Garis dan Bidang dalam ruang Euclid berdimensi n

Document Sample
Garis dan Bidang dalam ruang Euclid berdimensi n Powered By Docstoc
					   GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID

                       BERDIMENSI N




                          SKRIPSI

     Diajukan dalam rangka menyelesaikan Studi Strata Satu

              untuk mencapai gelar Sarjana Sains



                             Oleh

             Nama              : M SOLIKIN ADRIANSAH

             NIM               : 4150402019

             Program Studi     : Matematika S1

             Jurusan           : Matematika



FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

           UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

                             2006
                                     ABSTRAK



  M Solikin Adriansah, Garis dan Bidang Dalam Ruang Euclid Berdimensi N,
    Semarang, Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
            Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang 2006



       Sistem geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga sekolah
menengah merupakan suatu sistem geometri yang dikembangkan oleh Euclides,
sehingga dinamakan Geometri Euclid atau dapat disebut dengan Geometri seperti
yang kita kenal sekarang. Meskipun pada tingkatan universitas diperkenalkan
sistem lain dari geometri yaitu geometri non-euclid.
       Gagasan digunakannya pasangan bilangan terurut lebih dari tiga atau dalam
ruang dimensi-3, karena para ahli matematika dan fisika menyadari bahwa tidak
harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bahwa bilangan – bilangan ganda
empat ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) dapat dikorespondensikan sebagai titik – titik dalam ruang
dimensi-4 dan seterusnya.
       Garis dan bidang merupakan obyek yang cukup penting untuk dibahas dan
menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering
digunakan dalam geometri. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi
dimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya
dan bukan melalui sifat – sifat geometris.
       Simpulan dari penulisan ini adalah bahwa persamaan garis lurus (real line)
di R merupakan suatu persamaan parametrik yang berbentuk X n = a n + α n t .
     n


Bidang datar dalam R n merupakan suatu bidang datar-n (hyperplane) yang
memiliki persamaan x , a = a .
                                        2




                                           ii
HALAMAN PENGESAHAN




        iii
                MOTTO dan PERSEMBAHAN



MOTTO
Ilmu itu lebih cantik dari mangkuk yang cantik,
orang    yang    menuntut   ilmu    itu    lebih   manis    dari
madu, dan ber’amal dengan ilmu yang dimiliki itu
lebih sulit dari meniti sehelai rambut. (Usman bin
Affan)
Sebaik – baik isteri adalah jika kamu memandangnya
membuat    hatimu    senang,     jika     kamu   perintah   dia
mentaatimu, dan jika kamu tinggal maka dia akan
menjaga untukmu harta dan dirinya. ( Ibnu Jahir)


                      PERSEMBAHAN
                      Bapak dan Mamah yang memberikan
                      doa dan kasih sayangnya.
                      M’Lel, Bekti, Drajat dan Ayu .
                      Someone in Somewhere, Wait me.
                      Adit,      Pirlo,    Bira,   dan     Pilar
                      “capek”.
                      Fina, Asih, Isti, Diana, Cahya
                      dan Dewi.
                      M’ Tamie dan Ida.
                      Raras thanks for everything.
                      Teman – teman ’02. Ayo berjuang!




                            iv
                            KATA PENGANTAR




              Segala puji hanya bagi ALLAH SWT atas segala limpahan rahmat

dan hidayah-Nya, sehinggga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “

GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N “.

              Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai

pihak, oleh karena itu disampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. A. T. Soegito, SH, MM, Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.

3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.

4. Drs. Suhito, M. Pd, Dosen pembimbing utama yang telah membimbing dan

   memberikan masukan dalam penulisan skripsi.

5. Drs. Amin Suyitno, M. Pd, Dosen pembimbing pendamping yang telah

   membimbing dan memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini.

6. Bapak dan Mamah yang selalu mendoakan.

7. Kakakku terima kasih atas bantuannya semoga aku dapat melakukan hal yang

   sama.

8. Teman – teman angkatan 2002 yang memberikan semangat untuk terus

   berjuang dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu yang telah

   membantu terselesaikannya skripsi ini.




                                       v
             Bagaimanapun penulisan skripsi ini setidaknya dapat membantu

bagi pembaca, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis menerima

kritik dan saran. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi

pembaca.

                                          Semarang,       September 2006



                                                      Penulis




                                     vi
                                                 DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL ..............................................................................................i

ABSTRAK .............................................................................................................ii

HALAMAN PENGESAHAN ..............................................................................iii

MOTTO dan PERSEMBAHAN .........................................................................iv

KATA PENGANTAR ...........................................................................................v

DAFTAR ISI ........................................................................................................vii

          BAB I PENDAHULUAN .........................................................................1

                     A. Latar Belakang Masalah ............................................................1

                     B. Permasalahan .............................................................................4

                     C. Tujuan Penulisan .......................................................................3

                     D. Manfaat Penulisan .....................................................................5

                     E. Penegasan Istilah .......................................................................6

                     F. Sistematika Skripsi ....................................................................7

          BAB II LANDASAN TEORI .................................................................10

                     A. Ruang Linear ...........................................................................11

                           1. Ruang Linear .....................................................................11

                           2. Ruang Bagian dari Ruang Linear ......................................23

                           3. Ruang Linear Bernorma ....................................................23

                           4. Ruang Inner Product .........................................................25

                     B. Ruang Vektor .........................................................................12

                           1. Ruang Vektor ....................................................................11




                                                         vii
                        2. Hasil Kali Dalam dan Norm ..............................................23

                   C. Ruang Metrik ..........................................................................13

       BAB III METODE PENELITIAN ...........................................................20

                   A. Kajian Pustaka .........................................................................11

                   B. Perumusan Masalah ................................................................12

                   C. Pemecahan Masalah ................................................................23

                   D. Penarikan Simpulan ................................................................56

       BAB IV PEMBAHASAN ...........................................................................40

                   A. Titik .........................................................................................11

                   B. Garis Lurus Real .....................................................................12

                        1. Persamaan Garis lurus-n ...................................................22

                        2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n .......................................33

                        3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n ...................................36

                        4. Jarak Antara Dua garis Lurus-n ........................................36

                   C. Bidang Datar-n ........................................................................13

                        1. Persamaan Bidang Datar-n ................................................22

                        2. Persamaan Hesse Bidang Datar-n .....................................33

                        3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n .................................23

                        4. Kedudukan Dua Bidang Datar-n .......................................23

       BAB V PENUTUP ......................................................................................45

                        A. Simpulan ...........................................................................11

                        B. Saran ..................................................................................22

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................22




                                                       viii
                                   BAB I

                             PENDAHULUAN



A.   Latar Belakang Masalah

              Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “

     ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi.

     Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan

     untuk pertanian orang-orang Babylonia dan Mesir. Kemudian hal tersebut

     diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Hasil-

     hasil ini sering dinyatakan sebagai deret arimetika yang secara empiris

     tidak benar (Wallace dalam Mulyati, 1).

              Menurut tradisi, mempelajari geometri penting karena geometri

     telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan

     berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang

     disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari

     serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang,

     dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri

     dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi,

     aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema.

              Berdasarkan    sejarah,   geometri   telah   mempunyai    banyak

     penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah,

     pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain

     sebagainya.
                                                                              2




         Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam

geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian

ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem

seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide

konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup.

         Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang

lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya

didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada

akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi

harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini

dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan

kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).

         Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak

terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep

garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah

perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang

terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain

sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang, walaupun bidang

merupakan perpotongan dari beberapa garis. Dari contoh di atas dapat

dipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri,

tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar dari

geometri.
                                                                                             3




              Sistem dari geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga

     menengah merupakan geometri yang didasarkan atas postulat ataupun

     aksioma yang dikemukakan oleh Euclides yang biasa disebut geometri

     euclid, meskipun pada tingkat universitas diperkenalkan sistem lain dari

     geometri yaitu geometri non-euclid. Gagasan digunakannya pasangan

     bilangan terurut lebih dari tiga, karena para ahli matematika dan fisika

     menyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa

     bilangan ganda empat   ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 )   dapat dianggap sebagai titik pada

     ruang dimensi-4, ganda lima      ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )   sebagai titik pada ruang

     dimensi-5 dan seterusnya. Walaupun visualisasi geometrik tidak melebihi

     ruang dimensi tiga.

              Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3

     dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya dan

     bukan melalui sifat – sifat geometris. Dari latar belakang di atas maka

     judul dari skripisi ini adalah GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG

     EUCLID BERDIMENSI N



B.   Permasalahan

              Permasalahan yang dikaji dalam penulisan ini adalah

     1.   Bagaimana bentuk dari persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n?

     2.   Bagaimana persamaan kedudukan dua garis lurus-n dan dua bidang

          datar-n?
                                                                                  4




     3.    Bagaimana persamaan sudut dua garis lurus-n dan dua bidang datar-

           n?

     4.    Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n

           dan jarak antara dua garis lurus-n?

     5.    Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan bidang datar-

           n?



C.   Tujuan Penulisan

                Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui persamaan dari

     garis lurus-n dan didang datar-n serta relasi yang terkait dengan gair lurus-

     n dan bidang datar-n



D.   Manfaat Penulisan

                Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai

     sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang,

     khususnya Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.



E.   Penegasan Istilah

     1. Garis

                Sebuah garis (garis lurus) dapat dibayangkan sebagai kumpulan

          dari titik – titik yang memanjang secara tak terhingga ke kedua arah.

                                                               ( Kohn, 2003 : 4 )
                                                                                          5




     2. Bidang

              Sebuah bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yang

        jumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yang

        melebar ke segala arah sampai tak terhingga.

                                                                       ( Kohn, 2003 : 4 )



     3. Ruang Euclid Dimensi N

              Jika n bilangan bulat positif maka himpunan dari n bilangan real

        (x 1 ,x 2 ,...,x n ) adalah sebuah titik atau vektor pada dimensi n yang

        dinotasikan dengan R n = { (x1 , x 2 , ... , x n ) x1 , x 2 , ... , x n ∈ R }. Ruang

        linear R n dan ruang vektor R n yang dilengkapi oleh suatu inner

        product dan dinotasikan dengan           {R   n
                                                          , x,y   } disebut   ruang Euclid

        dimensi n (Euclidean n-space).

                                                                     ( Ruckle, 1961 : 31 )



F.   Sistematika Skripsi

     Bab I    Pendahuluan

              Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, penegasan istilah,

              permasalahan, tujuan, manfaat dan sistematika dari penulisan

              skripsi.

     Bab II Landasan Teori

              Pada bab ini berisi pokok-pokok, dasar-dasar dan teorema yang

              akan digunakan sebagai pedoman dalam pembahasan.
                                                                       6




Bab III Metode Penelitian

        Bab   ini   berisi   langkah-langkah   yang   digunakan   dalam

        penyusunan skripsi ini.

Bab IV Pembahasan

        Bab ini berisi garis dan bidang yang terdiri dari persamaan garis

        dan bidang, kedudukan dua garis dan dua bidang serta jarak garis

        dan bidang dalam ruang Euclid berdimensi n

Bab V Penutup

        Bab ini beisi simpulan dan saran yang diperoleh dari hasil

        pembahasan.
                                   BAB II

                           LANDASAN TEORI



A.   Ruang Linear

     1. Ruang Linear

        Definisi A.1

                 Sebuah ruang linear atas lapangan F adalah sebuah himpunan

        E yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan E × E → E dan

        operasi perkalian F × E → E dimana kedua operasi tersebut harus

        memenuhi aksioma-aksioma berikut.

        a. Untuk semua x, y, z di E berlaku x + (y + z ) = (x + y ) + z.

        b. Untuk semua x,y di E berlaku x + y = y + x.

        c. Ada elemen identitas 0 di E sehingga x + 0 = x untuk setiap x di E.

        d. Untuk semua x di E, ada elemen –x di E sehingga x + (- x ) = 0 .

        e. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku a (bx ) = (ab )x.

        f. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku (a + b )x = ax + bx.

        g. Untuk semua a di F dan x, y di E berlaku a (x + y ) = ax + ay.

        h. Untuk semua x di E berlaku 1x = x.

                                                             ( Ruckle, 1961 : 31 )
                                                                                                      8




Contoh A.1.1

Selidiki apakah Rn dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan

ruang linear atas lapangan R.

Penyelesaian :

Rn = R × R × R × ... × R =       { (x , x
                                      1     2   ,..., x n ) x 1 , x 2 ,..., x n ∈ R}.

Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan z = ( z 1 ,

z 2 ,..., z n ) ∈ R n

  a). Jelas x + (y + z) = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (y 1 , y 2 ,..., y n + z 1 , z 2 ,..., z n )

                              = (x 1 + y 1 + z 1 , x 2 + y 2 + z 2 , ... , x n + y n + z n )

                              = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) + (z 1 , z 2 ,..., z n )

                              = (x + y) + z .

  b). Jelas x × y = (x 1 , x 2 ,..., x n ) × (y 1 , y 2 ,..., y n )

                        = (x 1 × y 1 , x 2 × y 2 ,..., x n × y n )

                        = (y 1 × x 1 , y 2 × x 2 ,..., y n × x n )

                        = y× x .

  c). Pilih 0 = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) ∈ R n

       Jelas x + 0 = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (0 1 , 0 2 ,..., 0 n )

                        = 0 + (x 1 , x 2 ,..., x n ) = x.

  d). Pilih (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) ∈ R n

       Jelas x + (− x ) = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (-x 1 , -x 2 ,..., -x n )

                            = (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0.
                                                                                                 9




  Ambil sembarang a, b ∈ R

  e). a (bx ) = a × (bx1 , bx 2 ,..., bx n )

               = a × (b(x1 , x 2 ,..., x n ))

               = (ab )x .

  f). (a + b )x = (a + b )× (x 1 , x 2 ,..., x n )

                 = a × (x 1 , x 2 ,..., x n ) + b × (x 1 , x 2 ,..., x n )

                 = ax + bx.

  g). a(x+y) = a { (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) }

                 = a × (x 1 , x 2 ,..., x n ) + a × (y 1 , y 2 ,..., y n )

                 = ax + ay.

  h). 1x = 1(x 1 , x 2 ,..., x n )

          = (x 1 , x 2 ,..., x n )

          =x

Jadi ∀ (x 1 , x 2 ,..., x n ), (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan ( z 1 , z 2 ,..., z n ) ∈ R n dan a, b ∈

R maka Rn merupakan ruang linear atas R.



2. Ruang Bagian dari Ruang Linear

            Jika V ruang linear atas F. Jika B ≠ φ dan B ⊂ V. B dengan sifat,

    untuk setiap vektor x , y di V dan skalar α, β di F berlaku αx + βy di B

    maka B disebut ruang bagian dari ruang linear.

                                                                      ( Wuryanto, 2003 : 36 )
                                                                                                      10




Contoh A.1.2

Tunjukan untuk setiap bilangan asli m, n dengan m ≤ n maka Rm

merupakan ruang bagian dari ruang linear terhadap Rn.

Penyelesaian :

Dipunyai Rm = R × R × R × ... × R =           { (x , x
                                                    1    2   ,..., x m ) x 1 , x 2 ,..., x m ∈ R }.

Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x m ), y = (y 1 , y 2 ,..., y m ) ∈ R m dan ambil

sembarang skalar α, β di R

Jelas Rm merupakan ruang vektor atas Rn sendiri dan untuk setiap x, y di

Rm dan a, b di R sehingga berlaku

α(x 1 , x 2 ,..., x m ) + β(y 1 , y 2 ,..., y m )

= (α x 1 + β y 1 , α x 2 + β y 2 , ... , α x m + β y m ) ∈Rn.

Jadi Rm merupakan subruang dari Rn.

3. Ruang Linear Bernorma

             Dipunyai V ruang Linear atas R. Jika terdapat fungsi . :V → R

     yang memenuhi :

     a.       αx = α x

     b.       x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V

     c.       x+y ≤ x + y

     maka fungsi . disebut norma pada V.

                                                                        ( Wuryanto, 2003 : 36 )
                                                                                 11




Contoh A.1.3
                                                                           12
                                              ⎛ n 2⎞
Di punyai fungsi R → R yang didefinisikan x = ⎜ ∑ x i ⎟ untuk setiap
                       n

                                              ⎝ i =1  ⎠

vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n )∈ Rn adalah suatu norm pada ruang euclid Rn.

Tunjukkan fungsi tersebut merupakan suatu norm pada ruang euclid Rn?

Penyelesaian :

Ambil sembarang vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ),

        z = (z 1 ,z 2 ,..., z n ) ∈ R n dan skalar α ∈ R memenuhi:

a. Jelas αx = α x

                                 12                    12
                 ⎛ n     2⎞             ⎛    n
                                                  2⎞
     Karena αx = ⎜ ∑ αx i ⎟           = ⎜α 2 ∑ x i ⎟
                 ⎝ i =1   ⎠             ⎝ i =1     ⎠

                                                    12
                                         ⎛ n 2⎞
                                      = α⎜∑ xi ⎟            =α x
                                         ⎝ i =1 ⎠

                                                               12
                                        ⎛ n 2⎞
b.   x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = 0 sebab, x = ⎜ ∑ x i ⎟                   ≥ 0.
                                        ⎝ i =1  ⎠


     (⇐) jika x = 0 maka x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n), yang berakibat
                           12
                ⎛ n 2⎞
            x = ⎜ ∑ x i ⎟ = 0.
                ⎝ i =1  ⎠

                                                                    12

     (⇒ ) jika x = 0 maka dipunyai 0 = x = ⎛ ∑ x i 2 ⎞ , sehingga untuk
                                               n
                                           ⎜         ⎟
                                           ⎝ i =1    ⎠

                                               2
          setiap i dan 1 ≤ i ≤ n, haruslah xi = 0 yang berakibat x i = 0. Karena

          x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) ini berarati x = 0.
                                                                                                 12




c.    x+y ≤ x + y .

     Ditunjukan sebagai berikut

     Karena untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) berlaku

     (x i + yi )2 = (x i + yi )(x i + yi ) ≤ (x i + yi )((x i ) + (yi )) = (x i + yi )x i +(x i + yi )yi
     maka dengan memanfaatkan teorema Cauchy-Shcwarstz didapat

      n                   n                      n

     ∑ (x
     i =1
            i + y i ) ≤ ∑ (x i + y i )x i + ∑ (x i + y i )y i
                     2

                         i =1                   i =1


                                               12          12                       12            12
                        ⎛ n             2⎞ ⎛
                                               n
                                                  2⎞   ⎛ n             2⎞ ⎛
                                                                              n
                                                                                 2⎞
                      ≤ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎜ ∑ x i ⎟ + ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎜ ∑ y i ⎟
                        ⎝ i =1           ⎠ ⎝ i =1  ⎠   ⎝ i =1           ⎠ ⎝ i =1  ⎠


     dalam hal x i + y i ≠ 0 maka diperoleh

                        ⎛ n             2⎞
                        ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟            12         12
                                          ⎠ ≤ ⎛ x 2⎞ +⎛ y 2⎞
                                                  n          n
                        ⎝ i =1                ⎜∑ i ⎟     ⎜∑ i ⎟
                                         12
                       ⎛ n             2⎞     ⎝ i =1 ⎠   ⎝ i =1 ⎠
                       ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟
                       ⎝ i =1           ⎠

                                          12               12               12
                   ⎛ n             2⎞            ⎛ n 2⎞           ⎛ n 2⎞
                 ⇔ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟          ≤ ⎜ ∑ xi ⎟       + ⎜ ∑ yi ⎟
                   ⎝ i =1           ⎠            ⎝ i =1 ⎠         ⎝ i =1 ⎠

     Dengan kata lain diperoleh x + y ≤ x + y .

Berdasarkan ketiga point a, b dan c maka fungsi Rn → R yang

                                     12
                  ⎛ n 2⎞
didefinisikan x = ⎜ ∑ x i ⎟ untuk setiap vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n ) ∈ Rn
                  ⎝ i =1  ⎠

adalah ruang linear bernorma.
                                                                                      13




4. Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)

          Dipunyai V ruang linear atas lapangan real R. Jika terdapat

    fungsi     , :V × V → R sehingga untuk setiap vektor x,y,z ∈ V dan

    skalar α∈R memenuhi:

    a.       x, y = y, x

    b.       αx, y = α x, y

    c.       x, y + z = x, y + x, z

    d.       x, x ≥ 0 dan x, x = 0 ⇔ x = θ (θ vektor nol di V)

    Sehingga , merupakan ruang inner product.

                                                           ( Wuryanto, 2003 : 36 )



Contoh A.1.4

                                                                       n
R n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x, y = ∑ x i y i merupakan
                                                                      i =1


ruang inner product. Ditunjukan bahwa perkalian titik tersebut adalah

suatu    inner    product.        Dibentuk   fungsi , dari             R n × R n → R yang

                            n
didefinisikan x, y = ∑ x i y i untuk setiap vektor x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y =
                           i =1



(y 1 , y 2 ,..., y n ) di R n . Fungsi tersebut merupakan suatu inner product

pada R n sebab, untuk setiap vektor x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n )

di R n dan skalar real α memenuhi:

                                                    n           n
a. Jelas x, y = y, x oleh sebab, x, y = ∑ x i y i = ∑ y i x i = y, x .
                                                   i =1        i =1
                                                                                             14




     b. Jelas αx, y = α x, y oleh sebab,

                             n               n
                  αx, y = ∑ αx i yi = α ∑ x i y i = α x, y .
                            i =1            i =1



     c. Jelas x, y + z = x, y + x, z

                                    n                     n                n           n
          karena x, y + z = ∑ x i (y i + z i ) = ∑ (x i y i + x i z i ) =∑ x i y i + ∑ x i z i
                                   i =1                  i =1             i =1        i =1



                                                                       = x, y + x, z .

                                                 n
           x, x ≥ 0 oleh sebab x, x = ∑ x i > 0.
                                                     2
     d.
                                              i =1



     Jadi berdasarkan a, b dan c maka R n terhadap perkalian titik yang

                                    n
     didefinisikan x, y = ∑ x i y i untuk i = 1, 2, ... , n.
                                   i =1


B.   Ruang Vektor

     1. Ruang Vektor

          Definisi B.1

                  Sebuah ruang vektor V adalah sebuah himpunan dari objek x, y,

          z, .... yang disebut vektor. Satu vektor yang dikenal dinamakan vektor

          nol yang dinotasikan dengan θ. Untuk setiap vektor x dimana dikenal

          sebuah vektor –x, dinamakan invers dari x. Aksioma – aksioma yang

          mengikuti agar asumsi dari ruang vektor terpenuhi adalah

          a. Untuk setiap sepasang vektor x, y dimana penjumlahan vektor dari

              x, y dinotasikan x + y. Penjumlahan dari vektor harus memenuhi:
                    _   _    _       _
            i).     x + y= y + x.
                                                                                             15




                     _       _               _       _           _   _
          ii). ( x + y ) + z = x +( y + z ).

                 _                       _
          iii). x + 0 = x
                 _               _
          iv). x +(- x ) = 0.

     b. Untuk setiap skalar k dan setiap vektor x dimana perkalian vektor

          dari x oleh k dinotasikan kx. Perkalian vektor oleh skalar harus

          memenuhi:
                         _       _               _           _
          i). k( x + y )= k x + k y

                                     _           _       _
          ii). (k + j) x = k x + j x
                             _                   _
          iii). (kj) x = k(j x )
                     _               _
          iv). 1 x = x

          Pada b.i) simbol + memiliki dua arti yaitu untuk penjumlahan

     skalar dan vektor. Pada b.iii) memiliki dua arti yaitu perkalian dua

     skalar atau perkalian sebuah skalar dan sebuah vektor.

                                                                         ( Berberian, 1961 : 1 )

Contoh B.1.1

Tunjukan R n merupakan ruang vektor.

Penyelesaian :

Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan z = (z 1 ,

z 2 ,..., z n ) ∈ R n

             _           _
(a) Jelas x + y = (x 1 , x 2 ,...,x n ) + (y 1 , y 2 ,...,y n )
                                                                                                                     16




                              = (x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n )

                              = (y 1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n )

                              = (y 1 , y 2 ,...,y n ) + (x 1 , x 2 ,...,x n )

                                     _       _
                              = y+ x.

       _       _             _
(b) ( x + y ) + z =                      ( (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) ) + (z1 , z 2 ,..., z n )
                                 =       ( (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n ) )
                                 = (x1 , x 2 ,..., x n ) + ( (y1 , y 2 ,..., y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n ) )

                                         _        _   _
                                 = x +( y + z ).

(c) Pilih 0 = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) ∈ R n

                   _                         _                                                            _
     Jelas x + 0 = 0 + x = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) + (x 1 , x 2 ,..., x n ) = x .

(d) Pilih − x = (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) ∈ R n


                            ( )
                   _
     Jelas x + - x = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (-x 1 , -x 2 ,..., -x n )

                                     = (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0.

Ambil sembarang k, j ∈ R
           _       _
(e) k( x + y ) = k { (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) }

                                                                                                     _        _
                           = k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) + k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k x + k y .

                       _
(f) (k + j) x = (k + j) × (x 1 , x 2 ,...,x n )

                           = k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) + j × (x 1 , x 2 ,...,x n )

                                 _            _
                           = kx + jx.
                                                                                                                     17




          _
(g) (kj) x = (kj) × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k ( j× (x1 , x 2 , ... , x n ))

                                  _
              = k(j x ).
          _                                                                             _
(h) 1 × x = 1 × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = (x 1 , x 2 ,...,x n ) = x .

Karena aksioma ruang vektor R n dipenuhi, maka R n merupakan ruang

vektor.

    Teorema B.1
                                  _           _       _
              Jika x , y , z adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalah

    sebarang skalar, maka:
              _           _               _       _
    a.        x . y = y . x

                  _           _               _       _    _     _     _
    b.        (x + y) . z = x . y + y . z

                      _               _               _    _
    c.        (k x ) . y = k( x . y )

              _           _                                       _    _                                   _
    d.        x . x ≥ 0. Selanjutnya x . x = 0, jika dan hanya jika x = 0

    Bukti :
                                                  _                           _                                _
    Ambil sembarang x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan w = (w 1 ,

    w 2 ,..., w n )

                          _           _
    (a). Jelas x . y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n = y 1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n

                                                                                         _    _
                                                                                     = y. x

                              _           _       _
    (b). Jelas ( x + y ) . z = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) . (z 1 , z 2 ,..., z n )

                                                      = (x 1 + y 1 ) z 1 + (x 2 + y 2 ) z 2 ,...,( x n + y n ) z n
                                                                                                     18




                                =(x 1 z 1 +x 2 z 2 +...+x n z n )+(y 1 z 1 +y 2 z 2 +...+y n z n )

                                    _       _               _   _
                                = x .z + y .z

                  _        _
   (c). Jelas (k x ) . y = (kx 1 , kx 2 , ... , kx n ) . (y 1 , y 2 , ... , y n )

                               = k(x 1 , x 2 , ... , x n ) . (y 1 , y 2 , ... , y n )

                               = k(x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n )

                                        _       _
                               = k( x . y )

                                        _               _
   (d). Kita mempunyai x . x = x1 + x 2 + ... + x n ≥ 0 . Selanjutnya
                                2
                                      2           n



        kesamaan tersebut benar jika dan hanya jika x1 = x 2 = ... = x n = 0 ,

                                                    _
        yaitu jika dan hanya jika x = 0.

2. Hasil Kali Dalam (Inner Product) dan Norm

   Definisi B.2

          Jika V suatu ruang vektor, maka inner product adalah fungsi dari
                                                                          _   _              _   _
   V×V       ke       R,       didefinisikan                    dengan   ( x , y ) → x, y , ∀ x , y ∈V

   memenuhi aksioma berikut.

   a.       x , y ≥ 0 , ∀ x ∈ V.


   b.       x , x = 0 jika dan hanya jika x = 0 .


   c.       x , y = y . x ∀ x , y ∈ V.


   d.       x + y , z = x , z + y , z ∀ x , y , z ∈ V.


   e.       a x, y = a x, y = x, a y .
                                                                                                                   19




           Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam (inner

     product) dinamakan ruang hasil kali dalam.

                                                                                    ( Rochmad, 2000 : 24 )

Contoh B.1.2

                                                                               _        _         k
R n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x . y = ∑ x i y i merupakan
                                                                                                 i =1



ruang hasil kali dalam. Ditunjukkan perkalian titik tersebut adalah suatu

inner product. Dibentuk suatu fungsi R n × R n → R yang didefinisikan

                                           _                                        _
 x , y = x. y untuk setiap vektor x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan

skalar a di R n maka fungsi tersebut merupakan suatu inner product sebab

memenuhi aksioma dari ruang inner product.

Bukti
                                                       k                 k
a.    x , y = y . x sebab x , y = x . y =             ∑ x y =∑ y x
                                                      i =1
                                                               i    i
                                                                        i =1
                                                                                    i       i   = y. x = y , x .


b.    a x , y = a x , y sebab,


                (        )                                          ( )
                              k                 k
      a x , y = a x.y = ∑ a x i y i = a ∑ x i y i = a x.y = a x , y .
                             i =1              i =1



c.    x + y , z = x , z + y , z sebab


                     (        )
                                     k                        k
      x , y + z = x. y + z = ∑ x i (y i + z i ) = ∑ (x i y i + x i z i )
                                    i =1                     i =1
                                                              k                     k
                                                        = ∑ x i yi +∑ x i zi
                                                             i =1                  i =1

                                                        = x.y + x.z
                                                        = x.y + x.z
                                                                                    20




d. Jelas x , x = (x.x ) = 0 jika dan hanya jika x = 0 .

                                                                              k
e.    x , y > 0, andaikan x bukan vektor nol karena x , x = x.x = ∑ x i2 > 0
                                                                             i =1


                                                  _   _    k
Jadi R n perkalian titik yang didefinisikan x . y = ∑ xi yi merupakan ruang
                                                          i =1


hasil kali dalam.

Definisi B.3

          Jika V suatu ruang vektor, maka norm pada V adalah fungsi dari
                                 _
     V ke R dinyatakan dengan x → x yang memenuhi

                                 _
     a.       x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V.

     b.       α x =α x

     c.       x+y ≤ x + y

          Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm dinamakan ruang

     bernorm. Panjang suatu vektor x sering disebut sebagai norm x dan

                                     1
                                         2
     dinyatakan dengan x = x , x             =   x, x

                                                                 ( Rochmad, 2000 : 24 )

     Teorema B.2 ( Ketaksamaan Cauchy – Schwartz )

          Misalkan V suatu ruang inner product dalam R. Untuk setiap
              _       _
     vektor x dan y di V berlaku x , y ≤ x y .

     Bukti:
                  _
     a. Untuk y = 0 dipunyai x , y = 0 = x y .
                                                                                         21




                _
b. Untuk y ≠ 0

                        _
    Ambil vektor y dengan y = 1 dan vektor z = x − x , y y

                                       2
    Sehingga didapat 0 ≤ z = z, z


                                           = x − x , y y, x − x , y y

                                                           2
                                           = x, x − x, y

                            2      2
    Diperoleh x , y             ≤ x ⇔ x, y ≤ x

                        _
    Untuk vektor y dengan y > 0, sehingga diperoleh


            y
    . x,            ≤ x atau x, y ≤ x y
            y

    Jadi teorema diatas terbukti.

     Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy – Schwartz diatas
                                                                             _       _
dapat didefinisikan cosinus sudut antara dua vektor. Misalkan x , y di

                                           x, y
R n maka bilangan cos θ =                         disebut cosinus sudut antara vektor
                                       x . y

_                   _                                           _                _
x dan vektor y dan θ disebut sudut antara vektor x dan vektor y

     Dari pengertian cosinus sudut diatas dapat didefinisikan, jika dua
        _           _
vektor x dan y dikatakan saling tegak lurus jika x , y = 0 .
                                                                           22




      Telah diketahui jika dua vektor di R n tetap dapat dilihat sebagai

dua vektor yang terletak dalam sebuah bidang di R n . Maka dari itu

dipunyai teorema sebagai berikut.

Teorema B.3 (Ketaksamaan Segitiga)
                 _            _
      Misalkan x dan y dua vektor yang terletak di R n . Maka berlaku

                             x+y ≤ x + y

Bukti:

Dengan menggunakan teorema B.2 diperoleh

                         2
                 x+y = x+y . x+y

                                  _       _   _   _   _   _
                             = x.x + 2 x.y + y.y

                             ≤ x . x + 2 x . y + y.y

                                      2                       2
                             = x +2 x . y + y

             2
Atau x + y ≤ x + y(                   )
                                      2




Dengan mengambil akarnya diperoleh ketaksamaan segitiga.

Definisi B.4

      Dua titik (vektor) x,y ∈ R n dikatakan searah (sejajar) jika ada

bilangan k ∈ R, k ≠ 0 sehingga y = kx. Dengan kata lain x dan y tak

bebas linear. Pasangan n bilangan real {α 1 , α 2 ,..., α n } disebut bilangan

arah vektor x ≠ 0 jika

                      α1 : α 2 : Λ : α n = x 1 : x 2 : Λ : x n .
                                                                                                                             23




Dengan kata lain, ada bilangan l = ±                                                         x
                                                                    (α   1
                                                                             2
                                                                                 + α 2 + ... + α n
                                                                                         2                2
                                                                                                              )
                                                                                                              1
                                                                                                                  2




Sehingga, terdapat vektor α = (α 1 , α 2 ,..., α n ) yang komponennya

terdiri dari bilangan arah vektor x yang disebut vektor arah bagi vektor

x. Secara khusus, pasangan n bilangan real {λ1 , λ 2 ,..., λ n } disebut

                                                                                 x, ek            x, ek
cosinus arah vektor x jika λk = cosθk =                                                      =                    untuk setiap k
                                                                                 x ek              x

= 1, 2, ... , n dan (θ1 , θ 2 ,..., θ n ) disebut sudut arah vektor x.



Teorema B.4

Jika (λ1 , λ2 ,..., λn ) cosinus arah vektor x ≠ 0 maka

                       n

                      ∑λ              = λ1 + λ2 + ... + λn = l.
                                  2              2       2      2
                              k
                      k =1


Bukti :

                                           n
Diketahui                    x = ∑ x, e k e k                dengan              (e1 , e 2 ,..., e n )        dengan       basis
                                          k =1



orthonormal standart pada R n , didapat

     2
 x       = x, x

                  n                                  n
         =    ∑k =1
                           x, e k e k , ∑ x, e k e k
                                                 k =1


              n
         = ∑ x, e k
                                      2

             k =1


                                                                                              2
                                          ⎛ x, e k                  n                        ⎞    n
Karena x ≠ 0 ( x ≠ 0 ) diperoleh l = ∑ ⎜  ⎜ x
                                                                                             ⎟ = ∑ (λ1 )2
                                                                                             ⎟
                                     k =1 ⎝                                                  ⎠   k =1
                                                                                        24




        n
Atau   ∑λ
       k =1
              k
                  2
                      = λ1 + λ2 + ... + λn = l.
                          2    2         2




Selanjutnya vektor λ = {λ1 , λ 2 ,..., λ n } disebut vektor cosinus arah bagi

vektor x.

Jika vektor λ = {λ1 , λ 2 ,..., λ n } merupakan vektor cosinus arah, maka

 λ = l.

Jadi untuk setiap x ∈ R n , x ≠ 0 berlaku x1 : x 2 : ... : x n = λ1 : λ2 : ... : λn .

                                                  x1       x2             xn
Selanjutnya ada bilangan h sehingga                    =        = ... =        = h , dengan
                                                  λ1       λ2             λn

h=±x .

       Dari pemahaman tersebut diatas, disimpulkan sebagai berikut:

(a). Dua titik (vektor) x, y ∈ R n searah (sejajar) jika dan hanya jika x

       dan y mempunyai sudut arah yang sama jika dan hanya jika

       bilangan arah x sebanding dengan bilangan arah y.

(b). Terlihat bahwa (vektor) x ∈ R n mempunyai banyak sekali

       bilangan arah, tetapi setiap dua bilangan arah sebanding. Oleh

       karena itu, jika vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) dengan salah satu

       bilangan arahnya adalah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan cosinus arah vektor x

                                                                α , ek  λ
       adalah {λ1 , λ 2 ,..., λ n } dengan λk = cos θ k =              = k berarti
                                                                α e   k
                                                                         α

       α1 : α 2 : Λ : α n = λ1 : λ2 : Λ : λn .
                                                                                      25




Definisi B.5

      Himpunan x = {x1 , x 2 ,..., x k } ⊂ R n dari ruang inner product

disebut himpunan orthonormal jika himpunan tersebut adalah

himpunan orthogonal dan x i = 1, ∀i di x.

                                                                   ( Arifin, 2001 : 106 )



Definisi B.6

      Himpunan x = {x1 , x 2 ,..., x k } ⊂ R n dengan x i ≠ 0 dari ruang inner

product disebut himpunan orthogonal jika x i ≠ y j , untuk setiap i ≠ j.

                                                                   ( Arifin, 2001 : 106 )

Teorema B.5

Setiap himpunan orthogonal, bebas linear

Bukti:

Bentuk α1x1 + α 2 x 2 + ... + α n x n = 0, dengan α1 , α 2 ,..., α n ∈ R .

Ambil sembarang Li, dengan (1 ≤ i ≤ n ) , diperoleh:

 x (i ) , α1x (1) + α 2 x (2 ) + ... + α n x (n ) = x,0 = 0

Karena

                                                              2
 x (i ) , x j = 0, untuk i ≠ j dan x (i ) , x ( j) = x (i )       = 0, untuk i = j.

                       2
Diperoleh α i x (i ) = 0 dan berakibat α i = 0 untuk L diatas.

Karena i sembarang, diperoleh α1 , α 2 ,..., α n = 0

                       {                     }
Dengan kata lain x (1) , x (2 ) ,..., x (n ) bebas linear.
                                                                                           26




Akibat dari teorema B. 5

Setiap himpunan orthonormal bebas linear.

Bukti:

Bentuk himpunan orthonormal                     (e1 , e 2 ,..., e n ) terdiri    dari n vektor

dengan e k = (0,0,...,1,0,...,0) ∈ R n . Komponen ke-k sama dengan L.

Diperoleh pengertian bahwa untuk setiap vektor x = (x 1 ,

x 2 ,...,x n ) ∈ R n .

Sehingga x = (x 1 , 0,...,0) + (0, x 2 ,...,0) + ...+ (0, 0,...,x n )

⇔ x = x 1(1, 0,...,0) + x 2 (0, 1,...,0) + ...+ x 2 (0, 0,...,1)

                                     n
⇔ x = x1e1 , x 2 e 2 ,..., x n e n = ∑ x i ei
                                    i =1



Jadi himpunan orthonormal (e1 , e 2 ,..., e n ) membangun Rn. Oleh karena

(e1 , e 2 ,..., e n ) bebas linear, maka dia merupakan basis bagi Rn. Karena
himpunan orthonormal ini mempunyai elemen sebanyak n maka

diperoleh bahwa ruang vektor Rn berdimensi n.

Selanjutnya himpunan orthonormal                         (e1 , e 2 ,..., e n )   disebut basis

orthonormal standart bagi ruang vektor Rn.

Akibat

Setiap (n+1) vektor di dalam Rn tak bebas linear.

Teorema B.6

Untuk setiap vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) ∈ R n , dengan (e1 , e 2 ,..., e n ) basis

orthonormal standart, maka x k = x, e k , ∀k .
                                                                                         27




Bukti:

Diambil sebarang ek (1 ≤ k ≤ n )

Dengan inner product x ∈ R n , diperoleh

 x, e k = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n , e k = 0 + 0 + ... + x k e k , e k + 0 + ... + 0
          = x k ek , ek = x k



Teorema B.7

                                                         n
Setiap x ∈ R n dapat dituliskan menjadi x = ∑ x k , e k e k
                                                        k =1


Bukti:

Diket (e1 , e 2 ,..., e n ) basis orthonormal standart Rn, maka untuk setiap x

= (x 1 , x 2 ,...,x n ) ∈ R n dengan x 1 , x 2 ,...,x n ∈ R berlaku

                                                                n
                          x = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n = ∑ x i ei
                                                               i =1



Karena          x k = x, e k untuk         setiap        k (1 ≤ k ≤ n ) .      Diperoleh

      n
x = ∑ x k , ek x k
     k =1


      Telah diketahui bahwa di dalam ruang berdimensi n, sebarang

vektor (titik) dapat dihadirkan sebagai kombinasi linear dari n vektor

(titik) yang termasuk di dalam basis ruang Rn. Berikut ini akan

dihadirkan mengenai vektor (titik) yang dihadirkan sebagai kombinasi

linear dari dua vektor (titik). Hal ini dituangkan dalam teorema berikut.
                                                                                  28




Teorema B.8

Jika diberikan dua vektor (titik) x, y ∈ R n tidak sama dengan nol maka
                             x
ada vektor-vektor y1 , y 2 ∈ R n sehingga y1 = k y untuk suatu skalar k,

                                                                        x, y
y1 ⊥ y 2     dan       x = y1 + y 2    lebih lanjut dengan       y1 =       2
                                                                                y dan
                                                                        y


            x, y
y2 = x -         2
                      y.
            y



                 y2
                            y

                        y1
                 Gambar 2.1

Bukti :

Diasumsikan teorema diatas berlaku

Jadi akan ditentukan bilangan k ∈ R dengan y1 = k y dan vektor-vektor

y1 , y 2 ∈ R n       yang saling orthogonal sehingga         x     dapat ditulis

sebagai x = y1 + y 2 , berarti didapat y 2 = x − y1 . Selanjutnya dilakukan

inner product antara vektor x vektor y, didapat

                  x , y = y1 + y 2 , y


                           = ky + y2 , y

                                 2
                           = k y + y2 , y
                                                                                                29




         Karena y 2 ⊥ y maka y 2 , y = 0 , sehingga persamaan ini menghasilkan

                                            x, y
                                       k=        2
                                             y


                                                     x, y
         Karena y1 = k y diperoleh y1 =                  2
                                                             y
                                                     y


                                                                 x, y
         Dengan demikian diperoleh juga y 2 = x -                    2
                                                                         y.
                                                                 y

C.   Ruang Metrik

         Definisi C.1.

                Misalkan X ≠ φ . Fungsi d : X × X disebut metrik pada X jika

         memenuhi aksioma - aksioma sebagai berikut.

         (M1) d(x,y) ≥ 0, untuk setiap x, y∈ X,

                d(x,y) = 0 ⇔ x = y.

         (M2) d(x,y) = d(y,x), untuk setiap x, y ∈ X.

         (M3) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z ∈ X.

                                                                              ( Ruckle, 1961 : 47 )

     Contoh C.1.1

     Buktikan      bahwa          fungsi     d: R n × R n → R             yang       didefinisikan

                                  12
             ⎛ n             2⎞
     d(x,y)= ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟        memenuhi semua sifat metrik.
             ⎝ i =1           ⎠

     Penyelesaian :

     1. d memenuhi M1, sebab
                                                                                    30




                                      1
         ⎛ n             2⎞
                                          2
d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟                   ≥ 0 , jelas karena (x i − y i ) ≥ 0
                                                                           2

         ⎝ i =1           ⎠

(⇒ ) dipunyai d(x,y) = 0, ditunjukkan x = y.
                                                            1
                      ⎛ n             2⎞
                                                                2
      karena d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟
                      ⎝ i =1           ⎠

                      n

                    ∑ (x             − yi ) = 0
                                               2
      berakibat                  i
                     i =1



      berakibat (x i − y i ) = 0 ∀i = 1, 2, ... , n
                                          2




      sebab andaikan ∃ i ∋ (x i − y i ) > 0
                                                        2



                             n
      berakibat 0 = ∑ (x i - y i ) > 0
                                                   2

                            i =1


      diperoleh fakta 0 > 0, kontradiksi.

      jadi x i − y i = 0 ∀i = 1,2,..., n

      Jadi x = y.

(⇐) dipunyai x = y, ditunjukkan d(x,y) = 0
      karena x = y maka x i = y i ∀i = 1,2,..., n

      berakibat x i − y i = 0 ∀i = 1,2,..., n

      berakibat (x i − y i ) = 0 ∀i = 1,2,..., n
                                          2



                     n

                  ∑ (x               − yi ) = 0
                                              2
      berakibat              i
                    i =1


                                                   12
                ⎛ n             2⎞
      berakibat ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ = 0
                ⎝ i =1           ⎠

      jadi d(x,y) = 0.
                                                                          31




Jadi d memenuhi M1.

2. Ditunjukkan d memenuhi M2

   d(x,y) = d(y,x) untuk setiap x,y di R
                                          12
                     ⎛ n             2⎞
   dipunyai d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟
                     ⎝ i =1           ⎠

                                    12                               12
                 ⎛ n             2⎞   ⎛ n                 2⎞
   maka d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ = ⎜ ∑ (− (x i − y i )) ⎟
                 ⎝ i =1           ⎠   ⎝ i =1               ⎠

                                                            12
                                           ⎛ n             2⎞
                                         = ⎜ ∑ (y i − x i ) ⎟
                                           ⎝ i =1           ⎠

                                         = d(y,x).

3. Ditunjukkan d memenuhi M3

   d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z ∈ R
                                          12
                     ⎛ n             2⎞
   dipunyai d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟
                     ⎝ i =1           ⎠

                    = x i − yi

                    = x i − z + z − yi

                    ≤ x-z + z-y
                                         12                     12
                      ⎛ n             2⎞   ⎛ n             2⎞
                    = ⎜ ∑ (x i − z i ) ⎟ + ⎜ ∑ (z i - y i ) ⎟
                      ⎝ i =1           ⎠   ⎝ i =1           ⎠
                    = d(x, z) + d(z, y).

   Jadi d memenuhi M3.
                              12
              ⎛ n             2⎞
Jadi d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ merupakan suatu metrik.
              ⎝ i =1           ⎠
                                 BAB III

                        METODE PENELITIAN



A.   Kajian Pustaka

              Terdapat materi yang menarik terkait dengan bidang geometri

     yang mungkin pernah disinggung dalam perkuliahan tapi tidak diangkat

     dalam bentuk tulisan yaitu mengenai garis dan bidang dalam ruang

     berdimensi n.

              Dengan melakukan telaah pustaka dari berbagai referensi yang

     ada dan melakukan konfirmasi dan konsultasi dengan dosen           yang

     membidangi masalah tersebut membuahkan gagasan untuk menuliskannya

     dalam bentuk skripsi.



B.   Perumusan Masalah

              Dengan menemukan tema yang cocok, langkah selanjutnya

     adalah merumuskan masalah dari tema yang diangkat tersebut sesuai

     dengan bahasan yang akan digunakan dengan bantuan dosen pembimbing.

     Perumusan masalah dinyatakan dalam bentuk pernyataan yang singkat dan

     jelas sehingga mudah untuk dipahami.



C.   Pemecahan Masalah

              Pada tahap ini, dilakukan analisis dari permasalahan yang telah

     dirumuskan dengan didasari teori dan argumentasi yang tepat. Pemecahan
                                                                        34




     masalah ini meliputi penjelasan tema yang telah ditetapkan dan

     pembahasan mengenai masalah yang telah diungkapkan sebelumnya

     secara lengkap dengan landasan teori yang ada, tentunya dengan

     menggunakan referensi yang ada di samping hasil olahan kajian penulis

     sendiri disertai konsultasi dengan dosen pembimbing.

              Dalam proses pemecahan masalah ini, diterangkan berbagai cara

     menyelesaikan masalah dengan pendekatan yang ditetapkan sebelumnya

     berdasarkan landasan teori yang sudah ada.



D.   Penarikan Kesimpulan

              Hasil dari pembahasan ini dituangkan dalam bentuk simpulan

     akhir yang menyimpulkan secara umum pemecahan masalah tersebut.

     Simpulan ini dijadikan sebagai hasil kajian akhir dan merupakan hasil

     akhir dari proses penulisan skripsi.
                                             BAB IV

                                    PEMBAHASAN



A.   Titik

                   Titik adalah bentuk yang paling sederhana dari geometri, ini

     dikarenakan titik hanya digunakan untuk menunjukkan posisi. Dalam

     ruang euclid dimensi n titik disimbolkan sebagai pasangan terurut bilangan

     real yang biasa dinotasikan dengan, misalkan titik A pada Rn yaitu

     A (x1 , x 2 ,..., x n ) .

                   Telah ditunjukkan bahwa d: R n × R n → R yang didefinisikan

                                   12
              ⎛ n             2⎞
     d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟        memenuhi semua sifat metrik. Jadi jarak antara
              ⎝ i =1           ⎠

                                                                                   12
                                                   ⎛ n             2⎞
     dua titik x i ∈ R dan y i ∈ R adalah d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟
                             n           n

                                                   ⎝ i =1           ⎠

                                                 =   (x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + ... + (x n − y n )2 .
     Contoh A.4.1

     1. Misal A(2, 5, 8) dan B(4, 5, 6) hitung jarak antara titik A dan B.

          Penyelesaian :
                                        12
                   ⎛ n             2⎞
          d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ =          (x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + (x 3 − y3 )2
                   ⎝ i =1           ⎠

                                             =   (2 − 4)2 + (5 − 5)2 + (8 − 6)2    = 5.

     2. Misal A(4, 6, 8, 10) dan B(3, 2, 5, 4) hitung jarak antara dua titik

          tersebut.
                                                                                                          36




        Penyelesaian :
                                          12
                 ⎛ n             2⎞
        d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟
                 ⎝ i =1           ⎠

                =    (x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + (x 3 − y3 )2 + (x 4 − y 4 )2

                =     (4 − 3)2 + (6 − 2)2 + (8 − 5)2 + (10 − 4)2

                =     62 .

B.   Garis Lurus Real (Real Line)

     1. Persamaan Garis Lurus-n

        Diberikan X adalah ruang Euclid dan x 1 , x 2 ∈ X atas lapangan R.

        Himpunan G = {x ∈ X : x - x1 = t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R} disebut garis lurus

        (real line), dengan syarat keanggotaannya adalah

               x - x1 = t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R

        Jadi x = x1 + t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R .

        Jika                              X                               =                              Rn,

        x (1) = (a1 , a 2 , ..., a n ) ∈ R n dan x (2 ) = (b1 , b 2 , ..., b n ) ∈ R n maka persamaan

        garis real yang melalui x (1) dan x (2 ) adalah

                     (               )
        x - x (1) = t x (2 ) − x (1) ⇔ (x1 ,..., x n ) − (a1 ,..., a n ) = t{ (b1 ,..., b n ) − (a1 ,..., a n ) }


                                  ⇔ (x 1 - a 1 ,..., x n − a n ) = t{(b1 − a 1 ,..., b n − a n )}


                                  ⇔ t=
                                            (x1 − a1 ,..., x n − a n )
                                            (b1 − a1 ,..., b n − a n )

                                  ⇔t=
                                           (x1 − a1 ) = (x 2 − a 2 ) = ... = (x n − a n ) .
                                           (b1 - a1 ) (b 2 - a 2 )           (b n - a n )
                                                                                 37




         Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa garis lurus-n yang

   melalui       atau   memuat    titik     x (1) dan     mempunyai         bilangan

   arah {α1 , α 2 ,..., α n } mempunyai persamaan dalam bentuk parametrik

   adalah

                                                    x1 = a 1 + α1t

                                                    x 2 = a 2 + α2t

                                                   ......................

                                                    Xn = an + αnt .

   Jadi persamaan parametrik garis lurus di R n adalah X n = a n + α n t .

Contoh B.4.1

a. Tulis persamaan parametrik untuk garis h yang melalui titik A(3, 0, -1,

   2) dan titik B(2, -1, 4, 6).

   Penyelesaian :

   Karena bilangan arah α = AB = (-1, -1, 5, 4) sejajar g dan A(3, 0, -1, 2)

   terletak pada g, maka persamaan parametriknya garis g adalah

    x = 3 – t,     y = – t,   z = –1 – 5t dan w = 2 + 4t

b. Tulis persamaan parametrik untuk garis g yang melalui titik A(2, 4, -1)

   dan titik B(5, 0, 7).

   Penyelesaian :

   Karena bilangan arah α = AB = (3, -4, 8) sejajar garis g dan A(2, 4, -1)

   terletak pada garis g, maka persamaan parametriknya

   x = 2 + 3t, y = 4 – 4t dan z = –1 + 8t
                                                                                     38




2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n

         Diberikan dua garis lurus-n g dan h dengan bilangan arahnya

   berturut-turut adalah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan (β1 , β 2 ,..., β n ) . Selanjutnya,

   jika x, y ∈ g dan u, v ∈ h maka vektor x-y dan vektor u-v berturut-turut

   sejajar dengan bilangan arah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan (β1 , β 2 ,..., β n ) . Oleh

   karena itu, sudut antara g dan h sama dengan sudut antara vektor x-y

   dan vektor u-v. Jadi, jika θ sudut antara g dan h diperoleh rumus

                        α, β  α β + α 2 β 2 + ... + α n β n
              cos θ =        = 1 1                          .
                        α β            α β

                              1                           1
              ⎛ n 2⎞              2
                                              ⎛ n 2⎞          2
   Dengan α = ⎜ ∑ α i ⎟               dan β = ⎜ ∑ β i ⎟
              ⎝ i =1  ⎠                       ⎝ i =1  ⎠

   Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut

   a. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h sejajar (g // h) jika dan hanya

       jika mempunyai bilangan arah yang sebanding.

                     α1 α 2        α
                       =    = ... = n .
                     β1 β 2        βn

   b. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h saling tegak lurus (g ⊥ h) jika

       dan hanya jika

                      α , β = 0 atau α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0 .

   Contoh B.4.2

   1). Tentukan besar sudut dua garis lurus-n, jika diketahui

       g: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = –1 + 8t, w = 3 + 6t

       h: x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = – 3 – 7t, w = 5 + 2t
                                                                           39




   Penyelesaian:

   Karena bilangan arah g: (3, –4, 8, 6) dan garis h: (4, 5, –7, 2)

                       α,β  α β + α 2 β 2 + ... + α n β n
   maka cos θ =            = 1 1
                       α β           α β


                  =
                          (3 × 4) + ((− 4)× 5) + (8 × (− 7 )) + (6 × 2)
                        32 + (− 4 ) + 82 + 6 2 + 4 2 + 52 + (− 7 ) + 2 2
                                   2                                 2


                          − 52
                  =                = −0,48 = 118,69 0.
                      11,18 × 9,69

2). Diberikan persamaan parameter garis g: x = 3 – t, y = – t, z = –1 –

   5t, w = 2 + 4t dan garis h: x = 2 – 5t, y = – 1 – 2t, z = 4 + 3t, w = 6

   + t. Tentukan besar sudut antara kedua garis tersebut?

   Penyelesaian:

   Bilangan arah g: (-1, -1, 5, 4) dan garis h: (-5, -2, 3, 1) sehingga

              α, β
    cos θ =
              α β

              α 1 β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n
          =
                          α β


          =
                  ((− 1)× (− 5)) + ((− 1)× (− 2)) + (5 × 3) + (4 ×1)
                (− 1)2 + (− 1)2 + 52 + 42 + (− 5)2 + (− 1)2 + 32 + 12
                 26
          =            = 0,66 = 48,66 0.
              6,56 × 6

3). Tunjukan garis g dan h sejajar jika x = 6 + 3t, y = 4 – 2t, z = –2 +

   4t, w = 4 – 6t adalah persamaan parametrik garis h dan persamaan

   parametrik garis g adalah x = 2 – 6t, y = 4 + 4t, z = –2 – 8t, w = 6 +

   12t.
                                                                          40




       Penyelesaian:

       Bilangan arah dari g adalah (3, –2, 4, –6) dan h adalah (–6, 4, –8,

       12).

                3    −2 4 −6
       Maka        =    =    =   . Jadi kedua bilangan arah tersebut
                −6    4   − 8 12

       sebanding sehingga garis g dan h sejajar.

   4). Tunjukan garis g dan h tegak lurus jika x = 1 + t, y = 4 + 8t, z = 3 –

       9t adalah persamaan parametrik garis h dan x = 2 – 6t,        y=4+

       3t, z = –2 + 2t persamaan parametrik garis g.

       Jawab:

       Bilangan arah dari g adalah (1, 8, –9) dan h adalah (–6, 3, 2).

       Kedua garis tersebut tegak lurus jika α , β = 0 .

       Diperoleh α , β = (1× (− 6 )) + (8 × 3) + ((− 9 )× 2 ) = 0

       Jadi kedua garis tersebut saling tegak lurus.

3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n

         Jarak antara sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g

   adalah jarak terdekat antara titik a dengan setiap titik x ∈ g, yang

                  ( )            {( )       }
   dinotasikan d a , g = inf d a , x : x ∈ g .

                             1
                                                 ( )      ( ) 1
         Jadi terdapat x ∈ g sehingga d a , g = d a , x . Perlu diingat

                         1
   bahwa vektor a – x saling tegak lurus dengan arah g.
                                                                          41




                    a   .
                    ( )
               d = a, g                                .
                                                       b
                                                              g

                                    1
                                x

                                Gambar 4.1



Teorema 3.1

Jika diberikan sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g

dengan bilangan arah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan suatu titik b ∈ g, maka jarak

antara titik a dan g adalah

                                        a - b, α
                    ( ) ( )
                   d a, g = a - b −           2
                                                   α
                                          α

Bukti

Akan ditentukan jarak antara titik a dan garis lurus-n g (ditulis:

d( a ,g)). Diketahui titik b ∈ g. Dibentuk vektor a − b ≠ 0 , maka d( a ,g)

adalah besar (norm) dari komponen orthogonal vektor a − b terhadap

vektor arah α dengan a − b = α1 + α 2 , α1 = kα , k ≠ 0.

Dengan kata lain diperoleh

                    a - b, α
 ( ) ( )
d a, g = a - b −            2
                                α .
                        α

Terbukti.
                                                                           42




4. Jarak Antara Dua Garis Lurus-n

   Definisi

   Jarak antara dua garis lurus-n adalah jarak terpendek antara titik – titik

   pada salah satu garis lurus-n dengan titik – titik pada garis lurus-n

   lainya. Dari definisi diatas jika diketahui dua garis lurus-n g dan h,

   maka jarak antara g dan h dapat ditulis

                                               {( )
                                  d(g,h) = inf d x, y : x ∈ g, y ∈ h   }
   a. Jarak antara dua garis lurus-n yang sejajar

      Ambil dua garis lurus-n yang sejajar g dan h.

      Misal g : x = a + t α , t ∈ R

              h : y = b + t α , t ∈ R.

      Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈ g dan b ∈ h.

      Dibentuk vektor b – a dengan vektor arah α diperoleh

                                               b - a,α
                            ( ) ( )
                          d a, h = b - a −          2
                                                         α .
                                                α

      Dengan kata lain, didapat jarak antara garis lurus-n g dan h adalah

                          d(g,h) = d( a ,h).

   b. Jarak antara dua garis lurus-n yang bersilangan

      Ambil dua garis lurus-n yang bersilangan g dan h.

      Misal g : x = a + t α , t ∈ R dan h : y = b + t β , t ∈ R.

      Ambil satu titik di g, misal a ∈g
                                                                                     43




      Karena pada setiap titik di garis lurus-n h dapat dibuat garis lurus-n

      yang sejajar g dan melalui titik b i sehingga dapat dibentuk

      himpunan sebagai berikut

                               {
                         h i = y ∈ R n : y = b i + tα , t ∈ R   }
      Dimana h i untuk setiap i = (i = 1, 2, 3,...) adalah garis lurus-n yang

      memotong h dan sejajar g. Sehingga jarak garis lurus-n g dan garis

      lurus-n h adalah

                                                                a - bi , α
                                       ( )           (   )
                         d (g, h i ) = d a , h i = a - b i −            2
                                                                             α
                                                                    α

                                           { ( ) }.
      Dengan kata lain d (g, h i ) = inf d a , h i



Contoh B.4.3

               z
                   H                   G
                                                             A(4, 0, 0)          E(4, 0, 8)

           E                       F                         B(4, 6, 0)          F(4, 6, 8)

                                                             C(0, 6, 0)          G(0, 6, 8)
                   D                   C             y
                                                             D(0, 0, 0)          H(0, 0, 8)
          A                     B
  x
                         Gambar 4.2

1). Pada sebuah balok pada gambar 4.1 hitung

      (a). Jarak titik A terhadap garis BC.

      (b). Jarak garis BC terhadap garis AD.
                                                                                  44




Penyelesaian:

(a). Misal garis BC ≡ g

   Maka bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0) = α .

               (   )         (        )
   Karena a − b ≡ AC ⇒ a − b = (0, 6, 0) − (4, 0, 0) = (− 4, 6, 0 )


                                              a - b, α
                       ( ) ( )
   Jadi d(A, BC) = d a , g = a - b −                2
                                                         α
                                                α


                                                   (− 4,6,0), (− 4,0,0)
                            = (− 4,6,0 ) −                                2
                                                                              × (− 4,0,0 )
                                               ⎛
                                               ⎜    (− 4) + 0 + 0 ⎞
                                                         2     2
                                                                  ⎟ 2
                                               ⎝                  ⎠
                                               16 + 0 + 0
                            = (− 4,6,0 ) −                × (− 4,0,0 )
                                                  16
                            = (− 4,6,0 ) − (− 4,0,0 ) = (0,6,0 )
                            = 62

                            = 6.



(b). Misal BC ≡ g dan AD ≡ h

   Sehingga bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0)
        (1)
   = α dan bilangan arah h = (0, 0, 0) - (4, 0, 0) = (–4, 0, 0) =

     (2 )
   α .

   Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈g dan b ∈h

               (   )         (        )
   Karena b − a ≡ AB ⇒ b − a = (4, 6, 0 ) − (4, 0, 0 ) = (0, 6, 0 )


                            b - a,α
              ( ) ( )
   Jadi d a , h = b - a −        2
                                          α
                             α
                                                                                                    45




                                      (0,6,0), (- 4, 0, 0)
                  = (0,6,0 ) −                                   2
                                                                     × (− 4,0,0 )
                                  ⎛
                                  ⎜   (− 4) + 0 + 0 ⎞
                                             2
                                                    ⎟2       2
                                  ⎝                 ⎠

                                   = (0,6,0 )
                                   = 02 + 62 + 02 = 6



C.   Bidang Datar-n

     1. Persamaan Bidang Datar-n

                                         ( )
        Diberikan x ∈ R n , dan x - a , dengan a adalah vektor tetap di Rn.

                              {
        Himpunan V = x ∈ R n , x - a ⊥ a    ( ) }
                              {              ( )
                           = x ∈Rn : x - a ,a = 0                    } Disebut hyperplane di R  n




        Karena          x - a, a = 0


                   ⇔ x, a − a, a = 0


                   ⇔ x, a = a, a

                                        2
                   ⇔ x , a = a ......... disebut                     persamaan        bidang   datar-n

                  (hyperplane).

        Jika x = (x1 , x 2 ,..., x n ) dan a = (a 1 , a 2 ,..., a n )

        maka persaman bidang datar-n berbentuk

                                                                                n
          a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = a1 + a 2 + ... + a n ⇔ ∑ a i x i = γ .
                                                 2       2               2

                                                                               i =1
                                                                                46




   Contoh C.4.1

   (a) Tulis persamaaan bidang datar di R 3 , R 4 , R 5

      Penyelesaian:

      Persamaan bidang datar di R 3 , artinya n = 3 diperoleh

         a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = γ ⇔ Ax + By + Cz = D .

      Persamaan bidang datar di R 4 , artinya n = 4 diperoleh

         a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 = γ ⇔ Ax + By + Cz + Dw = E .

      Persamaan bidang datar di R 5 , artinya n = 5 diperoleh

         a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 = γ ⇔ Ax + By + Cz + Dw + Eu = F
        .

2. Persamaaan Hesse Bidang Datar-n

   Persamaan Hessee bidang datar-n adalah persamaan bidang datar-n

   dengan norm vektor arah sama dengan satu. Jika bidang datar-n V

                                         1          1
   dengan persamaan a , x = c ⇔            a, x = c
                                         a          a


                                           a      c
                                     ⇔       ,x =
                                           a      a


                                     ⇔ λ,x =p

                                                                   a , ek
   Jadi persamaan Hesse : λ , x = p dengan λk = cosθ k =
                                                                      a

3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n

   Jika a adalah vektor arah dan sekaligus titik yang termuat di V, maka

   persamaan bidang datar-n V menjadi
                                                                                   47




                          V : a , x − a = 0 atau V : a , x = a a


                                                       a
             Jadi persamaan Hesse dari V adalah          ,x = a
                                                       a

             Hal ini menunjukkan bidang jarak titik O terhadap bidang datar-n

             d (O, V ) = a .

             a. Jarak titik O terhadap bidang datar-n V

                 Jika bidang datar-n V mempunyai persamaan umum a , x = c ,

                 maka jarak V terhadap titik O adalah

                                                 c
                                   d (O, V ) =
                                                 a




             b. Jarak titik a ∈ Rn terhadap bidang datar-n V

                 Diberikan sebarang titik a ∈ Rn dan bidang datar-n V: α , γ = c

                 Maka jarak antara titik a dengan V adalah

                               α,a −γ
                 d(a, v ) =
                                 α

                 Bukti:

                 Bidang datar-n V : α , γ = c ⇔ λ , γ − p = 0

                                        a   V1                    α         c
                                                     dengan λ =     dan p =
                                                                  α         α
d(a,V) = d                                  a–x
                α                           V
                       x
                     gambar 4.3
                                                                 48




Ditentukan d(a,V)

Melalui a dibuat bidang datar-n V1 // dengan V

Jarak V dan V1 terhadap O sebut d

Jadi persamaan bidang datar-n V1 adalah

V1 = λ , x − p ± d = 0

Bidang datar-n melalui a, diperoleh

V1 = λ , a − p ± d = 0

Karena d(a,V) = d, diperoleh

                                α,a − c
d=    λ , x − p ⇔ d(a, V ) =               . Terbukti
                                    a

di R3 : V ≡ Ax +By + Cz + D = 0 dan P(x1, y1, z1)

       maka jarak P terhadap V

                    Ax1 + By1 + Cz1 + D
       d(P,V) =
                         A 2 + B2 + C 2

di R4 : V ≡ Ax1 +Bx2 + Cx3 + Dx4 + E = 0 dan P(v1, x1, y1, z1)

       maka jarak P terhadap V

                    Av1 + Bx1 + Cy1 + Dz1 + E
       d(P,V) =
                         A 2 + B2 + C 2 + D 2
                                                                                          49




Contoh C.4.3

                z
                                                    G
                    H
                                                                         A(4, 0, 0)   E(4, 0, 4)
        E                                   F
                                                                         B(4, 4, 0)   F(4, 4, 4)

                                                                         C(0, 4, 0)   G(0, 4, 4)

                    D                           C               y        D(0, 0, 0)   H(0, 0, 4)

          A                             B
  x


                Gambar Kubus 4.4

(a) Tentukan jarak titik E terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ?

      Penyelesaian:

      Persamaan Bidang BDG

      a = CE = ( 4, -4, 4 ) = ( 1, -1, 1 ) dan a ⊥ BDG

                         (
      Sehingga a , x − b = 0        )
      ⇔       (a , x ) − (a , b)        =0


      ⇔ a,x = a,b


      ⇔       ( 1, - 1, 1 ) , x     =    ( 1, - 1, 1 ) , ( 4, 4, 0 )

      ⇔       ( 1, - 1, 1 ) , x     =0

      Jarak titik E terhadap bidang BDG :

                                  (1, - 1, 1) , (4, 0, 4) − 0          8 3
      d( E, BDG ) =                                              =         .
                                      12 + (− 1) + 12                   3
                                                    2
                                                                                 50




(b) Tentukan jarak titik A terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ?

   Jawab:

   Persamaan Bidang BDG

   BD = (-4, -4, 0), BG = (4, 0, 4) dan DG = (0, 4, 4)

   Misalkan a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) dan a ⊥ BDG

   Sehingga berlaku            a , BD = 0


                                a , BG = 0


                                a , DG = 0

   Maka

     a , BD =      (- 4, - 4, 0) , (a 1 , a 2 , a 3 )   = −4a 1 − 4a 2 = 0 ….……..(1)




     a , BG =       (4, 0, 4) , (a 1 , a 2 , a 3 )   = 4a 1 + 4a 3 = 0 …………….(2)




     a , DG =       (0, 4, 4) , (a 1 , a 2 , a 3 )   = 4a 2 + 4a 3 = 0 ……...….…(3)


   Dari (1), (2) dan (3) diperoleh a = ( a 1 , a 2 , a 3 )

                                                = (1, -1, 1)

                    (
   Sehingga a , x − d = 0   )
   ⇔     (a , x ) − (a , d )    =0


   ⇔ a,x = a,d
                                                                                               51




   ⇔     ( 1, - 1, 1 ) , x    =    ( 1, - 1, 1 ) , ( 0, 0, 0 )

   ⇔     ( 1, - 1, 1 ) , x    =0

   Jarak titik A terhadap bidang BDG :

                             (1, - 1, 1) , (4, 0, 0) − 0               4 3
   d( A, BDG ) =                                                  =        .
                                 12 + (− 1) + 12                        3
                                               2




(c) Tentukan jarak A(2, 4, -3, 0) terhadap bidang yang melalui empat

   titik yaitu B(1, 3, -5, 2), C(3, 4, -1, 4), D(4, -2, 1, 0) dan E(2, 4, -3,

   0)?

   Penyelesaian:

   Persamaan bidang datar-n di R4

   BC = (2, 1, 4, 2), BD = (3, -1, 6, 2)

   CD = (1, -2, 2, -4), BE = (1, 1, 2, 2)

   Misalkan a = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) dan a ⊥ BCDG

   Sehingga berlaku            a , BC = 0                a , DE = 0


                                a , BE = 0               a , BD = 0

   Maka

   1.    a , BC =       (2, 1, 4, 2) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )       = 2a 1 + a 2 + 4a 3 + 2a 4 = 0


   2.    a , BD =       (3, - 1,   6, 2 ) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = 3a 1 − 1a 2 + 6a 3 + 2a 4 = 0


   3.    a , BE =       (1, 1, 2, 2) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )       = a 1 + a 2 + 2a 3 + 2a 4 = 0


   4.    a , CD =       (1, - 2, 2, - 4) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )      = a 1 − 2a 2 + 2a 3 − 4a 4 = 0
                                                                                             52




      Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh a = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )

                                                = (2, -2, -1, 1)

      Bidang BCDG:

       a, x = C ⇔       (2, - 2, - 1, 1) ,    x =    ( 2, - 2, - 1, 1 ) , ( 2, 4, - 3, 0 )

                  ⇔     (2, - 2, - 1, 1), x   = -1

      Jarak titik A terhadap bidang BCDG di R4 :

                          (2, 4, - 3, 0) , (2, - 2, - 1, 1) − (− 1)
      d(A, BCD) =                                                       = 0.
                                               10

4. Kedudukan dua bidang datar-n

   Misal diberikan dua bidang datar-n

   V : x, a = α

   U : x, b = β

   θ adalah sudut antara U dan V sehingga

                                 a, b
      cos θ = cos (π - θ ) =
                               a . b

   a. Dua bidang tegak lurus

       U ⊥ V ⇒θ =π 2

                                                      a, b
               ⇒ cos π 2 = cos (π - π 2 ) =
                                                     a . b

               ⇒ a, b = 0 ⇔ a ⊥ b .
                                                 53




b. Dua bidang sejajar

   U / / V ⇒θ = 0

                                 a, b
          ⇒ cos 0 = cos (π ) =
                                 a . b

          ⇒ a, b = a . b

          Ambil sebarang α a = b sehingga

          ⇒ a, α a = a . α a

                             2           2   2
          ⇒ α a, a = α . a ⇔ α a = α . a .
                                        BAB V

                                      PENUTUP



A.   Simpulan

     Dari hasil pembahasan dapat ditarik simpulan sebagai berikut.

     1. Persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n (hyperplane)

        a. Garis lurus-n adalah X n = a n + α n t .

        b. Bidang datar-n adalah x , a = a
                                                     2
                                                         .

     2. Kedudukan antara dua garis lurus-n dan dua bidang datar-n (hyperplane)

        a. Kedudukan antara dua garis lurus-n

            i). Dua garis lurus-n g dan h dikatakan sejajar jika dan hanya jika

                mempunyai bilangan arah yang sebanding.

                α1 α 2        α
                  =    = ... = n .
                β1 β 2        βn

            ii). Gais lurus-n g dan h dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya

                jika α , β = 0 atau α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0 .

        b. Kedudukan antara dua bidang datar-n

            i). Dua bidang datar-n tegak lurus

                U ⊥ V ⇒θ =π 2

                                                             a, b
                         ⇒ cos π 2 = cos (π - π 2 ) =
                                                             a . b

                         ⇒ a, b = 0 ⇔ a ⊥ b .
                                                                               54




       ii). Dua bidang sejajar

           U / / V ⇒θ = 0

                                                  a, b
                       ⇒ cos 0 = cos (π ) =
                                                  a . b

                       ⇒ a, b = a . b

                       Ambil sebarang α a = b sehingga

                       ⇒ a, α a = a . α a

                       ⇒ α a, a = α . a ⇔ α a = α . a .
                                              2           2   2




3. Persamaan sudut antara dua garis lurus-n dan bidang datar-n

   a. Sudut antara dua garis lurus-n

                     α,β  α β + α 2 β 2 + ... + α n β n
           cos θ =       = 1 1                          .
                     α β           α β

   b. Sudut antara dua bidang datar-n

                                a, b
       cos θ = cos (π - θ ) =           .
                                a .b

4. Persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n dan jarak antara

   dua garis lurus-n

   i). Jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n adalah

                           a - b, α
         ( ) ( )
       d a, g = a - b −             2
                                        α .
                                α


                                                                  a - b, α
                                                      ( ) ( )
   ii). Jarak antara dua garis lurus-n adalah d a , g = a - b −         2
                                                                             α .
                                                                    α
                                                                             55




     5. Persamaan       jarak       sebuah   titik   terhadap   bidang   datar-n

                            α,a −γ
        adalah d(a, v ) =              .
                                α



B.   Saran

     1. Diharapkan penulisan ini dapat digunakan untuk membantu dalam

        pemecahan soal – soal geometri pada ruang dimensi 3 khususnya garis

        dan bidang.

     2. Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumbangan

        pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang, khususnya

        Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.
                            DAFTAR PUSTAKA



ARIFIN, Achmad. 2001. Aljabar Linear. Bandung : ITB

BERBERIAN, Sterling. K. 1961. Introduction to Hilbert Space. New York : Oxford
       University Press

CARICO, Charles. C. 2005. Analytic Geometry. New York : John Wiley & Sons

CHOW, Wung Yung. 1997. Linear Geometry in Euclidean 4-Space. Singapore :
       SEAMS

CLEMENTS, Stanley. R. 1984. Geometry With Application and Problem Solving.
       USA : Addison-Wesley Publishing Company

GANS, David. 1973. An Introduction to non-Euclidean Geometry. New York :
        Academic Press Inc

KOHN, Ed. 2003. Cliffs Quick Review Geometry. Bandung : Pakar Karya

MARSDEN, Jerrold. E. 1993. Basic Multivariabel Calculus. New York : Springer-
      Verlag

MULYATI, Sri. . Geomeri Euclid. Malang : JICA

SUHITO. 2004. Geometri Analit Rangkuman Hasil Penelitian / Magang. Yogyakarta.
         UGM

ROCHMAD. 2001. Analisis Real II. Semarang : UNNES

RUCKLE, William. H. 1960. Modern Analysis. Boston : PWS – KENT Publishing
        Company

WURYANTO. 2003. Analisis Real I. Semarang : UNNES




                                      56

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:2940
posted:5/20/2010
language:Indonesian
pages:64