Descubriendo los cuerpos geométricos - DOC - DOC by ivanML

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									Descubriendo los cuerpos geométricos

Iván Muñoz Lois

Barcelona 03/02/2008 Iván Muñoz Lois Amor de Dios 3º ESO c

Descubriendo los cuerpos geométricos

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POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo sólido limitado por caras planas poligonales. Un poliedro esta formado por caras, aristas, vértices y ángulos.  Caras : polígonos que limitan el poliedro.

 Aristas : intersecciones de dos caras.

 Vértices : puntos limite de las aristas. En cada vértice confluyen tres o más aristas. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H

CLASIFICACION DE LOS POLIEDROS Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares. - Poliedros regulares : son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares que miden lo mismo y que tienen los mismos ángulos poliedros. Estos son: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.  tetraedro regular: esta formado por cuatro caras triangulares  hexaedro regular (cubo): esta compuesto por seis caras cuadradas.  octaedro regular : esta formado por ocho triángulos equiláteros  dodecaedro regular : lo forman doce caras pentagonales  Icosaedro regular : esta constituido por veinte caras pentagonales.

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- Poliedros irregulares : son aquellos que no tienen sus caras como polígonos regulares y tampoco sus ángulos poliedros iguales. Los hay de diferentes tipos:

Denominación de los poliedros según el número de caras Dentro de los polígonos irregulares también encontramos el prisma y la pirámide. - Prisma : polígono definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales son parlelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se llama eje del prisma (e). Se pueden clasificar en:  prisma recto : eje perpendicular a los polígonos base  prisma oblicuo : eje no perpendicular a los polígonos base  prisma regular : las bases son polígonos regulares.  prisma regular recto : las bases del prisma son polígonos regulares y el eje es perpendicular a los polígonos base.

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 prisma regular oblicuo : sus bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a los polígonos base.  paralelepípedo : prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser rectos u oblicuos.

- Pirámide : polígono definido por un polígono base y cuyas caras laterales son unos triángulos que tienen un vértice común (V), llamado vértice de la pirámide que no esta comprendido en el plano base. El eje de la pirámide (e) es la recta que pasa por el centro de la pirámide y el centro geométrico. Las pirámides pueden ser:  pirámide recta : eje perpendicular al polígono base  pirámide oblicua : eje no perpendicular al polígono base  pirámide regular : la base es un polígono regular  pirámide regular recta : base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base.  pirámide regular oblicua : la base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base.

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FORMULA DE EULER Esta formula relaciona el número de caras, aristas y vértices de cualquier poliedro convexo : “ En todo poliedro convexo se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos” C+V=A+2 Consecuencias mas importantes del Teorema de Euler: 1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices. 2) Solo existen cinco poliedros convexos cuyas caras son polígonos del mismo número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre si el mismo número de aristas y que son: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. 3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como en el número de vértices que tiene menos dos. Sirve para conocer el número de caras, vértices y aristas de un poliedro. PRINCIPIO DE CAVALIERI “ Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases, el área de las secciones es la misma, ambos tienen igual volumen ”

Principio de Cavalieri A la izquierda hay un montón de ladrillos apilados de manera igual, en cambio a la derecha hay un montón de ladrillos iguales pero desordenados.

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El volumen que ocupan los dos montones es el mismo, pero si cortamos con un plano a cualquier altura, la sección es la misma. Si lo usamos podemos averiguar el volumen de un cuerpo irregular. ÁREAS DE POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS - Prisma  Área lateral  Pb · h  Área total  Al + 2·Sb

- Cilindro  Área lateral  2 · ñ · r · g  Área total  2 · ñ · r · (g + r)

- Pirámide  Área lateral  Pb · ap / 2  Área total  Al + Sb

- Cono  Área lateral = ñ · r · g  Área total = ñ · r · (g + r)

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VOLÚMENES - Ortoedro  V = l · a · h - Prisma  V = Sb · h - Pirámide  V = Sb · h / 3 - Cilindro  V = ñ · r2 · h - Cono  V = ñ · r2 · h / 3

LA ESFERA Área = 4ñr2 Volumen = 4/3 ñr3 Elementos de una esfera : - Radio: distancia desde un punto cualquiera de la superficie esférica al centro - Centro: mitad del diámetro, centro del círculo. - Diámetro: distancia que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro. Equivale a dos radios. - Polos: extremos del eje de giro. - Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

OBJETOS COTIDIANOS CON FORMA DE POLIEDRO

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ACTIVIDADES 1) En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos:

a. ¿Qué características comunes ves a todos ellos? Todos son poliedros. b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características.

c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.

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El cucurucho de un helado, una pelota, un dado, un pegamento de barra. ……………………………………………………………………………….

d. ¿Encuentras algún triedro en tu aula? Sí, cualquier esquina donde se unen dos paredes y el suelo. e. ¿Se te ocurre algún lugar donde aparezcan tetraedros? La cúspide de algunas capillas, es decir , cuando acaba en punta. 2) Observa los siguientes poliedros

1. Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?. Sin embargo, los otros dos sí. Los dos primeros. 3) En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? vértice  punto limite de las aristas. En cada vértice confluyen tres o más

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aristas. Cara  polígono que limita el poliedro. Arista  intersección de dos caras. b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? 4 caras, 6 aristas, 4 vértices. c. ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo? 3 caras como mínimo. d. ¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo? 180º como máximo 4) En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla.

Poliedro (1) (2) (3) (4)

Nº de caras (C) Nº de vértices (V) 5 5 7 10 12 10 11 13

Nº de aristas (A) 8 15 20 22

¿Encuentras alguna relación entre C, V y A? Inténtalo con otros poliedros. Poliedro Ortoedro Cubo Nº de caras (C) 6 6 Nº de vértices (V) 8 8 Nº de aristas (A) 12 12

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4) En la tabla siguiente se dan algunos datos de poliedros convexos. Complétala e intenta dibujar alguno de ellos. Poliedro 1 2 3 C 4 6 5 V 4 8 6 A 6 12 9

1

2

3

1  tetraedro 2 hexaedro regular (cubo) 3 pentaedro 6) Un poliedro tiene 7 caras. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros. ¿Cuántas aristas tiene? 19 ¿Cuántos vértices tiene? 14 7) Un poliedro tiene dos caras hexagonales y todas las demás son triángulos. Llamamos t al número de caras triangulares. a) Escribe una expresión para el número de aristas del poliedro. 11 + t - (2 · t) + t / 2 b) Usa la fórmula de Euler para una expresión del número de vértices. [11 + t - (2 · t) + t / 2 ] + 2 - (t + 2) 8) Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas: - El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. Falso / porque por ejemplo en una pirámide solo se unen tres caras. - Las caras de un poliedro son todas iguales. Falso/ solo se cumple si el poliedro es regular, en los poliedros irregular no se cumple. - Hay poliedros con tres caras. Verdadero / las pirámides “triangulares” - En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. Falso/ un poliedro no tiene por que estar formado por polígonos

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iguales, con lo cual no concurrirán siempre el mismo número de aristas en un vértice. - Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. Verdadero / Las caras de un poliedro siempre son polígonos. - Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. Falso / Puede tener más, varia según la forma o poliedro que sea. - El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. Verdadero / Porque en caso contrario las caras no se juntan y no se forma el poliedro. - El cilindro es un poliedro. Falso / Un cilindro no tiene ningún vértice. Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer:

¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? - Es el segmento que une dos vértices situados en distintas caras. ¿Y el plano diagonal? - Divide al ángulo diagonal en dos ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior? Diagonales  4 , Planos diagonales  8

22) ¿Cuánto papel necesitaré para construir un cubo cuya diagonal mida 9 cm? h2 = c2 + c2 81 = c2 + c2 c = √40.50 A= 6 · a2 A= 6 · (6’36)2 A= 242’69 cm2

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23) En el parque de una ciudad se ha construido un tetraedro regular de altura 4 m. ¿Cuál es su área lateral? Al = Pb · ap / 2 h2 = c2 + c2 h2 = 42 + (h/2)2 h2 – (h2/4) = 16 3h2 = 64 h = √64/3 h = 4’61 m Pb = 13’85, ap = 4’61 Al = Pb · ap / 2 Al = (13’85 · 4’61) / 2 = 31’92 m2

24) He encargado hacer un dodecaedro regular hueco de 3 cm de arista, de un material que pesa 20 Kg/m2, con el fin de usarlo como pisapapeles ¿Cuál será su peso total? ¿Y si el pisapapeles fuera un cubo? h2 = c2 + c2 h2 = 1’52 · 1’52  4’5 A= 30 · a · ap A = 30 · 3 · 4’5 A = 360 cm2 = 0’036 m2 1m2 – X kg 0’036 m2 – X kg 20 · 0’036 = 0’72 kg = 720g CUBO 6 · a2 = 6 · 32 = 6 · 9 = 54 cm2 = 0’005 m2 1m2 - 20 kg 0’005 m2 -X kg 20 · 0’005 = 100g

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25) Hallar la diagonal de un octaedro regular de área lateral 18√3 = 2√3 · a2 18√3 / √3 = 2√3 · a2 / √3 18 = 2 · a2 a2 = 18/2 a = √9 a=3 h2 = c2 + c2 32 = 2 · c2 c = √ 9/2 c= √4’5 c = 2’12 DIAGONAL  2 · 2’12 = 4’24 26) Hallar el área de un icosaedro regular de arista 12 cm. A= 5 · √ 3 · a2 A= 5 · √ 3 · 122 A= 5 · √ 3 · 144 A= 5 · 1’73 · 144 A= 8’65 · 144 = 1245’6 cm2 66) Una piscina tiene 26 m de largo, 15 m de ancho y 2'5 m de profundidad. Si el agua llega hasta los bordes ¿cuántos litros de agua le caben? V= l · a · h V= 26 · 15 · 2’5 V= 975 m3 V= 975’000 L

cm2.

Si para llenarla empleamos agua de un pozo que nos da un caudal de 5 litros por segundo, ¿qué tiempo emplearemos en llenarla? 975’000 / 5 = 195000 seg = 54 h 68) Para unas obras en mi casa, necesito 5 m3 de arena. Un amigo me ha prestado un camión como el de la figura.

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a. ¿Cuántos m3 de arena podría transportar si traigo el camión lleno? V= l · a · h V= 1’72 · 2’45 · 0’96 V= = 4’04 m2 b. ¿Es suficiente el camión para traer en una sola carga la arena necesaria? No, serian necesarias dos cargas.

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OPINION PERSONAL
Este trabajo ha sido bastante interesante, aunque la mayor parte de las cosas las sabía de haberlas estudiado anteriormente, pero siempre descubres algo nuevo. Es otra manera diferente de estudiar matemáticas, un poco más amena y más fácil de llevar. Hasta aquí ha llegado este trabajo.

Iván.


								
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