K sea casi est´ndar
                                            a             e       e
en A, lo cual equivale a que tenga parte est´ndar en X y ´sta est´ en A. La
                                                    a
propiedad de que todos los puntos de A sean casi est´ndar en X caracteriza la
compacidad relativa.
    Ahora es inmediato que todo subespacio compacto es cerrado y que todo
                                                                    e
cerrado en un compacto es compacto. Todo compacto en un espacio m´trico est´ a
                             a        a
acotado (si lo suponemos est´ndar, est´ contenido en cualquier bola de centro
   a                         ı           a                      o
est´ndar y radio infinito). As´ mismo es f´cil ver que toda funci´n continua en
              e
un espacio m´trico compacto es uniformemente continua (comparar con 2.12).

Teorema 3.14 (Teorema de Tychonoff ) El producto de una familia arbi-
traria de espacios compactos es un espacio compacto.

   Demostracion: Sea X =
             ´                                                         a
                                      Xi el producto de una familia est´ndar de
                                i∈I
espacios compactos. Si x ∈ X e i ∈ I es est´ndar, entonces xi es un punto del
                                             a
compacto est´ndar Xi , luego xi es casi est´ndar. Por el principio de extensi´n,
              a                            a                                 o
la aplicaci´n ◦ I −→ ◦ Xi dada por i → yi = ∗ xi se extiende a una aplicaci´n
           o                                                                  o
                      i
est´ndar y ∈ X, con la propiedad de que para todo i ∈ I est´ndar xi ∈ ht (yi ).
   a                                                          a
Por 3.11 concluimos que x ∈ ht (y), luego x es casi est´ndar.
                                                       a


Teorema 3.15 Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta.

    Demostracion: En virtud del teorema anterior, basta probar que la imagen
                 ´
                    a                     o                      a
de un punto casi est´ndar por una aplicaci´n continua es casi est´ndar, lo cual
es obvio.
42                                                          ıtulo 3. Topolog´
                                                         Cap´               ıa

                             e
    Se dice que un espacio m´trico es propio si todo subespacio cerrado y acotado
                                o        a
es compacto. La caracterizaci´n no est´ndar de esta propiedad tiene especial
     e                                a                               o
inter´s desde el punto de vista no est´ndar, pues determina la relaci´n entre las
                                    a
propiedades de ser finito y casi est´ndar:

                          e                       o
Teorema 3.16 Un espacio m´trico M es propio si y s´lo si todos sus puntos
                   a
finitos son casi est´ndar.

                                                                 a
    Demostracion: Si M es propio, cada punto finito de M est´ contenido en
                  ´
                               a                a                  a
una bola cerrada de centro est´ndar y radio est´ndar. Esta bola ser´ compacta,
                 a        a
con lo que x ser´ casi est´ndar. Rec´ıprocamente, si todos los puntos finitos de
               a                              a
M son casi est´ndar y A es un subconjunto est´ndar cerrado y acotado, entonces
      a                                                                  a
A est´ contenido en una bola que podemos tomar de centro y radio est´ndar.
                                   a                      a
Todos los puntos de esta bola ser´n finitos, luego casi est´ndar (en la bola, por
                               a                    e
ser cerrada), luego la bola ser´ compacta y A tambi´n.
                              e
    Notemos que todo espacio m´trico propio es localmente compacto y que todo
                                                                       o ´
espacio normado localmente compacto es propio. Hay una caracterizaci´n util
de la compacidad local. Para verla introducimos el concepto siguiente:

        o                                    o      a
Definici´n 3.17 Un punto de un espacio topol´gico est´ndar es compacto si
                                      a
pertenece a un subespacio compacto est´ndar.

                                 a
    Es claro que todo punto est´ndar es compacto y que todo punto compacto
           a                                       o        a
es casi est´ndar. Por consiguiente un espacio topol´gico est´ndar es compacto
      o
si y s´lo si todos sus puntos son compactos.

                                 o       a                               o
Teorema 3.18 Un espacio topol´gico est´ndar es localmente compacto si y s´lo
                            a                     a
si todos sus puntos casi est´ndar son compactos. M´s concretamente, un punto
   a                                       o
est´ndar tiene un entorno compacto si y s´lo si todos los puntos de su halo
     o
topol´gico son compactos.

                                                o       a
    Demostracion: Sea X un espacio topol´gico est´ndar. Es obvio que si
                  ´
x ∈ X es un punto est´ndar con un entorno (est´ndar) compacto U , entonces
                        a                          a
ht (x) ⊂ U , luego todos los puntos de ht (x) son compactos. Rec´
                                                                ıprocamente, si
x no tiene entornos compactos aplicamos el teorema 1.2 al conjunto de todos
los pares (U, K), donde U es un entorno de x y K un compacto en X, con la
relaci´n y ∈ U \ K. Obviamente es concurrente, por lo que existe un punto
      o
y ∈ ht (x) que no es compacto.
                                                         e                 o
   Pasemos ahora a estudiar la completitud en espacios m´tricos y su relaci´n
con la compacidad. Ante todo observemos que las caracterizaciones 2.21 y 2.23
                                                   a                   e
de las sucesiones convergentes y de Cauchy son v´lidas en un espacio m´trico
arbitrario. Conviene introducir el concepto siguiente:

         o                                    e        a
Definici´n 3.19 Un punto x de un espacio m´trico est´ndar M es precompacto
                                    a                          a
si toda bola de centro x y radio est´ndar contiene un punto est´ndar.
3.3. Compacidad y completitud                                                43

                                     a                       e
    Es claro que todo punto casi est´ndar x de un espacio m´trico es precom-
pacto, pues si > 0 es est´ndar la bola B (∗ x) es est´ndar, luego contiene un
                           a                          a
punto est´ndar, que estar´ tambi´n en B (x), ya que x ≈ ∗ x. Por otra parte,
          a               a        e
si x es precompacto entonces es finito, pues B1 (x) contiene un punto est´ndar.
                                                                        a
                                                      e
El teorema siguiente caracteriza la precompacidad en t´rminos de sucesiones de
Cauchy:

                                            e        a
Teorema 3.20 Un punto x de un espacio m´trico est´ndar M es precompacto
si y s´lo si existe una sucesi´n de Cauchy est´ndar {xn } tal que xµ ≈ x para
      o                       o               a
cierto natural infinito µ.

   Demostracion: Supongamos que x es precompacto. Sea
             ´

               A = S {(n, y) ∈ N × M | d(x, y) < 1/n} ⊂ N × M.

              o
   Por definici´n de punto precompacto tenemos que
                          st         st
                               n∈N        y ∈ M (x, y) ∈ A,

y por transferencia podemos poner n ∈ N y ∈ M (x, y) ∈ A. Podemos tomar,
pues, una sucesi´n est´ndar {xn } tal que n ∈ N (n, xn ) ∈ A. En particular
                   o     a
  st
     n ∈ N d(x, xn ) < 1/n. Ahora bien, el conjunto de los n´meros naturales que
                                                            u
cumplen d(x, xn ) < 1/n (que es interno) no puede ser ◦ N, luego ha de contener
un n´mero infinito µ, de modo que d(x, xµ ) < 1/µ y, por consiguiente, x ≈ xµ .
       u
                                o
     Falta probar que la sucesi´n es de Cauchy. Ahora bien, tenemos que si
m ≤ n son est´ndar, entonces d(xm , xn ) < 2/m, lo cual vale por transferencia
                 a
para naturales arbitrarios. Si los tomamos infinitos resulta que d(xm , xn ) ≈ 0,
                 o
luego la sucesi´n es de Cauchy.
   Rec´                                               o              a
        ıprocamente, supongamos que existe una sucesi´n de Cauchy est´ndar
{xn } tal que xµ ≈ x para cierto natural infinito µ. Dado > 0 est´ndar, para
                                                                a
       u
todo n´mero natural infinito ν se cumple

                    d(xν , x) ≤ d(xν , xµ ) + d(xµ , x) ≈ 0 < ,

luego xν ∈ B (x). El conjunto {n ∈ N | xn ∈ B (x)} contiene a todos los
 u                                     e                        u
n´meros naturales infinitos, luego tambi´n ha de contener a un n´mero finito,
luego la bola B (x) contiene un punto est´ndar xn y x es, por tanto, precom-
                                         a
pacto.
   El teorema siguiente es ahora inmediato:

                              e     a                        o
Teorema 3.21 Un espacio m´trico est´ndar M es completo si y s´lo si todo
                             a
punto precompacto es casi est´ndar.

                                                                       o
   Demostracion: Si M es completo y x es precompacto, existe una sucesi´n
                  ´
de Cauchy est´ndar {xn } en M y un natural infinito µ de modo que xµ ≈ x.
               a
La sucesi´n ha de converger a un n´mero est´ndar y, luego y ≈ xµ ≈ x. As´
         o                        u        a                             ı
                   a
pues, x es casi est´ndar.
44                                                            ıtulo 3. Topolog´
                                                           Cap´               ıa

    Rec´ıprocamente, si todo punto precompacto es casi est´ndar y {xn } es una
                                                          a
      o                 a                               u
sucesi´n de Cauchy est´ndar en M , entonces, fijado un n´mero natural infinito
µ, tenemos que xµ es precompacto, luego existe x = ∗ xµ ≈ xµ , luego la sucesi´n
                                                                              o
converge a x.

                             e     a                          o
Teorema 3.22 Un espacio m´trico est´ndar es precompacto si y s´lo si todos
sus puntos son precompactos.

                                                            e
    Demostracion: Supongamos que M es un espacio m´trico precompacto y
                ´
sea x ∈ M . Dado > 0 est´ndar, existen puntos x1 , . . . xn ∈ M (est´ndar) tales
                        a                                           a
que
                       M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xn ).
   As´ pues x ∈ B (xi ) para cierto i, luego tambi´n xi ∈ B (x). Esto prueba
      ı                                           e
que x es precompacto.
   Rec´ıprocamente, si todos los puntos de M son precompactos tomamos un
conjunto finito F = {x1 , . . . , xµ } ⊂ M que contenga a todos los puntos est´ndar
                                                                             a
de M (teorema 1.5). Dado > 0, se ha de cumplir que

                          M = B (x1 ) ∪ · · · ∪ B (xµ ),

                                        o        ıa
pues un punto que no estuviera en la uni´n no ser´ precompacto.
          o                                                     a
   El pr´ximo teorema es ahora inmediato (ver el esquema de la p´gina si-
guiente):

                         e                        o
Teorema 3.23 Un espacio m´trico es compacto si y s´lo si es precompacto y
completo.

                                    o
     Veamos ahora otra caracterizaci´n de los puntos precompactos:

                                       e         a
Teorema 3.24 Un punto x de un espacio m´trico est´ndar es precompacto si
y s´lo si ht (x) ⊂ hm (x).
   o

   Demostracion: Si existe un punto y ∈ ht (x) cuya distancia a x no es
                 ´
                                           a
infinitesimal, podemos tomar un > 0 est´ndar tal que d(x, y) > . Entonces
B /2 (x) no contiene puntos est´ndar, pues si z ∈ B /2 (x) es est´ndar tenemos
                                 a                               a
que x ∈ B /2 (z) y, como la bola es est´ndar, tambi´n y ∈ B /2 (z), pero en-
                                         a            e
tonces d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < , contradicci´n. Esto prueba que x no es
                                                  o
precompacto.
   Rec´ ıprocamente, si ht (x) ⊂ hm (x) y > 0 es est´ndar, hemos de probar que
                                                    a
                            a
B (x) contiene puntos est´ndar. En caso contrario, aplicamos el teorema 1.2 al
                                                   o
conjunto A de todos los entornos de x y a la relaci´n

                         α(y, U ) ≡ y ∈ U ∧ d(y, x) ≥ .

                                      a
   Ciertamente, para cada familia est´ndar finita de entornos de x, la inter-
     o                   a                                      a
secci´n es un entorno est´ndar de x, luego contiene un punto est´ndar y cuya
   3.3. Compacidad y completitud                                                      45

                      a
   distancia a x ser´ mayor o igual que . Esto prueba que α es concurrente en
                                                                     a
   A, luego existe un punto y que pertenece a todos los entornos est´ndar de x, es
   decir, y ∈ ht (x) y d(y, x) ≥ . Entonces y ∈ hm (x), contradicci´n.
                                              /                    o
      Teniendo en cuenta que —tirvialmente— las aplicaciones uniformemente
   continuas transforman sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy, del teo-
   rema 3.20 se sigue inmediatamente:

   Teorema 3.25 Las aplicaciones uniformemente continuas transforman puntos
   precompactos en puntos precompactos.


                               X

                                 Acotado

                         Puntos finitos                         Precompacto


Compacto Propio Puntos precompactos

                                 Completo

                                        a
                         Puntos casi est´ndar
                              Localmente
                              compacto
                         Puntos compactos                      Discreto
                                   Subespacios
                                   compactos finitos

                                   a
                         Puntos est´ndar
        Este esquema recoge las inclusiones entre los distintos tipos de puntos que
                                              o          e         u
        hemos definido en un espacio X (topol´gico o m´trico, seg´n corresponda)
        y las propiedades que cumple X cuando se da la igualdad.

                                         a                       e       a
   Teorema 3.26 Si Y es un subespacio est´ndar de un espacio m´trico est´ndar
   X, entonces un punto y ∈ Y es precompacto en Y si y s´lo si lo es en X.
                                                        o
46                                                               ıtulo 3. Topolog´
                                                              Cap´               ıa

                                    o
    Demostracion: Una implicaci´n es clara. Si y es precompacto en X, dado
                 ´
  > 0 est´ndar existe un x ∈ B /2 (y) est´ndar, con lo que y ∈ B /2 (x) ∩ Y = ∅.
         a                               a
                           a                             a
Como este conjunto es est´ndar, tiene un elemento est´ndar, que claramente
est´ en B (y) ∩ Y .
   a
   Como consecuencia de estos hechos podemos probar un caso particular del
teorema 3.12:

Teorema 3.27 Si M y N son espacios m´tricos, N completo, D ⊂ M es un
                                         e
subconjunto denso y f : D −→ N es uniformemente continua, entonces f se
                                                 ¯
extiende a una aplicaci´n uniformemente continua f : M −→ N .
                       o

                       o                                                a
   Demostracion: S´lo hay que probar que f transforma puntos casi est´ndar
                 ´
en M en puntos casi est´ndar en N , pero si x ∈ D es casi est´ndar en M ,
                          a                                     a
entonces es precompacto en M , luego en D, luego f (x) es precompacto en N y,
                            a
por completitud, es casi est´ndar.


Ejemplo El producto Q×Q −→ R no es una funci´n uniformemente continua,
                                                   o
pero s´ que cumple la condici´n del teorema de extensi´n: si (x, y) ≈ (x , y ) y
      ı                       o                        o
ambos son casi est´ndar en R2 (lo cual equivale a que lo sean sus componentes,
                   a
es decir, a que sean finitas) entonces xy ≈ x y .
                                     a
     Terminamos con algunas pruebas m´s de varias propiedades conocidas:

Teorema 3.28 Si M es un espacio m´trico y A ⊂ M es completo, entonces A
                                     e
es cerrado en M . Si M es completo y A es cerrado, entonces A es completo.

                                                           a
    Demostracion: Podemos suponer que M y A son est´ndar. Si A es com-
                  ´
pleto, para probar que es cerrado hemos de ver que si x ∈ A es casi est´ndar en
                                                                       a
M , entonces ∗ x ∈ A. Ahora bien, x es precompacto en M , luego en A, luego es
        a
casi est´ndar en A.
    Si suponemos que M es completo y A es cerrado, entonces todo x ∈ A
                                                     a
precompacto en A es precompacto en M , luego casi est´ndar en M , luego casi
   a
est´ndar en A.


3.4      Espacios de funciones
   Si X e Y son dos conjuntos, llamaremos Y X al conjunto de todas las aplica-
ciones de X en Y . Si Y es un espacio topol´gico podemos considerar en Y X la
                                             o
        ıa                           a      u                      ıa
topolog´ producto, que se conoce m´s com´nmente como la topolog´ de la con-
                                      o     a
vergencia puntual, porque una sucesi´n (m´s en general, una red) de funciones
                      o
converge a otra si y s´lo si converge en cada punto.
                    a                                              o
    Si X e Y son est´ndar, el teorema 3.11 nos da que el halo topol´gico de una
funci´n est´ndar f ∈ Y X viene dado por
     o     a
                                    st
                    g ∈ ht (f ) ↔        x ∈ X(g(x) ∈ ht (f (x)).
3.4. Espacios de funciones                                                    47

    En particular, una sucesi´n de funciones {fn } converge puntualmente a una
                              o
funci´n f si y s´lo si para todo n´mero natural infinito µ se cumple fµ ∈ ht (f ),
     o          o                   u
es decir,
                             st
                                x ∈ X(fµ (x) ∈ ht (f (x)).
                       e
   Si Y es un espacio m´trico, esto equivale a su vez a
                              st
                                   x ∈ X fµ (x) ≈ f (x).

                e                  o
   Si X es tambi´n un espacio topol´gico, el espacio C(X, Y ) de las funciones
                                                                      ıa
continuas de X en Y no es necesariamente cerrado para la topolog´ de la
convergencia puntual.

Ejemplo     La funci´n f : R −→ R dada por
                    o

                                          0   si x ≤ 0,
                             f (x) =
                                          1   si x > 0,

no es continua, pero es adherente a C(R, R), pues su halo contiene a la funci´n
                                                                             o
continua
                                   0    si x ≤ 0,
                          g(x) = x/ξ si 0 ≤ x ≤ ξ,
                                   1    si x ≥ ξ,
                                                st
donde ξ > 0 es un infinit´simo. En efecto,
                        e                            x ∈ R f (x) = g(x).
    Volviendo al caso general, si Y es un espacio m´trico podemos dotar a Y X
                                                   e
             ıa                                                        e
de la topolog´ de la convergencia uniforme, que es la inducida por la m´trica

          d(f, g) =   1                  si x ∈ X d(f (x), g(x)) > 1,
                      sup d(f (x), g(x)) en caso contrario.
                      x∈X

   El halo m´trico de una funci´n arbitraria f ∈ Y X respecto a esta m´trica
             e                 o                                      e
viene dado por

                  g ∈ hm (f ) ↔ f ≈ g ↔        x ∈ X f (x) ≈ g(x).

    En particular, una sucesi´n de funciones {fn } converge uniformemente a una
                              o
funci´n f si y s´lo si para todo n´mero natural infinito µ se cumple fµ ∈ hm (f ),
     o          o                 u
es decir,
                                x ∈ X fµ (x) ≈ f (x).
                           o                            ı
   Si X es un espacio topol´gico, el conjunto C(X, Y ) s´ que es cerrado para la
convergencia uniforme. Para probarlo necesitamos un hecho elemental:

Teorema 3.29 Si M es un espacio m´trico, la distancia d : M × M −→ R es
                                  e
uniformemente continua, es decir,

               xyx y ∈ M (x ≈ x ∧ y ≈ y → d(x, y) ≈ d(x , y )).
48                                                               ıtulo 3. Topolog´
                                                              Cap´               ıa

     Demostracion: Basta tener en cuenta que
               ´
                      |d(x, y) − d(x , y )| ≤ d(x, x ) + d(y, y ).



                                     o                     e
Teorema 3.30 Si X es un espacio topol´gico e Y un espacio m´trico, C(X, Y )
es cerrado en Y X .
                                                               a
   Demostracion: Podemos suponer que X e Y son est´ndar. Hemos de
                  ´
probar que si g ∈ C(X, Y ) es casi est´ndar entonces f = ∗ g ∈ C(X, Y ). Tenemos
                                      a
que d(f, g) ≈ 0, es decir, que x ∈ X f (x) ≈ g(x). Como f es est´ndar, para
                                                                     a
probar que es continua basta ver que lo es en un punto est´ndar x ∈ X. Como g
                                                            a
         a                                      o        a
no es est´ndar no podemos usar la caracterizaci´n no est´ndar de la continuidad.
Lo que tenemos es que
              st
                   > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(g(x), g(y)) < ).
     Por el teorema anterior
              st
                   > 0 δ > 0 y ∈ X(d(x, y) < δ → d(f (x), f (y)) < )
y por transferencia podemos pasar a         > 0, es decir, a que f es continua en x.


Teorema 3.31 Si Y es un espacio m´trico completo, entonces Y X tambi´n es
                                     e                              e
                       ıa
completo con la topolog´ de la convergencia uniforme.
                                                            a
    Demostracion: Podemos suponer que X e Y son est´ndar. Hemos de
                   ´
probar que toda funci´n precompacta f es casi est´ndar. Fijados x ∈ X y
                       o                             a
  > 0 est´ndar, la precompacidad de f significa que existe g ∈ Y X est´ndar
          a                                                             a
tal que d(f, g) < . En particular d(f (x), g(x)) < . Esto prueba que f (x) es
precompacto en Y , luego es casi est´ndar. Definimos h(x) = ∗ f (x), extendida
                                      a
            o      a                                   o
a una funci´n est´ndar en X por el principio de extensi´n. Vamos a probar que
f ≈ h, con lo que f ser´ casi est´ndar.
                       a           a
                               st
    Lo que sabemos es que         x ∈ Xf (x) ≈ h(x) y hemos de probarlo para
                                a
todo x no necesariamente est´ndar, pero no podemos aplicar el principio de
                                             o    a
transferencia. Dado > 0 tomamos una funci´n est´ndar g tal que d(f, g) < /2.
            st
Entonces       x ∈ Xd(g(x), h(x)) < /2, pero aqu´ s´ que podemos aplicar el
                                                   ı ı
principio de transferencia, lo que nos da que d(g, h) ≤ /2, luego d(f, h) <
para todo est´ndar, es decir, f ≈ h.
                 a
     Como consecuencia inmediata tenemos:
Teorema 3.32 (Criterio de mayoraci´n de Weierstrass) Si {fn }n es una
                                       o
sucesi´n de funciones fn : X −→ R, donde X es un espacio topol´gico y {Mn } es
      o                                                       o
                                                                              ∞
una sucesi´n de n´meros reales tal que
          o      u                           x ∈ X |fn (x)| ≤ Mn y la serie         Mn
                                                                              n=0
                                                     ∞
es convergente, entonces la serie de funciones            fn converge uniformemente
                                                    n=0
                       o
en X a una cierta funci´n.
3.4. Espacios de funciones                                                   49

   Demostracion: Es obvio que si µ ≤ ν son n´meros naturales infinitos
             ´                              u
entonces
                                               ν
                              d(Sµ , Sν ) ≤         Mn ≈ 0,
                                              n=µ

donde Sµ representa a la suma parcial µ-´sima de la serie funcional, luego la
                                         e
serie es uniformemente de Cauchy, luego uniformemente convergente.
    Observemos que si Y es un espacio vectorial topol´gico real entonces Y X
                                                          o
tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas puntualmente.
Sin embargo, el producto no es continuo en general. Por ejemplo, si f es la
identidad en R tenemos que el producto R × RR −→ RR no es continuo en (0, f ),
pues si ξ es un infinit´simo se cumple que ξf ≈ 0f = 0 (ya que ξf (1/ξ) = 1 ≈ 0).
                      e
De hecho, tampoco es continua la restricci´n del producto a C(R, R). M´s en
                                              o                            a
              a
general, es f´cil ver que el producto no es continuo en C(X, Y ) siempre que
                  o
existe una funci´n continua no acotada de X en Y .
    Esto no sucede si consideramos la convergencia uniforme en compactos. En
                                 o                        e                 ıa
general, si X es un espacio topol´gico e Y es un espacio m´trico, la topolog´ de
la convergencia uniforme en compactos es la determinada por la base

              B(f, K, ) = {g ∈ Y X |          x ∈ K d(f (x), g(x)) < },

donde f ∈ Y X , K ⊂ X compacto y > 0. Es claro que el halo topol´gico de
                                                                o
         o     a                               ıa
una funci´n est´ndar f respecto de esta topolog´ viene dado por

              g ∈ ht (f ) ↔     x ∈ X(x compacto → f (x) ≈ g(x)).

    En lo sucesivo nos restringiremos al caso en que X es localmente compacto,
                                                           a          ı,
de modo que podemos sustituir “compacto” por “casi est´ndar”. As´ una su-
cesi´n est´ndar {fn } converge uniformemente en compactos a una funci´n f si
    o      a                                                             o
   o
y s´lo si para todo natural infinito µ se cumple

                    x ∈ X(x casi est´ndar → fµ (x) ≈ f (x))
                                    a

    Se cumple que C(X, Y ) es cerrado en Y X para esta topolog´ En efecto,
                                                                 ıa:
si g ∈ C(X, Y ) es casi est´ndar y f = ∗ g, fijamos un punto est´ndar x ∈ X y
                           a                                   a
un entorno compacto K. Tenemos f (y) ≈ g(y) para todo punto casi est´ndar
                                                                        a
y ∈ X, luego en particular para todo punto de K. Esto significa que f |K ≈ g|K
para la m´trica de la convergencia uniforme en Y K . Adem´s g|K ∈ C(K, Y ),
          e                                                a
luego concluimos que f |K ∈ C(K, Y ). En particular f es continua en x.
   Ahora nos restringimos al caso en que Y = R. Escribiremos C(X) en lugar
de C(X, R).

                                         o
Teorema 3.33 Si X es un espacio topol´gico localmente compacto, la suma,
el producto escalar y el producto de funciones en C(X) son funciones conti-
                                              ıa
nuas cuando consideramos en C(X) la topolog´ de la convergencia uniforme
en compactos.
50                                                                      ıtulo 3. Topolog´
                                                                     Cap´               ıa

                              ´
    Demostracion: Veamos unicamente el caso del producto escalar. Toma-
                 ´
mos (α, f ) ∈ R×C(X) est´ndar y otro par (β, g) de modo que β ≈ α, g ∈ ht (f ).
                          a
Hemos de probar que βg ∈ ht (αf ), es decir, que para todo punto casi est´ndar
                                                                          a
x ∈ X se cumple αf (x) ≈ βg(x). Lo que sabemos es que f (x) ≈ g(x), as´ como
                                                                        ı
                      u
que f (x) y g(x) son n´meros reales finitos, porque f transforma puntos casi
   a                        a                 o
est´ndar en puntos casi est´ndar. La conclusi´n es obvia.
                  o
    Como aplicaci´n vamos a estudiar la convergencia de las series de potencias.
Si {an }n es una sucesi´n acotada de n´meros reales definimos
                       o              u

                     l´ sup an = sup S {∗ aµ | µ ∈ N \ ◦N}.
                      ım
                          n
                    ∞
Teorema 3.34 Si           an (x − x0 )n es una serie de potencias y
                    n=0
                                 1
                                   = l´ sup
                                      ım                 n
                                                             |an |
                                 R      n

(entendiendo que R = ∞ si el l´ ımite es 0), entonces la serie converge unifor-
memente en los compactos del intervalo ]x0 − R, x0 + R[ (en todo R si R = ∞)
y diverge en todos los puntos con |x − x0 | > R.

   Demostracion: No perdemos generalidad si suponemos que x0 = 0. As´
                 ´                                                             ı
                                              a                   o
mismo podemos suponer que la serie es est´ndar y que la sucesi´n de sus coe-
            a                      a
ficientes est´ acotada (si no lo est´, el teorema se cumple trivialmente conside-
rando R = 0).
                                       u                   a
   Hemos de probar que para todo n´mero real x casi est´ndar en el intervalo
                 u
]−R, R[ y todo n´mero natural infinito µ se cumple
                                ∞                    µ
                                      an xn ≈             an xn .                    (3.1)
                                n=0                 n=0

                                 a
   Ahora bien, que x sea casi est´ndar en el intervalo equivale a que existe un
n´mero real est´ndar r tal que |x| ≤ r < R. Entonces
 u             a

                                r l´ sup
                                   ım           n
                                                    |an | < 1,
                                        n

                          u        a
luego podemos tomar otro n´mero est´ndar

                              r l´ sup
                                 ım         n
                                                |an | < ρ < 1,                       (3.2)
                                    n


    Si n es un n´mero natural infinito no s´lo se cumplir´ r ∗ n |an | < ρ (por la
                  u                           o            a
definici´n del l´
        o        ımite superior), sino que de hecho r n |an | < ρ, pues el miembro
               a
izquierdo est´ infinitamente cerca del miembro izquierdo de (3.2). As´ pues, ı
|x| n |an | < ρ, luego |an xn | < ρn (para todo n´mero natural infinito n).
                                                 u
                    u
    Si µ < ν son n´meros naturales infinitos tenemos que
                                ν                    ν
                                    an xn ≤               ρn ≈ 0.
                               n=µ                  n=µ
3.4. Espacios de funciones                                                   51

    Esto prueba que la serie de potencias restringida a [−r, r] es uniformemente
de Cauchy, luego converge uniformemente, de donde se sigue (3.1). Para probar
                                                                        a
que la serie diverge fuera del intervalo basta considerar un punto est´ndar x y
                      a                                           a
el razonamiento es pr´cticamente el mismo que en la prueba cl´sica.
     ı,                                        o
   As´ por ejemplo, ahora sabemos que la relaci´n
                                          µ  xn
                                  ex ≈
                                         n=0 n!

    a                 u                         o               a
es v´lida para todo n´mero real finito x, y no s´lo para los est´ndar. Esto
simplifica considerablemente la comprobaci´n de que ex es derivable.
                                         o
   ıtulo IV
Cap´

  a
An´lisis de varias variables

               ıtulo demostraremos a t´
    En este cap´                                         o                  a
                                       ıtulo de ilustraci´n los resultados b´sicos
del c´lculo diferencial en Rn . La definici´n no est´ndar de diferenciabilidad,
     a                                     o          a
                                a
claramente equivalente a la est´ndar, es la siguiente:

Definici´n 4.1 Una funci´n est´ndar f : D −→ Rm definida en un abierto
        o               o      a
D ⊂ Rn es diferenciable en un punto p ∈ D si existe una aplicaci´n lineal
                                                                 o
est´ndar L : Rn −→ Rm tal que para todo infinit´simo ξ ∈ Rn se cumple que
   a                                          e

                          f (p + ξ) − f (p) − L(ξ)
                                                   ≈ 0.
                                     ξ

                                                              o
   Recordemos que esto define la diferenciabilidad de una funci´n arbitraria a
    e                                o
trav´s del principio de estandarizaci´n.
                              o        a
    La unicidad de la aplicaci´n L es f´cil de probar: si ei es el i-´simo vector
                                                                     e
de la base can´nica de Rn y ξ ∈ R es un infinit´simo tenemos que
              o                                 e

                        f (p + ξei ) − f (p) − L(ξei )
                                                       ≈ 0.
                                      ξ

(Notemos que en el denominador deber´ aparecer |ξ|, pero podemos eliminar
                                        ıa
el valor absoluto). Claramente entonces

                                      f (p + ξei ) − f (p)
                           L(ei ) ≈                        .
                                               ξ

                                  a
   Esto prueba que la parte est´ndar del miembro derecho no depende de ξ,
                  o
luego, por definici´n, es la derivada parcial de f respecto a xi . En definitiva

                                             ∂f
                                 L(ei ) =              .
                                             ∂xi   p

   Por lo tanto podemos definir df (p) = L.

                                          53
54                                                     ıtulo 4. An´lisis de varias variables
                                                    Cap´          a

                          o                                          o
   Es claro que toda funci´n diferenciable es continua: de la definici´n se sigue
que
                       f (p + ξ) − f (p) ≈ df (p)(ξ) ≈ 0,
                   o
porque una aplicaci´n lineal es trivialmente continua.
   Vamos a demostrar que toda funci´n de clase C 1 es diferenciable, para lo
                                       o
cual conviene introducir el concepto siguiente:

Definici´n 4.2 Una funci´n est´ndar f : D −→ Rm definida en un conjunto
         o                 o     a
abierto D ⊂ RN es estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D si existe
una aplicaci´n lineal est´ndar L : Rn −→ Rm tal que para todo par de puntos
            o            a
distintos x ≈ p ≈ y se cumple

                                   f (x) − f (y) − L(x − y)
                                                            ≈ 0.
                                             x−y

                                       o
    Haciendo y = p vemos que toda funci´n estrictamente diferenciable en p es
diferenciable en p. Ahora demostramos:

Teorema 4.3 Toda funci´n de clase C 1 en un punto p es estrictamente dife-
                      o
renciable en p.

   Demostracion: Podemos tomar una funci´n est´ndar f : D −→ Rm y un
                    ´                                o    a
punto est´ndar p ∈ D. Es claro que una funci´n f es estrictamente diferenciable
          a                                        o
o de clase C 1 si y s´lo si lo son sus funciones coordenadas, por lo que no perdemos
                     o
generalidad si suponemos m = 1. Definimos
                                                   n
                                                         ∂f
                                          L(x) =                   xi
                                                   i=1
                                                         ∂xi   p


y tomamos dos puntos distintos x ≈ p ≈ y. Vamos a calcular

                                        f (x) − f (y) − L(x − y).

   Para ello definimos Fi = f (x1 , . . . , xi , yi+1 , . . . , yn ), donde hemos de entender
que F0 = f (y), Fn = f (x). Es claro entonces que:
                       n                                 n
                             ∂f                                              ∂f
     f (x) − f (y) −                    (xi − yi ) =           Fi − Fi−1 −             (xi − yi ) .
                       i=1
                             ∂xi    p                  i=1
                                                                             ∂xi   p


                                                          o
     Ahora aplicamos el teorema del valor medio a la funci´n

                gi (t) = f (x1 , . . . , xi−1 , yi + t(xi − yi ), yi+1 , . . . , yn )

                                                                        a
en el intervalo [0, 1]. Notemos que el punto en el que calculamos f est´ infini-
            o                   a
tamente pr´ximo a p, luego est´ en D. Claramente gi es continua en [0, 1] y el
hecho de que f tenga derivada parcial respecto de xi implica que gi es derivable
                                                                                            55

en ]0, 1[. Por consiguiente, aplicando la regla de la cadena para funciones de
una variable:
                                              ∂f
                  Fi − Fi−1 = g(1) − g(0) =          (xi − yi ),
                                              ∂xi ci
donde ci ≈ p. As´ pues:
                ı
                                    n
                                          ∂f             ∂f
     |f (x) − f (y) − L(x − y)| ≤                    −             |xi − yi | ≤ δ x − y ,
                                    i=1
                                          ∂xi   ci       ∂xi   p

donde
                                          ∂f             ∂f
                            δ = n m´x
                                   a                 −
                                    i     ∂xi   ci       ∂xi   p

   La continuidad en p de las derivadas de f implica que los valores absolutos
                              a          e
son infinitesimales, luego el m´ximo tambi´n es infinitesimal y, como n es finito,
δ ≈ 0. En definitiva, concluimos que

                           f (x) − f (y) − L(x − y)
                                                    ≈ 0,
                                     x−y

luego f es estrictamente diferenciable en p.
                                                           a
    Demostramos ahora que la diferenciabilidad estricta est´ muy cerca de la
clase C 1 :

Teorema 4.4 Si una funci´n f : D ⊂ Rn −→ Rm es diferenciable en el abierto
                           o
D y es estrictamente diferenciable en p ∈ D, entonces f tiene derivadas par-
ciales continuas en p. En particular, si f es estrictamente diferenciable en D
entonces es de clase C 1 .

                                                          a      ı
   Demostracion: Podemos suponer que f y p son est´ndar, as´ como que
                 ´
m = 1. Tomemos un punto x ≈ p y sea ei el vector i-´simo de la base can´nica
                                                     e                 o
de Rn . El hecho de que f sea diferenciable en x implica que

                          f (x + λei ) − f (x) − df (x)(λei )
                     ım
                    l´                                        = 0.
                   λ→0                     λ
                       o    a
    Usando la definici´n cl´sica de l´                         o        a
                                       ımite (la caracterizaci´n no est´ndar no
                         a
sirve, porque x no es est´ndar), tenemos que si λ es suficientemente peque˜o  n
(en particular infinitesimal), el cociente ξ es infinitesimal, de modo que

                                                     ∂f
                       f (x + λei ) − f (x) = λ                + λξ.
                                                     ∂xi   x

   Por otra parte, la diferenciabilidad estricta de f en p implica que existe un
 u
n´mero infinitesimal ξ tal que

                                                     ∂f
                      f (x + λei ) − f (x) = λ                 + λξ .
                                                     ∂xi   p
56                                                          ıtulo 4. An´lisis de varias variables
                                                         Cap´          a

     Restando queda que
                                   ∂f              ∂f
                                               −             = ξ − ξ ≈ 0.
                                   ∂xi     x       ∂xi   p



     Probemos ahora la regla de la cadena:
Teorema 4.5 (Regla de la cadena) Si f : D ⊂ Rn −→ Rm es una funci´n             o
diferenciable en p ∈ D y g : E ⊂ Rm −→ Rk es diferenciable en f (p) ∈ E,
entonces f ◦ g es diferenciable en p y adem´s d(f ◦ g)(p) = df (p) ◦ dg(f (p)).
                                           a
   Demostracion: Si ξ ∈ Rn es un infinit´simo, la continuidad de f implica
                ´                           e
que ξ = f (p + ξ) − f (p) es infinitesimal. M´s a´n, por la diferenciabilidad de
                                            a u
f tenemos que existe un vector infinitesimal ξ1 ∈ Rm tal que
                                       ξ = df (p)(ξ) + ξ ξ1 .
    Igualmente, de la diferenciabilidad de g se sigue que existe un vector infini-
tesimal ξ2 ∈ Rk tal que
            g(f (p + ξ)) = g(f (p) + ξ ) = g(f (p)) + dg(f (p))(ξ ) + ξ ξ2
            = g(f (p)) + dg(f (p))(df (p)(ξ)) + ξ dg(f (p))(ξ1 ) + ξ ξ2 .
     Llamando L = df (p) ◦ dg(f (p)) tenemos que
             g(f (p + ξ)) − g(f (p)) − L(ξ)                    ξ
                                            = dg(f (p))(ξ1 ) +   ξ2 ≈ 0,
                           ξ                                   ξ
     Donde hemos usado que
                                       ξ                      ξ
                                         = df (p)                   + ξ1
                                       ξ                      ξ
es finito.
                                                     ıa
     Una prueba incorrecta del teorema de Schwarz ser´ la siguiente:
     Si f (x, y) es una funci´n de clase C 2 en un punto (a, b), entonces
                             o
                        ∂f
                                       −   ∂f
                                                             f (a+ξ,b+ξ)−f (a,b+ξ)
                                                                                     −   f (a+ξ,b)−f (a,b)
      ∂2f               ∂x
                             (a,b+ξ)
                                           ∂x
                                                (a,b)                  ξ                         ξ
                    ≈                                   ≈
     ∂x∂y   (a,b)                  ξ                                            ξ

                 f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b)
                =                                                          .
                                            ξ2
                                                ıa                    ´
    Si esto estuviera bien el teorema quedar´ probado, pues la ultima expresi´no
       e
es sim´trica. Sin embargo el segundo paso es incorrecto, ya que estamos apli-
                        o         a
cando la caracterizaci´n no est´ndar de las derivadas parciales en un punto no
   a
est´ndar (a, b + ξ). Una prueba de que esto no es posible es observar que si
estuviera bien no necesitar´  ıamos la continuidad de las derivadas segundas. Sin
embargo el razonamiento puede arreglarse usando el teorema del valor medio.
                                                                                                                57

Teorema 4.6 (Teorema de Schwarz) Si f : D ⊂ Rn −→ R es una funci´n
                                                                o
de clase C 2 en un punto p ∈ D, entonces

                  ∂2f               ∂2f
                               =                        para i, j = 1, . . . , n.
                 ∂xi ∂xj   p       ∂xj ∂xi   p

   Demostracion: No perdemos generalidad si suponemos que n = 2. Sea
                 ´
p = (a, b). Llamamos

         ∆2 f (ξ) = f (a + ξ, b + ξ) − f (a, b + ξ) − f (a + ξ, b) + f (a, b).

                                         e
   Basta probar que si ξ > 0 es un infinit´simo entonces

                                    ∂2f               ∆2 f (ξ)
                                                  ≈            .
                                   ∂x∂y   (a,b)         ξ2

   Si G(x) = f (x, b+ξ)−f (x, b), tenemos que ∆2 f (ξ) = G(a+ξ)−G(a). Pode-
                                                                        e
mos aplicar el teorema del valor medio a G, de modo que existe un infinit´simo
0 < ξ1 < ξ tal que

                                             ∂f                             ∂f
           ∆2 f (ξ) = ξG (a + ξ1 ) = ξ                              −ξ                          .
                                             ∂x       (a+ξ1 ,b+ξ)           ∂x      (a+ξ1 ,b)

                                                              ∂f
                                                           o
   Si ahora aplicamos el teorema del valor medio a la funci´n                                                   ob-
                                                              ∂x
                  e
tenemos un infinit´simo 0 < ξ2 < ξ tal que                                                           (a+ξ1 ,x)


                                              ∂2f
                           ∆2 f (ξ) = ξ 2                               .
                                             ∂x∂y       (a+ξ1 ,b+ξ2 )

     ı
   As´ pues, usando la continuidad de la derivada segunda,

                   ∆2 f (ξ)    ∂2f                              ∂2f
                            =                              ≈                        .
                     ξ2       ∂x∂y        (a+ξ1 ,b+ξ2 )        ∂x∂y         (a,b)



                                          a                            o
   Para terminar daremos una prueba no est´ndar del teorema de la funci´n
inversa debida a M. Behrens.

Teorema 4.7 (De la funci´n inversa) Sea f : D ⊂ Rn −→ Rn una apli-
                               o
caci´n estrictamente diferenciable en un punto p ∈ D. Si df (p) es biyectiva
    o
entonces existe un entorno U de p contenido en D tal que f [U ] es un entorno
                      o
de f (p), la restricci´n de f a U es biyectiva y su inversa es estrictamente dife-
renciable diferenciable en f (p).

                                                         a
   Demostracion: Podemos suponer que f y p son est´ndar. Veamos que f
                 ´
                                                 ı
biyecta el halo de p con el halo de f (p). De aqu´ se sigue ya la existencia de
U (en principio un entorno contenido en h(p), que por transferencia podemos
                           a        o          a
convertir en un entorno est´ndar). S´lo quedar´ demostrar la diferenciabilidad
58                                           ıtulo 4. An´lisis de varias variables
                                          Cap´          a

                                                                      o
de la inversa. Suponemos conocido el concepto de norma de una aplicaci´n
lineal.
   En primer lugar, si x, x ∈ h(p) son distintos, la diferenciabilidad estricta
implica que
                        f (x) − f (x )   df (p)(x − x )
                                       ≈                .                 (4.1)
                            x−x              x−x
    Como el vector x−x tiene norma 1 y df (p) es un difeomorfismo, su imagen
                    x−x
no puede ser infinitesimal, luego f (x) = f (x ).
    Tomemos ahora y ∈ h(f (p)) y veamos que tiene antiimagen en h(p). Para
                       o
ello definimos la sucesi´n

                  x0 = p,       xn+1 = xn + df (p)−1 (y − f (xn )).

                       o     e
   Para que esta sucesi´n est´ bien definida es necesario que cada xn est´ en el
                                                                        e
dominio de f . De hecho xn ∈ h(p) pues si vale para n tenemos que

        xn+1 − xn = df (p)−1 (y − f (xn )) ≤ df (p)−1        y − f (xn ) ,     (4.2)

           e
luego tambi´n vale para n + 1.
    Si f (xn ) = y para alg´n n ya tenemos una antiimagen para y. Podemos
                           u
suponer que no se da el caso, con lo que xn+1 = xn . Vamos a demostrar la
      o
relaci´n siguiente:
                                       1
                      xn+1 − xn ≤        df (p)−1    y − f (p) .
                                      2n
     En efecto, tenemos que y = f (xn ) + df (p)(xn+1 − xn ), luego

  f (xn+1 ) − y   f (xn+1 ) − f (xn ) − df (p)(xn+1 − xn )         xn+1 − xn
                =                                                                 .
   f (xn ) − y                   xn+1 − xn                     df (p)(xn+1 − xn )

    El primer cociente es infinitesimal por la diferenciabilidad estricta de f en
p, el segundo es finito porque es la norma de la inversa del valor de df (p) sobre
un vector de norma 1. Por consiguiente el miembro izquierdo es infinitesimal.
En particular
                                         1
                         f (xn+1 ) − y ≤    f (xn ) − y .
                                         2
    Usando (4.2) llegamos a que
                                                1
     xn+1 − xn ≤ df (p)−1       y − f (xn ) ≤     df (p)−1   y − f (xn−1 ) ≤ · · ·
                                                2
                             1
                            ≤   df (p)−1 y − f (p) .
                            2n
   De esta relaci´n se sigue claramente que la sucesi´n {xn } es de Cauchy,
                  o                                    o
luego converge a un punto x. Tomando l´                     o
                                        ımites en la definici´n de xn queda que
y = f (x).
                                                                                59

                                                         a
    Ahora sabemos que f es inyectiva en un entorno est´ndar de p, por lo que
tiene una inversa est´ndar f −1 que podemos considerar de nuevo restringida
                       a
sobre el halo de f (p).
    Para probar que f −1 es estrictamente diferenciable en f (p) tomamos dos
puntos y, y ∈ h(f (p)), que ser´n de la forma y = f (x), y = f (x ). Seg´n (4.1)
                               a                                        u
tenemos que
                            y−y        df (p)(x − x )
                                    ≈                 .
                            x−x            x−x
         ı
   De aqu´ se sigue en particular que el cociente

                                      x−x
                                      y−y

                                                                           a
es finito, pues su inverso es df (p) actuando sobre un vector unitario. Adem´s

                          df (p)−1 (y − y )   x−x
                                            ≈     ,
                               x−x            x−x

luego
                df (p)−1 (y − y )   x−x          f −1 (y) − f −1 (y )
                                  ≈          =                        ,
                      y−y           y−y                 y−y
lo que prueba la diferenciabilidad estricta de f −1 en f (p) (con diferencial igual
a df (p)−1 ).
   ıtulo V
Cap´

             e
Conceptos y t´cnicas no
   a
est´ndar

                  ´
   Dedicamos el ultimo cap´   ıtulo a exponer algunos conceptos, resultados y
 e                                               a
t´cnicas de trabajo que son genuinamente no est´ndar, es decir, que no tienen
                                  ıa               a
un equivalente directo en la teor´ de conjuntos est´ndar.


5.1     Principios de permanencia
    Los principios de permanencia son argumentos que nos permiten concluir
                                                      a
bajo ciertas circunstancias que si todo conjunto est´ndar cumple algo entonces
    u                   a
alg´n conjunto no est´ndar cumple lo mismo. El principio de permanencia
  a
b´sico es el principio de transferencia, pero hay otros que pueden usarse cuando
e                                        a
´ste no se puede aplicar. Uno de los m´s elementales es el siguiente:

Principio de Cauchy Si todos los elementos de un subconjunto estrictamente
                                                                      a
externo E de un conjunto interno X cumplen una propiedad interna (quiz´ con
par´metros internos), entonces existe un x ∈ X \ E que tambi´n cumple la
   a                                                          e
propiedad.
                                            o
    Esto es trivial. Si llamamos φ(x) a la f´rmula interna aludida en el principio
                 a
(tal vez con par´metros), podemos formar el conjunto interno

                              P = {x ∈ X | φ(x)}.

Estamos suponiendo que E ⊂ P , pero no puede darse la igualdad porque en-
tonces E ser´ interno, luego P \ E = ∅.
            ıa
                                               u
    Algunos casos particulares son: si todo n´mero natural finito cumple una
                                         u
propiedad interna, entonces existe un n´mero infinito que la cumple tambi´n; e
              e
si todo infinit´simo cumple una propiedad interna entonces existe un > 0
   a                          e        ı                                u
est´ndar que la cumple tambi´n. Aqu´ usamos que el conjunto de los n´meros
                                            e
naturales finitos y el conjunto de los infinit´simos son estrictamente externos.

                                       61
62                                      ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                     Cap´                     e             a

     Veamos ahora otro principio de permanencia:
Teorema 5.1 (Lema de Robinson) Si {xn } es una sucesi´n de n´meros rea-
                                                              o      u
les tal que para todo n finito se cumple xn ≈ 0 entonces existe un n´mero natural
                                                                   u
infinito µ tal que xn ≈ 0 para todo n ≤ µ.
   Demostracion: No podemos aplicar directamente el principio de Cauchy
                ´
porque la propiedad no es interna. Ahora bien, consideramos el conjunto
                      A = {m ∈ N |               n ≤ m |xn | < 1/n},
                          u                                   e
que contiene a todos los n´meros naturales finitos, luego tambi´n contiene un
 u
n´mero infinito µ, el cual cumple claramente lo pedido.
                        o
     Veamos una aplicaci´n:
Teorema 5.2 El conjunto
                      K = {x ∈           2
                                             |   n ∈ N |xn | ≤ 1/n}
                                 2
es un subespacio compacto de         .
    Demostracion: Hemos de probar que toda sucesi´n x ∈ K es casi est´ndar
                  ´                                     o                  a
en K. Claramente xn es finito cuando n es finito, luego el principio de extensi´n
                                                                              o
                                                 st
nos da una sucesi´n est´ndar y ∈ ∞ tal que
                   o     a                          n ∈ N yn = ∗ xn . Claramente
 st
    n ∈ N |yn | ≤ 1/n, luego por transferencia vale para todo natural n, por lo
que y ∈ C. (Notemos que esta condici´n ya implica la pertenencia a 2 .) Falta
                                       o
demostrar que x − y 2 ≈ 0.
    Puesto que para n finito se cumple xn ≈ yn , es claro que, para todo m finito,
                                 m
                                         |xn − yn |2 ≈ 0,
                                 n=0

luego por el lema de Robinson lo mismo vale para un cierto natural µ infinito.
As´ı,
                      ∞                ∞                     ∞ 2
           x−y 2 ≈
                 2      |xn − yn |2 ≤    ||xn | + |yn ||2 ≤       2
                                                                    ≈ 0.
                     n=µ              n=µ                   n=µ n

luego tambi´n x − y
           e          2   ≈ 0.
               a
    Existen m´s principios de permanencia, alguno de los cuales lo hemos usado
impl´ıcitamente (al igual que los que hemos visto) en algunas demostraciones de
los cap´ıtulos precedentes. No obstante no vamos a entrar en ello.


5.2      La sombra de un conjunto
                                    a         a
    Aun partiendo de conjuntos est´ndar, es f´cil que en un razonamiento apa-
                       a                                             o     a
rezcan conjuntos no est´ndar. Por ejemplo, si partimos de una sucesi´n est´ndar
de funciones continuas {fn }, las funciones fµ , donde µ es un n´mero natural
                                                                   u
                   a                                                       o
infinito, son no est´ndar, por lo que no podemos aplicarles la caracterizaci´n no
   a                                                 ´           o
est´ndar de la continuidad. En tales casos suele ser util la noci´n de sombra de
un conjunto, que definimos a continuaci´n.o
5.2. La sombra de un conjunto                                                    63

Definici´n 5.3 Si X es un espacio m´trico y A ⊂ X, se define el halo m´trico
        o                         e                                 e
de A como el conjunto

                         hm [A] = {x ∈ X |    y ∈ A y ≈ x}.

    La sombra de A es el estandarizado de hm [A]. La representaremos por
[A] = S hm [A].

Ejemplos 1) Si ξ ∈ R es un infinit´simo, la sombra de la recta y = ξx es la
                                 e
recta y = 0.

    En efecto, si llamamos R = {(x, ξx) | x ∈ R}, entonces para todo n´mero u
real est´ndar x tenemos que (x, 0) ≈ (x, ξx), luego (x, 0) ∈ hm [R] y, al ser
        a
est´ndar, tambi´n (x, 0) ∈ [R]. Rec´
   a            e                    ıprocamente, si un par est´ndar (x, y) ∈ [R],
                                                                 a
entonces (x, y) ∈ hm [R], luego (x, y) ≈ (x , ξx ), para cierto x ∈ R (claramente
finito), luego y ≈ ξx ≈ ξx ≈ 0, lo que implica y = 0. Por consiguiente, [R] y la
                                          a
recta y = 0 tienen los mismos puntos est´ndar, luego son iguales.

   2) M´s en general, la sombra de la recta y − b = m(x − a), donde a, b y m
        a
son finitos, es la recta y − ∗ b = ∗ m(x − ∗ a).

   Llamemos R a la recta de partida. Si x ∈ R es est´ndar tenemos que
                                                    a

                  (x, ∗ b + ∗ m(x − ∗ a) ≈ (x, b + m(x − a)) ∈ R,

                       a
luego el primer par est´ en hm [R] y, como es est´ndar, tambi´n en [R].
                                                 a           e
    Rec´ıprocamente, si un par est´ndar (x, y) ∈ [R], entonces (x, y) ∈ hm [R],
                                  a
luego existe un par de la forma (x , b + m(x − a)) ∈ R infinitamente cercano a
(x, y). Por consiguiente x ≈ x e

                        y ≈ b + m(x − a) ≈ ∗ b + ∗ m(x − ∗ a).

   Como los dos extremos son est´ndar ha de ser y = ∗ b + ∗ m(x − ∗ a). Esto
                                 a
                                          a
prueba que [R] tiene los mismos puntos est´ndar que la recta indicada, luego
coinciden.

Ejercicio: Calcular la sombra de una recta que pase por un punto finito con pendiente
infinita.

                       e                        a               o
   3) Si ξ es un infinit´simo, la sombra de la gr´fica de la funci´n lineal a trozos
f indicada a la izquierda es el subconjunto de R2 indicado a la derecha.

             1




                    ξ
64                                    ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                   Cap´                     e             a

                  o
     La comprobaci´n es similar a la del ejemplo anterior.
                         u
    4) Si ρ > 0 es un n´mero real infinito y C es la circunferencia de centro
(0, ρ) y radio ρ, entonces [C] es la recta y = 0.
   Si (x, y) ∈ [C] es un punto est´ndar, entonces (x, y) ∈ hm [C], luego existe
                                    a
un par (x , y ) ∈ C tal que (x, y) ≈ (x , y ). Se cumple x 2 + (y − ρ)2 = ρ2 , de
donde y = ρ − ρ2 − x 2 . Por lo tanto

                                          x2
                            y≈y =                     ≈ 0,
                                     ρ+    ρ2 − x 2
de donde y = 0.
                                                   a              a
   Ahora hemos de probar que todo punto est´ndar (x, 0) est´ en [C]. Basta
observar que si llamamos y = ρ − ρ2 − x2 las f´rmulas anteriores muestran
                                                     o
que (x, y ) ≈ (x, 0) y que (x, y ) ∈ C, luego llegamos a que (x, 0) ∈ hm [C].
                       u                                    a               o
   5) Si ρ > 0 es un n´mero real infinito, la sombra de la gr´fica de la funci´n
y = sen ρx es toda la banda R × [−1, 1].
    Llamemos G = {(x, sen ρx) | x ∈ R}. Si (x, y) ∈ [G] es est´ndar, entonces
                                                                 a
(x, y) ∈ hm [G], luego (x, y) ≈ (x , sen ρx ), para cierto x ∈ R (finito). Por
consiguiente |y| ≈ | sen ρx | ≤ 1. Como y es est´ndar, |y| ≤ 1. Esto prueba una
                                                 a
        o
inclusi´n.
    Si (x, y) ∈ R × [−1, 1] es est´ndar, existe un x0 ∈ R est´ndar tal que y =
                                   a                          a
sen x0 . Sea k el unico entero tal que
                  ´
                            x0 + 2kπ     x0 + 2(k + 1)π
                      x =            ≤x<                .
                                ρ               ρ
   Claramente x ≈ x y sen ρx = sen x0 = y. Por lo tanto (x, y) ≈ (x , y) ∈ G,
luego (x, y) ∈ hm [G] y, al ser est´ndar, (x, y) ∈ [G].
                                   a

Teorema 5.4 Si X es un espacio m´trico y A ⊂ X, entonces [A] es cerrado en
                                e
X.

                                       a
   Demostracion: Como [A] es est´ndar podemos usar la caracterizaci´n
                  ´                                                  o
no est´ndar. Tomamos, pues, x ∈ [A] casi est´ndar y hemos de probar que
       a                                        a
y = ∗ x ∈ [A]. Esto equivale a probar que y ∈ hm [A]. Tenemos que
                          st
                               > 0 x ∈ X x ∈ [A] ∩ B (y),

luego por transferencia, fijado > 0 est´ndar, podemos tomar x ∈ [A] ∩ B (y)
                                      a
est´ndar. Entonces x ∈ hm [A] ∩ B (y), luego existe z ∈ A tal que z ≈ x y
   a
d(x , y) < . Como x e y son est´ndar, tambi´n d(z, y) < . As´ hemos probado
                                a          e                ı
que
                          st
                             > 0 z ∈ X z ∈ A ∩ B (y).
                                                      a
   No podemos aplicar transferencia porque A no es est´ndar, pero el principio
                                            u
de Cauchy nos asegura la existencia de un n´mero natural infinito µ tal que
5.3. Funciones S-continuas                                                      65

  z ∈ X(z ∈ A ∩ B1/µ (y)), lo cual equivale a        z ∈ X(z ∈ A ∧ z ≈ y). Esto
prueba que y ∈ hm [A].

                                                     a
Ejercicio: Demostrar que la sombra de un conjunto est´ndar es simplemente su
clausura.

    Con la ayuda del concepto de “sombra” de un conjunto podemos dar una
            o       e           a                                      e
interpretaci´n geom´trica no est´ndar de la derivada. Necesitamos tambi´n el
concepto de “lupa”.

Definici´n 5.5 Una lupa en Rn centrada en un punto c ∈ Rn es una homotecia
         o
de centro c y radio infinito.

   Por ejemplo, la lupa en R2 de centro (a, b) y radio ρ es la aplicaci´n
                                                                       o

                (x , y ) → (x, y) = (a + ρ(x − a), b + ρ(y − b)).

                               o         e
Teorema 5.6 (Interpretaci´n geom´trica de la derivada) Si una funci´n      o
f : A ⊂ R −→ R es est´ndar y derivable en un punto a ∈ A (donde A es abierto)
                        a
entonces la sombra de la imagen de f por cualquier lupa en R2 centrada en
(a, f (a)) es un recta de pendiente f (a).

   Demostracion: Llamemos fρ a la imagen de (la gr´fica de) f por la lupa
                   ´                                        a
                                                                  o
de centro (a, f (a)) y radio ρ. Es claro que se trata de una funci´n (las lupas son
                           a                       u
biyectivas). De hecho est´ definida sobre todo n´mero finito x, pues si hacemos
x = a + ρ(x − a), despejando vemos que x = a + (x − a)/ρ ≈ a, luego x ∈ A
y podemos calcular
                                                              x−a
      fρ (x) = f (a) + ρ(f (x ) − f (a)) = f (a) + ρ f a +        − f (a) .
                                                               ρ

   Llamando ξ = (x − a)/ρ ≈ 0 queda

                                       f (a + ξ) − f (a)
                    fρ (x) = f (a) +                     (x − a).
                                               ξ

    Esto no es una recta porque ξ depende de x, pero si f es derivable la parte
   a
est´ndar de la “pendiente” es siempre f (a), independientemente de x, y el
                                                 a
razonamiento empleado en el ejemplo 2) de la p´gina 63 se adapta m´ınimamente
para probar que [fρ ] es la recta y = f (a) + f (a)(x − a).



5.3     Funciones S-continuas
Definici´n 5.7 Una funci´n f : X −→ Y entre espacios m´tricos est´ndar es
        o               o                            e          a
S-continua en un punto x ∈ X si para todo punto x ∈ X tal que x ≈ x se
cumple f (x ) ≈ f (x).
66                                       ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                      Cap´                     e             a

       u                    o      a                        o
    Seg´n sabemos, una funci´n est´ndar f es continua si y s´lo si es S-continua
                 a
en todo punto est´ndar, y es uniformemente continua si es S-continua en todo
                            a
punto. Para funciones no est´ndar la continuidad y la S-continuidad son inde-
pendientes. Por ejemplo, si ξ es un infinit´simo, la funci´n f : R −→ R dada
                                          e              o
por
                                      0 si x < 0,
                            f (x) =
                                      ξ si x ≥ 0,
                                                                   o
es S-continua, pero no es continua en 0. Por el contrario, la funci´n del ejemplo
          a
3) de la p´gina 63 es continua pero no S-continua en 0.
   La S-continuidad puede caracterizarse como una “continuidad para miopes”
en el sentido siguiente:

Teorema 5.8 Una funci´n f : X −→ Y entre espacios m´tricos est´ndar es
                        o                          e          a
S-continua en un punto x ∈ X si y s´lo si
                                   o
            st        st
                 >0        δ > 0 x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ).

   Demostracion: Supongamos que f es S-continua y sea
             ´                                                               a
                                                                      > 0 est´ndar.
La propiedad
               x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < )
                      e
la cumple todo infinit´simo δ > 0, luego por el principio de Cauchy la ha de
                    a
cumplir un δ > 0 est´ndar.
   Rec´ıprocamente, si f cumple la condici´n del enunciado y x ≈ x, para todo
                                            o
         a
 > 0 est´ndar se cumple d(x, x ) < δ, donde δ > 0 es el n´mero est´ndar que
                                                            u          a
da la condici´n, luego d(f (x), f (x )) < . Esto prueba que f (x) ≈ f (x ).
             o

Definici´n 5.9 Una funci´n f : X −→ Y entre espacios m´tricos est´ndar es
         o                 o                                e         a
de clase S 0 en un punto x ∈ X si es S-continua en x y f (x) es casi est´ndar.
                                                                         a
Diremos que f es de clase S 0 en un conjunto A ⊂ X si es de clase S 0 en todo
               a                                     a
punto casi est´ndar de A. En particular f es casi est´ndar en A, es decir, toma
                 a                      a
valores casi est´ndar en puntos casi est´ndar.

               o                 a                  a e
     La condici´n de ser casi est´ndar es a menudo m´s d´bil de lo que parece:

                                         e         a
Teorema 5.10 Sean X e Y espacios m´tricos est´ndar, X arcoconexo, y sea
f : X −→ Y una funci´n S-continua en los puntos casi est´ndar. Si f toma
                        o                                    a
                                      a
un valor finito sobre un punto casi est´ndar, entonces toma valores finitos sobre
                         a
todos los puntos casi est´ndar. En particular, si Y es propio concluimos que f
           a
es casi est´ndar.

     Demostracion: Sea x ∈ X un punto casi est´ndar de X tal que f (x) sea
                 ´                                  a
finito y sea x cualquier otro punto casi est´ndar de X. No perdemos generalidad
                                           a
                               a
si suponemos que x y x son est´ndar. Por el principio de Cauchy existe un > 0
    a
est´ndar tal que

           uv ∈ X(u, v casi est´ndar → d(u, v) < → d(f (u), f (v)) < 1).
                               a
5.3. Funciones S-continuas                                                       67

   Tomemos un arco (continuo) g : [0, 1] −→ X con extremos g(0) = x y
g(1) = x . Podemos tomarlo est´ndar. Una partici´n infinitesimal {xi }m
                                     a                    o                  i=0
de [0, 1] tiene la propiedad de que d(g(xi−1 ), g(xi )) < , y por transferencia
                        a                       ı,
podemos tomar una est´ndar, con m finito. As´ d(f (g(xi−1 )), f (g(xi ))) < 1, de
donde se sigue que d(f (x), f (x )) ≤ m, luego f (x ) es finito.
                                                             ıproco del que
   El teorema principal sobre funciones S-continuas es el rec´
                              o
vamos a demostrar a continuaci´n.
Teorema 5.11 Sea f : X −→ Y una aplicaci´n entre dos espacios m´tricos
                                                o                     e
est´ndar tal que existe una aplicaci´n est´ndar continua g : X −→ Y de modo
   a                                o     a
que f (x) ≈ g(x) para todo punto casi est´ndar x ∈ X. Entonces f es de clase
                                          a
S 0 en X.
    Demostracion: Si x ∈ X es un punto casi est´ndar, entonces f (x) ≈
                  ´                                      a
g(x) ≈ g(∗ x), luego f (x) es casi est´ndar. Si y ≈ x, entonces f (y) ≈ g(y) ≈
                                       a
g(∗ y) = g(∗ x) ≈ g(x) ≈ f (x), luego la funci´n f es S-continua en x.
                                              o
                                                                 o
    Notemos que si X es localmente compacto entonces la funci´n g no es sino
            a                                ıa
la parte est´ndar de f respecto a la topolog´ de la convergencia uniforme en
compactos. As´ pues, lo que dice el teorema en este caso es que si ∗ f ∈ C(X, Y )
               ı
entonces f es de clase S 0 .
    Para demostrar el rec´ıproco observamos que si f : X −→ Y es una funci´n
                                                                          o
                                              ˜
de clase S 0 podemos definir su estandarizada f : X −→ Y como la extensi´n o
est´ndar de la aplicaci´n ◦ X −→ ◦ Y dada por f (x) = ∗ f (x).
   a                   o                       ˜

Teorema 5.12 (Teorema de la sombra continua) Si f : X −→ Y es una
aplicaci´n de clase S 0 entre espacios m´tricos est´ndar, entonces su estandari-
        o                               e          a
      ˜                        ˜
zada f es continua y cumple f (x) ≈ f (x) para todo punto casi est´ndar x ∈ X.
                                                                  a
                                  ˜
   Demostracion: Basta probar que f es continua, pues la segunda parte es
                ´
entonces inmediata:
                     f (x) ≈ f (∗ x) = ∗ f (∗ x) ≈ f (∗ x) ≈ f (x).
                     ˜       ˜
         ˜      a                                                  a
   Como f es est´ndar, basta probar que es continua en un punto est´ndar
x ∈ X. Como f es S-continua tenemos que
          st        st         st
               >0        δ>0        x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ).
   Fijados , el correspondiente δ y un x , todos est´ndar, tenemos que
                                                    a
                                                ˜      ˜
                           d(f (x), f (x )) ≈ d(f (x), f (x )),
luego
          st        st         st                          ˜      ˜
               >0        δ>0        x ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ).
   Por el principio de transferencia pasamos a x , luego cambiamos a             δ y
de nuevo por transferencia a        ı                           ˜
                                . As´ tenemos la continuidad de f .
                   ´
   Uniendo los dos ultimos teoremas concluimos como caso particular:
68                                   ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                  Cap´                     e             a

                                           e        a
Teorema 5.13 Si X e Y son espacios m´tricos est´ndar y X es localmente
compacto, entonces una funci´n f ∈ Y X es de clase S 0 si y s´lo si es casi
                              o                                  o
est´ndar y ∗ f ∈ C(X, Y ), donde en Y X consideramos la topolog´ de la conver-
   a                                                           ıa
gencia uniforme en compactos.

                                     o     e
   El teorema siguiente es una versi´n geom´trica del teorema de la sombra
continua, de donde le viene el nombre:

Teorema 5.14 Sea f : X −→ Y una funci´n casi est´ndar entre espacios
                                             o        a
m´tricos est´ndar. Entonces f es de clase S 0 si y s´lo si la sombra de su
  e         a                                       o
  a            a                o
gr´fica es la gr´fica de una funci´n continua.
                                                                     ˜
    Demostracion: Si f es de clase S 0 se cumple que [f ] = f . En efecto, si
                    ´
(x, y) ∈ [f ] es un punto est´ndar, entonces (x, y) ≈ (x , f (x )) ∈ hm [f ], luego
                                a
y = ∗ f (x ) = ∗ f (x) = f (x). Por lo tanto (x, y) ∈ f .
                         ˜                              ˜
    Rec´ ıprocamente, si (x, f          ˜                                    ˜
                               ˜(x)) ∈ f es un par est´ndar, entonces (x, f (x)) ≈
                                                          a
                           ˜(x)) ∈ hm [f ] y al ser est´ndar est´ de hecho en [f ].
(x, f (x)) ∈ f , luego (x, f                           a        a
    Por otra parte, si [f ] = g es una funci´n continua, basta probar que f (x) ≈
                                            o
g(x) para todo punto casi est´ndar x ∈ X (pues entonces podemos aplicar
                                  a
5.11). En efecto (∗ x, ∗ f (x)) ≈ (x, f (x)) ∈ f , luego (∗ x, ∗ f (x)) ∈ hm [f ] y,
al ser est´ndar, (∗ x, ∗ f (x)) ∈ g, es decir, g(∗ x) = ∗ f (x). Por consiguiente
          a
g(x) ≈ g(∗ x) = ∗ f (x) ≈ f (x).
                o
   Como aplicaci´n del teorema de la sombra continua demostraremos el teo-
rema de Ascoli. En primer lugar caracterizamos los conjuntos de funciones
uniformemente equicontinuos.

                                             e           a
Teorema 5.15 Sean X e Y dos espacios m´tricos est´ndar. Un conjunto
K ⊂ C(X, Y ) es uniformemente equicontinuo si y s´lo si est´ compuesto por
                                                    o         a
                                                          o
funciones S-continuas en todo punto de X, es decir, si y s´lo si

                      f ∈ K xx ∈ X(x ≈ x → f (x) ≈ f (x )).

    Demostracion: Si K es uniformemente equicontinuo, tomamos f ∈ K y
                ´
x, x ∈ X tales que x ≈ x . Por hip´tesis
                                  o

             > 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x ) < ).
                                         st        st
   Por transferencia podemos poner       > 0                      ı,
                                                        δ > 0. As´ para los puntos
                                                    st
x ≈ x que hab´    ıamos tomado concluimos que             > 0 d(f (x), f (x )) < , es
decir, f (x) ≈ f (x ).
        ıprocamente, si se da esta condici´n se cumple
     Rec´                                 o
        st
             > 0 δ > 0 f ∈ K xx ∈ X(d(x, x ) < δ → d(f (x), f (x )) < ),

pues basta tomar δ infinitesimal. Ahora basta aplicar el principio de transfe-
rencia.
5.4. Funciones de clase S 1                                                     69

                                                 e
Teorema 5.16 (Ascoli) Sean X e Y espacios m´tricos compactos y tomemos
K ⊂ C(X, Y ), donde consideramos la topolog´ de la convergencia uniforme.
                                             ıa
                                           o
Entonces K es relativamente compacto si y s´lo si es uniformemente equiconti-
nuo.
    Demostracion: Si K es relativamente compacto, entonces toda f ∈ K
                  ´
tiene parte est´ndar en C(X, Y ), luego por el teorema 5.13 es de clase S 0 en X,
                a
                                                                            a
es decir, es S-continua en todos los puntos de X (porque todos son casi est´ndar
al ser X compacto).
   Rec´ıprocamente, si K es uniformemente equicontinuo todas sus funciones
                                e              a
son S-continuas en E, y tambi´n son casi est´ndar (como funciones, no como
puntos) porque Y es compacto. Por lo tanto son de clase S 0 y por el teorema
                 a                    ı
5.13 son casi est´ndar en C(X, Y ). As´ pues, K es relativamente compacto.


5.4      Funciones de clase S 1
   Las funciones de clase S 1 que pasamos a estudiar son a las funciones de clase
 1
C lo que las funciones de clase S 0 que hemos estudiado son a las funciones
continuas.
Definici´n 5.17 Una aplicaci´n f : A ⊂ Rn −→ Rm definida en un abierto A
          o                    o
es de clase S 1 en un punto p ∈ A si es casi est´ndar y existe una aplicaci´n
                                                  a                        o
lineal est´ndar L : Rn −→ Rm tal que cuando x, y ∈ A, x ≈ p ≈ y, x = y se
          a
cumple
                         f (x) − f (y) − L(x − y)
                                                  ≈ 0.
                                   x−y
Se dice que f es de clase S 1 en A si lo es en todo punto casi est´ndar de A.
                                                                  a
       u
    Seg´n los resultados del cap´                                       o     a
                                  ıtulo anterior, es claro que una funci´n est´ndar
es de clase S 1 en un punto p si y s´lo si es estrictamente diferenciable en p, y f
                                     o
es de clase S 1 en un abierto A si y s´lo si es de clase C 1 en A.
                                        o
                                                                       o
    Para el caso de funciones reales de variable real, en la definici´n podemos
                     o            a                  u         a
sustituir la aplicaci´n lineal est´ndar L por un n´mero est´ndar a tal que
                                 f (x) − f (y)
                                               ≈ a.
                                     x−y
     Si ξ es un infinit´simo, la funci´n f : R −→ R dada por
                      e              o
                                        0  si x < 0,
                              f (x) =
                                        ξx si x > 0,
no es derivable en 0 pero es f´cil ver que s´ que es de clase S 1 en R. La funci´n
                              a             ı                                   o
f (x) = sen(x/ξ), donde ξ es un infinit´simo, es de clase C 1 en R, pero no es de
                                        e
clase S 1 en 0 (ver 5.19).
                                         a
    Veamos ahora algunos resultados an´logos a otros bien conocidos sobre fun-
ciones de clase C 1 . Por simplicidad nos restringimos al caso de funciones reales
de variable real.
70                                       ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                      Cap´                     e             a

Teorema 5.18 Toda funci´n f : A ⊂ R −→ R de clase C 1 en un punto p ∈ A
                       o
es de clase S 0 en p.

   Demostracion: Por definici´n de clase S 1 tenemos que f (p) es casi est´ndar.
                ´               o                                        a
                                                             e
Falta probar que f es S-continua en p, pero si ξ es un infinit´simo entonces
                                f (p + ξ) − f (p)
                                                  ≈ f (p),
                                        ξ
luego f (p + ξ) − f (p) ≈ ξf (p) ≈ 0.

Teorema 5.19 Sea f : A ⊂ R −→ R una funci´n derivable y casi est´ndar en
                                               o                      a
un abierto A. Entonces f es de clase S 1 en A si y s´lo si f es de clase S 0 en
                                                    o
A.

    Demostracion: Si f es de clase S 0 y p ∈ A es casi est´ndar, por el teorema
                 ´                                        a
del valor medio, si x, y ∈ A cumplen x ≈ p ≈ y, x = y, existe un z entre ellos
(y por consiguiente z ≈ p) tal que

                        f (y) − f (x)
                                      = f (z) ≈ f (p) ≈ ∗f (p),
                            y−x

luego f es de clase S 1 en p.
   Rec´ıprocamente, si f es de clase S 1 y p ∈ A es casi est´ndar, entonces, para
                                                            a
                e
cualquier infinit´simo ξ se cumple que
                                         f (p + ξ) − f (p)
                              f (p) ≈                      ,
                                                 ξ

y este cociente es casi est´ndar por definici´n de clase S 1 , luego f es casi
                           a                o
   a        a u                      o    a
est´ndar. M´s a´n, usando la definici´n est´ndar de derivada, existe un δ > 0
                     n
suficientemente peque˜o (en particular infinitesimal) tal que

                                   f (p + ξ + δ) − f (p + ξ)
                     f (p + ξ) ≈                             ≈ f (p),
                                               δ
luego f es S-continua en p.
                                                              a
    Vamos a demostrar un teorema de la sombra derivable an´logo al teorema
                                                                       o
de la sombra continua. Para ello necesitamos la siguiente caracterizaci´n de la
clase S 1 como una derivabilidad “para miopes”:

Teorema 5.20 Una funci´n casi est´ndar f : A ⊂ R −→ B es de clase S 1 en
                            o        a
                 o                 u        a
un punto p si y s´lo si existe un n´mero est´ndar b tal que

 st        st                                                     f (x) − f (y)
      >0        δ > 0 xy ∈ A |x−p| < δ∧|y−p| < δ∧x = y →                        −b <   .
                                                                      x−y
                 o      a
   La demostraci´n es an´loga a la de 5.8. Con esto ya podemos probar el
teorema principal:
5.4. Funciones de clase S 1                                                        71

Teorema 5.21 (Teorema de la sombra derivable) Sea f : A ⊂ R −→ R
                                                                       ˜
una funci´n de clase S 1 en el abierto A. Entonces su estandarizada f es de
          o
clase C 1 en A y si p ∈ A es casi est´ndar, x ≈ p ≈ y, x = y, entonces
                                     a
                                    f (x) − f (y)   ˜
                                                  ≈ f (p).
                                        x−y

    Demostracion: Ante todo, el teorema de la sombra continua nos da que f
                  ´                                                         ˜
                 a                o                                a
es continua y est´ infinitamente pr´xima a f en todo punto casi est´ndar de A.
              ˜                                                  ˜     a
Veamos que f es estrictamente derivable en todo punto. Como f es est´ndar
podemos tomar un punto est´ndar p ∈ A. Como f es de clase S , por el teorema
                            a                               1

                    u         a
anterior existe un n´mero est´ndar b tal que

 st         st         st                                          f (x) − f (y)
      >0         δ>0        xy ∈ A |x−p| < δ∧|y−p| < δ∧x = y →                   −b <   .
                                                                       x−y
                                               ˜      ˜
    Ahora bien, si cambiamos f (x) y f (y) por f (x), f (y) el cociente incremental
                 o
sufre una variaci´n infinitesimal, luego

 st         st         st
                                                                   ˜       ˜
                                                                   f (x) − f (y)
      >0         δ>0        xy ∈ A |x−p| < δ∧|y−p| < δ∧x = y →                   −b <   .
                                                                       x−y
           ˜       a
    Como f es est´ndar podemos aplicar el principio de transferencia para eli-
minar las restricciones en los cuantificadores. Lo que resulta es la derivabilidad
             ˜                                       ˜
estricta de f . Por el teorema 4.4 concluimos que f es de clase C 1 en A. M´s  a
a´n, es claro que f
 u                  ˜ (p) = b =, luego tenemos la aproximaci´n del enunciado
                                                               o
                a                                  a
cuando p es est´ndar. Si, en general, p es casi est´ndar, tenemos que
                                f (x) − f (y)
                                              ≈ f (∗ p) ≈ f (p).
                                                ˜         ˜
                                    x−y


                          e                         o
      Tiene especial inter´s el caso en que la funci´n de partida es derivable:

Teorema 5.22 Si f : A ⊂ R −→ R es una funci´n derivable y de clase S 1
                                                    o
                          ˜                   ˜
entonces la estandarizada f es de clase C 1 y f es la estandarizada de f .

    Demostracion: Basta observar que, en la prueba del teorema anterior, si
                  ´
                                 u
f es derivable en p entonces el n´mero b que consideramos es simplemente f (p),
                                 ˜
luego llegamos a que f (p) ≈ f (p), para todo punto est´ndar p ∈ A. Por lo
                                                           a
tanto, si llamamos g a la estandarizada de f , tenemos que f (p) = ∗ f (p) = g(p)
                                                            ˜
                                   a
y, como ambas funciones son est´ndar, de hecho son iguales.


Ejemplo          Sea ξ > 0 un infinit´simo.
                                    e         La funci´n f : R −→ R dada por
                                                      o
                                     
                                     0         si x ≤ 0,
                                       1
                             f (x) = ξ x        si 0 ≤ x ≤ ξ 2 ,
                                     
                                       ξ        si x ≥ ξ 2 ,
72                                   ıtulo 5. Conceptos y t´cnicas no est´ndar
                                  Cap´                     e             a

es de clase S 0 , su estandarizada es la funci´n constante nula, luego es de clase
                                              o
C 1 , pero f no es de clase S 1 en 0.
Ejercicio: Demostrar el rec´                                              ı
                             ıproco del teorema de la sombra derivable, as´ como una
     o      e
versi´n geom´trica similar a 5.14.

                                   o
   Terminamos con una aplicaci´n del teorema de la sombra continua. En
                                      o
general no es cierto que si una sucesi´n de funciones derivables converge unifor-
                      o
memente a una funci´n, entonces el l´                   o
                                      ımite de la sucesi´n de las derivadas sea la
              ımite. Por ejemplo, la sucesi´n
derivada del l´                            o
                                               x
                                 fn (x) =
                                            1 + nx2
                                    o
converge uniformemente a la funci´n 0 en [0, 1] y las derivadas convergen a 1
en 0. M´s a´n, existen sucesiones de funciones de clase C ∞ que convergen
          a u
                                                  u
uniformemente a funciones no derivables en ning´n punto. El teorema cl´sicoa
               o            ımite de funciones y el l´
sobre la relaci´n entre un l´                        ımite de sus derivadas es el
siguiente:

Teorema 5.23 Sea {fn }n una sucesi´n de funciones fn : ]a, b[ ⊂ R −→ R de
                                      o
clase C 1 en el abierto A y que converja puntualmente en un cierto x0 ∈ ]a, b[.
Supongamos que la sucesi´n de las derivadas {fn }n converge uniformemente
                           o
a un l´ımite g. Entonces {fn }n converge uniformemente en compactos a una
     o
funci´n f tal que f = g.

    Demostracion: Por el principio de transferencia podemos suponer que las
                  ´
dos sucesiones y el punto x0 son est´ndar. Sea µ un n´mero natural infinito.
                                       a                   u
Tenemos que fµ ≈ g, luego fµ es de clase S 0 por el teorema 5.11.
                        ımite de la sucesi´n est´ndar {fn (x0 )}n ha de ser un
    Por otra parte, el l´                   o      a
n´mero est´ndar y0 tal que fµ (x0 ) ≈ y0 , por lo que fµ (x0 ) es casi est´ndar. Por
 u          a                                                             a
el teorema del valor medio concluimos que fµ es casi est´ndar, y ahora podemos
                                                          a
aplicar 5.19, que nos da que fµ es de clase S 1 .
                                                       ˜
    El teorema anterior nos da finalmente que f = fµ es de clase C 1 y f = g
(pues claramente g es la estandarizada de fµ ). Esto (junto con que f (x0 ) = y0 )
prueba adem´s que f no depende de µ, con que que f (x) ≈ fµ (x) para todo
              a
x ∈ A casi est´ndar (en ]a, b[), lo cual equivale a que la sucesi´n {fn } converge
               a                                                   o
uniformemente en compactos a f .
  e
Ap´ndice A

       ıa
La teor´ de Hrbacek

              e                          ıa                   a
    En este ap´ndice expondremos la teor´ de conjuntos no est´ndar presentada
por K. Hrbacek en [2], que se diferencia de la de Nelson en que axiomatiza los
conjuntos externos. Nos referiremos a ella como H.
                              a
    El lenguaje de ZFC est´ formado por las variables x, y, z, . . . , por los
dos relatores ∈, =, el negador ¬, el implicador →, el generalizador        y por
                 ´
el descriptor |. Este ultimo aparece en expresiones como ∅ = x| y y ∈ x (el
                      ´                                                  /
             ıo        u
conjunto vac´ es el —´nico— x tal que, para todo y, y no pertenece a x).
    Convendremos en que todas las descripciones impropias, como x|x · 0 = 0
o x|x ∈ ∅, es decir, las descripciones determinadas por una condici´n queo
cumplen varios conjuntos o no la cumple ninguno, representan todas un mismo
conjunto arbitrario. Por simplicidad supondremos que se trata del conjunto
vac´ Podemos expresar esto as´ x|(x = x) = ∅. Formalmente esto ha de
    ıo.                            ı:
                                n
entenderse como un axioma a˜adido a los axiomas de ZFC, pero en realidad es
            o                                             e
una definici´n: estamos conviniendo que todo lo que est´ mal definido es por
        o                 ıo.         a
definici´n el conjunto vac´ En la pr´ctica nunca vamos a trabajar con nociones
                                    a
mal definidas, pero al tratar sistem´ticamente con expresiones arbitrarias hemos
de contemplar la posibilidad de que sean descripciones impropias. En cuanto
                                                  ıo
hayamos justificado la existencia del conjunto vac´ en H adoptaremos tambi´n   e
                      ıa
este axioma en la teor´ de Hrbacek.

   Cualquier otro signo lo consideraremos como una abreviatura de una ex-
     o               ´
presi´n que contenga unicamente estos signos. Por ejemplo,

                      x ∈ y ∨ x ∈ z ≡ ¬(x ∈ y) → x ∈ z,

donde ≡ es un signo metamatem´tico que indica que ambos miembros son
                                    a
                                                 o
dos formas distintas de referirnos a la misma f´rmula. No consideramos a los
   e                                                   o
par´ntesis como signos de nuestro lenguaje, pues te´ricamente pueden supri-
               o
mirse a condici´n de alterar la sintaxis del lenguaje (ver [4]).

                         ıa
   El lenguaje de la teor´ de Hrbacek consta de los signos del lenguaje de ZFC
 a                                     a
m´s dos nuevos relatores st x (x es est´ndar) e in x (x es interno). Si α es una

                                      73
74                                                        e                ıa
                                                        Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

 o
f´rmula, usaremos las abreviaturas
                       st                st            in             in
                            xα,               xα,           xα,            xα

                                                   o
con los significados obvios. Cuando hablemos de f´rmulas de ZFC entenderemos
         o
que son f´rmulas en las que no aparecen los relatores que acabamos de introducir,
                               o
mientras que si hablamos de f´rmulas de H entenderemos que pueden contener
estos relatores.
    Para indicar que un conjunto es arbitrario, no necesariamente interno, dire-
mos que es externo. Cuando queramos indicar que no es interno diremos que es
estrictamente externo.
              a                                                  a
    La idea b´sica que debe guiarnos es que los conjuntos est´ndar de H se
                                    a              ıa
corresponden con los conjuntos est´ndar de la teor´ de Nelson, los conjuntos
                                                              ıa
internos de H se corresponden con los conjuntos de la teor´ de Nelson (los
que existen formalmente, es decir, los internos) y los conjuntos estrictamente
                                                                   ıa
externos de H se corresponden con los conjuntos externos de la teor´ de Nelson,
de los que s´lo tiene sentido hablar metamatem´ticamente.1
            o                                  a
    Desgraciadamente no podemos suponer que los conjuntos externos satisfacen
         a                                                               a
la axiom´tica completa de ZFC. Nos tendremos que limitar a la axiom´tica de
                                    o
Zermelo incluido el axioma de elecci´n, es decir, suprimimos el axioma de reem-
                                           o
plazo e incluimos el axioma de especificaci´n. Como contrapartida, extendemos
                  o
dicho axioma a f´rmulas arbitrarias de H, luego, a diferencia de lo que sucede
          ıa
en la teor´ de Nelson, podemos usar libremente los relatores st e in para defi-
                              a
nir conjuntos (lo que suceder´ es que por regla general los conjuntos definidos
                       a
con estos relatores ser´n estrictamente externos). Expl´ ıcitamente, los axiomas
  a
b´sicos son los siguientes:
     Extensionalidad              xy( u(u ∈ x ↔ u ∈ y) → x = y),
                     Par          xy z u(u ∈ z ↔ u = x ∨ u = y),
                     ´
                  Union           x y u(u ∈ x → u ⊂ y),
                  ´
      Especificacion                     o
                              Para toda f´rmula α(u, x1 , . . . , xn ) de H,
                                  x y u(u ∈ y ↔ u ∈ x ∧ α(u, x1 , . . . , xn )),
                 Partes           x y u(u ⊂ x → u ∈ y),
                    ´
              Eleccion        Todo conjunto admite un buen orden.
                                                               o     ´
   El conjunto cuya existencia postula el axioma de especificaci´n es unico por
extensionalidad, y es el que se representa usualmente por

                                  {u ∈ x | α(u, x1 , . . . , xn )}.

                      ı
   Notemos que de aqu´ se sigue la existencia de un conjunto sin elementos
(tomando α(u) ≡ u = u), por lo que no hemos necesitado el axioma del conjunto
   1 En realidad los axiomas de H determinan propiedades ligeramente distintas para los con-

                                                                ınimas, pero debemos tener
juntos internos que los axiomas de Nelson. Las diferencias son m´
presente que la correspondencia entre ambas es aproximada.
                                                                                            75

    ıo.
vac´ Tampoco hemos incluido el axioma de infinitud porque se deducir´ de      a
los axiomas restantes. Veremos luego que el axioma del reemplazo y el axioma
de regularidad son contradictorios con estos otros axiomas.
                o                             o                    ıa
    La supresi´n del axioma de reemplazo s´lo hace que la teor´ de conjuntos
                                        ıa
se resienta en lo concerniente a la teor´ de ordinales y cardinales. Por ejemplo,
no es posible demostrar la existencia del ordinal ω · 2, por lo que un conjunto
                                 e
bien ordenado no tiene por qu´ tener asociado un ordinal. Sin embargo, los
resultados que no dependen directamente de estas nociones (lo cual incluye a
                  a        a                  ıa         a
los resultados b´sicos del ´lgebra, la topolog´ o del an´lisis) siguen disponibles
en esta teor´ 2 En particular disponemos de todo el lenguaje conjuntista b´sico:
            ıa.                                                             a
aplicaciones, relaciones, etc.
                                                ıa
   Introducimos ahora dos axiomas que en la teor´ de Nelson son triviales,
pues en ella todo conjunto es interno:
                          st
             ´
      Inclusion:               x in x                                       a
                                                          (Todo conjunto est´ndar es interno.)
                          in
Transitividad:                 x u(u ∈ x → in u)          (Los elementos de los conjuntos
                                                          internos son internos.)
    El axioma de transitividad afirma que al introducir los conjuntos externos
          ıa
en la teor´ no estamos modificando los conjuntos internos, en el sentido de que
        n
no les a˜adimos elementos.
                                                 o                ıa
   Ahora debemos insistir en que una afirmaci´n que en la teor´ de Nelson
                         u                                         o
empiece por “para todo n´mero natural. . . ” equivale a una afirmaci´n de H que
                          u
empiece por “para todo n´mero natural interno. . . ” Para formalizar esta idea
                            o                o           o
hemos de introducir la noci´n de relativizaci´n de una f´rmula:
   Si θ es una expresi´n de ZFC, definimos θin como la expresi´n determinada
                       o                                     o
por las reglas siguientes:

  a) xin ≡ x,

  b) (x = y)in ≡ x = y,                  (x ∈ y)in ≡ x ∈ y,

   c) (¬α)in ≡ ¬αin ,

  d) (α → β)in ≡ αin → β in ,
                    in
   e) ( xα)in ≡          xαin ,

   f) (x|α)in ≡ x|(in x ∧ αin ).

   Son claras las identidades

 (α ∨ β)in ≡ αin ∨ β in ,               (α ∧ β)in ≡ αin ∧ β in ,   (α ↔ β)in ≡ αin ↔ β in ,
   2 Un uso elemental del esquema de reemplazo es la prueba de la existencia de x × y, pero

teniendo en cuenta que (u, v) = {{u}{u, v}}, podemos obtener x × y por especificaci´n desde
                                                                                  o
P(P(x ∪ y)).
76                                                          e                ıa
                                                          Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

  ı                         o
as´ como las equivalencias l´gicas
                                                 1                  1
                               in
               ( xα)in ↔            xαin ,   y ( xα)in ↔                x(in x ∧ αin ).

    Por ejemplo α ∨ β ≡ ¬α → β y basta aplicar las reglas correspondientes a
la implicaci´n y a la negaci´n. Lo mismo sucede con la conjunci´n α ∧ β ≡
            o               o                                    o
¬(¬α ∨ ¬β) y la coimplicaci´n α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α).
                            o
     Para el cuantificador existencial tenemos que                   xα ≡ ¬ x¬α, luego
                                                     in
                                    ( xα)in ≡ ¬           x¬αin .
                                                           in
    Esto no es exactamente lo mismo que         xαin , pero ambas f´rmulas son
                                                                    o
 o                                      a
l´gicamente equivalentes, luego en la pr´ctica relativizar un cuantificador  es
                in
cambiarlo por                                               ´
                   . Similarmente sucede con la existencia unica.

                                                                   o
Ejemplo Veamos un ejemplo del “funcionamiento” de esta noci´n. Todav´        ıa
no estamos en condiciones de justificar nada de lo que vamos a decir. Este
ejemplo es meramente orientativo.
    Ahora tenemos que distinguir entre el conjunto N de los n´meros naturales
                                                              u
y el conjunto Nin de los n´meros naturalesin . El primero es el conjunto de los
                          u
 u
n´meros naturales (externos) construido a partir de los axiomas de Zermelo.
Por ejemplo, podemos definir N como la intersecci´n de todos los conjuntos
                                                     o
(externos) que contienen a 0 = ∅ y que si contienen a un conjunto n contienen
tambi´n a n + 1 = n ∪ {n}. Con esta definici´n se prueba que N s´lo contiene
      e                                       o                    o
 u          a
n´meros est´ndar. La prueba se basa en que podemos definir el conjunto

                                     X = {n ∈ N | st n},

                ıcito en la teor´ de Nelson) y demostrar que
(lo cual no es l´               ıa

                              0∈X∧           n ∈ X n + 1 ∈ X.

     Por definici´n de N tenemos que N ⊂ X, luego N = X.
                o
    Por otra parte, Nin es la intersecci´n de todos los conjuntos internos que
                                        o
contienen a 0 y que si contienen a n contienen a n ∪ {n}. El conjunto X resulta
                                                                o
ser estrictamente externo, luego no forma parte de la intersecci´n que estamos
considerando. El resultado es que N ⊂ Nin , pero el segundo contiene muchos
conjuntos que no est´n en N, conjuntos que son n´meros naturalesin , pero no
                     a                              u
son n´meros naturales. Demostraremos que N = {n ∈ Nin | st n}.
      u

     El siguiente grupo de axiomas de H es:
     ZFCin : Si α es un axioma de ZFC, entonces3 αin es un axioma de H.
   3 Aqu´ suponemos que los axiomas de ZFC no tienen variables libres. En el caso del axioma
        ı
del reemplazo, donde aparece una f´rmula que puede tener par´metros x1 , . . . , xn , hay que
                                  o                            a
entender que el axioma empieza con x1 · · · xn .
                                                                                      77

                                                                      ıa
    En otras palabras, los conjuntos internos (al igual que en la teor´ de Nelson)
cumplen ZFC. El hecho de que los conjuntos externos no cumplan todo ZFC no
tiene gran importancia, pues debemos tener presente que el objeto de la teor´   ıa
H es estudiar los conjuntos internos como herramienta a su vez para el estudio
                    a
de los conjuntos est´ndar. Los conjuntos externos son un mero auxiliar.

Ejemplo El axioma del conjunto vac´ en ZFC afirma que x y x ∈ y, es
                                        ıo                             /
decir, existe un conjunto sin elementos. Por el axioma de extensionalidad es
unico, lo que justifica la definici´n ∅ ≡ x| y y ∈ x.
´                                 o            /
                           in  in
     Ahora tenemos que        x y x ∈ y es un axioma de H, es decir, existe un
                                    /
                                                                 ıamos llamar
conjunto interno sin elementos internos. A este conjunto lo deber´
                 in
∅ ≡ x|(in x∧ y y ∈ x). Ahora bien, como los conjuntos internos s´lo pueden
  in
                      /                                            o
tener elementos internos concluimos que ∅in no tiene elementos en absoluto,
luego es simplemente ∅in = ∅. En particular tenemos que ∅ es interno.
                                                   e                    o
   Veamos un resultado trivial. Recordemos que un t´rmino es una expresi´n
que nombra a un objeto, como x ∪ y, (por oposici´n a “f´rmula” que es una
                                                o      o
expresi´n que afirma algo, como x ⊂ y).
       o

Teorema A.1 Sea t(x1 , . . . , xn ) un t´rmino del lenguaje de ZFC con las varia-
                                        e
                                                       in
bles libres indicadas. Entonces se prueba en H que        x1 . . . xn in tin .

    Demostracion: Un t´rmino ha de ser necesariamente una variable t ≡ x,
                  ´        e
en cuyo caso el teorema es trivial, o bien una descripci´n t ≡ x|α(x, x1 , . . . , xn ),
                                                        o
y entonces tin es el unico x interno que cumple αin si es que existe (y entonces
                     ´
es interno) o bien es (x|x = x) = ∅ si no existe (y tambi´n es interno).
                                                          e
             ıa
   En la teor´ de Nelson, al suponer todos los axiomas de ZFC tenemos au-
   a                                            a
tom´ticamente todos los teoremas de ZFC. El an´logo para H no es igual de
                     e
inmediato, pero tambi´n se cumple:

Teorema A.2 Si α es un teorema de ZFC sin variables libres, entonces αin es
un teorema de H.

                                                             o
     La prueba de este teorema es una comprobaci´n rutinaria basada en la de-
        o                   o                             o            a
finici´n de “demostraci´n” que proporciona la l´gica matem´tica: una f´rmula       o
                                                     u
es un teorema de ZFC si se deduce en un n´mero finito de pasos a partir de los
                                            o                          o
axiomas de ZFC y de los axiomas l´gicos mediante la aplicaci´n de ciertas reglas
                                                               o
de inferencia. Se comprueba que si α es un axioma l´gico (con variables libres
                           in
x1 , . . . , xn ) entonces    x1 · · · xn αin es un teorema de H; por otra parte, si α es
un axioma de ZFC entonces αin es un axioma de H; finalmente, se comprueba
                                    o
que si α se deduce de otras f´rmulas mediante una regla de inferencia, entonces
  in
     x1 · · · xn αin puede demostrarse en H a partir de las relativizaciones de las
                       ı           a                                      o
premisas. De aqu´ se sigue f´cilmente el teorema. La demostraci´n es construc-
tiva, en el sentido de que permite obtener expl´                                 o
                                                         ıcitamente la demostraci´n en H
de cualquier f´rmula αin sin variables libres a partir de la demostraci´n de α en
                    o                                                         o
ZFC.
78                                                                    e                ıa
                                                                    Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

    Hemos demostrado que ∅in = ∅, y hemos anunciado que Nin = N. Vamos a
                             o
ver ahora que la relativizaci´n a conjuntos internos es trivial para los conceptos
  a               ıa
b´sicos de la teor´ de conjuntos, es decir, que “en la medida de lo posible”
los conceptos internos coinciden con los externos. Para ello introducimos el
concepto siguiente:

       o                      e
Definici´n A.3 Diremos que un t´rmino t(x1 , . . . , tn ) de ZFC es absoluto si
                              in
                                   x1 · · · xn tin (x1 , . . . , xn ) = t(x1 , . . . , xn ).

          o
     Una f´rmula α(x1 , . . . , xn ) de ZFC es absoluta si
                         in
                              x1 · · · xn (αin (x1 , . . . , xn ) ↔ α(x1 , . . . , xn )).

   Por ejemplo, hemos demostrado que ∅ es absoluto. El teorema siguiente nos
permite reconocer muchas expresiones absolutas:

Teorema A.4 Se cumple
            e                           o               o
     a) Un t´rmino t es absoluto si y s´lo si lo es la f´rmula x = t, donde x es
                               e
        una variable que no est´ libre en t.
                o                                 ıa                    o
     b) Si una f´rmula α es equivalente en la teor´ de Zermelo Z a una f´rmula
        absoluta β entonces α es absoluta.
     c) x = y y x ∈ y son f´rmulas absolutas.
                           o
     d) Si α y β son f´rmulas absolutas, tambi´n lo son ¬α, α → β, α ∨ β, α ∧ β,
                      o                       e
                                                       1

        α ↔ β,     x ∈ y α,               x ∈ y α,         x ∈ y α, x|(x ∈ y ∧ α).
     e) Si θ(x1 , . . . , xn ) es una expresi´n absoluta y t1 , . . . , tn son t´rminos abso-
                                             o                                  e
        lutos, entonces θ(x1 , . . . , xn ) tambi´n es absoluta.
                                                 e

     Demostracion: a) Si x = t es absoluta tenemos que
               ´

                                          x1 · · · xn x(x = tin ↔ x = t),

y sustituyendo x por tin obtenemos que tin = t. El rec´
                                                      ıproco es similar.
     b) Si en Z tenemos                 x1 · · · xn (α ↔ β), entonces en H tenemos
                    in
                         x1 · · · xn (αin ↔ β in ),             y       x1 · · · xn (α ↔ β).
                          in
     En particular             x1 · · · xn (α ↔ β), con lo que la conclusi´n es clara.
                                                                          o
     c) es inmediato.
    d) La prueba para ¬α y α → β es inmediata. Para los conectores restantes
se deduce de estos dos casos. Para el cuantificador universal tenemos que probar
que
                     in                          in
                        x1 · · · xn y( x ∈ y α ↔    x ∈ y αin ).
                                                                                                          79

    Como α es absoluta tenemos que
                           in                    in                in
                                x1 · · · xn y(        x ∈ yα ↔          x ∈ y αin ),
                                                                                           in
pero el axioma de transitividad nos permite cambiar el primer                                   x por   x, ya
que los elementos de y son necesariamente internos.
   El caso del cuantificador existencial puede reducirse al anterior o demostrarse
  a
an´logamente. Para el cuantificador con unicidad tenemos que
                           1

                               x ∈ yα ↔          z ∈ y x ∈ y(α ↔ x = z),

            e
luego tambi´n se reduce a los casos anteriores.
        ´
    Por ultimo, fijados x1 , . . . , xn , y internos, tenemos que un conjunto x cumple
x ∈ y ∧ α si y s´lo si es interno y cumple x ∈ y ∧ αin , pues x ∈ y ya implica
                 o
que x es interno y como α es absoluta αin equivale a α. Por consiguiente, o
bien existe un unico conjunto interno x ∈ y que cumple αin , y ´ste es tambi´n
               ´                                                       e           e
el unico conjunto x que cumple x ∈ y ∧ α, o bien no se da ninguna de las dos
   ´
                                                      in
unicidades. En cualquier caso x|(x ∈ y ∧ α) = x|(x ∈ y ∧ α) (Si no se da la
unicidad ambos miembros son el conjunto vac´           ıo.)
                    o
    e) Si θ es una f´rmula tenemos que
                      in
                           x1 · · · xn (θin (x1 , . . . , xn ) ↔ θ(x1 , . . . , xn )).

   Por otra parte, si y1 , . . . , ym son las variables libres en los t´rminos t1 , . . . , tn ,
                                                                                  e
tenemos que
                   in
                      y1 · · · ym (tin (y1 , . . . , ym ) = ti (y1 , . . . , ym )).
                                     i

   Adem´s, fijados y1 , . . . , ym tenemos que cada tin es un conjunto interno,
         a                                          i
                                 o
luego podemos sustituir en la f´rmula anterior y queda
                      in
                           y1 · · · ym (θin (tin , . . . , tin ) ↔ θ(t1 , . . . , tm )).
                                              1             n

    Es f´cil ver que θin (tin , . . . , tin ) ≡ θ(t1 , . . . , tm )in , con lo que la composici´n
        a                  1             n                                                     o
es absoluta.
                 e
    Si θ es un t´rmino el resultado se sigue del caso que acabamos de probar
               o
aplicado a la f´rmula x = θ.
                                          o
    Por ejemplo, ahora es claro que la uni´n de conjuntos es absoluta, es decir,
                                         in
                                              xy (x ∪ y)in = x ∪ y.

                                                                            o
    Una prueba directa es la siguiente: el miembro izquierdo es por definici´n el
´
unico conjunto interno cuyos elementos internos son los elementos internos de x
o y, pero por transitividad sobran todas las especificaciones “interno”, es decir,
(x ∪ y)st es el unico conjunto interno cuyos elementos son los elementos de x o
                ´
y. As´ pues, (x ∪ y)in = x ∪ y. En otras palabras, la uni´n interna de conjuntos
      ı                                                  o
                                o
internos es simplemente su uni´n.
80                                              e                ıa
                                              Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

                                                             a
   Por otra parte, el teorema anterior nos permite llegar mec´nicamente a la
              o
misma conclusi´n: basta ver que

                       z =x∪y ↔       u ∈ z(u ∈ x ∨ u ∈ y)

y el miembro derecho es absoluto por el teorema anterior, luego el izquierdo
     e
tambi´n.
   Similarmente se prueba que x ∩ y, x \ y, {x}, {x, y}, x ⊂ y son absolutos.
Ahora, el t´rmino (x, y) ≡ {{x}, {x, y}} es absoluto por el apartado e) del
           e
teorema. Por otra parte,

                 z =x×y ↔        w ∈ z u ∈ x v ∈ y w = (u, v),

luego x × y tambi´n es absoluto.
                 e
    Otros ejemplos de expresiones absolutas son f : x −→ y (inyectiva, suprayec-
tiva,                             biyectiva),                               f (u),
               o                e              e
R es una relaci´n (reflexiva, sim´trica, antisim´trica, transitiva). Por ejemplo:

                f : x −→ y ↔     z ∈ f u ∈ x v ∈ y z = (u, v)∧
                           1

                    u ∈ x v ∈ y w ∈ f (w = (u, v) ∧ w ∈ f ).
    Para probar que f (x) ≡ y|(x, y) ∈ f es absoluto observamos que si f y x
son internos entonces f (x)in = y|(in y ∧ (x, y) ∈ f ), donde usamos que (x, y) es
absoluto. Ahora bien, in y es redundante, pues si (x, y) ∈ f necesariamente y es
interno, ya que y ∈ {x, y} ∈ (x, y) ∈ f , luego tenemos la igualdad.
                                                                 a
    En definitiva, las propiedades y operaciones conjuntistas b´sicas son ab-
solutas. Esto implica en particular que al realizar dichas operaciones sobre
                                                          o             o
conjuntos internos obtenemos conjuntos internos: la uni´n, la intersecci´n, el
producto cartesiano, etc. de conjuntos internos es un conjunto interno. Por
ejemplo x × y = (x × y)in , luego es interno por el teorema A.1.

Ejemplo     Anticipamos (sin prueba) un ejemplo de concepto no absoluto: Px.
    En efecto, Pin Nin es por definici´n el conjunto (interno) de todos los subcon-
                                     o
juntos internos de Nin , y no coincide con PNin , que es el conjunto de todos los
                                                                   in
subconjuntos (internos y externos) de Nin . As´ pues, la f´rmula
                                                ı         o           x(Pin x = Px)
falla cuando se aplica al conjunto interno x = N . Por consiguiente Px no es
                                                   in

absoluto.


Ejemplo Es un teorema de ZFC que 0 ∈ N∧ n ∈ N n∪{n} ∈ N. Teniendo en
cuenta que 0, ∪ y {x} son conceptos absolutos, la relativizaci´n de este teorema
                                                              o
es
                      0 ∈ Nin ∧ n ∈ Nin n ∪ {n} ∈ Nin .
                                       in
   Notemos que no hace falta poner    n ∈ Nin porque Nin es interno, luego sus
                                             o
elementos son necesariamente internos. Esta f´rmula es un teorema de H, y de
                                                                                                                          81

ella se sigue que Nin es un conjunto infinito. Por ello no hemos incluido el axioma
de infinitud entre los axiomas sobre los conjuntos externos. Ahora ya tenemos
justificada la existencia de conjuntos (externos) infinitos y, en particular, la
existencia de N.

   Los axiomas que faltan se corresponden aproximadamente con los principios
                            o                  o           ıa
de transferencia, idealizaci´n y estandarizaci´n de la teor´ de Nelson. Para
                                   o
enunciar el principio de idealizaci´n necesitamos unas definiciones:

       o
Definici´n A.5 Para cada conjunto A, definimos
                                                ◦
                                                    A = {x ∈ A | st x}.

                                    n     a                              a
Diremos que un conjunto B tiene tama˜o est´ndar si existe un conjunto est´ndar
A y una aplicaci´n f : ◦A −→ B suprayectiva.
                o

   En particular, si A es un conjunto est´ndar entonces ◦A es un conjunto de
                                         a
    n     a
tama˜o est´ndar. Los axiomas restantes son:
    Transferencia: Si α(x, x1 , . . . , xn ) es una f´rmula interna cuyas variables
                                                     o
                                              o
libres sean exactamente las indicadas, la f´rmula siguiente es un axioma:
                st                   st                                        in
                     x1 · · · xn (        xαin (x, x1 , . . . , xn ) →              xαin (x, x1 , . . . , xn )).


                            o
   Idealizacion: Para toda f´rmula α(x, y, x1 , . . . , xn ) del lenguaje de ZFC
             ´

          in
               x1 · · · xn A(A tiene tama˜o est´ndar ∧
                                         n     a                                       z(z ⊂ A ∧ z finito →

     in        in                                                    in       in
          x         y ∈ z αin (x, y, x1 , . . . , xn )) →                 x        y ∈ A αin (x, y, x1 , . . . , xn )).

                                                st       st
                ´
   Estandarizacion:                         x        y        u(u ∈ y ↔ u ∈ x).
                                                                      a
    Del principio de transferencia se sigue que si dos conjuntos est´ndar tienen
                          a
los mismos elementos est´ndar entonces tienen los mismos elementos internos y,
                                                                                o
por transitividad, son iguales. Por consiguiente, del principio de estandarizaci´n
se sigue que para todo conjunto A existe un unico conjunto est´ndar S cuyos
                                               ´                   a      A
              a
elementos est´ndar son los mismos que los de A.
                                               a
    De principio de transferencia se sigue, an´logamente a como hemos hecho en
       ıa
la teor´ de Nelson, que las versiones internas de todos los conceptos definibles
en ZFC son de hecho est´ndar. Por ejemplo, Nin es un conjunto est´ndar. Para
                          a                                         a
                                                          o            a
probarlo aplicamos el principio de transferencia a la f´rmula (sin par´metros)
                                 in               st
(z = N)in , lo cual nos da que      z z = Nin →      z z = Nin .
                         o                   a            a
    Similarmente, la uni´n de conjuntos est´ndar es est´ndar y, en general, cual-
                                                o                       a
quier conjunto definido mediante una expresi´n de ZFC a partir de par´metros
   a            a
est´ndar es est´ndar.
82                                             e                ıa
                                             Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

        u
Los n´ meros naturales Ahora ya podemos demostrar que, tal y como hab´         ı-
amos anticipado, N = ◦Nin , es decir, que los n´meros naturales externos son los
                                               u
n´meros naturalesin est´ndar.
 u                      a
               o
    Una inclusi´n es simple: Relativizando teoremas de ZFC a conjuntos internos
tenemos 0 = ∅ ∈ Nin y n ∈ Nin n + 1 ∈ Nin . Aqu´ hemos usado que x ∪ {x} es
                                                   ı
un t´rmino absoluto, con lo que si n es un conjunto interno entonces (n + 1)in =
     e
(n ∪ {n})in = n ∪ {n}.
    M´s a´n, tenemos que 0 ∈ ◦Nin y n ∈ ◦Nin n + 1 ∈ ◦Nin , pues si n es
       a u
   a                         a                                                o
est´ndar entonces n+1 es est´ndar (por transferencia). El principio de inducci´n
nos da entonces que N ⊂ ◦Nin .
   Supongamos ahora que A = ◦N in \ N = ∅. Entonces A ⊂ S A = ∅. Todo
conjunto interno que contenga n´meros naturalesin contiene un m´
                                  u                                       u
                                                                  ınimo n´mero
naturalin (esto es la versi´n interna de un teorema de ZFC). Sea m el m´
                           o                                               ınimo
                      S            S
n´mero naturalin de A. Como A es un conjunto est´ndar y m est´ definido
 u                                                      a              a
             S
a partir de A, el principio de transferencia nos da que m es est´ndar. En
                                                                     a
                ◦
particular m ∈ Nin \ N. Necesariamente m = 0, luego existe n = m − 1, que
es un n´mero naturalin que adem´s es est´ndar por transferencia. M´s a´n,
        u                             a     a                            a u
(n < m)in . Esto nos lleva a una contradicci´n, pues la minimalidad de m fuerza
                                            o
a que n ∈ N, pero entonces tambi´n m = n + 1 ∈ N.
                                    e
                                           u
    No tiene sentido decir que la suma de n´meros naturales es absoluta. Esto
   ıa
ser´ tanto como decir que

                          mn ∈ Nin (m + n)in = m + n,

pero si m y n son n´meros naturalesin no est´ndar, el miembro derecho no
                      u                          a
   a                                     a                              ıo
est´ definido (o, en sentido estricto, est´ definido como el conjunto vac´ y, en
                                                                    a e
cualquier caso, no se da la igualdad). Lo que si es cierto es algo m´s d´bil que
      a
el car´cter absoluto:

                           mn ∈ N (m + n)in = m + n,

es decir, la suma de n´meros naturalesin restringida a los n´meros naturales
                        u                                    u
externos coincide con la usual. Esto es consecuencia de que ambas cumplen la
             o                                                            o
misma relaci´n recurrente. Lo mismo vale para el producto, la exponenciaci´n,
         o
la relaci´n de orden, etc.

La finitud El concepto de finitud dista mucho de ser absoluto. Podemos
                                                      u
definir los conjuntos finitos como los biyectables con n´meros naturales. Enton-
ces un conjunto interno es finitoin si es biyectablein con un n´mero naturalin .
                                                               u
Observemos que “biyectable” no es absoluto: ser biyectablein con un conjunto
                      o
supone que la biyecci´n sea interna.
    As´ pues, todo n´mero naturalin es por definici´n finitoin , pero no tiene por
      ı             u                              o
  e
qu´ ser finito. En primer lugar demostramos lo siguiente:

Teorema A.6 Un conjunto interno es est´ndar y finitoin si y s´lo si es finito
                                           a                     o
                             a            o            a
y todos sus elementos son est´ndar, si y s´lo si es est´ndar y finito.
                                                                                                        83

     Demostracion: Sea x est´ndar y finitoin . Entonces su cardinalin es un
                  ´               a
n´mero naturalin est´ndar n, luego es un n´mero natural, y existe una biyecci´n
  u                   a                      u                                   o
f : n −→ x interna que, por transferencia, podemos tomar est´ndar. Como los
                                                                a
                              a                                    a
elementos de n son todos est´ndar y la imagen de un conjunto est´ndar por una
          o    a            a
aplicaci´n est´ndar es est´ndar, concluimos que todos los elementos de x son
    a
est´ndar. Obviamente x es finito.
     Rec´                                                                     a
         ıprocamente, si x es un conjunto finito formado por conjuntos est´ndar,
probaremos que x es est´ndar finitoin por inducci´n sobre su cardinal. Si x = ∅
                          a                        o
es evidente. Supuesto cierto para conjuntos de cardinal n, pongamos que x tiene
cardinal n + 1. Sea y ∈ x y sea x = x \ {y}. Por hip´tesis de inducci´n x
                                                            o                  o
es est´ndar y finitoin , pero {y} es interno porque el t´rmino {y} es absoluto,
       a                                                  e
es est´ndar por transferencia y es finitoin porque es un teorema de ZFC que
       a
                                         o                    a             a
  y({y} es finito). Por otra parte, la uni´n de conjuntos est´ndar es est´ndar y
la uni´n de conjuntos finitosin es finitain , luego x es est´ndar y finitoin .
       o                                                  a
    Respecto a la otra equivalencia, por la parte ya probada tenemos que todo
conjunto est´ndar finitoin es est´ndar y finito. Si x es est´ndar y finito probamos
             a                    a                       a
que es finitoin por el mismo argumento inductivo sobre el cardinal con la variante
siguiente: si el cardinal de x es n + 1, en particular x = ∅, luego y y ∈ x y
                      st
por transferencia        y y ∈ x. Tomamos, pues y ∈ x est´ndar, y el resto del
                                                            a
argumento vale igual.
             a                                              o
    Para ir m´s lejos necesitamos el principio de idealizaci´n. Vamos a demostrar
     a
el an´logo al teorema 1.2:

Teorema A.7 Sea α(x, y, x1 , . . . , xn ) una f´rmula de ZFC. Entonces
                                               o
         in                    st                                          in
              x1 · · · xn A(        z(z ⊂ A ∧ z finito →                         x y ∈ z αin (x, y)) ↔
                                        in       st
                                             x        y ∈ A αin (x, y)).

    Demostracion: Fijados x1 , . . . , xn y A, suponemos la concurrencia y con-
                 ´
                     ◦S
                                                                         a
sideramos el conjunto A, es decir, el conjunto de todos los elementos est´ndar
                                                     n     a
del estandarizado de A, que obviamente tiene tama˜o est´ndar. En efecto, se
cumple que

                     z(z ⊂ ◦SA ∧ z finito →
                                                             in       in
                                                                  x        y ∈ z αin (x, y)),

pues basta tener en cuenta que si z ⊂ ◦SA ⊂ A es finito, como todos sus
                  a                                          a
elementos son est´ndar, el teorema anterior nos da que es est´ndar, y podemos
              o
aplicar la hip´tesis.
                                                  x y ∈ ◦SA αin (x, y), de donde
                                               in  in
                               o
    El principio de idealizaci´n nos da que
                           in    st
se sigue claramente que       x y ∈ A αin (x, y).
               o
   La implicaci´n contraria es trivial, teniendo en cuenta que los elementos de
               a                          a
un conjunto est´ndar finito son todos est´ndar.
    Ahora ya podemos demostrar el teorema general sobre existencia de conjun-
          a
tos no est´ndar:
84                                              e                ıa
                                              Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

                                        a                   o
Teorema A.8 Un conjunto interno A es est´ndar y finito si y s´lo si todos sus
                 a
elementos son est´ndar.

                                                                  o
   Demostracion: Aplicamos el teorema anterior a la relaci´n dada por
                 ´
α(x, y) ≡ x ∈ A ∧ x = y. Esta relaci´n es concurrente en A si y s´lo si A
                                       o                              o
         a
no es est´ndar y finito. Por el teorema anterior esto equivale a que A tiene un
               a
elemento no est´ndar.
                                                ıa
    Para completar la compatibilidad con la teor´ de Nelson observamos que el
                      a
teorema siguiente (an´logo de 1.5) se deduce del teorema anterior aplicado a la
relaci´n α(x, y) ≡ y ∈ x ∧ x ⊂ A ∧ x es finito.
      o

Teorema A.9 Todo conjunto interno tiene un subconjunto finitoin que contiene
                         a
a todos sus elementos est´ndar.

                                                                           ıtu-
    Ahora es claro que todos los resultados que hemos demostrado en los cap´
                                    a                                        e
los precedentes a partir de la axiom´tica de Nelson pueden demostrarse tambi´n
          ıa
en la teor´ de Hrbacek.

                         o           o
El teorema de extensi´n La versi´n general que hemos dado del principio
             o                             o                                 o
de idealizaci´n permite demostrar una versi´n fuerte del principio de extensi´n
(comparar con 1.6).

                                        o
Teorema A.10 (Teorema de extensi´n) Si A es un conjunto est´ndar y f  a
es una funci´n externa en ◦A con valores internos, entonces f se extiende a una
            o
     o
funci´n interna definida en A.

    Demostracion: La funci´n f , es decir, el conjunto {(x, f (x)) | x ∈ ◦A},
                  ´             o
           n     a                                                            o
tiene tama˜o est´ndar, por lo que podemos aplicarle el principio de idealizaci´n.
Si z ⊂ f es finito, entonces z es una funci´n cuyo dominio es un subconjunto
                                            o
finito a de ◦A. El conjunto a es finito y todos sus elementos son est´ndar, a
            a                           o
luego es est´ndar. Una simple inducci´n sobre su cardinal demuestra que z es
                        o
interno, y es una funci´n que contiene a todos los elementos de f . Aplicamos
el principio de idealizaci´n a la f´rmula “x es una funci´n ∧y ∈ f ”, con lo que
                          o        o                     o
obtenemos una funci´n F que contiene a f , luego su dominio contiene a ◦A y
                      o
por transferencia a A.


Regularidad y reemplazo Es claro que el axioma de regularidad no se cum-
ple en la teor´ de Hrbacek. Por ejemplo, si tenemos en cuenta que Nin no es
              ıa
sino el conjunto de todos los (ordinales finitos)in y que, por lo tanto, la relaci´n
                                                                                 o
                                                             ◦
de orden es la pertenencia, vemos que el conjunto Nin \ N no tiene un ele-
                              o
mento minimal para la relaci´n de pertenencia, lo cual contradice al axioma de
regularidad.
   Tampoco podemos suponer el axioma de reemplazo. Para verlo observemos
que si α es un ordinalin est´ndar, entonces ◦α est´ bien ordenado por la relaci´n
                            a                     a                            o
                                  ◦                     S
de pertenencia. En efecto, si x ⊂ α y x = ∅, entonces x ⊂ α es un subconjunto
                                                                                        85

               ıo
interno no vac´ de α, luego contiene un m´  ınimo ordinal β, que por transferencia
ser´ est´ndar. As´ pues, β ∈ x y es el m´
   a    a         ı                       ınimo de x.
                                                                     u
    Si suponemos el axioma de reemplazo podemos considerar el (´nico) ordinal
α semejante a ◦α. Ahora probamos que si α = β entonces α = β. En efecto,
˜                                              ˜   ˜
                              ◦        ◦
tenemos una biyecci´n f : α −→ β que conserva el orden y, aplicando el
                     o
principio de transferencia, es f´cil ver que S f : α −→ β es una biyecci´n que
                                a                                           o
conserva el orden, luego α = β.
    Consideremos ahora el conjunto de todos los ordinales de cardinal menor
o igual que el cardinal de Nin (este cardinal tampoco puede definirse sin el
                            e
axioma de reemplazo). De ´l seleccionamos el conjunto de los ordinales que son
de la forma α, para cierto ordinalin est´ndar α, y otra vez por el axioma del
              ˜                           a
reemplazo formamos el conjunto A de todos los ordinalesin est´ndar α tales que
                                                                 a
α es inyectable en Nin .
˜
    Ahora bien, el conjunto A contiene a todos los ordinalesin est´ndar, pues
                                                                       a
                                                              ◦
si α es uno de ellos y F es un conjunto finitoin tal que α ⊂ F ⊂ α, existe
                                             ◦
f : F −→ Nin inyectiva, que se restringe a α y prueba que α ∈ A.
    Cambiando A por su estandarizado, podemos suponer que A es est´ndar.    a
Tenemos as´ un conjunto est´ndar que contiene a todos los ordinalesin est´ndar.
            ı                 a                                             a
Por transferencia A contiene a todos los ordinalesin , pero esto es imposible, pues
se demuestra en ZFC que ning´n conjunto contiene a todos los ordinales.4
                                u
    Pese a esto, en el ap´ndice B demostraremos que podemos suponer5 que la
                         e
      o                    a
relaci´n de pertenencia est´ bien fundada en la clase S de todos los conjuntos
est´ndar, es decir, que para todo conjunto no vac´ A ⊂ S,
   a                                             ıo

                                   x ∈ A y ∈ A y ∈ x.
                                                 /

              e
    Si dispusi´ramos del axioma de reemplazo, podr´                         o
                                                    ıamos definir por recursi´n
                          o                             o
transfinita sobre la relaci´n de pertenencia una aplicaci´n que a cada conjunto
   a                              ˜                          o
est´ndar x le asigna un conjunto x determinado por la relaci´n recurrente

                                 x = {˜ | y ∈ x ∧ st y}.
                                 ˜    y

      a u           ıa                    o
    M´s a´n, la teor´ general de recursi´n transfinita (ver [4]) permite demostrar
                 o                                             a             ´
que esta aplicaci´n biyecta la clase de todos los conjuntos est´ndar con una unica
                                                                             o
clase transitiva (su colapso transitivo) de modo que se conserva la relaci´n de
pertenencia, es decir, x ∈ y ↔ x ∈ y . En el ap´ndice B veremos que podemos
                                  ˜ ˜              e
suponer todo esto y que el colapso transitivo de la clase de todos los conjuntos
   a
est´ndar es precisamente la clase R de todos los conjuntos regulares, es decir,
la clase definida recurrentemente por

            R0 = ∅ ∧     α Rα+1 = PRα ∧         λ Rλ =      Rδ ∧ R =        Rα ,
                                                         δ<λ            α

     ´
   4 Esta es una diferencia entre la teor´ de Hrbacek y la de Nelson: en ´sta s´ que existe
                                         ıa                              e     ı
                                              a                 o
un ordinal mayor que todos los ordinales est´ndar, por la versi´n fuerte del principio de
          o
idealizaci´n.
   5 En todo este apartado “podemos suponer” significa que podemos tomarlo como axioma

                                                         o
de modo que se sigue cumpliendo el teorema de conservaci´n.
86                                             e                ıa
                                             Ap´ndice A. La teor´ de Hrbacek

                                                             ımite (esta jerarqu´
donde α recorre todos los ordinales y λ todos los ordinales l´                  ıa
tampoco puede definirse en general sin el axioma de reemplazo). Si suponemos
todo esto, tenemos una aplicaci´n ∗ : R −→ S que es un isomorfismo para la
                                 o
      o                                        o
relaci´n de pertenencia (la inversa de la funci´n colapsante).
                                       ıa               a                  a
    El lector familiarizado con la teor´ de modelos b´sica comprender´ el sig-
                          o
nificado de esta aplicaci´n: el principio de transferencia afirma que S es un
submodelo elemental de la clase I de los conjuntos internos, luego en particular
                                            e             o
satisface todos los axiomas de ZFC, y a trav´s de la funci´n colapsante llegamos a
             e                  ı
que R tambi´n los satisface. As´ pues, aunque no podemos suponer que todos los
                                    ı
conjuntos externos cumplen ZFC, s´ que podemos suponer que la existe clase de
los conjuntos regulares y que cumple todo ZFC. Todos los conceptos conjuntistas
son absolutos para R, por lo que, por ejemplo, R∗ = (RR )∗ = RS = RI = Rin .
En general, ∗ transforma cada conjunto externo en su correspondiente interno.
  e
Ap´ndice B

                        o
El teorema de conservaci´n

                      e                                           o
    Dedicamos este ap´ndice a demostrar el teorema de conservaci´n para la
    ıa
teor´ de Nelson y para la de Hrbacek. Nos referiremos a ellas como N y H,
respectivamente. Para la primera afirma que todo teorema interno de N es
       e                                                              o
tambi´n un teorema de ZFC. Para la segunda afirma que si α es una f´rmula
de ZFC tal que αin es un teorema de H, entonces α es un teorema de ZFC. Los
                                   a              a
razonamientos que emplearemos ser´n metamatem´ticos finitistas —es decir,
                         ıa     a
afirmaciones sobre la teor´ axiom´tica de conjuntos que no pueden ser entendi-
                           ıa                                   u
dos como teoremas de teor´ alguna— o teoremas de ZFC; en ning´n caso han
                                      ıa                    a
de entenderse como teoremas de la teor´ de conjuntos no est´ndar.


B.1      Modelos internos
                     a                                           o    a
   La herramienta b´sica para obtener el teorema de conservaci´n ser´ la teor´ ıa
de modelos internos, que fue ideada por von Neumann para probar la inde-
                                                    e        o
pendencia del axioma de regularidad y que despu´s uso G¨del para probar la
                      o                                                     o
consistencia de la hip´tesis del continuo generalizada y el axioma de elecci´n.
   Seleccionamos cinco variables de (el lenguaje de) H, a las que llamaremos
                                             o                           a
M , E, I, S y d, de modo que ninguna expresi´n que consideremos tendr´ estas
variables salvo que lo indiquemos expl´                                o
                                       ıcitamente. Para cada expresi´n θ de
H que no contenga estas variables, definimos su relativizaci´n θM EISd (que
                                                             o
abreviaremos por θM ) como la expresi´n construida seg´n las reglas siguientes.
                                     o                u

  a) xM ≡ x,

  b) (t1 = t2 )M ≡ t1 = t2 ,
      (t1 ∈ t2 )M ≡ t1 E t2 ≡ (t1 , t2 ) ∈ E,
      (st t)M ≡ t ∈ S,
      (in t)M ≡ t ∈ I.

  c) (¬α)M ≡ ¬αM ,

                                          87
88                                      e                                 o
                                      Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

     d) (α → β)M ≡ αM → β M ,
     e) ( xα)M ≡   x ∈ M αM ,
                    1

     f) (x|α)M ≡ x|(( x(x ∈ M ∧ αM ) ∧ x ∈ M ∧ αM )
                        1

                 ∨(¬( x(x ∈ M ∧ αM ) ∧ x = d).
   En definitiva (dejando de lado las descripciones, que comentaremos ense-
guida) la relativizaci´n de θ se obtiene cambiando cada ∈ por E, cada st por
                      o
∈ S, cada in por ∈ I y cada x por x ∈ M . Por ejemplo,

               ( u(u ∈ x → u ∈ y))M ≡     u ∈ M (u E x → u E y)

                                 o
    Para interpretar esta definici´n supongamos que (en ZFC) hemos fijado un
conjunto M , una relaci´n E ⊂ M × M , unos subconjuntos S ⊂ I ⊂ M y
                         o
un elemento d ∈ M . Entonces, si θ es una f´rmula de H, la f´rmula θM es
                                                o                 o
                                                                    ´
lo que significa θ si llamamos “conjuntos” a los elementos de M unicamente,
              a
“conjuntos est´ndar” a los elementos de S, “conjuntos internos” a los conjuntos
                                  o                            o
de I y consideramos que la relaci´n de pertenencia es la relaci´n E.
    Por ejemplo, (x ⊂ y)M es la f´rmula que acabamos de calcular, de modo que
                                 o
“x es un subconjunto de y visto desde M ” si todo elemento de M que “pertenece
                                                e
en M ” a x (es decir, que cumple u E x), tambi´n “pertenece en M ” a y.
    Similarmente ∅M est´ definido como “el unico elemento x ∈ M que cumple
                          a                   ´
  u ∈ M ¬u E x, si es que existe tal elemento, o bien d si no existe”.
    ´                                       o                o
    Esta es la idea subyacente a la definici´n de relativizaci´n, pero en sentido
            ´                                                     o
estricto lo unico que hemos hecho ha sido asociar a cada expresi´n θ de H otra
expresi´n θM de ZFC cuyas variables libres son las mismas de θ m´s quiz´ las
        o                                                           a       a
                                                     o
variables M , E, I, S y d. Es claro que si θ es una f´rmula de N (resp. de ZFC)
entonces θM no contiene la variable I (resp. S e I), por lo que podemos hablar
de θM ESd (resp. θM Ed ).
                                              a
   Todo lo anterior ha de entenderse metamatem´ticamente, mientras que la
       o                          o
definici´n siguiente es una definici´n en ZFC:

       o                                 ıntupla M = (M, E, I, S, d) tal
Definici´n B.1 Llamaremos modelo a toda qu´
que E ⊂ M × M , d ∈ M , (S ⊂ I ⊂ M ).
     ´                o
    Esta es la definici´n de un modelo del lenguaje de H. Similarmente se define
un modelo para el lenguaje de N suprimiendo la I, mientras que un modelo para
                                                 e
el lenguaje de ZFC se obtiene suprimiendo tambi´n la S. Para referirnos a este
´                                         a
ultimo caso hablaremos de un modelo est´ndar. Cuando no indiquemos a qu´     e
                                             e                         o
tipo de modelo nos estamos refiriendo o a qu´ lenguaje pertenecen las f´rmulas
                              a                             a
que estamos considerando ser´ porque lo que digamos valdr´ en cualquiera de
los tres casos posibles.
           a
   En la pr´ctica diremos que “M es un modelo” sobrentendiendo que lo es con
                          o                  o
un universo M , una relaci´n E, una descripci´n impropia d, etc.
B.1. Modelos internos                                                             89

                  o                 o                   a
   La relativizaci´n de los signos l´gicos definidos es f´cil de calcular:

  (α ∨ β)M ≡ αM ∨ β M ,      (α ∧ β)M ≡ αM ∧ β M ,      (α ↔ β)M ≡ αM ↔ β M .

   Para el cuantificador existencial tenemos que
                                              1           1

             ( xα)M ≡       x ∈ M αM ,      ( xα)M ↔          x ∈ M αM .

                                 o                                 ıa
    (Comparar con la relativizaci´n a conjuntos internos en la teor´ de Hrbacek,
  e
ap´ndice A)

Teorema B.2 Si t(x1 , . . . , xn ) es un t´rmino con las variables libres indicadas.
                                          e
se prueba en ZFC que si M es un modelo entonces x1 . . . xn ∈ M tM ∈ M .

    Demostracion: Si t ≡ x el teorema se reduce a x ∈ M x ∈ M , lo cual
                  ´
es obvio, mientras que si t ≡ x|α(x, x1 , . . . xn ) entonces tM es el unico elemento
                                                                       ´
de M que cumple αM si existe tal elemento (y entonces est´ en M ), o bien d si
                                                                 a
                               e     a                       o
no existe (y en tal caso tambi´n est´ en M por definici´n de modelo).
   Informalmente hemos de pensar que tM es lo que llamar´ t alguien que “cre-
                                                           ıa
                                                              o
yera” que los conjuntos son los elementos de M , que la relaci´n de pertenencia
es E, etc.

Definici´n B.3 Sea Γ = {α1 , . . . , αm } una colecci´n finita de f´rmulas y sean
             o                                           o           o
x1 , . . . xn las variables que aparezcan libres en ellas. Abreviaremos

                    M    Γ≡     x1 . . . xn ∈ M α1 ∧ · · · ∧ αm .
                                                 M            M


   De este modo, M Γ es una f´rmula cuyas unicas variables libres son M ,
                                  o            ´
                                        o
E, I, S y d (o menos si consideramos f´rmulas y modelos de N o de ZFC). Se
                                          e                 o
suele leer “M es un modelo de Γ” y tambi´n se dice que las f´rmulas de Γ son
verdaderas en M. Si tenemos una sola f´rmula α escribiremos tambi´n M α.
                                        o                         e
                                                                   e
   Es importante observar que no podemos definir de este modo qu´ significa
              o                                                    ıamos que
que infinitas f´rmulas sean verdaderas en un modelo dado, pues tendr´
                   o               o                  o
formar la conjunci´n de infinitas f´rmulas. La definici´n es posible, pero eso
          ıa         ıa                                                ıa
nos llevar´ a la teor´ de modelos propiamente dicha en vez de a la teor´ de
modelos internos, que es la que necesitamos.
   El resultado fundamental sobre modelos internos es el siguiente:

                                o          o
Teorema B.4 Sea Γ una colecci´n finita de f´rmulas y θ una consecuencia
l´gica de Γ. Se demuestra en ZFC que si M Γ entonces M θ.
 o

                                                                    a
   Este teorema se demuestra con un argumento formalmente an´logo al que
                                        o      e
prueba el teorema A.2 (ver la observaci´n tras ´ste resultado). Hemos de insistir
         a                                                            o
en el car´cter constructivo de la prueba: a partir de una demostraci´n de θ a
partir de las premisas de Γ es posible obtener expl´                          o
                                                    ıcitamente una demostraci´n
de que si M Γ entonces M θ.
90                                                e                                 o
                                                Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

                                                                              o
    El teorema siguiente es una de las piedras angulares de nuestra demostraci´n
                           o
del teorema de conservaci´n. Recordemos que en ZFC se define la jerarqu´        ıa
{Vα }, donde α recorre los n´meros ordinales, de modo que
                             u

                       V0 = ∅ ∧      α Vα+1 = PVα ∧        λ Vλ =          Vδ ,
                                                                     δ<λ

            ıa                 ımite, y se demuestra que todo conjunto est´ en
donde λ var´ en los ordinales l´                                          a
un cierto Vα .
   Por conveniencia, nosotros llamaremos Vα a lo que normalmente se llama
Vω+α . Los conjuntos Vα son transitivos, es decir, si x ∈ Vα entonces x ⊂ Vα , y
forman una sucesi´n creciente: si α ≤ β entonces Vα ⊂ Vβ .
                 o
   Consideraremos a Vα como un modelo est´ndar con la relaci´n de pertenencia
                                         a                  o
usual y con d = ∅.

Teorema B.5 (Teorema de Reflexi´n) Sea Γ = {α1 , . . . , αm } una colecci´n
                                      o                                             o
finita de f´rmulas internas cuyas variables libres est´n entre x1 , . . . , xn . Enton-
          o                                          e
                                                 ı
ces se demuestra en ZFC que existe un ordinal l´mite λ tal que

                        x1 . . . xn ∈ Vλ (αi λ ↔ αi ),
                                           V
                                                              i = 1, . . . , m.

                                                            o
   Demostracion: Es claro que podemos construir una sucesi´n finita de
                     ´
expresiones θ1 , . . . , θr con las propiedades siguientes:

             o
     a) Las f´rmulas α1 , . . . , αm est´n entre θ1 , . . . , θr .
                                        a

     b) Todas las subexpresiones de cada θi aparecen previamente en la sucesi´n.
                                                                             o
                                    1

     c) Si θi ≡ x|α, entonces           x α (y, por consiguiente, α) aparece previamente
                    o
        en la sucesi´n.

   Vamos a construir una sucesi´n de ordinales α0 < α1 < · · · Tomamos como
                               o
α0 cualquier ordinal. Supongamos definido αk .
   Si θi ≡ xα(x, x1 , . . . , xn ) para cada n-tupla (x1 , . . . , xn ) ∈ Vαk defini-
                                                                           n

mos f (x1 , . . . , xn ) como el m´  ınimo ordinal α tal que existe x ∈ Vα tal que
¬α(x, x1 , . . . , xn ) si es que existe tal x, y α = 0 en caso contrario.
          i
   Sea αk el m´      ınimo ordinal tal que Vαi contiene el rango de f , es decir, tal
                                                 k
que f : Vαk −→ Vαi .
           n
                         r

                                         i
   Si θi no es de esta forma, definimos αr = 0. Sea αr+1 el m´ximo entre αr + 1
                                                             a
y todos los αr . El supremo de la sucesi´n {αr } es un ordinal l´
              i
                                        o                       ımite λ. Veamos
que cumple lo pedido.
     Por construcci´n, (x|x = x) ∈ Vλ y si θi ≡ xα(x, x1 , . . . , xn ) y para ciertos
                      o
x1 , . . . , xn ∈ Vλ existe un x tal que ¬α(x, x1 , . . . , xn ), entonces existe un x que
                         a    a
cumple esto y adem´s est´ en Vλ .
B.1. Modelos internos                                                                                91

                                o
    Vamos a probar por inducci´n sobre i que si θi es un t´rmino con variables
                                                          e
libres x1 , . . . , xn entonces

                       x1 · · · xn ∈ Vλ (θi (x1 , . . . xn ) = θi λ (x1 , . . . xn ))
                                                                V


y si θi es una f´rmula entonces
                o

                      x1 · · · xn ∈ Vλ (θi (x1 , . . . xn ) ↔ θi λ (x1 , . . . xn )).
                                                               V


Como las αj del enunciado est´n entre las θi , el teorema quedar´ probado.
                             a                                  a
   Si θi ≡ x entonces lo que hay que probar es que x ∈ Vλ x = x, lo cual es
obvio.
   Si θi ≡ t1 ∈ t2 , entonces los t´rminos t1 y t2 aparecen antes en la sucesi´n,
                                   e                                          o
             o                 o
luego por hip´tesis de inducci´n

                              x1 · · · xn ∈ Vλ (t1 = tVλ ∧ t2 = tVλ ).
                                                      1          2

    Lo que hemos de probar es que x1 · · · xn ∈ Vλ (t1 ∈ t2 ↔ tVλ ∈ tVλ ), lo cual
                                                               1     2
es obvio. El caso en que θi ≡ t1 = t2 es id´ntico a este.
                                           e
    Si θi ≡ ¬α, por hip´tesis de inducci´n
                       o                o

                                    x1 · · · xn ∈ Vλ (α ↔ αVλ ),

                                                          e
y es claro que esto sigue siendo cierto si negamos ambos t´rminos. El caso en
que θi ≡ α → β es an´logo.
                      a
    Si θi ≡               o                o
               xα, por hip´tesis de inducci´n tenemos que

                xx1 · · · xn ∈ Vλ (α(x, x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x, x1 , . . . , xn ))

y hemos de probar que

         x1 · · · xn ∈ Vλ ( xα(x, x1 , . . . , xn ) ↔           x ∈ Vλ αVλ (x, x1 , . . . , xn )).

    Ahora bien, fijados x1 , . . . , xn ∈ Vλ , si suponemos que xα y tomamos un
x ∈ Vλ , tenemos α(x, x1 , . . . , xn ) y por hip´tesis de inducci´n αVλ (x, x1 , . . . , xn ),
                                                 o                o
es decir, se cumple x ∈ Vλ αVλ .
    Rec´ıprocamente, si ¬ xα existe un x que cumple ¬α(x, x1 , . . . , xn ) y por
construcci´n de λ existe un x ∈ Vλ tal que ¬α(x, x1 , . . . , xn ). Por hip´tesis de
           o                                                                     o
inducci´n ¬αVλ (x, x1 , . . . , xn ), luego no se cumple x ∈ Vλ αVλ .
        o
   Supongamos finalmente que θi ≡ x|α. Entonces, fijados x1 , . . . , xn ∈ Vλ , por
   o                o
hip´tesis de inducci´n
                  1                                1

                      x α(x, x1 , . . . , xn ) ↔       x ∈ Vλ αVλ (x, x1 , . . . , xn )

y
                       x ∈ Vλ (α(x, x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x, x1 , . . . , xn )).
92                                               e                                 o
                                               Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

                                                       ´
   Supongamos que se dan las dos unicidades y sea x el unico conjunto de
Vλ que cumple αVλ . Entonces tambi´n cumple α, luego es de hecho el unico
                                      e                             ´
conjunto que cumple α. Por tanto (x|α) = x = (x|α)Vλ .
   Si no se dan las unicidades, (x|α) = ∅ = (x|α)Vλ .
      ´                                                                      o
   El ultimo concepto que necesitamos sobre modelos internos es el de inmersi´n
elemental:

Definici´n B.6 Una inmersi´n elemental j : M −→ M entre dos modelos (del
             o                      o
mismo lenguaje) es una aplicaci´n j : M −→ M tal que para toda f´rmula
                                        o                        o
α(x1 , . . . , xn ) con las variables libres indicadas se cumple

          x1 · · · xn ∈ M (αM (x1 , . . . , xn ) ↔ αM (j(x1 ), . . . , j(xn ))).        (B.1)

                    o                                   a
Nota Esta definici´n carece de sentido tal y como est´ enunciada, pues la
        o               o                                       a
afirmaci´n “para toda f´rmula α” carece de significado matem´tico. Fijada
            o           o                                        o
una colecci´n finita de f´rmulas Γ, podemos definir una Γ-inmersi´n elemental
                 o                                                    o
como la conjunci´n de las equivalencias (B.1) para cada una de las f´rmulas
                  a                                 o
α de Γ. En la pr´ctica, cuando tomemos como hip´tesis que una aplicaci´n  o
                o                        a                                o
j es una inmersi´n elemental se entender´ que lo es respecto a una colecci´n
          o
finita de f´rmulas suficientemente grande como para que se cumpla la tesis que
                                                                       o
queremos demostrar, mientras que cuando demostremos que una aplicaci´n j es
             o                    a                      o            o
una inmersi´n elemental significar´ que, para toda colecci´n finita de f´rmulas
                                             o
Γ es posible demostrar que j es una Γ-inmersi´n elemental.
                                               o
   Por ejemplo, podemos decir que toda inmersi´n elemental es inyectiva, apli-
                 o       o
cando la definici´n a la f´rmula x = y, con lo cual hay que entender que toda
       o                                  o            o
inmersi´n elemental respecto a una colecci´n finita de f´rmulas que contenga a
x = y es inyectiva.

Teorema B.7 Si j : M −→ M es una inmersi´n elemental tal que j(d) = d ,
                                                     o
entonces para todo t´rmino t(x1 , . . . , xn ) se cumple
                    e

            x1 · · · xn ∈ M (j(tM (x1 , . . . , xn )) = tM (j(x1 ), . . . , j(xn ))).

     Demostracion: Si t es una variable es trivial, y si t = x|α, distinguimos
               ´
                                   1

dos casos: Si se cumple que            x ∈ M αM (x, x1 , . . . , xn ), entonces
                           1

                               x ∈ M αM (x, j(x1 ), . . . , j(xn ))
                                                             1

(pues estas f´rmulas son las relativizaciones de x α a M y M ). Pero m´s
             o                                                                   a
a´n, si x ∈ M es el unico que cumple αM (x, x1 , . . . , xn ), entonces se cumple
 u                          ´
αM (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )). Por consiguiente x = (x|α)M y j(x) = (x|α)M .
   Si no se da la unicidad en M , tampoco se da en M , luego j((x|α)M ) =
j(d) = d = (x|α)M .
                                                                       o
   Terminamos esbozando el plan de la prueba del teorema de conservaci´n.
                   o
Suponemos que una f´rmula interna α es demostrable a partir de los axiomas
B.2. Ultrapotencias                                                             93

                                                         o o
de N. Aunque los axiomas son infinitos, en una demostraci´n s´lo puede aparecer
                                              o
una cantidad finita de ellos. Sea Γ la colecci´n de todos ellos. No perdemos
generalidad si suponemos que α no tiene variables libres.
    El resultado principal que nos falta por probar es (aproximadamente) el
siguiente:

                          o
      Si Γ es una colecci´n finita de axiomas de N y α es una f´rmula o
                                                      o
      interna sin variables libres, existe una colecci´n finita ∆ de axiomas
      de ZFC de modo que en ZFC se demuestra que si el modelo est´ndar a
      M = Vλ cumple M ∆ entonces existe un modelo no est´ndar N    a
      tal que N Γ y adem´s M α si y s´lo si N α.
                             a               o

   De hecho tendremos una inmersi´n elemental j : M −→ N, de modo que los
                                   o
conjuntos est´ndar de N ser´n los de la imagen de j.
             a             a
                                                        o
    Admitiendo esto, la prueba del teorema de conservaci´n es como sigue: con-
                    o
sideramos la colecci´n ∆ correspondiente a los axiomas Γ con los que se prueba
                                  o         o
α, aplicamos el teorema de reflexi´n a las f´rmulas de ∆ y a α, de modo que
encontramos un modelo M = Vλ tal que M ∆ y adem´s α ↔ M α. El
                                                          a
teorema que nos falta probar nos da un modelo no est´ndar N tal que N Γ,
                                                      a
luego N α, luego M α, luego α. En definitiva, hemos probado α en ZFC.
   Insistimos en que la prueba es totalmente constructiva: si tenemos una de-
         o     ıcita de α a partir de los axiomas no est´ndar Γ, el teorema que
mostraci´n expl´                                         a
vamos a probar nos da expl´                     o                           o
                           ıcitamente la colecci´n ∆, el teorema de reflexi´n nos
da una prueba expl´ıcita en ZFC de que M ∆ y de la implicaci´n α ↔ M α.
                                                                  o
El teorema que nos falta probar nos da una prueba expl´     ıcita en ZFC de que
M ∆ → N Γ y M α ↔ N α, con lo que tenemos una prueba expl´                    ıcita
de que N Γ y α ↔ N α, el teorema B.4 nos da una prueba expl´         ıcita en ZFC
de que N α y terminamos con una prueba expl´      ıcita de α en ZFC.
                                        a
    El argumento para H es ligeramente m´s complicado, pero a grandes rasgos
             e
coincide con ´ste.


B.2      Ultrapotencias
               o           o                              a
  En esta secci´n veremos c´mo construir modelos no est´ndar a partir de
           a
modelos est´ndar. Recordemos algunas definiciones conjuntistas:

        o
Definici´n B.8 Un filtro en un conjunto I es una familia F de subconjuntos
de I con las propiedades siguientes:

  a) I ∈ F , ∅ ∈ F ,
               /

  b) Si X ⊂ Y ⊂ I y X ∈ F entonces Y ∈ F ,

  c) Si X, Y ∈ F entonces X ∩ Y ∈ F .
94                                               e                                 o
                                               Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

   Un ultrafiltro U en un conjunto I es un filtro con la propiedad adicional de
que si X ⊂ I entonces X ∈ U o I \ X ∈ U .
                                                                         o
    Toda familia de subconjuntos de I con la propiedad de la intersecci´n finita
                                o                                         ıa)
(es decir, tal que la intersecci´n de cualquier subfamilia finita es no vac´ est´a
contenida en un filtro, a saber, en el filtro de todos los subconjuntos de I que
                          o
contienen una intersecci´n finita de conjuntos de la familia.
            ı         a
    De aqu´ se sigue f´cilmente que un ultrafiltro es un filtro maximal respecto de
          o                                                        a
la inclusi´n, por lo que el lema de Zorn nos da que todo filtro est´ contenido en
un ultrafiltro. En particular, toda familia de subconjuntos de I con la propiedad
                o            a
de la intersecci´n finita est´ contenida en un ultrafiltro. El teorema siguiente es
inmediato:

Teorema B.9 Sean V e I dos conjuntos, sea U un ultrafiltro en I y sea V I el
                                                        o
conjunto de todas las aplicaciones de I en V . La relaci´n

                           f =U g ↔ {i ∈ I | f (i) = g(i)} ∈ U

es una relaci´n de equivalencia en V I .
             o

         o
Definici´n B.10 Si V es un conjunto y U es un ultrafiltro en un conjunto I,
llamaremos ultrapotencia de V respecto a U al conjunto cociente ∗V = V I /U
de V I respecto de la relaci´n de equivalencia =U .
                            o

   Definimos la inmersi´n natural j : V −→ ∗V como la aplicaci´n dada por
                         o                                         o
j(x) = [cx ], donde cx : I −→ V es la aplicaci´n constante cx (i) = x. Es claro
                                              o
que j es inyectiva.
                                                   a
    Supongamos ahora que (V, E, d) es un modelo est´ndar. Podemos definir la
relaci´n ∗E en ∗V mediante
      o

                          [f ] ∗E [g] ↔ {i ∈ I | f (i) E g(i)} ∈ U.

                                             o
   Es inmediato comprobar que esta definici´n no depende de los representantes
                                       ı                     o
f y g de las clases de equivalencia, as´ como que la aplicaci´n j cumple

                               xy ∈ V (x E y ↔ j(x) ∗E j(y)).

     El teorema fundamental sobre ultrapotencias es el siguiente:

                            o
Teorema B.11 Sea θ una f´rmula interna con x1 , . . . , xn como variables libres.
                                                                          a
Entonces en ZFC se demuestra lo siguiente: Si (V, E, d) es un modelo est´ndar
y ∗V es una ultrapotencia, entonces (∗V, ∗E, j(d)) es un modelo est´ndar tal que
                                                                   a
                          ∗
      f1 · · · fn ∈ V I θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | θk (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U .
                                                               V


     En particular j : V −→ ∗V es una inmersi´n elemental.
                                             o
B.2. Ultrapotencias                                                                                                                 95

   Demostracion: Sea θ1 , . . . θr una sucesi´n de expresiones en las mismas
                 ´                              o
                                                                o
condiciones exigidas en la prueba del teorema de reflexi´n. Veamos por in-
ducci´n sobre k que si θk es un t´rmino y f1 , . . . , fn ∈ V I entonces
     o                           e
                                               ∗
                                              θi V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g],

donde g : I −→ V viene dada por g(i) = θk (f1 (i), . . . , fn (i)), mientras que si
                                           V

           o
θk es una f´rmula entonces cumple la propiedad del enunciado.
   Si θk ≡ x1 tenemos que g = f1 , luego el resultado es trivial.
   Si θk ≡ t1 ∈ t2 y f1 , . . . , fn ∈ V I , tenemos que
                        ∗                                               ∗
                       t1V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g1 ],             t2V ([f1 ], . . . , [fn ]) = [g2 ],

donde g1 y g2 est´n determinados por la hip´tesis de inducci´n. As´
                 a                         o                o     ı,
           ∗
                                                      ∗
         θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ [g1 ] E [g2 ] ↔ {i ∈ I | g1 (i) E g2 (i)} ∈ U

           ↔ {i ∈ I | tV (f1 (i), . . . , fn (i)) E tV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U
                       1                             2

                                    ↔ {i ∈ I | θk (f1 (i), . . . , fn (i)))} ∈ U.
                                                V


   El caso θk ≡ t1 = t2 es similar, usando la definici´n de =U .
                                                     o
   Si θk ≡ ¬α, por hip´tesis de inducci´n tenemos que
                       o                o
                   ∗
               α       V
                            ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

y como U es un ultrafiltro
               ∗
         ¬α        V
                       ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ V I \ {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

pero esto equivale a
                   ∗
           ¬α          V
                            ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I | ¬αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

                 ıa
que es lo que hab´ que probar.
   Si θk ≡ α → β probaremos la coimplicaci´n de las negaciones:
                                          o
                       ∗                                    ∗                                     ∗
    ¬(α → β)               V
                               ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔ α       V
                                                                    ([f1 ], . . . , [fn ]) ∧ ¬β       V
                                                                                                          ([f1 ], . . . , [fn ]).

                o                o
   Usando la hip´tesis de inducci´n y el caso anterior esto equivale a

    {i ∈ I | αV (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U ∧ {i ∈ I | ¬β V (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U

                               ↔ {i ∈ I | (αV ∧ ¬β V )(f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U
                               ↔ {i ∈ I | ¬(α → β)V (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U.
96                                                      e                                 o
                                                      Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

     Usando que U es un ultrafiltro esto equivale a que

                                  {i ∈ I | θk (f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,
                                            V
                                                                        /

                 ıamos que probar.
que es lo que ten´
     Si θk ≡                        e                o
                 xα probaremos tambi´n la coimplicaci´n de las negaciones:
                   ∗                                                    ∗
                ¬θkV ([f1 ], . . . , [fn ]) ↔       f ∈ V I ¬α              V
                                                                                ([f ], [f1 ], . . . , [fn ].)

     Usando la hip´tesis de inducci´n y el caso ¬α ya probado, esto equivale a
                  o                o

                          f ∈ V I {i ∈ I | ¬αV (f (i), f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U.                            (B.2)

     Falta probar que esto equivale a

                          {i ∈ I |     x ∈ V ¬αV (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U.                              (B.3)

                               u                                        a          u
     En efecto, si existe f seg´n (B.2) es claro que el conjunto que est´ en U seg´n
          a                                                       u
(B.2) est´ contenido en el conjunto que ha de estar en U seg´n (B.3), luego se
cumple (B.3). Rec´    ıprocamente, si se cumple (B.3), para cada i en el conjunto
indicado tomamos f (i) ∈ V de modo que se cumpla αV (f (i), f1 (i), . . . , fn (i)), y
           a
si i no est´ en el conjunto dado por (B.3) tomamos como f (i) cualquier elemento
de V . Es claro que f cumple (B.2).
     Si θk ≡ x|α, sea g(i) = θr (f1 (i), . . . , fn (i)). Por hip´tesis de inducci´n
                              V
                                                                 o                o
     1            ∗                                                 1
            ∗
         x∈ Vα        V
                          (x, [f1 ], . . . , [fn ]) ↔ {i ∈ I |          x ∈ V αV (x, x1 , . . . , xn )} ∈ U.

   Llamemos X al conjunto de la derecha. Si se da la unicidad, entonces X ∈ U
                                                                    ∗
y hemos de probar que [g] es el unico elemento de ∗V que cumple α V . Ahora
                                ´
                                                        ∗
                                                            V
bien, por la unicidad basta ver que α                                                                o
                                                                ([g], [f1 ], . . . , [fn ]) y por hip´tesis de
       o                    o
inducci´n esto sucede si y s´lo si

                               {i ∈ I | αV (g(i), f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U,

                 a
pero es que X est´ contenido en este conjunto.
     Si no se da la unicidad, entonces I \ X ∈ U y para cada i ∈ I \ U tenemos
                                                                ∗
que g(i) = d = cd (i), luego [g] = j([d]) = θr V ([f1 ], . . . , [fn ]).
     En particular, si θ no tiene variables libres hemos obtenido que

                                             V     θ ↔ ∗V               θ.

                                                        o
    A su vez esto implica que si V satisface una colecci´n finita Γ de axiomas de
ZFC entonces ∗V tambi´n los satisface (los axiomas de ZFC no tienen variables
                        e
libres).
   Podemos convertir a ∗V en un modelo no est´ndar (del lenguaje de N) defi-
                                              a
                                                      a           a
niendo S = j[V ], es decir, tomando como conjuntos est´ndar las im´genes por
j de los conjuntos de V .
B.2. Ultrapotencias                                                                                                                   97

Teorema B.12 Si V es un modelo est´ndar y ∗V es una ultrapotencia, enton-
                                      a
   ∗
ces V cumple el principio de transferencia de N.

                     a
      Demostracion: M´s precisamente, lo que vamos a probar es que si
                ´
                                             st                          st
                                  α≡              x1 · · · xn (               xθ →       xθ)

                                                                      o
es un caso particular del principio de transferencia (donde θ es una f´rmula de
ZFC) entonces en ZFC se demuestra que si V es un modelo est´ndar y ∗V una
                                                                a
                       ∗
ultrapotencia entonces V α.
                                  ∗
    En efecto, hemos de probar α V , que es la f´rmula
                                                o
                                     ∗                                                              ∗
                                                                                          ∗
          x1 · · · xn ∈ S( x ∈ S θ       V
                                             (x, x1 , . . . , xn ) →                 x∈ V θ             V
                                                                                                            (x, x1 , . . . , xn )).

      Fijamos j(x1 ), . . . , j(xn ) ∈ S, donde x1 , . . . , xn ∈ V . Suponemos que
                                                   ∗
                                   x∈Sθ                V
                                                            (x, j(x1 ), . . . , j(xn ))

o, lo que es lo mismo,
                                              ∗
                                  x∈V θ           V
                                                      (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )).

      Por el teorema anterior esto equivale a

                         x ∈ V θV (x, x1 , . . . , xn ) ≡ ( xθ)V (x1 , . . . , xn ),
                                                                ∗
                                                                    V
y aplicando otra vez el teorema ( xθ)                                                               ı
                                                                        (j(x1 ), . . . , j(xn )). As´ pues,
                                                    ∗
                                  x ∈ ∗V θ              V
                                                            (x, j(x1 ), . . . , j(xn )),

        ıamos que probar.
como ten´
      Ahora probaremos que si el ultrafiltro U se escoge adecuadamente entonces
∗
                           e                               o
    V satisface una forma d´bil del principio de idealizaci´n.

Definici´n B.13 Sea V un conjunto y ∗V una ultrapotencia. Para cada X ⊂ V
       o
definimos ∗X ⊂ ∗V como el conjunto dado por

                              [f ] ∈ ∗X ↔ {i ∈ U | f (i) ∈ X} ∈ U.

                                                  o
    Se comprueba inmediatamente que la definici´n no depende de la elecci´no
                        ı
del representante f , as´ como que se cumplen las propiedades siguientes:
      ∗              ∗        ∗          ∗                              ∗       ∗              ∗                     ∗      ∗
          (X ∩ Y ) = X ∩ Y,                  (X ∪ Y ) = X ∪ Y,                                     (V \ X) = V \ X.
                                                                                     ∗
                                    x ∈ V (x ∈ X ↔ j(x) ∈ X).
    Llamemos V al conjunto de todos los ultrafiltros en V y sea t : ∗V −→ V la
              ˜                                                          ˜
                                             ∗
aplicaci´n dada por t(ξ) = {X ∈ PV | ξ ∈ X}. Diremos que la ultrapotencia
        o
∗
                              o
  V es adecuada si la aplicaci´n t es suprayectiva.
98                                                       e                                 o
                                                       Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

Teorema B.14 Todo conjunto tiene una ultrapotencia adecuada.

    Demostracion: Sea V un conjunto y sea I el conjunto de todos los sub-
                     ´
                                                              ˜
conjuntos finitos de PV . Para cada X ⊂ V definimos X = {i ∈ I | X ∈ i}. Es
                                                                ˜        ˜
claro que si X1 , . . . , Xn son subconjuntos de V entonces X1 ∩ · · · ∩ Xn = ∅, pues
                                                                                ˜
contiene a i = {X1 , . . . , Xn }. Por consiguiente la familia de los conjuntos X est´
                                                                                     a
contenida en un ultrafiltro U sobre I. Sea ∗V la ultrapotencia correspondiente
y veamos que es adecuada.
    Para ello tomamos un ultrafiltro F en V y para cada i ∈ I llamamos Ai
               o                                          a
a la intersecci´n de todos los elementos de i que est´n en F (entendiendo que
Ai = V si no hay ninguno). As´ Ai = ∅.
                                    ı
    Para cada i ∈ I elegimos f (i) ∈ Ai y llamamos ξ = [f ] ∈ ∗V . Basta probar
que t(ξ) = F . En efecto, si X ∈ F entonces para cada i ∈ I tal que X ∈ i
                                                        ˜
tenemos que Ai ⊂ X, luego f (i) ∈ X. As´ pues, X ⊂ {i ∈ I | f (i) ∈ X}, lo que
                                               ı
                                                                 ∗
prueba que este ultimo conjunto est´ en U , es decir, ξ ∈ X. Por definici´n de
                    ´                    a                                       o
t esto significa que X ∈ t(ξ). Con esto hemos probado que F ⊂ t(ξ), pero como
ambos conjuntos son ultrafiltros se ha de dar la igualdad F = t(ξ).


                                                o
Teorema B.15 Sea θ(x, y, x1 , . . . , xm ) una f´rmula de ZFC con las variables
                                                                         a
libres indicadas. Entonces en ZFC se demuestra que si V es un modelo est´ndar
de una cierta colecci´n finita ∆ de axiomas de ZFC y ∗V es una ultrapotencia
                     o
adecuada entonces
     ∗       st                   st                                                                  st
         V        x1 · · · xm (        z(z finito →         x y ∈ z θ(x, y)) →                     x        y, θ(x, y)).

                                  o           o
     Demostracion: La relativizaci´n de esta f´rmula es
               ´
                                               ∗                                                              ∗
      x1 · · · xm ∈ S( z ∈ S(z finito V →                     x ∈ ∗V          y ∈ ∗V (y E z → θ                    V
                                                                                                                      (x, y))
                                                                   ∗
                                   →       x ∈ ∗V          y ∈Sθ       V
                                                                           (x, y)).

   Fijamos m elementos de S, de la forma j(x1 ), . . . , j(xm ), con xi ∈ V . Supo-
nemos
                       ∗                                                         ∗
                                          ∗            ∗
     z ∈ S z finito V →             x∈ V        y ∈ V (y E z → θ                      V
                                                                                         (x, y, j(x1 ), . . . , j(xm )) .

                    o
   Sea ∆ la colecci´n de axiomas necesarios para demostrar en ZFC la existencia
de {x}, la existencia de la uni´n de dos conjuntos, que la uni´n de dos conjuntos
                                o                              o
finitos es finita y que {x} es siempre un conjunto finito.
   Tomemos y1 , . . . , yn ∈ V . Del hecho de que V     ∆ se sigue que existe un
z ∈ V tal que z es finitoV y yi E z para todo i = 1, . . . , n.
                                                                                 ∗
   Como j es elemental, tenemos que j(z) es finito V y j(yi ) ∗E j(z) para todo
                            o
i = 1, . . . , n. Por la hip´tesis tenemos que
                                                                             ∗
                                  x ∈ ∗V           ∗
                                              y ∈ V (y E z → θ                   V
                                                                                     (x, y))
      ımites inductivos
B.3. L´                                                                                   99

y, como j es elemental, existe un x ∈ V tal que θV (x, yi , x1 , . . . , xm ) para todo
                          e
i = 1, . . . n. En otros t´rminos, hemos probado que la familia de los conjuntos

                          {x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )}          para y ∈ V

                                   o                     a
tiene la propiedad de la intersecci´n finita, luego est´n contenidos en un ultrafil-
tro F de V . Como la ultrapotencia es adecuada, existe ξ ∈ ∗V tal que F = t(ξ).
De este modo, si j(y) ∈ S tenemos que {x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )} ∈ F ,
luego ξ ∈ ∗{x ∈ V | θV (x, y, x1 , . . . , xm )}, y por el teorema B.11 esto implica
        ∗
            V
que θ           (ξ, j(y), j(x1 ), . . . , j(xm )). Por consiguiente
                                                 ∗
                              x ∈ ∗V     y ∈Sθ       V
                                                         (x, y, j(x1 ), . . . , j(xm ))

                                  ıamos que demostrar.
(tomando x = ξ), que es lo que ten´
                                     ∗
                                                   o
   Con esto tenemos que V cumple (una implicaci´n de) el principio de ideali-
    o                             a            a                a
zaci´n de N, pero exigiendo adem´s que los par´metros sean est´ndar. Desgra-
                                                        ∗
                                          e
ciadamente el caso general no tiene por qu´ cumplirse en V , lo cual nos lleva a
                    o
refinar la construcci´n.


B.3               ımites inductivos
                 L´
Definici´n B.16 Un sistema inductivo es una familia {Mα }α<λ de conjuntos
          o
       ıos,                    ımite, junto con una familia de aplicaciones
no vac´ donde λ es un ordinal l´
inyectivas jαα : Mα −→ Mα tales que si α < α < α < λ entonces se cumple
la relaci´n jαα ◦ jα α = jαα .
         o

   Diremos que {xα }α0 ≤α<λ es una sucesi´n inductiva si para cada α se cumple
                                         o
xα ∈ Mα y para α0 ≤ α < α < λ se cumple que xα = jαα (xα ).
   Definimos el l´ ımite inductivo de la familia como el cociente del conjunto
                                                       o
de todas las sucesiones inductivas respecto a la relaci´n de equivalencia que
                                                       u
identifica dos sucesiones si coinciden en su dominio com´n.
                      ımite inductivo, definimos las aplicaciones jα : Mα −→ M
    Si llamamos M al l´
mediante jα (x) = [{jαα (x)}α<α <λ ]. Es inmediato comprobar que para todos
los ordinales α < α < λ se cumple la relaci´n jαα ◦ jα = jα , as´ como que todo
                                           o                    ı
x ∈ M es de la forma jα (y) para un cierto α < λ y un cierto y ∈ Mα .
   Supongamos ahora que los conjuntos Mα son modelos est´ndar y que si
                                                               a
α < α < λ entonces xy ∈ Mα (x Eα y ↔ jαα (x) Eα jαα (y)). Supongamos
     e
tambi´n que jαα (dα ) = dα . Entonces podemos convertir al l´
                                                            ımite inductivo M
                a                  o
en un modelo est´ndar con la relaci´n

            xEy↔           α < λ x y ∈ Mα (x = jα (x ) ∧ y = jα (y ) ∧ x Eα y ).

              o                                  o
   De las hip´tesis se desprende que esta definici´n no depende de la repre-
       o
sentaci´n de x, y como x = jα (x ), y = jα (y ). Tomamos como descripci´n
                                                                        o
impropia a jα (dα ), para cualquier α.
100                                                  e                                 o
                                                   Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

Teorema B.17 Si M es el l´                                                a
                              ımite inductivo de un sistema de modelos est´ndar
para el que las aplicaciones jαα son inmersiones elementales, entonces las apli-
                   e
caciones jα tambi´n lo son.

   Demostracion: Vamos a probar que todas las jα satisfacen la definici´n de
                    ´                                                         o
       o                            o
inmersi´n elemental para una f´rmula dada. Par ello tomamos una sucesi´n de   o
expresiones θ1 , . . . , θr en las mismas condiciones que en la prueba del teorema
         o
de reflexi´n y que la contenga. Probaremos que si θk es una f´rmula entonces
                                                                   o
                               o            o                               e
cada jα cumple la definici´n de inmersi´n elemental para ella y si es un t´rmino
entonces cumple el teorema B.7.
   En efecto, si θk ≡ x el teorema se reduce a jα (x) = jα (x).
      Si θk ≡ t1 ∈ t2 , usando la hip´tesis de inducci´n vemos que
                                     o                o

                 θk α (x1 , . . . , xn ) ↔ tMα (x1 , . . . , xn ) Eα tMα (x1 , . . . , xn )
                  M
                                            1                         1

                       ↔ jα (tMα (x1 , . . . , xn )) E jα (tMα (x1 , . . . , xn ))
                              1                             1

                   ↔ tM (jα (x1 ), . . . , jα (xn )) E tM (jα (x1 ), . . . , jα (xn ))
                      1                                 2

                                    ↔ θk (jα (x1 ), . . . , jα (xn )).
                                       M


      El caso θk ≡ t1 = t2 es id´ntico.
                                e
   Si θk ≡ ¬φ o θk ≡ φ → ψ la conclusi´n se sigue inmediatamente de la
                                      o
   o                o
hip´tesis de inducci´n.
      Si θk ≡                o                o
                  xφ, por hip´tesis de inducci´n tenemos que

        xx1 · · · xn ∈ Mα (φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔ φM (jα (x), jα (x1 ), . . . , jα (xn )))

y hemos de probar que

                       x1 · · · xn ∈ Mα ( x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔

                                x ∈ M φM (x, jα (x1 ), . . . , jα (xn ))).
    Una implicaci´n es inmediata. Supongamos que x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn )
                 o
y tomemos x ∈ M . Entonces existe un ordinal β tal que α < β < λ y x = jβ (x ),
con x ∈ Mβ . Usando que jαβ es elemental concluimos que

                              x ∈ Mβ φMβ (x, jαβ (x1 ), . . . , jαβ (xn )).

   En particular φMβ (x , jαβ (x1 ), . . . , jαβ (xn )). Ahora usamos la hip´tesis de
                                                                            o
       o
inducci´n para β, con lo que

                          φM (jβ (x ), jβ (jαβ (x1 )), . . . , jβ (jαβ (xn ))),

que es lo mismo que φM (x, jα (x1 ), . . . , jα (xn )).
      Si θk ≡ x|φ, por hip´tesis de inducci´n tenemos que
                          o                o
          1                                           1

              x ∈ Mα φMα (x, x1 , . . . , xn ) ↔          x ∈ M φM (jα (x1 ), . . . , jα (xn )).
      ımites inductivos
B.3. L´                                                                     101

   Si se da la unicidad y x ∈ Mα es el unico x que cumple φVα , por la hip´tesis
                                       ´                                  o
de inducci´n para φ tenemos que jα (x) cumple φM , luego es el unico que lo
          o                                                       ´
cumple. En definitiva jα ((x|φ)Vα ) = (x|φ)M .
   Si no se da la unicidad, entonces (x|φ)Vα = dα y (x|φ)M = jα (dα ), luego
      e                   o
tambi´n tenemos la relaci´n que buscamos.
   El teorema siguiente es inmediato:

                                      a                               ımite,
Teorema B.18 Si V es un modelo est´ndar arbitrario y κ es un ordinal l´
existe una familia de modelos est´ndar {αV }α≤κ y una familia de inmersiones
                                 a
elementales jαβ : αV −→ β V , para α < β ≤ κ, de manera que
     0
  a) V = V .

  b) Para cada α < κ el modelo α+1V es una ultrapotencia de αV respecto a
     un cierto ultrafiltro Uα y jα α+1 es la inmersi´n natural can´nica de la
                                                   o             o
     ultrapotencia.
                                                    α
  c) Para cada ordinal l´ımite λ ≤ κ los modelos { V }α<λ con las correspon-
     dientes inmersiones jαβ forman un sistema inductivo y λV es el corres-
                ımite inductivo, de modo que las inmersiones jαλ son las co-
     pondiente l´
                            ımite.
     rrespondientes a este l´

    En estas circunstancias diremos que el modelo κV es un ultral´
                                                                 ımite del mo-
delo V . Es claro que los ultrafiltros Uα pueden definirse recurrentemente a lo
largo del proceso de construcci´n de los modelos αV . En particular podemos
                                o
                          α                                      α+1
definir Uα en t´rminos de V y en particular podemos exigir que
               e                                                     V sea una
                            α                            κ
ultrapotencia adecuada de V . En tal caso diremos que V es un ultral´    ımite
adecuado de V .
                                           o                     ´
    En la prueba del teorema de conservaci´n para N necesitamos unicamente un
      ımite numerable (es decir, con κ = ω). En efecto, si partimos de cualquier
ultral´
modelo est´ndar V y formamos un ultral´
           a                              ımite ∗V = ωV , tenemos la inmersi´n
                                                                             o
                           ∗                   ∗
elemental j = j0ω : V −→ V . Convertimos a V en un modelo del lenguaje de
                                                           o
N definiendo S = j[V ]. El hecho de que j sea una inmersi´n elemental permite
probar, con el mismo argumento que en B.12, que ∗V cumple el principio de
transferencia:

Teorema B.19 Si V es un modelo est´ndar y ∗V es un ultral´
                                     a                   ımite numerable,
        ∗
entonces V cumple el principio de transferencia de N.

                                                                           o
    La diferencia es que ahora podemos demostrar el principio de idealizaci´n
sin restricciones:

                                     a
Teorema B.20 Si V es un modelo est´ndar en el que se cumpla una cierta co-
lecci´n finita ∆ de axiomas de ZFC y ∗V es un ultral´
     o                                             ımite adecuado numerable,
         ∗
entonces V cumple la implicaci´n “→” del principio de idealizaci´n de N.
                               o                                o
102                                                                        e                                 o
                                                                         Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

                              o
   Demostracion: Fijamos una f´rmula interna θ(x, y, x1 , . . . , xm ) y hemos
              ´
de probar que
      ∗                                st                                                                                  st
          V         x1 · · · xm             z(z finito →                     x y ∈ z θ(x, y)) →                        x         y, θ(x, y) ,
es decir, que
                                                                ∗                                                                   ∗
      x1 · · · xm ∈ ∗V ( z ∈ S(z finito V →                                                 ∗
                                                                                        x∈ V
                                                                                                               ∗
                                                                                                       y ∈ V (y E z → θ                 V
                                                                                                                                            (x, y))
                                                                                          ∗
                                            →          x ∈ ∗V               y ∈Sθ             V
                                                                                                  (x, y)).
                                 ∗                                                                                                 m
  Si x1 , . . . , xn ∈ V existe un natural m tal que x1 , . . . , xn ∈ jm [ V ]. Diga-
mos que xi = jm (xi ), con xi ∈ mV . Suponemos
                         ∗                                                                         ∗
                                                   ∗                ∗
  z ∈ S(z finito V →                       x∈V               y ∈ V (y E z → θ                           V
                                                                                                           (x, y, jm (x1 ), . . . , jm (xn ))).
                                                       m+1                          ∗
   Ahora usamos que jm+1 :                                      V −→ V es una inmersi´n elemental, con lo
                                                                                     o
que
                                                                m+1
                         z ∈ m+1S(z finito                               V
                                                                            →            x∈
                                                                                                  m+1
                                                                                                           V    y∈
                                                                                                                     m+1
                                                                                                                           V
                                                  m+1
                     (y En+1 z → θ                      V
                                                            (x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn ))),
                                                                                                                                              m+1
              m+1                                                                                  m+1
donde               S = j0m+1 [V ]. En efecto: fijado z ∈                                                    S tal que z es finito                    V
                                                                                                                                                        ,
                                                            ∗
entonces jm+1 (z) ∈ S y es finito                                V
                                                                    , luego concluimos que
                                                                            ∗
                      x ∈∗V           y ∈ ∗V (y E z → θ                         V
                                                                                    (x, y, jm (x1 ), . . . , jm (xn )),
y ahora volvemos a aplicar que jm+1 es elemental. Aplicamos el teorema B.15
  m
a V , lo cual nos da que
                                                            m+1
                      m+1                     m+1
               x∈            V       y∈                Sθ            V
                                                                         (x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn )).

      Fijamos un x ∈ m+1V que cumpla esto y observamos que entonces
                                                        ∗
                                          y ∈Sθ             V
                                                                (jm+1 (x), y, x1 , . . . , xn ).
                                                                                                                                     m+1
   En efecto, todo elemento de S es de la forma j(y), para un y ∈                                                                             S que
ha de cumplir
                                     m+1
                                            V
                                 θ                (x, y, jm m+1 (x1 ), . . . , jm m+1 (xn )).
      Usando de nuevo que jm+1 es elemental pasamos a
                                          ∗
                                              V
                                      θ           (jm+1 (x), jm+1 (y), x1 , . . . , xn ).
      En definitiva tenemos que
                                                                            ∗
                                       x ∈ ∗V               y ∈Sθ               V
                                                                                    (x, y, x1 , . . . , xn ),
        ıamos que probar.
como ten´
      ımites inductivos
B.3. L´                                                                                                         103

    Para los axiomas restantes nos restringiremos al caso en que V es un modelo
Vλ , para un cierto ordinal l´
                             ımite λ. Puede probarse que si Vλ cumple suficientes
axiomas de ZFC y z ∈ Vλ entonces z es finitoVλ si y s´lo si z es finito, pero
                                                          o
           n                     o
podemos a˜adir esto como hip´tesis en lugar de demostrarlo:

Teorema B.21 Existe un conjunto finito ∆ de axiomas de ZFC tal que en ZFC
                                     ımite tal que Vλ ∆ y
se demuestra que si λ es un ordinal l´

                              z ∈ Vλ (z es finitoVλ ↔ z es finito)

entonces toda ultrapotencia adecuada numerable ∗V de Vλ cumple los principios
                            o                 o
de transferencia, idealizaci´n y estandarizaci´n de N.

   Demostracion: Veamos que ∗V
                                                                      st
             ´                                                             z(z finito →          y ∈ z st y). Esto
                                                          ∗
                                                                                 ∗      ∗
equivale a probar que             z ∈ S(z finito               V
                                                                  →        y ∈ V (y E z → y ∈ S)).
    Un tal z ser´ de la forma z = j(z ), donde z ∈ Vλ y como j es elemental
                 a
tenemos que z es finitoVλ . Por hip´tesis z es finito, digamos z = {y1 , . . . , yn }.
                                  o
Basta probar que si y ∗E z entonces y = j(yi ) para alg´n i = 1, . . . , n. Lo
                                                             u
                       o
probamos por inducci´n sobre n.
    Si z = {y1 } usamos la f´rmula y(y ∈ z → y = y1 )Vλ para concluir
                              o
       ∗    ∗
  y ∈ V (y E z → y = j(y1 )), como quer´ ıamos probar.
    Si vale para n − 1 llamamos z = {y1 , . . . , yn−1 }. Como

                                   y(y ∈ z → y ∈ z ∨ y = yn )Vλ ,

             e
tenemos tambi´n

                         y ∈ ∗V (y ∗E z → y ∗E j(z ) ∨ y = j(yn )),

y combinando esto con la hip´tesis de inducci´n llegamos a que si y ∗E j(z )
                                o                   o
entonces y = j(yi ) para i = 1, . . . , n − 1. La conclusi´n es inmediata.
                                                          o
                                        o                                o
    Ahora observamos que la implicaci´n “←” del principio de idealizaci´n es
una consecuencia l´gica de la sentencia ∗V
                                                st
                   o                               z(z finito → y ∈ z st y) que
                                          ∗
                                                                 e
acabamos de probar que se cumple en V , luego por B.4 tambi´n se cumple
            o         ıproco nos lo da el teorema anterior. Nos falta probar el
la implicaci´n. El rec´
                          o
principio de estandarizaci´n, es decir, que
      ∗                       st       st       st
          V     x1 · · · xn        x        y        z(z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ θ(z, x, y, x1 , . . . , xn )).

    Fijamos x1 , . . . , xn ∈ ∗V y x ∈ V . Hemos de probar que existe un y ∈ Vλ
tal que
                                                                  ∗
              z ∈ S(z ∗E j(y) ↔ z ∗E j(x) ∧ θ                         V
                                                                          (z, j(x), j(y), x1 , . . . , xn )).
                              ∗
   Sea y = {z ∈ x | θ V (j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn )} ∈ Vλ . De este modo, si
j(z) ∈ S, con z ∈ Vλ , se cumple
104                                             e                                 o
                                              Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n


                                                  ∗
        j(z) ∗E j(y) ↔ z ∈ y ↔ z ∈ x ∧ θ              V
                                                          (j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn )
                                    ∗
               ↔ j(z) ∗E j(x) ∧ θ       V
                                            (j(z), j(x), j(y), x1 , . . . , xn ).


   Con esto llegamos al resultado final para la N:

                                          o
Teorema B.22 Si Γ es cualquier colecci´n finita de axiomas de N y θ es una
 o
f´rmula interna sin variables libres, en ZFC se demuestra que existe un modelo
no est´ndar M tal que M Γ y
      a

                                    θ↔M                   θ.

                                          o
    Demostracion: Tomamos una colecci´n finita de axiomas ∆ de ZFC que
                 ´
contenga a todos los axiomas de ZFC que haya en Γ y que satisfaga el teorema
                                                                  ımite λ tal
B.21. Por el teorema B.5 podemos demostrar que existe un ordinal l´
que Vλ est´ en las hip´tesis de B.21 y adem´s θ ↔ θVλ . Llamamos M a un
           a           o                     a
      ımite adecuado numerable de Vλ . Entonces M ∆, luego en particular M
ultral´
cumple todos los axiomas de ZFC que hay en Γ. Adem´s θV ↔ M θ. Por el
                                                       a
teorema B.21 podemos probar que M cumple los axiomas externos que haya en
Γ, con lo que tenemos todas las propiedades requeridas.
                                         o
    Esto prueba el teorema de conservaci´n: si θ es un teorema interno de la
    ıa                   a
teor´ de conjuntos no est´ndar entonces θ se demuestra a partir de una cantidad
                                                    o
finita de axiomas Γ. El teorema anterior nos dice c´mo demostrar en ZFC la
existencia de un modelo M tal que M Γ y θ ↔ M θ, el teorema B.4 nos dice
 o
c´mo transformar la prueba que conocemos de θ a partir de los axiomas de la
teor´ no est´ndar en una prueba en ZFC de que M θ y reuniendo todo esto
    ıa       a
obtenemos una prueba de θ en ZFC.

                                                         ı:         o
Nota La prueba que hemos visto puede entenderse as´ la colecci´n de todas
                         a                               a
las afirmaciones matem´ticas (internas) que los matem´ticos han demostrado
                                                                              o
hasta la fecha o se han planteado demostrar es finita. Por el teorema de reflexi´n
podemos encontrar un ordinal λ tal que en Vλ se cumplen todos los teoremas
                                     a
demostrados hasta la fecha y, adem´s, cualquier presunto teorema que un ma-
    a                                                             o
tem´tico pueda estar interesado en probar (dentro de una selecci´n finita, pero
arbitrariamente grande, de objetivos interesantes) se cumple en Vλ si y s´lo si
                                                                           o
se cumple de verdad.
    Si formamos un ultral´ ımite ∗V obtenemos otro modelo donde se cumplen
                                                                         o
todos los teoremas demostrados y tal que un “objetivo” se cumple si y s´lo si se
cumple de verdad. Pero adem´s en ∗V se cumplen los axiomas de la teor´ de
                               a                                           ıa
                 a
conjuntos no est´ndar, por lo que si demostramos un “objetivo” con la ayuda de
estos axiomas y de cualquier teorema conocido previamente, estamos probando
que nuestro “objetivo” se cumple en ∗V , y entonces se cumple de verdad.
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                               105

B.4                              o              ıa
         El teorema de conservaci´n para la teor´
         de Hrbacek
                            o                               o    a
   El teorema de conservaci´n para H requiere una construcci´n m´s delicada
que la que acabamos de emplear para N. Concretamente, hemos de demostrar
que si α es una f´rmula de ZFC tal que αin es un teorema de H, entonces α es
                 o
un teorema de ZFC.
   Para empezar observamos que si M = (M, E, I, S, d) es un modelo del len-
guaje de H entonces (I, E|I×I , d) es un modelo est´ndar, y si θ(x1 , . . . , xn ) es
                                                   a
     o
una f´rmula de ZFC entonces

               x1 · · · xn ∈ M ((θin )M (x1 , . . . , xn ) ↔ θI (x1 , . . . , xn )),

pues las restricciones x ∈ M ∧ x ∈ I que aparecen en (θin )M equivalen a las
restricciones x ∈ I que aparecen en θI . Se demuestra por inducci´n sobre la
                                                                 o
                                                        e
longitud de θ, probando al mismo tiempo que si θ es un t´rmino entonces

               x1 · · · xn ∈ M ((θin )M (x1 , . . . , xn ) = θI (x1 , . . . , xn )).

    Partimos de un modelo Vλ que cumpla los suficientes axiomas de ZFC y tal
que, para la f´rmula α que queremos demostrar en ZFC, se cumpla αVλ ↔ α.
              o
    Basta construir un modelo M en el que se cumplan los axiomas de H junto
con una inmersi´n elemental j : Vλ −→ I, pues si αin es demostrable en H
                 o
entonces tendremos (αin )M , luego αI , luego αVλ y, por consiguiente, α. Toda
             a
la prueba ser´ constructiva.
                                        a
   En realidad vamos a trabajar simult´neamente con todos los modelos Vα ,
para α < λ. Por claridad enunciamos en un teorema las caracter´  ısticas de la
          o                                               o
construcci´n que vamos a realizar. Necesitamos una definici´n adicional:

Definici´n B.23 Una aplicaci´n i : M −→ M entre dos modelos est´ndar es
         o                      o                                  a
una inmersi´n inicial si es inyectiva, cumple xy ∈ M (x E y ↔ i(x) E i(y)),
           o
i(d) = d y

                 x ∈ M y ∈ M (y E i(x) →                 y0 ∈ M y = i(y0 )).

Teorema B.24 Fijados ordinales l´                               o
                                  ımite λ y κ, existe una sucesi´n de modelos
est´ndar Wα , con α < λ, β ≤ κ junto con aplicaciones inyectivas
   a      β


                               β
                   iβ : Wα −→ Wα ,
                    αα
                         β
                                                   jα : Wα −→ Wα
                                                    ββ   β     β


(para α < α < λ, β < β ≤ κ) tales que:

  a) Si β < β < β entonces jα ◦ jα β = jα .
                            ββ   β      ββ


  b) Si α < α < α entonces iβ ◦ iβ α = iβ .
                            αα   α      αα
106                                      e                                 o
                                       Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

  c) Si α < α , β < β el diagrama siguiente es conmutativo:
                                           ββ
                                          jα
                                   Wα β         / Wβ
                                    O              O
                                                   α

                                 iβ
                                  αα
                                                   iβ
                                                    αα
                                           ββ
                                          jα
                                     β
                                    Wα          / Wβ
                                                   α


  d) Las aplicaciones jα son inmersiones elementales, y las aplicaciones iβ
                       ββ
                                                                          αα
     son inmersiones iniciales.
      0         0
  e) Wα = Vα , Eα es la relaci´n de pertenencia, i0 es la inclusi´n.
                              o                   αα             o
              β+1
  f ) Cada Wα                              β
                  es una ultrapotencia de Wα respecto a un ultrafiltro U β en
                   β
      un conjunto I (donde ninguno de los dos depende de α).
  g) Si λ ≤ κ es un ordinal l´               λ
                                                      ımite inductivo de los
                             ımite entonces Wα es el l´
               β
     modelos Wα , para β < λ .

    Demostracion: Las condiciones del teorema determinan totalmente la
                    ´
            o     ´                                           o
construcci´n. Unicamente hemos de explicitar la construcci´n de las inmer-
siones iniciales.
    Para β = 0, la transitividad de cada Vα implica que las inclusiones i0 son
                                                                         αα
ciertamente inmersiones iniciales.
                                                  β
    Supuestos construidos todos los modelos Wα para todo α < λ y un β < κ,
(junto con las aplicaciones correspondientes). Fijamos arbitrariamente un con-
junto I β y un ultrafiltro U β en I β y definimos Wα    β+1
                                                          como la ultrapotencia
                       β
correspondiente de Wα . Esto nos da autom´ticamente las inmersiones elemen-
                                              a
       β
tales jα β+1 .
    Definimos iβ+1 ([f ]) = [f ], donde f (i) = iβ (f (i)). Una simple compro-
                 αα                               αα
baci´n muestra que iβ+1 est´ bien definida, satisface las relaciones indicadas y
     o                αα       a
                                 β+1
es inicial. Por ejemplo, si [g] Eα iβ+1 ([f ]), entonces
                                     αα
                                       β
                      {i ∈ I β | g(i) Eα iβ (f (i))} ∈ U β .
                                          αα

    Como iβ es inicial, para cada i en este conjunto, g(i) = iβ (g (i)), donde
           αα                                                 αα
g (i) ∈ Wα . Extendemos g a una funci´n sobre todos los ´
         β
                                      o                   ındices, de modo que
tenemos [g ] ∈ Wα y claramente [g] = iβ ([g ]).
                 β
                                      αα
                                                β
   Supongamos ahora construidos los modelos Wα (con las aplicaciones corres-
pondientes) para todo β < λ , donde λ ≤ κ es un ordinal l´                λ
                                                         ımite. Definimos Wα
                                           β                    λ
         ımite inductivo de los modelos Wα . Las aplicaciones iαα se definen
como el l´
mediante
                         iλ ([{xβ }]) = [{iβ (xβ )}].
                          αα               αα
                   a               a
    Se demuestra f´cilmente que est´n bien definidas, que cumplen todas las
relaciones y que son iniciales.
                                    a
   En realidad podemos exigir algo m´s:
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                     107

Teorema B.25 En las condiciones del teorema anterior, los conjuntos I β y los
                                                  β+1
ultrafiltros U β pueden elegirse de modo que cada Wα   sea una ultrapotencia
                β
adecuada de Wα .

   Demostracion: Suponemos construidos los modelos {Wα }α<λ , con las
                 ´                                                 β
                                β
correspondientes inmersiones iαα . Formamos el l´  ımite inductivo W β y tomamos
 β      β                                        β
I y U seg´n el teorema B.14 aplicado a W , es decir, I β es el conjunto de
             u
todos los subconjuntos finitos de PW β . Vamos a comprobar que el argumento
                                                                          β+1
de B.14 se refina levemente para probar que todas las ultrapotencias Wα son
adecuadas:
   Tomamos un ultrafiltro F ⊂ Wα y para cada i ∈ I β llamamos Ai a la inter-
                                    β
                           β −1
secci´n de los conjuntos (iα ) [X], donde X ∈ i e (iβ )−1 [X] ∈ F (entendiendo
     o                                                 α
que Ai = Wα si no hay ning´n X). En particular Ai = ∅, por lo que podemos
             β
                              u
tomar f (i) ∈ Ai y formamos as´ un ξ = [f ] ∈ Wα .
                                  ı                β+1

   Ahora, si Y ∈ F y X = iα [Y ] ∈ i entonces Ai ⊂ Y , luego f (i) ∈ Y , lo que a
                              β

su vez implica que
                              ˜
                             X ⊂ {i ∈ I | f (i) ∈ Y },

luego el ultimo conjunto est´ en U β . Como en B.14 se concluye ahora que
         ´                   a
Y ∈ t(ξ), con lo que F ⊂ t(ξ) y al ser ultrafiltros tenemos la igualdad.

    Tomamos concretamente κ = |Vλ |+ (el menor cardinal mayor que el cardinal
de Vλ ). Para cada ordinal β ≤ κ definimos W β como el l´   ımite inductivo del
sistema formado por los modelos {Wα }α<λ con las aplicaciones iβ . Esto nos
                                     β
                                                                 αα
da aplicaciones iβ : Wα −→ W β . Es f´cil ver que son iniciales. As´ mismo es
                 α
                       β
                                       a                            ı
claro que Vλ se identifica con W 0 de forma natural.

    Si β < β ≤ κ, definimos j ββ : W β −→ W β como la unica aplicaci´n que
                                                          ´           o
cumple iβ ◦ j ββ = jα ◦ iβ . Es f´cil ver que existe. Pronto veremos que j ββ
         α
                    ββ
                         α        a
               o
es una inmersi´n elemental, pero esto no es inmediato.
                                                       β
    Llamamos I = W κ e identificamos cada modelo Wα con su imagen por la
aplicaci´n jα ◦ iα . Es claro entonces que todas las inmersiones que estamos
        o   βκ   κ

considerando se identifican con inclusiones. En particular

                                Wβ =        β
                                           Wα .
                                       α<λ



                                                                   o
    Recordemos que el ordinal λ lo proporciona el teorema de reflexi´n, de modo
que Vλ satisface una colecci´n finita arbitrariamente grande de axiomas de ZFC.
                            o
                                    e
Vamos a exigir que satisfaga tambi´n las propiedades siguientes (lo cual es po-
                                       o
sible siempre por el teorema de reflexi´n)

  a)    α ∈ Vλ (α es un ordinalVλ ↔ α es un ordinal).
                   V
  b)     α < λ(Vα λ = Vα ) (esto se obtiene por el teorema de reflexi´n aplicado
                                                                    o
       a x = Vα ).
108                                            e                                 o
                                             Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

                                       o
   En la prueba del teorema de reflexi´n se ve que el ordinal λ se puede tomar
                                             o
arbitrariamente grande, es decir, para cada f´rmula α tenemos que

         α λ (α ≤ λ ∧       x1 · · · xn ∈ Vλ (αVλ (x1 , . . . , xn ) ↔ α(x1 , . . . , xn )).

      (Aqu´ se entiende que α representa un ordinal y λ un ordinal l´
          ı                                                         ımite.)
   Pues bien, vamos a suponer que Vλ cumple la relativizaci´n de esta f´rmula
                                                            o          o
a Vλ (para una colecci´n finita arbitrariamente grande de f´rmulas α. Teniendo
                      o                                   o
en cuenta a) y b) lo que estamos suponiendo es que

  α < λ λ (α ≤ λ < λ∧ x1 · · · xn ∈ Vλ (αVλ (x1 , . . . , xn ) ↔ αVλ (x1 , . . . , xn )).

   Pero esto es tanto como decir que la inclusi´n i0 : Vλ −→ Vλ es una
                                                o λ
       o                                           ımite λ no acotado en λ.
inmersi´n elemental para un conjunto de ordinales l´

Teorema B.26 En las condiciones anteriores, si i0 es una inmersi´n elemen-
                                                λ               o
                    β
tal, tambi´n lo es iλ para todo β ≤ κ.
          e

                                             o
     Demostracion: Fijada una f´rmula, construimos una sucesi´n de expre-
                           ´                                                o
siones θ1 , . . . , θr igual que en la prueba del teorema de reflexi´n y demostramos
                                                                       o
que cada θk cumple la definici´n de inmersi´n elemental o el teorema B.7 seg´ n
                                          o          o                                u
                o                   e                              o
si es una f´rmula o un t´rmino. Razonamos por inducci´n sobre β. Para β = 0
es trivial. Ahora suponemos que iβ es una inmersi´n elemental para todas las
                                             λ               o
expresiones θk y siempre que i0 lo es, y vamos a probarlo para iβ+1 . A su vez
                                           λ                              λ
suponemos que se cumple para expresiones anteriores a θk y lo probamos para
e
´sta.
     Si θk ≡ x es trivial. Si θk ≡ t1 = t2 o θk ≡ t1 ∈ t2 se sigue inmediatamente
de que iβ+1 no es m´s que la inclusi´n. Los casos θk ≡ ¬φ o θk ≡ φ → ψ son
              λ                 a              o
                                                   o
igualmente inmediatos a partir de la hip´tesis para φ y ψ.
     Supongamos ahora que θk ≡ xφ. La parte no trivial es suponer que, fijados
                                                              β+1
                         β+1                           β+1
x1 , . . . , xn ∈ Wλ , si se cumple x ∈ Wλ φWλ (x, x1 , . . . , xn ) entonces
                                    β+1
tambi´n x ∈ W β+1 φW (x, x1 , . . . , xn ).
          e
     Supongamos, por reducci´n al absurdo, que existe x ∈ W β+1 de manera que
                                        o
    W β+1
¬φ                                                               ımite λ > λ tal que i0
             (x, x1 , . . . , xn ). Tomemos entonces un ordinal l´                    λ
                                               β+1
sea elemental y de modo que x ∈ Wλ .
                                                                         β+1
   Por la hip´tesis de inducci´n para φ y λ tenemos ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ).
             o                o
                                      β
   Tomemos funciones fj : I β −→ Wλ funciones tales que xj = [fj ]. Por el
teorema B.11 tenemos que
                                             β
                                 β
               {i ∈ I β |   x ∈ Wλ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U β .

    Para cada ´                                          o                o
               ındice i en este conjunto aplicamos la hip´tesis de inducci´n en
virtud de la cual las inclusiones iβ e iβ son elementales para θk , de donde se
                                   λ    λ
                            β
                   β
sigue que     x ∈ Wλ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i)). As´ pues,
                                                         ı
                                             β
                                 β
               {i ∈ I β |   x ∈ Wλ ¬φWλ (x, f1 (i), . . . , fn (i))} ∈ U β .
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                                        109

                                                                      β+1
                                                        β+1
   De nuevo por B.11 concluimos que                x ∈ Wλ ¬φWλ              (x, x1 , . . . , xn ), en
contra de lo supuesto.
   El caso en que θk ≡ x|φ se trata con el mismo argumento que hemos em-
                                           e
pleado en todos los resultados similares a ´ste.
   Ahora suponemos que β es un ordinal l´     ımite y que iδ es una inmersi´n
                                                            λ                 o
elemental para las expresiones θk siempre que δ < β y i0 lo es. Hemos de
                                                             λ
probarlo para iβ , y a su vez lo suponemos cierto para las expresiones anteriores
               λ
a θk .
    Pasamos directamente al unico caso no trivial, es decir, cuando θk ≡ xφ.
                                ´
                           β
Fijamos x1 , . . . , xn ∈ Wλ y suponemos que existe un x ∈ W β de manera que
     β
¬φW (x, x1 , . . . , xn ).
                                                                                    β
    Sea λ > λ un ordinal l´  ımite tal que i0 sea elemental y x, x1 , . . . , xn ∈ Wλ .
                                            λ
A su vez tomamos un δ < β tal que x ∈ Wλ y x1 , . . . , xn ∈ Wλ .
                                              δ                    δ
                                                                 β
    Por la hip´tesis de inducci´n para φ tenemos ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), como la
              o                o
           δβ                                 δ
inclusi´n jλ es elemental de aqu´ se sigue ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ), por la hip´tesis
       o                         ı                                               o
                                                                     δ
de inducci´n para iδ e iδ respecto a θk tenemos x ∈ Wλ ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ),
           o        λ    λ
                                                           δ

                         o δβ
y usando que la inmersi´n jλ es elemental concluimos que
                                               β
                                     β
                                x ∈ Wλ ¬φWλ (x, x1 , . . . , xn ).


   Como consecuencia tenemos:

Teorema B.27 Si β < β ≤ κ, la inclusi´n j ββ : W β −→ W β es una in-
                                     o
     o
mersi´n elemental.

   Demostracion: Dada una f´rmula φ(x1 , . . . , xn ), fijamos x1 , . . . , xn ∈ W β
                ´               o
y tomamos un ordinal l´                                   β
                       ımite λ tal que x1 , . . . , xn ∈ Wλ y las inclusiones iβ ,
                                                                                 λ
 β                                            ββ
iλ sean elementales. Entonces, usando que jλ es elemental, vemos que
    β                       β                        β                          β
φW (x1 , . . . , xn ) ↔ φWλ (x1 , . . . , xn ) ↔ φWλ (x1 , . . . , xn ) ↔ φW (x1 , . . . , xn ).


    Llamaremos j = j 0κ , de modo que j : Vλ −→ I es una inmersi´n elemental.
                                                                 o
Definimos S = j[Vλ ] ⊂ I. Los elementos de I ser´n los conjuntos internos
                                                     a
del modelo que vamos a construir. Ahora nos falta construir los conjuntos
estrictamente externos. Conviene introducir el siguiente concepto:

         o                                         a
Definici´n B.28 Si x es un elemento de un modelo est´ndar M , llamaremos
extensi´n de x al conjunto x = {u ∈ M | u E x}.
       o                   ˜

                 o
    En la definici´n siguiente las extensiones que aparecen hacen referencia a la
      o                   a
relaci´n E del modelo est´ndar I:
110                                        e                                 o
                                         Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

                                                          β   β
        o                                             a
Definici´n B.29 Definimos la familia de modelos est´ndar (Zα , Eα , d), para
α < λ, β ≤ λ, determinada por las propiedades siguientes:
                 o
  a) La descripci´n impropia de todos los modelos es la de I.
       0    0          κ    κ
  b) (Zα , Eα , d) = (Wα , Eα , d).
  c) Zα = Zα ∪ Aβ ∪ Bα , donde
      β+1  β
                α
                     β


               Aβ = {x ∈ I | x ⊂ Zα },
                α            ˜    β
                                          Bα = {x ∈ PZα |
                                           β          β
                                                               y ∈ I x = y }.
                                                                         ˜

  d) Eα = Eα ∪ {(x, y) ∈ Zα × Aβ | x E y} ∪ {(x, y) ∈ Zα × Bα | x ∈ y}.
      β+1  β              β
                               α
                                                       β    β


  e) Si λ ≤ λ es un ordinal l´       λ
                             ımite, Zα =            δ    λ
                                                   Zα , Eα =          δ
                                                                     Eα .
                                             δ<λ               δ<λ

                                                         β
                              o
   Definimos M como la uni´n de todos los modelos        Zα ,            o
                                                           con la relaci´n E que
                                      β
resulta de unir todas las relaciones Eα y con la descripci´n impropia de I.
                                                          o

                                                  o
      Veamos algunas consecuencias de esta definici´n:

Teorema B.30 Se cumple:
  a) S ⊂ I ⊂ M .
  b) Si x ∈ I entonces la extensi´n de x en M es la misma que en I.
                                 o
  c) Si x ∈ M \ I, entonces la extensi´n de x es x.
                                      o
  d) Para todo a ⊂ Zα existe un x ∈ Zα tal que x = a.
                    β                β+1
                                               ˜
                                                   β
  e) Si α < α < λ y β < β ≤ λ, entonces Zα ⊂ Zα ∩ Zα .
                                         β    β


  f ) Si x ∈ M , y ∈ Zα , x E y, entonces x ∈ Zα .
                      β                        β


    Demostracion: Las propiedades a), b) y c) son inmediatas. La propiedad
                 ´
d) se debe a que o bien existe un x ∈ Aβ tal que x = a, y entonces cumple lo
                                        α         ˜
pedido, o bien tomamos x = a ∈ Bα . La propiedad e) se demuestra f´cilmente
                                    β
                                                                    a
           o                                         o
por inducci´n. La propiedad f) se prueba por inducci´n sobre β. El caso β = 0
                                        κ
                                 o
es consecuencia de que la inclusi´n de Wα en I es inicial.
   Tenemos as´ un modelo M = (M, E, I, S, d). Hemos de probar que cumple
               ı
                     o
(cualquier subcolecci´n finita de) los axiomas de H.

Extensionalidad Decir que M cumple el axioma de extensionalidad es tanto
como decir que si dos conjuntos x, y ∈ M tienen la misma extensi´n entonces
                                                                   o
son iguales. Ahora bien, si x, y ∈ M \ I entonces x = x = y = y, si x, y ∈ I
                                                        ˜    ˜
entonces las extensiones de x e y son sus extensiones en I, y ha de ser x = y
                                                      ´
porque I satisface el axioma de extensionalidad. Por ultimo, no puede ocurrir
que x ∈ I e y ∈ M \ I tengan la misma extensi´n, pues si y ∈ Zα y β es el
                                                  o                 β

m´ınimo ordinal para el que esto sucede, entonces β = γ + 1 y ha de ser y ∈ Bα ,
                                                                             γ

           ˜        ˜
con lo que y = y = x.
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                         111

Par El axioma del par es

               xy ∈ M z ∈ M u ∈ M (u E z ↔ u = x ∨ u = y).

   Sean α y β tales que x, y ∈ Zα . Consideremos a = {x, y} ⊂ Zα . Basta
                                β                              β

tomar el z ∈ Zα cuya extensi´n es a.
              β+1
                             o

   o                     o
Uni´n El axioma de la uni´n es

               x ∈ M y ∈ M uv ∈ M (u E v ∧ v E x → u E y).

   Consideremos a = {u ∈ M | v ∈ M (u E v ∧ v E x)}. Si x ∈ Zα , entonces
                                                                β

todo v ∈ M que cumpla v E x est´ tambi´n en Zα y lo mismo sucede con todo
                                a       e     β

u ∈ M tal que u E v. As´ pues, a ⊂ Zα . Ahora basta tomar el x ∈ Zα cuya
                       ı            β                             β+1

       o
extensi´n es a.

Partes El axioma de partes es

          x ∈ M y ∈ M u ∈ M ( v ∈ M (v E u → v E x) → u E y).

   Tomamos x ∈ M , que estar´ de hecho en un Zα . Sea a = {u ∈ Zα | u ⊂ x}
                              a                β                β+1
                                                                    ˜ ˜
y sea y ∈ Zα β+2
                             o
                 cuya extensi´n sea a. Entonces y cumple lo pedido, pues si
u ∈ M cumple v ∈ M (v E u → v E x), entonces u ⊂ x ⊂ Zα , luego existe un
                                                  ˜ ˜      β

u0 ∈ Zα tal que u = u0 , luego por extensionalidad u = u0 ∈ Zα . M´s a´n,
       β+1
                    ˜ ˜                                       β+1
                                                                    a u
u ∈ a, luego u E y.

           o                          o
Especificaci´n El axioma de especificaci´n es

     x1 · · · xn x ∈ M y ∈ M u ∈ M (u E y ↔ u E x ∧ αM (u, x1 , . . . , xn )))

   Tomamos α y β tales que x ∈ Zα y consideramos el conjunto
                                β


                  a = {u ∈ Zα | u E x ∧ αM (u, x1 , . . . , xn )}.
                            β


   Es claro que el y ∈ Zα cuya extensi´n es a cumple lo necesario.
                        β+1
                                      o

Elecci´n Para demostrar el axioma de elecci´n tomamos un conjunto x ∈ Zα
       o                                      o                            β

y fijamos un buen orden R en x. Teniendo en cuenta que (u, v) ≡ {{u}, {u, v}},
es f´cil ver que si u E x ∧ v E x, entonces {u}M , {u, v}M ∈ Zα
    a                                                              β+1
                                                                       y que
(u, v) ∈ Zα . Llamamos a al conjunto de todos los elementos de Zα que
      M      β+2                                                     β+2

son de la forma (u, v)M , con (u, v) ∈ R y tomamos el conjunto y ∈ Zα cuya
                                                                    β+3
                                                            M
extensi´n es a. Se comprueba que (y es un buen orden de x) .
        o

Inclusi´n y transitividad El axioma de inclusi´n es trivial, pues S ⊂ I. El
        o                                           o
axioma de transitividad equivale a que x ∈ M y ∈ I(x E y → x ∈ I), lo cual
                          o                                      o
es cierto, pues la extensi´n de un conjunto interno es su extensi´n en I.
112                                            e                                 o
                                             Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

ZFCin Podemos demostrar que M cumple cualquier cantidad finita de axio-
                                                                  o
mas de ZFC relativizados a conjuntos internos gracias a la inmersi´n elemental
j : Vλ −→ I. En efecto, si α es un axioma de ZFC, podemos suponer αVλ , luego
αI , pero esto equivale a (αin )M .

Transferencia Para demostrar el principio de transferencia hemos de probar
que

         x1 · · · xn ∈ S( x ∈ S αI (x, x1 , . . . , xn ) →   x ∈ IαI (x, x1 , . . . , xn )).

    Sean j(x1 ), . . . , j(xn ) ∈ S y supongamos que x ∈ SαI (x, j(x1 ), . . . , j(xn ))
o, lo que es lo mismo, x ∈ Vλ αI (j(x), j(x1 ), . . . , j(xn )). Como j es elemental,
esto equivale a x ∈ Vλ αVλ (x, x1 , . . . , xn ) ≡ ( xα)Vλ (x1 , . . . , xn ). Usando de
nuevo que j es elemental concluimos que x ∈ IαI (x, j(x1 ), . . . , j(xn )).

Idealizaci´n Observemos que si A ∈ M cumple (A tiene tama˜o est´ndar)M ,
           o                                                    n     a
entonces existen B ∈ I y f ∈ M tales que (f : ◦B −→ A suprayectiva)M . No es
                                         o
cierto que f sea exactamente una aplicaci´n fuera de M , pero en cualquier caso
                                              ˜      ˜
determina una aplicaci´n suprayectiva g : S ∩ B −→ A. La aplicaci´n j biyecta
                       o                                           o
     ˜                                   ˜
S ∩ B con un subconjunto de Vλ , luego |A| ≤ |Vλ | < κ.
                     ˜
    Llamemos A0 = A ∩ I. Tambi´n se cumple que |A0 | < κ. Vamos a probar
                                 e
que existen ordinales α < λ, β < κ tales que A0 ⊂ Wα . Para ello necesitamos
                                                      β

algunos hechos previos:
                                            0β
      1) Si x ∈ Wα , entonces iβ α+1 (x) E jα+1 (Vα ).
                 β
                               α

    En efecto, se prueba por inducci´n sobre β ≤ κ. Para β = 0 es trivial
                                        o
(entendiendo que jα+1 es la identidad). Si vale para β y x ∈ Wα , entonces
                     00                                              β+1
                                            β+1
x = [f ], para cierta f : I β −→ Wα . Sea iα α+1 (x) = [g]. Aplicando la hip´tesis
                                    β
                                                                            o
                                                              0β
de inducci´n a f (i), tenemos que g(i) = iβ α+1 (f (i)) E jα+1 (Vα ). Tomando
            o                                 α
                       β β+1 0β             0β+1
clases iβ+1 (x) E jα+1 (jα+1 (Vα )) = jα+1 (Vα ). Si β es l´
         α α+1                                                   ımite y x ∈ Wα ,
                                                                                β

existe un δ < β tal que x = jα (x ), con x ∈ Wα . Por hip´tesis de inducci´n
                                 δβ                 δ
                                                               o               o
                                                                  0β
                                       δβ
iδ α+1 (x ) E jα+1 (Vα ), y aplicando jα+1 tenemos iβ α+1 (x) = jα+1 (Vα ).
 α
               0δ
                                                      α

      2) Si x ∈ I y x ⊂ Zα , entonces x ∈ Zα+2 .
                    ˜    0                 0

                                                               0       κ
                  u
   En efecto, seg´n la propiedad anterior (recordemos que Zα = Wα ) tenemos
que (x ⊂ j(Vα )) , luego x ∈ Pj(Vα )) , y como j es elemental (Pj(Vα ))I =
                  I                     I

j((PVα )Vλ ) = j(Vα+1 ). As´ pues, x E j(Vα+1 ) ∈ Zα+2 , y por el teorema B.30 f)
                           ı                       0

concluimos que x ∈ Zα+2 .
                       0


      3) Zα ∩ I ⊂ Zα+2β .
          β        0


   Por inducci´n sobre β < λ. Para β = 0 es trivial. Si x ∈ Zα ∩ I, entonces
              o                                               β+1

x ⊂ Zα ∩ I ⊂ Zα+2β , luego por el apartado anterior x ∈ Zα+2β+2 . Si β es l´
˜     β        0                                         0
                                                                           ımite
y x ∈ Zα ∩ I, entonces x ∈ Zα ∩ I, para un δ < β. Por hip´tesis de inducci´n
        β                    δ
                                                            o                o
x ∈ Zα+2δ ⊂ Zα+2β .
     0        0
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                                     113

   Volviendo al conjunto A de tama˜o est´ndar, si A ∈ Zα , ahora tenemos que
                                        n    a              β

A0 ⊂ Zα ∩ I ⊂ Zα+2β = Wα+2β , pero como κ es un cardinal regular y |A0 | < κ,
       β            0           κ
                                           γ
ha de existir un γ < κ tal que A0 ⊂ Wα+2β . Cambiando la notaci´n, tenemos
                                                                   o
un ordinal α < λ y otro β < κ tales que A0 ⊂ Wα . Puesto que α se puede
                                                       β

tomar arbitrariamente grande, podemos suponer que la inclusi´n Wα −→ I es
                                                               o     κ

elemental (ver el teorema B.26).
   Fijados x1 , . . . , xn ∈ I (que podemos suponer en Wα ) Hemos de demostrar
                                                         β


                    ˜
         z ∈ M (˜ ⊂ A ∧ z finitoM →
                z                            x ∈ I y ∈ z ∩ A0 αI (x, y, x1 , . . . , xn ))
                                                       ˜

                      →       x ∈ I y ∈ A0 αI (x, y, x1 , . . . , xn ).
    Suponemos la hip´tesis. Tomamos y1 , . . . , ym ∈ A0 . Puesto que las inclu-
                          o
siones Wα −→ Wα −→ I son elementales, podemos suponer que Wα satisface
          β         κ                                                      β

cualquier cantidad finita de axiomas de ZFC. Si suponemos que cumple los nece-
sarios para demostrar que existe {x} y es finito, que existe la uni´n de conjuntos
                                                                     o
y que la uni´n de conjuntos finitos es finita, podemos construir un z ∈ Wα cuya
            o                                                                  β

extensi´n sea {y1 , . . . , ym }. Tambi´n es f´cil ver que z es finitoM , por lo que
        o                              e      a

                     x ∈ I y ∈ I(y E z → αI (x, y, x1 , . . . , xn )).

   Usando que las inclusiones son elementales pasamos a
                                                         β
                 x ∈ Wα y ∈ Wα (y E z → αWα (x, y, x1 , . . . , xn )).
                      β      β

                                                                    β
   As´ pues, tenemos que los conjuntos {x ∈ Wα | αWα (x, y, x1 , . . . , xn )} para
      ı                                          β

y ∈ A0 tienen la propiedad de la intersecci´n finita, luego est´n contenidos en
                                            o                 a
                      β                            β+1
un ultrafiltro F en Wα . Como la ultrapotencia Wα        es adecuada, existe un
ξ ∈ Wα β+1
           tal que F = t(ξ), y as´ si y ∈ A0 tenemos que
                                 ı,

                      ξ ∈ ∗{x ∈ Wα | αWα (x, y, x1 , . . . , xn )},
                                                β
                                 β


lo cual, por el teorema B.11 equivale a
                     β+1
                  α Wα          β           β                     β
                           (ξ, jα β+1 (y), jα β+1 (x1 ), . . . , jα β+1 (xn )).
                   β+1
    Si usamos que jα κ e iκ son inmersiones elementales e identific´ndolas con
                            αλ                                                a
inclusiones llegamos a αI (ξ, y, x1 , . . . , xn ), para todo y ∈ A0 , como ten´ıamos que
probar.

             o
Estandarizaci´n Hemos de probar que

                         x ∈ M y ∈ S u ∈ S(u E y ↔ u E x).

   Para ello demostramos primero que si α ≤ γ < λ, u ∈ Vγ , y ∈ Wα y
                                                                 β
 0β
jγ (u)= iαγ (y), entonces u ∈ Vα .
         β


                            o
    Lo probamos por inducci´n sobre β. Para β = 0 es trivial (entendiendo que
 00                                            0β                  0β+1
jγ es la identidad). Si vale para β, sea x = jγ (u), con lo que jγ      (u) =
 ββ+1
jγ    (x ) = [cx ].
114                                       e                                 o
                                        Ap´ndice B. El teorema de conservaci´n

   Por otra parte, si y = [f ], para un conjunto de ´ ındices i que est´ en U β , se
                                                                       a
ha de dar la igualdad cx (i) = iβ (f (i)), es decir, existe un y = f (i) ∈ Wα tal
                                 αγ
                                                                              β

que x = jγ (u) = iαγ (y ). Por hip´tesis de inducci´n u ∈ Vα .
          0β       β
                                    o                 o
                                                                        δβ
               ımite y vale para todo δ < β, tomamos δ de modo que y = jα (y ),
   Si β es un l´
para cierto y ∈ Wα . Entonces
                   δ


                     δβ 0δ             δβ         δβ
                    jγ (jγ (u)) = iβ (jα (y )) = jγ (iδ (y )),
                                   αγ                 αγ


luego jγ (u) = iδ (y ) y, por hip´tesis de inducci´n, u ∈ Vα .
       0δ
                αγ               o                o
   En particular, para β = κ e identificando todos los modelos con subconjuntos
de I tenemos que si u ∈ Vλ cumple j(u) ∈ Zα entonces u ∈ Vα .
                                            0


   Ahora demostramos que si u ∈ Vλ cumple j(u) ∈ Zα , con α, β < λ, entonces
                                                  β

u ∈ Vα+β .
   Observemos antes que podemos exigir que si α, β < λ entonces α + β < λ.
En efecto, basta suponer que Vλ cumple

                    x ∈ Vλ (x es un ordinalVλ ↔ x es un ordinal)

  ı
as´ como el teorema que afirma que para cada dos ordinales existe su suma.
                            o
   Razonamos por inducci´n sobre β. Para β = 0 lo acabamos de probar.
Supong´moslo cierto para β y sea j(u) ∈ Zα . Si v ∈ u, entonces j(v) E j(u),
       a                                   β+1

luego j(v) ∈ Zα . Por hip´tesis de inducci´n v ∈ Vα+β , luego u ⊂ Vα+β , luego
              β
                          o               o
u ∈ Vα+β+1 . El caso l´
                      ımite es trivial.
   Ahora ya podemos demostrar el principio de estandarizaci´n: dado x ∈ Zα ,
                                                              o              β

con α, β < λ, tomamos a = {u ∈ Vα+β | j(u) E x} ∈ Vα+β+1 . As´ para todo
                                                                   ı,
u ∈ Vλ tenemos que j(u) E x si y s´lo si u ∈ a, si y s´lo si j(u) ∈ j(a), luego
                                  o                   o
basta tomar y = j(a) ∈ S.
      En definitiva, hemos demostrado lo siguiente:

                                         o
Teorema B.31 Si Γ es cualquier colecci´n finita de axiomas de H y θ es una
 o
f´rmula de ZFC sin variables libres, en ZFC se demuestra que existe un modelo
M tal que M Γ y
                                 θ ↔ M θin .

          ı                                   o
    De aqu´ se deduce el teorema de conservaci´n para H exactamente igual que
                            ıa
el teorema para N se deduc´ de B.22. La prueba del teorema anterior —y por
                                      o
consiguiente del teorema de conservaci´n— es completamente constructiva.

                                                         ı
Regularidad y reemplazo Vamos a justificar aqu´ las afirmaciones del ul-        ´
                      e
timo apartado del ap´ndice A. Ante todo, teniendo en cuenta que todos los
                                                               0
conjuntos de V0 son finitos, es f´cil ver que j biyecta V0 con Z0 . Por comodidad
                                a
                                      0
podemos sustituir los conjuntos de Z0 por sus antiim´genes en V0 , de modo que
                                                       a
V0 ⊂ M y j es la identidad en V0 .
                             o              ıa
B.4. El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek                      115

    Un conjunto x ∈ I tal que x ⊂ Z0 tiene todos sus elementos est´ndar, por
                                ˜     0
                                                                       a
                                                                     0
                    a                                         e
lo que ha de ser est´ndar y finito, lo cual obliga a que est´ en Z0 . As´ pues,
                                                                           ı
Z0 no tiene m´s conjuntos internos que los de Z0 . Por consiguiente Z0 = PZ0 .
  1
                a                                 0                      1      0

Ahora es f´cil demostrar en general que α < λZ0 = Vα , luego Vλ ⊂ M y la
            a                                        α

relaci´n E en M se restringe a la pertenencia usual en Vλ .
      o
    Se comprueba que los unicos ordinalesM son los elementos de λ, y entonces
                           ´
    a                                                ıa
es f´cil ver que en M puede construirse la jerarqu´ regular, de modo que los
conjuntos regulares son precisamente los de Vλ . En particular en M se cumple
              o                   a
que la relaci´n de pertenencia est´ bien fundada sobre los conjuntos regulares,
          e              o                           e      a
y a trav´s de la inmersi´n j se prueba que tambi´n est´ bien fundada sobre
                  a          a u
los conjuntos est´ndar. M´s a´n, en M existe el colapso transitivo de cada
conjunto est´ndar x, pues no es sino j −1 (x). Estos son los hechos que hab´
              a                                ´                             ıamos
                       n
afirmado que pueden a˜adirse como axiomas adicionales a H sin perder por ello
                         o
el teorema de conservaci´n, lo cual queda ahora demostrado porque se cumplen
en M .
          ıa
Bibliograf´

                                                      e
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    Fund. Math. XCVIII (1978), pp. 1–19.

[3] Hrbacek, K. Nonstandard set theory, Amer. Math. Monthly 83 (1979),
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                o           ıa
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    New York (1976).




                                   117
´
Indice de Materias

abierto, 18, 37                        externo (conjunto), 8
          o
acumulaci´n (punto), 20
adherente (punto), 18, 37              filtro, 93
apreciable, 12                         finito
                                             u
                                            n´mero natural, 6
Barrow (regla de), 31                        u
                                            n´mero real, 11
                                            punto, 35
        a
casi est´ndar
            o
     funci´n, 66                       halo, 18
     punto, 36                                e
                                            m´trico, 35, 63
Cauchy                                           o
                                            topol´gico, 35
     principio, 61                     Hausdorff (espacio), 36
             o
     sucesi´n, 20
cerrado, 19, 37                                   o
                                       idealizaci´n (principio), 5
clase S 0 , 66                                           o
                                       infinitamente pr´ximos
clasesb                                      u
                                            n´meros reales, 12
     clase S 1 , 69                         puntos, 35
compacto, 19, 40                       infinitesimal, 12
     punto, 42                              punto, 35
concurrente (relaci´n), 5, 6
                    o                  infinito
continuidad, 14, 37                          u
                                            n´mero natural, 6
     uniforme, 16, 38                        u
                                            n´mero real, 11
convergencia                                punto, 35
     puntual, 46                              e
                                       infinit´simo, 12
     uniforme, 47                      inmersi´no
     uniforme en compactos, 49              elemental, 92
                                            inicial, 105
derivada, 23                           integral Riemann, 28
diferenciabilidad, 53                             o
                                       interna (f´rmula), 2
     estricta, 54
                                       localmente compacto, 42
entorno, 18                            lupa, 65
             o
estandarizaci´n (principio), 8          ımite
                                       l´
exponencial, 21                             de funciones, 22
       o
extensi´n, 109                              de sucesiones, 20
       o
extensi´n (principio), 9                    inductivo, 99
          o
externa (f´rmula), 2                        superior, 50

                                 118
modelo, 88
 o
m´nada, 18

normas equivalentes, 38

         a
parte est´ndar, 14, 36
precompacto, 42
propio (espacio), 42

Regla de la cadena, 56
relativamente compacto, 19
            o
relativizaci´n, 75, 87
remoto (punto), 36
Robinson (lema), 62

S-continuidad, 65
serie de potencias, 50
sistema inductivo, 99
sombra, 63

Teorema
    de Ascoli, 69
    de Bolzano, 18
                  o
    de conservaci´n, 9
    de Heine Cantor, 17
               o
    de la funci´n inversa, 57
    de la sombra continua, 67
    de la sombra derivable, 71
    de Schwarz, 57
    de Tychonoff, 41
        ıa
topolog´ producto, 39
transferencia (principio), 3

ultrafiltro, 94
      ımite, 101
ultral´
ultrapotencia, 94
     adecuada, 97
uniformemente equicontinuo, 68

                                 o
Weierstrass (criterio de mayoraci´n),
         48

				
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posted:5/31/2010
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