Docstoc

Metode Runga Kutta

Document Sample
Metode Runga Kutta Powered By Docstoc
					                  METODE RUNGE-KUTTA
       UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM




                       SKRIPSI

     Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
          Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains




                           Oleh
        Nama           : Rahayu Puji Utami
        NIM            : 4150401035
        Program studi : Matematika
        Jurusan        : Matematika




FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
          UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
                       2005
                                    PENGESAHAN



Telah dipertahankan dihadapkan siding Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:

         Hari        :

         Tanggal     :

                                      Panitia Ujian

Ketua,                                                Sekretaris,




……………….                                               ………………
NIP.                                                  NIP.

Pembimbing I                                          Anggota Penguji




DR. St Budi Waluyo                                    1. ..........................
NIP 132046848                                         NIP.



Pembimbing II                                         2. .........................
                                                      NIP.




Drs. Moch Chotim, M. Si                               3. ........................
NIP 130781008                                         NIP.
                                          ABSTRAK



        Ilmu Pengetahuan banyak memberikan landasan teori bagi perkembangan suatu
teknologi, salah satunya adalah matematika. Cabang dari matematika modern yang mempunyai
cakupan wilayah penelitian teoritik dan aplikasi luas adalah persamaan differensial. Persamaan
diferensial nonlinier khususnya yang berorde dua dapat diselesaikan dengan metode Runge-
Kutta. Metode ini mencapai ketelitian yang tinggi untuk kasus tak linier . Satu contoh persamaan
                                                                                        d 2θ    g
differensial nonlinier orde dua adalah persamaan Pendulum yang ditulis dalam bentuk        2
                                                                                             +
                                                                                        dt       l
sin θ = 0. Persamaan Pendulum ini sukar dan tidak mungkin diselesaikan secara analitis. Dengan
alasan di atas penulis tertarik untuk meneliti tentang metode Runge-Kutta untuk menentukan
suatu solusi dari persamaan diferensial nonlinier orde dua khususnya persamaan Pendulum dan
menggunakan Maple untuk visualisasinya. Sehingga dalam penulisan skripsi ini penulis
mengambil judul “ Metode Runge-Kutta Untuk Solusi Persamaan Pendulum”.
        Tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier
orde dua khususnya persamaan Pendulum dengan metode Runge-Kutta dan mengetahui aplikasi
program Maple untuk visualisasinya persamaan Pendulum.
        Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang
dilakukan dalam penelitian ini antara lain menentukan masalah, merumuskan masalah, studi
pustaka, analisis dan pemecahan masalah, penarikan kesimpulan.
        Pada pembahasan dilakukan analisis untuk menentukan solusi persamaan Pendulum
dengan menggunakan metode Runge-Kutta. Adapun formula dari metode Runge-Kutta adalah
              1
yi+1 = yi + [ (k1 + 2k2 + 2 k3 + k4 )] h, dengan: k1 = f(xi, yi), k2 = f(xi + ½h, yi + ½hk1), k3 =
               6
f(xi + ½h, yi + ½hk2), k4 = f(xi + h, yi + hk3). Dari solusi tersebut dapat dibuat grafik untuk
beberapa nilai y(0) dan y’(0) dengan menggunakan program Maple.
        Dari uraian pada pembahasan dapat disimpulkan bahwa solusi persamaan diferensial
                    d 2θ    g
nonlinier orde dua 2 +         sin θ = 0 adalah : k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]),  K    = h/2*(
                     dt      l
yp[n] + k1/2), k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1), k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K,
yp[n] + k2), L = h*( yp[n] + k3), k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3), x[n + 1] = x[n] +
h, y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3), yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 +
k4). Dengan program Maple diperoleh grafik untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0).



                               MOTTO DAN PERSEMBAHAN



MOTTO
“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kemampuannya” (Q.S. Al Baqoroh:

286)

“Imajinasi lebih berharga daripada sekedar ilmu pasti” (Albert Einstein)

“Disaat kita mau berusaha keberhasilan akan selalu menyertai kita”




                                         PERSEMBAHAN

                                         Skripsi penulis peruntukan kepada:

                                         1. Bapak dan Ibu tercinta.

                                         2. Kakak-kakakku, adikku dan semua saudara-

                                             saudaraku tercinta.

                                         3. Sahabat-sahabatku yang sangat aku sayangi.

                                         4. Sayankqu always in myheart.

                                         5. Teman-teman seperjuangan (Matematika ’01).



                                    KATA PENGANTAR



       Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT., atas limpahan petunjuk dan

karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul “Metode

Runge-Kutta Untuk Solusi Persamaan Pendulum”.
       Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Drs. H.A.T. Soegito, S.H., M.M. selaku Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S., M.S. selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

3. Bapak Drs. Supriyono, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

   Semarang.

4. DR. ST. Budi Waluyo, M.Si selaku pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan

   arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Drs. Moch Chotim, M.S selaku Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, dan

   arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

6. Segenap sivitas akademika di jurusan Matematika FMIPA UNNES.

7. Ayah dan Ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik secara moral

   maupun spiritual dan segala yang ternilai.

8. Sahabat-sahabatku Nanny, Lidia dan adikku mahda yang telah memberikan dorongan untuk

   segera menyelesaikan skripsi ini.

9. Mas Dwi yang telah membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini.

10. Dea atau Yaya, Kakakku Yuni dan Kakakku Agus yang telah memberikan dorongan untuk

   segera menyelesaikan skripsi ini.

11. Teman-temanku Rina, Mey, Woro, Eli, Dwi, Taufik, Sigit, Ardi, Bowo, Doni, Aris dan

   semua angkatan 2001 yang selalu memberiku semangat dan dorongan hingga selesainya

   skripsi ini.

12. Adikku Isti dan Mas Gik yang selalu memberiku semangat dan dorongan hingga selesainya

   skripsi ini.
13. Dan orang-orang yang telah memberikan inspirasi, baik disengaja maupun tidak, serta pihak-

     pihak yang telah memberikan segala dukungan baik langsung maupun tidak langsung,

     material maupun immaterial, hingga proses penyusunan skripsi ini berjalan dengan lancar

     sampai terselesainya skripsi ini.

          Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.




                                                                           Semarang, Agustus 2005

                                                                           Penulis




                                                           DAFTAR ISI




HALAMAN JUDUL ............................................................................................i
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................ii
ABSTRAK ..........................................................................................................iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN .....................................................................iv
KATA PENGANTAR ......................................................................................... v
DAFTAR ISI ......................................................................................................vii
DAFTAR GAMBAR...........................................................................................ix
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... x
BAB I        PENDAHULUAN ................................................................................ 1
             A. Latar Belakang ................................................................................. 1
             B. Permasalahan.................................................................................... 4
             C. Tujuan Penelitian ............................................................................. 5
             D. Manfaat Penelitian ........................................................................... 5
             E. Sistematika Penulisan Skripsi .......................................................... 6
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 8
             A. Persamaan Diferensial...................................................................... 8
             B. Metode Runge-Kutta ..................................................................... 11
             C. Persamaan Pendulum .................................................................... 23
             D. Maple.............................................................................................. 24
BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 27
             A. Menemukan Masalah .................................................................... 27
             B. Merumuskan Masalah ................................................................... 27
             C. Studi Pustaka ................................................................................. 27
             D. Analisis dan Pemecahan Masalah .................................................. 28
             E. Penarikan Kesimpulan ................................................................... 28
BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 29
             A. Solusi persamaan Pendulum dengan menggunakan metode Runge-Kutta                                          29
             B. Aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan Pendulum . 42


BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 45
             A. Simpulan ....................................................................................... 45
             B. Saran-Saran ................................................................................... 46
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................... 47
LAMPIRAN-LAMPIRAN
                                            BAB II

                                    LANDASAN TEORI




A.   Persamaan Diferensial

              Persamaan diferensial diperoleh berdasarkan pemodelan matematika dari

     permasalahan yang ada di dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh penerapan

     matematika pada ilmu fisika. Persamaan diferensial dari hukum Newton II yang timbul

     karena gejala alam, bahwa massa kali percepatan dari suatu benda sama dengan gaya luar

     yang bekerja pada benda itu. Suatu benda bermassa m bergerak sepanjang sumbu y pada

                                                                           d2y
     sistem koordinat kartesius. Hukum Newton II dapat dituliskan sebagai m 2 = F , dengan
                                                                           dt

     F melambangkan gaya luar yang bekerja pada benda itu. Persamaan tersebut merupakan

     persamaan diferensial karena memuat turunan dari fungsi yang tidak diketahui y(t) dengan

     y sebagai variabel terikat yang tergantung pada variabel bebas t. Jadi persamaan diferensial

     adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel terikat yang

     tergantung pada satu atau lebih variabel bebas. Berikut ini disajikan beberapa contoh

     persamaan diferensial:

                    dy
              (1)      = x + 10 ,
                    dx

                    d3y     dy
              (2)      2
                         + 3 + 2y = 0,
                    dx      dx

                    ∂z        ∂z
              (3)      = z + x , dan
                    ∂x        ∂y
                  ∂2 z ∂2 z
              (4)     +     = 0.
                  ∂x 2 ∂y 2

              Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih

varibel terikat yang tergantung pada varabel bebas tunggal disebut persamaan diferensial

biasa. Persamaan diferensial yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel

terikat yang tergantung pada variabel bebas yang tidak tunggal disebut persamaan

diferensial parsial. Persamaan diferensial (1) dan (2) adalah suatu contoh dari persamaan

diferensial biasa. Persamaan diferensial (3) dan (4) merupakan suatu contoh dari persamaan

diferensial parsial.

              Orde dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan

yang muncul dalam persamaan tersebut. Contoh (1) dan (3) adalah persamaan diferensial

orde satu, persamaan (4) merupakan persamaan diferensial orde dua, dan persamaan (2)

adalah persamaan diferensial orde tiga.

              Secara umum persamaan diferensial berorde n dapat dituliskan sebagai

                      [                           ]
                   F t , u (t ), u1 (t ),Κ , u n (t ) = 0 .

Notasi di atas menyatakan hubungan antara varibel bebas t dan nilai-nilai dari fungsi

u , u (t ), u1 (t ),Κ , u n (t ) .

              Suatu fungsi y(t) yang didefinisikan pada suatu interval dikatakan solusi suatu

persamaan diferensial bila untuk variabel bebas t, maka nilai-nilai y(t) dan turunannya bila

disubtitusikan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Beberapa contoh solusi dari

persamaan diferensial:

                                                                            d2y     dy
1. Solusi dari persamaan diferensial y = C1e x + C2e 2 x + x adalah            2
                                                                                 − 3 + 2y = 0
                                                                            dx      dx

     dengan A, B sembarang konstan.
2. Solusi         dari           persamaan               diferensial      y = Ae 2 x + Be x + C   adalah

      d3y    d2y    dy
         3
           −3 2 + 2    = 0 untuk C sembarang konstan.
      dx     dx     dx

          Solusi pada persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu solusi umum dan

solusi khusus. Solusi umum suatu persamaan diferensial adalah solusi yang mengandung

sembarang konstan, sedangkan solusi khusus suatu persamaan diferensial adalah solusi

yang dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstan yang

terdapat pada solusi umum.

          Klasifikasi penting persamaan diferensial adalah apakah persamaan diferensial

                                                                             (               )
tersebut linier atau nonlinier. Persamaan diferensial biasa F t , y, y1 ,Κ , y (n ) = 0 dikatakan

linier jika F adalah fungsi linier dari variabel y, y1 ,Κ , y (n ) , definisi yang sama dapat

diterapkan untuk persamaan diferensial parsial. Jadi persamaan diferensial orde-n secara

umum dapat ditulis sebagai:

             a0 (t ) y (n ) + a1 (t ) y (n −1) + Κ + an (t ) y = F (t )

dengan a0 , a1 ,Κ , an dan F adalah fungsi-funsi dari t dan a0 (t ) ≠ 0 . Jika suatu persamaan

diferensial tidak dapat ditulis dalam bentuk tersebut maka dikatakan persamaan diferensial

tersebut persamaan diferensial nonlinier. Contoh:

       dy
(1)       + 3 xy 2 = sin x merupakan persamaan nonlinier,
       dx

       dy
(2)       + 3 xy = sin x merupakan persamaan linier, dan
       dx

       d2y       dy
(3)       2
            + 5 y + 6 y = 0 merupakan persamaan nonlinier.
       dt        dt

         Kebanyakan persamaan diferensial nonlinier tidak dapat diselesaikan secara
eksak. Cara yang tepat dalam mempelajari persamaan diferensial nonlinier adalah dengan
     membuat persamaan itu menjadi linier yaitu dengan cara menghampiri persamaan tersebut
     oleh persamaan diferensial linier (aproximasi).


B.   Metode Runge-Kutta

                Metode Runge-Kutta mencapai ketelitian suatu pendekatan deret taylor tanpa
     memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Banyak perubahan terjadi, tetapi
     semuanya dapat ditampung dalam bentuk umum dari persamaan:
     Yi+1 = y1 + φ (x1, y1, h) h                                         (1)

     dimana φ (x1, y1, h) disebut suatu fungsi yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah slope

     rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai

     berikut:

     φ = a1k1 + a2 k2 + … + ankn                                         (2)

     dimana setiap a adalah konstanta dan setiap k besarnya adalah:

     k1 = f(xi , yi )                                                    (3)

     k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)                                       (4)

     k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h)                              (5)

     .

     .

     .

     kn = f(xi + p n-1h, yi + qn-1,1 k1h + qn-1,2 k2h

         + … + qn-1,n-1 kn-1h)                                           (6)

     Semua harga k berhubungan secara rekursif. Artinya k1 muncul dalam persamaan untuk k2,

     yang muncul lagi dalam persamaan untuk k3, dan seterusnya. Rekurensi ini membuat

     metode RK efisien untuk kalkulasi oleh komputer.
          Berbagai jenis metode Runge-Kutta dapat direncanakan dengan melaksanakan

jumlah suku-suku yang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinyatakan oleh n. Pada RK

orde pertama dengan n = 1 ternyata adalah metode Euler. Sekali n telah dipilih, harga-

harga untuk setiap a, p, dan q dievaluasikan dengan memberikan harga persamaan: yi+1 =

yi + φ h sama dengan suku-suku pada sebuah perluasan deret taylor. Jadi sekurang-

kurangnya untuk versi orde lebih rendah, jumlah suku n biasanya menunjukkan orde

pendekatan. Misalnya pada pasal berikut ini, metode RK orde kedua menggunakan sebuah

fungsi inkremen dengan dua suku (n = 2). Metode orde kedua ini akan eksak bila solusi

untuk persamaan persamaan diferensial adalah kuadratik. Tambahan pula, disebabkan

suku-suku dengan h3 danlebih tinggi dihilangkan, selama penurunan, kesalahan

pemotongan lokal 0(h3) dan kesalahan global adalah 0(h2). Pada pasal-pasal berikutnya

dikembangkan metode RK orde ketiga dan keempat (n = 3 dan 4 ). Untuk kasus-kasus ini,

kesalahan-kesalahan pemotongan global masing-masing adalah 0(h3) dan 0(h4).

          Metode Rungga-Kutta orde kedua versi orde kedua dari persamaan (1) atau yi+1 =

yi + φ (xi, yi, h) h adalah:


yi+1 = yi + (a1k1 + a2k2 ) h                                      (7)


dengan:


k1 = f(xi,yi)                                                     (8)


k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)                                     (9)


Harga-harga untuk a1 dan a2, p1, q11 diselesaikan dengan menyamakan persamaan (7)

dengan menggunakan sebuah perluasan deret taylor terhadap orde kedua. Dengan ini dapat
menurunkan tiga persamaan untuk menyelesaikan empat konstanta yang tidak dikenal.

Ketiga persamaan itu adalah:


a1 + a2 = 1                                                           (10)


            1
a2 p1   =                                                             (11)
            2


            1
a2 q11 =                                                              (12)
            2


            Karena kita memilika tiga persamaan dengan empat yang tidak dikenal, kita harus

menganggap sebuah harga dari salah satu yang tidak dikenal tersebut untuk menentukan

ketiga buah yang lainnya. Misalkan kita nyatakan sebuah harga untuk a2. Kemudian

persamaan (10) sampai (12) dapat diselesakan secara simultan untuk:


a1 = 1 - a2                                                           (13)


                 1
p1 = q11 =                                                            (14)
                2a2


Karena kita dapat memilih sejumlah tak hingga harga untuk a2, maka terdapat sejumlah tak

hingga metode RK orde kedua. Setiap versi akan mengandung hasil-hasil yang sama secara

eksak, jika solusi untuk PDB adalah kuadratik, linier atau sebuah konstanta. Tetapi versi-

versi itu mengandung hasil-hasil yang berbeda kalau (dalam kasus sejenis), solusi tersebut

adalah lebih rumit. Kita akan memberikan tiga buah versi yang paling lazim digunakan

serta yang disenangi:
                                                                 1                      1
           Metode Heun dengan sebuah korektor tunggal (a2 =        ). Jika a2 dianggap = ,
                                                                 2                      2

                                                          1
Persamaan (13) dan (14) dapat diselesaikan untuk a1 =       dan p1 = q11 = 1. Parameter-
                                                          2

parameter ini kemudian dimasukkan kedalam persamaan (7) sehingga:

             1     1
yi+1 = yi + ( k1 +   k2 ) h                                          (15)
             2     2


dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                       (16)

k2 = f(xi + h, yi + hk1)                                             (17)

k1    merupakan slope pada awal interval dan k2 adalah slope pada akhir interval.

Konsekuensinya metode RK orde kedua sebenarnya adalah teknik heun dengan sebuah

korektor iterasi tunggal.

                                                  1
           Metode Poligon yang diperbaiki (a2 =     ). Jika dianggap a2 = 1, maka a1 = 0, p1
                                                  2

          1
= q11 =     dan persamaan (7) menjadi:
          2

yi+1 = yi + k2h,                                                     (18)



dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                       (19)

                 1        1
k2 = f(xi +        h, yi + hk1)                                      (20)
                 2        2

Ini adalah metode poligon yang diperbaiki.
                                     2
              Metode Raltson (a2 =     ) Raltson (1962) serta Raltson dan Rabinowitz (1978)
                                     3

                                            2
telah menentukan serta memilih a2 =                yang memberikan suatu batas minimal pada
                                            3

                                                                                1
kesalahan pemotongan untuk algoritma RK orde kedua. Untuk versi ini, a1 =         dan p1 =
                                                                                3

        3
q11 =     :
        4

             1    2
yi+1 = yi + ( k1 + k2 ) h                                              (21)
             3    3

dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                         (22)

                 3        3
k2 = f(xi +        h, yi + hk1)                                        (23)
                 4        4

Contoh:

1. Gunakan metode poligon yang diperbaiki dan metode raltson untuk mengintegrasikan

    secara numerik dari persamaan berikut ini;

    f(x,y) = - 2x3 + 12x2 - 20x + 8,5

    dari x = 0 hingga x = 4 dengan menggunakan ukuran langkah = 0,5.

    Penyelesaian:

    Langkah pertama menggunakan metode poligon yang diperbaiki yaitu dengan

    menggunakan persamaan (19) guna menghitung

    k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

    k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,25) + 8,5 = 4,21875

    y (0,5) = 1 + 4,21875 (0,5) = 3,109375
   Pada metode raltson, k1 untuk interval pertama juga berharga 8,5 maka:

   k2 = - 2 (0,375)3 + 12 (0,375)2 – 20 (0,375) + 8,5 = 2,58203125

   Slope rata-rata dihitung oleh:

        1         2
   φ=     (8,5) +   (2,58203125) = 4,5546875
        3         3

     yang digunakan untuk memprediksikan:

   y (0,5) = 1 + 4,5546875(0,5) = 3,27734375




   Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan

                       tiga buah metode RK orde kedua serta metode Euler

         Metode Runge-Kutta orde ketiga untuk n = 3, suatu turunan yang serupa dengan

penurunan buat metode orde kedua dapat dilaksanakan. Hasil dari turunan ini adalah enam

persamaan dengan delapan yang tidak dikenal. Karena itu, harga-harga untuk dua buah

yang tidak dikenal tersebut harus dispesifikasikan sebelumnya agar dapat menentukan

parameter-parameter sisanya. Sebuah versi yang umum mamberikan hasil:

                1
yi+1 = yi + [     (k1 + 4k2 + k3 )] h                                (24)
                6
dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                       (25)

              1        1
k2 = f(xi +     h, yi + hk1)                                         (26)
              2        2

k3 = f(xi + h, yi - hk1 + 2hk2)                                      (27)

Jika turunan tersebut hanyalah sebuah fungsi x, metode orde ketiga ini terediksi menjadi

                    1
aturan simpson        . Raltson (1962) serta raltson dan rabinowitz (1978) telah
                    3

mengembangkan suatu versi alternatif yang memberikan sebuah batas minimal pada

kesalahan pemotongan. Pada sembarang hal, metode RK orde ketiga tersebut mempunyai

kesalahan-kesalahan lokal dan global masing-masing sebesar 0(h4) dan 0(h3) serta

mengandung hasil-hasil eksak jika solusi tersebut adalah sebuah kubik. Seperti terlihat

pada contoh berikut, jika kita berhadapan dengan polinomial, persamaan (24) juga akan

eksak bila persamaan diferensial adalah kubik dan solusi tersebut adalah kuadratik. Ini

                               1
disebabkan aturan simpson        memberikan perkiraan integral yang eksak untuk kubik.
                               3

Contoh:

1. Gunakan persamaan (24) untuk mengintegrasikan:

    (a) Sebuah PDB yang semata-mata fungsi x:

           dy
              = - 2x 3 + 12x2 – 20x + 8,5
           dx

          dengan y(0) = 1 dan ukuran langkah = 0,5

    (b)   Sebuah PDB yang merupakan fungsi x dan y:

           dy
              = 4e0,8 – 0,5y
           dx
      dengan y(0) = 2 dari x = 0 hingga 1 serta ukuran langkah sebesar satu.

Penyelesaian:

(a)   Persamaan (25) sampai (27) dapat digunakan untuk

      menghitung:

      k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

      k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,2005) + 8,5 = 4,21875

      k3 = - 2 (0,5)3 + 12 (0,5)2 – 20 (0,5) + 8,5 = 1,25

      yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (3.2) maka:

                        1
      y (0,5) = 1 + {     [ 8,5 + 4 (4,21875) + 1,25 ]} 0,5 = 3,21875.
                        6

      Jadi, karena solusi sebenarnya adalah sebuah polinomial orde keempat, aturan

                1
      simpson     memberikan sebuah hasil yang eksak.
                3

(b)   Persamaan (25) sampai (27) dapat digunakan untuk

      menghitung:

      k1 = 4e0,8 (0) – 0,5 (2) = 3

      k2 = 4e0,8 (0,5) – 0,5 [ 2 + 0,5 (1) 3 ] = 4,21729879

      k3 = 4e0,8 (1,0) – 0,5 [ 2 – 1 (3) + 2 (1) 4,21729879 ] = 5,18486492

      yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (24) maka:

                        1
      y (1,0) = 1 + {     [ 3 + 4 (4,21729879) + 5,18486492 ]}1
                        6

              = 6,175676681.

      Serta menunjukkan harga sebenarnya = 6,175676681.
            Metode Runge-Kutta orde keempat, metode RK ini yang paling populer adalah

orde keempat. Seperti halnya pendekatan orde kedua, terdapat sejumlah tak hingga versi.

Yang berikut ini seringkali disebut dengan metode RK orde keempat klasik:

                 1
yi+1 = yi + [      (k1 + 2k2 + 2 k3 + k4 )] h                        (28)
                 6

dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                       (29)

               1        1
k2 = f(xi +      h, yi + hk1)                                        (30)
               2        2

                 1        1
k3 = f(xi +        h, yi + hk2)                                      (31)
                 2        2

k4 = f(xi + h, yi + hk3)                                             (32)

Pada PDB yang hanya merupakan fungsi dari x, metode RK orde keempat klasik adalah

                                              1
ekuivalen pula terhadap aturan simpson          .
                                              3

Contoh:

1. Gunakan metode RK orde keempat klasik untuk mengintegrasikan:

    f(x,y) = - 2x3 + 12x2 – 20x + 8,5

    dengan menggunakan ukuran langkah sebesar 0,5 dan suatu kondisi awal y = 1 pada x =

    0.

         Penyelesaian:

         Persamaan (29) sampai (32) dapat digunakan untuk menghitung:

         k1 = - 2 (0)3 + 12 (0)2 – 20 (0) + 8,5 = 8,5

         k2 = - 2 (0,25)3 + 12 (0,25)2 – 20 (0,25) + 8,5 = 4,21875

         k3 = 4, 21875
      k4 = - 2 (0,5)3 + 12 (0,5)2 – 20 (0,5) + 8,5 = 1,25

      yang dapat disubstitusikan kedalam persamaan (28) maka:

                         1
      y (0,5) = 1 + {      [ 8,5 + 2 (4, 21875) + 2 (4, 21875) + 1,25 ]} 0,5
                         6

                 = 3,21875.

Metode orde keempat memberikan suatu hasil yang eksak.

Metode Runge-Kutta orde lebih tinggi. Bilamana diperlukan suatu hasil yang lebih teliti,

maka metode RK orde kelima butcher (1964) merekomendasikan:

                   1
yi+1 = yi + h[        (7k1 + 32k3 + 12 k4 + 32 k5 + 7k6 )]                (33)
                   90

dengan:


k1 = f(xi, yi)                                                            (34)

              1        1
k2 = f(xi +     h, yi + hk1)                                              (35)
              4        4

                 1        1     1
k3 = f(xi +        h, yi + hk1 + hk2 )                                    (36)
                 4        8     8

                 1        1
k4 = f(xi +        h, yi - hk2 + hk3 )                                    (37)
                 2        2

              3          3        9
k5 = f(xi +     h, yi +    hk1 +    hk4)                                  (38)
              4         16       16

                      3      2      12       12      8
k6 = f(xi + h, yi -     hk1 + hk2 +    hk3 -    hk4 + hk5 )                (39)
                      7      7       7        7      7

          Metode Runge-Kutta Fehlberg yang didasarkan pada perhitungan dua metode RK

dari orde yang berbeda,dengan mengurangkan hasil-hasilnya untuk mendapatkan suatu

taksiran kesalahan. Teknik tersebut terdiri dari suatu formula orde keempat:
                      25      1408      2197     1
    yi+1 = yi + (        k1 +      k3 +      k4 + k5)h                    (40)
                     216      2565      4104     5

    bersama dengan suatu formula orde kelima:

                     16        6656      28561      9        2
    yi+1 = yi + (        k2 +       k3 +       k4 -    k5 +    k6)h
                     135      12825      56430      50      55

                                                                          (41)

    dengan:



    k1 = f(xi, yi)                                                        (42)

               1       1
    k2 = f(xi + h, yi + hk1)                                              (43)
               4       4

                     3         3
    k3 = f(xi +        h, yi + hk1 + hk2 )                                (44)
                     8        32

                     1        1
    k4 = f(xi +        h, yi - hk2 + hk3 )                                (45)
                     2        2

                  3          3        9
    k5 = f(xi +     h, yi +    hk1 +    hk4)                              (46)
                  4         16       16




                          3      2      12      12    8
    k6 = f(xi + h, yi -     hk1 + hk2 +    hk3 - hk4 + hk5 )              (47)
                          7      7       7       7    7



Persamaan Pendulum ( Ayunan )

              Sebagai contoh bandul sederhana atau persamaan ini sering disebut dengan
    persamaan pendulum seperti gambar 1:
                                               R
                                                                      x
                                                           θ      a


                                                          w       y
           Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya-gaya pada
                                          partikel serta percepatan.
                  Partikel dengan berat W tersebut digantungkan pada sebuah batang tanpa berat yang
       panjangnya l. Gaya yang bekerja pada partikel hanyalah beratnya serta tegangan R pada
       batang. Posisi partikel pada sembarang waktu dinyatakan dengan lengkap dalam sudut θ
       dan l. Pada bandul berayun gaya bekerja pada partikel dan pada percepatan. Dalam hal ini
       diterapkan hukum gerak Newton kedua dalam arah x yang menyinggung lintasan partikel,
       yang diberikan dengan:
                              W
     ∑ F = −W sin θ       =
                              g
                                a

                  dimana g adalah konstanta gravitasi (32,2 ft/dt2) dan a adalah percepatan dalam arah
       x. Percepatan sudut partikel ( α ) menjadi:
              a
        α =
              l
                  Karena itu, dalam koordinat polar ( α = d2θ/dt2 ),
                         Wl     Wl d 2θ
       - W sin θ =          a =
                         g      g dt 2
                  atau
                  d 2θ   g
                     2
                       +   sin θ = 0.
                  dt     l

                   Persamaan ini merupakan persamaan diferensial tak linier orde kadua.



B.     Maple

                   Maple sering digunakan untuk keperluan penyelesaian permasalahan persamaan

       diferensial dan visualisasinya, karena selain mudah digunakan Maple mempunyai
kemampuan menyederhanakan persamaan diferensial sehingga solusi persamaan

diferensial dapat dipahami dengan baik. Keunggulan dari Maple untuk aplikasi persamaan

diferensial adalah kemampuan melakukan animasi (gerakan) grafik dari suatu fenomena

gerakan yang dimodelkan ke dalam persamaan diferensial yang mempunyai nilai awal dan

syarat batas.

         Statement yang sering digunakan untuk keperluan menyelesaikan permasalahan

persamaan diferensial antara lain: diferensial digunakan untuk mendiferensialkan

(menurunkan) suatu fungsi, dsolve digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial,

evalf memberikan nilai numerik dari suatu persamaan, dan simplify digunakan untuk

menyederhanakan suatu persamaan. Namun tentu saja pernyataan-pernyataan awal seperti

restart dan deklarasi variable atau konstanta yang diperlukan tidak boleh diabaikan.

Sedangkan untuk membuat grafik digunakan perintah plot, plot 2d, plot 3d, tergantung

dimensi dari pernyataan yang dimiliki, untuk membuat animasi digunakan perintah animate

3d. Setiap perintah pada maple harus dituliskan setelah tanda maple prompt yang diakhiri

dengan titik dua (bila hasilnya tidak akan ditampilkan) atau titik koma (bila hasilnya akan

ditampilkan).

     Maple merupakan salah satu perangkat lunak (software) yang dikembangkan oleh

waterloo inc. Kanada untuk keperluan computer algebraic System (CAS). Menu-menu yang

terdapat pada tampilan maple terdiri dari menu: file, edit, view, insert, format, spreadsheat,

option, window, dan help merupakan menu standar yang dikembangkan untuk program

aplikasi pada system windows.

         Bahasa yang digunakan pada maple merupakan bahasa pemrograman yang

sekaligus sebagai bahasa aplikasi, sebab pernyataan atau statement yang merupakan
masukan (input) pada maple merupakan deklarasi pada bahasa program dan perintah

(command) yang sering digunakan pada bahasa aplikasi.

        Maple bisa dipakai untuk menganalisis model dan menginterpretasikan solusi

yang diperoleh ke masalah nyata yang telah di modelkan. Maple sangat dibutuhkan untuk

membantu mempermudah menyelesaikan persamaan differensial.
                                            BAB III

                                  METODE PENELITIAN




Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang

digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:

A. Menemukan Masalah

       Dalam tahap ini dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber pustaka sebagai

   suatu masalah.

B. Merumuskan Masalah

       Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan dalam pertanyaan yang harus

   diselesaikan yaitu:

   1. Bagaimana menentukan solusi persamaan pendulum dengan menggunakan metode

       Runge-Kutta?

   2. Bagaimana aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum?

C. Studi Pustaka

       Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan

   data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan, mengumpulkan konsep pendukung

   seperti definisi dan teorema serta membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk

   menyelesaikan permasalahan. Sehingga didapat suatu ide mengenai bahan dasar

   pengembangan upaya pemecahan masalah.

D. Analisis dan Pemecahan Masalah
         Dari berbagai sumber pustaka yang menjadi bahan kajian, diperoleh suatu pemecahan

   permasalahan diatas. Selanjutnya dilakukan langkah-langkah pemecahan masalah sebagai

   berikut:

   1. Menjelaskan bagaimana menentukan solusi persamaan pendulum dengan menggunakan

      metode Runga-Kutta.

   2. Menjelaskan bagaimana aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum.

E. Penarikan simpulan

         Tahap ini merupakan tahap akhir dari penelitian. Penarikan simpulan dari

   permasalahan yang dirumuskan berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya.
                                               BAB IV

                                         PEMBAHASAN




A. Solusi persamaan pendulum dengan menggunakan metode Runge-Kutta

   Perhatikan persamaan pendulum atau persamaan ayunan dari partikel dengan berat W yang

   digantung pada sebuah batang dan dengan panjang l. gaya yang bekerja pada partikel

   hanyalah beratnya serta tegangan R pada batang. Posisi partikel pada sembarang waktu

   dinyatakan dengan lengkap dalam sudut θ dan l. Gaya yang bekerja pada partikel serta

   percepatan. Ada baiknya menerapkan hukum gerak Newton kedua dalam arah x yang

   menyinggung lintasan partikel:

                        W
   ∑ F = −W sin θ   =
                        g
                          a


    Dengan g adalah konstanta gravitasi (32,2 ft/dt2) dan a adalah percepatan dalam arah x.

    Percepatan sudut partikel ( α ) menjadi:

           a
    α =      .
           l

    Dalam koordinat polar, ∑ F disajikan dengan

                  Wl     Wl d 2θ
    - W sin θ =      a =         .
                  g      g dt 2

    Jadi

     d 2θ   g
        2
          +   sin θ = 0.                                             (1)
     dt     l
Solusi 1: Suatu persamaan diferensial dapat direduksi menjadi suatu bentuk yang dapat

diselesaiakan secara analitis. Perluasan deret untuk sin θ diberikan oleh:

              θ3           θ5        θ7
sin θ = θ -            +         -         +….                        (2)
                 3.!       5.!       7.!

Untuk simpangan sudut yang kecil, besarnya sin θ dapat disama dengan θ . Untuk

perpindahan yang kecil, persamaan (1) menjadi:

d 2θ  g
   2
     + θ =0                                                           (3)
dt    l

yang merupakan sebuah persamaan diferensial liniear orde dua. Aproksimasi ini sangat

penting, karena persamaan (3) mudah diselesaikan secara analitis. Solusi yang didasarkan

pada teori persamaan diferensial diberikan oleh:

                       g
θ (t) = θ 0 cos          t                                            (4)
                       l

                                                                              dθ
dengan θ 0 adalah perpindahan pada t = 0 dan dianggap bahwa kecepatan ( v =      ) dari
                                                                              dt

partikel adlah nol pada t = 0. Waktu yang diperlukan oleh partikel menyempurnakan suatu

siklus osilasi yang disebut periode dan diberikan oleh:

           l
T = 2π       .
           g

Pada persamaan (3) ditransformasikan menjadi dua persamaan orde pertama supaya dapat

diselesaikan yaitu sebagai berikut:

d 2θ
     + k θ = 0.                                                       (a)
dt 2

         dθ
Tulis       = y                                                       (b)
         dt
      dy d 2θ
Jelas    = 2 .                                                                   (c)
      dt  dt

           dy
Jadi          + kθ = 0                                                           (d)
           dt



dy
   = - kθ .
dt

Jadi persamaan (b) dan (c) adalah pasangan dari persamaan orde pertama yang ekuivalen

terhadap persamaan orde kedua.

Solusi 2: teknik aproksimasi numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan

diferensial dengan metode Runge-Kutta orde empat.

(1) Solusi numerik dengan metode Runge-Kutta orde empat memberikan

   hasil-hasil sebagai berikut: (dengan mengganti θ = x dan ukuran langkah

   = 0,2)

              d 2x
   Tulis           + k θ = 0,
              dt 2

       d2
   atau 2 y(x) + k sin y(x) = 0,
       dx

   Dipunyai y(0) = 1, y’(0) = -1, x = x[n], N = 10, xd = 0, dan yd = 1, ypd = 0,5

             d2
   Jadi           y(0) + k sin y(0) = 0, dan penyelesaiannya adalah:
             dx 2




       z                                      1
                       1                                     1
       ∫
       0    2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                      df+x-   ∫
                                              0   2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                                                            df
dengan metode RK untuk x1:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,09588510770

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,04520574462

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,07864102030

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,08180018910

L = h*( yp[n] + k3) = 0,08363996218

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,06601813295

x[n + 1] = x[n] + h = 0,2

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,082911579

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,3390714468

untuk x2:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,06652231010

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,3058102918

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,05383747025

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,05627639640

L = h*( yp[n] + k3) = 0,5655901008

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,04491729586

x[n + 1] = x[n] + h = 0,4

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,138950123

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2285156670

untuk x3:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,04530640556

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,02058624642
k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,03643721152

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,03817990754

L = h*( yp[n] + k3) = 0,03806715190

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,03031388552

x[n + 1] = x[n] + h = 0,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,176658355

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1535641572

untuk x4:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,03059226228

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01382680261

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,02453243944

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02573479406

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02556587262

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02038346022

x[n + 1] = x[n] + h = 0,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,201980553

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1030607607

untuk x5:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02057568278

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,009277291930

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,01647831491

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01729486170

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01715317980
k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01368350958

x[n + 1] = x[n] + h = 1,0

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,218969448

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,06912557884

untuk x6:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01381410820

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,006221852475

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,01105665440

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01160725904

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01150366396

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,009178986740

x[n + 1] = x[n] + h = 1,2

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,230362696

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,04635193824

untuk x7:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,09267068430

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004171840402

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,007415274000

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,007785365315

L = h*( yp[n] + k3) = 0,007713314584

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,006155269410

x[n + 1] = x[n] + h = 1,4

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,238001903
yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,03107739942

untuk x8:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,06214479440

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,002797015970

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,004972071700

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,005220472550

L = h*( yp[n] + k3) = 0,005171385374

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,004126997926

x[n + 1] = x[n] + h = 1,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,243123581

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,02083521080

untuk x9:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,004166740676

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,001875184046

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,003333539656

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,003500155534

L = h*( yp[n] + k3) = 0,003467011054

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,002766891678

x[n + 1] = x[n] + h = 1,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,246557261

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,01396820322

untuk x10:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,002793549800
  K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,001257142832

  k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,002234884170

  k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,002346609966

  L = h*( yp[n] + k3) = 0,002324318650

  k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,00 1854970062

  x[n + 1] = x[n] + h = 2,0

  y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,248859232

  yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,009364367172

  untuk x11:

  k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,001872846062

  K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,0008427944140

  k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = - 0,001498290207

  k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,001573199169

  L = h*( yp[n] + k3) = 0,001558233601

  k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,001243585753

  x[n + 1] = x[n] + h = 2,2

  y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,250402483

  yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,006277896983

(2) Solusi numerik dengan metode Runge-Kutta orde empat de


  > restart:
  > with(plots):
  > pdb := diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0;
                         d2       
                        
                 pdb :=  2 y( x )  + 2 sin( y( x ) ) = 0
                                   
                         dx
                                  
                                   
  > sol:= dsolve({pdb,y(0)=1,D(y)(0)=-1},y(x));
sol := y( x ) =
            ⌠ _Z                                         ⌠
                                                            1
                                                                                              
                                                                                           
           
     RootOf
                               1
                                               d _f + x − 
                                                                         1                    
                                                                                         d _f 
           
                4 cos( _f ) − 4 cos( 1 ) + 1             4 cos( _f ) − 4 cos( 1 ) + 1
                                                                                             
                                                                                              
           ⌡
             0
                                                          ⌡0                                  
                                                                                              
     > #solek:= subs(x=x[n],sol);
     > f:=(x,y,yp)->-2*sin(yp);
                       f := ( x, y, yp ) → −2 sin( yp )
         h:=0.1;N:=10;x[0]:=0;y[0]:=1;yp[0]:=0.5;

     dengan metode RK untuk x1:
     k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,04794255386

     K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,02380143616

     k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,04368172336

     k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,04406460881

     L = h*( yp[n] + k3) = 0,04559353912

     k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,04003243629

     x[n + 1] = x[n] + h =0,1

     y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,045477037

     yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,4121774485

     untuk x2:

     k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,04006053648

     K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01960735902

     k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,03635882752

     k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,03670341394

     L = h*( yp[n] + k3) = 0,03754740346

     k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,03323278373

     x[n + 1] = x[n] + h =0,2
y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,082924023

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,3390381808

untuk x3:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,03325801785

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01612045860

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,03010372398

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,03040437109

L = h*( yp[n] + k3) = 0,03086338097

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02746536086

x[n + 1] = x[n] + h =0,3

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,113702304

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2784583245

untuk x4:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02748736851

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01323573201

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,02483446138

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02509135330

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02533669712

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,02262982125

x[n + 1] = x[n] + h =0,4

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,138967697

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,2284687180

untuk x5:
k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,02264862990

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,01085722015

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,02043700076

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,02065344559

L = h*( yp[n] + k3) = 0,02078152724

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01860710400

x[n + 1] = x[n] + h =0,5

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,159689933

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1873231758

untuk x6:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01862295688

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,008900584870

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,01679011621

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01697077004

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01703524058

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01527809352

x[n + 1] = x[n] + h =0,6

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,176676122

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1535155682

untuk x7:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01529132940

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,007293495175

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,01377845084
k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01392827993

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01395872883

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01253285728

x[n + 1] = x[n] + h =0,7

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,190594410

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1257696854

untuk x8:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01254383764

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,005974888330

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,01129840752

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,01142214426

L = h*( yp[n] + k3) = 0,01143475411

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,01027437674

x[n + 1] = x[n] + h =0,8

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,201995899

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,1030165795

untuk x9:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,01028344670

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004893742808

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,009260028120

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,009361925385

L = h*( yp[n] + k3) = 0,009365465412

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,08419294385
x[n + 1] = x[n] + h =0,9

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,211334044

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,08436769680

untuk x10:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,008426764550

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,004007715726

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,007586796110

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,007670548175

L = h*( yp[n] + k3) = 0,007669714862

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,006897179865

x[n + 1] = x[n] + h = 1,0

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,218981343

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,06908815248

untuk x11:

k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n]) = - 0,006903320400

K = h/2*( yp[n] + k1/2) = 0,003281824614

k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1) = -0,006214476220

k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2) = - 0,006283226015

L = h*( yp[n] + k3) = 0,006280492646

k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3) = - 0,005649161025

x[n + 1] = x[n] + h =1,1

y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3) = 1,225243457

yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) = 0,05657219052.
B. Aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum.

   1. Phase portrait persamaan (1) dengan k = 2 untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0,

      y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1, x = -10..10 dan y = -5..5, h =

      0,5 dapat dilihat pada gambar 1.




                                Gambar 1. Phase portrait persamaan (1.1)

   2. Phase portrait persamaan (1) untuk k=1 dengan y(0)=1,y’(0)=0 dapat dilihat pada

      gambar
       Phase portrait atau bidang fase merupakan bidang gerakan pergeseran y dan

            dy
kecepatan      = y’ sebagai koordinator persegi panjang. Bidang ini sangat penting untuk
            dt

mempelajari sifat umum suatu solusi terutama untuk persamaan-persamaan diferensial

nonlinier. Gambar-gambar phase portrait diatas merupakan kurva solusi dari persamaan

pendulum atau persamaan ayunan. Grafik-grafik pada gambar 1 dan gambar 2 diatas

menggambarkan lintasan persamaan pendulum untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Pada

ganbar 1 dengan y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1,

y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1, pada gambar 2 dengan y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) =

0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1 . Untuk jarak nilai antara

y(0) dan y’(0) kecil akan menghasilkan kurva yang berbentuk gelombang yang teratur.
                                          BAB V

                                        PENUTUP




A. SIMPULAN

  Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan

  1. Garis besar langkah-langkah dalam metode Runge-Kutta orde keempat untuk

                                                          d 2θ   g
     menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier       2
                                                               +   sin θ = 0 adalah sebagai
                                                          dt     l

     berikut:

     k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n])

     K = h/2*( yp[n] + k1/2)

     k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1)

     k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2)

     L = h*( yp[n] + k3)

     k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3)

     x[n + 1] = x[n] + h

     y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3)

     yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4).

     Dengan menerapkan metode Runge-Kutta orde keempat pada persamaan               pendulum,

     diperoleh penyelesaian yaitu sebagai berikut:
      z                                     1
                     1                                     1
     ∫
     0    2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                    df+x-   ∫
                                            0   2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                                                          df


  2. Dengan aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum diperoleh grafik

     lintasan untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Dari grafik-grafik tersebut dapat dilihat

     bahwa persamaan pendulum mempunyai karakteristik untuk beberapa nilai y(0) dan

     y’(0). Untuk jarak nilai antara y(0) dan y’(0) kecil akan menghasilkan kurva yang

     berbentuk gelombang yang teratur.



B. SARAN

  1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode Runge-

     Kutta untuk menentukan solusi persamaan pendulum khususnya dan diferensial nonlinier

     pada umumnya, juga penerapannya pada masalah fisika dan teknik.

  2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut apakah metode Runge-Kutta bisa berlaku untuk

     semua persamaan diferensial nonlinier.

  3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut mengenai metode-metode numerik lain selain

     metode Runge-Kutta.
                                   DAFTAR PUSTAKA



Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value
   Problems. 1993. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan. 1993. Jakarta: PT. Gramedia.

J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric.
    Jakarta: Erlangga.

Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial. 2001. Yogyakarta: J&J Learniang.

Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists. 1958. New York.
   McGraw-Hill Book Company, Inc.

N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. 1988.
   Jakarta: Erlangga.

Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan
   Pada Komputer Pribadi. 1991. Jakarta: Universitas Indonesia Press.

Shepley L. Ross. Differential Equations. 1989. New York: John and Wiley & Sons.

Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value
   Problems. 1992. New York: John and Wiley & Sons, Inc.



       Pada metode raltson, k1 untuk interval pertama juga berharga 8,5 maka:

       k2 = - 2 (0,375)3 + 12 (0,375)2 – 20 (0,375) + 8,5 = 2,58203125

       Slope rata-rata dihitung oleh:

              1         2
       φ =      (8,5) +   (2,58203125) = 4,5546875
              3         3

       yang digunakan untuk memprediksikan:

       y (0,5) = 1 + 4,5546875(0,5) = 3,27734375


                        a = Analitik
                        b = Euler
         y              c = Heun                   a
                        d = Poligon

         4              b
                             c
    Gambar 1.1 Perbandingan solusi sebenarnya dan solusi numerik dengan menggunakan

                         tiga buah metode RK orde kedua serta metode Euler

             Metode Runge-Kutta orde ketiga untuk n = 3, suatu turunan yang serupa dengan

   penurunan buat metode orde kedua dapat dilaksanakan. Hasil dari turunan ini adalah

   enam persamaan dengan delapan yang tidak dikenal. Karena itu, harga-harga untuk dua

   buah yang tidak dikenal tersebut harus dispesifikasikan sebelumnya agar dapat

   menentukan parameter-parameter sisanya. Sebuah versi yang umum mamberikan hasil:

                         3      2      12      12    8
   k6 = f(xi + h, yi -     hk1 + hk2 +    hk3 - hk4 + hk5 )           (3.6f)
                         7      7       7       7    7



B. Persamaan Pendulum ( Ayunan )

           Sebagai contoh bandul sederhana atau persamaan ini sering disebut dengan

   persamaan pendulum seperti gambar 1:



                                   R

                                                        x



                                            θ    a
                                     w         y



 Gambar 1 Sebuah diagram bebas dari bandul berayun memperlihatkan gaya-gaya pada

                            partikel serta percepatan.

       Partikel dengan berat W tersebut digantungkan pada sebuah batang tanpa berat

yang panjangnya l. Gaya yang bekerja pada partikel hanyalah beratnya serta tegangan R

pada batang. Posisi partikel pada sembarang waktu dinyatakan dengan lengkap dalam

sudut θ dan l. Pada bandul berayun gaya bekerja pada partikel dan pada percepatan.

Dalam hal ini diterapkan hukum gerak Newton kedua dalam arah x yang menyinggung

lintasan partikel, yang diberikan dengan:
                                                BAB V

                                            PENUTUP




C. SIMPULAN

  Dari uraian pada pembahasan di atas dapat disimpulkan

  1. Garis besar langkah-langkah dalam metode Runge-Kutta orde keempat untuk

                                                               d 2θ   g
     menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier            2
                                                                    +   sin θ = 0 adalah sebagai
                                                               dt     l

     berikut:

     k1 = h/2 *f (x[n], y[n], yp[n])

     K = h/2*( yp[n] + k1/2)

     k2 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k1)

     k3 = h/2*f(x[n] + h/2, y[n] + K, yp[n] + k2)

     L = h*( yp[n] + k3)

     k4 = h/2*f(x[n] + h, y[n] + L, yp[n] + 2*k3)

     x[n + 1] = x[n] + h

     y[n + 1] = y[n] + h*(yp[n] + 1/3*(k1 + k2 + k3)

     yp[n + 1] = yp[n] + 1/3*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4).

     Dengan menerapkan metode Runge-Kutta orde keempat pada persamaan                    pendulum,

     diperoleh penyelesaian yaitu sebagai berikut:

      z                                     1
                     1                                     1
     ∫0   2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                    df+x-   ∫
                                            0   2 cos( f ) − 2 cos(1) + 1
                                                                          df
  2. Dengan aplikasi program Maple untuk visualisasi persamaan pendulum diperoleh grafik

     lintasan untuk beberapa nilai y(0) dan y’(0). Dari grafik-grafik tersebut dapat dilihat

     bahwa persamaan pendulum mempunyai karakteristik untuk tiap-tiap nilai y(0) dan y’(0).

     Untuk jarak nilai antara y(0) dan y’(0) kecil akan menghasilkan kurva yang berbentuk

     gelombang yang teratur.



B. SARAN

  1. Perlu diadakan pengkajian yang lebih mendalam mengenai penggunaan metode Runge-

     Kutta untuk menentukan solusi persamaan pendulum khususnya dan diferensial nonlinier

     pada umumnya, juga penerapannya pada masalah fisika dan teknik.

  2. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut apakah metode Runge-Kutta bisa berlaku untuk

     semua persamaan diferensial nonlinier.

  3. Perlu diadakan pengkajian lebih lanjut mengenai metode-metode numerik lain selain

     metode Runge-Kutta.




                                   DAFTAR PUSTAKA
   Edward B. Saff, R. Kent Nagle. Fundamentals of Diferential Equations and Boundary Value
      Problems. 1993. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

   Erwin Kreyzig. Matematika Teknik Lanjutan. 1993. Jakarta: PT. Gramedia.

   J.C. Ault, M.Sc, Frank Ayres, JR, Ph.D. Persamaan Diferensial dalam Satuan SI metric.
       Jakarta: Erlangga.

   Kartono. Maple untuk Persamaan Differensial. 2001. Yogyakarta: J&J Learniang.

   Louis A. Pipes. Applied Mathematics for Engineers and Physicists. 1958. New York.
      McGraw-Hill Book Company, Inc.

   N. Finizio, G. Ladas. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. 1988.
      Jakarta: Erlangga.

   Raymond P. Canale, Steven C. Chapra. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan
      Pada Komputer Pribadi. 1991. Jakarta: Universitas Indonesia Press.

   Shepley L. Ross. Differential Equations. 1989. New York: John and Wiley & Sons.

   Wiliams E. Boyce, R. C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value
      Problems. 1992. New York: John and Wiley & Sons, Inc.




Lampiran 1

             PRINT OUT MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM

> #Pers PENDULUM ORDE2

> restart:
> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined



> with(DEtools):

> pdb := diff(y(x),x$2)+k*sin((y(x)))=0;

                                       d2       
                               pdb :=  2 y( x )  + k sin( y( x ) ) = 0
                                       dx       
                                      
                                                
                                                 

> sol:= dsolve({pdb,y(0)=1,D(y)(0)=-1},y(x));

                                                             
                                                             
                                       sol := y( x ) = RootOf
                                                             
                                                             
                                                             
                                                             
                                                             
        ⌠
          _Z
                                                           ⌠
                                                            1
                                                                                                      
                                                                                                      
       −                                       d _f − x +                                           
                              1                                                1
                                                                                               d _f 
        
              2 k cos( _f ) − 2 k cos( 1 ) + 1            
                                                               2 k cos( _f ) − 2 k cos( 1 ) + 1      
        ⌡                                                  ⌡                                          
                                                                                                      
         0                                                  0                                         

> #solek:= subs(x=x[n],sol);

> f:=(x,y,yp)->-2*sin(yp);

                                    f := ( x, y, yp ) → −2 sin( yp )

> h:=0.2;N:=10;x[0]:=0;y[0]:=1;yp[0]:=0.5;

                                               h := 0.2

                                               N := 10

                                                x0 := 0

                                                y0 := 1

                                              yp0 := 0.5

                                               h := 0.2

                                               N := 20
                                   x0 := 0




> for n from 0 to N do

k1:=evalf(h/2*f(x[n],y[n],yp[n]));K:=evalf(h/2*(yp[n]+k1/2));k2:

=evalf(h/2*f(x[n]+h/2,y[n]+K,yp[n]+k1));k3:=evalf(h/2*f(x[n]+h/2

,y[n]+K,yp[n]+k2));L:=evalf(h*(yp[n]+k3));k4:=evalf(h/2*f(x[n]+h

,y[n]+L,yp[n]+2*k3));x[n+1]:=x[n]+h;y[n+1]:=y[n]+h*(yp[n]+1/3*(k

1+k2+k3));yp[n+1]:=yp[n]+1/3*(k1+2*k2+2*k3+k4);od;

> seq([x[n],y[n]],n=0..N):

                         k1 := -0.09588510770

                             K := 0.04520574462

                         k2 := -0.07864102030

                         k3 := -0.08180018910

                             L := 0.08363996218

                         k4 := -0.06601813295

                                  x1 := 0.2

                              y1 := 1.082911579

                             yp1 := 0.3390714468

                         k1 := -0.06652231010

                             K := 0.03058102918

                         k2 := -0.05383747025

                         k3 := -0.05627639640

                             L := 0.05655901008
k4 := -0.04491729586

      x2 := 0.4

 y2 := 1.138950123

yp2 := 0.2285156670

k1 := -0.04530640556

K := 0.02058624642

k2 := -0.03643721152

k3 := -0.03817990754

L := 0.03806715190

k4 := -0.03031388552

      x3 := 0.6

 y3 := 1.176658355

yp3 := 0.1535641572

k1 := -0.03059226228

K := 0.01382680261

k2 := -0.02453243944

k3 := -0.02573479406

L := 0.02556587262

k4 := -0.02038346022

      x4 := 0.8

 y4 := 1.201980553

yp4 := 0.1030607607
k1 := -0.02057568278

K := 0.009277291930

k2 := -0.01647831491

k3 := -0.01729486170

 L := 0.01715317980

k4 := -0.01368350958

      x5 := 1.0

  y5 := 1.218969448

yp5 := 0.06912557884

k1 := -0.01381410820

K := 0.006221852475

k2 := -0.01105665440

k3 := -0.01160725904

 L := 0.01150366396

k4 := -0.009178986740

      x6 := 1.2

  y6 := 1.230362696

yp6 := 0.04635193824

k1 := -0.009267068430

K := 0.004171840402

k2 := -0.007415274000

k3 := -0.007785365315
L := 0.007713314584

k4 := -0.006155269410

      x7 := 1.4

  y7 := 1.238001903

yp7 := 0.03107739942

k1 := -0.006214479440

K := 0.002797015970

k2 := -0.004972071700

k3 := -0.005220472550

L := 0.005171385374

k4 := -0.004126997926

      x8 := 1.6

  y8 := 1.243123581

yp8 := 0.02083521080

k1 := -0.004166740676

K := 0.001875184046

k2 := -0.003333539656

k3 := -0.003500155534

L := 0.003467011054

k4 := -0.002766891678

      x9 := 1.8

  y9 := 1.246557261
                         yp9 := 0.01396820322

                         k1 := -0.002793549800

                         K := 0.001257142832

                         k2 := -0.002234884170

                         k3 := -0.002346609966

                         L := 0.002324318650

                         k4 := -0.001854970062

                               x10 := 2.0

                          y10 := 1.248859232

                        yp10 := 0.009364367172

                         k1 := -0.001872846062

                         K := 0.0008427944140

                         k2 := -0.001498290207

                         k3 := -0.001573199169

                         L := 0.001558233601

                         k4 := -0.001243585753

                               x11 := 2.2

                          y11 := 1.250402483

                        yp11 := 0.006277896983

>

> p3 :=plot({seq([x[n],y[n]],n=0..N)},x=0..10,style=point):

> display({p3},title="Gambar 3:Gambar nilai Aproksimsi");
         PRINT OUT MAPLE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN PENDULUM

                                          d
                                 Dengan     =2
                                          l

> #Pers PENDULUM ORDE2

> restart:

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined



> with(DEtools):
> pdb := diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0;

                                       d2       
                                      
                               pdb :=  2 y( x )  + 2 sin( y( x ) ) = 0
                                                 
                                       dx
                                                
                                                 

> sol:= dsolve({pdb,y(0)=1,D(y)(0)=-1},y(x));

   sol := y( x ) =
               ⌠ _Z                                         ⌠
                                                               1
                                                                                                 
                                                                                              
              
        RootOf
                                  1
                                                  d _f + x − 
                                                                            1                    
                                                                                            d _f 
              
                   4 cos( _f ) − 4 cos( 1 ) + 1             4 cos( _f ) − 4 cos( 1 ) + 1
                                                                                                
                                                                                                 
              ⌡
               0
                                                             ⌡0                                  
                                                                                                 

> #solek:= subs(x=x[n],sol);

> f:=(x,y,yp)->-2*sin(yp);

                                   f := ( x, y, yp ) → −2 sin( yp )

> h:=0.2;N:=10;x[0]:=0;y[0]:=1;yp[0]:=0.5;

                                               h := 0.2

                                               N := 10

                                               x0 := 0

                                               y0 := 1

                                              yp0 := 0.5

                                               h := 0.2

                                               N := 20

                                               x0 := 0




> for n from 0 to N do

k1:=evalf(h/2*f(x[n],y[n],yp[n]));K:=evalf(h/2*(yp[n]+k1/2));k2:

=evalf(h/2*f(x[n]+h/2,y[n]+K,yp[n]+k1));k3:=evalf(h/2*f(x[n]+h/2
,y[n]+K,yp[n]+k2));L:=evalf(h*(yp[n]+k3));k4:=evalf(h/2*f(x[n]+h

,y[n]+L,yp[n]+2*k3));x[n+1]:=x[n]+h;y[n+1]:=y[n]+h*(yp[n]+1/3*(k

1+k2+k3));yp[n+1]:=yp[n]+1/3*(k1+2*k2+2*k3+k4);od;

> seq([x[n],y[n]],n=0..N):

                         k1 := -0.09588510770

                             K := 0.04520574462

                         k2 := -0.07864102030

                         k3 := -0.08180018910

                             L := 0.08363996218

                         k4 := -0.06601813295

                                  x1 := 0.2

                              y1 := 1.082911579

                             yp1 := 0.3390714468

                         k1 := -0.06652231010

                             K := 0.03058102918

                         k2 := -0.05383747025

                         k3 := -0.05627639640

                             L := 0.05655901008

                         k4 := -0.04491729586

                                  x2 := 0.4

                              y2 := 1.138950123

                             yp2 := 0.2285156670
k1 := -0.04530640556

K := 0.02058624642

k2 := -0.03643721152

k3 := -0.03817990754

L := 0.03806715190

k4 := -0.03031388552

      x3 := 0.6

 y3 := 1.176658355

yp3 := 0.1535641572

k1 := -0.03059226228

K := 0.01382680261

k2 := -0.02453243944

k3 := -0.02573479406

L := 0.02556587262

k4 := -0.02038346022

      x4 := 0.8

 y4 := 1.201980553

yp4 := 0.1030607607

k1 := -0.02057568278

K := 0.009277291930

k2 := -0.01647831491

k3 := -0.01729486170
 L := 0.01715317980

k4 := -0.01368350958

      x5 := 1.0

  y5 := 1.218969448

yp5 := 0.06912557884

k1 := -0.01381410820

K := 0.006221852475

k2 := -0.01105665440

k3 := -0.01160725904

 L := 0.01150366396

k4 := -0.009178986740

      x6 := 1.2

  y6 := 1.230362696

yp6 := 0.04635193824

k1 := -0.009267068430

K := 0.004171840402

k2 := -0.007415274000

k3 := -0.007785365315

L := 0.007713314584

k4 := -0.006155269410

      x7 := 1.4

  y7 := 1.238001903
yp7 := 0.03107739942

k1 := -0.006214479440

K := 0.002797015970

k2 := -0.004972071700

k3 := -0.005220472550

L := 0.005171385374

k4 := -0.004126997926

      x8 := 1.6

  y8 := 1.243123581

yp8 := 0.02083521080

k1 := -0.004166740676

K := 0.001875184046

k2 := -0.003333539656

k3 := -0.003500155534

L := 0.003467011054

k4 := -0.002766891678

      x9 := 1.8

  y9 := 1.246557261

yp9 := 0.01396820322

k1 := -0.002793549800

K := 0.001257142832

k2 := -0.002234884170
                         k3 := -0.002346609966

                         L := 0.002324318650

                         k4 := -0.001854970062

                               x10 := 2.0

                          y10 := 1.248859232

                        yp10 := 0.009364367172

                         k1 := -0.001872846062

                         K := 0.0008427944140

                         k2 := -0.001498290207

                         k3 := -0.001573199169

                         L := 0.001558233601

                         k4 := -0.001243585753

                               x11 := 2.2

                          y11 := 1.250402483

                        yp11 := 0.006277896983

>

> p3 :=plot({seq([x[n],y[n]],n=0..N)},x=0..10,style=point):

> display({p3},title="Gambar 4:Gambar nilai Aproksimsi");
> > > phaseportrait(diff(y(t),t$2)+2*sin((y(t)))=0,y(t),t=-

10..10,[[y(0)=1,D(y)(0)=0],[y(0)=2,D(y)(0)=0],[y(0)=3,D(y)(0)=0]

,[y(0)=-1,D(y)(0)=1],[y(0)=-2,D(y)(0)=1]],y=-5..5,stepsize=.5);
Gambar 5 Phase portrait untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) =

                                -1, y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1

> DEplot(diff(y(x),x$2)+2*sin((y(x)))=0,y(x),x=-

10..10,[[y(0)=1,D(y)(0)=0],[y(0)=2,D(y)(0)=0],[y(0)=3,D(y)(0)=0]

,[y(0)=-1,D(y)(0)=1],[y(0)=-2,D(y)(0)=1]],y=-5..5);
Gambar 6. deplot untuk y(0) = 1, y’(0) = 0, y(0) = 2, y’(0) = 0, y(0) = 3, y’(0) = 0, y(0) = -1,

                                y’(0) = 1, y(0) = -2, y’(0) = 1

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:979
posted:5/20/2010
language:Indonesian
pages:67