Derivadas Parciales de Orden Superior by lzi10112

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									   ıtulo 9
Cap´

Derivadas Parciales de
Orden Superior

           o
La extensi´n a funciones de varias variables del concepto de derivada de
                           o
orden superior, aunque te´ricamente no ofrece ninguna dificultad, presen-
ta ciertas complicaciones de naturaleza formal que se hacen especialmente
                                                           a
patentes a la hora de establecer las reglas habituales de c´lculo. Las com-
                                o
plicaciones (al menos las pedag´gicas) son algo menores cuando se trabaja
            o
en dimensi´n finita, ya que entonces el uso de derivadas parciales permite
                                                             a
considerar a las derivadas de orden superior como objetos m´s “tangibles”.
                                                     o
    Comenzaremos, pues, estableciendo en esta lecci´n el concepto de deri-
vada parcial de orden superior.


Definiciones
Conviene tener presente en todo lo que sigue que para que una funci´n fo
sea derivable (aunque sea parcialmente) en un punto a es preciso que est´e
                                                  e
definida en un entorno de a. Recordemos tambi´n que la derivada parcial
                                                                   o
∂f /∂xj (a), coincide con la derivada en el punto aj de la aplicaci´n:

                  xj → f (a1 , . . . , aj−1 , xj , aj+1 , . . . , an ).
                                    o
    Sea f : A ⊂ Rn → F, a ∈ A. Llamaremos derivada parcial segunda de
f respecto a xi y xj en el punto a, a la derivada respecto xi de la funci´n
                                                                         o
∂f /∂xj en el punto a. Abreviadamente

                          ∂2f           ∂ ∂f
                                 (a) =         (a).
                         ∂xi ∂xj       ∂xi ∂xj

                                          91
92              Derivadas Parciales de Orden Superior                           9.1


                                 o
 Se deduce, pues, que la funci´n f es derivable respecto a las variables xi y
                         o                 o
 xj en el punto a, si y s´lo si la aplicaci´n

                                ∂f      ∂f
                                    :x→     (x)
                                ∂xj     ∂xj

    a               u
 est´ definida en alg´n entorno de a y admite derivada parcial respecto a xi
 en el punto a.
       a                                            u
     M´s generalmente, si j1 , j2 , . . . , jr son n´meros naturales (independientes
        ı)
 entre s´ comprendido entre 1 y n, definiremos inductivamente

                       ∂rf                ∂      ∂ r−1 f
                                   (a) =                      (a).
                   ∂xj1 . . . ∂xjr       ∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjr

                                              o        o              u
 Cuando el resultado final de una derivaci´n parcial s´lo dependa del n´mero
 de veces que se deriva respecto a cada variable, y no del orden en que se
                                      a                                  o
 realiza tal proceso (esto no suceder´ siempre), cabe utilizar una notaci´n
 abreviada para designar a las derivadas parciales de orden superior. As´  ı
                     o
 mediante la expresi´n
                                    ∂rf
                                                  (a),
                             ∂xi1 ∂xi2 . . . ∂xin
                               1    2           n

 denotaremos al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto a
                                          ´
 xn , in−1 respecto a xn−1 , etc. y por ultimo i1 derivaciones respecto a x1 .
 Por tanto i1 + i2 + · · · + in = r. Algunos de los ik pueden ser iguales a 0, lo
              a                             o
 que expresar´ que no se realiza derivaci´n alguna respecto a la variable xk
 (en cuyo caso omitiremos en la expresi´n anterior el t´rmino ∂xik ).
                                          o               e          k



 El teorema de Schwartz
               a     a            o
 El teorema m´s cl´sico en relaci´n al problema de la permutabilidad de
 las derivadas es el conocido como teorema de Schwartz o de las derivadas
 parciales segundas cruzadas.

                                o
 Teorema 9.1 Sea f una funci´n escalar de dos variables. Supongamos que
                        u
 para cada (x, y) de alg´n entorno V de un punto (x0 , y0 ), existen

                       ∂f           ∂f            ∂2f
                          (x, y),      (x, y),        (x, y),
                       ∂x           ∂y           ∂x∂y
9.1               Derivadas Parciales de Orden Superior                              93


                     ∂2f
                 o
y que la aplicaci´n                                                e
                          es continua en (x0 , y0 ). Entonces tambi´n existe
                    ∂x∂y
la otra derivada cruzada en (x0 , y0 ), y se verifica que

                             ∂2f               ∂2f
                                 (x0 , y0 ) =      (x0 , y0 ).
                            ∂y∂x              ∂x∂y


           o                 o                a
Demostraci´n. De la definici´n se deduce f´cilmente que
(9.1)
     ∂2f                       f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 )
         (x0 , y0 ) = lim lim                                                    .
    ∂y∂x             y→y0 x→x0               (x − x0 )(y − y0 )

Denotemos por G(x, y) = f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ). Vamos a
probar que

                                     G(x, y)           ∂2f
                      lim                           =      (x0 , y0 ).
                 (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )(y − y0 )   ∂x∂y

                       ımite doble implicar´, por tanto, la del l´
La existencia de este l´                     a                     ımite iterado
9.1 que es lo que buscamos.
           o
    Por hip´tesis, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |x−x0 | < δ y |y−y0 | < δ,
entonces
                        ∂2f            ∂2f
                             (x, y) −       (x0 , y0 ) < ε;
                       ∂x∂y           ∂x∂y
       a
adem´s podemos suponer que en este entorno, es decir en la bola de centro
(x0 , y0 ) y radio δ, las tres funciones

                                   ∂f ∂f ∂ 2 f
                                     ,  ,      ,
                                   ∂x ∂y ∂x∂y
   a
est´n bien definidas.
    Sea (x, y) un punto cualquiera de ese entorno, que lo supondremos fijo en
                                          o
adelante. Consideremos entonces la funci´n de una variable ϕ(z) = f (x, z)−
f (x0 , z). Es inmediato comprobar que

                               G(x, y) = ϕ(y) − ϕ(y0 ).

Por otra parte, la existencia de derivada parcial respecto de y en ese entorno
implica que ϕ es derivable, siendo su derivada
                                      ∂f          ∂f
                            ϕ (z) =      (x, z) −    (x0 , z).
                                      ∂y          ∂y
94               Derivadas Parciales de Orden Superior                           9.1


 Aplicando entonces el teorema del valor medio a ϕ en el intervalo [y0 −δ, y0 +
 δ], se deduce que existe un punto ξy intermedio entre y0 e y tal que
                          ϕ(y) − ϕ(y0 ) = ϕ (ξy )(y − y0 ),
 luego,
                               ∂f            ∂f
                  G(x, y) =       (x, ξy ) −    (x0 , ξy ) (y − y0 ),
                               ∂y            ∂y
 que implica
                                          ∂f                ∂f
                     G(x, y)              ∂y (x, ξy )   −   ∂y (x0 , ξy )
                                   =                                        .
                (x − x0 )(y − y0 )                 x − x0
                               o
 Consideremos ahora la aplicaci´n
                                          ∂f
                                 g: z →      (z, ξy ).
                                          ∂y
              o
 Esta aplicaci´n es derivable en cada punto del intervalo [x0 − δ, x0 + δ],
 precisamente
                           ∂ ∂f                 ∂2f
                  g (z) =           (z, ξy ) =      (z, ξy ).
                          ∂x ∂y                ∂x∂y
 Aplicando entonces el teorema del valor medio resulta
                                         ∂2f
                      g(x) − g(x0 ) =        (ξx , ξy )(x − x0 ),
                                        ∂x∂y
                u
 donde ξx es alg´n punto comprendido entre x y x0 .
    Se deduce pues que
                             G(x, y)           ∂2f
                                            =      (ξx , ξy )
                         (x − x0 )(y − y0 )   ∂x∂y
 y por tanto
                          G(x, y)         ∂2f
                                        −     (x0 , y0 ) < ε.
                      (x − x0 )(y − y0 ) ∂x∂y

 9.2 El teorema de Schwartz puede formularse para funciones de m´s de              a
                                                     o
 dos variables. En efecto si f es una funci´n de las variables x1 , x2 , . . . , xn ,
 que satisface respecto a las coordenadas xi y xj , las condiciones del teore-
                                e
 ma anterior, entonces tambi´n satisface estas condiciones la funci´n de dos     o
 variables
                   g(xi , xj ) = f (a1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , an ).
                                                                        o
 Se deduce, por tanto, que las derivadas parciales cruzadas de la funci´n g
                                   a                  e
 coinciden en (ai , aj ), pero es f´cil comprobar que ´stas coinciden con las
 derivadas parciales segundas de f respecto a las coordenadas xi y xj en a.
9.3                Derivadas Parciales de Orden Superior                                    95


                                     o ´
El corolario siguiente es una extensi´n util del teorema anterior para deri-
vadas de orden mayor que 2:


Corolario 9.3 Supongamos que todas las derivadas parciales de orden r de
        o
la funci´n escalar f son continuas en un punto a. Entonces cada derivada
                                                                       u
parcial de orden r de f en a es independiente del orden en que se efect´en
las derivaciones.


            o                                                 o
Demostraci´n. Observemos, en primer lugar, que de la hip´tesis se deduce
                                                    o
que cada derivada parcial de orden r −1 de la funci´n f debe ser una funci´no
continua en alg´n entorno del punto a. En efecto, sea g = ∂ r−1 f una de estas
                u
                                                 ∂g
derivadas. Se tiene entonces que, para cada j,                    o
                                                      es una funci´n continua
                                                ∂xj
en a, luego g es estrictamente diferenciable en a y, en particular, continua
      u
en alg´n entorno de a (ver nota posterior al teorema 7.3) Razonemos por
       o                                         o
inducci´n sobre r. Para r = 2, tenemos hip´tesis sobradas para poder
                                                                     o
aplicar el teorema de Schwartz. Supongamos entonces, como hip´tesis de
       o                    o
inducci´n, que si una funci´n escalar admite derivadas parciales de orden
                                 a
r − 1 continuas en un punto, el c´lculo de estas derivadas de orden r − 1 en
                                                u
ese punto no depende del orden en que se efect´en las derivaciones.
    Sea la derivada de orden r en a

                            ∂rf
                                         (a) ,   yk ∈ {x1 , . . . , xn },
                       ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr

                                           o
y consideremos, mediante una permutaci´n de y1 , y2 , . . . , yr , la derivada de
orden r
                                 ∂rf
                                               (a).
                          ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir

                                                                 o
Supongamos en primer lugar que yi1 = y1 . Puesto que, por hip´tesis de
       o
inducci´n, en las derivadas de orden r − 1 de f se puede cambiar el orden
           o                             u
de derivaci´n (en todos los puntos de alg´n entorno de a), podemos escribir

           ∂rf                 ∂          ∂ r−1 f                      ∂rf
                        (a) =                           (a) =                        (a).
      ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr       ∂yi1      ∂y2 . . . ∂yr           ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir

    Supongamos ahora que y1 == yi1 , por tanto y1 = yik con k = 1. Enton-
                                                       o                                    o
ces {yi1 , . . . , yik , . . . , yir } es una permutaci´n de {y2 , . . . , yr }. Por inducci´n
96                Derivadas Parciales de Orden Superior                                 9.3


 se deduce que
                  ∂rf                 ∂         ∂ r−1 f
                               (a) =                             (a)
             ∂y1 ∂y2 . . . ∂yr       ∂y1     ∂y2 . . . ∂yr
                                                  ∂rf
                                  =                                   (a)
                                      ∂y1 ∂yi1 . . . ∂ yik . . . ∂yir
                                        ∂2                   ∂ r−2 f
                                  =                                          (a)
                                      ∂y1 ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂ yik . . . ∂yir
                                        ∂2                   ∂ r−2 f
                                  =                                          (a)
                                      ∂yi1 ∂y1 ∂yi2 . . . ∂ yik . . . ∂yir
                                             ∂rf
                                  =                         (a).
                                      ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir




 Ejercicios
 9A Comprobar si en las funciones siguientes se da la igualdad entre las derivadas
 parciales cruzadas en (0, 0). Estudiar en cada caso si se satisfacen las condiciones
 del teorema de Schwartz.
                                    x2 − y 2
                   1. f (x, y) = xy           ; f (0, 0) = 0.
                                    x2 + y 2
                   2. f (x, y) = x2 y 2 cos 1/x ; f (0, y) = 0.
                                             1
                   3. f (x, y) = x2 y 2 sen 2 ; f (x, 0) = f (0, y) = 0.
                                            xy

 9B Consideremos los operadores diferenciales
               ∂f         ∂f                        ∂2f               ∂2f
          f =(    ,...,       );              ∆f =        2 + · · · + ∂x2
              ∂x1       ∂xn                         ∂x1                 n
                ∂f               ∂f                                   ∂F1         ∂Fn
       H f = x1     + · · · + xn     ;        div(F1 , . . . , Fn ) =     + ··· +
                ∂x1              ∂xn                                  ∂x1         ∂xn
                                         ∂F3   ∂F2 ∂F1   ∂F3 ∂F2   ∂F1
        rot(F1 , F2 , F3 ) =   ×F =          −    ,    −    ,    −
                                         ∂y    ∂z   ∂z   ∂x   ∂x   ∂y
 A los operadores anteriores se les conoce, en el orden en que han sido definido,
 como operador: Gradiente, Laplaciano, Hamiltoniano, Divergencia y Rotacional.
    Supuesto que se pueden permutar las derivaciones, demostrar que
       1. ∆ f = div      f            2. div(rot F ) = 0.
       3. H ∆ − ∆ H = −2 ∆            4. ∆ f = 0 ⇒ ∆ ∆((x2 + · · · + x2 )f ) = 0.
                                                         1            n

								
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