Physique Statistique-TD 1

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Physique Statistique-TD 1 Powered By Docstoc
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Pr´paration ` l’Agr´gation de Sciences Physiques                                  c
                                                                              Fran¸ois Levrier
ENSP - Montrouge


                        Physique Statistique - TD 1
                             Ensemble microcanonique
                                       11 octobre 2005



        e   a
I - Syst`me ` deux niveaux
           e          e                            e
On consid`re un syst`me macroscopique Σ form´ de N particules susceptibles de n’occuper
          e      e                                                                          e
que deux ´tats d’´nergie − 0 et 0 . Il s’agit par exemple d’un ensemble de N spins 1/2 plac´s
                       e         e
dans un champ magn´tique ext´rieur B 0 , auquel cas on a 0 = µB B0 avec µB = e /2me le
      e                                                       e
magn´ton de Bohr et B0 = ||B 0 || la norme du champ. On d´signe par n1 et n2 le nombre de
                     e        e                      a                          e
particules ayant des ´nergies ´gales respectivement ` − 0 et 0 , et par M la diff´rence n2 −n1 .

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1. Exprimer l’´nergie E d’un ´tat macroscopique du syst`me.
    e                                                                             a e
2. D´terminer le nombre Ω(E, N ) de configurations microscopiques correspondant ` l’´nergie
                                            e
macroscopique E, le nombre N de particules ´tant fixe.
     e                         e                               e
3. D´finir l’entropie S du syst`me. Que peut-on dire du syst`me lorsque |M | = N ? Que
                                     e   u
vaut alors l’entropie? Dans l’hypoth`se o` n1     1 et n2         e
                                                              1, d´terminer l’entropie S en
fonction de N et E. On rappelle la formule de Stirling, valable dans la limite de N grand,
                   N   √
              N
     N! ∼               2πN   ou encore   ln N ! ∼ N ln N − N.
              e

                   e
4. Calculer la temp´rature microcanonique T . Montrer qu’on peut l’exprimer sous la forme

      1   kB           1−x                 E
        =     ln              avec x =              u
                                                et o` kB est la constante de Boltzmann.
      T   2 0          1+x                N 0

                                   e             e             e     e
En supposant que l’on puisse pr´parer le syst`me dans un ´tat d’´nergie positive, quel
 e                                         e                e                        e  a
r´sultat obtiendra-t-on si l’on essaie de d´terminer sa temp´rature avec un thermom`tre `
gaz?
     e                   e                      e                           e
5. D´terminer la capacit´ calorifique C du syst`me, en fonction de la temp´rature T .
6. Dans le cas d’un ensemble de spins 1/2, calculer l’aimantation. Dans quel domaine de
              e                      e                                        e
champ magn´tique peut-on consid´rer que l’aimantation est une fonction lin´aire de B0 ?
  e                    e       e                                          e
D´finir la susceptibilit´ magn´tique χ. Comment varie-t-elle avec la temp´rature?


II - Gaz parfait classique
           e                                    e
On consid`re un gaz parfait classique constitu´ de N atomes de masse m discernables, sans
                                      a
structure interne et sans interaction ` distance, contenus dans un volume V . Le Hamiltonien
           e                                 e
de ce gaz d´pend alors simplement des quantit´s de mouvement pi ,

                p2
                 i
     H=            .
            i
                2m

                                         e e
1. Calculer, dans le cas N = 1, la densit´ d’´tats microscopiques ρ( ). On pourra passer par
                   e           e                      e          e     a
le nombre W ( ) d’´tats dont l’´nergie interne est inf´rieure ou ´gale ` .
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2. Traiter le cas N quelconque en utilisant le fait que le volume d’une hypersph`re de rayon
                           e
r en dimension n est donn´ par

              π n/2 rn                        ∞
     Vn =       n            u
                            o` Γ(x) =         e−t tx−1 dt   est la fonction “gamma” d’Euler.
            Γ     +1                      0
                2
                                      e           ee
On rappelle que cette fonction poss`de la propri´t´ Γ(n + 1) = n!
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3. En d´duire l’entropie S(E, N, V ). On justifiera ` ce propos que pour N         1, il revient
     e          e
au mˆme de d´finir l’entropie comme S = kB ln Ω, S = kB ln ρ ou S = kB ln W . Toujours
pour N          e           e                                                    e
            1, d´terminer l’´nergie interne du gaz parfait en fonction de la temp´rature, puis
            e          e
retrouver l’´quation d’´tat.

       e        e
III - M´lange id´al de deux gaz parfaits
           e                                                e       e
On consid`re dans un volume V un gaz parfait constitu´ d’un m´lange de N1 particules
de masse m1 d’un corps pur (1) et de N2 particules de masse m2 d’un corps pur (2) sans
                     e           e      e                                     e
interactions. Le syst`me est isol´ et l’´nergie totale E = E1 + E2 est donc fix´e.

    e                  e e                          e
1. D´terminer la densit´ d’´tats ρ(E, N, V ) du syst`me. On donne la fonction
                       1
                                              Γ(m)Γ(n)
     B(m, n) =         tm−1 (1 − t)n−1 dt =            .
                   0                          Γ(m + n)

        e                                                e                          e
2. En d´duire l’entropie S(E, N1 , N2 , V ), puis la temp´rature et la pression du m´lange.
                         e         ee
3. On suppose que le m´lange a ´t´ obtenu en enlevant une cloison mobile et diatherme
      e
qui s´parait le volume V en deux compartiments de volumes respectifs V1 et V2 , les N1
                      e                                                                 e
particules du gaz (1) ´tant dans le compartiment (1) et les N2 particules du gaz (2) ´tant
                                    e                                   e
dans le compartiment (2). Quelle ´tait l’entropie initiale Si du syt`me? Quelle variation
                     e                   e
d’entropie ∆S, appel´e “entropie de m´lange”, subit-il au cours de la transformation?
4. Que devient ∆S si les deux gaz sont identiques?
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5. Pour lever ce paradoxe dit “paradoxe de Gibbs”, il faut tenir compte de l’indiscernabilit´
des particules. Comment?
         e                                 e a             e e
6. En d´duire les modifications apport´es ` la densit´ d’´tats microscopiques ρ, puis `      a
l’entropie S du gaz parfait (formule de Sackur-Tetrode). Conclusion?