Docstoc

RECURSIVELY ENUMERABLE LANGUAGES

Document Sample
RECURSIVELY ENUMERABLE LANGUAGES Powered By Docstoc
					TEORI KOMPUTASI, Catatan ke-4
             RECURSIVELY ENUMERABLE LANGUAGES


1. Recursively Enumerable dan Recursive
Definisi 1 : Misalkan L  * adalah sebuah bahasa dan TM T mempunyai alfabet input
.
          - T dikatakan menerima (accept) L jika L = {x  *  T halt pada input x}.
          - T dikatakan mengenali (recognize) L jika T mampu melakukan komputasi
            fungsi f : *  {0, 1}. Dengan kata lain T mengenali L jika T halt pada
            input x  L dengan isi pita saat itu  1 atau  0 jika tidak halt.
          - Bahasa L dikatakan recursively enumerable jika terdapat sebuah TM
            menerima L.
          - Bahasa L dikatakan recursive jika terdapat sebuah TM mengenali L.
Teorema 1 : Misalkan T adalah sebuah TM nondeterministik yang menerima L, dan untuk
          setiap input x, setiap urutan transisi TM sampai pada kondisi halt atau crash.
          L tersebut dikatakan recursive.
Teorema 2 : Jika L 1 dan L 2 adalah recursively enumerable maka begitu pula L 1  L 2

          dan L 1  L 2 .

Teorema 3 : Misalkan L  * recursive. Didefinisikan L’  * sebagai berikut : jika T
          halt pada x  L dengan isi pita saat itu  1 maka T halt pada x’  L’ dengan
          isi pita saat itu  0. L’ juga recursice.
Teorema 4 : Jika L  * dan L’  * keduanya recursively enumerable maka L recursive


2. Enumerating Language
Enumerate : proses pencacahan (counting) atau pendaftaran (listing) elemen-lemen
          sebuah himpunan.
L adalah recursively enumerable jikka terdapat satu (dan hanya satu) algoritma untuk
          listing semua string L.
Implementasi algoritma listing : mesin turing berpita 2 : pita-1 berisi semua string L, pita-
2          adalah pita kerja.
Definisi 2 : Misalkan T adalah TM berpita k, dimana k  2. T dikatakan enumerate L 
*         jika, berawal pada kondisi semua pita kosong, T bekerja sedemikian rupa
           sehingga memenuhi hal-hal berikut :
           1. Pada setiap transisi, head pita-1 hanya mempunyai arah S atau R
           2. Pada setiap langkah, pita-1 berisi satu dari dua kemungkinan :
               x 1 # x 2 # ... # x n #           atau       x 1 # x 2 # ... # x n # y

              dimana n  0, setiap x i  L, dan y  *

           3. Untuk setiap x  L, akhirnya salah satu x i pada pita-1 adalah x.
Teorema 5 : Jika terdapat sebuah TM T enumerating L, maka L recursively enumerable.
Teorema 6 : Jika L  * recursively enumerable maka terdapat sebuah TM T
           enumerating L.


3. Tidak Semua Bahasa Recursively Enumerable
Bijeksi : korespondensi satu-satu.
N : himpunan bilangan asli.
Definisi 3 : - Himpunan S dikatakan countably infinite jika terdapat bijkesi dari N ke S.
           - Himpunan S dikatakan countable jika S finite atau countably infinite.
           - Himpunan S dikatakan uncountably infinite atau singkatnya uncountable jika
             S tidak countable.
Teorema 7 : Misalkan S 0 , S 1 , ... adalah himpunan-himpunan countable.
                         
           Himpunan     S
                        n=0
                              n   adalah countable.

Contoh 1 : Misalkan S = N x N adalah himpunan semua pasangan terurut (ordered set)
           bilangan asli. Berdasarkan Teorema 7 S adalah countable karena :
                                     
                       NxN=          ({m} x N)
                                    m=0


Teorema 8 : Jika  adalah alfabet hingga maka  adalah countable.
Teorema 9 : Jika S adalah himpunan countably infinite maka 2 S (himpunan semua subset
           dari S) adalah juga countably infinite. Khususnya himpunan semua bahasa
           yang didefinisikan pada alfabet input  non hampa adalah uncountable.
Teorema 10 : Tidak semua bahasa yang didefinisikan pada alfabet {x, y} adalah
           recursively enumerable.
Definisi 4 : Misalkan NonSelfAccepting adalah subset dari {x, y}* berikut :
              NonSelfAccepting = NSA 1  NSA 2
           dimana :
              NSA 1 = {w {x, y}*  w = e(T) dan T menerima w}

              NSA 2 = {w {x, y}*  w bukan e(T) untuk suatu TM T}
           Misalkan SelfAccepting adalah komplemen dari NonSelfAccepting pada
           semesta {x, y}* sedemikan rupa sehingga :
              SelfAccepting = {w {x, y}*  w = e(T) dan T menerima w}
Teorema 11 : NonSelfAccepting adalah bukan recursively enumerable.
Teorema 12 : SelfAccepting adalah recursively enumerable tetapi bukan recursive.
           Dengan kata lain SelfAccepting dapat diterima oleh sebuah TM, tetapi TM
           tersebut akan mengalami loop takhingga pada sedikitnya satu string input
           elemen SelfAccepting.

				
Jun Wang Jun Wang Dr
About Some of Those documents come from internet for research purpose,if you have the copyrights of one of them,tell me by mail vixychina@gmail.com.Thank you!