Docstoc

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Document Sample
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya Powered By Docstoc
					     FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA




                       SKRIPSI
     Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1
           untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains




                           Oleh


             Nama           : Susanto
             Nim            : 4150403010
             Program Studi : Matematika S1
             Jurusan        : Matematika




FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
           UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
                           2007
                                 PENGESAHAN

                                     SKRIPSI

                          Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

         Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada:
         Hari         :
         Tanggal      :

                                   Panitia Ujian

Ketua,                                             Sekretaris,




Drs. Kasmadi Imam S., M.S                          Drs. Supriyono, M.Si
NIP. 130781011                                     NIP. 130815345

Pembimbing Utama,                                  Ketua Penguji,




Drs. Moch. Chotim, M.S                             Drs. Kartono, M.Si
NIP. 130781008                                     NIP. 130815346

Pembimbing Pendamping,                             Anggota Penguji,




Drs. Wuryanto, M.Si                                Drs. Moch. Chotim, M.S
NIP. 131281225                                     NIP. 130781008

                                                   Anggota Penguji,




                                                   Drs. Wuryanto, M.Si
                                                   NIP. 131281225




                                        ii
                                         ABSTRAK



      Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi.
                 Program Studi Matematika. Jurusan Matematika.
                Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
                         Universitas Negeri Semarang.

                 Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali
kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen e x dan e − x . Sehingga fungsi-fungsi
yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi
hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi
hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau
formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini
adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi
hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi
hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini
adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya
serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
                Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku
atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan
permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi,
turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari
pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam.
                Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua
                                              +         ex                     +            e−x
fungsi p dan q dengan p : R → R , p ( x) =                  dan q : R → R , q ( x) =            .
                                                        2                                    2
Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih
dari fungsi p dan q, dengan demikian                            f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) dan
 g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki
kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan
dasar fungsi f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 yang memiliki kemiripan dengan sifat
cos 2 x + sin 2 x = 1 pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat
tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g
sebagai fungsi hiperbolik.
                Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan
bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada
umumnya.


Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.




                                               iii
                 MOTTO DAN PERUNTUKAN



MOTTO

With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream

come true.

Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind

you.




                  PERUNTUKAN

                  Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.

                  Kuperuntukan karya ini kepada:

                  1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya

                  2. Semua Saudara dan Kerabat

                  3. Guru dan sahabatku

                  4. All My lovely friends..




                                    iv
                               KATA PENGANTAR



         Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan

petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan

skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”.

         Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada:

1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri

     Semarang.

3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan

     bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

4.   Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan

     bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.

5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik

     secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai.

6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa

     hingga terselesaikanya skripsi ini.

7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima

     kasih atas semuanya.

8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi,

     dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera

     menyelesaikan skripsi ini.




                                           v
9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan

   semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini.

       Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.


                                                  Semarang,   Agustus 2007

                                                  Penulis,




                                       vi
                                                 DAFTAR ISI



HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii
ABSTRAK ...................................................................................................... iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv
KATA PENGANTAR.................................................................................... v
DAFTAR ISI................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix


BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1
            A. Latar belakang .............................................................................. 1
            B. Permasalahan................................................................................ 2
            C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2
            D. Manfaat penelitian........................................................................ 2
            E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3


BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
            A. Fungsi ........................................................................................... 5
            B. Limit Fungsi ................................................................................. 6
            C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7
            D. Turunan ........................................................................................ 9
            E. Integral.......................................................................................... 14
            F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20


BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32
            A. Menentukan masalah.................................................................... 32
            B. Merumuskan masalah................................................................... 32
            C. Studi pustaka ................................................................................ 32
            D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33
            E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33



                                                          vii
BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34
           A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34
           B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42
           C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46
           D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59
           E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63

BAB V PENUTUP........................................................................................ 64
           A. Simpulan....................................................................................... 64
           B. Saran............................................................................................. 66


DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67




                                                        viii
                             DAFTAR GAMBAR



Gambar 1    Diagram fungsi f : D → R ................................................. 1
Gambar 2    Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8
                                                               ex
Gambar 3    Grafik fungsi p : R → R + , p ( x) =                  ................................ 34
                                                               2
                                                              e−x
Gambar 4    Grafik fungsi q : R → R + , q ( x) =                  ............................... 35
                                                               2
Gambar 5    Grafik fungsi f : R → [0, ∞ ) , f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) ............. 35
Gambar 6    Grafik fungsi g : R → R , g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) .................... 36
Gambar 7    Grafik fungsi f : R → ( −1,1) , f ( x ) = tanh x ..................... 41
Gambar 8    Grafik fungsi f : R → ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) , f ( x ) = coth x ..... 41
Gambar 9    Grafik fungsi f : R → (0,1] , f ( x ) = sec hx ........................ 42

Gambar 10   Grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x ......................... 48
Gambar 11   Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → [1, ∞ ) , f ( x) = cosh x ................ 49

Gambar 12   Grafik fungsi f : [1, ∞ ) → [0, ∞ ) , f ( x) = cosh −1 x ............. 50

Gambar 13   Grafik fungsi f : ( −1,1) → ( −∞ , ∞ ) , f ( x) = tanh −1 x ......... 53
Gambar 14   Grafik fungsi f : ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) → ( −∞, ∞ ) ,

            f ( x) = coth −1 x .................................................................... 55
Gambar 15   Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → (0,1] , f ( x ) = sec hx .................. 56

Gambar 16   Grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞ ) , f ( x) = sec h −1 x ............... 58




                                            ix
                                   BAB I

                             PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG MASALAH

         Kalkulus sebagai salah satu cabang ilmu matematika merupakan ilmu

  yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi yang telah

  dikembangkan secara terpisah oleh matematikawan asal Inggris Issac Newton

  pada abad ke 17 dan matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz.

  Diferensiasi dan integrasi merupakan dua operasi matematis yang saling

  berkebalikan. Pada intinya, diferensial (teori diferensiasi ) berkenaan dengan

  penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori integrasi)

  berkenaan dengan pembentukan suatu fungsi apabila tingkat perubahan fungsi

  yang bersangkutan diketahui.

         Keampuhan Kalkulus, baik berupa turunan maupun integral tak perlu

  diragukan lagi sebagai sarana ampuh untuk memecahkan berbagai

  permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan nyata. Fungsi logaritma dan

  fungsi eksponen sebagai bagian dari kalkulus telah memberi pengaruh yang

  besar dalam perkembangan Kalkulus. Dalam persoalan matematika terapan

  banyak sekali digunakan kombinasi-kombinasi tertentu fungsi eksponen e x

  dan e − x sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus, salah

  satunya adalah fungsi hiperbolik. Namun bagaimana membangun fungsi

  hiperbolik merupakan suatu permasalahan yang menarik untuk kita kaji

  secara mendalam untuk kemudian ditemukan solusinya.



                                    1
                                                                          2




         Dalam penelitian ini juga akan dikaji mengenai invers fungsi

  hiperbolik. Fungsi invers pada dasarnya ditentukan untuk memperluas dan

  memperkaya fungsi-fungsi. Invers merupakan salah satu cara yang dapat

  ditempuh untuk memproduksi fungsi baru yakni dengan mengambil fungsi-

  fungsi lama kemudian membalikan atau menginverskan fungsi-fungsi

  tersebut. Dengan mengacu pada konsep invers pada fungsi biasa tersebut,

  kemudian akan dikembangkan untuk menentukan invers pada fungsi

  hiperbolik. Selanjutnya konsep diferensi dan integrasi yang merupakan inti

  dari Kalkulus akan diterapkan untuk menentukan turunan dan anti turunan

  fungsi hiperbolik dan inversnya.

         Dari uraian di atas maka penulis ingin mengangkat judul “Fungsi

  Hiperbolik dan Inversnya”, sebagai judul skripsi.



B. PERMASALAHAN

         Permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan ini adalah:

  1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?

  2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti

    turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?



C. TUJUAN PENELITIAN

         Mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta

  turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
                                                                             3




D. MANFAAT PENELITIAN

          Mendapatkan suatu wawasan dan pengetahuan tentang fungsi

  hiperbolik dan inversnya.



E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI

          Penulisan skripsi nantinya akan dibagi menjadi tiga bagian, yakni

  bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir.

          Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan,

  halaman motto, halaman peruntukan, kata pengantar, dan daftar isi.

          Bagian isi terbagi atas 5 bab, yakni:

  BAB I      PENDAHULUAN

             Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang

             diangkat, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika

             penulisan skripsi.

  BAB II     LANDASAN TEORI

             Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan

             dalam pemecahan masalah.

  BAB III METODE PENELITIAN

             Memaparkan       tentang   prosedur   dan   langkah-langkah   yang

             dilakukan dalam penelitian ini meliputi menemukan masalah,

             perumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan

             masalah, dan penarikan simpulan.
                                                                             4




BAB IV PEMBAHASAN

          Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian.

BAB V PENUTUP

          Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang

          ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri

          khususnya.

Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiran-

lampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
                                         BAB II

                              LANDASAN TEORI



A. FUNGSI

  Definisi 1.

  Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah

  padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen

  f(x) di R ditulis dengan simbol f: D →R. Dengan kata lain jika a ∈ D, b, b’ ∈ R

  dan (a, b), (a, b’) ∈ f maka b = b’.

  Himpunan D dinamakan daerah asal (domain) f, dan himpunan R dinamakan

  daerah hasil atau jelajah (range) f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f

  disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.




                      Gambar 1: Diagram fungsi f : D → R

  Contoh 1

  Dipunyai f: D →R, D ⊂ R, f(x) = x2 + 5.

  Tujukan f suatu fungsi.



                                           5
                                                                                                         6




  Penyelesaian:

  Ambil sembarang a, b∈ D dengan a = b.

  Jelas f(a) – f(b) = a2 + 5 – b2 - 5

                         = a2-b2

                         = 0.

  Jadi ∀a, b ∈ D, a = b, f (a) = f (b) .

  Jadi f suatu fungsi.

  Contoh 2

  Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f(x, y) = x2 + 2y.

  Tunjukan f suatu fungsi.

  Penyelesaian:

  Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ) .

  Jelas x1 = x 2 dan y1 = y 2

  Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = ( x12 + 2 y1 ) − ( x 2 + 2 y 2 )
                                                               2




                                         = ( x12 + 2 y1 ) − ( x12 + 2 y1 )

                                         = 0.

  Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) = f ( x 2 , y 2 ) .

  Jadi f suatu fungsi.

B. LIMIT FUNGSI

  Definisi 2.

  Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang

  memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x

  mendekati a adalah L, ditulis:
                                                                           7




  lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε apabila 0 < x − a < δ .
  x →a


  Contoh 3

  Buktikan lim(4 x + 2) = 22 .
                  x →5


  Bukti:

  Tulis f(x) = 4x+2.

  Ambil sebarang ε > 0 .

                 ε
  Pilih δ =          .
                 4

  Dipunyai 0 < x − 5 < δ

                Jelas f ( x) − 22 = 4 x + 2 − 22

                                 = 4 x − 20

                                 = 4x−5

                                 < 4δ

                                      ε
                                 <4
                                      4

                                 =ε.

  Jadi ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ f ( x) − 22 < ε apabila 0 < x − 5 < δ

  Jadi lim(4 x + 2) = 22 .
         x →5


C. KEKONTINUAN FUNGSI

  Definisi 3.

  Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan

  kontinu di a jika lim f ( x) = f (a) .
                         x→a
                                                                            8




Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu

fungsi f kontinu di a, yakni:

  a. f(a) ada

  b. lim f ( x) ada
         x→ a



  c. lim f ( x) = f (a)
         x →a


Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.




                        Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a

Contoh 4

Buktikan fungsi f dengan f(x) = x2 + 2 kontinu di x = 1.

Bukti:

Dipunyai f(x) = x2 + 2.

Jelas f(1) = 1+2 = 3 dan lim f ( x) = lim x 2 + 2 = 1 + 2 = 3 .
                            x →1       x →1



Jadi lim f ( x) = f (1) = 3 .
      x →1


Jadi f kontinu di x = 1.
                                                                       9




D. TURUNAN (DIFERENSIAL)

  Definisi 4.

  Turunan fungsi f pada bilangan x dinyatakan dengan f’(x) adalah

                 f ( x + h) − f ( x )
  f’(x) = lim                         , jika limitnya ada.
          h →0            h

  Jika f’ ada maka dikatakan f terdiferensial di x.

  Contoh 5

  Carilah turunan fungsi f ( x) = x 2 − 8 x + 9 pada bilangan a.

  Penyelesaian:

  Dipunyai f ( x) = x 2 − 8 x + 9 .

                         f ( a + h) − f ( a )
  Jelas f ' (a) = lim
                   h→0            h

                        [(a + h) 2 − 8(a + h) + 9] − [a 2 − 8a + 9]
                 = lim
                   h →0                     h

                        a 2 + 2ah + h 2 − 8a − 8h + 9 − a 2 + 8a − 9
                 = lim
                   h →0                      h

                        2ah + h 2 − 8h
                 = lim
                   h →0       h

                 = lim(2a + h − 8)
                   h→0


                 = 2a − 8 .

    Konsep Turunan (Derivative Formulas)

    a. Aturan Perpangkatan (Power of x Rule)

       Jika f(x) = xn, dengan n bilangan real, maka f’(x) = nxn-1.

    b. Aturan Fungsi Konstan (Constant Function Rule)
                                                                              10




  Jika f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0.

c. Aturan Koefisien (Coefficient Rule)

  Jika f terdiferensial pada x, c konstanta, maka cf terdiferensial pada x dan

  (cf )' ( x) = cf ' ( x) .

d. Aturan Jumlah (Sum Rule)

  Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x

  dan ( f + g )' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x) .

e. Aturan Selisih (Difference Rule)

  Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x

  dan ( f − g )' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) .

f. Aturan Perkalian (Product Rule)

  Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f. g) terdiferensialkan pada x

  dan ( f .g )' ( x) = f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x) .

g. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule)

                                                              f
  Jika f dan g terdiferensialkan pada x, g ( x) ≠ 0 maka        terdiferensialkan
                                                              g

             ⎛f ⎞       g ( x) f ' ( x) − f ( x) g ' ( x)
  pada x dan ⎜ ⎟( x ) =
             ⎜g⎟                                          .
             ⎝ ⎠                   [ g ( x)]2

h. Aturan Rantai (Chain Rule)

  Jika f dan g fungsi yang terdiferensial dengan y = f(u) dan u = g(x), maka

  y fungsi yang terddiferensial pada x, dan

   dy d         d                               dy dy du
     =   f (u ). g ( x) , atau dapat dituliskan   = . .
   dx du        dx                              dx du dx
                                                                              11




Bukti:

(a) Dipunyai f(x) = xn.

                           f ( x + h) − f ( x )
  Jelas f ' ( x) = lim
                  h →0              h

                         ( x + h) n − x n
                 = lim
                    h →0        h

                        ⎡ n     n −1 n(n − 1) n − 2 2  n −1 n⎤
                        ⎢ x + nx h + 2! x h + ... + nxh + h ⎥ − x
                                                                  n


                 = lim ⎣                                     ⎦
                   h →0                          h

                                         n(n − 1) n −2 2
                           nx n −1 h +           x h + ... + nxh n −1 + h n
                 = lim                      2!
                    h →0                             h

                                     n(n − 1) n − 2
                 = lim nx n −1 +             x h + ... + nxh n − 2 + h n −1
                    h →0                2!

                 = nx n −1 .

  Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = nx n −1 .

(b) Dipunyai f fungsi konstan, f(x) = c.

                            f ( x + h) − f ( x )
    Jelas f ' ( x) = lim
                    h →0             h

                           c−c
                 = lim
                    h →0    h

                         0
                 = lim
                    h →0 h



                 = lim 0 = 0 .
                    h→0


    Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = 0 .
                                                                                                12




(c) Dipunyai c konstanta dan f dan cf terdiferensial.

                                 (cf )( x + h) − (cf )( x)
   Jelas (cf )' ( x) = lim
                          h →0               h

                                 cf ( x + h) − cf ( x)
                       = lim
                          h →0             h

                               ⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤
                       = lim c ⎢                      ⎥
                          h →0
                               ⎣          h           ⎦

                                    f ( x + h) − f ( x )
                       = c lim
                            h →0             h

                       = cf ' ( x) .

    Jadi terbukti bahwa (cf )' ( x) = cf ' ( x) .

(d) Dipunyai f, g, dan f + g terdiferensial.

                                  ( f ( x + x) + g ( x + x)) − ( f ( x) + g ( x))
   Jelas (f + g)’(x) = lim
                             h →0                        h

                                    f ( x + h) − f ( x ) + g ( x + h) − g ( x )
                         = lim
                            h →0                         h

                                    f ( x + h) − f ( x )       g ( x + h) − g ( x )
                         = lim                           + lim
                            h →0             h             h→0          h

                         = f’(x) + g’(x).

   Jadi terbukti bahwa (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x).

(f) Dipunyai f, g, dan f g terdiferensial.

                                 f ( x + h).g ( x + h) − f ( x).g ( x)
   Jelas (fg)’(x) = lim
                         h →0                      h

            f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) + f ( x ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x )
   = lim
     h →0                                          h

          ⎡ f ( x + h) − f ( x )                        g ( x + h) − g ( x ) ⎤
   = lim ⎢(                      ) g ( x + h) + f ( x)(                     )⎥
     h →0
          ⎣          h                                           h           ⎦
                                                                                                        13




               f ( x + h) − f ( x )                                 g ( x + h) − g ( x )
   = lim                            lim g ( x + h) + lim f ( x) lim
       h→ x             h           h →0             h →0       h→0          h

   = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

   Jadi terbukti bahwa (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x).

                                f
(g) Dipunyai f, g, dan            terdiferensial.
                                g

                          f ( x + h) f ( x )
                                     −
          f               g ( x + h) g ( x )
   Jelas ( )' ( x) = lim
          g          h →0          h

          f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
                    g ( x + h) g ( x )
   = lim
     h →0                     h

               f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
   = lim
        h →0           [ g ( x + h) g ( x)]h

                      1                 f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
   = lim                           lim
        h →0 [ g ( x + h) g ( x )] h →0                    h

            1           f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h)
   =              {lim
                 2 h →0
                                                                                                    }
       [ g ( x)]                                             h

            1          ⎡ f ( x + h) − f ( x )                    g ( x + h) − g ( x ) ⎤
   =              {lim (
                 2 h→0 ⎢
                                              ) g ( x) − f ( x)(                     )⎥ }
       [ g ( x)]       ⎣          h                                       h           ⎦

   =

        1               f ( x + h) − f ( x )                                g ( x + h) − g ( x)
              {lim(
             2 h→0
                                             ) lim g ( x) − lim f ( x) lim(                     )}
   [ g ( x)]                     h              h→0         h→0        h →0          h
           1
   =             { f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)}
      [ g ( x)]2

        f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
   =                                      .
                   [ g ( x)]2
                                                                                                  14




                              f          f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)
         Jadi terbukti bahwa ( )' ( x) =                                   .
                              g                     [ g ( x)]2

  Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan dari konsep diatas.

  Contoh 6

  Diberikan fungsi-fungsi f ( x) = 5 , g ( x) = 4 x 2 dan h( x) = x + 1 .

  Tentukan f ' ( x) , g ' ( x) dan ( g + h)' ( x) .

  Penyelesaian:

  Jelas f ' ( x) = 0 .

  Jelas g ' ( x) = 8 x .

  Jelas ( g + h)' ( x) = g ' ( x) + h' ( x)

                           = 8x + 1.

E. INTEGRAL

  Definisi 5.

  Fungsi F dinamakkan anti turunan dari fungsi f jika turunan dari F adalah f.

  Contoh 7

                                        1 3            1                     1
  Dipunyai f ( x) = x 2 , F1 ( x) =       x , F2 ( x) = x 3 + 5 dan F3 ( x) = x − π .
                                        3              3                     3

  Tunjukan bahwa F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) merupakan anti turunan dari f (x) .

  Penyelesaian:

                        ⎡1 ⎤
                      d ⎢ x3 ⎥
        d [ F1 ( x)]     3 ⎦ 1 d (x3 ) 1 2
  Jelas              = ⎣       =      = .3x = x 2 .
            dx           dx      3 dx  3

                        ⎡1       ⎤              ⎡1 ⎤
                      d ⎢ x 3 + 5⎥            d ⎢ x 3 ⎥ + d (5)
        d [ F2 ( x)]     3                      ⎣3 ⎦              1 d (x3 )      1
  Jelas              = ⎣         ⎦=                             =           + 0 = .3x 2 = x 2 .
             dx            dx                       dx            3 dx           3
                                                                                           15




                      ⎡1       ⎤          ⎡1 ⎤
                    d ⎢ x3 − π ⎥        d ⎢ x 3 ⎥ − d (π )
      d [ F2 ( x)]     3                  ⎣3 ⎦               1 d (x3 )      1
Jelas              = ⎣         ⎦=                          =           − 0 = .3x 2 = x 2
           dx            dx                    dx            3 dx           3

Jadi F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) semuanya merupakan anti turunan dari f (x) .

Definisi 6.

Jika F (x) pada selang buka I merupakan anti turunan dari f (x) dan C

sembarang konstanta, maka F ( x) + C juga merupakan anti turunan dari f (x) .

d [ F ( x) + C ] d [ F ( x)] d (C )
                =           +       = f ( x) + 0 = f ( x) .
       dx            dx       dx

Definisi 7.

Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F suatu anti turunan f

pada selang I. Proses menentukan anti turunan dari fungsi f dinamakan

imtegral tak tentu f pada I, dinyatakan dengan

∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dengan C sembarang konstanta dan di baca integral tak tentu dai f terhadap

variabel x.

Contoh 8

Tentukan ∫ cos xdx .

Penyelesaian:

Tulis f ( x) = cos x dan F ( x) = sin x

                   d [ F ( x)] d (sin x)
Jelas F ' ( x) =              =          = cos x = f ( x) .
                       dx         dx

Jadi F (x) suatu anti turunan dari f (x) .
                                                               16




Teorema 2.1

Jika n adalah sebarang bilangan rasional, n ≠ −1 , maka

            x n +1
∫ x dx =           +C.
   n

            n +1

Bukti:

Tulis F suatu anti turunan dari f.

Jelas   ∫ f ( x)dx = F ( x) + C .
                           d [ F ( x)]
Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔               = f ( x) .
                               dx

                         ⎡ x n +1    ⎤
                        d⎢        + C⎥
                           n +1
                       ⇔ ⎣           ⎦
                              dx

                             1 d ( x n +1 )
                       ⇔
                           n + 1 dx

                             1
                       ⇔        (n + 1) x n = x n = f ( x) .
                           n +1

Teorema 2.2

(1) ∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx , c suatu konstanta.

(2) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

(3) ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .

Bukti:

(1) Tulis F suatu anti turunan dari f .

                               d [ F ( x)]
    Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔               = f ( x)
                                   dx
                                                                       17




                                 d [ F ( x)]
                          ⇔ c.               = c. f ( x)
                                     dx

                              d [c.F ( x)]
                          ⇔                = c. f ( x) .
                                  dx

   Jadi cF ( x) suatu anti turunan dari cf ( x) .

   Jadi ∫ c. f ( x)dx = c.F ( x) = c ∫ f ( x)dx .

(2) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .

   Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) .

   Jadi   ∫ f ( x)dx = F ( x) + C   dan     ∫ g ( x)dx = G( x) + C .
   Jadi ( F + G )' ( x) = ( f + g )( x) .

   Jadi ( F + G ) suatu anti turunan dari ( f + g ) .

   Jadi ∫ ( f + g )( x)dx = ( F + G )( x) + C

                            = [ F ( x) + C1 ] + [G ( x) + C 2 ]

                            = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .

(3) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g .

   Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) .

   Jadi   ∫ f ( x)dx = F ( x) + C   dan     ∫ g ( x)dx = G( x) + C .
   Jadi ( F − G )' ( x) = ( f − g )( x) .

   Jadi ( F − G ) suatu anti turunan dari ( f − g ) .

   Jadi ∫ ( f − g )( x)dx = ( F − G )( x) + C

                            = [ F ( x) + C1 ] − [G ( x) + C 2 ]
                                                                         18




                              = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .

Contoh 9

Tentukan: (a) ∫ 4 cos xdx dan (b) ∫ ( x + x 2 )dx .

Penyelesaian:

(a) Jelas ∫ 4 cos xdx = 4∫ cos xdx

                        = 4(sin x + C )

                        = 4 sin x + 4C

                        = 4 sin x + K , K = 4C .

(b) Jelas ∫ ( x + x 2 )dx = ∫ xdx + ∫ x 2 dx

                              1 2       1
                          =     x + C1 + x 3 + C 2
                              2         3

                              1 2 1 3
                          =     x + x + C1 + C 2
                              2    3

                              1 2 1 3
                          =     x + x + C , C = C1 + C 2 .
                              2    3

Teorema 2.3

Dipunyai g suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang buka I dan F anti

turunan dari f. Jika u = g ( x) ,


∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = ∫ f (u )du = F (u) + C =F[ g ( x)] + C .
Bukti:

Dipunyai R g ⊂ I .

                                    d (F [ g ( x)])
Jadi F '[ g ( x)] = f [ g ( x)] ⇔                   = f [ g ( x)] .
                                         dx
                                                                  19




Jadi   ∫ f [ g ( x)]d[ g ( x)] = F[ g ( x)] + C
⇔   ∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = F[ g ( x)] + C .
Contoh 10

Tentukan: (a) ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx dan (b) ∫ sin 2 x cos xdx .

Penyelesaian:

(a) Tulis u = x 2 + 1 .

             du
    Jelas       = 2 x ⇒ du = 2 xdx
             dx

    Jelas ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx = ∫ u 10 .du

                                    1 11
                                =      u +C
                                    11

                                    1 2
                                =      ( x + 1) + C .
                                    11

(b) Tulis u = sin x .

             du
    Jelas       = cos x ⇒ du = cos xdx .
             dx

    Jelas ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du

                                 1
                                = u3 + C
                                 3

                                 1
                                = sin 3 x + C .
                                 3
                                                                      20




  Teorema 2.4

  Jika U = U ( x) dan V = V ( x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada

  selang buka I, maka

  ∫ UdV = U .V − ∫ V .dU .
  Bukti:

  Dipunyai d (U .V ) = U .dV + V .dU .

  Jadi ∫ d (U .V ) = ∫ (U .dV + V .dU )

  ⇔ U .V = ∫ U .dV + ∫ V .dU

  ⇔ ∫ U .dV = U .V − ∫ V .dU .

  Contoh 11

  Tentukan     ∫ x. cos xdx .
  Penyelesaian:

  Jelas   ∫ x. cos xdx = ∫ xd (sin x)
                         = x. sin x − ∫ sin x.dx

                         = x. sin x + sin x + C .

F. FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN

  1. Fungsi Invers

    Definisi 8.

    Dipunyai f fungsi dengan daerah definisi D. invers fungsi f , ditulis

             −1
     g= f         , adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

     g ( f ( x)) = x      ∀x∈D.
                                                                           21




Contoh 12

Dipunyai          f ( x) = 2 x , x ∈ (−∞, ∞) . Tunjukan bahwa inversnya adalah

           1
g ( x) =     x.
           2

Penyelesaian:

Tulis y = f ( x)

Jelas y = 2 x .

                   1    1
Jelas g ( y ) =      y = .2 x = x .
                   2    2

                      1         1
Jelas g ( f ( x)) =     f ( x) = .2 x = x , x ∈ (−∞, ∞) .
                      2         2

Contoh 13

Dipunyai f ( x) = x , x ≥ 0 . Tujukan bahwa inversnya adalah g ( x) = x 2 .

Penyelesaian:

Tulis y = f (x)

Jelas y = x

Jelas g ( y ) =    ( x)2
                           = x.

Jelas g ( f ( x)) = [ f ( x)] 2 =   ( x)
                                       2
                                           = x , x ≥ 0.

Deinisi 9.

Dipunyai f fungsi, f disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap x1 , x 2 di

domain f, x1 ≠ x 2 maka f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .

Contoh 14

Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f ( x) = 2 x 2 + y .
                                                                                                       22




Tunjukan f fungsi satu-satu.

Penyelesaian:

Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) .

Jelas x1 ≠ x 2 dan y1 ≠ y 2 .

Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = (2 x12 + y1 ) − (2 x 2 + y 2 )
                                                             2




                                        = (2 x12 − 2 x 2 ) + ( y1 − y 2 )
                                                       2




                                       ≠ 0.

Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x 2 , y 2 ) .

Jadi f fungsi satu-satu.

Teorema 2.5

Dipunyai f suatu fungsi yang didefinisikan f : D → R . Jika f fungsi satu-

satu maka

        −1
(i) f        ada, dan

                               −1
(ii) daerah definisi f              adalah range f.

Bukti:

Definisikan pemadanan

g : Rf → Df

dengan g ( y ) = x , ∀ x ∈ R f dan y = f (x) .

Ditunjukan g suatu fungsi.

Ambil y1 , y 2 ∈ R f dengan y1 = y 2 .

Jelas y1 = f ( x1 ) dan y 2 = f ( x 2 ) untuk suatu x1 , x 2 ∈ D f .
                                                                    23




Karena y1 = y 2 , maka f ( x1 ) = f ( x 2 ) .

Dipunyai f satu-satu.

Jadi x1 = x 2 .

Jadi g suatu fungsi.

Jelas g ( f ( x)) = g ( y ) = x , ∀ x ∈ D f .

                                                           −1
Jadi terdapat fungsi invers g untuk f. Tulis g = f              .

Jelas D f −1 = D g = R f .

Contoh 15

Tentukan invers dari fungsi f ( x) = 2 x − 4 , x ∈ (−∞, ∞) .

Penyelesaian:

Dipunyai f ( x) = 2 x − 4 .

Tulis y = f ( x) .

Jelas y = 2 x − 4

⇔ 2x = y + 4

         y+4 y
⇔x=         = + 2.
          2  2

                     y
Jadi f −1 ( y ) =      +2.
                     2

                     1
Jelas f −1 ( y ) =     (2 x − 4) + 2 = x , x ∈ (−∞, ∞) .
                     2

                    x
Jadi f −1 ( x) =      + 2.
                    2
                                                                                        24




2. Fungsi Logaritma Asli

  Definisi 10.

  Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh

             x   1
  ln x = ∫         dt       x > 0.
             1   t

  Definisi 11.

  Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang (0, ∞ ) , dengan

   f ( x) = ln x , turunan dari f didefinisikan sebagai

    d (ln x) 1
            = ,             x > 0.
       dx    x

  Definisi 12.

  Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I,

  dengan u = ln u , maka turunanya didefinisikan sebagai

  d (ln u ) 1 du
           = . ,                  u >0.
     dx     u dx

  Contoh 16

  Tentukan turunan dari: (a) f ( x) = ln( x + x 2 ) dan (b) f ( x) = x ln(1 + x 2 ) .

  Penyelesaian:

                            d [ln( x + x 2 )]
  (a) Jelas f ' ( x) =
                                   dx

                            d [ln( x + x 2 )] d ( x + x 2 )
                        =                    .
                              d (x + x2 )          dx

                               1
                        =             .(1 + 2 x)
                            (x + x2 )
                                                                    25




                       (1 + 2 x)
                  =              .
                       (x + x2 )

                       d [ f ( x)]
(b) Jelas f ' ( x) =
                           dx

                       d [ x ln(1 + x 2 )]
                  =
                               dx

                                     d ( x)      d [ln(1 + x 2 )]
                  = ln(1 + x 2 ).           + x.
                                      dx               dx

                                    d [ln(1 + x 2 )] d (1 + x 2 )
                  = ln(1 + x ) + x.
                                2
                                                    .
                                      d (1 + x 2 )       dx

                                             1
                  = ln(1 + x 2 ) + x.               .2 x
                                         (1 + x 2 )

                                         2x 2
                  = ln(1 + x 2 ) +                .
                                       (1 + x 2 )

Teorema 2.6

Jika a, b ∈ R , a > 0 , b > 0 , dan r rasional maka:

(1) ln(ab) = ln a + ln b

      ⎛a⎞
(2) ln⎜ ⎟ = ln a − ln b ,
      ⎝b⎠

(3) ln(a r ) = r ln a .

Bukti:

(1) Ambil sembarang x > 0 .

    Pilih f ( x) = ln ax dan g ( x) = ln x .

            d [ f ( x)] d (ln ax) d (ax) 1    1
    Jelas              =                = .a = dan
                dx       d (ax) dx       ax   x
                                                        26




             d [ g ( x)] d (ln x) 1
                        =        = .
                 dx         dx    x

    Jadi f ( x) = g ( x) + C untuk suatu konstanta C.

    Jelas f (1) = g (1) + C ⇔ ln a = C .

    Jadi f ( x) = g ( x) + ln a

        ⇔ ln ax = ln x + ln a .

    Pilih x = b .

    Jelas ln ab = ln a + ln b .

(2) Dipunyai ln ab = ln a + ln b .

                  1
    Pilih a =       .
                  b

            1           ⎛1 ⎞
    Jelas ln + ln b = ln⎜ .b ⎟ = ln 1 = 0 .
            b           ⎝b ⎠

              1
    Jadi ln     = ln 1 − ln b = 0 − ln b = − ln b .
              b

           ⎛a⎞     ⎛ 1⎞              1
    Jadi ln⎜ ⎟ = ln⎜ a. ⎟ = ln a + ln = ln a − ln b .
           ⎝b⎠     ⎝ b⎠              b

(3) Dipunyai a x = e x. ln a , ∀ x ∈ R .

    Pilih r bilangan rasional.

    Jelas r ∈ R .

    Jadi a r = e r . ln a .

    Jadi ln a r = ln e r . ln a

     ⇔ ln a r = r. ln a. ln e

     ⇔ ln a r = r. ln a.1
                                                                               27




       ⇔ ln a r = r. ln a .

      Jadi ln a r = r. ln a, ∀ a ∈ R, a > 0 dan r bilangan rasional.

Definisi 13.

Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan ln e = 1 .

Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai

12 desimal yakni e ≈ 2,718281828459 .

Berdasarkan teorema 2.6 point (3) diperoleh ln e n = n ln e = n.1 = n .

Teorema 2.7

Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan

  1
∫ x dx = ln x + C ,             x ≠ 0.


Bukti:

Ambil sembarang x ∈ R , x ≠ 0 .

Kasus x > 0 .

      Jelas x = x

              d (ln x )        d (ln( x) d (ln( x)) d ( x) 1      1
      Jadi                 =            =          .      = .(1) = .
                 dx               dx       d ( x)    dx    x      x

Kasus x < 0 .

      Jelas x = − x .

               d (ln x )       d (ln(− x) d (ln(− x)) d (− x)   1         1
      Jelas                =             =           .        =    .(−1) = .
                  dx               dx       d (− x)     dx      −x        x

Contoh 17

                 1 + cos x
Tentukan       ∫ x + sin x dx ,          x + sin x ≠ 0 .
                                                                        28




  Penyelesaian:

  Tulis u = x + sin x

  Jelas du = (1 + cos x)dx .

             1 + cos x               du
  Jelas   ∫ x + sin x dx = ∫         u

                                 = ln u + C

                                 = ln x + sin x + C .

3. Fungsi Eksponen

  Definisi 14.

  Fungsi eksponen asli merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai

  y = exp(x) jika dan hanya jika x = ln y .

  Definisi 15.

  exp( x) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai exp( x) = e x , dengan x

  bilangan rasional dan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan

  ln e = 1 .

  Teorema 2.8

  Dipunyai x1 , x 2 , dan r di R, r rasional maka:

  (i) e x1 .e x2 = e x1 + x2 ,

      e x1
  (ii) x2 = e x1 − x2 , dan
      e

  (iii) [e x1 ] r = e rx1 .

  Bukti:

  (i) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 .
                                                                         29




   Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 .

   Jadi x1 + x 2 = ln y1 + ln y 2

   ⇔ x1 + x 2 = ln( y1 . y 2 )

   ⇔ e x1 + x2 = y1 . y 2

   ⇔ y1 . y 2 = e x1 + x2

   ⇔ e x1 e x2 = e x1 + x2 .

(ii) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 .

   Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 .

   Jadi x1 − x 2 = ln y1 − ln y 2

                  ⎛y           ⎞
   ⇔ x1 − x 2 = ln⎜ 1
                  ⎜y           ⎟
                               ⎟
                  ⎝ 2          ⎠

        y1
   ⇔       = e x1 − x2
        y2

    e x1
   ⇔ x2 = e x1 − x2 .
    e

(iii) Dipunyai ln a r = r. ln a .

    Tulis y = (e x1 ) r .

    Jadi ln y = ln(e x1 ) r = r. ln e x1 = r.x1 ln e = r.x1 .1 = rx1 .

    Jadi y = e rx1 .

    Jadi (e x1 ) r = e rx1 .
                                                    30




Teorema 2.9

d (e x )
         = ex , ∀ x ∈ R .
  dx

Bukti:

Ambil sembarang x ∈ R .

Dipunyai ln e x = x .

        d (ln e x ) d ( x)
Jelas              =
            dx       dx

     d (ln e x ) d (e x )
   ⇔            .         =1
      d (e x )     dx

          1 d (e x )
   ⇔        .        =1
         e x dx

         d (e x )
   ⇔              = ex .
           dx

     d (e x )
Jadi          = e x untuk setiap x ∈ R .
       dx

Contoh 18

Tentukan turunan dari fungsi f ( x) = e x sin x .

Penyelesaian:

                    d [ f ( x)]
Jelas f ' ( x) =
                        dx

                    d (e x sin x )
                =
                        dx

                    d (e x sin x ) d ( x sin x)
                =                 .
                    d ( x sin x)        dx

                = e x sin x [sin x + x cos x] .
                                                                  31




Teorema 2.10

Teorema 2.9 diatas memberikan formula integrasi sebagai berikut

∫e       dx = e x + C .
     x




Bukti:

Dipunyai ∫ e x dx = e x + C .


Jelas
            (
           d ∫ e x dx   ) = d [ F ( x) + C ]
                dx                 dx

                             d (e x + C )
                         =
                                  dx

                             d (e x ) d (C )
                         =           +
                               dx      dx

                         = e x = f (x) .

Jadi F ( x) + C suatu anti turunan dari f.

Contoh 19

Tentukan ∫ e −3 x dx .

Penyelesaian:

Tulis u = −3 x .

Jelas du = −3dx .

                            1
Jelas ∫ e −3 x dx = ∫ e u (− )du
                            3

                             1 u
                             3∫
                     =−         e du


                        1           1
                     = − e u + C = − e −3 x + C .
                        3           3
                                   BAB III

                          METODE PENELITIAN



       Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

A. Menentukan Masalah

    Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian

    dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.



B. Merumuskan Masalah

    Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah

    ditemukan yakni

    1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik?

    2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti

      turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?



C. Studi Pustaka

   Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara

   mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan,

   mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta

   membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan

   permasalahan.   Sehingga    didapat   suatu   ide   mengenai   bahan   dasar

   pengembangan upaya pemecahan masalah.




                                         32
                                                                             33




D. Analisis dan Pemecahan Masalah

   Analisis dan pemecahan masalah dilakuan dengan langkah-langkah sebagai

   berikut:

   1. Mempelajari dan mengkaji menggunakan referensi yang ada tentang

       bagaimana menurunkan model matematikanya.

   2. Mengetahui secara jelas tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik.

   3. Mencari penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan

       anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.



E. Penarikan Simpulan

   Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara

   mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan denagn permasalahan,

   mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta

   membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan

   permasalahan.   Sehingga    didapat   suatu   ide   mengenai    bahan   dasar

   pengembangan upaya pemecahan masalah.
                                    BAB IV

                               PEMBAHASAN



A. FUNGSI HIPERBOLIK

         Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasi-

  kombinasi tertentu dari fungsi eksponen e x dan e − x sehingga kombinasi

  fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan

  dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi

  tersebut yakni fungsi hiperbolik. Untuk keperluan tersebut, dibangun fungsi-

  fungsi p dan q sebagai berikut.

             +         ex              +           e−x
  p : R → R , p ( x) =    dan q : R → R , q ( x) =     .
                       2                            2

  Grafik fungsi p dan q diberikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.




                          Gambar 3. Grafik fungsi p naik




                                      34
                                                                          35




                            Gambar 4. Grafik fungsi q turun

        Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai jumlah

dan selisih fungsi-fungsi p dan q. Dengan demikian

 f ( x) = p ( x) + q( x) dan g ( x) = p ( x) − q( x) .

Grafik fungsi f dan g disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.




                       Gambar 5. Grafik fungsi f : R → [1, ∞)

                                     f ( x) = p ( x) + q ( x)
                                                                                       36




                                        e x + e−x
Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) =                .
                                            2

                   e x − e−x                                  e x − e−x
Jelas f ' ( x) =             >0    ∀ x > 0 dan f ' ( x) =               <0   ∀x < 0.
                       2                                          2

Jadi grafik f naik pada [0, ∞) dan turun pada (−∞,0] .

                   e−x + e x e x + e−x
Jelas f (− x) =             =          = f ( x) ∀ x ∈ R .
                       2         2

Jadi f suatu fungsi genap.

                   e x + e−x
Jelas f ' ' ( x) =           = f ( x) > 0 .
                       2

Jadi grafik f cekung ke atas pada (−∞, ∞) .




                          Gambar 6. Grafik fungsi g : R → R

                                    g ( x) = p ( x) − q( x)

                                   e x − e−x
Dipunyai g : R → R , g ( x) =                .
                                       2
                                                                         37




                     e x + e−x
Jelas g ' ( x) =               > 0 ∀x∈R.
                         2

Jadi grafik fungsi g naik pada daerah asalnya.

                e−x − e x    e x − e−x
Jelas g (− x) =           =−           = − g ( x) ∀ x ∈ R .
                    2            2

Jadi f suatu fungsi ganjil.

                     e x − e−x                ⎧+ , x > 0
Jelas g ' ' ( x) =             = g ( x)       ⎨          .
                         2                    ⎩ −, x < 0

Jadi grafik g cekung ke bawah pada (−∞,0] dan cekung ke atas pada [0, ∞) .

         Berikut disajikan beberapa sifat fungsi f dan g.

Sifat 4.1

(1) f (0) = 1 dan g (0) = 0 ,

(2) f ' ( x) = g ( x) ∀ x ∈ R ,

(3) g ' ( x) = f ( x) ∀ x ∈ R ,

(4) f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 ,

(5) f ( x + y ) = f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) ,

(6) g ( x + y ) = f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) ,

                     2
        ⎡ f ( x) ⎤     1
(7) 1 − ⎢        ⎥ =− 2     , dan
        ⎣ g ( x) ⎦   g ( x)

                     2
        ⎡ g ( x) ⎤    1
(8) 1 − ⎢        ⎥ = 2     .
        ⎣ f ( x) ⎦  f ( x)

Bukti:

                         e x + e−x              e x − e−x
Dipunyai f ( x) =                  dan g ( x) =           .
                             2                      2
                                                                                                           38




                       e0 + e0 2                e0 − e0 0
(1) Jelas f (0) =             = = 1 dan g (0) =        = = 0.
                          2    2                   2    2

                       e x − e−x
(2) Jelas f ' ( x) =             = g ( x) .
                           2

                       e x + e−x
(3) Jelas g ' ( x) =             = f ( x) .
                           2

                                                    2                      2
                            ⎛ e x + e−x           ⎞ ⎛ e x − e−x        ⎞
(4) Jelas f ( x) − g ( x) = ⎜
               2         2
                            ⎜                     ⎟ −⎜
                                                  ⎟ ⎜                  ⎟
                                                                       ⎟
                            ⎝     2               ⎠ ⎝     2            ⎠

                                     e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 − e −2 x
                                   =                   −
                                             4                  4

                                       4
                                   =     = 1.
                                       4

                        e x+ y + e −( x+ y )
(5) Jelas f ( x + y ) =
                                2

                             e xe y + e−xe− y
                         =
                                     2

                         =
                             2
                               [
                             1 x y
                               e e + e −x e− y     ]

                         =
                             1
                               [( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) + ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))]
                             2


                             1 ⎡ f ( x) f ( y ) + f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) + g ( y ) g ( x) + f ( x) f ( y ) ⎤
                         =
                             2 ⎢− f ( x) g ( y ) − g ( x) f ( y ) + g ( x) g ( y )
                               ⎣
                                                                                                                    ⎥
                                                                                                                    ⎦



                         =
                             1
                               [2 f ( x) f ( y) + 2 g ( x) g ( y)]
                             2

                         = f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) .
                                                                                                           39




                          e x+ y − e −( x+ y )
(6) Jelas g ( x + y ) =
                                  2

                              e xe y − e−xe− y
                     =
                                      2

                     =
                              2
                                  [
                              1 x y
                                e e − e −x e− y        ]

                     =
                              1
                                [( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) − ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))]
                              2


                              1 ⎡ f ( x) f ( y ) + f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) + g ( y ) g ( x) − f ( x) f ( y )⎤
                     =
                              2 ⎢+ f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) − g ( x) g ( y )
                                ⎣
                                                                                                                    ⎥
                                                                                                                    ⎦



                     =
                              1
                                [2 f ( x) g ( y) + 2 g ( x) f ( y)]
                              2

                     = f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) .

                          2
              ⎡ f ( x) ⎤     f 2 ( x)
(7) Jelas 1 − ⎢        ⎥ = 1− 2
              ⎣ g ( x) ⎦     g ( x)

                                      g 2 ( x) − f 2 ( x)
                              =
                                            g 2 ( x)

                                 f 2 ( x) − g 2 ( x)
                              =−
                                       g 2 ( x)

                                          1
                              =−          2
                                               .
                                        g ( x)

                          2
              ⎡ g ( x) ⎤     g 2 ( x)
(8) Jelas 1 − ⎢        ⎥ = 1− 2
              ⎣ f ( x) ⎦     f ( x)

                                      f 2 ( x) − g 2 ( x)
                              =
                                            f 2 ( x)
                                                                                40




                                 1
                           =    2
                                      .
                               f ( x)

         Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1

memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi

trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan

g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut.

Sifat 4.2

(1) Dipunyai f : R → R , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai

                 e x − e−x
      sinh x =             ,
                     2

(2) Dipunyai f : R → [1, ∞) , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai

                 e x + e−x
      cosh x =             ,
                     2

(3) Dipunyai f : R → (−1,1) , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai

                 sinh x e x − e − x
      tanh x =         =            ,
                 cosh x e x + e − x

(4)     Dipunyai        f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ,   fungsi   cotangen   hiperbolik

      didefinisikan sebagai

               cosh x e x + e − x
      coth x =       =            , dan
               sinh x e x − e − x

(5) Dipunyai f : R → (0,1] , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai

                   1       2
      sec hx =         = x        .
                 cosh x e + e − x
                                                                         41




      Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan

hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan

Gambar 9.




                  Gambar 7. Grafik fungsi f ( x) = tanh x




                  Gambar 8. Grafik fungsi f ( x) = coth x
                                                                    42




                          Gambar 9. Grafik fungsi f ( x) = sec hx

B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK

           Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh:

   Teorema 4.1

         d (sinh x)
   (1)              = cosh x
             dx

         d (cosh x)
   (2)              = sinh x
             dx

         d (tanh x)
   (3)              = sec h 2 x
             dx

         d (coth x)
   (4)              = − csc h 2 x
             dx

         d (sec hx)
   (5)              = − tanh x. sec hx .
             dx

   Bukti:

                         e x − e−x
   (1) Dipunyai sinh x =           .
                             2
                                                             43




                      ⎛ e x − e−x       ⎞
                     d⎜
                      ⎜                 ⎟
                                        ⎟
                    = ⎝                 ⎠
         d (sinh x)         2
   Jelas
             dx            dx

                       1 d (e x − e − x )
                     =
                       2       dx

                         1 x
                     =     (e + e − x )
                         2

                     = cosh x .

          d (sinh x)
   Jadi              = cosh x .
              dx

                    e x + e−x
(2) Dipunyai cosh =           .
                        2

                      ⎛ e x + e−x         ⎞
                     d⎜
                      ⎜                   ⎟
                                          ⎟
                    = ⎝                   ⎠
         d (cosh x)         2
   Jelas
             dx            dx

                         1 d (e x + e − x )
                     =
                         2       dx

                         1 x
                     =     (e − e − x )
                         2

                     = sinh x .

          d (cosh x)
   Jadi              = sinh x .
              dx

                          e x − e−x            e x + e−x
(3) Dipunyai sinh x =               dan cosh =           .
                              2                    2

                       ⎛ sinh x ⎞
                      d⎜        ⎟
   Jelas
         d (tanh x)
                    =  ⎝ cosh x ⎠
             dx           dx
                                                                                                44




                        ⎛ e x − e−x         ⎞
                       d⎜ x
                        ⎜ e + e −x          ⎟
                                            ⎟
                      = ⎝                   ⎠
                             dx

                                           d (e x − e − x )                  d (e x + e − x )
                          (e x + e − x )                    − (e x − e − x )
                      =                          dx                                dx
                                                    (e x + e − x ) 2

                          (e x + e − x )(e x + e − x ) − (e x − e − x )(e x − e − x )
                      =
                                               (e x + e − x ) 2

                          ( e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2
                      =
                                   (e x + e − x ) 2

                              (e x − e − x ) 2
                      = 1−
                              (e x + e − x ) 2

                                                    2
                           ⎛ e x − e−x          ⎞
                      = 1− ⎜ x
                           ⎜ e + e −x           ⎟
                                                ⎟
                           ⎝                    ⎠

                      = 1 − tanh 2 x

                      = sec h 2 x .

          d (tanh x)
   Jadi              = sec h 2 x .
              dx

                           e x − e−x            e x + e−x
(4) Dipunyai sinh x =                dan cosh =           .
                               2                    2

                       ⎛ cosh x ⎞
                      d⎜        ⎟
   Jelas
         d (coth x)
                    =  ⎝ sinh x ⎠
             dx           dx

                        ⎛ e x + e−x         ⎞
                       d⎜ x
                        ⎜ e − e −x          ⎟
                                            ⎟
                      = ⎝                   ⎠
                             dx
                                                                                                45




                                           d (e x + e − x )                  d (e x − e − x )
                          (e x − e − x )                    − (e x + e − x )
                      =                          dx                                dx
                                                              −x 2
                                                    (e − e )
                                                        x




                          (e x − e − x )(e x − e − x ) − (e x + e − x )(e x + e − x )
                      =
                                               (e x − e − x ) 2

                          ( e x − e − x ) 2 − (e x + e − x ) 2
                      =
                                   (e x − e − x ) 2

                              (e x + e − x ) 2
                      = 1−
                              (e x − e − x ) 2

                                                   2
                           ⎛ e x + e−x         ⎞
                      = 1− ⎜ x
                           ⎜ e − e −x          ⎟
                                               ⎟
                           ⎝                   ⎠

                      = 1 − coth 2 x

                      = − csc h 2 x .

          d (coth x)
   Jadi              = − csc h 2 x .
              dx

                          e x + e−x
(5) Dipunyai cosh =                 .
                              2

                       ⎛ 1 ⎞
                      d⎜        ⎟
   Jelas
         d (sec hx)
                    =  ⎝ cosh x ⎠
             dx           dx

                        ⎛    2    ⎞
                       d⎜ x    −x ⎟
                          e +e ⎠
                      = ⎝
                            dx

                                            d ( 2)     d (e x + e − x )
                          (e x + e − x )           −2
                      =                      dx              dx
                                                    −x 2
                                           (e + e )
                                              x




                          − 2(e x − e − x )
                      =
                           (e x + e − x ) 2
                                                                                 46




                                (e x − e − x )   2
                           =−            −x
                                (e + e ) (e + e − x )
                                   x           x




                           = − tanh x. sec hx .

              d (sec hx)
       Jadi              = − tanh x. sec hx .
                  dx

C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

         Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik,

  cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan

  sinh −1 , cosh −1 , tanh −1 , coth −1 , dan sec h −1 , didefinisikan sebagai

  (1) y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y ,

  (2) y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y ,

  (3) y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y ,

  (4) y = coth −1 x ⇔ x = coth y , dan

  (5) y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy .

         Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian

  berikut.

  (1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik

      Dipunyai f : R → R , f ( x) = sinh x .

      Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .

      Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = sinh x1 − sinh x 2

                                   e x1 − e − x1 e x2 − e − x2
                               =                −
                                        2             2
                                                                        47




                             (e x1 − e x2 ) + (e − x2 − e − x1 )
                         =                                       ≠ 0.
                                             2

Jadi fungsi f satu-satu.

Berikutnya ditunjukan f fungsi pada.

Ambil sembarang x ∈ R .

Tulis x = sinh y , untuk suatu y ∈ R .

            e y − e− y
Jelas x =
                2

⇔ 2x = e y − e − y

⇔ 2 xe y = e y (e y − e − y )

⇔ 2 xe y = e 2 y − 1

⇔ e 2 y − 2e y x − 1 = 0

    [                        ]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − (1 + x 2 ) = 0


                  (
⇔ (e y − x ) 2 − 1 + x 2         ) =0
                                 2




⇔ e y = x − 1+ x2 ∨ e y = x + 1+ x2 .

Jelas e y = x + 1 + x 2 ⇔ y = ln( x + 1 + x 2 ) .

Jadi ∀ x ∈ R ∃ y = ln( x + 1 + x 2 ) ∈ R ∋ x = f ( y ) .

Jadi f suatu fungsi pada.

Jadi f : R → R , f ( x) = sinh x memiliki invers.

Jelas y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y

Jadi sinh −1 x = ln( x + 1 + x 2 ) .
                                                                          48




           Gambar grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x diberikan pada

   Gambar 10.




                       Gambar 10. Grafik fungsi f ( x) = sinh −1 x

(2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik

   Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x .

   Ambil x1 = −1, x 2 =1 ∈ R .

   Jelas x1 ≠ x 2 .

                                     e + e −1
   akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =            = f (1) = f ( x 2 ) .
                                        2

   Jadi f bukan fungsi satu-satu.

   Jadi fungsi f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x tidak memiliki invers.

   Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai

    f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x .
                                                                       49




        Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x diberikan pada

Gambar 11.




                  Gambar 11. Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞)

                                    f ( x) = cosh x

Jelas f ' ( x) > 0 ∀ x ∈ [0, ∞) .

Jadi f monoton naik pada daerah asalnya.

Jadi fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x memiliki invers.

Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) .

Tulis x = cosh y , untuk suatu y ∈ [1, ∞) .

            e y + e− y
Jelas x =
                2

⇔ 2x = e y + e − y

⇔ 2 xe y = e y (e y + e − y )
                                                                            50




⇔ 2 xe y = e 2 y + 1

⇔ e 2 y − 2e y x + 1 = 0

    [                       ]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − ( x 2 − 1) = 0


⇔ (e y − x ) 2 −   (            )
                                2
                        x2 −1 = 0

⇔ e y = x − x2 −1 ∨ e y = x + x2 −1 .

Jelas e y = x + x 2 − 1 ⇔ y = ln( x + x 2 − 1) .

Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln( x + x 2 − 1) ∈ [1, ∞) ∋ x = f ( y ) .

Jelas y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y .

Jadi cosh −1 x = ln( x + x 2 − 1) .

        Gambar grafik fungsi f : [1, ∞) → [0, ∞) , f ( x) = cosh −1 x diberikan

pada Gambar 12.




                       Gambar 12. Grafik fungsi f ( x) = cosh −1 x
                                                                                                     51




(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik

   Dipunyai fungsi f : R → (−1,1) , f ( x) = tanh x .

   Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .

   Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = tanh x1 − tanh x 2

                                 e x1 − e − x1 e x2 − e − x2
                             =                −
                                 e x1 + e − x1 e x2 + e − x2

                               (e x1 − e − x1 )(e x2 + e − x2 ) − (e x2 − e − x2 )(e x1 + e − x1 )
                             =
                                                (e x1 + e − x1 )(e x2 + e − x2 )

                             ≠ 0.

   Jadi fungsi f satu-satu.

   Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.

   Ambil sembarang x ∈ R .

   Tulis x = tanh y , untuk suatu y ∈ (−1,1) .

               e y − e− y
   Jelas x =
               e y + e−y

   ⇔ x (e y + e − y ) = e y − e − y

   ⇔ xe y (e y + e − y ) = e y (e y − e − y )

   ⇔ x(e 2 y + 1) = e 2 y − 1

   ⇔ e 2 y − 1 − x(e 2 y + 1) = 0

   ⇔ e 2 y − xe 2 y − x − 1 = 0

   ⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 − ( x + 1) = 0

   ⇔ (1 − x)(e y ) 2 = x + 1
                                                                              52




               x +1
⇔ (e y ) 2 =
               1− x

                    1+ x
⇔ ln(e y ) 2 = ln
                    1− x

                    1+ x
⇔ 2. y. ln e = ln
                    1− x

               1+ x
⇔ 2. y = ln
               1− x

        1 1+ x
⇔ y=     ln    .
        2 1− x

                      1 1+ x
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =     ln    ∈ (−1,1) ∋ x = f ( y ) .
                      2 1− x

Jadi f suatu fungsi pada.

Jadi fungsi f : R → (−11) , f ( x) = tanh x memiliki invers.

Jelas y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y .

                    1 1+ x
Jadi tanh −1 x =     ln    .
                    2 1− x

        Gambar        grafik   fungsi f : (−1,1) → (−∞, ∞) ,   f ( x) = tanh −1 x

diberikan pada Gambar 13.
                                                                                                     53




                      Gambar 13. Grafik fungsi f ( x) = tanh −1 x

(4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik

   Dipunyai f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x .

   Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 .

   Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = coth x1 − coth x 2

                            e x1 + e − x1 e x2 + e − x2
                           = x1          −
                            e − e − x1 e x2 − e − x2

                               (e x1 + e − x1 )(e x2 − e − x2 ) − (e x2 + e − x2 )(e x1 − e − x1 )
                           =
                                                (e x1 − e − x1 )(e x2 − e − x2 )

                           ≠ 0.

   Jadi fungsi f satu-satu.

   Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada.

   Ambil sembarang x ∈ R .

   Tulis x = coth y , untuk suatu y ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) .
                                                                     54




            e y + e− y
Jelas x =
            e y − e−y

⇔ x (e y − e − y ) = e y + e − y

⇔ xe y (e y − e − y ) = e y (e y + e − y )

⇔ x(e 2 y − 1) = e 2 y + 1

⇔ e 2 y + 1 − x(e 2 y − 1) = 0

⇔ e 2 y − xe 2 y + x + 1 = 0

⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 + ( x + 1) = 0

⇔ (1 − x)(e y ) 2 = −( x + 1)

               − x −1
⇔ (e y ) 2 =
               1− x

               − x −1
⇔ (e y ) 2 =
               − x +1

               x +1
⇔ (e y ) 2 =
               x −1

                    x +1
⇔ ln(e y ) 2 = ln
                    x −1

                    x +1
⇔ 2. y. ln e = ln
                    x −1

               x +1
⇔ 2. y = ln
               x −1

         1 x +1
⇔ y=      ln    .
         2 x −1

                         1 x +1
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =        ln    ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ∋ x = f ( y ) .
                         2 x −1

Jadi f suatu fungsi pada.
                                                                                     55




   Jadi fungsi f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x memiliki invers.

   Jelas y = coth −1 x ⇔ x = coth y .

                       1 1+ x
   Jadi coth −1 x =     ln    .
                       2 1− x

           Gambar           grafik      fungsi          f : (−∞,−1) ∪ (1, ∞) → (−∞, ∞) ,

    f ( x) = coth −1 x diberikan pada Gambar 14.




                      Gambar 14. Grafik fungsi f ( x) = coth −1 x

(5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik

   Dipunyai f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx .

   Ambil x1 = −1, x 2 = 1 ∈ R .

   Jelas x1 ≠ x 2 .

                                        2
   akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =            = f (1) = f ( x 2 ) .
                                     e + e −1
                                                                              56




Jadi f bukan fungsi satu-satu.

Jadi fungsi f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx tidak memiliki invers.

Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai

f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx .

        Grafik fungsi       f : [0, ∞) → (0,1] ,   f ( x) = sec hx diberikan pada

Gambar 15.




                      Gambar 15. Grafik fungsi f : [0, ∞) → (0,1]

                                         f ( x) = sec hx

Jelas f ' ( x) < 0 ∀ x ∈ [0, ∞) .

Jadi f monoton turun pada daerah asalnya.

Jadi fungsi f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx memiliki invers.

Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) .

Tulis y = sec hx , untuk suatu y ∈ (0,1] .
                                                                  57




              2
Jelas x =
            e + e−y
              y



⇔ x (e y + e − y ) = 2

⇔ xe y (e y + e − y ) = 2e y

⇔ x(e 2 y + 1) = 2e 2 y

⇔ xe 2 y + x − 2e 2 y = 0

⇔ x(e y ) 2 − 2e y + x = 0

            2 ± 4 − 4 x.x
⇔ e12 =
    y

                2x

            2 ± 4 − 4x 2
⇔ e12 =
    y

                2x

            2 ± 4(1 − x 2 )
⇔ e12 =
    y

                2x

     2 ± 2 (1 − x 2 )
⇔e =  y
     12
           2x

          1 ± (1 − x 2 )
⇔ e12 =
    y

               x

     1+ 1− x2           1− 1− x2
⇔e = 1
      y
              atau e2 =
                    y
                                 .
        x                  x

              1+ 1− x2         ⎛1+ 1− x2      ⎞
Jelas e y =            ⇔ y = ln⎜              ⎟.
                 x             ⎜   x          ⎟
                               ⎝              ⎠

                          ⎛1+ 1− x2   ⎞
Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln⎜           ⎟ ∈ (0,1] ∋ x = f ( y ) .
                          ⎜   x       ⎟
                          ⎝           ⎠

Jelas y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy .
                                                                                  58




                        ⎛1+ 1− x2         ⎞
    Jadi sec h −1 x = ln⎜                 ⎟.
                        ⎜   x             ⎟
                        ⎝                 ⎠

              Gambar grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞) , f ( x) = sec h −1 x diberikan

    pada Gambar 16.




                       Gambar 16. Grafik fungsi f ( x) = sec h −1 x

       Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut.

Teorema 4.2

                    (
(1) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 ,    )     −∞ < x < ∞,

(2) cosh −1   x = ln (x +   x2   − 1 ),   x ≥ 1,

                  1 1+ x
(3) tanh −1 x =    ln    ,                −1 < x < 1 ,
                  2 1− x
                                                                59




                     1 x +1
  (4) coth −1 x =     ln    ,                     x > 1 , dan
                     2 x −1

                     ⎛1+ 1− x2           ⎞
  (5) sec h −1 x = ln⎜                   ⎟,       0 < x ≤ 1.
                     ⎜   x               ⎟
                     ⎝                   ⎠

D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

  Teorema 4.3

        d (sinh −1 x)    1
  (1)                 =       ,
             dx         1+ x2

      d (cosh −1 x)       1
  (2)               =            ,
           dx            x2 −1

        d (tanh −1 x)     1
  (3)                 =                           x < 1,
             dx         1− x2

        d (coth −1 x)     1
  (4)                 =                           x > 1 , dan
             dx         1− x2

        d (sec h −1 x)       1
  (5)                  =−         .
             dx           x 1− x2

  Bukti:

                                     (
  (1) Dipunyai sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 .            )
              d (sinh −1 x) d ln( x + 1 + x
                                            2

        Jelas              =
                   dx               dx


         =                   .
                                 (
           d ln( x + 1 + x 2 d x + 1 + x 2            )
            d (x + 1 + x 2 )      dx


                 1      ⎛     x               ⎞
         =             .⎜1 +                  ⎟
                     2 ⎜                      ⎟
             x + 1+ x ⎝      1+ x2            ⎠
                                                                             60




                   ⎛ 1+ x2 + x ⎞
                      1
     =             ⎜           ⎟
                 2 ⎜           ⎟
         x + 1+ x ⎝   1+ x 2
                               ⎠

                  x + 1+ x2
     =
         (x +         1+ x2            ) 1+ x      2




              1
     =                        .
             1+ x2

(2) Dipunyai cosh −1 x = ln x + x 2 − 1 .              (             )
          d (cosh −1 x) d ln x + x − 1
                                   2
                                                           (             )
    Jelas              =
               dx               dx

                  (
       d ln x + x 2 − 1 d x + x 2 − 1          ) (               )
     =
              (
        d x + x2 −1
                        .
                             dx            )
                    ⎛ 1                                 x    ⎞
                   .⎜1 +                                     ⎟
     =
         (
         x + x2 −1 ⎝
                    ⎜
                                       )                     ⎟
                                                       x2 −1 ⎠

                ⎛ x2 −1 + x ⎞
                      1
                ⎜           ⎟
     =
         (      ⎜
       x + x −1 ⎝
            2
                    x −1 ⎟
                     2
                            ⎠          )
                  (x +            x2 −1        )
     =
         (x +         x −1 x −1
                          2
                                       )   2




              1
     =                        .
             x2 −1

                                                   1 1+ x
(3) Dipunyai tanh −1 x =                            ln    .
                                                   2 1− x

                         ⎛ 1 1+ x ⎞
                       d ⎜ ln     ⎟
                                  −1
    Jelas
          d (tanh x)
                     =   ⎝ 2 1− x ⎠
               dx           dx
                                                                 61




         1 ⎡ d ( ln(1 + x) − ln(1 − x) ) ⎤
     =     ⎢                             ⎥
         2⎣              dx              ⎦

         1 ⎡ d ln(1 + x) d ln(1 − x) ⎤
     =     ⎢            −            ⎥
         2⎣      dx          dx      ⎦

         1 ⎡ d ln(1 + x) d (1 + x) d ln(1 − x) d (1 − x) ⎤
     =     ⎢            .         −           .          ⎥
         2 ⎣ d (1 + x)      dx      d (1 − x)     dx ⎦

         1⎡ 1        1 ⎤
     =    ⎢1 + x + 1 − x ⎥
         2⎣              ⎦

         1 ⎡1 − x + 1 + x ⎤
     =
         2 ⎢ 1− x2 ⎥
           ⎣              ⎦

      1 2          1
     = .       =       .
      2 1− x 2
                 1− x2

                                 1 x +1
(4) Dipunyai coth −1 x =          ln    .
                                 2 x −1

                           1 x +1
    Jelas coth −1 x =       ln
                           2 x −1

         1 ⎡ d ( ln( x + 1) − ln( x − 1) ) ⎤
     =     ⎢                               ⎥
         2⎣               dx               ⎦

         1 ⎡ d ln( x + 1) d ln( x − 1) ⎤
     =     ⎢             −             ⎥
         2⎣      dx           dx       ⎦

         1 ⎡ d ln( x + 1) d ( x + 1) d ln( x − 1) d ( x − 1) ⎤
     =     ⎢             .          −            .           ⎥
         2 ⎣ d ( x + 1)       dx      d ( x − 1)      dx ⎦

         1⎡ 1         1 ⎤
     =    ⎢ x + 1 − x − 1⎥
         2⎣              ⎦

         1 ⎡ ( x − 1) − ( x + 1) ⎤
     =
         2⎢⎣       x2 −1         ⎥
                                 ⎦
                                                          62




      1 ⎡ −2 ⎤
     = .⎢ 2 ⎥
      2 ⎣ x − 1⎦

            1    1
     =−       =      .
          x −1 1− x2
            2



                            ⎛1+ 1− x2                ⎞
(5) Dipunyai sec h −1 x = ln⎜                        ⎟.
                            ⎜   x                    ⎟
                            ⎝                        ⎠

                               ⎛1+ 1− x2              ⎞
                           d ln⎜                      ⎟
                               ⎜     x                ⎟
          d (sec h −1 x)       ⎝                      ⎠
    Jelas                =
               dx                 dx

         d ln(1 + 1 − x 2 − d ln x
     =
                        dx

       d ln(1 + 1 − x 2 ) d (1 + 1 − x 2 ) d (ln x)
     =                   .                −
        d (1 + 1 − x 2 )        dx            dx


                1 ⎛   x                    ⎞ 1
     =            ⎜−                       ⎟−
                  ⎜                        ⎟ x
         1+ 1− x2 ⎝  1− x2                 ⎠

                        x                        1
     =−
          (1 +       1− x   2
                                )( 1 − x )
                                       2
                                             −
                                                 x


          x 2 − 1 − x 2 + (1 − x 2 )
     =−
            x( 1 − x 2 + (1 − x 2 )

                     1− 1− x2
     =−
          x 1 − x 2 (1 − 1 − x 2 )

                 1
     =−                 .
          x 1− x2
                                                                                               63




E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK

                                                                    1
             Teorema 4.3 menyatakan bahwa                                     merupakan suatu anti
                                                                   1+ x   2



                                         1
  turunan sinh −1 x dan                         , x ≠ 1 suatu anti turunan cosh −1 x . Akibatnya
                                        x −1
                                         2



  dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.

  Teorema 4.4

              dx
  (1)   ∫    1+ x   2
                            = sinh −1 x + C ,


              dx
  (2)   ∫    x −1
               2
                            = cosh −1 x + C ,


                        ⎧tanh −1 x + C ,            x <1
                dx      ⎪
  (3)       ∫ 1 − x 2 = ⎨ −1                               , dan
                        ⎪coth x + C ,               x >1
                        ⎩

               dx
  (4)   ∫x    1− x      2
                             = − sec h −1 x + C .
                                                                                    64




F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA

  FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

           Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan

  penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya.

                    dy
  1. Tentukan          dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.
                    dx

                                                                             ⎛1⎞
     (a) y = cosh( x 4 )        (e) y = sec h(e 2 x )        (i) y = sinh −1 ⎜ ⎟
                                                                             ⎝ x⎠

     (b) y = sinh(4 x − 8)      (f) y = sec h x              (j) y = coth −1 x

     (c) y = ln(tanh 2 x)       (g) y = cosh −1 (1 − x)

     (d) y = coth(ln x)         (h) y = sec h −1 ( x 7 )

  2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut.

                                                     dx
     (a) ∫ cosh(2 x − 3)dx               (e)   ∫   9 x 2 − 25

                                                        dx
     (b) ∫ sinh 6 x cosh xdx             (f)   ∫   2 − 2x + x 2

                                                    dx
     (c)   ∫   tanh x sec h 2 xdx        (g)   ∫   x2 − 2

                   dx
     (d)   ∫   1 + 9x 2

  Penyelesaian:

  1. (a) Dipunyai y = cosh( x 4 ) .

                   dy d [cosh( x 4 )]
           Jelas      =
                   dx      dx
                                                          65




                  d [cosh( x 4 )] d ( x 4 )
              =                  .
                      d (x 4 )      dx

              = sinh( x 4 ).4 x 3

              = 4 x 3 sinh( x 4 ) .

(b) Dipunyai y = sinh(4 x − 8) .

           dy d [sinh(4 x − 8)]
   Jelas      =
           dx        dx

                  d [sinh(4 x − 8)] d (4 x − 8)
              =                    .
                      d (4 x − 8)       dx

              = cosh(4 x − 8).4

              = 4 cosh(4 x − 8) .

(c) Dipunyai y = ln(tanh 2 x) .

           dy d [ln(tanh 2 x)]
   Jelas      =
           dx        dx

                  d [ln(tanh 2 x)] d (tanh 2 x) d (2 x)
              =                   .            .
                    d (tanh 2 x)      d (2 x)     dx

                     1
              =            . sec h 2 2 x.2
                  tanh 2 x

                  2 sec h 2 2 x
              =                 .
                    tanh 2 x

(d) Dipunyai y = coth(ln x) .

           dy d [coth(ln x)]
   Jelas      =
           dx       dx

                  d [coth(ln x)] d (ln x)
              =                 .
                      d (ln x)      dx
                                                          66




                                     1
               = − csc h 2 (ln x).
                                     x

                    csc h 2 (ln x)
               =−                  .
                          x

(e) Dipunyai y = sec h(e 2 x ) .

            dy d [sec h(e 2 x )]
    Jelas      =
            dx       dx

                 d [sec h(e 2 x )] d (e 2 x ) d (2 x)
               =                  .          .
                     d (e 2 x )     d (2 x) dx

               = − tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ).e 2 x .2

               = −2e 2 x tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ) .

(f) Dipunyai y = sec h x .

            dy d [sec h x ]
    Jelas      =
            dx      dx

                   d [sec h x ] d ( x )
               =               .
                      d( x)        dx

                                                1
               = − tanh x . sec h x .
                                            2 x

                     tanh x . sec h x
               =−                           .
                            2 x

(g) Dipunyai y = cosh −1 (1 − x) .

            dy d [cosh −1 (1 − x)]
    Jelas      =
            dx        dx

                   d [cosh −1 (1 − x)] d (1 − x)
               =                      .
                        d (1 − x)         dx
                                                      67




                             1
               =                        .(−1)
                     (1 − x) 2 − 1

                                 1
               =−                            .
                         (1 − x) 2 − 1

(h) Dipunyai y = sec h −1 ( x 7 ) .

            dy d [sec h −1 ( x 7 )]
    Jelas      =
            dx        dx

                   d [sec h −1 ( x 7 )] d ( x 7 )
               =                       .
                        d (x7 )           dx

                                  1
               =−                            .7 x 6
                     x   7
                             1 − (x )  7 2




                                 7x6
               =−                                .
                     x7 1 − (x7 )2

                         ⎛1⎞
(i) Dipunyai y = sinh −1 ⎜ ⎟ .
                         ⎝ x⎠

                          ⎛1⎞
               d [sinh −1 ⎜ ⎟]
    Jelas
          dy
             =            ⎝ x⎠
          dx         dx

                            ⎛1⎞ ⎛1⎞
                 d [sinh −1 ⎜ ⎟] d ⎜ ⎟
               =            ⎝ x⎠ . ⎝ x⎠
                       ⎛1⎞         dx
                      d⎜ ⎟
                       ⎝ x⎠

                             1  ⎛ 1 ⎞
               =               .⎜ − 2 ⎟
                        ⎛1⎞ ⎝ x ⎠
                             2

                     1+ ⎜ ⎟
                        ⎝ x⎠
                                                                            68




                                 1
                  =−                              .
                                              2
                                ⎛1⎞
                        x2   1+ ⎜ ⎟
                                ⎝ x⎠

   (j) Dipunyai y = coth −1 x .

               dy d [ coth −1 x ]
       Jelas      =
               dx      dx

                      d ( coth −1 x ) d (coth −1 x)
                  =                  .
                       d (coth −1 x)       dx

                             1       1
                  =                      .
                      2 coth −1 x 1 − x
                                        2




                                 1
                  =
                      2(1 − x 2 ) coth −1 x

2. (a) ∫ cosh(2 x − 3)dx

                                              1
       Jelas ∫ cosh(2 x − 3)dx =
                                              2∫
                                                 cosh(2 x − 3)d (2 x − 3)


                                             1
                                     =         sinh(2 x − 3) + C .
                                             2

   (b) ∫ sinh 6 x cosh xdx

       Tulis u = sinh x .

       Jelas du = cosh xdx

       Jelas ∫ sinh 6 x cosh xdx = ∫ u 6 du

                                                  1 7
                                             =      u +C
                                                  7

                                                  1
                                             =      sinh 7 x + C .
                                                  7
                                                                        69




(c)   ∫   tanh x sec h 2 xdx

      Tulis u = tanh x .

      Jelas du = sec h 2 xdx

      Jelas   ∫    tanh x . sec h 2 xdx = ∫ u .du

                                                   3
                                             2
                                            = u2 +C
                                             3

                                                2
                                            =     u. u + C
                                                3

                                                2
                                            =     tanh x tanh x + C .
                                                3

              dx
(d)   ∫   1 + 9x 2

                       dx           1    d (3x)
      Jelas   ∫    1 + 9x   2
                                =
                                    3 ∫ 1 + (3x) 2

                                 1
                                = sinh −1 3x + C .
                                 3

              dx
(e)   ∫   9 x 2 − 25

                                             ⎛ 3x ⎞
                                            d⎜ ⎟
                       dx               5    ⎝ 5 ⎠
      Jelas   ∫    9 x 2 − 25
                                    =
                                        3 ∫ ⎛ 3x ⎞ 2
                                            ⎜ ⎟ −1
                                            ⎝ 5 ⎠

                                     5        3x
                                    = cosh −1    +C .
                                     3        5

                  dx
(f)   ∫   2 − 2x + x 2
                                                               70




                         dx                d (−1 + x)
      Jelas   ∫    2 − 2x + x   2
                                    =∫
                                          1 + (−1 + x) 2

                                    = sinh −1 (−1 + x) + C .

              dx
(g)   ∫   x2 − 2

                                          ⎛ x ⎞
                                         d⎜   ⎟
                    dx                    ⎝ 2⎠
      Jelas   ∫    x2 − 2
                              = 2∫
                                               2
                                         ⎛ x ⎞
                                         ⎜   ⎟ −1
                                         ⎝ 2⎠

                                              x
                              = 2 cosh −1          +C.
                                               2
                                      BAB V

                                    PENUTUP



A. SIMPULAN

  Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan

  sebagai berikut.

  1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan p : R → R + ,

                 ex                            e−x
      p ( x) =      dan q : R → R + , q ( x) =     . Selanjutnya dibangun fungsi f
                 2                              2

     dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q,

     dengan demikian f ( x) = p ( x) + q( x) dan         g ( x) = p( x) − q ( x) , dimana

     fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki

     oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula

     fungsi hiperbolik.

  2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut

                     e x − e−x                       cosh x
     (a) sinh x =                     (d) coth x =
                         2                           sinh x

                     e x + e−x                         1
     (b) cosh x =                     (e) sec hx =
                         2                           cosh x

                     sinh x
     (c) tanh x =
                     cosh x

  3. Formula turunan fungsi hiperbolik

           d (sinh x)
     (a)              = cosh x ,
               dx




                                        64
                                                         65




         d (cosh x)
   (b)              = sinh x ,
             dx

         d (tanh x)
   (c)              = sec h 2 x ,
             dx

         d (coth x)
   (d)              = − csc h 2 x , dan
             dx

         d (sec hx)
   (e)              = − tanh x. sec hx .
             dx

4. Invers fungsi hiperbolik

                       (
   (a) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2       )   −∞ < x < ∞

   (b) cosh −1   x = ln (x +    x2   − 1)   x ≥1

                     1 1+ x                 −1 < x < 1
   (c) tanh −1 x =    ln
                     2 1− x

                     1 x +1
   (d) coth −1 x =    ln                    x >1
                     2 x −1

                      ⎛1+ 1− x2         ⎞
   (e) sec h −1 x = ln⎜                 ⎟   0 < x ≤ 1.
                      ⎜   x             ⎟
                      ⎝                 ⎠

5. Formula turunan invers fungsi hiperbolik

         d (sinh −1 x)    1
   (a)                 =
              dx         1+ x2

         d (cosh −1 x)          1
   (b)                 =
              dx               x2 −1

         d (tanh −1 x)     1
   (c)                 =                    x <1
              dx         1− x2

       d (coth −1 x)     1
   (d)               =                      x >1
            dx         1− x2
                                                                           66




           d (sec h −1 x)       1
     (e)                  =−         .
                dx           x 1− x2

  6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik

                 dx
     (a)   ∫    1+ x   2
                           = sinh −1 x + C


                 dx
     (b)   ∫    x −1
                  2
                               = cosh −1 x + C


                           ⎧tanh −1 x + C ,            x <1
                   dx      ⎪
     (c)       ∫ 1 − x 2 = ⎨ −1
                           ⎪coth x + C ,               x >1
                           ⎩

                  dx
     (d)   ∫x     1− x     2
                                = − sec h −1 x + C .


B. SARAN

           Dalam skripsi ini, penulis menentukan penurunan rumus fungsi

  hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan

  inversnya pada fungsi hiperbolik bernilai real. Bagi pembaca yang beminat

  dapat mengembangkannya untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks.
                           DAFTAR PUSTAKA



Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And
        Sons.
Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage
        Publishing.
Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri
        Semarang.
Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima
        (diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono).
        Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1
        (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh).
        Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi
        kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga.
Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading
        Company, LTD.




                                    67

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:2042
posted:5/20/2010
language:Indonesian
pages:83