TD0 Newton-Raphson by tgv36994

VIEWS: 0 PAGES: 1

									Université de Tours “François Rabelais”                                                                     Tracer la courbe k(x0 ). Peut-on comprendre pourquoi elle est paire, k(x0 ) = k(−x0 ) ?
Faculté de Sciences et Techniques                                                                           On note qu’elle semble décroissante dans un intervalle (0, xmin ) et croissante dans l’inter-
Licence de Physique 2009–2010                                                                               valle (xmin , ∞). Peut-on avancer une hypothèse pour la valeur de xmin et pourquoi l’on
UE404PModélisation, Simulations, Outils Informatiques                                                       s’attendrait à ce comportement ?
                                                                                                                           √
                                                                                                            Si x0 = X ≡ 2, quelle serait la valeur de k(X) ? Discuter pourquoi X pourrait servir
                                                                                                            comme échelle pour x0 et, par conséquent, pourquoi l’on devait s’attendre à ce que k ne
                                                                                                            dépende que du rapport x0 /X. Ce choix, bien sûr, a l’inconvénient que l’on ne connaît pas
                                                                                                            la valeur numérique de X. Présenter l’argument pourquoi l’on peut prendre comme échelle
                                                                                                            X1 = 1 (ou toute autre valeur, pourvu qu’elle soit différente de zéro). En employant le
                                 TD0 : Newton–Raphson                                                       logiciel gnuplot, essayer de trouver une fonction “simple” pour k = k(x0 /X1 ) dans le
                                                                                                            domaine 0 < x0 < X ainsi que dans le domaine x0 > X. Présenter l’évidence pourquoi le
                                                                                                            choix
                                                                                                                                          k(x0 /X1 ) = b − a log(x0 /X1 )
    Le but de cet exercice est d’essayer de modéliser certains aspects de la méthode de Newton–
Raphson elle-même. On se rappelle que, si l’on cherche à déterminer une racine réelle, simple,              semble être approprié, pour x0 < X. Essayer de trouver les valeurs numériques des para-
de la fonction f (x), Newton et Raphson montrent que la récurrence suivante                                 mètres a et b.
                                                                                                         2. OPTIONNEL : Si l’on prend comme d’autres valeurs, X1 et X2 , comme échelles, peut-
                                                f (xn )                                                     on établir une relation entre k1 (x0 /X1 ) et k2 (x0 /X2 ) ?
                                   xn+1   = xn − ′      ≡ F (xn )
                                                f (xn )                                                  3. OPTIONNEL : Mêmes questions pour l’équation f (x) = x3 + ax − 1 = 0. Montrer que,
converge, lorsque n → ∞, vers la racine, x = X, pourvu que le point de départ, x0 soit                      pour a > 0, cette équation ne possède qu’une racine réelle, tandis que, pour a < 0, elle en
“suffisamment proche” à X (au moins on aimerait que f ′ (x) n’ait pas de racines dans l’intervalle            possède trois. Bien entendu la fonction k(x0 ) a une allure totalement différente que dans
[x0 , X]).                                                                                                  le cas précédent. Les similarités éventuelles sont-elles utiles, ou juste des coïncidences,
     Si la fonction, f (x), possède plsuieurs racines réelles, distinctes, il est remarquable que la        voire des leurres ?
même récurrence convergera vers chaque racine, pourvu que l’on choisisse x0 dans le “bassin
d’attraction” de la racine que l’on cherche. Alors se pose la question de déterminer la frontière,
x = x∗ , pour laquelle, par exemple, si x0 < x∗ , la suite engendrée convergera vers une racine,
tandis que, si x0 > x∗ , elle convergera vers l’autre.
     Une autre question intéressante est : combien d’itérations sont-elles nécessaires pour déter-
miner la racine avec une précision fixée à l’avance–et comment dépend ce nombre à la valeur du
choix initial, x0 ? On veut étudier ces questions dans deux cas concrets et simples : f (x) = x2 −2
et f (x) = x3 +ax−1. On appelle k le nombre d’itérations nécessaires et l’on cherche à déterminer
la fonction k(x0 ) dans chaque cas.
                                                                               √            √
   1. Soit l’équation x2 −2 = 0. Elle possède deux racines réelles, x1 = − 2 et x2 = + 2, dont
       on cherche à déterminer la valeur numérique. On travaille avec une précision de 13 chiffres
       après la virgule, ce qui veut dire que l’on arrête la procédure de Newton–Raphson lorsque
       la valeur absolue de la correction apportée à l’n + 1-ième étape, |f (xn )/f ′(x)| < 10−14
       et que la valeur,xn , est zéro de la fonction f (x) avec la même précision, c.à.d., |f (xn )| <
       10−14 .
       En lançant le programme avec plusieurs valeurs du choix initial, x0 , on√      peut se rendre
       compte, en effet, que, pour x0 < x∗ , on obtient une approximation de − 2, tandis que,
                                                                √
       pour x0 > x∗ , on obtient une approximation pour + 2. Quelle est la valeur numérique
       de x∗ ? Peut-on présenter un argument, pourquoi la valeur observée par cette expérience
       numérique est raisonnable ? Avec quelle précision peut-on déterminer la valeur numérique
       de x∗ ?

								
To top