Docstoc

PERBANDINGAN 3gono

Document Sample
PERBANDINGAN 3gono Powered By Docstoc
					PERBANDINGAN
  DAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
            Oleh :

 TEAM SMA Santa Ursula Jakarta
         Pokok Bahasan

 5. 1.Perbandingan –perbandingan
  Trigonometri
 5.2.Ukuran Sudut
 5.3.Identitas Trigonometri
5 - 1. PERBANDINGAN-PERBANDINGAN
            TRIGONOMETRI
   5 – 1 – 1 Perbandingan-Perbandingan
    Trigonometri Dalam Segitiga

   5 – 1– 2 Menentukan Nilai Perbandingan
    Trigonometri Untuk Sudut Khusus

   5 – 1– 3 Perhitungan Dalam Segitiga Siku-
    siku
         5 – 1– 1 Perbandingan-
    Perbandingan Trigonometri Dalam
                Segitiga
     Dari tiga besaran panjang sisi segitiga siku-siku ABC
      disamping yaitu a, b, c dapat ditentukan 6 perbandingan
      yang disebut perbandingan trigonometri dalam segitiga
c
      siku-siku :
                   a b a b c c
                    , , , , ,
                   c c b a b a
     Sisi miring / c disebut Hipotenusa
                                           B
                                           o
                                                    c
                                      a
                                                        o
                                       C        b            A
                Kesimpulan:
                    Sisi dihadapan sudut α         a
   Sin   o   =                              =
                          Hipotenusa               c
                                                   b
   Cos   o   =   Sisi disamping sudut α     =   c
                          Hipotenusa
                                                   a
   Tan   o   =   Sisi dihadapan sudut a     =
                    Sisi disamping sudut α         b
                                                   b
   Cot o     =   Sisi disamping sudut a     =
                    Sisi dihadapan sudut α         a
                                                   c
   Sec o     =          Hipotenusa          =
                      Sisi didepan sudut α         b
   Cosec o =             Hipotenusa         =   c
                      Sisi dihadapan sudut α       a
 5 – 1 – 2 Menentukan Nilai
 Perbandingan Trigonometri
     Untuk Sudut Khusus

 Sudut khusus sudut istimewa besarnya 0o,
  30o, 45o, 90o. Nilai perbandingan
  trigonometri untuk sudut-sudut tersebut
  dapat ditentukan dengan konsep lingkaran
Nilai Perbandingan Trigonometri
           untuk Sudut 0o
 Jika sudut o = 0o, maka kaki sudut OP
  berimpit dengan sumbu x positif seperti
  diperlihatkan pada Gambar. Koordinator
  titik P adalah ( 1, 0 ) = ( Cos 0o, sin 0o )
  dengan demikian, diperoleh :
                                           y




                                         P (1,0)
                                              0    1
                                  x
Nilai Perbandingan Trigonometri
          untuk Sudut 30o

 Jika o = 30o, maka  OPP` = 60o.
  Akibatnya OPQ merupakan segitiga sama
  sisi dengan panjang sisi OP = OQ = PQ =
  1. Karena OPP` sama dengan sebangun
  dengan OQP`, maka PP` = QP` = ½ atau
  ordinar y = ½. Segitiga OPP` siku-siku di
  P` dengan menggunakan Teorema
  Pythagoras diperoleh :
( OP` ) + ( PP` )2 = ( OP ) 2
     ( OP` ) 2    = ( OP` ) 2 - ( PP` )22
     ( OP` ) 2    = 1 2 – ( ½ )2 = ¾
      OP` = ½

 Untuk  = 30o maka koordinat titik P adalah ( ½, ½ ),
  sehingga ( ½, ½ ) = (cos 30o, sin 30o). Dengan demikian,
  diperoleh :
 Sin 30o = ½
 Cos 30o = ½ 3 dan
 Tan 30o = sin 300                 1
                                                1
                  0
                                   2
                                                      1
                                                        3   3
            cos30               1
                                2       3       3
Nilai Perbandingan Trigonometri
         untuk Sudut 45o
 Jika sudut o = 45o, OPP` merupakan
   segitiga siku-siku di P` = PP` atau x = y.
   Dengan menerapkan Teorema Pythagoras
   pada OPP` diperoleh :
( OP` )2 + ( PP` ) 2 = ( OP ) 2
 x2+y2=1
 2x2 =½
           1
 x=          1 2
                 2
            2
                       Karena x = y, maka y =   1
                                                        2
                                                2

                        Untuk  = 45o maka koordinat titik P
                         adalah ( 1 2, 1 2 ),sehingga ( 1 2, 1 2 )
                                  2       2              2    2
                         = (cos 45 o, sin 45o). Dengan demikian

sin 450   1
              2
                         diperoleh :
1
   2     2
                  1
cos450
                        Sin 45o = Cos 45o = dan
2         1
          2   2




                                           0        1
                                o = sin 45
                                                            2
                        Tan 45            0
                                                   2
                                                                1
                                    cos45           1
                                                    2       2
Nilai Perbandingan Trigonometri
          untuk Sudut 60o
 Jika sudut o = 60o, OPQ` merupakan
  segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ =
  1. Karena OPP` sama dan sebangun
  dengan QPP`, maka OP` = QP` = ½
  sehingga absis x = ½. Dengan menerapkan
  Teorema Pythagoras pada OPP` dapat
  ditunjukkan bahwa PP` = 1 3 , sehingga
  ordinat y = 1 3 Untuk sudut o = 60o
                              2

              2
  maka koordinat titik P adalah ( 1 , 1 3 ),
                                      2 2
  sehingga ( 2 , 2 3 ) = (cos 60
             1 1                 o, sin 60o ).
        Dengan demikian diperoleh :

         Sin 60o =       1
                                3
                          2


1
2   3    Cos 60o = 1
                          2

         Tan   60o   =       sin 600     1
                                                  3
                                    0
                                         2
                                              1
                                                       3
                              cos60           2
 Nilai Perbandingan Trigonometri
           untuk Sudut 90o
 Jika sudut o = 90o, maka kaki sudut OP berimpit
  dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada
  sumbu Y positif. Koordinat titik P adalah ( 0, 1 ),
  sehingga ( 0, 1 ).
 Dengan demikian, diperoleh :
 Sin 90o = 1
 Cos 90o = 0, dan
                         0
                sin 90     1
 Tan   90o   =        0
                            ( tdk terdefinisi)
                cos 90     0
 Nilai-nilai perbandingan trigonometri
  kotangen, sekan, dan kosekan untuk sudut-
  sudut khusus dapat ditentukan dengan
  menggunakan hasil-hasil yang telah
  dibahas diatas dan dengan menggunakan
  rumus-rumus kebalikan.
                        Contoh : Sin 30o cos 60o + cos 30o sin 60o =
                         Sin 30o cos 60o + cos 30o sin 60o =
                         1 1 1
                                3
                                      1
                                         3   = 1  3 1
                         2   2   2     2          4       4
        31 3
          3

1 3  1 3
       3
                           tan 60  tan 30
                                 o         o
                                                          3      1
                                                                          3
1  13 31
1                                            =                   3
   3
   4
4 11
                          1  tan 60 tan 30
                                    o       o     1          3      1
                                                                      3       3
2
        3
3
               1
                    3

                                                  1  1 
                3
    2

                                                       3          3
                                                      11

                                                  2
                                                          3
                                                  3
                                                                 1
                                                                  3       3
                                                      2
   5 –1 – 3 Perhitungan Dalam
        Segitiga Siku-siku
 Perbandingan trigonometri dapat digunakan
  untuk mencari panjang sisi atau besar sudut
  dalam segitiga siku-siku.
            o




                     a       c
                 L               o
        C                b         A
 Jika besar sebuah sudut lancip diketahui,
  maka besar sudut lancip yang lain dapat
  ditentukan sebab, sudut-sudut dalam
  segitiga punya hubungan
 o + o + 90o = 180o
 o + o = 90o
 Jika panjang dua sisi diketahui, maka
  panjang sisi lainnya dapat ditentukan
  karena, sisi dalam segitiga siku-siku
  punya hubungan
 a2 + b2 = C2
Panjang AB = 6 cm, BC = 3 cm. Dari segitiga
ABC. Hitunglah besar sudut A !

 Jawab :
                                    BC
 B                        Sin  A =
     o                             AB
                                         3       1
                          sin   o   =   6
                                             =   2
                                                     = 300

 3 cm            6 cm
                     o

  C                        A
        5-2 Ukuran Sudut

 5.2.1.Ukuran sudut dalam derajat

 5.2.2.Ukuran sudut dalam radian

 5.2.3.Hubungan antara dejarat dan radian
   5-2-1 Ukuran Sudut Dalam
            Derajat
 Satu derajat ( ditulis = 1o )

 Didefinisikan sebagai ukuran besar sudut
  yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam
  jarak putar sejauh 1/3 putaran.
Definisi ini secara singkat dituliskan
sebagai :
                    1
          1o =         putaran
                   360


(o) setengah putaran = ½ x 360o = 180o

   disebut sudut lurus
(o) seperempat putaran = ¼ x 360o = 90o
   disebut sudut siku-siku
Ada ukuran-ukuran sudut yang lebih
 kecil dari ukuran derajat. Ukuran
      menit dan ukuran detik.

 1o =    1
             putaran
         360
 1o = 60 menit = 60’
 1o = 60 detik = 60”
 1o = 3600”
 5-2-2 Ukuran Sudut dalam
        Radian( rad )
 Satu radian ( ditulis : 1 rad )

 Didefinisikan sebagai ukuran sudut
  pada bidang datar yang berada di
  antara dua jari-jari lingkaran dengan
  panjang busur sama dengan panjang
  jari-jari lingkaran itu.
Perbandingan busur dengan jari-
         jari lingkaran
                    AB   = r

                           AB
                   AOB =
                            r
                  AB  r          .
                        1 rad
                     r r
   5-1-3 Hubungan
derajat dengan =radian
            AOB 180        o


                         AB  r
            AOB =         
                          r   r
                  =  radian

             AB = ½ kel. Lingkaran
                =½.2..r=r

           rad = 180o                 0
                                  180 
                                        53,4....
                                                  0

                rad      =         
                                   
                1o       =       180
                                     rad


                1 putaran = 2  rad
       Contoh soal:

           
a. 120 o=     120 rad  2 π rad
                         3
          180
  Menentukan Nilai Perbandingan
 Trigonometri yang Lain Jika Salah
        Satunya diketahui.
                    5
 Diketahui tano=  12
                         ,o sudut di
  kuadran IV
 Hitunglah :
 a.    Sin o   d. Sec o
 b.   Cos o    e. Cosec o
 c.    Cot o
 Bagaimana jawabannya?
                                       Jawab:
           Berdasarkan data pada soal, sudut o dapat
            digambar seperti pada gambar :
                      5
           Tan o=
                     12    , y = -5 dan x = 12
           r=    x 2  y2    122   52    13

                      y     5
x = 12
         Sin o =       
                      r    13
                      x 12
         Cos    o   = 
                      r 13                               x = 12      12           x
                                               o
         Cot o = x   12
                   y      5                                                y=-5
                    r 13                                 r = 13
          Sec o =    
                    x 12                                      P ( x, y )
                                                    -5
         Cosec o = r   13
                    y      5
     5 – 3 Identitas Trigonometri
5 – 3 –1 Identitas Trigonometri Dasar
  Identitas trigonometri dasar merupakan
   hubungan kebalikan

  Identitas trigonometri dasar merupakan
   hubungan perbandingan

  Identitas trigonometri dasar yang diperoleh
   dari hubungan Pythagoras
 1. Identitas trigonometri dasar
merupakan hubungan kebalikan
                                                 1
 sin   o=  1          atau cosec   o=
          cosec  0                           sin  0

                                              1
 cos   o=     1
                        atau sec   o   =
              sec  0                       cos  0

                1                              1
 tan   o=             atau cot   o   =   tan  0
              cot  0
      2.Identitas trigonometri dasar
          merupakan hubungan
               perbandingan
             sin     0
tan   o   =
             cos  0


               atau

cot   o   =
             cos     0


             sin  0
         3. Identitas trigonometri dasar yang
       diperoleh dari hubungan Pythagoras
     a. ( OP )2 + ( PPl )2 = ( OP )2
           x2 + y 2   = r2        : r2
             2        2
         x    y
             1
          r  r
        Cos2 o + sin2 o = 1
y    b. x2 + y2 = r2
                          : x2
                 2            2
          y   r
       1     
          x   x
      y                   r
         tan  0            sec  0
      x                   x

    1 + tan2 o = sec2 o
      x 2 y2 r 2
c.      2
           2  2
      y    y   y
        2            2
     x      r
       1   
     y       y
 x             r
    cot  0      cos ec  0
 y             y

 1 + cot2 o = cosec2 o

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:860
posted:5/28/2010
language:Indonesian
pages:35